概率统计19 单个正态总体均值的区间估计
第十九讲 正态总体均值及方差的区间估计
第十九讲 正态总体均值及方差的区间估计1. 单个正态总体方差的区间估计设总体),(~2σμN X ， ),,(21n X X X 为来自X 的一个样本，已给定置信度（水平）为α-1，求2σ的置信区间。
①当μ已知时，由于),(~2σμN X i ，因此，)1,0(~N X i σμ-（,2,1=i n , ）。
由2χ分布的定义知：∑=-ni i n X 1222)(~)(χσμ，据)(2n χ分布上α分位点的定义，有：αχσμχαα-=<-<∑=-1)}()()({21222122n X n P ni i从而αχμσχμαα-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-∑∑1)()()()(2112221222n X n X P ni i ni i 故2σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==∑∑)()(,)()(211221222n X n X ni i n i i ααχμχμ ②当μ未知时，据抽样分布有：)1(~)1(222--n S n χσ类似以上过程，得到第七章 参数估计第5节 正态总体均值及方差的区间估计单个正态总体均值的区间估计 ①当2σ已知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±2ασz n X （5.1） ②当2σ未知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±)1(2n t n S X α.（5.4）注意：当分布不对称时，如2χ分布和F 分布，习惯上仍然取其对称的分位点，来确定置信区间，但所得区间不是最短的。
αχσχαα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---1)1()1()1()1(21222222n S n n S n P 2σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ 例２ 有一大批袋装糖果, 现从中随机地取出16袋, 称得重量(以克计)如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 求总体标准差σ的置信水平为0.95的置信区间.解：总体均值μ未知，σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ 此时，,975.021,025.02,05.0=-==ααα16=n ，查表得,488.27)15(025.0=χ,262.6)15(975.0=χ由给出的数据算得.4667.382=s 因此，σ的一个置信度为0.95的置信区间为（4.58，9.60）.2. 两个正态总体均值差的区间估计设总体),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，且X 与Y 相互独立，),,(21m X X X 来自X 的一个样本，),,,(21n Y Y Y 为来自Y 的一个样本，且设2221,,,S S Y X 分别为总体X 与Y 的样本均值与样本方差，对给定置信水平α-1，求21μμ-的一个置信区间。
总体平均数的区间估计
第二节 总体平均数的区间估计由于前提条件不同，例如，是否知道总体分布，是否知道总体方差，是大样本还是小样本，是重复抽样还是不重复抽样等，因此，对总体平均数估计的公式也是有所不同的，从而有必要对它们进行阐述。
一、样本取自总体方差已知的正态分布设总体服从正态分布，即：x ~()σ2μ,N ，那么x 的抽样分布仍是正态分布，分布的平均数μ=μx，标准差n x σ=σ。
经过变换，变量σΞ/)μ-(=x z 则服从标准正态分布。
若置信水平是1-α，由于：α-1=⎪⎭⎫⎝⎛<μ-σ2σξζξ∏因此α-1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛σ+≤μ≤σ-2α2ανξνξ∏ζζ当抽样得到某一具体样本平均数的估计值ξ时，若规定置信水平为α-1，则总体平均数µ的估计区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛σ+σ-2α2ανξνξζζ,对于上面的区间作如下解释：如从服从正态分布的总体中取出一个容量为n 的简单随机样本，并构造区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σ+σ-2α2ανξνξζζ,，那么有)%(α-1100100的把握说这个区间包含总体平均数μ，其中ζ2α值为概率度，它与给定的置信水平有关，可以通过查正态分布表得到。
注:不论μ取什么值，在ξ的全部数值中，μ落入估计区间()σσ+-ξξξξ,,()σσ2+2-ξξξξ,和()σ3σ+3-ξξξξ,的可能性分别是68.27%,95.5%和99.73%。
二、总体平均数区间估计的步骤归纳如下（1）确定置信水平。
即可靠性或把握程度，一般来说对于估计要求比较精确的话，置信程度也要求高一些；（2）根据置信度并利用标准正态分布表确定ζ2α值；（3）抽取一个容量为n 的样本；（4）计算出样本平均数ξ和标准差σξ。
在重复抽样时，样本平均数的标准差为νξσ=σ；有限总体不重复抽样时，1--σ=σννN νξ。
（5）构造置信区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σ+σ-2α2ανξνξζζ,例3 某单位希望估计1546包原材料的平均重量，从中抽取的100包原材料组成的随机样本所给出的平均值4567=.ξ千克，总体的标准差932=σ.千克。
第五节正态总体参数的区间估计汇总
解: Q S 2 是 2 的无偏估计，且统计量：
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1)
是不依赖于任何未知参数的。
概率统计
故对于给定的置信水平，
按照 2分布的上 分
位点的定义有：
P
{|
(n
1)
2
s2
|
2
2(n
1)}
1
从中解得：
P{
求: 的 95% 的置信区间.
