5 非线性分类器
模式识别课件 第五章p4
第五章非线性分类器Ø支持向量机5.5 支持向量机ØVapnik等人在多年研究统计学习理论基础上对线性分类器提出了另一种设计最佳准则。
其原理也从线性可分说起，然后扩展到线性不可分的情况。
甚至扩展到使用非线性函数中去，这种分类器被称为支持向量机(Support Vector Machine，简称SVM)。
Ø支持向量机在设计时，需要用到条件极值问题的求解，因此需用拉格朗日乘子理论，但对多数人来说，以前学到的或常用的是约束条件为等式表示的方式，但在此要用到以不等式作为必须满足的条件，此时只要了解拉格朗日理论的有关结论就行。
5.5 支持向量机线性可分条件下的支持向量机最优分界面ØSVM的思想：由于两类别训练样本线性可分，因此在两个类别的样本集之间存在一个间隔。
对一个二维空间的问题用下图表示。
线性可分条件下的支持向量机最优分界面Ø其中H是将两类分开的分界面，而H1与H2与H平行，H是其平分面，H1上的样本是第一类样本到H最近距离的点，H2的点则是第二类样本距H的最近点。
5.5 支持向量机HH1H2线性可分条件下的支持向量机最优分界面Ø由于这两种样本点很特殊，处在间隔的边缘上，因此再附加一个圈表示。
这些点称为支持向量，它们决定了这个间隔。
HH 1H 25.5 支持向量机线性可分条件下的支持向量机最优分界面Ø从图上可以看出能把两类分开的分界面并不止H这一个，如果略改变H的方向，则根据H1、H2与H平行这一条件，H1、H2的方向也随之改变，这样一来，H1与H2之间的间隔(两条平行线的垂直距离)会发生改变。
Ø显然使H1与H2之间间隔最大的分界面H是最合理的选择，因此最大间隔准则就是支持向量机的最佳准则。
5.5 支持向量机5.5 支持向量机最佳线性分割线？高维空间？5.5 支持向量机寻找各自点所在的凸集中的最近点dc5.5 支持向量机最佳分割面dc5.5 支持向量机最优线性分离：最大化间隔最优分类超平面：它能够将训练样本没有错误的分开，并且两类训练样本中离超平面最近的样本与超平面之间的距离最大间隔（M a r g i n）：两类样本中离分类面最近的样本到分类面的距离间隔为了将这个准则具体化，需要用数学式子表达。
模式识别(5)
分段线性分类器的检验决策规则
例：图中所示样本利用局部训练法产生了H1与H2两个 超平面，将整个特征空间划分成R1、R2与R3三个决策 域。
模式识别
第五章非线性判别函数
§5.1 引言
线性判别函数：简单、实用，但样本集线性 不可分时错误率可能较大
问题线性不可分：
噪声影响 问题本身
采用非线性分类器 改变特征，使线性可分
新特征 非线性变换
§5.1 引言
由于样本在特征空间分布的 复杂性，许多情况下采用线 性判别函数不能取得满意的 分类效果。－非线性判别函 数 例如右图所示两类物体在二
§5.2基于距离的分段线性判别函数
❖例：未知x,如图：
❖先与ω1类各子类的均值比较，即 x m1l ，找一
个最近的 g1(x) x m12 与ω2各子类均值比较取
最近的 g2 (x) x m23 因g2(x)< g1(x) ，所以
x∈ω2类 。
m11
11
1 m12 2
22
m22 x
2 m12 1
具体做法往往是利用处于最紧贴边界的紧互对原型 对产生一初始分界面，然后利用交遇区进行调整， 这种调整属于局部性的调整。
局部训练法
具体步骤：
步骤一： 产生初始决策面
首先由紧互对原型对集合中最近的一对， 产生一个初
始决策面的方程。例如可由这两个原型的垂直平分平面作
为初始分界面，表示成H1； 步骤二： 初始决策面最佳化
这种方法要解决的几个问题是：
模式识别6-非线性分类器-第一讲
x1 0 0 1 1
x2 0 1 0 1
AND 0 0 0 1
Class B B B A
x1 0 0 1
x2 0 1 0
OR 0 1 1
Class B A A
1
1
1
A
5
Introduction
The XOR problem
x1 0 x2 0 OR 0 Class B
0
1 1
1
0 1
1
1 1
A
A A
