九年级数学上册21.2.2公式法教案(新版)新人教版
九年级数学上册21.2.2公式法教案(新版)新人教版
21.2.2 公式法教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、温故知新（学生活动）用配方法解下列方程总结用配方法解一元二次方程的步骤：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知明晰新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2=分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax2+bx=-c二次项系数化为1，得x2+x=-配方，得：x2+x+（）2=-+（）2即（x+）2=∵b2-4ac>0且4a2>0∴≥0直接开平方，得：x+=±即x=∴x1=，x2=由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，•将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．3(=)(x2-x-1_)(6)3通过上面三个方程的求解，你发现了b2-4ac 与方程的根有什么关系吗？三、师生互动促进理解同学们，学方程的目的是解决实际问题，请看本章引言的问题你能解决吗？求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程解：得如果上面的解题过程看作思维操的话，下面的两题就是花样体操。
人教版九年级上册数学 21.2.2 公式法 优秀教案
21．2.2公式法1．知道一元二次方程根的判别式的概念．2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围．3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程．一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x2＋3x－4＝0；(2)x2－x＋14＝0；(3)x2－x＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)x2－x＋14＝0，a＝1，b＝－1，c＝14.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×14＝0.∴方程有两个相等的实数根．(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )A．a>2 B．a<2C．a<2且a≠1 D．a<－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.选C.方法总结：若方程有实数根，则b2－4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题．【类型三】说明含有字母系数的一元二次方程根的情况已知：关于x的方程2x2＋kx－1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根．证明：Δ＝k2－4×2×(－1)＝k2＋8，无论k取何值，k2≥0，所以k2＋8＞0，即Δ＞0，∴方程2x2＋kx－1＝0有两个不相等的实数根．方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其正、负情况，即可得出结论．【类型四】一元二次方程的根的情况的实际应用小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2”，他的说法对吗？请说明理由．解：假设能围成．设其中一个正方形的边长为x，则另一个正方形的边长是(10－x)，由题可得，x2＋(10－x)2＝48.化简得x2－10x＋26＝0.因为b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的．探究点二：公式法解一元二次方程【类型一】用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程：(1)2x2＋x－6＝0；(2)x2＋4x＝2；(3)5x2－4x＋12＝0；(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计算b2－4ac的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程(2)(4)则需要先化成一般形式，再求解．解：(1)这里a＝2，b＝1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x＝－b±b2－4ac2a＝－1±492×2＝－1±74，即原方程的解是x1＝－2，x2＝32.(2)将方程化为一般形式，得x2＋4x－2＝0.∵b2－4ac＝24，∴x＝－4±242＝－2± 6.∴原方程的解是x1＝－2＋6，x2＝－2－ 6.(3)∵b2－4ac＝－224<0，∴原方程没有实数根．(4)整理，得4x2＋12x＋9＝0.∵b2－4ac＝0，∴x1＝x2＝－32.方法总结：用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值．【类型二】一元二次方程解法的综合运用三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的解，则第三边的长为( )A．7 B．3C．7或3 D．无法确定解析：解一元二次方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3，x2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x＜8.所以第三边的长x＝7.故选A.方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍．三、板书设计教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式．同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程∴前提是Δ≥0.。
人教版初中数学九年级上册21.2.2公式法解方程(教案)
一、教学内容
人教版初中数学九年级上册第21章第2节“一元二次方程”，本节课主要聚焦于21.2.2公式法解方程。内容包括：
（1）回顾一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）；
（2）介绍公式法解一元二次方程的原理，即求根公式：x1,2 = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了公式法解一元二次方程的基本概念、求根公式的应用和根的判别式的意义。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，方程2x^2 - 5x + 3 = 0，我们将展示如何使用求根公式求解这个方程，并解释它在实际中的应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调求根公式的记忆和使用，以及根的判别式Δ的应用。对于难点部分，我会通过具体例题和逐步解析来帮助大家理解。
在学生小组讨论环节，我尝试扮演了一个引导者的角色，让学生们自主发现问题、分析问题并解决问题。这种教学方式取得了较好的效果，学生们在讨论中相互启发，共同进步。但我也发现，有些学生在分享成果时表达不够清晰，这可能是他们在语言组织和逻辑思维方面还有待提高。因此，在今后的教学中，我将加强对学生表达能力的培养，提高他们的逻辑思维能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
九年级数学上册-解一元二次方程21.2.2公式法教案2(新版)新人教版
