统计学概论05

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总体标准差未知时对总体均值检验经常用t统 计量： X 0
t s n ~ t (n 1)

但是，在大样本场合(样本容量n大于30时)， t-统计量与标准正态分布统计量近似，通常用 z检验代替t检验。
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总体成数的检验

当样本容量较大时，下列统计量服从标准正 态分布：
z p n
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z检验的p-值： z0 检验统计量为z统计量的p-值计算公式， 表示 检验统计量的抽样数据，则p-值的计算方法 如下： 如果：H 1 ， 0 p-值=2 pz z0 如果：H 1 ， 0 p-值= pz z 0 如果：H 1 ， 0 p-值= pz z 0
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二、参数检验

参数检验都是先对样本所属总体的性质作出 若干的假定，或对总体的分布形状加以限定， 然后对总体的有关参数情况进行统计假设检 验。因此，参数检验又称为限定分布检验。 如在总体服从正态分布条件下，对其均值进 行检验。下面通过具体例子来说明参数检验 方法。
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在例1中，按历史资料，总体的标准差是4毫 升。我们通过检验总体均值是否等于250毫升， 来判断饮料厂商是否欺骗了消费者。程序如 下：
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构造一个统计量来决定是“接受原假设，拒绝备选 假设”，还是“拒绝原假设，接受备选假设”。对 不同的问题，要选择不同的检验统计量。检验统计 量确定后，就要利用该统计的分布以及由实际问题 中所确定的显著性水平，来进一步确定检验统计量 拒绝原假设的取值范围，即拒绝域。在给定的显著 性水平α下，检验统计量的可能取值范围被分成两部 分：小概率区域与大概率区域。小概率区域就是概 率不超过显著性水平α的区域，是原假设的拒绝区域； 大概率区域是概率为1-α的区域，是原假设的接受区 域。
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第一步：确定原假设与备选假设。 ： H 0 ： =250； H 1 <250 以上的备选假设是总体均值小于250毫升，因 为消费者协会希望通过样本数据推断出厂商 的欺骗行为(大于250毫升一般不会发生)。因 此使用左侧检验。
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第二步：构造出检验统计量。 我们知道，如果总体的标准差已知，则正态 总体(正常情况下，生产饮料的容量服从正态 分布)的抽样平均数，也服从正态分布，对它 进行标准化变换，可得到：
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三、p-值检验

p-值检验就是通过计算p-值，再将它与显著性 水平α作比较，决定拒绝还是接受原假设。所 谓p-值就是拒绝原假设所需的最低显著性水 平。p-值判断的原则是：如果p-值小于给定的 显著性水平α，则拒绝原假设；否则，接受原 假设。或者，更直观来说就是：如果p-值很 小，拒绝原假设，p-值很大，接受原假设。 请大家注意的是这里的p-值是指概率，不要 与成数指标相混淆。
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(二)配对样本场合的符号检验

样本配对场合与单样本场合的符号检验，基 本原理是一致的。设从两个总体中分别抽出 一个容量相等的样本，然后将两样本的数据 进行一一配对，得到一组配对值。再将各对 配对值相减，记录下差数的符号，计算出“+” 的个数n+与“-”的个数n-。如果两个样本的总 体差异不显著，配对值之差的正负号出现的 概率各是1/2，则n+与n-应当非常接近；如果 n+、n-相差太大的话，说明两总体存在显著 差异。例子见书上的。
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消费者协会实际要进行的是一项统计检验工 作。检验总体平均 =250是否成立。这就是一 个原假设(null hypothesis)，通常用 H 0表示， 即： H 0 ： =250
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与原假设对立的是备选假设(alternative hypothesis) H 1，备选假设是在原假设被否定时 另一种可能成立的结论。备选假设比原假设 还重要，这要由实际问题来确定，一般把期 望出现的结论作为备选假设。
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第四步：计算检验统计量的数值。 样本成数p=220/600=0.37，总体假设的成数ρ =0.3,代入z检验统计量得：
z p 0.37 0.3 0.3 1 0.3 / 600 3.5
1
n
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第五步：判断。 检验统计量的样本取值z=3.5>1.645，落入拒 绝域。拒绝原假设，接受备选假设，认为样 本数据证明该企业声明属实。

1


上式中，ρ代表总体的成数，p代表样本的成 数。 以上的z统计量可以用作总体成数检验的检验 统计量。
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例2：某企业声明有30%以上的消费者对其产 品质量满意。如果随机调查600名消费者，表 示对该企业产品满意的有220人。试在显著性 水平α=0.05下，检验调查结果是否支持企业 的自我声明。
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解：第一步：作出假设。 H 0 ：ρ =30%， H:ρ> 30%。 1 以上的备选假设是企业自我声明的结论，我 们希望该企业说的是实话。因此使用右侧检 ：构造z检验统计量。 第三步：确定拒绝域。 显著水平α=0.05，查标准正态分布表得临界 值：z =1.645，拒绝域是z>1.645。
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二、符号检验

