【全国通用-2018高考推荐】最新高考总复习数学(文)二轮复习模拟试题七及答案解析
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(七)数学(文)含答案
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学（七）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{}1,2,3,4U =，若{}1,3A =，{}3B =，则()()U UA B 痧等于（ ）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,42．已知复数z 满足()34i 34i z +=-，z 的共轭复数，则z =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．如果数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ）级 姓名 准考证号 考场号 座位号卷只装订不密封28B 28C 2258⨯D 2258⨯4．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ） A ．9B ．10C ．11D ．125．已知0.41.9a =，0.4log 1.9b =， 1.90.4c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>6．如图，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（ ）A ．5.3B ．4.3C ．4.7D ．5.77．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．838．已知函数()20172017log x f x =+)20173x x --+，则关于x 的不等式()()126f x f x -+>的解集为（ ）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()1,49．在如图所示的程序框图中，若输入的2s =，输出的2018s >，则判断框内可以填入的条件是（ ）开始输入x结束是否输出s 2s s =1i =1i i =+A ．9i >B ．10i ≤C ．10i ≥D ．11i ≥10．函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则()()()()12318f f f f++++的值等于（）A B C 2+ D ．111．已知函数()ln 2x axf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使得()1f k >，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,3B ．1111ln2,ln34262⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．11ln21,ln3123⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．11,e 1e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦12．已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF=，则PA PO +的最小值为（ ） A．B ．C ．D ．第Ⅱ卷卷包括必考题和选考题两部分。
2018届高考数学文科二轮复习(全国通用)：解答题滚动练7Word版含解析
解答题滚动练71.(2017·北京海淀区模拟)股票市场的前身是起源于1602年荷兰人在阿姆斯特河大桥上进行荷属东印度公司股票的买卖，而正规的股票市场最早出现在美国.2017年2月26号，中国证监会主席刘士余谈了对股市的几点建议，给广大股民树立了信心.最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财.现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下： (1)投资股市：(2)购买基金：(1)当p ＝12时，求q 的值；(2)已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p 的取值范围； (3)已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率.解 (1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p ＋13＋q ＝1，又因为p ＝12，所以q ＝16.(2)由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得q ＜38，因为p ＋13＋q ＝1，所以q ＝23－p ＜38，解得p ＞724，又因为q ＞0，所以p ＜23，所以724＜p ＜23.(3)记事件A 为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，用a ，b ，c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”“不赔不赚”“亏损”，用x ，y ，z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”“不赔不赚”“亏损”，事件A 表示事件“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，则一年后张师傅和李师傅购买基金的所有可能的投资结果有3×3＝9(种)，它们是(a ，x )，(a ，y )，(a ，z )，(b ，x )，(b ，y )，(b ，z )，(c ，x )，(c ，y )，(c ，z )，其中事件A 的结果有5种，它们是(a ，x )，(a ，y )，(a ，z )，(b ，x )，(c ，x ). 因此一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率P (A )＝59.2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＋a 8＝－10，S 10＝－35. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和T n .解 (1)由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝－5，2a 1＋9d ＝－7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1，所以a n ＝1－(n －1)＝2－n . (2)因为a n 2n －1＝12n －2－n ·12n －1，所以T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－⎝⎛⎭⎫1＋2×12＋3×122＋…＋n ·12n －1， 令S n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2，S n ′＝1＋2×12＋3×122＋…＋n ·12n －1，则T n ＝S n －S n ′，因为S n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2＝2⎝⎛⎭⎫1－12n 12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ＝4－12n －2， S n ′＝1＋2×12＋3×122＋…＋n ·12n －1，① 所以12S n ′＝12＋2×122＋3×123＋…＋n ·12n ，②由①－②，得12S n ′＝1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－n ·12n ＝1－12n1－12－n ·12n ＝2－12n －1－n ·12n ， 所以S n ′＝4－12n －2－n ·12n －1，因此T n ＝S n －S n ′＝n2n －1.3.过点C (2，2)作一直线与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，点P 是抛物线y 2＝4x 上到直线l ：y ＝x ＋2的距离最小的点，直线AP 与直线l 交于点Q .(1)求点P 的坐标；(2)求证：直线BQ 平行于抛物线的对称轴. (1)解 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则y 20＝4x 0， 所以点P 到直线l 的距离d ＝||x 0－y 0＋22＝⎪⎪⎪⎪y 204－y 0＋22＝||(y 0－2)2＋442≥22. 当且仅当y 0＝2时等号成立，此时P 点坐标为(1，2). (2)证明 设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，显然y 1≠2.当y 1＝－2时，A 点坐标为(1，－2)，直线AP 的方程为x ＝1； 当y 1≠－2时，直线AP 的方程为y －2＝y 1－2y 214－1(x －1)，化简得4x －(y 1＋2)y ＋2y 1＝0.综上，直线AP 的方程为4x －(y 1＋2)y ＋2y 1＝0.与直线l 的方程y ＝x ＋2联立，可得点Q 的纵坐标为y Q ＝2y 1－8y 1－2.当y 21＝8时，直线AC 的方程为x ＝2，可得B 点的纵坐标为y B ＝－y 1. 此时y Q ＝2y 1－8y 1－2＝2－4y 1－2＝2－4()y 1＋2y 21－4＝－y 1，即知BQ ∥x 轴，当y 21≠8时，直线AC 的方程为y －2＝y 1－2y 214－2(x －2)， 化简得(4y 1－8)x －(y 21－8)y ＋(2y 21－8y 1)＝0，与抛物线方程y 2＝4x 联立，消去x ，可得(y 1－2)y 2－(y 21－8)y ＋(2y 21－8y 1)＝0，所以点B 的纵坐标为y B ＝y 21－8y 1－2－y 1＝2y 1－8y 1－2.从而可得BQ ∥x 轴， 所以BQ ∥x 轴.4.已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2－x ，其中a ∈R . (1)当a ＞0时，讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )＝a ln x ＋x 2－x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2x －1＝2x 2－x ＋a x，设g (x )＝2x 2－x ＋a ，Δ＝1－8a .①当a ≥18时，Δ≤0，g (x )≥0成立，故f ′(x )≥0成立，f (x )在(0，＋∞)上为增函数；②当0＜a ＜18时，Δ＞0，令g (x )＝0，得x 1＝1－1－8a 4，x 2＝1＋1－8a 4.显然x 2＞x 1＞0，当x ∈(0，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，f (x )为增函数， 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，f (x )为减函数， 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，f (x )为增函数， 综上，当a ≥18时，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，当0＜a ＜18时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－8a 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－8a 4，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎪⎫1－1－8a 4，1＋1－8a 4上为减函数.(2)显然f (1)＝0，由x ≥1可知，当a ≥0时，a ln x ≥0，x 2－x ≥0，故f (x )≥0成立； 当a ＜0时，Δ＝1－8a ＞0.令g (x )＝0，得x 1＝1－1－8a 4，x 2＝1＋1－8a4.显然x 1＜0，x 2＞0，当x ∈(0，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，f (x )为减函数， 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，f (x )为增函数；若－1≤a ＜0，则x 2≤1，当x ≥1时，f (x )为增函数，故f (x )≥f (1)＝0成立； 若a ＜－1，则x 2＞1，由f (x )在(0，x 2)上为减函数可知， 当x ∈(1，x 2)时，f (x )为减函数， f (x )＜f (1)＝0与题意不符，舍去. 综上，a 的取值范围是[－1，＋∞).。
【全国通用-2018高考推荐】最新高考总复习数学(文)二轮复习模拟试题及答案解析七
2018届高三数学（文科）试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．i 是虚数单位，复数ii--131= ( )A.2-iB.2+IC. -1 -2iD. -1+2i2．已知集合{}2log (1)2M x x =-<，{}6N x a x =<< ,且()2,M N b = ,则a b += A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 3．下面四个条件中，使a b >成立的充分不必要条件是（ ）A ．1a b >+B ．1a b >-C ． 22a b >D ．33a b > 4．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线：已知直线α平面∥b ，直线a α⊂平面，直线b ∥平面α，则b ∥a ”的结论显然是错误的，这是因为 A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．非以上错误 5．已知圆222()()x a y b r -+-=的圆心为抛物线24y x =的焦点,且与直线3420x y ++=相切,则该圆的方程为A.2264(1)25x y -+=B. 2264(1)25x y +-=C.22(1)1x y -+=D.22(1)1x y +-=6．已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则91078a a a a +=+A ．12+B ．12-C ．322+D ．322-7.将)63cos(2π+=x y 图像按向量)2,4(--=πa 平移，则平移后所得函数的周期及图象的一个对称中心分别为（ ）A.π3 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,4πB. π6 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛2,43πC. π6 ，⎪⎭⎫⎝⎛-2,43π D. π3 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4π8．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A ．163πB ．193πC ．1912πD ．43π9．已知D 是∆ABC 所在平面内一点，76,1313AD AB AC −−→−−→−−→=+ 则（ ）A.713BD BC −−→−−→=B.613BD BC −−→−−→=C.137BD BC −−→−−→=D.136BD BC −−→−−→=10．已知1a >，若函数()(),1121,13xa x f x f x a x ⎧-<≤⎪=⎨-+-<≤⎪⎩，则()0f f x a -=⎡⎤⎣⎦的根的个数最多有（ ）A.1个B.2个C. 3个D. 4个 二、填空题：（每小题5分，共25分）11. 课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市的个数分别为4、12、8．若用分层抽样的方法抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市数为．12. 如果执行右面的框图，那么输出的S 等于_____________.13. 设变量,x y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则目标函数22y x z +=的最小值为.14. 若对于函数sin ||()x f x b x=+，现给出四个命题：①b=0时，()f x 为奇函数；②y=()f x 的图像关于),0(b 对称；③1-=b 时，方程0)(=x f 有且只有一个实数根； ④1-=b 时，不等式0)(>x f 的解集为空集． 其中正确的命题是．（写出所有正确命题的编号） 15.选做题：（请考生在下列A,B,C 题中任选一题作答，若三题都做，则按所做的第一题计分） （A)(不等式选讲）已知函数()|1|||2,f x x x a a R =++--∈的定义域为R ，则实数a 的取值范 围是 .(B)（极坐标与参数方程选讲）直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程是3cos ,(1sin ,x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，则圆心C 的极坐标是。
2018-2019年最新最新高考总复习数学(文)二轮复习模拟试题及答案解析二
2018年高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，若复数z满足z=，则z的共轭复数为（）A．﹣3+4i B．﹣3﹣4i C．3+4i D．3﹣4i2．设集合U=R，A={x|y=ln（1﹣x）}，B={x|x2﹣3x≥0}，则A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1＜x＜3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x＜1}3．已知点M（1，1），N（4，﹣3），则与向量共线的单位向量为（）A．（，﹣）B．（﹣，）C．（，﹣）或（﹣，）D．（，﹣）或（﹣，）4．已知命题p：对于∀x∈R，恒有2x+2﹣x≥2成立，命题q：奇函数f（x）的图象必过原点．则下列结论正确的是（）A．p∧q为真B．（¬p）∨q为真C．p∧（¬q）为真D．¬p 为真5．已知f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（）=（）A．+1 B．﹣+1 C．﹣1 D．﹣﹣16．执行如图所示的程序框图，若输入k的值为2，则输出的i 值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知正实数m，n满足m+n=1，且使取得最小值．若曲线y=x a过点P（，），则a的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．38．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1．直径为6的球的体积为V2，则V1：V2=（）A．1：2 B．2：27 C．1：3 D．4：279．已知点F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点，若双曲线左支上存在点P与点F 2关于直线y=x对称，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．10．已知函数f（x）=x3ax2+bx+c在x 1处取得极大值，在x 2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．[0，3] D．[1，3] 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．某班有学生55人，现将所有学生按1，2，3， (55)机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知编号为6，a，28，b，50号学生在样本中，则a+b= ．12．函数f（x）=log2（4﹣x2）的值域为．13．如图所示，点P是函数y=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若=0，则ω= ．14．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为．15．定义f（x）={x}（{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{1.2}=2，{4}=4．“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的．以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是（请写出所有真命题的序号）．①f（2x）=2f（x）；②若f（x）=f（y）则x﹣y＜1；③任意x，y∈R，f（x+y）≤f（x）+f（y）；④；⑤函数f（x）为奇函数．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且b=3，试求△ABC的面积．17．济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B 两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．18．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥DC，平面DEC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）若AF∥DE，AF=DE，点M在线段BD上，且DM=BD，求证：AM∥平面BEF．19．已知等差数列{a n}满足，a1+a2+a3=9，a2+a8=18．数列{b n}的前n和为S n，且满足S n=2b n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}满足，求数列{c n}的前n和T n．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，且离心率为e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点作直线l∥AB交椭圆C于M，N两点．试问是否为定值，若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．21．已知函数f（x）=x+﹣alnx．（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线与直线2x+y﹣1=0平行，求a的值；（Ⅱ）在（I）的条件下方程f（x）=b在区间[1，e]上两个不同的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，若复数z满足z=，则z的共轭复数为（）A．﹣3+4i B．﹣3﹣4i C．3+4i D．3﹣4i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．解答：解：复数z满足z===3+4i，z的共轭复数=3﹣4i．故选：D．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用，考查计算能力．2．设集合U=R，A={x|y=ln（1﹣x）}，B={x|x2﹣3x≥0}，则A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1＜x＜3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x＜1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B补集的交集即可．解答：解：由A中y=ln（1﹣x），得到1﹣x＞0，即x＜1，∴A={x|x＜1}，由B中不等式变形得：x（x﹣3）≥0，解得：x≤0或x≥3，即B={x|x≤0或x≥3}，∴∁U B={x|0＜x＜3}，则A∩∁U B={x|0＜x＜1}，故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．已知点M（1，1），N（4，﹣3），则与向量共线的单位向量为（）A．（，﹣）B．（﹣，）C．（，﹣）或（﹣，）D．（，﹣）或（﹣，）考点：平行向量与共线向量；单位向量．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=（3，﹣4），可得||=5，单位化即可．解答：解：∵M（1，1），N（4，﹣3），∴=（4，﹣3）﹣（1，1）=（3，﹣4），∴||==5，∴与向量共线的单位向量为（3，﹣4）=（，﹣），或﹣（3，﹣4）=（﹣，），故选：C．点评：本题考查平行向量和共线向量，涉及模长公式，属基础题．4．已知命题p：对于∀x∈R，恒有2x+2﹣x≥2成立，命题q：奇函数f（x）的图象必过原点．则下列结论正确的是（）A．p∧q为真B．（¬p）∨q为真C．p∧（¬q）为真D．¬p 为真考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：判断两个命题的真假，判断推出结果即可．解答：解：命题p：对于∀x∈R，恒有2x+2﹣x≥2成立，显然是真命题；命题q：奇函数f（x）的图象必过原点．例如y=，函数是奇函数，但是不经过原点，所以是假命题，¬q是真命题，所以p∧（¬q）为真是正确的．故选：C．点评：本题考查命题的真假的判断与应用，考查命题的否定，基本知识的考查．5．已知f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（）=（）A．+1 B．﹣+1 C．﹣1 D．﹣﹣1考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的周期以及函数的奇偶性，通过函数的解析式求解即可．解答：解：f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（）=f（）=f（﹣）=﹣f（）=﹣（）=1．故选：B．点评：本题考查函数的周期性以及函数的奇偶性，函数值的求法，考查计算能力．6．执行如图所示的程序框图，若输入k的值为2，则输出的i 值为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当，S=时不满足条件S≤2，退出循环，输出i的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=2，i=1，S=1满足条件S≤2，i=2，S=满足条件S≤2，i=3，S=满足条件S≤2，i=4，S=＞2不满足条件S≤2，退出循环，输出i的值为4．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．7．已知正实数m，n满足m+n=1，且使取得最小值．若曲线y=x a过点P（，），则a的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．3考点：基本不等式．专题：不等式．分析：先根据基本不等式等号成立的条件求出m，n的值，得到点P的坐标，再代入到函数的解析式中，求得答案．解答：解：=（m+n）（+）=1+16++≥17+2=25，当且仅当n=4m，即m=，n=时取等号，∴点P（，），∴=，∴α=．故选：B点评：本题考查了基本不等式的应用以及函数的解析式，属于基础题．8．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1．直径为6的球的体积为V2，则V1：V2=（）A．1：2 B．2：27 C．1：3 D．4：27考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图可判断几何体是；圆柱内部挖空了一个圆锥，运用给出的数据求解几何体的条件，再根据球的体积公式求解，即可得出比例值．解答：解：∵根据三视图可判断几何体是；圆柱内部挖空了一个圆锥，r=2，l=h=2，∴该几何体的体积为V 1=π×22×2﹣=，∵直径为6的球的体积为V 2=×π×33=36π，∴V 1：V2==故选：D点评：本题考查了空间几何体的三视图，运用给出的数据，形状恢复直观图，求解体积，属于中档题．9．已知点F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点，若双曲线左支上存在点P与点F 2关于直线y=x对称，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出过焦点F且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入双曲线方程结合a2+b2=c2，由离心率公式解出e即得．解答：解：过焦点F且垂直渐近线的直线方程为：y﹣0=﹣（x ﹣c），联立渐近线方程y=x与y﹣0=﹣（x﹣c），解之可得x=，y=故对称中心的点坐标为（，），由中点坐标公式可得对称点的坐标为（﹣c，），将其代入双曲线的方程可得﹣=1，结合a2+b2=c2，化简可得c2=5a2，故可得e==．故选：D．点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解和对称问题，属中档题．10．已知函数f（x）=x3ax2+bx+c在x 1处取得极大值，在x 2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．[0，3] D．[1，3]考点：函数在某点取得极值的条件．专题：综合题；导数的综合应用．分析：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．解答：解：∵f（x）=x3ax2+bx+c，∴f′（x）=x2+ax+b∵函数f（x）在区间（﹣1，0）内取得极大值，在区间（0，1）内取得极小值，∴f′（x）=x2+ax+b=0在（﹣1，0）和（0，1）内各有一个根，f′（0）＜0，f′（﹣1）＞0，f′（1）＞0即，在aOb坐标系中画出其表示的区域，如图，=1+2×，令m=，其几何意义为区域中任意一点与点（﹣2，﹣1）连线的斜率，分析可得0＜＜1，则1＜＜3∴的取值范围是（1，3）．故选B．点评：本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会进行简单的线性规划的能力，解题时要认真审题，仔细解答．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．某班有学生55人，现将所有学生按1，2，3， (55)机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知编号为6，a，28，b，50号学生在样本中，则a+b= 56 ．考点：系统抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：求出样本间隔即可得到结论．解答：解：∵样本容量为5，∴样本间隔为55÷5=11，∵编号为6，a，28，b，50号学生在样本中，∴a=17，b=39，∴a+b=56，故答案为：56．点评：本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔即可，比较基础．12．函数f（x）=log2（4﹣x2）的值域为（﹣∞，2] ．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：利用二次函数和对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵0＜4﹣x2≤4，∴=2．∴函数的值域为（﹣∞，2]．故答案为（﹣∞，2]．点评：熟练掌握二次函数和对数函数的单调性是解题的关键．13．如图所示，点P是函数y=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若=0，则ω= ．考点：正弦函数的图象．专题：计算题；数形结合．分析：由题意，结合图象，推出OP=2，MN=4，求出函数的周期，利用周期公式求出ω．解答：解：，点P是函数y=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若=0，所以OP=2，MO=OM=2，所以T=8，因为T=，所以ω=故答案为：点评：本题是基础题，考查正弦函数的图象，函数的周期，向量的数量积与向量的垂直关系，考查逻辑推理能力，计算能力，好题．14．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（x﹣2）2+（y+2）2=1 ．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题；压轴题．分析：在圆C2上任取一点（x，y），求出此点关于直线X﹣Y ﹣1=0的对称点，则此对称点在圆C1上，再把对称点坐标代入圆C1的方程，化简可得圆C2的方程．解答：解：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线X﹣Y﹣1=0的对称点（y+1，x﹣1）在圆C1：（X+1）2+（y﹣1）2=1上，∴有（y+1+1）2+（x﹣1﹣1）2=1，即（x﹣2）2+（y+2）2=1，∴答案为（x﹣2）2+（y+2）2=1．点评：本题考查一曲线关于一直线对称的曲线方程的求法：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线X﹣Y﹣1=0的对称点（y+1，x﹣1）在圆C1上．15．定义f（x）={x}（{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{1.2}=2，{4}=4．“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的．以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是②③（请写出所有真命题的序号）．①f（2x）=2f（x）；②若f（x）=f（y）则x﹣y＜1；③任意x，y∈R，f（x+y）≤f（x）+f（y）；④；⑤函数f（x）为奇函数．考点：命题的真假判断与应用．专题：常规题型．分析：充分理解“取上整函数”的定义．如果选项不满足题意，只需要举例说明即可．解答：解：当x=1.4时，f（2x）=f（2.8）=3.2f（1.4）=4．所以f（2x）≠2f（x）；①错．若f（x）=f（y）．当x为整数时，f（x）=x，此时y＞x﹣1，即x﹣y＜1．当x不是整数时，f（x）=[x]+1．[x]表示不大于x的最大整数．y表示比x的整数部分大1的整数或者是和x保持相同整数的数，此时x﹣y＜1．故②正确．举例f（1.2）+f（1.2+0.5）=4≠f（2.4）=3．故④错误．f （﹣1）=0≠f（1）=1．所以函数f（x）不是奇函数．⑤错．故答案为：②③．点评：此题适合充分利用选择题的优势来解答填空题．用逆向思维处理题目会事半功倍．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且b=3，试求△ABC的面积．考点：正弦定理；等差数列的通项公式．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由正弦定理可得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB，由三角函数恒等变换化简可得sinA=2sinAcosB，由sinA＞0，可求cosB，结合B的范围即可得解．（Ⅱ）由题意a+c=2b=6，由余弦定理可求ac，从而由三角形面积公式即可得解．解答：（本题满足12分）解：（Ⅰ）∵由题意可得：sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB．∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，sin（B+C）=2sinAcosB．∴sinA=2sinAcosB，因为0＜A＜π，sinA＞0，所以cosB=，因为0＜B＜π，所以B=…6分（Ⅱ）∵由题意a+c=2b=6又∵32=a2+b2﹣2accos，可得ac=9，∴S △ABC=acsinB=…12分点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换，属于基本知识的考查．17．济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B 两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法；茎叶图．专题：应用题；概率与统计．分析：（I）根据求平均数及中位数的方法，即可求解x，y．（II）根据分层抽样方法求得抽到的“高精灵”和“帅精灵”的志愿者人数，再分类求得至少有1人是“高精灵”的抽法种数与从这5人中选2人的种数，代入古典概型概率公式计算．解答：解：（I）由茎叶图得：，（2分）（4分）解得，x=5，y=7（5分）（II）由题意可得，高精灵有8人，帅精灵有12人，如果从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，则“高精灵”和“帅精灵”的人数分别为：，=3（6分）记抽取的高精灵分别为b1，b2，帅精灵为c1，c2，c3，从已经抽取的5人中任选2人的所有可能为：（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共10种结果（8分）记从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”为事件A，则A包括，（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3）共7种（10分）∴因此，如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人，至少有一人为“高精灵的概率为（12分）点评：本题考查了利用茎叶图求平均数及中位数，考查分层抽样方法及古典概型的概率计算，要注意求至少有1人是“高精灵”的选法可用分类法，解答本题的关键是读懂茎叶图18．