北师大版九年级数学下册第二章 《二次函数》 基础性测试卷及答案

合集下载

北师大版九年级下册数学第二章 二次函数 含答案

北师大版九年级下册数学第二章 二次函数 含答案

北师大版九年级下册数学第二章二次函数含答案一、单选题(共15题,共计45分)1、已知二次函数(为常数)的图象与轴的一个交点为,则关于的一元二次方程的两个实数根是()A. ,B. ,C. ,D.,2、将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为()A.4B.6C.8D.103、抛物线的对称轴是 ( )A.直线x=4B.直线x=-4C.直线x=3D.直线x=-34、二次函数y=(2x-1)2+2的顶点的坐标是()A.(1,2)B.(1,-2)C.(,2)D.(-,-2)5、若二次函数y=x2﹣6x+9的图象经过A(﹣1,y1),B(1,y2),C(3+,y3)三点.则关于y1, y2, y3大小关系正确的是()A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y2>y1>y3D.y3>y1>y26、跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度(单位:)与水平距离(单位:)近似满足函数关系().下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为()A. B. C. D.7、二次函数的顶点坐标为()A. B. C. D.8、关于二次函数,下列说法正确的是()A.图象与y轴的交点坐标为B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当时,y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为-39、若函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是()A.b<1且b≠0B.b>1C.0<b<1D.b<110、如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点(﹣1,0)和(4,0),那么下列说法正确的是()A.ac>0B.b 2﹣4ac<0C.对称轴是直线x=2.5D.b>011、适合解析式y=-x2+1的一对值是()A.(1,0)B.(0,0)C.(0,-1)D.(1,1)12、将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的函数图象的解析式为().A.y=5(x+2)2+3B.y=5(x-2)2+3C.y=5(x+2)2-3 D.y=5(x-2)2-313、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①abc<0;②b2﹣4ac>0;③a+b+c<0;④3a+c<0;其中结论正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个14、已知抛物线y=﹣x2+bx+2﹣b在自变量x的值满足﹣1≤x≤2的情况下,若对应的函数值y的最大值为6,则b的值为()A.﹣1或2B.2或6C.﹣1或4D.﹣2.5或815、如图,二次函数(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(﹣1,0).下列结论:①ab<0,②>4a,③0<b<1,④当x>﹣1时,y>0,其中正确结论的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题(共10题,共计30分)16、若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,﹣1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数关系式为________.17、农机厂第一个月水泵的产量为50(台),第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的关系表示为________.18、将抛物线向右平移1个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的表达式为________.19、抛物线y=x2+2x﹣3的顶点坐标为________.20、如图 1 是台湾某品牌手工蛋卷的外包装盒,其截面图如图 2 所示,盒子上方是一段圆弧(弧 MN ).D,E 为手提带的固定点, DE 与弧MN 所在的圆相切,DE=2.手提带自然下垂时,最低点为C,且呈抛物线形,抛物线与弧MN 交于点 F,G.若△CDE 是等腰直角三角形,且点 C,F 到盒子底部 AB 的距离分别为 1,,则弧MN 所在的圆的半径为________.21、如图,抛物线y=﹣x2+2x+m+1(m为常数)交y轴于点A,与x轴的一个交点在2和3之间,顶点为B.①若点M(﹣2,y1)、点N(,y2)、点P(2,y3)在该函数图象上,则y1<y2<y3;②将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线解析式为y=﹣(x+1)2+m;③抛物线y=﹣x2+2x+m+1与直线y=m+3有且只有一个交点;④点A关于直线x=1的对称点为C,点D、E分别在x轴和y轴上,当m=1时,四边形BCDE周长的最小值为.其中正确判断的序号是________.22、某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的两处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为28m,则能建成的饲养室面积最大为________m2.23、如图,等边三角形OAB的边长为2,P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过O、P两点的抛物线和过A,P两点的抛物线的顶点分别在OB,AB 上,则这两个二次函数的最大值之和等于________.24、二次函数图象如图,下列结论:①;②;③当时,;④. 其中正确的有________.25、已知函数y1=x,y2=x2和y3=,有一个关于x的函数,不论x取何值,y的解析式总是取y1、y2、y3中的值的较小的一个,则y的最大值等于________三、解答题(共5题,共计25分)26、将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位,所得新抛物线与x轴正半轴交于点B,与y轴交于点C,顶点为D.求:(1)点B、C、D坐标;(2)△BCD的面积.27、某市对火车站进行了大规模的改建,改建后的火车站除原有的普通售票窗口外,新增了自动打印车票的无人售票窗口.某日,从早8点开始到上午11点,每个普通售票窗口售出的车票数y1(张)与售票时间x(小时)的正比例函数关系满足图①中的图象,每个无人售票窗口售出的车票数y2(张)与售票时间x(小时)的函数关系满足图②中的图象.(1)图②中图象的前半段(含端点)是以原点为顶点的抛物线的一部分,根据图中所给数据确定抛物线的表达式为,其中自变量x的取值范围是(2)若当天共开放5个无人售票窗口,截至上午9点,两种窗口共售出的车票数不少于1450张,则至少需要开放多少个普通售票窗口?(3)上午10点时,每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同,试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式.28、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,且P=|2a+b|+|3b-2c|,Q=|2a-b|-|3b+2c|,试判断P,Q的大小关系.29、已知函数 y=(m﹣1)+3x为二次函数,求m的值.30、已知二次函数图象的顶点坐标为(2,-1),且经过点(0,3),求该函数的解析式.参考答案一、单选题(共15题,共计45分)2、B3、B4、C5、A6、B7、B8、D9、A10、D11、A12、D13、C14、D15、B二、填空题(共10题,共计30分)16、17、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题,共计25分)29、30、。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测(含答案解析)

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测(含答案解析)

一、选择题1.如图,Rt △ABC 中,AC =BC =2,正方形CDEF 的顶点D 、F 分别在AC 、BC 边上,设CD 的长度为x ,△ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ,则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是( )A .B .C .D .2.对于二次函数2y x bx c =++(b ,c 是常数)中自变量x 与函数y 的部分对应值如下表:x1- 0 1 2 34 y10 52 125A .函数图像开口向上B .当5x =时,10y =C .当2x >时,y 随x 的增大而增大.D .方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根3.如图是二次函数y =mx 2+nx +k 图象的一部分且过点P (3,0),二次函数图象的对称轴是直线x =1,下列结论正确的是( )A .n 2﹣4mk <0B .mk >0C .n =2mD .m ﹣n +k =04.如图所示,二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(-1,2),且与x 轴交点的横坐标分别为1x ,2x ,其中121x -<<-,201x <<,下列结论:①0abc >;②420a b c -+<;③20a b -<;④284b a ac +>.其中正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个5.抛物线23y x =向左平移5个单位,再向下平移1个单位,所得到的抛物线是( ) A .23(5)1y x =-+ B .23(-5)1y x =- C .23(5)1y x =+-D .23(5)1y x =++6.如图,抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-,下列结论:①0abc >;②240b ac -≥;③80a c +<;④5320a b c -+<,正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个7.已知抛物线2y ax bx c =++(a ,b ,c 是常数0a ≠,1c >)经过点(2,0),其对称轴是直线12x =.有下列结论:①0abc >;②关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不等的实数根;③12a <-.其中正确结论的个数是( ) A .0B .1C .2D .38.如图1,在矩形ABCD 中,动点E 从点A 出发,沿A B C →→的路线运动,当点E 到达点C 时停止运动.若FE AE ⊥,交CD 于点F 设点E 运动的路程为x ,FC y =,已知y 关于x 的图象如图2所示,则m 的值为( )A .2B .2C .1D .239.函数k y x=与()20y kx k k =-≠在同一直角坐标系中的图象大致是下图中的( ) A . B . C . D .10.如图,二次函数2y ax bx c =++(a 、b 、c 是常数,且0a ≠)的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ,对称轴为直线1x =,下列结论:①0abc <;②0a b c -+<;③2ba =-;④80a c +>.其中正确结论的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个11.飞机着陆后滑行的距离s (单位:m )与滑行的时间t (单位:s )的函数解析式是260 1.5s t t =-,那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来.( )A .10sB .20sC .30sD .40s12.如图,二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点,与y 轴负半轴交于点C ,它的对称轴为直线12x =,则下列选项中正确的是( )A .0abc <B .0a b -=C .40a c ->D .当2(1x n n =+为实数)时,y c ≤二、填空题13.将抛物线y =3x 2沿y 轴向上平移1个单位,所得的抛物线关系式为_____. 14.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的自变量x 与函数值y 之间满足下列数量关系:x0 1 2 3 y75713则代数式的值为_______.15.若A (m-2,n ),B (m+2,n )为抛物线2()2020y x h =--+上两点,则n=_______.16.已知函数y b =的图象与函数23|1|43y x x x =----的图象恰好有四个交点,则b 的取值范围是______.17.有五张正面分别标有数字32112---,,,,的卡片,它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为a ,则使关于以x为自变量的二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是____.18.如图,已知二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图象与x 轴交于不同两点,与y 轴的交点在y 轴正半轴,它的对称轴为直线1x =.有以下结论:①0abc >,②0a c ->,③若点()11,y -和()22,y 在该图象上,则12y y <,④设1x ,2x 是方程20ax bx c ++=的两根,若2am bm c p ++=,则()()120p m x m x --≤.其中正确的结论是____________(填入正确结论的序号).19.抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ,纵坐标y 的对应值如表所示,下列说法:x··· 3-2-1- 0 1 ··· y···6-466···①抛物线与轴的交点为0,6;②抛物线的对称轴是在轴右侧;③在对称轴左侧,y 随x 增大而减小;④抛物线一定过点()3,0.上述说法正确的是____(填序号).20.如图,抛物线()()1244y x x =+-与x 轴交于A B 、两点,P 是以点()0,3C 为圆心,2为半径的圆上的动点,Q 是线段PA 上靠近点A 的三等分点,连结OQ ,则线段OQ 的最大值是__________.三、解答题21.已知:抛物线y 1=﹣x 2﹣2x +3的图象交x 轴于点A ,B (点A 在点B 的左侧). (1)请在平面直角坐标系内画出二次函数y 1=﹣x 2﹣2x +3的草图,并标出点A 的位置; (2)点C 是直线y 2=﹣x +1与抛物线y 1=﹣x 2﹣2x +3异于B 的另一交点,则点C 的坐标为 ;当y 1≥y 2时x 的取值范围是 .22.平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线2y x bx c =++经过()21,21m m -++、()20,22mm ++两点,其中m 为常数.(1)求b 的值,并用含m 的代数式表示c ;(2)若抛物线2y x bx c =++与x 轴有公共点,求m 的值;(3)设()1,a y 、()22,a y +是抛物线2y x bx c =++上的两点,请比较2y 与1y 的大小,并说明理由.23.如图, 已知直线112y x =+与y 轴交于点A ,与x 轴交于点D ,抛物线2y ax bx c =++与直线交于A ,E 两点,与x 轴交于B (1,0),C (2,0)两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)动点P 在x 轴上移动, 当△PAE 是直角三角形时, 请通过计算写出一个满足条件点P 的坐标.24.一个二次函数图像上部分点的横坐标x ,纵坐标y 的对应值如下表:x … 0 1 2 3 4 … y…m﹣13…的值为 ;(2)在给定的直角坐标系中,画出这个函数的图像; (3)根据图像,写出当y >0时,x 的取值范围.25.已知二次函数223(0)y mx mx m m =-->的图像与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 左侧),顶点为C .(1)求A ,B 两点的坐标;(2)连接,BC AC ,若ABC 为等边三角形,求m 的值.26.2020年是国家实施精准扶贫、实现贫困人口全面脱贫的决胜之年.贫困户张大爷在某单位的帮扶下,把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓,今年正式上市销售,在销售的30天中,第一天卖出20千克,为了扩大销售,采取降价措施,以后每天比前一天多卖出4千克,第x 天的售价为y 元/千克,y 关于x 的函数解析式为()()76120,2030,mx m x x y n x x ⎧-≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩为正整数为正整数且第12天的售价为32元/千克,第26天的售价为25元/千克.已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克,每天的利润是W 元(利润=销售收入-成本).(1)m =______,n =______;(2)求销售蓝莓第几天时,当天的利润最大?最大利润是多少?【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】分类讨论:当0<x≤1时,根据正方形的面积公式得到2yx ;当1<x≤2时,ED 交AB 于M ,EF 交AB 于N ,利用重叠的面积等于正方形的面积减去△MNE 的面积得到()2221y x x =--,配方得到()222y x =--+,然后根据二次函数的性质对各选项进行分析判断即可. 【详解】解:当0<x≤1时,2yx ,当1<x≤2时,ED 交AB 于M ,EF 交AB 于N ,如图,CD=x ,则2AD x =-, ∵Rt △ABC 中,AC=BC=2, ∴△ADM 为等腰直角三角形, ∴2DM x =-,∴()222EM x x x =--=-,∴S △ENM ()()22122212x x =-=-, ()()2222214222y x x x x x =--=-+-=--+∴()()()22012212y x x y x x ⎧=≤⎪⎨=--+≤⎪⎩﹤﹤, 故选:A . 【点睛】本题考查动点问题的函数图象:通过看图获取信息,考查学生问题分析能力,解题的关键是分两种情况考虑:当0<x≤1和当1<x≤2.2.D解析:D 【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确,从而可以解答本题. 【详解】解:由表格可得,当x <2时,y 随x 的值增大而减小;当x >2时,y 随x 的值增大而增大,该函数开口向上,故选项A 、C 不符合题意; ∴点(−1,10)的对称点是(5,10),∴点(5,10)在该函数的图象上,故选项B 不符合题意;由表格可得,该抛物线开口向上,且最小值是1,则该抛物线与x 轴没有交点, ∴方程20x bx c ++=无实数根,故选项D 符合题意. 故选:D . 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.3.D解析:D 【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可对A 进行判断;由抛物线开口向上得m >0,由抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得k <0,则可对B 进行判断;根据抛物线的对称轴是x =1对C 选项进行判断;根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点为(−1,0),所以m −n +k =0,则可对D 选项进行判断. 【详解】解:A .∵抛物线与x 轴有两个交点, ∴n 2﹣4mk >0,所以A 选项错误; B .∵抛物线开口向上, ∴m >0,∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方, ∴k <0,∴mk <0,所以B 选项错误;C .∵二次函数图象的对称轴是直线x =1, ∴﹣2nm=1, ∴n =﹣2m ,所以C 选项错误;D .∵抛物线过点A (3,0),二次函数图象的对称轴是x =1, ∴抛物线与x 轴的另一个交点为(﹣1,0), ∴m ﹣n +k =0,所以D 选项正确; 故选:D . 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y =ax 2+bx +c (a≠0)的图象为抛物线,当a >0,抛物线开口向上;对称轴为直线2bx a=-;抛物线与y 轴的交点坐标为(0,c );当b 2−4ac >0,抛物线与x 轴有两个交点;当b 2−4ac =0,抛物线与x 轴有一个交点;当b 2−4ac <0,抛物线与x 轴没有交点.4.D解析:D 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系,由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 【详解】 解:①∵a <0,2ba-<0, ∴b <0.∵抛物线交y 轴与正半轴, ∴c >0.∴abc >0,故①正确.②根据图象知,当x=-2时,y <0,即4a-2b+c <0;故②正确; ③∵该函数图象的开口向下, ∴a <0;又∵对称轴-1<x=2ba-<0, ∴2a-b <0,故③正确;④∵y=244ac b a->2,a <0,∴4ac-b 2<8a ,即b 2+8a >4ac ,故④正确. 综上所述,正确的结论有①②③④.故答案为:D .【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系,抛物线与x 轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握,掌握相关性质是解题的关键.5.C解析:C【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.【详解】解:将抛物线y=3x 2向左平移5个单位所得直线解析式为:y=3(x+5)2;再向下平移1个单位为:y=3(x+5)2-1.故选:C .【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键. 6.B解析:B【分析】首先根据函数图像分别判断出a 、b 、c 的符号判断结论①;再利用与x 轴交点的个数得出24b ac -的正负判断结论②;利用对称轴以及当2x =时函数值的正负判断结论③;利用当1x =-和2x =-时的函数值的正负来判断结论④.【详解】结论①由抛物线开口方向向上可得0a >;对称轴在y 轴左侧可得a 、b 符号相同,即0b >;函数图像与y 轴交于负半轴,可得0c <;由此可知0abc <,故①错误. 结论②由函数图像与x 轴有两个交点可得240b ac ->,故②正确.结论③由函数图像可知抛物线对称轴为1x =-,所以12b a-=-,整理可得2b a =;当2x =时,420a b c ++>,将2b a =代入420a b c ++>可得,80a c +>,故③错误. 结论④由函数图像可知当2x =-时,420a b c -+<,当1x =-时,0a b c -+<,所以532(42)()0a b c a b c a b c -+=-++-+<,故④正确.综上所述,本题正确结论为②④,共2个.故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的系数与图像的关系,关键在利用函数中当1x =-、2x =-和1x =-时的函数值的大小来判断③④结论的对错.7.C解析:C【分析】由二次函数的对称性及题意可得该抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-,进而可得抛物线的开口方向向下,则有a 0,b 0,c 0<>>,然后根据二次函数的性质可进行排除选项.【详解】解:∵抛物线2y ax bx c =++(a ,b ,c 是常数0a ≠,1c >)经过点(2,0),其对称轴是直线12x =, ∴抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标为12212⨯-=-, ∴该点坐标为()1,0-,∴抛物线的开口方向向下,即0a <,根据“左同右异”可得0b >,∴0abc <,故①错误; ∴令y=0,则关于x 的方程20ax bx c ++=的解为:122,1x x ==-,故②正确; 根据根与系数的关系可得122c x x a==-, ∴21c a =->, 解得12a <-,故③正确; ∴正确的个数有2个;故选C .【点睛】 本题主要考查二次函数的图像与性质,熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键. 8.D解析:D【分析】分别求出点E 在AB 、BC 段运动时函数的表达式,即可求解.【详解】解:由图2可知,AB=6,BC=10-6=4,①当点E 在AB 上运动时,y=FC=BE=AB-AE=6-x ,即y=6-x (0≤x≤6),图象为一次函数;②当点E 在BC 上运动时,如下图,则BE=x-AB=x-6,EC=BC-BE=4-(x-6)=10-x , FC=y ,AB=6,∵∠FEC+∠AEB=90°,∠AEB+∠EAB=90°,∴∠FEC=∠EAB ,∴∠CFE=∠AEB ,∴△ABE ∽△ECF , ∴BE AB CF CE=,即6610x y x -=-, 整理得:()2181061063y x x x =-+-<≤,图象为二次函数, ∵106-<, 故()2218121086363y x x x =-+-=--+有最大值,最大值为23, 即23m =, 故选:D .【点睛】本题考查的是动点图象问题,涉及到二次函数、一次函数、相似三角形等知识,此类问题关键是:弄清楚不同时间段,图象和图形的对应关系,进而求解.9.B解析:B【分析】根据k>0,k<0,结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论.【详解】解:分两种情况讨论:①当k>0时,反比例函数k y x=在一、三象限,而二次函数()20y kx k k =-≠开口向上,与y 轴交点在原点下方,故C 选项错误,B 选项正确; ②当k<0时,反比例函数k y x=在二、四象限,而二次函数()20y kx k k =-≠开口向下,与y 轴交点在原点上方,故A 选项与D 选项错误.故选B .【点睛】 本题考查了反比例函数图象性质和二次函数图象性质.关键是根据k>0,k<0,结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论.10.B解析:B【分析】利用数形结合思想,从抛物线的开口,与坐标轴的交点,对称轴等方面着手分析判断即可.【详解】∵抛物线的开口向上,对称轴在原点的右边,与y 轴交于负半轴,∴a >0, b <0,c <0,∴abc >0,∴结论①错误;∵抛物线的对称轴为x=1, ∴12b a-=, ∴2b a =-; ∴结论③正确;∵二次函数2y ax bx c =++(a 、b 、c 是常数,且0a ≠)的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ,对称轴为直线1x =, ∴1312x +=, ∴11x =-,∴二次函数2y ax bx c =++(a 、b 、c 是常数,且0a ≠)的图象与x 轴的另一个交点为(-1,0),∴0a b c -+=;∴结论②错误;∵当x=-2时,y=4a-2b+c >0, ∵12b a-=,则b=-2a ∴80a c +>,∴结论④正确;故选B .【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数之间的关系,对称轴的使用,代数式符号的判定,熟练运用数形结合的思想,二次函数的性质是解题的关键.11.B解析:B【分析】当s 取最大值时,飞机停下来,求函数最大值时的自变量即可.【详解】∵当s 取最大值时,飞机停下来,∴t= 6022( 1.5)b a -=-⨯-=20, 故选:B .【点睛】本题考查了二次函数应用-飞机着陆问题,熟练把问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键.12.D解析:D【分析】根据二次函数的图像和性质,分别对每个选项进行判断,即可得到答案.【详解】解:由图象开口向上,可知a<0,与y 轴的交点在x 轴的下方,可知c<0, 又对称轴方程为12x =,所以122b a -=>0,所以b >0, ∴abc >0,故A 错误; ∵122b a -= ∴=-a b , ∴0a b +=,故B 错误; 当12x =时,则11042y a b c =++>, ∵=-a b , ∴11042a a c -+>, ∴104a c -+>, ∴40a c -<,故C 错误;当21x n =+时,222(1)(1)y a n b n c =++++4222an an a an a c =++--+42an an c =++22(1)an n c =++;∵n 为实数,∴20an ≤,211n +≥,∴22(1)an n c c ++≤,即y c ≤,故D 正确;故选:D .【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质.熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键.第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13.y =3x2+1【分析】根据抛物线平移规律常数项加1即可【详解】解:抛物线y =3x2沿y 轴向上平移1个单位所得的抛物线关系式为y =3x2+1故答案为:y =3x2+1【点睛】本题考查了抛物线平移的变化规解析:y =3x 2+1.【分析】根据抛物线平移规律,常数项加1即可.【详解】解:抛物线y =3x 2沿y 轴向上平移1个单位,所得的抛物线关系式为y =3x 2+1, 故答案为:y =3x 2+1.【点睛】本题考查了抛物线平移的变化规律,解题关键是准确掌握函数平移的规律,左加右减自变量,上加下减常数项.14.91【分析】观察表格可知:x=0时y=7x=2时y=7即可求得抛物线的对称轴为直线x==1根据抛物线的对称性求得x=-1时y=13从而求得4a+2b+c=7a-b+c=13【详解】解:观察表格可知:解析:91【分析】观察表格可知:x=0时,y=7,x=2时,y=7,即可求得抛物线的对称轴为直线x=022+=1,根据抛物线的对称性求得x=-1时,y=13,从而求得4a+2b+c=7,a-b+c=13.【详解】解:观察表格可知:x=0时,y=7,x=2时,y=7,∴抛物线的对称轴为直线x=022+=1, ∵x=3时,y=13,∴x=-1时,y=13,∴4a+2b+c=7,a-b+c=13,∴(4a+2b+c )(a-b+c )的值为91,故答案为91.【点睛】本题考查二次函数图象上的点的特征,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型. 15.2016【分析】根据二次函数的图象与性质可得抛物线的对称轴为再利用m-2+m+2=2h 解得m=h 则可得A (h −2n )B (h +2n )将B (h +2n )代入函数关系式即可求出结果【详解】解:∵A (m-2n解析:2016【分析】根据二次函数的图象与性质可得抛物线2()2020y x h =--+的对称轴为x h =,再利用m-2+m+2=2h ,解得m=h ,则可得A (h−2,n ),B (h +2,n ),将B (h +2,n )代入函数关系式即可求出结果.【详解】解:∵A (m-2,n ),B (m+2,n )是抛物线2()2020y x h =--+上两点, ∴抛物线2()2020y x h =--+的对称轴为x h =,∴m-2+m+2=2h ,解得m=h ,∴A (h−2,n ),B (h +2,n ),当x =h +2时,n =−(h +2−h )2+2020=2016,故答案为:2016.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质,解题的关键是掌握二次函数图象上的点的坐标特征并灵活运用所学知识解决问题.16.【分析】根据绝对值的意义分两种情形化简绝对值后根据图像确定b 的范围即可【详解】当x≥1时y=;当x <1时y=;∴二图像的交点为(1-6)y=的最小值为画图像如下根据图像可得直线与之间的部分有个交点∴ 解析:2564b -<<- 【分析】根据绝对值的意义,分两种情形化简绝对值,后根据图像确定b 的范围即可.【详解】当x≥1时,y=27x x -;当x <1时,y=26x x --; ∴227(1)6(1)x x x y x x x ⎧-≥=⎨--<⎩, 二图像的交点为(1,-6), y=26x x --的最小值为254-, 画图像如下,根据图像,可得直线6y =-与254y =-之间的部分有4个交点, ∴b 的取值范围为254-<b <-6, 故填254-<b <-6. 【点睛】 本题考查了图像的交点问题,利用分类思想,数形结合思想,最值思想画出图像草图是解题的关键.17.【分析】把点的坐标代入解析式转化为a 的一元二次方程确定方程的根从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值计算概率即可【详解】当二次函数的图象经过点时得解得所以符合题意的a 值有-3-12共三个所以二 解析:35【分析】把点的坐标代入解析式,转化为a 的一元二次方程,确定方程的根,从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值,计算概率即可.【详解】当二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象经过点(1,0)时,得 220a a +-=,解得 122,1a a =-=,所以符合题意的a 值有-3,-1,2,共三个,所以二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是35,故答案为:35. 【点睛】 本题考查了简单事件的概率计算、二次函数,利用二次函数的图象过点的意义,判定符合题意的a 值是解题的关键.18.③④【分析】利用数形结合思想从抛物线的开口与坐标轴的交点对称轴等方面着手分析判断即可【详解】解:∵抛物线的开口向下对称轴在原点的右边与y 轴交于正半轴∴a <0b >0c >0∴abc <0∴结论①错误;∵抛解析:③④【分析】利用数形结合思想,从抛物线的开口,与坐标轴的交点,对称轴等方面着手分析判断即可.【详解】解:∵抛物线的开口向下,对称轴在原点的右边,与y 轴交于正半轴,∴a <0, b >0,c >0,∴abc <0,∴结论①错误;∵抛物线的对称轴为x=1, ∴12b a-=, ∴b=-2a ;∵ c+a+b >0,∴c-a >0,∴a-c <0, ∴结论②错误;∵抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线的开口向下,∵点()11,y -和()22,y 在该图象上,∴()11,y -与x=1的距离比()22,y 与x=1的距离远;∴12y y <,∴结论③正确;∵2am bm c p ++=,1x ,2x 是方程20ax bx c ++=的两根,当0p a+b+c <≤时,12m ≤≤x x ;∴()()120<--p m x m x ;当p=0时,()()12=0--p m x m x当p<0时,()()120<--p m x m x∴()()120p m x m x--≤∴结论④正确;③④故答案为:【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数之间的关系,对称轴的使用,代数式符号的判定,熟练运用数形结合的思想,二次函数的性质是解题的关键.19.①②④【分析】由表格中数据x=0时y=6x=1时y=6;可判断抛物线的对称轴是x=05根据函数值的变化判断抛物线开口向下再由抛物线的性质逐一判断【详解】解:由表格中数据可知x=0时y=6x=1时y=解析:①②④.【分析】由表格中数据x=0时,y=6,x=1时,y=6;可判断抛物线的对称轴是x=0.5,根据函数值的变化,判断抛物线开口向下,再由抛物线的性质,逐一判断.【详解】解:由表格中数据可知,x=0时,y=6,x=1时,y=6,①抛物线与y轴的交点为(0,6),正确;②抛物线的对称轴是x=0.5,对称轴在y轴的右侧,正确;③由表中数据可知在对称轴左侧,y随x增大而增大,错误.④根据对称性可知,抛物线的对称轴是x=0.5,点(-2,0)的对称点为(3,0),即抛物线一定经过点(3,0),正确;正确的有①②④.故答案为①②④.【点睛】主要考查了二次函数的性质.要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点.解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴,图象与x,y轴的交点坐标等.20.【分析】当BCP三点共线且C在BP之间时BP最大连接PB此时△OAQ∽△BAP且相似比为1:3由此即可求得求出BP的最大值即可求解【详解】解:如下图所示连接BP当BCP三点共线且C在BP之间时BP最解析:7 3【分析】当B、C、P三点共线,且C在BP之间时,BP最大,连接PB,此时△OAQ∽△BAP,且相似比为1:3,由此即可求得13=OQ BP,求出BP的最大值即可求解.【详解】解:如下图所示,连接BP ,当B 、C 、P 三点共线,且C 在BP 之间时,BP 最大,令()()12404=+-=y x x ,求得1224,==x x , ∴B(4,0),A(-2,0), ∵21===63AO AQ AB AP,且∠QAO=∠PAB , ∴△OAQ ∽△BAP , ∴13=OQ BP ,故只要BP 最大,则OQ 就最大, 此时BP 最大值为:224327++=BC CP , ∴OQ 的最大值为:73. 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点坐标,相似三角形的性质和判定,本题的关键是根据圆的基本性质,确定BP 的最大值,进而求解.三、解答题21.(1)见解析;(2)()2,3-,21x -≤≤【分析】(1)利用五点法作出二次函数的图像,然后令x=0求出A 点坐标即可;(2)将两个函数联立形成新的一元二次方程,然后求解C 点坐标,最后利用图像判断x 的取值范围即可.【详解】(1)由题意得: x ··· -3 -2 -1 0 1 ···y .. 0 3 4 3 0 (1)由上图得A 点坐标为()3,0-;(2)由题意得:2123x x x -+=--+,解得12x =-,21x =,当2x =-时,()213y =--+=,∴C 点坐标为()2,3-,由上图得,当y 1≥y 2时,21x -≤≤.【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质,重点是根据五点法作出二次函数的图像,然后利用数形结合思想进行判断.22.(1)b =2,c =m 2+2m +2;(2)m =-1;(3)见解析【分析】(1)由抛物线上两点代入抛物线解析式中即可求出b 和c ;(2)令y =0,抛物线和x 轴有公共点,即△≥0,再结合非负数的性质确定出m 的值, (3)将两点代入抛物线解析式中,表示出y 1,y 2,求出y 2-y 1分情况讨论即可【详解】解:(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过(-1,m 2+2m +1)、(0,m 2+2m +2)两点, ∴2212122b c m m c m m ⎧-+=++⎨=++⎩, ∴2222b c m m =⎧⎨=++⎩, 即:b =2,c =m 2+2m +2;(2)由(1)得y =x 2+2x +m 2+2m +2,令y =0,得x 2+2x +m 2+2m +2=0,∵抛物线与x 轴有公共点,∴△=4-4(m 2+2m +2)≥0,∴(m +1)2≤0,∵(m +1)2≥0,∴m +1=0,∴m =-1;(3)由(1)得,y =x 2+2x +m 2+2m +2,∵(a ,y 1)、(a +2,y 2)是抛物线的图象上的两点,∴y 1=a 2+2a +m 2+2m +2,y 2=(a +2)2+2(a +2)+m 2+2m +2,∴y 2-y 1=[(a +2)2+2(a +2)+m 2+2m +2]-[a 2+2a +m 2+2m +2]=4(a +2)当a +2≥0,即a ≥-2时,y 2-y 1≥0,即y 2≥y 1,当a +2<0,即a <-2时,y 2-y 1<0,即y 2<y 1.【点睛】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法,抛物线与x 轴的交点,比较代数式的大小,解本题的关键是求出b ,用m 表示出抛物线解析式,难点是分类讨论.23.(1)213122=-+y x x ;(2)点P 的坐标为1(,0)2或(1,0)或(3,0)或11(,0)2. 【分析】(1)根据直线的解析式求得点A (0,1),然后利用待定系数法求得函数解析式;(2)让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E 的坐标.△PAE 是直角三角形,应分点P 为直角顶点,点A 是直角顶点,点E 是直角顶点三种情况探讨.【详解】解:(1)解:(1)∵直线y=12x+1与y 轴交于点A , ∴A (0,1),将A (0,1),B (1,0),C (2,0)代入2y ax bx c =++中 10420c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,解得:12321a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴抛物线的解析式为:213122=-+y x x (2) 设点E 的横坐标为m ,则它的纵坐标为213122m m -+即E 点的坐标213(,1)22m m m -+,又∵点E 在直线112y x =+上, ∴213111222m m m -+=+解得10m =(舍 去) ,24m =, E ∴的坐标为(4,3).(Ⅰ)当A 为直角顶点时,过A 作1AP DE ⊥交x 轴于1P 点,设1(,0)P a 易知D 点坐标为(2,0)-,由Rt AOD Rt ∆∽△1POA 得:DO OA OA OP =,即211a=, 12a ∴=, 11(2P ∴,0). (Ⅱ) 同理,当E 为直角顶点时, 过E 作2EP DE ⊥交x 轴于2P 点,由Rt AOD Rt ∆∽△2P ED 得,2DO DE OA EP =,即221=22EP ∴=,2152DP ∴==, 1511222a ∴=-=, 2P 点坐标为11(,0)2.(Ⅲ) 当P 为直角顶点时, 过E 作EF x ⊥轴于F ,设3(P b ,0),由90OPA FPE ∠+∠=︒,得OPA FEP ∠=∠,Rt AOP Rt PFE ∆∆∽, 由AO OP PF EF =得143b b =-, 解得13b =,21b =,∴此时的点3P 的坐标为(1,0)或(3,0),综上所述, 满足条件的点P 的坐标为1(,0)2或(1,0)或(3,0)或11(,0)2.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,二次函数的性质,直线和抛物线的交点等;分类讨论的思想是解题的关键.24.(1)3;(2)见解析;(3)x<1或x>3.【分析】(1)利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2,则x=4和x=0时的函数值相等,从而得到m的值;(2)利用描点法画出二次函数图象;(3)结合函数图象,写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围.【详解】解:(1)∵抛物线经过点(1,0),(3,0),∴抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-1),∴x=4和x=0时的函数值相等,∴m=3;故答案为:3;(2)描点,连线,二次函数图象如图所示,y 时,x<1或x>3.(3)观察图象,0【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点:把求二次函数y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 是常数,a≠0)与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程.也考查了二次函数的性质. 25.(1)(1,0)A -,(3,0)B ;(2)32m = 【分析】(1)把y=0代入,解方程即可;(2)求出顶点坐标,过C 作CD AB ⊥于D ,求出CD 即可.【详解】解:(1)2230mx mx m --=,∵0m >,方程两边同时除以m 得, 2230x x --=解得,13x =,21x =-∴A ,B 两点的坐标分别为:(1,0)A -,(3,0)B .(2)抛物线223(0)y mx mx m m =-->的顶点横坐标为:212m x m-=-=, 把x=1代入223y mx mx m =--得,y=-4m ,抛物线的顶点C 的坐标为:(1,4)C m -由(1)得,AB=4,过C 作CD AB ⊥于D , ∵ABC 为等边三角形,∴AD=2,AC=4, ∴22224223CD AC AD =-=-=∵点C 在第四象限,∴43m =∴3m =. 【点睛】本题考查求二次函数与x 轴交点,等边三角形的性质,解题关键是熟练的解一元二次方程,根据已知条件,找到坐标与线段的关系.26.(1)12m =-,25n =;(2)当18x =时,968W =最大. 【分析】(1)根据题意将第12天的售价、第26天的售价代入即可得;(2)在(1)的基础上分段表示利润,讨论最值.【详解】解:(1)第12天的售价为32元/件,代入76y mx m =-得 321276m m =-,解得12m =-, 当地26天的售价为25元/千克时,代入y n =,则25n =, 故答案为:12m =-,25n =. (2)由(1)第x 天的销售量为()2041x +-即416x +.当120x ≤<时,()()22141638182723202189682W x x x x x ⎛⎫=+-+-=-++=--+ ⎪⎝⎭, ∴当18x =时,968W =最大.当2030x ≤≤时,()()416251828112W x x =+-=+,∵280>,∴W 随x 的增大而增大,∴当30x =时,952W =最大.∵968952>,∴当18x =时,968W =最大.【点睛】本题考查了一次函数的应用,二次函数的应用,弄清题意,找准题中的数量关系,运用分类讨论思想是解题的关键.。

