2016中考数学 考点跟踪突破7 一元二次方程及其应用
一元二次方程应用(7个考点七大题型)(原卷版)-九年级数学上册《重难点题型-高分突破》(人教版)
专题 1.4一元二次方程应用（7个考点七大题型）【题型1变化率问题】【题型2传播问题】【题型3树枝分叉问题】【题型4单循环和双循环问题】【题型4销售利润与一次函数综合问题】【题型5销售利润每每问题】【题型6几何图形问题】【题型7几何中动点问题】1．（2023•渝中区校级模拟）我校初三某班第一次体育模拟测试平均分为43.2分，经过专业的体育指导和训练后，在之后的第二次和第三次体育模拟测试中，班级平均分稳步提升，第三次体育模拟测试平均分达到46.7分，设该班每次测试班级平均分较上次的增长率相同，均为x，则可列方程为（）A．43.2（1+x）＝46.7B．46.7（1﹣x）＝43.2C．43.2（1+x）2＝46.7D．46.7（1﹣x）2＝43.2 2．（2023•重庆模拟）某社区为改善环境，加大对绿化的投入，4月对绿化投入25万元，计划6月绿化投入49万元，5月、6月绿化投入的月平均增长率相同．设这两月绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（）A．25（1+x）2＝49B．25（1+x）+25（1+2x）＝49C．25（1+x）+25（1+x）2＝49D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝493．（2023春•萨尔图区校级期中）某校图书馆六月份借出图书100本，计划七、八月份一共借出图书480本，设七、八月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（）A．100（1+x）2＝480B．100（1+x）+100（1+x）2＝480C．100（1﹣x）2＝480D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝4804．（2023•渝中区校级二模）随这疫情消退我国经济强势崛起，2023年某外贸企业二月份的销售额为3亿元，四月份的销售额为6.75亿元．设该企业二月到四月销售额平均月增长率为x，根据题意，可列出的方程是（）A．3（1+x）＝6.75B．3（x+1）2＝6.75C．3+3（1+x）2＝6.75D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝6.755．（2023•长沙一模）长沙已成为国内游客最喜欢的旅游目的地城市之一，调查显示，长沙在2021年五一假期，共接待游客200万人次，在2023年五一假期，共接待游客288万人次．（1）求长沙2021至2023五一假期接待游客人次的平均增长率；（2）茶颜悦色已经成为外地游客在长沙的打卡地，其中幽兰拿铁和声声乌龙是游客最爱的两款产品，已知幽兰拿铁的单价比声声乌龙贵2元，某导游花费216元购买幽兰拿铁的杯数是96元购声声乌龙的两倍，求幽兰拿铁的单价．6．（2023•南海区一模）富强村2020年的人均收入为3.6万元，2022年的人均收入为4.356万元．（1）求富强村人均收入的年平均增长率；（2）如果该村人均收入的年平均长率不变，请估计今年富强村的人均收入为多少万元．7．（2023•澄城县一模）随着环保意识日益深入，我国新能源汽车的生产技术也不断提升．市场上某款新能源汽车1月份的售价为25万元/辆，3月份下降到20.25万元/辆，求该款汽车售价的月平均下降率．8．（2023•兴庆区校级一模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x 个人，可到方程为（）A．1+2x＝81B．1+x2＝81C．1+x+x2＝81D．（1+x）2＝81 9．（2022秋•齐河县期末）新冠病毒传染性极强，如果有1人患病，经过两轮传染后有361人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列方程正确的是（）A．（1+x）2＝361B．x2＝361C．1+x+x2＝361D．x（1+x）＝361 10．（2022秋•方城县期末）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染x个人，经过两轮传染后共有169人感染，若不加以控制，第三轮传染后感染人数为（）A．338B．256C．2197D．2028 11．（2023春•诸暨市月考）有2个人患了流感，经过两轮传染后共有50人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是人．12．（2023春•金安区校级月考）去年8月以来，非洲猪瘟疫情在某国横行，今年猪瘟疫情发生势头明显减缓．假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有64头猪患病．（1）每轮传染中平均每头患病猪传染了几头健康猪？（2）如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的猪会不会超过500头？13．（2022秋•甘井子区校级期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感．（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？14．（2022秋•天河区校级期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？15．（2022秋•大连期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？16．（2023•虎林市校级一模）某种植物的主干长出若干为数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每个支干长出小分支的个数是（）A．6B．4C．3D．5 17．（2023•黑龙江一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57个，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（）A．8个B．7个C．6个D．5个18．（2022秋•青川县期末）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．7 19．（2022秋•武昌区校级期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，每个枝干长出个小分支．20．（2022秋•澄海区期末）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是91，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？21．（2022秋•滨海新区校级期末）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，每个枝干长出多少小分支？若设每个枝干长出x个小分支．（Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，填表：①主干的数目为；②从主干中长出的枝干的数目为；（用含x的式子表示）③又从上述枝干中长出的小分支的数目为；（用含x的式子表示）（Ⅱ）完成问题的求解．22．（2023•东莞市二模）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．7B．8C．9D．10 23．（2023•闽清县校级模拟）某乒乓球比赛的每两队之间都进行1场比赛，共要比赛28场，设共有x支球队参加该比赛，则符合题意的方程是（）A．x2＝28B．x2＝28×2C．D．x（x﹣1）＝28×2 24．（2022秋•南华县期末）某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8B．10C．7D．9 25．（2023•博罗县一模）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，则本次比赛共有参赛队伍（）A．8支B．9支C．10支D．11支26．（2022秋•集贤县期末）在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手（每两人只握一次）．大家共握了21次手．设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意，可列方程为（）A．x（x+1）＝21B．x（x+1）＝21C．x（x﹣1）＝21D．x（x﹣1）＝2127．（2023春•拱墅区校级期中）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出方程是（）A．x（x+1）＝182B．x（x﹣1）＝182C．D．28．（2022秋•大丰区期末）为了迎接第二十二届世界杯足球赛，卡塔尔某地区举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者邀请了x个队参赛，则下列方程正确的是（）A．B．x（x﹣1）＝4C．x（x+1）＝28D．29．（2023•四川模拟）命题人“魔力”去参加同学聚会，每两个人相互赠送礼品，他发现共送礼40件，若设有x人参加聚会，根据题意可列方程为（）A．B．x（x﹣1）＝40C．D．x（x+1）＝40 30．（2023春•安徽月考）网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为人．31．（2022秋•公安县月考）在一次同学聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了380份礼物，则参加聚会的同学的人数是．32．（2022秋•白云区期末）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？33．（2023•中山市校级模拟）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？34．（2023•杨浦区三模）某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数），部分对应值如表：每件售价x（元）91113每天的销售量y（件）1059585（1）求y与x的函数解析式；（2）如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？35．（2022秋•云梦县期中）某景区新开发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于52元，并且为整数；销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如表所示：销售单价x（元/件）…354045……908070…每天销售数量y（件）（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？（3）若要使每天销售所得利润不低于1200元，请直接写出销售单价x的所有可能取值．36．（2022秋•铁西区期中）某商场销售一种市场需求较大的健身器材，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总费用（不含进货费用）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间存在着一次函数关系y＝kx+b，且x＝60时，y＝5；x＝80，y＝4．（1）求出y与x的解析式；（2）若商场希望该种产品一年的销售利润为55万元，请你为商场定一个销售单价．37．（2023•南海区校级模拟）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如表所示的一次函数关系．…20.52426.526…售价x（元/千克）销售量y（千克）…39322728…（1）某天这种水果的售价为25元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？38．（2023•泸县校级一模）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？39．（2023春•嵊州市校级期中）超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价6元，则平均每天销售数量为多少件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？40．（2023春•庐阳区校级期中）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．（1）求该公司销售A产品每次的增长率；（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？41．（2023春•宁波期中）某商品进价30元，销售期间发现，当销售单价定价50元时，每天可售出100个．临近五一，商家决定开启大促，经市场调研发现，销售单价每下降2元，每天销量增加20个，设每个商品降价x元．（1）求每天销量y（个）关于x（元）的函数关系式；（2）求该商品的销售单价是多少元时，商家每天获利1760元；（3）请说明：商家每天的获利是否能达到3000元？42．（2022秋•代县期末）某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为2500元，已知该商店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台．（1）求该商店11，12两个月的月均增长率；（2）调查发现，当该冰箱售价为2900元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台．该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元，求每台冰箱的售价．43．（2021秋•铁西区校级月考）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？44．（2023春•瓯海区期中）某商场在去年底以每件120元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件．（1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率；（2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利10400元？45．（2023春•涡阳县期中）如图，长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，现在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形，做成底面积为24cm2的无盖的长方体盒子，则x的值为（）A．2B．7C．2或7D．3或646．（2023春•襄州区校级月考）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？47．（2022秋•从化区期末）某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙（墙AB长度不限），另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场CD边的长为xm，矩形面积为ym2．（1）矩形面积y＝（用含x的代数式表示）；（2）当矩形动物场面积为48m2时，求CD边的长．（3）能否围成面积为60m2矩形动物场？说明理由．48．（2021秋•集贤县期末）如图是宽为20米，长为32米的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，且互相垂直），把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的总面积为570平方米，问：道路宽为多少米？49．（2023春•苍南县期中）园林部门计划在某公园建一个长方形花圃ABCD，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图2所示BC＝2AB，建成后所用木栏总长120米，在图2总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米．（1）求长方形ABCD花圃的长和宽；（2）求出网红打卡点的面积．50．（2023•政和县模拟）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．（1）矩形ABCD的另一边BC长为米（用含x的代数式表示）；（2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．51．（2022秋•石狮市期末）为全面落实劳动教育，某校在如图所示的两面成直角的围墙角落（墙足够长），用总长为28米的篱笆围成一个长方形苗圃OABC．设AB＝x米，BC＝y米．（1）求苗圃OABC的面积；（用含x的代数式表示）（2）若苗圃OABC的面积为192平方米，现要在苗圃OABC的对角线上修一条小道AC，求小道AC的长．52．（2023•播州区一模）如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为x 米，剩余部分为绿化．（1）道路①的面积为20x平方米；道路②的面积为20x平方米（都用含x的代数式表示）；（2）如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽依然为x米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度．53．（2022秋•昆都仑区期末）如图，一农户准备围建一个矩形猪舍，其中一边靠墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，已知墙长为12m，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？54．（2022秋•江门期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．（1）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？请写出过程．55．（2023春•蚌埠月考）△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P 从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B 开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．（1）填空：BQ＝，PB＝（用含t的代数式表示）；（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．56．（2023春•和平区校级期中）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B 移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B 点时点Q随之停止运动．（1）AP＝，BP＝，CQ＝，DQ＝（用含t的代数式表示）；（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．57．（2022秋•江门校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC 向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停＝28cm2？若存在，请求出t的值；止．问：是否存在这样的时刻，使S△DPQ若不存在，请说明理由．58．（2022秋•市北区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C 出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，（0≤t≤5）求：（1）当t为多少秒时，P、Q两点之间的距离是10cm？（2）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（3）当t为多少秒时，？59．（2022春•泗水县期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B 开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当Q到达点C时，点Q、P同时停止移动．（1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2（2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5cm？。
【中考冲刺】人教版2016年初中数学中考复习课件 第6章 一元二次方程及应用(共19张PPT)
热点剖析
【例1】（2015•广东）解方程：x2-3x+2=0.
