2018年高三最新 广东省广州市永和中学2018届高三第四

永和中学2018届高三第四次月考数学（理科）试题 18.1.25一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1、复数(1)(12)z i i =-+的实部是（ B ） A 、3-B 、3C 、4D 、 34i -+2、函数()f x =的定义域为（ C ）A 、(0,1)(1,2)⋃B 、(,0)(2,)-∞⋃+∞C 、(0,2)D 、[0,2]3、原命题：“设a b c R ∈、、，若a b ≤则22ac bc ≤”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ B ） A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个4、设向量(1,2),(2,1)a b =-=- ，则()a b a b ⋅-等于（ C ）A 、(1,1)B 、(4,4)--C 、(12,12)-D 、(12,12)-4．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m αγ= n βγ= ，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥6、函数1||y x =的图象大致是（ A ）B 、D 、7、已知椭圆的中心为原点，离心率e =2y =的焦点重合，则此椭圆方程为（ A ）A 、2214x y += B 、22186x y +=C 、22143x y +=D 、2212x y += 8、对任意实数,x y ，定义运算x y ax by cxy *=++，其中,,a b c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。

已知123,234*=*=，并且有一个非零常数m ，使得对任意实数x ，都有x m x *=，则x 的值是（ C ） A 、5-B 、4-C 、4D 、6二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9、如右下图给出一个程序框图，其运行结果是 。

