西工大附中高2007届第5次模拟考试(文科)

数学试题（文科）一、选择题：（每小题5分，共12⨯5＝60分）1、两集合{}1,,M x x y x y R =+=∈，{}221,,N y x y x y R =+=∈则M N ⋂＝（ ） （A ）{}(0,1);(1,0) （B ）{}0,1 （C ）∅ （D ）[]1,1-2、若110b a <<，则下列结论不正确的是（ ）（A ）22a b < （B ）2ab b < （C ）a b a b +>+ （D ）2a b ab +> 3.对任意的锐角,αβ，下列不等关系中正确的是（ ）A 、sin(αβ+)>sin α+sin βB 、sin(αβ+)>cos α+cos βC 、cos （αβ+）<sin α+sin βD 、cos （αβ+）<cos α+cos β4、在ABC ∆中，若对任意k R ∈，有BA k BC AC -≥，则ABC ∆一定是（ ） （A ）钝角三角形 （B ）直角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）不能确定5、若)1nx的展开式中的第5项为常数项，则展开式中系数最大的项是（ ）（A ）第10或11项 （B ）第9项 （C ）第8项 （D ）第8或9项6、地球半径为R ，在北纬30 的圆上，A 点经度为东经120 ，B 点的经度为西经60 ，则,A B 两点的球面距离为（ ）（A)3R π R (C)12R π (D)23R π 7.设直线m n 、和平面αβ、，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//m n m n αβ⊂⊂，，，则//αβB ．若m m n n αβ⊥⊥⊂，，，则//αβC ．若//m n m n αβ⊂⊥，，，则αβ⊥D ．若//m n m n αβ⊥⊥，，，则αβ⊥8、三个不相等的实数1a b 、、依次成等差数列，且221b a 、、依次成等比数列，则 11a b+的值是（ ） （A ）2 （B ）－2 （C ）2或－2 （D ）不确定9.如图矩形ABCD 中，2,,,AB AD E F G =分别是,,AB CD EF 的中点，把矩形沿EF 折成60 的二面角，则AE 与BG 所成的角为 （ ）（A ）arcco （B ）arcco（C ）arc （D ）10．函数32()f x ax bx cx d =+++的图像如下，12x x <，则有（ ）（A ）0,0,0,0a b c d >><>（B ）0,0,0,0a b c d <><> （C ）0,0,0,0a b c d <<>> （D ）0,0,0,0a b c d ><><11.已知函数)(x f y =的反函数)21(l o g )(211-=-x x f ，则方程1)(=x f 的解为（ ） （A ）}1{ （B ）｛２｝ （Ｃ）｛3｝ （Ｄ）｛４｝ 12、若点(3,1)p -在双曲线22221(0,0)y x a b a b =>>-的左准线上，过点p 且方向为(2,5)a =的光线，经直线2y =-反射后通过双曲线的左焦点，则这个双曲线的离心率为（ ）二、填空题：（每小题4分，共16分）13.若把英语单词“hello”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 种. 14、已知椭圆22891y x a +=+的离心率为12，则a = .15．已知x>0,y>0,且2x+5y=20,则lgx+lgy 的最大值是 .16．已知x 、y 满足0,041603150x y x y x y >>⎧⎪+-≤⎨⎪+-≤⎩且z ax y =+的最大值为7,则a 的值为____ _ .三、解答题：（本题满分74分）17、（本题满分12分）已知向量(1tan ,1)a x =- ，(1sin 2cos2,1)b x x =++-，记 ()f x a b =⋅（1）求()f x 的定义域、值域和最小正周期；（2）若224()()f f ααπ-=+()20,πα∈，求α.18、（本题满分12分）在8件产品中,有5件合格品,3件次品.从中任意取出4件，求下列事件发生的概率.（Ⅰ）取出2件合格品或3件合格品 ； （Ⅱ）至少取出一件次品.19（本题满分12分）如图四棱柱P ABCD-的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，,E F 分别是,AB PD 的中点（1）求证：AF //平面PEC ；（2）若2,AD CD ==P CD B --为45 ，求F 到平面PEC 的距离。