∵b2-4ac=（-3）2-4×1×2=1， ∴x= ∴x1=1，x2=2.
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1.（2013•佛山）用配方法解一元二次方程x2-2x3=0时，方程变形正确的是（ B ） A.（x-1）2=2 B.（x-1）2=4 C.（x-1）2=1 D.（x-1）2=7 2.（2013•广州）解方程：x2-10x+9=0.
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5.（1）设年平均增长率为x， 则5000（1+x）2=7200. 解得x1=0.2，x2=-2.2（舍去）. 答：年平均增长率为20%.
（2）7200×（1+20%）=8640（万人次）. 答：2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人 次.
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中考冲刺
一、选择题 6.用配方法解方程x2-2x-1=0时，配方后所得的方 程为（ D ） A.（x+1）2=0 B.（x-1）2=0 C.（x+1）2=2 D.（x-1）2=2 7.若一元二次方程x2-2x+m=0总有实数根，则m应 满足的条件是（ D ） A.m＞1 B.m=1 C.m＜1 D.m≤1 8.某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式 （每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛， 则参赛球队的个数是（ C ） 首页 末页 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
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14.已知关于x的方程x2+ax+a-2=0. （1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的 另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不 相等的实数根.
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15.九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种 运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
重点高中自招必备 九年级 专题07 一元二次方程的应用
专题07 一元二次方程的应用阅读与思考一元二次方程是解数学问题的有力工具，许多数学问题都可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质等而获解. 现阶段，一元二次方程的应用主要有以下两方面： 1. 求代数式的值；2. 列二次方程解应用题.从本质上讲，列二次方程解应用题与前面我们已经学过的列一元二次方程解应用题没有区别，通常都要经过设、列、解、答等四个步骤，解题的关键是寻找实际问题中的等量关系. 特别需要注意的是，列出的一元二次方程一般会有两个不同的实数根，所以在检验时应特别注意，很可能其中有不符合实际问题的根，必须舍去.例题与求解【例1】 甲、乙两地分别在河的上、下游，每天各有一班船准点以匀速从两地对开，通常它们总在11时于途中相遇，一天乙地的船因故晚发了40分钟，结果两船在上午11时15分在途中相遇，已知甲地开出的船在静水中的速度数值为44千米/时，而乙地开出的船在静水中的速度为水流速度ν千米/时数值的平方，则ν的值为___________.（安徽省竞赛试题）解题思路：利用甲船15分钟所行路程是乙船（40-15）分钟所行路程建立方程.【例2】 自然数n 满足()()1616247222222-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 （江苏省竞赛试题） 解题思路：运用幂的性质，将问题转化为解方程.【例3】 如图，在平面直角坐标系中，直线1+=x y 与343+-=x y 交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点. （1） 求点A ，B ，C 的坐标；（2） 当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标.（太原市中考试题） 解题思路：对于（2），利用“腰相等”建立方程，解题的关键是分类讨论.yx BCAO【例4】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E在直角边AC上（点E与A，C 两点均不重合）.；（1）若点F在斜边AB上，且EF平分Rt△ABC的周长，设AE＝x，试用x的代数式表示SAEF（2）若点F在折线ABC上移动，试问：是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，则求出AE的长；若不存在直线EF，请说明理由. （常州市中考试题）解题思路：几何计算问题代数化，通过定量分析回答是否存在这样的直线EF，将线段的计算转化为解方程.【例5】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出. 每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？（绍兴市中考试题）解题思路：解题的关键是把复杂的数量关系分解成若干个小问题，再寻找各个小问题间量与量的关系.【例6】 已知：如图1，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm /s ；点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2 cm /s .连结PQ .若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设△AQP 的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图2，连结PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ´C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ´C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由. （青岛市中考试题） 解题思路：对于（3），先求出PQ 平分Rt △ACB 周长时t 的值，再看求出t 的值是否满足由面积关系建立的方程.图2图1P'ACB B CAQ PQ P能力训练A 级1. 某工厂把500万元资金投入新产品生产，第一年获得了一定的利润，在不抽调资金和利润（即将第一年获得的利润也作为生产资金）的前提下，继续生产，第二年的利润率（即所获利润与投入生产资金的比）比第一年的利润率增加了8%.如果第二年的利润为112万元，为求第一年的利润率，可设它为x ，那么所列方程为_______________. （济南市中考试题）2. 如图，在长为10cm 、宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下阴影部分面积是原矩形面积的80%，则所截去的小正方形的边长是_________. （广东省中考试题）3. 有一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津. 按民航规定，旅客最多可免费携带飞机票价格应是________. 4. 已知实数x 、y 满足3,3243424=+=+y y xx ，则444y x +的值为（ ） A.7 B.2131+ C.2137+ D. 5 5. 一个跳水运动员从10米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒）的关系式是()()125+--=t t h ，则运动员起跳到入水所用的时间是（ ）A. －5秒B. 1秒 C . －1秒 D. 2秒6. 某种出租车的收费标准时：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，那么x 的最大值是（ ） A. 11 B. 8 C . 7 D.57. 如图，菱形ABCD 的边长为a ，O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a ＝（ ） A .215+ B . 215- C . 1 D .2DCABO第2题图 第7题图8. 我市向民族地区的某县赠送一批计算机，首批270台将于近期起运. 经与某物流公司联系，得知用A 型汽车若干辆刚好装完；用B 型汽车不仅可少用1辆，而且有一辆车差30台计算机才装满.（1）已知B 型汽车比A 型汽车每辆车可多装15台，则A ，B 两种型号的汽车各能装计算机多少台？ （2）已知A 型汽车的运费是每辆350元，B 型汽车的运费是每辆400元。
2016年中考数学 微测试系列专题06 一元二次方程及应用(含解析)北师大版
专题06 一元二次方程及应用一、选择题：（共4个小题） 1．【2015达州】方程21(2)04m x -+=有两个实数根，则m 的取值范围（） A．52m >B．52m ≤且2m ≠ C．3m ≥ D．3m ≤且2m ≠ 【答案】B． 【解析】试题分析：根据题意得：220301(4(2)04m m m ⎧⎪-≠⎪-≥⎨⎪⎪∆=--⨯≥⎩，解得52m ≤且2m ≠．故选B．【考点定位】1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．2．【2015攀枝花】关于x 的一元二次方程2(2)(21)20m x m x m -+++-=有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是（ ） A．34m >B．34m >且2m ≠ C．122m -<< D．324m << 【答案】D． 【解析】【考点定位】1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．3．【2015广安】一个等腰三角形的两条边长分别是方程27100x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A．12 B．9 C．13 D．12或9 【答案】A ．【解析】【考点定位】1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．4．【2015雅安中学中考模拟】关于x 的方程2()0m x h k ++=（m ，h ，k 均为常数，m ≠0）的解是13x =-，22x =，则方程2(3)0m x h k +-+=，的解是 （ ） A ． 16x =-，21x =- B ．10x =，25x = C ． 13x =-，25x = D ．16x =-，22x = 【答案】B ． 【解析】试题分析：解方程2()0m x h k ++=（m ，h ，k 均为常数，m ≠0）得x h =-±于x 的方程2()0m x h k ++=（m ，h ，k 均为常数，m ≠0）的解是13x =-，22x =，所以3h -=-，2h -+=，方程2(3)0m x h k +-+=的解为3x h =-±，所以1330x =-=，2325x =+=．故选B ．【考点定位】1．解一元二次方程-直接开平方法；2．综合题． 二、填空题：（共4个小题）5．【2015泸州】设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为． 【答案】27． 【解析】试题分析：∵1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，∴125x x +=，121x x =-，∴2212x x +=21212()2x x x x +-=25+2=27，故答案为：27．【考点定位】根与系数的关系．6．【2015达州】新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x 元，可列方程为 ．【答案】（40﹣x ）（20+2x ）=1200． 【解析】【考点定位】1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．销售问题．7．【2015广元】从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个敖，作为函数2(5)y m x =-和关于x 的一元二次方程2(1)10m x mx +++=中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是________． 【答案】2-． 【解析】试题分析：∵所得函数的图象经过第一、三象限，∴250m ->，∴25m <，∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合题意，将m =0代入2(1)10m x mx +++=中得，210x +=，△=﹣4＜0，无实数根；将1m =-代入2(1)10m x mx +++=中得，10x -+=，1x =，有实数根，但不是一元二次方程；将2m =-代入2(1)10m x mx +++=中得，2210x x +-=，△=4+4=8＞0，有实数根．故m =2-．故答案为：2-．【考点定位】1．根的判别式；2．一次函数图象与系数的关系；3．综合题．8．【2015凉山州】已知实数m ，n 满足23650m m +-=，23650n n +-=，且m n ≠，则n mm n+= ． 【答案】225-．【解析】试题分析：∵m n ≠时，则m ，n 是方程23650x x --=的两个不相等的根，∴2m n +=，53mn =-． ∴原式=22m n mn +=2()2m n mn mn +-=2522()223553-⨯-=--，故答案为：225-． 【考点定位】1．根与系数的关系；2．条件求值；3．压轴题． 三、解答题：（共2个小题）9．【2015崇左】为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？ 【答案】（1）50%；（2）18． 【解析】【考点定位】1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．10．【2015广元】李明准备进行如下操作实验：把一根长40cm 的铗丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于582cm ，李明应该怎么剪这根铁丝？（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于482cm ．你认为他的说法正确吗？请说明理由．【答案】（1）12cm 和28cm ；（2）正确． 【解析】（2）两正方形面积之和为48时，10058482+-=x x ， 0416402=+-x x ，∵06441614)40(2<-=⨯⨯--， ∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm 2，李明的说法正确．【考点定位】1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．。
专题07 一元二次方程及应用(共30题)-(原卷版)
