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二次函数考点练习

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二次函数知识点总结及练习题

二次函数知识点总结及练习题

二次函数考点1、二次函数的概念定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 注意： （1）二次函数是关于自变量x 的二次式，二次项系数a 必须为非零实数，即a ≠0， 而b 、c 为任意实数。

（2）当b=c=0时，二次函数2ax y =是最简单的二次函数。

（3）二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 自变量的取值为全体实数 （c bx ax ++2为整式）例1： 函数y=（m ＋2）x 22-m ＋2x －1是二次函数，则m= _______．例2：已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a____时，是二次函数；当a______，b_____时，是一次函数；当a_______，b_______，c_________时，是正比例函数．例3：函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ）A ．m 、n 为常数，且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数 例4： 下列函数中是二次函数的有（ ）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=2x1＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个考点2、三种函数解析式：（1）一般式： y=ax 2+bx+c （a ≠0），对称轴：直线x=ab2- 顶点坐标：( a b ac a b 4422--， ) （2）顶点式：()k h x a y +-=2（a ≠0）， 对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h ,k ）（3）交点式：y=a （x-x1）（x-x2）（a ≠0）,对称轴:直线x=22x1x + (其中x1、x2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标).例1：抛物线822--=x x y 的顶点坐标为____________；对称轴是___________。

2023年数学中考复习高频考点专练——二次函数的最值

2023年数学中考复习高频考点专练——二次函数的最值

2023年数学中考复习高频考点专练——二次函数的最值一、单选题1．二次函数 241y ax x =-+ 有最小值 3- ，则 a 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．1±D ．122．对于二次函数y=−(x−1)2+2的图象与性质，下列说法正确的是（ )A ．对称轴是直线x=1，最小值是2B ．对称轴是直线x=1，最大值是2C ．对称轴是直线x=−1，最小值是2D ．对称轴是直线x=−1，最大值是23．已知a≥2，m 2﹣2am+2=0，n 2﹣2an+2=0，则（m ﹣1）2+（n ﹣1）2的最小值是（ ）A ．6B ．3C ．﹣3D ．04．把二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）的图象作关于x 轴的对称变换，所得图象的解析式为y ＝﹣a （x﹣1）2+4a ，若（m ﹣1）a+b+c≤0，则m 的最大值是（ ） A ．﹣4B ．0C ．2D ．65．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＜0）的对称轴为x=1，交x 轴的一个交点为（x 1，0），且﹣1＜x 1＜0，有下列5个结论：①abc ＞0；②9a ﹣3b+c ＜0；③2c ＜3b ；④（a+c ）2＜b 2；⑤a+b ＞m （am+b ）（m≠1的实数）其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0 ②a@（b+c ）=a@b+a@c③不存在实数a ，b ，满足a@b=a 2+5b 2④设a ，b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b 时，a@b 最大．其中正确的是（ ） A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③7．四位同学在研究函数 2y ax bx c =++ （b ，c 是常数）时，甲发现当 1x = 时，函数有最小值；乙发现 1- 是方程 20ax bx c ++= 的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 2x = 时， 4y = ．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．如图，在△ABC 中，△B=90°，tan△C=34，AB=6cm ．动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是（ ）A ．18cm 2B ．12cm 2C ．9cm 2D ．3cm 29．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，点M 为对角线AC 上的一个动点（不与端点A ，C 重合），过点M 作ME△AD ，MF△DC ，垂足分别为E ，F ，则四边形EMFD 面积的最大值为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．2410．如图，抛物线y=﹣112 x 2+ 23 x+ 53与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若点P 是线段AC 上方的抛物线上一动点，当△ACP 的面积取得最大值时，点P 的坐标是（ ）A ．（4，3）B ．（5，3512）C ．（4，3512） D ．（5，3）二、填空题11．二次函数y=-（x-6）2+8的最大值是 。

二次函数经典练习题

二次函数经典练习题

第十四讲二次函数的同象和性质【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取2、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2对应训练1．已知二次函数y=12x2-7x+152，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1考点二：二次函数的图象和性质例2 对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．对应训练2．如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=12（x-3）²+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系例3 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，则正确的结论是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④对应训练3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=12．下列结论中，正确的是（）A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b考点四：抛物线的平移例4 如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移2个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）A．y=（x+1）2-1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-1对应训练4．已知下列函数①y=x2；②y=-x2；③y=（x-1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有（填写所有正确选项的序号）．【聚焦中考】1．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限2．如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1C．当x=-1时，y的值大于1 D．当x=-3时，y的值小于03．（2015•菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数ayx在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A． B． C． D．4．设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y25．已知二次函数y=2（x-3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=-3；③其图象顶点坐标为（3，-1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2-4ac＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c=0；④abc<0. 其中正确的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④7．将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x-2）2+3 C．y=3（x+2）2-3 D．y=3（x-2）2-3【备考真题过关】一、选择题1．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（）A．x＜-1 B．x＞3 C．-1＜x＜3 D．x＜-1或x＞32．已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为（）A．（-2，-1） B．（2，1） C．（2，-1） D．（-2，1）3．若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a、b为常数）的图象如图，则a的值为（）A．1 B．2 C．-2 D．-24．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（）A．当x=0时，y的值大于1 B．当x=3时，y的值小于0C．当x=1时，y的值大于1 D．y的最大值小于05．对于二次函数y=2（x+1）（x-3），下列说法正确的是（）A．图象的开口向下 B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x=-16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个7．将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2-2 C．y=（x-2）2+2 D．y=（x-2）2-28．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）A．（-2，3） B．（-1，4） C．（1，4） D．（4，3）9．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．6二、填空题10平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．11二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①abc＜0；②a-b+c＜0；③3a+c＜0；④当-1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是（把正确的序号都填上）．12将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是．13.函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为．14如图，把抛物线y=12x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．三、解答题15知：抛物线y=34（x-1）2-3．（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．第十五讲二次函数的综合题及应用【重点考点例析】考点一：确定二次函数关系式例1 如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．对应训练1．已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．考点二：二次函数与x轴的交点问题例2 已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（）A．x1=1，x2=-1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3对应训练2．二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（）A．-8 B.8 C．±8 D．6考点三：二次函数的实际应用例3 为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？考点四：二次函数综合性题目例4 如图，已知抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA= 12．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．对应训练4．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x 轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【聚焦中考】1．如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（2，2）B．（2，2）C．（2，2）D．（2，2）2如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．3如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（-23，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y=12x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．8．如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2，32）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【备考真题过关】一、选择题1．已知函数y=x2+2x-3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是（）A．-4 B．0 C．2 D．32．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a＞0 B．b2-4ac≥0C．x1＜x0＜x2D．a（x0-x1）（x0-x2）＜0二、填空题3若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．4如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax2上，⊙P恒过点F（0，n），且与直线y=-n始终保持相切，则n=（用含a的代数式表示）．三、解答题5如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，-5）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=-x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．。

最新二次函数分类知识点、考点、典型例题及练习

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学习-----好资料二次函数分类知识点、考点、典型例题及对应练习题型 1 二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4） 点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式 例2.（拓展，2008年武汉市中考题，12） 下列命题中正确的是○1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。

○3当c=－5时，不论b 为何值，抛物线y=ax 2+bx+c 一定过y 轴上一定点。

○4若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有唯一公共点，则方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根。

○5若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点A 、B ，与y 轴交于c 点，c=4，S △ABC=6，则抛物线解析式为y=x 2－5x+4。

○6若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根。

○7若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一根为0。

○8若a －b+c=2，则抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）必过一定点。

○9若b 2＜3ac ，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴一定没有交点。

○10若一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx 2+bx+a 的图象与x 轴必有两个交点。

○11若b=0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。

点拨：本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。

(完整word版)二次函数精选练习题及答案

(完整word版)二次函数精选练习题及答案

二次函数练习题及答案一、选择题1． 将抛物线23y x =先向左平移2个单位,再向下平移1个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的解析式是 （ )A 23(2)1y x =++B 。

23(2)1y x =+-C 。

23(2)1y x =-+ D.23(2)1y x =-- 2．将抛物线22+=x y 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是………………（ ) Ａ．32+=x y ; Ｂ．12+=x y ；Ｃ．2)1(2++=x y ； Ｄ．2)1(2+-=x y ．3．将抛物线y= (x —1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）A ．y=（x —2）2B ．y=（x —2)2+6C ．y=x 2+6D ．y=x 24．由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3x =-C ．其最小值为1D ．当x<3时，y 随x 的增大而增大5．如图，抛物线的顶点P 的坐标是(1，﹣3），则此抛物线对应的二次函数有（ )A ．最大值1B ．最小值﹣3C ．最大值﹣3D ．最小值16．把函数()y f x ==246x x -+的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是（ ）A ．2(3)3y x =-+B ．2(3)1y x =-+C ．2(1)3y x =-+D ．2(1)1y x =-+7．抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C 。

b= -2,c=-1 D 。

b= -3， c=2二、填空题8．二次函数y=－2(x －5)2＋3的顶点坐标是 ．9．已知二次函数2y x bx c =-++中函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示，点11(,)A x y 、22(,)B x y 在函数图象上，当1201,23x x <<<<时，则1y 2y （填“>”或“<”）．x 0 1 2 3 y1- 2 3 210．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式为 ．11．求二次函数2245y x x =--的顶点坐标(＿＿＿）对称轴＿＿＿＿。

二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习(超全)

二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习(超全)

二次函数专题一：二次函数的图象与性质考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2ba，244ac b a -）.例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．（1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2图1专题练习一1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）专题复习二：二次函数表达式的确定 考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量x 的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0）；3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）. 例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式.图2ABCD图1菜园墙例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标. 专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数表达式为（ ）A.y=2a （x-1）B.y=2a （1-x ）C.y=a （1-x 2）D.y=a （1-x ）22.如图2，在平而直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO=12，CO=BO ，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 ．3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1， 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点． 专题三：二次函数与一元二次方程的关系考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（ ）x6.17 6.18 6.19 6.202y ax bx c =++0.03- 0.01- 0.02 0.04Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<图2考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（ ）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．图1。

2022中考数学复习考点专项训练——二次函数

2022中考数学复习考点专项训练——二次函数

2022中考数学复习考点专项训练——二次函数一、选择题1.下列函数中，是二次函数的是（ ）A ．y ＝x 2+B ．y ＝3x ﹣x 2C ．y ＝x （x 2+1）D ．y ＝﹣2x +12.已知m ，n ，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋k ＋2＝0的两个根，则k 的值等于( )A ．7B ．7或6C ．6或－7D ．6 3.对于抛物线y =（x +1）2+3有以下结论：①抛物线开口向下；②对称轴为直线x =﹣1；③顶点坐标为（﹣1，3）．其中正确结论的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．34.A （﹣2，y 1）、B （1，y 2）、C （2，y 3）是抛物线y ＝﹣2（x +1）2+k 上三点，y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＞y 3＞y 2B ．y 3＞y 1＞y 2C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 3＞y 2＞y 15.在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2+4x +2m ，则m 的值是（ ）A ．﹣B ．﹣C ．1D ．﹣或﹣ 6.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ）A ．对称轴是直线12x =B ．当12x -<<时，0y <C ．a c b +=D ．a b c +>-7.抛物线y ＝x 2+bx +c （其中b ，c 是常数）过点A （﹣1，1），且其对称轴与x 轴相交于点B （p ，0），且1＜p ＜3，则c 的取值范围是（ ）A ．c ＞﹣6B ．c ＜﹣2C ．2＜c ＜6D ．﹣6＜c ＜﹣28.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了好成绩，函数h ＝3.5t －4.9t 2(t 的单位：s ，h的单位：m)可以描述跳跃时重心高度随时间的变化，则她起跳后重心达到最高点时所用的时间约是( )A ．0.71 sB ．0.70 sC ．0.63 sD ．0.36 s9.二次函数y=-x 2+6-7，当x 取值为t ≤x ≤t+2时，有最大值y 最大值=-（t-3）2+2，则t 的取值范围为（ ）A ．t ≤0B ．0≤t ≤3C ．t ≥3D ．以上都不对10.一位运动员在距篮下4m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m ，该运动员身高1.9m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m 处出手球出手时，他跳离地面的高度是（ ）A．0.1m B．0.2m C．0.3m D．0.4m11.如图，正三角形ABC的边长为4，P为BC边上的任意一点(不与点B，C重合)，且∠APD ＝60°，PD交AB于点D.设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是( )12.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0；④3a+c＜0，其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，它的顶点为C，则△ABC的面积为（）A ．2B ．4C ．8D ．16 14．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4交y 轴于点A ，交过点A 且平行于x 轴的直线于另一点B ，交x 轴于C ，D 两点(点C 在点D 的右边)，对称轴为直线x ＝52，连接AC ，AD ，BC.若点B 关于直线AC 的对称点恰好落在线段OC 上，下列结论中错误的是( )A ．点B 的坐标为(5，4)B ．AB ＝ADC ．a ＝－16D ．OC ·OD ＝1615．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2＝mx +n （m ≠0）与抛物线交于A 、B 两点．下列结论： ①2a +b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑥a +b ≥m （am +b ）（m 实数）其中正确的是（ ）A ．①②③⑥B ．①③④C ．①③⑤⑥D ．②④⑤ 二、填空题16.如果抛物线经过点A （2，5）和点B （﹣4，5），那么这条抛物线的对称轴是直线 ． 17.已知函数y ＝（2﹣k ）x 2+kx +1是二次函数，则k 满足 ．18.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为_____．19.已知如图二次函数y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）与一次函数y 2＝kx +m （k ≠0）的图象相交于点A （﹣2，4），B （8，2）（如图所示）则能使y 1＜y 2成立的x 的取值范围是 ．20.已知二次函数y ＝x 2－4x －6，若－1≤x ≤6，则y 的取值范围是.21.已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴分别交于点()2,0-和()3,0，则不等式20x bx c -++>的解集为________．22.二次函数y ＝2+2x ﹣x 2的最大值是 ．23.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为(－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，则当y ＜0时，x 的取值范围是________．24.已知抛物线y=ax 2+bx+c （a>0）的对称轴为直线x=-1，与x 轴的一个交点为（x 1，0），且0<x 1<1，下列结论：①9a-3b+c>0；②b ＜c ；③3a+c>0，其中正确结论两个数有______．25.抛物线y ＝x 2﹣4x +c 的图象上有三点（﹣1，y 1），（2，y 2），（3，y 3），则y 1、y 2、y 3之间用“＜”连接为 ．26.若抛物线的对称轴是x ＝1，函数有最大值为4，且过点（0，3），则其解析式为 ．27.如图，线段AB=10，点P 在线段AB 上，在AB 的同侧分别以AP 、BP 为边长作正方形APCD 和BPEF ，点M 、N 分别是EF 、CD 的中点，则MN 的最小值是_______.28.如图，过点C(2，1)分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y=﹣x+4于B 、A 两点，若二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过坐标原点O ，且顶点在矩形ADBC 内(包括边上)，则a 的取值范围是___．29.已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝﹣1，与x 轴的一个交点B 的坐标为（1，0），其图象如图所示，下列结论：①abc ＜0；②2a ﹣b ＝0；③当y ＞0时，x ＞1；④3b +2c ＞0；⑤当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；其中正确的有 ．（只填序号）30.如图，已知第一象限内的图象是函数y ＝1x图象的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数y ＝－2x图象的一个分支，在x 轴的上方有一条平行于x 轴的直线l 与它们分别交于点A 、B ，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D .若四边形ABDC 的周长为8，且AB ＜AC ，则点A 的坐标为三、解答题31.已知：抛物线222(2)1y x m x m =-++-与x 轴有两个交点.（1）求m 的取值范围；（2）当m 为非正整数时，关于x 的一元二次方程222(2)10x m x m -++-=有整数根，求m 的值.32.如图，抛物线分别经过点A （﹣2，0），B （3，0），C （0，6）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）直接写出当y ＞0时，自变量x 的取值范围．33.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2，2)两点．(1)试求抛物线的表达式；(2)记抛物线与y 轴的交点为D ，连接BD ，CD ，BC ，求△BCD 的面积．34.如图，抛物线21y x x c =--+成直线212y x b =+交于, (1,0)A B 两点．（1）分别求出,c b 的值；（2）求12y y -的最大值；（3）求点A 的坐标，并根据图象判断，当x 取何值时，12y y >？35.某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高0.8m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示．根据设计图纸已知：如图（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是 y ＝﹣x 2+2x +．（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？（2）如果不计其他因素，那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？36.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C、D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD 的面积．37．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出80元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元，设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．（2）设宾馆一天的利润为w元，一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少?38.如图，用48米篱笆围成一个外形为矩形的花园，花园一面利用院墙，中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的长度为20米，平行于院墙的一边长为x米，花园的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式；（2）问花园面积可以达到180平方米吗？如果能，花园的长和宽各是多少？如果不能，请说明理由．39.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式．(2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)动点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大，求出此时点P的坐标和△PBC的最大面积．40.如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y 轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求点A、B、C的坐标；(2)点M(m，0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC 交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；(3)当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；(4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)．若FG＝DQ，求点F的坐标．41.某店因为经营不善欠下38000元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）已知该店代理的某品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装的日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）当销售价为多少元时，该店的日销售利润最大；（3）该店每天支付工资和其它费用共250元，该店能否在一年内还清所有债务．42.已知，抛物线y＝mx2＋94x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C．点D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，过点D作直线1⊥x轴，且与直线AC交于点M，与抛物线交于点N，过点N作NP⊥AC于点P．点E在第三象限内，且有OE＝OD．（1）求m的值和直线AC的解析式．（2）若点D在运动过程中，12AD＋CD取得最小值时，求此时n的值．（3）若点△ADM的周长与△MNP的周长的比为5∶6时，求AE＋23CE的最小值．43.如图，抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△ABP的周长最小？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数知识点、考点、典型试题(附答案详解)

二次函数知识点、考点、典型试题(附答案详解)

二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)考点1：二次函数的图象和性质一、考点讲解：1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数．2．二次函数的图象及性质：⑴ 二次函数y=ax 2(a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．y=a(x －h)2＋k 的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。

⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a ；当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而增大，x ＜－2ba ，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而减小，x ＜－2ba ，y 随x 的增大而增大．⑶ 当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a -；当a ＜0时，当 x=－2b a 时，函数有最大值244ac b a -。

3．图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．注意：二次函数y=ax 2 与y=－ax 2 的图像关于x 轴对称。

2023年中考九年级数学 高频考点专题训练--二次函数的最值

2023年中考九年级数学 高频考点专题训练--二次函数的最值

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--二次函数的最值一、单选题1．已知二次函数y=x2−4x+2，当自变量x取值在−2≤x≤5范围内时，下列说法正确的是（）A．有最大值14，最小值－2B．有最大值14，最小值7C．有最大值7，最小值－2D．有最大值14，最小值22．已知关于x的二次函数y=（x﹣h）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为（）A．32B．32或2C．32或6D．2、32或63．二次函数y=x2﹣2x﹣3，当m﹣2≤x≤m时的最大值为5，则m的值可能为（）A．0或6B．4或﹣2C．0或4D．6或﹣24．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①abc<0 ②当x=1时，函数有最大值。

