最优控制课件Chap1-3

(1 -78)
11
ˆ ˆ ˆ ( ) t f T (t , ) L[ x(t ), u (t ), t ] dt x(t )
(t, t 0 ) e A(t t ) e A(t t ) 1 (t 0 , t )
0 0
f f x ( )x ( )u x u x(t ) t t0 0
x (t ) f [ x (t ), u (t ), t ]
(1-65)
J (u ) t f L[ x(t ), u (t ), t ]dt
0
t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1-67)
(1-77)
ˆ H [ x (t ), u (t ), (t ), t ] ˆ ˆ 0 u (t )
ˆ ˆ ˆ H [ x(t ), (t ), u (t ), t ] ˆ x(t )
§1-3 等式约束条件下的变分问题
1
前两节的结论还不能直接用来求解最优控制问 题。因为没有对运动轨线附加任何条件，是无约束条 件的变分问题。
每一动态系统都有其各自的运动规律，这种规律的数学 描述便是微分方程。 运动轨线必须满足反映运动规律的微分方程，这正是处 理动态系统最优化问题的前提条件。
2
动态系统之所以能成为控制系统， 是因为它受制于控制作 用， 这种控制既应反映在对运动规律的能动作用中， 又应显示 其对性能指标的影响。
注意到 T ( , t ) [ 1 (t , )]T ，写出方程(1-69)的齐次方程
x
f x x
(1-79)
则方程(1-79)的伴随方程是
f T x ( ) x (1-80) x (t , ) 是方程(1-79)的转移矩阵，故 T ( , t ) 是方程(1-80) 因
无论在描述运动规律的微分方程中， 还是在评价系统好坏 的性能指标中，都应包含控制u(t)这一因素。
3
问题 1-3 设系统的状态方程是
x(t ) f [ x(t ), u (t ), t ]
(1-62)
m 式 中 x(t ) 为 n 维 状 态 向 量 ；u (t ) 为 m 维 控 制 向 量 ， n ；
(1-65) (1-66)
且状态 x (t ) 的初值已知是
x ( t 0 ) x0
寻找控制规律u (t ) ，使性能指标
J (u ) t f L[ x (t ), u (t ), t ]dt
0
t
(1-67)
取极值。
设控制u (t ) 及其相应的状态x(t ) 是问题的解，则性能指 ˆ ˆ 标取极值的必要条件是
0
t
f [ x ( ), u ( ), ] T T L[ x (t ), u (t ), t ] ˆ ˆ ˆ ˆ ] (t , ) d } dt 0 u ( ) x (t ) (1-71) tf L[ x ( ), u ( ), ] ˆ ˆ t u T ( )[ d 0 0 u ( )
的转移矩阵，因而有
T f [ x(t ), u (t ), t ] T T ˆ ˆ ( , t ) [ ] ( , t ) t x(t )
(1-81)
12
ˆ ˆ (t ) T ( , t ) L[ x( ), u ( ), ] ˆ x( )
ˆ (t ) t t f 0
(1-83)
13
H [ x(t ), (t ), u (t ), t ] L[ x(t ), u (t ), t ] T (t ) f [ x(t ), u (t ), t ]
在微分方程(1-65)约束下性能指标(1-67)取极值的必要 条件，是关系式(1-77)和(1-82)成立。
J t f (xT
0
t
6
L L u T )dt 0 x u
(1-68)
值得指出的是，x 及u 不是任意的，它们必须满足(1-65) 式 x(t ) f [ x(t ), u (t ), t ] 的变分方程：
f f )x ( )u x u x(t ) t t0 0
ˆ (t ) t t f 0
(1-82)
(1-83)
14
拉格朗日乘子法
现在考察泛函
J1
tf t0
L[ x(t ), u (t ), t ]
T
(t )[ f [ x(t ), u (t ), t ] x] dt

(1-84)
的极值。 注意到
H [ x (t ), (t ), u (t ), t ] L[ x (t ), u (t ), t ] T (t ) f [ x (t ), u (t ), t ]
x (
非齐次线性微分方程
(1-69)
n个方程
式中
f f f f [ ] 是 n×n 的矩阵 x x1 x2 xn
