正态总体均值的假设检验
正态总体均值的假设检验
2 用 分布
检验
下，若能求得检验统计量的 极限分布，依据它去决定临界值C.
例 1 (用例中数据,但未知)
n=10, =0.05, 0=10 t10-1(/2)=t9(0.025)=2.2622
X 10.05,S2 0.05, S 0.224 X 10 0.05 , 即未落入拒绝域为 S 10 2.262 0.160 S 10 2.262
抽取 样本
检验 假设
拒绝还是不能 拒绝H0
P(T W)=
类错误的概率， W为拒绝域
对差异进行定量的分析， 确定其性质(是随机误差 显著性 水平
还是系统误差. 为给出两 者界限，找一检验统计量T， 在H0成立下其分布已知.）
-----犯第一
一般说来，按照检验所用的统计量的分布, 分为 U 检验 用正态分布
以上检验法叫U检验法.
X ～tn 1 S/ n
0
于是当原假设 H0:μ =μ X 0 ～tn 1 S/ n
成立时,有:
X 0 P tn 1 2 S / n S 即P X 0 tn 1 n 2 S 拒绝域为 X 0 tn 1 n 2 以上检验法叫t检验法.
第八章 第二节
正态总体均值的假设检验
一、单个正态总体N(,2)均值的检验
(I) H0:μ = μ
0
H1:μ ≠ μ
0
设X1,X2, ,Xn为来自总体N(,2)的样本. 求:对以上假设的显著性水平=的假设检验. 方差2已知的情况
根据第一节例1,当原假设 H0:μ =μ , 有:
北京工业大学《概率论与数理统计》课件 第8章 正态总体均值的假设检验
在数理统计中，把 “ X 的均值 μ =10” 这样
的一个欲检验的假设称为 “原假设” 或 “零 假设”，记成 “ H0：μ =10”。这里的“H”是 从英文“ hypothesis ”的字头而来，“ 0 ” 是从 “null”或“zero” 含义而生。
该检验称为两样本 t 检验。
说明
上面，我们假定 12=22。当然，这是个 不得已而强加上去的条件。因为，如果不加 这个条件，就无法使用简单易行的 t 检验。
在实用中，只要我们有理由认为12和22 相差不是太大，就可使用上述方法。通常的 做法是：如果方差比检验未被拒绝(见下节)， 就认为12和22相差不是太大。
又如：考察一项新技术对提高产品质量是 否有效，就把新技术实施前后生产的产品质量
指标分别看成正态总体 N(1, 12)和 N(2, 22)。
这时，所考察的问题就归结为检验这两个正态
总体的均值 1和 2是否相等的问题。
设X1, X2, …, Xm与Y1, Y2, …, Yn 分别为抽
自正态总体 N(1, 12) 和N(2, 22) 的样本，记
的大小检验 H0 是否
成立。
合理的做法应该是：找出一个界限 c，
这里的问题是：如何确定常数 c 呢？ 细致地分析：根据定理 6.3.1，有
于是，当原假设 H0：μ =10 成立时，有
为确定常数 c，我们考虑一个很小的正数， 如 =0.05。当原假设H0：μ =10 成立时，有
于是，我们就得到如下检验准则:
即新技术或新配方对提高产品质量确实有效。
单边检验 H0: μ =μ0 ‹–› H1: μ >μ0
正态总体均值的假设检验
上一段中， H0:μ=μ0 ; H1: μ≠μ0 的对立假设为H1:μ≠μ0 ,该假设称为双边对立假设。
2. 单边检验 H0: μ=μ0; H1: μ>μ0而现在要处理的对立假设为 H1: μ>μ0, 称为右边对立假设。
类似地，H0: μ=μ0; H1: μ<μ0 中的对立假设H1: μ<μ0，假设称为左边对立假设。
右边对立假设和左边对立假设统称为单边对立假设，其检验为单边检验。
例如：工厂生产的某产品的数量指标服从正态分布，均值为μ0 ；采用新技术或新配方后，产品质量指标还服从正态分布，但均值为µ。
我们想了解“µ是否显著地大于μ”,即产品的质量指标是否显著地增加了。
8.2.2 两个正态总体N(µ1, σ12) 和N(µ2, σ22)均值的比较在应用上，经常会遇到两个正态总体均值的比较问题。
例如：比较甲、乙两厂生产的某种产品的质量。
将两厂生产的产品的质量指标分别看成正态总体N(µ1, σ12) 和N(µ2, σ22)。
比较它们的产品质量指标的问题，就变为比较这两个正态总体的均值µ1和µ2的的问题。
上面，我们假定 σ12=σ22。
当然，这是个不得已而强加上去的条件，因为如果不加此条件，就无法使用简单易行的 t 检验。
在实用中，只要我们有理由认为σ12和σ22相差不是太大，往往就可使用上述方法。
通常是：如果方差比检验未被拒绝(见下节), 就认为σ12和σ22相差不是太大。
J 说明小结本讲首先介绍假设检验的基本概念；然后讨论正态总体均值的各种假设检验问题，给出了检验的拒绝域及相关例题。
概率论与数理统计02-82.2 两个正态总体均值的检验_70