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥DC，平面DEC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）若AF∥DE，AF=DE，点M在线段BD上，且DM=BD，求证：AM∥平面BEF．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；数形结合；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由空间中的垂直关系以及菱形的对角线互相垂直，证出AC⊥平面BDE；（Ⅱ）证法一，延长EF，DA，交于点G，证明AM∥GB即可；证法二，在△EDB中，过点M作MN∥DE，MN∩BE=N，连接FN，证明四边形AMNF为平行四边形，得AM∥FN即可．解答：证明：（Ⅰ）因为平面DEC⊥平面ABCD，DE⊥DC，平面DEC∩平面ABCD=DC，DE⊂平面DEC，所以DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC，因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又BD∩DE=D，BD、DE⊂平面BDE，∴AC⊥平面BDE；（Ⅱ）如图所示，证法一，延长EF，DA，交于点G，因为AF∥DE，AF=DE，所以==，因为DM=BD，所以BM=BD，因此=，所以==，所以AM∥GB，又AM⊄平面BEF，GB⊂平面PEF，所以AM∥平面PEF．证法二，在△EDB中，过点M作MN∥DE，MN∩BE=N，连接FN，因为AF∥DE，所以MN∥AF，因为DM=BD，所以BM=BD，==，又=，所以MN=AF，所以四边形AMNF为平行四边形，所以AM∥FN，因为AM⊄平面BEF，所以AM∥平面BEF．点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力的应用问题，是综合性题目．19．已知等差数列{a n}满足，a1+a2+a3=9，a2+a8=18．数列{b n}的前n和为S n，且满足S n=2b n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}满足，求数列{c n}的前n和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，利用等差中项的性质及已知条件“a1+a2+a3=9、a2+a8=18”可得公差，进而可得数列{a n}的通项；利用“b n+1=S n+1﹣S n”及“b1=2b1﹣2”，可得公比和首项，进而可得数列{b n}的通项；（Ⅱ）利用=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式即得结论．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2+a3=9，∴3a2=9，即a2=3，∵a2+a8=18，∴2a5=18，即a5=9，∴3d=a5﹣a2=9﹣3=6，即d=2，∴a1=a2﹣d=3﹣2=1，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；∵S n=2b n﹣2，∴b n+1=S n+1﹣S n=2b n+1﹣2b n，即b n+1=2b n，又b1=2b1﹣2，∴b1=2，∴数列{b n}是以首项和公比均为2的等比数列，∴b n=2•2n﹣1=2n；∴数列{a n}和{b n}的通项公式分别为：a n=2n﹣1、b n=2n；（Ⅱ）由（I）知=，∴T n=++…+，∴T n=++…++，两式相减，得T n=+++…+﹣=+﹣=﹣，∴T n=3﹣．点评：本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，且离心率为e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点作直线l∥AB交椭圆C于M，N两点．试问是否为定值，若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义求出a=2，再求出b，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）分类讨论，当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x ﹣1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），由直线y=k（x﹣1）代入椭圆方程，消去y可得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，再由韦达定理，求出|MN|，同理求出|AB|，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）抛物线x2=4y的焦点为（0，），则b=．=，b2=a2﹣c2=3解得a=2，∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）①当直线斜率不存在时，|AB|2=（2b）2=4b2，|MN|=，∴=2a=4．…（6分）②当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）．直线y=k（x﹣1）代入椭圆方程，消去y可得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴|MN|=•|x 1﹣x2|=．…（10分）由直线y=kx代入椭圆方程，消去y，并整理得：x2=，设A（x3，y3），B（x4，y4），则|AB|=•|x 3﹣x4|=4，∴==4，综上所述，为定值4．…（13分）点评：本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=x+﹣alnx．（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线与直线2x+y﹣1=0平行，求a的值；（Ⅱ）在（I）的条件下方程f（x）=b在区间[1，e]上两个不同的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求得函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件，可得a=1；（Ⅱ）求出当a=1时，f（x）的导数，求得[1，e]上的单调区间和最小值，以及端点处的函数值，结合条件，即可得到b的范围；（Ⅲ）在[1，e]，f（x0）＜0⇔f（x）min＜0（1≤x≤e），对a 讨论，①当a+1≤1即a≤0时，②当1＜1+a＜e，即0＜a＜e ﹣1，③当a+1≥e，即a≥e﹣1时，通过导数判断单调性，求得额最小值，解不等式即可得到a的范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=x+﹣alnx的导数f′（x）=1﹣﹣，y=f（x）的图象在x=1处的切线斜率为k=f′（1）=1﹣（1+a）﹣a=﹣2a，由题意可得﹣2a=﹣2，解得a=1；（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x+﹣lnx，f′（x）=1﹣﹣=，在（1，2）上，f′（x）＜0，f（x）递减，在（2，e）上，f ′（x）＞0，f（x）递增．f（2）取得最小值，且为3﹣ln2，f（1）=3，f（e）=e﹣1+，即有f（1）＞f（e），方程f（x）=b在区间[1，e]上两个不同的实数根，则有f（2）＜b≤f（e），即为3﹣ln2＜b≤e﹣1+；（Ⅲ）在[1，e]，f（x0）＜0⇔f（x）min＜0（1≤x≤e），f′（x）=1﹣﹣=，①当a+1≤1即a≤0时，在[1，e]上f′（x）＞0，f（x）递增，f（x）min=f（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2；②当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1，在[1，a+1]上f′（x）＜0，f（x）递减，在{a+1，e]上，f′（x）＞0，f（x）递增．f（x）min=f（a+1）=2+a﹣aln（a+1），由0＜ln（1+a）＜1，即0＜aln（1+a）＜a，f（a+1）=2+a ﹣aln（a+1）＞2，此时f（a+1）＜0，不成立；③当a+1≥e，即a≥e﹣1时，在[1，e]上f′（x）＜0，f（x）递减，f（x）min=f（e）=e+﹣a＜0，即a＞，由＞e﹣1，则有a＞，综上可得，a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查函数的单调性的运用，同时考查函数方程的转化思想和不等式存在问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．。
2018年高考数学二模试卷(文科)带答案精讲
2018年高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共11小题，每小题5分，满分55分）1．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．102．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.23．（5分）在△ABC中，C=60°，AB=，那么A等于（）A．135°B．105°C．45°D．75°4．（5分）已知：如图的夹角为的夹角为30°，若等于（）A．B．C．D．25．（5分）若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或6．（5分）设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若平面α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（）A．p或q B．p且q C．￢p或q D．p且￢q7．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．18．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策．如后四位数为“2663”、“8685”为“金兔卡”．则这组号码中“金兔卡”的张数（）A．484 B．972 C．966 D．4869．（5分）有三个命题①函数的反函数是y=（x+1）2（x∈R）②函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③10．（5分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则△OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（）A．点B．线段C．圆弧D．抛物线的一部分11．（5分）若关于x的不等式|x﹣1|＜ax（a≠0）的解集为开区间（m，+∞），其中m∈R，则实数a的取值范围为（）A．a≥1 B．a≤﹣1 C．0＜a＜1 D．﹣1＜a＜0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）12．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为2π，则球的表面积为．13．（5分）已知二项式展开式中的项数共有九项，则常数项为．14．（5分）已知过椭圆的右焦点在双曲线的右准线上，则双曲线的离心率为．15．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．16．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．18．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）求男生被抽取的人数和女生被抽取的人数；（I）若从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若本班学生考前心理状态好的概率为0.8，求调查中恰有3人心理状态良好的概率．19．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．20．（12分）已知f（x）=tx3﹣2x2+1．（I）若f′（x）≥0对任意t∈[﹣1，1]恒成立，求x的取值范围；（II）求t=1，求f（x）在区间[a，a+3]（a＜0）上的最大值h（a）．21．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，a1=1，且点在函数y=x2+1的图象上．数列{b n}满足b1=0，b n+1=b n+3an（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n b n cosnπ（n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．22．（10分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．参考答案与试题解析一、选择题（共11小题，每小题5分，满分55分）1．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．10【分析】由a4=9，a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20，代入等差数列的前n项和公式可求．【解答】解：∵a4=9，a6=11由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量．2．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.2【分析】由已知中在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，我们出该组的频率，进而根据样本容量为100，求出这一组的频数．【解答】解：∵样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，又∵中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，则该长方形对应的频率为0.2又∵样本容量为100，∴该组的频数为100×0.2=20故选C【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据各组中频率之比等于面积之比，求出该组数据的频率是解答本题的关键．3．（5分）在△ABC中，C=60°，AB=，那么A等于（）A．135°B．105°C．45°D．75°【分析】由C的度数求出sinC的值，再由c和a的值，利用正弦定理求出sinA 的值，由c大于a，根据大边对大角，得到C大于A，得到A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：∵C=60°，AB=c=，BC=a=，∴由正弦定理=得：sinA===，又a＜c，得到A＜C=60°，则A=45°．故选C【点评】此题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4．（5分）已知：如图的夹角为的夹角为30°，若等于（）A．B．C．D．2【分析】将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后解三角形即可得到答案．【解答】解：如图所示：根据平行四边形法则将向量沿与方向进行分解，则由题意可得OD=λ，CD=μ，∠COD=30°，∠OCD=90°，∠Rt△OCD中，sin∠COD=sin30°===，∴=2，故选D．【点评】对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．5．（5分）若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或【分析】由已知中集合，解根式方程可得A={2}，结合B={1，m}，及A⊆B，结合集合包含关系的定义，可得m的值．【解答】解：∵集合={2}又∵B={1，m}若A⊆B则m=2故选A【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，其中解根式方程确定集合A是解答本题的关键，解答中易忽略根成有意义的条件，而错解为A={﹣1}6．（5分）设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若平面α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（）A．p或q B．p且q C．￢p或q D．p且￢q【分析】对于命题p，q，只要把相应的平面和直线放入长方体中，找到反例即可．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足α∥β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p不正确；﹣p正确；命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；故选C．【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．7．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．1【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的线段的长度问题，注意最后要平方．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离OP的平方，点P到直线3x+4y﹣4=0的距离是点P到区域内的最小值，d=，∴z=x2+y2的最小值为故选B．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．8．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策．如后四位数为“2663”、“8685”为“金兔卡”．则这组号码中“金兔卡”的张数（）A．484 B．972 C．966 D．486【分析】据题意，对卡号的后4位分3种情况讨论：①、后4位中含有2个8，进而细分为1°其他数字不重复，2°其他数字也相同，由排列、组合数公式可得其情况数目，②、后4位中含有2个6的卡片，同①可得其情况数目，③、含有2个8、2个6，由组合数公式可得其情况数目；最后由事件之间的关心计算可得答案．【解答】解：根据题意，对卡号的后4位分3种情况讨论：①、后4位中含有2个8，1°若其他数字不重复，在其中任取2个其他的数字，与2个8进行全排列，有×A44×C92种情况，2°若其他数字也相同，易得有9×C42种情况，共有×A44×C92+9×C42=486张，②、同理后4位只中含有2个6的卡片有486张，③、后4位中含有2个8、2个6，有C42=6张，共有486+486﹣6=966张；故选C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，考查带有约束条件的数字问题，分类讨论时，注意事件之间的关系，要做到不重不漏．9．（5分）有三个命题①函数的反函数是y=（x+1）2（x∈R）②函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③【分析】对于①，欲求原函数y=﹣1（x≥0）的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．对于②，利用函数f（x）的单调性，与函数的零点与方程的根判断即可；对于③，通过函数f（x）的奇偶性判断即可．【解答】解：对于①，∵y=﹣1（x≥0），∴x=（y+1）2（y≥﹣1），∴x，y互换，得y=（x+1）2（x≥﹣1）．故不正确．对于②，考察f（x）的单调性，lnx和x﹣2在（0，+∞）上是增函数，故f（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，图象与x轴最多有1个交点，故不正确．对于③，函数的定义域为[﹣3，3]，所以，函数化简为：y=是偶函数，图象关于y轴对称，正确．故选C．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、反函数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．10．（5分）若长度为定值的线段AB 的两端点分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动，O 为坐标原点，则△OAB 的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（ ） A ．点 B ．线段 C ．圆弧D ．抛物线的一部分【分析】本题是个选择题，利用排除法解决．首先由△OAB 的重心，排除C ；再利用△OAB 的内心，排除B ；最后利用△OAB 的垂心，排除A ；即可得出正确选项．【解答】解：设重心为G ，AB 中点为C ，连接OC ．则OG=OC （这是一个重心的基本结论）．而OC=AB=定值，所以G 轨迹圆弧． 排除C ；内心一定是平分90度的那条角平分线上，轨迹是线段．排除B ；外心是三角形外接圆圆心，对于这个直角三角形，AB 中点C 就是三角形外接圆圆心，OC 是定值， 所以轨迹圆弧，排除C ； 垂心是原点O ，定点，排除A 故选D ．【点评】本题考查三角形的重心、内心、外心、垂心、以及轨迹的求法．解选择题时可利用排除法．11．（5分）若关于x 的不等式|x ﹣1|＜ax （a ≠0）的解集为开区间（m ，+∞），其中m ∈R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1B ．a ≤﹣1C ．0＜a ＜1D ．﹣1＜a ＜0【分析】在同一坐标系中做出函数 y=|x |和 函数y=ax 的图象，由题意结合图形可得实数a 的取值范围．【解答】解：∵关于x 的不等式|x ﹣1|＜ax （a ≠0）的解集为 开区间（m ，+∞），其中m ∈R ，在同一坐标系中做出函数y=|x﹣1|和函数y=ax的图象，如图所示：结合图象可得a≥1．故选：A．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，画出图形，是解题的关键，属于中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）12．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为2π，则球的表面积为12π．【分析】求出截面圆的半径，利用勾股定理求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：由题意可知截面圆的半径为：r，所以πr2=2π，r=，由球的半径，球心到截面圆的距离，截面圆的半径，满足勾股定理，所以球的半径为：R==．所求球的表面积为：4πR2=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球与球的截面以及球心到截面的距离的关系，是本题的解题的关键，考查计算能力．13．（5分）已知二项式展开式中的项数共有九项，则常数项为1120．【分析】根据展开式中的项数共有九项可求出n的值是8．利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．【解答】解：∵二项式展开式中的项数共有九项∴n=8=2r C8r x4﹣r展开式的通项为T r+1令4﹣r=0得r=4所以展开式的常数项为T5=24C84=1120故答案为：1120．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，解答关键是求出n的值，属于中档题．14．（5分）已知过椭圆的右焦点在双曲线的右准线上，则双曲线的离心率为．【分析】先由题设条件求出椭圆的焦点坐标和双曲线的准线方程，列出关于b 的方程求出b，从而得到a和c，再利用a和c求出双曲线的离心率．【解答】解：由题设条件可知椭圆的右焦点坐标为（2，0），双曲线的右准线方程为x=，∴，解得b=2．则双曲线的离心率为．故答案为：．【点评】本题是双曲线的椭圆的综合题，难度不大，只要熟练掌握圆锥曲线的性质就行．15．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．【分析】求出函数的单调增区间，通过子集关系，确定实数φ的取值范围．【解答】解：函数，由2kπ﹣πφ≤2kπ，可得6kπ﹣3π﹣3φ≤x≤6kπ﹣3φ，由题意在区间（﹣π，π）上单调递增，所以6kπ﹣3π﹣3φ≤﹣π 且π≤6kπ﹣3φ，因为0＜φ＜2π，所以k=1，实数φ的取值范围为；故答案为：【点评】本题是基础题，考查三角函数的单调性的应用，子集关系的理解，考查计算能力．16．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为（，+∞）；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为不存在．【分析】①先对函数配方，求出其对称轴，判断出其在给定区间上的单调性进而求出函数值的范围，即可求出实数m的取值范围；②先利用单调性分别求出两个函数的值域，再比较即可求出实数a的取值范围．【解答】解：因为f（x）==，（2，+∞），f（x）＞f（2）=；g（x）=a x，（a＞1，x＞2）．g（x）＞g（2）=a2．①∵∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，∴m；②∵∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），∴⇒a不存在．故答案为：（，+∞）：不存在．【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及借助于单调性研究函数的值域，是对基础知识的综合考查，属于中档题目．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．【分析】（I）先假设两个向量平行，利用平行向量的坐标表示，列出方程并用倍角和两角和正弦公式进行化简，求出一个角的正弦值，根据正弦值的范围推出矛盾，即证出假设不成立；（II）利用向量数量积的坐标表示列出式子，并用倍角和两角和正弦公式进行化简，由条件和已知角的范围进行求值．【解答】解：（I）假设∥，则2cosx（cosx+sinx）﹣sinx（cosx﹣sinx）=0，1+cosxsinx+cos2x=0，即1+sin2x+=0，∴sin（2x+）=﹣3，解得sin（2x+）=﹣＜﹣1，故不存在这种角满足条件，故假设不成立，即与不可能平行．（II）由题意得，•=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）+2cosxsinx=cos2x+sin2x=sin （2x+）=1，∵x∈[﹣π，0]，∴﹣2π≤2x≤0，即≤，∴=﹣或，解得x=或0，故x的值为：或0．【点评】本题考查了向量共线和数量积的坐标运算，主要利用了三角恒等变换的公式进行化简，对于存在性的题目一般是先假设成立，根据题意列出式子，再通过运算后推出矛盾，是向量和三角函数相结合的题目．18．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）求男生被抽取的人数和女生被抽取的人数；（I）若从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若本班学生考前心理状态好的概率为0.8，求调查中恰有3人心理状态良好的概率．【分析】（Ⅰ）根据题意，可得抽取的比例为，由分层抽样的性质，计算可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人，分析可得“至少选取1个男生”与“没有1个男生”即“选取的都是2个女生”为对立事件；先计算“选取的都是2个女生”的概率，进而由对立事件的概率性质，计算可得答案；（Ⅲ）根据题意，分析可得：本题为在5次独立重复试验中恰有3次发生，由其公式，计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，在50人中抽取了5人，抽取的比例为；则抽取男生30×=3，女生20×=2；即男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人，“至少选取1个男生”与“没有1个男生”即“2个女生”为对立事件；选取的两名学生都是女生的概率P==，∴所求的概率为1﹣P=；（Ⅲ）根据题意，本班学生的考前心理状态良好的概率为0.8，则抽出的5人中，恰有3人心理状态良好，即在5次独立重复试验中恰有3次发生，则其概率为C53×（）3×（）2=．【点评】本题主要考查排列n次独立重复实验中恰有k次发生的概率计算，涉及分层抽样与对立事件的概率计算；需要牢记各个公式，并做到“对号入座”．19．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．【分析】（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC与F，连接EF，我们可得∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，解三角形EFH后，即可求出二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离，利用等体积法，我们根据=，即可求出直线A 1C1到平面EAC的距离．【解答】解：（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC 与F，连接EF，则EF在平面ABCD内的射影为HF，由三垂线定理得EF⊥AC，，∴∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角∵EH=a，HF=BD=∴∠tan∠EFH===2∴二面角E﹣AC﹣B的正切值为﹣2…6分（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离d，…8分∵=∴S•d=△EAC∵EF====•AC•EF=•a•=∴S△EAC而=••a=∴•d=•a∴d=∴直线A1C1到平面EAC的距离【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到平面的距离，其中（I）的关键是得到∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，（II）中求点到面的距离时，等体积法是最常用的方法．20．（12分）已知f（x）=tx3﹣2x2+1．（I）若f′（x）≥0对任意t∈[﹣1，1]恒成立，求x的取值范围；（II）求t=1，求f（x）在区间[a，a+3]（a＜0）上的最大值h（a）．【分析】（I）f′（x）=3tx2﹣4x，令g（t）=3x2t﹣4x，由，能求出x的取值范围．（II）由f（x）=x3﹣2x2+1，知f′（x）=3x2﹣4x=x（3x﹣4），f′（x）＞0，得f（x）在（﹣∞，0）和（）为递增函数；令f′（x）＜0，得f（x）在（0，）为递减函数．由此进行分类讨论，能求出f（x）在区间[a，a+3]（a＜0）上的最大值h（a）．【解答】解：（I）f′（x）=3tx2﹣4x，令g（t）=3x2t﹣4x，则有，∴，解得．∴x的取值范围是．（II）f（x）=x3﹣2x2+1，f′（x）=3x2﹣4x=x（3x﹣4），令f′（x）＞0，得x＜0或x＞．令f′（x）＜0，得0，∴f（x）在（﹣∞，0）和（）为递增函数；在（0，）为递减函数．∵f（0）=1，，令f（x）=1，得x=0或x=2．①当a+3＜0，即a＜﹣3时，f（x）在[a，a+3]单调递增．∴h（a）=f（a+3）=a3+7a2+15a+10．②当0≤a+3≤2，即﹣3≤a≤﹣1时，h（a）=f（0）=1．③当a+3＞2，即0＞a＞﹣1时，h（a）=f（a+3）=a3+7a2+15a+10．∴．【点评】本题考查导数在求最大值和求最小值时的实际应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要注意分类讨论思想的灵活运用．21．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，a1=1，且点在函数y=x2+1的图象上．数列{b n}满足b1=0，b n+1=b n+3an（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n b n cosnπ（n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）由题设条件知a n=a n+1，根据等差数列的定义：{a n}是首项为1，+1公差为1的等差数列，从而a n=n，根据b n+1=b n+3an（n∈N*），可得b n+1﹣b n=3n （n∈N*）．累加可求和，从而得{b n}的通项公式；（II）根据c n=a n b n cosnπ（n∈N*），可得，再分n为偶数，奇数分别求和即可【解答】解：（Ⅰ）因为点（）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上=a n+1所以a n+1根据等差数列的定义：{a n}是首项为1，公差为1的等差数列所以a n=n=b n+3an（n∈N*）．∵b n+1∴b n﹣b n=3n（n∈N*）．+1∴（II）∵c n=a n b n cosnπ（n∈N*），∴当n为偶数时，S n=（﹣3+2•32+…+n•3n）+3[1﹣2+3﹣4+…+（n﹣1）﹣n]设T n=（﹣3+2•32+…+n•3n），则3T n=﹣32+2•33+…+n•3n+1∴∴当n为奇数时，∴【点评】本题以函数为载体，考查数列的概念和性质及其应用，考查错位相减法求和，解题时要注意公式的灵活运用．22．（10分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．【分析】（I）由点C到定点M的距离等于到定直线l的距离与抛物线的定义可得点C的轨迹为抛物线所以曲线E的方程为x2=4y．（II）由题得直线AB的方程是x﹣2y+12=0联立抛物线的方程解得A（6，9）和B（﹣4，4），进而直线NA的方程为，由A，B两点的坐标得到线段AB中垂线方程为，可求N点的坐标，进而求出圆N的方程．（III）设A，B两点的坐标，由题意得过点A的切线方程为又Q（a，﹣1），可得x12﹣2ax1﹣4=0同理得x22﹣2ax2﹣4=0所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．所以直线AB的方程为所以t=﹣1．根据向量的运算得=0．【解答】【解】（Ⅰ）依题意，点C到定点M的距离等于到定直线l的距离，所以点C的轨迹为抛物线，曲线E的方程为x2=4y．（Ⅱ）直线AB的方程是，即x﹣2y+12=0．由及知，得A（6，9）和B（﹣4，4）由x2=4y得，．所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y'|x=6=3．直线NA的方程为，即．①线段AB的中点坐标为，线段AB中垂线方程为，即．②由①、②解得．于是，圆C的方程为，即．（Ⅲ）设，，Q（a，1）．过点A的切线方程为，即x12﹣2ax1﹣4=0．同理可得x22﹣2ax2﹣4=0，所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．又=，所以直线AB的方程为，即，亦即，所以t=1．而，，所以==．【点评】本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点．。
〖全国通用-名师推荐〗2018最新高考总复习数学(文)高考模拟训练试题及答案解析十七
2018年高三考前模拟考试试题数 学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分, 考试时间120分钟。
注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在答题纸规定的位置上。
2.选择题选出答案后,用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号；非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,在答题纸上作图, 可先使用2B 铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