20、（本题满分12分）已知函数53()1f x x ax bx =+++，仅当1,1x x =-=时取得极值且极大值比极小值大4，求,a b 的值。

21、（本题满分12分）已知斜率为1的直线lE ：22221x y a b -=()0,0a b >>交于P 、Q 两点，直线l 与y 轴交于R ，且3OP OQ ⋅=-，4PQ RQ = .求直线l 与双曲线E 的方程。

22．（本小题满分14分）设x x f x a xx f =+=)(,)2()(方程有唯一解，已知*111()(),()1004n n f x x n N f x +=∈=且 （Ⅰ）证明：数列{nx 1}是等差数列，并求数列{x n }的通项公式； （Ⅱ）若)(2,40134*1221N n a a a a b x x a nn nn n n n n ∈+=-=++且，求和S n =b 1+b 2+…+b n ；（Ⅲ）是否存在最小整数m ，使得对任意n ∈N *，有2008)(mx f n <成立，若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由.西工大附中高2007届第5次模拟考试数学试题答案（文科）一、选择题：DCDBB;DCBAC;AA 二、填空题：（13）59 （14）4a =或54a =- （15）1 （16）1 三、解答题：17（I ）2cos sin cos 22()(1tan )(1sin 2cos 2)1(2cos 2sin cos )12(cos sin )12cos 21,x xxf x x x x x x x x x x -=-++-=+-=--=-∴定义域为：{}2,x x k k Z ππ≠+∈值域为：(]3,1- 最小正周期：T π= （6分）（II ）2242()()2cos 2cos()2(cos sin )f f ααππαααα-+=-+=+4s i n (6πα=+ （8分）4sin()πα∴+=()324440(,)ππππαα∈∴+∈ 43ππα∴+=或243ππα+= 12πα=或512πα= （12分） 18. 解：（Ⅰ）设取出的4件中有2件合格品或3件合格品分别为事件A 、B ，则73)(,73)(481335482325=⋅==⋅=C C C B P C C C A P ∵A 、B 为两个互斥事件 ∴P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=76答： 取出2件合格品或3件合格品的概率为76…………6分（Ⅱ）取出4件都为合格品的事件为C ，则P （C ）=1414845=C C至少取出一件次品的事件为事件C 的对立事件,其概率为14131411=- 答：至少取出一件次品的概率为1413.…………12分19、解：42'()53f x x ax b =++ 且1x =±是极值点∴530a b ++= （2分） 则'422()5353(553)(1)(1)f x x ax a x a x x =+--=++-+ （4分） 仅有极值1x =±∴530a +≥且1x =-为极大值点，1x =为极小值点 （8分） 故530(1)(1)4530a f f ab +≥⎧⎪--=⎨⎪++=⎩12a b =-⎧⇒⎨=-⎩ （12分） 20、（I ）略 （5分）平面PEC 的距离为hAEC PEC S S ∆∆== P AEC A PEC V V --=1h ∴= （12分）21. 解：直线l 的方程：1y x =+或1y x =-. 双曲线E 的方程：2212yx -=22．解：（I ）因方程f (x )=x 有唯一解，可求a =21从而得到22)(+=x xx f .11111112112(),,10042100420072111();022n n n n n n n n x f x x x x f x x x x x x x +++===+==≠⇒=++即又由已知数列{n x 1}是首项为11x ，公差为21的等差数列，…………………（4分）故n x 1=1112)1(221)1(1x x n n x -+=⋅-+ 所以数列{x n }的通项公式为200622)1(211+=+-=n x n x x n …………（6分） （II ）将x n 代入a n 可求得a n =2n －1，所以)121121(1+--+=n n b n . 1211+-+=∴n n S n …（10分）（III ）*1()2008n n mf x x n N +=<∈ 对恒成立， .20082200711)20072(,)20072(2008m a xm a x =+=++>∴n n m 而即可只要 即要2,200822008>∴>m m 故存在最小的正整数m =3………（14分）。