第八章假设检验第二节正态总体均值的假设检验2. 两个正态总体在寿命问题中提出了两个正态总体均值是否相等的假设012:H μμ=112:H μμ≠这种情形经常发生在当研究对象的外界条件发生了改变时，判断研究对象是否受到了这种影响.检验统计量如何构造呢？例3对用两种不同热处理方法加工的金属材料做抗拉强度试验，得到的试验数据如下：方法Ⅰ：31，34，29，26，32，35，38，34，30，29，32，31方法Ⅱ：26，24，28，29，30，29，32，26，31，29，32，28设两种热处理加工的金属材料的抗拉强度都服从正态分布，且方差相等．比较两种方法所得金属材料的平均抗拉强度有无显著差异（）.05.0=α).,(),,(2221σμσμN N 解：记两总体的正态分布为.:,:211210μμμμ≠=H H 本题是要检验假设关键问题在于找到拒绝域12k μμ->X Y k->121212()()~(2),11w X Y t n n S n n μμ---+-+222112212(1)(1)2w n S n S S n n -+-=+-其中12221212()()~(0,1)X Y N n n μμσσ---+).,(),,(2221σμσμN N 解：记两总体的正态分布为.:,:211210μμμμ≠=H H 本题是要检验假设1212~(2)11w X Y T t n n S n n -=+-+检验统计量为21212||(2)11w x y t t n n S n n α-=≥+-+拒绝域为,1221==n n ,75.31=x .67.28=y ,25.112)1(211=-s n ,64.66)1(222=-s n .85.2=w s .647.26185.2|67.2875.31|11||||21=-=+-=n n s y x t w 计算统计值074.2)22()2(025.0212==-+t n n t α查t 分布表，得/212||(2)t t n n α>+-统计判决：由于故拒绝H 0.即认为两种热处理方法加工的金属材料的平均抗拉强度有显著差异．解：休息一下吧。
第二节 正态总体均值的假设检验
σ
~ N(0,1)
n
（σ 2 已知)
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H0为真时的分布 H0 H1
=0 ≠0
X 0 T= ~ T(n 1) S n
接受域
x 0 s n
≤ tα
（σ 2未知）
2
待估参数
枢轴量及其分布 置信区间
X 0 T= ~ T(n 1) S n
( x tα
2
= 0 ≥ 0 ≤ 0
≠ 0 < 0 > 0
U=
X 0
σ
U ≥ zα
2
n
U ≤ zα
N(0,1)
U ≥ zα
未知) T 检验法 (σ2 未知) 原假设 备择假设 检验统计量及其 H0 H1 H0为真时的分布 拒绝域
= 0 ≥ 0 ≤ 0
≠ 0 < 0 > 0
X 0 T= S n ~ t(n 1)
（2）关于 σ
2
χ2检验法 的检验
拒绝域
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H1 H0为真时的分布 H0
σ
2=σ 2 0
σ
2≠σ 2 0
χ =
2
∑(X )
i=1 i
n
χ ≤ χ (n)
2 2 1α 2
2
或 χ 2 ≥ χα2 (n)
2
σ 2≥σ 02 σ 2<σ 02
σ
2 0
~ χ (n)
2
χ ≤ χ (n)
(1) 关于均值差 1 – 2 的检验
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H0为真时的分布 H0 H1
1 – 2 = δ 1 – 2 ≠ δ 1 – 2 ≥ δ 1 – 2 < δ 1 – 2 ≤ δ 1 – 2 > δ
正态总体均值的假设检验
即认为元件的平均寿 命不大于 225小时。
二、两个正态总体均值差的检验（t 检验N）o:
Image
设X1,X2,,Xn1是 来 自 正 态 总 体 N(m1,s2)的 样 本Y；1,Y2,,Yn2是 来 自 正 态 总 体 N(m2,s2)的 样 本 ， 且 设 两 样 立本 。独 又 分 别 记 它 们
1)
s
2 2
10 10 - 2
= 2.775,
t0.05 (18) = 1.7341,
故拒绝域为：
T = X -Y
Sp
11 10 10
- t 0.05 (18 ) = -1.7341 ,
可算得 T = -4.295 < -1.7341 , 故拒绝 H 0 ,
即 认为新方法能提高得率。
已知总 例体服从2正态某分布地，且区方差大高致相考同，负由抽样责获得人资料想如下：知道某年来自城市中学考生
当H0成 立 时T，~ t(n1 n2 -2)， 对 于 给 定 a 的
P{|T |>ta/2(n1 n2 -2)}=a,
故 拒 绝 域 为|T |>t a/2(n1 n2 -2).