所有试题不能答在试题卷上！参考公式：球的表面积公式24πS R =球的体积公式343πV R =其中R 表示球的半径 柱体的体积公式V =Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 台体的体积公式()112213V h S S S S =++其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高第Ⅰ卷（选择题部分共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合M ={x |1122x -<<}，N ={x | x 2 ≤ x }，则M ∩N = (▲ ) A ．1[1,)2- B ．1(,1]2- C ．1[0,)2 D ．1(,0]2-2．设R x ∈，那么“0<x ”是“3≠x ”的（▲） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（▲） A ．//,//m n αα，则//m n B ．,m m αβ⊥⊥，则//αβ C ．//,//m n m α，则//n α D ．,αγβγ⊥⊥，则//αβ 4．若函数)2)(sin ()(a x x x x f -+=是偶函数，则实数a 的值为（▲） A ．1± B ．1 C ．1- D ．05. 若正数,a b 满足111a b +=，则1411a b +--的最小值为（▲） A ．4 B ．6 C ．9 D ．16 6．已知m x x f --=)62sin(2)(π在]2,0[π∈x 上有两个零点，则m 的取值范围为( ▲ )A ．（1，2）B ．[1，2]C ．[1,2)D ．（1，2]7．双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的左右焦点为21,F F ,渐近线分别为21,l l ，点P 在第一象限内且在1l 上，若212,l PF l ⊥∥2PF ,则双曲线的离心率为( ▲ )A .5 B.2 C.3D.2 8．已知函数R x f ∈)(,R x g ∈)(，有以下命题：①若)()]([x f x f f =，则x x f =)(；②若x x f f =)]([，则x x f =)(； ③若x x g f =)]([，且)()(y g x g =，则y x =．其中是真命题的序号是（写出所有满足条件的命题序号）( ▲ )A .①B .②C .③D .①②第Ⅱ卷（非选择题部分共110分)二、填空题：本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分， 共36分.9.设倾斜角为60°的直线l 过点（1，0）且与圆C ：x 2+y 2-4x =0相交，则圆C 的半径为▲ __，圆心到直线l 的距离是▲，直线l 被圆截得的弦长为__▲_．10.设函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+≤=⎨+>⎩，满足((1))4f f a =，则实数a =▲，函数f (x )的单调增区间为▲． 11．已知2)4tan(-=+πα，则αtan =▲，αα2sin cos 2-=▲．12．一个几何体的三视图如图2所示(单位：cm)，则该几何体的表面积为▲， 该该几何体的体积为▲．13．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数7log (23)z x y =+的最小值为▲ ．14.若数列{n a }满足11n a －－1=nd a （d N n ,*∈为常数），则称数列{n a }为调和数列．已知数列{1nx }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则165x x +=▲． 15．已知平面向量α，β满足|α|＝1,1≤|α+β|≤3，则α·β的取值范围是▲．．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分15分） 在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知c =1，6C π=． (Ⅰ)若a =3，求b 的值；(Ⅱ)求cos A cos B 的取值范围．17．（本题满分15分）已知{a n }的前n 项和为S n ，且a n +S n =4（*N n ∈）． （Ⅰ）求证：数列{a n }是等比数列； （Ⅱ）是否存在正整数k ，使221--+k k s S >2成立？若存在，求出正整数k ，若不存在，请说明理由．F CBEDA 'EDCBA18．（本题满分15分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为AB 的中点，现将△ADE 沿直线DE 翻折成△A DE '，使平面A DE '⊥平面BCDE ，F 为线段A D '的中点. （Ⅰ）求证：EF ∥平面A BC '；（Ⅱ）求直线A B '与平面A DE '所成角的正切值.19．（本题满分15分）如图，过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 的直线交C 于1122(,),(,)M x y N x y 两点，且12 4.x x =-（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）,R Q 是C 上的两动点，,R Q 的纵坐标之和为1，RQ 的垂直平分线交y 轴于点T ,求MNT ∆的面积的最小值．20．（本题满分14分）设函数b x b a ax x f ++-=)(23)(2（)10≤≤x ，其中0>a ，b 为任意常数．（Ⅰ）若21=b ，|21|)(-=x x f 在]1,0[∈x 有两个不同的解，求实数a 的取值范围． （Ⅱ）当2=b ，2|)1(|≤f 时，求|)(|x f 的最大值．高三考前模拟考试A数学（文科）答题卡姓名_______________________ _考号_______ ________ 座位号____贴条形码区考生禁填缺考生由监考员用黑色墨水笔填写准考证号和填涂右边的缺考标记．填涂样例注意事项1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名，在规定的位置贴好条形码。
【新课改-全国通用】2018最新高考总复习数学(文)高考模拟仿真试题及答案解析
2018届高考模拟考试（10）文科数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、sin 240的值是（ ） A ．32 B ．12 C ．12- D ．32-2、已知函数()3x f x =（R x ∈）的反函数为()g x ，则12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．3log 2-B ．3log 2C ．2log 3-D ．2log 33、已知双曲线C :22214x y b -=经过点()4,3，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．12 B ．32 C ．72 D ．1324、执行如图所示的程序框图，则输出的z 的值是（ ）A ．21B ．32C ．34D ．64 5、已知命题:p R x ∀∈，20x >，命题:q α∃，R β∈，使()ta n ta n ta n αβαβ+=+，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝ 6、设集合{}22x a x a A =-<<+，{}2450x x x B =--<，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．()1,3C ．[]3,1--D ．()3,1-- 7、已知数列{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+（n *∈N ），则数列{}n a 的通项公式是（ ）x=1, y=2z=xy是z<20? x =yy =z输出z结束否 开始A ．2121n -+B ．2121n --C ．221n +D ．221n - 8、已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率是（ ） A ．425 B ．12 C ．23D ．1 9、如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长V 3A =，点C 在母线V B 上，且VC 1=，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）A ．13B ．7C ．433 D ．33210、设函数()3233f x x ax bx =++有两个极值点1x 、2x ，[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，则点(),a b 在a b O 平面上所构成区域的面积是（ ） A ．14 B ．12 C ．34D ．1 二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11～13题） 11、已知i 为虚数单位，复数1iz i-=，则z = ． 12、已知向量(),1a x =，()2,b y =，若()1,1a b +=-，则x y += ． 13、某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y （km ）与刹车时的速度x （km /h ）的关系可以用2y ax =来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km /h 时，紧急刹车后滑行的距离为b （km ）．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b （km ），则这辆车的行驶速度是 k m /h ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为3212x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和242x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有个．15、（几何证明选讲选做题）如图，在平行四边形CD AB 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与C B 的延长线交于点F ，且AE 平分D ∠BA ，作DG ⊥AE ，垂足为G ，若DG 1=，则F A 的长为 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>，R x ∈），且以π为最小正周期．()1求2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；()2已知1021213f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17、（本小题满分12分）为调查学生每周平均体育运动时间的情况，目某校收集到高三()1班20位学生的样本数据（单位：小时），将他们的每周平均体育运动时间分为6组：[)0,2，[)2,4，[)4,6，[)6,8，[)8,10，[]10,12加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．()1根据频率分布直方图，求出该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值； ()2若在该班每周平均体育运动时间低于4小时的学生中任意抽取2人，求抽取到运动时间低于2小时的学生的概率．18、（本小题满分14分）如图1，直角梯形F C B E 中，四边形D F A E 是正方形，CD 4=，D 2AB =A =．将正方形沿D A 折起，得到如图2所示的多面体，其中平面11D F A E ⊥平面CD AB ，M 是1C E 的中点．()1求证：//BM 平面11D F A E ； ()2求三棱锥1D -BME 的体积．19、（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点(),n n n S P 都在函数()22f x x x =+的图象上．()1求1a ，2a ；()2求数列{}n a 的通项公式；()3若121n n n n b a a a ++=，求证：数列{}n b 的前n 项和160n T <．20、（本小题满分14分）已知直线:l 313y x =+过椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）的一个焦点和一个顶点． ()1求椭圆C 的标准方程；()2过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且D A ⊥AB ，直线D B 与x 轴交于点M ，求常数λ，使得D k k λAM B =．21、（本小题满分14分）已知R a ∈，函数()342f x x ax a =-+．()1求函数()f x 的单调区间；()2证明：当01x ≤≤时，()20f x a +->．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DACBCADBBD二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11～13题）11、2 12、3- 13、603（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14、1 15、43三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、解：()1∵2T ππω==…………1分∴2ω=…………2分∴()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭………3分∴2sin 22sin 2sin 322333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ …………5分()2∵102sin 22sin 2cos 2122123213f απαπππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴5cos 13α=…………7分∵,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭…………8分∴22512sin 1cos 11313αα⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭…………10分∴sin sin cos cos sin 444πππααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭…………11分1225217213213226=-⨯-⨯=-……12分N MF 1E 1D CBA17、解：()1根据频率分布直方图，各组的频率分别为：0.05，0.2，0.3，0.25，0.15，0.05 ……………………2分各组的中点分别为：1，3，5，7，9，11 ……………………4分 该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值为45.41105.0915.0725.053.032.0105.0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ …………………6分 ()2依题意可知，平均运动时间低于4小时的学生中，在[0，2)的人数有12005.0=⨯，记为1，在[2，4)的人数有4202.0=⨯，记为2，3，4，5 …………………8分 从这5人中随机抽取2人的可能情况有10种，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）……10分 其中，抽取到运动时间低于2小时的学生的可能情况有4种，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）………………………………11分故所求概率52104==p ……………………………………………………12分 18、()1证明：取DE 中点N ，连结,MN AN ．在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点所以MN ∥CD 12MN CD =由已知AB ∥CD ，12AB CD =所以MN ∥AB ，且MN AB = 所以四边形ABMN 为平行四边形 所以BM ∥AN ．………3分又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF 所以BM ∥平面ADEF ．…………………4分()2解：面11ADE F ⊥面ABCD ，1E D ⊂面11ADE F ，面11ADE F 面ABCD AD =，1E D AD ⊥，1E D ⊥面ABCD又BC ⊂面ABCD ，1E D ⊥BC …………………6分梯形ABCD 中，2AB AD ==,4CD =，90A ∠=,22BC BD == 所以，222BD BC CD +=, 90CDB ∠=,BC BD ⊥1BDDE D =,所以, BC ⊥平面1BDE …………………8分又BC ⊂平面1BCE ,所以，平面1BCE ⊥平面1BDE作DG ⊥1BE ,则DG ⊥平面1BCE ，DG 是所求三棱锥高…………………10分111111332D BME BE M BCE V DG S DG S -∆∆=⋅=⋅在直角三角形1BDE 中，由面积关系可得263DG =，又 126BCE S ∆= 所以，143D BME V -=……………………………………14分 另解：AB ∥CD ,AB ⊄面1CDE ,CD ⊄面1CDE ,AB ∥平面1CDE ,,A B 两点到平面1CDE 距离相等…………………7分因为翻折后垂直关系不变，所以AD ⊥平面1CDE ,AD 是三棱锥1B DME -高……9分 面11ADE F ⊥面ABCD ，1E D ⊂面11ADE F ，面11ADE F 面ABCD AD =，1E D AD ⊥，1E D ⊥面ABCD ，1E D CD ⊥, 1CDE 是直角三角形………………11分 111111111142243323223D BME B DME DME CDE V V AD S AD S --∆∆==⋅=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=…14分 19、()1解：∵点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图象上 ∴2*2()n S n n n N =+∈…………………1分 ∴113a S ==…………………2分又21222228a a S +==+⨯= ∴25a =…………………4分()2解：由()1知，2*2()nS n n n N =+∈当2≥n 时，121n n n a S S n -=-=+…………………6分 由()1知，11231+⨯==a 满足上式…………………7分 所以数列}{n a 的通项公式为21n a n =+…………………8分()3证明：由()2得])52)(32(1)32)(12(1[41)52)(32)(12(1++-++=+++=n n n n n n n b n…………………11分n n b b b T +++= 21])52)(32(1)32)(12(1971751751531[41++-++++⨯-⨯+⨯-⨯=n n n n ………12分 ])52)(32(1531[41++-⨯=n n …………………13分 601)52)(32(41601<++-=n n …………………14分 20、解：()1直线3:13l y x =+过两点()()0,1,3,0- ………………………1分 因为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦点在x 轴时，故焦点为()3,0-，顶点为()1,0………………………………………2分3,1==∴c b ………………………………………3分222=+=∴c b a ………………………………………4分所以，所求椭圆C 的方程为2214x y += ………………………………………5分()2设111122(,)(0),(,)A x y x y D x y ≠，则11(,)B x y --，直线AB 的斜率11AB y k x =…6分 又AB AD ⊥，所以直线AD 的斜率11x k y =-…………………………………7分 设直线AD 的方程为y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠………………………8分由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(14)8440k x mkx m +++-=. 所以122814mkx x k +=-+…………………………………………9分因此121222()214my y k x x m k +=++=+由题意知，12x x ≠，所以121121144BD y y y k x x k x +==-=+……………………………11分所以直线BD 的方程为1111()4y y y x x x +=+ 令0y =，得13x x =，即1(3,0)M x 可得112AM y k x =-…………………………………………13分 所以2AM BD k k =-，即2λ=-.因此存在常数2λ=-使得结论成立………………14分 21、()1解：由题意得2()122f x x a '=- ………………1分当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调递增区间为()+-∞∞，……………2分 当0a >时，()12()()66a af x x x '=-+………………4分 此时函数()f x 的单调递增区间为(－∞，6a -］，［6a，＋∞)………………5分 ()f x 的单调递减区间为［6a -，6a］． ………………6分 ()2证明：由于0≤x ≤1，故当a ≤2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2……8分当a ＞2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2……10分设g (x )＝2x 3－2x ＋1， 01x ≤≤，则g ′(x )＝6x 2－2＝6(x －33)(x ＋33)………………11分于是……………12分所以，g (x )min ＝g (33)＝1－439＞0∴ 当01x ≤≤时，32210x x -+>………………13分 故3()24420f x a x x +-≥-+>∴ 当01x ≤≤时，()20f x a +->………………14分x 0 (0，33) 33 (33，1) 1 g ′(x )－ 0 ＋ g (x ) 1减 极小值 增 1。
【全国通用-2018高考推荐】最新高考总复习数学(文科)二轮复习模拟试题及答案解析四
2018年高考数学二模试卷（文科）一、选择题1．设U=R，集合A={y|y=，x＞1}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则下列结论正确的是（）A．A∩B={﹣2，﹣1} B．（∁U A）∪B=（﹣∞，0）C．A∪B=（0，+∞）D．（∁A）∩B={﹣2，﹣1}U2．若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．63．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．44．已知向量=（﹣3cosα，2）与向量=（3，﹣4sinα）平行，则锐角α等于（）A．B．C．D．5．在集合{x|x=，n=1，2，3…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程sinx=的概率是（）A．B．C．D．6．已知函数y=log a（x+b）（a，b为常数）的图象如图所示，则函数g（x）=b，x∈[0，3]的最大值是（）A．1 B．b C．b2D．7．若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞log2a的解集为R，则实数a的取值范围为（）A．（0，8）B．（8，+∞）C．（0，） D．（，+∞）8．若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0 B．1 C．D．99．将函数f（x）=Asin（ωx）（A≠0，ω＞0）的图象向左平移个单位，得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A．3 B．4 C．5 D．610．设α、β、γ是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βC．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βD．若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b11．已知点F（﹣c，0）（c＞0）是双曲线=1的左焦点，离心率为e，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点P，且P在抛物线y2=4cx上，则e2=（）A．B．C．D．12．定义域为D的函数f（x）同时满足条件：①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[at，bt]（t∈N+），那么我们把f（x）叫做[a，b]上的“t 级矩形”函数，函数f（x）=x3是[a，b]上的“2级矩形”函数，则满足条件的常数对（a，b）共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对二、填空题13．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是_______．14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为_______．15．若a 、b 、c 都是正数，且a+b+c=2，则+的最小值为_______．16．已知函数f （x ）=x 2+4lnx ，若存在满足1≤x 0≤4的实数x 0，使得曲线y=f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线与直线x+my ﹣2=0垂直，则实数m 的取值范围是_______．三、解答题 17．某市区甲、乙、丙三所学校的高三文科学生共有800人，其中男、女生人数如表： 甲校 乙校 丙校男生 97 90 x女生 153 y z从这三所学校的所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙校高三文科女生丰润概率为0.2．（1）求表中x+z 的值；（2）某市四月份模考后，市教研室准备从这三所学校的所有高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析．先将800人按001，002，…，800进行编号．如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的4个人的编号：（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 83926301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 44391326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931（3）已知x ≥145，z ≥145，求丙校高三文科生中的男生比女生人数多的概率．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ．点E 是线段BD 的中点，点F 是线段PD 上的动点．（Ⅰ）若F是PD的中点，求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求证：CE⊥BF；（Ⅲ）若AB=2，PD=3，当三棱锥P﹣BCF的体积等于时，试判断点F在边PD上的位置，并说明理由．19．若数列{a n}满足a﹣a=d，其中d为常数，则称数列{a n}为等方差数列．已知等方差数列{a n}满足a n＞0，a1=1，a5=3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=na，若不等式kb n＞n（4﹣k）+4对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且斜率为的直线l过椭圆C的焦点及点（0，﹣2）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知一直线m过椭圆C的左焦点F，交椭圆于点P、Q，若直线m与两坐标轴都不垂直，点M在x轴上，且使MF为∠PMQ的一条角平分线，求点M的坐标．21．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）（a∈R），g（x）=f′（x）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线3x﹣y﹣1=0平行，求实数a的值；（2）若函数F（x）=g（x）+x2有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（x2）﹣1＜f（x1）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，以相同的才长度单位建立极坐标系，设圆M的极坐标方程为：ρ2﹣6ρsinθ=﹣5．（1）求圆M的直角坐标方程；（2）若直线l截圆所得弦长为2，求整数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+1|+|x﹣1|＜8的解集为A．（1）求集合A；（2）若∀a，b∈A，x∈（0，+∞），不等式a+b＜x++m恒成立，求实数m的最小值．参考答案与试题解析一、选择题1．设U=R，集合A={y|y=，x＞1}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则下列结论正确的是（）A．A∩B={﹣2，﹣1} B．（∁U A）∪B=（﹣∞，0）C．A∪B=（0，+∞）D．（∁A）∩B={﹣2，﹣1}U【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A中函数的值域确定出A，求出A的补集，求出各项的结果，即可做出判断．【解答】解：由A中的函数y=，且x＞1，得到y＞0，即A=（0，+∞），∴∁U A=（﹣∞，0]，∴A∩B={1，2}，（∁U A）∪B=（﹣∞，0]∪{1，2}，A∪B={﹣2，﹣1}∪（0，+∞），（∁A）∩B={﹣2，﹣1}，U故选：D．2．若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．6【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数==是纯虚数，∴=0，0．则实数a=﹣6．故选：C．3．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出m的值．【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，故选A．4．已知向量=（﹣3cosα，2）与向量=（3，﹣4sinα）平行，则锐角α等于（）A．B．C．D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量的平行的条件以及二倍角公式即可判断．【解答】解：∵向量=（﹣3cosα，2）与向量=（3，﹣4sinα）平行∴12sinαcosα﹣6=0，即sin2α=1，∵α为锐角α，∴α=，故选：B．5．在集合{x|x=，n=1，2，3…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程sinx=的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出所取元素恰好满足方程sinx=的基本事件个数，由此能求出所取元素恰好满足方程sinx=的概率．【解答】解：在集合{x|x=，n=1，2，3…，10}中任取一个元素，基本事件总数为10，所取元素恰好满足方程sinx=的基本事件为x=和x=，∴所取元素恰好满足方程sinx=的概率p=．故选：A．6．已知函数y=log a（x+b）（a，b为常数）的图象如图所示，则函数g（x）=b，x∈[0，3]的最大值是（）A．1 B．b C．b2D．【考点】函数的图象；函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．【分析】根据已知中函数的图象，可得b∈（0，1），结合二次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，及复合函数的单调性，可得答案．【解答】解：∵函数y=log a（x+b）（a，b为常数）的零点位于（0，1）上，故b∈（0，1），当x∈[0，3]时，x2﹣2x在x=1时取最小值﹣1，此时g（x）=b取最大值，故选：D7．若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞log2a的解集为R，则实数a的取值范围为（）A．（0，8）B．（8，+∞）C．（0，） D．（，+∞）【考点】绝对值三角不等式．【分析】令f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|，依题意，log2a＜f（x）min，解之即可得实数a的取值范围．【解答】解：令f（x）=|x+1|﹣|x﹣2||，∵不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞log2a的解集为R，∴log2a＜|x+1|﹣|x﹣2|对任意实数恒成立，∴log2a＜f（x）min；∵f（x）=||x+1|﹣|x﹣2||≤|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴f（x）min=3﹣．∴log2a＜﹣3，∴0＜a＜．故选：C．8．若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0 B．1 C．D．9【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．【解答】解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目标函数Z有最小值，Z min=3x+2y=30=1故选B9．将函数f（x）=Asin（ωx）（A≠0，ω＞0）的图象向左平移个单位，得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象平移关系以及三角函数的对称性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：f（x）=Asin（ωx）（A≠0，ω＞0）的图象向左平移个单位，得到y=Asinω（x+）=Asin（ωx+ω），若图象关于原点对称，则ω=kπ，即ω=6k，k∈Z当k=1时，ω=6，故选：D．10．设α、β、γ是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βC．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βD．若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在C中，α与β相交或平行；在D中，a与b相交、平行或异面．【解答】解：由α、β、γ是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，知：在A中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若a∥α，b∥β，a∥b，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a与b相交、平行或异面，故D错误．故选：B．11．已知点F（﹣c，0）（c＞0）是双曲线=1的左焦点，离心率为e，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点P，且P在抛物线y2=4cx上，则e2=（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质、相似三角形的性质即可得出．【解答】解：如图，设抛物线y2=4cx的准线为l，作PQ⊥l于Q，设双曲线的右焦点为F′，P（x，y）．由题意可知FF′为圆x2+y2=c2的直径，∴PF′⊥PF，且tan∠PFF′=，|FF′|=2c，满足，将①代入②得x2+4cx﹣c2=0，则x=﹣2c±c，即x=（﹣2）c，（负值舍去）代入③，即y=，再将y代入①得，==e2﹣1即e2=1+=．故选：D．12．定义域为D的函数f（x）同时满足条件：①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[at，bt]（t∈N+），那么我们把f（x）叫做[a，b]上的“t 级矩形”函数，函数f（x）=x3是[a，b]上的“2级矩形”函数，则满足条件的常数对（a，b）共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【考点】函数的值域．【分析】函数f（x）=x3是[a，b]上的“2级矩阵”函数，即满足条件①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[at，bt]，利用函数f（x）=x3是[a，b]上的单调增函数，即可求得满足条件的常数对．【解答】解：由题意，函数f（x）=x3是[a，b]上的“2级矩阵”函数，即满足条件①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[at，bt]，∵函数f（x）=x3是[a，b]上的单调增函数，∴，∴满足条件的常数对（a，b）为（﹣，0），（﹣，），（0，），故选：C．二、填空题13．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S i循环前/2 1第一圈是﹣3 2第二圈是﹣ 3第三圈是 4第四圈是 2 5第五圈是﹣3 6…依此类推，S的值呈周期性变化：2，﹣3，﹣，，2，﹣3，…第2010圈是﹣2011第2011圈否故最终的输出结果为：﹣，故答案为：﹣．14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是1的正方形，四棱锥的高是，根据求和几何体的对称性得到几何体的外接球的直径是，求出表面积及球的表面积即可得出比值．【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是1的正方形，四棱锥的高是，斜高为，这个几何体的表面积为8×1×=2∴根据几何体和球的对称性知，几何体的外接球的直径是四棱锥底面的对角线是，∴外接球的表面积是4×π（）2=2π则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为=故答案为：．15．若a、b、c都是正数，且a+b+c=2，则+的最小值为3．【考点】基本不等式．【分析】由题意可得a+1+b+c=3，得到+=（+）（a+1+b+c），由基本不等式求最值可得．【解答】解：a，b，c都是正数，且a+b+c=2，∴a+1+b+c=3，且a+1＞0，且b+c＞0，∴+=（+）（a+1+b+c）=[5++]≥[5+2]=3当且仅当=，即a=1且b+c=2时取等号，故答案为：3．16．