Expand in terms of the number of layers Adopted principle: decomposition of the problem into smaller Expand in terms of the number of their nodes(neurons)---- use one problems that are easier to handle or two hidden layers For each smaller problem, single node is employed. Allow conncetions betweenaodes of nonsuccessive layers Allow conncections between nodes of the same layer Their parameters are determined • iteratively using appropriate learning algorihms, such as the pocket algorihms or the LMS algorithm • Directly via analytical computations
第四章+线性和非线性分类器
线性判别函数的概念
线性分类器的设计：梯度法、感知器
法、MSE准则、Fisher准则
非线性分类器的设计
引言：
本章讲述另一种重要的分类器设计方法：判别函数法。 包括线性判别函数法和非线性判别函数法；
它不需要关于样本的统计分布的资料，而是利用样本 集直接设计分类器；
由于决策域的分界面是数学表达式，如线性或非线性 函数，所以它的主要思想是：确定分界面函数的类型即 判别函数类，再根据样本集确定函数的未知参数，从而 完成分类器的设计；
采用线性判别函数所产生的错误率或风险虽然比Bayes 分类器要大，但是线性判别简单、易实现、且需要的计 算量和存储量小，所以线性判别函数是统计模式识别的 基本方法之一，也是实际中最常用的方法之一。
其中， W
(w1, w2 ,...., wd )T 称为加权向量。
T 称为增广模式。 X ( x1, x2 ,...., xd ,1)，
另外一种表示方法： 令：
T W (w1, w2 ,...., wd , wd 1 )，称为增广加权向量。
则有：
g ( x) W T X
线性判别函数的性质
1、两类情况：
0, 训练时： d ( X ) W T X 0, （X个数多） 0, 识别时： 若d ( X ) W T X 0, 若X 1 若X 2
则X 1 则X 2
） （= 0是不可判别情况，可以 X 1或X 2或拒绝 2、多类情况： 1 、 2 、 …… 、 M ，有三种划分方式： 模式可为M类，
x2
x1
x1
2. 判决函数 d ( X ) 的系数。用所给的模式样本确定。
模式识别——非线性分类器
1st phase x1 0 x2 0 y1 0(-) y2 0(-)
2nd phase B(0)
x y [ y1, y2 ]T
0
1 1
1
0 1
1(+)
1(+) 1(+)
0(-)
0(-) 1(+)
A(1)
A(1)
3 B(0)
决策在变换后的数据 y 域进行: 可以再划一条线，将两类分开， 该线用一个感知器实现。 阶段1实现了一个映射，将线性 不可分问题转化为线性可分问题。 神经网络的结构如下图所示。
• 阶段1 划两条线（超平面）
g1 ( x ) g 2 ( x ) 0
每条线由一个感知器实现 0 gi ( x ) 0 yi f ( gi ( x )) i 1, 2 1 gi ( x ) 0
• 阶段2 根据 y1, y2 的值确定 x 相 对两条线的位置
等价地: 阶段1 实现如下影射
误差反向传播算法
迭代计算连接权值的算法程序，使代价函数最小化
5
优化过程需要计算导数，不连续的激活函数存在问题 1 x 0 f ( x) 0 x 0 可以采用下面的连续函数近似，也可以采用其他函数
1 f ( x) 1 exp(ax)
函数中的 a 决定了函 数的近似程度。
有两种训练方法 批量训练方法：所有 样本一起计算误差， 统一调节权值 单样本训练方法：每 个样本误差调节一次 权值
6
7
主要问题: 算法可能收敛到局部极小值
8
过拟合问题网络把噪声的信息也学来了，推广能力差
9
广义线性判别函数
回忆异或问题，映射
f ( g1 ( x )) x y f ( g2 ( x ))
非线性分类器及神经网络
三个神经元决策线的方程
1 0 2 3 g 2 ( x ) x1 x 2 0 2 1 g3 ( y ) y1 y 2 0 2 y g1 ( x ) x1 x 2
2
2. 两层感知器分类能力 ⑴隐层神经元： • d 维, 隐层有p个神经元，其作用是将输入X空 间映射到p维Y空间中单位边长的超立方体顶点 yi上，即输入空间到超立方体顶点的映射是通 过创建p个(gi=0)超平面实现的。 p维空间： {[ y1 ,, y p ]T R p , yi [0,1], 1 i p}
