对流—扩散方程的离散格式-热流问题的数值计算-课件-05
热流问题数值计算Chapter 5(1)
主讲陶文铨西安交通大学能源与动力工程学院热流中心CFD-NHT-EHT CENTER 2007年11月29日, 西安热流问题数值计算第五章有回流的流动与换热第流场数值计算概述5.1.1两类主要流动与两类数值解法5.1.4两种构造对流项离散格式的方法1.两类主要流动2.两类数值求解方法5.1 流场数值计算概述5.1.2强制对流的涡量方程5.1.3一维模型方程5.1.1 两类主要流动与两类数值解法回流型，其基本区别在于是否存在漩涡(vortex)vorticity) 的区别漩涡是一种宏观的流动形态，特点是流体速度发生反转；涡量是粘性流体的基本特性，只要是粘性流体流动中必有涡量。
动力工程中大多为回流型（椭圆型）流动。
本章仅介绍回流型流动的数值解法。
2. 两类数值求解方法数值求解回流型的流动可以大别为原始变量法与涡量流函数法。
原始变量法u,v,p为求解变量，由于不可压缩流体没有关于压力的独立的方程，数值求解时需要做特殊处理；5.1.3一维模型方程为研究离散格式基本特点又不使过程复杂化，5.1.4两种构造对流项离散格式的方法1. Taylor控制容积积分法－给出界面上被求函数的插值方式对同一种格式，如控制容积积分法得可以认为是控制容积内导数积分中5.2.1 中心差分5.2.2 迎风差分5.2.3 混合格式5.2.4 指数格式5.2.5 乘方格式5.2对流扩散方程的离散格式本节中通过将一维模型方程在取分段线性型线，经整理可得：()eexδΓ+−EaWa做如下变化：()e e x δΓ++为保证代数方程迭代求解的收敛性，我们要求计算中质量守恒一定要满足，于是下列两点边值问题：Pe 随当当当得出结果如右。
，4P =100,W φ=5.5.2 一维对流-扩散方程的迎风控制容积法的定义－界面上未知函数永远取上游Patankar教授提出一种专门符号表示FORTRAN 的Max：,X Y，于是有：(),0,0e P e E eu F Fρφφφ=−−类似地有：(),0,0w W w P wu F Fρφφφ=−−3.对流项一阶迎风、扩散项中心差分的离散方程P P E E W Wa a aφφφ=+,0E e ea D F=+−()P E W e wa a a F F=++−,0W w wa D F=+由于0,0E W a a ≥≥因此FUD 总可以得出物理上合理的解（physically plausible solution )，自五十年代提出以来，半个世纪中得到广泛地采用。
第五章对流扩散方程的离散格式
aP = aE + aW
aE = De – Fe / 2 aW = Dw + Fw / 2
在流场的实际求解过程中， 每一个迭代层次上，即使速度 场尚未收敛，也要保证连续方 程是满足的。
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分
三点说明：
系数 aE , aW 包含了对流 F 与扩散 D的作用的影响；
对均分网格：
2. 对流项离散格式的重要性及两种离散方式
2.2 构造对流项离散格式的两种方式 （2）控制容积积分
给出界面上被求函数的插值方式
2. 对流项离散格式的重要性及两种离散方式
2.2 构造对流项离散格式的两种方式 （3）两种定义之间的关系
对某种对流项离散格式，都可以用两种方法给出其相应 的定义；
3.1 一维对流-扩散问题模型方程的精确解
上游优势
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.1 一维对流-扩散问题模型方程的精确解
希望所构建的离散方程形式也具有这样的物理特性
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分 Central Scheme （CS）
分段线性
均分网格
令
对流项
----界面上的流量
1. 简 介
对流与扩散作用在物理本质上的区别
从物理过程来看，扩散作用与对流作用在传递信息或扰动方面 的特点有很大区别：
扩散是由分子的不规则热运动所致，分子不规则热运动对空间不同方向
的几率都是一样的，因而扩散过程可以把发生在某一地点上的扰动的影响 向各个方向传递。
对流是流体微团宏观的定向运动，带有强烈的方向性。在对流的作用下，
两种定义方式的截断误差阶数是一致的，均为二阶截差 （中心差分，分段线性）；
对流扩散方程ppt课件
6
u n1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j 1
2h
（
2
a
2）u
n j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
稳 定 性 分 析 完 全 类 似 于中 心 差 分 格 式 ， 显 然 有
h2
1（a ）2
2h
1 2
7
4.3: 迎风差分格式
在 中心 显 式差 分 格式 的稳 定性 条 件中 ， 当G
为了简单方便,设a>0,先对方程作扰动,得到另外一对流
扩散方程
u t
a u x
1
1 R
2u x 2
其中R 1 ha
2
对上面的方程构造迎风格式
12
u n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
h
1
1 R
un j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
称为逼近对流扩散方程的Samarskii格式.