③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0. ④4a+2b+c<0，其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．45．已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（）A．6B．3C．﹣3D．06．一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y （单位：m）和滑行时间t1（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据：滑行时间t1/s01234滑行距离y1/s0 4.51428.548滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m）和在缓冲带上滑行时间t2（单位：s）满足：y2＝52t2﹣2t22，滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了23s，则滑坡AB的长度（）米A．270B．280C．375D．4507．如图，抛物线y1＝a（x+1）2﹣5与抛物线y2＝﹣a（x﹣1）2+5（a≠0）交于点A（2，4），B（m，﹣4），若无论x取任何值，y总取y1，y2中的最小值，则y的最大值是（）A．4B．5C．2D．18．抛物线y=3（x﹣4）2+5的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）9．抛物线y=(x+1)2−4(−2≤x≤2)，如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是（）A．−3和5B．−4和5C．−4和−3D．−1和510．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣74B．√3或−√3C．2或−√3D．2或√3或−7411．二次函数y=(x-5)2+7的最小值是()A．5B．-7C．-5D．712．已知y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的其中一个交点为（1，0），该函数在1≤x≤4的取值范围，下列说法正确的是（）．A．有最小值0，有最大值3B．有最小值-1，有最大值3C．有最小值-3，有最大值4D．有最小值-1，有最大值4二、填空题13．二次函数y=2x2-4x+5,当﹣3≤x≤4时，y的最大值是，最小值是.14．当x=时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值．15．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的图象过点A(3,0)，对称轴为直线x=1，给出以下结论：①abc<0；②3a+c=0；③ax2+bx≤a+ b；④若M(−0.5,y1)、N(3.5,y2)为函数图象上的两点，则y1<y2.其中正确的有.（填写序号即可）16．已知函数y=-3（x-2）2+4，当x=时，函数取得最大值为.17．已知函数y＝mx2+2mx+1在﹣3≤x≤2上有最大值4，则常数m的值为．18．二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为三、综合题19．某农作物的生长率p与温度t( C∘)有如下关系：如图，当10≤ t≤25 时可近似用函数p=150t−15刻画；当25≤ t≤37 时可近似用函数p=−1160(t−ℎ)2+0.4刻画．（1）求ℎ的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m(天)与生长率p满足函数关系，部分数据如下：生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数m（天）051015求：①求m关于p的函数表达式；②请用含t的代数式表示m③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在大棚恒温20℃时每天的成本为100元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天，问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由。

九年级数学 二次函数知识点、考点、典型例题及练习(附解析)

九年级数学 二次函数知识点、考点、典型例题及练习(附解析)

二次函数知识点、考点、典型例题及练习（附解析）一、二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的二、专题与考点专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a，244ac b a-）. 例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． （1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习一 1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）图2图1专题复习二：二次函数表达式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为（不要求写出自变量x的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）；3.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.例2 已知抛物线的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5），求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）.（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数表达式为（）A.y=2a（x-1）B.y=2a（1-x）C.y=a（1-x2）D.y=a（1-x）22.如图2，在平而直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且AOOC=12，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是．A BC D图1菜园墙图23.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1， 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况. 例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（ ）Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.图1考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（ ）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．专题四：利用二次函数解决实际问题：本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.例：某商场将进价2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？专题训练四1.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？2.某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？3.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．三、典型例题题型 1 二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4） 点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式例2.（拓展，2008年武汉市中考题，12）下列命题中正确的是（ ） ○1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。

九年级数学上册第二十二章二次函数考点专题训练(带答案)

九年级数学上册第二十二章二次函数考点专题训练(带答案)

九年级数学上册第二十二章二次函数考点专题训练单选题1、在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2−4x+5，将该抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为（）A．y=−x2−4x+5B．y=x2+4x+5C．y=−x2+4x−5D．y=−x2−4x−5答案：C分析：把抛物线沿y轴翻折后，抛物线的开口方向与原抛物线开口方向相反，顶点（2，1）关于y轴对称的顶点为(2，-1)，则可得翻折后的抛物线的解析式．∵y=x2−4x+5=(x−2)2+1，∴顶点坐标为(2，1)，开口向上，∴抛物线y=x2−4x+5沿y轴翻折后顶点坐标为(2，-1)，此时抛物线的开口向下，∴抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为y=−(x−2)2−1，化简后为：y=−x2+4x−5．故选：C．小提示：本题考查了求抛物线关于y轴对称后的解析式，点关于y轴对称，把二次函数的一般式化为顶点式等知识，关键是抓住抛物线的开口方向与顶点坐标翻折后的变化．2、已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．答案：B分析：题干中二次函数y=ax2的图象开口向下，可以判断出a的符号为负，一次函数y=bx+c的图象与x轴正方向夹角小于90°，且与y轴交点在y轴的正半轴，可以据此判断出b、c的符号皆为正，再去判断各选项哪个符合二次函数y=ax2+bx+c的图象．∵二次函数y=ax2的图象开口向下，∴a<0，又∵一次函数y=bx+c的图象与x轴正方向夹角小于90°，且与y轴交点在y轴的正半轴，∴b>0，c>0，则−b2a>0，可知二次函数y=ax2+bx+c开口方向向下，对称轴在y轴右侧，且与y轴交点在y的正半轴，选项B图象符合，故选：B．小提示：本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，题目比较简单，解决题目需要熟练掌握图象与系数的关系．3、已知二次函数y=2020x2+2021x+2022的图象上有两点A（x1，2023）和B（x2，2023），则当x=x1+x2时，二次函数的值是（）A．2020B．2021C．2022D．2023答案：C分析：根据A、B两点纵坐标一样，且都在函数图像上，得出x1、x2是方程2020x2+2021x+2022=2023的两个根，由韦达定理得到x1+x2=20212020，代入解析式即可得解．解：∵二次函数y=2020x2+2021x+2022的图象上有两点A（x1，2023）和B（x2，2023），∴x1、x2是方程2020x2+2021x+2022=2023的两个根，∴x1+x2=−20212020，∴当x=x1+x2时，有：y=2020x2+2021x+2022==2020×(−20212020)2+2021×(−20212020)+2022=2022，故选C．小提示：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理；关键在于能发现题干所给条件的特点，会运用韦达定理．4、抛物线y＝(x﹣x1)(x﹣x2)+mx+n与x轴只有一个交点(x1，0)．下列式子中正确的是（）A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m(x1﹣x2)＝n D．m(x1+x2)＝n答案：B分析：根据题意可得抛物线的定点坐标即为（x1，0），代入解析式即可求解．解：∵抛物线经过（x1，0），且抛物线与x轴只有一个交点，∴抛物线顶点坐标为（x1，0），y＝（x﹣x1）2，∴x2﹣2x1x+x12＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+n，∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m，故选：B．小提示：本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，顶点式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．5、已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y1<y3C．y3<y1<y2D．y2<y3<y1答案：B分析：先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可求解．解：y=x2−2x−3=(x-1)2-4，∴对称轴为直线x=1，令y=0，则(x-1)2-4=0，解得x=-1或3，∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，二次函数y=x2−2x−3的图象如图：由图象知y 2<y 1<y 3．故选：B ．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用数形结合解题是关键．6、定义：min {a,b }={a(a ≤b)b(a >b)，若函数y =min(x +1，−x 2+2x +3)，则该函数的最大值为（ ） A ．0B ．2C ．3D ．4答案：C分析：根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．令y =min(a,b),当x +1≤−x 2+2x +3时，即x 2−x −2≤0时，y =x +1，令w =x 2−x −2 ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），∴当w ≤0时，−1≤x ≤2，∴y =x +1（−1≤x ≤2），∵y 随x 的增大而增大，∴当x =2时，y 最大=3；当x +1>−x 2+2x +3时，即x 2−x −2>0时，y =−x 2+2x +3，令w =x 2−x −2 ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），∴当w >0时，x >2或x <−1，∴y =−x 2+2x +3（x >2或x <−1），∵y=−x2+2x+3的对称轴为x=1，∴当x>2时，y随x的增大而减小，∵当x=2时，y=−x2+2x+3=3，∴当x>2时，y<3；当x<−1，y随x的增大而增大，∴当x=-1时，y=−x2+2x+3=0；∴当x<−1时，y<0；综上，y=min(x+1，−x2+2x+3)的最大值为3．故选C．小提示：本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．7、如果y=(m−2)x2+(m−1)x是关于x的二次函数，则m的取值范围是（）A．m≠1B．m≠2C．m≠2且m≠1D．全体实数答案：B分析：直接利用二次函数的定义得出答案．∵y=(m−2)x2+(m−1)x是关于x的二次函数，∴m−2≠0，∴m≠2，故选B．小提示：此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题的关键．c；③2c＜3b；④8、已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①abc＜0；②3a+b＞﹣13（k+1）（ak+a+b）≤a+b，其中正确的是（）A．①③④B．①②③④C．②③④D．①③答案：A分析：根据二次函数图象与性质，逐项判断即可．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴是直线x＝1，∴﹣b＝1，即b＝﹣2a，2a∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；由图象可知，x＝3时y＜0，∴9a+3b+c＜0，∴3a+b＜﹣1c，故②错误；3∵9a+3b+c＜0，b＝﹣2a，∴﹣9b+3b+c＜0，2∴2c＜3b，故③正确，∵x＝1时，y＝a+b+c是函数的最大值，∴a（k+1）2+b（k+1）+c≤a+b+c，∴a（k+1）2+b（k+1）≤a+b，∴（k+1）（ak+a+b）≤a+b，故④正确，∴正确的有①③④，故选：A．小提示：本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．9、某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（）A．2500元B．2000元C．1800元D．2200元答案：C分析：设每件商品降价x元，每天的销售额为y元，由题意可得到y和x的二次函数关系，利用配方法可求最值．解：设每件商品降价x元，每天的销售额为y元．依题意有：y＝（35﹣x）（50+2x）＝﹣2x2+20x+1750＝﹣2（x﹣5）2+1800，∵﹣2＜0，∴当x＝5时，y最大，最大值为1800，∴最大销售额为1800元．故选：C．小提示：本题考查二次函数的应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．10、在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x−1)2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）A．y=(x−2)2−1B．y=(x−2)2+3C．y=x2+1D．y=x2−1答案：D分析：根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．解：将二次函数y=(x−1)2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为y=(x−1+1)2+1−2=x2−1故选D．小提示：本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．填空题11、二次函数y=−x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，方程−x2+bx+c=0的解为___________________；不等式−x2+bx+c<0的解集为___________________．答案：x1=−1，x2=5x<−1或x>5分析：根据抛物线的对称轴和抛物线与x轴一个交点求出另一个交点，再通过二次函数与方程的两根，二次函数与不等式解集的关系求得答案．∵抛物线的对称轴为x=2，抛物线与x轴一个交点为（5，0）∴抛物线与x轴另一个交点为（-1，0）∴方程−x2+bx+c=0的解为：x1=−1，x2=5由图像可知，不等式−x2+bx+c<0的解集为：x<−1或x>5．所以答案是：x1=−1，x2=5；x<−1或x>5．小提示：本题考查了二次函数的图像性质，掌握二次函数与方程的两根，二次函数与不等式的解集关系，是解决问题的关键．12、将抛物线y＝2（x＋2）2﹣5向左平移3个单位长度后，再沿x轴翻折，则变换后所得抛物线的顶点坐标为________．答案：（-5，5）分析：利用顶点式解析式写出平移后抛物线的解析式，最后写出关于x轴对称的抛物线的解析式即可得出答案．解：∵抛物线y＝2（x＋2）2−5向左平移3个单位的顶点坐标为（−5，−5），∴得到新的图象的解析式y＝2（x＋5）2−5，∴将图象沿着x轴翻折，则翻折后的图象对应的函数解析式为y＝−2（x＋5）2＋5．∴变换后顶点的坐标为（−5，5）．所以答案是：（−5，5）．小提示：本题考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移问题，实际上就是两条抛物线顶点之间的问题，找到了顶点的变化就知道了抛物线的变化．13、斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为ℎ1，第二次反弹后的最大高度为ℎ2，第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板C处，且离地高度BC=23ℎ1，若OB=90dm,OA=2AB，则ℎ2ℎ1为________．答案：2536分析：先求出OA=60，OE=30，设第一次反弹后的抛物线的解析式y=a(x-30)2+h1，得h1=-900a，设第二次反弹后的抛物线的解析式y1=a(x-m)2+h2，得{0=a(60−m)2+ℎ2−600a=a(90−m)2+ℎ2得h2=-625a，即可得答案．解：如下图，∵OB=90，OA=2AB，∴OA=60，OE=30，设第一次反弹后的抛物线的解析式y=a(x-30)2+h1，∵抛物线过原点O，∴0=a(0-30)2+h1，解得：h1=-900a，∵每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），∴两个抛物线的a是相等的，设第二次反弹后的抛物线的解析式y1=a(x-m)2+h2，∵BC=23ℎ1，h1=-900a，∴BC=-600a，∵抛物线过A、B两点，∴{0=a(60−m)2+ℎ2−600a=a(90−m)2+ℎ2解得{m=85ℎ2=−625aℎ1ℎ2=−625a−900a=2536所以答案是：2536．小提示：本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数解析式的求法，解题的关键是掌握二次函数的性质．14、已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣13x2+4的图像上，那么m、n的大小关系是：m_____n．（填“＞”、“＝”或“＜”）答案：<分析：先利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后根据二次函数的性质解决问题．解：二次函数y=−13x2+4可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为y轴，所以当x<0时，y随x的增大而增大，∵−7<−5，∴m<n，所以答案是：<．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质．15、已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为 _____．答案：x1＝﹣4，x2＝2分析：根据图象可知，二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象经过点（﹣4，0），把该点代入方程，求得m值；然后把m值代入关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0，求根即可．解：根据图象可知，二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象经过点（﹣4，0），所以该点适合方程y＝﹣x2﹣2x+m，代入，得（﹣4）2+2×（﹣4）+m＝0解得，m＝8 ①把①代入一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0，得﹣x2﹣2x+8＝0，②解②，得x1＝﹣4，x2＝2∴关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为x1＝﹣4，x2＝2故答案为x1＝﹣4，x2＝2．小提示：本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图象，求出m的值是解题关键．解答题16、受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A，B两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天总获利的利润为y元（A型售价不得低于进价）．(1)求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；(2)要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；(3)该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐a元给（0＜a≤100）因“新冠疫情”影响的困难家庭，当30≤x≤40时，每天的最大利润为229200元，求a的值．答案：(1)0≤x≤60且x为整数(2)20≤x≤60(3)a＝30分析：（1）根据题意列函数关系式和不等式组，于是得到结论；（2）根据题意列方程和不等式，于是得到结论；（3）根据题意列函数关系式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．（1）由题意得，y＝（900﹣600﹣5x）（200+x）+（1200﹣800+5x）（400﹣x）＝﹣10x2+900x+220000，{x≥0,300−5x≥0,400−x≥0,解得0≤x≤60，故x的取值范围为0≤x≤60且x为整数；（2）x的取值范围为20≤x≤60．理由如下：y＝﹣10x2+900x+220000＝﹣10（x﹣45）2+240250，当y＝234000时，﹣10（x﹣45）2+240250＝234000，（x﹣45）2＝625，x﹣45＝±25，解得：x＝20或x＝70．要使y≥234000，得20≤x≤70；∵0≤x≤60，∴20≤x≤60；（3）设捐款后每天的利润为w元，则w＝﹣10x2+900x+220000﹣（400﹣x）a＝﹣10x2+（900+a）x+220000﹣400a，对称轴为x=900+a20=45+a20，∵0＜a≤100，∴45+a20>45，∵抛物线开口向下，当30≤x≤40时，w随x的增大而增大，当x＝40时，w最大，∴﹣16000+40（900+a）+220000﹣400a＝229200，解得a＝30．小提示：本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答．17、如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面4.5m．当水位上涨刚好淹没小孔时，求大孔的水面宽度．答案：此时大孔的水面宽度为10m．分析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据NC的长度，得出函数值y，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案．解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，M点坐标为（0，6），A点坐标为（-10，0），B点坐标为（10，0），设中间大抛物线的函数式为y =ax 2+6，∵点B 在此抛物线上，∴0=a ×102+6， 解得a =-350， ∴函数式为y =-350x 2+6． ∵NC =4.5m ，∴令y =4.5，代入解析式得-350x 2+6=4.5， x 1=5，x 2=-5，∴可得EF =5-（-5）=10．此时大孔的水面宽度为10m ．小提示：本题是二次函数的实际应用，考查了待定系数法求二次函数的解析式，由函数值求自变量的值，解答时求出函数的解析式是关键．18、在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =x 2+mx +n 的图象经过点A (0,1),B (3,4)．求此二次函数的表达式及顶点的坐标．答案：y =x 2−2x +1，(1,0)分析：直接把点A 、B 的坐标代入二次函数解析式进行求解，然后求出对称轴，最后问题可求解． 解：∵二次函数y =x 2+mx +n 的图象经过点A (0,1),B (3,4)；∴{n =19+3m +n =4， 解得：{m =−2n =1， ∴y =x 2−2x +1∴对称轴为直线x=−−2=1，2×1∴y=12−2+1=0，∴顶点的坐标为(1,0)．小提示：本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．。

第二十二章 二次函数 易错必考63题(13个考点)专练(解析版)

第二十二章 二次函数 易错必考63题(13个考点)专练(解析版)

