第五章 系统频率响应分析

第五章 系统频率响应分析 待定系数 B和B*
B G( s) X i X ( s j ) s j G( s) i ( s j )( s j ) s j
s j
G( j )
Xi X G( j ) e jG ( j ) i 2j 2j
B*
频率特性
G( j ) =
= 1 T 2 2
K
j
KT 1 T 2 2
第五章 系统频率响应分析 实频特性
u ( ) =
K 1 T 2 2
，虚频特性 v( )= 1 KT T
2
2
幅频特性|G( j ) | =
K 1 T 2 2
，相频特性∠ G( j ) =
第五章 系统频率响应分析 若系统含有k 个重极点，则 x o ( t ) 将含有 t k e s t (k=1，2，…，k-1)这
j
t 样一系列项。对于稳定的系统，由于 s i 的实部为负，k的增长
没有 e 的衰减快。所以 t k e
s jt
s jt
的各项随着t→∞也都趋于零。因
此，对于稳定的系统不管系统是否有重极点，其稳态响应都 如式(5.9)所示。
a n x (n) ( t ) a n 1 x (n -1) ( t ) a 1 x o ( t ) a o x o ( t ) o o
b m x i( m ) ( t ) b m1 x i( m1) b1 x i ( t ) b o x i ( t )
X o ( ) / X i
o
( )与相移 ( )。然后作出幅值比
对频率 的函数曲线，此即幅频特性曲线；作出相移
( ) 对频率 的函数曲线，此即相频特性曲线。
2. 频率特性是单位脉冲响应函数的频谱 设某系统的输出为
X o ( s) G( s)X i ( s)
根据频率特性与传递函数的关系有
就是传递函数的量纲，也是输出信号与输入信号的量纲之比。 由于 G( j ) 是一个复变函数，故也可写成实部和虚部之和，即
G( j ) =Re[ G( j ) ]+Im[ G( j ) ]= u( ) jv( )
(5.12)
式中
u ( )是频率特性的实部，称为实频特性；
v( )是频率特性的虚部，称为虚频特性。
|∠
G(j
|
第五章 系统频率响应分析 5.2.1 典型环节的Nyquist图 1. 比例环节
Im [G(jω)]
传递函数
频率特性
G( s)
X o (s) K X i (s)
G( j ) = K
K Re 图5.6 比例环节的Nyquist图
0
实频特性恒为K，虚频特性恒为0； 幅频特性| G( j )| = K，相频特性∠ G( j ) = 0°。
所以微分环节频率特性的Nyquist 图是虚轴的上半轴，由原点指向无穷
Im [G(jω)] ω
0
远点，如图5.8所示，微分环节具有
恒定的相位超前。
+90° Re
ω= ∞
4. 惯性环节 传递函数
G( s) X o (s) K X i ( s) Ts 1
K jT 1
图5.8 微分环节的Nyquist图
x o (t) =
Xi K 1 T
2 2
sin(t arctanT )
系统的稳态输出是一个与输入同频率的正弦信号
第五章 系统频率响应分析 2. 频率特性 综上所述，线性系统在正弦输入作用下，其稳态输出的幅值 和相位随频率 的变化而变化，这恰好反映了系统本身特性， 我们将反映该特性的表达式 性，记为
第五章 系统频率响应分析 该信号也是一个正弦信号，其频率与输入信号相同，但幅 值和相位发生了变化,如图5.2所示。
Xi Xo 0 Φ(ω)
xi(t)=Xisinωt
xo(t)=Xosin[ωt+φ(ω)]
图5.2 系统及稳态的输入输出波形
现设系统的传递函数为
G(s) K Ts 1
输入信号为
X o ( j ) G( j )X i ( j )
第五章 系统频率响应分析 当 x i ( t ) ( t )时， 故 或
X i ( j ) F[ ( t )] 1
X o ( j ) G ( j )
F[X o ( t )] G( j )
这表明系统的频率特性就是单位脉冲响应函数的Fourier变换
X i s2 2
(5.5) (5.6)
b m s m b m 1 s m-1 b1 s b o X i X o ( s ) G ( s )X i ( s ) a n s n a n 1 s n 1 a 1 s a o s 2 2
A( )
X o ( ) Xi
和 arctanT 称为系统的频率特
X o ( ) Xi
() arctanT
(5.2)