X
解: 由已知： Q 1 95% 5%,
n
~ N (0,1)
查正态分布表得： z z0.05 z0.025
((z0.025 ) 1 0.025 0.975)
2
2
u(1 0.025) 1.96
得：
0.029
n
z
2
1.96 0.014 16
概率统计
例4. 求 例3 中的 (1), (2)两种情况下， 2 的置信度为
0.9 的置信区间.
(1) 用金球测定观察值为: 6. 683, 6. 681, 6. 676,
取统计量：
解: 在(1)中
6. 678, 6. 679, 6. 672
(n 1) s2 (6从而 的 95%的置信区间为：
(2.705 0.014, 2.705 0.014) (2.691, 2.719)
即用 X 2.705 来估计 值的可靠程度达到 95%
的区间范围是 (2.691, 2.719)
(2). 方差 2 未知的情形
Q 2 未知，但考虑到样本方差是 2的无偏估计，
2
1
2(n
1)
(n 1)S 2
总体参数的区间估计公式
总体参数的区间估计公式在进行区间估计时，我们首先需要收集到一个样本，并根据样本对总体参数进行估计。
然后根据样本的统计量，结合分布的性质和抽样方法，建立置信区间。
设总体参数为θ，我们希望得到它的置信水平为1-α的置信区间。
置信水平表示我们对总体参数的估计的可信程度，一般常用的置信水平有90%、95%和99%等。
参数估计的方法有很多，具体的方法选择取决于总体参数的性质、样本的大小以及其他假设条件。
常见的参数估计方法有：1.总体均值的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体均值的区间估计公式为：[样本均值-Z值（α/2）*总体标准差/√(n),样本均值+Z值（α/2）*总体标准差/√(n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
2.总体比例的区间估计：假设总体为二项分布，样本大小为n，成功的次数为x，则总体比例的区间估计公式为：[样本比例-Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n),样本比例+Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
3.总体方差的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体方差的区间估计公式为：[(n-1)*样本方差/卡方分布（α/2）,(n-1)*样本方差/卡方分布（1-α/2])]其中卡方分布是用于描述自由度为n-1的卡方随机变量的概率分布，可以从卡方分布表中查得。
以上是常见的总体参数区间估计公式，这些公式是根据统计学理论推导而来的，适用于不同情况下的参数估计。
在实际应用中，我们根据具体问题和假设条件选择适当的参数估计方法，计算置信水平的区间估计，从而对总体参数进行估计和推断。
总体参数的区间估计公式(一)
总体参数的区间估计公式(一)总体参数的区间估计公式1. 总体均值的区间估计公式• 单个总体均值的区间估计公式：x ‾±z ⋅σ√n其中，x ‾为样本的平均值，σ为总体标准差，n 为样本容量，z 为置信水平对应的标准正态分布的临界值。
例：假设某地有100人，我们从中随机抽取了50人进行调查，发现他们的平均年龄为30岁，总体标准差为5岁。
现在我们希望估计这个地区的总体平均年龄在置信水平为95%的情况下的区间估计。
根据公式，我们可以得到：30±⋅5√50 计算后得到的区间估计为：岁 ~ 岁。
2. 总体比例的区间估计公式• 单个总体比例的区间估计公式：p̂±z ⋅√p̂(1−p̂)n其中，p̂为样本中的比例，n 为样本容量，z 为置信水平对应的标准正态分布的临界值。