说明： 1. 对于单侧检验 “ H0 : m1 - m2 ≤ m0 ” 和 “ H0 : m1- m2 ≥ m0 ”, 可以类似地讨论。 常用的是 m0 = 0。 2. 对于两个正态总体的方差均为已知时,
的 样 本 均 值 X，Y为， 样 本 方 差 S12为 ,S22， 并 设 m1,m2,s2 均未知。
检验H： 0:m1-m2 =m0，H1:m1-m2 m0,
取统2
其
中
S2p
=
(n1
-1)S12 (n2 -1)S22 n1 n2 -2
正态总体均值和方差的假设检验
给定检验水平，查t(n-1)表得, t1-/2(n-1),使
得,
P{| T | t (n 1)}
即得,
1 2
P{|
x s
0
|
t 1
(n 1)}
n
2
拒绝域： 即
算出|Ｔ|与 t1比较，若 2 否则，接受H 0.
T ， t1拒 绝 ， H 0 2
例３ 在某砖厂生产的一批砖中,随机地抽取6块进 行抗断强度试验,测得结果(单位:kg/cm2)如下: 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03, 设砖的抗断强度服从正态分布．问这批砖的 平均抗断强度是否为32.50 (kg/cm2)？(=0.05)。
2 0
,
H1
:
2
2 0
给定检验水平 ，查 2 n 1 分布表得
2 (n 1),
使得 P 2 2 (n 1)
根据样本值计算统计量的值.
如果 2 2 (n 1)
则拒绝 H 0 , 接受 H1.
第一类错误
弃真错误
第二类错误
取伪错误
假设检验的两类错误
所作判断 真实情况
H0 为真 H0 为假
接受 H0
拒绝 H0
正确
第二类错误 (取伪)
第一类错误 (弃真)
正确
犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为
P
否定H0
H
为真
0
P第一类错误
P
不否定H0
H
为假
0
P第二类错误
若 T t，1拒绝 ，H接0 受
H1
T t1 ，接受 H，0 拒绝 H。1
３，４形式的检验成为右边检验．
§正态总体均值的假设检验
1 , 2 , 2 未知,
问新操作方法是否会增加钢的得率? (α=0.05)
解:
H 0 : 1 2 0,
n1 10, n2 10,
H 1 : 1 2 0
2 s1
x 76.23,
3.325,
y 79.43,
2 s2 2.225,
2 2 ( n 1 ) s ( n 1 ) s 2 1 2 2 sw 1 2.775, n1 n2 2
H1 : 0
(2) 选取检验统计量
X 0 Z n
在 H 0 成立的条件下， Z ~ N (0,1) (3) 给定的显著性水平α ,查正态分布表得临界值 z
2
P{ Z z 2 }
(4) 计算检验统计量与临界值比较；
(5) 拒绝域
x 0 z 2 , n
(1) 提出假设
H0 : 0 ,
H1 : 0
(2) 选取检验统计量
X 0 t S n
在 H 0 成立的条件下， t ~ t ( n 1) (3) 给定的显著性水平α ,找临界值
t 2 (n 1)
使
P{ t t 2 ( n 1)}
x 0 t 2 ( n 1), 下结论. s n
解：设两种方法处理后的羊皮含脂率分别为X 和Y，
X ~ N ( 1 , 2 ), Y ~ N ( 2 , 2 )
x 16.375, y 14.857,
sw 2.945,
H 0 : 1 2 0, H1 : 1 2 0
在H0成立下,
X Y T ~ t ( n1 n2 2) 1 1 SW n1 n2
正态总体均值的假设检验
假设检验
正态总体均值的假设检验
1.1 单个正态总体均值的假设检验
3．大样本单个正态总体均值的检验
设总体为 X ，它的分布是任意的，方差 2 未知， X1 ，X2 ， ，Xn 为 来自总体 X 的样本，H0 ： 0（ 0 已知）．当样本容量 n 很大（ n 30 ）
时，无论总体是否服从正态分布，统计量 t X 0 都近似服从正态分 S/ n
解 依题意，建立假设 由于 2 未知，故选取统计量
H0 ： 0 72，H1 ： 72 ． t X 0 ， S/ n
已知 0.05 ，故此检验问题的拒绝域为
W t | | t |
x 0
s/ n
t
/
2
(n
1)
．
又知 n 26，x 74.2，s 6.2，查表得 t /2 (25) t0.025 (25) 2.06 ，则有 | t | x 0 74.2 72 1.81 2.06 ， s/ n 6.2/ 26
解 依题意，建立假设 由于 2 未知，取检验统计量
H0 ： 0.8，H1 ： 0.8 ．
t X 0 ~ t(n 1) ， S/ n
已知 0.05 ，故此检验问题的拒绝域为
W t | t x 0 s/ n
t (n 1) ．
又知 n 16 ，x 0.92，s 0.32 ，查表得 t0.05 (16 1) t0.05 (15) 1.75，则有 t x 0 0.92 0.8 1.50 1.75 ， s/ n 0.32/ 16
假设检验 H0 ： 0 ，H1 ： 0 的拒绝域为 W {t | t t (n 1)}．
（7-8） （7-9）
假设检验
正态总体均值的假设检验
1.1 单个正态总体均值的假设检验
单个正态总体均值假设检验(标准差已知,Z检验)
X
n
z 2
0
X
n
z
2
16
7
步骤1：提出检验假设
H0 : 1550, H1 : 1550
步骤2：确定检验规则
检验统计量为 Z X 1550. 取显著水平 0.05, n
由备择假设的形式知，这是左边检验，因此检验 规则为：当Z z z0.05 1.645时，拒绝H0.