其中：A( ) 称为系统的幅频特性； ( ) 称为系统的相频特性。
第五章 系统频率响应分析 3. 频率特性与传递函数的关系 设描述系统的微分方程为
x o ( t ) = A i e s t (Be jt B* e jt )
i
n
i 1
(5. 8)
对稳定系统而言，系统的特征根s i 均具有负实部，当t→∞时， 将衰减为零，则上式只剩下其稳态分量，故系统的稳态响应为
x o ( t ) = Be jt B*e jt
(5.9)
x o (t ) X i KT t T Xi K e sin(t arctanT ) 2 2 1 T 2 2 1 T
1 / T 为 G ( s ) 的极点或系统微分方程的特征根 ，因
s i 为负值，
所以系统是稳定的，随着时间的推移，即t→∞时，瞬态分 量迅速衰减至零，此时系统只剩下稳态输出
(5.3)
系统的传递函数为
X o ( s) b m s m b m1 s m-1 b1 s b o G( s) X i ( s) a n s n a n 1 s n 1 a 1 s a o
(5.4)
当输入信号为正弦信号，即
X i ( s)
x i (t ) X i sint 时，其Laplace变换为
所以比例环节频率特性的Nyquist图为实轴上的一个定点，
其坐标为(K，j0) 3. 微分环节 。 2. 积分环节 传递函数
G(s) X o (s) 1 X i ( s) Ts
第五章 系统频率响应分析 频率特性
1 G( j ) = jT
1 实频特性为0，虚频特性为 T ； 幅频特性|G( j ) | = 1 ，相频特性∠ G( j ) = 90°
如图5.4所示，其实部和虚部分别为
P( ) Re[ G( j ) ]
Im
Q (ω )
G(jω) A(ω)
φ(ω)
Q( ) Im[ G( j ) ]
幅值和相角分别表示为
A( ) P 2 ( ) Q 2 ( )
P( ) Q( )
P(ω)
Re
图5.4 频率特性的几何表示
Im
或其频谱，所以对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的
频谱分析。 3. 时间响应分析主要是通过分析线性系统过渡过程，以获得 系 统的动态特性，而频率特性分析则是通过分析不同的正弦输入 时系统的稳态响应，来获得系统的动态特性。 4. 在研究系统结构及参数的变化对系统性能的影响时，许多情
况下(例如对于单输入、单输出系统)，在频域中分析比在时域
当 从0→∞时，|
T
G( j ) |从∞→0，相位总是 90°。
Im [G(jω)]
0
所以积分环节频率特性的Nyquist 图是虚轴的下半轴，由无穷远点指向
原点，如图5.7所示，积分环节具有恒
定的相位滞后。 3. 微分环节 传递函数
G(s) X o (s) Ts X i ( s)
ωn
( ) arctan
当 从0→∞时，G( j ) 端点轨迹即为频 率特性的极坐标图，或称Nyquist图， 它不仅表示了幅频特性 如图5.5所示， 和相频特性，而且也表示了时频特性
ω3 ω2 ω1 ω
0
Re
∠G(jω1)
ω 1)
和虚频特性。图中的箭头方向为 从小到大的方向。
图5.5 频率特性极坐标图
| G( j ) | X i sin[t G( j )]
(5.10)
根据频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特性分别为
X o ( ) | G ( j ) | Xi ( ) G ( j ) A( )
(5.11)
第五章 系统频率响应分析
) 故 G( j ) =|G( j| ) e jG( j ) 就是系统的频率特性，它是将 G(s中的 s用 j 取代后的结果，是 的复变函数。显然，频率特性的量纲
arctanT
。
当 =0时，| G( j )| = K，∠ G( j ) =0°；
s j G ( j )
Xi X G( j ) e jG ( j ) i 2j 2j
将 B和B*代入(5.9)中，则系统的稳态响应为
e j[t G ( j )] e j[t G ( j )] x o ( t ) | G( j ) | X i 2j
x i (t ) X i sint ，则其Laplace变换为 X X i ( s) 2 i 2 s
第五章 系统频率响应分析 因而有系统输出的Laplace变换
X o ( s ) G ( s )X i ( s )