该方法是建立在以正、负号表示样本数据与 假设参数值差异关系基础上的，因此称之为 符号检验。该方法既适用于单样本场合，也 适用于配对样本场合。
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(一)单样本场合的符号检验

中位数检验 : H 0 ： e =A M 样本每个数据都减去A，只记录其差数的符号。 n+与n-分别是正、负符号的个数，当原假设 为真是时 ，n+与n-应该很接近；若两者相差 太远，就有有理由拒绝原假设。
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二、两种类型的错误
接受
H0
拒绝 H 0 弃真错误(第一 类错误或α 错误 )
H 0真实
判断正确
H 0 不真实
取伪错误(第二类 判断正确 错误或β错误)
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三、检验功效

在犯第一类错误概率得到控制的条件下，犯 取伪错误的概率也要尽可能地小，或者说， 不取伪的概率1-β应尽可能增大。1-β越大，意 味着当原假设不真实时，检验判断出原假设 不真实的概率越大，检验的判别能力就越好； 1-β越小，意味着当原假设不真实时，检验结 论判断出原假设不真实的概率越小，检验的 判别能力就越差。可见1-β是反映统计检验判 别能力大小的重要标志，我们称之为检验功 效或检验力。
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第五步：判断。 p-值小于给出的显著性水平(0.05)，拒绝原假 设，接受备选假设，与例1的结论相同。
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第三节 非参数检验

非参数检验是对总体的分布不作任何限制的 统计检验。故非参数检验又称为自由分布检 验。正因为如此，非参数检验成为管理科学 中应用较为广泛的一种统计检验方法。
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第二节

总体参数检验
一、单侧检验与双侧检验
α/2 -Zα/2
1–α
α/2 Zα/2
α –Zα 0 0
α Zα
双侧检验
左侧检验
右侧检验
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用单侧检验还是双侧检验，使用左侧检验还 是右侧检验，决定于备选假设中的不等式形 式与方向。与“不相等”对应的是双侧检验， 与“小于”相对应的是左侧检验，与“大于” 相对应的是右侧检验。
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自由分布检验缺点： 由于它对原始数据中包含的信息利用得不够 充分，检验的功效相对较弱。当总体的分布 形式已知时，基于这种分布类型的参数方法， 一般说来比非参数方法为佳。例如，对于一 批资料，可同时适用于参数的t-检验、非参数 的符秩检验和符号检验。其检验功效是，t-检 验的最好，符秩检验次之，符号检验最差。 这主要是由于符号检验对信息的利用最不充 分。
e
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第三步：确定拒绝域。 显著水平α= 0.10，由于进行双侧检验，拒绝域分布 在两边，每侧概率α/2=0.05，查二项分布临界值表， 得到拒绝域的临界值是13。 第四步：选择n+、n-较大者，再与临界值比较。 结果是15>13。 第五步：判断。 由于上一步的比较结果可知，样本落入拒绝域，所 以拒绝原假设，认为样本数据不能证明总体中位数 等于160件。
第五章 假设检验

第一节 假设检验概述 第二节 总体参数检验 第三节 非参数检验
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第一节 假设检验概述

一、假设检验的基本概念 假设检验是统计推断的另一种方式，它与区 间估计的差别主要在于：区间估计是用给定 的大概率推断出总体参数的范围，而假设检 验是以小概率为标准，对总体的状况所做出 的假设进行判断。假设检验与区间估计结合 起来，构成完整的统计推断内容。假设检验 分为两类：一类是参数假设检验，另一类是 非参数假设检验。本章分别讨论这两类检验 方法。
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小概率原理：即指概率很小的事件在一次试 验中实际上不可能出现。这种事件称为“实 际不可能事件”。
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例1：消费者协会接到消费者投诉，指控品牌 纸包装饮料存在容量不足，有欺骗消费者之 嫌。包装上标明的容量为250毫升。消费者协 会从市场上随机抽取50盒该品牌纸包装饮品， 测试发现平均含量为248毫升，小于250毫升。 这是生产中正常的波动，还是厂商的有意行 为？消费者协会能否根据该样本数据，判定 饮料厂商欺骗了消费者呢？
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例4：设有20个工人，他们一天生产的产品件 数，抽样结果如下： 168，163，160，172，162，168，152，153， 167，165，164，142，173，166，160，165， 171，186，167，170。 试以α=0.10的检验水平，判定总体中位数是 否是160。