• 隐层作用，也可说是产生超平 面Hp的交集，即将输入拆分为 由超平面交集构成的多面体。 每个超平面由隐层中的一个神 经元实现，神经元输出为0或1。
d
• 设d=2， p=3。根据输入x与三个平面g1,2,3(x)=0 的相对位置，由平面交集定义的每个区域对应 的三维立方体的一个顶点。如100顶点对应的 区域为g1的(+)侧, g2的(-)侧, g3的(-)侧。 • 即将输入拆分为由超平面交集构成的多面体。 每个区域中所有向量映射到立方体(y1 y2 y3)的顶 点, yi∈0或1。 w1∈[011,001, 000]； y w2∈[111,010,110,100]。
• 三层网络可以实现任何复杂类型的映射。可以 证明，由于在分类空间中超立方体的凸性，对 于无论多么复杂的分类问题，一般来说用两个 隐层已足够。 • 图a单层感知器只能一个线性判别；图b两层感 知器中每个隐层神经元都有线性判别能力，就 可建立复杂的凸区域；图c三层感知器的前二 层已得到了超体立方，在第三层再次建立超平 面划分区域。 • 多层感知器简称 MLP。 Multi-Layer-Perceptron
二、二次判别函数 • 决策面较复杂，是二次曲面，包括超球面、超 椭球面、超双曲面等。其判别函数
PR 第五章 非线性分类
神经元的计算特性（传递函数）
网络的结构（连接形式）
学习规则
h
8
三要素的不同形成了各种各样的神经网模型
基本可分为三大类：
前馈网络
以MLP为代表
反馈网络
以Hopfield网为代表
自组织网络（竞争学习网络） 以SOM为代表
基本的神经元模型 McCulloch-Pitts Model
样k i本到类均值的Mahalanobis距离的平方与
阈值的比较
h
5
两类的决策面方程：
g1(x)g2(x)
决策规则：
0 g1(x)g2(x)0
x1 x2
h
6
5.4 多层感知器神经网络
5.4.1 神经元与感知器 神经元（neuron）：细胞体（cell）、树突
（dentrite）、轴突（axon）、突触（synapses） 神经元的作用：加工、传递信息（电脉冲信号） 神经系统：神经网：大量神经元的复杂连接
三层网（两个隐层）可实现任意形状（连续或不 连续）区域划分。
问题：如何找到这样的网络结构？权值如何 确定？
反向传播算法----BP算法（Back Propagation Algorithm）
h
13
BP算法：LeCun, 1986; Rumelhart, Hinton & Williams, 1986; Parker, 1985
过学习（over-fitting）与欠学习（under-fitting） 问题
样本数与网络结构问题
隐层节点数目：
根据具体问题进行试探选择：例 隐结点数目小于输入 维数
据对问题的先验知识去精心地设计隐层节点的层数和 节点数目：例
用算法来推测适当的隐层节点数目：例
非线性分类器课件
决策 树
决策树是一种基于树结构的分 类方法，它通过递归地将数据 集划分为更纯的子集来工作。
对于非线性问题，决策树可以 通过构建多级节点来逼近任意 非线性决策边界。
决策树具有直观易懂、易于解 释的优点，但也可能存在过拟 合和鲁棒性较差的问题。
神经网络
神经网络是一种模拟人脑神经元结构的计算模型，通过训练来学习和识别数据中的 模式。
贝叶斯分类器具有简单、易于理 解和实现的优势，但在处理大规
模高维数据时可能效率较低。
集成学 习
集成学习是一种通过构建多个模型并 将它们的预测结果进行融合来提高分 类性能的方法。
集成学习具有较好的泛化性能和鲁棒 性，但也可能存在计算复杂度较高、 模型选择困难等问题。
对于非线性问题，集成学习可以通过 构建多个非线性分类器并将它们的预 测结果进行综合来提高分类性能。
召回率与F1分数
总结词
召回率也称为查全率，表示分类器真正 识别出的正样本占所有正样本的比例； F1分数是准确率和召回率的调和平均数， 综合考虑了分类器的精度和召回率。
VS
详细描述
对于某些应用场景，如欺诈检测或异常值 检测，召回率可能比准确率更重要。高F1 分数意味着分类器在精度和召回率方面都 表现良好。
非线性分类器的主要方法
支持向量机
支持向量机（SVM）是一种基 于统计学习理论的分类方法，它 通过找到一个超平面来分隔两个
类别的数据。
SVM对于非线性问题，通过使 用核函数将数据映射到更高维空 间，然后在高维空间中找到分隔
超平面。
