第六章__对流换热基本方程

6 -3 能量方程
6-3-4 界面上作用力对流体作的功 作用力由表面力(粘性力和静压力)和体积力组成。x方向的净功为
（ xx u） （ yx u） （ zx u） （pu） Fx u dxdydz x y z x 类似地，y、z方向作用力的净功为
( ue) dxdydz x
( ue) ( ve) ( we) dQconv dxdydz y z x
6 -3 能量方程
6 -3 -2 通过导热在界面导的净能． x方向净导能量为
qx dydz 与
( qx
qx dx)dydz 之差，即 x
定义上式等号右边方括号内各项为ηφ，则方程简化为
dW

D D
u v w 1 2 2 2 ( u v w ) dxdydz dxdydz p ( )dxdydz 2 x y z
(6-3-9)
6 -3 能量方程
即，体积力和表面力所作的功等于流体动能的变化、体积变形时
( u) ( v) ( xy ) uy vx u x y v y x x y

(6-1-2)
6-1 质量守恒与连续性方程
通过消去控制体体积ΔxΔy，得到
( u ) ( v) 0 x y
6-3-3 控制体内总能t 随时间的变化率 控制体内总能量随时间的变化率为 能量守恒方程
dE
( e) dxdydz
( ue) ( ve) ( we) T T T dxdydz ( ) ( ) ( ) dxdydz dW y z y y z z x x x ( e) dxdydz
div( V )
( u ) ( v） ( w) x y z
(6-1-6)
6-1 质量守恒与连续性方程
局部的质量守恒表达式也可以写为 即
u v w u v w ( ) 0 x y z x y z
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(6-2-9)

v v v v P 2v 2v 2v ( u v w ) ( 2 2 2 ) Fy x y z y x y z
(
w w w w P w w w u v w ) ( 2 2 2 ) Fz x y z z x y z
u u u P 2u 2u ( u v ) ( 2 2 ) Fx x y x x y
(6-2-8)
下面给出了直角坐标系下的三维、常物性、不可压缩流体的纳维
-斯托克斯(N-S)方程：

u u u u P 2u 2u 2u ( u v w ) ( 2 2 2 ) Fx x y z x x y z
6 -3 能量方程
dW 减去x、y 和z方向的动量方程分别乘以u、v、w和dxdydz 的积，
可以得到
dW D 1 2 2 2 ( u v w ) dxdydz D 2
u u u v v v w w w ( ) ( ) ( ) dxdydz yx zx xy yy zy xz yz zz xx x y z x y z x y z u v w p( )dxdydz x y z (6-3-8)
6 -3 能量方程
dQ dQ dW dE conv cond
6 -3 能量方程
图6-3 控制体能量平衡
6 -3 能量方程
6-3 -1 热对流携的净能量 单位质量流体的总能量e 由热力学能与宏观动能组成，称为总能：

1 e U （u2 +v2 +w 2） 2
uedydz+
(6-2-1)
式中，n表示所讨论的方向。 有关动量方程的推导，只扼要讨论其二维情况。 图6-2给出了二维有限控制体的动量变化和作用力分析，将式(6-2-
1)应用于x方向，得到

( uxy ) u 2 y u 2 ( u 2 )x y uvx uv ( uv)y x x y xy x x y ( x x)y xy x ( xy y ) Fx xy 0 x y
压力作的功和耗散ηφ之和。整理可得 DU T T T u v w ( ) ( ) ( ) p( ) D x x y y z z x y z (6-3-10) ηφ称为能量耗散函数．它是单位时间作用在控制体上的(法向和切 向)粘性力由于摩擦而作的功转变为热能的部分，可以表示
将动量守恒定律应用于运动的流体(控制体)中，可以得到动量方
程。控制体上的外作用力分为表面力(与表面积成正比，如压力和 粘性应力等)和体积力(与体积成正比，如重力和离心力等)。 考虑作用于控制体上的力平衡，有