北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数单元过关基础测试题(附答案详解)

北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数单元过关基础测试题(附答案详解)

北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数单元过关基础测试题(附答案详解) 1.y=x 2-7x-5与y 轴的交点坐标为( )A .-5B .(0,-5)C .(-5,0)D .(0,-20) 2.二次函数y =2(x ﹣3)2+2图象向左平移6个单位,再向下平移2个单位后,所得图象的函数表达式是( )A .y =2(x-9)2B .y =2(x+3)2C .y =2(x+3)2+4D .y =2(x-9)2+43.将抛物线C 1:y =﹣x 2﹣2x ,绕着点M (1,0)旋转180°后,所得到的新抛物线C 2的解析式是 .A .y =(x ﹣3)2﹣1B .y =(x ﹣3)2+1C .y =(x+3)2﹣1D .y =(x ﹣3)2﹣24.已知,二次函数()22y x k =++向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到二次函数()2+h 1y x =-,则h 和k 的值分别为( )A .3,-4B .1,-4C .1, 2D .3, 2 5.将抛物线2y x =-向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是( ).A .2(2)y x =-+B .22y x =-+C .2(2)y x =--D .22y x =-- 6.抛物线21y x =-与y 轴交点的坐标是( )A .(﹣1,0)B .(1,0)C .(0,﹣1)D .(0,1)7.已知点12(-32)y y ,,(,)均在抛物线2-21y x x =++上,则12y y 、的大小关系为( )A .12y y < B .12y y > C .12y y ≤ D .12y y ≥8.若点A (﹣2,a ),B (﹣1,b ),C (3,c )都在二次函数y =mx 2(m >0)图象上,则a 、b 、c 的大小关系是( )A .c <a <bB .b <a <cC .a <b <cD .c <b <a9.抛物线y=2x 2向左平移1个单位,再向下平移3个单位,则平移后的抛物线解析式为( )A .y=22(1)x ++3B .y=22(1)x +-3C .y=22(1)x --3D .y=22(1)x -+3 10.对于y =ax 2(a≠0)的图象,下列叙述正确的是( )A .a 越大开口越大,a 越小开口越小B .a 越大开口越小,a 越小开口越大C .|a|越大开口越小,|a|越小开口越大D .|a|越大开口越大,|a|越小开口越小11.当21x -≤≤时,二次函数21y x kx =-+-的最大值是1,则k 的值可能是_________. 12.如图,已知点M (p ,q )在抛物线y =x 2-1上,以M 为圆心的圆与x 轴交于A 、B 两点,且A 、B 两点的横坐标是关于x 的方程x 2-2px +q =0的两根,则弦AB 的长等于_______.13.已知二次函数2(21)1y kx k x =+--与x 轴交点的横坐标为x 1,x 2(12x x <),则对于下列结论:①当2x =-时,1y =;②当2x x >时,0y >;③方程2(21)10kx k x +--=有两个不相等的实数根x 1,x 2其中正确的结论是________(只需填写序号)14.用配方法将二次函数241y x x =-+化为2()y a x h k =-+的形式为y =________.15.如图,抛物线y=a (x+2)2+3(a <0)与y 轴正半轴交于点A ,过点A 作AB ∥x 轴交抛物线于点B ,抛物线的对称轴交抛物线于点M 、交x 轴于点N ,连结MA 、MB 、NA 、NB ,则四边形ANBM 的面积为________.16.若抛物线2()1y x m m =-+-的对称轴是直线1x =,则它的顶点坐标是________.17.某二次函数的图象与x 轴交于点(﹣1,0),(4,0),且它的形状与y =﹣x 2形状相同.则这个二次函数的解析式为_____.18.已知当x≥1时,关于x 的二次函数y =x 2+2kx+1的函数值y 随x 的增大而增大,则k 的取值范围为______.19.若y =(m 2+m )2m m x -+3x 是二次函数,则m =____.20.如图,抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点(-1,0),顶点坐标为(1,m ),与y 轴交4③关于x 的方程ax 2+bx +c =m -2有两个不相等的实数根:④若点M (-1.5,y 1),N (2.5,y 2)是函数图象上的两点,则y 1=y 2.其中正确结论的个数为( )A .1B .2C .3D .421.已知抛物线2y x bx c =++(,b c 是常数)与x 轴交于,A B 两点,与y 轴交于点C . (Ⅰ)当(1,0),(0,3)A C --时,求抛物线的解析式及顶点坐标;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,(),P m t 为抛物线上的一个动点.①求当P 关于原点的对称点P'落在直线BC 上时,求m 的值;②当P 关于原点的对称点P'落在第一象限内,2'P A 取得最小值时,求m 的值及这个最小值.22.已知矩形的周长为30厘米,矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱,矩形的长、宽各为多少时,旋转形成的圆柱的侧面积最大?侧面积的最大值是多少?23.如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.(1)求出抛物线的解析式;(2)P 是抛物线上一动点,过P 作PM ⊥x 轴,垂足为M ,是否存在P 点,使得以A ,P ,M 为顶点的三角形与△OAC 相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.24.若关于x 的二次函数y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 为常数)与x 轴交于两个不同的点A (x 1,0),B (x 2,0)与y 轴交于点C ,其图象的顶点为点M ,O 是坐标原点.(1)若A (﹣2,0),B (4,0),C (0,3)求此二次函数的解析式并写出二次函数的对称轴;(2)如图,若a >0,b >0,△ABC 为直角三角形,△ABM 是以AB =2的等边三角形,试确定a ,b ,c 的值;(3)设m ,n 为正整数,且m ≠2,a =1,t 为任意常数,令b =3﹣mt ,c =﹣3mt ,如果对于一切实数t ,AB ≥|2t +n |始终成立,求m 、n 的值.25.如图,抛物线2144y x bx =-++与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,且()2,0B .(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标;(2)判断ABC ∆的形状,证明你的结论;(3)点()0,M m 是y 轴上的一个动点,当AM DM +的值最小时,求m 的值.26.如图,用一段长为40m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD ,墙长28m .设AB 长为xm ,矩形的面积为2ym .(1)写出y 与x 的函数关系式;当AB 长为多少米时,所围成的花圃面积最大?最大值是多少?(2)当花圃的面积为2150m 时,AB 长为多少米?27.已知抛物线22y x bx c =-++的顶点坐标为(1,2),求抛物线的表达式及抛物线与x 轴的交点坐标.28.如图,边长为2cm 的等边△ABC 的边BC 在直线l 上,两条距离为1cm 的平行直线a 和b 垂直于直线l ,直线a 、b 同时向右移动(直线a 的起始位置在B 点),运动速度为1cm/s ,直到直线a 到达C 点时停止.在a 、b 向右移动的过程中,记△ABC 夹在a 和b 之间的部分的面积为S ,求S 与t 的函数关系式.参考答案1.B【解析】【分析】令x=0,求得y的值,即为与y轴交点坐标.【详解】令x=0,则y=-5,故二次函数与y轴的交点坐标为(0,-5),选B.【点睛】此题主要考察二次函数与坐标轴的交点,熟知坐标轴交点的坐标特点是解题的关键.2.B【解析】【分析】根据平移规律,可得答案.【详解】二次函数y=2(x−3)2+2图象向左平移6个单位,再向下平移2个单位后,所得图象的函数表达式是:y=2(x−3+6)2+2−2,即y=2(x+3)2.故选:B.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换,利用平移规律:左加右减,上加下减是解题关键.3.A【解析】【分析】先利用配方法得到抛物线C1的顶点坐标为(-1,1),再利用中心对称的性质得到点(-1,1)关于M(1,0)中心对称的点的坐标为(3,-1),由于抛物线C1绕着点M(1,0)旋转180°后抛物线形状不变,只是开口方向相反,且旋转后抛物线的顶点坐标为(3,-1),于是可根据顶点式写出新抛物线解析式.【详解】∵y =−2x −2x =−()21x + +1,∴抛物线C 1的顶点坐标为(−1,1),∵点(−1,1)关于M (1,0)中心对称的点的坐标为(3,−1),抛物线C 1绕着点M (1,0)旋转180°后抛物线形状不变,只是开口方向相反,∴抛物线C 1绕着点M (1,0)旋转180︒后,所得到的新抛物线C 2的解析式为y =()23x -−1. 故选A.【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a 不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.4.D【解析】【分析】根据"左加右减,上加下减”的规律进行解答即可【详解】∵抛物线()22y x k =++的顶点坐标是(-2,k),则向左平移1个单位,再向下平移3个单位后的坐标为:(-3, k-3)∴平移后抛物线的解析式为()23-3y x k =++又∵平移后抛物线的解析式为()21y x h =+-即h=3,k=2.故选:D【点睛】此题考查二次函数与几何变换,解题关键在于利用平移的性质进行解答5.A【解析】【分析】根据二次函数平移规律,即可得到答案.【详解】解:由“左加右减”可知,抛物线2y x =-向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是2(2)y x =-+,故选A .【点睛】本题主要考查抛物线图像的平移,掌握函数图象的平移规则,“左加右减,上加下减”是解题的关键.6.C【解析】【分析】令x=0,可直接求出抛物线21y x =-与y 轴交点的坐标. 【详解】解:当0x =时,211y x =-=-,所以抛物线21y x =-与y 轴交点的坐标为(0,﹣1). 故选:C .【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征,若求与坐标轴的交点,只需令x=0或y=0即可. 7.A【解析】【分析】先根据函数解析式求出对称轴,然后根据函数性质判断即可.【详解】解:∵二次函数y =-x 2+2x+1,∴该抛物线的对称轴为直线x=1,∵点(-3,y 1),(2,y 2)再该函数解析式上,∴12y y <.故选A .【点睛】此题考查的是二次函数图象上点的坐标特点比较简单.8.B【解析】【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y 轴,然后比较三个点离对称轴的远近得到a 、b 、c 的大小关系.【详解】∵二次函数y =mx 2(m >0)∴抛物线的对称轴为y 轴,∵A (﹣2,a )、B (﹣1,b )、C (3,c )∴点C 离y 轴最远,点B 离y 轴最近,而抛物线开口向上,∴b <a <c ;故选:B .【点睛】本题考查了抛物线的性质,找到对称轴,熟悉函数的增减性是解决本题的关键.9.B【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移规律进行解答即可.【详解】解:把抛物线y =2x 2的图象向左平移1个单位,再向下平移3个单位,则平移后的抛物线的解析式为y=22(1)x +-3,故选:B .【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减. 10.C【解析】【分析】根据2y ax =(a 0≠)中的|a|的特点即可判断.【详解】函数2y ax =(a 0≠)中|a|越大开口越小,|a|越小开口越大,选C.【点睛】此题主要考查2y ax =(a 0≠)的函数特点,解题的关键是熟知这类函数的图像与特点.11.3或-【解析】【分析】根据二次函数的性质,由10a =-<,则二次函数对称轴为2k x =,可以分为三种情况进行分析:①22k <-时,②212k -≤≤时,③12k >时,通过计算,即可得到k 的值. 【详解】 解:∵21y x kx =-+-,∴10a =-<,对称轴为:2k x =, ∵当21x -≤≤时,函数取到最大值是1; ①当22k <-,即4k <-,此时当2x =-时,函数取到最大值, ∴2(2)211k ----=,解得:3k =-,∵4k <-,∴3k =-不符合题意;②当212k -≤≤时,即42k -≤≤,此时在2k x =,顶点处取到最大值,∴22()1122k k -+-=,解得:k =±, ∵42k -≤≤,∴k =-; ③当12k >时,即2k >,此时在1x =处取到最大值, ∴2111k -+-=,解得:3k =;综合上述,k 的值可能是:3或-.故答案为:3或-.【点睛】本题考查了二次函数的性质,以及二次函数的最值,解题的关键是掌握二次函数的性质,利用对称轴的位置判断最值的情况,注意不能漏解.12.2【解析】【详解】M (p ,q )在抛物线y=x 2-1上,故有q=p 2-1,即p 2-q=1;设A ,B 两点的横坐标为m 、n ;则有m+n=2p ,mn=q ;而弦AB 的长的等于|m-n|故|m-n|2=(m+n )2-4mn=4p 2-4q=4(p 2-q )=4.∴|m-n|=2故答案为2.13.①③【解析】【分析】直接根据二次函数的性质、根与系数的关系对各小题进行逐一分析即可.【详解】解:①把x=-2直接代入函数式可得y=1,正确;②因不知道k 的符号,就不知道开口方向,无法确定,错误;③因二次函数y=kx 2+(2k-1)x-1与x 轴有两个交点,所以,方程kx 2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x 1、x 2,正确;故正确的有①③【点睛】主要考查了二次函数的性质与一元二次方程的根,及根与系数之间的关系.14.2 (2)3x --【解析】【分析】本题是将一般式化为顶点式,由于二次项系数是1,只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可.【详解】解:y=x 2-4x+1=x 2-4x+4-4+1=(x-2)2-3.【点睛】本题考查二次函数的解析式的三种形式.15.6【解析】【分析】根据题意可得M 为抛物线的顶点,即M (﹣2,3),则AC=BC=2,MN=3,再根据S 四边形ANBM=2S △AMN 即可得解.【详解】∵y=a (x+2)2+3(a <0),∴M (﹣2,3),∴AC=BC=2,MN=3,则S 四边形ANBM =2S △AMN =122362AC MN ⨯=⨯=. 故答案为:6.【点睛】本题主要考查二次函数图象与性质,解此题的关键在于根据抛物线的顶点式直接得到顶点坐标,再利用面积公式进行求解即可.16.(1,0)【解析】【分析】首先根据对称轴是直线x=1,从而求得m 的值,然后根据顶点坐标公式直接写出顶点坐标【详解】∵抛物线2()1y x m m =-+-的对称轴是x=1∴m=1∴解析式为2(1)y x =-∴顶点坐标为(1,0)故答案为(1,0)【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,熟练掌握顶点式是解题的关键,难度适中17.y =﹣x 2+3x +4或y =x 2﹣3x ﹣4.【解析】【分析】根据图象与x 轴交于点(﹣1,0),(4,0)可设两点式解答,根据形状与y =﹣x 2形状相同,可知二次项系数为﹣1或1,于是可得二次函数解析式.【详解】∵函数图象与x 轴交于点(﹣1,0),(4,0),∴设解析式为y =a (x+1)(x ﹣4),又因为图象的形状与y =﹣x 2形状相同,故a =﹣1或1,所以解析式为y =±(x+1)(x ﹣4),整理得,y =﹣x 2+3x+4或y =x 2﹣3x ﹣4.故答案为y =﹣x 2+3x+4或y =x 2﹣3x ﹣4.【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式,由于知道二次函数图象与x 轴交点,故设两点式较为简便.18.k≥﹣1【解析】【分析】首先求出抛物线的对称轴,然后根据开口向上,可知其增减性,即可得解.【详解】抛物线的对称轴为:x =﹣22k =﹣k , ∵抛物线开口向上,∴x≥﹣k 时,函数值y 随x 的增大而增大,又∵当x≥1时,关于x 的二次函数y =x 2+2kx+1的函数值y 随x 的增大而增大,∴﹣k≤1,解得:k≥﹣1【点睛】此题主要考查抛物线的性质,熟练运用,即可解题.19.2【解析】【分析】根据二次函数的定义列出有关m 的方程,继而求解即可.【详解】根据二次函数的定义,得: 2220m m m m ⎧-=⎨+≠⎩解得:m =2.故答案为2.【点睛】本题考查了二次函数的定义,解题的关键是掌握二次函数的定义.20.A【解析】【分析】①根据抛物线的开口方向,可得a 的取值范围;根据抛物线对称轴的公式,可建立起b 与a 的关系,即b=-2a ,将其代入即可判断;②根据与y 轴交点范围,可得c 的取值范围,将点(-1,0)代入抛物线公式,可得a 与c 的关系,进而得到a 的取值范围;③将方程ax 2+bx +c =m -2转化为抛物线y =ax 2+bx +c 与直线2y m =-的交点的个数进行判断即可;④根据自变量与对称轴的距离可以判断函数值的相对大小.【详解】∵抛物线开口向下,∴a <0,而抛物线的对称轴为直线x=2b a-=1,即b=-2a , ∴3a+b=3a-2a=a <0,所以①错误;∵抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点(-1,0),∴a-b+c=0,∴3a+c=0,∴c=-3a∵2<c <3,∴2<-3a <3,∴-1<a <23-,所以②错误; ∵抛物线的顶点坐标(1,m ),m >2,开口向下,与x 轴有两个交点,∴抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m-2有两个交点,∴关于x 的方程ax 2+bx+c=m-2有两个不相等的实数根,所以③正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,而|-1.5-1|=2.5,|2.5-1|=1.5,∴y 1<y 2.所以④错误.故选A .【点睛】本题主要考查了二次函数(抛物线)的基本性质,熟练的掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标等知识是解答本题的关键.21.(Ⅰ)223y x x =--,抛物线的顶点坐标为()1,4- ; (Ⅱ)①m 的值为32或;②m 的值为22-,2'P A 的最小值为154 【解析】【分析】(Ⅰ)用待定系数法求出b 、c 即可得出解析式和顶点坐标;(Ⅱ)①先用待定系数法求出直线BC 的解析式,由于点P’与点P (m,t )关于原点对称,故点P’的坐标为(-m,-t ),将其代入直线BC 解析式,即可求解;②点P’落在第一象限可得m<0,t<0,连接AP’,过点P’作P’H ⊥x 轴于点H ,则H (-m ,0),可得在Rt △P’AH 中,222 'P A AH P H =+',可以得到2P A '的长度关于m 的函数关系式,通过配方法可以求出2P A '的最小值.【详解】(Ⅰ)∵抛物线2y bx c x =++ 经过点A (-1,0)C (0,-3), ∴013b c c=-+⎧⎨-=⎩,解得23b c =-⎧⎨=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y 2x 3x =--∵22y 2x 3x 14x =--=--,∴抛物线的顶点坐标为(1,-4).(Ⅱ)①由(Ⅰ)可知2y 2x 3x =--与x 轴交点B 的坐标为(3,0),与y 轴交点C 的坐标为(0,-3).设直线BC 的解析式为y=kx+b (k ≠0),∴033k b b =+⎧⎨-=⎩.解得13k b =⎧⎨=-⎩. ∴直线BC 的解析式为y=x-3.∵点P’与点P (m,t )关于原点对称,∴点P’的坐标为(-m,-t ).∵点P 关于原点的对称点P’ (-m,-t )落在直线BC 上,∴-t=-m-3,即t=m+3.∵点P (m,t )在抛物线2y 2x 3x =--上,∴2t 2m 3m =--.∴22m 3m 3m --=+.解得3m 2+=或3m 2=.∴m 的值为m =. ②∵点P (m,t )关于原点的对称点P’ (-m,-t )落在第一象限内,∴-m>0,-t>0,即m<0,t<0.∵点P (m,t )在抛物线2y 2x 3x =--上,∴2t 2m 3m =--..∴2t 32m m +=-连接AP’,过点P’作P’H ⊥x 轴于点H ,则H (-m ,0).∵A (-1,0),∴22m 1AH ()=-+. ∵在Rt △P’AH 中,222 'P A AH P H =+',∴()2222222115121424P A m t m m t t t t ⎛⎫=-++=-++=++=++ ⎪⎝⎭', ∵1>0,∴当1t 2=-时,2P A '有最小值154. ∴21232m m -=--,解得2m 2=或2m 2=(舍去),∴m ,2P A '的最小值为154. 【点睛】此题主要考查二次函数和一次函数的结合,待定系数法是解题关键22.矩形的长和宽都是7.5cm 时,所形成的圆柱的侧面积最大,即为112.5πcm 2.【解析】【分析】设矩形的一边是acm ,则另一条边是(15-a )cm .根据圆柱的侧面积=底面周长×高,得圆柱的侧面积=2πa (15-a ),再根据二次函数即可求其最值.【详解】解:设矩形的一边是acm ,则另一条边是(15﹣a )cm .则圆柱的侧面积=2πa (15﹣a )=﹣2πa 2+30πa ,则a =7.5时,圆柱的侧面积最大,即112.5π.故矩形的长和宽都是7.5cm 时,所形成的圆柱的侧面积最大,即为112.5πcm 2.【点睛】此题综合考查了圆柱的侧面积公式和二次函数的最值问题.23.(1) y =-12x 2+52x -2;(2)点P 为(2,1)或(5,-2)或(-3,-14)或(0,-2). 【解析】【分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式;(2)以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似,分两种情况讨论计算即可.【详解】解:(1)∵该抛物线过点C(0,-2),∴可设该抛物线的解析式为y =ax 2+bx -2. 将A(4,0),B(1,0)代入,得1642020a b a b +-=⎧⎨+-=⎩,解得 1252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴此抛物线的解析式为215y x x 222=-+-.(2)存在, 设P 点的横坐标为m ,则P 点的纵坐标为-12m 2+52m -2, 当1<m <4时,AM =4-m ,PM =-12m 2+52m -2.又∵∠COA =∠PMA =90°, ∴①当AM PM =AO OC =21时,△APM ∽△ACO ,即4-m =2(-12m 2+52m -2).解得m 1=2,m 2=4(舍去),∴P(2,1).②当AM PM =OC OA =12时,△APM ∽△CAO ,即2(4-m)=-12m 2+52m -2. 解得m 1=4,m 2=5(均不合题意,舍去),∴当1<m <4时,P(2,1).类似地可求出当m >4时,P(5,-2).当m <1时,P(-3,-14)或P(0,-2),综上所述,符合条件的点P 为(2,1)或(5,-2)或(-3,-14)或(0,-2).【点睛】本题考查的知识点是二次函数综合题,解题的关键是熟练的掌握二次函数综合题.24.(1)y =﹣38x 2+34x +3 (2(3)m =3,n =2或m =6,n =1 【解析】【分析】(1)先求出a,再代入y =a (x +2)(x ﹣4)=a (x 2﹣2x ﹣8)可得;(2)根据等腰三角形性质,先求出点A 、B 、C 的坐标分别为(﹣32,0)、(12,0),(0,得函数的表达式为:y =a (x +32)(x ﹣12)=a (x 2+x ﹣34),即﹣34a =﹣2,求出a 可得;(3)由y =ax 2+bx +c =x 2+(3﹣mt )x ﹣3mt ,得x 1+x 2=mt ﹣3,x 1x 2=﹣3mt ,AB =x 2﹣x 1=|mt +3|≥|2t +n |,则m 2t 2+6mt +9≥4t 2+4tn +n 2,即:(m 2﹣4)t 2+(6m ﹣4n )t +(9﹣n 2)≥0,由题意得:m 2﹣4>0,△=(6m ﹣4n )2﹣4(m 2﹣4)(9﹣n 2)≤0,解得:mn =6,再分析出正整数解.【详解】解:(1)函数的表达式为:y =a (x +2)(x ﹣4)=a (x 2﹣2x ﹣8),则﹣8a =3,解得:a =﹣38, 故抛物线的表达式为:y =﹣38x 2+34x +3; (2)如图所示,△ABC 为直角三角形,则∠ACB =90°,∵△AMB 是等边三角形,则点C 是MB 的中点,则BC =MC =1,则BO =12BC =12,同理OC =32, OA =2﹣12=32, 则点A 、B 、C 的坐标分别为(﹣32,0)、(12,0),(03, 则函数的表达式为:y =a (x +32)(x ﹣12)=a (x 2+x ﹣34), 即﹣34a 3a 23 则函数表达式为:y 23x 223x ﹣32; (3)y =ax 2+bx +c =x 2+(3﹣mt )x ﹣3mt ,则x 1+x 2=mt ﹣3,x 1x 2=﹣3mt ,AB =x 2﹣x 1()212124x x x x +-=|mt +3|≥|2t +n |, 则m 2t 2+6mt +9≥4t 2+4tn +n 2,即:(m 2﹣4)t 2+(6m ﹣4n )t +(9﹣n 2)≥0,由题意得:m 2﹣4>0,△=(6m ﹣4n )2﹣4(m 2﹣4)(9﹣n 2)≤0,解得:mn =6,故:m =3,n =2或m =6,n =1.【点睛】考核知识点:二次函数综合.数形结合分析问题是关键.熟记二次函数性质和等腰三角形性质. 25.(1)()2125344y x =-++,顶点D 的坐标为253,4⎛⎫- ⎪⎝⎭;(2)ABC ∆为直角三角形,理由见解析;(3)5011m =【解析】【分析】 (1)把点()2,0B 代入解析式,求出b ,利用配方法求出抛物线的顶点坐标;(2)当0x =时,4y =,()0,4C ,即4OC =.0y =令,求出()8,0A -,根据勾股定理求出AC 、BC ,根据勾股定理的逆定理判断即可;(3)作出点A 关于y 轴的对称点A ',则()8,0A ',连接AD 交y 轴于点M ,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MA MD +的值最小,求出直线A D '的解析式即可求解.【详解】解:(1)∵点()2,0B 在抛物线2144y x bx =-++上,∴2122404b ⎛⎫-⨯+⨯+= ⎪⎝⎭,解得32b =- ∴抛物线的解析式为213442y x x =--+, 又()()2211256163444y x x x =-+-=-++ ∴顶点D 的坐标为253,4⎛⎫- ⎪⎝⎭. (2)ABC ∆为RT ∆,理由如下:当0x =时,4y =,∴()0,4C ,4OC =.当0y =时,2134042x x --+=, ∴18x =-,22x =,∴()8,0A -∴8OA =,2OB =,10AB =.∵2100AB =,22280AC OA OC =+=,22220BC OB OC =+=∴222AC BC AB +=.∴ABC ∆是直角三角形.(3)作出点A 关于y 轴的对称点A ',则()8,0A ',连接AD 交y 轴于点M ,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MA MD +的值最小,设直线A D '的解析式为y kx n =+, 则802534k n k n +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩,解得2544k =,5011n = ∴25504411y x =-+. ∴当0x =时,5011y =, ∴5011m = 【点睛】属于二次函数综合题,考查抛物线与x 轴的交点,二次函数的性质,待定系数法求二次函数解析式,轴对称-最短路线问题,综合性比较强.26.(1)当AB 的长为10米时,所围成的花圃面积最大,最大值为200平方米;(2)AB 的长为15米.【解析】【分析】(1)根据题意可以得到y 与x 的函数关系式;利用配方法得到y-2(x-10)2+200,根据偶次方的非负性可得答案,注意x 的取值范围;(2)根据(1)中的关系,令y=150,可以求得AB 的长.【详解】解:由题意知:2(402)240y x x x x =-=-+∴22(10)200y x =--+∵040228x <-≤即620x ≤<∵20a =-<∴当10x =时,y 最大为200.答:当AB 的长为10米时,所围成的花圃面积最大,最大值为200平方米.(2)当150y =时,22(10)200150x --+=2(10)25x -=115x =,25x =(舍去)答:AB 的长为15米.【点睛】本题考查了二次函数的应用,一元二次方程的应用,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.27.y =-2(x−1)2+2,(0,0)或(2,0).【解析】【分析】先根据抛物线的解析式可得a =2,再根据顶点坐标为M (2,−2),得到抛物线的顶点式解析式,然后将y =0代入求出x 的值,即可求出抛物线与x 轴交点的坐标.【详解】∵抛物线22y x bx c =-++的顶点坐标(1,2),∴抛物线的解析式为y =-2(x−1)2+2,令y =0,得-2(x−1)2+2=0,解得x 1=0,x 2=2,∴抛物线与x 轴交点的坐标为(0,0)或(2,0).【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点,二次函数的性质,求出抛物线的解析式是解题的关键.28.2s =或2s =+ 【解析】【分析】依据a 和b 同时向右移动,分两种情况作图,再根据三角形的面积公式进行求解.【详解】解:如图①,当0≤t <1时,BE =t , ∵∠ABC=60°,∴DE =3∴s =S △BDE =12×t ×3t =23t 如图②,当1≤t <2时,CE =2−t ,BG =t−1, ∴DE 32−t ),FG 3t−1), ∴s =S 五边形AFGED =S △ABC −S △BGF −S △CDE =12×23−12×(t−1)3(t−1)−12×(2−t )32−t )=2333233t t -+ 综上,23s =或2333332t t s =-+-【点睛】 本题主要考查了动点问题的函数图象,函数图象是典型的数形结合,通过看图获取信息,不仅可以解决生活中的实际问题,还可以提高分析问题、解决问题的能力.。

北师大版数学九年级下第二章《二次函数》测试题含答案

北师大版数学九年级下第二章《二次函数》测试题含答案

北师大版数学九年级下册第二章全章测试题一、选择题(3分×10=30分)1.(2021,益阳)抛物线y=2(x-3)2+1的顶点坐标是( )A.(3,1) B.(3,-1) C.(-3,1) D.(-3,-1)2.若二次函数y=x2+bx+4配方后为y=(x-2)2+k,则b、k的值分别为( )A.0,5 B.0,1 C.-4,5 D.-4,03.(2021,衢州)抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数解析式为y=(x-1)2-4,则b,c的值分别为( )A.b=2,c=-6 B.b=2,c=0C.b=-6,c=8 D.b=-6,c=24.已知二次函数y=-12x2-7x+152,若自变量x分别取x1、x2、x3,且0<x1<x2<x3,则对应的函数值y1、y2、y3的大小关系正确的是( )A.y1>y2>y3B.y1<y2<y3C.y2>y3>y1D.y2<y3<y15.已知抛物线y=x2-2x+m+1与x轴有两个不同的交点,则函数y=mx的大致图象是( )6.某市烟花厂为该市4.18烟花三月经贸旅游特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-52t2+20t+1.若这种礼炮点火开空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为( ) A.3s B.4s C.5s D.6s7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=12x2经过平移得到抛物线y=12x2-2x,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )A.2 B.4 C.8 D.168.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则下列叙述正确的是( )A.abc<0B.-3a+c<0C.b2-4ac≥0D.将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c9.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )A.k<-3 B.k>-3 C.k<3 D.k>310.如图,正方形ABCD的边长为4cm,动点P、Q同时从点A出发,以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动,设运动时间为x(单位:s),四边形PBDQ的面积为y(单位:cm2),则y与x(0≤x≤8)之间的函数关系可以用图象表示为()二、填空题(3分×10=30分)11.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为____________12.如图,对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0)、(3,0)两点,则它的对称轴为____________________.13.已知下列函数:①y=x2;②y=-x2;③y=(x-1)2+2.其中图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有_____________(填写所有正确选项的序号).14.二次函数y=x2-(m-4)x-m的图象与x轴的两个交点关于y轴对称,则其顶点坐标为___________.15.小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为s=1100v2,一辆小汽车速度为100km/h,在前方80m处停放一辆故障车,此时刹车_______(填“会”或“不会”)有危险.16.已知二次函数y=-x2+4,当-2≤x≤3时,函数的最小值是_____,最大值是____.17.开口向下的抛物线y=(m2-2)x2+2mx+1的对称轴经过点(-1,3),则m=_____.18.请选择一组你喜欢的a、b、c的值,使二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象同时满足下列条件:(1)开口向下;(2)当x<2时,y随x的增大而增大;当x>2时,y随x的增大而减小,这样的二次函数的解析式可以是__________________________________________.19.2021年5月26日,中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军,成就了首个五连冠霸业.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图),若不考虑外力因素,羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y=-29x2+89x+109,则羽毛球飞出的水平距离为__________米.20.如图,抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1、A2、A3…A n,….将抛物线y=x2沿直线L:y=x向上平移,得一系列抛物线,且满足下列条件:①抛物线的顶点M1、M2、M3、…M n,…都在直线L:y=x上;②抛物线依次经过点A1、A2、A3…A n、….则顶点M2021的坐标为______________.三、解答题(共60分)21.(7分)二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3),(3,0).(1)求b、c的值;(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴;(3)画出二次函数y=x2+bx+c的图象.22.(8分)已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点;(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.23.(8分)如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(-2,4),过点A 作AB⊥y轴,垂足为B,连接OA.(1)求△OAB的面积;(2)若抛物线y=-x2-2x+c经过点A.①求c的值;②将抛物线向下平移m个单位长度,使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部(不包括△OAB的边界),求m的取值范围(直接写出答案即可).24.(8分)某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系:(1)求出y与x之间的函数关系式;(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式;若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最大利润是多少?25.(8分)如图,矩形ABCD的两边长AB=18cm,AD=4cm.点P、Q分别从A、B同时出发,P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动,Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动,设运动时间为x秒,△PBQ的面积为y(cm2).(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)求△PBQ的面积的最大值.26.(9分)某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元,试营销阶段发现:当销售单价是25元时,每天的销售量为250件,销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.(1)写出商场销售这种工具,每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大;(3)商场的营销部结合上述情况,提出了A、B两种营销方案:方案A:该文具的销售单价高于进价且不超过30元;方案B:每天销售量不少于10件,且每件文具的利润至少为25元.请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由.27.(12分)如图,已知抛物线y=38x2-34x-3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),与y轴的交点为C.(1)直接写出A、D、C三点的坐标;(2)若点M在抛物线上,使得△MAD的面积与△CAD的面积相等,求点M的坐标;(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.答案:一、1---10 ADBAA BBBDB 二、11. y=a(1+x)212. 直线x=213. ①③14. (0,-4)15. 会16. -5 417. -118. 答案不唯一,只要满足b=-4a,a<0即可,如y=-x2+4x+3,y=-2x2+8x -3等.19. 520. (4027,4027)三21. 解:(1)b=-4,c=3(2) (2,-1),x=2(3)画图略22. 解:(1)当x=0时,y=1.所以不论m为何值,函数y=mx2-6x+1的图象都经过y轴上的一个定点(0,1)(2)①当m=0时,函数y=-6x+1的图象与x轴只有一个交点;②当m≠0时,若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点,则方程mx2-6x+1=0有两个相等的实数根,所以(-6)2-4m=0,m=9.综上可知,若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点,则m的值为0或9.23. 解:(1)4(2)①c=4;②∵y=-x2-2x+4=-(x+1)2+5,∴抛物线顶点D的坐标是(-1,5),AB的中点E的坐标是(-1,4),OA的中点F的坐标是(-1,2),∴m的取值范围为1<m<324. 解:(1)y=-x+180(2)W=(x-100)y=(x-100)(-x+180)=-x2+280x-18000=-(x-140)2+1600;当x=140,W最大=1600,∴售价定为140元/件时,每天最大利润W=1600元.25. 解:(1)y=-x2+9x(0<x≤4)(2)y=-(x-92)2+814,∵当0<x≤92时,y随x的增大而增大,而0<x≤4,∴当x=4时,y最大值=20,即△PBQ的面积的最大值是20cm2.26. 解:(1)w=(x-20)[250-10(x-25)]=-10(x-20)(x-50)=-10x2+700x-10000 (2)∵w=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250,∴当x=35时,w取到最大值2250.即销售单价为35元时,每天销售利润最大,最大利润为2250元(3)∵w=-10(x-35)2+2250,∴函数图象是以x=35为对称轴且开口向下的抛物线.∴对于方案A,20<x≤30,此时w随x的增大而增大,∴x=30时,w取到最大值2000.∴当采用方案A时,销售单价为30元可获得最大利润为2000元;对于方案B ,则有⎩⎨⎧250-10(x -25)≥10,x -20≥25.解得45≤x ≤49.此时w 随x 的增大而减小.故当x =45时,w 取到最大值1250,∴当采用方案B 时,销售单价为45元可获得最大利润为1250元.两者比较,还是方案A 的最大利润更高.27. 解:(1)∵y =38x 2-34x -3,∴当y =0时,38x 2-34x -3=0,解得x 1=-2,x 2=4.当x =0,y =-3.∴A 点坐标为(4,0),D 点坐标为(-2,0),C 点坐标为(0,-3) (2)∵y=38x 2-34x -3,∴对称轴为直线x =342×38=1.∵AD 在x 轴上,点M 在抛物线上,∴当△MAD 的面积与△CAD 的面积相等时,分两种情况:①点M 在x 轴下方时,根据抛物线的对称性,可知点M 与点C 关于直线x =1对称,∵C 点坐标为(0,-3),∴M 点坐标为(2,-3);②点M 在x 轴上方时,根据三角形的等面积法,可知M 点到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离3.当y =3时,38x 2-34x -3=3,解得x 1=1+17,x 2=1-17,∴M 点坐标为(1+17,3)或(1-17,3).综上所述,所求M 点坐标为(2,-3)或(1+17,3)或(1-17,3)(3)结论:存在.如图所示,在抛物线上有两个点P 满足题意:①若BC ∥AP 1,此时梯形为ABCP 1.由点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ,可知BC ∥x 轴,则P 1与D 点重合,∴P 1(-2,0).∵P 1A =6,BC =2,∴P 1A≠BC ,∴四边形ABCP 1为梯形;②若AB ∥CP 2,此时梯形为ABCP 2.∵A 点坐标为(4,0),B 点坐标为(2,-3),∴直线AB的解析式为y=32x-6,∴可设直线CP2的解析式为y=32x+n,将C点坐标(0,-3)代入,得n=-3,∴直线CP2的解析式为y=32x-3.∵点P2在抛物线y=38x2-34x-3上,∴38x2-34x-3=32x-3,化简得:x2-6x=0,解得x1=0(舍去),x2=6,∴点P2横坐标为6,代入直线CP2解析式求得纵坐标为6,∴P2(6,6).∵AB∥CP2,AB≠CP2,∴四边形ABCP2为梯形.综上所述,在抛物线上存在一点P,使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形;点P的坐标为(-2,0)或(6,6).。