支持向量机具有较好的泛化性能 和鲁棒性，尤其在处理小样本、 高维数和局部极值问题时表现优
类别平衡
对于类别不平衡的数据集，可以采用过采样、欠采样、SMOTE等方法来平衡类 别分布。
第五章 非线性判别函数(思维导图)
非线性分类器分段线性判别函数思想用多个线性分类器片段来实现非线性分类器由多段超平面组成，把各类划分成适当的子类，在两类的多个子类之间构建线性判别函数，然后把它们分段合并成分段线性判别函数分类分段线性距离分类器最小距离分类器条件虽然是在正态分布的特殊条件下推出来的，但是很多情况下，只要每一类数据的分布是单峰的、在各维度上的分布基本对称且各类先验概率基本相等，则最小距离都可以进行简单有效的分类思想可以把类均值点看做该类的代表点，或者模板，最小距离分类器就是模板匹配：新样本与那一类的模板更相似则归为哪一类类型其中两类情况下，最小距离分类器就是两类均值之间连线的垂直平分面（超平面）举例——最小错误率贝叶斯决策：以两类的均值为中心点，新样本离哪类的中心点近就决策为哪一类两类多峰或者多类情况下：形成多个超平面共同组成的分类面具体实现：把每类划分成若干子类，使每个子类是单峰分布且尽可能在各维上对称。
每个子类取均值作为模板，这样每个类都有多个模板，一个两类问题就可以用多类的最小距离分类器来解决：对一个待分类样本，比较他到各个子类均值的距离，把它分到距离最近的子类所属于的类。
数学语言在类别的各个维度不对称的情况下分类结果是不准确的一般的分段线性判别函数分类线性距离分类器是分段线性判别函数的特殊情况，适用于各子类在各维度分布基本对称的情形遇到的新问题如何利用样本集确定子类数目子类的划分1.根据问题的领域知识和对数据分布的了解，人工确定子类的划分方案运用于：字符识别、医疗研究等2.已知或者可以假定各类的子类数目，但是不知道子类的划分错误修正法条件：已知共有c个类别wi，i= 1,2,···，c，并且已知wi类应该划分成li个子类。
对每一个类都有一定数量的训练样本。
步骤：1.初始化任意给定个子类的权值a（0），通常可以选用小的随机数。
2.在时刻t时，当前权值为a（t），考虑某个训练样本yk∈wj，找出wj类的各子类中判别函数最大的子类，记作m。
第五章-非线性分类器教学文案
核Fisher 判别
26
2.4 关键定理：
再生核希尔伯特空间理论：任何解 w F 都处在F空间中所有训练样本张成的子空间
中
1
w= li
li
j (x j )
j 1
设：mi
1 li
li （xij），M : (M 1 M 2)(M 1 M 2)T ， :[1,L,l]T，
j 1
（Mi）j :
第五章-非线性分类器
提纲
2
1. 分段线性判别函数 2. 二次判别函数 3. 支持向量机 4. 核函数机 5. 多层感知器神经网络
西安电子科技大学计算机学院
2020/7/1
分段线性判别函数
3
思路： 如果两类可以划分为线性可分的若干子类，则可以设计多个线性分类器，
实现分段线性分类器。
联系： 上一章的多类线性判别函数实际就是分段线性判别函数。
经过变换，维数大大增加。使得问题很快陷入”维数灾难” 1. 计算变得非常复杂而不可行 2. 样本变换到高维空间后样本数目并未增加，在高维空间变得很稀疏， 算法会因为病态矩阵等问题无法进行
西支持向量机(Support Vector Machines)
11
2. 核函数变换与支持向量机 回顾： 1. 线性支持向量机的对偶问题
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选择一个满足 Mercer 条件的核 函数，就可以构 建非线性的支持 向量机。
可以证明Mercer 条件可以放松为 如下条件的正定 核
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支持向量机(Support Vector Machines)
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对于满足正定条件的核函数，肯定存在一个从X空间到内积空间H的变化 （ x ） ，使
第4章 非线性分类器(精简)
第4章非线性分类器4.1 引言⏹前一章讨论了由线性判别函数(超平面)描述的线性分类器的设计。
通过两类的简单情况可以看出，只要这两类是线性可分的，那么感知器算法就可以计算线性函数的权值。
对于非线性可分的类别，线性分类器设计的最优设计方法是使平方误差最小。