专题7一元二次方程及应用（共30题）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·山东临沂市·中考真题）方程256x x -=的根是（ ） A ．1278x x ==，B ．1278x x ==-，C ．1278x x =-=，D ．1278x x =-=-，2．（2021·浙江丽水市·中考真题）用配方法解方程2410x x ++=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(2)5x -=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x +=D ．2(2)3x +=3．（2021·四川泸州市·中考真题）关于x 的一元二次方程2220x mx m m ++-=的两实数根12,x x ，满足122x x =，则2212(2)(2)x x ++的值是（ ）A ．8B ．16C ． 32D ．16或404．（2021·四川广安市·中考真题）关于x 的一元二次方程()22310a x x +-+=有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．14a ≤且2a ≠- B ．14a ≤ C ．14a <且2a ≠- D ．14a < 5．（2021·湖南邵阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线y x m =-+不经过第一象限，则关于x 的方程210mx x ++=的实数根的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．1或2个6．（2021·四川眉山市·中考真题）已知一元二次方程2310x x -+=的两根为1x ，2x ，则211252x x x --的值为（ ） A ．7-B ．3-C ．2D ．57．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是（ ）A ．212y x x =+和21y x =--B ．212y x x =+和21y x =-+C ．11y x =-和21y x =-- D ．11y x=-和21y x =-+8．（2021·浙江台州市·中考真题）关于x 的方程x 2-4x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ＞4D ．m ＜49．（2021·云南中考真题）若一元二次方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <B ．1a ≤C ．1a ≤且0a ≠D ．1a <且0a ≠10．（2021·山东泰安市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k --+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．14k >- B ．14k <C ．14k >-且0k ≠D ．14k <0k ≠11．（2021·四川南充市·中考真题）已知方程2202110x x -+=的两根分别为1x ，2x ，则2122021x x -的值为（ ） A ．1B ．1-C ．2021D ．2021-12．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）函数y kx b =+的图象如图所示，则关于x 的一元二次方程210x bx k ++-=的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定13．（2021·四川泸州市·中考真题）直线l 过点(0，4)且与y 轴垂直，若二次函数2222()(2)(3)2y x a x a x a a a =-+-+--+（其中x 是自变量）的图像与直线l 有两个不同的交点，且其对称轴在y 轴右侧，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞4 B ．a ＞0C ．0＜a ≤4D ．0＜a ＜4二、填空题14．（2021·上海中考真题）若一元二次方程2230x x c -+=无解，则c 的取值范围为_________． 15．（2021·湖南岳阳市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程260x x k ++=有两个相等的实数根，则实数k 的值为_______．16．（2021·江西中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2430x x -+=的两根，则1212x x x x +-=______． 17．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．18．（2021·四川广安市·中考真题）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x 2-6x +8=0的根，则三角形的周长为_____．19．（2021·甘肃武威市·中考真题）已知关于x 的方程2x 2x m 0-+=有两个相等的实数根，则m 的值是_________．20．（2021·江苏连云港市·中考真题）已知方程230x x k -+=有两个相等的实数根，则k =____． 21．（2021·四川成都市·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2210x x +-=的两个实数根，则242m m n++的值是______．22．（2021·浙江丽水市·中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题： 已知实数,a b 同时满足2222,22a a b b b a +=++=+，求代数式b aa b+的值．结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当a b =时，a 的值是__________． （2）当a b 时，代数式b aa b+的值是__________． 三、解答题23．（2021·四川南充市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=． （1）求证：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两个实数根为1x ，2x ，且k 与12x x 都为整数，求k 所有可能的值．24．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程()()2333x x -=-的过程如下框：小敏：两边同除以()3x -，得33x =-，则6x =．小霞：移项，得()()23330x x ---=， 提取公因式，得()()3330x x ---=．则30x -=或330x --=， 解得13x =，20x =．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．25．（2021·四川遂宁市·中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？26．（2021·浙江中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有,A B两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；①问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？27．（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3a%4．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a ，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a ．求a 的值．28．（2021·四川乐山市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程20x x m +-=．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）二次函数2y x x m =+-的部分图象如图所示，求一元二次方程20x x m +-=的解．29．（2021·重庆中考真题）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A 产品，乙车间生产B 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A 产品的销售单价比B 产品的销售单价高100元，1件A 产品与1件B 产品售价和为500元．（1）A 、B 两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B 产品的生产车间．预计A 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a %；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2925a%．求a的值．30．（2021·四川泸州市·中考真题）一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数myx的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点（1）求一次函数的解析式（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求PQMN的值.。
2016年人教版九年级上册：一元二次方程的实际应用
2016年人教版九年级上册：一元二次方程的实际应用2016年人教版九年级上册：一元二次方程的实际应用一、传播问题在解决传播问题时，我们需要按照以下步骤进行：审题、设未知数、列方程、解方程、检验根是否符合实际情况和作答。
例如，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，我们可以求出每轮传染中平均一个人传染了几个人。
同样，对于某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，我们可以求出每个支干长出多少小分支。
另外，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，我们可以分析出每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑，并且可以预测在病毒得不到有效控制的情况下，3轮感染后被感染的电脑是否会超过700台。
二、循环赛制问题在解决循环赛制问题时，我们需要根据比赛的场次和每两队之间比赛的次数来求出参赛队伍的数量。
例如，参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，我们可以计算出共有多少个队参加比赛。
同样，如果每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，我们也可以求出参赛队伍的数量。
此外，对于生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，我们可以计算出这个小组共有多少名同学。
同样地，如果一个小组共送贺卡72张，我们也可以求出这个小组共有多少人。
三、平均增长率问题在解决平均增长率问题时，我们需要根据变化前后的数量和时间来求出年平均增长率。
例如，青山村种的水稻2013年平均每公顷产7200公斤，2015年平均每公顷产8450公斤，我们可以计算出水稻每公顷产量的年平均增长率。
同样，果农XXX原计划以每千克4元的单价销售某种水果，但由于部分果农盲目扩大种植，造成该水果代销，XXX为了加快销售，减少损失，经过两次下调价格后，以每千克2.56元的单价销售。
我们可以求出平均每次下调价格的百分率，并且可以计算出XXX共获得销售款多少元。
2016年数学中考复习 一元二次方程及应用
2016年遵义中考数学复习：一元二次方程和分式方程及应用姓名_______________学号__________________【基础知识回顾】一、 一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有 个未知数，并且未知数最 的方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： __________ 其中二次项是 一次项是 ， 是常数项【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a ≠o 这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并且一般首项为正】二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果X 2 =b 则X 2 = X 1= X 2=2、配方法：解法步骤：1、化二次项系数为 即方程两边都 二次项的系数。
2、移项：把 项移到方程的 边3、配方：方程两边都加上 把左边配成完全平方的形式4、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程3、公式法：如果方程aX 2 +bx+c=0(a ±0) 满足b 2-4ac ≥0，则方程的求根公式为 _____________。
4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式式，如果左边分解因式，即产生A .B=0的形式，则可将原方程化为两个 方程，即 从而求出方程的两根【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是 法和 法】三、一元二次方程根的判别式关于X 的一元二次方程aX 2 +bx+c=0(a ±0)根的情况由 决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号 表示①当 时，方程有两个不等的实数根 ②当 时，方程看两个相等的实数根③当 时，方程没有实数根【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数 】四.一元二次方程根与系数的关系：关于X 的一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有两个根分别为X 1 X 2则X 1+X 2 = X 1X 2 =关于X 的一元二次方程x 2 +px+q=0(a ≠0)有两个根分别为X 1 X 2则X 1+X 2 = X 1X 2 =五.一元二次方程的应用：解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行常见题型1、 增长率问题：连续两次增长或降低的百分数X ：则公式为： a （1+X ）2=b2、 利润问题：总利润= X3、 几个图形的面积、体积问题：按面积的计算公式列方程.【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】【重点考点例析】 考点一：一元二次方程的有关概念（意义、一般形式、根的概念等）例1 下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．x 2+21x=0 B ．ax 2+bx+c=0 C ．（x-1）（x+2）=1 D ．3x 2-2xy-5y 2=0 方程有两个实数跟，则考点二：一元二次方程的解法例2 解方程：x2-2x=2x+1．例3 三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2-10x+21=0的解，则第三边的长为（）A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定对应训练2．若一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a-b之值为何？（）A．-57 B．63 C．179 D．1813．方程x（x-2）+x-2=0的解是（）A．2 B．-2，1 C．-1 D．2，-1考点三：根的判别式的运用A．k＜12B．k＜12且k≠0 C．-12≤k＜12D．-12≤k＜12且k≠0例4 已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．对应训练3．关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（A）A．k＜1 B．