利用题组教学优化思维品质

利用题组教学优化思维品质

中学数学学习的重点在于知识的学习和能力的培养。由于目前的中学教材大多是用演绎的方法将数学事实组成一个统一体，从而掩盖了它生动活泼的发现、发明历史过程。因此，学习中学数学，不仅要真正掌握形式的数学结论，而且应掌握形式结论后的丰富事实，学会观察、分析，提高抽象概括能力，提高逻辑推理和数学思维的能力。只有基本能力提高了，才能真正学好中学数学和具有进一步学习、研究数学的能力。

认知心理学认为：学生学习的过程是一个把教材知识结构转化为自己认知结构的过程。完成这个过程，仅仅靠新课的教学是不够的，还要通过有效的练习，才能把新知识和原有的知识结构紧密地融汇一体、才能使形成的认知结构更加充实和完善。课堂练习是学生掌握知识、形成技能、发展智力的重要措施。因此，在课堂教学中，教师要精心地、创造性地设计题组练习，为发展和完善学生的思维创造条件，促进学生自主发展。数学，是一门自然学科。对于所有的高中生来说，要学好这门学科，却不是一件容易的事。大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。但由于高考“指挥棒”的作用，又不得不学。“怎样才能学好数学？”成了学子们问得最多的问题。而怎样回答这个问题便成了教师们的难题。很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做题，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了！于是，“题海战术”便受到很多教育工作者的青睐。熟话说，“熟能生巧”，当然，多做体肯定对学生数学成绩的提高有一定的好处。但长期这样，只会使数学越来越枯燥，让学生越来越厌烦，于是出现厌学、抄作业等现象。众所周知，数学题是做不完的。我认为要使学生学好数学，还是要从提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。要利用书本上有限的例题和习题来提高学生的学习兴趣和能力。在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学。这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。另外，能力提高的过程中，学生的成就感自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生。系统知识,培养学生的思维能力,是中学数学复习课教学的主线,而一题多解,一题多变等题组训练,可优化学生的思维品质,发展能力,提高课堂教学效率,促进学生自主发展。因此，利用题组教学中，教师要精心设计题组练习，优化学生思维品质。对此提出以下几点个人见解：

一、注重一题多解，培养思维的发散性。

“一题多解”是指从不同方位，不同角度出发，通过不同的思维途径，采取多种解题方法解决同一实际问题，从而达到殊途同归的效果的教学方法。有利于提高学生的创新意识，启发学生的发散思维。一题多解，一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展学生的思维能力，提高学生分析问题的能力。我们在把变式题布置给学生的同时，便可要求学生运用一题多解，甚至可以要求学生自己对题型进行变式。这样的作业方式不只可以达到复习巩固的目的，还可以提高学生的探究能力及学习数学的兴趣。

例如，下面举一例进行一题多解来说明：

例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。

解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则

x2+y2= x2+（1-x）2=2x2－2x+1=2（x－1

2

）2+

1

2

由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知

当x=1

2

时，x2+y2取最小值

1

2

；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。

评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，函数性质，如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。

解法二：（三角换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设

x=cos2θ，y=sin2θ其中θ∈[0，π

2 ]

则x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2－2 cos2θsin2θ

=1－1

2

（2sinθcosθ）2=1－

1

2

sin22θ

=1－1

2

×

1－cos4θ

2

=

3

4

+

1

4

cos4θ

于是，当cos4θ=－1时，x2+y2取最小值1

2

；

当cos4θ=1时，x2+y2取最小值1。

评注：三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决，而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。

解法三：（对称换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设

x=1

2

+t， y=

1

2

－t，其中t∈[－

1

2

，

1

2

]

于是，x2+y2= （1

2

+t）2+（

1

2

－t）2=

1

2

+2t2 t2∈[0，

1

4

]

所以，当t2=0时，x2+y2取最小值1

2

；当t2=

1

4

时，x2+y2取最大值1。

评注：对称换元将减元结果进行简化了，从而更容易求最值。

这三种方法，在本质上都一样，都是通过函数观点来求最值，只是换元方式的不同而已，也就导致了化简运算量大小不同，教师通过引导、启发学生主动思考、运用，提高了学生对数学的认识，也增强了学生思维能力的提高。

解法四：（运用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1

则 xy≤（x+y）2

4

=

1

4

，从而0≤xy≤

1

4

于是，x2+y2=（x+y）2－2xy=1－2xy

所以，当xy=0时，x2+y2取最大值1；当xy=1

4

时，x2+y2取最小值

1

2

。