21.2.2 公式法判别一元二次方程根的情况教学内容用b 2-4ac 大于、等于0、小于0判别ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的情况及其运用． 教学目标掌握b 2-4ac>0,ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不等的实根,反之也成立；b 2-4ac=0,ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根,反之也成立；b 2-4ac<0,ax 2+bx+c=0（a ≠0）没实根,反之也成立；及其它们关系的运用．通过复习用配方法解一元二次方程的b 2-4ac>0、b 2-4ac=0、b 2-4ac<0各一题,•分析它们根的情况,从具体到一般,给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．重难点关键1．重点:b 2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；b 2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；b 2-4ac<0↔一元二次方程没有实根．2．难点与关键从具体题目来推出一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的b 2-4ac 的情况与根的情况的关系．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）用公式法解下列方程．（1）2x 2-3x=0 （2）3x 2x+1=0 （3）4x 2+x+1=0老师点评,（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b 2-4ac=9>0,•有两个不相等的实根；（2）b 2-4ac=12-12=0,有两个相等的实根；（3）b 2-4ac=│-4×4×1│=<0,•方程没有实根二、探索新知从前面的具体问题,我们已经知道b 2-4ac>0（<0,=0）与根的情况,现在我们从求根公式的角度来分析:求根公式:x=2b a-±,当b 2-4ac>0时,根据平方根的意义具体数,所以一元一次方程的x 1=2b a -+≠x 1=2b a--,即有两个不相等的实根．当b 2-4ac=0时,•所以x 1=x 2=2b a -,即有两个相等的实根；当b 2-4ac<0时,根据平方根的意义,负数没有平方根,所以没有实数解．因此,（结论）（1）当b 2-4ac>0时,一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即x 1=2b a -+,x 2=2b a--． （2）当b-4ac=0时,一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=2b a-．（3）当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．例1．不解方程,判定方程根的情况（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0分析:不解方程,判定根的情况,只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0•的情况进行分析即可．解:（1）化为16x2+8x+3=0这里a=16,b=8,c=3,b2-4ac=64-4×16×3=-128<0所以,方程没有实数根．（2）a=9,b=6,c=1,b2-4ac=36-36=0,∴方程有两个相等的实数根．（3）a=2,b=-9,c=8b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0∴方程有两个不相等的实根．（4）a=1,b=-7,c=-18b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0∴方程有两个不相等的实根．三、巩固练习不解方程判定下列方程根的情况:（1）x2+10x+26=0 （2）x2-x-34=0（3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+116=0（5）x214=0 （6）4x2-6x=0（7）x（2x-4）=5-8x四、应用拓展例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解,求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．分析:要求ax+3>0的解集,就是求ax>-3的解集,那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根,即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．解:∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0a<-2∵ax+3>0即ax>-3∴x<-3 a∴所求不等式的解集为x<-3 a五、归纳小结本节课应掌握:b2-4ac>0↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0 ↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．六、布置作业1．教材P46复习巩固6 综合运用9 拓广探索1、2．2．选用课时作业设计．第五课时作业设计一、选择题1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况,其中正确的有（）．A．∵b2-4ac=-8,∴方程有解B．∵b2-4ac=-8,∴方程无解C．∵b2-4ac=8,∴方程有解D．∵b2-4ac=8,∴方程无解2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等,则a的值为（）．A．a=0 B．a=2或a=-2C．a=2 D．a=2或a=03．已知k≠1,一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根,则k的取值范围是（）．A．k≠2 B．k>2 C．k<2且k≠1 D．k为一切实数二、填空题1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数,则p与q的关系是________．2．不解方程,判定2x2-3=4x的根的情况是______（•填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．3．已知b≠0,不解方程,试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）•=0的根的情况是________．三、综合提高题1．不解方程,试判定下列方程根的情况．（1）2+5x=3x2（2）x2-（2．当c<0时,判别方程x2+bx+c=0的根的情况．3．不解方程,判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．4．某集团公司为适应市场竞争,赶超世界先进水平,每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金,该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元,2002年销售总额为7.2亿元,求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．答案:一、1．B 2．B 3．D二、1．p2-4q=0 2．有两个不等实根 3．有两个不等实根三、1．（1）化为3x2-5x-2=0 b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0,有两个不等实根．（2）b2没有实根．2．∵c<0 ∴b2-4×1×c>0,方程有两个不等的实根．3．b2-4ac=4k2-4（2k-1）=4k2-8k+4=4（k-1）2≥0,•∴方程有两个不相等的实根或相等的实根．4．设平均增长率为x,400000008%（1+x）2=720000000,即50（1+x）2=72 解得x=20%,∴年销售总额的平均增长率是20%．。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法教案新人教版(2021
2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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21.2.2 公式法※教学目标※【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程．2。