k＞1 C．k＜-1 D．k＞-1考点四：一元二次方程的应用例5 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月返利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）．5．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．课外作业【聚焦山东中考】一、选择题1．已知关于x的一元二次方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞43且k≠2 B．k≥43且k≠2 C．k＞34且k≠2 D．k≥34且k≠22.如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）A．32 B．126 C．135 D．1443.已知关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠2 B．k≥且k≠2 C．k＞且k≠2 D．k≥且k≠24.下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（）A．x2+2x﹣4=0 B．x2﹣4x+4=0C． x2+4x+10=0 D.x2+4x﹣5=0二、填空题5.一元二次方程x2-2x=0的解是．6.如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为________________．7.若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是．8.为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要投入教育经费3600万元．已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2012年该市要投入的教育经费为 万元．9.已知关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0的一个根为2，则这个方程的另一个根是 ．10.若关于x 的方程x 2+（a ﹣1）x+a 2=0的两根互为倒数，则a= ．11.已知x 1、x 2是方程2x 2+14x ﹣16=0的两实数根，那么的值为 ．三、解答题 12.滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？13用一根长cm 40的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为275cm .⑴求此长方形的宽是多少？⑵能围成一个面积为1012cm 的长方形吗？如能，说明围法。
2016全国各地中考数学分类汇编：一元二次方程及其应用(含解析)
一元二次方程及其应用一、选择题1. （2016·湖北随州·3分）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次”，可得出方程．【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=28.8，故选C．2. （2016·江西·3分）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（）A．2B．1C．﹣2D．﹣1【考点】根与系数的关系．【分析】根据α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，由根与系数的关系可以求得αβ的值，本题得以解决．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，∴αβ=，故选D．3. （2016·辽宁丹东·3分）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为60（1+x）2=100．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设平均每月的增长率为x，根据4月份的营业额为60万元，6月份的营业额为100万元，分别表示出5，6月的营业额，即可列出方程．【解答】解：设平均每月的增长率为x，根据题意可得：60（1+x）2=100．故答案为：60（1+x）2=100．4.（2016·四川攀枝花）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（）A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．【解答】解：根据题意，将x=﹣2代入方程x2+ax﹣a2=0，得：4﹣3a﹣a2=0，即a2+3a﹣4=0，左边因式分解得：（a﹣1）（a+4）=0，∴a﹣1=0，或a+4=0，解得：a=1或﹣4，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．5．（2016·广西桂林·3分）若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，∴，即，解得：k＜5且k≠1．故选B．6.（2016·贵州安顺·3分）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（）A．b=﹣3B．b=﹣2C．b=﹣1D．b=2【分析】根据判别式的意义，当b=﹣1时△＜0，从而可判断原命题为是假命题．【解答】解：△=b2﹣4，当b=﹣1时，△＜0，方程没有实数解，所以b取﹣1可作为判断命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题的反例．故选C．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．7．（2016广西南宁3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A．大于0 B．等于0C．小于0 D．不能确定【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程ax2+（b ﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论．【解答】解：设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，∴﹣＞0．设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b，则a+b=﹣=﹣+，∵a＞0，∴＞0，∴a+b＞0．故选C．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．8. （2016·云南省昆明市·4分）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【考点】根的判别式．【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．【解答】解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．9.(2016河北3分）a，b，c为常数，且（a-c）2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为0答案：Ｂ解析：由（a-c）2>a2+c2得出－２ａｃ＞０，因此△＝ｂ２－４ａｃ＞０，所以两根，故选Ｂ项。
教育最新K12甘肃省2016中考数学 考点跟踪突破7 一元二次方程及其应用
一元二次方程及其应用一、选择题(每小题6分，共24分)1．(2015·重庆)一元二次方程x 2－2x ＝0的根是( D )A ．x 1＝0，x 2＝－2B ．x 1＝1，x 2＝2C ．x 1＝1，x 2＝－2D ．x 1＝0，x 2＝22．(2015·锦州)一元二次方程x 2－2x ＋1＝0的根的情况为( A )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根3．(2015·宁夏)如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x 米，则可以列出关于x 的方程是( C )A ．x 2＋9x －8＝0B ．x 2－9x －8＝0C ．x 2－9x ＋8＝0D ．2x 2－9x ＋8＝04．(2015·烟台)等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－6x＋n －1＝0的两根，则n 的值为( B )A ．9B ．10C ．9或10D ．8或10解析：∵三角形是等腰三角形，∴①a ＝2，或b ＝2，②a ＝b 两种情况，①当a ＝2，或b ＝2时，∵a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋n －1＝0的两根，∴x ＝2，把x ＝2代入x 2－6x ＋n －1＝0得，22－6×2＋n －1＝0，解得：n ＝9，当n ＝9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n ＝9不合题意，②当a ＝b 时，方程x 2－6x ＋n －1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－6)2－4(n －1)＝0解得：n ＝10.故选B二、填空题(每小题6分，共24分)5．(2015·泰安)方程(2x ＋1)(x －1)＝8(9－x)－1的根为__－8或4.5__．6．(2015·吉林)若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的值可能是__0__(写出一个即可)．7．(2015·南昌)已知一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为m ，n ，则m 2－mn ＋n 2＝__25__．8．(2015·巴彦淖尔)某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的方程为__12x(x －1)＝2×5__． 三、解答题(共52分)9．(10分)(1)(2015·宿迁)解方程：x 2＋2x ＝3；解：由原方程，得x 2＋2x －3＝0，整理，得(x ＋3)·(x－1)＝0，则x ＋3＝0或x －1＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1(2)用配方法解方程：2x 2－4x －1＝0.解：二次项系数化为1得：x 2－2x ＝12，x 2－2x ＋1＝12＋1，(x －1)2＝32，x －1＝±62，∴x 1＝62＋1，x 2＝1－6210．(10分)(2015·梅州)已知关于x 的方程x 2＋2x ＋a －2＝0.(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；(2)当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．解：(1)∵b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(a－2)＝12－4a ＞0，解得：a ＜3.∴a 的取值范围是a＜3 (2)设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 1＝－2，1·x 1＝a －2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，x 1＝－3，则a 的值是－1，该方程的另一根为－311．(10分)(2015·咸宁)已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0.(1)证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；(2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．解：(1)Δ＝(m ＋2)2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2，∵不论m 为何值时，(m －2)2≥0，∴Δ≥0，∴方程总有实数根 (2)解方程得，x ＝m ＋2±（m －2）2m ，x 1＝2m，x 2＝1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m ＝1或2，m ＝2不合题意，∴m ＝112．(10分)(2015·乌鲁木齐)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定价多少元？解：设降价x 元，则售价为(60－x)元，销售量为(300＋20x)件，根据题意得，(60－x －40)(300＋20x)＝6080，解得x 1＝1，x 2＝4，又顾客得实惠，故取x ＝4，即定价为56元，故应将销售单价定价56元13．(12分)(2015·广州)李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．解：(1)设剪成的较短的这段为x cm ，较长的这段就为(40－x)cm ，由题意，得(x 4)2＋(40－x 4)2＝58，解得：x 1＝12，x 2＝28，当x ＝12时，较长的为40－12＝28 cm ，当x ＝28时，较长的为40－28＝12＜28(舍去)．故李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段 (2)李明的说法正确．理由如下：设剪成的较短的这段为m cm ，较长的这段就为(40－m)cm ，由题意，得(m 4)2＋(40－m 4)2＝48，变形为：m 2－40m ＋416＝0，∵Δ＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无实数根，∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 22016年甘肃名师预测1．用配方法解一元二次方程x2－6x－4＝0，下列变形正确的是( D)A．(x－6)2＝－4＋36 B．(x－6)2＝4＋36C．(x－3)2＝－4＋9 D．(x－3)2＝4＋92．若关于x的一元二次方程4x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值是( B) A．－1 B．1 C．－4 D．4。
中考数学 第7讲 一元二次方程及其应用1
(3)(y＋3)(1－3y)＝1＋2y2，y－3y2＋3－9y＝1＋2y2，∴5y2＋8y－2＝0，y＝－82±×5104＝
－4± 5
26，∴y1＝－4＋5
26，y2＝－4－5
26Байду номын сангаас
(4)(3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0，(3x＋5－1)(3x＋
5－4)＝0，(3x＋4)(3x＋1)＝0，3x＋4＝0 或 3x＋1＝0，∴x1＝－43，x2＝－13
(3)利润问题： ①利润＝售价－成本 ②利润率＝利成润本×100%
1．使用一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系时，必须将一元二次方程转化为 一般式 ax2＋bx＋c＝0，以便确定 a，b，c 的值．
2．正确理解“方程有实根”的含义．若有一个实数根则原方程为一元一次方程；若有 两个实数根则原方程为一元二次方程．在解题时，要特别注意“方程有实数根”“有两个实
____．
6．一元二次方程的应用 (1)列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题的步骤一样．
增长量 (2)①增长率＝基础量×100%；
②设 a 为原来量，当 m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长以后的量，则有 a(1＋ m)n＝b；当 m 为平均下降率，n 为下降次数，b 为下降以后的量，则有 a(1－m)n＝b.