第二十二章二次函数易错必考63题（13个考点）专练易错必考题一、根据二次函数的定义求参数1．（2023·全国·九年级专题练习）若函数2221m m y m m x ＝（＋）是二次函数，那么m 的值是（）A ．2B ．1 或3C ．3D ．12【答案】C【分析】根据二次函数的定义： 20y ax bx c a ，进行计算即可．【详解】解：由题意得：221=2m m ，解得：1m 或=3m ；又∵2+0m m ，解得：1m 且0m ，∴=3m ．故选C ．【点睛】本题考查二次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．注意二次项系数不为零．2．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）点 ,1m 是二次函数221y x x 图像上一点，则236m m 的值为【答案】6【分析】把点 ,1m 代入221y x x 即可求得22m m 值，将236m m 变形 232m m ，代入即可．【详解】解：∵点 ,1m 是二次函数221y x x 图像上，∴2121m m 则222m m ．∴ 223632326m m m m 故答案为：6．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键．3（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）已知函数21(1)3m y m x x 为二次函数，求m 的值．【答案】m=﹣1【分析】根据二次函数的定义，列出一个式子即可解决问题．【详解】解：由题意：21012m m ，解得1m ，1m 时，函数21(1)3m y m x x 为二次函数．【点睛】本题考查二次函数的定义，记住二次函数的定义是解题的关键，形如2(y ax bx c a 、b 、c 是常数，0)a 的函数，叫做二次函数．易错必考题二、二次函数与一次函数、反比例函数图象的综合判断4．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）二次函数2y ax bx c 的图象如图所示，则一次函数24y ax b ac 与反比例函数a b cy x在同一坐标系内的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即 1a b c ，在第四象限可得0a b c ，从而得到反比例函数a b cy x的图象分布在二、四象限，由抛物线的开口方向和与x 的交点个数得到2040a b ac ，，从而得到一次函数24y ax b ac 的图象经过一、二、三象限，即可得到答案．【详解】解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即 1a b c ，在第四象限，0a b c ，反比例函数a b cy x的图象分布在二、四象限，∵抛物线的开口向上，0a ，∵抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ，一次函数24y ax b ac 的图象经过一、二、三象限，故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象与系数的关系，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．5．（2023秋·四川南充·九年级校考期末）在同一坐标系中，一次函数y ax c 与二次函数2y ax c 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】可先确定每一选项中的一次函数图象，得到a 、c 的符号，再验证二次函数图象是否一致即可．【详解】解：A 、由一次函数y ax c 的图象得0a ，0c ，则二次函数2y ax c 图象开口向上，故该选项不符合题意；B 、由一次函数y ax c 的图象得a<0，0c ，则二次函数2y ax c 图象开口向下，与y 轴正半轴相交，故该选项符合题意；C 、由一次函数y ax c 的图象得a<0，0c ，则二次函数2y ax c 图象开口向下，故该选项不符合题意；D 、由一次函数y ax c 的图象得a<0，0c ，则二次函数2y ax c 图象开口向下，故该选项不符合题意，故答案为：B ．【点睛】本题考查一次函数、二次函数图象综合判断，熟知一次函数、二次函数的图象与系数的关系是解答的关键．6．（2023春·山东日照·九年级校考期中）在同一直角坐标系中，反比例函数ky x与二次函数2y x kx k 的大致图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据k 的取值范围分当0k 时和当0k 时两种情况进行讨论，根据反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质进行判断即可．【详解】解：当0k 时，反比例函数ky x的图像经过一、三象限，二次函数2y x kx k 的图像开口向上，其对称轴2kx在y 轴右侧，且与y 轴交于负半轴，故选项C 、D 不符合题意；当0k 时，反比例函数ky x的图像经过二、四象限，二次函数2y x kx k 的图像开口向上，其对称轴2kx在y 轴左侧，且与y 轴交于正半轴，故选项A 不符合题意，选项B 符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质，解题关键是根据k 的取值范围分当0k 时和当0k 时两种情况进行讨论．7．（2023春·安徽安庆·九年级校考阶段练习）二次函数2y ax bx 和反比例函数by x在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据b 的取值范围分当0b 时和当0b 时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可．【详解】当0b 时，反比例函数by x的图象经过第一、三象限，当0a 时，二次函数2y ax bx 图象，开口向上，对称轴2bx a在y 轴左侧，则A 选项不符合题意，当a<0时，二次函数2y ax bx 图象，开口向下，对称轴2bx a在y 轴右侧，则C 选项不符合题意，B 选项符合题意；当0b 时，反比例函数by x的图象经过第二、四象限，当0a 时，二次函数2y ax bx 图象，开口向上，对称轴2bx a在y 轴右侧，则D 选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对b 的取值进行分类讨论（当0b 时和当0b 时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解．易错必考题三、二次函数的图象与性质8．（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）已知二次函数2220y mx mx m （）在22x 时有最小值2 ，则m （）A ．4 或12B ．4或12C ．4 或12D ．4或12【答案】B【分析】先求出二次函数对称轴为直线1x ，再分0m 和0m 两种情况，利用二次函数的性质进行求解即可．【详解】解：∵二次函数 222212y mx mx m x m ，∴对称轴为直线1x ，①当0m ，抛物线开口向上，1x 时，有最小值22y m ，解得：4m ；②当0m ＜，抛物线开口向下，∵对称轴为直线1x ，在22x 时有最小值2 ，∴2x 时，有最小值922y m m ，解得：12m ．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键．9．（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）已知点 12,P y ， 24,Q y ， 3,M m y 均在抛物线2y ax bx c 上，其中20am b ．若321y y y ，则m 的取值范围是（）A ．2mB ．1mC ．21m D ．14m 【答案】B【分析】由20am b 得到2bm a，此时3y y ，判断 3M m y ，为抛物线的顶点，且抛物线开口向下，然后分4m 和4m 两种情况分类讨论解题即可．【详解】解：∵20am b ，2b m a，∵直线2bx a是抛物线²y ax bx c 的对称轴，且此时3y y ，且321y y y ，∴ 3M m y ，为抛物线的顶点，且抛物线开口向下，①当4m 时，点P Q 、都在M 左侧(或Q 与M 重合)，此时一定有321y y y 符合题意，②当4m 时，∵321y y y ，∴M 在点P 右侧，即2m ，且点P 到对称轴的距离大于点Q 到对称轴的距离，即 24m m ，解得：�>1，∴14m ，综上所述，m 的取值范围是1m 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．10．（2023秋·全国·九年级专题练习）设0ab ，且函数 1²24f x x ax b 与 2²42f x x ax b 有相同的最小值u ；函数 3²24f x x bx a 与 4²42f x x bx a 有相同的最大值v ；则u v 的值（）A ．必为正数B ．必为负数C ．必为0D ．符号不能确定【答案】C【分析】本题给出四个函数的解析式及两条重要信息 1f x 与有相同的最小值u ； 3f x 与 4f x 有相同的最大值v ，将函数化为顶点式，再根据条件列出等式即可求解此题．【详解】∵ 2221²2444f x x ax b x a b a b a ， 2222²4222424f x x ax b x a b a b a ，则22424b a u b a ，得223b a ①∵0ab ，∴0b ，又∵ 2222234²4422424f x x b a b a b f x x b a b a b ，；则22424a b v a b ，得223a b ，②∵0ab ，∴ 0a ，∴3320a b ，∴②① 得， 2223a b b a ，解得0a b 或23b a (舍去)，当0a b 时，2226565650u v b a a b a b b a ，∴ 0u v ，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的最值，难度较大，解题的关键是将函数的标准形式化为顶点形式．11．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线243y x x 上两点 1122,,,A x y B x y ，且212x x ，则下列说法一定正确的是（）A ．若11x 时，则120y yB ．若11x 时，则120y yC ．若111x 时，则120y yD ．若111x 时，则210y y 【答案】D【分析】求得抛物线的开口方向，对称轴以及抛物线与x 轴的交点，然后利用二次函数的性质判断即可；【详解】解：∵抛物线 22433121y x x x x x ，∴抛物线开口向上，对称轴为直线2x ，抛物线与x 轴的交点为 (3,0),1,0 ，若11x 时，212x x ∵，∴21x ，∴无法确定1y 、2y 的大小，故A 、B 不正确，不合题意；若111x 时，∵抛物线243y x x 上两点 1122,,,A x y B x y ，且212x x ，∴213x ，∴210y y ，故C 不正确，D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x 轴的交点，熟知二次函数的性质是解题的关键12．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第八中学校考开学考试）已知抛物线 220y ax ax b a 经过 13,A n y ， 221, B n y 两点，若A ，B 分别位于抛物线对称轴的两侧，且12y y ，则n 的取值范围是．【答案】01n /10n 【分析】根据二次函数的增减性，进行求解即可．【详解】解：∵ 220y ax ax b a ，对称轴为直线212ax a，∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；∵A ，B 分别位于抛物线对称轴的两侧，且12y y ，①当3121n n 时，此不等式无解，不符合题意；②2113n n ，即：21n 时，31121n n ，解得：0n ，综上：01n ．故答案为：01n ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是掌握二次函数的增减性．13．（2023秋·湖北孝感·九年级校考开学考试）关于抛物线2y x ，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是 0,4．②当1x 时，y 随x 的增大而减小．③当23x 时，50y ．④若,m p ,n p 是该抛物线上两个不同的点，则0m n ．其中正确的说法有．（填序号）【答案】②④/④②【分析】直接根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．【详解】解：∵2y x ，∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项错误；②对称轴为0x ，当1x 时，y 随x 的增大而减小，故该项正确；③当23x 时，0x 时取最大值0，3x 时取最小值9 ，因此90y ，故该项错误；④若 ,m p 、 ,n p 是该抛物线上两点，则两点关于直线0x 对称，因此0m n ，故该项正确．故答案为：②④．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握该知识点并熟练运用数形结合思想是解题的关键．14．（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）若函数2y ax bx c （0a ）图象过点(1,0) ，(0,2) 且抛物线的顶点位于第四象限，设35P a b c ，则P 的取值范围为．【答案】88P 【分析】根据(1,0) 和(0,2) 得到a ，b ，c 的关系，通过0a ，对称轴大于0，得到0b ，进而求出a 的准确范围，最终求出P 的取值范围．【详解】解：由题意可知，0a b c ，2c ，20a b ，2b a ，0a ∵，且对称轴bx 02a，0b ，20a ，02a ，353510288P a b c a a a ∵，8888a ，88P ．故答案为：88P ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．15、（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，线段PQ 的端点坐标分别为(12)P ，，(13)Q ，，抛物线2223y x mx m （m 为常数，0m ）和线段PQ 有公共点时，m 的取值范围是，【答案】1713m【分析】抛物线和线段PQ 有公共点可知23y ，当点(12)P ，在抛物线上时，可算出此时的m 的值，当点(13)Q ，在抛物线上时，算出此时的m 的值，由此即可求解．【详解】解：抛物线2223y x mx m （m 为常数，0m ）和线段PQ 有公共点，(12)P ，，(13)Q ，，∴23y ，∴当点(12)P ，在抛物线上时，21232m m ，解得，11m ，213m ；当点(13)Q ，在抛物线上时，21233m m ，解得，3173m ，4173m ；∵当23y 时，有公共点，且0m ，∴m 的取值范围是1713m ，故答案为：1713m．【点睛】本题主要考查二次函数图像与线段的交点问题，掌握二次函数图像的性质，线段与图像的位置关系，数形结合分析是解题的关键．16．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知二次函数 2220y x mx m m m ．(1)若2m ，求该函数图象的顶点坐标．(2)若当1x 时，y 随x 的增大而减小；当2x 时，y 随x 的增大而增大，求m 的取值范围．(3)若函数1y y m ，点(2,),(,)M m s N n t 都在函数1y 的图象上，且s t ，求n 的取值范围．（用含m 的代数式表示）【答案】(1)2,2 (2)12m (3)2n m 或3n m 【分析】（1）把2m 代入 2220y x mx m m m 求出解析式，然后配方即可；（2）先求出 2220y x mx m m m 的对称轴，可得当x m 时，y 随x 的增大而减小；当x >m 时，y随x 的增大而增大，再结合条件即可求出；（3）根据代入法求出s t 、，结合s t 即可求出答案．【详解】（1）解：当2m 时，242y x x ，将242y x x 配方得：2(2)2y x ，∴该函数图象的顶点坐标是 2,2 ；（2）解：在 2220y x mx m m m 中，222b m x m a 轴，当x m 时，y 随x 的增大而减小；当x >m 时，y 随x 的增大而增大，∵当1x 时，y 随x 的增大而减小；当2x 时，y 随x 的增大而增大，∴12m ；（3）解：∵1y y m ， 2220y x mx m m m ，∴221(12)y x m x m m ，∵点(2,),(,)M m s N n t 都在函数1y 的图象上，当2x m 时，6s ，当x n 时，22211(12)()24m t n m n m m n ，∵s t ，∴21216()24m n，∴212125()6244m n ，∴12522m n 或12522m n ，∴2n m 或3n m ；【点睛】本题是二次函数的一个综合题，主要考查了求顶点坐标，二次函数的性质，熟练掌握相关知识是关键．17．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线2(0)y ax bx c a 经过(1)A t ，，(3)B t ，两点．(1)当1a 时，求b 的值；(2)当0 t ，且10x ≤≤时，y 的最大值为3．①求抛物线的解析式；②抛物线与y 轴交于点C ，直线(1)y kx k 与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点F ，连接CD ，当:3:2COF CDF S S 时，求k 的值．【答案】(1)2b (2)①223y x x ；②32k =或4【分析】(1)根据(1)A t ，，(3)B t ，对称，写出对称轴方程1x ，根据对称轴是2b x a，且1a ，求出2b ；(2)①10x ≤≤在对称轴1x 的左侧，0x 时时，y 有最大值为3，得到0x 时，3y c ，根据0 t ，得到方程组，解方程组即可求解；②利用三角形的面积关系，得到点F 与点D 的横坐标的比为3：5，设点F 的横坐标为3t ，则点D 的横坐标为5t ，利用待定系数法用含t 的代数式求得直线OF 的解析式，进而得到点D 的坐标，将点D 坐标代入抛物线的解析式求得t 值即可求得结论．【详解】（1）解：抛物线2(0)y ax bx c a 经过(1)A t ，，(3)B t ，两点，1312x ，∵2b x a，1a ，2b ；（2）解：①∵(1)A t ，，(3)B t ，，0 t ，(10)A ，，(30)B ，，∵对称轴是直线1x ，0a ，当1x 时，y 随x 的增大而增大，∵10x ≤≤时，y 的最大值为3，当0x 时，3y c ，抛物线解析式为23y ax bx ，把(10)A ，，(30)B ，，代入得：309330a b a b， 12a b， 抛物线解析式为223y x x ；②由①得：(10)A ，，(30)B ，，(03)C ，，设直线BC 的解析式为 10y kx b k ，11330b k b，解得：13k b ， 直线BC 的解析式为3y x ，∵:3:2COF CDF S S ，:3:5COF COD S S ，点F 与点D 的横坐标的比为3：5，设点F 的横坐标为3t ，则点D 的横坐标为5t ，∵点F 在直线BC 上，3,33F t t ．∵点F 在直线(1)y kx k 上，333t k t ，解得：1t k t， 直线OF 的解析式为1t y x t，∵点D 在直线OF 上， 5,55D t t ，∵点D 在抛物线上，2525355t t t ，解得：15t 或25，当15t 时，115415k ，当25t 时，2135225x ，综上所述，32k =或4．【点拨】本题考查了二次函数性质，待定系数法求函数解析式，三角形面积，熟练掌握根据二次函数值随自变量变化情况确定二次函数的最值，待定系数法求二次函数的解析式，同高的两个三角形面积与底边成比例，是解决本题的关键．易错必考题四、二次函数图象的平移问题18．（2023秋·全国·九年级专题练习）将抛物线22y ax bx （a 、b 是常数，0a ）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线2142y x x关于y 轴对称，则a 、b 的值为（）A ．1a ，2b B ．12a ，1b =-C ．12a ，1b =-D ．1a ，2b 【答案】C【分析】先求出抛物线2142y x x 关于y 轴对称的抛物线为 219122y x ，再根据抛物线平移的性质得出抛物线22y ax bx 向下平移2个单位长度后为24y ax bx ，即可得出a 和b 的值．【详解】解：∵ 2211941222y x x x，∴抛物线2142y x x 关于y 轴对称的抛物线为 219122y x ，∵抛物线22y ax bx 向下平移2个单位长度后为24y ax bx ，∵24y ax bx 与2142y x x关于y 轴对称，∴ 22419122y ax bx x ，整理得：224412y x x a bx x，∴12a ，1b =-，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握将二次函数化为顶点式的方法和步骤，以及二次函数的平移规律：上加下减，左加右减．19．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，一条抛物线与x 轴相交于M ，N 点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动，点A ，B 的坐标分别为 2,3 ， 1,3，点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为（）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【分析】其顶点P 在线段AB 上移动，点A ，B 的坐标分别为 2,3 ， 1,3，分别求出对称轴过点A 和B 时的情况，即可判断出M 点横坐标的最小值．【详解】解：根据题意知，∵点N 的横坐标的最大值为4，此时点P 和点B 重合，即抛物线的对称轴为：1x ，N 点坐标为 4,0，则M 点坐标为 2,0 ，点P 和点A 重合，点M 的横坐标最小，此时抛物线的对称轴为：2x ，N 点坐标为 1,0，则M 点的坐标为 5,0 ，点M 的横坐标的最小值为5 ，故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x 轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．20．（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线223y x x 先绕原点O 旋转180 ，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线解析式为．【答案】22y x x【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出顶点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．【详解】解：∵ 2223=12y x x x ，∴抛物线的顶点为 12，，将抛物线223y x x 先绕原点旋转180 抛物线顶点为 12 ，-，旋转后的抛物线为 212y x ，再向上平移3个单位， 2212+32y x x x ．故答案为：22y x x ．【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象旋转与平移的法则．21．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线L ： 227y x ．(1)写出L 的对称轴和y 的最小值；(2)点P 为透明片上一点，P 的坐标为 9,6．平移透明片，平移后，P 的对应点为P ，抛物线L 的对应抛物线为L ，其表达式恰为267y x x ，求PP 移动的最短路程．【答案】(1)对称轴为直线：7x ，y 的最小值为2(2)42PP 【分析】（1）直接根据解析式进行作答即可；（2）求出平移后的抛物线的顶点坐标，PP 移动的最短路程为两个顶点间的距离，进行求解即可．【详解】（1）解：∵ 222277y x x ，顶点坐标为 7,2，∴对称轴为直线7x ，y 的最小值为2；（2）∵ 226732y x x x ，顶点坐标为 3,2 ，∵抛物线L 的顶点坐标为 7,2，∴PP 移动的最短路程为 22732242 ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．22．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）已知二次函数 2420y ax x a 图像的对称轴为直线2x ．(1)求a 的值；(2)将该二次函数的图像沿x 轴向右平移2个单位后得到一个新的二次函数，求新二次函数的解析式．【答案】(1)1a (2)2814y x x 【分析】（1）根据对称轴列式求解即可解答；（2）将a 的值代入，结合抛物线解析式求平移后图像所对应的二次函数的表达式即可．【详解】（1）解：∵二次函数 2420y ax x a 图像的对称轴为直线2x ∴422a，解得1a ．（2）解：∵1a ，∴242y x x ，∴平移后为： 222422814y x x x x ．∴新二次函数的解析式为2814y x x ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的平移等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．23．（2023·山东·九年级专题练习）如图，抛物线过点 0,0O ， 10,0E ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点B 在点A 的左侧），点C ，D 在抛物线上，设 ,0B t ，当2t 时，4BC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持2t 时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求抛物线平移的距离．【答案】(1)21542y x x (2)当1t 时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412(3)4【分析】（1）设抛物线的函数表达式为 100y ax x a ，求出点C 的坐标，将点C 的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；（2）由抛物线的对称性得AE OB t ，则102AB t ，再得出21542BC t t ，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；（3）连接A C ，BD 相交于点P ，连接OC ，取OC 的中点Q ，连接PQ ，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形OCHG 是平行四边形，则PQ CH ，12PQ OA ．求出2t 时，点A 的坐标为 8,0，则142CH OA ，即可得出结论．【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为 100y ax x a ．∵当2t 时，4BC ，∴点C 的坐标为 2,4 ．将点C 坐标代入表达式，得 22104a ，解得14a ．∴抛物线的函数表达式为21542y x x．（2）解：由抛物线的对称性得：AE OB t ，∴102AB t ．当x t 时，21542BC t t ．∴矩形ABCD 的周长为2152210242AB BC t t t21202t t 2141122t ．∵102，∴当1t 时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412．（3）解：连接AC ，BD 相交于点P ，连接OC ，取OC 的中点Q ，连接PQ ．∵直线GH 平分矩形ABCD 的面积，∴直线GH 过点P ．．由平移的性质可知，四边形OCHG 是平行四边形，∴PQ CH ．∵四边形ABCD 是矩形，∴P 是AC 的中点．∴12PQ OA ．当2t 时，点A 的坐标为 8,0，∴142CH OA ．∴抛物线平移的距离是4．【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质．易错必考题五、根据二次函数的图象判断式子符号24．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线 21y a x k 与x 轴交于 1,0A ，B 两点，下列判断正确的是（）A ．0a B ．当0x 时，y 随x 的增大而减小C ．点B 的坐标为3,0D ．0a k 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．【详解】解：A 、抛物线开口向下，a<0，选项错误，不符合题意；B 、 21y a x k ，对称轴为1x ，当1x 时，y 随x 的增大而减小，选项错误，不符合题意；C 、∵抛物线 21y a x k 与x 轴交于 1,0A ，对称轴为1x ，∴点B 的坐标为 3,0，选项正确，符合题意；D 、∵抛物线 21y a x k 与x 轴交于 1,0A ，∴ 2011a k ，∴4k a ，∴430a k a a a ，故选项D 错误，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．25．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，根据二次函数2y ax bx c 的图象得到如下结论：①0abc ②20a b ③0a b c ④30a c ⑤当2x 时，y 随x 的增大而增大⑥一定存在实数0x ，使得200ax bx a b 成立．上述结论，正确的是（）A ．①②⑤B ．②③④C ．②③⑥D ．③④⑤【答案】C 【分析】根据抛物线开口向上得出0a ，根据抛物线和y 轴的交点在y 轴的负半轴上得出0c ，根据图象关于=1x 对称，得到12b a，即2a b ，故0b ，根据图象与x 轴的一个交点为3x ，即可得到图象与x 轴的另一个交点为1x ，根据方程20ax bx c 的根，把1x 代入2y ax bx c 求出0a b c ，再将2a b 代入0a b c 得到30a c ，根据抛物线的对称轴和图象得出当1x 时，y 随x 的增大而增大，根据函数最小值为a b c ，当01x 时，则200ax bx c a b c ，即0ax bx a b ，故一定存在实数0x ，使得200ax bx a b 成立．【详解】解：∵抛物线开口向上、顶点在y 轴左侧、抛物线与y 轴交于负半轴，0a ，0c ，∵抛物线关于=1x 对称，12b a，即20a b ， 0b ，<0abc ，故①错误，故②正确；∵抛物线过点 3,0 ，对称轴为直线=1x ，∴抛物线过点 1,0，把1x 代入2y ax bx c ，得到0a b c 0a b c ，故③正确；2b a ，0a b c ，30a c ，故④错误；∵抛物线开口向上，对称轴是直线=1x ，∴当1x 时，y 随x 的增大而增大；故⑤错误；∵函数最小值为a b c ，∴当01x 时，则200ax bx c a b c ，即0ax bx a b ，∴一定存在实数0x ，使得200ax bx a b 成立，故⑥正确；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．26．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考模拟预测）如图，已知二次函数 20y ax bx c a 的图象如图所示，对于下列结论，其中正确结论的个数是（）①0abc ；② 220a c b ；③30a c ；④若m 为任意实数；则26am bm b a ；⑤当22x k 时，y 随x 增大而先增大后减小．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据二次函数的性质进行判断求解．【详解】解：由于图像开口向上，0a ，∵抛物线对称轴为12b x a，20b a ，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，0c ，<0abc ，①错误；有图像知，将1x 代入得0a b c ，将=1x 代入得<0a b c ，22()()0a c b a b c a c b ，②错误；有图像知，将1x 代入得0a b c ，2b a ∵，30a c ，③正确；当=1x 时，函数有最小值y a b c ，若m 为任意实数；则2am bm c a b c ，2am bm a b ，22am bm b a b ，2b a ∵，243am bm b a a a ，0a ∵，36a a ，26am bm b a ，④正确；20k ∵，222k ，根据图像可知，22x k 时，y 随x 增大而先减小后增大．⑤错误；故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．27．（2023·山东·九年级专题练习）如图，二次函数2(0)y ax bx c a 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，对称轴为直线1x ．下面结论：①<0abc ；②20a b ；③30a c ；④方程20(0)ax bx c a 必有一个根大于1 且小于0．其中正确的是．（只填序号）【答案】①②④【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【详解】解：由图象可得，000，，，a b c 则<0abc ，故①正确；∵12b a，∴2b a ，∴20a b ，故②正确；∵函数图象与x 轴的正半轴交点在点(2,0)和(3,0)之间，对称轴是直线1x ，∴函数图象与x 轴的另一个交点在点(0,0)和点 1,0 之间，故④正确；∴当=1x 时，0y a b c ，∴20y a a c ，∴30a c ，故③错误；故答案为：①②④．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．28．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数 20y ax bx c a 的图像如图所示，有下列5个结论：①0abc ；②b a c ；③420a b c ；④23c b ；⑤ a b m am b （1m 的实数）．其中正确的结论有（填序号）【答案】③④⑤【分析】由抛物线的开口方向可以得出a<0，由抛物线与y 轴的交点可以判断0c ，由抛物线的对称轴可以判断0b ，再根据抛物线与x 轴的交点情况以及抛物线的顶点进行推理即可得到答案．【详解】解：①∵二次函数 20y ax bx c a 的图象开口方向向下，与y 轴交于正半轴，对称轴为直线1x ，0002b a c a，，，>0b ，<0abc ，故①错误，不符合题意；②∵二次函数 20y ax bx c a 的图象与x 轴的交点在 10 ，的右边，图象开口方向向下， 当=1x 时，0y ，0a b c ，b ac ，故②错误，不符合题意；③∵二次函数 20y ax bx c a 的图象与x 轴的另一个交点在 20，的右边，图象开口方向向下， 当2x 时，0y ，420a b c ，故③正确，符合题意；④由①得：12b a，12a b ，由②得：<0a b c ，102b bc ，23c b ，故④正确，符合题意；⑤∵二次函数 20y ax bx c a 的图象的对称轴为直线1x ，当1x 时，y 取最大值，最大值为a b c ，当 1x m m 时，2am bm c a b c ，1a b m am b m ，故⑤正确，符合题意；综上所述：正确的结论有：③④⑤，故答案为：③④⑤．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与各项系数符号的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的方法解题，是解此题的关键．29．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，二次函数2y ax bx c 的图象过点 3,0A ，对称轴为直线1x ．给出以下结论：①0abc <；② 21a ax x b ；③若 211,M n y ， 222,N n y 为函数图象上的两点，则12y y ；④若关于x 的一元二次方程 20ax bx c p p 有整数根，则对于a 的每一个值，对应的p 值有3个．其中正确的有．(写出所有正确结论的序号)【答案】①②③【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】∵抛物线开口向下，0a ；∵抛物线的对称轴为直线x 2b a10 ，0b ；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，0c ，0abc ，故①正确；∵当1x 时，函数有最大值，2a b c ax bx c ，即 21a ax x b故②正确；∵抛物线的对称轴是1x ，则2212(1,2,())M n y N n y ，在对称轴右侧，2212n n ，12y y ，。