10．若n xx )13(-的展开式各项系数和为64，则展开式中的常数项为 。

11．一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：㎝），则该几何体的表面积是 ，体积是.12．在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断,设第ｎ件首饰为(1)n a n >，则1n n a a --= _43n -_____________ (结果用n 表示)13．（坐标系与参数方程选做题）以极坐标系中的点 1 , 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆的方程是 ；14．（不等式选讲选做题）不等式|4||3|2x x -+-<的解集是 ； 15．（几何证明选讲选做题）,,,D EF AD C O EF O AB 于于切圆的直径是圆⊥2,6,AD AB ==则AC 长为_______.永和中学2018届高三第四次月考数学理科答题卷一、选择题：（共8小题，每小题5分，共计40分）二、填空题：（共6小题，每小题5分，共计30分）9． 10．11． 12．13． 14． 15．BAOFCED 第15图1 图2图3图4三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长边的边长为l.求： （I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长.17．（本小题满分12分）一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求:(1)两球恰好颜色不同的概率；（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差.（方差：21()ni ii D p E ξξξ==⋅-∑）18．（本小题满分14分）如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点.（Ⅱ）求二面角C1—BD—C的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论.19.(本题满分14分)已知函数211()ln ,()22f x xg x x ==-. (1)求()()()F x f x g x =-在[1,]e 上的最大值,最小值(e 是自然对数的底); (2)当0k >时,试讨论方程2(1)()f x g x k +-=的解的个数.20．（本小题满分14分）已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.21．（本题满分14分）已知数列{a n}、{b n} 满足：a1 = 14，a n + b n = 1，b n+1 =b n1－a n2(1) 求证b n+1 =12－b n；并求b1, b2, b3, b4的值；(2) 求数列{b n} 的通项公式；(3) 设S n = a1a2 + a2a3 + a3a4 + …+ a n a n+1，求实数a为何值时4aS n< b n恒成立.永和中学2018届高三第四次月考数学（理科）试题答案三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长边的边长为l.求： （I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长.解：（I ）tanC ＝tan[π－（A ＋B ）]＝－tan （A ＋B ）11tan tan 231111tan tan 123A B A B ++=-=-=---⨯ ∵0C π<<， ∴34C π=……………………5分（II ）∵0<tanB<tanA ，∴A 、B 均为锐角, 则B<A ，又C 为钝角，∴最短边为b ，最长边长为c ……………………7分由1tan 3B =，解得sin B ……………………9分由sin sin b c B C =，∴1sin sin c B b C ⋅== ………………12分 17．（本小题满分12分）一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求:(1)两球恰好颜色不同的概率；（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差.（方差：21()ni ii D p E ξξξ==⋅-∑）解：（Ⅰ）解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”， 记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件A ，…………2分 ∵“两球恰好颜色不同”共24+42=16⨯⨯种可能，………5分 ∴164()669P A ==⨯．…………7分 解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验， …………2分 ∵每次摸出一球得白球的概率为3162==P ．…………5分 ∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为1224(1)(1)9P C p p =⋅⋅-=． ………7分（Ⅱ）设摸得白球的个数为ξ，依题意得：432(0)655P ξ==⨯= ，42248(1)656515P ξ==⨯+⨯=，211(2)6515P ξ==⨯=．…………10分∴1812012215153E ξ=⨯+⨯+⨯=，……12分 22222282116(0)(1)(2)3531531545D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=．…………14分18．（本小题满分14分）如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点.（Ⅰ）求证：AB 1//面BDC 1；（Ⅱ）求二面角C 1—BD —C 的余弦值； （Ⅲ）在侧棱AA 1上是否存在点P ， 使得CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论.（I ）证明：连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD ∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点. 又D 是AC 的中点，∴OD//AB 1.………………………………………………2分 ∵AB 1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1，∴AB 1//面BDC 1.…………………………………………4分（II ）解：如力，建立空间直角坐标系，则C 1（0，0，0），B （0，3，2），C （0，3，0），A （2，3，0），D （1，3，0）……………………5分设n =（x 1，y 1，z 1）是面BDC 1的一个法向量，则,011⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅C B C n 即)21,31,1(,030231111-=⎩⎨⎧=+=+y x z y 取.…………6分易知C C 1=(0，3，0)是面ABC 的一个法向量.723671,cos 111-=⋅-=>=<∴C .…………………………8分 ∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为72.………………………………9分 （III ）假设侧棱AA 1上存在一点P （2，y ，0）（0≤y ≤3），使得CP ⊥面BDC 1.则⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-+=-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.373,0)3(320)3(3,0011y y y y C C 即∴方程组无解.∴假设不成立.……………………………………………………11分 ∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1.…………………12分19.(本题满分14分)已知函数211()ln ,()22f x xg x x ==-. (1)求()()()F x f x g x =-在[1,]e 上的最大值,最小值(e 是自然对数的底); (2)当0k >时,试讨论方程2(1)()f x g x k +-=的解的个数.解:(1)2111(1)(1)()ln ,()22x x F x x x F x x x x-+'=-+=-= 因为[1,]x e ∈,所以()0F x '<, 所以()F x 在[1,]e 上单调递减,所以当1x =时,()F x 取得最大值(1)0F =;当x e =时,()F x 取得最小值231()22F e e =-. (2)2(1)()f x g x k +-=即2211ln(1)22x x k +-+=.设22111ln(1)22y x x =+-+,2y k =,1222(1)(1)11x x x x y x x x -+'=-=++,令10y '=得1,0,1x =-.yx (,1)-∞-1-(1,0)-0 (0,1)1 (1,)+∞ 1y ' +0 - 0 +0 - 1y极大值ln 2极小值12极大值ln 2由图象得:①当102k <<时,原方程有2个解; ②当12k =时,原方程有3个解; ③当1ln 22k <<时,原方程有4个解; ④当ln 2k =时,原方程有2个解; ⑤当ln 2k >时,原方程无解.20．（本小题满分14分）已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切. (1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.19．（本小题满分14分）解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知： MF MN = …………………2分 即动点M 到定点F 与到定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ……………………………………3分 ∴动圆圆心的轨迹方程为x y 42= ……………………………………5分 （2）解法一：由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠ 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+= △216160k k =->，01k k ∴<>或 …………7分 设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k = ……………………………………………9分由0OP OQ ⋅=，即 ()11,OP x y = ，()22,OQ x y = ，于是12120x x y y +=， ……11分即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-⋅+=，解得4k =-或0k =（舍去） …………………………………13分又40k =-<， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-= ……………………………14分x =解法二：显然直线的斜率存在，由题可设直线l 的方程为1y kx =+由214y kx y x=+⎧⎨=⎩得22(24)10k x k x +-+= ()2224416160k k k ∆=--=-+>1k ∴< ……………………………………7分 设),(11y x P ，),(22y x Q ，则12242k x x k -+=，1221x x k= …………………………………9分 由0OP OQ ⋅=，即 ()11,OP x y = ，()22,OQ x y = ，于是12120x x y y +=， ……11分即1212(1)(1)0x x kx kx +++=，21212(1)()10k x x k x x ++++=， 222142(1)10k k k k k -+⋅+⋅+=，解得114k =-< ……………………………13分 ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-= ……………………………14分21．（本题满分14分）已知数列 {a n }、{b n } 满足：a 1 = 14 ，a n + b n = 1，b n +1 = b n1－a n 2(1) 求证 b n +1 =12－b n；并求b 1, b 2, b 3, b 4的值； (2) 求数列 {b n } 的通项公式；(3) 设 S n = a 1a 2 + a 2a 3 + a 3a 4 + … + a n a n +1，求实数a 为何值时 4aS n < b n 恒成立.20. 解：(1) b n +1 =b n (1－a n ) (1 + a n ) = b n b n (2－b n ) = 12－b n∵ a 1 = 14 ,b 1 = 34 ∴ b 2 = 45 ,b 3 = 56 ,b 4 = 67 （4分）(2) ∵ b n +1－1 = 12－b n －1 ∴ 1b n +1－1 = 2－b n b n －1 = －1 + 1b n －1∴ 数列{ 1b n －1}是以－4为首项，－1为公差的等差数列 ∴1b n －1= －4－(n －1) = －n －3 ∴ b n = 1－1n + 3 = n + 2n + 3 （8分）(3) a n = 1－b n =1n + 3∴ S n = a 1a 2 + a 2a 3 + … + a n a n +1 = 14×5 + 15×6+ … + 1(n + 3)(n + 4) = 14 －1n + 4=n4 (n + 4)∴ 4aS n －b n = an n + 4 －n + 2n + 3 = (a －1) n 2 + (3a －6) n －8(n + 3) (n + 4)由条件可知 (a －1)n 2 + (3a －6)n －8<0恒成立即可满足条件设f (n ) = (a －1)n 2 + 3(a －2)n －8 （11分） a = 1时， f (n ) = －3n －8<0恒成立a > 1 时，由二次函数的性质知不可能成立a < 1 时，对称轴 －32 ·a －2a －1 = －32 (1－1a －1 )<0f (n ) 在 (－ ,1] 为单调递减函数.f (1) = (a －1)n 2 + (3a －6)n －8 = (a －1) + (3a －6)－8 = 4a －15<0∴ a < 154 ∴a < 1 时 4aS n <b 恒成立综上知：a ≤1时，4aS n < b 恒成立（14分）。