能利用公式法求一元二次方程的解．【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力．【情感态度】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严禁认真的科学态度．【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】一元二次方程求根公式的推导．※教学过程※一、复习导入1.前面我们学习过直接开平方法解一元二次方程，比如，方程24x，227x：提问1 这种解法的（理论）依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么?（只对那种“平方式等于非负数"的特殊的一元二次方程有效，不能实施于一般形式的一元二次方程）2.面对这种局限性，我们该怎么办？（使用配方法,把一般形式的一元二次方程化为能够直接开平方的形式）（学生活动) 用配方法解方程:2x x．237总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结,老师点评）（1）先将已知方程化为一般形式； （2）二次项系数化为1； （3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一般的平方，使左边配成一个完全平方式; （5）变形为2x np 的形式，如果0p ，就可以直接开平方求出方程的解，如果0p ，则一元二次方程无解．二、探索新知能否用上面配方法的步骤求出一元二次方程200ax bx c a 的两根？移项，得2ax bxc ．二次项系数化为1,得2b cx xa a． 配方，得22222b b c b xx a aaa，即222424b b ac x aa ．此时，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：（1）两边能直接开平方吗？为什么？ （2）你认为下一步该怎么办？师生共同完善认知：(1）当b 2—4ac ＞0时，两边可直接开平方，得242b b ac x a，∴2142bb ac x a，2242bb ac x a;（2)当b 2—4ac =0时，有202b x a 。
2019-2020年九年级数学上册 21.2.2 公式法教案 (新版)新人教版
2019-2020年九年级数学上册 21.2.2 公式法教案（新版）新人教版教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程（1）x2=4 (2)(x-2) 2=7提问1 这种解法的（理论）依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。
）2．面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。
）（学生活动）用配方法解方程 2x2+3=7x（老师点评）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．二、探索新知用配方法解方程（1）ax2－7x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=，x2=(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax2+bx=-c二次项系数化为1，得x2+x=-配方，得：x2+x+（）2=-+（）2即（x+）2=∵4a2>0，4a2＞0, 当b2-4ac≥0时≥0∴（x+）2=()2直接开平方，得：x+=±即x=∴x1=，x2=由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，•将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法 教案2
人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教案2一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.2.2节“公式法”，主要介绍了二次函数的顶点坐标公式和判别式的计算方法。
这一节内容是学生在学习了二次函数图像和性质的基础上，进一步深化对二次函数的理解。
本节内容的教学，旨在让学生掌握二次函数的顶点坐标公式，能够运用判别式判断二次函数图象与x轴的交点个数，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本概念、图像和性质，对于二次函数有一定的了解。
但是，对于二次函数的顶点坐标公式和判别式的计算方法，部分学生可能还不太熟悉。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生回顾二次函数的相关知识，帮助学生理解和掌握顶点坐标公式和判别式的计算方法。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数的顶点坐标公式。
2.让学生学会运用判别式判断二次函数图象与x轴的交点个数。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的顶点坐标公式的记忆和应用。
2.判别式的计算方法和判断二次函数图象与x轴交点个数的方法。
五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、讨论法、练习法等教学方法，以教师为主导，学生为主体，通过引导学生自主探究、合作交流，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次函数的基本概念、图像和性质，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）讲解二次函数的顶点坐标公式，并通过示例让学生理解公式的含义和应用。
接着，介绍判别式的计算方法，让学生学会判断二次函数图象与x轴的交点个数。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析给出的几个二次函数的图象，运用顶点坐标公式和判别式计算方法，判断函数图象与x轴的交点个数，并解释原因。
4.巩固（10分钟）让学生回答一些有关二次函数的判断题，检验学生对顶点坐标公式和判别式计算方法的掌握程度。
九年级数学上册21.2.2公式法教案1新人教版
21．2。
2 公式法1．知道一元二次方程根的判别式的概念．2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围．3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程．一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗?二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程,判断下列方程的根的情况．（1）2x2＋3x－4＝0；(2）x2－x＋错误!＝0；（3）x2－x＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时,方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．解：（1)2x2＋3x－4＝0,a＝2，b＝3,c＝－4,∴b2－4ac＝32－4×2×(－4）＝41＞0。
∴方程有两个不相等的实数根．（2)x2－x＋错误!＝0，a＝1,b ＝－1,c＝错误!.∴b2－4ac＝（－1）2－4×1×错误!＝0。
∴方程有两个相等的实数根．（3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1,c＝1.∴b2－4ac＝(－1）2－4×1×1＝－3＜0。
∴方程没有实数根．方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根;当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( ）A．a>2 B．a〈2C．a<2且a≠1 D．a〈－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0,得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1）＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1。