n j
u n1 j
不 变 ，很 小 时 ，只 能 取 得 很 小 ， 格 式 显得 不合适，当 0（极限情况）时，微分方 程
化 为对 流 方程 ， 中 心显式 格式 转 化为 绝 对不
稳 定的 ， 故 考虑 迎 风格式 ：
u
n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
h
u
n j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
(a 0)
即：unj 1 (r )unj1 (1 r 2)unj unj1 ,(a 0)
对流扩散方程clank
对流扩散方程clank标题：对流扩散方程的概述引言概述：对流扩散方程是数学中常见的描述物质传输过程的方程。
它在众多领域中都有广泛的应用，如流体力学、热传导、质量传输等。
本文将从五个大点出发，详细阐述对流扩散方程的相关内容。
正文内容：1. 对流扩散方程的基本概念1.1 对流扩散方程的定义1.2 对流扩散方程的一般形式1.3 对流扩散方程的物理意义2. 对流项与扩散项的影响2.1 对流项的作用2.2 扩散项的作用2.3 对流项与扩散项的相互作用3. 对流扩散方程的解析解与数值解3.1 解析解的求解方法3.2 数值解的求解方法3.3 解析解与数值解的比较4. 对流扩散方程的边界条件和初值条件4.1 边界条件的选择与影响4.2 初值条件的确定与影响4.3 边界条件和初值条件的耦合效应5. 对流扩散方程的应用领域5.1 流体力学中的应用5.2 热传导中的应用5.3 质量传输中的应用总结：对流扩散方程是描述物质传输过程的重要方程，其基本概念包括方程的定义、形式和物理意义。
对流项和扩散项是方程中的两个关键因素，它们分别对物质传输起到对流和扩散的作用，并且相互作用影响着传输过程。
对流扩散方程的求解可以采用解析解和数值解两种方法，它们各有优劣，需要根据具体情况选择。
边界条件和初值条件是方程求解中必要的条件，它们的选择与确定对结果有重要影响。
对流扩散方程在流体力学、热传导和质量传输等领域都有广泛应用，它为我们理解和解决实际问题提供了重要的数学工具。
总之，对流扩散方程是一个复杂而重要的数学方程，它在物质传输过程中起着关键作用。
深入理解和研究对流扩散方程，对于解决实际问题具有重要意义。
对流-扩散方程的离散格式
第5章 对流-扩散方程的离散格式
2009年3月13日
1/59
传热与流体流动的数值计算
§5.1 对流项离散格式的重要性 及两种离散方式
一、对流项离散格式的重要性
1、数值解的准确性（假扩散） 2、数值解的稳定性 3、数值解的经济性
二、构造离散格式的两种方式
1、Taylor展开法 2、控制容积积分法
u e
Fee
P
max Fe,0
E
max Fe,0
w界面
P Fe ,0 E Fe ,0
uw 0 , W ; uw 0 , P
u w
Fww
W
max Fw,0
P
max Fw,0
W Fw,0 P Fw,0
9/59
传热与流体流动的数值计算
三、对流项的迎风格式（续）
3、一阶迎风格式截差阶数低，除非采用相当密的网格， 否则计算结果的误差较大。
4、一阶迎风格式的启示：应当在迎风方向取更多的信 息构造格式，更好地反映对流过程的物理本质。
5、在调试程序或计算的中间过程仍可以采用一阶迎风 格式。
11/59
传热与流体流动的数值计算
§5.3 对流-扩散方程的混合格式及乘方格式
一、通量密度及其离散表达式
d dx
u
d dx
d
dx
总通量密度J：单位时间内、单位面积上由扩散
及对流作用而引起的某一物理量的总转移量。
J
u
d
dx
x
P
d
d
x
x
J*
J D
P
d
d
x
x
18/59
传热与流体流动的数值计算
第五章对流扩散方程
• 比混合格式复杂，计算量增加，但准确性 提高
• 稳定性：若用中心差分格式不能体现对流 项的物理本质，常会引起数值解的振荡
• 经济性：若用高阶格式，无数值振荡，但 格式复杂，求解相对困难，机时消耗较多
5.2 一维稳态对流扩散问题
d (u)
dx
d dx
d
dx
5.2.1 模型方程的精确解
d (u)
dx
d dx
d
dx
边界条件：
x 0, 0；x L, L
采用迎风思想：从来流上游方向找依赖区
在界面e上,若 ue 0,则e P ;若 ue 0,则e E ; 在界面w上,若 uw 0,则w W ;若 uw 0,则w P
界面流量
• 引入符号 • 对流：
a1, a2 max(a1, a2 )