二次函数各知识点、考点、典型例题及练习

二次函数各知识点、考点、典型例题及练习

二次函数各知识点、考点、典型例题与对应练习（超全）【典型例题】题型 1 二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4） 点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式 例2.（拓展，2008年XX 市中考题，12） 下列命题中正确的是○1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。

○3当c=－5时，不论b 为何值，抛物线y=ax 2+bx+c 一定过y 轴上一定点。

○4若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有唯一公共点，则方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根。

○5若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点A 、B ，与y 轴交于c 点，c=4，S △ABC=6，则抛物线解析式为y=x 2－5x+4。

○6若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根。

○7若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一根为0。

○8若a －b+c=2，则抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）必过一定点。

○9若b 2＜3ac ，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴一定没有交点。

○10若一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx 2+bx+a 的图象与x 轴必有两个交点。

○11若b=0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。

点拨：本题主要考查二次函数图象与其性质，一元二次方程根与系数的关系，与二次函数和一元二次方程二者之间的联系。

考点12 二次函数(精练)(解析版)

考点12 二次函数(精练)(解析版)

考点12.二次函数（精练）限时检测1：最新各地模拟试题（50分钟）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据反比例函数的图象得出b ＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y 轴的关系，抛物线与y 轴的交点，即可得出a 、b 、c 的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴b ＜0，A 、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，交y 轴的负半轴，∴a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A 错误；B 、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴右侧，∴a ＜0，b ＞0，∴与b ＜0矛盾，B 错误；C 、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴右侧，∴a ＜0，b ＞0，∴与b ＜0矛盾，C 错误；D 、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，交y 轴的负半轴，∴a ＜0，b ＜0，c ＜0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．4．（2023·山东·中考模拟）小嘉说：将二次函数2y x =的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法：①向右平移2个单位长度②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度④沿x 轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．【详解】解：①将二次函数2y x =向右平移2个单位长度得到：()22y x =-，把点(2,0)代入得：()2220y =-=，所以该平移方式符合题意；②将二次函数2y x =向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：()211y x =--，把点(2,0)代入得：()22110y =--=，所以该平移方式符合题意；③将二次函数2y x =向下平移4个单位长度得到：24y x =-，把点(2,0)代入得：2240y =-=，所以该平移方式符合题意；④将二次函数2y x =沿x 轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：24y x =-+，把点(2,0)代入得：2240y =-+=，所以该平移方式符合题意；综上所述：正确的个数为4个；故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．则点Q为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，此时有【答案】2496572y x x =-+【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出【详解】解：根据题意，得【答案】34【分析】根据梯形面积求出CD 得到答案；【详解】四边形ABDC 是梯形，下底由()163152CD +⨯=，得4CD =∵214CD x x =-=，∴()212x x +又顶点纵坐标2344ac b a-=-②，【点睛】本题考查二次函数性质与几何图形应用，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系及二次函数的性质．13．（2023·四川成都·统考二模）在平面直角坐标系中，点上，若12y y =，则m =【答案】1213m <【分析】若12y y =，先求二次函数的对称轴，再利用二次函数的对称性对称两点的横坐标之和的一半等于【答案】①⑤/⑤①【分析】根据抛物线的对称轴是轴的交点位置得出,,a b c 为()2,0-，即可判断③39【答案】104 3x<<【分析】过A作AC⊥x轴于问题即可得到解答．由题意可得C x=103，所以当【点睛】本题考查函数图象应用，正确求解函数图象交点坐标及函数图象与坐标轴的交点坐标是解题关键．19．（2024·江苏无锡·校考模拟预测）②如图2，直线BM 过AC 中点，直线BM 解析式为1522y x =-+，AC 中点坐标为15,22a ⎛⎫⎪⎝⎭，待入直线求得910a =；③如图3，直线CM 过AB 中点，AB 中点坐标为()3,0，∴直线MB 与y 轴平行，必不成立；2）、当分成三角形和梯形时，过点M 的直线必与ABC 一边平行，所以必有“”A 所以相似比为1:2．④如图4，直线EM ∥AB ，∴CEN COA ∽∴12CE CN CO CA ==，∴51152a a -=，解得225a +=；⑤如图5，直线ME ∥AC ，MN CO ∥，则EMN ACO ∽∴12BE AB =，又4AB =，∴∵53222BN =-=<，∴不成立；⑥如图6，直线ME ∥BC ，同理可得12AE AB =，∴22AE =，222NE =-，tan tan MEN CBO ∠∠=，∴155222a =-，解得a =综上所述，910a =或225+或212+．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．20．（2023·浙江杭州·校考二模）在平面直角坐标系中，当2x =-和4x =时，二次函数是常数，a ≠0）的函数值相等．(1)若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．若该函数的图象与x 轴有且只有一个交点，求a ，b 的值．(3)记（2）中的抛物线为y 1移2个单位得到抛物线2y ，当2x m ≤≤－时，抛物线2y 的最大值与最小值之差为8，求限时检测2：最新各地中考真题（60分钟）1．（2023年江苏省南通市中考数学真题）若实数x ，y ，m 满足6x y m ++=，34x y m -+=，则代数式21xy -+5．（2023年甘肃省兰州市中考数学真题）已知二次函数()2323y x =---，下列说法正确的是（）A ．对称轴为2x =-B ．顶点坐标为()2,3C ．函数的最大值是－3D ．函数的最小值是－3【答案】C【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．【详解】二次函数()2323y x =---的对称轴为2x =，顶点坐标为()2,3-∵30-<∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为=3y -∴A 、B 、D 选项错误，C 选项正确故选：C【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．6．（2022·浙江温州·中考真题）已知点(,2),(,2),(,7)A a B b C c 都在抛物线2(1)2y x =--上，点A 在点B 左侧，下列选项正确的是（）A ．若0c <，则a c b <<B ．若0c <，则a b c<<C ．若0c >，则a c b<<D ．若0c >，则a b c<<【答案】D【分析】画出二次函数的图象，利用数形结合的思想即可求解．【详解】解：当0c >时，画出图象如图所示，根据二次函数的对称性和增减性可得a b c <<，故选项C 错误，选项D 正确；当0c <时，画出图象如图所示，根据二次函数的对称性和增减性可得c a b <＜，故选项A 、B 都错误；故选：D【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，借助图象，利用数形结合的思想解题的解决问题的关键．7．（2023年湖北省中考数学真题）拋物线2(0)y ax bx c a =++<与x 轴相交于点()()3010A B -，，，．下列结论：①0abc <；②240b ac ->；③320b c +=；④若点()()122P m y Q m y -，，，在抛物线上，且12y y <，则9．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知二次函数2243y mx m x =--（m 为常数，0m ≠），点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，则m 的取值范围是（）A ．m 1≥或0m <B ．m 1≥C ．1m ≤-或0m >D ．1m ≤-【答案】A【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与y 轴的交点坐标，再分两种情况：0m >或0m <，根据二次函数的性质求得m 的不同取值范围便可．【详解】解：∵二次函数2243y mx m x =--，∴对称轴为2x m =，抛物线与y 轴的交点为()0,3-，∵点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，∴①当0m >时，对称轴20x m =>，此时，当4x =时，3y ≤-，即2244433m m ⋅-⋅-≤-，解得m 1≥；②当0m <时，对称轴20x m =<，当04x ≤≤时，y 随x 增大而减小，则当04p x ≤≤时，3p y ≤-恒成立；综上，m 的取值范围是：m 1≥或0m <．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．①124x x ⋅=-；②2124y y k +=+④若点(0,1)N -，则AN BN ⊥A ．1B ．2【答案】C【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，直角三角形的性质，两点间的距离公式．13．（2023年湖北省十堰市中考数学真题）已知点物线241y x x =+-上，若12y y =联立231941y x y x x =+⎧⎨=+-⎩解得：54x y =-⎧⎨=⎩或431x y =⎧⎨=⎩∴()5,4P -，由()224125y x x x =+-=+-，则()2,5Q --，对称轴为直线2x =-，设123m y y y ===，则点,,A B C 在y m =上，∵123y y y ==且123x x x <<，∴A 点在P 点的左侧，即15x <-，232x x <-<，当5m =-时，23x x =对于319y x =+，当5y =-，8x =-，此时18x =-，∴18x >-，∴185x -<<-∵对称轴为直线2x =-，则()23224x x +=⨯-=-，∴123x x x ++的取值范围是123129x x x -<++<-，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键．14.（2023年广东广州中考数学真题）已知点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线23y x =-上，且120x x <<，则1y 2y ．（填“<”或“>”或“=”）【答案】<【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．【详解】解：23y x =-的对称轴为y 轴，∵10a =>，∴开口向上，当0x >时，y 随x 的增大而增大，∵120x x <<，∴12y y <．故答案为：<．【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．【答案】4【分析】与抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点由CD x ∥轴，可得C ，D 关于直线x 【详解】解：∵抛物线2y ax bx =++∴抛物线的对称轴为直线132x +==【答案】①③【分析】依据题意，根据所给图象可以得出从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．【详解】解：由图象可得，a >由题意，令2ax bx c kx ++=，∴又二次函数2y ax bx c =++的图象与正比例函数点B 的横坐标为2，2(ax b k ∴+-18．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程220x x a --=，有下列结论：①当1a >-时，方程有两个不相等的实根；②当0a >时，方程不可能有两个异号的实根；③当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；④当3a >时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．【答案】①③④【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵一元二次方程220x x a --=，∴2(2)41()44a a ∆=--⨯⨯-=+；∴当440a +>，即1a >-时，方程有两个不相等的实根；故①正确；当12440•0a x x a +>⎧⎨=->⎩，解得：10a -<<，方程有两个同号的实数根，则当0a >时，方程可能有两个异号的实根；故②错误；抛物线的对称轴为：212x -=-=，则当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确；由3a >，则223a x x =->，解得：3x >或1x <-；故④正确；∴正确的结论有①③④；故答案为：①③④．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．由图可知：当<<0y 5时，2<<1x --或34x <<；（2）∵2223324b b y x bx x ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，∴当2b x =-时，y 有最小值为234b --；∵对于一切实数x ，若函数值y t >总成立，∴234bt <--；（3）∵2223324b b y x bx x ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，∴抛物线的开口向上，对称轴为2b x =-，又当m y n <<时（其中m n 、为实数，m n <），自变量x 的取值范围是12x <<，20．（2022·贵州遵义·中考真题）新定义：我们把抛物线2y ax bx c =++（其中0ab ≠）与抛物线2y bx ax c =++称为“关联抛物线”．例如：抛物线2231y x x =++的“关联抛物线”为：2321y x x =++．已知抛物线()21:4430C y ax ax a a =++-≠的“关联抛物线”为2C ．(1)写出2C 的解析式（用含a 的式子表示）及顶点坐标；(2)若0a >，过x 轴上一点P ，作x 轴的垂线分别交抛物线1C ，2C 于点M ，N ．①当6MN a =时，求点P 的坐标；②当42a x a -≤≤-时，2C 的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．【答案】(1)()24430y ax ax a a =++-≠，顶点为()23--，(2)①()1,0P -或()2,0；②2a =或a =【分析】（1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标；（2）①设(),0P p ，则()2,443M p ap ap a ++-，()2,443N p ap ap a ++-，根据题意建立方程解方程即可求解；②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．(1)解： 抛物线()21:4430C y ax ax a a =++-≠的“关联抛物线”为2C ，根据题意可得，2C 的解析式()24430y ax ax a a =++-≠()2244323y ax ax a a x =++-=+- 顶点为()23--，(2)解：①设(),0P p ，则()2,443M p ap ap a ++-，()2,443N p ap ap a ++-()22443443MN ap ap a ap ap a ∴=++--++-233ap ap=- 6MN a =2336ap ap a ∴-=0a ≠ ∴22p p -=±当22p p -=时，解得11p =-，22p =当22p p -=-时，方程无解()1,0P ∴-或()2,0② 2C 的解析式()24430y ax ax a a =++-≠()2244323y ax ax a a x =++-=+-顶点为()23--，，对称轴为2x =-0a > ，22a ∴->-当()()()2422a a --->---时，即1a <时，函数的最大值为()2423a a -+-，最小值为3- 2C 的最大值与最小值的差为2a ()222a a a∴-=0a ≠ 2a ∴-=1222a a ==（1a <，舍去）2a ∴=当()()()2422a a ---<---时，且42a -<-即12a <<时，函数的最大值为()2223a a -+-，最小值为3- 2C 的最大值与最小值的差为2a 32a a∴=0a ≠a ∴=解得12a a ==12a <<，舍去）a ∴=当42a ->-时，即2a >时，抛物线开向上，对称轴右侧y 随x 的增大而增大，函数的最大值为()2223a a -+-33a =-，最小值为()()2242323a a a a -+-=-- 2C 的最大值与最小值的差为2a ∴()233232a a a a ---+=即()23220a a a a ---=0a ≠ 即()22220a a ---=解得32a =（2a >舍去）综上所述，2a =或a =【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．。

二次函数的图像和性质练习(含答案)

二次函数的图像和性质练习(含答案)

二次函数的图像和性质一、选择题（每题3分）1．下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ）A ．21y x x=+ B ．y=ax 2+bx+c C ．y=x 2﹣（x+7）2 D ．y=（x+1）（2x ﹣1）【答案】D【解析】试题分析：因为形如y=ax 2+bx+c （0a ≠）的函数叫二次函数，所以选项A 、B 、C 错误，D 正确，故选：D ．考点：二次函数的概念.2．若函数y=-2(x-1)2+(a-1)x 2为二次函数，则a 的取值范围为（ ） A.a≠0 B.a≠1 C.a≠2 D.a≠3【答案】D ．【解析】试题分析：根据二次函数的定义化成一般式为()2342y a x x =-+-， 则30a -≠3a ≠故选D ．考点：二次函数的定义．3.下列函数中，不是二次函数的是（ ）A ．y ＝1－x 2B ．y ＝2（x －1）2＋4C ．y ＝（x －1）（x ＋4）D ．y ＝（x －2）2－x 2【答案】D ．【解析】试题分析：选项A ，y=1-x 2=-x 2+1，是二次函数，选项A 正确；选项B ，y=2（x-1）2+4=2x 2-4x+6，是二次函数，选项B 正确；选项C ，y=（x-1）（x+4）=x 2+x-2，是二次函数，选项C 正确；选项 D ，y=（x-2）2-x 2=-4x+4，是一次函数，选项D 错误．故答案选D ．考点：二次函数的定义．二、填空题（每题3分）4.若函数y ＝（m －3）是二次函数，则m ＝______． 【答案】5．【解析】试题分析：已知函数y ＝（m －3）是二次函数，可得且m －3≠0，解得m=-5． 考点：二次函数的定义．5.．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S 与底面半径r 的函数关系式为_________．【答案】S=4π2r【解析】试题分析：根据题意可得h=2r ，则S=2πrh=4π2r ．考点：二次函数的实际应用（时间：15分钟，满分25分）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（每题3分）1.下列函数中，不属于二次函数的是（ ）A ．y=（x ﹣2）2B ．y=﹣2（x+1）（x ﹣1）C ．y=1﹣x ﹣x 2D ．y=211x 【答案】D【解析】试题分析：整理一般形式后根据二次函数的定义判定即可：A 、整理为y=x 2﹣4x+4，是二次函数，不合题意；B 、整理为y=﹣2x 2+2，是二次函数，不合题意；C 、整理为y=﹣x 2﹣x+1，是二次函数，不合题意；D 、不是整式方程，符合题意．故选：D ．考点：二次函数的定义2．下列函数中属于二次函数的是（ ）A ．12-=x yB ．12-=ax yC ．222)1(2x x y --=D ．)2)(1(π+-=x x y【答案】D ．【解析】试题分析：A ．12-=x y 是一次函数，故本选项错误；B ．当0a =时，12-=ax y 不是二次函数，故本选项错误；C ．222)1(2x x y --==42x -+是一次函数，故本选项错误；D )2)(1(π+-=x x y 是二次函数，故本选项正确．故选D ．考点：二次函数的定义．3．若函数222(1)(1)y x a x =--+-为二次函数，则a 的取值范围为（ ）A ．0a ≠B ．1a ≠C ．2a ≠D ．3a ≠【答案】D ．【解析】试题分析：由原函数解析式得到：222(1)(1)y x a x =--+-=2(3)42a x x -+-．∵函数 222(1)(1)y x a x =--+-为二次函数，∴30a -≠，解得3a ≠．故选D ．考点：二次函数的定义．二、填空题（每题3分）4.在边长为16cm 的正方形铁皮上剪去一个圆，则剩下的铁皮的面积S （cm 2）与圆的半径r （cm ）之间的函数表达式为 （不要求写自变量的取值范围）．【答案】2256r S π-=【解析】试题分析：剩下的面积为：正方形的面积-圆的面积=162-πr 2=256-πr 2故答案为：2256r S π-=考点：函数的表达式.5.．用长为8米的铝合金制成如图所示的窗框，若设窗框的宽为x 米，窗户的透光面积为S 平方米， 则S 关于x 的函数关系式 ．【答案】S=x x 4232+-【解析】试题分析：设窗框的宽为x 米，则长为238x -米 ∴S=x x x x 4232382+-=⨯- 考点：实际问题抽象二次函数三、计算题（每题10分）6.已知，若函数2(1)3m y m x =-+是关于x 的一次函数．（1）求m 的值，并写出解析式；（2）若函数是关于x 的二次函数，求m 的值，．【答案】（1）1m =-；（2）m =．【解析】试题分析：（1）先根据一次函数的定义求出m 的值；（2）由22m =可得出m =试题解析：（1）∵函数2(1)3m y m x =-+是一次函数，∴21m =，解得1m =或1m =-，又∵10m -≠，∴1m ≠，∴1m =-，∴函数为：23y x =-+；m=可得出m=（2）由22考点：1．一次函数的定义；2．二次函数的定义．。