已知函数f（x）=x2+4lnx，若存在满足1≤x0≤4的实数x0，使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与直线x+my﹣2=0垂直，则实数m的取值范围是[4，9]．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，再由两直线垂直斜率之积为﹣1，得到2x0+=m，再由基本不等式求出左边的最小值，代入端点1和4，比较得到最大值．【解答】解：函数f（x）=x2+4lnx的导数为f′（x）=2x+（x＞0）．曲线f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率为2x0+，由于切线垂直于直线x+my﹣2=0，则有2x0+=m，由于1≤x0≤4，则由2x0+≥2=4，当且仅当x0=∈[1，4]，取得最小值4；当x0=4时，取得最大值9．故m的取值范围是[4，9]．故答案为：[4，9]．三、解答题17．某市区甲、乙、丙三所学校的高三文科学生共有800人，其中男、女生人数如表：甲校乙校丙校男生97 90 x女生153 y z从这三所学校的所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙校高三文科女生丰润概率为0.2．（1）求表中x+z的值；（2）某市四月份模考后，市教研室准备从这三所学校的所有高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析．先将800人按001，002，…，800进行编号．如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的4个人的编号：（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）844 2 1753315724550688770474476721763350268392630 1 5316591692753862982150717512867358074439132 6 3321134278641607825207443815032442997931（3）已知x≥145，z≥145，求丙校高三文科生中的男生比女生人数多的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；系统抽样方法．【分析】（1）利用在三所高中的所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2，求出表中y的值，再很据总数，求的x+z的值；（2）根据从第8行第7列的数开始向右读，即可写出最先检测的4个人的编号；（3）“丙校高三文科生中的男生比女生人数多”为事件A，其中男女生数即为（x，z），一一列举所有的基本事件，根据概率公式计算即可【解答】解：（1）∵在所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2，∴y=800×0.2=160，则x+z=800﹣（97+153+90+160）=300，…（2）最先检测的4个人的编号为165、538、707、175；…（3）设：“丙校高三文科生中的男生比女生人数多”为事件A，其中男女生数即为（x，z）由（1）知，x+z=300，x≥145，z≥145，满足条件的（x，z）有，，，，，，，，，，共11组，且每组出现的可能性相同，其中事件A包含的基本事件有：，，，，，共5组，∴丙高中学校中的女生比男生人数多的概率为P（A）=．…18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．点E是线段BD的中点，点F是线段PD上的动点．（Ⅰ）若F是PD的中点，求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求证：CE⊥BF；（Ⅲ）若AB=2，PD=3，当三棱锥P﹣BCF的体积等于时，试判断点F在边PD上的位置，并说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）利用三角形的中位线的性质证明EF∥PB，利用线面平行的判定定理，证明：EF∥平面PBC；（Ⅱ）证明CE⊥平面PBD，即可证明：CE⊥BF；（Ⅲ）设PF=x．由AB=2得BD=2，CE=，所以V P﹣BCF=V C﹣===，即可得出结论．BPF【解答】（Ⅰ）证明：在△PDB中，因为点E是BD中点，点F是PD中点，所以EF∥PB．又因为EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC．…（Ⅱ）证明：因为PD⊥平面ABCD，且CE⊂平面ABCD，所以PD⊥CE．又因为底面ABCD是正方形，且点E是BD的中点，所以CE⊥BD．因为BD∩PD=D，所以CE⊥平面PBD，而BF⊂平面PCD，所以CE⊥BF．…（Ⅲ）解：点F为边PD上靠近D点的三等分点．说明如下：由（Ⅱ）可知，CE⊥平面PBF．又因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD．设PF=x．由AB=2得BD=2，CE=，所以V P﹣BCF=V C﹣BPF===．由已知=，所以x=2．因为PD=3，所以点F为边PD上靠近D点的三等分点．…19．若数列{a n}满足a﹣a=d，其中d为常数，则称数列{a n}为等方差数列．已知等方差数列{a n}满足a n＞0，a1=1，a5=3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=na，若不等式kb n＞n（4﹣k）+4对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）要求数列的通项公式，我们根据数列{a n}为等方差数列，且a1=1，a5=3．我们根据等方差数列的定义：a n+12﹣a n2=d我们可以构造一个关于d的方程，解方程求出公差d，进而求出数列的通项公式；（2）求得b n的通项公式，代入kb n＞n（4﹣k）+4，分离k的取值范围，根据n的取值范围，求得k的取值范围．【解答】解：（1）由a12=1，a52=9．得，a52﹣a12=4d，∴d=2．…a n2=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∵a n＞0，∴a n=，数列{a n}的通项公式为a n=；…（2）由（1）知记b n=na n2，=2n2﹣n不等式kb n＞n（4﹣k）+4恒成立，即kn2﹣2n﹣2＞0对于一切的n∈N*恒成立．∴k＞+，…又n≥1，+≤4．…∴k＞4，∴不等式kb n＞n（4﹣k）+4对任意的n∈N*恒成立，实数k的取值范围是：k∈（4，+∞）．…20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且斜率为的直线l过椭圆C的焦点及点（0，﹣2）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知一直线m过椭圆C的左焦点F，交椭圆于点P、Q，若直线m与两坐标轴都不垂直，点M在x轴上，且使MF为∠PMQ的一条角平分线，求点M的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）直线l的方程为y=，焦点坐标为（2，0），又椭圆C的短轴长为2，由此能求出椭圆C的方程．（2）设点M（m，0），左焦点为F（﹣2，0），设直线PQ的方程为x=，与椭圆联立，得（）y2﹣﹣2=0，由此利用韦达定理、角平分线性质、椭圆性质，结合已条条件能求出点M坐标．【解答】解：（1）由题意可知，直线l的方程为y=，…∵直线l过椭圆C的焦点，∴该焦点坐标为（2，0），∴c=2，又椭圆C的短轴长为2，∴b=，∴a2=b2+c2=4+2=6，∴椭圆C的方程为．…（2）设点M（m，0），左焦点为F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=，由，消去x，得（）y2﹣﹣2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=，y1•y2=，…∵MF为∠PMQ的一条角平分线，∴k PM+k QM=0，即+=0，…又，，代入上式可得，∴，解得m=﹣3，∴点M（﹣3，0）．…21．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）（a∈R），g（x）=f′（x）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线3x﹣y﹣1=0平行，求实数a的值；（2）若函数F（x）=g（x）+x2有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（x2）﹣1＜f（x1）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，解a；（2）利用极值点与其导数的关系求出a的范围，进一步求出f（x）的解析式，通过求导判断其单调性以及最值．【解答】解：（1）∵f′（x）=ln x﹣2ax+1，∴f′（1）=1﹣2a因为3x﹣y﹣1=0的斜率为3．依题意，得1﹣2a=3；则a=﹣1．…（2）证明：因为F（x）=g（x）+x2=ln x﹣2ax+1+x2，所以F′（x）=﹣2a+x=（x＞0），函数F（x）=g（x）+x2有两个极值点x1，x2且x1＜x2，即h（x）=x2﹣2ax+1在（0，+∞）上有两个相异零点x1，x2．∵x1x2=1＞0，∴∴a＞1．…当0＜x＜x1或x＞x2时，h（x）＞0，F′（x）＞0．当x1＜x＜x2时，h（x）＜0，F′（x）＜0．所以F（x）在（0，x1）与（x2，+∞）上是增函数，在区间（x1，x2）上是减函数．因为h（1）=2﹣2a＜0，所以0＜x1＜1＜a＜x2，令x2﹣2ax+1=0，得a=，∴f（x）=x（ln x﹣ax）=xln x﹣x3﹣x，则f′（x）=ln x﹣x2+，设s（x）=ln x﹣x2+，s′（x）=﹣3x=，…①当x＞1时，s′（x）＜0，s（x）在（1，+∞）上单调递减，从而函数s（x）在（a，+∞）上单调递减，∴s（x）＜s（a）＜s（1）=﹣1＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．故f（x）＜f（1）=﹣1＜0．又1＜a＜x2，因此f（x2）＜﹣1．…②当0＜x＜1时，由s′（x）=＞0，得0＜x＜．由s′（x）=＜0，得＜x＜1，所以s（x）在[0，]上单调递增，s（x）在[，1]上单调递减，∴s（x）≤s max=ln＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，∴f（x）＞f（1）=﹣1，∵x1∈（0，1），从而有f（x1）＞﹣1．综上可知：f（x2）＜﹣1＜f（x1）．…[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据切割线定理，建立两个等式，即可证得结论；（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F，证明AC是⊙O2的切线，可得∠CAD=∠AED，由（1）知，可得∠CAD=∠ADE，从而可得∠AED=∠ADE，即可证得结论．【解答】证明：（1）∵PE、PB分别是⊙O2的割线∴PA•PE=PD•PB又∵PA、PB分别是⊙O1的切线和割线∴PA2=PC•PB由以上条件得PA•PD=PE•PC（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB=90°∴AC是⊙O2的切线．由（1）知，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD=∠ADE又∵AC是⊙O2的切线，∴∠CAD=∠AED又∠CAD=∠ADE，∴∠AED=∠ADE∴AD=AE[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，以相同的才长度单位建立极坐标系，设圆M的极坐标方程为：ρ2﹣6ρsinθ=﹣5．（1）求圆M的直角坐标方程；（2）若直线l截圆所得弦长为2，求整数a的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由圆M的极坐标方程为：ρ2﹣6ρsinθ=﹣5，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直角坐标方程．通过配方可得圆心M，半径r．（2）把直线l的参数方程为（t为参数）化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心M （0，3）到直线l的距离d，利用弦长公式即可得出．【解答】解：（1）∵圆M的极坐标方程为：ρ2﹣6ρsinθ=﹣5．可得直角坐标方程：x2+y2﹣6y=﹣5，配方为：x2+（y﹣3）2=4．∴圆M 的直角坐标方程为：：x2+（y﹣3）2=4．圆心M（0，3），半径r=2．（2）把直线l的参数方程为（t为参数）化为普通方程得：3x+4y﹣3a+4=0，∵直线l截圆M 所得弦长为2，且圆M 的圆心M （0，3）到直线l的距离d==．∴=22﹣，化为：16﹣3a=±5，解得a=或7．又a∈Z，∴a=7．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+1|+|x﹣1|＜8的解集为A．（1）求集合A；（2）若∀a，b∈A，x∈（0，+∞），不等式a+b＜x++m恒成立，求实数m的最小值．【考点】绝对值三角不等式；函数恒成立问题．【分析】（1）分x＜﹣1，﹣1≤x≤1，x＞1三种情况去绝对值符号将不等式转化为一元一次不等式求解；（2）分别求出a+b和x++m的范围，令a+b的最大值小于x++m的最小值即可．【解答】解：（1）①当x＜﹣1时，﹣x﹣1﹣x+1＜8，解得﹣4＜x＜﹣1；②当﹣1≤x≤1时，x+1﹣x+1＜8，恒成立；③当x＞1时，x+1+x﹣1＜8，解得1＜x＜4．综上，A=（﹣4，4）…（2）由（1）知：a，b∈（﹣4，4），∴a+b∈（﹣8，8）．又x∈（0，+∞）时，x+≥2=6，（当且仅当x=3时等号成立）…；∴依题意得：6+m≥8，∴m≥2，故实数m的最小值为2…2016年9月8日。
〖全国卷-2018名师推荐〗高考总复习数学(文)第二次高考模拟试题及答案解析十五
2018年第二次高考模拟考试数学试卷（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，24小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回. 参考公式：锥体的体积公式是：13V S h =∙锥体底，其中S 底是锥体的底面积，h 是锥体的高. 第一部分 选择题（共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{1,2,5}A =，{}1,3,5U C B =，则A B = （ ）A ．{5}B ．{2}C ．{1,2,4,5}D ．{3,4,5}2．已知Z=ii+12 (i 为虚数单位),则Z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知非零向量()21,1a m m =-+ 与向量()1,2b =- 平行，则实数m 的值为（ ）A ．1-或21B ．1或21- C ．1-D ．214．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．1B ．23C ．1321 D ．6109875．设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． 若2a =，23c =，21sin =A ，且b c <，则=B （ ） 开始是 否0,1i S ==2121S S S +=+ 1i i =+2i ≥输出S 结束 第4题图334俯视图侧视图正视图第10题图A ．6πB ．3πC ．2πD ．32π6．设数列}{n a 是等差数列，n S 为其前n 项和.若368S S =，853=-a a ，则20a =（ ）A ．4B.36 C.74- D.80 7．设函数⎩⎨⎧≥<-+=-)1(,3)1(),2(log 1)(13x x x x f x ,则=+-)12(log )7(3f f ( ) A ．7B.9 C.11D.138．已知命题p ⌝:存在x ∈(1,2)使得0xe a ->,若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A. (-∞,e )B. (-∞,e ]C. (2e ,+∞) D. [2e ,+∞)9. 已知函数()()sin f x A ωx φ=+002πA ωφ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示， 若将()f x 图像上的所有点向右平移12π个单位得到函数()g x 的图像， 则函数()g x 的单调递增区间为（ ） A ．[,]36k k ππππ-+,k Z ∈B ．2[+,]63k k ππππ+,k Z ∈ C ．[,]1212k k ππππ-+,k Z ∈D ．7[,]1212k k ππππ--,k Z ∈10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．31πB ． 32πC ． 34πD ．36π11．《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A ．227 B ．258 C ．15750 D ．35511312．已知抛物线24y x =的焦点为F ，A 、B 为抛物线上两点，若3AF FB =，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为() A ．33B ．833C ．433D ．233 第9题图第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则直线l 的方程为.14．实数,x y 满足1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则1++=y x Z 的最大值为.15．设△ABC 的内角为A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c .若ab c b a c b a =++-+))((，则角C=__________.16．设函数)('x f 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，0)1(=-f ，当0x >时，0)()('<-x f x xf ，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是.三、解答题:本大题共 8小题，满分 70 分。
2018-2019年最新最新高考总复习数学(文)二轮复习模拟试题及答案解析
2018年高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤03．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i4．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．﹣C．D．5．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．3 B．57 C．19 D．766．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．已知函数f（x）=+a，若f（x）是奇函数，则a=（）A．0 B．C．D．8．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]9．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．B．C．D．310．当x∈[1，2]，函数y=x2与y=a x（a＞0）的图象有交点，则a的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[，2] D．[，]11．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A、B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣，] C．[﹣3，3] D．[﹣5，5]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y=e x在点（0，1）处的切线方程是．14．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．15．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．16．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．三、简答题，本大题共70分，17-21题为必考题，22-24为选考题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=AD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：PN=CN；（Ⅱ）直线MN与平面PBD相交于点F，求MF：FN．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家，然后从这8家中选出2家，求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010K0 3.841 5.024 6.63520．已知抛物线E：x2=4y，m，n是经过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）当n过E的焦点时，求B到n的距离．21．设函数f（x）=x++alnx，其中a∈R．（Ⅰ）设f（x）的极小值点为x=t，请将a用t表示；（Ⅱ）记f（x）的极小值为g（t），证明：（1）g（t）=g（）；（2）函数y=g（t）恰有两个零点，且互为倒数．22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x ∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0．故选：D．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，然后利用对称性求解即可．解答：解：==﹣2﹣i．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：A．点评：本题考查复数的基本概念，复数的乘除运算，考查计算能力．4．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．﹣C．D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接由已知结合等差数列的通项公式和前n项和列式求得公差．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a7=8，S7=42，得，解得：．故选：D．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．5．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．3 B．57 C．19 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c 的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：C．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．已知函数f（x）=+a，若f（x）是奇函数，则a=（）A．0 B．C．D．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的定义f（x）+f（﹣x）=0，x=1，特殊值求解即可．解答：解：∵函数f（x）=+a，f（x）是奇函数，∴f（1）+f（﹣1）=0，即++a=0，2a=1，a=，故选：B点评：本题考查了奇函数的定义性质，难度很小，属于容易题．8．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义以及斜率公式的计算，即可求z的取值范围．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．z=的几何意义是区域内的点（x，y）到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知BD的斜率最大，CD的斜率最小，由，解得，即B（，），即BD的斜率k==，由，解得，即C（，），即CD的斜率k==，即≤z≤，故选：D．点评：本题主要考查线性规划以及直线斜率的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．B．C．D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱柱与三棱锥的组合体，结合图中的数据，求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为直三棱柱，上部为直三棱锥的组合体；如图所示：∴该几何体的体积是V几何体=V三棱柱+V三棱锥=×2×1×1+××2×1×1=．故选：A．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．10．当x∈[1，2]，函数y=x2与y=a x（a＞0）的图象有交点，则a的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[，2] D．[，]考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：作函数y=x2与y=a x（a＞0）在[1，2]上的图象，结合图象写出a的取值范围即可．解答：解：作函数y=x2与y=a x（a＞0）在[1，2]上的图象如下，结合图象可得，a的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题考查了函数的图象的应用，属于基础题．11．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A、B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣，] C．[﹣3，3] D．[﹣5，5]考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA≤2，∴点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴﹣≤t≤，故选：B．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y=e x在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，得到在x=0处的导数值，再求出f（0），然后直接写出切线方程的斜截式．解答：解：由f（x）=e x，得f′（x）=e x，∴f′（0）=e0=1，即曲线f（x）=e x在x=0处的切线的斜率等于1，曲线经过（0，1），∴曲线f（x）=e x在x=0处的切线方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线上某点处的导数值，就是曲线在该点处的切线的斜率，是中档题．14．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．15．设S考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S 4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．三、简答题，本大题共70分，17-21题为必考题，22-24为选考题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=AD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：PN=CN；（Ⅱ）直线MN与平面PBD相交于点F，求MF：FN．考点：点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取PD中点E，连AE，EM，证明MN⊥平面PCD，可得MN⊥PC，即可证明PN=CN；（Ⅱ）设M，N，C，A到平面PBD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d3=2d1，d4=2d2，由V A﹣PBD=V C﹣PBD，得d3=d4，则d1=d2，即可得出结论．解答：（Ⅰ）证明：取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN，四边形ANME是平行四边形，MN∥AE．由PA=AD得AE⊥PD，故MN⊥PD．又因为MN⊥CD，所以MN⊥平面PCD，则MN⊥PC，PN=CN．…（6分）（Ⅱ）解：设M，N，C，A到平面PBD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d3=2d1，d4=2d2，由V A﹣PBD=V C﹣PBD，得d3=d4，则d1=d2，故MF：FN=d1：d2=1：1．…（12分）点评：本题考查线面垂直的证明，考查等体积的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家，然后从这8家中选出2家，求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010K0 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中、小企业数之比为1：3，按分层抽样得到的8家中，中、小企业分别为2家和6家，列表确定基本事件，即可求出这2家中恰好中、小型企业各一家的概率．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中、小企业数之比为1：3，按分层抽样得到的8家中，中、小企业分别为2家和6家，分别记为A1，A2，B1，B2，B3，B4，B5，B6，把可能结果列表如下：A1 A2 B1 B2 B3 B4 B5 B6A1﹣+ + + + + +A2﹣+ + + + + +B1 + + ﹣B2 + + ﹣B3 + + ﹣B4 + + ﹣B5 + + ﹣B6 + + ﹣结果总数是56，符合条件的有24种结果．（若用树状图列式是：）从8家中选2家，中、小企业恰各有一家的概率为=．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查概率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m，n是经过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）当n过E的焦点时，求B到n的距离．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）k AF==﹣k，所以ak=2，确定B的坐标，再求出B到n的距离．解答：解：（Ⅰ）m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0①，x2+4kx﹣4ka+4=0②，…（2分）由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，由△2＞0得k2+ka﹣1＞0，…（4分）故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1或k＞1．…（6分）（Ⅱ）F（0，1），k AF==﹣k，所以ak=2．…（8分）由△1=0得k2=ka+1=3，B（2k，k2），所以B到n的距离d===4 …（12分）点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，其中a∈R．（Ⅰ）设f（x）的极小值点为x=t，请将a用t表示；（Ⅱ）记f（x）的极小值为g（t），证明：（1）g（t）=g（）；（2）函数y=g（t）恰有两个零点，且互为倒数．考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出导函数，利用f（x）的极小值点为x=t．推出t=＞0，然后求解单调区间，a=﹣表示出a与t的关系．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知f（x）的极小值，就是证明g（）=g （t）．（ⅱ）求出函数的g′（t）=﹣（1+）lnt，利用单调性以及极值，判断分别存在唯一的c∈（1，1）和d∈（1，e2），推出g（c）=g（d）=0，化简即可．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=1﹣+=．t=＞0，…（2分）当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．…（4分）由f′（t）=0得a=﹣t．…（6分）（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知f（x）的极小值为g（t）=t++（﹣t）lnt，则g（）=+t+（t﹣）ln=t++（﹣t）lnt=g（t）．…（8分）（ⅱ）g′（t）=﹣（1+）lnt，…（9分）当t∈（0，1）时，g′（t）＞0，f（t）单调递增；当t∈（1，+∞）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减．…（10分）又g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（1，1）和d∈（1，e2），使得g（c）=g（d）=0，且cd=1，所以y=g（t）有两个零点且互为倒数．…（12分）点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的零点的应用，考查计算能力．22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacos θ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。
【全国通用-2018高考推荐】高三数学(文科)高考第二次模拟考试试题及答案解析
2017-2018学年高三第二次模拟考试数学试题（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合U={}0)7(|<-∈x x Z x ，A={1,4,5}，B={2,3,5}，则)(B C A U =A.{1,5}B{1,4,6} C.{1,4}D.{1,4,5}2.平面向量b a ,的夹角为 30，a =（1,0），|b | =3，则||b a-= A.32 B.1C.5D.22 3. 欧拉在1748年给出了著名公式θθθsin cos i e i +=（欧拉公式）是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e=2.71828…，根据欧拉公式θθθsin cos i e i +=，任何一个复数z=)sin (cos θθi r +，都可以表示成θi re z =的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数312πi e z =，222πi e z =，则复数21z z z =在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，155=S ，639=S ，则4a =A.3B.4C.5D.75．已知“q p ∧”是假命题，则下列选项中一定为真命题的是A.q p ∨B.）（）（q p ⌝∧⌝C.q p ∨⌝）（D.）（）（q p ⌝∨⌝6.40cos 80cos 40sin 80sin -的值为（ ） A.23- B.21- C.21D.23 7. 如图，B,D 是以AC 为直径的圆上的两点，其中AB=1+t ，AD=2+t ，则→→⋅BD AC =A.1B. 2C. tD.2t8. 已知双曲线)00(12222>>=-b a by a x ，，若焦点F(c ，0)关于渐近线x a b y =的对称点在另一条渐近线x ab y -=上，则双曲线的离心率为 A.2B. 2 C.3D.39.函数()x f =x x cos |lg |-的零点个数为A. 3B.4C. 5D.610.已知圆C ：122=+y x ，点P 在直线l ：y=x+2上，若圆C 上存在两点A,B 使得→→=PB PA 3，则点P 的横坐标的取值范围为（ ） A.[-1,21]B.[-2,21]C.[-1,0]D.[-2,0] 11. 四棱锥M-ABCD 的底面ABCD 是边长为的正方形，若|MA|+|MB|=10，则三棱锥A-BCM 的体积的最大值是A.48B. 36C.30D.2412. 已知函数()x f =1--ax e x，()x g =)1ln(-x e ，若0x ∃()∞+∈，0，使得()()00lg x f x f >成立，则a 的取值范围是A. （0，+∞）B.（0,1）C.（1，+∞）D.[1,+∞)第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：第II 卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。
【全国通用-2018高考推荐】最新高考总复习数学(文)二轮复习模拟试题答案解析版