(u)e Fee P Fe,0 E Fe,0 , (u)w Fww W Fw,0 P Fw,0
• 控制方程变为： dJ 0; 或 J const dx
J
F
0
0 L
exp(Pe) 1
界面上通量
Jw
Fw
W
W P
exp(Pw )
1Hale Waihona Puke JeFeP
P
exp(
E
Pe )
1
Fe exp( exp(Pe
Pe )
) 1
Fw exp(Pw )
1 P
Fe exp(Pe )
1E
Fw exp(Pw exp(Pw )
) 1
W
合并整理结果
aPP aEE aWW
• 系数
aE
热传导方程(扩散方程)ppt课件
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
u g ( x ,y ,z , t ) , ( x ,y ,z ) , t 0 , ( 1 . 8 )
特别地：g(x,y,z,t)0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
注：
u k n g ( x ,y ,z ,t) , ( x ,y ,z ) , t 0 , ( 1 .9 )
热传导 从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：
试验定 律或牛
d Q k 1 (u u 1 )d S d t, ( 1 .1 1 )
顿定律 其中比例常数 k 1 0 称为热交换系数
流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶定 律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：
u kndSdtk1(uu1)dSdt,
0xl, t0, 0xl,t0,
uo,t1(t), uxl,thul,t2(t), t0, h0.
例如三维热传导方程的第一初边值问题为：
u ta 2(u x xu yyu zz)f(x ,y,z,t), (x ,y,z,t) , t0 ,
u (x ,y,z,t)|t 0(x ,y,z), (x ,y,z,t) , u |(x,y,z) g (x ,y,z,t), t0 .
(uu) f(x, y,z,t)
n
(x, y,z),t 0 (x, y,z)
热传导方程的混合问题
例 设弦的两端固定于x=0 和x=l，弦的初始位移 如下图，初速度为零，求弦满足的定解问题。
解：
2u t2
a2
2u x2
0 x l,
t 0;
0
ux0uxl0;
数值传热第五章课件2陶文铨
主讲陶文铨西安交通大学能源与动力工程学院热流中心CFD-NHT-EHT CENTER2010年10月18日, 西安数值传热学第五章对流扩散方程的离散格式(2)对流项离散格式的重要性及两种离散方式5.5.1假扩散的含义与成因5.5.2一阶截差格式引起严重假扩散举例1.本来的含义2.扩充的含义3.Taylor 展开法的分析5.5关于假扩散的讨论5.5.3网格倾斜交叉引起的计算误差5.5.4 非常数源项引起的假扩散5.5.5 两个名例以一维非稳态纯对流过程为例俩分析，其中有两n nφφ2(,O x φΔΔ其中关于时间的二阶导数项可做如下变化：时才没有这部分的计算误差。
2. 扩充的含义现有文献中常常将较大的计算误差都称为假扩散，大致有以下几项原因：(1) 一阶导数的一阶截差格式；(2) 流动方向与网格线呈倾斜交叉；(3) 离散格式未计及非常数源项的影响。
5.5.2一阶截差格式引起严重假扩散举例1.一维稳态对流扩散问题对流项用FUD，扩散项用CD，当Pe较大时，数值计算结果严重偏离精确解。
Physically plausible solution纯对流传递纯对流传递由离散方程：1n−1此时只有对流，没有扩散！时则有严重假扩散！0.8C =0.8C =当时，产生了严重的扩散作此种误差称为流向假扩散Γ≠Γ气流01. 设UE对P 控制容积，有2. 设控制容积，此时：计算误差纯对流传递三个对流问题的归纳这就是假扩散纯对流传递3)网格倾斜交叉引起的计算误差E冷热流体之间产生了温度均匀化的过程，即交叉5.5.5 已知流场计算温度场232(1),2(1)u y x v x y =−=−−参考解xT严重假扩散2) Leonard细高方腔中的自然对流换热5.6.1采用高阶格式克服流向假扩散5.6可以克服或减轻假扩散的格式与方法5.2.2 克服、减轻交叉假扩散的方法1. 采用二阶迎风2.