九年级数学上册-解一元二次方程21.2.2公式法教案新版新人教版
21.2.2 公式法【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程；2.能利用公式法求一元二次方程的解.【过程与方法】经历探索求根公式的过程,加强推理技能,进一步发展逻辑思维能力.【情感态度】用公式法求解一元二次方程的过程中,锻炼学生的运算能力,养成良好的运算习惯,培养严谨认真的科学态度.【教学重点】用公式法解一元二次方程.【教学难点】推导一元二次方程求根公式的过程.一、情境导入,初步认识我们知道,对于任意给定的一个一元二次方程,只要方程有解,都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上,任何一个一元二次方程都可以写成ax2+bx+c=0的形式,我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看,该怎样做？【教学说明】让学生回顾用配方法解一元二次方程的一般过程,从而尝试着求ax2+bx+c=0（a≠0）的方程的解,导入新课,教学时,应给予足够的思考时间,让学生自主探究.二、思考探究,获取新知通过问题情境思考后,师生共同探讨方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.由ax2+bx+c=0(a≠0),移项,ax2+bx=-c.二次项系数化为1,得x2+bax=-ca.配方,得x2+bax+2()2ba=-ca+2()2ba,即2224(42)b aa abxc-+=.至此,教师应作适当停顿,提出如下问题,引导学生分析、探究:（1）两边能直接开平方吗？为什么？（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.【教学说明】设置停顿并提出两个问题的目的在于纠正学生的盲目行为,引导学生正确认识代数式b2-4ac的取值与此方程的解之间的关系,加深认知.教学时,应让学生积极主动思考,畅所欲言,在相互交流中促进理解.师生共同完善认知:一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,通常用Δ表示,即Δ=b2-4ac.从而有:①当Δ=b2-4ac＞0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；当Δ=b2-4ac＜0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数解；②当Δ≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根可写成24b b ac-±-这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.三、典例精析,掌握新知例1不解方程,判别下列各方程的根的情况.(1)x2+x+1=0; (2)x2-3x+2=0; (3)3x22x=2.分析:找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项,利用b2-4ac与0的大小关系可得结论.注意:在确定方程中a、b、c的值时,一定要先把方程化为一般式后才能确定,否则会出现失误.解:（1）∵a=1,b=1,c=1,∴Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0,∴原方程无实数解;(2)∵a=1,b=-3,c=2,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1＞0,∴原方程有两个不相等实数根；（3）原方程可化为3x22x-2=0,∴2 ,c=-2,∴Δ=b22)2-4×3×(-2)=2+24=26＞0.∴原方程有两个不相等的实数根.例2用公式法解下列方程:(1)x2-4x-7=0; (2)2x22x+1=0; (3)5x2-3x=x+1; (4)x2+17=8x分析:将方程化为一般形式后,找出a、b、c的值并计算b2-4ac后,可利用公式求出方程的解.【教学说明】以上两例均可让学生自主完成,同时选派同学上黑板演算.教师巡视,针对学生的困惑及时予以指导,最后共同评析黑板上作业,一方面引导学生关注其解答是否正确,同时还应注意其解答格式是否规范,查漏补缺,深化理解.教师接着引导学生阅读第12页有关引言中问题的解答,向学生提问:（1）什么情况下根的取值为正数？（2）列方程解决实际问题在取值时应注意什么？四、运用新知,深化理解1.关于x的方程x2-2x+m=0有两个实数根,则m的取值范围是 .2.如果关于x的一元二次方程k2x2-（2k+1）x+1=0有两个不相等实数根,那么k的取值范围是（）A.k＞-1 4B.k＞-14且k≠0C.k＜-1 4D.k≥-14且k≠03.方程2x2+43x+62=0的根是（）A.x1=2,x2=3B.x1=6, x2=2C.x1=22, x2=2D.x1=x2=-64.关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一个根为0,试求m的值.（注:5~6题为教材第12页练习）5.解下列方程:（1）x2+x-6=0; （2）x2-3x-14=0; （3）3x2-6x-2=0;（4）4x2-6x=0; （5）x2+4x+8=4x+11; （6）x(2x-4)=5-8x.6.求第21.1节中问题1的答案.【教学说明】通过练习可进一步理解和掌握本节知识,在学中练、练中学的活动中得到巩固和提高.【答案】1.m≤12.B3.D4.把x=0代入方程,得m2+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3,又∵m-1≠0,即m≠1,故m的值为-3.5~6略五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你有哪些收获和体会?说说看.【教学说明】在学生回顾与反思本节课的学习过程中,进一步完善认知,师生共同归纳总结.1.布置作业:从教材“习题21.2”中选取.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.1.本课容量较大,难度较大,计算的要求较高,因此在教学设计各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开,问题设计,课堂学习有利于学生强化运算能力,掌握基本技能,也有利于教师发现教学中存在的问题.2.在教学设计中,引导学生自主探索一元二次方程的求根公式,在师生讨论中发现求根公式,并学会利用公式解一元二次方程.3.整个课堂都以学生动手训练为主,让学生积极介入探索活动,体验到成功的喜悦.4.公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法,它使解一元二次方程更加简便,在公式的运用中,涉及到根的判别式,使公式法解一元二次方程得到延续和深化.。
数学人教版九年级上册21.2.2公式法教案
第二十一章一元二次方程21.2.2公式法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况.3.熟练地使用求根公式解一元二次方程.1.通过探究一元二次方程的求根公式,提高学生的观察能力、分析问题能力,同时培养学生的数学建模意识和合情推理能力.2.通过正确、熟练地使用求根公式解一元二次方程,提高学生的综合运算能力.3.通过探究求根公式的推导及应用过程,获得成功的数学体验,增强学好数学的信心.1.探究公式的过程中,小组之间的交流合作,进一步发展学生合作交流的意识和能力,让学生体验数学活动充满着创造和乐趣.2.发展学生独立思考、勇于探索的创新精神,向学生渗透转化思想,让学生感受数学中的内在美.【重点】根的判别式及用公式法解一元二次方程.【难点】一元二次方程求根公式的推导过程.一、复习导入按照配方法解方程的一般步骤,将方程ax2+bx+c=0(a≠0)左边配成完全平方形式.解:移项,得ax2+bx=-c,方程中的二次项系数化为1,得x2+x=-,配方,得x2+x+=-,即=-.用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),将方程左边配成完全平方式,过程同思路一的板书过程.问题1一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后的方程=-一定有实根吗?