8
步骤3:计算检验统计量的值
2
双边假设问题
H0 : 0, H1 : 0,
其中0是已知的常数.
2
拒绝域
接受域
2
检验统计量为 Z X 0
z 2
z 2
n
检验拒绝域W | Z |
X 0 n
z/2 .
3
P_值的计算
对给定的样本观察值x1,, xn,记检验统计量Z的取值
9
利用P_值进行假设检验
步骤3’:计算P_值
P_ P( X 1550 1530 1550 1550) n 120 225
P(Z 2.5) 0.006
步骤4’:根据显著水平作出判断
P_ 0.006 0.05,
同样做出拒绝原假设H0 : 1550的判断.
将样本均值x 1530, 120, n 225,
代入检验统计量，计算得
Z X 1550 1530 1550 2.5 1.645.
n 120 225
步骤4：根据实际情况作出判断
因此，根据检验规则，做出拒绝原假设H0的判断. 即认为A高校学生的生活水平低于B高校.
总体均值的假设检验
学
Z X 0 ~ N (0,1)
2
n
天津财经大学 统计学系
（二）总体分布未知，总体方差已知，大 样本
统 • 来自总体的样本为(x1, x2, …, xn)。对于
假设：H0: = 0，在H0成立的前提下，
计 如果样本足够大（n≥30），近似地有检 验统计量
学
Z X 0 ~ N (0,1)
（四）总体分布未知，总体方差未知，大 样本
统
• 来自总体的样本为(x1, x2, …, xn)。对于
假设：H0: = 0，在H0成立的前提下，
计
如果总体偏斜适度，且样本足够大，近 似地有检验统计量
学
Z X - m0 ~ N (0,1)
S2
n
天津财经大学 统计学系
• 例：某厂采用自动包装机分装产品，假 定每包产品的重量服从正态分布，每包
新方法（x2） 35 31 29 25 34 40 27 32 31
旧方法（x1） 32 37 35 38 41 44 35 31 34
天津财经大学 统计学系
• 解：原假设与备择假设如下：
统
H0:旧 - 新 0 H1:旧 - 新 > 0
计 该题属于两个正态总体，方差相等（但
学 未知）的情况。因此，可利用下式计算 检验统计量。
x2i
i 1
,
s
2 2
1 n2Biblioteka n2 1 i1x2i
x2
2
并且，两样本独立。
天津财经大学 统计学系
• 那么，只要n1和n2都足够大，在原假设
H0: 1 = 2成立的条件下，以下检验统
统 计量近似服从标准正态分布。
计
假设检验 正态总体均值的假设检验
拒绝域 |u|为 u/2,
临界点 u/2及 为 u/2.
.
11
3. 两类错误及记号
假设检验是根据样本的信息并依据小概率原 理，作出接受还是拒绝H0的判断。由于样本具有 随机性，因而假设检验所作出的结论有可能是错 误的. 这种错误有两类:
(1) 当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而 作出了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, 又叫弃
第八章 假 设 检 验
第1节 假设检验
一、假设检验的基本原理 二、假设检验的相关概念 三、假设检验的一般步骤
.
1
一、假设检验的基本原理
在总体的分布函数完全未知或只知其形式、 但不知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性 质, 提出某些关于总体的假设.
例如, 提出总体服从泊松分布的假设;
又如 ,对于正态总体 期提 望出 等 0的 数 于学
1.9 0 1.6 0 1.8 0 1.5 0 1.7 0 1.2 0 1.7 0 假定切割的长度X服从正态分布, 且标准差没有 变化, 试问该机工作是否正常?
解 X~N(,2),0.15,
1.提出假设
H0:1.0 5, H 1:1.0 5,
.