北师大版九年级数学下册《第二章二次函数—有关二次函数的最值问题》练习题(附答案)

北师大版九年级数学下册《第二章二次函数—有关二次函数的最值问题》练习题(附答案)

北师大版九年级数学下册《第二章二次函数—有关二次函数的最值问题》练习题(附答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一.选择题(共10小题)1.当﹣2≤x≤1时,二次函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为()A.﹣B.或C.2或D.2或或2.在二次函数y=x2﹣2x﹣3中,当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是()A.0,﹣4B.0,﹣3C.﹣3,﹣4D.0,03.已知二次函数y=(x﹣h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为()A.1或﹣5B.﹣1或5C.1或﹣3D.1或34.当a≤x≤a+1时,函数y=x2﹣2x+1的最小值为1,则a的值为()A.﹣1B.2C.0或2D.﹣1或25.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形P ABQ的面积最小值为()A.19cm2B.16cm2C.15cm2D.12cm26.已知0≤x≤,那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是()A.﹣10.5B.2C.﹣2.5D.﹣67.如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三点,点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点,连接DC,DB,则△BCD的面积的最大值是()A.7 B.7.5 C.8D.98.当﹣2≤x≤1时,二次函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为()A.﹣B.或﹣C.2或﹣D.2或﹣或﹣9.已知二次函数y=mx2+2mx+1(m≠0)在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2,则m=()A.3B.﹣3或C.3或﹣D.﹣3或﹣10.已知一个二次函数图象经过P1(﹣3,y1),P2(﹣1,y2),P3(1,y3),P4(3,y4)四点,若y3<y2<y4,则y1,y2,y3,y4的最值情况是()A.y3最小,y1最大B.y3最小,y4最大C.y1最小,y4最大D.无法确定二.填空题(共10小题)11.若实数x,y满足x+y2=3,设s=x2+8y2,则s的取值范围是.12.若函数y=x2﹣6x+5,当2≤x≤6时的最大值是M,最小值是m,则M﹣m=.13.已知二次函数y=x2﹣2mx(m为常数),当﹣1≤x≤2时,函数值y的最小值为﹣2,则m的值是.14.已知二次函数y=2(x+1)2+1,﹣2≤x≤1,则函数y的最小值是,最大值是.15.已知二次函数y=x2﹣2mx+1(m为常数),当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时,与其对应的函数值y 的最小值为﹣2,则m的值为.16.当﹣7≤x≤a时,二次函数y=﹣(x+3)2+5恰好有最大值3,则a=.17.二次函数y=x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为.18.若二次函数y=﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3,那么m的值是.19.二次函数y=x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3,则a=.20.设x≥0,y≥0,且2x+y=6,则μ=x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是.三.解答题(共5小题)21.设a、b是任意两个实数,用max{a,b}表示a、b两数中较大者,例如:max{﹣1,﹣1}=﹣1,max{1,2}=2,max{4,3}=4,参照上面的材料,解答下列问题:(1)max{5,2}=,max{0,3}=;(2)若max{3x+1,﹣x+1}=﹣x+1,求x的取值范围;(3)求函数y=x2﹣2x﹣4与y=﹣x+2的图象的交点坐标,函数y=x2﹣2x﹣4的图象如图所示,请你在图中作出函数y=﹣x+2的图象,并根据图象直接写出max{﹣x+2,x2﹣2x﹣4}的最小值.22.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+a﹣4(a≠0)的对称轴是直线x=1.(1)求抛物线y=ax2+bx+a﹣4(a≠0)的顶点坐标;(2)当﹣2≤x≤3时,y的最大值是5,求a的值;(3)在(2)的条件下,当t≤x≤t+1时,y的最大值是m,最小值是n,且m﹣n=3,求t的值.23.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°.AB=8cm,AC=6cm,若动点D从B出发,沿线段BA运动到点A 为止(不考虑D与B,A重合的情况),运动速度为2cm/s,过点D作DE∥BC交AC于点E,连接BE,设动点D运动的时间为x(s),AE的长为y(cm).(1)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;(2)当x为何值时,△BDE的面积S有最大值?最大值为多少?24.已知二次函数y=x2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:x…01234…y…5212n…(1)表中n的值为;(2)当x为何值时,y有最小值,最小值是多少?(3)若A(m,y1),B(m+1,y2)两点都在该函数的图象上,且m>2,试比较y1与y2的大小.25.如图,函数y=﹣x2+x+c(﹣2020≤x≤1)的图象记为L1,最大值为M1;函数y=﹣x2+2cx+1(1≤x ≤2020)的图象记为L2,最大值为M2.L1的右端点为A,L2的左端点为B,L1,L2合起来的图形记为L.(1)当c=1时,求M1,M2的值;(2)若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”,当点A,B重合时,求L上“美点”的个数;(3)若M1,M2的差为,直接写出c的值.参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.当﹣2≤x≤1时,二次函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为()A.﹣B.或C.2或D.2或或解:二次函数的对称轴为直线x=m①m<﹣2时,x=﹣2时二次函数有最大值,此时﹣(﹣2﹣m)2+m2+1=4解得m=﹣,与m<﹣2矛盾,故m值不存在;②当﹣2≤m≤1时,x=m时,二次函数有最大值,此时,m2+1=4解得m=﹣,m=(舍去);③当m>1时,x=1时二次函数有最大值,此时,﹣(1﹣m)2+m2+1=4,解得m=2综上所述,m的值为2或﹣.故选:C.2.在二次函数y=x2﹣2x﹣3中,当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是()A.0,﹣4B.0,﹣3C.﹣3,﹣4D.0,0解:抛物线的对称轴是直线x=1,则当x=1时,y=1﹣2﹣3=﹣4,是最小值;当x=3时,y=9﹣6﹣3=0是最大值.故选:A.3.已知二次函数y=(x﹣h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为()A.1或﹣5B.﹣1或5C.1或﹣3D.1或3解:∵当x>h时,y随x的增大而增大,当x<h时,y随x的增大而减小∴①若h<1≤x≤3,x=1时,y取得最小值5,可得:(1﹣h)2+1=5解得:h=﹣1或h=3(舍);②若1≤x≤3<h,当x=3时,y取得最小值5,可得:(3﹣h)2+1=5解得:h=5或h=1(舍);③若1≤h≤3时,当x=h时,y取得最小值为1,不是5,∴此种情况不符合题意,舍去.综上,h的值为﹣1或5,故选:B.4.当a≤x≤a+1时,函数y=x2﹣2x+1的最小值为1,则a的值为()A.﹣1B.2C.0或2D.﹣1或2解:当y=1时,有x2﹣2x+1=1,解得:x1=0,x2=2.∵当a≤x≤a+1时,函数有最小值1,∴a=2或a+1=0,∴a=2或a=﹣1故选:D.5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形P ABQ的面积最小值为()A.19cm2B.16cm2C.15cm2D.12cm2解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,∴AC==6cm.设运动时间为ts(0≤t≤4),则PC=(6﹣t)cm,CQ=2tcm∴S四边形P ABQ=S△ABC﹣S△CPQ=AC•BC﹣PC•CQ=×6×8﹣(6﹣t)×2t=t2﹣6t+24=(t﹣3)2+15.∵1>0,∴当t=3时,四边形P ABQ的面积取最小值,最小值为15cm2.6.已知0≤x≤,那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是()A.﹣10.5B.2C.﹣2.5D.﹣6解:∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2(x﹣2)2+2.∴该抛物线的对称轴是直线x=2,且在x<2上y随x的增大而增大.又∵0≤x≤,∴当x=时,y取最大值,y最大=﹣2(﹣2)2+2=﹣2.5.故选:C.7.如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三点,点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点,连接DC,DB,则△BCD的面积的最大值是()A.7B.7.5C.8D.9解:设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c∵抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三点∴解得,∴y=﹣x2+5x﹣4设过点B(4,0),C(0,﹣4)的直线的解析式为y=kx+m解得,即直线BC的直线解析式为:y=x﹣4设点D的坐标是(x,﹣x2+5x﹣4)∴=﹣2(x﹣2)2+8∴当x=2时,△BCD的面积取得最大值,最大值是8.故选:C.8.当﹣2≤x≤1时,二次函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为()A.﹣B.或﹣C.2或﹣D.2或﹣或﹣解:二次函数对称轴为直线x=m①m<﹣2时,x=﹣2取得最大值,﹣(﹣2﹣m)2+m2+1=4解得m=﹣,不合题意,舍去;②﹣2≤m≤1时,x=m取得最大值,m2+1=4,解得m=±∵m=不满足﹣2≤m≤1的范围,∴m=﹣;③m>1时,x=1取得最大值,﹣(1﹣m)2+m2+1=4,解得m=2.综上所述,m=2或﹣时,二次函数有最大值4.故选:C.9.已知二次函数y=mx2+2mx+1(m≠0)在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2,则m=()A.3B.﹣3或C.3或﹣D.﹣3或﹣解:∵二次函数y=mx2+2mx+1=m(x+1)2﹣m+1,∴对称轴为直线x=﹣1①m>0,抛物线开口向上,x=﹣1时,有最小值y=﹣m+1=﹣2,解得:m=3;②m<0,抛物线开口向下∵对称轴为直线x=﹣1,在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2∴x=2时,有最小值y=4m+4m+1=﹣2,解得:m=﹣;故选:C.10.已知一个二次函数图象经过P1(﹣3,y1),P2(﹣1,y2),P3(1,y3),P4(3,y4)四点,若y3<y2<y4,则y1,y2,y3,y4的最值情况是()A.y3最小,y1最大B.y3最小,y4最大C.y1最小,y4最大D.无法确定解:∵二次函数图象经过P1(﹣3,y1),P2(﹣1,y2),P3(1,y3),P4(3,y4)四点,且y3<y2<y4,∴抛物线开口向上,对称轴在0和1之间∴P1(﹣3,y1)离对称轴的距离最大,P3(1,y3)离对称轴距离最小∴y3最小,y1最大,故选:A.二.填空题(共10小题)11.若实数x,y满足x+y2=3,设s=x2+8y2,则s的取值范围是s≥9.解:由x+y2=3,得:y2=﹣x+3≥0,∴x≤3代入s=x2+8y2得:s=x2+8y2=x2+8(﹣x+3)=x2﹣8x+24=(x﹣4)2+8当x=3时,s=(3﹣4)2+8=9,∴s≥9;故答案为:s≥9.12.若函数y=x2﹣6x+5,当2≤x≤6时的最大值是M,最小值是m,则M﹣m=9.解:原式可化为y=(x﹣3)2﹣4,可知函数顶点坐标为(3,﹣4)当y=0时,x2﹣6x+5=0,即(x﹣1)(x﹣5)=0,解得x1=1,x2=5.如图:m=﹣4,当x=6时,y=36﹣36+5=5,即M=5.则M﹣m=5﹣(﹣4)=9.故答案为9.13.已知二次函数y=x2﹣2mx(m为常数),当﹣1≤x≤2时,函数值y的最小值为﹣2,则m的值是﹣1.5或.解:由二次函数y=x2﹣2mx(m为常数),得到对称轴为直线x=m,抛物线开口向上当m>2时,由题意得:当x=2时,y最小值为﹣2,代入得:4﹣4m=﹣2,即m=1.5<2,不合题意,舍去;当﹣1≤m≤2时,由题意得:当x=m时,y最小值为﹣2,代入得:﹣m2=﹣2,即m=或m=﹣(舍去);当m<﹣1时,由题意得:当x=﹣1时,y最小值为﹣2,代入得:1+2m=﹣2,即m=﹣1.5,综上,m 的值是﹣1.5或,故答案为:﹣1.5或.14.已知二次函数y=2(x+1)2+1,﹣2≤x≤1,则函数y的最小值是1,最大值是9.解:由题意可得:y=2(x+1)2+1,﹣2≤x≤1∵开口向上,∴当x=1时,有最大值:y max=9,当x=﹣1时,y min=1.故答案为1,9.15.已知二次函数y=x2﹣2mx+1(m为常数),当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时,与其对应的函数值y 的最小值为﹣2,则m的值为﹣2或.解:由题意可知抛物线的对称轴为x=m,开口方向向上当m≤﹣1时,此时x=﹣1时,y可取得最小值﹣2,∴﹣2=1+2m+1,∴m=﹣2;当﹣1<m<2时,∴此时x=m,y的最小值为﹣2,∴﹣2=m2﹣2m2+1∴m=±,∴m=;当m≥2时,此时x=2时,y的最小值为﹣2,∴﹣2=4﹣4m+1,∴m=不符合题意故答案为:﹣2或.16.当﹣7≤x≤a时,二次函数y=﹣(x+3)2+5恰好有最大值3,则a=﹣5.解:∵y=﹣(x+3)2+5,∴该抛物线的开口方向向下,且顶点坐标是(﹣3,5).∴当x<﹣3时,y随x的增大而增大∴当x=a时,二次函数y=﹣(x+3)2+5恰好有最大值3把y=3代入函数解析式得到3=﹣(x+3)2+5,解得x1=﹣5,x2=﹣1.∴a=﹣5.故答案是:﹣5.17.二次函数y=x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为1.解:∵二次函数y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,∴当x>1时,y随x的增大而增大∴在2≤x≤5范围内,当x=2时,y取得最小值,此时y=(2﹣1)2=1,故答案为:1.18.若二次函数y=﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3,那么m的值是﹣4或2.解:∵y=﹣x2+mx,∴抛物线开口向下,抛物线的对称轴为x=﹣=∵=①当≤﹣1,即m≤﹣2时,当x=﹣1时,函数最大值为3,∴﹣1﹣m=3解得:m=﹣4;②当≥2,即m≥4时,当x=2时,函数最大值为3,∴﹣4+2m=3解得:m=(舍去).③当﹣1<<2,即﹣2<m<4时,当x=时,函数最大值为3,∴﹣+=3解得m=2或m=﹣2(舍去),综上所述,m=﹣4或m=2故答案为﹣4或2.19.二次函数y=x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3,则a=1.解:y=x2﹣4x+a=(x﹣2)2+a﹣4,当x=2时,函数有最小值a﹣4∵二次函数y=x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3∴a﹣4=﹣3,∴a=1,故答案为1.20.设x≥0,y≥0,且2x+y=6,则μ=x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是0.解:由题意得:x≥0,y=6﹣2x≥0,解得:0≤x≤3.∵μ=x2+2xy+y2﹣3x﹣2y=x2+2x(6﹣2x)+(6﹣2x)2﹣3x﹣2(6﹣2x)=x2﹣11x+24=﹣∴当x≤时,y随x的增大而减小,故当x=3时,μ的最小值为﹣=0.故答案为:0.三.解答题(共5小题)21.设a、b是任意两个实数,用max{a,b}表示a、b两数中较大者,例如:max{﹣1,﹣1}=﹣1,max{1,2}=2,max{4,3}=4,参照上面的材料,解答下列问题:(1)max{5,2}=5,max{0,3}=3;(2)若max{3x+1,﹣x+1}=﹣x+1,求x的取值范围;(3)求函数y=x2﹣2x﹣4与y=﹣x+2的图象的交点坐标,函数y=x2﹣2x﹣4的图象如图所示,请你在图中作出函数y=﹣x+2的图象,并根据图象直接写出max{﹣x+2,x2﹣2x﹣4}的最小值.解:(1)max{5,2}=5,max{0,3}=3.故答案为:5;3.(2)∵max{3x+1,﹣x+1}=﹣x+1,∴3x+1≤﹣x+1,解得:x≤0.(3)联立两函数解析式成方程组,解得:,,∴交点坐标为(﹣2,4)和(3,﹣1).画出直线y=﹣x+2,如图所示观察函数图象可知:当x=3时,max{﹣x+2,x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1.22.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+a﹣4(a≠0)的对称轴是直线x=1.(1)求抛物线y=ax2+bx+a﹣4(a≠0)的顶点坐标;(2)当﹣2≤x≤3时,y的最大值是5,求a的值;(3)在(2)的条件下,当t≤x≤t+1时,y的最大值是m,最小值是n,且m﹣n=3,求t的值.解:(1)将x=1代入抛物线y=ax2+bx+a﹣4得,y=a+b+a﹣4=2a+b﹣4∵对称轴是直线x=1.∴﹣=1,∴b=﹣2a,∴y=2a+b﹣4=2a﹣2a﹣4=﹣4∴抛物线y=ax2+bx+a﹣4(a≠0)的顶点坐标为(1,﹣4);(2)①a<0时,抛物线开口向下,y的最大值是﹣4∵当﹣2≤x≤3时,y的最大值是5,∴a<0不合题意;②a>0时,抛物线开口向上∵对称轴是直线x=1.1到﹣2的距离大于1到3的距离,∴x=﹣2时,y的值最大∴y=4a﹣2b+a﹣4=5a﹣2b﹣4=5,将b=﹣2a代入得,a=1;(3)①t<0时,∵a=1,∴b=﹣2a=﹣2∴y的最大值是m=t2﹣2t+1﹣4=t2﹣2t﹣3,最小值是n=(t+1)2﹣2(t+1)﹣3∵m﹣n=3,∴t2﹣2t﹣3﹣[(t+1)2﹣2(t+1)﹣3]=3,解得:t=﹣1;②≤t<1时,∴y的最大值是m=(t+1)2﹣2(t+1)﹣3,最小值是n=﹣4∵m﹣n=3,∴(t+1)2﹣2(t+1)﹣3﹣(﹣4)=3,解得:t=±(不成立);③0<t≤时,y的最大值是m=t2﹣2t+1﹣4=t2﹣2t﹣3,最小值是n=﹣4m﹣n=t2﹣2t﹣3﹣(﹣4)=3,解得:t=±+1(不成立);④t≥1时,∴y的最大值是m=(t+1)2﹣2(t+1)﹣3,最小值是n=t2﹣2t﹣3m﹣n=(t+1)2﹣2(t+1)﹣3﹣(t2﹣2t﹣3)=3,解得:t=2;综上,t的值为﹣1或2.23.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°.AB=8cm,AC=6cm,若动点D从B出发,沿线段BA运动到点A为止(不考虑D与B,A重合的情况),运动速度为2cm/s,过点D作DE∥BC交AC 于点E,连接BE,设动点D运动的时间为x(s),AE的长为y (cm).(1)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;(2)当x为何值时,△BDE的面积S有最大值?最大值为多少?解:(1)动点D运动x秒后,BD=2x.又∵AB=8,∴AD=8﹣2x.∵DE∥BC,∴∴∴y关于x的函数关系式为y=(0<x<4).(2)解:S△BDE===(0<x<4).当时,S△BDE最大,最大值为6cm2.24.已知二次函数y=x2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:x…01234…y…5212n…(1)表中n的值为5;(2)当x为何值时,y有最小值,最小值是多少?(3)若A(m,y1),B(m+1,y2)两点都在该函数的图象上,且m>2,试比较y1与y2的大小.解:(1)∵根据表可知:对称轴是直线x=2∴点(0,5)和(4,n)关于直线x=2对称,∴n=5,故答案为:5;(2)根据表可知:顶点坐标为(2,1),即当x=2时,y有最小值,最小值是1;(3)∵函数的图象开口向上,顶点坐标为(2,1),对称轴是直线x=2∴当m>2时,点A(m1,y1),B(m+1,y2)都在对称轴的右侧,y随x的增大而增大∵m<m+1,∴y1<y2.25.如图,函数y=﹣x2+x+c(﹣2020≤x≤1)的图象记为L1,最大值为M1;函数y=﹣x2+2cx+1(1≤x ≤2020)的图象记为L2,最大值为M2.L1的右端点为A,L2的左端点为B,L1,L2合起来的图形记为L.(1)当c=1时,求M1,M2的值;(2)若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”,当点A,B重合时,求L 上“美点”的个数;(3)若M1,M2的差为,直接写出c的值.解:(1)当c=1时,函数y=﹣x2+x+c=﹣x2+x+1=﹣(x﹣)2+.又∵﹣2020≤x≤1,∴M1=,y=﹣x2+2cx+1=﹣x2+2x+1=﹣(x﹣1)2+2.又∵1≤x≤2020,∴M2=2;(2)当x=1时,y=﹣x2+x+c=c﹣;y=﹣x2+2cx+1=2c.若点A,B重合,则c﹣=2c,c=﹣,∴L1:y=﹣x2+x﹣(﹣2020≤x≤1);L2:y=﹣x2﹣x+1(1≤x≤2020).在L1上,x为奇数的点是“美点”,则L1上有1011个“美点”;在L2上,x为整数的点是“美点”,则L2上有2020个“美点”.又点A,B重合,则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1=3030.(3)y=﹣x2+x+c(﹣2020≤x≤1)上时,当x=时,M1=+cy=﹣x2+2cx+1(1≤x≤2020),对称轴为x=c当2020≥c≥1时,M2=c2+1,∴|+c﹣c2﹣1|=,∴c=﹣1(舍去)或c=2;当c<1时,M2=2c,∴|2c﹣﹣c|=,∴c=3(舍去)或c=﹣;∴c=﹣或2.当c>2020时,M2=﹣20202+4040c+1,∴|﹣20202+4040c+1﹣﹣c|=∴c≈1010(舍弃),综上所述,c=﹣或2.。

北师大版九年级下册数学试题:第二章 二次函数测试卷(含答案)

北师大版九年级下册数学试题:第二章  二次函数测试卷(含答案)

初三二次函数自我检测姓名一、 精心选一选(每题3分,共30分)1.下列函数中,是二次函数的是( )A .21y x x=- B .22(1)y x x =-- C .222x x y -=D .21y x x=+2.抛 物 线 42-=x y 的 顶 点 坐 标 是 ( )A 、(2,0)B 、(-2,0)C 、(1,-3)D 、(0,-4) 3.若(2,5)、(4,5)是抛物线c bx ax y ++=2上的两个点,则它的对称轴是 ( ) A 、x= - b/a B 、1=x C 、2=x D 、3=x 4.已知反比例函数)0(≠=a xay ,当x <0时,y 随x 的增大而减小,则函数a ax y +=2的图象经过的象限是 ( ) A 、第三、四象限 B 、第一、二象限 C 、第二、三、四象限 D 、第一、二、三象限 5.抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的两个交点为(-1,0),(3,0),其形状、大小及开口方向与抛物线22x y -=相同,则c bx ax y ++=2的函数关系式为 ( ) A 、322+--=x x y B 、5422++-=x x y C 、8422++-=x x y D 、6422++-=x x y6.抛物线y=21x 2的图象向左平移2个单位,再向下平移1个单位,则所得抛物线的解析式为( )A .y=21x 2+2x -2 B. y=21x 2+2x+1 C. y=21x 2-2x -1 D .y=21x 2-2x+17.下列判断中唯一正确的是( )A.函数y=ax 2的图象开口向上,函数y= -ax 2的图象开口向下B.二次函数y=ax 2,当x<0时,y 随x 的增大而增大C.y=2x 2与y= -2x 2图象的顶点、对称轴、开口方向完全相同D.抛物线y=ax 2与y=-ax 2的图象关于x 轴对称8.在同一直角坐标系中,函数b ax y +=2与(0)y ax b ab =-≠的图象大致如图 ( )9.把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x 2-3x+5,则有( )A. b=3,c=7B. b=-9,c=-15C. b=3,c=3D. b=-9,c=2110.二次函数2y ax bx c =++的图象如图,则下列关于a ,b ,c 间的函数关系判断正确的是( )A .0ab <B .0bc <C .0a b c ++>D .0a b c -+< 二、细心填一填(每空2分,共34分)11.若22(2)my m x -=-是二次函数,则m= 。