【师生活动】学生小组讨论,共同探究,规范书写过程.教师按思路一继续板书过程.∵4a2>0,当b2-4ac≥0时,-≥0,∴= -,直接开平方,得x +=±-,即x=- -,∴x 1=- -,x 2=- - -.当b 2-4ac<0时,-<0,∴原方程没有实数根.[设计意图] 设计共同探究环节,让学生亲身经历一元二次方程求根公式的推导,有利于对公式的掌握,同时经过体验知识的形成过程,在发现问题、共同交流的过程中,培养了学生分析问题、解决问题的能力.归纳总结:思考:(1)如何判断一元二次方程ax 2+bx +c=0(a ≠0)根的情况? (2)一元二次方程ax 2+bx +c=0(a ≠0)的求根公式是什么? 小组交流,共同得出结论.结论一:一般地,式子b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c=0(a ≠0)根的判别式,常用希腊字母“Δ”表示,即Δ=b 2-4ac.当Δ=b 2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; 当Δ=b 2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; 当Δ=b 2-4ac<0时,方程没有实数根.结论二:解一元二次方程时,先将方程化为一般形式ax 2+bx +c=0,当b 2-4ac ≥0时,将a ,b ,c 代入式子x=- -就得到方程的根,这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. 教师强调:(1)一元二次方程的根由系数a ,b ,c 共同决定;(2)用公式法解一元二次方程时,先将方程化成一般形式,确定a ,b ,c 的值.[设计意图] 经过讨论,加深对根的判别式和求根公式的认识,可使学生在运用公式的过程中自觉地计算判别式的值,并熟练记忆求根公式,同时培养了学生归纳总结能力和学习数学的严谨性. 三、例题讲解【课件3】 判断下列方程根的情况,试着求解方程. (1)x 2-4x-7=0; (2)2x 2-2 x +1=0; (3)5x 2-3x=x +1; (4)x 2+17=8x.【学生活动】 学生迅速演算或口算出b 2-4ac ,从而判断出根的情况,看谁做得既快又准确.然后用公式法解上边的方程.【师生活动】 学生思考后,课件展示解题过程,教师规范答题格式. 解:(1)a=1,b=-4,c=-7,b 2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0,∴x=- -=- - ± = ,即x 1=2+ ,x 2=2- . (2)a=2,b=-2 ,c=1,b 2-4ac=(-2 )2-4×2×1=0,方程有两个相等的实数根,∴x 1=x 2=-=-- =. (3)将原方程化为5x 2-4x-1=0,a=5,b=-4,c=-1,b 2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0,∴x=- -=- - ±=.即x 1=1,x 2=-.(4)原方程即为x 2-8x +17=0.a=1,b=-8,c=17,b 2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0,∴方程无实数根.[设计意图] 通过练习让学生熟练掌握本节课的重点,看谁判断的速度快,激发学生的竞争意识,培养学习兴趣;演示解方程的过程,规范答题格式,培养学生严谨的学习态度和逻辑思维能力.[知识拓展] 公式法解一元二次方程的一般步骤:(1)将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号,尽量让a>0; (2)找出系数a ,b ,c ,注意各项系数的符号; (3)计算b 2-4ac ,若结果为负数,方程无解; (4)若结果为非负数,代入求根公式,算出结果.练习 1.解方程:(1)x 2-7x-18=0; (2)x 2+3=2 x ; (3)(x-2)(1-3x )=6.三、课堂小结1.方程ax 2+bx +c=0(a ≠0),当b 2-4ac ≥0时,式子x=- -叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.2.式子b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c=0(a ≠0)根的判别式,常用“Δ”表示. 当Δ=b 2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; 当Δ=b 2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; 当Δ=b 2-4ac<0时,方程没有实数根. 3.用公式法解方程应注意的问题:先将方程化为一般形式,确定a,b,c的值时注意符号,当Δ=b2-4ac≥0时,将a,b,c的值代入求根公式.4.公式法解一元二次方程的步骤.练习2不解方程判别下列方程的根的情况.(1)x2-6x+1=0(2 2x2-x+2=0 (3)9x2+12x+4=0四、检测反馈题组一:解下列方程:(1)x2-2x-8=0; (2)9x2+6x=8;(3)(2x-1)(x-2)=-1; (4)3y2+1=2y.题组二:关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根,则m .变式1:关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个相等的实数根,则m .变式2:关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0没有实数根,则m .2.[想一想]清清和楚楚两位同学刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0,清清说:“此方程有两个不相等的实数根”,而楚楚反驳说:“不一定,根的情况跟m 的值有关”.那你认为呢?并说明理由.五、板书设计21.2.2 公式法一、公式法解一元二次方程的一般步骤 二、根的判别式 当Δ=b 2-4ac>0时,✕✕ 当Δ=b 2-4ac=0时,✕✕ 当Δ=b 2-4ac<0时,✕✕方程ax 2+bx +c=0(a ≠0),当b 2-4ac ≥0时,式子x=- -叫求根公式.三、例题讲解 六、布置作业 教材作业： 【必做题】教材第12页练习的1题. 【选做题】教材第17页习题21.2的13题.课后作业：【基础巩固】1.下列方程中没有实数根的是()A.x2+x-1=0B.x2+x+2=0C.x2+8x+1=0D.x2-2x+2=02.用公式法解方程4x2-12x=3,得到()A.x=-±B.x=C.x=-±D.x=3.方程x2+x-1=0的一个根是()A.1-B.C.1+D.-4.关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为()A.m>B.m<C.m=D.m<-5.关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+(2+k2)=0有实根,则k的取值范围是.6.当x= 时,代数式x2-8x+12的值是-4.7.求证:关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根.8.已知关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0:(1)当m取何值时,方程有实数解?(2)当m取何值时,方程没有实数解?9.用公式法解下列方程.(1)2x2-4x-1=0;(2)5x+2=3x2;(3)(x-2)(3x-5)=1;(4)4x2-3x+1=0.【能力提升】10.设方程x2-2x-2=0的较小根为x1,下面对x1的估计正确的是()A.-2<x1<-1B.-1<x1<0C.0<x1<1D.1<x1<211.已知关于x的方程x2+(1-m)x+=0有两个不相等的实数根,则m的最大整数值是.12.用公式法解关于x的方程x2-2ax-b2+a2=0.【拓展探究】13.嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2+bx +c=0(a ≠0)的求根公式时,对于b 2-4ac>0的情况,她是这样做的:由于a ≠0,所以可将方程ax 2+bx +c=0变形为: x 2+ x=- ,…第一步∴x 2+ x + =- ,…第二步∴ =- ,…第三步 ∴x + =±- (b 2-4ac>0),…第四步 ∴x=- - .