⏹本章将解决不是线性可分的问题，并研究为什么线性分类器设计即使在最理想的情况下，也不会产生令人满意的性能。
现在必须要设计非线性分类器。
●人工神经网络由两个基本组成部分组成，一是结点、二是网络、也就是结点之间的连接。
作为人工神经元网络的结点是仿照生物细胞结构而造出的。
人工神经元网络的总的特点——结构的网络化。
由结点作简单运算，网络实现复杂运算；参数通过学习方式确定.●人工神经网络体现出来的非线性映射以及联想记忆等功能,可以实现多种复杂的计算，可以实现的功能比传统的模式识别要多一些，如实现输入输出是非线性关系，其中相当多的计算与传统的模式识别要解决的问题是相同的。
它的起源是感知准则函数 (或称为感知器),在学习人工神经元网络的多种功能时，可以联想到前几章学习过的一些重要概念。
●人工神经元网络的两个最主要特点是，(1)网络由大量结构简单的结点联接而成。
由结点实行简单的运算。
一般为输入量的线性求和与非线性映射两部分组成，而整个网络可实行复杂度很高的运算，如对高维特征空间进行非线性划分，高复杂度的非线性映射等。
而复杂的运算由大量简单的运算组合而成。
网络的结构一般简单而有规律性，如分层的前馈网络，不分层的全互连结构等。
ART网络是一个例外，它的结构比较复杂。
●人工神经元网络与传统模式识别处理方法在解决问题的方法上有很大区别。
主要不同点有，在人工神经元网络中，计算是体现在一种网络结构中实现的，不同的网络结构可以实现各种很不相同的功能，因此要掌握网络结构的计算方法。
另一个不同点是该网络结构中的参数是通过学习而逐渐修正的。
这种学习是类似于感知准则函数中提倡的学习，即利用错误提供的信息来修正当前的参数，直至网络结构及其参数实现优化。
第五章 非线性分类器
送入x11：
⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ T g1 (10) = w1 (10) x12 = (3 − 2 3)⎜ −1⎟ = 2 ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ T 1 g2 (10) = w2 (10) x12 = (0 0 0)⎜ −1⎟ = 0 ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ T 2 g3 (10) = w2 (10) x12 = (4 − 4 1)⎜ −1⎟ = 1 ⎜1⎟ ⎝ ⎠
送入x12：
⎛ − 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ T 2 T 2 g 3 (5) = w2 (5) x11 = (4 − 4 1)⎜1⎟ = 1 g 3 (6 ) = w2 (6) x12 = (4 − 4 1)⎜ − 1⎟ = 1 ⎜1⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∵ g1 (6 ) < g 2 (6 ) ∴ 修正权向量 ∵ g1 (5) = g 2 (5) ∴ 修正权向量 w1 (6 ) = w1 (5) + x11 = (4 − 1 2 )
1 ( ) 10 w1 = w 2 2 (9) = (0 0 0) T
2 (10) = w22 (9) = (4 − 4 1) w2
2 (10) = w22 (9) = (4 − 4 1) w2
T
对于所有的样本，权向量都不用修改，迭代停止
T
送入x11：
送入x12： T g1 (2 ) = w1 (2 ) x12 = (3
⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ − 2 3)⎜ − 1⎟ = 2 ⎜1⎟ ⎝ ⎠
⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ T 1 g 2 (2 ) = w2 (2 ) x12 = (1 − 1 1)⎜ − 1⎟ = 1 ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ T 2 g 3 (2 ) = w2 (2 ) x12 = (3 − 3 0 )⎜ − 1⎟ = 0 ⎜1⎟ ⎝ ⎠
非线性分类器课件
循环神经网络（RNN）与长短期记忆（LSTM）
RNN适用于处理序列数据，如文本、语音等。通过将前一时 刻的隐藏状态作为输入，RNN能够捕捉序列中的时间依赖关 系。
