两个正态总体的假设检验

两个正态总体的假设检验
有时，我们需要比较两总体的参数 有时，我们需要比较两总体的参数 是否存在显著差异。比如， 是否存在显著差异。比如，两个农作物 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 两种加工工艺对产品质量的影响， 两种加工工艺对产品质量的影响，两地 区的气候差异等等。 区的气候差异等等。
Fα2 (n1 − 1, n2 − 1) 和 F12 α (n1 − 1, n2 − 1) ，使 −
2
( P (F
P F < Fα (n1 − 1, n2 − 1) =
2 2
2
2
> F12 α −
2
）、（3） 由（2）、（ ）式可得检验的拒绝域为 ）、（
F < F1−(α 2) ( n1 − 1, n2 − 1) 及 F > Fα 2 ( n1 − 1, n2 − 1)
拒绝H 两种灯泡的平均寿命 所以拒绝 假设， 所以拒绝 0假设，即认为 A、B两种灯泡的平均寿命 、 两种灯泡的 有统计意义。 有统计意义。
两个正态总体的方差检验 问题： 问题： X ~ N µ , σ 2 , Y ~ N µ ,σ 2 1 1
(
)
未知
µ1 , µ2 ，检验假设 0：σ 12 = σ 22 检验假设H
所以拒绝原假设 H20，即认为两种玉米的产量差异 有统计意义。 有统计意义。
(
2
2
)
F检验 检验
S12 σ 12 F = 2 2 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) 由抽样分布知 S2 σ 2 2 S 若假设H 成立， 若假设 0成立，则 F = 12 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) S2
f (x )
α
2
α
2
o
Fα
2
F1 − α
x
F 双侧检验
2
图7—6
对于给定的检验水平 α ，由F 分布表查得
2
U检验法 检验法
(
)
2 Y ~ N ( µ2 , σ 2 )
2 检验H σ 2 ，检验 0： µ1 = µ 2
从而， 成立时， 从而，当H0成立时， U =
X −Y
2 σ 12 n1 + σ 2 n2
~ N ( 0,1)
的拒绝域： 对给定的检验水平 α , 得H0的拒绝域：
X −Y
2 σ 12 n1 + σ 2 n2
两个正态总体的均值检验 1、方差已知，检验均值相等 、方差已知， 问题： 问题： X ~ N µ1 , σ 已知 σ
2 1
(
2 1
)
, σ
2 检验H 2 ，检验 0：
µ1 = µ2
Y ~ N ( µ2 , σ
2 2
)
设 X 1 , X 2 ,...... X n1 是X的一个样本， Y1 , Y2 ,......Yn2 的一个样本， 的一个样本 的一个样本， 是Y的一个样本， 的一个样本
> tα 2 ( n1 + n2 − 2 )
T 双侧检验
有两种灯泡， 型灯丝， 型灯丝。 例2 有两种灯泡，一种用 A 型灯丝，另一种用 B 型灯丝。随机 抽取两种灯泡各10 只做试验，测得它们的寿命（小时） 抽取两种灯泡各 只做试验，测得它们的寿命（小时）为： A 型：1293 1380 1614 1497 1340 1643 1466 1677 1387 1711 B 型：1061 1065 1092 1017 1021 1138 1143 1094 1028 1119 设两种灯泡的寿命均服从正态分布且方差相等， 设两种灯泡的寿命均服从正态分布且方差相等，试检验两种 灯泡的平均寿命之间是否存在显著差异？ 灯泡的平均寿命之间是否存在显著差异？(α = 0.05 ) 解 假设： 假设：
试比较A、 两法的平均产量 点，得平均产量 y = 1.6 ，试比较 、B两法的平均产量 是否有统计意义。 是否有统计意义。(α = 0.05 ) 解 假设： 假设： 因为： 因为：
法设8个样本 x = 1.5 ；B 法设 个样本
H 0 : µ1 = µ2 , H1 : µ1 ≠ µ2
= 1.5 − 1.6 ≈ 0.49 < 1.96 = u0.025 0.2 12 + 0.2 8
T= X −Y S
2 1
( n1 − 1) + S ( n2 − 1)
2 2
n1 + n2 − 2
1 1 + n1 n2
~ t ( n1 + n2 − 2 )
的拒绝域： 对给定的检验水平 α , 得H0的拒绝域：
T = X −Y
2 S12 ( n1 − 1) + S 2 ( n2 − 1) 1 1 + n1 + n2 − 2 n1 n2
H11 : σ 1 ≠ σ 2