…第五步嘉淇的解法从第 步开始出现错误.事实上,当b 2-4ac>0时,方程ax 2+bx +c=0(a ≠0)的求根公式是 .用公式法解方程x 2-2x-24=0.【答案与解析】1.B(解析:分别求各方程的根的判别式b 2-4ac ,满足b 2-4ac<0的方程是x 2+x +2=0.故选B.)2.D(解析:移项,得4x2-12x-3=0,则a=4,b=-12,c=-3,代入求根公式得x=- - = .故选D.) 3.D(解析:方程中a=1,b=1,c=-1,代入求根公式可得x=- - =- ± .故选D.) 4.B(解析:根据题意得Δ=(-3)2-4m>0,解得m< .故选B.)5.k≥(解析:根据题意得Δ=(2k+1)2-4×(2+k2)≥0,解得k≥.故填k≥.)6.4(解析:根据题意列方程得x2-8x+12=-4,解方程可得x1=x2=4.故填4.)7.证明:∵Δ=b2-4ac=(2k+1)2-4×1×(k-1)=4k2+5>0恒成立,∴方程有两个不相等的实数根.8.解:已知关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0,Δ=4m2+9+12m-4m2=12m+9.(1)当Δ≥0时方程有实数解,∴12m+9≥0,解得m≥-,∴当m≥-时方程有实数解. (2)当Δ<0时方程没有实数解,∴12m+9<0,解得m<-,∴当m<-时方程没有实数解.9.解:(1)a=2,b=-4,c=-1,b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0,∴x==,∴x1=,x2=. (2)将方程化为一般形式为3x2-5x-2=0,a=3,b=-5,c=-2,∴b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49>0,∴x==,∴x1=2,x2=-. (3)将方程化为一般形式为3x2-11x+9=0,a=3,b=-11,c=9,∴b2-4ac=(-11)2-4×3×9=13>0,∴x==,∴x1=,x2=. (4)a=4,b=-3,c=1,∴b2-4ac=(-3)2-4×4×1=-7<0,∴方程无实数根.10.B(解析::x2-2x-2=0,即(x-1)2=3,所以x-1=±,所以x1=1-,x2=1+,即较小根为x1=1-,所以-1<x1<0.故选B.)11.0(解析:根据题意得Δ=(1-m)2-4×>0,解得m<,所以m的最大整数值为0.故填0.)12.解:由题意得Δ=4a2+4b2-4a2=4b2,∴x===a±,∴x1=a+b,x2=a-b.--13.四x=解:a=1,b=-2,c=-24,b2-4ac=(-2)2-4×1×(-24)=100>0,∴x==.∴x1=6,x2=-4.教学反思：本节课的重点是通过配方法探究一元二次方程的求根公式,最突出的特点是探究活动中设计了一个个小问题,在整个过程中始终做到给学生留下了很大的思维空间,始终围绕问题动手操作、小组合作交流,让学生积极参与、自主探究,学生是课堂的主体,无论是公式的推导,还是公式的应用,都是在教师的引导下,学生自己完成的,注重了知识的形成过程,锻炼了学生的发散思维.在课堂检测中编排的习题既注重本节课基础知识的训练,又注重学生能力的培养,整节课学生在愉悦的课堂气氛中掌握了知识,培养了能力.本节课有一元二次方程根的判别式和求根公式两个重点内容,在探究公式的过程中有部分学生对含字母系数的方程不够熟悉,造成推导公式的困难,所以在时间安排上,学生思考时间过短,如一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系,没给学生留充分的思考时间.另外过高地估计了学生的能力,学生对求根公式是陌生的,造成课堂训练中计算出错较多的情况.这节课不是让学生背公式、套公式解方程,而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的意识,由学生亲身体会公式推导的全过程,提高学生推理能力和逻辑思维能力,同时进一步发展学生合作交流的意识,帮助学生形成积极主动的求知态度.。
最新人教版初中九年级上册数学《公式法》教案
21.2.2 公式法【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程；2.能利用公式法求一元二次方程的解.【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.【情感态度】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.【教学重点】用公式法解一元二次方程.【教学难点】推导一元二次方程求根公式的过程.一、情境导入，初步认识我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？【教学说明】让学生回顾用配方法解一元二次方程的一般过程，从而尝试着求ax2+bx+c=0（a≠0）的方程的解，导入新课，教学时，应给予足够的思考时间，让学生自主探究.二、思考探究，获取新知通过问题情境思考后，师生共同探讨方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.由ax2+bx+c=0(a≠0),移项，ax2+bx=-c.二次项系数化为1，得x2+bax=-ca.配方，得x2+bax+2()2ba=-ca+2()2ba，即2224(42)b aa abxc-+=.至此，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：（1）两边能直接开平方吗？为什么？（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.【教学说明】设置停顿并提出两个问题的目的在于纠正学生的盲目行为，引导学生正确认识代数式b2-4ac的取值与此方程的解之间的关系，加深认知.教学时，应让学生积极主动思考，畅所欲言，在相互交流中促进理解.师生共同完善认知：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ=b2-4ac.从而有：①当Δ=b2-4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；当Δ=b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数解；②当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根可写成x=242b b aca-±-，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.三、典例精析，掌握新知例1不解方程，判别下列各方程的根的情况.(1)x2+x+1=0; (2)x2-3x+2=0; (3)3x22分析:找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项，利用b2-4ac与0的大小关系可得结论.注意：在确定方程中a、b、c的值时，一定要先把方程化为一般式后才能确定，否则会出现失误.解：（1）∵a=1,b=1,c=1,∴Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0,∴原方程无实数解;(2)∵a=1,b=-3,c=2,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1＞0,∴原方程有两个不相等实数根；（3）原方程可化为3x2-2x-2=0,∴a=3,b=-2,c=-2,∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×3×(-2)=2+24=26＞0.∴原方程有两个不相等的实数根.例2用公式法解下列方程：(1)x2-4x-7=0; (2)2x2-22x+1=0; (3)5x2-3x=x+1; (4)x2+17=8x分析：将方程化为一般形式后，找出a、b、c的值并计算b2-4ac后，可利用公式求出方程的解.【教学说明】以上两例均可让学生自主完成，同时选派同学上黑板演算.教师巡视，针对学生的困惑及时予以指导，最后共同评析黑板上作业，一方面引导学生关注其解答是否正确，同时还应注意其解答格式是否规范，查漏补缺，深化理解.教师接着引导学生阅读第12页有关引言中问题的解答，向学生提问：（1）什么情况下根的取值为正数？（2）列方程解决实际问题在取值时应注意什么？四、运用新知，深化理解1.