人教b版数学选修 成才之路 1-1-2
【成才之路】高中数学人教B版选修课件章末归纳总结
＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题
三个命题中，真命题的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
[解析] 由题意知原命题为真命题，逆命题为假命题，由
互为逆否的命题“同真同假”可知逆否命题为真命题，否命题
为假命题．故选C. [答案] C
已知命题：若 m≤0 或 n≤0，则 m＋n≤0.在它
[解析] (1)真命题．证明如下： 设(x，y)∈A∩B，
则(x，y)应是方程组y14＝x2－12xy＋2＝21a11，
的解．
由方程组消去 y 得 2a1x＋a21＝－4.(*)
当 a1＝0 时，方程(*)无解，此时 A∩B＝∅； 当 a1≠0 时，方程(*)只有一个解 x＝－42－a1 a21，
写出下列命题的否定． (1)a2＋b2<0 或 a2＋b2≥0； (2)∅＝{0}且∅⊆∅. [解析] (1)a2＋b2≥0 且 a2＋b2<0. (2)∅≠{0}或∅ ∅.
专题四 充要条件 [专题解读] 充要条件是历年高考考查的重点，充要条件 的判断，一方面要弄清条件是什么，结论是什么，条件能推出 结论还是结论能推出条件；另一方面利用集合的包含关系来判 断会更容易一些．一般地，若条件甲为 x∈A，条件乙为 x∈B. 当且仅当 A⊆B 时，甲为乙的充分条件；当且仅当 B⊆A 时，甲 为乙的必要条件；当且仅当 A＝B 时，甲为乙的充要条件．
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 本题用推理的方法求解较繁琐，我们可以借助于
Venn 图，利用图形来解决．利用 Venn 图，当 A B 时，如图 1
所示，则(∁UA)∪B＝U 成立；当 A＝B 时，如图 2 所示，则(∁UA)
成才之路人教版数学必修一1-1-2
[答案] A
第一章
1.1
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规律总结：当给定的问题涉及元素与集合、集合与集 合的关系时，要抓住基本概念去解题．此时要注意辨明集合 中元素的特征，对“包含”与“包含于”、“真包含”与 “真包含于”、“属于”与“不属于”等符号要进行仔细辨 认，以避免因疏忽而出错．
第一章
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值得说明的是： (1)集合 A 是集合 B 的真子集，即 A 是 B 的子集，并且 B 中至少存在一个元素 不是 A 的元素； (2)子集包括真子集和相等两种情况； (3)空集∅是任何非空 集合的真子集； ．． (4)对于集合 A、B、C，如果 A B，B C，那么 A C；如 果 A B，B⊆C，那么 A C；如果 A⊆B，B C，那么 A C.
第一章
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对于两个集合 A、B，如果集合 A 中的任意一个元素都是 集合 B 的元素， 那么称集合 A 是集合 B 的 子集 ， 记作 A⊆B(或
B⊇A)．用图表示为
.
用平面上封闭曲线的 内部 表示集合的方法称作图示 法．这种图称作 Venn 图．
第一章 1.1 1.1.2
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集合包含关系的考查
学法指导：判断集合关系的方法有三种： (1)一一列举观察． (2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄 清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若p(x)推出 q(x)，则A⊆B；②若q(x)推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x) 互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出 p(x)，则集合A，B无包含关系．
2022-2021学年成才之路·人教B版数学·选修1-2练习：第2章 推理与证明 2.1 第2课时
其次章 2.1 第2课时一、选择题1．下面几种推理过程是演绎推理的是导学号 96660826 ( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，因此，若∠A 、∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．由平面三角形的性质，推想空间四周体的性质C ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式D ．三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)·180°[答案] A[解析] 选项B 是类比推理，选项C 、D 是归纳推理，只有选项A 是演绎推理． 2．下列说法中正确的是导学号 96660827 ( ) A ．演绎推理和合情推理都可以用于证明 B ．合情推理不能用于证明 C ．演绎推理不能用于证明 D ．以上都不对 [答案] B[解析] 合情推理不能用于证明．3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的缘由是导学号 96660828 ( )A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但大前提使用错误D ．使用了“三段论”，但小前提使用错误 [答案] D[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．4．“由于对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．”上面推理的错误是导学号 96660829 ( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错 [答案] A[解析] 大前提y ＝log a x 是增函数不肯定正确．由于a >1还是0<a <1不能确定，所以选A. 5．完全归纳推理是( )的推理导学号 96660830 ( ) A ．一般到个别 B ．个别到一般 C ．一般到一般 D ．个别到个别[答案] B[解析] 完全归纳推理是个别到一般的推理．6．△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 肯定是导学号 96660831 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 [答案] C[解析] ∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B 为锐角，即∠C 为钝角． 二、填空题7．以下推理过程省略的大前提为：____________.