4．一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：
(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个_不___相___等的实数根； (2)b2－4ac＝0⇔方程有两个__相___等__的实数根； (3)b2－4ac＜0⇔方程___没___有__实数根．
5．一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为 x1，x2，则有 x1＋x2＝_____，x1x2＝
【广东中考高分突破】数学教师课件第7节一元二次方程及应用
答案：解：∵ ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实 数根，∴ △ =b2﹣4ac=0， 即 b2﹣4a=0，b2=4a，
∵
=
∵a≠0，
=
=
∴ = = =4．
中考预测 4.关于 x 的一元二次方程 x2+kx-1=0 的根的 情况是（ ）
最后还要注意求出的未知数的值，是否符合实际意义.
课前预习
1. （2014•舟山）方程x2-3x=0的 根为 ．
解析：因式分解得，x（x-3）=0， 解得，x1=0，x2=3． 答案：x1=0，x2=3．
2. （2014•宁夏）一元二次方程 x2-2x-1=0 的解是（ ） A．x1=x2=1 B．x1=1+ ，x2=-1-
x（x-2-1）=0，x=0 或 x-3=0，
解得：x1=0，x2=3． 注意事项：利用因式分解法解方程时，当等号
两边有相同的含未知数的因式时，不能随便先
约去这个因式，否则会出现漏根错误，应通过
移项、提取公因式的方法求解.
4.解方程：x2-6x-16=0.
解析：解此一元二次方程选择因式分解法最 简单，因为-16=-8×2，-6=-8+2，所以 x2-6x-16=（x-8）（x+2），这样即达到了降 次的目的． 答案：解：原方程变形为（x-8）（x+2）=0 x-8=0 或 x+2=0 ∴x1=8，x2=-2．
考点 2 一元二次方程的判别式（高频考点） （★★）
母题集训
1. （2013 广州）若 5k+20＜0，则关于 x 的一 元二次方程 x2+4x﹣k=0 的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
人教版初中数学中考考点系统复习 第6讲 一元二次方程及其应用
2.几种常见的等量关系： （1）增长率问题中的等量关系：
b.若增长的基数为a，每次平均增长率为x，则第一次增长后的数量是⑯ a（1
＋x） ，第二次增长后的数量是⑰ a（1＋x）2 ；
c.若下降的基数为a，每次平均下降率为x，则第一次下降后的数量是⑱ a（1
对点训练 4.（安徽中考）下列方程中，有两个相等实数根的是（ A ）
A.x2＋1＝2x B.x2＋1＝0 C.x2－2x＝3 D.x2－2x＝0 5.（2022·郴州）一元二次方程2x2＋x－1＝0的根的情况是（ A ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根
c.如图丙，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路 的宽为x，则空白部分的面积为㉒ （a－x）·（b－x） .
考点1 一元二次方程的解法
考点精讲
1.（1）（2022·甘肃）用配方法解方程x2－2x＝2时，配方后正确的是（
）
A.（x＋1）2＝3 B.（x＋1）2＝6
C.（x－1）2＝3 D.（x－1）2＝6
一个根是（ A ）
A.－7
B.7
C.3
D.－3
B
A.7
B.－7
C.6
D.－6
7 . （ 2 0 2 0 ·铜 仁 ） 已 知 m ， n ， 4 分 别 是 等 腰 三 角 形 （ 非 等 边 三 角 形 ） 三 边 的
长，且m，n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值
等于（ B ）
4.利用配方法解方程或变形时，应避免出现没有把二次项系数化为1就直接加 上一次项系数一半的平方的错误.
【高分突破】中考数学第7节一元二次方程及应用课件精品
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★考点突破★
考点 1 一元二次方程及其解法（★）
母题集训
1.（2008 广州）方程 x（x+2）=0 的根是（ ）
A． x=2
B．x=0
C． x1=0，x2=﹣2 D． x1=0，x2=2
解析：x（x+2）=0，
x=0 或 x+2=0，
解得 x1=0，x2=﹣2． 答案：C．
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4. 一元二次方程的一般形式为 ax2+bx+c=0(a≠0)，方程的两根
为
，则 x1+x2=
,x1·x2=
.
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5.根与系数的关系(韦达定理) (1)已知一根求另一根及未知系数；(2)求与方程的根有关的 代数式的值；(3)已知两根求作方程；(4)已知两数的和与积， 求这两个数；(5)确定根的符号. 应用根与系数的关系时，要确保一元二次方程有根，即一
3
④因式分解法：将方程右边化为 0，左边化为两个一次因式 的积，令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两
个一元一次方程就得到原方程的解.
3. ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是 b2-4ac. (1)当 b2-4ac＞0 时，方程有 两个不相等 的实数根； (2)当 b2-4ac=0 时，方程有 两个相等 的实数根； (3)当 b2-4ac＜0 时，方程 无实数根 .