关于x的方程x2-2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是.2.如果关于x的一元二次方程k2x2-（2k+1）x+1=0有两个不相等实数根，那么k 的取值范围是（）A.k＞-1 4B.k＞-14且k≠0C.k＜-1 4D.k≥-14且k≠03.x2=0的根是（）A.x1，x2B.x1=6, x2C.x1, x2D.x1=x24.关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一个根为0，试求m的值.（注：5~6题为教材第12页练习）5.解下列方程：（1）x2+x-6=0; （2）x2（3）3x2-6x-2=0;（4）4x2-6x=0; （5）x2+4x+8=4x+11; （6）x(2x-4)=5-8x.6.求第21.1节中问题1的答案.【教学说明】通过练习可进一步理解和掌握本节知识，在学中练、练中学的活动中得到巩固和提高.【答案】1.m≤12.B3.D4.把x=0代入方程，得m2+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3,又∵m-1≠0，即m≠1,故m的值为-3.5~6略五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.【教学说明】在学生回顾与反思本节课的学习过程中，进一步完善认知，师生共同归纳总结.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.1.本课容量较大，难度较大，计算的要求较高，因此在教学设计各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开，问题设计，课堂学习有利于学生强化运算能力，掌握基本技能，也有利于教师发现教学中存在的问题.2.在教学设计中，引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，在师生讨论中发现求根公式，并学会利用公式解一元二次方程.3.整个课堂都以学生动手训练为主，让学生积极介入探索活动，体验到成功的喜悦.4.公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法，它使解一元二次方程更加简便，在公式的运用中，涉及到根的判别式，使公式法解一元二次方程得到延续和深化.。
人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法 教学设计2
人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教学设计2一. 教材分析人教版九年级数学上册第21章“勾股定理”的21.2.2节“公式法”是本章的重要内容，主要介绍了求解直角三角形的方法之一——公式法。
通过本节的学习，学生能够掌握直角三角形中边长之间的数量关系，并能运用勾股定理解决实际问题。
本节课的内容是学生对直角三角形性质的进一步了解，为后续学习三角函数、解析几何等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，对直角三角形有一定的了解。
但是，对于勾股定理的推导和证明，部分学生可能还存在困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，引导学生积极参与，提高他们的空间想象能力和逻辑思维能力。
三. 教学目标1.了解勾股定理的公式及推导过程。
2.能够运用勾股定理解决实际问题。
3.提高空间想象能力和逻辑思维能力。
4.培养合作交流、积极探究的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：勾股定理的公式及运用。
2.难点：勾股定理的推导过程和证明。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究。
2.利用多媒体辅助教学，提高学生的空间想象能力。
3.采用合作交流的学习方式，培养学生的团队协作能力。
4.运用练习法，巩固所学知识。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.勾股定理的相关教学素材。
3.练习题及答案。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的直角三角形现象，如篮球架、房屋建筑等，引导学生思考直角三角形的特点和性质。
然后，提问：你能用已学的知识解释这些现象吗？从而引出本节课的主题——勾股定理。
呈现（10分钟）教师通过多媒体展示勾股定理的推导过程，引导学生观察、思考并总结出勾股定理的公式。
在这个过程中，教师要注意引导学生理解直角三角形中边长之间的数量关系。
操练（15分钟）教师给出一些具体的直角三角形实例，让学生运用勾股定理计算斜边长或其他边长。
学生独立完成后，教师选取部分答案进行讲解和分析。
人教版数学九年级上册教学设计21.2.2《公式法》
人教版数学九年级上册教学设计21.2.2《公式法》一. 教材分析人教版数学九年级上册第21.2.2节《公式法》是二次函数求解部分的重要内容。
本节主要介绍公式法求解二次方程的步骤和应用。
教材通过例题和练习题，使学生掌握公式法的基本原理，能够熟练运用公式法求解二次方程，并解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本概念和图像，对二次函数有一定的认识。
但学生在求解二次方程时，可能还不太熟悉公式法，需要通过本节课的学习，进一步巩固和提高。
三. 教学目标1.了解公式法求解二次方程的基本原理。
2.掌握公式法求解二次方程的步骤。
3.能够熟练运用公式法求解二次方程，并解决实际问题。
4.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：公式法求解二次方程的基本原理和步骤。
2.难点：如何灵活运用公式法求解实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：讲解公式法的基本原理和步骤。
2.案例分析法：分析例题，引导学生运用公式法解决问题。
3.练习法：通过练习题，巩固所学知识。
4.小组讨论法：分组讨论，共同解决问题。
六. 教学准备1.教材和人教版数学九年级上册相关资料。
2.投影仪和电脑。
3.练习题和答案。
4.教学课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示二次方程的图像，引导学生回顾二次函数的基本概念。
然后提出问题：“如何求解二次方程？”引发学生的思考。
2.呈现（10分钟）介绍公式法求解二次方程的基本原理和步骤。
通过讲解和示例，让学生明白公式法的运用过程。
3.操练（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）分组讨论：如何运用公式法解决实际问题？让学生通过讨论，提高解决问题的能力。
5.拓展（5分钟）出示一些实际问题，让学生运用公式法解决。
教师点评学生的解题过程，指出不足之处。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调公式法在解决二次方程中的应用。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关公式法的练习题，让学生巩固所学知识。
九年级数学上册 21.2.2 公式法教案 新人教版(1)(2021年整理)
九年级数学上册21.2.2 公式法教案（新版）新人教版(1)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册21.2.2 公式法教案（新版）新人教版(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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21.2.2解一元二次方程——公式法一、教学目标1.掌握公式法解一元二次方程的推导过程；2.掌握公式法解一元二次方程的公式并能够使用公式法解一元二次方程。
3。
求根判别公式的应用。
二、课时安排：1课时三、教学重点:使用公式法解一元二次方程.四、教学难点：公式法解一元二次方程的推导过程及其求根判别公式的应用。
五、教学过程（一）导入新课内容：（二）讲授新课（三）重难点精讲活动内容1：例题分析活动内容2:议一议活动内容3：课堂检测1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是（）A.有一个实数根 B。