例：某医院想要估计该地区患有某种疾病的总体比例置信水平为90%的情况下的区间估计。
他们随机调查了500名患者中有50人确诊为该疾病。
根据公式，我们可以得到：50500±⋅√50500(1−50500)500计算后得到的区间估计为： ~ 。
3. 总体方差的区间估计公式• 单个总体方差的区间估计公式：(n −1)s 2χα/2,n−12≤σ2≤(n −1)s 2χ1−α/2,n−12 其中，s 2为样本方差，n 为样本容量，α为显著性水平，χα/2,n−12和χ1−α/2,n−12为自由度为n −1的卡方分布的上分位数。
例：某公司想要估计员工的工资水平的总体方差置信水平为90%的情况下的区间估计。
他们随机调查了30名员工的工资，得到样本方差为100000。
根据公式，我们可以得到：(30−1)⋅100000χ/2,292≤σ2≤(30−1)⋅100000χ/2,292 计算后得到的区间估计为： ~ 。
以上列举了总体参数的区间估计公式，并通过具体例子进行了解释。
根据不同的问题和数据类型，可以选择相应的公式进行区间估计。
正态分布总体的区间估计与假设检验汇总表
（单侧检验）
2
(n
1)S 2
2 0
～2n1
2
2 /2
n
1
或
2
2 1- / 2
n 1
2 2 n 1
2
≥
2 0
2
<
2 0
（单侧检验）
2
2 1-
n
1
2. 两个正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平 α)
条件 原假设 H0 备择假设 H1
检验统计量
拒绝域
12
，
2 2
已知
1 =2 1 2 1 2
1 2
1 2
（单侧检验）
SW
(n1 1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
T < - t (n1 n2 2)
1，2
未知
2 1
=
2 2
2 1
≤
2 2
2 1
≠
2 2
（双侧检验）
2 1
>
2 2
（单侧检验）
F
S12 S22
～
F ( n1 - 1, n2 - 1)
F ≥ F /2 n1 1, n2 1
已知
0 / n
X
0 n
u
/2,
X
0 n
u
/2
2 未知 T X 0 ～ t(n 1) S/ n
X
S n 1
t / 2
n
1 ,
X
S n
1
t
/
2
n
1
方差 2
未知
2
(n 1)S 2
2 0
～2n1
(n 2 /
1)S 2
1. 正态分布均值的区间估计
正态分布是概率论和统计学中最重要的概率分布之一，它在自然界和社会科学中都有广泛的应用。
在很多实际问题中，我们需要对正态分布的均值进行估计，从而对总体均值进行推断。
本文将围绕着正态分布均值的区间估计展开讨论。
1. 正态分布的概念正态分布又称为高斯分布，是以数学家高斯命名的一种连续概率分布。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，中间高、两边低，左右对称，因此也被称为钟形曲线。
正态分布的特点在于其均值和标准差能完全描述其分布，因此在统计学中有着重要的地位。
2. 区间估计的重要性区间估计是统计推断的重要方法之一，它可以帮助我们对总体参数进行推断。
在现实问题中，很少有机会能够获得总体所有数据，只能通过样本来做出总体的推断。
而区间估计可以帮助我们根据样本数据估计出参数的范围，从而更加准确地进行推断和决策。
3. 正态分布均值的区间估计方法对于正态分布的均值来说，我们可以使用样本均值和标准差来对总体均值进行估计。
常用的区间估计方法有置信区间法和贝叶斯区间估计法。
3.1 置信区间法在置信区间法中，我们根据样本数据来计算均值的置信区间，通常是指在统计学上确定的一个包含总体参数的区间。
置信区间的确定需要指定置信水平，通常使用95和99置信水平。
置信区间的计算可参考t分布或者标准正态分布的分位数。