2018年高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}，集合B={x|x|＜1}，则A∪B=（）A．∅B．{x|x=1} C．{x|1≤x≤2} D．{x|﹣1＜x≤2}【考点】：并集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解析】：解：A={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，由B={x|x|＜1}得{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B={x|﹣1＜x≤2}，故选：D【点评】：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆（如图阴影部分）中的概率是（）A．B．C．D．【考点】：几何概型．【专题】：概率与统计．【分析】：设正方形的边长，求出面积以及内切圆的四分之一圆面积，利用几何概型求概率．【解析】：解：设正方形的边长为2，则面积为4；圆与正方形内切，圆的半径为1，所以圆的面积为π，则阴影部分的面积为，所以所求概率为P==．故选：C．【点评】：本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题．3．（5分）实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x+3y的最小值是（）A．﹣12 B．﹣8 C．﹣4 D．0【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解析】：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+3y为，由图可知，当直线过A（﹣2，2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣8．故选：B．【点评】：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4．（5分）已知非零平面向量，，则“与共线”是“+与﹣共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：平行向量与共线向量．【专题】：平面向量及应用．【分析】：设出两个命题，利用充分必要条件的定义对p⇒q，q⇒p分别进行判断．【解析】：解：设命题q：“与共线”，设命题“+与﹣共线”，显然命题q成立时，命题p成立，所以q是P成立的充分条件；当“+与﹣共线”时，根据共线的定义有+=λ（﹣），则，由于非零平面向量，，所以λ=±1，那么，所以与共线，所以q是p 必要条件；综上可得，q是p的充要条件；故选：C．【点评】：本题考查了共线向量以及充分必要条件的判断，关键是判断条件与结论的关系．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣D．﹣【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=7时n大于5退出循环，输出S的值为0．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=1S=，n=3，n不大于5S=﹣，n=5，n不大于5S=0，n=7，n大于5退出循环，输出S的值为0，故选：A．【点评】：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，n的值是解题的关键，属于基础题．6．（5分）函数f（x）=的零点个数是（）A．0 B．1 C． 2 D． 3【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】：作函数f（x）=的图象，利用数形结合求解．【解析】：解：作函数f（x）=的图象如下，由图象可知，函数f（x）=的零点个数是2，故选：C．【点评】：本题考查了学生的作图与用图的能力，属于基础题．7．（5分）已知点A为抛物线C：x2=4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则△ABF（）A．一定是直角B．一定是锐角C．一定是钝角D．上述三种情况都可能【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求导数，确定过A的切线方程，可得B的坐标，求出=（x0，），=（﹣x0，1），可得•=0，即可得出结论．【解析】：解：由x2=4y可得y=x2，∴y′=x，设A（x0，），则过A的切线方程为y﹣=x0（x﹣x0），令y=0，可得x=x0，∴B（x0，0），∵F（0，1），∴=（x0，），=（﹣x0，1），∴•=0，∴∠ABF=90°，故选：A．【点评】：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8．（5分）已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料．若下面4个说法都是正确的：①甲不在查资料，也不在写教案；②乙不在打印材料，也不在查资料；③丙不在批改作业，也不在打印材料；④丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断（）A．甲在打印材料B．乙在批改作业C．丙在写教案D．丁在打印材料【考点】：进行简单的合情推理．【专题】：简易逻辑．【分析】：若甲不在打印资料，则丙不在查资料，则甲在改作业，丙只能写教案，乙不管是写教案还是改作业都与甲或丙在做一样的事，与题设矛盾，从而得解．【解析】：解：把已知条件列表如下：若甲不在打印资料，则丙不在查资料，则甲在改作业，丙只能写教案，乙不管是写教案还是改作业都与甲或丙在做一样的事，与题设矛盾．所以甲一定在打印资料，此时丁在改作业，乙在写教案，丙在查资料．故选：A．【点评】：这是一个典型的逻辑推理应用题，解题方法是由确定项开始用排除法，逐个推论确定各自的正确选项，最终解决问题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）设i为虚数单位，则i（1﹣i）= 1+i ．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数代数形式的乘法运算化简求值．【解析】：解：i（1﹣i）=i﹣i2=1+i．故答案为：1+i．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．10．（5分）若中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（0，﹣2），一条渐近线的方程是x﹣y=0，则双曲线C的方程为﹣=1 ．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0）则c=2，由渐近线方程y=±x，可得a=b，再由a，b，c的关系，解得a，b，进而得到双曲线方程．【解析】：解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0）则c=2，由渐近线方程y=±x，由题意可得a=b，又c2=a2+b2，解得a=b=2，则双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程，属于基础题．11．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为；表面积为3+．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；作图题；空间位置关系与距离．【分析】：由题意作出其直观图，从而求体积及表面积即可．【解析】：解：由题意可知，其直观图如下，其底面为正方形，S=1×1=1，高为2；故V=×1×2=；其表面积S=1+（2+2+）=3+；故答案为：，3+．【点评】：本题考查了学生的空间想象力与作图能力，属于基础题．12．（5分）已知在△ABC中，C=，cosB=，AB=5，则sinA= ；△ABC的面积为14 ．【考点】：正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：由C=，cosB=，可得sinC=cosC=，sinB=，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC．由正弦定理可得：，可得b=，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解析】：解：∵C=，cosB=，∴sinC=cosC=，sinB==．∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC==．由正弦定理可得：，可得b===4，∴S=×=14．故答案分别为：，14．【点评】：本题考查了正弦定理的应用、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）在圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8内，过点P（1，0）的最长的弦为AB，最短的弦为DE，则四边形ADBE的面积为4．【考点】：圆的切线方程．【专题】：直线与圆．【分析】：由圆的知识可知过（1，0）的最长弦为直径，最短弦为过（1，0）且垂直于该直径的弦，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．【解析】：解：圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8，由题意得最长的弦|AB|=4，圆心（2，2），圆心与点（1，0）的距离d==，根据勾股定理得最短的弦|DE|=2=2=2，且AB⊥DE，四边形ABCD的面积S=|AB|•|DE|=×4×2=4，故答案为：4．【点评】：本题考查学生灵活运用几何知识决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半是解决问题的关键，属中档题．14．（5分）关于函数f（x）=的性质，有如下四个命题：①函数f（x）的定义域为R；②函数f（x）的值域为（0，+∞）；③方程f（x）=x有且只有一个实根；④函数f（x）的图象是中心对称图形．其中正确命题的序号是①③④．【考点】：命题的真假判断与应用；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的图象．【专题】：简易逻辑．【分析】：直接利用函数的定义域、值域判断①②的正误；利用函数的零点与函数的图象的关系判断③的正误；利用函数的对称性判断④的正误；【解析】：解：对于①，函数f（x）=的定义域为R；所以①正确；对于②，函数f（x）的值域为（0，+∞）；显然不正确，因为函数减函数函数的值域是：（），所以②不正确；对于③方程f（x）=x有且只有一个实根；如图，作出两个是的图象，可知可知方程只有一个根，所以③正确；对于④，函数f（x）的图象是中心对称图形．因为f（x+1）+f（﹣x）=，==，∴f（x）关于（）对称，所以④正确．故答案为：①③④．【点评】：本题考查函数的简单性质的应用，函数的零点的判断，考查数形结合以及基本知识的应用，考查逻辑推理能力．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=cosx（2sinx+cosx）﹣sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[，π]上的最大值及相应的x的值；（Ⅱ）若f（x0）=2，且x0∈（0，2π），求x0的值．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】：计算题；三角函数的求值．【分析】：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），由x∈[，π]，可求sin（2x+）∈[﹣1，]，从而可求当且仅当2x+=，即x=π时，f（x）max=1．（Ⅱ）由题意，2sin（2x0+）=2，又x0∈（0，2π），可得2x0+∈（，），即可解得x0的值．【解析】：解：（Ⅰ）f（x）=cosx（2sinx+cosx）﹣sin2x=cosx（2sinx+cosx）﹣sin2x=2sinxcosx+cos2x﹣sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∵x∈[，π]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣1，]，∴当且仅当2x+=，即x=π时，f（x）max=1；…8分（Ⅱ）由题意，2sin（2x0+）=2，所以sin（2x0+）=1，又x0∈（0，2π），所以2x0+∈（，），所以2x0+=或2x0+=，所以x0=或x0=．…13分【点评】：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．16．（13分）已知递增的等差数列{a n}（n∈N*）的前三项之和为18，前三项之积为120．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若点A1（a1，b1），A2（a2，b2），…，A n（a n，b n）（n∈N*）从左至右依次都在函数y=3的图象上，求这n个点A1，A2，A3，…，A n的纵坐标之和．【考点】：数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）通过前三项之和、前三项之积可得公差及首项，根据公式计算即可；（Ⅱ）根据题意及（I），可得=9，问题转化为求首项为3、公比为9的等比数列{b n}的前n项和，计算即可．【解析】：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，∵前三项之和为18，∴a2=6，a1=6﹣d，a3=6+d，又∵前三项之积为120，∴（6﹣d）×6×（6+d）=120，解得d=4或﹣4（舍），∴a1=6﹣4=2，∴a n=4n﹣2；（Ⅱ）根据题意及（I），可得b n=32n﹣1，∴求这n个点A1，A2，A3，…，A n的纵坐标之和即为数列{b n}的前n项和T n，∵=9，b1=32×1﹣1=3，∴数列{b n}是首项为3、公比为9的等比数列，∴T n==（9n﹣1）．【点评】：本题考查等差中项的性质，求通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．17．（13分）某学科测试，要求考生从A，B，C三道试题中任选一题作答．考试结束后，统计数据显示共有420名学生参加测试，选择A，B，C题作答的人数如表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从420份试卷中抽出若干试卷，其中从选择A题作答的试卷中抽出了3份，则应从选择B，C题作答的试卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问被抽出的试卷中，选择A，B，C题作答得优的试卷分别有2份，2份，1份．现从被抽出的选择A，B，C题作答的试卷中各随机选1份，求这3份试卷都得优的概率．【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）根据分层抽样即可得到应从选择B，C题作答的试卷中各抽出得份数；（Ⅱ）记（Ⅰ）中抽取得选择A题作答的试卷分别为a1，a2，a3，其中a1，a2得优，选择B题作答的试卷分别为b1，b2，其中b1，b2得优，选择C题作答的试卷分别为c1，c2其中c1得优，一一列举出所有得结果，再找到满足条件的基本结果，根据概率公式计算即可．【解析】：解（Ⅰ）由题意可得，试卷的抽出比例为=，所以应从选择B题作答试卷中抽取2份，从选择C题作答试卷中抽出2份，（Ⅱ）记（Ⅰ）中抽取得选择A题作答的试卷分别为a1，a2，a3，其中a1，a2得优，选择B题作答的试卷分别为b1，b2，其中b1，b2得优，选择C题作答的试卷分别为c1，c2其中c1得优，从三种试一份卷中分别抽取所有得结果如下，{a1，b1，c1}，{a1，b1，c2}，{a1，b2，c1}，{a1，b2，c2}，{a2，b1，c1}，{a2，b1，c2}，{a2，b2，c1}，{a2，b2，c2}，{a3，b1，c1}，{a3，b1，c2}，{a3，b2，c1}，{a3，b2，c2}，所以结果共有12种可能，其中3份都得优得有{a1，b1，c1}，{a1，b2，c1}，{a2，b1，c1}，{a2，b2，c1}，共4种，故这3份试卷都得优的概率P==．【点评】：本题考查了分层抽样和古典概率的问题，关键是不重不漏的列举所有得基本事件，属于基础题．18．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，M为CD的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．点O是线段AM的中点．（Ⅰ）求证：平面DOB⊥平面ABCM；（Ⅱ）求证：AD⊥BM；（Ⅲ）过D点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面BCD；②l∥AM．请说明理由．【考点】：平面与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理进行判断即可证明平面DOB⊥平面ABCM；（Ⅱ）根据线面垂直的性质定理即可证明AD⊥BM；（Ⅲ）利用反证法结合线面平行的性质进行证明．【解析】：证明：（Ⅰ）由已知DA=DM，O是AM的中点，∴DO⊥AM，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，DO⊂平面DOB，∴平面DOB⊥平面ABCM；（Ⅱ）在矩形ABCD中，AB=2AD，M为CD的中点，∴AM=BM=AD=AB，∴AM⊥BM，由（1）知，DO⊥平面ABCM；∵BM⊂平面ABCM，∴DO⊥BM，∵DO，AM⊂平面ADM，DO∩AM=0，∴BM⊥平面ADM，而AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM；（Ⅲ）过D点是不存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面BCD；②l∥AM．证明（反证法）假设过D存在一条直线l满足条件，则∵l∥AM，L⊄平面ABCM，AM⊂平面ABCM，∴l∥平面ABCM，∵l⊂平面BCD，平面ABCM∩平面BCD=BC，∴l∥BC，即AM∥BC，由图易知，AM，BC相交，此时矛盾，∴过D点不存在一条直线l满足题设条件．【点评】：本题主要考查空间直线和平面平行，垂直以及面面垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．19．（14分）已知椭圆C：+y2=1，O为坐标原点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且∠AOB=90°．（Ⅰ）若直线l平行于x轴，求△AOB的面积；（Ⅱ）若直线l始终与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，求r的值．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（Ⅰ）由题意设出A，B两点的坐标，结合∠AOB=90°，得，进一步得到A的横纵坐标的关系，代入椭圆方程求得坐标，得到B的坐标，然后代入三角形的面积公式得答案；（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，联立方程组，得到关于x的一元二次方程，写出判别式大于0，再由根与系数关系得到A，B两点横纵坐标的和与积，代入x1x2+y1y2=0得到m与k的关系，结合判别式大于0求得m的范围，再由直线l始终与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，得到圆的半径与m的关系，从而求得r的值，当直线l的斜率不存在时，由直线l与圆x2+y2=r2（r＞0）相切直接求得r的值，则r值可求．【解析】：解：（Ⅰ）不妨设直线l在x轴上方，则A，B两点关于y轴对称，设A（x1，y1），B（﹣x1，y1），（x1＜0，y1＞0），则，由∠AOB=90°，得，∴．又∵点A在椭圆上，∴．由于x1＜0，解得：．则A（），B（）．∴．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，整理得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0．方程的判别式△=4k2﹣m2+1＞0，．由∠AOB=90°，得，即x1x2+y1y2=0．而y1y2=（kx1+m）（kx2+m），则+m2=0∴．整理得：5m2﹣4k2﹣4=0．把4k2=5m2﹣4代入△=4k2﹣m2+1＞0，得．而4k2=5m2﹣4≥0，∴，满足．直线l始终与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，得，由，得．∵r＞0，∴r=．当直线l的斜率不存在时，若直线l与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，此时直线l的方程为：x=，r=．综上所述：r=．【点评】：本题考查了向量在解圆锥曲线问题中的应用，考查了直线与圆锥曲线，圆与圆锥曲线的位置关系，涉及直线和圆锥曲线的位置关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，利用一元二次方程的根与系数关系求解，特点是运算量大，要求考生具有较强的运算能力，是压轴题．20．（13分）已知函数f（x）=asinx+cosx，其中a＞0．（Ⅰ）当a≥1时，判断f（x）在区间[0，]上的单调性；（Ⅱ）当0＜a＜1时，若不等式f（x）＜t2+at+2对于x∈[0，]恒成立，求实数t的取值范围．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】：导数的概念及应用；三角函数的求值．【分析】：（Ⅰ）由题意求导数可得f′（x）≥0，可得f（x）在区间[0，]上单调递增；（Ⅱ）由f′（x）=0可得方程a=tanx在（0，）上必有一根，记为x0，易得∴f（x）max=f（x0）=（a2+1）cosx0=，问题转化为（t﹣2）a+（t2+2）＞0当0＜a＜1时恒成立，构造函数h（a）=（t﹣2）a+（t2+2），可得，解不等式组可得答案．【解析】：解：（Ⅰ）∵a≥1，x∈[0，]，∴f′（x）=acosx﹣sinx≥cosx﹣sinx≥0，∴f（x）在区间[0，]上单调递增；（Ⅱ）令f′（x）=0可得acosx=sinx，∵x∈[0，]，∴cosx≠0，∴a=tanx，∵0＜a＜1，∴tanx∈（0，1），∵函数y=tanx在（0，）上单调递增，∴方程a=tanx在（0，）上必有一根，记为x0，则f′（x0）=acosx0﹣sinx0=0，∵f′（x）=acosx﹣sinx在x∈[0，]上单调递减，∴当x∈（0，x0）时，f′（x）＞f′（x0）=0，当x∈（x0，）时，f′（x）＜f′（x0）=0，∴函数f（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，）单调递减，∴f（x）max=f（x0）=asinx0﹣cosx0，又∵acosx0=sinx0，cos2x0+sin2x0=1，∴（a2+1）cos2x0=1，∴cos2x0=，∴f（x）max=f（x0）=（a2+1）cosx0=∵当0＜a＜1时，若不等式f（x）＜t2+at+2对于x∈[0，]恒成立，∴＜t2+at+2，即（t﹣2）a+（t2+2）＞0当0＜a＜1时恒成立，令h（a）=（t﹣2）a+（t2+2），则，解不等式组可得t≤﹣1或t≥0【点评】：本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法判函数的单调性和恒成立问题，属中档题．。
『2018高考名师推荐-全国通用』高考总复习数学(文理)全真模拟试题及答案解析二
2018年数学全真模拟试卷二试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1． 复数2i 1i +-(i 为虚数单位)的模为 ▲ ．【答案】1022．已知向量a (12)=，，b (32)=-，，则()⋅-a a b = ▲ ． 【答案】43． 在标号为0，1，2的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率是 ▲ ． 【答案】234． 下表是某同学五次数学附加题测试的得分，则该组数据的方差2s = ▲ ． 【答案】14655． 命题：“若0a ≠，则20a >”的否命题是“ ▲ ”． 【答案】若0a =，则20a ≤6． 将函数sin y x =的图象向右至少平移 ▲ 个单位可得到函数cos y x =的图象． 【答案】3π27． 若函数2(e )()e 1x xx m f x +=-（e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数m 的值为 ▲ ． 【答案】18． 设n S 是等差数列{a n }的前n 项的和．若27a =，77S =-，则a 7的值为 ▲ ．【答案】-13 9． 给出下列等式： π22c o s 4=， 星期一二 三 四 五 件数36 21302835π222cos 8+=，π2222c o s 16++=，……请从中归纳出第n ()n ∈*N 个等式：2222n +⋅⋅⋅+=个 ▲ ．【答案】12cos n +π210．在锐角△ABC 中，若tan A ，tan B ，tan C 依次成等差数列，则tan tan A C 的值为 ▲ ． 【答案】1【解析】依题意2tan tan tan B A C =+，因为A B C ++=π，所以tan tan tan tan tan A B C A B =+ tan C +，所以tan tan 3A C =；11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：20x y +=与圆C ：22()()5x a y b -+-=相切，且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为 ▲ ． 【答案】258【解析】易得255a b +=，又圆心C 在直线l 的上方，所以20a b +>，从而25a b +=，因为()2222a b ab +≤，所以258ab ≤（当且仅当2a b =，即52a =，54b =时等号成立，），从而ab的最大值为258．12．已知tan()1αβ+=，tan()2αβ-=，则sin 2cos2αβ的值为 ▲ ．【答案】3-【解析】[][]sin ()()sin()cos()cos()sin()sin 2cos 2cos()cos()sin()sin()cos ()()αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ++-+-++-==+-++-+--tan()tan()31tan()tan()αβαβαβαβ++-==--+-．13．已知实数x ，y 满足2002x y x y +⎧⎪⎨⎪+⎩≥，≥，≤，设{}max 342z x y x y =--，，则z 的取值范围是 ▲ ． （max{}a b ，表示a ，b 两数中的较大数） 【答案】[]108-，【解析】设13z x y =-，242z x y =-，则{}12max z z z =，，易得[]110 6z ∈-，，[]2 8z ∈0，， 则z []108∈-，．14．若幂函数()a f x x =(a ∈R )及其导函数()f x '在区间(0，+∞)上的单调性一致(同为增函数或同 为减函数)，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】(1 )+∞，【解析】易得1()a f x ax -'=，2()(1)a f x a a x -''=-，当1a >时，()0f x '>，()0f x ''>；当01a << 时，()0f x '>，()0f x ''<；当1a =时，()0f x '>，()0f x ''=；当0a =时，()0f x '=， ()0f x ''=；当0a <时，()0f x '<，()0f x ''>，综上得，(1 )a ∈+∞，．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）在平面直角坐标系中，设向量m ()3cos sin A A =，，n ()cos 3sin B B =-，，其中A ，B 为△ABC 的两个内角．（1）若⊥m n ，求证：C 为直角；（2）若//m n ，求证：B 为锐角．【解】（1）易得()3cos cos sin sin 3cos()A B A B A B ⋅=-=+m n ，（3分） 因为⊥m n ，所以⋅=m n 0，即πcos()cos 2A B +=．因为0πA B <+<，且函数cos y x =在(0π)，内是单调减函数，所以π2A B +=，即C 为直角；（6分）（2）因为//m n ，所以()3cos 3sin sin cos 0A B A B ⋅--=， 即sin cos 3cos sin 0A B A B +=．（8分） 因为A ，B 是三角形内角，所以cos cos 0A B ≠，于是tan 3tan A B =-,因而A ，B 中恰有一个是钝角．（10分） 从而22tan tan 3tan tan 2tan tan()01tan tan 13tan 13tan A B B B B A B A B B B+-+-+===<-++， 所以tan 0B >，即证B 为锐角．（14分）QAB T S OxP y（第17题）16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB ∠为二面角P AD B --的平面角． （1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若BC ⊥平面PAB ，求证：//AD 平面PBC ． 证明：（1）因为PAB ∠为二面角P AD B --的平面角，所以PA AD ⊥，BA AD ⊥，（2分） 又PAAB A =，PA AB ⊂，平面PAB ， 所以AD ⊥平面PAB ，（5分） 又AD ⊂平面ABCD ,故平面PAB ⊥平面ABCD ；（7分） （2）由（1）得，AD ⊥平面PAB ， 又BC ⊥平面PAB ，所以//AD BC ，（10分） 又AD ⊄平面PBC ， BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．（14分）17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：221x y += 与x 轴的两个交点（点B 在点A 右侧），点(20)Q -，， x 轴 上方的动点P 使直线PA ，PQ ，PB 的斜率存在且依次成等差 数列．（1）求证：动点P 的横坐标为定值；（2）设直线PA ，PB 与圆O 的另一个交点分别为S ，T ．求证：点Q ，S ，T 三点共线． 【证】（1）由题设知，(10)(10)A B -，，，． 设000()(0)P x y y ≠，，则002PQ y k x =+，00011PA PB y yk k x x ==+-，． ABCPD（第16题）ABOP 图1 DCE F因为k PA ，k PQ ，k PB 成等差数列，所以2 k PQ = k PA ＋ k PB ，即0000002211y y yx x x =+++-， 由于00y ≠，所以012x =-，即证；（7分）（2）由（1）知，()012P y -，，000221131122PA PB y y yk y k ===--+--=，．直线PA 的方程为(1)PA y k x =+，代入221x y +=得()()22(1)110PA PA x k x k ⎡⎤++--=⎣⎦，于是点S 的横坐标20201414S y x y -=+，从而020414Sy y y =+． 同理可得200220049129494T T y y x y y y -==++，．（11分） 因为00222000442(14)2(14)34S S y y y x y y y ==+-+++，000222200001212422(49)2(94)91234S TT S y y y y y x x y y y y ====++-+=++， 所以直线QS 和直线QT 的斜率相等， 故点S ，T ，Q 共线．（14分）18．（本题满分16分）如图，圆O 的半径为2，A B ，为圆O 上的两个定点，且90AOB ∠=，P 为优弧AB 的中点． 设C D ，（C 在D 左侧）为优弧AB （不含端点）上的两个不同的动点，且CD //AB ．记POD α∠=，四边形ABCD 的面积为S ． （1）求S 关于α的函数关系； （2）求S 的最大值及此时α的大小．解：（1）设过圆心O 作AB 的垂线分别与AB ，CD 交于点E ，F ， 易得2AB =，1OE =，①当π02α<<时，如图1，易得22sin CD α=⨯，2cos OF α=，所以1()()2S AB CD OE OF =+⋅+A BOP（第18题）()()1222sin 12cos 2αα=++()2sin cos αα=+2sin cos 1αα++；(3分)②当π2α=时，11()(222)11222S AB CD EF =+⋅=⨯+⨯=+；(5分)③当π3π24α<<时，如图2， 易得()22sin π22sin CD αα=⨯-=，()2cos π2cos OF αα=-=-，所以1()()2S AB CD OE OF =+⋅-()()1222sin 12cos 2αα=⨯+⨯+()2sin cos 2sin cos 1αααα=+++；综上得，S =()2sin cos 2sin cos 1αααα=+++，30π4α<<；(9分)（2）令()πsin cos 2sin 4t ααα=+=+，因为30π4α<<，所以πππ44α<+<，从而()π0sin 14α<+≤，故(02t ⎤∈⎦，，(12分)此时()22221211222S t t t t t =+-+=+=+-，(02t ⎤∈⎦，， 所以当2t =时，max 4S =，此时π4α=．(16分)19．（本题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}2n a 的前n 项和为n T ，求2nnS T ； （3）判断数列{}3n n a -中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论．解：（1）当n =1时，1122S a =-，解得12a =．（2分）当n ≥2时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=．ABOP图2D C EF因为10a ≠，所以12nn a a -=，从而数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以2n n a =．（5分） （2）因为()2224n nna ==，所以2124n na a +=，故数列{}2n a 是以4为首项，4为公比的等比数列，从而()()2221224112n n n S -==--，(7分)()()414441143n n n T -==--，所以232n n S T =．(10分) （3）假设{}3n n a -中存在三项成等差数列，不妨设第m ，n ，k （m <n <k ）项成等差数列，则()2333n m k n m k a a a -=-+-，即()2323232n n m m k k -=-+-．(12分)因为m <n <k ，且m ，n ，k N *∈，所以n +1≤k ．因为()2323232n n m m k k -=-+-113232m m n n ++-+-≥，所以332n m m --≥，故矛盾，所以数列{}3n n a -中不存在三项成等差数列． (16分)20．（本题满分16分）设定义R 上在函数()32420()(4)(4) 04 log 1 4x x f x ax b a x b m x n x a x x -⎧<⎪=+--++⎨⎪->⎩≤≤ ，，，，，（a ，b ，m ，n 为常数，且0a ≠） 的图象不间断． （1）求m ，n 的值；（2）设a ，b 互为相反数，且()f x 是R 上的单调函数，求a 的取值范围；（3）若a =1，b ∈R ．试讨论函数()()g x f x b =+的零点的个数，并说明理由． 解：（1）依题意，(0)1f =，(4)0f =，即1 6416(4)4(4)0 n a b a b m n =⎧⎨+--++=⎩，，解得1 1.4n m =⎧⎪⎨=⎪⎩，(3分)（2）因为()12xy =是减函数，且()f x 是R 上的单调函数，所以在()4log 1y a x =-中，应该有'0ln 4a y x =≤，故0 a <，(5分) 在321(4)(4)14y ax b a x b x =+--++中，其中0a b +=，21'31044y ax ax a =-+-，导函数的对称轴为53x =，故2110012(4)04a a a ∆=--≤，解得1014a -<≤；(8分) （3）易得函数()321()(4)414f x x b x b x =+--++，则()21()32(4)44f x x b x b '=+--+，其判别式2416670b b ∆=++>，记()0f x '=的两根为1x ，2x （12x x <）， 列表：当b >0时，()102xb +=无解，4log 1x b =-无解，又(0)10 (4)0 f b b f b b +=+>+=>，， ()11(2)84(4)241153042f b b b b b +=+--+++=--<，方程在（0，4）上有两解，方程一共有两个解；(10分) 当1b <-时，()102xb +=有一解0.5log ()x b =-，4log 10x b -+=有一解14bx -=，又(0)10f b b +=+<，(4)0f b b +=<， ()()11113(4)10 8424412f b b b b b +=+--+++=->，故方程在（0，4）上有两解，方程共有4个解；(12分) 当-1<b <0时，()102xb +=无解，4log 10x b -+=有一解，x ()1x -∞，1x()12x x ，2x()2x +∞，()f x '+ 0 - 0 + ()f x↗极大值↘极小值↗又(0)10f b b +=+>，(4)0f b b +=<，方程在（0，4）内只有一解，方程共两解；(14分)当b =0时，有x =4和x =12两解，b =-1时，有0x =，12x =，14b x -=三个解，综上得，当1b >-时，()g x 有2个零点；当1b =-时，()g x 有3个零点； 当1b <-时，()g x 有4个零点．(16分)试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，已知△ABC 的两条内角平分线AD ，BE 交于点F ，且C ∠=60． 求证：C ，D ，E ，F 四点共圆．证明：依题意得，()180AFB BAF AFB ∠=-∠+∠()11802BAC ABC =-∠+∠()11801802C =--∠120=，（5分） 又DFE AFB ∠=∠，所以12060180DFE C ∠+∠=+=， 故C ，D ，E ，F 四点共圆．（10分）B ．（矩阵与变换）已知矩阵1221-⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦A ，515⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B 满足=AX B ，求矩阵X ． 解：设X a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，ABCDEF（第21—A ）由1252115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦得25 215 a b a b -=⎧⎨--=-⎩，，（7分） 解得7 1 a b =⎧⎨=⎩，，此时71X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（10分）C ．（极坐标与参数方程）设点A 为曲线C ：2cos ρθ=在极轴Ox 上方的一点，且π04AOx ∠≤≤，以A 为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB (B 在A 的右下方)，求点B 的轨迹方程． 解：设()00 A ρθ，，且满足002cos ρθ=，() B ρθ，，依题意，002 π2π 4ρρθθ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，，即002 27π 4ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，， 代入002cos ρθ=并整理得，()π22cos 4ρθ=+，7π2π4θ≤≤，所以点B 的轨迹方程为()π22cos 4ρθ=+，7π2π4θ≤≤．（10分）D ．（不等式选讲）已知正数a ，b ，c ，d 满足1a b cd +==，求证：()()1ac bd ad bc ++≥． 证明：因为()()ac bd ad bc ++()()2222a b cd ab c d =+++()222a b cd abcd ++≥()2a b cd =+， 又1a b +=，1cd =，所以()()1ac bd ad bc ++≥．（10分）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p (0< p <1)．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是 2125．（1）求p 的值；（2）设该运动员投篮命中次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)．解：（1）设事件A ：“恰用完3次投篮机会”， 则其对立事件A ：“前两次投篮均不中”，依题意，()()221()11125P A P A p =-=--=，解得35p =；（3分）（2）依题意，ξ的所有可能值为0，1，2，3，且()24(0)125P p ξ==-=，()()()224(1)111125P p p p p p ξ==-+--=，327(3)125P p ξ===，故54(2)1(0)(1)(3)125P P P P ξξξξ==-=-=-==，ξ的概率分布表为：ξ0 1 2 3 P425241255412527125（8分）E (ξ)24542721323125125125125=+⨯+⨯=（次）．（10分）23．设函数()sin cos n n n f θθθ=+，n ∈*N ，且1()f a θ=，其中常数a 为区间（0，1）内的有理数．（1）求()n f θ的表达式（用a 和n 表示）； （2）求证：对任意的正整数n ，()n f θ为有理数． 解：（1）易得sin cos a θθ+=， 又22sin cos 1θθ+=，所以222sin 2sin 10a a θθ-+-=，解得22sin 2a a θ±-=，从而()()2222()22nnn a a a a f θ+---=+；（4分） （2）证明：()()2222()22nnn a aa a f θ+---=+()()()()()()02424222024222CC C 222222nn n nnna a a a a a -----=+++⋅⋅⋅()()()()22242024242C C C 2242nn n nnna aaa a----=+++⋅⋅⋅∈Q. （10分）。