2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--二次函数的三种形式

2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--二次函数的三种形式

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--二次函数的三种形式一、综合题1．已知二次函数y=x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）（1）当k= 12时，将这个二次函数的解析式写成顶点式；（2）求证：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根．2．求二次函数的顶点坐标和对称轴．（1）用配方法：y=3x2﹣6x+2；（2）用公式法：y=﹣5x2+80x﹣319．3．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C.（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标.4．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．5．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？6．利用配方法，把下列函数写成y=a（x﹣h）2+k的形式，并写出它们图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）y=﹣x2+6x+1（2）y=2x2﹣3x+4（3）y=﹣x2+nx（4）y=x2+px+q．7．对于二次函数y= 12x2﹣3x+4，（1）配方成y=a（x﹣h）2+k的形式．（2）求出它的图象的顶点坐标和对称轴．（3）求出函数的最大或最小值．8．已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图像；（3）利用图象求当x为何值时，函数值y＜0（4）当x为何值时，y随x的增大而减小？（5）当﹣3＜x＜3时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围．9．如图，△M的圆心M（﹣1，2），△M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣12x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是△M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF△y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．11．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F 四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN△BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM△△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN△BC，交AC于点N，连结CM，当△CMN 的面积最大时，求点M的坐标；（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l△x轴于H，交抛物线于点M，过点C作CF△l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时（与点M重合）①求点F的坐标；②求线段OD的长；③试探究在直线l上，是否存在点G，使△EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在点D的运动过程中，连接CM，若△COD△△CFM，请直接写出线段OD的长．14．如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得SΔMAP=2SΔACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．15．已知抛物线G: y=x2−2tx+3( t为常数)的顶点为P.（1）求点P的坐标；(用含t的式子表示)（2）在同一平面直角坐标系中，存在函数图象H，点A(m,n1)在图象H上，点B(m,n2)在抛物线G上，对于任意的实数m，都有点A，B关于点(m,m)对称.①当t=1 时，求图象H对应函数的解析式；②当1≤m≤t+1时，都有n1>n2成立，结合图象，求t的取值范围.16．抛物线y= 13x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线m交抛物线于P、Q两点，其中点P位于第二象限，点Q在y轴的右侧．（1）求D点坐标；（2）若△PBA= 12△OBC，求点P的坐标；（3）设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）解：把k= 12代入y=x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）得y=x2﹣2x+ 34，因为y=（x﹣1）2﹣1 4所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣1 4）（2）证明：△=（2k+1）2﹣4（k2+k）=1＞0，所以关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根2．【答案】（1）解：y=3x2﹣6x+2=3（x﹣1）2﹣1，顶点坐标为（1，﹣1），对称轴为x=1（2）解：∵a=﹣5，b=80，c=﹣319，∴﹣b2a=﹣802×(−5)=8，4ac−b2 4a = 4×(−5)×(−319)−8024×(−5)=1，∴顶点坐标为（8，1），对称轴为x=83．【答案】（1）解：用交点式函数表达式得：y=(x−1)(x−3)=x2−4x+3；故二次函数表达式为：y=x2−4x+3（2）解：①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB=PF=2，则点P坐标为(4，3)，当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P(4，3)或(0，3)；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为(2，0)设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：m+2 2，即：m+22=2，解得：m=2，故点P(2，−1)；综上：点P(4，3)或(0，3)或(2，−1)；（3）解：利用待定系数法求得直线BC的表达式为：y=−x+3，设点E坐标为(x，x2−4x+3)，则点D(x，−x+3)，S四边形AEBD =12AB(yD−yE)=−x+3−x2+4x−3=−x2+3x，∵−1<0，故四边形AEBD面积有最大值，当x=32，其最大值为94，此时点E(32，−34).4．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2），将B（0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a，即a= 1 2，则抛物线解析式为y= 12（x+4）（x﹣2）=12x2+x﹣4；（2）解：过M作MN△x轴，将x=m代入抛物线得：y= 12m2+m﹣4，即M（m，12m2+m﹣4），∴MN=| 12m2+m﹣4|=﹣12m2﹣m+4，ON=﹣m，∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA=OB=4，∴△AMB的面积为S=S△AMN+S梯形MNOB﹣S△AOB= 12×（4+m）×（﹣12m2﹣m+4）+ 12×（﹣m）×（﹣12m2﹣m+4+4）﹣12×4×4 =2（﹣12m2﹣m+4）﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，当m=﹣2时，S取得最大值，最大值为4．5．【答案】（1）解：由图象可知其顶点坐标为（2，﹣2），故可设其函数关系式为：S=a（t﹣2）2﹣2．∵所求函数关系式的图象过（0，0），于是得：a（0﹣2）2﹣2=0，解得a= 1 2．∴所求函数关系式为：S= 12（t﹣2）2﹣2，即S= 12t2﹣2t．答：累积利润S与时间t之间的函数关系式为：S= 12t2﹣2t（2）解：把S=30代入S= 12（t﹣2）2﹣2，得12（t﹣2）2﹣2=30．解得t1=10，t2=﹣6（舍去）．答：截止到10月末公司累积利润可达30万元（3）解：把t=7代入关系式，得S= 12×72﹣2×7=10.5，把t=8代入关系式，得S= 12×82﹣2×8=16，16﹣10.5=5.5，答：第8个月公司所获利是5.5万元．6．【答案】（1）解：y=﹣x2+6x+1=﹣（x2﹣6x）+1=﹣（x﹣3）2+10，对称轴x=3，顶点坐标为：（3，10），开口向下（2）解：y=2x2﹣3x+4=2（x2﹣32x）+4=2（x﹣34）2+ 238，对称轴x= 34，顶点坐标为：（34，238），开口向上（3）解：y=﹣x2+nx=﹣（x﹣n2）2+n24，对称轴x= n2，顶点坐标为：（n2，n24），开口向下（4）解：y=x2+px+q=（x+ p2）2+4q−p24，对称轴x=﹣p2，顶点坐标为：（p2，4q−p24），开口向上7．【答案】（1）解：y= 12x2﹣3x+4 = 12（x2﹣6x）+4= 12[（x﹣3）2﹣9]+4= 12（x﹣3）2﹣12（2）解：由（1）得：图象的顶点坐标为：（3，﹣1 2），对称轴为：直线x=3（3）解：∵a= 12＞0，∴函数的最小值为：﹣1 28．【答案】（1）解：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即y=（x﹣1）2﹣4（2）解：由（1）可知，y=（x﹣1）2﹣4，则顶点坐标为（1，﹣4），令x=0，则y=﹣3，∴与y轴交点为（0，﹣3），令y=0，则0=x2﹣2x﹣3，解得x1=﹣1，x2=3，∴与x轴交点为（﹣1，0），（3，0）．列表：描点、连线：（3）解：由图象知，当﹣1＜x＜3时，函数值y＜0（4）解：由图象知，当x＜1时，y随x的增大而减小（5）解：当x=﹣3时，y=9+6﹣3=12，则﹣3＜x＜3时，0＜y＜129．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣2 9．∴抛物线的解析式为y=﹣29x2﹣49x+169（2）解：连接AM，过点M作MG△AD，垂足为G．把x=0代入y=﹣12x+4得：y=4，∴A（0，4）．将y=0代入得：0=﹣12x+4，解得x=8，∴B（8，0）．∴OA=4，OB=8．∵M（﹣1，2），A（0，4），∴MG=1，AG=2．∴tan△MAG=tan△ABO= 1 2．∴△MAG=△ABO．∵△OAB+△ABO=90°，∴△MAG+△OAB=90°，即△MAB=90°．∴l是△M的切线（3）解：∵△PFE+△FPE=90°，△FBD+△PFE=90°，∴△FPE=△FBD．∴tan△FPE= 1 2．∴PF：PE：EF= √5：2：1．∴△PEF的面积= 12PE•EF=12×2√55PF• √55PF= 15PF2．∴当PF最小时，△PEF的面积最小．设点P的坐标为（x，﹣29x2﹣49x+169），则F（x，﹣12x+4）．∴PF=（﹣12x+4）﹣（﹣29x2﹣49x+169）=﹣12x+4+29x2+ 49x﹣169=29x2﹣118x+209=29（x﹣18）2+ 7132．∴当x= 18时，PF有最小值，PF的最小值为7132．∴P（18，5532）．∴△PEF的面积的最小值为= 15×（7132）2= 5041512010．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，∴﹣1+3=﹣b，﹣1×3=c，∴b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3（2）解：∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）（3）解：设P 的纵坐标为|y P |，∵S △PAB =8，∴12AB•|y P |=8，∵AB=3+1=4，∴|y P |=4， ∴y P =±4，把y P =4代入解析式得，4=x 2﹣2x ﹣3，解得，x=1±2 √2 ，把y P =﹣4代入解析式得，﹣4=x 2﹣2x ﹣3，解得，x=1，∴点P 在该抛物线上滑动到（1+2 √2 ，4）或（1﹣2 √2 ，4）或（1，﹣4）时，满足S △PAB =8 11．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为：y=a （x ﹣1）2+4，∵点B 的坐标为（3，0）．∴4a+4=0，∴a=﹣1，∴此抛物线的解析式为：y=﹣（x ﹣1）2+4=﹣x 2+2x+3（2）解：存在．抛物线的对称轴方程为：x=1，∵点E 的横坐标为2，∴y=﹣4+4+3=3，∴点E （2，3），∴设直线AE 的解析式为：y=kx+b ，∴{−k +b =02k +b =3， ∴{k =1b =1， ∴直线AE 的解析式为：y=x+1，∴点F （0，1），∵D （0，3），∴D 与E 关于x=1对称，作F 关于x 轴的对称点F′（0，﹣1），连接EF′交x 轴于H ，交对称轴x=1于G ，四边形DFHG 的周长即为最小，设直线EF′的解析式为：y=mx+n ，∴{n =−12m +n =3， 解得： {m =2n =−1， ∴直线EF′的解析式为：y=2x ﹣1，∴当y=0时，2x ﹣1=0，得x= 12， 即H （ 12，0）， 当x=1时，y=1，∴G （1，1）；∴DF=2，FH=F′H= √(12)2+12 = √52 ，DG= √22+12 = √5 ， ∴使D 、G ，H 、F 四点所围成的四边形周长最小值为：DF+FH+GH+DG=2+ √52 + √52+ √5 =2+2 √5（3）解：存在．∵BD= √32+32 =3 √2 ，设M （c ，0），∵MN△BD ，∴MN BD =AN AB， 即 3√2= 1+c 4 ， ∴MN= 3√24（1+c ），DM= √32+c 2 ， 要使△DNM△△BMD ，需 DM BD =MN DM，即DM 2=BD•MN ， 可得：9+c 2=3 √2 × 3√24 （1+c ）， 解得：c= 32或c=3（舍去）． 当x= 32 时，y=﹣（ 32 ﹣1）2+4= 154．∴存在，点T的坐标为（32，154）12．【答案】（1）解：∵x2﹣4x﹣12=0，∴x1=﹣2，x2=6．∴A（﹣2，0），B（6，0），又∵抛物线过点A、B、C，故设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣6），将点C的坐标代入，求得a= 1 3，∴抛物线的解析式为y= 13x2﹣43x﹣4.（2）解：设点M的坐标为（m，0），过点N作NH△x轴于点H（如图（1））．∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0），∴AB=8，AM=m+2，∵MN△BC，∴△MNA△△BCA．∴NHCO=AMAB，∴NH4=m+28，∴NH= m+2 2，∴S△CMN=S△ACM﹣S△AMN= 12•AM•CO﹣12AM•NH，= 12（m+2）（4﹣m+22）=﹣14m2+m+3，=﹣14（m﹣2）2+4．∴当m=2时，S△CMN有最大值4．此时，点M的坐标为（2，0）.（3）解：∵点D（4，k）在抛物线y= 13x2﹣43x﹣4上，∴当x=4时，k=﹣4，∴点D的坐标是（4，﹣4）．①如图（2），当AF为平行四边形的边时，AF平行且等于DE，∵D（4，﹣4），∴DE=4．∴F1（﹣6，0），F2（2，0），②如图（3），当AF为平行四边形的对角线时，设F（n，0），∵点A的坐标为（﹣2，0），则平行四边形的对称中心的横坐标为：n+(−2)2，∴平行四边形的对称中心坐标为（n−22，0），∵D（4，﹣4），∴E'的横坐标为：n−22﹣4+n−22=n﹣6，E'的纵坐标为：4，∴E'的坐标为（n﹣6，4）．把E'（n﹣6，4）代入y= 13x2﹣43x﹣4，得n2﹣16n+36=0．解得n=8±2 √7．F3（8﹣2 √7，0），F4（8+2 √7，0），综上所述F1（﹣6，0），F2（2，0），F3（8﹣2 √7，0），F4（8+2 √7，0）．13．【答案】（1）解：把x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴C（0，3）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣5），将点C的坐标代入得：﹣5a=3，解得：a=﹣3 5．∴抛物线的解析式为y=﹣35x2+125x+3（2）解：①∵CF△l，OB△l，∴CF△x轴．∴点F的纵坐标为3．将y=3代入抛物线的解析式得：﹣35x2+ 125x+3=3，解得x=0或x=4．∴点F的坐标为（4，3）．②∵点F的坐标为（4，3），∴点H的坐标为（4，0）．∵△CDE=90°，∴△CDO+△EDH=90°．∵△OCD+△CDO=90°，∴△OCD=△EDH．由旋转的性质可知：CD=DE．在Rt△OCD和Rt△HDE中，{∠OCD=∠EDH∠COD=∠DHECD=DE，∴Rt△OCD△Rt△HDE．∴CO=DH=3．又∵OH=4，∴OD=1．③如图1所示：将CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CN，则N（3，4）且四边形CDEN为正方形．∵四边形CDEN为正方形，∴△GDE=45°．设DN的解析式为y=kx+b，将点D和点N的坐标代入得：{k+b=03k+b=4，解得：k=2，b=﹣2．∴DN的解析式为y=2x﹣2．把x=4代入得：y=6，∴G（4，6）．设直线DG′的解析式为y=﹣12x+c，将点D的坐标代入得：﹣12+c=0，解得：c=12．∴直线DG′的解析式为y=﹣12x+12．将x=4代入得：y=﹣3 2．∴点G′的坐标为（4，﹣3 2）．综上所述，点G的坐标为（4，6）或（4，﹣3 2）（3）解：如图2所示：设点D的坐标为（a，0），则点M的坐标（a+3，﹣35a2﹣65a+245）．∴FM=﹣35a2﹣65a+95．∵△COD△△CFM，∴OCDO=CFFM，即3a=3+a−35a2−65a+95，整理得：14a2+33a﹣27=0，解得a= 914或a=﹣3（舍去）．∴OD= 9 14．如图3所示：设点D的坐标为（a，0），则点M的坐标（a+3，﹣35a2﹣65a+245）．∴FM= 35a2+ 65a﹣95．∵△COD△△CFM，∴OCDO=CFFM，3a=a+335a2+65a−95，整理得：4a2+3a﹣27=9，解得：a=﹣3（舍去）或a=94．∴OD= 9 4．综上所述，OD 的长为 914 或 9414．【答案】（1）解：设此抛物线的解析式为： y =ax 2+bx +c ，由题意得： {a +b +c =09a +3b +c =0c =3 ∴{a =−1b =−2c =3∴所求解析式为y =−x 2−2x +3（2）解：∵点A （1，0），点C （0，3），∴OA=1，OC=3，∵DC△AC ，OC△x 轴，∴△QOC△△COA ，∴OQ OC =OC OA ，即 OQ 3=31， ∴OQ=9，又∵点Q 在x 轴的负半轴上，∴Q （﹣9，0），设直线DC 的解析式为：y=mx+n ，则 {−9m +n =0n =3， 解之得： {m =13n =3， ∴直线DC 的解析式为： y =13x +3 ， ∵点D 是抛物线与直线DC 的交点，∴{y =13x +3y =−x 2−2x +3， 解之得： {x 1=−73y 1=209， {x 2=0y 2=3 （不合题意，应舍去）， ∴点D (−73，209) ， （3）解：如图，点M 为直线x=﹣1上一点，连接AM ，PC ，PA ，设点M （﹣1，y ），直线x=﹣1与x 轴交于点E ，∴AE=2，∵抛物线y=﹣x 2﹣2x+3的顶点为P ，对称轴为x=﹣1，∴P （﹣1，4），∴PE=4，则PM=|4﹣y|，∵S 四边形AEPC =S 四边形OEPC +S △AOC ，= 12×1×（3+4）+12×1×3 = 12（3+7） =5，又∵S 四边形AEPC =S △AEP +S △ACP ，S △AEP 12AE ×PE =12×2×4=4，∴+S △ACP =5﹣4=1，∵S △MAP =2S △ACP ，∴12×2×|4−y|=2×1 ，∴|4﹣y|=2，∴y 1=2，y 2=6，故抛物线的对称轴上存在点M 使S△MAP=2S△ACP，点M（﹣1，2）或（﹣1，6）15．【答案】（1）y=x2−2tx+3=x2−2tx+t2−t2+3=(x−t)2−t2+3∴顶点P的坐标为(t,−t2+3)；（2）解：①当t=1时，得G的解析式为：y=x2−2x+3，点B(m,n2)在G上，∴n2=m2−2m+3∵点A(m,n1)与点B关于点(m,m)对称，则点A，B到点(m,m)的距离相等，此三点横坐标相同，有n2−m=m−n1.∴(m2−2m+3)−m=m−n1整理，得n1=−m2+4m−3，由于m为任意实数，令m为自变量x，n1为y.即可得H的解析式为：y=−x2+4x−3；①关于抛物线G的性质：点B(m,n2)在G上，∴n2=m2−2tm+3由G：y=x2−2tx+3，知抛物线G开口向上，对称轴为x=t，顶点P(t,−t2+3)，且图象恒过点(0,3).∴当t≤x≤t+1时，图象G的y随着x的增大而增大.当x=t+1时，y取最大值−t2+4；当x=t时，y取最小值−t2+3；最大值比最小值大1.关于图象H的性质：∵点A(m,n1)与点B关于点(m,m)对称，有n2−m=m−n1，(m2−2tm+3)−m=m−n1，整理，得n1=−m2+2tm+2m−3所以，图象H的解析式为：y H=−x2+2tx+2x−3.=−[x−(t+1)]2+(t2+2t−2)配方，得yH∴图象H为一抛物线，开口向下，对称轴为x=t+1，顶点P(t+1,t2+2t−2)，且图象恒过点(0,−3).∴当t≤x≤t+1时，图象H的y随着x的增大而增大.当x=t+1时，y取最大值t2+2t−2；当x=t时，y取最小值y=t2+2t−3，即过Q(t,t2+2t−3)；最大值比最小值大1.情况1：当P，Q两点重合，即两个函数恰好都经过(t,t)，(t+1,t+1)时，把(t,t)代入y=x2−2tx+3得t=t2−2t⋅t+3，解得，t=−1+√132或t=−1−√132.分别对应图3，图4两种情形，由图可知，当m=t，或m=t+1时，A与B重合，即有n1=n2，不合题意，舍去；情况2：当点P在点Q下方，即t>−1+√132时，大致图象如图1，当t<−1−√132时，大致图象如图2，都有点A在点B的上方，即n1>n2成立，符合题意；情况3：当点P在点Q上方，即−1−√132<t<−1+√132时，大致图象如图5，图6，当t≤m≤t+1时，存在A在B的下方，即存在n1<n2，不符合题意，舍去；综上所述，所求t的取值范围为：t>−1+√132或t<−1−√132.16．【答案】（1）解：∵y= 13x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点，∴y= 13（x+4）（x﹣2）=13（x2+2x﹣8）= 13（x+1）2﹣3．∴D（﹣1，﹣3）．（2）解：在x轴上点E（﹣2，0），连接CE，并延长CE交PB于点F，过点F作FG△x轴，垂足为G．∵点E与点B关于y轴对称，∴△OBC=△OEC．∴△OBC=△GEF．∵△PBA= 12△OBC，∴△PBA=△EFB．∴EF=EB=4．∵OE=2，OC= 8 3，∴EC= 10 3．∵GF△OC，∴△FGE△△COE．∴FGOC=EGOE=EFEC，即FG83= EG2=4103，解得：FG= 165，EG=125，∴F（﹣225，165）．设BP的解析式为y=kx+b，将点F和点B的坐标代入得：{2k+b=0−225k+b=165，解得：k=﹣12，b=1，∴直线BP的解析式为y=﹣12x+1．将y=﹣12x+1与y=13x2+ 23x﹣83联立，解得：x=﹣112，x=2（舍去），∴y= 15 4．∴P（﹣112，154）；（3）解：设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，∴﹣k+b=0，∴b=k，∴y=kx+k．由{y=kx+ky=13x2+23x−83得：13x2+（23﹣k）﹣83﹣k=0∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M（32k﹣1，32k2）．假设存在这样的N点如图2，直线DN△PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3由{y=kx+k−3y=13x2+23x−83，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）．∵四边形DMPN是菱形，∴DN=DM，∴（3k）2+（3k2）2=（3k2）2+ 32k2+3）2，整理得：3k4﹣k2﹣4=0，∵k2+1＞0，∴3k2﹣4=0，解得k=± 2√33，∵k＜0，∴k=﹣2√33，∴P（﹣3 √3﹣1，6），M（﹣√3﹣1，2），N（﹣2 √3﹣1，1）．∴PM=DN=2 √7，∵PM△DN，∴四边形DMPN是平行四边形，∵DM=DN，∴四边形DMPN为菱形，∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2 √3﹣1，1）．。