北师大版九年级下册数学第二章 二次函数含答案

北师大版九年级下册数学第二章 二次函数含答案

北师大版九年级下册数学第二章二次函数含答案一、单选题(共15题,共计45分)1、已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:x -1 0 1 3y -3 1 3 1下列结论:①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1;③当x<1时,函数值y随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4,其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个2、二次函数y=x2-2的图象是一条抛物线,下列关于该抛物线的说法正确的是()A.抛物线开口向下B.当时,函数的最大值是C.抛物线的对称轴是直线D.抛物线与x轴有两个交点3、关于x的二次函数y=﹣2x2+4x+m2+2m,下列说法正确的是()A.该二次函数的图象与x轴始终有两个交点B.当x>0时,y随x的增大而增大C.当该二次函数的图象经过原点时,m=﹣2D.该二次函数的顶点的纵坐标无最小值4、在抛物线y=-x2+1 上的一个点是( ).A.(1,0)B.(0,0)C.(0,-1)D.(1,I)5、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,反比例函数y= 与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是()A. B. C.D.6、二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位,得到新的图象的二次函数表达式是()A.y=3x 2+2B.y=(3x+2)2C.y=3(x+2)2D.y=3(x﹣2)27、二次函数y=x2+2x﹣3的图象与y轴的交点坐标是()A.(0,﹣3)B.(﹣3,0)C.(1,0)D.(0,1)8、二次函数y=ax2+bx+c的x,y的部分对应值如表所示,则下列判断错误的是()x﹣2 ﹣1 0 1 2y﹣2.5 0 1.5 2 1.5B.对称轴是直线x=1C.当x=4时,y=﹣2 D.方程ax2+ bx+ c=0有一个根是39、抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,若y<0,则x的取值范围是()A.x<−4或x>1B.x<−3或x>1C.−4<x<1D.−3<x<110、抛物线y= x2, y=﹣3x2, y=﹣x2, y=2x2的图像开口最大的是()A.y= x 2B.y=﹣3x 2C.y=﹣x 2D.y=2x 211、如图,一段抛物线:y=﹣x(x﹣5)(0≤x≤5),记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;…如此进行下去,得到一“波浪线”,若点P(2018,m)在此“波浪线”上,则m的值为()A.4B.﹣4C.﹣6D.612、若二次函数y=2x2﹣2mx+2m﹣2的图象的顶点在x轴上,则m的值是()A.2B.﹣2C.±2D.±113、下列函数中,不是二次函数的是()A.y=B.y=3﹣x+x 2C.y=﹣2x+3x 2D.y=(x﹣2)(x+2)﹣x 214、抛物线C1:y1=mx2﹣4mx+2n﹣1与平行于x轴的直线交于A、B两点,且A点坐标为(﹣1,2),请结合图象分析以下结论:①对称轴为直线x=2;②抛物线与y轴交点坐标为(0,﹣1);③m>;④若抛物线C2:y2=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点,则a的取值范围是≤a<2;⑤不等式mx2﹣4mx+2n>0的解作为函数C1的自变量的取值时,对应的函数值均为正数,其中正确结论的个数有()A.2个B.3个C.4个D.5个15、若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为(0,﹣3),则下列说法不正确的是()A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴是x=1C.当x=1时,y的最大值为﹣4D.抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0)二、填空题(共10题,共计30分)16、若函数y=(m-1)+mx-2017是二次函数,则m=________17、某飞机着陆后滑行的距离y(米)关于着陆后滑行的时间x(秒)的函数关系是y=﹣2x2+bx(b为常数).若该飞机着陆后滑行20秒才停下来,则该型飞机着陆后的滑行距离是________米.</div>18、抛物线y=-2(x-1)2-3的顶点坐标是________.19、若函数y=(m﹣3)+2m﹣13是二次函数,则m=________ .20、二次函数y= +bx+c的图象如图所示,其对称轴与x轴交于点(-1,0),图象上有三个点分别为(2,),(-3,),(0,),则、、的大小关系是________(用“>”“<”或“=”连接).21、抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为________22、关于x的函数y=ax2+(a+2)x+a+1的图象与x轴只有一个公共点,则实数a的值为________.23、竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数,小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球,假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度,第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同,则t=________.24、如图所示的四个二次函数图象分别对应①y=ax2②y=bx2③y=cx2④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系为________(用“>“连接)25、把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,平移后抛物线的解析式为________.三、解答题(共5题,共计25分)26、已知抛物线的顶点为(2,3),且经过点(3,1),求此抛物线对应的函数解析式。

北师大版九年级数学下册 《第二章 二次函数》 单元练习试题 含答案

北师大版九年级数学下册 《第二章 二次函数》 单元练习试题 含答案

第二章二次函数一.选择题(共33小题)1.下列各式中,y是x的二次函数的是()A.y=3x B.y=ax2+bx+c C.y=(x﹣1)2D.y=22.一次函数y=ax+c(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是()A.B.C.D.3.二次函数y=x2+2x﹣3的图象的对称轴是()A.直线x=1 B.直线x=﹣1 C.直线x=4 D.直线x=﹣4 4.已知(1,y1),(﹣2,y2),(﹣4,y3)是抛物线y=﹣x2﹣4x+m上的点,则()A.y1<y2<y3B.y3<y2<y1C.y3<y1<y2D.y1<y3<y25.将抛物线y=x2+2x先向左平移2个长度单位,再向上平移3个长度单位,所得到的抛物线是()A.y=(x+1)2+3 B.y=(x+3)2+2 C.y=(x﹣1)2﹣4 D.y=(x﹣3)2+16.函数y=x2﹣x+的最小值是()A.B.C.D.7.将二次函数y=2x2﹣4x+1化为顶点式,正确的是()A.y=2(x﹣1)2+1 B.y=2(x+1)2﹣1C.y=2(x﹣1)2﹣1 D.y=2(x+1)2+18.抛物线y=x2+4x+5﹣m与x轴有两个不同的交点,则m的取值范围是()A.m<﹣1 B.0<m≤1 C.m<1 D.m>19.如表给出了二次函数y=x2+2x﹣10中x,y的一些对应值,则可以估计一元二次方程x2+2x ﹣10=0的一个近似解为()x… 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 …y…﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 …A.2.2 B.2.3 C.2.4 D.2.510.从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,观察得出下面五条信息:①c<0;②abc >0;③a+b+c>0;④2a+3b=0;⑤c﹣8b>0.你认为其中正确信息的个数为()A.2个B.3个C.4个D.5个11.关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有一个根是﹣1,若二次函数y=ax2+bx+的图象的顶点在第一象限,设t=2a+b,则t的取值范围是()A.<t<B.﹣1<t≤C.﹣≤t<D.﹣1<t<12.将二次函数y=x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象,若直线y=2x+b与这个新图象有3个公共点,则b的值为()A.﹣或﹣12 B.﹣或2 C.﹣12或2 D.﹣或﹣12 13.已知:抛物线y1=x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),抛物线y2=x2﹣2ax﹣1(a>0)与x轴交于C、D两点(点C在点D的左侧),在使y1>0且y2≤0的x的取值范围内恰好只有一个整数时,a的取值范围是()A.0<a≤B.a≥C.≤a<D.<a≤14.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=1,下列结论:①2a+b=0;②9a+c>3b;③若点A(﹣3,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3)在该函数图象上,则y1<y3<y2:④若方程ax2+bx+c=﹣3(a≠0)的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<﹣1<3<x2;⑤m(am+b)﹣b<a.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个15.在平面直角坐标系中,已知点A(﹣1,4),B(2,1),直线AB与x轴和y轴分别交M,N,若抛物线y=x2﹣bx+2与直线AB有两个不同的交点,其中一个交点在线段AN上(包含A,N两个端点),另一个交点在线段BM上(包含B,M两个端点),则b的取值范围是()A.1≤b≤B.b≤1或b≥C.≤b≤D.b≤或b≥16.已知二次函数y=(x﹣h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对对应的函数值y的最小值为10,则h的值为()A.﹣2或4 B.0或6 C.1或3 D.﹣2或617.如图,抛物线y=a(x﹣1)2+k(a>0)经过点(﹣1,0),顶点为M,过点P(0,a+4)作x轴的平行线l,l与抛物线及其对称轴分别交于点A、B、H.以下结论:①当x=3.1时,y>0;②存在点P,使AP=PH;③(BP﹣AP)是定值;④当a=2时,y=|a(x﹣1)2+k|的图象与直线l有四个交点,其中正确的是()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④18.如图,抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标A(﹣1,3),与x轴的一个交点B(﹣4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:①2a﹣b=0;②abc<0;③抛物线与x轴的另一个交点坐标是(3,0);④方程ax2+bx+c﹣3=0有两个相等的实数根;⑤当﹣4<x<﹣1时,则y2<y1.其中正确的是()A.①②③B.①③⑤C.①④⑤D.②③④19.把抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位,再向右平移1个单位,得到的抛物线是()A.y=﹣2(x+1)2+1 B.y=﹣2(x﹣1)2+1C.y=﹣2(x﹣1)2﹣1 D.y=﹣2(x+1)2﹣120.当﹣2≤x≤1时,关于x的二次函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为()A.2 B.2或C.2或或D.2或或21.对某一个函数给出如下定义:如果存在常数M,对于任意的函数值y,都满足y≤M,那么称这个函数是有上界函数;在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的上确界.例如,函数y=﹣(x+1)2+2,y≤2,因此是有上界函数,其上确界是2,如果函数y=﹣2x+1(m≤x≤n,m<n)的上确界是n,且这个函数的最小值不超过2m,则m的取值范围是()A.m≤B.m C.D.m22.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)2a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)5a+7b+2c>0;(4)若点A(﹣3,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3)在该函数图象上,则y1<y2<y3;(5)若方程a (x+1)(x﹣5)=c的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<﹣1<5<x2,其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个23.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,对称轴为x=,且经过点(2,0).下列说法:①abc<0;②﹣2b+c=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣,y1),(,y2)是抛物线上的两点,则y1<y2;⑤b>m(am+b)(其中m≠).其中说法正确的是()A.①②④⑤B.③④C.①③D.①②⑤24.二次函数y=﹣2(x+1)2+3的图象的顶点坐标是()A.(1,3)B.(﹣1,3)C.(1,﹣3)D.(﹣1,﹣3)25.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图,对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解,则t的取值范围是()A.t>﹣5 B.﹣5<t<3 C.3<t≤4 D.﹣5<t≤4 26.如图,直线y=与y轴交于点A,与直线y=﹣交于点B,以AB为边向右作菱形ABCD,点C恰与原点O重合,抛物线y=(x﹣h)2+k的顶点在直线y=﹣上移动.若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点,则h的取值范围是()A.﹣2B.﹣2≤h≤1 C.﹣1D.﹣127.关于二次函数y=x2﹣kx+k﹣1,以下结论:①抛物线交x轴有两个不同的交点;②不论k取何值,抛物线总是经过一个定点;③设抛物线交x轴于A、B两点,若AB=1,则k=4;④抛物线的顶点在y=﹣(x﹣1)2图象上;⑤抛物线交y轴于C点,若△ABC是等腰三角形,则k=﹣,0,1.其中正确的序号是()A.①②⑤B.②③④C.①④⑤D.②④28.抛物线y=2(x+1)2﹣1的顶点坐标是()A.(1,1)B.(﹣1,﹣1)C.(1,﹣1)D.(﹣1,1)29.已知抛物线y=a(x﹣3)2+过点C(0,4),顶点为M,与x轴交于A、B两点.如图所示以AB为直径作圆,记作⊙D,下列结论:①抛物线的对称轴是直线x=3;②点C在⊙D外;③在抛物线上存在一点E,能使四边形ADEC为平行四边形;④直线CM与⊙D相切.正确的结论是()A.①③B.①④C.①③④D.①②③④30.抛物线y=(x﹣2)2+3的顶点坐标是()A.(2,3)B.(﹣2,3)C.(2,﹣3)D.(﹣2,﹣3)31.定义[a,b,c]为函数y=ax2+bx+c的特征数,下面给出特征数为[2m,1﹣m,﹣1﹣m]的函数的一些结论,其中不正确的是()A.当m=﹣3时,函数图象的顶点坐标是()B.当m>0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于C.当m≠0时,函数图象经过同一个点D.当m<0时,函数在x时,y随x的增大而减小32.已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示,它与x,y轴的交点分别为A,B,P是其对称轴x=1上的动点,根据图中提供的信息,给出以下结论:①2a+b=0,②x=3是ax2+bx+3=0的一个根,③△PAB周长的最小值是+3.其中正确的是()A.①②③B.仅有①②C.仅有①③D.仅有②③33.如图,是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,给出下列命题:①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1;④a﹣2b+c>0.其中正确的命题是()A.①②B.②③C.①③D.①②③④二.填空题(共9小题)34.若y与x的函数+3x是二次函数,则m=.35.如图所示的抛物线是二次函数y=ax2﹣5x+4﹣a2的图象,那么a的值是36.已知a,b,c满足a﹣b+c=0,4a+c=2b,则关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为.37.若二次函数y=mx2﹣6mx+1(m>0)的图象经过A(2,a),B(﹣1,b),C(3+,c)三点,则a,b,c从小到大排列是.38.把二次函数y=x2﹣4x+3的图象沿y轴向下平移1个单位长度,再沿x轴向左平移3个单位长度后,此时抛物线相应的函数表达式是.39.当a﹣1≤x≤a时,函数y=x2﹣2x+1的最小值为1,则a的值为.40.已知二次函数的顶点是(2,﹣1),且与y轴的交点到原点的距离为3,则这个二次函数的解析式为.41.已知二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴交于A,B两点,若点A坐标为(﹣1,0),则点B的坐标为.42.如图,四边形的两条对角线AC、BD所成的锐角为45°,当AC+BD=12时,四边形ABCD 的面积最大值是.三.解答题(共8小题)43.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,﹣1)和C(4,5)三点(1)求二次函数的解析式;(2)直接写出不等式ax2+bx+c<x+1的解集.44.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m=162﹣3x.(1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式.(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元?如果能,求出此时的销售价格;如果不能,说明理由.45.某商品交易会上,一商人将每件进价为5元的纪念品,按每件9元出售,每天可售出32件.他想采用提高售价的办法来增加利润,经试验,发现这种纪念品每件提价1元,每天的销售量会减少4件.(1)当售价定为多少元时,每天的利润为140元?(2)商人为了获得最大利润,应将该商品每件售价定为多少元?最大利润是多少元?46.某广场有一个小型喷泉,水流从垂直于地面的水管OA喷出,OA长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上,某方向上抛物线路径的形状如图所示,落点B到O的距离为3米.建立平面直角坐标系,水流喷出的高度y(米)与水平距离x (米)之间近似满足函数关系y=ax2+x+c(a≠0).(1)求y与x之间的函数关系式;(2)求水流喷出的最大高度.47.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合,如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立平面直角坐标系.(Ⅰ)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;(Ⅱ)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?48.在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1,0)、B(4,0),C(0,2)三点,直线y=kx+t经过B、C两点,点D是抛物线上一个动点,过点D作y 轴的平行线,与直线BC相交于点E.(1)求直线和抛物线的解析式;(2)当点D在直线BC下方的抛物线上运动,使线段DE的长度最大时,求点D的坐标;(3)点D在运动过程中,若使O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形时,请直接写出满足条件的所有点D的坐标.49.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c与直线y=﹣x+6分别交于x轴和y轴上同一点,交点分别是点B和点C,且抛物线的对称轴为直线x=4.(1)求出抛物线与x轴的两个交点A,B的坐标.(2)试确定抛物线的解析式.(3)在直线BC下方的抛物线上,是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,请你求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.50.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点A的坐标为(﹣1,0),与y轴交于点C(0,2),直线CD:y=﹣x+2与x轴交于点D.动点M 在抛物线上运动,过点M作MP⊥x轴,垂足为P,交直线CD于点N.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P在线段OD上时,△CDM的面积是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由;(3)点E是抛物线对称轴与x轴的交点,点F是x轴上一动点,点M在运动过程中,若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点F的坐标.参考答案与试题解析一.选择题(共33小题)1.【解答】解:y=3x是一次函数,故A错误;当a=0时y=ax2+bx+c不是二次函数,故B错误;y=(x﹣1)2是二次函数,故C正确;y=2是常数函数,故D错误.故选:C.2.【解答】解:在y=ax+c中,当x=0时,y=c,∴y=ax+c与y轴的交点为(0,c);在y=ax2+bx+c中,当x=0时,y=c,∴y=ax2+bx+c与y轴的交点为(0,c),则y=ax+c与y=ax2+bx+c与y轴交于同一点(0,c),故选:D.3.【解答】解:∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,∴二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1.故选:B.4.【解答】解:∵物线y=﹣x2﹣4x+m=﹣(x+2)2+4+m,∴该抛物线的对称轴是直线x=﹣2,开口向下,∵(1,y1),(﹣2,y2),(﹣4,y3)是抛物线y=﹣x2﹣4x+m上的点,1﹣(﹣2)=3,(﹣2)﹣(﹣2)=0,(﹣2)﹣(﹣4)=2,∴y1<y3<y2,故选:D.5.【解答】解:y=x2+2x=(x+1)2﹣1,∵将抛物线y=x2+2x先向左平移2个长度单位,再向上平移3个长度单位,∴所得到的抛物线是:y=(x+3)2+2.