采用三阶迎风3. 采用QUICK 格式1. 采用有效扩散系数2.采用自适应网格4. 采用SGSD 格式可以克服或减轻假扩散的格式与方法相当于界面上的中心差分)W WWxφ+Δ如型线上凹，则(2) FVM向上游取两点定义界面插值2.采用三阶迎风展开定义－一阶导数的三阶偏差分格式3. 采用定义－界面的插值在中心差分基础上考虑曲中心差分插值率修正？需要满足两个条件：插值的正确修正：相邻(2)0W PE φφφ−+<型线下凹8Cur −对e-界面u e 小于零时，取,,W P φφφu e 大于零时，取怎样相邻的三点?QUICK(2)e φφ=1/2w i φφ−=有：4. 采用CD条件稳定，但没有二阶假扩散；二阶迎风绝对稳定，组合起来，但是：如何确定值，特别是如何由计算结果来5. 高阶格式实施中的问题f u f计算边界：固o2) 代数方程的求解：等时，5.6.2用减小扩散系采用自适应网格（以减轻流5.7 对流-扩散方程离散形式稳定性分析5.7.1 数值计算中常见的三种不稳定性5.7.2 分析对流项格式不稳定性的“符号不变原则”5.7.3 稳定性分析结果讨论5.7.4 对流项格式问题讨论小结2.“符号不变”原则的基本思想3. “符号不变”原则的实施步骤4. “符号不变”原则的实施例子1. 研究背景扩散方程离散形式稳定性分析也会产生振荡的解，称为对流项离散格式的不稳态定性，研究目的是，找出产生振荡的临界Peclet 数。
对流扩散方程及其解法
对流扩散方程及其解法对流扩散方程是物理学中最常见的一类偏微分方程，与流体力学、传热传质学等学科密切相关。
解析求解对流扩散方程可以揭示物理现象的本质，并在实际应用中提供有效的工程计算方法。
一、对流扩散方程对流扩散方程是将扩散项和对流项结合在一起的偏微分方程，一般形式如下：$$\dfrac{\partial u}{\partial t} = D\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} - v\dfrac{\partial u}{\partial x} + f(x,t)$$其中 $u$ 是未知函数，$D$ 是扩散系数，$v$ 是速度场，$f(x,t)$ 是源项。
对流扩散方程描述了时间 $t$ 和空间 $x$ 上的某一物理量 $u$ 随时间的变化规律。
二、对流项与扩散项对流扩散方程中的对流项和扩散项代表不同的物理过程，互相作用形成物理现象。
对流项描述了物质由一点向另一点的移动，通常由质量流或者粒子流的线性变化来表示。
扩散项描述了物质的热或质量分布率随空间位置的二次变化。
对流项和扩散项的比值通常称为对流性能。
三、有限差分方法有限差分法是对流扩散方程的求解方法之一，将空间和时间的连续域离散化成离散点，并通过有限差分逼近偏微分方程的微分项，从而转化成一个代数问题。
常见的有限差分格式有向后差分法、向前差分法、中心差分法等。
假设在 $(x_i,t_n)$ 的数值解已知，设网格步长为 $\Delta x$ 和$\Delta t$，则有：$$u(x_i,t_{n+1}) \approx u(x_i,t_{n}) + \Delta tf(u(x_i,t_n),x_i,t_n)$$其中 $f(u(x_i,t_n),x_i,t_n)$ 是对流扩散方程右端的非线性项。
将$u(x_i,t_n)$ 用它四周的$u(x_{i-1},t_n)$、$u(x_{i+1},t_n)$、$u(x_i,t_{n-1})$ 替代，可以得到向后差分格式：$$u(x_i,t_{n+1}) \approx u(x_i,t_{n}) + D\dfrac{\Delta t}{\Deltax^2}[u(x_{i+1},t_n) - 2u(x_i,t_n) + u(x_{i-1},t_n)]-v\dfrac{\Deltat}{\Delta x}[u(x_{i+1},t_n) - u(x_{i-1},t_n)] + \Delta tf(u(x_i,t_n),x_i,t_n)$$四、求解方法对流扩散方程的解法包括解析解和数值解，主要取决于方程的形式和边界条件的选取。
流体力学 扩散理论PPT课件
P 2 exp( S2 )
n
2N
令a表示分子运动速度，t为分子运动N次经历的时间；
N=at/l，Sl=x1
P 2l exp( x12 )
at 2lat
与
c(x1,t)
M exp(x12 )
4Dmt
4Dmt
比较，Dm=la/2=Nl2/(2t)
P l exp( x12 )
Dmt
4Dmt
