4克拉默法则

一般项是不同行不同列元素乘积的代数和.
● D = DT
●互换行列式的两行(列)，行列式变号。 性 质
●某行有公因子可以提到行列式的外面。 ●若行列式中某一行(列)的所有元素均为两元素之和，则 该行列式可拆成两个行列式. ●某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不变。
展 开
D ●行展开 ∑aik Ajk = k =1 0 n D ●列展开 ∑aki Akj = k =1 0
2 8 −5 1 1 9 0 −6 9 −3 0 −6 = −108 D1 = = 81 D2 = 0 − 5 −1 2 − 5 2 −1 2 1 0 −7 6 0 4 −7 6
8 1 −5 1 2 1 8 1 2 1 −5 8
1 −3 9 −6 1 −3 0 9 D3 = = −27 D4 = = 27 0 2 −5 2 0 2 −1 − 5 1 4 0 6 1 4 −7 0
x1 = 3 x = −4 于是得原方程组的解为 2 x3 = −1 x4 = 1
定理2.如果线性方程组（1）的系数行列式D不等于0, 则(1)有唯一的解.
定理3. 如果线性方程组(1)无解或有多个解，则 它的系数行列式必为0.
二.齐次线性方程组的克拉默法则
设齐次线性方程组
§4.克拉默法则 克拉默法则
一.非齐次线性方程组的克拉默法则 设非齐次线性方程组
a11x1 + a12 x2 +L+ a1n xn = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 L L L L L L L L L an1x1 + an2 x2 +L+ ann xn = bn
2
λ 1 1 2 λ 1 = (λ − 1) 2 λ λ 1 1 λ λ = (λ + 1)2 (λ − 1)2 2 1 λ
2 D1 (λ −1) (λ +1) λ +1 x1 = =− =− 2 D (λ −1) (λ + 2) λ+2
(λ −1) 1 D2 = x2 = = 2 (λ −1) (λ + 2) λ+2 D
问λ 为何值时，该方程组有唯一解，并求其解。 λ 解：方程组的系数行列式为
λ
1 1 1 =（λ +2） λ −1)2 (
D= 1
1
λ
1
λ
显然当λ ≠－2，λ ≠ 1时，方程组有唯一解。
1 D1 = λ
1
λ
1
1 1 = −(λ − 1)2 (λ + 1)
λ λ D2 = 1 1 λ D3 = 1 1
n
i= j i≠ j i= j i≠ j
●定义法 ●递推法 ●加边法 ●数学归纳法
计 算
●公式法 ●拆项法 ●乘积法 ●析因子法 ●克拉默法则
应 用
●齐次线性方程组有非零解的充要条件
作业
35页 8、9、10。
做n+1阶行列式
bi b 1 L Dn+1 = bi L bn
ai1 a11 L ai1 L an1
L L L L L L
aij a1 j L aij L anj
L L L L L L
ain a1n L ain L ann
显然 Dn+1 = 0 把 Dn+1 按第一行展开.需要求出第一行 . 每个元素的代数余子式.第一行元素 aij 的代数余子式为:
2 D= 0 1 1 2 4 −5 0 −1 −7 1 −6 2 6 = 0 0 0 7 2 7 − 5 13 0 −6 2 −1 1 −3 1 −3
7 − 5 13
= − 2 −1 2 7 − 7 12 − 7 12
−3 −5 3 = − 0 −1 0 −7 −7 −2
−3 3 = = 27. −7 −2
(1)
若(1)的系数行列式
D=
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n L L L L an1 an2 L ann
≠0
(2)
则线性方程组(1)有唯一解
xj =
Dj D
, j = 1 2,L, n ,
(3)
证明： 先证 x j = 要证 x j =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Dj D
, j = 1 2,L, n 是（1）的解， ,
a21 D= M an1
则(4)没有非零解.
a22 M an2
L a2n ≠0 M L ann
定理3.如果齐次线性方程组(4) 的系数行列式D不等于0,则齐次线性 方程组(4)没有非零解.
.
定理 3 .如果齐次线性方程组(4) ′
有非零解,则它的系数行列式必为0。
λx1 + x2 = 0 例2. 问 λ 在什么条件下,方程组 x1 + λx2 = 0
a11x1 + a12 x2 +L+ a1n xn = 0 a x + a x +L+ a x = 0 21 1 22 2 2n n L L L L L L L L an1x1 + an2 x2 +L+ ann xn = 0
(4)
若(4)的系数行列式 a11 a12
L
a1n
(5)
再证唯一性.假设
x j = c j , j = 1,2,L, n
也是(1)的解.在(2)两端同时乘以 c j
a11 L a1 j c j L a1n cj D = M M M an1 L anjc j L ann
a11 L (a11c1 +L+ a1 j c j +L+ a1ncn ) L a1n = M M M an1 L (an1c1 +L+ anjc j +L+ anncn ) L ann
= (−1) j+2 (−1) j−1 Dj = −Dj
所以 即
j =1,2,L, n.
Dn+1 = bi D − ai1D1 − ai 2 D2 −L− ainDn = 0
Dn D D2 1 + ai 2 +L+ ain = bi ai1 i = 1,2,L, n D D D Dj 这说明x j = , j = 1,2,Ln是(1)的解 D
b1 a11 L a1, j−1 a1, j+1 L a1n Aij = (−1)1+ j+1 M M M M M bn an1 L an, j−1 an, j+1 L ann
a11 L a1, j−1 b1 a1, j+1 L a1n M M M M = (−1) j+2 (−1) j−1 M an1 L an, j−1 bn an, j+1 L ann
a11 L b1 L a1n = M M M = Dj an1 L bn L ann
由于 D ≠ 0 , 所以
cj =
Dj D
j = 1 2,L, n. ,
故线性方程组(1)有唯一解(3).
例1.解方程组 2x1 + x2 − 5x3 + x4 = 8 x − 3x − 6x4 = 9 1 2 2x2 − x3 + 2x4 = −5 x1 + 4x2 − 7x3 + 6x4 = 0 解:
有非零解？
解：由定理 3知，若方程组 ′ 有非零解，则其系数行列式必为零。
D=
λ
1
1
λ1 = 1 λ2 = −1 ,
所以，当λ = −1或 λ 零解。
λ
= 0 ⇒ λ2 −1 = 0
= 1时，上面方程组有非
例3 设非齐次线性方程组
λ x1 + x 2 + x 3 = 1 x1 + λ x 2 + x 3 = λ x + x + λx = λ2 2 3 1
2
D3 (λ −1) (λ +1) ( λ + 1) = x3 = = 2 D (λ −1) (λ + 2) λ+2
2 2
2
行列式主要知识点网络图
排 列 概 念 行 列 式 行 列 式 知 识 点 逆序，奇排列，偶排列
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n D= = ∑(−1)t a1p1 a2 p2 Lanpn M M M an1 an2 L ann
Dj D
, j = 1,2,L, n 是（1）的解，只须证
明（3）满足（1）即可，为此把（1）改写成：
ai1x1 + ai 2 x2 +L+ ain xn = bi , i = 1,2,L, n.
即证明：
Dn D D2 1 ai1 + ai 2 +L+ ain = bi , i = 1,2,L, n. D D D 等式成立