双正态总体的假设检验

故应拒绝 H 0 , 即认为两厂生产的灯泡寿命有显著差 7 专业课件讲义教材PPT文档 异.
例2 一药厂生产一种新的止痛片, 厂方希望验证服用 新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至 少缩短一半, 因此厂方提出需检验假设 此处 1 , 2 分别是服用原有止痛片和服用新止痛片 后至起作用的时间间隔的总体的均值 . 设两总体均 2 2 为正态总体 , 且方差分别为已知值 1 , 2 , 现分别在 两总体中取一样 X 1 , X 2 ,, X n 和 Y1 ,Y2 ,,Yn , 设 1 2 两个样本独立, 试给出上述假设 H 0的拒绝域, 取显著 性水平为 .
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x1 , x2 ,, xn1
和
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y1 , y2 ,, yn2 ,
3
计算出 U 的观察值 u,若 u u / 2 , 则拒绝原假设 H 0 , 若 u u / 2 , 则接受原假设 H 0 .
类似地，对单侧检验有： (2) 右侧检验 H 0 : 1 2 0 , H1 : 1 2 0 , 可得拒绝域为 其中 0 为已知常数，
1
记其观察值为 u, 相应的检 选取 U 作为检验统计量， 验法称为 u 检验法. 由于 X 与 Y 是 1 与 2 的无偏估计量, 当 H 0 成立时,
u 不应太大, 当 H1 成立时, u 有偏大的趋势, 故拒绝
域形式为
x y 0 u k 2 2 1 / n1 2 / n2
.
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2.
方差 , 未知，但 情形
2 1 2 2 2 1 2 2 2
(1) 双侧检验 H 0 : 1 2 0 , H1 : 1 2 0 , 当 H 0 为真时， 其中 0 为已知常数，
X 2Y ( 1 2 2 ) U ~ N (0,1). 2 2 1 4 2 n1 n2
因此, 类似于右侧检验,
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则 H 0 成立时
( 1 2 2 ),
x 2y W u 2 2 1 4 2 n2 n1
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（ k 待定）
2
对于给定的显著性水平 , 查标准正态分布表得
k u / 2 , 使 P{ U u / 2 } ,
由此即得拒绝域为
x y 0 u u / 2 , 2 2 1 / n1 2 / n2
根据一次抽样后得到的样本观察值
能否认为两厂生产的泡寿命无显著差异 ( 0.05) ? 解
(1) 建立假设 H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 .
U 选择统计量 (2) 12 n1
X Y

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n2
2 2
~ N (0,1).
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解 (3) 对于给定的显著性水平 , 确定 k , 使
x y 0 u u ; 2 2 1 / n1 2 / n2
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(2) 右侧检验 H 0 : 1 2 0 , H1 : 1 2 0 ,
可得拒绝域为 其中 0 为已知常数，
x y 0 u u ; 2 2 1 / n1 2 / n2
H 0 : 1 2 2 , H1 : 1 2 2 ,
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解 检验假设 H 0 : 1 2 2 , H1 : 1 2 2 , 采用
12 4 22 X 2Y ~ N 1 2 2 , . n1 n2
在 H 0 成立下
1. 方差 , 已知情形
2 1 2 2
(1) 双侧检验 H 0 : 1 2 0 , H1 : 1 0 , 其中 0 为已知常数. 当 H 0 为真时，
x y 0 U ~ N (0,1), 2 2 1 专业课件讲义教材 / n1 2 / n文档 PPT 2
(3)
左侧检验 H 0 : 1 2 0 , H1 : 1 2 0 ,
可得拒绝域为 其中 0 为已知常数，
x y 0 u u . 2 2 1 / n1 2 / n2
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例1 设甲、 乙两厂生产同样的灯泡, 其寿命 X ,Y 分别 2 服从正态分布 N ( 1 , 12 ), N ( 2 , 2 ), 已知它们寿命 的标准差分别为84h和96h, 现从两厂生产的灯泡中 各取60只, 测得平均寿命甲厂为129h, 乙厂为1230h,
一、双正态总体均值差的假设检验 设 X 1 , X 2 ,, X n1 为取自总体 N ( 1 , 12 ) 的一个样本,
2 Y1 ,Y2 ,,Yn2 为取自总体 N ( 2 , 2 ) 的一个样本, 并且
记 X 与 Y 分别为相应的样本均值, 两个样本相互独立，
S12与 S 22 分别为相应的样本 方差.
P{| U | k } 查标准正态分布表 k u / 2 u0.025 1.96, 从而拒绝域 为 | u | 1.96. 由于 x 1295, y 1230, 1 84, 2 96, 所以
u
x y

n1
2 1


n2
2 1
3.95 1.96,
X Y 0 T 2 ~ t ( n1 n2 2), S w 1 / n1 1 / n2
2 2 ( n 1 ) S ( n 1 ) S 2 1 2 2 其中 Sw 1 . 选取 T 作为检验 n1 n2 2
统计量， 记其观察值为 t , 相应的检验法称为 t 检验