3.2 贝叶斯区间估计法贝叶斯区间估计法是基于贝叶斯统计学的方法，它将参数看作随机变量，并给出参数的概率分布。
通过贝叶斯定理和样本数据，可以得到参数的后验概率分布，进而得到参数的区间估计。
4. 区间估计的应用正态分布均值的区间估计方法在实际问题中有着广泛的应用。
比如在质量控制中，我们可以通过对正态分布均值的区间估计来判断产品的质量是否符合标准；在市场调查中，我们可以通过对正态分布均值的区间估计来对市场需求进行预测等等。
5. 区间估计的注意事项在进行正态分布均值的区间估计时，需要注意一些细节问题。
首先是样本容量的选择，样本容量的大小对区间估计的精度有着重要的影响；其次是置信水平的选择，不同的置信水平会得到不同的置信区间；最后是对总体分布是否服从正态分布的检验，如果总体分布不服从正态分布，需要进行修正或者使用其他方法来进行估计。
正态总体参数的区间估计
总体均值μ的区间估计是一种基于抽样 调查的方法，通过样本均值和标准差 来估计总体均值的范围，常用t分布或z 分布计算置信区间。
详细描述
在进行总体均值μ的区间估计时，首先 需要收集样本数据，计算样本均值和 标准差。然后，根据样本数据的大小 和置信水平，选择适当的分布（如t分 布或z分布）来计算置信区间。最后， 根据置信区间的大小和分布特性，可 以得出总体均值μ的可能取值范围。
正态分布的性质
集中性
正态分布的曲线关于均值μ对称。
均匀变动性
随着x的增大，f(x)逐渐减小，但速 度逐渐减慢。
随机变动性
在μ两侧对称的位置上，离μ越远， f(x)越小。
正态分布在生活中的应用
金融
正态分布在金融领域的应用十分 广泛，如股票价格、收益率等金 融变量的分布通常被假定为正态 分布。
生物医学
THANKS
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实例二：总体方差的区间估计
总结词
在正态分布下，总体方差的区间估计可以通过样本方 差和样本大小来计算。
详细描述
当总体服从正态分布时，根据中心极限定理，样本方差 近似服从卡方分布。因此，总体方差σ²的置信区间可以 通过以下公式计算：$[s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$，其中$s^2$是样本 方差，$n$是样本容量，$F^{-1}$是自由度为1的卡方 分布的逆函数，$alpha$是显著性水平。
详细描述
当总体服从正态分布时，根据中心极限定理，样本均值 近似服从正态分布。因此，总体均值μ的置信区间可以通 过以下公式计算：$[bar{x} - frac{s}{sqrt{n}} cdot Phi^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), bar{x} + frac{s}{sqrt{n}} cdot Phi^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$，其中$bar{x}$是样 本均值，$s$是样本标准差，$n$是样本容量，$Phi^{1}$是标准正态分布的逆函数，$alpha$是显著性水平。
正态总体均值方差的区间估计
2
)
(2) σ12=σ22=σ2, σ2未知,μ1- μ2的1-α置信区间 ① 对于μ1- μ2，构造枢轴变量: ( X Y ) ( 1 2 ) T ~ t (n1 n2 2) S 1 / n1 1 / n2 ② 构造T的 一个1-α区间:
P(| T | t (n1 n2 2)) 1
X
③ μ的1-α置信区间:
( X t / 2 ( n 1 ) S n , X t / 2 ( n 1 ) S n )
1-α
例1 设正态总体的方差为1, 根据取自该总体的容 量为100的样本计算得到样本均值为5, 求总体均 值的置信度为0.95的置信区间.