( Mvn )cv (qm vn ) (qm vn ) in out
qx dxdydz x

由傅里叶定律
q x
T x
6 -3 能量方程
因而x方向净导的能量可写为：
T ( )dxdydz x x

类似的，y、z方向的净导的能量为：

T ( )dxdydz y y
和
T ( )dxdydz z z
6 -3 能量方程
(6-3-13)
焓是热力学状态函数，可以写为h = h( T , p )。则
dh (

h h h ) p dT ( )T dp c p dT ( )T dp T p p
(6-3-2)
( ue) dxdydz 之 x
x 方向流体携入控制体的净能量为ρuedydz与
差，即

类似地可以得到y 、z方向流体净携入的能量为 ( ve) ( we) dxdydz dxdydz 和 y z 因而，单位时间内流体通过界面净携入控制体的能量为dE或
（ xy v） （ yy v） （ zy w） （pv） F v y dxdydz x y z y
（ xz w） （ yz w） （ zy w） （pw） F w z dxdydz x y z z 三项之和为总功dW。
2 2 2
(6-2-10)
6-2 动量方程
为简洁，可以表示为向量形式： DV F P 2V D
(6-2-12)
由热力学知
f ( P, T )
d ( )T dP ( ) P dT P T
(6-2-13)
( ) 一般 ( )T ， P不为零，但dP、dT较小时可以认为dρ0, ρ=常数。 P T
dW 将在后面详细讨论。引入连续性方程，上式整理为
(6-3-5)
De T T T dxdydz ( ) ( ) ( ) dxdydz dW D y y z z x x (6-3-6) 也可以将总能量分为热力学能和动能．即 1 2 2 2 e U （u +v +w ） (6-3-7) 2
D 其中 为全导数，即 D D u v w (6-1-8) D x y z 为当地变化率。· V即速度矢量V的散度divV，因而方程形式变
为
D V 0 D
(6-1-7)
6-1 质量守恒与连续性方程

D divV 0 D
(6-1-3)
对于三维流动，类似地可以得到
( u ) ( v) ( w) 0 x y z
(6-1-4)
这就是流体的连续性方程，用矢量形式表示，则为
div( V ) 0 式中div表示散度，即

(6-1-5)
u v ) y x
(6-2-6)
6-2 动量方程
将应力关系式代式(6-2-5)、(6-2-6)，即得到x方向的纳维-斯托克
斯方程：

如果流体是常物性和不可压缩的，则上式简化为
Du P u 2 u v u v 2 ( ) ( ) Fx (6-2-7) D x x x 3 x y y y x
第六章 对流换热基本方程
第六章 对流换热基本方程
6-1 质量守恒与连续性方程
如果研究对象取控制体，则有
mcv qm qm t in out
(6-1-1)
假设流场是二维的，如图6-1所示。控制体为ΔxΔy，点(x，y)处的
速度为u和v，控制体内的质量为ρΔxΔy。方程(6-1-1)应用于该控制 体中，得到

(6-2-2)
6-2 动量方程
图6-2 二维控制体在x方向上的力平衡
6-2 动量方程
等式两边同除以，得到
D x xy Du u v u ( ) Fx D x y x y D 考虑前面得到的连续性方程(6-1-4)，有
(6-3-11) 对于不可压缩流体，divV = 0 ，有关项可以略去。低速流动时，
耗散项很小，可以不计。能量方程也可以通过焓的形式变换，得 到温度形式的能量方程。热力学定义焓为
h U p


(6-3-12)
6 -3 能量方程

Dh DU 1 Dp p D 2 D D D D
（ 2
u 2 v 2 w 2 u v 2 u w 2 v w 2 2 u v w 2 ） （ 2 ） （ 2 ） ( ) ( ) ( ) ( ) x y z y x z x z y 3 x y z

(6-2-3)
式(6-2-4)中的法向应力 y 和切向应力 xy 由下式给出：

x xy Du Fx D x y
(6-2-4)
x P 2
u 2 u v ( ) x 3 x y
(6-2-5)

xy (
( vi ) 0 x
(6-1-9)
也可以用张量形式写出连续性方程，即

(6-1-10)
其中i＝1，2，3。
D 对于不可压流体，密度ρ为常量， ＝0，则连续性方程为 D

divV
u v w 0 x y z
(6-1-11)
6-2 动量方程