∴ 答案：-1．
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5. （2014•天津）要组织一次排球邀请赛，
参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地
和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安
排 4 场比赛．设比赛组织者应邀请 x 个队参
九年级数学上一元二次方程的应用知识点+练习详细解析12页
一元二次方程的应用--知识讲解要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问).要点二、一元二次方程应用题的主要类型 1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用 其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位 数.如：一个三位数，个位上数为a ，十位上数为b ，百位上数为c ，则这个三位数可表示为： 100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-2，x+2.2.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(1)na xb += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.) (2)降低率问题：平均降低率公式为(1)n a x b -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)3.利息问题 (1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 本息和：本金和利息的和叫本息和. 期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率本金×(1+利率×期数)=本息和本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)4.利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数5.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 6.行程问题【典型例题】类型一、数字问题1．已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少． 【答案与解析】设其中一个数为x ，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，整理得x 2-12x+32＝0 解得 x 1＝4，x 2＝8， 当x ＝4时12-x ＝8； 当x ＝8时12-x ＝4． 所以这两个数是4和8． 举一反三：1、有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数. 【答案】设个位数字为x ，则十位数字为(2)x -.由题意，得： 10(2)+3(2)x x x x -=-整理，得：2317200xx -+=解方程，得：(35)(4)0x x --=经检验，53x =不合题意,舍去（注意根的实际意义的检验） ∴当4x =时, 2x -=2 答：这个两位数为24.2、有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字位置后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数． 【答案】设个位数字为x ，则十位数字为14-x ，两数字之积为x(14-x)， 两个数字颠倒后的数为10x+(14-x)．根据题意，得10x+(14-x)-x(14-x)＝38．整理，得x 2-5x-24＝0，∴ (x-8)(x+3)＝0，∴ x 1＝8，x 2＝-3．∵ 个位上的数字不可能是负数，∴ x ＝-3舍去． 当x ＝8时，14-x ＝6，∴ 原数为68． 答：这个两位数是68． 类型二、平均变化率问题2． 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台? 【答案】设每轮中平均每一台电脑会感染x 台电脑，依题意：得：1+x+(1+x)x ＝81，(1+x)2＝81，x+1＝9或x+1＝-9． 解得：x ＝8或x ＝-10(舍去)，(1+x)3＝(1+8)3＝729＞700．答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑；3轮感染后被感染的电脑会超过700台． 举一反三：1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感 的人数是( )A ．1331B ．1210C ．1100D ．1000 【答案】设每人每轮传染x 人，则(1+x)2＝121，x 1＝10，x 2＝-12舍去， 第三轮传染后患流感人数为121(1+10)＝1331人．2、某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同， 求平均每次降价率.【答案】设平均每次降价率为x ，则第一次降价为600x ，降价后价格为：600600600(1)x x -=-，第二次降价为：600(1)x x -⋅，降价后价格为：根据题意列方程，得：2600(1)384x -=295x =不合题意，舍去（注意根的实际意义的检验）答：平均每次下降率为020.类型三、利润（销售）问题3．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a 元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品?每件商品售价多少元?【答案】设每件商品的售价为a元．根据题意，得(a-21)(350-10a)＝400．∴ a2-56a+775＝0，∴ (a-25)(a-31)＝0，∴ a-25＝0或a-31＝0，∴ a1＝25，a2＝31．当a＝31时，加价31-21＝10，不合题意，舍去．∴ 350-10a＝350-10×25＝100．答：每件商品售价为25元，需要卖出100件商品．举一反三：【变式】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元?(2)每天衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?【答案】(1)设每件衬衫应降价x元．根据题意，得(40-x)(20+2x)＝1200，整理得：x2-30x+200＝0．解得x1＝20，x2＝10，因为要尽快减少库存，所以x应取20．答：每件衬衫应降价20元．(2)商场每天盈利(40-x)(20+2x)＝-2(x-15)2+1250，当x＝15时，代数式-2(x-15)2的值最大，即-2(x-15)2+1250有最大值为1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多为1250元．类型四、形积问题4．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD，求该矩形草坪BC边的长．【答案】设草坪ABCD的BC边长x米，则宽AB为根据题意，得整理得：x2-32x+240＝0，∴ (x-12)(x-20)＝0．解得：x1＝12，x2＝20又由题意知：BC≤16．∴ x＝20(不合题意，舍去)．∴该矩形草坪BC边的长为12米．类型五、行程问题5. 一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m后停车．（1）从刹车到停车用了多少时间？（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？（3）刹车后汽车滑行到15m 时约用了多少时间（精确到0.1s ）？ 【答案】（1）已知刹车后滑行路程为25m ，如果知道滑行的平均速度，则根据路程、速度、时间三者的关系，可求出滑行时间．为使问题简化，不妨设车速从20m/s 到0m/s 是随时间均匀变化的．这段时间内的平均车速等于最大速度与最小速度的平均值，即20010(/)2m s +=，于是刹车到停车的时间为“行驶路程÷平均车速”， 即2510 2.5()s ÷=．（2）从刹车到停车平均每秒车速减少值为“（初速度-末速度）÷车速变化时间”， 即22008(/)2.5m s -=． （3）设刹车后汽车行驶到15m 用了x s ，由（2）可知，这时车速为(208)/x m s -．这段路程内的平均车速为20(208)(/)2x m s +-，即(204)/x m s -．由速度×时间=路程，得(204)15x x -=．解方程，得x =．根据问题可知，2040x ->，即x ＜5，又x ＜2.5；所以0.9x =≈． 刹车后汽车行驶到15m 时约用了 0.9 s ．【巩固练习一】一、选择题1．在一幅长80cm 、宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是( )．A ．x 2+130x-1400＝0B ．x 2-65x-350＝0C ．x 2-130x-1400＝0D ．x 2+65x-350＝02．为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10cm2提高到12.1m 2，若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ） A ．9% B ．10% C ．11% D ．12%3．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是( )．A ．50(1+x)2＝182B ．50+50(1+x)+50(1+x)2＝182 C ．50(1+2x)＝182 D ．50+50(1+x)+50(1+2x)＝1824．一个矩形的长是宽的3倍，若宽增加3cm ，它就变成正方形.则矩形面积是( )． A ．24cm 3B ．29cmC ．227cm 4 D ．227cm5．为执行“两免一补”政策，某地区2019年投入教育经费2500万元，预计2019年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x ，则下列方程正确的是( )．A ．2500(1+x)2＝3600B ．2500x 2＝3600C ．2500(1+x%)＝3600D ．2500(1+x)+2500(1+x)2＝36006．一个跳水运动员从距离水面10米高的跳台向上跳起0.5米，开始做翻滚动作，它在空中每完成一个动作需要时间0.2秒，并至少在离水面3.5米处停止翻滚动作准备入水，最后入水速度为14米/秒，该运动员在空中至多做翻滚动作( )． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 二、填空题7．某商场销售额3月份为16万元，5月份25万元，该商场这两个月销售额的平均增长率是________． 8．若两数的和是2，两数的平方和是74，则这两数为________．9．大连某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为300m 2的一块长方形绿地，并且长比宽多10m ，设长方形绿地的宽为xm ，则可列方程为________．10．菱形ABCD 的一条对角线长6，AB 的长是方程x 2-7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD 的周长为________． 11．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 个人？12.小明家为响应节能减排号召，计划用两年时间，将家庭每年人均碳排放量由目前的3125kg 降至2000kg(全球人均目标碳排放量)，则小明家未来两年人均碳排放量平均每年需降低的百分率是________． 三、解答题13．用长12m 的一根铁丝围成长方形．(1)如果长方形的面积为5m 2，那么此时长方形的长是多少?宽是多少?如果面积是8m 2呢?(2)能否围成面积是10m 2的长方形?为什么? (3)能围成的长方形的最大面积是多少?14. 从一块长80cm ，宽60cm 的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度． 15．常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北玉桃源县盘塘镇创元工业园，在这一走廊内的工业企业2019年完成工业总产值440亿元，如果要在2019年达到743.6亿元，那么2019年到2019年的工业总产值年平均增长率是多少?《常德工业走廊建设发展规划纲要(草案)》确定2019年走廊内工业总产值要达到1200亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成? 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D ；【解析】可列方程(80+2x)(50+2x)＝5400，化简即可． 2.【答案】B ；【解析】10(1+x)2＝12.1，解得x ＝0.1． 3.【答案】B ；【解析】四、五、六月份产量之和为182． 4.【答案】C ；【解析】设矩形的宽为xcm ，则矩形的长为3xcm ，依题意得x+3＝3x ． 5.【答案】A ；【解析】由平均增长率公式为2(1)a x b += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量)可列方程.6.【答案】D ；【解析】从10.5米高处到入水过程的平均速度为7米/秒，所用时间为10.5÷7＝1.5秒，速度每秒变化01472+=米/秒．设运动员从最高处到离水面3.5米时用时x 秒， 那么这段距离的平均速度为x 2＝1.5，x ≈1.2，1.2÷0.2＝6，最多做6个翻滚动作．二、填空题 7．【答案】25%；【解析】设商场这两个月销售额的平均增长率是x ，则16(1+x)2＝25解得x 1＝0.25＝25%，x 2＝-2.25(不合题意，舍去)．8．【答案】-5和7；【解析】设两数中一个数为x ，则另一个数为2-x ．根据题意得x 2+(2-x)2＝74，解得x 1＝-5，x 2＝7．当x ＝-5时，另一个数为7；当x ＝7时，另一个数为-5，所以这两个数为-5和7．9．【答案】 x(x+10)＝300；【解析】因为宽为xm ，则长为(x+10)m ，可列方程x(x+10)＝300． 10.【答案】16；【解析】x 2-7x+12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4，AB 不可能等于3，因为有一条对角线长为6，所以AB ＝4，菱形周长为16．11．【答案】10；【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x 个人．列方程，得1(1)121x x x +++=． 解方程，得110x =，212x =-经检验，x 2不合题意，舍去．