故选:B.6.【解答】解:∵y=x2﹣x+=x2﹣x++=(x﹣)2+,∴可得二次函数的最小值为.故选:C.7.【解答】解:y=2x2﹣4x+1=2(x2﹣2x)+1=2(x2﹣2x+1﹣1)+1=2(x﹣1)2﹣2+1=2(x﹣1)2﹣1,故选:C.8.【解答】解:∵抛物线y=x2+4x+5﹣m与x轴有两个交点,∴△=b2﹣4ac>0,即16﹣4(5﹣m)>0,解得m>1,故选:D.9.【解答】解:如图:x=2.3,y=﹣0.11,x=2.4,y=0.56,x2+2x﹣10=0的一个近似根是2.32.故选:B.10.【解答】解:①由抛物线与y轴的交点可知:c<0,故①正确;②由抛物线的开口方向可知:a>0,﹣>0,∴b<0,∴abc>0,故②正确;③令x=1代入y=ax2+bx+c,∴y=a+b+c<0,故③错误;④由对称轴可知:﹣=,则2a+3b=0,故④正确⑤如图所示,当x=﹣2时,y>0.所以4a﹣2b+c>0,所以﹣8b+c>0.所以c﹣8b>0.故⑤正确;综上所述,正确的结论有4个.故选:C.11.【解答】解:∵关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有一个根是﹣1,∴二次函数y=ax2+bx+的图象过点(﹣1,0),∴a﹣b+=0,∴b=a+,t=2a+b,则a=,b=,∵二次函数y=ax2+bx+的图象的顶点在第一象限,∴﹣>0,﹣>0,将a=,b=代入上式得:>0,解得:﹣1<t<,﹣>0,解得:t,故:﹣1<t<,故选:D.12.【解答】解:如图所示,过点B的直线y=2x+b与新抛物线有三个公共点,将直线向下平移到恰在点C处相切,此时与新抛物线也有三个公共点,令y=x2﹣5x﹣6=0,解得:x=﹣1或6,即点B坐标(6,0),将一次函数与二次函数表达式联立得:x2﹣5x﹣6=2x+b,整理得:x2﹣7x﹣6﹣b=0,△=49﹣4(﹣6﹣b)=0,解得:b=﹣,当一次函数过点B时,将点B坐标代入:y=2x+b得:0=12+b,解得:b=﹣12,综上,直线y=2x+b与这个新图象有3个公共点,则b的值为﹣12或﹣;故选:A.13.【解答】解:抛物线y1=x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),可得:A(﹣3,0)B(1,0)y1>0可以得出x<﹣3.或x>1∵抛物线y2=x2﹣2ax﹣1(a>0)与x轴交于C、D两点(点C在点D的左侧),对称轴为直线:x=a(a>0)要使y1>0且y2≤0的x的取值范围内恰好只有一个整数当x=2时y2≤0且当x=3时y2>0即:22﹣2a×2﹣1≤0 且32﹣2a×3﹣1>0解得:≤a<故选:C.14.【解答】解:①由题意可知:对称轴x=1,∴=1,∴2a+b=0,故①正确;②当x=﹣3时,y<0,∴y=9a﹣3b+c<0,故②错误;③(,y3)关于直线x=1的对称点为(,y3),由图可知:x<1时,y随着x的增大而减小,由于﹣3<<,∴y1<y3<y2,故③正确;④设y=ax2+bx+c,y=﹣3,由于图象可知:直线y=﹣3与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点,∴方程ax2+bx+c=﹣3(a≠0)的两根为x1和x2,∴x1<﹣1<3<x2,故④正确;⑤当x=1时,y=a+b+c,此时a+b+c为最大值,当x=m时,y=am2+bm+c,∴am2+bm+c≤a+b+c,即m(am+b)﹣b≤a,故⑤错误;故选:C.15.【解答】解:∵已知点A(﹣1,4),B(2,1),∴设直线AB的表达式为y=kx+b(k≠0),将点A(﹣1,4),B(2,1)代入表达式,则有:,解得:,∴y=﹣x+3.∴M(3,0),N(0,3),∵抛物线y=x2﹣bx+2必过点(0,2),∴当抛物线y=x2﹣bx+2经过点A(﹣1,4)时,b=1,∴抛物线y=x2﹣bx+2与直线y=﹣x+3交点在线段AN上时,b≥1,∴当抛物线y=x2﹣bx+2与BM相交时,只需考虑抛物线过线段BM端点时即可.当抛物线y=x2﹣bx+2经过B(2,1)时,b=,当抛物线y=x2﹣bx+2经过M(3,0)时,b=,∴≤b≤.综上所述,≤b≤.故选:C.16.【解答】解:∵当x>h时,y随x的增大而增大,当x<h时,y随x的增大而减小,∴①若h<1≤x≤3,x=1时,y取得最小值10,可得:(1﹣h)2+1=10,解得:h=﹣2或h=4(舍);②若1≤x≤3<h,当x=3时,y取得最小值10,可得:(3﹣h)2+1=10,解得:h=6或h=0(舍);③若1<h<3时,当x=h时,y取得最小值为1,不是10,∴此种情况不符合题意,舍去.综上,h的值为﹣2或6,故选:D.17.【解答】解:①由题意得:a>0,开口向上,∵抛物线对称轴是x=1,且经过点(﹣1,0),∴抛物线过x轴另一个点为(3,0),∴当x=3.1时,y>0;故①正确;②当P在O点时,AP=PH,∵a>0,∴P不可能与O重合,故②不正确;③BP﹣AP=(BH+PH)﹣AP=AH+PH﹣AP=2PH=2,故③正确;④当a=2时,a+4=6,P(0,6),把(﹣1,0)代入y=a(x﹣1)2+k中,k=﹣4a=﹣8,如图所示,故④正确.所以正确的有:①③④,故选:C.18.【解答】解:∵抛物线的顶点坐标A(﹣1,3),∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1,∴2a﹣b=0,所以①正确;∵抛物线开口向下,∴a<0,∴b=2a<0,∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴abc>0,所以②错误;∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣4,0)而抛物线的对称轴为直线x=﹣1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(2,0),所以③错误;∵抛物线的顶点坐标A(﹣1,3),∴x=﹣1时,二次函数有最大值,∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,所以④正确;∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n(m≠0)交于A(﹣1,3),B点(﹣4,0)∴当﹣4<x<﹣1时,y2<y1,所以⑤正确.故选:C.19.【解答】解:∵函数y=﹣2x2的顶点为(0,0),∴向上平移1个单位,再向右平移1个单位的顶点为(1,1),∴将函数y=﹣2x2的图象向上平移1个单位,再向右平移1个单位,得到抛物线的解析式为y=﹣2(x﹣1)2+1,故选:B.20.【解答】解:当m<﹣2,x=﹣2时,y最大=﹣(﹣2﹣m)2+m2+1=4,解得m=﹣(舍),当﹣2≤m≤1,x=m时,y最大=m2+1=4,解得m=﹣;当m>1,x=1时,y最大=﹣(1﹣m)2+m2+1=4,解得m=2,综上所述:m的值为﹣或2,故选:B.21.【解答】解:∵在y=﹣2x+1中,y随x的增大而减小,∴上确界为﹣2m+1,即﹣2m+1=n,∵函数的最小值是﹣2n+1≤2m,解得m≤,∵m<n,∴m<﹣2m+1.解得m<,综上,m<故选:B.22.【解答】解:(1)﹣=2,∴4a+b=0,所以此选项不正确;(2)由图象可知:当x=﹣3时,y<0,即9a﹣3b+c<0,9a+c<3b,所以此选项不正确;(3)∵抛物线开口向下,∴a<0,∵4a+b=0,∴b=﹣4a,把(﹣1,0)代入y=ax2+bx+c得:a﹣b+c=0,a+4a+c=0,c=﹣5a,∴5a+7b+2c=5a﹣7×(﹣4a)+2×(﹣5a)=﹣33a>0,∴所以此选项正确;(4)由对称性得:点C(,y3)与(0.5,y3)对称,∵当x<2时,y随x的增大而增大,且﹣3<﹣<0.5,∴y1<y2<y3;所以此选项正确;(5)∵a<0,c>0,∵方程a(x+1)(x﹣5)=c的两根为x1和x2,故x1>﹣1或x2<5,所以此选项不正确;∴正确的有2个,故选:B.23.【解答】解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线对称轴为直线x=﹣=,∴b=﹣a>0,∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴abc<0,所以①正确;∵对称轴为x=,且经过点(2,0),∴抛物线与x轴的另一个交点为(﹣1,0),∴=﹣1×2=﹣2,∴c=﹣2a,∴﹣2b+c=2a﹣2a=0,所以②正确;∵抛物线经过点(2,0)∴x=2时,y=0,∴4a+2b+c=0,所以③错误;∵点(﹣,y1)离对称轴要比点(,y2)离对称轴要远,∴y1<y2,所以④正确.∵抛物线的对称轴为直线x=,∴当x=时,y有最大值,∴a+b+c>am2+bm+c(其中m≠),∴a+b>m(am+b)(其中m≠),∵a=﹣b,∴﹣b+b>m(am+b),∴m>m(am+b),所以⑤正确;故选:A.24.【解答】解:∵y=﹣2(x+1)2+3,∴抛物线顶点坐标为(﹣1,3),故选:B.25.【解答】解:如图,关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx 与直线y=t的交点的横坐标,当x=1时,y=3,当x=5时,y=﹣5,由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解,直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4,∴﹣5<t≤4.故选:D.26.【解答】解:∵将y=与y=﹣联立得:,解得:.∴点B的坐标为(﹣2,1).由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为(h,k).∵将x=h,y=k,代入得y=﹣得:﹣h=k,解得k=﹣,∴抛物线的解析式为y=(x﹣h)2﹣h.如图1所示:当抛物线经过点C时.将C(0,0)代入y=(x﹣h)2﹣h得:h2﹣h=0,解得:h1=0(舍去),h2=.如图2所示:当抛物线经过点B时.将B(﹣2,1)代入y=(x﹣h)2﹣h得:(﹣2﹣h)2﹣h=1,整理得:2h2+7h+6=0,解得:h1=﹣2,h2=﹣(舍去).综上所述,h的范围是﹣2≤h≤.故选:A.27.【解答】解:令y=x2﹣kx+k﹣1=0,△=k2﹣4k+4=(k﹣2)2≥0,即抛物线交x轴有两个的交点,①错误;当x=1时,y=1﹣k+k﹣1=0,即抛物线总是经过一个定点(1,0),②正确;当k=4时,y=x2﹣4x+3,令y=x2﹣4x+3=0,解得x=3或1,则AB=3﹣1=2,③错误;y=x2﹣kx+k﹣1=0顶点坐标为(,),当x=时,y=﹣(x﹣1)2=﹣,即抛物线的顶点在y=﹣(x﹣1)2图象上,④正确;当k=1时,y=x2﹣x,此时△ABC不是等腰三角形,⑤错误;正确的有②④,故选:D.28.【解答】解:因为y=2(x+1)2﹣1是抛物线的顶点式,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(﹣1,﹣1),故选:B.29.【解答】解:由抛物线y=a(x﹣3)2+可知:抛物线的对称轴x=3,故①正确;∵抛物线y=a(x﹣3)2+过点C(0,4),∴4=9a+,解得:a=﹣,∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣3)2+,令y=0,则﹣(x﹣3)2+=0,解得:x=8或x=﹣2,∴A(﹣2,0),B(8,0);∴AB=10,∴AD=5,∴OD=3∵C(0,4),∴CD==5,∴CD=AD,∴点C在圆上,故②错误;过点C作CE∥AB,交抛物线于E,∵C(0,4),代入y=﹣(x﹣3)2+得:4=﹣(x﹣3)2+,解得:x=0,或x=6,∴CE=6,∴AD≠CE,∴四边形ADEC不是平行四边形,故③错误;由抛物线y=a(x﹣3)2+可知:M(3,),∵C(0,4),∴直线CM为y=x+4,直线CD为:y=﹣x+4,∴CM⊥CD,∵CD=AD=5,∴直线CM与⊙D相切,故④正确;故选:B.30.【解答】解:y=(x﹣2)2+3是抛物线的顶点式方程,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(2,3).故选:A.31.【解答】解:因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m,1﹣m,﹣1﹣m];A、当m=﹣3时,y=﹣6x2+4x+2=﹣6(x﹣)2+,顶点坐标是(,);此结论正确;B、当m>0时,令y=0,有2mx2+(1﹣m)x+(﹣1﹣m)=0,解得:x1=1,x2=﹣﹣,|x2﹣x1|=+>,所以当m>0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于,此结论正确;C、当x=1时,y=2mx2+(1﹣m)x+(﹣1﹣m)=2m+(1﹣m)+(﹣1﹣m)=0 即对任意m,函数图象都经过点(1,0)那么同样的:当m=0时,函数图象都经过同一个点(1,0),当m≠0时,函数图象经过同一个点(1,0),故当m≠0时,函数图象经过x轴上一个定点此结论正确.D、当m<0时,y=2mx2+(1﹣m)x+(﹣1﹣m)是一个开口向下的抛物线,其对称轴是:直线x=,在对称轴的右边y随x的增大而减小.因为当m<0时,=﹣>,即对称轴在x=右边,因此函数在x=右边先递增到对称轴位置,再递减,此结论错误;根据上面的分析,①②③都是正确的,④是错误的.故选:D.32.【解答】解:①根据图象知,对称轴是直线x=﹣=1,则b=﹣2a,即2a+b=0.故①正确;②根据图象知,点A的坐标是(﹣1,0),对称轴是x=1,则根据抛物线关于对称轴对称的性质知,抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0),所以x=3是ax2+bx+3=0的一个根,故②正确;③如图所示,点A关于x=1对称的点是A′,即抛物线与x轴的另一个交点.连接BA′与直线x=1的交点即为点P,则△PAB周长的最小值是(BA′+AB)的长度.∵B(0,3),A′(3,0),∴BA′=3.即△PAB周长的最小值是3+.故③正确.综上所述,正确的结论是:①②③.故选:A.33.【解答】解:∵x=1时,y=0,∴a+b+c=0,所以①正确;∵x=﹣=﹣1,∴b=2a,所以②错误;∵点(1,0)关于直线x=﹣1对称的点的坐标为(﹣3,0),∴抛物线与x轴的交点坐标为(﹣3,0)和(1,0),∴ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1,所以③正确;∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,而a+b+c=0,b=2a,∴c=﹣3a,∴a﹣2b+c=﹣3b,∵b>0,∴﹣3b<0,所以④错误.故选:C.二.填空题(共9小题)34.【解答】解:∵+3x是二次函数,∴m2+1=2,m﹣1≠0.解得:m=﹣1.故答案为:﹣1.35.【解答】解:根据图示知,二次函数y=ax2﹣5x+4﹣a2的图象经过原点(0,0),∴0=4﹣a2,解得,a=±2;又∵该函数图象的开口方向向下,∴a<0,∴a=﹣2.故答案为:﹣2.36.【解答】解:∵a﹣b+c=0,即c=b﹣a,4a+c=2b,∴4a+b﹣a=2b,即3a=b,∴=3,则关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为直线x=﹣=﹣,故答案为:直线x=﹣37.【解答】解:∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=3,而A点(2,a)到直线x=3的距离最小,点(﹣1,b)到直线x=3的距离最大,∴a<c<b.故答案为a<c<b.38.【解答】解:∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,∴抛物线y=x2﹣4x+3沿y轴向下平移1个单位长度,再沿x轴向左平移3个单位长度后,得到抛物线解析是:y=(x﹣2+3)2﹣1﹣1=(x+1)2﹣2.故答案为:y=(x+1)2﹣2.39.【解答】解:当y=1时,有x2﹣2x+1=1,解得:x1=0,x2=2.∵当a﹣1≤x≤a时,函数有最小值1,∴a﹣1=2或a=0,∴a=3或a=0,故答案为:0或3.40.【解答】解:∵二次函数的图象顶点是(2,﹣1),∴设这个二次函数的解析式y=a(x﹣2)2﹣1(a≠0),∵二次函数的图象与y轴的交点到原点的距离是3,∴交点坐标为(0,3)或(0,﹣3),把(0,3)代入y=a(x﹣2)2﹣1,得3=a﹣1,解得a=1,则这个二次函数的解析式y=(x﹣2)2﹣1;把(0,﹣3)代入y=a(x﹣2)2﹣1,得﹣3=4a﹣1,解得a=﹣,则这个二次函数的解析式y=﹣(x﹣2)2﹣1;故答案为:y=(x﹣2)2﹣1或y=﹣(x﹣2)2﹣1.41.【解答】解:∵二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴交于A,B两点,点A坐标为(﹣1,0),∴0=(﹣1)2﹣2×(﹣1)+m,解得,m=﹣3,∴y=x2﹣2x﹣3,当y=0时,0=x2﹣2x﹣3=(x﹣3)(x+1),解得,x1=3,x2=﹣1,∴点B的坐标为(3,0),故答案为:(3,0).42.【解答】解:∵AC与BD所成的锐角为45°,∴根据四边形面积公式,得四边形ABCD的面积S=AC×BD×sin45°,设AC=x,则BD=12﹣x,所以S=x(12﹣x)×=﹣(x﹣6)2+9,所以当x=6,S有最大值9.故答案为:9.三.解答题(共8小题)43.【解答】解:(1)根据题意得,解得,所以抛物线解析式为y=x2﹣x﹣1;(2)解方程x2﹣x﹣1=x+1得x1=﹣1,x2=4,即抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x+1的交点的横坐标分别为﹣1,4;如图,所以当﹣1<x<4时,ax2+bx+c<x+1,即不等式ax2+bx+c<x+1的解集为﹣1<x<4.44.【解答】解:(1)由题意得,每件商品的销售利润为(x﹣30)元,那么m件的销售利润为y=m(x﹣30),又∵m=162﹣3x,∴y=(x﹣30)(162﹣3x),即y=﹣3x2+252x﹣4860,∵x﹣30≥0,∴x≥30.又∵m≥0,∴162﹣3x≥0,即x≤54.∴30≤x≤54.∴所求关系式为y=﹣3x2+252x﹣4860(30≤x≤54).(2)由(1)得y=﹣3x2+252x﹣4860=﹣3(x﹣42)2+432,所以可得售价定为42元时获得的利润最大,最大销售利润是432元.∵500>432,∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元.45.【解答】解:(1)设售价定为x元时,每天的利润为140元,根据题意,得:(x﹣5)[32﹣4(x﹣9)]=140,解得:x1=12、x2=10,答:售价定为12元或10元时,每天的利润为140元.(2)根据题意,得:y=(x﹣5)[32﹣4(x﹣9)]=﹣4x2+88x﹣340=﹣4(x﹣11)2+144,故当x=11时,y最大=144,答:售价为11元时,利润最大,最大利润为144元.46.【解答】解:(1)由题意可得,抛物线经过点(0,1.5)和(3,0),把上述两个点坐标代入二次函数表达式得:,解得:,则函数表达式为:y=﹣x2+x+;(2)a=﹣<0,故函数有最大值,∴当x=1时,y取得最大值,此时y=2,答:水流喷出的最大高度为2米.47.【解答】解:(Ⅰ)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a(x﹣3)2+5(a≠0),将(8,0)代入y=a(x﹣3)2+5,得:25a+5=0,解得:a=﹣,∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=﹣(x﹣3)2+5(0<x<8).(Ⅱ)当y=1.8时,有﹣(x﹣3)2+5=1.8,解得:x1=﹣1,x2=7,∴为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.48.【解答】解:(1)把点B(4,0),C(0,2)代入直线y=kx+t,得:,解得,∴y=﹣x+2;把点A(1,0)、B(4,0),C(0,2)代入y=ax2+bx+c,得:,解得,∴y=x2﹣x+2;(2)设点D坐标为(m,m2﹣m+2),E点的坐标为(m,﹣m+2),∴DE=(﹣m+2)﹣(m2﹣m+2)=﹣m2+2m=﹣(m﹣2)2+2,∴当m=2时,DE的长最大,为2,当m=2时,m2﹣m+2=﹣1,∴D(2,﹣1);(3)①当D在E下方时,如(2)中,DE=﹣m2+2m,OC=2,OC∥DE,∴当DE=OC时,四边形OCED为平行四边形,则﹣m2+2m=2,解得m=2,此时D(2,﹣1);②当D在E上方时,DE=(m2﹣m+2)﹣(﹣m+2)=m2﹣2m,令m2﹣2m=2,解得m=2,∴此时D(2+2,3﹣)或(2﹣2,3+),综上所述,点D的坐标是(2,﹣1)或(2+2,3﹣)或(2﹣2,3+)时,都可以使O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形.49.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=﹣x+6分别交于x轴和y轴上同一点,交点分别是点B和点C,∴将x=0代入y=﹣x+6得,y=6;将y=0代入y=﹣x+6,得x=6.∴点B的坐标是(6,0),点C的坐标是(0,6).∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B两点,对称轴为直线x=4,∴点A的坐标为(2,0).即抛物线与x轴的两个交点A,B的坐标分别是(2,0),(6,0).(2)∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(2,0),B(6,0),C(0,6),∴,解得a=,b=﹣4,c=6.∴抛物线的解析式为:y=x2﹣4x+6.(3)存在这样的点P使△PBC的面积最大,点P的坐标为(3,﹣).如图,过点P作PQ∥y轴,交直线BC于点Q,交AB于点D,设P(m,m2﹣4m+6)(0<m<6),则D(m,0),Q(m,﹣m+6),∴OD=m,BD=6﹣m,PQ=﹣m+6﹣(m2﹣4m+6)=﹣m+6﹣m2+4m﹣6=﹣m2+3m,所以△PBC的面积S=S△PCQ+S△PBQ=PQ•OD+PQ•BD=PQ•OB=×(﹣m2+3m)×6=﹣m2+9m=﹣(m﹣3)2+,∴当m=3时,S取得最大值,此时点P坐标为(3,﹣).50.【解答】解:(1)∵抛物线经过点A(﹣1,0),点C(0,2),∴,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2;(2)存在.当y=0,﹣x+2=0,解得x=2,则D(2,0),设M(x,﹣x2+x+2),则N(x,﹣x+2),∴MN=﹣x2+x+2﹣(﹣x+2)=﹣x2+x,∴S△CDM=×MN×2=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+,∵a=﹣<0,∴当a=时,S△CDM有最大值为;(3)∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴E(1,0),当CM∥EF时,则M(2,2),∵以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形,∴CM=EF=2,∴F点坐标为(3,0)或(﹣1,0);当CE∥MF时,∵以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形,∴CM=EF,∵点C向右平移1个单位,向下平移2个单位得到E点,∴点F向右平移1个单位,向下平移2个单位得到M点,设F(t,0),则M(t+1,﹣2),把M(t+1,﹣2)代入y=﹣x2+x+2得﹣(t+1)2+(t+1)+2=﹣2,解得t1=,t2=﹣,此时F点坐标为(,0),(﹣,0),综上所述,F点坐标为(3,0)或(﹣1,0)或(,0)或(﹣,0).。