LSTM是RNN的一种改进形式，通过引入记忆单元和遗忘门、 输入门和输出门等机制，有效解决了RNN的梯度消失问题， 提高了长时间依赖关系的捕捉能力。LSTM在自然语言处理、 语音识别等领域有广泛应用。
分类
非线性分类器可以分为基于规则的分类器和基于统计的分类器。基于规则的分 类器如决策树、贝叶斯分类器等，基于统计的分类器如支持向量机、神经网络等。
必要性及应用领域
必要性
在现实世界中，很多数据都是非线性 的，因此使用非线性分类器是必要的。 非线性分类器能够更好地处理复杂的 数据分布，提高分类准确率。
决策树与随机森林
决策树分类器
决策树分类器是一种基于决策树的分 类算法，通过构建决策树来对数据进 行分类。
决策树分类器通过递归地将数据集划 分为更纯的子集，最终形成一棵决策 树。
决策树的每个节点表示一个特征属性 上的判断条件，每个分支代表一个可 能的属性值，每个叶子节点表示一个 类别标签。
决策树分类器具有简单直观、可解释 性强等优点，但也存在容易过拟合、 对噪声数据敏感等缺点。
神经网络
神经网络是一种模拟人脑神经元结构的计算模型，通过多层 感知器对输入数据进行逐层传递和转换，最终输出分类结果。 神经网络具有较强的非线性拟合能力，适用于解决复杂的分 类问题。
支持向量机
基础概念
支持向量机（SVM）是一种监督学习算法，用于分类和回归分析。
01
02
它通过找到能够将不同类别的数据点最大化分隔的决策边界来
非线性分类器
1.问题表述第一次作业中已经阐述了线性分类器的设计问题，但是在大多数时候分类样本都是非线性了，如何设计非线性分类器成为一个问题。
人工神经网络既可用于线性分类又可用于非线性分类，既可用于两类分类又可用于多类分类，既可用于正态分类也可用于非正态的分类，是一个万用分类器。
具体问题可以描述为：设有 N个训练样本(特征向量 z维)，，N,分别属于k 类，可以用个理想向量表达如，1 类可以表示为，该向量为k 维向量，2 类可以表示为，，以此类推，目标是希望最终ANN-BP 能正确分类上述样本，即对于1 类，该网络输出的向量。
2.方法叙述人工神经网络没有具体的数学模型，可以描述为下面的步骤：1）构造感知机映射，将原样本映射到新的特征空间，保证在新的空间待分类样本是线性可分的；2）对映射到新特征空间的样本采用感知机线性分类器进行分类。
将原特征空间定义为输入层，过渡空间定义为隐层，隐层的数目是不一定的，最终通过的感知机线性分类器定义为输出层。
总的来说，人工神经网络就是多个感知机的组合，数学原理是将原始特征空间映射到过渡空间，在过渡空间里非线性问题变成了线性问题，根据最终输出层的感知机个数还可以实现多类分类。
上述过程虽然简单，但是如何寻找符合条件的映射成为一个难题，这里就要使用到BP 算法，即反向传播算法。
针对上面的具体问题，定义：为输入层特征向量为过渡向量其中为输出向量，其中其中f 是满足上下有界连续一阶可导的中心及对称的积和函数，具体的形式有很多种。
算法步骤如下：1）定义目标误差函数，设置；2）正向计算第τ步的值得到和的值；3）反向传播修正：3.算法实现算法实现及备注见程序。
4.结果分析比较双隐层，第一隐层4个神经元，第二隐层2个神经元，输出层一个神经元，学习速率即步长0.01，误差5*e-3.双隐层，第一隐层15个神经元，第二隐层10个神经元，输出层一个神经元，学习速率即步长0.01，误差5*e-3.双隐层，第一隐层7个神经元，第二隐层3个神经元，输出层一个神经元，学习速率即步长0.0001，误差5*e-3.从以上可以看出，当第一隐层神经元是第二隐层神经元德二倍时，且都不大于十个德时候，效果最好。
模式识别——非线性分类器
模式识别——非线性分类器非线性分类器是指一种能够处理非线性问题的模式识别算法。
在现实世界中，很多问题都是非线性的，比如图像分类、语音识别等。
传统的线性分类器，比如逻辑回归和支持向量机，在处理非线性问题时表现不佳，因此非线性分类器的出现对于模式识别领域具有重要意义。
非线性分类器主要有以下几种类型：核函数方法、神经网络方法和深度学习方法。
首先，核函数方法是一种常见的非线性分类器方法。
核函数方法的核心思想是通过对训练样本进行非线性映射，将其映射到一个高维特征空间中，在高维空间中采用线性分类器进行分类。
常见的核函数包括多项式核函数、高斯核函数等。
核函数方法有很好的分类性能，并且计算效率较高，因此在实际应用中被广泛采用。
其次，神经网络方法也是一种常用的非线性分类器。
神经网络模拟了生物神经系统的结构和功能，能够处理复杂的非线性问题。
