8-2正态总体均值的假设检验

/
0
n
t (n 1) ,
2
拒绝域为 (,t (n 1)][t (n 1),]
2
2
即接受域为 (t (n 1), t (n 1))
2
2
由样本观察值
x1, x2
, xn计算
t
x s
/
0
n
决定是否接受H0.
同理，对于单边检验有：. 右边检验 H0 : 0, H1 : 0 接受域为 (, t (n 1))
~
N (0,1)
在显著性水平 0.05, 查表得 z0.025 1.96, 即
P(1.96 Z 1.96) 0.95 , 接受域为（-1.96, 1.96）
n 15, x 10.48, 0.05, 因此 z x 0 10.48 10.5 0.516 (1.96,1.96)
若观察值 x 与 0 的差 x 0 过分大, 即 x 0 k ,
则我们拒绝 H0 接受 H1 .
拒绝域的形式 x 0 k , ( k 待定). 由标准正态分布的分布函数 (•) 的单调性可知,
P{拒绝 H0 | H0 为真 } P0 ( x 0 k)
P 0
x
/
0
n
0 k /
n
/ n 0.15 / 15
故接受 H0, 认为该机工作正常.
例2 某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服
从正态分布 N (, 2 ), 40cm / s, 2cm / s. 现
用新方法生产了一批推进器, 随机取 n 25只, 测 得燃烧率的样本均值为x 41.25cm / s. 设在新方 法下总体均方差仍为2cm / s,问用新方法生产的 推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃
左边检验 H0 : 0, H1 : 0 接受域为 (t (n 1), )
一个有用的结论
当显著性水平均为 时,
检验问题 H0 : 0 , H1 : 0和检验问题 H0 : 0 , H1 : 0 有相同的接受域（拒绝域）.
证明 在检验问题 H0 : 0 , H1 : 0 中, 因为 H0 中的 都比 H1 中的 小,
从直观上看, 合理的检验法则是:
/ n
因为 S 2 是 2 的无偏估计, 故用 S 来取代 , 即采用t X 0 来作为检验统计量.
S/ n
当观察值
t
x 0
s/ n
过分大时就拒绝H0,
方法（称为 t 检验法）:
定理三
当H0为真时,
X 0 ~ t(n 1),
S/ n
查表得
t (n 1) 2
P{拒绝
H0
当
H0
为真
}
P
X S
第二节 正态总体均值的假设检验
一、单个总体均值 的检验
二、两个总体均值差的检验 三、基于成对数据的检验 四、小结
一、单个总体 N(, 2) 均值 的检验
1. 2 为已知, 关于的检验( Z 检验)
(1) 假设检验 H0 : 0, H1 : 0 ; (2) 假设检验 H0 : 0, H1 : 0 ;
10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变
化, 试问该机工作是否正常? ( 0.05)
解 因为 X ~ N(, 2 ), 0.15, 要检验假设
H0 : 10.5, H1 : 10.5,
若
H0 真，则 Z
x
0
/n
, xn计算
z x 0 / n
由 z (, z ) 或 (, z ) 决定是否接受H0.
(3) 左边检验 H0 : 0, H1 : 0 .
给定显著性水平 , 查表得 z
拒绝域为 z z , 即 (z ,)
若H0真，由样本观察值
x1, x2
,
xn计算
z
x
/
0
n
由 z (z ， ） 或 (z ， ） 决定是否接受H0.
烧率有显著的提高? 取显著水平 0.05.
解 H0 : 40, H1 : 40
n 25, 2, x 41.25, 0 40
在 0.05 下, z0.05 1.645 接受域为 (, 1.645)
若H0真，由样本观察值计算
z
x
/
0
n
41.25 40 2 / 25
3.125
(3) 假设检验 H0 : 0, H1 : 0 .
方法:
作统计量 Z X
n 则 Z~N ( 0, 1 )
(1) 假设检验 H0 : 0, H1 : 0 ;
给定显著性水平 , 查表得 z / 2
接受域为 | z | z / 2 , 即 (z /2 , z /2 )
若H0真，由样本观察值
z
.
比较正态总体N ( , 2 )在方差 2已知时, 对均值
的两种检验问题
H0 : 0, H1 : 0 和 H0 : 0, H1 : 0 ,
尽管原假设H0的形式不同, 实际意义也不同,但对
于相同的显著性水平 , 它们的拒绝域相同.
第二类形式的检验问题可归结为第一类形式讨论.
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的 平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产 品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下: 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2
x1, x2
, xn计算
z x 0 / n
由 z (z /2 , z /2 ) 或 (z / 2 , z / 2 ) 决定是否接受H0.
(2) 右边检验 H0 : 0, H1 : 0 ;
给定显著性水平 , 查表得 z
接受域为 z z , 即 (, z )
若H0真，由样本观察值
x1, x2
(, 1.645)
故在显著性水平 0.05 下拒绝 H0 .
即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高.
2. 2为未知, 关于 的检验( t 检验)
设总体 X ~ N(, 2 ), 其中, 2 未知, 显著性水平为 .
(1) 假设检验 H0 : 0, H1 : 0 ;
因为 2 未知, X 0 不能作为检验统计量
1
(0 k) / n
0
(0 /
n
k) 0
0
(0 / n
k
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
/
k
n
,
因此要控制 P{拒绝 H0 | H0 为真} ,
只需令
/
k
n
,
即 k ( /
n)z ,
检验问题 H0 : 0, H1 : 0 的拒绝域为
x 0 ( /
n)z ,
即
x
/
0
n