解 已知σ2=1, α=0.05, μ的1-α置信区间：
③ 变形得到μ1- μ2的1-α置信区间:
2
( ( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
1 1 , n1 n2 1 1 ) n1 n2
( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
例 4 某工厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取随机样本: X 1 , X 2 , , X 12
未知
① 构造枢轴变量: (n 1)S 2 2 Q ~ ( n 1) 2 ② 构造Q的 一个1-α区间:
P{1 Q 2 } 1
f(x)
α/2 λ1 α/2 X 2 λ (n 1)2 (n 1)
2 1
③ 解不等式得到σ2的1-α置信区间:
若 1 2 的置信区间的上限小于零, 则可认为1 2 ;
(2)构造F的 一个1-α区间: P(λ1<F< λ2)=1-α
区间估计
S S , x t 2 x t 2 n n
也可简记为
x t 2
S n。
例 3:设有一批胡椒粉，每袋净重 X（单位：克）服 从正态分布 . 从中任取８袋，测得净重分别为：
13.1, 11.9, 12.4, 12.3, 11.9, 12.1 12.4, 12.1 . 试求 μ
2 2 ( 4 ) (4) 9.448 /2 0.05
12 / 2 (4) 02.95 (4) 0.711
2 ( n 1 ) s 4 0.09 算得： 0.038 2 / 2 (n 1) 9.448
(n 1) s 2 4 0.09 0.506 2 1 / 2 (n 1) 0.711
（二）方差 2未知时总体均值的区间估计
由于总体方差2 未知，用2 的无偏估计量——样本方 差 S2 代替2，可得到统计量
x T ~ t n 1 S n
对于给定的置信度 1－和自由度 n－1，查 t 分布分位
4） 数表（附表 6 ，可得到临界值 t 2 n 1 ，
于是 (ˆ1 ,ˆ2 ) 即为θ 的置信度为1 的置信区间.
二、单个正态总体均值 的区间估计
设（X 1，X 2， X n）为来自正态总体N ( , 2 )的一个 样本，X 和 S 2 分别是样本均值和样本方差。
现考察正态总体均值 的区间估计。
（一）方差 2已知时总体均值的区间估计
所求置信区间为 (0.038,0.506)
例6: 设某机床加工的零件长度 X ~ N ( , 2 )， 今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下： 12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06, 在置信度为95%时，试求总体方差 2 的置信区间. 解： 由题意得
正态总体参数的区间估计
第19讲 正态总体参数的区间估计教学目的：理解区间估计的概念，掌握各种条件下对一个正态总体的均值和方差进行区间估计的方法。
教学重点：置信区间的确定。
教学难点：对置信区间的理解。
教学时数： 2学时。
教学过程：第六章 参数估计§6.3正态总体参数的区间估计1. 区间估计的概念我们已经讨论了参数的点估计，但是对于一个估计量，人们在测量或计算时，常不以得到近似值为满足，还需估计误差，即要求知道近似值的精确程度。
因此，对于未知参数θ，除了求出它的点估计ˆθ外，我们还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围包含参数θ真值的可信程度。
设ˆθ为未知参数θ的估计量，其误差小于某个正数ε的概率为1(01)αα-<<，即ˆ{||}1P θθεα-<=-或αεθθεθ-=+<<-1)ˆˆ(P这表明，随机区间)ˆ,ˆ(εθεθ+-包含参数θ真值的概率（可信程度）为1α-，则这个区间)ˆ,ˆ(εθεθ+-就称为置信区间，1α-称为置信水平。
定义 设总体X 的分布中含有一个未知参数θ。
若对于给定的概率1(01)αα-<<，存在两个统计量1112(,,,)n X X X θθ= 与2212(,,,)n X X X θθ= ，使得12{}1P θθθα<<=-则随机区间12(,)θθ称为参数θ的置信水平为1α-的置信区间，1θ称为置信下限，2θ称为置信上限，1α-称为置信水平。