2021/3/25
2021/3/25
授课：XXX
22
5
4
y2 (104 m2 )
3
2
1
2
y2 (102 m)
1
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
t(s)
t(s)
曲线验证了单个质点紊动扩散不同阶段的规律。当t>0.7s，线性关系良好。
Y2Y 1 2 .0 Y 0 2 .74 .3 8 2 .5 96 .0 1 4 0 m /s2 t 1 .00 .7 0 .3
D r(s 0 ,t) w i(s 0 ,t)w i(s 0 ,t)t A 1 t
s2 (s 0 ,t) s 0 2 w i(s 0 ,t)w i(s 0 ,t)t2 A 1 t2 d dts2s0 2(w i(s0,t)w i(s0,t))`1 2A 1
2021/3/25
授课：XXX
18
常数A1与s0的大小有关：
202而1/3按/25 t1/2增大，随后又按t-1/2授降课：低XXX
21
例：设在一均匀紊流内，在原点投入许多示踪质粒子，量测
不同时刻粒子的横向位移Y，Y2的统计值Y 2 及通过原点后的
计算传热学第4讲扩散方程的数值解PPT课件
38
Sp,ad( x)2
(30) (31) (32)
边界条件的处理
附加源项法的实质
– 边界节点消去法 – 不仅能用于内节点网格，也能用于外节点网格
实施方法：
– 计算附加源项：Sc,ad，Sp,ad – 把附加源项计入该控制容积中的源项中 – 令与边界节点对应的系数（aW）等于0
39
特别提示
边界条件的处理是传热问题数值计算最重要的环节之一 元体能量平衡法的基础地位 尽可能采用外节点法划分网格 边界节点消去法
从图中可以清楚地看出这一点 即使 (x)2= (x)3
( x)1也不等于 ( x)2 所以要对第一个内部节点给予特别注意。
31
x=0 (x)1
(x)2
qB 1
2
3
边界条件的处理
注意：
(x)2
( x)3
例如，对于直角坐标系，对C点于VW2节（的点节左点2控控，1制）制面重面w合e与！，节即
a P T 2 a W T 1 a E T 3 b 2 与左边( 界重2合0 ！ )
(8)
边界条件的处理
整理后得到，
T1T2(xe)11 eqB1 2(x)1S
特点
二阶精度 不具有一般性 推导繁琐
(15)
26
边界条件的处理
x=0
e
qB 1
e
(x)1
2
3
(x)2
二阶精度的Taylor级数展开法
d dT x x0d dT 2 xd d2T 2x2(x)1O [(x)1 2]
4.1.3 控制方程的离散化
– 将方程（1）两边通乘A（x），并对x从w到e积分：
ddxA(x)ddT xSA (x)0
第五章 对流-扩散方程的离散格式
见下页表格：
5.3.5 5种三点格式系数计算式的汇总 不同格式离散方程的形式相同，但 系数不同。具体见下表5－1：
5.4 对流-扩散方程5种3点格式系 数特性的分析
5.4.1 通量密度及其离散表达式
J J ( / x )
*
由于 所以
d d J u [ P ] dx x d ( x / x)
i i 1 d ， ui 0 dx i x i 1 i x
ui 0
对多维问题，用此方法构造的对流 项的离散格式，只有在求解区域内 流速不发生逆向时，所形成的离散 方程才具有守恒性。
2、控制容积积分法定义
规定界面上的未知量恒取上游节点的值 e界面上： ue 0 , p ； ue 0 , E
把式（2）用于计算界面总通量密度Je, Jw: 对Je： ， , L x
0 P L E e
P E J e Fe [ P ] exp( Pe ) 1
对Jw：
0 W ， L P , L xw
W P J w Fw [W ] exp( Pw ) 1
对于坐标系I，C位于界面之后，而D位 于界面之前，于是： J * B( P )C A( P ) D 对于坐标系II，D位于界面之后，而C 位于界面之前，于是：
J B( P ) D A( P )C
*
由于
J J
*
*'
C [ B( P ) A( P )] D [ A( P ) B( P )]
exp( Pe ) 1
Fe ；
Fw exp( Pw ) aW exp( Pw ) 1
对流扩散方程ppt课件
18
4.6: 隐式格式
为了提高精度，降低稳定性的要求，考虑隐式格式。
Crank nicolson型格式：
u n1 j
u
n j
2
(
u
n j 1
u
n j 1
u n1 j 1
u
n1 j 1
)
a 2h