2023年春学期北师大版九年级数学下册第二章【二次函数】检测卷附答案解析

2023年春学期北师大版九年级数学下册第二章【二次函数】检测卷附答案解析

2023年春学期九年级数学下册第二章【二次函数】检测卷一、单选题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)1.抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0,且与y 轴交于点()0,5-,则当2x =时,y 的值为()A .5-B .3-C .1-D .52.在羽毛球比赛中,某次羽毛球的运动路线呈抛物线形,羽毛球距地面的高度()m y 与水平距离()m x 之间的关系如图所示,点B 为落地点,且1m OA =,4m OB =,羽毛球到达的最高点到y 轴的距离为3m 2,那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为()A .25m 4B .9m 4C .3m2D .25m 163.二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是()A .=1x -B .2x =-C .1x =D .2x =4.已知二次函数()20y ax bx c a =+-≠,其中0b >、0c >,则该函数的图象可能为()A .B .C .D .5.如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2x =-,下列结论正确的是()A .a<0B .0c >C .当<2x -时,y 随x 的增大而减小D .当2x >-时,y 随x 的增大而减小6.已知抛物线22()1y x =-+,下列结论错误的是()A .抛物线开口向上B .抛物线的对称轴为直线2x =C .抛物线的顶点坐标为(2,1)D .当2x <时,y 随x 的增大而增大7.关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值,下列说法正确的是()A .有最大值4B .有最小值4C .有最大值6D .有最小值68.抛物线y =x 2+3上有两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),若y 1<y 2,则下列结论正确的是()A .0≤x 1<x 2B .x 2<x 1≤0C .x 2<x 1≤0或0≤x 1<x 2D .以上都不对9.如图是拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O ,B ,以点O 为原点,水平直线OB 为x 轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可以近似看成抛物线y =-0.01(x -20)2+4,桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好位于水面,且AC ⊥x 轴,若OA =5米,则桥面离水面的高度AC 为()A .5米B .4米C .2.25米D .1.25米10.下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值:x …-2013…y …6-4-6-4…下列各选项中,正确的是A .这个函数的图象开口向下B .这个函数的图象与x 轴无交点C .这个函数的最小值小于-6D .当1x >时,y 的值随x 值的增大而增大11.用配方法将二次函数21242y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为()A .21(2)42y x =--B .21(1)32y x =--C .21(2)52y x =--D .21(2)62y x =--12.向空中发射一枚炮弹,经x 秒后的高度为y 米,且时间与高度的函数表达式为()20y ax bx c a =++≠,若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等,则下列时间中炮弹所在高度最高的是()A .第7秒B .第9秒C .第11秒D .第13秒二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)13.某快餐店销售A 、B 两种快餐,每份利润分别为12元、8元,每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润,准备降低每份A 种快餐的利润,同时提高每份B 种快餐的利润.售卖时发现,在一定范围内,每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份,每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变,那么这两种快餐一天的总利润最多是______元.14.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的一边AB 在x 轴上,顶点B 在x 轴正半轴上.若抛物线y =x 2﹣5x +4经过点C 、D ,则点B 的坐标为______.15.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠,图象的一部分如图所示,该函数图象经过点(2,0)-,对称轴为直线12x =-.对于下列结论:①<0abc ;②240b ac ->;③0a b c ++=;④21(2)4am bm a b +<-(其中12m ≠-);⑤若()11,A x y 和()22,B x y 均在该函数图象上,且121x x >>,则12y y >.其中正确结论的个数共有_______个.16.二次函数23y ax ax c =-+(a<0,a ,c 均为常数)的图象经过()12A y -,、()22B y ,、()30C y ,三点,则1y ,2y ,3y 的大小关系是_____.17.如图,是一名男生推铅球时,铅球行进过程中形成的抛物线.按照图中所示的平面直角坐标系,铅球行进高度y (单位:m )与水平距离x (单位:m )之间的关系是21251233y x x =-++,则铅球推出的水平距离OA 的长是_____m .18.抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的部分图象如图所示,其与x 轴的一个交点坐标为(﹣3,0),对称轴为x =﹣1,则当y <0时,x 的取值范围是_____.19.如图,一位篮球运动员投篮,球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行,然后准确落入篮筐内,已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ,则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m .20.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在正常水位的情况下,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m ,水面宽4m .则当水位下降m=________时,水面宽为5m ?三、解答题(本大题共5小题,每小题8分,共40分)21.如图,隧道的截面由抛物线DEC 和矩形ABCD 构成,矩形的长AB 为4m ,宽BC 为3m ,以DC 所在的直线为x 轴,线段CD 的中垂线为y 轴,建立平面直角坐标系.y 轴是抛物线的对称轴,最高点E 到地面距离为4米.(1)求出抛物线的解析式.(2)在距离地面134米高处,隧道的宽度是多少?(3)如果该隧道内设单行道(只能朝一个方向行驶),现有一辆货运卡车高3.6米,宽2.4米,这辆货运卡车能否通过该隧道?通过计算说明你的结论.22.2022年北京冬奥会即将召开,激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图,取某一位置的水平线为x 轴,过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴,建立平面直角坐标系.图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡,某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出,滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动.(1)当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时,离水平线的高度为8米,求抛物线2C 的函数解析式(不要求写出自变量x 的取值范围);(2)在(1)的条件下,当运动员运动水平线的水平距离为多少米时,运动员与小山坡的竖直距离为1米?(3)当运动员运动到坡顶正上方,且与坡顶距离超过3米时,求b 的取值范围.23.如图,抛物线y =x 2+x ﹣2与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C .(1)求点A ,点B 和点C 的坐标;(2)抛物线的对称轴上有一动点P ,求PB +PC 的值最小时的点P 的坐标.24.李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售,这种水果每箱10千克,批发商规定:整箱购买,一箱起售,每人一天购买不超过10箱;当购买1箱时,批发价为8.2元/千克,每多购买1箱,批发价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经验,这种水果售价为12元/千克时,每天可销售1箱;售价每千克降低0.5元,每天可多销售1箱.(1)请求出这种水果批发价y(元/千克)与购进数量x(箱)之间的函数关系式;(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完,请你计算,李大爷每天应购进这种水果多少箱,才能使每天所获利润最大?最大利润是多少?25.如图,抛物线的顶点为A(h,-1),与y轴交于点B1(0,)2 ,点F(2,1)为其对称轴上的一个定点.(1)求这条抛物线的函数解析式;(2)已知直线l是过点C(0,-3)且垂直于y轴的定直线,若抛物线上的任意一点P(m,n)到直线l的距离为d,求证:PF=d;(3)已知坐标平面内的点D(4,3),请在抛物线上找一点Q,使△DFQ的周长最小,并求此时 DFQ周长的最小值及点Q的坐标.参考答案:1.A2.D3.A4.C5.C6.D7.D8.D9.C10.C11.D12.B13.126414.(2,0)15.316.132y y y <<17.1018.﹣3<x <119.420.1.12521.(1)2114y x =-+(2)23(3)能通过22.(1)213482y x x =-++;(2)12米;(3)3524b ≥.23.(1)A (﹣2,0),B (1,0),C (0,﹣2).(2)P (12-,12-)24.(1)0.28.4y x =-+(110x ≤≤且x 为整数).(2)李大爷每天应购进这种水果7箱,获得的利润最大,最大利润是140元.25.(1)()21218y x =--;(2)1(3)26,14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭。

九年级数学下册第二章《二次函数》测试题-北师大版(含答案)

九年级数学下册第二章《二次函数》测试题-北师大版(含答案)