二次函数练习题及答案解析

二次函数练习题及答案解析

二次函数练习题及答案解析二次函数练习题及答案解析（初三数学）学好数学要多做练习、上课认真听讲、不会的题要问老师、做作业要当做考试来看待、不要在心理上抵触数学、平时多抽出一些时间来练习数学，下面是我为大家整理的二次函数练习题及答案解析，希望对您有所帮助!二次函数练习题及答案解析一、选择题：1 下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )2 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A (1，-4) B(-1，2) C (1，2) D(0，3)23 抛物线y=2(x-3)的顶点在( )A 第一象限B 第二象限C x轴上D y轴上4 抛物线的对称轴是( )A x=-2 Bx=2 C x=-4 D x=45 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( )A ab0，c0B ab0，c0C ab0，c0D ab0，c06 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( )A 一B 二C 三D 四7 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交 x 轴于点A(m，0) 和点B ，且m4，那么AB 的长是( )A 4+mB mC 2m-8D 8-2m8 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( )9 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1(x1，y 1) ，P 2(x2，y 2) 是抛物线上的点，P 3(x3，y 3) 是直线上的点，且-1A y110 把抛物线物线的函数关系式是( ) AC 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛 B D二、填空题：11 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________12 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________13 若抛物线y=x2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_________14 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0) ，B(3，0) 两点，则这条抛物线的解析式为_____________15 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，且△ABC 是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________16 在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度v 0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g 是常数，通常取10m/s2) 若v 0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m17 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3) 的抛物线的解析式为______________18 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y 1的值是_________三、解答题：19 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4) 和B(4，0) ，(1)求此二次函数图象上点A 关于对称轴对称的点A ′的坐标; (2)求此二次函数的解析式;20 在直角坐标平面内，点O 为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x 轴于点A(x1，0) 、B(x2，0) ，且(x1+1)(x2+1)=-8 (1)求二次函数解析式;(2)将上述二次函数图象沿x 轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y 轴的交点为C ，顶点为P ，求△POC 的面积21 已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为(-1，0) ，点C(0，5) ，另抛物线经过点(1，8) ，M 为它的顶点(1)求抛物线的解析式; (2)求△MCB 的面积S △MCB22 某商店销售一种商品，每件的进价为250元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是1350元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件请你分析，销售单价多少时，可以获利最大答案与解析：一、选择题1 考点：二次函数概念选A2 考点：求二次函数的顶点坐标解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k) ，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2) ，答案选C3 考点：二次函数的图象特点，顶点坐标解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0) ，所以顶点在x 轴上，答案选C4 考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B5 考点：二次函数的`图象特征解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交点坐标为(0，c) 点，由图知，该点在x 轴上方，答案选C 6 考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交点坐标为(0，c) 点，由图知，该点在x 轴上方，在第四象限，答案选D7 考点：二次函数的图象特征解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象的顶点P 的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x 轴于点D ，所以A 、B 两点关于对称轴对称，因为点A(m，0) ，且m4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C8 考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax2+bx 的图象开口方向向下，对称轴在y 轴左侧，交坐标轴于(0，0) 点答案选C9 考点：一次函数、二次函数概念图象及性质解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1-1时，由图象知，y 随x 的增大而减小，所以y 210 考点：二次函数图象的变化抛物线平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到的图象向左答案选C二、填空题11 考点：二次函数性质解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程答案x=112 考点：利用配方法变形二次函数解析式解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2答案y=(x-1)2+213 考点：二次函数与一元二次方程关系解析：二次函数y=x2-2x-3与x 轴交点A 、B 的横坐标为一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，求得x 1=-1，x 2=3，则AB=|x2-x 1|=4答案为414 考点：求二次函数解析式解析：因为抛物线经过A(-1，0) ，B(3，0) 两点，解得b=-2，c=-3，答案为y=x2-2x-315 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一解析：需满足抛物线与x 轴交于两点，与y 轴有交点，及△ABC 是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-116 考点：二次函数的性质，求最大值解析：直接代入公式，答案：717 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一解析：如：y=x2-4x+318 考点：二次函数的概念性质，求值三、解答题19 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式解析：(1)A′(3，-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3)20 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式解析：(1)由已知x 1，x 2是x 2+(k-5)x-(k+4)=0的两根又∵(x1+1)(x2+1)=-8 ∴x 1x 2+(x1+x2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5 ∴y=x2-9为所求 (2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5 ∴C(0，-5) ，P(2，-9)21 解： (1)依题意：(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x 1=5，x 2=-1 ∴B(5，0)由，得M(2，9)作ME ⊥y 轴于点E ，则可得S △MCB =1522 思路点拨：通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式：总利润=单个商品的利润×销售量要想获得最大利润，并不是单独提高单个商品的利润或仅大幅提高销售量就可以的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最大因为已知中给出了商品降价与商品销售量之间的关系，所以，我们完全可以找出总利润与商品的价格之间的关系，利用这个等式寻找出所求的问题，这里我们不妨设每件商品降价x 元，商品的售价就是(135-x)元了单个的商品的利润是(135-x-25)这时商品的销售量是(500+200x)总利润可设为y 元利用上面的等量关式，可得到y 与x 的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最大利润解：设销售单价为降价x 元顶点坐标为(425，91125)即当每件商品降价425元，即售价为135-425=925时，可取得最大利润91125元九年级数学二次函数练习题一、填空题：(每空2分，共40分)1、一般地，如果，那么y叫做x的二次函数，它的图象是一条。

中考数学考点专项复习——二次函数

中考数学考点专项复习——二次函数

中考数学考点专项复习——二次函数一、选择题：1．下列y 关于x 的函数中，属于二次函数的是（ ） A ．y ＝x ﹣1B ．y ＝1xC ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2D ．y ＝﹣2x 2＋12. 把抛物线y=2x 2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线的解析式为（ ）A ．y=2（x+2）2+1B ．y=2（x+2）2﹣1C ．y=2（x ﹣2）2﹣1D ．y=2（x ﹣2）2+13．已知二次函数与轴两个交点坐标分别为，，若，则的值是（ ）A ．2B ．-1C ．1D ．-1或24．若函数2221()mm y m m x --=+是二次函数，则m 的值是（ ）A ．2B ．-1或3C ．-1D ．35．下列函数中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的是（ ）A ．y=x+1B ．y=x 2﹣1C ．D ．y=﹣（x ﹣1）2+16．用配方法将2611y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式为（ ）.A ．()232y x =++B ．()232y x =--C ．()262y x =--D ．()232y x =-+ 7.一枚炮弹射出x 秒后的高度为y 米，且y 与x 之间的关系为y=ax 2+bx+c （a ≠0），若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A ．第3.3sB ．第4.3sC ．第5.2sD ．第4.6s8．已知：抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为（m ，0），则代数式22019m m -+的值是（ ）．A ．2017B ．2018C ．2019D ．20209．已知二次函数y=（x ﹣h ）2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数y 的最小值为5，则h 的值是（ ） A ．﹣1B ．﹣1或5C ．5D ．﹣510．把二次函数2134y x x --=+用配方法化成()2y a x h k =-+的形式时，应为（ ） A ．()21224y x =--+ B ．()21244y x =--+ C ．()21244y x =-++D ．211322y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭11．在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为x cm 的圆面，剩下一个圆环的面积为y cm 2，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．216y x ππ=-+B ．24y x π=-C ．2(2)y x π=-D ．2(4)y x =-+12．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式y ＝﹣0.2x 2+1.5x ﹣2，则最佳加工时间为（ ） A ．3minB ．3.75minC ．5minD ．7.5min13．如图，Rt △OAB 的顶点A (－2，4)在抛物线y ＝ax 2上，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD ，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为( )A ．(2，2)B ．(2，2)C ．(2，2)D ．(2，2) 14．如图，已知二次函数212433y x x =-的图象与正比例函数223y x =的图象交于点A （3，2），与x 轴交于点B （2，0），若120y y <<，则x 的取值范围是（ ）A ．0＜x ＜2B ．0＜x ＜3C ．2＜x ＜3D ．x ＜0或x ＞315．如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（ ）A ．（0.0）B ．（0，）C ．（0，2）D ．（0，）二、填空题16．二次函数22my mx -=有最低点，则m=__________17．已知抛物线y ＝x 2，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点A （2，2），那么平移后的抛物线的表达式是 ．18.已知抛物线c x ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为1-，则c a +=_________.19．当﹣1≤x ≤3时，二次函数y ＝x 2﹣4x +5有最大值m ，则m ＝_____．20．已知点A （4，y 1），B （，y 2），C （﹣2，y 3）都在二次函数y ＝（x ﹣2）2+k 的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是 ．（请用“＞”连接）21.将二次函数322+-=x x y 配方成k h x y +-=2)(的形式，则y =_________________.22．已知反比例函数y ＝的图象经过点P （2，2），函数y ＝ax +b 的图象与直线y ＝﹣x 平行，并且经过反比例函数图象上一点Q （1，m ）．则函数y ＝ax 2+bx +有最 值，这个值是 ．23．一个小球被抛出后，如果距离地面高度（米）和运行时间（秒）的函数解析式为，那么小球达到最高点时距离地面高度是______米．24．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降2m ，水面宽度增加______m.25．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y ＝ax 2；②y ＝bx 2；③y ＝cx 2；④y ＝dx 2．则a 、b 、c 、d 的大小关系为_____．26．人民币一年定期的年利率为x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是a 元，则两年后的本息和y （元）的表达式为________（不考虑利息税）． 27．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式2ax mx c n ++>的解集是_____．28．如图，己知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝kx +m 交于A （﹣3，﹣1），B （0，3）两点．则关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞kx +m 的解集是．29．点A （﹣1，﹣2）在抛物线y ＝﹣12（x ﹣1）2上，点A 、B 关于该抛物线的对称轴对称，则B 点坐标为_____．30. 如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上,顶点C 的坐标为(4,3),D 是抛物线y=-x 2+6x 上一点,且在x 轴上方,则△BCD 面积的最大值为________.三、解答题31．已知抛物线2()y a x m =+的对称轴是直线x =2，该抛物线与y 轴的交点坐标是(0，8)，求这个二次函数的解析式．32．已知二次函数（k 为常数）．（1）当该函数的图像与y 轴的交点在x 轴上方时，求k 的取值范围． （2）求证：无论k 为何值，该函数的图像与x 轴总有公共点；33.如图，一个二次函数的图象经过点A 、C 、B 三点，点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（3，0），点C 在y 轴的正半轴上，且AB=OC （1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．34．已知二次函数y＝﹣3x2﹣6x+5．（1）求这个函数图象的顶点坐标、对称轴以及函数的最大值；（2）若另一条抛物线y＝x2﹣x﹣k与上述抛物线只有一个公共点，求k的值．35.如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标为（4，﹣2），且经过点B（0，6）．（1）求该二次函数的解析式；（2）求出二次函数图象与x轴的交点A和C的坐标．36．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．37．在平面直角坐标系中，设二次函数()()1 1x a x y a =+--，其中0a ≠.（1）若函数1y 的图象经过点()1 2-，，求函数1y 的表达式； （2）若一次函数2y ax b =+的图象与1y 的图象经过x 轴上同一点，探究实数a b ，满足的关系式；（3）已知点()0 P x m ，和()1 Q n ，在函数1y 的图象上，若m n ＜，求0x 的取值范围.38.已知二次函数y ＝x 2﹣2x ．（1）请在表内的空格中填入适当的数；（2）请在所给的平面直角坐标系中画出y ＝x 2﹣2x 的图象；（3）当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而减小；（4）观察y ＝x 2﹣2x 的图象，当x 在什么范围内时，y ＞0．39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．40．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点．点的坐标是，连接，．（1）求过，，三点的抛物线的解析式，并判断的形状；（2）抛物线上是否存在着一点，使的面积为25？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在抛物线上，是否存在着一点，使为以为斜边的直角三角形？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由．41．某扶贫工作队为一贫困户提供了5万元的无息脱贫贷款．该贫困户利用这笔贷款，注册了一家网店，销售一种成本价为20元/件的农产品．已知销售价高于成本价，且不高于32元/件，网店每月需支付电费等其它费用1千元市场调查发现，该农产品每月销售量为y(百件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示（1）求该网店每月利润W(百元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：（2）该贫困户从网店开业起，最快在第几个月可用销售利润还清42. 如图所示，已知抛物线经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与直线y=x﹣4交于B、D两点．（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；（2）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BD下方，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，求点Q的坐标．。