【全国通用-2018高考推荐】最新高考总复习数学(文)二轮复习模拟试题及答案解析十九
2018年海高考数学模拟试卷（文科）（九）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合U={小于7的正整数}，（CUB）=（） A．{1} B．{2} C．{1，2} D．{1，2，5} 2．i是虚数单位，复数z满足=2﹣i，则复数z对应的点位于（），则A∩A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为（） A．33人，34人，33人 B．25人，56人，19人 C．30人，40人，30人 D．30人，50人，30人 4．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是（）A． B． C． D． 5．已知函数f（x）=4+2ax﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（） A．（1，6） B．（1，5） C．（0，5） D．（5，0） 6．若下框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=9 B．k≤8 C．k＜8 D．k＞8 7．已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不可能是（） A． B．π C．2π D． 8．已知的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足2S3﹣3S2=12，则数列{an}的公差是（） A．1 B．2 +C．3 D．4 9．已知椭圆=1（a＞b＞0）在左焦点为F1（﹣c，0），有顶点为A，上顶点为B，现过A点作直线F1B的垂线，垂足为T，若直线OT（O为坐标原点）的斜率为﹣该椭圆的离心率的值为（），则A． B． C． D． 10．如图，RT△ABC中，AB=AC，BC=4，O为BC的中点，以O为圆心，1为半径的半圆与BC交于点D，P为半圆上任意一点，则•的最小值为（） A．2+ B． C．2 D．2﹣ 11．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（） A．2 B．4 C．2 D．2 12．已知函数f（x）=（e为自然对数的底数），函数g（x）满足g′（x）=f′（x）+2f（x），其中f′（x），g′（x）分别为函数f（x）和g（x）的导函数，若函数g（x）在[﹣1，1]上是单调函数，则实数a的取值范围为（） A．a≤1 B．﹣≤a≤1 C．a＞1 D．a≥﹣二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设正项数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3=7a3，则公比q为． 14．已知函数f（x）=，则函数f（x）的值域为． 15．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为． 16．已知正项数列{an}满足2a1+3a2+a3=1，则与的等差中项最小为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acosC=2ccosA，且b=2，c=3．（1）求a的值；（2）求sin（B+）的值． 18．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F为A1D 的中点．（1）求证：A1B∥平面AFC；（2）求证：平面A1B1CD⊥平面AFC． 19．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为k，当k≥85时，产品为一级品；当75≤k＜85时，产品为二级品；当70≤k＜75时，产品为三级品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（以下均视频率为概率） A配方的频数分布表 B配方的频数分布表指[75，[80，[85，[90，指[75，[80，[85，[90，[75，标80） 85） 90） 95）标80） 85） 90） 95） 80）值值分分组组频10 30 40 20 频5 10 15 40 30 数数（1）若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C，求事件C的概率P（C）；（2）若两种新产品的利润率与质量指标值k满足如下关系：y=（其中＜t＜），从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？ 20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x=3上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为5，圆弧C2过点A （﹣1，0）．（1）求圆弧C2的方程；（2）曲线C上是否存在点P，满足PA=请说明理由． PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在， 21．已知函数f（x）=（1）求f（x）的单调区间；．（2）存在x1，x2∈（1，+∞）且x1≠x2，使|f（x1）﹣f（x2）|≥k|lnx1﹣lnx2|成立，求k的取值范围．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲 22．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BA C的平分线AD交⊙O于D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．若=，求的值．选修4-4：坐标系与参数方程 23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．选修4-5：不等式选讲24．已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥2（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合U={小于7的正整数}，（CUB）=（） A．{1} B．{2} C．{1，2} D．{1，2，5} 【考点】补集及其运算；交集及其运算．【分析】先用列举法写出U，B，根据交集、补集的意义直接求解即可．【解答】解：U={1，2，3，4，5，6}，对于B，解+1≤0可得2＜x≤5，，则A∩又由x∈N，则B={3，4，5} CUB={1，2，6}，A={1，2，5} 则A∩（CUB）={1，2}，故选C． 2．i是虚数单位，复数z满足=2﹣i，则复数z对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算性质、几何意义即可得出．【解答】解：由题知，z=（1+i）（2﹣i）=3+i，所以复数z对应的点为（3，1），其点位于第一象限．故选：A． 3．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为（） A．33人，34人，33人 B．25人，56人，19人 C．30人，40人，30人 D．30人，50人，30人【考点】分层抽样方法．【分析】求出100名员工所占员工总数的比例，然后直接用各段的员工人数乘以该比例数，即可得到每段所抽取的员工数．【解答】解：要从500名员工中抽取100名员工，则抽取的比例为=，所以，从该公司不到35岁的有125人的员工中抽取的人数是125×=25人，从35～49岁的有280人员工中抽取的人数是280×=56人，从50岁以上的有95人员工中抽取的人数是95×=17．所以，各年龄段人数分别为25、56、17．故选：B． 4．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是（） A． B． C． D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，先列举出所有不同的送法，再从中找到甲、乙将贺年卡送给同一人的送法．由此能求出甲、乙将贺年卡送给同一人的概率．【解答】解：甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，不同的送法有四种：甲送丙，乙送丙；甲送丙，乙送丁；甲送丁，乙送丙；甲送丁，乙送丁．甲、乙将贺年卡送给同一人的送法有两种：甲送丙，乙送丙；甲送丁，乙送丁．∴甲、乙将贺年卡送给同一人的概率p=故选A． 5．已知函数f（x）=4+2ax﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（） A．（1，6）B．（1，5） C．（0，5） D．（5，0）【考点】指数函数的图象变换．【分析】根据函数y=ax的图象过定点（0，1），可得函数f（x）=4+2ax﹣1的图象经过的定点P的坐标．【解答】解：由于函数y=ax的图象过定点（0，1），当x=1时，f（x）=4+2=6，故函数f（x）=4+2ax﹣1的图象恒过定点P（1，6），故选A 6．若下框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）． A．k=9 B．k≤8 C．k＜8 D．k＞8 【考点】程序框图．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，由结果中的s的值，判断是否需要输出；得到k取什么值满足条件，取什么值不满足条件；得到判断框中的条件．【解答】解：k=10，s=1，不输出，k的值满足判断框中的条件经过一次循环得到s=11，k=9，此时不输出，k的值满足判断框中的条件再经过一次循环得到s=20，k=8输出，k的值满足判断框中的条件即k=10，k=9满足判断框中的条件；而k=8不满足判断框中的条件所以判断框中的条件是k＞8 故选D 7．已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不可能是（） A． B．π C．2π D．【考点】三角函数的最值．【分析】结合三角函数R上的值域[﹣2，2]，当定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，可知[a，b]小于一个周期，从而可得．【解答】解：函数y=2sinx在R上有﹣2≤y≤2 函数的周期T=2π值域[﹣2，1]含最小值不含最大值，故定义域[a，b]小于一个周期 b﹣a＜2π故选C 8．已知的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足2S3﹣3S2=12，则数列{an}的公差是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】等差数列的通项公式．【分析】设数列{an}的公差是d，由2S3﹣3S2=12，可得2（a1+a2+a3）﹣3（a1+a2）=12，再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设数列{an}的公差是d，∵2S3﹣3S2=12，∴2（a1+a2+a3）﹣3（a1+a2）=12，∴3d=12，解得d=4．故选：D． 9．已知椭圆+=1（a＞b＞0）在左焦点为F1（﹣c，0），有顶点为A，上顶点为B，现过A 点作直线F1B的垂线，垂足为T，若直线OT（O为坐标原点）的斜率为﹣该椭圆的离心率的值为（），则A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由直线BF1方程和直线OT方程联立求得T点坐标，求得直线AT的斜率，AT⊥BF1得：直线的斜率的乘积为﹣1，即可解得e的值．【解答】解：椭圆0），∴直线BF1的方程是OT的方程为直线AT的斜率为由AT⊥BF1得+=1（a＞b＞0），A、B和F1点坐标为：（a，0）、（b，0），（﹣c，，，联立解得T点坐标为，，，∵a2=b2+c2，e=，解得．故答案选：C． 10．如图，RT△ABC中，AB=AC，BC=4，O为BC的中点，以O为圆心，1为半径的半圆与BC交于点D，P为半圆上任意一点，则•的最小值为（） A．2+ B． C．2 D．2﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积的定义结合三角函数的性质进行求解即可．【解答】解：以O为坐标原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，所以B（﹣2，0），D （1，0），A（0，2），设P（x，y）（y≥0）且x2+y2=1，所以，令x=cosα，y=sinα，α∈[0，π]，则所以当α=π﹣ϕ时有最小值故选：D ．，其中tanϕ=2． 11．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（） A．2 B．4 C．2 D．2 【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，即可求出四面体的四个面中面积最大的面积．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为=2．故选：C． 12．已知函数f（x）=（e为自然对数的底数），函数g（x）满足g′（x）=f′（x）+2f（x），其中f′（x），g′（x）分别为函数f（x）和g（x）的导函数，若函数g（x）在[﹣1，1]上是单调函数，则实数a的取值范围为（） A．a≤1 B．﹣≤a≤1 C．a＞1 D．a≥﹣【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f（x）的导数，从而求出g（x）的导数，构造ϕ（x）=ax2+2ax+1，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的具体范围即可．【解答】解：∵f（x）=，∴，∴，∵g（x）在[﹣1，1]上是单调函数，则当﹣1≤x≤1时，g'（x）≥0恒成立或g'（x）≤0恒成立，又∵g'（0）=1＞0，所以当﹣1≤x≤1时，g'（x）≤0恒成立必定无解，∴必有当﹣1≤x≤1时，g'（x）≥0恒成立，设ϕ（x）=ax2+2ax+1，当a=0时，ϕ（x）=1成立；当a＞0时，由于ϕ（x）在[﹣1，1]上是单调递增，所以ϕ（﹣1）≥0得a≤1；当a＜0时，由于ϕ（x）在在[﹣1，1]上是单调递减，所以ϕ（1）≥0得综上：．，故选：B 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．设正项数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3=7a3，则公比q为【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知得到关于首项和公比的方程，求解方程得答案．．【解答】解：由S3=7a3，得又q＞0，∴故答案为：． 14．已知函数f（x）=．，解得或，，则函数f（x）的值域为（﹣1，+∞）．【考点】函数的值域．【分析】根据分段函数，求出每段函数的值域，再求出并集即可．【解答】解：当x≤1时，由﹣1＜f （x）=2x﹣1≤1；当x＞1时，由f（x）=1+log2x＞1，所以函数f（x）的值域为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞） 15．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0，所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0，可得c2=m2+m+4，最后根据双曲线的离心率为程：m2+m+4=5m，解之得m=2．【解答】解：∵m2+4＞0 ，可得c2=5a2，建立关于m的方的离心率为，则m的值为 2 ．∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0，b2=m2+4 ∴c2=m+m2+4=m2+m+4 ∵双曲线的离心率为，可得c2=5a2，，∴所以m2+m+4=5m，解之得m=2 故答案为：2 16．已知正项数列{an}满足2a1+3a2+a3=1，则．【考点】等差数列的通项公式．【分析】令a=a1+a2，b=a2+a3，由2a1+3a2+a3=1知，2a+b=1，且a，b＞0，可得：+=（2a+b），展开利用基本不等式的性质即可得出．与的等差中项最小为【解答】解：令a=a1+a2，b=a2+a3，由2a1+3a2+a3=1知，2a+b=1，且a，b＞0，∴+=（2a+b），即a=．．，b==3+≥3+2，当且仅当=﹣1时，取“=”号，∴等差中项最小为故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acosC=2ccosA，且b=2，c=3．（1）求a的值；（2）求sin（B+）的值．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【分析】（1）使用余弦定理将角化边，得出a，b，c的关系，解出a；（2）利用余弦定理求出cosB，计算sinB，利用和角余弦公式计算．【解答】解：（1）∵3acosC=2ccosA，∴3a×∴5a2﹣5c2+b2=0．∵b=2=2c×．，c=3，∴a=．（2）由余弦定理得cosB==﹣．∴sinB=∴sin（B+ ．）=sinBcos+cosBsin==． 18．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．（1）求证：A1B∥平面AFC；（2）求证：平面A1B1CD⊥平面AFC．【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（1）连接BD交AC于点O，连接FO，要证A1B∥平面AFC，只需证明直线A1B平行平面AFC内的直线FO即可；（2）要证平面A1B1CD⊥平面AFC，只需证明平面A1B1CD内的直线B1D垂直平面AFC即可．【解答】证明：（1）连接BD交AC于点O，连接FO，则点O是BD的中点．∵点F为A1D的中点，∴A1B∥FO．又A1B∉平面AFC，FO⊂平面AFC，∴A1B∥平面AFC．（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接B1D．∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面B1BD，AC⊥B1D．又∵CD⊥平面A1ADD1，AF⊂平面A1ADD1，∴CD⊥AF．又∵AF⊥A1D，∴AF⊥平面A1B1CD．∵AC⊥B1D，∴B1D⊥平面AFC．而B1D⊂平面A1B1CD，∴平面A1B1CD⊥平面AFC． 19．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为k，当k≥85时，产品为一级品；当75≤k＜85时，产品为二级品；当70≤k＜75时，产品为三级品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（以下均视频率为概率） A配方的频数分布表 B配方的频数分布表指[75，[80，[85，[90，指[75，[80，[85，[90，[75，标80） 85） 90） 95）标80） 85） 90） 95） 80）值值分分组组频10 30 40 20 频5 10 15 40 30 数数（1）若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C，求事件C的概率P（C）；（2）若两种新产品的利润率与质量指标值k满足如下关系：y=（其中＜t＜），从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）先求出P（抽中二级品）=，由此能求出事件C的概率P（C）．（2）分别求出A的分布列，E（A）和B的分布列E（B），由此能求出从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大．【解答】解：（1）P（抽中二级品）=，P （没抽中二级品）=， P（C）=1﹣（）3=（3）A的分布列为： y t 5t． 2 P 0.6 0.4 ∴E（A）=0.6t+2t2 B的分布列为： y t 5t2 t2 P 0.7 0.25 0.05∴E（B）=0.7t+1.3t2 ∵＜t＜，∴E（A）﹣E（B）=t（t﹣）＞0，∴E（A）较大，投资A． 20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x=3上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为5，圆弧C2过点A（﹣1，0）．（1）求圆弧C2的方程；（2）曲线C上是否存在点P，满足PA=请说明理由． PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由圆弧C1所在圆的方程求出M、N的坐标，求出直线AM的中垂线方程与直线MN中垂线方程，再求出圆弧C2所在圆的圆心和半径，即可求出圆弧C2所在圆的方程；（2）先假设存在这样的点P（x，y），根据条件和两点的距离公式列出方程化简，求出点P的轨迹方程，分别与圆弧C1的方程、圆弧C2的方程联立后求出P的坐标即可得到答案．【解答】解：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=25，令x=3，解得M（3，4），N（3，﹣4），∵圆弧C2过点A（﹣1，0），∴直线AM的中垂线方程为y﹣2=﹣（x﹣1），∵直线MN的中垂线方程y=0上，∴令y=0，得圆弧C2所在圆的圆心为O2（3，0），∴圆弧C2所在圆的半径为r2=|O2A|=4，∴圆弧C2的方程为（x﹣3）2+y2=16（﹣1≤x≤3）；（2）假设存在这样的点P（x，y），由得，，化简得，x2+y2+4x+2=0，∴点P的轨迹方程是x2+y2+4x+2=0，由，解得（舍去），由，解得，综上知的，这样的点P存在2个． 21．已知函数f（x）=（1）求f（x）的单调区间；（2）存在x1，x2∈（1，+∞）且x1≠x2，使|f（x1）﹣f（x2）|≥k|lnx1﹣lnx2|成立，求k的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）根据已知原函数的解析式求导，分析定义域内各区间上导函数的符号，进而可得f（x）的单调区间；．（2）存在x1，x2∈（1，+∞）且x1≠x2，使|f（x1）﹣f（x2）|≥k|lnx1﹣lnx2|成立，即存在x1，x2∈（1，+∞）且x1≠x2，使f（x2）+klnx2≥f（x1）+klnx1成立．令h（x）=f（x）+klnx，利用导数法求其最值，可得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）=．∴，令f′（x）=0得x=1，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；综上，f（x）单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．（2）不妨设x1＞x2＞1，由（1）知x∈（1，+∞）时，f（x）单调递减． |f（x1）﹣f（x2）|≥k|lnx1﹣lnx2|等价于f（x2）﹣f（x1）≥k（lnx1﹣lnx2），即f（x2）+klnx2≥f（x1）+klnx1，存在x1，x2∈（1，+∞）且x1≠x2，使f（x2）+klnx2≥f（x1）+klnx1成立．令h（x）=f（x）+klnx，h（x）在（1，+∞）上存在减区间.有解，即有解，即．令，，时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴∴．，四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲 22．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．若=，求的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连接OD，BC，设BC交OD于点M，则∠OAD=∠ODA，从而∠ODA=∠DAE，OD∥AE，又AC⊥BC，且DE⊥AC，从而BC∥DE．进而四边形CMDE为平行四边形，由此能求出．【解答】本小题满分解：连接OD，BC，设BC交OD于点M．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，又∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE，∴OD∥AE，又∵AC⊥BC，且DE⊥AC，∴BC∥DE．∴四边形CMDE为平行四边形，∴CE=MD 由∴MD=，设AC=3x，AB=5x，则OM=﹣=x，∴AE=AC+CE=4x，，又OD=，∵OD∥AE，∴=．选修4-4：坐标系与参数方程 23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：，令y=0，可得M点的坐标为（2，0）．利用|MN|≤|MC|+r即可得出．【解答】解：曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ．又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：，令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．又曲线C的圆心坐标为（0，1），半径r=1，则，∴．选修4-5：不等式选讲 24．已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥2（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=1时，可得|x﹣1|≥1，去掉绝对值，可得不等式的解集．（2）根据|ax﹣1|+|ax﹣a|≥2，原不等式解集为R等价于|a ﹣1|≥2，再结合a＞0，求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式为|x﹣1|≥1，∴x≥2或x≤0，∴不等式解集为{x|x≤0或x≥2}．（2）不等式的解集为R，即|ax﹣1|+|ax﹣a|≥2（a＞0）恒成立，∵∴，∵a＞0，∴a≥3，，∴实数a的取值范围为[3，+∞）． 2016年10月16日。
【全国通用-2018高考推荐】最新高考总复习数学(文)二轮复习模拟试题及答案解析三
2018年高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．下列函数中既是轴对称又是增函数的是（）A．y=﹣B．y=2x C．y=log2x D．y=2x2．要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cosx的图象（）A．向右平移B．向左平移个单位C．向右平移π个单位D．向左平移π个单位3．命题“任意的x∈R，都有x2≥0成立”的否定是（）A．任意的x∈R，都有x2≤0成立B．任意的x∈R，都有x2＜0成立C．存在x0∈R，使得x≤0成立D．存在x0∈R，使得x＜0成立4．若实数x，y满足不等式组，则z=y﹣2x的最小值等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣25．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A．（18π﹣20）cm3 B．（24π﹣20）cm3cm3 C．（18π﹣28）cm3 D．（24π﹣28）cm36．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）7．已知f（x）=，则方程f[f（x）]=2的根的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且=5，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9．集合A={0，|x|}，B={1，0，﹣1}，若A⊆B，则A∩B= ，A∪B= ，C B A= ．10．设两直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m与l2：2x+（5+m）y=8，若l1∥l2，则m= ，若l1⊥l2，则m= ．11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=2，S9=12，则数列{a n}的公差d= ；S12= ．12．已知ABCDEF为正六边形，若向量，则||= ；= ．（用坐标表示）13．若椭圆C：经过点P（0，），且椭圆的长轴长是焦距的两倍，则a= ．14．若实数x，y满足x2+x+y2+y=0，则x+y的范围是．15．如图所示的一块长方体木料中，已知AB=BC=2，AA1=1，设F为线段AD上一点，则该长方体中经过点A1，F，C的截面面积的最小值为．三、解答题（共5小题，满分74分）16．已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数y=f（x）在[﹣，]上的值域．17．已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n+3（n∈N+）（1）设b n=a n+3（n∈N+），求证{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．如图所示，在三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=CD=1，AC=，平面ACD⊥平面ABC，∠BCD=90°（1）求证：CD⊥平面ABC；（2）求直线BD与平面ACD所成角的正弦值．19．如图所示，抛物线C：y2=2px（p＞0）与直线AB：y=x+b相切于点A．（1）求p，b满足的关系式，并用p表示点A的坐标；（2）设F是抛物线的焦点，若以F为直角顶角的Rt△AFB的面积等于25，求抛物线C的标准方程．20．已知函数f（x）=x2+（a﹣4）x+3﹣a（1）若f（x）在区间[0，1]上不单调，求a的取值范围；（2）若对于任意的a∈（0，4），存在x0∈[0，2]，使得|f（x0）|≥t，求t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．下列函数中既是轴对称又是增函数的是（）A．y=﹣B．y=2x C．y=log2x D．y=2x考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：分别画出函数的图象，由图象即可得到答案．解答：解：分别画出函数的图象，如图所示，由图象可知：y=﹣在每个象限单调递增，图象是轴对称图形，B，C，D都时单调增函数，但是只有B是轴对称图形，故选：B点评：本题考查了初等函数的图象和性质，属于基础题．2．要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cosx的图象（）A．向右平移B．向左平移个单位C．向右平移π个单位D．向左平移π个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：函数y=sinx即y=cos（x﹣），再利用y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：要得到函数y=sinx=cos（x﹣）的图象，只需将函数y=cosx的图象向右平移个单位即可，故选：A．点评：本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．3．命题“任意的x∈R，都有x2≥0成立”的否定是（）A．任意的x∈R，都有x2≤0成立B．任意的x∈R，都有x2＜0成立C．存在x0∈R，使得x≤0成立D．存在x0∈R，使得x＜0成立考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“任意的x∈R，都有x2≥0成立”的否定是：存在x0∈R，使得x＜0成立．故选：D．点评：本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．4．若实数x，y满足不等式组，则z=y﹣2x的最小值等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由z=y﹣2x，得y=2x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y=2x+z，由平移可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最小，此时z取得最小值为，由，解得，即A（1，0），此时z=y﹣2x的最小值为z=﹣2，故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A．（18π﹣20）cm3 B．（24π﹣20）cm3cm3 C．（18π﹣28）cm3 D．（24π﹣28）cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得，该几何体是一个圆柱挖去一个四棱台所得的组合体，分别求出圆柱和棱台的体积，相减可得答案．解答：解：由已知的三视图可得，该几何体是一个圆柱挖去一个四棱台所得的组合体，圆柱的底面直径为边长为4的正方形的对角线，故半径r=2，高h=3，故圆柱的体积为：πr2h=24πcm3，棱台的上下底面边长分别为4，2，高为3，故棱台的体积为：（）×3=28cm3，故组合体的体积V=（24π﹣28）cm3，故选：D．点评：本题考查的知识点是由三角形求体积，其中根据已知分析出几何体的形状，是解答的关键．6．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．解答：解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．7．已知f（x）=，则方程f[f（x）]=2的根的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，根据分段函数分段讨论根的可能性，从而求f（x），再由f（x）求x即可．