九年级数学下册第二章《二次函数》测试题-北师大版(含答案) 班级 座号 姓名 成绩一、选择题(本大题8小题,每小题3分,共24分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的.1.已知函数4)3(2++=x m y 是二次函数,则m 的取值范围为( )A .m >-3B .m <-3C .m ≠-3D .任意实数 2.已知直线2+=kx y 过一、二、三象限,则直线2+=kx y 与抛物线322+-=x x y 的交点个数为( )A .0个B .1个C .2个D .1个或2个 3.已知抛物线的解析式为21(2)36y x =-+-,则抛物线的顶点坐标是( ) A .(2,3) B .(2,3)-C .(2,3)-D .(2,3)-- 4.已知抛物线与二次函数23y x =-的图像相同,开口方向相同,且顶点坐标为(1,3)-,它对应的函数表达式为( )A .23(1)3y x =--+B .23(1)3y x =-+C .23(1)3y x =+-D .23(1)3y x =-++ 5.二次函数2y x bx c =-++的图象如图所示:若点A (11,x y ),B (22,x y )在此函数图象上,1x <2x <1,1y 与2y 的大小关系是( ) A .1y ≤2y B .1y <2yC .1y ≥2yD .1y >2y 6.若抛物线c bx x y ++=2与x 轴两个交点间的距离为4.对称轴为直线x =2,P 为这条抛物线的顶点,则点P 关于x 轴的对称点的坐标是( )A .(2,4)B .(-2,4)C .(-2,-4)D .(2,-4) 7.二次函数222=++y x x 与坐标轴的交点个数是( )A .0个B .1个C .2个D .3个 第5题图8. 在中考体育训练期间,小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析,发现实心球飞行高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系式为58531012++-=x x y ,由此可知小宇此次实心球训练的成绩为( )A .6米B .8米C .10米D .2米 二、填空题(本大题7小题,每小题4分,共28分)请将下列各题的正确答案填在该题的横线上.9.已知函数()2113my m x x +=-+,当m =__________时,它是二次函数. 10.抛物线22x y -=沿着x 轴正方向看,在y 轴的左侧部分是 .(填“上升”或“下降”)11.把二次函数2x y =的图象向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度,经过这两次平移后所得到的抛物线的解析式为 .12.已知二次函数32-+=bx ax y ,当x =1与x =2020时,函数值相等.则当x =2021时,函数值等于 .13.二次函数y =x 2+bx +c 的图象如图所示,则其对称轴方程是 ,方程x 2+bx +c =0的解是 .14.用一根长为20cm 的铁丝围成一个矩形,该矩形面积的最大值是 cm 2. 15. 如图是二次函数2y ax bx c =++的图象,下列结论:①0ac >,②20a b +>,③24ac b <,④0a b c ++<,⑤当0x >时, y 随x 的增大而减小;其中正确的个数有 个.三、解答题(本大题4小题,16、17题每小题10分,18、19题每小题14分,共48分.)解答过程应写出文字说明、推理过程及演算步骤.16.已知二次函数为m x x y +-=2.(1)写出它的图象的开口方向,对称轴及顶点坐标;(2)m 为何值时,顶点在x 轴上方.第题图 第15题图 第8题图17. 如图,抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()() 1,0,3,0A B -两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)设抛物线上有一个动点P ,当点P 满足8PAB S ∆=时,请求出此时点P 的坐标.18.某商家正在热销一种商品,其成本为30元/件,在销售过程中发现随着售价增加,销售量在减少.商家决定当售价为60元/件时,改变销售策略,此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元.该商品销售量y (件)与售价x (元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x ≤70,且x 为整数).(1)请求出y 与x 的函数关系式;(2)当售价为多少时,商家所获利润最大,最大利润是多少?19. 如图,抛物线12-+=bx x y 与x 轴交于点A ,B (点A 在点B 的左侧),交y 轴于点C ,顶点为D ,对称轴为直线3-=x ,连接AC ,BC .(1)求抛物线的解析式;(2)求△ABC 的面积;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点E ,使得△CDE 为等腰三角形?如果存在,请求出点E 的坐标,如果不存在,请说明理由.参考答案一、选择题:1.C 2.C 3.D 4.D 5.B 6.A 7.B 8.B二、填空题:9.m = -1 10.上升 11.1)3(2--=x y 12.-3 13.x =﹣1,x 1=﹣3,x 2=1 14.25 15. ③三、解答题: 16.(1)抛物线开口方向向上;对称轴为直线21=x ;顶点坐标为(414,21-m ) (2)41>m 17. (1)解析式是223y x x =--;()2设点P 的坐标为(),x y ,∵8PAB S ∆=, ∴182AB y ⋅=, ∵314AB =+=, ∴4y =, ∴4y =±,把4y =代入解析式,得2423x x =--, 解得:122x =±, 把4y =-代入解析式,得2423x x -=--, 解得:1x =, ∴点P 的坐标为()122,4+或()122,4-或()1,4-. 18. (1)设线段AB 的表达式为:y=kx +b (40≤x ≤60),将点(40,300)、(60,100)代入上式解得:⎩⎨⎧=-=70010b k , ∴函数的表达式为:y =-10x +700(40≤x ≤60),设线段BC 的表达式为:y =mx +n (60<x ≤70), 将点(60,100)、(70,150)代入上式解得:5200m n =⎧⎨=-⎩, ∴函数的表达式为:y =5x -200(60<x ≤70),∴y 与x 的函数关系式为:⎩⎨⎧≤<-<≤+-=)7060(2005)6040(70010x x x x y ; (2)设获得的利润为w 元,①当40≤x ≤60时,w =(x -30)(-10x +700)=-102)50(-x +4000,∵-10<0, ∴当x =50时,w 有值最大,最大值为4000元;②当60<x ≤70时,w =(x -30)(5x -200)-150(x -60)=52)50(-x +2500,∵5>0, ∴当60<x ≤70时,w 随x 的增大而增大,∴当x =70时,w 有最大,最大值为:52)5070(-+2500=4500(元),综上,当售价为70元时,该商家获得的利润最大,最大利润为4500元. 19. (1)1322-+=x x y ;(2)△ABC 的面积=14122⨯⨯=; (3)点E 存在,理由如下:设E (3,t -),D (3,4)--△CDE 为等腰三角形,分三种情况:①CD=CE , ∴2222(3)3(3)(1)t +=++, ∴t =2或t = -4∴E (3,2-)或E (3,4--)(舍去);②CD=DE , ∴3+9=2)4(+t , ∴432-=t 或432--=t , ∴E (3,234--)或E (3,234---);③CE=DE , ∴22)4()1(3+=++t t , ∴t = -2, ∴E (3,2--);综上所述:得△CDE 为等腰三角形时,E 点坐标为E (3,2-)或E (3,234--)或E (3,234---)或E (3,2--).。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测题(包含答案解析)

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测题(包含答案解析)

一、选择题1.已知二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点,则m 的取值范围是( )A .18m >B .18mC .18m >-且0m ≠ D .18m 且0m ≠ 2.在同一坐标系中,函数y ax b =+与2(0)y ax bx a =+≠的图象可能是( ) A . B . C . D . 3.对称轴为y 轴的二次函数是( )A .y=(x+1)2B .y=2(x-1)2C .y=2x 2+1D .y=-(x-1)2 4.已知二次函数()222y mx m x =+-,它的图象可能是( )A .B .C .D .5.如图,二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的顶点为D ,其图像与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为-1,3,与y 轴负半轴交于点C .在下面四个结论中:①0a b c ++<;②13a c =-;③只有当12a =时,ABD △是等腰直角三角形; ④使ACB △为等腰三角形的a 值可以有两个.其中正确的结论有 A .1个B .2个C .3个D .4个 6.抛物线221y x =--的顶点坐标是( )A .(2,1)--B .(2,1)C .(0,1)-D .(0,1)7.二次函数223y x =-+在14x -≤≤内的最小值是( )A .3B .2C .-29D .-308.汽车刹车后行驶的距离s (单位:m )关于行驶的时间t (单位:s )的函数解析式是2156s t t =-.汽车刹车后到停下来前进了多远?( )A .10.35mB .8.375mC .8.725mD .9.375m 9.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图像如图所示,则下列结论:①abc >0;②a ﹣b +c >0;③4a ﹣2b +c <0,其中结论正确的个数为( )A .0个B .1个C .2个D .3个10.已知二次函数223y x x =--+,下列叙述中正确的是( )A .图象的开口向上B .图象的对称轴为直线1x =C .函数有最小值D .当1x >-时,函数值y 随自变量x 的增大而减小11.二次函数2y ax bx c =++的图像如图,现有以下结论:①0abc >;②42a c b +<;③320b c +<;④()(1)m am b b a m ++<≠-,其中正确结论序号为( )A .①③④B .②③④C .①②③D .①②③④ 12.如图,二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点,与y 轴负半轴交于点C ,它的对称轴为直线12x =,则下列选项中正确的是( )A .0abc <B .0a b -=C .40a c ->D .当2(1x n n =+为实数)时,y c ≤二、填空题13.如图,直线334y x =-+与x 轴交于点C ,与y 轴交于点B ,抛物线233384y x x =-++经过B ,C 两点,点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点,过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ,则EM 的最大值为_____.14.如图,二次函数2y x mx =-+的图象与x 轴交于坐标原点和()4,0,若关于x 的方程20x mx t -+=(t 为实数)在14x <<的范围内有解,则t 的取值范围是_______.15.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,有如下结论:①0abc >;②20a b -=;③320b c +>;④2(am bm a b m +≤-为实数).其中正确结论是_____________(只填序号).16.如图1,AO ,BC 是两根垂直于地面的立柱,且长度相等.在两根立柱之间悬挂着一根绳子,如图2建立坐标系,绳子形如抛物线21410y x x =-+的图象.因实际需要,在OA 与BC 间用一根高为2.5m 的立柱MN 将绳子撑起,若立柱MN 到OA 的水平距离为3m ,MN 左侧抛物线的最低点D 与MN 的水平距离为1m ,则点D 到地面的距离为______.17.已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A ,(4,0)B 两点.若()15,P y ,()2,Q m y 是抛物线上的两点,且12y y >,则m 的取值范围是______.18.写出一个二次函数,使其满足:①图象开口向下;②当0x >时,y 随着x 的增大而减小.这个二次函数的解析式可以是______.19.若函数2(1)42y a x x a =+-+的图像与x 轴有且只有一个交点,则a 的值为____. 20.把函数y =x 2+3的图像向下平移1个单位长度得到的图像对应的函数关系式为________.三、解答题21.某产品的成本是120元/件,在试销阶段,当产品的售价为x (元/件)时,日销售量为(200-x )件.(1)写出用售价x (元/件)表示每日的销售利润y (元)的表达式(2)当日销售利润是1500元时,产品的售价是多少?日销售量是多少件?(3)当售价定位多少时,日销售利润最大?最大日销售利润是多少元?22.已知地物线2y x bx c =-++()0a ≠与y 轴交于点A ,点()3,2B 在该抛物线上 (1)若抛物线的对称轴是直线x m =,请用含b 的式子表示m ;(2)如图1,过点B 作x 轴的垂线段,垂足为点C .连结AB 和AC ,当ABC 为等边三角形时,求抛物线解析式;(3)如图2,在(2)条件下,已知P 为x 轴上的一动点,连结AP 和BP ,当30APB ∠=︒时,求满足条件的点P 的坐标.23.抛物线y =2x 2+4mx +m -5的对称轴为直线x =1,求m 的值及抛物线的顶点坐标. 24.已知抛物线的顶点坐标是()1,4-,且过点(0,3).()1求这个抛物线对应的函数表达式.()2在所给坐标系中画出该函数的图象.()3当x 取什么值时,函数值小于0?25.已知抛物线2y ax c =+经过点()0,2A 和点()1,0B -.(1)求抛物线的解析式;(2)将(1)中的抛物线平移,使其顶点坐标为()2,1,平移后的抛物线与x 轴的两个交点分别为点,C D (点C 在点D 的左边).求点,C D 的坐标;(3)将(1)中的抛物线平移,设其顶点的纵坐标为m ,平移后的抛物线与x 轴两个交点之间的距离为n .若15m <≤,直接写出n 的取值范围.26.如图,已知某二次函数的顶点坐标是(1,4)-,且经过点(4,5)A(1)求该二次函数的表达式;(2)点(,)P m n 是该二次函数图象上一点,若点P 到y 轴的距离不大于4,请根据图象直接写出n 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C【分析】根据二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点,可得△=221410m m m -⨯->(+)()且0m ≠求解后即可得出结论.【详解】解:∵原函数是二次函数,∴0m ≠,∵二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点,则△=240b ac ->,即221410m m m -⨯->(+)(), 解得18m >-. ∴m 的取值范围是18m >-且0m ≠. 故选:C .【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题,掌握抛物线与x 轴的交点问题与一元二次方程根之间的关系是解题的关键.2.A解析:A【分析】根据二次函数的c 值为0,确定二次函数图象经过坐标原点,再根据a 值确定出二次函数的开口方向与一次函数所经过的象限即可得解.【详解】解:2(0)y ax bx a =+≠,0c ,∴二次函数经过坐标原点,故B 、C 选项错误; A 、根据二次函数开口向上0a >,对称轴b x 02a =->, 所以,0b <,一次函数经过第一三象限,0a >,与y 轴负半轴相交,所以,0b <,符合,故本选项正确;D 、二次函数图象开口向下,0a <,一次函数经过第一三象限,0a >,矛盾,故本选项错误.故选:A .【点睛】本题考查了二次函数的图象,一次函数的图象,熟练掌握函数解析式的系数与图象的关系是解题的关键.3.C解析:C【分析】由已知可知对称轴为x =0,从而确定函数解析式y =ax 2+bx +c 中,b =0,由选项入手即可.【详解】解:二次函数的对称轴为y 轴,则函数对称轴为x =0,即函数解析式y =ax 2+bx +c 中,b =0,故选:C .【点睛】本题考查二次函数的性质;熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键.4.B解析:B【分析】分m >0,m <0两种情形,判断对称轴与x=14的位置关系即可. 【详解】∵()222y mx m x =+-, ∴抛物线一定经过原点,∴选项A 排除;∵()222y mx m x =+- , ∴对称轴为直线x=22224m m m m ---=⨯, ∵24m m --14=24m m m --=24m-, 当m >0时,抛物线开口向上,24m -<0, ∴对称轴在直线x=14的左边, B 选项的图像符合;C 选项的图像不符合; 当m <0时,抛物线开口向下,24m ->0, ∴对称轴在直线x=14的右边, D 选项的图像不符合;故选B.【点睛】 本题考查了二次函数的图像,熟练掌握抛物线经过原点的条件,抛物线对称轴的位置与定直线的关系的判定是解题的关键.5.D解析:D【分析】先根据图象与x 轴的交点A ,B 的横坐标分别为﹣1,3确定出AB 的长及对称轴,再由抛物线的开口方向判断a 与0的关系,由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.【详解】解:①由抛物线的开口方向向上可推出a >0,∵图像与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为-1,3,∴对称轴x =1,∴当x =1时,y <0,∴a +b +c <0;故①正确;②∵点A 的坐标为(﹣1,0),∴a ﹣b +c =0,又∵b =﹣2a ,∴a ﹣(﹣2a )+c =0,∴c =﹣3a ,∴13a c =-∴结论②正确.③如图1,连接AD ,BD ,作DE ⊥x 轴于点E , ,要使△ABD 是等腰直角三角形,则AD =BD ,∠ADB =90°,∵DE ⊥x 轴,∴点E 是AB 的中点,∴DE =BE ,即|244ac b a -|()312--==2,又∵b =﹣2a ,c =﹣3a ,∴|()()24324a a a a⨯---|=2,a >0, 解得a 12=, ∴只有当a 12=时,△ABD 是等腰直角三角形, 结论③正确 ④要使△ACB 为等腰三角形,则AB =BC =4,AB =AC =4,或AC =BC ,Ⅰ、当AB =BC =4时,在Rt △OBC 中,∵OB =3,BC =4,∴OC 2=BC 2﹣OB 2=42﹣32=16﹣9=7,即c 2=7,∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ,∴c <0,c 7=-,∴a 73c =-=.Ⅱ、当AB =AC =4时,在Rt △OAC 中,∵OA =1,AC =4,∴OC 2=AC 2﹣OA 2=42﹣12=16﹣1=15,即c 2=15,∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ,∴c <0,c=,∴a 3c =-= Ⅲ、当AC =BC 时,∵OC ⊥AB ,∴点O 是AB 的中点,∴AO =BO ,这与AO =1,BO =3矛盾,∴AC =BC 不成立.∴使△ACB 为等腰三角形的a . 结论④正确.故答案选:D【点睛】二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号的确定:(1)a 由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则a >0;否则a <0;(2)b 由对称轴和a 的符号确定:由对称轴公式x 2b a=-判断符,(3)c 由抛物线与y 轴的交点确定:交点在y 轴正半轴,则c >0;否则c <0;(4)b 2﹣4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定:①2个交点,b 2﹣4ac >0;②1个交点,b 2﹣4ac =0;③没有交点,b 2﹣4ac <0.6.C解析:C【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标.【详解】解:∵y=-2x 2-1,∴该抛物线的顶点坐标为(0,-1),故选:C .【点睛】本题考查了二次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次和函数的性质解答. 7.C解析:C【分析】根据图象,直接代入计算即可解答 【详解】解:由图可知,当x=4时,函数取得最小值y 最小值=-2×16+3=-29.故选:C . 【点睛】本题考查二次函数最小(大)值的求法.求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.8.D解析:D 【分析】求出函数的最大值即可得求解. 【详解】∵22575156648s t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭==+, ∴当54t =时,s 取得最大值759.3758=,即汽车刹车后到停下来前进的距离是9.375m 故选D . 【点睛】本题主要考查二次函数的应用,根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键.9.D解析:D 【分析】由抛物线开口向下,得到a <0,再由对称轴在y 轴左侧,得到a 与b 同号,可得出b <0,又抛物线与y 轴交于正半轴,得到c >0,可得出abc >0,得到①正确;根据图象知,当x =﹣1时,y >0,即a ﹣b +c >0,得到②正确;根据图象知,当x =﹣2时,y <0,即4a ﹣2b +c <0,得到③正确,从而得出结论. 【详解】解:∵抛物线的开口向下,∴a <0.∵02ba -<, ∴b <0.∵抛物线与y 轴交于正半轴, ∴c >0,∴abc >0,故①正确;根据图象知,当x =﹣1时,y >0,即a ﹣b +c >0,故②正确; 根据图象知,当x =﹣2时,y <0,即4a ﹣2b +c <0,故③正确. 则其中正确的有3个,为①②③. 故选:D . 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系,对于二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)来说,a 的符号由抛物线开口方向决定;b 的符号由对称轴的位置及a 的符号决定;c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定;此外还要注意利用抛物线的对称性及x =﹣1,﹣2时对应函数值的正负.10.D解析:D 【分析】将函数图形变成顶点式,依照二次函数的性质对比四个选项即可得出结论. 【详解】解:A. 2223=(1)4y x x x =--+-++∵a=-1<0,∴图象的开口向下,故选项A 错误; B.2223=(1)4y x x x =--+-++∴图象的对称轴为直线1x =-,故选项B 错误; C.2223=(1)4y x x x =--+-++ ∵a=-1<0,∴图象的开口向下,函数有最大值,故选项C 错误; D. 2223=(1)4y x x x =--+-++∴当1x >-时,函数值y 随自变量x 的增大而减小,故选项D 正确; 故选:D . 【点睛】本题考查二次函数的性质,解题的关键是将二次函数关系式变为顶点式,联立二次函数性质对比四个选项即可.11.A解析:A 【分析】由函数图像与对称轴的方程结合可判断①,由抛物线的对称性结合点()2,42a b c --+的位置可判断②,由抛物线的图像结合点()1,a b c ++的位置,对称轴方程,可判断③,由函数的最大值可判断④,从而可得答案. 【详解】 解:图像开口向下, a ∴<0,12bx a=-=-<0, b ∴<0,函数图像与y 轴交于正半轴,c ∴>0,abc ∴>0,故①符合题意; 抛物线与x 轴的一个交点在0~1之间,由抛物线的对称性可得:抛物线与x 轴的另一个交点在3~2--之间,∴ 当2x =-时,42y a b c =-+>0,4a c ∴+>2,b 故②不符合题意;12bx a=-=-, 2,b a ∴= 即1,2a b =当1x =时,y a b c =++<0, 12b bc ∴++<0, 32b c ∴+<0,故③符合题意; 当1x =-时,函数有最大值,y a b c =-+当1x m =≠-,2,y am bm c =++2am bm c ∴++<,a b c -+()m am b b ∴++<,a 故④符合题意.故选:.A 【点睛】本题考查的是抛物线的图像与系数之间的关系,二次函数的性质,掌握以上知识是解题的关键.12.D解析:D 【分析】根据二次函数的图像和性质,分别对每个选项进行判断,即可得到答案. 【详解】解:由图象开口向上,可知a<0, 与y 轴的交点在x 轴的下方,可知c<0,又对称轴方程为12x =,所以122b a -=>0,所以b >0, ∴abc >0,故A 错误;∵122b a -= ∴=-a b ,∴0a b +=,故B 错误;当12x =时,则11042y a b c =++>,∵=-a b ,∴11042a a c -+>, ∴104a c -+>, ∴40a c -<,故C 错误; 当21x n =+时,222(1)(1)y a n b n c =++++ 4222an an a an a c =++--+ 42an an c =++22(1)an n c =++;∵n 为实数,∴20an ≤,211n +≥, ∴22(1)an n c c ++≤, 即y c ≤,故D 正确; 故选:D . 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质.熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键.第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13.【分析】设出E 的坐标表示出M 坐标进而表示出EM 化成顶点式即可求得EM 的最大值【详解】解:∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点∴点E 的坐标是(m )点M 的坐标是(m )∴EM =﹣()==(m2﹣4m )=(解析:32【分析】设出E 的坐标,表示出M 坐标,进而表示出EM ,化成顶点式即可求得EM 的最大值. 【详解】解:∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点, ∴点E 的坐标是(m ,233384m m -++),点M 的坐标是(m ,334m -+), ∴EM =233384m m -++﹣(334m -+)=23382m m -+=38-(m 2﹣4m )=38-(m ﹣2)2+32, ∴当m =2时,EM 有最大值为32, 故答案为32. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,一次函数图象上点的坐标特征,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.14.【分析】求出函数解析式求出函数值取值范围把t 的取值范围转化为函数值的取值范围【详解】先由已知可得二次函数y=−x2+mx 的图象与x 轴交于坐标原点和(40)所以对称轴x==所以m=4代入方程y=−x2 解析:04t <≤【分析】求出函数解析式,求出函数值取值范围,把t 的取值范围转化为函数值的取值范围. 【详解】先由已知可得,二次函数 y=−x 2+mx 的图象与 x 轴交于坐标原点和 (4,0) 所以对称轴 x=2b a-=()221m -=⨯-, 所以m=4,代入 方程y=−x 2+mx 得, y=-x 2+4x , 当x=2时,y=4 即顶点坐标是(2,4) 当x=1时,y=3, 当x=4时,y=0 由x 2−mx+t=0 得 t=-x 2+4x=y因为当 1<x<4 时, 0<y≤4,所以在 1<x<4 范围内有实数解,则 t 的取值范围是0<t≤4, 故答案为:0<t≤4 . 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程数形结合分析问题,注意函数的最低点和最高点.15.①②④【分析】根据抛物线开口向下对称轴抛物线与轴相交于正半轴可得可以判断①和②正确;当时有解得由图像可知化简后可判断得③错误;由图像可知当时抛物线有最大值当时根据得到化简后得故④正确【详解】解:抛物解析:①②④. 【分析】根据抛物线开口向下,对称轴12bx a=-=-,抛物线与y 轴相交于正半轴,可得0a <,20b a =<,0c >,可以判断①和②正确;当0y =时,有210a x c a ,解得11a cx a ,21a cx a,由图像可知,011a c a,化简后可判断得③错误;由图像可知,当1x =-时,抛物线有最大值1y a bc ,当x m =时,22y am bmc ,根据12y y ≥得到20a bcam bmc化简后得2am bm a b +≤-,故④正确.【详解】 解:抛物线开口向下,0a ∴<,抛物线的对称轴12bx a=-=-, 20b a ∴=<,抛物线与y 轴相交于正半轴,0c ∴>,∴0abc >,故①正确;∴2220a b a a -=-=,故②正确;当0y =时,2220ax bx c ax ax c ,∴210a x c a∴11a cx a, 21a cx a由图像可知,011a c a∴14a c a则有30a c +<,∴62320a c b c +=+<,故③错误; 由图像可知,当1x =-时,抛物线有最大值1y a bc ,当x m =时,22y am bmc ,∵12y y ≥ ∴20a bcam bmc则2am bm a b +≤-,故④正确; 故答案是:①②④. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系,熟悉相关性质是解题的关键.16.2m 【分析】根据起始抛物线确定点A 的坐标结合已知确定N 的坐标从而确定新抛物线的解析式即可求解【详解】∵抛物线解析式为∴点A 的坐标为(04)∵立柱到的水平距离为左侧抛物线的最低点与的水平距离为∴新抛物解析:2m . 【分析】根据起始抛物线,确定点A 的坐标,结合已知确定N 的坐标,从而确定新抛物线的解析式即可求解. 【详解】∵抛物线解析式为21410y x x =-+, ∴点A 的坐标为(0,4),∵立柱MN 到OA 的水平距离为3m ,MN 左侧抛物线的最低点D 与MN 的水平距离为1m ,∴新抛物线的顶点坐标的横坐标为2,点N 的坐标为(3,52), 设抛物线的解析式为y=a 2(2)x k -+,把(0,4),(3,52)分别代入解析式,得 5a 244k a k ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩, 解得1a 22k ⎧=⎪⎨⎪=⎩,∴抛物线的解析式为y=21(2)22x -+, ∴抛物线的最小值为2即点D 到地面的距离为2, 故答案为:2. 【点睛】本题考查了二次函数的生活应用,解析式的确定,熟练把生活问题转化为函数问题,灵活确定抛物线的解析式是解题的关键.17.【分析】根据图像经过的两点确定抛物线的对称轴利用对称轴确定P 的对称点利用数形结合思想确定m 的范围即可【详解】∵抛物线经过两点∴解得b=-6a ∴抛物线的对称轴为直线x==3∴的对称点为∵∴故填【点睛】解析:15m <<. 【分析】根据图像经过的两点,确定抛物线的对称轴,利用对称轴,确定P 的对称点,利用数形结合思想,确定m 的范围即可. 【详解】∵抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A ,(4,0)B 两点,∴4201640a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩, 解得b=-6a ,∴抛物线的对称轴为直线x=2ba-=3, ∴()15,P y 的对称点为()11,P y ', ∵12y y >, ∴15m <<, 故填15m <<. 【点睛】本题考查了二次函数的对称性,熟记二次函数的性质是解题的关键.18.y=-x2-2x-1【分析】首先由①得到a <0;由②得到-≤0;只要举出满足以上两个条件的abc 的值即可得出所填答案【详解】解:二次函数y=ax2+bx+c①开口向下∴a <0;②当x >0时y 随着x 的解析:y=-x 2-2x-1. 【分析】首先由①得到a <0;由②得到-2ba≤0;只要举出满足以上两个条件的a 、b 、c 的值即可得出所填答案. 【详解】解:二次函数y=ax 2+bx+c , ①开口向下, ∴a <0;②当x >0时,y 随着x 的增大而减小,-2ba≤0,即b <0; ∴只要满足以上两个条件就行,如a=-1,b=-2,c=-1时,二次函数的解析式是y=-x 2-2x-1.故答案为:y=-x2-2x-1.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,熟练运用性质进行计算是解此题的关键.此题是一道开放型的题目.19.或或【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解若为二次函数由抛物线与x轴只有一个交点时b2−4ac=0据此求解可得【详解】解:当a+1=0即a=−1时函数解析式为y=−4x−2与x轴只有一个交-或1解析:2-或1【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解,若为二次函数,由抛物线与x轴只有一个交点时b2−4ac=0,据此求解可得.【详解】解:当a+1=0,即a=−1时,函数解析式为y=−4x−2,与x轴只有一个交点;当a+1≠0,即a≠−1时,根据题意知,(−4)2−4×(a+1)×2a=0,整理,得:a2+a−2=0,解得:a=1或a=−2;综上,a的值为−1或−2或1.-或1.故答案为:2-或1【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点:求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x 轴的交点坐标,令y=0,即ax2+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系:△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数:△=b2−4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2−4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2−4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.20.y=x2+2【分析】根据向下平移纵坐标减求出平移后函数的顶点坐标再利用顶点式写出解析式即可【详解】解:函数y=x2+3的顶点坐标为(03)∵函数图象向下平移1个单位长度∴得到的函数图象顶点坐标为(0解析:y=x2+2.【分析】根据向下平移纵坐标减求出平移后函数的顶点坐标,再利用顶点式写出解析式即可.【详解】解:函数y=x2+3的顶点坐标为(0,3),∵函数图象向下平移1个单位长度,∴得到的函数图象顶点坐标为(0,2),∴得到函数解析式为y=x2+2.故答案为:y=x2+2.【点睛】本题考查了二次函数的平移变换,通过平移求出新图象顶点坐标是关键.三、解答题21.(1)y=-x 2+320x-24000 ;(2)当日销售利润1500元时,产品的售价是170元/件或150元/件,日销售量是30件或50件;(3)当售价定为160元/件时,日销售利润最大,最大日销售利润是1600元. 【分析】(1)根据利润=(销售价-成本价)×销售量可以得到解答;(2)令(1)中y=1500可以得到关于x 的一元二次方程,解方程即可得到产品售价x 的值,并进一步得到日销售量;(3)把(1)得到的函数配方,再根据二次函数的性质即可得到解答 . 【详解】解:(1)y =(x -120)(200-x )=-x 2+320x-24000 ; (2)日销售利润是1500元,即y=1500,则 1500=-x 2+320x-24000 解得:x 1=170,x 2=150当x=170时,日销售量是30件,当x=150时,日销售量是50件∴当日销售利润1500元时,产品的售价是170元/件或150元/件,日销售量是30件或50件 .(3)∵y=-x 2+320x-24000 =-(x-160)2+1600∴当售价定为160元/件时,日销售利润最大,最大日销售利润是1600元. 【点睛】本题考查二次函数的综合应用,由题意列出二次函数关系式,然后根据二次函数的性质求解即可.22.(1)2b m =;(2)21y x =-+;(3))12,0P ,)22,0P【分析】(1)直接根据对称轴为2bx a=-代入a ,b 计算即可得出答案; (2)首先根据点B 的坐标及等边三角形求出AC ,OC 的长度,然后利用勾股定理求出AO 的长度,从而得出c 的值,最后将点B 代入解析式中即可求解;(3)根据等边三角形的性质及圆周角定理确定出点P 的位置从而可确定出点P 的坐标. 【详解】 (1)∵22b b x a =-=, ∴2b m =.(2)∵ABC 为等边三角形,BC x ⊥轴,)B ,∴2AC BC ==,3OC =, 在Rt AOC 中, 221AO AC OC =-=∴1c =把()3,2B 代入21y x bx =-++,得43b =, ∴2431y x x =-++. (3)如图,由(2)知ABC 为等边三角形,∴60ACB ∠=︒,∵30APB ∠=︒,∴2ACB APB =∠∠,由同弦所对圆周角等于圆心角的一半可知,以点C 为圆心,BC 为半径作圆,经过点P . ∵P 在x 轴上,∴点P 即为圆C 与x 轴的交点,∵2BC =,∴2r,2CP = ∵()3,0C, ∴()132,0P -, 由轴对称性可知,()232,0P +.【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合,掌握待定系数法,等边三角形的性质及圆的有关性质是解题的关键.23.m 的值是-1,抛物线的顶点坐标是(1,-8).【分析】根据y=2x 2+4mx+m-5的对称轴为直线x=1,可以求得m 的值,然后代入原来的解析中,将解析式化为顶点式即可解答本题.【详解】解:∵y =2x 2+4mx +m -5的对称轴为直线x =1,∴-422m ⨯=1, 解得m =-1, ∴y =2x 2-4x -6=2(x -1)2-8,∴此抛物线的顶点坐标为(1,-8),∴m 的值是-1,抛物线的顶点坐标是(1,-8).【点睛】本题考查二次函数的性质,解答本题的关键是知道抛物线的对称轴是直线x=-2b a,由二次函数的顶点式可以写出它的顶点坐标.24.()()2114y x =-++或223y x x =--+;()2见解析;()33x <-或1x > 【分析】(1)由抛物线的顶点坐标是()1,4-,设抛物线的解析式为()214y a x =++,由抛物线()214y a x =++过点(0,3),1a =-即可;(2)列表,描点在平面直角坐标系中描出点(-3,0),(-2,3),(-1,4),(0,3),(1,0)用平滑曲线连接即可;(3)由函数值小于0,可得函数图像再x 轴下方,在-3左侧和1右侧即可.【详解】解:(1)∵抛物线的顶点坐标是()1,4-,设抛物线的解析式为()214y a x =++,抛物线()214y a x =++过点(0,3), 4=3a +,1a =-,抛物线的解析式为()214y x =-++;(2)列表:0)连线:用平滑曲线连接,(3)∵函数值小于0,∴函数图像再x 轴下方,在-3左侧和1右侧,当x<-3或x>1时,函数值小于0.【点睛】本题考查抛物线的解析式,画函数图像,函数图像的位置关系,掌握抛物线的解析式的求法,描点画函数图像的方法,函数图像与x 轴关系自变量范围是解题关键.25.(1)222y x =-+;(2)222,0,222C D ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(3210n <≤【分析】(1)把点A 、B 的坐标分别代入函数解析式,列出关于a 、c 的方程组,通过解方程求得它们的值;(2)根据平移的规律写出平移后抛物线的解析式,然后令0y =,则解关于x 的方程,即可求得点C 、D 的横坐标;(3)根据抛物线与x 轴两个交点之间的距离为2211212||()4x x x x x x -+-的关系来即可求n 的取值范围;【详解】解:(1)抛物线2y ax c =+经过点(0,2)A 和点(1,0)B -, ∴20c a c =⎧⎨+=⎩, 解得:22a c =-⎧⎨=⎩, ∴此抛物线的解析式为222y x =-+;(2)此抛物线平移后顶点坐标为(2,1),∴抛物线的解析式为22(2)1y x =--+,令0y =,即22(2)10x --+=,解得 1222x =+,2222x =-,点C 在点D 的左边,(C ∴ 2-0),(2D +,0); (3)设平移后抛物线的解析式是22y x m =-+,该抛物线与x 轴的两交点横坐标为1x ,2x ,整理为:220x m -=.此时120x x +=,122m x x =-.则21||x x n -==.当1m =时,n =当5m =时,n =.所以,n n <≤【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象的几何变换.要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式.会利用方程求抛物线与坐标轴的交点.26.(1)223y x x =--;(2)421n -.【分析】(1)设二次函数的解析式是y=a (x-h )2+k ,先代入顶点A 的坐标,再把B 的坐标代入,即可求出a ,即可得出解析式;(2)由点P 到y 轴的距离不大于4,得出 ,结合二次函数的图象可知,请根据图象直接写出n 的取值范围.【详解】解:(1)某二次函数的顶点坐标是(1,4)-,且经过点(4,5)A ,设二次函数的解析式为2(1)4y a x =--,把(4,5)A 代入得:25(41)4a =--解得:1a =,所以函数表达式为:223y x x =--.(2)点P 到y 轴的距离为||m ,∴||m ≤4,∴44m -,∵2223(1)4y x x x =--=--,在44m -时,当m=1时,有最小值n=-4;当m=-4时,有最大值n=21,∴421n -.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式,二次函数求最值,二次函数图象和性质的应用,求二次函数的取值范围,掌握二次函数的图象和性质的应用是解题的关键.。