二次函数多结论压轴小题精选30道(必考点分类集训)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上册

二次函数多结论压轴小题精选30道(必考点分类集训)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上册

二次函数多结论压轴小题精选30道1．（2024春•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（ ）①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④2a﹣b＞0；⑤a+c＜1．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据图上给的信息，结合二次函数的性质去判断对错即可．【解答】解：①如图所示，图象开口向上，∴a＞0，∵图象与y轴的交点在x轴下方∴c＜0，∵图象的对称轴在y轴的左边，且a＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①错误；②根据图象可知，抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故②正确；③由图可得，当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故③正确；④由图可得，―b2a＞―1，∵a＞0，∴2a＞b，∴2a﹣b＞0，故④正确；⑤当x＝1时，a+b+c＝2，∴a+c＝2﹣b，∵a﹣b+c＜0，∴2﹣b﹣b＜0，解得：b＞1，∴2﹣b＜1，∴a+c＜1，故⑤正确；综上所述，共有4个是正确的；故选：D．2．（2024•宝安区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论①abc＜0，②a+b+c＝2，③a＞12④0＜b＜1中正确的有（ ）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点的位置，可以得出a、b、c的符号，进而确定abc的符号，对①做出判断；把（1，2）代入可对②做出判断；而无法判断③④一定正确，综合得出答案．【解答】解：因为抛物线开口向上，可知a＞0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号．故b＞0，抛物线与y轴的交点在负半轴，因此c＜0，∴abc＜0，故①正确；把（1，2）代入得a+b+c＝2，故②正确；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，又∵a+b+c＝2，∴2b＞2，即：b＞1，因此④不正确，因为对称轴x=―b2a介在﹣1与0之间，因此―b2a＞―1，得2a＞b，而b＞1，∴a＞12，因此③正确．故选：B．3．（2024•凤凰县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论个数有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题．【解答】解：开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0，∴abc＜0，所以①正确，符合题意；当x＝﹣1时图象在x轴下方，则y＝a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②不正确，不符合题意；对称轴为直线x＝1，则x＝2时图象在x轴上方，则y＝4a+2b+c＞0，所以③正确，符合题意；x=―b2a=1，则a=―12b，而a﹣b+c＜0，则―12b―b+c＜0，2c＜3b，所以④正确，符合题意；开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c；当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，则a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤错误，不符合题意．故①③④正确，故选：B．4．（2024•汝阳县一模）图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①ab＞0；②4a﹣2b+c＜0；③2a﹣b＜0；④|a+c|＜|b|．其中正确的个数有（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再根据抛物线的对称性和增减性对四个结论依次进行判断即可．【解答】解：由所给函数图象可知，a＜0，b＜0，所以ab＞0．故①正确．抛物线上横坐标为﹣2的点在x轴下方，所以4a﹣2b+c＜0．故②正确．因为抛物线的对称轴在直线x＝﹣1和y轴之间，所以―b2a＞―1，则2a﹣b＜0．故③正确．当x＝1时，函数值小于零，则a+b+c＜0；当x＝﹣1时，函数值大于零，则a﹣b+c＞0；所以（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2﹣b2＜0，所以（a+c）2＜b2，所以|a+c|＜|b|．故④正确．故选：D．5．（2024•斗门区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的为（ ）A．①④B．②③④C．①②④D．①②③④【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①，由a与b的关系及x＝﹣1时y＜0可判断②，利用（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c），根据x＝﹣1时y＞0，x＝1时y＜0可判断③，由x＝1时y取最小值可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x=―b2a=1＞0∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0∴abc＞0，故①正确．∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，故②不正确．∵（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c），且a+b+c＜0，a﹣b+c＝0，∴（a+c）2﹣b2＝0，故③不正确．∵x＝1时，y＝a+b+c为最小值，∴a+b≤m（am+b），故④正确．故选：A．6．（2024•岚山区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（4，0），其对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＝0；④若关于x 的方程ax2+bx+c＝﹣1有两个实数根x1x2，且满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；⑤直线y＝kx﹣4k（k≠0）经过点（0，c），则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0的解集是0＜x＜4．其中正确结论的个数为（ ）A．5B．4C．3D．2【分析】根据抛物线与方程、不等式的关系及二次函数的性质求解．【解答】解：由图象得：a＜0，c＞0，b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，故①是正确的；∵抛物线与x轴有两个交点，∴0＝ax2+bx+c有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故②是错误的；根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点的横坐标分别为：﹣2，4，∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝8a+c＝0，故③是正确的；由图象得：抛物线与y＝﹣1的交点的横坐标分别位于﹣2的左边，4的右边，∴x1＜﹣2，x2＞4；故④是正确的；∵直线y＝kx﹣4k（k≠0）经过点（0，c）和（4，0），∴于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0即：ax2+bx+c＞kx﹣4k的解集是0＜x＜4，故⑤是正确的；故选：B．7．（2024•旺苍县三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的结论有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】①由二次函数图象性质知，开口向下，则a＜0．再结合对称轴―b2a＞0，得b＞0．据二次函数图象与y轴正半轴相交得c＞0；②由于二次函数图象与x轴交于不同两点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；③由―b2a=1，得b＝﹣2a，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以2a﹣2b+2c＜0，把b替换成a计算；④x＝1时函数有最大值，所以当x＝1时的y值大于当x＝m（m≠1）时的y值，即a+b+c＞m（am+b）+c，所以a+b＞m（am+b）（m≠1）成立；⑤将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可，由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4．【解答】解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右侧，a与b异号，∴b＞0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵二次函数图象与x轴交于不同两点，则Δ＝b2﹣4ac＞0．∴b2＞4ac．故②错误；∵―b2a=1，∴b＝﹣2a．又∵当x＝﹣1时，y＜0．即a﹣b+c＜0．∴2a﹣2b+2c＜0．∴﹣3b+2c＜0．∴2c＜3b．故③正确；∵x＝1时函数有最大值，∴当x＝1时的y值大于当x＝m（m≠1）时的y值，即a+b+c＞m（am+b）+c∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，故④正确．将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可，由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，故⑤错误．综上：③④正确，8．（2023秋•龙港区期中）函数y ＝ax 2+bx +c 与y ＝kx 的图象如图所示，下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②a +b +c ＝0；③x ＝﹣2时，函数y ＝﹣ax 2+（k ﹣b ）x ﹣c 有最大值；④关于x 的方程ax 2+（b ﹣k ）x +c ＝0的根是x 1＝﹣1，x 2＝﹣3，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据抛物线与x 轴交点个数与Δ＝b 2﹣4ac 的关系即可判断①；由x ＝1时，二次函数的函数值即可判断②；由抛物线与直线的两个交点的横坐标为﹣3，﹣1得到9a ―3b +c =―3k①a ―b +c =―k②，解得k ﹣b ＝﹣4a ，代入y ＝﹣ax 2+（k ﹣b ）x ﹣c 得到y ＝﹣ax 2+（k ﹣b ）x ﹣c ＝﹣ax 2﹣4ax ﹣c ＝﹣a （x +2）2+4a ﹣c ，根据二次函数的性质即可判断③；抛物线与直线的交点的坐标与函数解析式的关系即可判断④．【解答】解：∵抛物线与x ∴Δ＝b 2﹣4ac ＜0，故选项①错误；由图象可知，当x ＝1时，y ＝a +b +c ＞0，故选项②错误；∵抛物线与直线的两个交点的横坐标为﹣3，﹣1，∴9a ―3b +c =―3k①a ―b +c =―k②，②﹣①得﹣8a +2b ＝2k ，即k ﹣b ＝﹣4a ，∴y ＝﹣ax 2+（k ﹣b ）x ﹣c ＝﹣ax 2﹣4ax ﹣c ＝﹣a （x +2）2+4a ﹣c ，∵﹣a ＜0．∴x ＝﹣2时，函数y ＝﹣ax 2+（k ﹣b ）x ﹣c 有最大值，故选项③正确；∵抛物线与直线的两个交点的横坐标为﹣3，﹣1，∴方程ax 2+bx +c 与y ＝kx 的解为x 1＝﹣1，x 2＝﹣3，∴关于x 的方程ax 2+（b ﹣k ）x +c ＝0的根是x 1＝﹣1，x 2＝﹣3，故选项④正确．9．（2023•石城县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax21+bx1=ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）A．①④B．③④C．②⑤D．②③⑤【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．所以abc＜0．故①错误．②∵抛物线对称轴为直线x=b2a=1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正确；③∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为：y＝a+b+c；∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，故③错误；④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故④错误；⑤∵ax21+bx1=ax22+bx2，∴ax21+bx1―ax22―bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2=―b a ，∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，故⑤正确．综上所述，正确的有②⑤．故选：C．10．（2024•苍溪县模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中结论正确的个数为（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性，利用数形结合的思想对所给结论依次进行判断即可．【解答】解：由函数图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，所以abc＞0．故①正确．因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以―b2a=―1，即2a﹣b＝0．因为抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，且x ＝1时，函数值小于零，所以x ＝﹣3时，函数值小于零，则9a ﹣3b +c ＜0．故③正确．因为抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，且开口向下，所以当x ＝m 时，am 2+bm +c ≤a ﹣b +c ，即am 2﹣a +bm +b ≤0，所以a （m 2﹣1）+b （m +1）≤0．故④正确．由函数图象可知，当x ＝1时，函数值小于零，则a +b +c ＜0，又因为b ＝2a ，所以3a +c ＜0．故⑤正确．故选：D ．11．（2024•y ＝ax 2+bx +c 的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＜0；②abc ＞0；③a ﹣b +c ＞0；④2a ﹣3b ＝0；⑤c ﹣4b ＞0，你认为其中正确信息的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】观察图象易得a ＞0，―b 2a =13＞0，所以b ＜0，2a ﹣3b ＞0，因此abc ＞0，由此可以判定①②是正确的，而④是错误的；当x ＝﹣1，y ＝a ﹣b +c ，由点（﹣1，a ﹣b +c ）在第二象限可以判定a ﹣b +c ＞0③是正确的；当x ＝2时，y ＝4a +2b +c ＝2×（﹣3b ）+2b +c ＝c ﹣4b ，由点（2，c ﹣4b ）在第一象限可以判定c ﹣4b ＞0⑤【解答】解：∵抛物线开口方向向上，∴a＞0，∵与y轴交点在x轴的下方，∴c＜0，∵―b2a=13＞0，∵a＞0，∴b＜0，2a﹣3b＞0，∴abc＞0，∴①②是正确的，④对称轴x=―b2a=13，∴3b＝﹣2a，∴2a+3b＝0，∴④是错误的；当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，而点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，∴a﹣b+c＞0是正确的；当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，而点（2，c﹣4b）在第一象限，∴c﹣4b＞0．故选：C．12．（2024•沂源县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：x ＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c＞0；③2a+3b＞0；④a+b＞am2+bm（m≠1）；上述结论中正确结论的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向可判定a的符号；结合抛物线的对称轴b的符号可判断①；通过x＝﹣1和x＝3的对称性判断②；将不等式的两边加上c，进而判断出③；将b＝﹣2a，a﹣b+c＝0可推出④．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵对称轴为：x=―b2a=1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴交于y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①不正确；∵2×1﹣3＝﹣1，当x＝3时，y＞0，∴当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，∴a+c＞b，∵b＝﹣2a＞0，∴a+c＞0，故②正确；∵b＝﹣2a，∴2a+3b＝2a﹣6a＝﹣4a＞0，故③正确，∵当x＝1时，y＝a+b+c，a＜0，∴函数的最大值为：a+b+c，∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠0），∴a+b＞am2+bm，∴②③④正确，故选：C．13．（2024•桃江县一模）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣a）（如图所示），则下列说法：①abc ＜0；②（a+b）2≥c；③关于x的方程ax2+bx＝0有两个不相等的实数根；④﹣1≤a≤0．则正确的结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由二次函数图象的性质及二次函数图象与系数的关系逐一判定即可．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣a），∴―b2a=2，∴b＝﹣4a＞0，∵抛物线交y轴的负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①错误；∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣a），∴4a+2b+c＝﹣a，∵b＝﹣4a，∴4a﹣8a+c＝﹣a，即c＝3a，∴（a+b）2﹣c＝9a2﹣3a＝3a（3a﹣1），∴3a （3a ﹣1）＞0，∴（a +b ）2﹣c ＞0，∴（a +b ）2＞c ，故②错误；由图可知抛物线与直线y ＝c 有两个交点，∴关于x 的方程ax 2+bx +c ＝c ，即ax 2+bx ＝0有两个不相等的实数根，故③正确；∵a 为抛物线二次项系数，∴a ≠0，故④错误．故选：A ．14．（2023秋•中山市校级期末）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示．下列结论：①2a +b ＝0；②3a +c ＞0；③m 为任意实数，则a +b ＞am 2+bm ；④若A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2＝2，其中正确的有（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④【分析】根据对称轴为直线x ＝x ＝1时取得最大值，即可判断①③，根据x ＝3时，y ＜0，即可判断②，根据对称性即可判断④．【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x =―b 2a=1，∴b ＝﹣2a ，即2a +b ＝0，所以①正确；∵x ＝3时，y ＝9a +3b +c ＜0，即9a +3×（﹣2a ）+c ＜0，∴3a +c ＜0，故②不正确；抛物线对称轴为直线x ＝1，开口向下，∴函数的最大值为a +b +c ，∴a +b +c ≥am 2+bm +c （m 为任意实数），即a +b ≥am 2+bm ，故③不正确；∵A （x 1，0），B （x 2，0），对称轴为直线x ＝1，则x 1+x 2＝2，故④正确，15．（2023秋•西城区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a＜0；②9a+3b+c＞0；③c＞0；④﹣3＜―b2a＜0其中正确的有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据开口方向判断a的符号，当x＝3时，判断9a+3b+c＞0；根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号；根据抛物线对称轴的位置判断④．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，故①正确；由图可以看出，对称轴﹣3＜x=―b2a＜0，故④正确；设抛物线与x1，由题意得，对称轴x=x1―32＜0，解得x1＜3，∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故②错误；∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，故③正确．综上所述，①③④正确．故选：B．16．（2023•东港区校级三模）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c＝0；③2b+c+3＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0其中正确的有（ ）个．A．4B．3C．2D．1【分析】①根据开口方向判定a的符号，根据对称轴判断b的符号，根据抛物线与y轴的交点判断c的符号，根据抛物线与x轴的交点情况判断b2﹣4ac的符号；②当x＝1时，y＝1，判断b+c+1的符号，由b+c+1＝1，可得b+c＝0；③根据对称轴求b的值，由b+c＝0，代入可作判定；④由抛物线和直线所处的位置判断x2+bx+c＜x，得出x2+（b﹣1）x+c＜0．【解答】解：①∵函数y＝x2+bx+c与x轴没交点，∴Δ＝b2﹣4ac＜0，∵a＝1，∴Δ＝b2﹣4c＜0，故①错误；②∵函数y＝x2+bx+c与y＝x的交点的横坐标为1，∴交点为：（1，1），（3，3），∴b+c+1＝1，∴b+c＝0；故②正确；③由图象得：抛物线的对称轴是：x=32，且a＝1，∴―b2=32，∴b＝﹣3，∴2b+c+3＝b+0+3＝0，故③正确；④由图象可知：当1＜x＜3时，抛物线在直线的下方，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0，故选：B．17．（2023•双台子区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出四个结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③对于任意实数m，有am2+bm+c＜a﹣b+c；④ca＞―3，其中正确的有（ ）A．①②B．①④C．②③D．③④【分析】二次函数y＝ax2+bx+c的系数确定了抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点等．对于①，先根据二次函数图象的性质判断a，b，c的正负，进而得出答案；对于②，令x＝﹣2求出y值，判断即可；对于③，先求出当x＝﹣1时，求初最大值，再比较即可；对于④，根据对称轴求出a，b的关系，再将x＝1，y＝0代入关系式，即可判断．【解答】解：①∵对称轴位于x轴的左侧，∴―b2a＜0，∴即ab＞0．∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0．故①正确；②∵x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故②正确；③当x＝﹣1时，y最大＝a﹣b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，∴有am2+bm+c≤a﹣b+c，故③错误；④∵抛物线的对称轴为直线x=―b2a=―1，∵x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，∴c＝﹣3a，∴ca=―3aa=―3，故④错误；正确的结论有：①②，故选：A．18．（2023•遂溪县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对称轴是直线l，则以下说法：①a﹣b+c＝0；②4a+b＝0；③abc＞0；④16a+5b+2c＞0，其中正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】先由抛物线与x5，0），对称轴为x＝2，可以得到抛物线与x轴的另一交点为（﹣1，0）可以判断①；利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②；先由抛物线的开口方向判断出a＞0，进而判断出b＜0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③；先求出b＝﹣4a，c＝﹣5a，然后代入16a+5b+2c即可判断．【解答】解：有图象知，抛物线过点（5，0），对称轴为直线x＝2，∴抛物线过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴―b2a=2，∴4a+b＝0，故②正确；由图象知，抛物线开口向上，∴a＞0，∵4a+b＝0，∴b＜0，而抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∴abc＞0，故③正确；∵4a+b＝0，∴b＝﹣4a，∵a﹣b+c＝0，∴c＝﹣5a，∴16a+5b+2c＝16a﹣20a﹣10a＝﹣14a＜0，故④错误．故选：C．19．（2023秋•义乌市期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b2＞4ac；③a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1）；④关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，且这四个根的和为4A．①②③B．②③④C．①④D．②③【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴有两个交点可判断②，由当x＝1时函数取最大值可判断③，由函数最大值大于1且抛物线开口向下可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴―b2a=1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，①错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，②正确；∵x＝1时函数取最大值，∴am2+bm+c＜a+b+c（m≠1），∴am2﹣a+bm﹣b＜0，即a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1），③正确．∴由图象可得函数最大值大于2，∴ax2+bx+c＝1有两个不相等的实数根x1，x2，ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根x3，x4，∵图象对称轴为直线x＝1，∴x1+x2＝2，x3+x4＝2．∴x1+x2+x3+x4＝4，∴④正确．故选：B．20．（2023秋•铜梁区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜―b a ；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c的符号，再利用特殊值法分析得出各选项．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴2a＜0，∵对称轴x=―b2a＞1，b＞0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故选项①正确；对称轴x=―b2a＞1，又a＜0，则﹣b＜2a，则2a+b＞0，故②错误；∵﹣1＜m＜n＜1，则﹣2＜m+n＜2，∴抛物线对称轴为：x=―b2a＞1，―ba＞2，m+n＜―ba，故选项③正确；当x＝1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，则3a+2b+c＞0，∴3a+c＞﹣2b，∴﹣3a﹣c＜2b，∵a＜0，b＞0，c＜0（图象与y轴交于负半轴），∴3|a|+|c|＝﹣3a﹣c＜2b＝2|b|④选项正确．故选：C．21．（2023•仁怀市模拟）如图，根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到如下结论：①abc＞0 ②2a﹣b＝0 ③a+b+c＝0 ④3a+c＜0 ⑤当x＞﹣2时，y随x的增大而增大⑥一定存在实数x0，使得ax20+bx0＞a﹣b 成立．上述结论，正确的是（ ）A．①②⑤B．②③④C．②③⑥D．③④⑤【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论①；由对称轴为直线x＝﹣1即可得到，2a﹣b＝0，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③④；由抛物线的增减性可判断结论⑤；函数的最值即可判断结论⑥．【解答】解：∵抛物线开口向上、顶点在y轴左侧、抛物线与y轴交于负半轴，∴a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误；∵―b2a=―1，∴b＝2a，∴2a﹣b＝0，故②正确；∵抛物线过点（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线过点（1，0），∴a+b+c＝0，故③正确；∴b＝2a，a+b+c＝0，∴3a+c＝0，故④错误；∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；故⑤错误；∵函数最小值为a﹣b+c，∴当x0≠﹣1时，则ax20+bx0c a﹣b+c，即ax20+bx0＞a﹣b，∴一定存在实数x0，使得ax20+bx0＞a﹣b成立，故⑥正确；故选：C．22．（2023•广东模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＜0；②2a﹣b+c≤0；③3b﹣2c＜0；④对任意实数m，都有2am2+2bm﹣b≥0．其中正确的有（ ）A．①②B．②③C．②④D．③④【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴的交点位置可判断①；由x＝﹣1时y＞0及a＞0，可判断②；由x＝﹣1时y＞0及a与b的数量关系可判断③，由x＝1时函数取最小值可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴―b2a=1，∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，故①错误；∵x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∵a＞0，∴2a﹣b+c＞0，故②错误；∵b＝﹣2a，∴a=―b 2，由图象可得x＝﹣1时，y＝a﹣b+c=―32b+c＞0，∴3b﹣2c＜0，故③正确；由x＝1时函数取最小值可得am2+bm+c≥a+b+c，∴am2+bm≥a+b，∵a=―b 2，∴am2+bm≥b 2，∴2am2+2bm﹣b≥0，故④正确．故选：D．23．（2023•凤凰县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①abc＜0；②3a+b＞―13c；③2c＜3b；④（k+1）（ak+a+b）≤a+b，其中正确的是（ ）A．①③④B．①②④C．①④D．②③④【分析】根据二次函数图象与性质，先判断a＜0，b＝﹣2a，即b＞0，c＞0，即可判断①正确；根据图象得出x＝3时y＜0，即可得出9a+3b+c＜0，通过变形可判断②错误；根据9a+3b+c＜0结合b＝﹣2a 可以判断③正确；根据x＝1时，y＝a+b+c是函数的最大值，可以判断④正确．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴是直线x＝1，∴―b2a=1，即b＝﹣2a，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；由图象可知，抛物线与x轴左侧的交点在（﹣1，0）的右侧，∵抛物线的对称轴为x＝1，∴抛物线与x轴右侧的交点在（3，0）的左侧，∴当x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，∴3a+b＜―13 c，故②错误；∵9a+3b+c＜0，b＝﹣2a，∴―92b+3b+c＜0，∴2c＜3b，故③正确；当x＝1时，y＝a+b+c是函数的最大值，∴a（k+1）2+b（k+1）+c≤a+b+c，∴a（k+1）2+b（k+1）≤a+b，∴（k+1）（ak+a+b）≤a+b，故④正确；∴正确的有①③④，故选：A．24．（2024•黄石模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中﹣1＜x1＜0．下列四个结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③2b﹣c＜0；④不等式ax2+bx+c＞―c2x+c的解集为0＜x＜2．其中正确结论的序号为（ ）A．①②B．①③C．②③D．①④【分析】根据题意画出函数图象，得到a、b异号，c＞0，可判断①结论；根据当x＝﹣1时，y＜0，可判断②结论；根据抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点（2，0），得到a=―12b―14c，可判断③结论；令y1=―c2x+c，画出一次函数图象，利用图象可判断④结论．【解答】解：根据题意画出函数图象如下：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0x轴交于点（x1，0），（2，0），其中﹣1＜x1＜0，∴抛物线开口向下，对称轴在12～1之间，与y轴交点在正半轴，∴a、b异号，c＞0，∴abc＜0，①结论正确；由图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，②结论错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点（2，0），∴4a+2b+c＝0，∴a=―2b+c4=―12b―14c，∴a―b+c=―12b―14c―b+c=―32b+34c=―34(2b―c)＜0，∴2b﹣c＞0，③结论错误；令y1=―c2x+c，当x＝0时，y＝c；当y＝0，x＝2，函数图象如下：由图象可知，当0＜x＜2时，抛物线y＝ax2+bx+c图象在一次函数y1=―c2x+c的上方，∴不等式ax2+bx+c＞―c2x+c的解集为0＜x＜2，④结论正确，故选：D．25．（2024•殷都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx+n与抛物线y2=ax2+bx―3相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当﹣3＜x＜2时，y1＞y2；②x＝﹣3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③若（﹣4，t1），（1，t2t1＞t2；④对于抛物线y2=ax2+bx―3，当﹣3＜x＜2时，y2的取值范围是0＜y2＜5．其中正确结论的个数是（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据函数图象即可判断①②④；求出对称轴，再由开口向上得到离对称轴越远函数值越大，即可判断③．【解答】解：由函数图象可知，当一次函数图象在二次函数图象上方时，自变量的取值范围为﹣3＜x＜2，∴当﹣3＜x＜2时，y1＞y2，故①正确；∵二次函数与x轴的一个交点坐标为当（﹣3，0），∴x＝﹣3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解，故②正确；∵抛物线经过（2，5），（﹣3，0）∴4a+2b﹣3＝5，9a﹣3b﹣3＝0，∴a＝1，b＝2，∴抛物线对称轴为直线x=b―2a=―1，∵函数开口向上，∴离对称轴越远，函数值越大，∵﹣1﹣（﹣4）＝3＞1﹣（﹣1）＝2，∴t1＞t2，故③正确；由函数图象可知，当﹣3＜x＜2时，y2的取值范围是不是0＜y2＜5，故④错误，故选：B．26．（2024•东港区校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）．下列结论中正确的是（ ）①不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；②9a2﹣b2＜0；③一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为x1=13，x2＝﹣1；④6≤3n﹣2≤10．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【分析】由已知求出b＝﹣2a，c＝﹣3a，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个的交点为（3，0），则不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；再将b＝﹣2a，c＝﹣3a，代入9a2﹣b2，即可判断②；将一元二次方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣ax+a＝0，即可求方程的根；由已知可得2≤c≤3，再由抛物线的顶点坐标可求n＝﹣4a，从而进一步可求n的范围为83≤n≤4，即可求出6≤3n﹣2≤10．【解答】解：∵顶点坐标为（1，n），∴b＝﹣2a，∵与x轴交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝﹣3a，∵对称轴为直线x＝1，经过点（﹣1，0），∴抛物线与x轴的另一个的交点为（3，0），∵抛物线开口向下，∴不等式ax2++bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞3，即不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3，故①正确；∵9a2﹣b2＝9a2﹣（﹣2a）2＝5a2＞0，故②不正确；∵一元二次方程cx2+bx+a＝0可化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，即3x2+2x﹣1＝0，∴方程的根为x1=13，x2＝﹣1，故③正确；∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间，∴2≤c≤3，∵顶点坐标为（1，n），∴n＝﹣4a，∵c＝﹣3a，∴n=43 c，∴83≤n≤4，∴6≤3n﹣2≤10；故④正确；故选：D．27．（2024•射洪市一模）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示（1＜x ＝h ＜2，0＜x A ＜1）．下列结论：①abc ＜0；②2a +b ＞0；③若OC ＝2OA ，则2b ﹣ac ＝4；④3a ﹣c ＜0．其中正确的有 ②③④　．（只填写序号）【分析】①根据抛物线的开口向下即可得出a ＜0，再根据抛物线的对称轴在x ＝1和x ＝2之间即可得出b ＞﹣2a ，②正确；②由b ＞﹣2a 可得出b ＞0，再根据抛物线与y 轴交于y 轴负半轴可得出c ＜0，由此即可得出abc ＞0，①错误；③将A(―c 2，0)代入抛物线解析式中，整理后可得出2b ﹣ac ＝4，③正确；④根据抛物线的对称轴1＜―b 2a＜2可得出﹣2a ＜b ＜﹣4a ，再由当x ＝1时y ＞0即可得出a +b +c ＞0，进而即可得出3a ﹣c ＜0，④正确．综上即可得出结论．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0．∵抛物线的对称轴―b 2a＞1，∴b ＞﹣2a ，即2a +b ＞0，②成立；∵b ＞﹣2a ，a ＜0，∴b ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，①错误；∵OC ＝2OA ，∴A(―c 2，0)，∴14ac 2―14bc +c =0，整理得：2b ﹣ac ＝4，③成立；∵抛物线的对称轴1＜―b 2a＜2，∴﹣2a ＜b ＜﹣4a ，∵当x ＝1时，y ＝a +b +c ＞0，∴a ﹣4a +c ＞0，即3a ﹣c ＜0，④正确．综上可知正确的结论为②③④．故答案为：②③④．28．（2023秋•太康县期末）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的图象如图所示．下列4个结论：①b ＞0；②b ＜a +c ；③c ＜4b ；④a +b ＜k 2a +kb （k 为常数，且k ≠1）．其中正确的结论序号是 ①③　．【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由图象可知，a ＜0，―b 2a=1，∴b ＝﹣2a ，∴b ＞0，故①正确；由图象可知，当x ＝﹣1时，y ＜0，即a ﹣b +c ＜0，∴b ＞a +c ，故②错误；∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的对称轴为直线x ＝1，∴当x ＝3时，函数值小于0，y ＝9a +3b +c ＜0，且b ＝﹣2a ，即a =―b 2，代入得9（―b 2）+3b +c ＜0，得c ＜32b ，∵b ＞0，∴c ＜4b ，故③正确；当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝k时，y＝ak2+bk+c，∵k为常数，且k≠1，所以a+b+c＞ak2+bk+c，故a+b＞ak2+bk，故④错误．故①③正确．故答案为：①③．29．（2023秋•青山区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，c），且满足a﹣b+c＝0．下列四个结论：①抛物线的对称轴是直线x＝1；②b与c同号；③若a+2b+4c＞0，则不等式ax2+bx+c＜﹣2ax﹣a﹣b的解集﹣2＜x＜2；④抛物线上的两个点M（m﹣1，y1），N（m+2，y2），当c＜0，且y1＞y2时，m＜1 2．其中一定正确的是 .（填写序号）【分析】根据二次函数的性质及抛物线与不等式的关系求解．【解答】解：由题意得：4a+2b+c＝c，∴b＝﹣2a∴―b2a=1，故①是正确的；又∵a﹣b+c＝0，∴c＝﹣3a，∴a、c异号，a、b异号，∴b、c同号，故②是正确的；∵a+2b+4c＞0，∴a﹣4a﹣12a＝﹣15a＞0，∴a＜0，∴不等式化为：x2﹣4＞0，解得：﹣2＜x ＜2，故③是正确的；∵c ＜0，∴a ＞0，抛物线开口向上，∵m ﹣1＜m +2，y 1＞y 2，∴m +2≤1，或1﹣（m ﹣1）＞m +2﹣1解得：m ≤﹣1或m ＜12，故④是错误的；故答案为：①②③．30．（2023秋•城厢区校级月考）如图，是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A （1，3），与x 轴的一个交点为B （4，0），点A 和点B 均在直线y 2＝mx +n （m ≠0）上．①2a +b ＝0；②abc ＞0；③抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣4，0）；④方程ax 2+bx +c ＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤a ﹣b +c ＜4m +n ；⑥不等式mx +n ＞ax 2+bx +c 的解集为1＜x ＜4．其中正确的是 ．【分析】利用抛物线的对称轴方程得到―b 2a=1，则可对①进行判断；由抛物线开口向下得到a ＜0，则b ＞0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得到c ＞0，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的一个交点为（﹣2，0），则可对③进行判断；利用抛物线与直线y ＝﹣3只有一个交点可对④进行判断；利用x ＝﹣1时，y 1＞0，即a ﹣b +c ＞0，x ＝4时，y 2＝0，即4m +n ＝0，则可对⑤进行判断；结合函数图象可对⑥进行判断．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x =―b 2a=1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点为B（4，0），∴抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），所以③错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，3），∴抛物线与直线y＝﹣3有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根，所以④正确；∵x＝﹣1时，y1＞0，即a﹣b+c＞0，而x＝4时，y2＝0，即4m+n＝0，∴a﹣b+c＞4m+n；所以⑤错误；∵当1＜x＜4时，y2＜y1，∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜1或x＞4．所以⑥错误．故答案为：①④．。