17
2.求统计量值
n15, X 10.48, 则 uX01.048 1.05 0.51,6
下面结合实例来说明假设检验的基本思想.
.
3
实例 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的 袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当 机器正常时, 其均值为0.5公斤, 标准差为0.015 公斤.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机 地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(公斤): 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常?
正态总体均值和方差的假设检验
求检验统计量为 2 (n -1)S 2 8 s2 0.08s2
σ02
100
当H0为真时，χ2服从自由度为8的χ2分布
对于α＝0.05，
查表得
2 0.975
(8)
2.180,
2 0.025
(8)
17.535
则拒绝域为
W {0.08s2 2.180 U0.08s2 17.535}
即
W {s 5.220 Us 14.805}
每当测得s的值小于5.220或大于14.805时， 就认为机床的精度发生了变化。应引起注意， 并分析原因。
当方差σ12σ22已知时，用U检验法，构造 统计量
U (X Y)
2 1
2 2
n1 n2
取显著性水平α
P{| U | u /2}
得拒绝域为 | U | u /2
二、正态总体方差的检验
1、单个总体的情况—χ2检验
设总体N(， 2), ， 2 未知，x1，L ，xn 是
来自总体X的样本，现要检验假设（显著性
(n
1)S
2 0
2
2/2 (n 1)
2
,
则p{ 2 χ12 (n 1) 2 χ2 (n 1)} α
2
2
得显著性水平为的拒绝域为
2
2 1
/
2
(n
1)或
2
2 / 2 (n 1)。
例3 由以往管理生产过程的大量资料表明某自 动机床产品的某个尺寸X服从正态分布，其标 准差为σ0＝10.00毫米，并且把σ0＝10.00毫米 定为机床精度的标准。为控制机床工作的稳定 性，定期对其产品的标准差进行检验：每次随 机地抽验9件产品，测量结果为x1,x2,…x9。试 制定一种规则，以便能根据样本标准差s的值 判断机床的精度（即标准差）有无变化（显著 性水平为α＝0.05）？ 解 依题意，所考虑的产品指标X服从正态
8.2正态总体均值的假设检验
t t ( n1 n2 2).
x y 因为 t 4.295, 1 1 sw 10 10
t0.05 (18) 1.7341,
所以拒绝 H 0 ,
即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.
例5 有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台机床加工 的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直径(单位:mm)为 机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9
X 0 P Z / n
拒绝域为 Z Z
或 H0： 0；H1：0
X 0 P Z / n
拒绝域为 Z Z
2、方差未知 问题：总体 X~N（，2），2未知 假设 H0：=0；H1：≠0 构造T统计量 T X 0 ~ t (n 1)
t检验 双边检验
X 0 由 P t 2 (n 1) S n 确定拒绝域 T t 2 (n 1) x 0 如果统计量的观测值 T t 2 (n 1) S n
则拒绝原假设；否则接受原假设
S
n
例2 化工厂用自动包装机包装化肥，每包重量服从正态 分布，额定重量为100公斤。某日开工后，为了确定包 装机这天的工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得平 均重量为99.978，均方差为1.212，能否认为这天的包 装机工作正常？（=0.1） 解 由题意可知：化肥重量X~N（，2），0=100 方差未知，要求对均值进行检验，采用T检验法。
得 k t / 2 (n1 n2 2).
故拒绝域为
( x y) t t / 2 ( n1 n2 2). 1 1 sw n1 n2
《概率论与数理统计教学课件》8第八章—正态总体均值和方差的假设检验
真)
P1 2
(
x y
11
k)
k t (n1 n2 2)
sw
n1 n2
2
概率统计
在显著性水平 下, H0 的拒绝域:
x y
sw
11
t (n1 n2 2)
2
n1 n2
注:
当
2 1
2 2
2
未知时
检验假设
或
H0 : 1 -2 (或1 2 ), H0 : 1 2 （或1 2 ),
2
概率统计
所以拒绝H 0 ,可认为这两种轮胎的耐磨性有显著差异。
注： ▲ 用两种不同的方法得到了两种不同的结论，那么
究竟应该采取哪一个结论比较合理呢？
显然，应该采取第二种方法得出的结论是合理的
因为数据配对的方法是针对同一架飞机的，它是 排除了因飞机之间的试验条件的不同而对数据产 生的干扰，所以它是直接反映了这两种轮胎的耐 磨性的显著差异的情况，因此，应采取第二种方 法得出的结论，即可认为这两种轮胎的耐磨性有 显著差异。
概率统计
按单个正态总体中当 2 未知时，关于 的假设检验
的计算公式，可得 H0 的拒绝域为：
C { t t t (n 1)}
2
经计算 d 320 , s2 89425 ,
t
d s
320 2.83 89425
n
8
t (n 1) t0.05 (7) 2.365
2
2
因为： t 2.83 t0.05 (7) 2.365
为已知常数，显著水平为
概率统计
Q 检验统计量
(X Y)
~ N (0,1)
2 1
2 2
n1 n2
概率论 正态总体的均值和方差的假设检验
H 0 : μ 1600,
2
H1 : μ 1600
由于方差σ 未知，故选择统计量
X 1600 T Sn / n
当H0 成立时,T ~ t ( n-1) = t (9) ,由所给的样本值
求得x 1582 ,
*2 16528.89 Sn
故
1582 1600 t 10 0.443 16528.89
1 提出待检验的假设H0及备择假设H1; 2 选择适当的检验统计量,在H0成立的条件 下,确定它的概率分布； 3 给定检验水平 ,(依前所得的概率分布)确 4 由样本观测值计算统计量的值； 5 根据统计量的观测值落入拒绝域W1内,还 是W1外进行判断,落入拒绝域W1内,拒绝H0;落入
拒绝域W1外,接受H0.