有两个相等的实数根C。
有两个不相等的实数根 D。
没有实数根2.方程x2—3x+1=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B。
有两个相等的实数根C. 没有实数根 D。
只有一个实数根3.下列一元一次方程中，有实数根的是 ( ）A.x2—x+1=0 B。
x2-2x+3=0C。
x2+x-1=0 D.x2+4=04。
关于x的方程k2x2+（2k—1）x+1=0有实数根，则下列结论正确的是（ )A.当k=1/2时，方程两根互为相反数B。
当k=0时,方程的根是x=-1C.当k=±1时，方程两根互为倒数D.当k≤1/4时,方程有实数根5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是( )A.m＜1 B。
九年级数学上册 21.2.2 公式法学案 (新版)新人教版
公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：(1)x 2＋3x ＋2＝0； (2)2x 2－3x ＋5＝0.解：(1)x 1＝－2，x 2＝－1； (2)无解．一、自学指导．(8分钟)如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a. 分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac 2a就得到方程的根，当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．(2)x ＝－b±b 2－4ac 2a叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式． (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．(5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b 2－4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2x 2－3x ＝0； (2)3x 2－23x ＋1＝0；(3)4x 2＋x ＋1＝0. 解：(1)x 1＝0，x 2＝32；有两个不相等的实数根； (2)x 1＝x 2＝33；有两个相等的实数根； (3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( B )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个实数根D ．没有实数根2．当m 为何值时，方程(m ＋1)x 2－(2m －3)x ＋m ＋1＝0，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解：(1)m ＜14； (2)m ＝14； (3)m ＞14. 3. 已知x 2＋2x ＝m －1没有实数根，求证：x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.证明：∵x 2＋2x －m ＋1＝0没有实数根，∴4－4(1－m)＜0，∴m ＜0.对于方程x 2＋mx ＝1－2m ，即x 2＋mx ＋2m －1＝0，Δ＝m 2－8m ＋4，∵m ＜0，∴Δ＞0，∴x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x 2－3x －32＝0; (2)16x 2－24x ＋9＝0； (3)x 2－42x ＋9＝0 ; (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x.解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．2．用公式法解下列方程：(1)x 2＋x －12＝0 ; (2)x 2－2x －14＝0； (3)x 2＋4x ＋8＝2x ＋11; (4)x(x －4)＝2－8x ；(5)x 2＋2x ＝0 ; (6)x 2＋25x ＋10＝0.解：(1)x 1＝3，x 2＝－4；(2)x 1＝2＋32，x 2＝2－32； (3)x 1＝1，x 2＝－3； (4)x 1＝－2＋6，x 2＝－2－6；(5)x 1＝0，x 2＝－2; (6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a ，b ，c 确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b 2－4ac≥0的前提下，把a ，b ，c 的值代入x ＝－b±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根； (3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．(学生总结本堂课的收获与困惑)．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a ，b ，c 的值，再算．出b 2－4ac 的值、最后代．入求根公式求解． 3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)。
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公式法
1.会推导一元二次方程的求根公式,加强推理技能的训练.
2.牢固记忆一元二次方程的求根公式及根的判别,并会运用求根公式计算一元二次方程的解.
【重点难点】
1.会用根的判别式判断方程根的情况.
2.能用求根公式解一元二次方程.
【新课导入】
请你想一想用配方法解一元二次方程的步骤有哪些?
你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
【课堂探究】
一、用公式法解一元二次方程
1.用公式法解方程:
2x2-4x-1=0.
解:∵a=2,b=-4,c=-1,
∴b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)
=16+8=24>0,
∴此方程有两个不相等的实数根.
∴x===,
∴x1=;x2=.
2.(2013广州)解方程x2-10x+9=0.
解:b2-4ac=(-10)2-4×1×9=100-36=64,
x==,
∴x1=9,x2=1.
二、根的判别式
3.对于一元二次方程ax2+bx+c=0,下列叙述正确的是( B )
(A)方程总有两个实数根
(B)只有当b2-4ac≥0时,才有实根
(C)当b2-4ac<0时,方程只有一个实根
(D)当b2-4ac=0时,方程无实根
4.(2013成都)一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是( A )
(A)有两个不相等的实数根
(B)有两个相等的实数根
(C)只有一个实数根
(D)没有实数根
1.已知方程x2-6x-1=0,其中b2-4ac的值是( C )
(A)10 (B)32 (C)40 (D)-40
2.(2013上海)下列关于x的一元二次方程有实数根的是( D )
(A)x2+1=0 (B)x2+x+1=0
(C)x2-x+1=0 (D)x2-x-1=0
3.(2013潍坊)已知关于x的方程kx2+(1-k)x-1=0,下列说法正确的是( C )
(A)当k=0时,方程无解
(B)当k=1时,方程有一个实数解
(C)当k=-1时,方程有两个相等的实数解
(D)当k≠0时,方程总有两个不相等的实数解
4.(2013兰州)若|b-1|+=0,且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根,则k的取值范围是k≤4且k≠0 .
5.用公式法解下列方程:
(1)x2+5x-6=0;
(2) 4x2-3x-1=x-2.
解:(1)x1=1;x2=-6.
(2)x1=x2=.
6.解方程x2+4x=2,有一位同学解答如下:
解:这里a=,b=4,c=2,
∴b2-4ac=(4)2-4××2=32,
∴x=
=
=-±2.
∴x1=-+2,x2=--2.
请你分析以上解答有无错误,如有错误,指出错误的地方,并写出正确的结果.
解:有错误,c=-2,
∴b2-4ac=(4)2-4××(-2)
=64,
x=
=
=-±2,
∴x1=-+2,
x2=--2.。