高三三角函数复习

高三三角函数复习 课前热身1、已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数2．函数sin ()sin 2sin2x f x x x =+是（ ）A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数 3.=∙+xx xx 2cos cos 2cos 12sin 22( )A.tanxB.tan2xC.1D.214．将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=-5．已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于 （ ）（A ）17（B ）7 （C ）17- （D ）7-基础知识要点1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Zk k ∈+⨯=,360|αββ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180|ββ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ⑥终边在xy-=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180|ββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360SIN \C O S 三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.4. 三角函数的公式：（一）基本关系公式组二 公式组三xx k x x k x x k x x k c o t )2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (=+=+=+=+ππππxx x x x x x x c o t )c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=-=--=-公式组四 公式组五 公式组六xx x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ xx x x x x xx cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ xx x x x x xx cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααc o s s i n22s i n = βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s2c o s -=-=-= 公式组一sin x ·csc x =1tan x =xx cos sin sin 2x +cos 2x =1cosx ·sec x x=xx sin cos 1+tan2x =sec2x tan x ·cot x =1 1+cot 2x =csc 2x=1βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2t a n 1t a n 22t a n -=βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-2c o s 12s i nαα-±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+2c o s 12c o sαα+±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反；x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相反.一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）. ②xy sin =与xycos =的周期是π.③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期ωπ2=T .αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)c o s (ϕω+=x y的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,21ππ+k ）；)tan(ϕω+=x y的对称中心（0,2πk ）.x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当αtan ·,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα；αtan ·,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα.⑥xycos =与⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(ϕω+=x y 是偶函数，则 )cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的].解 ∵sin α＜0∴角α在第三或第四象限(不可能在y 轴的负半轴上)(2)若α在第四象限，则说明 在解决此类问题时，要注意：(1)尽可能地确定α所在的象限，以便确定三角函数值的符号． (2)尽可能地避免使用平方关系(在一般情况下只要使用一次)． (3)必要时进行讨论．三角恒等式的证明分析1 从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，以减少函数的种类．分析2 由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)2，进而可以约分，达到化简的目的．说明(1)当题目中涉及多种名称的函数时，常常将切、割化为弦(如解法1)，或将弦化为切(如解法2)以减少函数的种类．例3 函数f(x)=Asin(ωx+ )的图象如图2-15，试依图指出(1)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的x的取值集合；(3)使f(x)＜0的x的取值集合；(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求使f(x)取最小值的x的集合；(6)图象的对称轴方程； (7)图象的对称中心．例4：已知函数2()2sin cos 1f x x x x =-++ ⑪求()f x 的最小正周期及对称中心； ⑫若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.【解析】⑪()2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+∴()f x 的最小正周期为22T ππ==，令sin(2)06x π+=，则()212k x k Z ππ=-∈，∴()f x 的对称中心为(,0),()212k k Z ππ-∈；⑫∵[,]63x ππ∈- ∴52666x πππ-≤+≤∴1sin(2)126x π-≤+≤ ∴1()2f x -≤≤∴当6x π=-时，()f x 的最小值为1-；当6x π=时，()f x 的最大值为2例5．设函数()3sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，0ω＞，(),x ∈-∞+∞， 且以2π为最小正周期．（1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）已知94125f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin α的值．例6．已知函数21()cossincos2222x x x f x =--.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域;(Ⅱ)若()10f α=,求sin 2α的值.课堂练习：1、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，322.2(tan cot )cos ______+=x x x A.tan x B.sinxC.cos xD.cotx3．要得到函数cos(21)y x =+的图象,只要将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位3 ．已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则sin 2α=（ ）A ．-1B ．2- C ．2D ．14、记cos(80)k -︒=,那么tan 100︒=A.kB. -kC.5．函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期=T ．6．设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．7．已知51cos sin ,02=+<<-x x x π.（Ⅰ）求x x cos sin -的值；（Ⅱ）求xxx tan 1sin22sin 2-+的值.8．已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(其中0ω>x ∈R )的最小正周期为10π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,56535f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,5165617f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()cos αβ+的值.课后作业：1.已知△ABC 中，5tan 12A =-，则cos A =（ ）(A)1213(B) 513(C) 513- (D) 1213-2．已知α为第二象限角,3sin 5α=,则sin 2α=（ ）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24253．当函数sin (02)y x x x π=-≤<取最大值时,x =____.4．已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递减区间.5．函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π,(1)求函数()f x 的解析式; (2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值.。