解
本题归结为检验假设
H 0 : μ 800,
选择统计量
H1 : μ 800;
X 800 U 9 40
当H0成立时,U~N(0,1).对于 = 0.05,由正态分布函
数表查得u /2=u0.025 =1.96,从而得检验的拒绝域为 W1={(x1 , x2 , ∙∙∙ , xn) :|u| u 0.025 =1.96 },
χ 2 的值进行判断:
若χ 2 W1，则拒绝 H0；若χ 2 W1，则接受 H0 .
2 拒绝域： W 1 {( x1 , x2 , , xn ) : χ 2 χ1 α / 2 ( n 1)} 2 n 1}. {( x1 , x2 , , xn ) : χ 2 χα /2
H 0 : μ1 μ2 , H1 : μ1 μ2
由样本值求得统计量 T 的观测值
t x y
2 ( n 1) s2 ( n1 1) s1 2 n 2n
正态总体参数的假设检验
正态总体参数的假设检验 正态总体中有两个参数：正态均值与正态⽅差。
有关这两个参数的假设检验问题经常出现，现逐⼀叙述如下。
(⼀) 正态均值的假设检验 ( 已知情形) 建⽴⼀个检验法则，关键在于前三步l，2，3。
5.判断(同前) 注：这个检验法称为u检验。
(⼆) 正态均值的假设检验 ( 未知情形) 在未知场合，可⽤样本标准差s去替代总体标准差，这样⼀来，u统计量变为t统计量，具体操作如下： 1.关于正态均值常⽤的三对假设为 5.判断 (同前) 注：这个检验法称为t检验。
(三)正态⽅差的假设检验 检验正态⽅差有关命题成⽴与否，⾸先想到要⽤样本⽅差。
在基础上依据抽样分布特点可构造统计量作为检验之⽤。
具体操作如下： 1.关于正态⽅差常⽤的三对假设为 5.判断(同前) 注：这个检验法称为检验。
注：关于正态标准差的假设与上述三对假设等价，不另作讨论。
(四) ⼩结与例⼦ 上述三组有关正态总体参数的假设检验可综合在表1.5-1上，以供⽐较和查阅。
续表 [例1.5-2] 某电⼯器材⼚⽣产⼀种云母带，其厚度在正常⽣产下服从N(0.13，0.0152)。
某⽇在⽣产的产品中抽查了10次，发现平均厚度为0.136，如果标准差不变，试问⽣产是否正常?(取 =0.05)来源:考试通 解：①⽴假设：②由于已知，故选⽤u检验。
③~④根据显著性⽔平 =0.05及备择假设可确定拒绝域为{ >1.96}。
⑤由样本观测值，求得检验统计量： 由于u未落在拒绝域中，所以不能拒绝原假设，可以认为该天⽣产正常。
[例1.5-3] 根据某地环境保护法规定，倾⼊河流的废⽔中⼀种有毒化学物质的平均含量不得超过3ppm。
已知废⽔中该有毒化学物质的含量X服从正态分布。
该地区环保组织对沿河的⼀个⼯⼚进⾏检查，测定每⽇倾⼊河流的废⽔中该物质的含量，15天的记录如下(单位：ppm)3.2，3.2，3.3，2.9，3.5，3.4，2.5，4.3，2.9，3.6，3.2，3.0，2.7，3.5，2.9 试在⽔平上判断该⼚是否符合环保规定? 解：①如果符合环保规定，那么应该不超过3ppm，不符合的话应该⼤于3ppm。
正态总体均值的假设检验
于是
x
0
/n
0.516
z0.05
1.645,
故接受 H0 , 认为该机工作正常.
2. 2为未知, 关于 的检验( t 检验)
设总体 X ~ N (, 2 ), 其中, 2 未知, 显著性水平为 .