注（1）置信区间的含义：若反复抽样多次（各次的样本容量相等，均为n ），每一组样本值确定一个区间12(,)θθ，每个这样的区间要么包含θ的真值，要么不包含θ的真值。
按伯努利大数定理，在这么多的区间中，包含θ真值的约占100(1)%α-，不包含θ真值的约仅占100%α。
例如：若0.01α=，反复抽样1000次，则得到的1000个区间中，不包含θ真值的约为10个。
（2）置信区间的长度表示估计结果的精确性，而置信水平表示估计结果的可靠性。
第五节 正态总体均值与方差的区间估计 7-5
\ 2 的置信度为 1 - a 的置信区间为 2 2 ( n - 1)S ( n - 1)S ( 2 ) ， 2 a / 2 ( n - 1) 1 - a / 2 ( n - 1)
而 的置信度为 1 - a 的置信区间为 (
n - 1S
2 / 2 ( n - 1) a
，
n - 1S
2 1 - a / 2 ( n - 1)
2 2 1 2 的置信区间包含1, 在实际中我们认为 1 , 由于 2
2 两者没有显著差别。 2
17
全章要求
1. 了解点估计的概念， 掌握矩估计法、极大 似然估计法； 2. 了解估计量的评选标准：
无偏性、有效性、一致性。
2 1 n1 + 2 n 2 2
~ N(0,1),
即 可 得 到 1 - 2的 一 个 置 信 度 为 a的 置 信 区 间 12 ( X - Y z a / 2 1 n1 + 2 n 2 ). 2
2. 当 和 均 未 知 时求 1 - 2的 置 信 区 间 ,
2 1 2 2
1
第七章 参 数 估 计
§5.正态总体均值与方差的区间估计
一. 单个正态总体的均值与方差的区间估计: 二. 两个正态总体的区间估计:
2
一. 单个正态总体的均值与方差的区间估计:
设总体 ~ N(, ), X1 , X2 , , Xn是一个样本 X .
2
1 .当 2 已知时，求 的置信区间。 X - 选取 Z = n
本题中的置信下限大于零，实际中可认为μ1比μ2大。
13
三. 两个总体方差比的置信区间:
仅讨论总体均值 1 , 2 未知的 情况，由于
2 ( n1 - 1) S1
正态总体均值的区间估计
的下α/2分位数。
实例二
总结词
在未知总体标准差的情况下，可以使用样本标准差来估 计总体均值的区间。
详细描述
当总体标准差未知时，我们可以使用样本标准差来代替总 体标准差进行区间估计。具体来说，对于一个样本容量为n 的随机样本，其样本均值和样本标准差分别为和s。根据中 心极限定理，当样本容量n足够大时，样本均值近似服从正 态分布，其均值和标准差分别为μ和s/√n。因此，可以使 用μ±Zα/2s/√n来估计总体均值的置信区间。
实例三：小样本下的总体均值区间估计
总结词
在小样本情况下，可以使用t分布的性质来估计总体均 值的区间。
详细描述
当样本容量n较小时，样本均值的标准误差较大，使用 正态分布进行区间估计可能不准确。此时可以使用t分布 进行区间估计。具体来说，对于一个自由度为n-1的t分 布，其上侧分位数记为tα/2(n-1)，那么可以使用 μ±tα/2(n-1)s/√n来估计总体均值的置信区间。与正态 分布相比，t分布的尾部更厚，因此在小样本情况下更为 稳健。
THANKS
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理论依据
许多统计方法和模型都以正态分布为基础。
实际应用
在自然科学、社会科学和工程领域中，许多 现象都可以用正态分布来描述和分析。
03
总体均值的区间估计方法
样本均值和样本标准差
样本均值
表示样本数据的平均水平，计算公式 为 $bar{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n$ 是样 本数量，$x_i$ 是每个样本值。
区间估计的应用
区间估计在统计学、经济学、社会学等领域有着广泛的应用。例如，在市场调查中，通过 抽样调查得到样本数据，然后利用区间估计方法估计总体市场占有率或平均价格等指标。
7.7 单个正态总体参数的区间估计
2 1
2(n
1)
单个正态总体参数的区间估计
4. 方差 2的置信区间（均值已知）
当均值已知时
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
仍然满足枢轴量的条件，但已知没有用到，造成了信息的损失.