专题22.1二次函数的定义之五大考点(原卷版)

专题22.1二次函数的定义之五大考点(原卷版)

专题22.1 二次函数的定义之五大考点【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一二次函数的识别】 (1)【考点二二次函数中各项的系数】 (2)【考点三利用二次函数的定义求参数】 (2)【考点四已知二次函数上一点，求字母或式子的值】 (2)【考点五列二次函数的关系式】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一二次函数的识别】例题：（2023秋·安徽池州·九年级统考期末）下列函数中，是二次函数的是（）【变式训练】【考点二 二次函数中各项的系数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）二次函数()51y x x =-的一次项系数是（ ） A ．1 B ．1-C ．2D ．5-【变式训练】1．（2023秋·山东德州·九年级统考期末）二次函数261y x x =--的一次项系数是（ ） A ．1-B ．1C ．6-D ．62．（2023·上海·九年级假期作业）下列函数中（x ，t 为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指【考点三 利用二次函数的定义求参数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）若函数()2231y m x mx =+++是二次函数，则（ ）A ．2m ≥-B ．2m ≠C ．2m ≠-D ．2m =-【变式训练】【考点四 已知二次函数上一点，求字母或式子的值】例题：（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）若抛物线223y ax x =-+经过点(1,2)P ，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【变式训练】1．（2022秋·天津西青·九年级校考阶段练习）抛物线23y ax bx =+-过点（2，4），则代数式84a b +的值为（ ） A ．14B ．2C ．－2D ．－142．（2022秋·山东泰安·九年级统考阶段练习）若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-，则247c b --的值是（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．20【考点五 列二次函数的关系式】例题：（2023春·河北保定·八年级统考期中）用长为10cm 的绳子围成一个长方形，设长方形的面积为y 2cm ，一边长为xcm ，用含有x 的代数式表示y 为______，自变量x 的取值范围是_____． 【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）一台机器原价为50万元，如果每年的折旧率是()0x x >，两年后这台机器的价格为y 万元，则y 与x 之间的函数关系式为_____．2．（2023·浙江·九年级假期作业）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当60x =时，8050y x ==；时，100y =．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．(1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(2)求该公司销售该原料日获利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式．【过关检测】一、选择题2．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）二次函数2234y x x =-+的一次项系数是（ ） A ．2B ．3C ．3-D ．43．（2023·上海·一模）下列各点中，在二次函数289y x x =--图象上的点是（ ） A ．()1,16--B ．()1,16-C ．()3,8--D ．()3,244．（2023·上海·九年级假期作业）关于x 的函数()21y a b x =-+是二次函数的条件是（ ）A ．a ≠bB ．a b =C ．0b =D ．0a =5．（2023·浙江·九年级假期作业）一部售价为4000元的 ，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x ，则两次降价后的价格y （元）与每次降价的百分率x 之间的函数关系式是（ ） A ．()40001y x =- B ．()240001y x =-C ．()80001y x =-D ．()280001y x =-6．（2023秋·山东济南·九年级期末）若函数224m m y mx ++=+是二次函数，则m 的值为（ ） A ．0或1-B ．0或1C ．1-D ．17．（2023·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地ABC ，其中90B AB BC ∠︒=，=．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN ，使点P ，M ，N 分别在边AC BC AB ，，上．记m m PM x PN y ==，，图中阴影部分的面积为2m S ．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，则y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是（ ）A ．一次函数关系，二次函数关系B ．一次函数关系，反比例函数关系C ．二次函数关系，一次函数关系D ．反比例函数关系，二次函数关系二、填空题三、解答题17．（2023·浙江·九年级假期作业）某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m ．（1）长方体的长和宽用()m x 表示，长方体的表面积()2m S 的表达式是什么？（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y （元）表示，那么y 的表达式是什么？18．（2022·全国·九年级假期作业）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x 元（x 为整数），每个月的销售量为y 件．（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围； （2）设每月的销售利润为W ，请直接写出W 与x 的函数关系式．。

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二次函数图像与性质考点一．二次函数概念1．下列函数中，哪些是二次函数，如果是，题号后画“√”；否画“×”. （1）13-=z y （2）kk y 12+= （3）22)3(x x y -+= （4）322++=x x y （5）21x y -= （6）122+=x y （7）)31(2x x y -= （8）23x y -= （9）()222y x x =--（10） 13-=xz y （12）1222++=xx x y2．下列各式中，x y 是的二次函数的是（ ） A ．12=+x xyB ．02=+y xC ．22-=-ax y D ．0122=+-y x 3．函数12)2(22-++=-x x m y m是二次函数，则=m _________．4．二次函数32)1(22--++=m m x m y ，当0=x 时,0=y ，则m 的值是（ ） A ．-1或3B ．-1C ．3D ．-3或1考点二．2ax y =图像性质1．观察函数2x y =的图像，则下列判断正确的是（ ） A ．若b a ,互为相反数，则b x a x ==或的函数值相同 B ．对于同一个自变量x ，有两个函数值与它对应 C ．对任何一个实数y ，有两个x 和它相应D ．对任意实数x ，都有0>y2．在同一坐标系中，作函数22231,3,3x y x y x y =-==的图像，它们共同特点是（ ） A ．都是关于x 轴对称，抛物线开口向上B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下C ．都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点D ．都是关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点3．已知二次函数2ax y -=，则下列说法不正确的是（ ） A ．当0>a 时，y 总取负值B ．当0,0<<x a 时，y 随x 的增大而减小C ．当0<a 时，函数图像有最低点，即y 有最小值D ．当0<a 时，2axy -=()0≠a 的对称轴是y 轴4．已知原点是抛物线()21x m y +=的最高点，则m 的范围是（ ）A ．1-<mB ．1<mC ．1->mD ．2->m 5．二次函数12+=mmx y 在其图像对称轴的右侧，x y 随着的增大而增大，则m 的值为（ ）A ．0≠mB ．1±=mC ．1=mD ．1-=m 6．已知常数2>k ，在二次函数①2kx y =；②21x k y =；③21x kk y +=中，图像在同一水平线上的开口大小的顺序用题号来表示应是（ ）. A ．③>①>② B ．②>③>①C ．①>②>③D ．①>③>②7．当2x y 与成正比例，且当3=x 时，18-=y ，则x y 与之间的函数关系是 ．考点三．k ax y +=2、2)(h x a y -=、k h x a y +-=2)(图像性质 1．抛物线22y x =-的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 2．抛物线224y x =-+的对称轴是直线x = ，顶点坐标是 ． 3．抛物线2)2(2+-=x y 的对称轴是直线x = ，顶点坐标是 ．4．抛物线()2214y x =--+的对称轴是直线x = ，顶点坐标是 ． 5．822-=x y 有最 值为 ．6．已知函数2)3(21+-=x y ，不画图像，回答下列问题. （1）抛物线的顶点坐标（ ， ），对称轴为 ，开口方向 ； （2）当=x 时，y 有最 值，为 ； （3）当x 时，y 随x 的增大而增大； （4）它是由221x y -=向 方向平移 个单位得到的． 7．已知抛物线22x y -=，若把它向左平移2个单位，所得抛物线的解析式是 ． 8．已知抛物线23x y -=，若把它向下平移4个单位，所得抛物线的解析式是 ． 9．已知抛物线24x y =，若把它向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是 ． 10．将抛物线22y x=如何平移得到抛物线22(14)21y x =--（ ）A ．向左平移14个单位，再向上平移21个单位,B ．向左平移14个单位，再向下平移21个单位,C ．向右平移14个单位，再向上平移21个单位,D ．向右平移14个单位，再向下平移21个单位.11．函数3)1(22-+=x y 有最 值为 ． 12．函数3)5(22---=x y ，当x ，y 随x 增大而增大． 13．函数3)5(22---=x y 图像与y 轴交点坐标为 ． 14．函数3)1(2--=x y 图像与x 轴交点坐标为考点四．c bx ax y ++=2图像性质1．将一般式6422+--=x x y 配成顶点式为： ．2．二次函数x x y 22--=的对称轴是 ，顶点是 ，最值是 ， 与y 轴交点坐标是 ，与x 轴交点坐标是 ． 3．抛物线247y x x =--的顶点坐标是（ ）A ．），（112- B ．）（,72- C ．）（1,12 D ．）（3,2-4．二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B ．（1，8）C ．（-1，2）D ．（1，-4）5．二次函数247y x x =-+的最小值为（ ）A ．2B ．-2C ．3D ． -3 6．对于抛物线171222+-=x x y ，下列结论正确的是（ ） A ．对称轴是直线3=x ，有最大值为1 B ．对称轴是直线3=x ，有最小值为-1 C ．对称轴是直线3-=x ，有最大值为1 D ．对称轴是直线3-=x ，有最小值为-1考点五．抛物线与直线交点1．函数2kx y =和函数k kx y +=的图像，在同一坐标系中的图像大致如图中的（ ）x O y A O xy B O x y C y O x D2．下列四个选项中，哪一个是函数()02>+==ab b ax y ax y 与的图像（ ）3．直线ax y =与抛物线()02≠=a ax y （ ） A ．只相交于一点()a ,1 B ．只相交于一点()0,0C ．没有交点D ．相交于两点()0,0、()a ,14．二次函数2ax y =与一次函数a x y -=2的图像只有一个交点，则a 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．1± D ．以上答案都不对5．函数()02≠=a ax y 的图像与直线32-=x y 交于点()b ,1，则a = ，b = ．6．抛物线12-=x y 与直线1+=x y 的交点坐标为 ．7．抛物线22++=x x y 与直线53+=x y 的交点坐标为 ．考点六．符号问题1．二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，则点⎪⎭⎫⎝⎛c b c a ,在直角坐标系中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．二次函数c bx ax y ++=2的图像如图，则点⎪⎭⎫⎝⎛-+b ac ac b b a ,42在（ ） A ．第一象限B ．第二象限OxyAOxyByOxCOxy DOxyO xyC ．第三象限D ．第四象限3．如图，为二次函数c bx ax y ++=2的图像，则一次函数bc ax y +=的图像不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若0,0,0<><c b a ，则抛物线c bx ax y ++=2的大致图像为（ ）5．二次函数c bx ax y ++=2的图像,如下图，则函数b ax y +=的图像只可能是（ ）6．已知直线)0(≠+=a b ax y 不经过第一象限，则抛物线bx ax y +=2一定经过（ ）A ．第一、二、四象限B ．第一、二、三象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限7．下列图像中，当0>ab 时，函数2ax y =与b ax y +=的图像是（ ）8．二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示,则下列条件不正确的是（ ） A ．0,0,0<><c b a B ．042<-ac b C ．0<++c b a D ．0>+-c b aOxyO y xAOyxBO yx CO yxDxyOAxyOB xyOCxyOD OxyO A x y OB x y OC x y OD xyOxy9．若0,0,0,0>∆>>>c b a ，那么抛物线c bx ax y ++=2经过 象限． 10．已知右图是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像 （1）a 0，b 0，c 0（填“>”或“<”） （2）点（bc ac ,）在直角坐标系中的第 象限．（3）二次函数，满足ac b 42- 0．（4）一次函数c ax y +=的图像不经过第 象限．自由练习1．下列关系式中，属于二次函数的是（x 为自变量）（ ） A ．218y x =B ．21y x =-C ．21y x =D ．22y a x =2．当m 不为何值时，函数2(2)45y m x x =-+-（m 是常数）是二次函数（ ）yxOA ．-2B ．2C ． 3D ．-3 3．经过原点的抛物线是（ ）A ．x x y +=22B ．221)y x =+（C ．122-=x yD ．122+=x y 4．将抛物线22x y =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．2)1(2+=x yB ．2)1(2-=x yC ．122+=x yD ．122-=x y 5．将抛物线2y x =-向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） A ．2(2)y x =-+ B ．22y x =-+ C ．2(2)y x =-- D ．22y x =-- 6．抛物线3)2(2-+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，－3）B ．（－2，3）C ．（2，3）D ．（－2，－3） 7．二次函数2)1(2++=x y 的最小值是（ ） A ．2 B ．1 C ．－3 D ．238．抛物线n m x y ++=2)(2(n m 、是常数)的顶点坐标是（ ）A ．(m ，n)B ．(－m ，n)C ．(m ，－n)D ．(－m ，－n) 9．由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3-=xC ．其最小值为1D ．当3<x 时，y 随x 的增大而增大10．下列二次函数中，图象以直线2=x 为对称轴，且经过点(0，1)的是（ ）A ．1)2(2+-=x yB ．1)2(2++=x y C ．3)2(2--=x y D ．3)2(2-+=x y 11．抛物线221y x x =-+的顶点坐标是（ ）A ．（1，0）B ．（－1，0）C ．（－2，1）D ．（2，－1）12．二次函数522-+=x x y 有（ ）A ． 最大值5-B ． 最小值5-C ． 最大值6-D ． 最小值6- 13．二次函数262-+=x x y 的最小值为（ ） A ．11 B ．-11 C ．9 D ．-9 14．二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 15．二次函数422-=x y 的顶点坐标为________，对称轴为__________． 16．二次函数362++-=x x y 的图像顶点为_________对称轴为_________． 17．二次函数32+-=mx x y 的对称轴为直线3=x ，则=m ________． 18．若抛物线()x m mx y 122+-=经过原点，则=m ．19．已知二次函数32++=bx x y 的图象的顶点的横坐标是1，则=b ． 20．若抛物线24325m m y x m --=+-的顶点在y 轴的负半轴上，则=m ．。

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