求检验问题 H0 : 0 , H1 : 0 的拒绝域.
设 X1 , X2 ,, Xn 为来自总体 X 的样本,
正态总体均值的假设检验
一、单个总体均值 的检验
二、两个总体均值差的检验(t 检验) 三、基于成对数据的检验(t 检验)
一、单个总体N(, 2)均值 的检验
1. 2 为已知, 关于 的检验( Z 检验)
在正态总体 N(, 2) 讨论中
当
2为已知时,
关于
的检验问题
0
:
(1) 假设检验 H0 : 0 , H1 : 0 ; (2) 假设检验 H0 : 0 , H1 : 0 ; (3) 假设检验 H0 : 0 , H1 : 0 .
设两样本独立. 注意两总体的方差相等. 又设 X ,Y 分别是总体的样本均值, S12 , S22 是样本方
差, 1, 2 , 2 均为未知,
求检验问题 H0 : 1 2 , H1 : 1 2 ( 为已知常数)的拒绝域.
取显著性水平为 .
引入 t 统计量作为检验统计量:
t
(X Sw
11 n1 n2
k
得 k t / 2 (n1 n2 2).
故拒绝域为
t
(x sw
y)
11 n1 n2
t / 2 (n1
n2
2).
关于均值差的其它两个检验问题的拒绝域见表
8.1, 常用 0 的情况.
正态总体均值的假设检验
拒绝域为 u u u0.05 1.645 ．
现在 u x 0 41.25 40 3.125 1.645 ， / n 2 / 25
即 u 的取值落在拒绝域中，所以在显著性水
平 = 0.05下拒绝 H0，接受 H1，即认为这
2
2 0
2 0
H0：
，H1：
．
其中
为已知常数．检验统计量
T
1
2 0
n
(Xi )2
i 1
~ 2 (n) .
对于给定的显著性水平 ，拒绝域为
t 12 / 2 (n) 或
t
2
/
2
(n)
．
上述检验的统计量服从 2 分布，称此种检
验为 2 检验，类似地可以进行单边检验（见表
右边检验的拒绝域为 t k ，左边检验的拒绝域为 t k ．
例2 某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率
服从正态分布 N (, 2 ), 40cm / s ， 2cm/ s ,
现在用新方法生产了一批推进器，从中抽取 n=25 只，测得样本均值为 x 41.25cm / s ．设在新方
二、两类错误
由于检验法则是依据样本作出的，因此假设 检验的结果可能犯两类错误：
第一类错误：当原假设H0为真时，作出的决 定却是拒绝H0，犯这类错误的概率记为 ，即
P{拒绝H0|H0为真}= ． 第二类错误：当原假设H0不正确时，作出的决定却是接受H0，犯这类错 误的概率记为 ，即
P{接受H0|H0不正确} = ．
在H0成立时，检验统计量
正态下单个总体的假设检验例题
正态下单个总体的假设检验例题假设有一个总体，其数据符合正态分布。
现在我们想要检验这个总体的均值是否等于某个特定值。
假设总体的均值为μ，我们要检验的假设为:H0: μ = μ0 （均值等于μ0）Ha: μ≠μ0 （均值不等于μ0）我们可以使用 t 检验来检验这个假设。
t 检验的步骤如下:1. 收集样本数据，并计算样本均值 X 和样本标准差 S。
2. 计算 t 统计量:t = (X - μ0) / (S / √n)其中，n 是样本容量。
3. 根据自由度（df = n-1）和显著性水平，查找 t 分布表得到临界值 t*。
4. 判断 t 统计量是否在临界值范围内。
如果 t 统计量小于 t*（或大于-t*），则接受 H0 假设，表示数据支持总体均值等于μ0。
如果 t 统计量大于 t*（或小于-t*），则拒绝 H0 假设，表示数据不支持总体均值等于μ0。
例如，我们想要检验一个总体样本的均值是否等于60。
我们从这个总体中随机抽取了10个样本，得到样本均值为65，样本标准差为5。
我们假设显著性水平为0.05。
步骤如下:1. 收集样本数据，并计算样本均值 X 和样本标准差 S。
X = 65， S = 52. 计算 t 统计量:t = (X - μ0) / (S / √n)t = (65 - 60) / (5 / √10) = 4.473. 查找 t 分布表得到临界值 t*。
df = n-1 = 10-1 = 9，根据显著性水平0.05和自由度9，在t 分布表中查找得到：t* = ±2.2624. 判断 t 统计量是否在临界值范围内。
t = 4.47 > 2.262，因此拒绝 H0 假设，表示数据不支持总体均值等于60。
因此，我们可以得出结论，总体均值不等于60。
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例 2 某厂生产一种工业用绳,其质量指标是
绳子所承受的最大拉力.假定该指标服从正态 分布.