(n 1)S 2
2
(n 1) 1
2
n1
n
(Xi
i 1
单个正态总体参数的区间估计
一、单个正态总体的情形
X1, X2 ,…, Xn为来自正态总体N(, 2 )的样本，置信水平1−α.
1 n
X n i1 Xi
样本均值
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
样本方差
单个正态总体参数的区间估计
1.均值的置信区间（方差 2已知情形）
由于 X 是的MLE，且是无偏估计，由抽样分布定理知
0.4
W X ~ N (0,1)
0.35
n
0.3
0.25
W是样本和待估参数的函数，其分布为 0.2
0.15
N(0,1)，完全已知
0.1
是枢轴量
0.05
0 -4 -3 -2 -1 0
12
34
单峰对称
单个正态总体参数的区间估计
选择两个常数b=−a=zα/2
i 1
2
~ 2(n)
n
n
( Xi )2 ( Xi )2
( i1 2 2 (n)
,
i 1
2 1
2 (n)
)
单个正态总体参数的区间估计
3.方差 2的置信区间（均值未知）
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（1）75分的精确性如何？ （2）某分数段，如70-80之间占多
大比例？
引例
分析：
ˆ1( X1, X2 , ..., Xn ) ˆ2( X1, X2 , ..., Xn ) 误差： ˆ2 ˆ1 随机区间 可信程度： P{ˆ1 ˆ2} 1
置信区间
定义 1 设总体 X 的分布函数为 F(x, ) ，其中 为未
知 参 数 ， 对 于 给 定 值 (0 1) , 若 由 样 本
X1, X2,
,
Xn
确
定
的两
个统
计量
1(X1, X2,
,Xn) 及
2(X1, X2,
, Xn) 满足：
P{ 1 2} 1
第二届四川高校青年教师教ห้องสมุดไป่ตู้竞赛
《概率统计II》
单个正态总体的均值 的区间估计
(Interval Estimation of the Mean Value of Single Normal Population)
2014年7月
姓名：
学校：
引例
某次考试后，某人随机抽了10人的成绩， 如下表所示：
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 88 87 78 66 85 59 68 91 46 82
P{? ?} 1
枢
X
1 n
n i1
Xi
是
的无偏估计量,
轴 变
U
X / n
~ N(0, 1)
2
量
P{ Z /2
X
/
n
Z /2 }
1
1
2
零件直径均值估计
例1 一批零件中抽取9个零件，测得其直径 （毫米）如下：
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 19.7 20.1 19.8 19.9 20.2 20 19.9 20.2 20.3
X
S/ n
t(n 1)
P{t /2
X S/
n
t /2 } 1
内容小结
• 置信区间与置信度 置信区间表示估计结果的精确性 置信度则表示这一结果的可靠性
• 正态总体方差 2已知时，均值
的区间估计 枢轴变量
练习题 练习册4-3：第3、4题
则 随 机 区 间 [ˆ1, ˆ2] 称 为 参 数 的 对 应 于 置 信 度 为
1 的置信区间，也称[ˆ1, ˆ2]为参数 的对应于置信
度为1 的区间估计。其中ˆ1称为置信下限，ˆ2 称
为置信上限。
单个正态总体的均值的区间估计
总体X ～ N(, 2) 已知方差 2 时，求均值 的置信区间
设零件直径服从正态分布N(μ, σ2)，且已 知σ =0.21 （毫米），求这批零件直径均 值μ 的置信度为0.95的置信区间。
α = 0.05 Z /2 1.96 X 20.01 [19.87, 20.15]
思考与讨论
σ2未知，求 μ 的置信区间
S2是 σ2的 无偏估计
U
X / n