所以平均一个人传染了10个人 12．【答案】20% ； 【解析】设降低的百分率为x ，则3125(1-x)2＝2000，195x =(舍去)，2120%5x ==． 三、解答题13.【答案与解析】(1)设长方形的宽为x m ，则长为122(6)m 2xx -=-， 根据题意，得x(6-x)＝5，即x 2-6x+5＝0，x 1＝1，x 2＝5(舍去)．∴ 当长方形的宽为1m ，长为6m-1m ＝5m 时，面积为5m 2．同样，当面积为8m 2时，有x(6-x)＝8，即x 2-6x+8＝0，x 1＝2，x 2＝4(舍去)．∴ 当长方形的宽为2m ，长为6-2＝4m 时，面积为8m 2．(2)当面积为l0m 2时，x(6-x)＝10，即x 2-6x+10＝0，此时b 2-4ac ＝36-40＝-4＜0， 故此方程无实数根，所以这样的长方形不存在．(3)设围成的长方形的面积为k ，则有x(6-x)＝k ，即x2-6x+k ＝0，要使该方程有解，必须有(-6)2-4k ≥0，即k ≤9．∴ 最大的k 只能是9，即最大的面积为9m 2，此时x ＝3m ，6-x ＝3(m)． 这时所围成的图形是正方形． 14. 【答案与解析】设这个宽度为xcm ，根据题意有：(80-2x)(60-2x)＝80×60÷2． 解这个方程得x 1＝10，x 2＝60．因为截去的小长方形的宽60-2x 必须大于0，即 60-2x＞0，亦即x＜30，所以x＝10．答：宽度为10cm时，截去的小长方形面积是原来铁片面积的一半．15.【答案与解析】设2019年到2019年的年平均增长率为x．则440(1+x)2＝743.6，化简得：(1+x)2＝1.69，解之：x1＝0.3＝30%，x2＝-2.3(舍去)，743.6×(1+0.3)2＝1256.684(亿元)＞1200亿元．答：2019年到2019年的工业总产值年平均增长率为30%，若继续保持上面的增长率，在2019年将达到1200亿元的目标．【巩固练习二】一、选择题1.元旦期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则这个小组共有( ) A．11人 B．12人 C．13人 D．14人2．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是( )A．168(1+a%)2＝128 B．168(1-a%)2＝128 C．168(1-2a%)2＝128 D．168(1-a2%)＝128 3．从一块长30cm，宽12cm的长方形薄铁片的四个角上，截去四个相同的小正方形，余下部分的面积为296cm2，则截去小正方形的边长为 ( )A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm4．甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（）千米/时.A．2,6 B．12,16 C．16,20 D．20,245．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％(即每100千克花生可加工成花生油50千克)．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为 ( )A．20％B．30% C．50% D．120%6．从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．则每次倒出溶液的升数为（）A．5 B．6 C．8 D．10二、填空题7．某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2019年盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2019年的盈利额为________万元．8．有一间长20 m，宽15 m的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为________．9．一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西、南北方向分别挖3条和4条水渠．如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为8700m2，那么水渠应挖的宽度是米. 10．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数是．11．某省十分重视治理水土流失问题，2019年治理水土流失的面积为400 km2，为了逐年加大治理力度，计划今、明两年治理水土流失的面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2019年年底，使这三年治理水土流失的面积达1324 km2，则该省今、明两年治理水土流失的面积平均每年增长的百分数是．12．如图所示，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．问：(1)P、Q两点从出发开始到秒时，四边形PBCQ的面积是33cm2；(2)P、Q两点从出发开始到秒时，点P与点O间的距离是10cm.三、解答题13．如图所示，有长为40m的篱笆，一面利用墙(墙长15m)，围成长方形花圃．设花圃的长BC为xm，花圃的面积能围成182m2吗?此时BC多长?14.学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示，广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都为小正方形的边长，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖．(1)要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米?(2)如果铺白色地面砖的费用为每平方米30元，铺绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺广场地面的总费用最少?最少费用是多少?15．如图所示，AO＝OB＝50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由A点以2cm/s的速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3 cm/s的速度沿OC方向爬行，是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积为450cm2?【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】设这个小组共x人，则x(x-1)＝132，x1＝-11舍去，x2＝12．2．【答案】B；【解析】168元降价a%后的价格为168(1-a%)元，再降价a%后为168(1-a%)(1-a%)元．根据题意可列方程168(1-a%)2＝128．3．【答案】D；【解析】设截去小正方形的边长为x，则30×12-4x2＝296，∴ x2＝16，x1＝-4(舍去)，x2＝4．4.【答案】C；【解析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.根据题意，得解之,得x1=16，x2=－2.经检验：x1=16，x2=－2都是原方程的根，但x2=－2不合题意，舍去.∴当x=16时，x+4=20.5．【答案】A；【解析】设新品种花生亩产量的增长率为x．6．【答案】D；【解析】第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了．若设每次倒出x 升，则第一次倒出纯酒精x 升， 第二次倒出纯酒精（2020x-·x ）升．根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数． 20－x －2020x-·x ＝5． 二、填空题 7．【答案】220. 【解析】方法一，设增长的百分率为x ，则2019年盈利额为200(1+x)万元，2019年的盈利额为200(1+x)2万元，依题意得200(1+x)2＝242．解得x 1＝10%，x 2＝-2.1(舍去)，∴ 200(1+x)＝200(1+10%)＝220．方法二，设2019年的盈利额为x 万元，则2019年增长的百分率为200100%200x -⨯， 2019年增长的百分率为242100%x x -⨯，由增长率相同可列方程200242200x xx--=， 解得x 1＝220，x 2＝-220(舍去)8．【答案】2.5m.【解析】设留空的宽度为x m ，则1(152)(202)20152x x --=⨯⨯，解得x 1＝15(舍去)，252x =．9．【答案】1m.【解析】如图2所示设水渠的宽度为xm ，即可耕土地的长 为(120-4x)m ，宽为(78-3x)m ． (120-4x)(78-3x)＝8700，即x 2-56x+55＝0， 解得x 1＝1，x 2＝55．当x ＝55时，3×55＝165＞78，(不合题意，舍去)． ∴ x ＝1．答：水渠应挖1m 宽． 10．【答案】35或53．【解析】设原两位数的十位数字为x ，则个位数字是(8-x)，由题意得 [10x+(8-x)]·[10(8-x)+x]＝1855．化简得x 2-8x+15＝0， 解之得：x 1＝3，x 2＝5．经检验，x 1＝3，x 2＝5都符合题意． 答：原两位数是35或53． 11．【答案】10%．【解析】设该省今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为x ，依题意得：400+400(1+x)+400(1+x)2＝1324．即100x 2+300x-31＝0．解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝-3.1(不合题意，舍去)．答：今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为10%． 12.【答案】（1）5秒；（2）85秒或245秒.【解析】(1)设P 、Q 两点从出发开始到x 秒时，四边形PBCQ 的面积是33cm 2，则AP ＝3x ，PB ＝16-3x ，CQ ＝2x ，由梯形的面积公式得1[2(163)]6332x x +-⨯=，解得x ＝5．答：P 、Q 两点从出发开始到5秒时，四边形PBCO 的面积为33cm 2．(2)设P 、Q 两点从出发开始到y 秒时，点P 、点Q 间的距离为10cm ．过点Q 作QH ⊥AB ，交AB 于H ，如答图3所示，则AP ＝3y ，CQ ＝2y ，PH ＝16-3y-2y ，根据勾股定理．得(16-3y-2y)2＝102-62，化简方程得(16-5y)2＝64， 解得185y =，2245y =． 答：P 、Q 两点从出发开始到85秒或245秒时，点P 、点Q 间的距离是10cm ． 三、解答题13. 【答案与解析】设BC 长为xm(0＜x ≤15)时，花圃的面积为182m 2，则 401822x x-=． 即x 2-40x+364＝0，b 2-4ac ＝1600-4×364＝144＞0．∴ 能围成面积为182m 2的花圃．解得x 1＝14，x 2＝26(不合题意，舍去)．答：花圃的面积能围成182m 2，此时BC 长14m ．14. 【答案与解析】(1)设矩形广场四角的小正方形的边长为x 米，根据题意得：4x 2+(100-2x)(80-2x)＝5200，整理，得：x 2-45x+350＝0，解得：x 1＝35，x 2＝10，经检验，x 1＝35，x 2＝10均适合题意．所以，要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或10米．(2)设铺矩形广场地面的总费用为y 元，广场四角的小正方形的边长为x 米，则y ＝30×[4x 2+(100-2x)(80-2x)]+20×[2x(100-2x)+2x(80-2x)]即y ＝80x 2-3600x+240000＝80(x 2-45x+22.52-22.52)+240000＝80(x-22.5)2+199500．由80(x-225)2≥0，∴ 当x ＝22.5时y 的值最小，最小值为199500．所以，当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时，所铺广场地面的总费用最少， 最少费用为199500元．15. 【答案与解析】(1)当蚂蚁在AO 段时，设离开A 点t s 后两只蚂蚁与O 点组成的三角形的面积是450cm 2．根据题意，得(502)34502t t -=． 整理得：2251500t t -+=，解得t 1＝10，t 2＝15．(2)当蚂蚁爬完AO 这段距离用了50252s =后，开始由O 向B 爬行，设从O 点开始x s 后组成的 三角形的面积是450 cm 2，根据题意，得：23(25)4502x x +=， 整理得x 2+25x-150＝0，解得x 1＝5，x 2＝-30(舍去)．当x＝5时，x+25＝30．这时蚂蚁已由A点爬了30s．答：分别在10s，15s，30s时，两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积是450cm2．。
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用--知识讲解(提高)