原来该厂生产的这种绳子平均最大拉力 μ0 =15公斤.现在采用了一种新的原材料,厂 方称这种原材料提高了绳子的质量,也就是说 绳子所承受的最大拉力μ比15公斤大了.
为了检验该厂的结论是否真实,从其新产 品中随机抽取50件,测得它们承受的最大拉力 的平均值为15.8公斤,样本标准差S=0.5公斤. 取显著性水平 =0.01.
类似, H0:μ= μ0 H1:μ<μ0 中 我们要处理的假设检验叫左边检验.
这种形式的假设检验问题叫单边检验. 它们也很有实用意义.
例如:工厂生产的一种产品的某项指标平均 值为μ0 ,采用了新技术或新配方后,被认为 产品质量提高了,该指标的平均值应该随之 上升.
我们想看看是否有显著上升.
于是问题就是检验: H0:μ=μ0 ━━即新技术或新配方对于提高产 品质量无效果.
在大样本的条件下，若能求得检验统计量的 极限分布，依据它去决定临界值C.
X 0
S n
tn 1
2
拒绝域为 X 0
以上检验法叫t检验法.
S n
tn 1
2
例 1 (用例中数据,但未知)
n=10, =0.05, 0=10 t10-1(/2)=t9(0.025)=2.2622
X 10.05,S2 0.05, S 0.224
X 10 0.05 , S 2.262 0.160 10
X 15 15.8 15 0.8 0.5 2.41 50
0.5 50
t45
0.01
0.5 50
t49
0.01
∴我们拒绝原假设,认为新的原材料确实提高 了绳子所能承受的最大拉力.
提出
总 假设 结
抽取 样本
P(T W)=
-----犯第一
类错误的概率， W为拒绝域
根据统计调查的目的, 提出 原假设H0 和备选假设H1
还是 H1:μ>μ0 ━━即新技术或新配方确实有效, 提高了产品质量.
解决问题的思路:
如果μ=μ0,即原假设成立时,那么: X 0
就不应该太大.反之,如果它过于大,那么想 必是原假设不成立.
求解: 方差2 已知的情况
X ～N(0,1) / n
∴当原假设 H0:μ=μ0 成立时,有:
X 0 ～N (0,1) / n
问从这些样本看,我们能否接受厂方的结论, 即新原材料是否确实提高了绳子的质量?
解: 问题归结为检验如下假设
H0:μ=15 H1:μ>15 (方差2未知) 此处n=50, =0.01,标准差S=0.5.
查不到t49(0.01),利用性质: 给定 ,tn()关于自由度n是单调下降的.
我们查t45(0.01)=2.41, 则 t49(0.01) < t45(0.01)=2.41
检验 假设
显著性 水平
作出 决策
拒绝还是不能 拒绝H0
对差异进行定量的分析，
确定其性质(是随机误差
还是系统误差. 为给出两 者界限，找一检验Leabharlann 计量T， 在H0成立下其分布已知.）
一般说来，按照检验所用的统计量的分布, 分为
U 检验 用正态分布 t 检验 用 t 分布 2 检验 用 2 分布 F 检验 用 F分布
即未落入拒绝域为 X 10 ∴接受原假设 H0:μ=10.
S 2.262 10
(II)单边检验 H0:μ=μ0 H1:μ>μ0 问题的来源:
上一段 H0:μ= μ0 H1:μ≠ μ0 中
H1:μ≠μ0叫双边对立假设,上一段我们学习的 叫双边检验.
而 H0:μ= μ0 H1:μ>μ0 中 我们要处理的假设检验叫右边检验.
这时P
X
0
/n
Z
即P X 0 Z ( / n)
拒绝域为 X 0 Z ( / n )
方差2未知的情 况
X S/
n
～tn1
于是当原假设 H0:μ=μ0 成立时,有:
X S
/
0
n
～tn1
有P
X S
/
0
n
tn1
即P
X
0
S n
tn1
拒绝域为
X 0
S n
tn1
第八章 第二节 正态总体均值的假设检验
一、单个正态总体N(,2)均值的检验
(I) H0:μ= μ0 H1:μ≠ μ0 设X1,X2, ,Xn为来自总体N(,2)的样本. 求:对以上假设的显著性水平=的假设检验.
方差2已知的情况
根据第一节例1,当原假设 H0:μ=μ0 成立时 ,有:
X 0 ～N (0,1) / n
P
X
/
0
n
Z
/2
即P X 0 Z / 2 ( / n )
拒绝域为 X 0 Z / 2 ( / n )
以上检验法叫U检验法.
方差2未知的况
根据定理,
X S/
n
～tn1
于是当原假设 H0:μ=μ0 成立时,有:
X S
/
0
n
～tn1
P
X S
/
0 n
tn 1
2
即P