神经网络由多个神经元组成，每个神经元接收来自前一层的输入，并将其加权求和后经过激活函数输出。
神经网络具有较强的学习能力和适应性，可以自动提取数据的特征表示，因此在图像、语音等领域取得了很好的效果。
最后，深度学习方法是当前非线性分类器的研究热点。
深度学习模型具有多个隐藏层、大量参数和复杂的结构，能够处理非常复杂的非线性问题。
深度学习模型如卷积神经网络、循环神经网络等在图像、语音和自然语言处理等领域已经取得了很大的突破。
深度学习模型的主要优点是能够自动学习特征表示，并且可以通过增加网络深度提高模型的表达能力。
为了克服这些挑战，可以采取以下方法。
首先，结合核函数方法和神经网络方法，可以提高分类器的性能和泛化能力。
其次，利用迁移学习和半监督学习等方法，可以减少标注样本的需求，提高分类器的效率。
此外，引入集成学习和混合模型等技术，可以进一步提高分类器的性能和鲁棒性。
总之，非线性分类器在模式识别领域具有重要意义。
核函数方法、神经网络方法和深度学习方法是常见的非线性分类器方式。
未来的研究方向包括提高分类器的性能和泛化能力，降低模型复杂度，减少标注样本的需求等。
svc分类
svc分类SVC是支持向量机分类器的缩写，SVM分类器是一种二元判别分类器，用于将一个高维空间中的点分成两个类别。
在SVM分类中，我们寻找一个超平面，该超平面在分类中分割两个类别，并使分类器的误差最小化。
支持向量是指最靠近这个分类边界的点，SVC分类器依靠支持向量来实现分类。
SVC分类又称为非线性SVM分类器，能够处理非线性分类问题。
下面我们来详细介绍一下SVC分类。
SVC分类的原理SVC分类是一种非线性分类器，它通过构建一个非线性的决策边界，将不同类别的数据分开。
在SVC分类器中，我们通常采用核函数（Kernel）来构造非线性特征，即通过将低维特征映射到高维特征空间中，在高维特征空间中使用线性超平面来进行分类。
SVC分类器的训练过程可以用以下步骤概括：1. 特征选择：选取合适的特征集合。
2. 样本选择：选择一部分样本作为训练集，构建SVC分类器。
3. 参数选择：选择合适的核函数、惩罚因子等参数。
4. 模型训练：使用训练集训练模型。
5. 模型评估：使用测试集对模型进行评估。
1. 非线性分类能力强。
2. 支持向量较少，模型复杂度低。
3. 泛化能力强，适用于各种数据类型。
4. 可以处理高维数据，具有较高的分类精度。
1. 训练速度较慢，对数据量和特征维度都很敏感。
2. 参数调节较复杂，需要进行交叉验证等操作。
3. 对缺失值和噪声敏感，需要有对数据预处理及清洗操作。
SVC分类器广泛应用于数据挖掘、机器学习、模式识别等领域。
1. 数据挖掘：在数据挖掘中，SVM常用于特征选择、分类、回归、聚类等任务。
例如，在文本分类中，SVM可以用于根据特定主题分类文本；在图像分类中，SVM可以用于自动分类图像。
2. 机器学习：在机器学习中，SVM可以用于训练分类器，分类器可用于数据分类、预测、回归等任务。
3. 模式识别：在模式识别中，SVM可用于识别语音、人脸、手写数字等。
总之，SVC是一种非常有用的分类器，它具有很强的非线性分类能力、泛化能力强等优点，在数据挖掘、机器学习、模式识别等领域有广泛应用。
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把各类划分成适当的子类 在多个子类之间构建线性判别函数 各段合并成分段线性判别函数
5.2.1 分段线性距离分类器
最小距离分类器
严格条件：正态分布、先验概率相等、各维特征独立且方差 相当 两类均值之间连线的垂直平分面（超平面） 适用条件：各类数据单峰分布、各维分布基本对称、先验概 率基本相同 模板匹配：代表点，归为最相似模板所在的类 把每类划分成若干子类、单峰分布、各维对称 利用多类的最小距离分类器：与子类比较、分到最近子类所 属的类 多段超平面
多层感知器模型
5.4.1 神经元与感知器
神经元、神经系统的基本组成单位 神经元构成示意图 神经元工作过程与数学模型 与感知器的关系
5.4.2 用多个感知器实现非线性分类
单个感知器神经元能够完成线性可分数据的分 类问题 多个神经元分层组合解决复杂的分类问题
5.4.3 采用反向传播算法的多层感知器
分段线性距离分类器
数学表示
5.2.2 一般的分段线性判别函数
对每个子类建立更一般形式的线性判别函数
子类划分 子类的线性判别函数 各类的判别函数利用其子类的判别函数来表示
分段线性判别函数的设计等同与多类分类器的 设计 子类的划分方法
5.3 二次判别函数