n个状态
f f f f [ ] 是 n×m 的矩阵 u u1 u 2 u m
7
m个控制
方程(1-69)是x 的非齐次线性微分方程，其初始值为零。 若令 (t , t0 ) 为方程(1-69)的转移矩阵，则方程(1-69)的解 可表示为
t
T L[ x( ), u ( ), ] ˆ ˆ ( , t ) d t x( )
tf t
ˆ ˆ T f [ x (t ), u (t ), t ] T T ( , t ) [ ] ( , t ) 代入(1-78)式，就有 把 t x (t )
t
对上式中第一项按图1-5所示的阴影范 围调换积分次序，则(1-71)式化为
f [ x( ), u ( ), ] T ˆ ˆ ] 0 u ( ) t L[ x(t ), u (t ), t ] ˆ ˆ (1-72) f T (t , ) dt x(t ) L[ x( ), u ( ), ] ˆ ˆ }d 0 u ( )
t
条件是
ˆ H [ x (t ), (t ), u (t ), t ] ˆ ˆ 0 u (t )
(1-88)
和
ˆ ˆ ˆ H [ x (t ), (t ), u (t ), t ] ˆ x (t )
ˆ ˆ ˆ (t ) T ( , t ) L[ x( ), u ( ), ] ( , t ) e A( t ) | t 1 t x( ) ˆ ˆ ˆ ˆ f [ x(t ), u (t ), t ] T t f T L[ x( ), u ( ), ] [ ] ( , t ) d t x(t ) x( ) ˆ ˆ ˆ ˆ L[ x(t ), u (t ), t ] f [ x(t ), u (t ), t ] T ˆ [ ] (t ) x(t ) x(t ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ {L[ x(t ), u (t ), t ] T (t ) f [ x(t ), u (t ), t ]} 矩阵微分 (1-82) x(t ) ˆ ˆ ˆ H [ x(t ), (t ), u (t ), t ] x(t )
则(1-84)式可写成
J1 t f [ H ( x, , u , t ) T x ]dt
0
t
(1-85)
对(1-85)式的第二项进行分部积分，注意到 (t ) t t f 0 ,则得
J1 T x t0f t f [ H T x ]dt t f [ H T x ]dt T (t0 ) x0
0
tf
(1-64)
这就是在微分方程约束下，求性能指标(1-64)的条件极值问 题。
鲍尔扎问题
鲍尔扎问题是比拉格朗日问题更普遍的一种表述形式；当
[ x (t f ), t f ] 0 时，鲍尔扎问题便演化为拉格朗日问题。
5
1
拉格朗日问题
设系统方程为
x (t ) f [ x (t ), u (t ), t ]
ˆ ˆ f [ x( ), u ( ), ] x(t ) (t , ) u ( )d t0 u ( )
t
(1-70)
非齐次线性微分方程
x Ax Bu
转移矩阵为：
(t , t0 ) e A(t t0 )
方程的解可表示为
8
x (t ) (t , t 0 ) x (t 0 ) (t , ) Bu ( )d
f[x(t),u(t),t]是n维连续可微的向量函数。试寻求控制规律
u (t ) ，以便把状态 x(t ) 从已知初态 x (t0 ) x0 转移到某个终态
x(t f ) ，并使性能指标
J (u ) t L[ x (t ), u (t ), t ]dt
0
tf
(1-63)
取极小值。
拉格朗日问题
u (t ) ˆ 而 (t ) 应满足方程 0
(1 -77)
对（1-74）求导
ˆ (t )
tf T L[ x( ), u ( ), ] ˆ ˆ ( , t ) d t t x( ) L[ x( ), u ( ), ] ˆ ˆ T ( , t ) t x( ) tf L[ x( ), u ( ), ] ˆ ˆ T t ( , t ) d t x( )
(1-75)
矩阵微分
10
定义一哈密顿 (Hamilton) 函数
H [ x (t ), (t ), u (t ), t ] L[ x (t ), u (t ), t ] T (t ) f [ x (t ), u (t ), t ]
(1-76)
使得性能指标取极值的必要条件为 ˆ H [ x (t ), u (t ), (t ), t ] ˆ ˆ