2017高考一轮复习教(学)案_选修4_4极坐标与全参数方程

选修4－4 坐标系与参数方程1．坐标系与极坐标(1)理解坐标系的作用．(2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化．(3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示图形时选择坐标系的意义．2．参数方程(1)了解参数方程，了解参数的意义．(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．(3)掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．知识点一极坐标系1．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面取一个定点O，点O叫作极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M是平面一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．2．极坐标与直角坐标的互化设M是平面任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.易误提醒1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标．[自测练习]1．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y .知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.代入y ＝sin x 中得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′2．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，－π33．(2015·高考卷)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________．解析：点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3的直角坐标为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0，所以点(1，3)到直线的距离d ＝|1＋3×3－6|1＋3＝1.答案：1知识点二 参数方程 参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t ，并且对于t的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t叫作这条曲线的参数方程，变数t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．易误提醒1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值围保持一致，否则不等价． 2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义，且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.[自测练习] 4．在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t ，(t 为参数)的普通方程为________．解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝05．在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________．解析：椭圆的普通方程为x 24＋y 23＝1，则右焦点的坐标为(1,0)．直线的普通方程为x －2y ＋2＝0，过点(1,0)与直线x －2y ＋2＝0平行的直线方程为x －2y －1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x －2y －1＝0，得4x 2－2x －11＝0，所以所求的弦长为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122× ⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－114＝154. 答案：154考点一 曲线的极坐标方程|1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.2．(2016·模拟)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2.所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.直角坐标化为极坐标的关注点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．考点二 曲线的参数方程|1．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，(t 为参数)曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ.(θ为参数)(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)的距离的最小值．解：(1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． (2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ.曲线C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|，从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855. 2．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t ，(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ.(θ为参数)直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．考点三 极坐标方程、参数方程的综合应用|(2015·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．[解] (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2016·模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值围．解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴C ：x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16sin α＋cos α2－16>0，t 1＋t 2＝－4sin α＋cos α，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0.∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2| ＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴22<sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，故|PM |＋|PN |的取值围是(4,4 2 ].33.直线参数方程中参数t 几何意义的应用【典例】 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θy ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． [思维点拨] (1)根据条件写出l 的参数方程及化曲线C 为标准方程． (2)利用t 的几何意义求解|PA |·|PB |的值． [解] (1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16， 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t y ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0， 设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3， 所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.[方法点评] 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)该参数t 经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A ，B 两点，所求问题与定点到A ，B 两点的距离有关．解题时主要应用定点在直线AB 上，利用参数t 的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解．[跟踪练习] (2016·模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，倾斜角α＝π6.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |的值．解：(1)直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t ，(t 为参数)．由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4得：ρ＝2cos θ＋2sin θ，∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ，故圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t (t 为参数)代入(x －1)2＋(y －1)2＝2得t 2－32t －74＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝－74， ∴|PA |＋|PB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝312.A 组 考点能力演练1．(1)化圆的直角坐标方程x 2＋y 2＝r 2(r >0)为极坐标方程； (2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ为直角坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝r 2，得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＝r 2，ρ2(cos 2 θ＋sin 2 θ)＝r 2，ρ＝r .所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r (0≤θ<2π)．(2)法一：把ρ＝x 2＋y 2，sin θ＝yρ代入ρ＝8sin θ， 得x 2＋y 2＝8·y x 2＋y2，即x 2＋y 2－8y ＝0.法二：方程两边同时乘以ρ，得ρ2＝8ρsin θ，即x 2＋y 2－8y ＝0.2．(2016·模拟)已知直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：∵ρ＝2k cos θ－2k sin θ， ∴ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －22k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋22k 2＝k 2， ∴圆心的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22k ，－22k .∵ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |，两边平方，得|k |＝2k ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22. 3．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值及此时P 点的直角坐标．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin (θ＋60°)， 当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2， ∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 4．(2016·模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 的半径为4.(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程． (2)试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π3，y ＝－5＋t sin π3，(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t ，(t 为参数)．由题知C 点的直角坐标为(0,4)，圆C 的半径为4，∴圆C 方程为x 2＋(y －4)2＝16，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入得，圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ.(2)由题意得，直线l 的普通方程为3x －y －5－3＝0，圆心C 到l 的距离为d ＝|－4－5－3|2＝9＋32>4，∴直线l 与圆C 相离．5．倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ，(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值围． 解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α，(t为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32， 整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1289，64. B 组 高考题型专练1．(2015·高考卷改编)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．解：由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1，故直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，而点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4对应的直角坐标为A (2，－2)，所以点A (2，－2)到直线l ：x －y ＋1＝0的距离为|2＋2＋1|2＝522.2．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0， 解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.3．(2015·高考卷)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t ，(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． 解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.② (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t ，代入②，得t 2＋53t ＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.4．(2015·高考卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t ，(t为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sinθ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0)．。