一般正态分布的贝叶斯决策面是二次函数 参数化的方法估计二次判别函数
5.4.7 人工神经网络的一般知识
神经网络模型的三种类型
前馈型：单向网络连接，如多层感知器 反馈型：Hopfield网络 竞争学习型：神经元节点通常排列在同一层次上
5.5 支持向量机
构造非线性的支持向量机 非线性高维问题的处理思路
5.5.1 广义线性判别函数
考虑如下分类问题
b a x
5.2 分段线性判别函数
线性判别函数，一个显著的优点是：算法简单 和具有“学习”的能力，即给定已知类别标志 的样本集，能够根据样本“学习”，自动找到 线性分界面 是在容许一定的错误率时的一种“有限合理性” 的选择 在线性分类器的基础上，用分段线性分类器可 以实现更复杂的分类面
2
1
为解决比较复杂的线性不可分样本分类问题， 提出非线性判别函数
g (x) a T y
2
a
i 1
3
i
yi
称为广义线性判别函数 可推广至任意高次，变为Y空间的线性分类 维数太高不利于处理，“维数灾难”
5.5.2 核函数变换与支持向量机
引入特征变换将原空间的非线性问题转化成新 空间中的线性问题
无须直接计算复杂的非线性变换
非线性变换高维空间的线性支持向量机通过核 函数在原空间进行求解，避免高维计算 支持向量机的最主要特点是能够在样本相对较 少、特征维数高的情况下取得很好的推广能力
5.4.4 多层感知器用于模式识别
具有通用非线性函数逼近器的性质 “黑盒子”特点 解决模式识别的一般做法
两类问题 多类问题 特征预处理
5.4.5 神经网络结构的选择
神经网络三要素
神经元传递函数 网络结构 权值学习算法 输入层节点数取样本特征维数 输出层节点根据待识类别数确定 主要问题是隐层节点数的确定
多层感知器网络的学习算法 神经元的阈值函数采用Sigmoid函数 多层网络的构成
输入层 隐层 输出层
目标函数是神经网络在所有训练样本上的预测输出与期望输 出的均方误差，采用梯度下降法通过调整各层的权证求目标 函数最小化 误差反向传播到各隐层节点对中间各层的权值进行学习 BP网络
BP算法
5.6 核函数机器
借鉴支持向量机的核心思想
通过最大化分类间隔保证推广能力 通过核函数定义的内积函数间接地实现对特征的非 线性变换，用变换空间中的线性问题来求解原空间 中的非线性问题 如果原方法能表述成之涉及样本内积计算的形式， 可通过采用核函数内积实现非线性变换，通过引入 适当的间隔约束来控制非线性机器的推广能力
核函数方法，传统线性方法的发展
超曲面，非线性判别函数计算复杂，实际应用上受 到较大的限制
解决问题比较简便的方法是采用多个线性分界 面，将它们分段连接，用分段线性判别划分去 逼近分界的超曲面
由于各段都是超平面，有可能利用已知的线性判别 函数来解决分类问题
由若干超平面组成，可以较好地逼近分类的超曲面， 从而减少分类错误
基本做法
能否用线性分类器解决该划分问题？ 线性分类不适应非凸决策区域和多联通区域的划分 考虑二次函数 g ( x ) ( x a )( x b ) ，正负对
决策问题是对x轴的划分 判别函数正负对应不同类别，非指抛物线内外
广义线性表示
改变表示形式
g ( x ) c 0 c1 x c 2 x
常用三层网络
5.4.6 与传统模式识别方法的关系
神经网络方法与传统模式识别方法在某些方面 是等价的
单层感知器模型就是一种采用感知准则函数的线性 判别函数，多层感知器是非线性推广 很多情况下，多层感知器的输出可以看作是对贝叶 斯后验概率的估计
当训练样本无穷多时，BP算法的目标函数等价于神经网 络输出与样本后验概率的均方误差，其最小化得到的网络 输出就是对样本后验概率的最小均方误差估计
正态分布、判别函数是样本到均值马氏距离的平方 与固定阈值的比较
5.4 多层感知器神经网络
模式识别是一种基本的智能活动 智能研究的两个出发点 人工神经网络
根据对自然神经系统构造和机理的认识，神经系统 是由大量的神经细胞构成的复杂的网络，对这一网 络建立一定的数学模型和算法，设法使它能够实现 诸如基于数据的模式识别、函数映射等带有“智能” 的功能 能从训练数据中学习任意复杂的非线性映射，包括 实现复杂的非线性分类判别函数
第5章 非线性分类器
5.1 引言 5.2 分段线性判别函数 5.3 二次判别函数 5.4 多层感知器神经网络 5.5 支持向量机 5.6 核函数机器
5.1 引言
类别之间的分类边界在很多情况下不是线性的
正态分布、分类面是二次函数 很多实际问题更复杂
非线性判别函数指除线性函数外的各种判别函 数，设计方法多样