北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》练习题(含答案)

北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》练习题(含答案)

北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》练习题(含答案)(满分:100分 时间:100分钟)一、选择题(本大题共10小题;每小题3分;共30分) 1.下列函数中;不是二次函数的是( )A .y =1-2x 2B .y =2(x -1)2+4C .12(x -1)(x +4) D .y =(x -2)2-x 2答案:D2.抛物线y =x 2+3与y 轴的交点坐标为( )A .(3;0)B .(0;3)C .(0;3)D .(3;0)答案:B3.把二次函数y =-14x 2-x +3用配方法化成y =a (x -h )2+k 的形式( )A .y =-14(x -2)2+2B .y =14(x -2)2+4C .y =-14(x +2)2+4D .y =21122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+3答案:C4.将抛物线y =3x 2向左平移2个单位;再向下平移1个单位;所得抛物线为( ) A .y =3(x -2)2-1 B .y =3(x -2)2+1 C .y =3(x +2)2-1 D .y =3(x +2)2+1 答案:C5.对抛物线y =-x 2+2x -3而言;下列结论正确的是( ) A .与x 轴有两个交点 B .开口向上C .与y 轴的交点坐标是(0,3)D .顶点坐标是(1;-2) 答案:D6.二次函数y =2x 2+mx +8的图象如图所示;则m 的值是( ) A .-8 B .8 C .±8 D .6 答案:B6题图 8题图 9题图7.点P 1(﹣1;y 1);P 2(3;y 2);P 3(5;y 3)均在二次函数y =﹣x 2+2x +c 的图象上;则y 1;y 2;y 3的大小关系是( )A .y 1=y 2>y 3B .y 1>y 2>y 3C .y 3>y 2>y 1D .y 3>y 1=y 2答案:A8.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a <0)的图象如图所示;当-5≤x ≤0时;下列说法正确的是( )A .有最小值-5、最大值0B .有最小值-3、最大值6C .有最小值0、最大值6D .有最小值2、最大值6 答案:B9.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示;下列结论正确的是( )A .a <0B .b 2-4ac <0C .当-1<x <3时;y >0D .-b2a=1答案:D10.在同一平面直角坐标系内;一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+8x +b 的图象可能是( )A B C D答案:C二、填空题(本大题共8小题;每小题3分;共24分)11.若函数y =(m -3)2213m m x +-是二次函数;则m =______. 答案:-512.抛物线y =2x 2-bx +3的对称轴是直线x =1;则b 的值为________. 答案:413.如果抛物线y =(m +1)2x 2+x +m 2﹣1经过原点;那么m 的值等于 . 答案:114.已知抛物线y =x 2﹣6x +m 与x 轴仅有一个公共点;则m 的值为 . 答案:915.二次函数的部分图象如图所示;则使y >0的x 的取值范围是 . 答案:﹣1<x <315题图 16提图 17题图 18题图16.如图所示;已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A (1,0);B (3,0)两点;与y 轴交于点C (0,3);则二次函数的图象的顶点坐标是________.答案:(2;-1)17.如图;在平面直角坐标系中;抛物线y =﹣23(x ﹣3)2+k 经过坐标原点O ;与x 轴的另一个交点为A .过抛物线的顶点B 分别作BC ⊥x 轴于C 、BD ⊥y 轴于D ;则图中阴影部分图形的面积和为 . 答案:1818.如图;在正方形ABCD 中;E 为BC 边上的点;F 为CD 边上的点;且AE =AF ;AB =4;设EC =x ;△AEF 的面积为y ;则y 与x 之间的函数关系式是__________.答案:y =-12x 2+4x三、解答题(本大题共5小题;共46分)19.求经过A (1,4);B (-2,1)两点;对称轴为x =-1的抛物线的解析式. 解:∵对称轴为x =-1;∴设其解析式为y =a (x +1)2+k (a ≠0). ∵抛物线过A (1,4);B (-2,1);∴⎩⎪⎨⎪⎧4=a 1+12+k ;1=a -2+12+k.解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1;k =0.∴y =(x +1)2=x 2+2x +1.20.已知;在同一平面直角坐标系中;反比例函数y =5x与二次函数y =-x 2+2x +c 的图象交于点A (-1;m ).(1)求m ;c 的值;(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标.解:(1)∵点A 在函数y =5x的图象上;∴m =5-1=-5.∴点A 坐标为(-1;-5). ∵点A 在二次函数图象上; ∴-1-2+c =-5;即c =-2.(2)∵二次函数的解析式为y =-x 2+2x -2; ∴y =-x 2+2x -2=-(x -1)2-1.∴对称轴为直线x =1;顶点坐标为(1;-1).21.下图是一座拱桥的截面图;拱桥桥洞上沿是抛物线形状.抛物线两端点与水面的距离都是1m ;拱桥的跨度为10cm .桥洞与水面的最大距离是5m .桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯.现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中; (1)求抛物线的解析式;(2)求两盏景观灯之间的水平距离.解:(1)抛物线的顶点坐标为(5;5);与y 轴交点坐标是(0;1); 设抛物线的解析式是y =a (x ﹣5)2+5; 把(0;1)代入y =a (x ﹣5)2+5;得a =﹣425; ∴y =﹣425(x ﹣5)2+5(0≤x ≤10);(2)由已知得两景观灯的纵坐标都是4;∴4=﹣425(x﹣5)2+5;∴425(x﹣5)2=1;∴x1=152;x2=52;∴两景观灯间的距离为152﹣52=5(米).22.元旦期间;某宾馆有50个房间供游客居住;当每个房间每天的定价为180元时;房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时;就会有一个房间空闲.如果游客居住房间;宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.(1)若房价定为200元时;求宾馆每天的利润;(2)房价定为多少时;宾馆每天的利润最大?最大利润是多少?解:(1)若房价定为200元时;宾馆每天的利润为:(200﹣20)×(50﹣2)=8640(元);答:宾馆每天的利润为8640;(2)设总利润为y元;则y=(50﹣18010x)(x﹣20)=﹣110x2+70x+1360=﹣110(x﹣350)2+10890故房价定为350时;宾馆每天的利润最大;最大利润是10890元.23.如图;已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C两点(点A在点C的左侧);与y轴交于点B;且OA=OB.(1)求线段AC的长度:(2)若点P在抛物线上;点P位于第二象限;过P作PQ⊥AB;垂足为Q.已知PQ=;求点P的坐标.解:(1)∵二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与y轴交于点B;且OA=OB;∴点B的坐标为(0;3);∴OB=OA=3;∴点A的坐标为(﹣3;0);∴0=﹣(﹣3)2+b×(﹣3)+3;解得;b=﹣2;∴y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+3)(x﹣1);∴当y=0时;x1=﹣3;x2=1;∴点C的坐标为(1;0);∴AC=1﹣(﹣3)=4;即线段AC的长是4;(2)∵点A(﹣3;0);点B(3;0);∴直线AB的函数解析式为y=x+3;过点P作PD∥y轴交直线AB于点D;设点P的坐标为(m;﹣m2﹣2m+3);则点D的坐标为(m;m+3);∴PD=﹣m2﹣2m+3﹣(m+3)=﹣m2﹣3m;∵PD∥y轴;∠ABO=45°;∴∠PDQ=∠ABO=45°;又∵PQ⊥AB;PQ=2;∴△PDQ是等腰直角三角形;∴PD=2sin4522PQ=︒=2;∴﹣m2﹣3m=2;解得;m1=﹣1;m2=﹣2;当m=﹣1时;﹣m2﹣2m+3=4;当m=﹣2时;﹣m2﹣2m+3=3;∴点P的坐标为(﹣2;3)或(﹣1;4).24.如图;在平面直角坐标系中;顶点为M的抛物线C1:y=ax2+bx(a<0)经过点A 和x轴上的点B;AO=OB=2;∠AOB=120°.(1)求该抛物线的表达式;(2)联结AM;求S△AOM;(3)将抛物线C1向上平移得到抛物线C2;抛物线C2与x轴分别交于点E、F(点E在点F 的左侧);如果△MBF与△AOM相似;求所有符合条件的抛物线C2的表达式.解:(1)∵抛物线C1:y=ax2+bx(a<0)经过点A和x轴上的点B;AO=OB=2;∠AOB =120°;∴点B (2;0);点A (﹣1;﹣);∴220223(1)(1)a b a b ⎧=⨯+⨯⎪⎨-=⨯-+⨯-⎪⎩;得333a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩;∴该抛物线的解析式为y =2232333(1)3333x x x -+=--+; (2)连接MO ;AM ;AM 与y 轴交于点D ; ∵y =22323331)3333x x x -+=--+; ∴点M 的坐标为(1;33); 设过点A (﹣13;M (1;33)的直线解析式为y =mx +n ;333m n m n ⎧-+=-⎪⎨+=⎪⎩;得2333m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩;∴直线AM 的函数解析式为y 23x 3当x =0时;y 3∴点D 的坐标为(0;﹣33);∴OD =33; ∴S △AOM =S △AOD +S △MOD =33;(3)①当△AOM ∽△FBM 时;OM OABM BF=; ∵OA =2;点O (0;0);点M (13;点B (2;0); ∴OM =233;BM =233;∴OM =BM ;解得;BF =OA =2;∴点F 的坐标为(4;0); 设抛物线C 2的函数解析式为:y =23(1)3x --+c ; ∵点F (4;0)在抛物线C 2上;∴c =33 ∴抛物线C 2的函数解析式为:y =23(1)333x --+; ②当△AOM ∽△MBF 时;OM OABF BM=; ∵OA =2;点O (0;0);点M (1;33);点B (2;0); ∴OM =233;BM =233;∴BF =23; ∴点F 的坐标为(83;0); 设抛物线C 2的函数解析式为:y =23(1)3x --+d ; ∵点F (83;0)在抛物线C 2上;∴d 253;∴抛物线C 2的函数解析式为:y =231)x -253.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

第二章《二次函数》基础性测试卷
班级 姓名 学号 成绩
一、选择题(每小题3分,满分24分)
1.下列函数:y =x (8-x ),y =1-
221x ,y =42-x ,y =x x 62-,其中以x 为自变量的二次函数有( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个 2.在函数2y x
=,5y x =+,2y x =的图象中,关于y 轴对称的图形有( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个
3.点A (2,3)在函数21y ax x =-+的图象上,则a 等于( )
A .1
B .-1
C .2
D .-2
4.下列四个函数中,图象经过原点且对称轴在y 轴左侧的二次函数是( )
A .x x y 22+=
B .x x y 22-=
C .y =2(1+x )2
D .y =2(1-x )2
5.在同一坐标系中,图象与22x y =的图象关于x 轴对称的函数为( )
A .221x y =
B .22
1x y -= C .22x y -= D .2x y -= 6.二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示,则下列结论正确是()
A .a >0,b >0,c >0
B .a <0,b <0,c <0
C .a <0,b >0,c <0
D .a >0,b <0,c >0 7.将抛物线22x y =经过平移得到抛物线2=y (4-x )21-是( )
A .向左平移4个单位,再向下平移1个单位
B .向左平移4个单位,再向上平移1个单位
C .向右平移4个单位,再向下平移1个单位
D .向右平移4个单位,再向上平移1个单位
8.已知抛物线2(0)y x bx c a =++≠的部分图象如图所示,
若y <0,则x 的取值范围是 ( )
A .1-<x <4
B .1-<x <3
C .x <1-或x >4
D .x <1-或x >3
二、填空题(每小题3分,满分21分)
1.抛物线2241y x x =--的开口向;顶点坐标是;对称轴方程为.
2.抛物线232y x x =-+不经过第象限.
3.若点),1(1y P 、Q 2(1,)y -都在抛物线21y x =+上,则线段P Q 的长为.
4.如图所示,二次函数26y x x =--的图象交x 轴于A 、B 两点,
交y 轴于C 点,则ABC ∆的面积ABC S ∆=.
5.一条抛物线,顶点坐标为(4,2)-,且形状与抛物线22y x =+相同,则它的函数表
达式是.
6.函数2412x x y -+=的图象与x 轴有个交点;当 时,y 值随x 值增大而增大;当=
x
时, y 有最值.
7.函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则c b a ++0,c
b a ++240.(用“=”、“>”或“<”填空)
三、解答题:
1.(9分)如图所示的是一个二次函数的图象,试求其解析式
解:
2.(10分)已知一抛物线经过点()2,6-,它与x 轴的两交点间的距离为4,对称轴为直
线1x =-,求此抛物线的解析式.
解:
3.(12分)抛物线2y x bx c =++(0)a ≠与x 轴交于(1,0)A -,(3,0)B 两点.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)一动点P 在(1)中抛物线上滑动且满足10ABP S ∆=,求此时P 点的坐标.
4.(12分)某商场销售一批名牌衬衫,平均每天售出20件,每件可盈利40元.为了扩
大销售增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施。

调查发现,每件少盈利1元,商场平均每天可多售出2件衬衫。

那么每件衬衫少盈利多少元时,商场平均每天盈利最多?
解:
5.(12分)某地要修一条水渠,其横截面为等腰梯形(如图所示),其腰与水平线夹角
为60°,如果它的周长(两腰加渠底宽)为定值L ,那么水渠渠深h 为多少时,可使水流量达到最大值?
解:
参考答案
一、选择题(每小题3分,满分24分)
1.B 2.B 3.A 4.A 5.C
6.D 7.C 8.B
二、填空题(每小题3分,满分21分). 1.上;(1,-3);x=1. 2. 三; 3.2; 4.15; 5.2(4)2y x =--; 6.两;x <2;2;大. 7.<;=.
三、解答题(满分55分) 1.2113424
y x x =--。

2.2246y x x =--+。

3.(1)223y x x =--;(2)P 的坐标为()4,5或()2,5-.
4.每件衬衫少盈利15元时,商场平均每天盈利最多。

5.水渠渠深h 时,可使水流量达到最大值。

相关文档
最新文档