正态总体均值的假设检验

X 0
S n
tn 1
2
拒绝域为 X 0
以上检验法叫t检验法.
S n
tn 1
2
源自文库
例 1 (用例中数据,但未知)
n=10, =0.05, 0=10 t10-1(/2)=t9(0.025)=2.2622
X 10.05,S2 0.05, S 0.224
X 10 0.05 , S 2.262 0.160 10
P
X
/
0
n
Z
/2
即P X 0 Z / 2 ( / n )
拒绝域为 X 0 Z / 2 ( / n )
以上检验法叫U检验法.
方差2未知的况
根据定理,
X S/
n
～tn1
于是当原假设 H0:μ=μ0 成立时,有:
X S
/
0
n
～tn1
P
X S
/
0 n
tn 1
2
即P
即未落入拒绝域为 X 10 ∴接受原假设 H0:μ=10.
S 2.262 10
(II)单边检验 H0:μ=μ0 H1:μ>μ0 问题的来源:
上一段 H0:μ= μ0 H1:μ≠ μ0 中
H1:μ≠μ0叫双边对立假设,上一段我们学习的 叫双边检验.
而 H0:μ= μ0 H1:μ>μ0 中 我们要处理的假设检验叫右边检验.
检验 假设
显著性 水平
作出 决策
拒绝还是不能 拒绝H0
对差异进行定量的分析，
确定其性质(是随机误差
还是系统误差. 为给出两 者界限，找一检验统计量T， 在H0成立下其分布已知.）
一般说来，按照检验所用的统计量的分布, 分为
U 检验 用正态分布 t 检验 用 t 分布 2 检验 用 2 分布 F 检验 用 F分布
这时P
X
0
/n
Z
即P X 0 Z ( / n)
拒绝域为 X 0 Z ( / n )
方差2未知的情 况
X S/
n
～tn1
于是当原假设 H0:μ=μ0 成立时,有:
X S
/
0
n
～tn1
有P
X S
/
0
n
tn1
即P
X
0
S n
tn1
拒绝域为
X 0
S n
tn1
类似, H0:μ= μ0 H1:μ<μ0 中 我们要处理的假设检验叫左边检验.
这种形式的假设检验问题叫单边检验. 它们也很有实用意义.
例如:工厂生产的一种产品的某项指标平均 值为μ0 ,采用了新技术或新配方后,被认为 产品质量提高了,该指标的平均值应该随之 上升.
我们想看看是否有显著上升.
于是问题就是检验: H0:μ=μ0 ━━即新技术或新配方对于提高产 品质量无效果.
还是 H1:μ>μ0 ━━即新技术或新配方确实有效, 提高了产品质量.
解决问题的思路:
如果μ=μ0,即原假设成立时,那么: X 0
就不应该太大.反之,如果它过于大,那么想 必是原假设不成立.
求解: 方差2 已知的情况
X ～N(0,1) / n
∴当原假设 H0:μ=μ0 成立时,有:
X 0 ～N (0,1) / n
例 2 某厂生产一种工业用绳,其质量指标是
绳子所承受的最大拉力.假定该指标服从正态 分布.
原来该厂生产的这种绳子平均最大拉力 μ0 =15公斤.现在采用了一种新的原材料,厂 方称这种原材料提高了绳子的质量,也就是说 绳子所承受的最大拉力μ比15公斤大了.
为了检验该厂的结论是否真实,从其新产 品中随机抽取50件,测得它们承受的最大拉力 的平均值为15.8公斤,样本标准差S=0.5公斤. 取显著性水平 =0.01.
第八章 第二节 正态总体均值的假设检验
一、单个正态总体N(,2)均值的检验
(I) H0:μ= μ0 H1:μ≠ μ0 设X1,X2, ,Xn为来自总体N(,2)的样本. 求:对以上假设的显著性水平=的假设检验.
方差2已知的情况
根据第一节例1,当原假设 H0:μ=μ0 成立时 ,有:
X 0 ～N (0,1) / n
在大样本的条件下，若能求得检验统计量的 极限分布，依据它去决定临界值C.
问从这些样本看,我们能否接受厂方的结论, 即新原材料是否确实提高了绳子的质量?
解: 问题归结为检验如下假设
H0:μ=15 H1:μ>15 (方差2未知) 此处n=50, =0.01,标准差S=0.5.
查不到t49(0.01),利用性质: 给定 ,tn()关于自由度n是单调下降的.
我们查t45(0.01)=2.41, 则 t49(0.01) < t45(0.01)=2.41
X 15 15.8 15 0.8 0.5 2.41 50
0.5 50
t45
0.01
0.5 50
t49
0.01
∴我们拒绝原假设,认为新的原材料确实提高 了绳子所能承受的最大拉力.
提出
总 假设 结
抽取 样本
P(T W)=
-----犯第一
类错误的概率， W为拒绝域
根据统计调查的目的, 提出 原假设H0 和备选假设H1