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（提高）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x m =m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为x =．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆． △>0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根； △<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释：△≥0⇔方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么ac x x a b x x 2121=⋅-=+，．要点诠释：（1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． （2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．（3）一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以①不解方程判定方程根的情况；②根据参系数的性质确定根的范围；③解与根有关的证明题．（4）一元二次方程根与系数的应用很多：①已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；②已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；③已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．考点二、分式方程1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点三、一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．(2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，使能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量＝原有量×增长率； 现有量＝原有量+增长量； 现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】 类型一、一元二次方程1．阅读材料：为解方程222(1)5(1)40x x ---+=，我们可以将21x - 看作一个整体，然后设21x y -=，那么原方程可化为2540y y -+=……①， 解得11y =，24y =，当1y =时，211x -=，22x ∴=，2x ∴=±当4y =时，214x -=，25x ∴=，5x ∴=12x =22x =-35x =45x =-解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；（2）请利用以上知识解方程4260x x --=．【思路点拨】此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想． 【答案与解析】（1）换元法；（2）设2x y =，那么原方程可化为260y y --= 解得13y =；22y =-当3y =时，23x =；3x ∴=±当2y =-时，22x =-不符合题意，舍去． 所以原方程的解为13x =，23x =-．【总结升华】应用换元法解方程，体现了转化的数学思想. 举一反三：【变式】设m 是实数，求关于x 的方程2320x mx x m --++=的根． 【答案】x 1=1,x 2=m+2.2．已知关于x 的一元二次方程)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4)2(222-+-b a ab 的值. 【思路点拨】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝240b a -=，可得出a 、b 之间的关系，然后将4)2(222-+-b a ab 化简后，用含b 的代数式表示a ，即可求出这个分式的值． 【答案与解析】∵)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根， ∴⊿＝240b ac -=，即240b a -=．∵2222222222244444)2(aab b a a ab b a a ab b a ab =+-=-++-=-+- ∵0a ≠，∴4222==a b a ab【总结升华】本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．举一反三：【变式】关于x 的一元二次方程230x x k --=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围．（2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根， ∴2(3)4()k ---＞0．即49k >-，解得，94k >-． （2）若k 是负整数，k 只能为－1或－2． 如果k ＝－1，原方程为 2310x x -+=． 解得，1352x +=，2352x -=． （如果k ＝－2，原方程为2320x x -+=，解得，11x =，22x =．）类型二、分式方程3．解方程：【思路点拨】把原方程右边化为代入原方程求解较为简单.【答案与解析】原方程变为经检验，是原方程的根.【总结升华】因为，，所以最简公分母为：，若采用去分母的通常方法，运算量较大，可采用上面的方法较好.举一反三： 【变式1】解方程：【答案】原方程化为方程两边通分，得化简得解得经检验：是原方程的根.【变式2】解方程：7643165469222x x x x x x ----+=--+ 【答案】 设，则原方程可化为：k x x =-+265793144k k k --=-+ 去分母化简得：20147111602k k --= ∴()()k k -+=1220930 ∴，k k ==-129320当时，k x x =--=126702()()x x -+=710解之得：，x x 1217=-=当时，k x x =--+=-93206593202 2012019302x x -+=解此方程此方程无解.1217x x =-=经检验：，是原分式方程的根.4．m为何值时，关于x的方程会产生增根？【思路点拨】先把原方程化为整式方程，使分母为0的根是增根，代入整式方程求出m的值.【答案与解析】方程两边都乘以，得整理，得【总结升华】分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根.举一反三：【变式】当m为何值时，方程会产生增根( )A. 2B. －1C. 3D.－3【答案】分式方程，去分母得，将增根代入，得m＝3.所以，当m＝3时，原分式方程会产生增根.故选C.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天.现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成.问规定日期是多少天？【思路点拨】设规定日期是x天，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，工作总量为1.【答案与解析】设规定日期为x天根据题意，得解得经检验是原方程的根答：规定日期是6天.【总结升华】工程问题涉及的量有三个，即每天的工作量、工作的天数、工作的总量．它们之间的基本关系是：工作总量=每天的工作量×工作的天数．举一反三：【变式】据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．【答案】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，由题意得1000550 240x x=-，解得：x=22，经检验：x=22是原分式方程的解，且符合题意．答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．6．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．【思路点拨】第一问是工程问题，工程问题中有三个量：工作总量，工作效率，工作时间，这三个量之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间第二问只要求出每天应各付甲、乙、丙各队多少钱，并由第一问求出甲、乙、丙各队单独完成这项工作所需的天数，即可求出在规定时间内单独完成此项工程哪个队花钱最少.【答案与解析】⑴设甲队单独做需天完成，乙队单独做需天完成，丙队单独做需天完成，依题意，得①×＋②×＋③×，得＋＋＝．④④－①×，得＝，即z＝ 30，④－②×，得＝，即x ＝ 10，④－③×，得＝，即y＝ 15．经检验，x＝ 10，y＝ 15，z ＝ 30是原方程组的解．⑵设甲队做一天厂家需付元，乙队做一天厂家需付元，丙队做一天厂家需付元，根据题意，得由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．此工程由甲队单独完成需花钱元；此工程由乙队单独完成需花钱元.所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．【总结升华】这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为天，天，天，可列出分式方程组．在求解时，把，，分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解．。
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2015·重庆)一元二次方程x2－2x＝0的根是( D)
A．x1＝0，x2＝－2 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝2
2．(2015·滨州)用配方法解一元二次方程x2－6x－10＝0时，下列变形正确的为( D)
A．(x＋3)2＝1 B．(x－3)2＝1
C．(x＋3)2＝19 D．(x－3)2＝19
3．(2015·锦州)一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况为( A)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
4．(营口模拟)如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( C)
A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0
C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝0
5．(2015·烟台)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n 的值为( B)
A．9 B．10 C．9或10 D．8或10
点拨：∵三角形是等腰三角形，∴①a＝2，或b＝2，②a＝b两种情况，①当a＝2，或b＝2时，∵a，b是关于x 的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，∴x＝2，把x＝2代入x2－6x＋n－1＝0得，22－6×2＋n－1＝0，解得n＝9，
当n ＝9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故n ＝9不合题意，②当a ＝b 时，方程x 2－6x ＋n －1＝0有
两个相等的实数根，∴Δ＝(－6)2－4(n －1)＝0，解得n ＝
10，故选B
二、填空题(每小题5分，共25分)
6．(2015·兰州)若一元二次方程ax 2－bx －2015＝0有
一根为x ＝－1，则a ＋b ＝__2015__．
7．(2015·天水)一元二次方程x 2＋3－23x ＝0的解是
．
8．(鞍山模拟)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x
－1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是__k≥1__．
9．已知关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根是另一个
根的3倍，则m ，n 之间满足的关系式为__3m 2＝16n__．
10．(阜新模拟)某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的方程为__12
x(x －1)＝2×5__. 三、解答题(共50分)
11．(10分)(1)(辽阳模拟)解方程：x 2＋2x ＝3；
解：由原方程，得x 2＋2x －3＝0，整理，得(x ＋3)(x
－1)＝0，则x ＋3＝0或x －1＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1
(2)用配方法解方程：2x 2－4x －1＝0.
解：二次项系数化为1得：x 2－2x ＝12，x 2－2x ＋1＝12
＋1，(x －1)2＝32，x －1＝±62，∴x 1＝62＋1，x 2＝1－62
12．(10分)(2015·江西)观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：x2＋x＝0；
第2个方程：x2－1＝0；
第3个方程：x2－x－2＝0；
第4个方程：x2－2x－3＝0；
…
(1)第2015个方程是__x2－2013x－2014＝0__；
(2)直接写出第n个方程，并求出第n个方程的解；
(3)说出这列一元二次方程的解的一个共同特点．
解：(2)第n个方程为x2－(n－2)x－(n－1)＝0，解为x1＝－1，x2＝n－1 (3)这列方程的解的共同特点：有一根是－1
13．(10分)(盘锦模拟)已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0.
(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
解：(1)Δ＝(m＋2)2－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2，∵不论m为何值时，(m－2)2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根(2)
解方程得，x＝m＋2±（m－2）
2m
，x1＝
2
m
，x2＝1，∵方程有两
个不相等的正整数根，∴m＝1或2，m＝2不合题意，∴m＝1 14．(10分)(葫芦岛模拟)毕业在即，某商店抓住商机，
准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50个学生纪念品和10个教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．
(1)请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？
(2)如果商店购进1200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？
解：(1)设学生纪念品的成本是x元，50x＋10(x＋8)＝440，∴x＋8＝14，x＝6，答：学生纪念品成本为6元，教师纪念品成本为14元(2)第二周单价降低x元后，这周的销售为(400＋100x)件，400×(10－6)＋(10－x－6)(400＋100x)＋(4－6)[(1200－400)－(400＋100x)]＝2500，整理得x2－2x＋1＝0，x1＝x2＝1，∴10－1＝9(元)，答：第二周销售价格为9元
15．(10分)(铁岭模拟)李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
解：(1)设剪成的较短的这段为x cm，较长的这段就为(40
－x)cm，由题意，得(x
4
)2＋(
40－x
4
)2＝58，解得x1＝12，x2
＝28，当x＝12时，较长的为40－12＝28(cm)，当x＝28时，较长的为40－28＝12＜28(舍去)．答：李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段(2)李明的说法正确．理由如下：设剪成的较短的这段为m cm，较长的这段就为(40－m)cm，由
题意，得(m
4
)2＋(
40－m
4
)2＝48，变形为：m2－40m＋416＝0，
∵Δ＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无实数根，∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2。