2h
2
(
u
n j 1
由 于 1 cos h 0,2, 条 件 化 为 ：
2(r 2 ) 2r 2 0和 2(r 2 ) 2r 2 2（r 2 (r 2 )2） 0
9
而 2(r 2) 2r 2 2(r 2 (r 2)2 ) 2(r 2)(1 (r 2)) 0 1 (r 2) 0
2 得到如下差分格式：
6
u n1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j 1
（
a
2）u
n j 1
2u
n j
u
n j 1
2h
2
h2
稳 定 性 分 析 完 全 类 似 于中 心 差 分 格 式 ， 显 然 有
h2
1（a ）2
2h
1 2
7
4.3: 迎风差分格式
在 中心 显 式差 分 格式 的稳 定性 条 件中 ， 当G
un j 1
2u
n j
un j 1
3 对流扩散方程的离散化(讲义)
令
dφ dx ρu dφ J* = φ− Γ d ( xδ ) δ J = ρ uφ − Γ
15 第三章 对流扩散方程的离散化 16
if Fw < 0 φ w = φ P ( ρu ) w φw = ( ρ u ) wφ P else φ w = φW ( ρ u ) w φw = ( ρ u ) w φW
第三章 对流扩散方程的离散化
3.1 一维对流扩散问题
• 指数格式
dφ dJ ⇒ = 0 ⇒ Je − J w = 0 dx dx • 将上面的精确解应用于P点和E点之间，得到指数格式 J = ρ uφ − Γ
第三章 对流扩散方程的离散化 17
aP = aE + aW + Fe − Fw
3
3.1 一维对流扩散问题
• 混合格式 由指数格式可知
6
3.1 一维对流扩散问题
• 采用分段近似
− Pe aE = 1 − Pe / 2 De 0 0 aW = 1 + Pw / 2 Dw Pw Pe<-2 -2<Pe<2 Pe>2 Pw<-2 -2<Pw<2 Pw>2
第三章 对流扩散方程的离散化
用图形表示的精确解为
1 1
0.8
0.8
( φ -φ 0 )/(φ (Px/L)-φ 0 )
0.6
0.6 图例
(φL − φ0 ) exp(
ρ uL ) Γ )
0.4
0.4
0.2
0.2
P=1 P=2 P=4 P=10 P=-10 P=-4 P=-2 p=-1 P=0
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
• 为了获得关于P点的离散化方程，必须将控制面上的控制变量用 节点上的值来表示。算术平均是最直接的
03 第三章 对流与扩散
( ) ( u ) ( v ) ( w ) ( ) ( ) ( )S t x y z x x y y z z
• 离散方程为：
aPP aEE aW W a N N aSS aT T aBB b
六、通用表达式
• 不同化方程
• 一、二维问题的离散化方程 • 二、三维问题的离散化方程
一、二维问题的离散化方程
一、二维问题的离散化方程
• 二维问题的微分方程
( ) ( u ) ( v ) ( ) ( )S t x y x x y y
二、逆风格式
• 逆风格式假定交界面上的 值等于该界面逆风 边节点的 值，故：
w W ( Fw 0)
e P ( Fe 0) e E ( Fe 0)
w P ( Fw 0)
• 所以
Fww W [ Fw ,0] P [ FW ,0] Fee P [ Fe ,0] E [ FE ,0]
Fe aE exp( Fe / De ) 1
aW
Fw exp( Fw / Dw ) exp( Fw / Dw ) 1
aP aE aW ( Fe Fw )
Fe Fw
aP aE aW
• 此时 aP aE aW 都大于0，满足离散化的条件。
四、混合格式
• 混合格式由Spalding提出。
0.1 Fw 5 aW Dw [0, (1 ) ] [0, Fw ] Dw
aP aE aW ( Fe Fw ) aE aW
六、通用表达式
• 引入函数 A( P ) • 方程离散为 aPP aEE aWW • 其中
对流扩散方程的解
对流扩散方程的解
对流扩散方程是一种常用的数学模型，用于描述物质在流体中的运动。
其一般形式为：
∂C/∂t + ∇(vC) = D∇²C
其中，C是所考虑的物质的浓度，t是时间，v是流体的速度，D是物质的扩散系数。
解决对流扩散方程的常用方法有两种：
数值方法：使用计算机模拟流体运动，通过求解方程的差分形式来解决方程。