解答：解：由题意，当f（x）≤0时，f[f（x）]=2f（x）=2，无解；当f（x）＞0时，f[f（x）]=|log2f（x）|=2；故f（x）=或f（x）=4，若f（x）=，则同上可得，2x=，|log2x|=；故x=﹣2或x=或x=；若f（x）=4，则同上可得，2x=4，|log2x|=4；故x=2（舍去）或x=16或x=；故共有5个根；故选：C．点评：本题考查了分段函数的应用及方程根的个数问题，属于基础题．8．在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且=5，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能考点：平面向量数量积的运算．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得，又BC=5，则有||2=||2+||2＞||2+||2，运用余弦定理即可判断三角形的形状．解答：解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵，，由=5，则（）==﹣•=5，即﹣•（）=5，则，又BC=5，则有||2=||2+||2＞||2+||2，由余弦定理可得cosC＜0，即有C为钝角．则三角形ABC为钝角三角形．故选：B．点评：本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用余弦定理判断三角形的形状是解题的关键．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9．集合A={0，|x|}，B={1，0，﹣1}，若A⊆B，则A∩B= {0，1} ，A∪B= {﹣1，0，1} ，C B A= {﹣1} ．考点：交集及其运算；并集及其运算．专题：集合．分析：由A，B，以及A为B的子集确定出x的值，进而确定出A，求出A与B的交集，并集，以及A的补集即可．解答：解：∵A={0，|x|}，B={1，0，﹣1}，且A⊆B，∴|x|=1，即A={0，1}，则A∩B={0，1}，A∪B={﹣1，0，1}，∁B A={﹣1}．故答案为：{0，1}；{﹣1，0，1}；{﹣1}点评：此题考查了交集及其运算，以及并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10．设两直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m与l2：2x+（5+m）y=8，若l1∥l2，则m= ﹣7 ，若l1⊥l2，则m= ﹣．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由直线的平行和垂直关系分别可得m的方程，解方程验证可得．解答：解：∵两直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m与l2：2x+（5+m）y=8，∴若l1∥l2，则（3+m）（5+m）﹣4×2=0，解得m=﹣1或m=﹣7，当m=﹣1时两直线重合应舍去，∴m=﹣7若l1⊥l2，则2（3+m）+4（5+m）=0，解得m=﹣故答案为：﹣7；﹣点评：本题考查直线的一般式方程和平行垂直关系，属基础题．11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=2，S9=12，则数列{a n}的公差d= ；S12= 20 ．考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等差数列的前n项和公式可得a1和d的方程组，解方程组由求和公式可得．解答：解：由题意和等差数列的前n项和公式可得S3=3a1+d=2，S9=9a1+d=12，联立解得a1=，d=，∴S12=12a1+d=12×+×=20，故答案为：，20．点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题．12．已知ABCDEF为正六边形，若向量，则||= ；= ．（用坐标表示）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：画出图形，利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：ABCDEF为正六边形，若向量，如图：A（0，0），B，C，D，E，F（0，2）．||=|（0，﹣2）﹣|==2．=+=．故答案为：；．点评：本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．13．若椭圆C：经过点P（0，），且椭圆的长轴长是焦距的两倍，则a= 2 ．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆中长轴、短轴、焦距的关系，以及已知条件，计算即可．解答：解：∵椭圆C经过点P（0，），∴，∵椭圆的长轴长是焦距的两倍，∴，又∵c2=a2﹣b2，∴，解得a=2或﹣2（舍），故答案为：2．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方法，属于基础题．14．若实数x，y满足x2+x+y2+y=0，则x+y的范围是[﹣2，0] ．考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：将圆x2+x+y2+y=0，化为参数方程，进而根据正弦型函数的图象和性质，可得x+y的范围．解答：解：∵实数x，y满足x2+x+y2+y=0，∴（x+）2+（y+）2=，即2（x+）2+2（y+）2=1，令（x+）=cosθ，（y+）=sinθ，∴x=，y=，x+y==sin（）﹣1∈[﹣2，0]，故x+y的范围是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]点评：本题考查的知识点是圆的方程，其中将一般方程化为参数方程，进而转化求三角函数的最值，是解答的关键．15．如图所示的一块长方体木料中，已知AB=BC=2，AA1=1，设F为线段AD上一点，则该长方体中经过点A1，F，C的截面面积的最小值为．考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：根据题意，建立建立空间直角坐标系O﹣xyz，用坐标表示向量，通过向量计算截面面积，求出截面面积的最小值．解答：解：如图所示，以DA为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设截面与交B1C1点K，F（﹣2入，0，0），则=（﹣2+2入，2，0），=（2入，0，1）；．∴s=||•||sinθ，s2=•﹣=[（﹣2+2λ）2+4]（4λ2+1）﹣[（﹣2+2λ）•2λ]2=20λ2﹣8λ+8=20+，当入=时，s2取最小值，∴S的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了空间位置关系的应用问题，也考查了空间向量的应用问题，是综合性题目．三、解答题（共5小题，满分74分）16．已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数y=f（x）在[﹣，]上的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+）﹣1，由三角函数的周期性及其求法即可求得函数f（x）的最小正周期．（2）由x∈[﹣，]，可求2x+的范围，根据正弦函数的图象和性质可得sin（2x+）的范围，从而可求函数y=f（x）在[﹣，]上的值域．解答：解：（1）∵f（x）=sin2x﹣2sin2x=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin（2x+）﹣1，∴由三角函数的周期性及其求法可得函数f（x）的最小正周期T=．（2）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，π]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴y=f（x）=sin（2x+）﹣1∈[﹣2，]，∴函数y=f（x）在[﹣，]上的值域是：[﹣2，]．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．17．已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n+3（n∈N+）（1）设b n=a n+3（n∈N+），求证{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）首先对数列的递推关系式进行恒等变换，进一步求出数列是等比数列．（2）利用等比数列进一步求出数列的通项公式，在求出数列的前n项和．解答：解：（1）数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n+3（n∈N+）则：a n+1+3=2（a n+3），即：（常数），由于设b n=a n+3（n∈N+），所以：，数列{b n}是等比数列；（2）由（1）得：数列{b n}是等比数列，所以：，由于：a1=1，所以：则：S n=a1+a2+…+a n=22﹣3+23﹣3+…+2n+1﹣3=22+23+...+2n+1﹣（3+3+ (3)==2n+2﹣3n﹣4点评：本题考查的知识要点：利用定义法证明数列是等比数列，求数列通项公式，利用分组法求出数列的前n项和．18．如图所示，在三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=CD=1，AC=，平面ACD⊥平面ABC，∠BCD=90°（1）求证：CD⊥平面ABC；（2）求直线BD与平面ACD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）过B作BH⊥AC于H，利用平面ACD⊥平面ABC证明BH⊥平面ACD，可得BH⊥CD，利用CD⊥BC，即可证明CD⊥平面ABC；（2）连接DH，则∠BDH为直线BD与平面ACD所成角，求出BH，BD，即可求直线BD 与平面ACD所成角的正弦值．解答：（1）证明：过B作BH⊥AC于H，∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD⊥∩平面ABC=AC∴BH⊥平面ACD，∵CD⊂平面ACD，∴BH⊥CD，∵CD⊥BC，BH∩BC=B，∴CD⊥平面ABC；（2）解：连接DH，则∠BDH为直线BD与平面ACD所成角．∵AB=BC=1，AC=，∴∠ABC=120°，∵BH⊥AC，∴BH=，∵BD=，∴sin∠BDH==，∴直线BD与平面ACD所成角的正弦值等于．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查线面垂直的判定，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．如图所示，抛物线C：y2=2px（p＞0）与直线AB：y=x+b相切于点A．（1）求p，b满足的关系式，并用p表示点A的坐标；（2）设F是抛物线的焦点，若以F为直角顶角的Rt△AFB的面积等于25，求抛物线C 的标准方程．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线方程得到抛物线在第一象限部分的函数式，求其导函数，由导数值等于得到A的横坐标，代入切线方程和抛物线方程得到p，b的关系，进一步求得A的坐标；（2）求出AF的距离，写出BF所在直线方程，与切线方程联立求得B的坐标，得到BF 的长度，代入三角形面积公式求得p，则抛物线方程可求．解答：解：（1）由y2=2px，得，∴，由，解得：x=2p，把x=2p分别代入y=x+b与，得p+b=2p，∴b=p，则点A的纵坐标为y=x+b=2p则A的坐标为（2p，2p）；（2）抛物线的焦点F（），则，，∴，则直线BF的方程为y﹣0=，即．联立，解得：，即：B（）．∴|BF|=．∴，即p=4．∴抛物线C的标准方程为y2=8x．点评：本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．考查了考生对基础知识的综合运用和知识迁移的能力，是中档题．20．已知函数f（x）=x2+（a﹣4）x+3﹣a（1）若f（x）在区间[0，1]上不单调，求a的取值范围；（2）若对于任意的a∈（0，4），存在x0∈[0，2]，使得|f（x0）|≥t，求t的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由二次函数f（x）=x2+（a﹣4）x+3﹣a的对称轴，并结合条件，即可得到对称轴满足的关系式，解之即得实数a的取值范围；（2）由a的范围即可得到对称轴落在（0，2）内，得到函数在（0，2）上先减后增，分类讨论即可得到函数的最值，依据题意即可求出t的取值范围．解答：解：函数f（x）=x2+（a﹣4）x+3﹣a的对称轴为x=﹣，（1）由于已知f（x）在区间[0，1]上不单调，则0＜﹣＜1，解得2＜a＜4，（2）由于a∈（0，4），则x=﹣∈（0，2），故函数f（x）=x2+（a﹣4）x+3﹣a在[0，2]的最小值为∈（﹣1，0），①当﹣∈[1，2），即0＜a≤2时，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+3﹣a（x∈[0，2]）在x=0时取得最大值，且最大值为3﹣a，由于此时0＜a≤2，则1≤3﹣a＜3；②当﹣∈（0，1），即2＜a＜4时，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+3﹣a（x∈[0，2]）在x=2时取得最大值，且最大值为22+2（a﹣4）+3﹣a=a﹣1，由于此时2＜a＜4，则1＜a﹣1＜3；综上可知，函数f（x）在[0，2]上满足0≤|f（x）|＜3，故若对于任意的a∈（0，4），存在x0∈[0，2]，使得|f（x0）|≥t，则t的取值范围为{t|t≤1}．点评：本题考查了函数的性质，不等式恒成立问题的转化，属于综合题，有一定的难度．。
【2018新课标-全国通用】最新高考总复习数学(文)高考模拟七校联合检测试题及答案解析
2018高考七校联合体文科数学交流题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合)},1ln(|{},02|{2x y x B x x x A -==≤--=则=⋂B A （ ）C A ．()2,1 B ．(]2,1 C ．[)1,1- D ．()1,1-2．若复数z 满足i iz 42+=，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）C A ．()4,2 B ．()4,2- C ．()2,4- D ．()2,43、命题“0R k ∃∈，使函数()20f x x k x =+（R x ∈）是偶函数”的否定是（ ）AA ．R k ∀∈，函数()2f x x kx =+（R x ∈）不是偶函数B ．0R k ∃∈，使函数()20f x x k x =+（R x ∈）都是奇函数C ．R k ∀∈，函数()2f x x kx =+（R x ∈）不是奇函数D ．0R k ∃∈，使函数()20f x x k x =+（R x ∈）是奇函数4．已知ABC ∆中，3,2==AC AB ，且ABC ∆的面积为23，则=∠BAC （ ） D A ．150 B ．120 C ．60或120 D ．30或1505．设0>x ，且xx a b <<1，则 （ ）CA ．10<<<a bB ．10<<<b aC ． a b <<1D ．b a <<16．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）DA ．2B ．29 C ．23D ．3 7．如图所示程序框图中，输出=S （ ）BA.45B. 55-C. 66-D. 668、如图，以x O 为始边作角α与β（0βαπ<<<），它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，30β=，则()sin αβ-=（ ）BA ．43310+ B ．43310+ C ．43310- D ．43310- 9．若P 是长度为6的线段AB 土任一点，则点P 到线段AB 两端距离均不小于l 的概率是( )BA ．56 B ．23 C ．12 D ．1310. G 是一个非空集合，“”为定义G 中任意两个元素之间的二元代数运算，若G 及其运算满足对于任意的a ，G b ∈，a b c =，则G c ∈，那么就说G 关于这个“”运算作成一个封闭集合，如集合{}21x x A ==，A 对于数的乘法作为一个封闭集合．以下四个结论： ①集合{}0对于加法作成一个封闭集合②集合{}2,x x n n B ==为整数，B 对于数的减法作成一个封闭集合 ③集合{}C 01x x =<≤，C 对于数的乘法作成一个封闭集合④令R *是全体大于零的实数所成的集合，R *对于数的乘法作成一个封闭集合 其中，正确结论的个数是（ ）BA ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． （一）必做题13.已知数列}{n a 中，12=a ，11-+=+n a a n n ，则=5a 714．如果y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+≥+-020201y x y x y x ，则目标函数y x z +=2的最大值是 31015.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作倾斜角为30的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则=p _____________ 1（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程2cos ρθ=，直线的极坐标方程为cos 2sin 70ρθρθ-+=，则圆心到直线距离为 ．85515．（几何证明选讲选做题）如图所示，⊙O 的两条切线PA 和PB 相交于点P ，与⊙O 相切于,A B 两点，C 是⊙O 上的一点，若70P ∠=︒，则ACB ∠=________。
【全国通用-2018高考推荐】最新高考总复习数学(文)二轮复习质检试题及答案解析
2017-2018学年高三（下）第一次质检数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合P={﹣1，0，1}，，则P∩Q=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{0} D．{1}2．设复数z满足，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．从1，2，3，4这四个数中，随机取出两个数字，剩下两个数字的和是奇数的概率是（）A．B．C．D．4．已知sinα=2cosα，则=（）A．B．C．2 D．5．抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣y2=2的渐近线的距离是（）A．B．C．D．26．函数f（x）=log2x﹣的零点包含于区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，+∞）7．执行如图的程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（）A．5 B．4 C．3 D．28．同时具有性质“①最小正周期是4π；②是图象的一条对称轴；③在区间上是减函数”的一个函数是（）A． B． C．D．9．下列说明正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．{a n}为等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“a4＜a5”的既不充分也不必要条件C．∃x0∈（﹣∞，0），使成立D．“”必要不充分条件是“”10．已知点P的坐标（x，y）满足，过点P的直线l与圆C：x2+y2=16相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．C．D．11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则tanA=（）A．B．C．D．12．设方程2x|lnx|=1有两个不等的实根x1和x2，则（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，且与共线，则x的值为．14．已知定义在R上的偶函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x3﹣8，则关于x的不等式f（x﹣2）＞0的解集为．15．古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如=+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n=5，7，9，11，…）的分数的分解：=+，=+，=+，…，按此规律，则（1）= ．（2）= ．（n=5，7，9，11，…）16．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等比数列{a n}为递增数列，且，2（a1+a3）=5a2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，点D是A1B1中点，AC=2，CC1=．（Ⅰ）求三棱锥C﹣BDC1的体积；（Ⅱ）证明：A1C⊥BC1．19．某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：所用时间（分钟）[0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）人数25 50 15 5 5公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额y（元）与乘车时间t （分钟）的关系是，其中表示不超过的最大整数．以样本频率为概率：（I）求公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率；（II）估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元）．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|OF|，且△A0B的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）直线y=2上是否存在点M，便得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx，（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）在区间[，e]上的最大值；（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等腰△ABC的一条腰及底边中线分别与圆O相交于点A，D和E、F，圆O的切线FG与CE相交于点G．（I）证明：FG⊥CE；（Ⅱ）若BA=4BD，BF=3BE，求FG：CE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．[选修4-5：不等式选]24．已知函数f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；（Ⅱ）若正实数a，b满足+=，求证：+≥m．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合P={﹣1，0，1}，，则P ∩Q=（ ） A ．{﹣1，0，1} B ．{0，1} C ．{0} D ．{1} 【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B ，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：集合P={﹣1，0，1}， =[0，4） ∴P ∩Q={0，1}， 故选：B ．2．设复数z 满足，则z=（ ） A ．1﹣i B ．1+i C ．﹣1+i D ．﹣1﹣i 【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵，∴（1﹣i ）（1﹣i ），2z=2（1﹣i ），解得z=1﹣i ． 故选：A ． 3．从1，2，3，4这四个数中，随机取出两个数字，剩下两个数字的和是奇数的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出剩下两个数字的和是奇数包含的基本事件个数，由此能求出剩下两个数字的和是奇数的概率．【解答】解：从1，2，3，4这四个数中，随机取出两个数字， 基本事件总数n==6，剩下两个数字的和是奇数包含的基本事件个数m==4，∴剩下两个数字的和是奇数的概率p==．故选：C ．4．已知sin α=2cos α，则=（ ）A ．B ．C ．2D ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式以及二倍角公式化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可． 【解答】解：sin α=2cos α，可得tan α=2，则=﹣sin2α=﹣=﹣==．故选：B．5．抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣y2=2的渐近线的距离是（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】容易求出抛物线焦点及双曲线的渐近线方程分别为（1，0），y=±x，所以根据点到直线的距离公式即可求得该焦点到渐近线的距离．【解答】解：抛物线的焦点为（1，0），双曲线的渐近线方程为y=±x；∴由点到直线的距离公式得抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为：．故选A．6．函数f（x）=log2x﹣的零点包含于区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，+∞）【考点】二分法求方程的近似解．【分析】由题意知函数f（x）=log2x﹣在（0，+∞）上连续，再由函数的零点的判定定理求解．【解答】解：函数f（x）=log2x﹣在（0，+∞）上连续，f（3）=log23﹣＜0；f（4）=log24﹣=＞0；故函数f（x）=log2x﹣的零点所在的区间是（3，4）．故选：C．7．执行如图的程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的P，Q值，不满足条件P≤Q，程序终止即可得到结论．【解答】解：执行程序框图，有n=0，0≤1，P=1，Q=3，n=1；n=1，1≤3，P=1+4=5，Q=7，n=2；n=2，5≤7，P=5+16=21，Q=15，n=3；n=3，21≤15不成立，输出，n=3；故选：C8．同时具有性质“①最小正周期是4π；②是图象的一条对称轴；③在区间上是减函数”的一个函数是（）A． B． C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】利用函数的周期，求出ω，利用图象关系直线x=对称，即可判断选项的正误．【解答】解：对于选项A、B，∵T==π，故A，B不正确；对于选项C，如果x=为对称轴．所以+=kπ，k∈Z，可得=kπ，k不存在，不满足题意，故C不正确；对于选项D，因为T==4π，且由=k，k∈Z，解得图象的对称轴方程为：x=2kπ+，k∈Z，当k=0时，x=为图象的一条对称轴．由2kπ≤≤2kπ，k∈Z，解得单调递减区间为：[4kπ+，4kπ+]，k∈Z，可得函数在区间上是减函数，故D正确．故选：D．9．下列说明正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．{a n}为等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“a4＜a5”的既不充分也不必要条件C．∃x0∈（﹣∞，0），使成立D．“”必要不充分条件是“”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】真假写出原命题的否命题判断A；由a1＜a2＜a3，说明数列为递增数列，可得a4＜a5，反之，由a4＜a5，不一定有数列为递增数列判断B；由幂函数的单调性判断C；由正切函数值的求法结合充分必要条件的判断方法判断D．【解答】解：“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＜1，则a2≤1”，故A错误；{a n}为等比数列，a1＜a2＜a3，说明数列为递增数列，则a4＜a5，反之，由a4＜a5，不一定有a1＜a2＜a3，∴“a1＜a2＜a3”是“a4＜a5”的充分不必要条件，故B错误；当x0∈（﹣∞，0）时，幂函数在（0，+∞）上为减函数，，故C错误；由，不一定有，反之由，一定有，∴是的必要不充分条件，故D正确．故选：D．10．已知点P的坐标（x，y）满足，过点P的直线l与圆C：x2+y2=16相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，画出以原点为圆心，半径是4的圆，利用数形结合即可得到在哪一个点的直线与圆相交的弦最短．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图由图象可知，当P点在直线x=1与x+y=4的交点时，与圆心距离最远，作出直线与圆相交的弦短．P的坐标为（1，3），圆心到P点距离为d=，根据公式|AB|=2，可得：|AB|=2．故选：A．11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则tanA=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理，分别求得b和c，b和a的关系，最后利用余弦定理求得cosA的值，可得sinA，则tanA可求得．【解答】解：△ABC中，∵，∴c=2b．若=，∴a2=19b2，∴cosA====，∴sinA==，∴tanA==．故选：C．12．设方程2x|lnx|=1有两个不等的实根x1和x2，则（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得y=|lnx|和y=（）x的图象有两个交点，如图可得设0＜x1＜1，x2＞1，求得ln（x1x2）的范围，即可得到所求范围．【解答】解：方程2x|lnx|=1有两个不等的实根x1和x2，即为y=|lnx|和y=（）x的图象有两个交点，如图可得设0＜x1＜1，x2＞1，由ln（x1x2）=lnx1+lnx2=﹣+=，由0＜x1＜1，x2＞1，可得2x1﹣2x2＜0，2x1+x2＞0，即为ln（x1x2）＜0，即有0＜x1x2＜1．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，且与共线，则x的值为﹣2 ．【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据平面向量的坐标运算以及两向量共线的坐标表示，列出方程求出x的值．【解答】解：∵向量，∴﹣=（2﹣x，2），又与共线，∴（2﹣x）×（﹣1）﹣2x=0，解得x=﹣2．故答案为：﹣2．14．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足：当x ≥0时，f （x ）=x 3﹣8，则关于x 的不等式f （x ﹣2）＞0的解集为 {x|x ＜0或x ＞4} ．【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系，不等式f （x ﹣2）＞0等价为f （|x ﹣2|）＞f （2），即|x ﹣2|＞2，即可得到结论． 【解答】解：当x ≥0时，f （x ）=x 3﹣8，∴f （2）=0，且函数单调递增 ∵f （x ）是偶函数，∴f （﹣x ）=f （x ）=f （|x|）， 则不等式f （x ﹣2）＞0等价为f （|x ﹣2|）＞f （2） ∴|x ﹣2|＞2， ∴x ＞4或x ＜0，∴不等式的解集为{x|x ＜0或x ＞4}， 故答案为：{x|x ＜0或x ＞4}．15．古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如=+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n=5，7，9，11，…）的分数的分解： =+， =+， =+，…，按此规律，则（1）= + ．（2）= + ．（n=5，7，9，11，…）【考点】归纳推理．【分析】（1）由已知中=+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+，类比可推导出=+；（2）由已知中=+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+，类比可推导出=+．【解答】解：（1）假定有两个面包，要平均分给11个人，每人不够，每人分则余，再将这分成11份，每人得，这样每人分得+．故=+；（2）假定有两个面包，要平均分给n（n=5，7，9，11，…）个人，每人不够，每人分则余，再将这分成n份，每人得，这样每人分得+．故=+；故答案为：+，+16．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为29π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】该三棱锥为长方体切去四个小三棱锥得到的，故长方体的体对角线等于外接球的直径．【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，3，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．设该三棱锥的外接球半径为R，∴2R==，∴R=．∴外接球的表面积为S=4πR2=29π．故答案为：29π．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等比数列{a n}为递增数列，且，2（a1+a3）=5a2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出；（2）对n分类讨论，利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设{a n}的首项为a1，公比为q，∴，解得a1=q．又∵2（a n+a n+2）=5a n+1，∴，则2（1+q2）=5q，2q2﹣5q+2=0，解得（舍）或q=2．∴．（2）∵，n为偶数时，；n为奇数时，．∴S n=．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，点D是A1B1中点，AC=2，CC1=．（Ⅰ）求三棱锥C﹣BDC1的体积；（Ⅱ）证明：A1C⊥BC1．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）利用，求三棱锥C﹣BDC1的体积；（Ⅱ）取C1B1的中点E，连接A1E，CE．通过证明面A1CE，证明：A1C⊥BC1．【解答】（Ⅰ）解：过D作DH⊥C1B1，直三棱柱中C1B1⊥面A1B1C1，∴C1B1⊥DH，∴DH⊥面BCC1，∴DH是高，DH=，…∵，∴•…（Ⅱ）证明：取C1B1的中点E，连接A1E，CE∵底面是正三角形，∴A1E⊥B1C1•…矩形C1B1BC中，Rt△C1CE中，，Rt△BCC1中，，∴，∴△C1CE∽△BCC1，∴∠C1BC=∠EC1C，∵，∴，∴CE⊥BC1•…∴面A1CE，∴A1C⊥BC1•…19．某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：所用时间（分钟）[0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）人数25 50 15 5 5公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额y（元）与乘车时间t （分钟）的关系是，其中表示不超过的最大整数．以样本频率为概率：（I）求公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率；（II）估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元）．【考点】等可能事件的概率；频率分布表．【分析】（Ⅰ）当0≤t＜60时，y≤300，所求事件的概率为++，运算求得结果．（Ⅱ）依题意，故公司一名职工每月的平均路途补贴为=，再把乘以公司总人数，即为所求．【解答】解：（Ⅰ）当0≤t＜60时，y≤300．记事件“公司1人每月用于路途补贴不超过300元”为A．…则P（A）=++=0.9，即公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为0.9．…（Ⅱ）依题意，当t∈[0，20 ）时，[]=0；当t∈[20，40 ）时，[]=1；当t∈[40，60 ）时，[]=2；当t∈[60，80 ）时，[]=3；当t∈[80，100 ）时，[]=4．故公司一名职工每月的平均路途补贴为==246（元），…该公司每月用于路途补贴的费用总额约为×8000=246×8000=1968000（元）．…20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|OF|，且△A0B的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）直线y=2上是否存在点M，便得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）通过椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|OF|，且△A0B的面积为，建立关于a，b，c的方程，解出a，b，即求出椭圆的标准方程．（2）对于存在性问题，要先假设存在，先设切线y=k（x﹣m）+2，与椭圆联立，利用△=0，得出关于斜率k的方程，利用两根之积公式k1k2=﹣1，求出Q点坐标．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|OF|，且△A0B的面积为，∴=c，=，∴a=2，b=，∴椭圆方程为=1．