2 x = 998.0, s12 = 51.52 ; y = 820.0, s2 = 108.62 F0.975 ( 4, 4 ) = 0.104 F0.025 ( 4, 4 ) = 9.604
s12 51.52 F= 2 = ≈ 0.689 2 s2 108.6
因为 0.104 < 0.689 < 9.604 所以可认为甲、 所以可认为甲、乙两种玉米的方差没有显著差异 即可认为
H 21 : µ1 ≠ µ2
x = 998.0, s12 = 51.52 ;
由 T =
2 y = 820.0, s2 = 108.62
因为已假设方差相等， 检验。 因为已假设方差相等，故用 T 检验。
998 − 820 51.52 × 4 + 108.62 × 4 1 1 + 8 5 5
≈ 3.31 > 2.306 = t0.025 ( 8 )
T= S
2 1
( n1 − 1) + S ( n2 − 1)
2 2
X − Y − ( µ1 − µ 2 ) 1 1 + n1 n2
~
t ( n1 + n2 − 2 )
n1 + n2 − 2
两个正态总体的均值检验
T检验法 检验法
2、方差未知，但两个总体的方差相等，检验均值相等 、方差未知，但两个总体的方差相等， 成立， 若 H0 成立，则
H 0 : µ1 = µ2 , H1 : µ1 ≠ µ 2
x = 1500.8,
y = 1077.8
2 s12 = 151.32 , s2 = 47.02
1500.8 − 1077.8
因
151.3 × 9 + 47.0 × 9 1 1 + 18 10 10
2 2
≈ 8.45 > 2.101 = t0.025 (18 )
2 问题：设总体X ~ N ( µ1 , σ 12 ),Y ~ N ( µ 2 , σ 2 )，X 1 , X 2 ,⋯ , X n1 ; Y1 , Y2 ,⋯ , Yn2 是总体X , Y的iid样本，欲对µ1 , µ 2的关系。
该问题可以通过检验下列类型的统计假设实现。 1型 H 0 : µ1 = µ 2 ; H : µ1 ≠ µ2 2型 H 0 : µ1 ≥ µ2 ; H : µ1 < µ2 3型 H 0 : µ1 ≤ µ 2 ; H : µ1 > µ2
x− y
σ n1 + σ n2
2 2
接受H 两法的平均产量无统计意义 所以接受 假设， 、 两法的平均产量无统计意义。 所以接受 0假设，即认为 A、B两法的平均产量无统计意义。
两个正态总体的均值检验 2、方差未知，但两个总体的方差相等，检验均值相等 、方差未知，但两个总体的方差相等， 问题： 问题： X ~ N µ1 , σ 未知 σ , σ
对甲、乙两种玉米进行评比试验，得如下产量资料： 例4 对甲、乙两种玉米进行评比试验，得如下产量资料： 甲：951 966 1008 1082 983 乙：730 864 742 774 990 问这两种玉米的产量差异有没有统计意义？ 问这两种玉米的产量差异有没有统计意义？ α = 0.05
(
)
解
先对方差作检验： 先对方差作检验：H10 : σ 1 = σ 2 ,
σ1 = σ 2
对甲、乙两种玉米进行评比试验， 例4 对甲、乙两种玉米进行评比试验，得如下产量资料 甲：951 966 1008 1082 983 乙：730 864 742 774 990 问这两种玉米的产量差异有没有统计意义？ 问这两种玉米的产量差异有没有统计意义？ α = 0.05
(
)
解：再对均值作检验：H 20 : µ1 = µ 2 , 再对均值作检验：
则
σ 12 X ~ N µ1 , , n1
Y~
2 σ2 N µ2 , n2
所以， 所以，
2 σ 12 σ 2 + X − Y ~ N µ1 − µ2 , n1 n2
两个正态总体的均值检验 1、方差已知，检验均值相等 、方差已知， 问题： 问题： X ~ N µ1 , σ 12 已知 σ 1 ,
> uα 2
U 双侧检验
据以往资料，已知某品种小麦每4平方米产量 千克） 平方米产量（ 例1 据以往资料，已知某品种小麦每 平方米产量（千克）的 方差为 σ 2 = 0.2 。今在一块地上用A，B 两法试验，A 今在一块地上用 ， 两法试验， 法设12个样本点， 法设 个样本点，得平均产量 个样本点
2 1 2 ，但知 2
(
2 1

2 σ 12 = σ 2 ，检验 0： µ1 = µ 2 检验H
)
Y ~ N ( µ2 , σ
2 2
)
设 X 1 , X 2 ,...... X n1 是X的一个样本， Y1 , Y2 ,......Yn2 的一个样本， 的一个样本 的一个样本， 是Y的一个样本， 的一个样本 由抽样分布定理和t分布定义知 由抽样分布定理和 分布定义知