解析方法：使用数学方法求解方程的解析解。
对于特定的对流扩散方程，可能存在多种解析解，具体的求解方法取决于方程的特征以及所要求解的问题。
常用的解析方法包括：
●牛顿迭代法
●高斯消元法
●光滑积分法
●微扰法
●重心法
●四点法等
最后，请注意，解决对流扩散方程并不是一件简单的任务，通常需要具有较强的数学背景知识和丰富的经验才能做到。
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2、特性分析 网格Pe数：
P
ux
常物性下(1)式可写为：
1 1 (1 P ) E (1 P )W 2 2 P 2
5.2.3 对流项的迎风格式
1、两种离散方式下的迎风格式 ⑴ Taylor展开法 （如下图） 以流动方向而言，P点的一阶导数永远 是该方向上的向后差分，永远从上游 获取构成一阶导数所必须的信息
对于控制容积P，代入对Je、 Jw的表 达式整理得：
exp( Pe ) Fe Fw exp( Pw ) 1 P [ Fe Fw ] E W exp( Pe ) 1 exp( Pw ) 1 exp( Pe ) 1 exp( Pw ) 1
令： 则
aE
w界面上：
uw 0 , W ; uw 0 , P
与中心差分格式的区别：迎风差分界面上的 未知量恒取上游节点的值，而中心差分取的 是上、下游节点的算术平均值。
( u ) e Fee P max( Fe ,0) E max( Fe ,0) P [ Fe ,0 ] E Fe ,0
i i 1 d ， ui 0 dx i x i 1 i x
ui 0
对多维问题，用此方法构造的对流 项的离散格式，只有在求解区域内 流速不发生逆向时，所形成的离散 方程才具有守恒性。
2、控制容积积分法定义
规定界面上的未知量恒取上游节点的值 e界面上： ue 0 Leabharlann p ； ue 0 , E
aW (i 1) a E (i) 1 1 (1 P ) (1 P ) P D D 2 2
迎风差分(FUD)：
aW Dw Fw ,0 Dw Pw ,0 1
aE De Fe ,0 De Pe ,0 1
A(P ) B(P ) P A(P ) P A( P ) P
因此无论P >0 或P <0 ，都有：
A( P ) A( P ) P ,0
对于B(P)：
对同一界面，有：
aW (i 1) a E (i) 1 P ,0 P ,0 P 1 D D
只要知道
aE De
或
aW Dw中的一个，就可算出另一个。
5.3.2 混合格式 (hybrid scheme)
对一维问题而言，对流项与扩散项均 为中心差分的格式在P>2时会引起解的振 荡 。如果把一维模型方程的精确解应用于 两个相邻的节点之间，发现界面上的扩散 作用与P有关。 P绝对值越大，扩散作用 越小，扩散作用相对于对流作用越小。
对于坐标系I，C位于界面之后，而D位 于界面之前，于是： J * B( P )C A( P ) D 对于坐标系II，D位于界面之后，而C 位于界面之前，于是：
J B( P ) D A( P )C
*
由于
J J
*
*'
C [ B( P ) A( P )] D [ A( P ) B( P )]
J d J P ( / x) d ( x / x)
*
如图
界面上的表达式为： J * Bi Ai1
5.4.2 系数A、B间关系的分析
1、和差特性
当 i i 1 时，界面上的扩散通量零，
J Pi Pi 1
*
B A P
2、对称特性
1、对流-扩散总通量密度
定义：总通量密度是指单位时间内、单位
面积上由扩散及对流作用而引起的某一物理 量的总转移量。
d J u dx
对控制方程：
d d d ( u ) ( ) dx dx dx
一维、稳态、无内热源问题的总通量为：
dJ 0 ， J cons tan t dx
把式（2）用于计算界面总通量密度Je, Jw: 对Je： ， , L x
0 P L E e
P E J e Fe [ P ] exp( Pe ) 1
对Jw：
0 W ， L P , L xw
W P J w Fw [W ] exp( Pw ) 1
2、节点值表示的界面总通量密度计算式 将分析解
0 exp( ux / ) 1 exp( Pex / L) 1 L exp( uL) 1 exp( Pe) 1
代入通量密度定义式得：
0 L J F [ 0 ] exp( Pe) 1
5.3 对流-扩散方程的混合格式及 乘方格式
5.3.1 系数aE与aW之间的内在联系
中心差分(CD):