（2）假设直线y=2上存在点Q满足题意，设Q（m，2），当m=±2时，从Q点所引的两条切线不垂直．当m≠±2时，设过点Q向椭圆所引的切线的斜率为k，则l的方程为y=k（x﹣m）+2，代入椭圆方程，消去y，整理得：（1+2k2）x2﹣4k（mk﹣2）x+2（mk﹣2）2﹣4=0，∵△=16k2（mk﹣2）2﹣4（1+2k2）[2（mk﹣2）2﹣4]=0，∴（m2﹣4）k2﹣4mk+2=0，*设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程（m2﹣4）k2﹣4mk+2=0的两个根，∴k1k2==﹣1，解得m=±，点Q坐标为（，2），或（﹣，2）．∴直线y=2上两点（，2），（﹣，2）满足题意．21．已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx，（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）在区间[，e]上的最大值；（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a=0时，求得函数f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到f（x）的最大值为f（1）；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣2ax=（a﹣）x2+lnx﹣2ax，求得g（x）的定义域，由题意可得在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0 在区间（1，+∞）上恒成立．求得，讨论①若，②若a≤，求得单调区间，可得g（x）的范围，由恒成立思想，进而得到a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，，导数，当x∈[，1]，有f'（x）＞0；当x∈（1，e]，有f′（x）＜0，可得f（x）在区间[，1]上是增函数，在（1，e]上为减函数，又f（x）max=f（1）=﹣；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣2ax=（a﹣）x2+lnx﹣2ax，则g（x）的定义域为（0，+∞），在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0 在区间（1，+∞）上恒成立．，①若，令g′（x）=0，得极值点，当x1＜x2，即时，在（0，1）上有g′（x）＞0，在（1，x2）上有g′（x）＜0，在（x2，+∞）上有g′（x）＞0，此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞）不合题意；当x2≤x1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；②若a≤，则有x1＞x2，此时在区间（1，+∞）上恒有g′（x）＜0，从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，由此求得a的范围是．综合①②可知，当a∈[﹣，]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等腰△ABC的一条腰及底边中线分别与圆O相交于点A，D和E、F，圆O的切线FG与CE相交于点G．（I）证明：FG⊥CE；（Ⅱ）若BA=4BD，BF=3BE，求FG：CE．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连结AE，则∠EFC=90°，∠EAF=∠EFG，∠EAF=∠ECF，从而∠ECF=∠EFG，由此能证明FG⊥CE．（2）设BE=t，EF=2t，推导出EG=FG=，AB=2，CF=，CE=，由此能求出FG：CE的值．【解答】证明：（1）连结AE，∵等腰△ABC的一条腰及底边中线分别与圆O相交于点A，D和E、F，圆O的切线FG与CE相交于点G，∴∠EFC=90°，∠EAF=∠EFG，∠EAF=∠ECF，∴∠ECF=∠EFG，∴∠ECF+∠CFG=∠CFG+∠EFG=90°，∴FG⊥CE．解：（2）设BD=k，则AD=3k，BC=4k，设BE=t，EF=2t，EG=FG=，∵BD•BA=BE•BF，∴4k2=3t2，∴k=，AB=4×=2，=，∴CE==，∴FG：CE==．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2=，点R （2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标． 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】（Ⅰ）首先根据变换关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步把极坐标转化成直角坐标． （Ⅱ）把椭圆的直角坐标形式转化成参数形式，进一步把矩形的周长转化成三角函数的形式，通过三角恒等变换求出最小值，进一步求出P 的坐标． 【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcos θ，y=ρsin θ，则：曲线C 的方程为ρ2=，转化成．点R 的极坐标转化成直角坐标为：R （2，2）．（Ⅱ）设P （） 根据题意，得到Q （2，sin θ），则：|PQ|=，|QR|=2﹣sin θ，所以：|PQ|+|QR|=．当时，（|PQ|+|QR|）min =2，矩形的最小周长为4，点P （）．[选修4-5：不等式选]24．已知函数f （x ）=|x ﹣5|+|x ﹣3|． （Ⅰ）求函数f （x ）的最小值m ；（Ⅱ）若正实数a ，b 满足+=，求证：+≥m ．【考点】二维形式的柯西不等式；绝对值三角不等式． 【分析】（1）根据绝对值三角不等式f （x ）=|x ﹣5|+|x ﹣3|≥|（x ﹣5）﹣（x ﹣3）|=2；（2）根据柯西不等式（+）•（1+）≥（+）2．【解答】解：（1）根据绝对值三角不等式，f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|≥|（x﹣5）﹣（x﹣3）|=2，当且仅当，x∈[3，5]时，函数f（x）取得最小值2，所以，m=2；（2）根据柯西不等式，（+）•（1+）≥（+）2=3，所以，+≥=2，因此，+≥2，而m=2，即，+≥m，证毕．2016年10月25日。
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2018年高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩（∁U B）等于（）A．（1，2）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）2．如图，在复平面内，表示复数z的点为A，则复数对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y=﹣x2B．y=2﹣|x| C．y=|| D．y=lg|x|4．非零向量，满足||=||，且（）⊥（2+3），则与夹角的大小为（）A．B．C． D．5．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．6．将函数y=sinx﹣cosx的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于y轴对称，则a的值可以是（）A．B．C．﹣D．7．行如图所示的程序框图，若输入a=390，b=156，则输出a=（）A．26 B．39 C．78 D．1568．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+4y的最大值为（）A．10 B．11 C．12 D．139．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为2，则此三棱柱外接球的表面积是（）A．πB．π C．3πD．π10．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S17＞0，S18＜0，则，，…，中最大的项为（）A．B．C．D．11．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=|log2|x﹣1||，且关于x的方程[f（x）]2+af（x）+2b=0有6个不同的实数解，若最小的实数解为﹣1，则a+b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为______．14．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过椭圆+=1的一个焦点，则该抛物线的准线方程为______．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B=∠C且7a2+b2+c2=4，则△ABC的面积的最大值为______．16．若关于x的函数f（x）=（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数t的值为______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}前n项和为S n，首项为a1，且，a n，S n成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n=（log2a2n+1）×（log2a2n+3），求数列{}的前n项和．18．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成如下六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图的频率分布直方图．（1）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数．（2）在抽取的40名学生中，若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的槪率．19．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，△A1CB是等边三角形，AC=AB=1，B1C1∥BC，BC=2B1C1（Ⅰ）求证：AB1∥平面A1C1C（Ⅱ）求多面体ABC﹣A1B1C1的体积．20．已知椭圆+=1，（a＞b＞0）的离心率e=，直线y=x与椭圆交于A，B两点，C为椭圆的右顶点，（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上存在两点E，F使，λ∈（0，2），求△OEF面积的最大值．21．设函数f（x）=x2+bx﹣alnx．（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，1和x0是函数f（x）的两个不同零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．（Ⅱ）若对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．在平面直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的方程（t为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=，直线l与曲线C相交于不同的两点A，B．（1）若α=，求线段AB中点M的直角坐标；（2）若|PA|•|PB|=|OP|2，其中P（2，），求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]．24．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＜4的解集．（Ⅱ）当a＜时，对于∀x∈（﹣∞，﹣]，都有f（x）+x≥3成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩（∁U B）等于（）A．（1，2）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，根据全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}=（2，4），B={x|x2﹣x﹣6≤0}=[﹣2，3]，∴∁U B=（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则A∩（∁U B）=（3，4）．故选：B．2．如图，在复平面内，表示复数z的点为A，则复数对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数对应的点的坐标得答案．【解答】解：由图可得，z=﹣2+i，∴==，则复数对应的点的坐标为（），位于第三象限．故选：C．3．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y=﹣x2B．y=2﹣|x| C．y=|| D．y=lg|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析选项中四个函数在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，逐一比较后可得答案．【解答】解：对于A，y=﹣x2是定义域R上的偶函数，但在（0，+∞）上单调递减，不满足题意；对于B，y=2﹣|x|是定义域R上的偶函数，但在（0，+∞）上单调递减，不满足题意；对于C，y=||是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，在（0，+∞）上单调递减，不满足题意；对于D，y=lg|x|是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，满足题意．故选：D．4．非零向量，满足||=||，且（）⊥（2+3），则与夹角的大小为（）A．B．C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，再由向量夹角公式，计算即可得到所求值．【解答】解：若（）⊥（2+3），则（）•（2+3）=0，即有22﹣32+•=0，由||=||，可得2=22，即有•=﹣2，cos＜，＞===﹣，由0≤＜，＞≤π，可得与夹角的大小为．故选：D．5．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积，从而得到答案．【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：所以该几何体的体积为23﹣×22×1=．故选A．6．将函数y=sinx﹣cosx的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于y轴对称，则a的值可以是（）A．B．C．﹣D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣）的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），可得y=2sin[（x﹣a）﹣]=2sin（x﹣a﹣）的图象，根据所得图象关于y轴对称，可得a+=kπ+，即a=kπ+，k∈Z，故选：A．7．行如图所示的程序框图，若输入a=390，b=156，则输出a=（）A．26 B．39 C．78 D．156【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的c，a，b的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为78．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=390，b=156，c=234a=156，b=234不满足条件b=0，c=78，a=234，b=78不满足条件b=0，c=156，a=78，b=156不满足条件b=0，c=78，a=156，b=78不满足条件b=0，c=78，a=78，b=78不满足条件b=0，c=0，a=78，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为78．故选：C．8．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+4y的最大值为（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（，），此时z=2×+4×=3+10=13，故选：D．9．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为2，则此三棱柱外接球的表面积是（）A．πB．π C．3πD．π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可得：×a2×a=2，解得a．设此三棱柱外接球的半径为R，利用勾股定理可得R2．再利用球的表面积计算公式即可得出．【解答】解：由题意可得：×a2×a=2，解得a=2．设此三棱柱外接球的半径为R，则R2=+=．∴此三棱柱外接球的表面积S=4πR2=．故选：B．10．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S17＞0，S18＜0，则，，…，中最大的项为（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【分析】由题意可得a9＞0，a10＜0，由此可得＞0，＞0，…，＞0，＜0，＜0，…，＜0，再结合S1＜S2＜…＜S9，a1＞a2＞…＞a9，可得结论．【解答】解：∵等差数列{a n}中，S17＞0，且S18＜0，即S17=17a9＞0，S18=9（a10+a9）＜0，∴a10+a9＜0，a9＞0，∴a10＜0，∴等差数列{a n}为递减数列，故可知a1，a2，…，a9为正，a10，a11…为负；∴S1，S2，…，S17为正，S18，S19，…为负，则＞0，＞0，…，＞0，＜0，＜0，…，＜0，又∵S1＜S2＜…＜S9，a1＞a2＞…＞a9，∴最大，故选：C．11．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定△QAP 为等边三角形，设AQ=2R ，则OP=R ，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．【解答】解：因为∠PAQ=60°且=3， 所以△QAP 为等边三角形， 设AQ=2R ，则OP=R ，渐近线方程为y=x ，A （a ，0），取PQ 的中点M ，则AM=由勾股定理可得（2R ）2﹣R 2=（）2，所以（ab ）2=3R 2（a 2+b 2）①在△OQA 中，=，所以7R 2=a 2②①②结合c 2=a 2+b 2，可得=．故选：B ．12．已知函数f （x ）=|log 2|x ﹣1||，且关于x 的方程[f （x ）]2+af （x ）+2b=0有6个不同的实数解，若最小的实数解为﹣1，则a+b 的值为（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．1 【考点】函数与方程的综合运用．【分析】先作出函数f （x ）=|log 2|x ﹣1||的图象，令t=f （x ），方程[f （x ）]2+af （x ）+2b=0转化为：t 2+at+2b=0，再方程[f （x ）]2+af （x ）+2b=0有6个不同的实数解，可知方程t 2+at+2b=0有一零根和一正根，又因为最小的实数解为﹣1，所以f （﹣1）=1从而得到方程：t 2+at+2b=0的两根是0和1，最后由韦达定理求得得：a ，b 进而求得a+b ． 【解答】解：作出函数f （x ）=|log 2|x ﹣1||的图象 ∵方程[f （x ）]2+af （x ）+2b=0有6个不同的实数解 ∴如图所示：令t=f （x ），方程[f （x ）]2+af （x ）+2b=0转化为：t 2+at+2b=0 则方程有一零根和一正根，又∵最小的实数解为﹣1由f（﹣1）=1∴方程：t2+at+2b=0的两根是0和1由韦达定理得：a=﹣1，b=0∴a+b=﹣1故选B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x+y ﹣4=0 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】在填空题或选择题中，导数题考查的知识点一般是切线问题．【解答】解：函数f（x）=x﹣4lnx，所以函数f′（x）=1﹣，切线的斜率为：﹣3，切点为：（1，1）所以切线方程为：3x+y﹣4=0故答案为：3x+y﹣4=014．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过椭圆+=1的一个焦点，则该抛物线的准线方程为x=﹣2 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出椭圆+=1的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），由此能过河卒子同该抛物线的准线方程．【解答】解：椭圆+=1的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过椭圆+=1的一个焦点，∴该抛物线的准线方程为x=﹣2．故答案为：x=﹣2．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B=∠C且7a2+b2+c2=4，则△ABC的面积的最大值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由∠B=∠C得b=c，代入7a2+b2+c2=4化简，根据余弦定理求出cosC，由平方关系求出sinC，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：由∠B=∠C得b=c，代入7a2+b2+c2=4得，7a2+2b2=4，即2b2=4﹣7a2，由余弦定理得，cosC==，所以sinC===，则△ABC的面积S===a==×≤××==，当且仅当15a2=8﹣15a2取等号，此时a2=，所以△ABC的面积的最大值为，故答案为：．16．若关于x的函数f（x）=（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数t的值为 2 ．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意f（x）=t+g（x），其中g（x）=是奇函数，从而2t=4，即可求出实数t的值．【解答】解：由题意，f（x）==t+，显然函数g（x）=是奇函数，∵函数f（x）最大值为M，最小值为N，且M+N=4，∴M﹣t=﹣（N﹣t），即2t=M+N=4，∴t=2，故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}前n项和为S n，首项为a1，且，a n，S n成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n=（log2a2n+1）×（log2a2n+3），求数列{}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由，a n，S n成等差数列．可得2a n=S n+，再利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．（2）利用对数的运算性质可得：b n=（2n﹣1）（2n+1），=．再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵，a n，S n成等差数列．∴2a n=S n+，∴当n=1时，2a1=a1+，解得a1=．当n≥2时，2a n﹣1=S n﹣1+，∴2a n﹣2a n﹣1=a n，化为a n=2a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，公比为2．∴a n==2n﹣2．（2）b n=（log2a2n+1）×（log2a2n+3）=（2n﹣1）（2n+1），∴=．∴数列{}的前n项和=+…+==．18．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成如下六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图的频率分布直方图．（1）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数．（2）在抽取的40名学生中，若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的槪率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中频率之和为1，能求出a，由频率分布直方图：成绩不低于60分的频率1﹣10×（0.05+0.01）=0.85，故估计高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数．（2）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A，B，数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F，如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内，则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，由此利用列举法能过河卒子同这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得：10×（0.005+0.01+0.025+a+0.01）=1，解得a=0.03．由频率分布直方图：成绩不低于60分的频率1﹣10×（0.05+0.01）=0.85，估计期中考试成绩不低于60分的人数为约为640×0.85=544（2）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A，B，数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F，若从数学成绩在[40，50）与[90，100）两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15个，如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内，则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共7个，所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率P=．19．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，△A1CB是等边三角形，AC=AB=1，B1C1∥BC，BC=2B1C1（Ⅰ）求证：AB1∥平面A1C1C（Ⅱ）求多面体ABC﹣A1B1C1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取BC的中点E，证明四边形CEB1C1为平行四边形，可得B1E∥C1C，从而可得B1E∥面A1C1C，再证明AE∥面A1C1C，利用面面平行的判定，可得面B1AE∥面A1C1C，从而可得AB1∥面A1C1C；（Ⅱ）先证明CD⊥平面ADC1A1，于是多面体ABC﹣A1B1C1是由直三棱柱ABD﹣A1B1C1和四棱锥C﹣ADC1A1组成的，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：取BC的中点E，连接AE，C1E，B1E∵B1C1∥BC，B1C1=BC，∴B1C1∥EC，B1C1=EC∴四边形CEB1C1为平行四边形，∴B1E∥C1C∵C1C⊂面A1C1C，B1E⊄面A1C1C，∴B1E∥面A1C1C…∵B1C1∥BC，B1C1=BC，∴B1C1∥BE，B1C1=BE∴四边形BB1C1E为平行四边形，∴B1B∥C1E，且B1B=C1E又∵ABB1A1是正方形，∴A1A∥C1E，且A1A=C1E∴AEC1A1为平行四边形，∴AE∥A1C1，∵A1C1⊂面A1C1C，AE⊄面A1C1C，∴AE∥面A1C1C…∵AE∩B1E=E，∴面B1AE∥面A1C1C∵AB1⊂面B1AE，∴AB1∥面A1C1C；（Ⅱ）在正方形ABB1A1中，AB1=，又△A1BC是等边三角形，∴A1C=BC=，∴AC2+AA12=A1C2，AB2+AC2=BC2，于是AA1⊥AC，AC⊥AB，又AA1⊥AB，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥CD，又CD⊥AD，AD∩AA1=A，∴CD⊥平面ADC1A1，于是多面体ABC﹣A1B1C1是由直三棱柱ABD﹣A1B1C1和四棱锥C﹣ADC1A1组成的．又直三棱柱ABD﹣A1B1C1的体积为，四棱锥C﹣ADC1A1的体积为=，故多面体ABC﹣A1B1C1的体积为．…20．已知椭圆+=1，（a＞b＞0）的离心率e=，直线y=x与椭圆交于A，B两点，C为椭圆的右顶点，（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上存在两点E，F使，λ∈（0，2），求△OEF面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设A（t，t）且t＞0，通过，以及椭圆的离心率，A在椭圆上，列出方程求出椭圆的几何量，然后求解椭圆方程．（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），EF中点为M（x0，y0），利用，得到方程组，利用E，F在椭圆上，代入椭圆方程，利用平方差法求出EF的斜率，得到直线EF的方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出|EF|，求出三角形的高，表示出三角形的面积，利用基本不等式求出最值．【解答】解：（1）根据题意，不妨设A（t，t）且t＞0，，，∴…①，…②，…③，a2﹣b2=c2…④，联立①②③④解得：a2=3，b2=1∴椭圆的方程为：…（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），EF中点为M（x0，y0），∵，∴…∵E，F在椭圆上，则，相减可得，，∴直线EF的方程为：，即，代入，整理得：，∴，…，===，∵原点O（0，0）到直线EF的距离为，…=，…=，当时等号成立，所以△OEF得最大值为．…21．设函数f（x）=x2+bx﹣alnx．（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，1和x0是函数f（x）的两个不同零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．（Ⅱ）若对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）先求导得到，由，f（1）=1+b=0，得到a与b的值，再令导数大于0，或小于0，得到函数的单调区间，再由零点存在性定理得到得到x0∈（3，4），进而得到n的值；（Ⅱ）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，问题转化为在x∈（1，e）上g（b）=g（﹣1）＜0有解即可，亦即只需存在x0∈（1，e）使得x2﹣x﹣alnx＜0即可，连max续利用导函数，然后分别对1﹣a≥0，1﹣a＜0，看是否存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，进而得到结论．（Ⅰ），∵x=2是函数f（x）的极值点，∴．【解答】解：∵1是函数f（x）的零点，得f（1）=1+b=0，由，解得a=6，b=﹣1．…∴f（x）=x2﹣x﹣6lnx，令=，x∈（0，+∞），得x＞2；令f′（x）＜0得0＜x＜2，所以f（x）在（0，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．…故函数f（x）至多有两个零点，其中1∈（0，2），x0∈（2，+∞），因为f（2）＜f（1）=0，f（3）=6（1﹣ln3）＜0，f（4）=6（2﹣ln4）=0，所以x0∈（3，4），故n=3．…（Ⅱ）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，则g（b）为关于b的一次函数且为增函数，根据题意，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f （x）＜0成立，则在x∈（1，e）上，有解，令h（x）=x2﹣x﹣alnx，只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，由于，令φ（x）=2x2﹣x﹣a，x∈（1，e），φ'（x）=4x﹣1＞0，∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）＞φ（1）=1﹣a，…①当1﹣a≥0，即a≤1时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=0，不符合题意．②当1﹣a＜0，即a＞1时，φ（1）=1﹣a＜0，φ（e）=2e2﹣e﹣a若a≥2e2﹣e＞1，则φ（e）＜0，所以在（1，e）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．若2e2﹣e＞a＞1，则φ（e）＞0，∴在（1，e）上一定存在实数m，使得φ（m）=0，∴在（1，m）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．综上所述，当a＞1时，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据切割线定理，建立两个等式，即可证得结论；（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F，证明AC是⊙O2的切线，可得∠CAD=∠AED，由（1）知，可得∠CAD=∠ADE，从而可得∠AED=∠ADE，即可证得结论．【解答】证明：（1）∵PE、PB分别是⊙O2的割线∴PA•PE=PD•PB又∵PA、PB分别是⊙O1的切线和割线∴PA2=PC•PB由以上条件得PA•PD=PE•PC（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB=90°∴AC是⊙O2的切线．由（1）知，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD=∠ADE又∵AC是⊙O2的切线，∴∠CAD=∠AED又∠CAD=∠ADE，∴∠AED=∠ADE∴AD=AE[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．在平面直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的方程（t为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=，直线l与曲线C相交于不同的两点A，B．（1）若α=，求线段AB中点M的直角坐标；（2）若|PA|•|PB|=|OP|2，其中P（2，），求直线l的斜率．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程化为ρ2+3（ρsinθ）2=4，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入即可得出直角坐标方程．把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程可得：13t2+56t+48=0，设点M对应的参数为：t0，利用根与系数的关系及其中点坐标公式即可得出线段AB中点M的直角坐标．（2）把直线l的方程代入曲线C的普通方程可得：（cos2α+4sin2α）t2+t+12=0，可得|PA|•|PB|=|t1t2|，|OP|2=7，即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ2=，化为ρ2+3（ρsinθ）2=4，可得x2+4y2=4，化为：=1．α=时，直线l的方程（t为参数）．代入曲线C的普通方程可得：13t2+56t+48=0，则t1+t2=．设点M对应的参数为：t0，则t0==﹣，∴线段AB中点M的直角坐标为．（2）把直线l的方程代入曲线C的普通方程可得：（cos2α+4sin2α）t2+t+12=0，∵|PA|•|PB|=|t1t2|=，|OP|2=7，∴=7，解得tan2α=，∵△=32cosα＞0，故取tanα=．∴直线l的斜率为．[选修4-5：不等式选讲]．24．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＜4的解集．（Ⅱ）当a＜时，对于∀x∈（﹣∞，﹣]，都有f（x）+x≥3成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1））令|2x+1|=0，解得x=﹣，令|x﹣2|=0，解得x=2．对x分类讨论即可得出．（2）令g（x）=f（x）+x，当x≤时，g（x）=|x﹣a|﹣x﹣1，由a，可得g（x）=，对于∀x∈，使得f（x）+x≥3恒成立．只需[g（x）]min≥3，x∈，利用图象，即可得出．【解答】解：（1））令|2x+1|=0，解得x=﹣，令|x﹣2|=0，解得x=2．当x≥2时，原不等式化为：2x+1+x﹣2＜4，解得x，此时无解；当＜x＜2时，原不等式化为：2x+1+2﹣x＜4，解得x＜1，可得＜x＜1；当时，原不等式化为：﹣2x﹣1+2﹣x＜4，解得x＞﹣1，可得﹣1＜x≤．综上可得：原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．（2）令g（x）=f（x）+x，当x≤时，g（x）=|x﹣a|﹣x﹣1，由a，可得g（x）=，对于∀x∈，使得f（x）+x≥3恒成立．只需[g（x）]min≥3，x∈，作出g（x）的图象，可得：[g（x）]min=g（a）=﹣a﹣1，∴﹣a﹣1≥3，可得a≤﹣4．2016年9月30日。