1 1 a E De Fe De (1 Pe ) 2 2
1 1 aW Dw Fw Dw (1 Pw ) 2 2
对同一界面
Pe Pw P
D ， e Dw D 于是有：
要使此式对任何，的组合都成立，只有 ：
B( P ) A(P ) 0 ，即： B( P ) A(P )
A( P ) B(P ) 0 ，即： A( P ) B(P )
如下图：
5.4.3 系数特性的推论
对5种3点格式的任何一种，若在P >0时， A(P)的计算式为已知，则在 P P P 的 范围内，A(P)，B(P)的计算式均可得出。 对于A(P)：当P <0 ，按和差特性和对称 性有：
混合格式综合了中心差分和考虑迎 风作用两方面的因素，定义式为：
0 Pe 2 aE 1 1 1 Pe 2 Pe 2 Pe , 1 Pe , 0 De 2 2 Pe Pe 2
5.3.3 指数格式（exponential scheme）
见下页表格：
5.3.5 5种三点格式系数计算式的汇总 不同格式离散方程的形式相同，但 系数不同。具体见下表5－1：
5.4 对流-扩散方程5种3点格式系 数特性的分析
5.4.1 通量密度及其离散表达式
J J ( / x )
*
由于 所以
d d J u [ P ] dx x d ( x / x)
动量方程的压力梯度项处理涉及到 压力与速度的耦合问题。
5.1.1 对流项离散格式的重要性 对流项离散格式是否合适将会影响： ⑴ 数值解的准确性（假扩散误差） ； ⑵ 数值解的稳定性 ； ⑶ 数值解的经济性 。
5.1.2 构造对流项离散格式的两种方式
1、Taylor展开方式 对于节点上的一阶导数给出其相应的离散 方式，如表5-1。
u w Fww W max( Fw ,0) P max( Fw ,0) W [ Fw ,0 ] W Fw ,0
2、采用迎风格式的模型方程离散形式 用迎风方式离散对流项，二阶导数项 仍采用分段线性，则模型方程的离散 形式可写为：
a P P a E E aW W
aE De Fe ,0
aW Dw Fw ,0
aP aE aW (Fe Fw )
5.2.4 中心差分及一阶迎风格式的讨论
1、在对流项中心差分的数值解不出现振荡的 参数范围内，在相同的网格节点数下，采 用中心差分的计算结果要比采用迎风差分 的结果误差更小；
由上式：
e w
x 1 e w x dx x
如将界面上分段线性的型线代入上式，得
e w x
( E P ) / 2 ( P W ) / 2 E P x 2x linear
3、两种定义方式之间的关系
⑴ 对某种对流项的离散格式，都可以从两种 方法来给出其相应的定义； ⑵ 两种定义方式给出的格式的截断误差的阶 数一般地说是一致的； ⑶ 两种定义方式所逼近的量实际上有一定区 别。Taylor展开法逼近的是在P点的导数值， 而控制容积积分法所逼近的是在该控制容 积内导数的积分平均值。
热流问题的数值计算
Numerical Simulations of Thermal & Fluid Problems
第五章 对流—扩散方程的离散格式
主讲 李炎锋
2008年7月 北京
5.1 对流项离散格式的重要性及两 种离散格式
非线性对流项的处理涉及到对流项 的离散格式（物理过程观点：对流作 用带有强烈的方向性）；
5.2 对流项的中心差分与迎风格式
5.2.1 一维对流-扩散问题模型方程的精确解
一维稳态无内热源的对流-扩散问题的控制方 程：
d d d ( u ) ( ) dx dx dx
若边界条件为：x = 0， 0 ；x＝L， L。
则方程的解为：
0 exp( ux / ) 1 exp( Pex / L) 1 L exp( uL) 1 exp( Pe) 1
例如：对一维均分网格，节点P一阶导数的 中心差分为：
E W i 1 i 1 xP 2x 2x
2、控制容积积分方式
将对流项的一阶导数对控制容积P作积 分，有： e w x dx e w 所谓对流项的离散格式就是如何用相 e w 邻节点上之值来获得 及 的插值方式。
（扩导）则上式可变为： 令 F u ，D x
aP P aE E aW W
aE 1 1 De Fe aW Dw Fw 2 2
式⑴
a p aE aW
在数值计算中，若连续性方程始终得到满 足，aP仍为相邻各系数的和。aE, aW包括了 扩散与对流作用的影响。
其中Peclet数 Pe
uL
。
Pe数表示对流与扩散作用的相对大小.当Pe的 绝对值很大时，导热或扩散作用就忽略.
5.2.2 对流项的中心差分