导学号 96660832 由于a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab . [答案] 若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a 2＋b 2，故大前提为：若a ≥b ，则a ＋c ≥b＋c .8．对于函数f (x )＝2xx 2＋ax ＋a ，其中a 为实数，若f (x )的定义域为实数，则a 的取值范围是________．导学号 96660833[答案] 0<a <4[解析] 要使f (x )定义域为R ，则x 2＋ax ＋a ≠0，即Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4. 三、解答题9．求证：对任意不相等正实数a 、b ，有(a b)a －b >1. 导学号 96660834[证明] 当a >b >0时，有a b >1，a －b >0，由指数函数的单调性知(a b )a －b >(ab)0＝1，当b >a >0时，有0<ab <1，a －b <0，则(a b )a －b >(ab )0＝1.综上：(ab)a －b >1.一、选择题1．三段论：“①雅安人肯定坚强不屈；②雅安人是中国人；③全部的中国人都坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是导学号 96660835( )A ．③②B ．③①C ．①②D ．②③[答案] A[解析] 由三段论推理的定义可知大前提为③，小前提为②.2．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等．”补充以上推理的大前提导学号 96660836( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B[解析] 大前提是“矩形都是对角线相等的四边形”．3．在证明f (x )＝2x ＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是导学号 96660837( )A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③ [答案] A[解析] 依据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义；结论是f (x )＝2x ＋1为增函数，故①④正确．二、填空题4．(2022·全国卷Ⅱ文，16)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3． 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．导学号 96660838[答案] 1和3[解析] 由丙所言可能有两种状况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言状况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言状况．故甲持有“1和3”．5．△ABC 中，若a 2b 2＝tan Atan B ，则△ABC 的外形是________．导学号 96660839[答案] 直角三角形或等腰三角形[解析] 由正弦定理得，a 2b 2＝sin 2Asin 2B ＝tan A tan B ＝sin A cos Asin Bcos B＝sin A ·cos B cos A ·sin A ，于是有sin A sin B ＝cos Bcos A即sin A ·cos A －sin B ·cos B ＝0，∴sin2A ＝sin2B ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.6．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N ＋(m ，n ∈N ＋)，且对任意m 、n ∈N ＋都有： ①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)． 给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26. 其中正确结论为________． 导学号 96660840[答案] (1)(2)(3) [解析] 由条件可知，由于f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，且f (1,1)＝1，所以f (1,5)＝f (1,4)＋2＝f (1,3)＋4＝f (1,2)＋6＝f (1,1)＋8＝9. 又由于f (m ＋1,1)＝2f (m,1)， 所以f (5,1)＝2f (4,1)＝22f (3,1) ＝23f (2,1)＝24f (1,1)＝16，所以f (5,6)＝f (5,1)＋10＝24f (1,1)＋10＝26. 故(1)(2)(3)均正确．三、解答题7．如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，DE ∥BA .求证ED ＝AF ，写出“三段论”形式的演绎推理．导学号 96660841[解析] 大前提：同角相等，两直线平行 ∴前提：∠BFD ＝∠A .结论：DF ∥EA .大前提：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 小前提：DE ∥BA 且DF ∥EA ， 结论：四边形AFDE 是平行四边形． 大前提：平行四边形的对边相等， 小前提：ED 和AF 为平行四边形的对边， 结论：ED ＝AF .8．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．导学号 96660842[分析] 本题主要考查用“三段论”证明函数的单调性的方法，解决此类问题应先找出证明的大前提，然后在大前提下证明小前提满足大前提，从而得出结论．[证明] 对∀x 1、x 2∈I ，且x 1<x 2，若f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数．大前提 设x 1、x 2是(－1，＋∞)上的任意两数，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋x 1－2x 1＋1－ax 2－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋x 1－2x 1＋1－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，∵a >1，且x 1<x 2，∴ax 1<ax 2，x 1－x 2<0. 又∵x 1>－1，x 2>－1，∴(x 1＋1)(x 2＋1)>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)．小前提 ∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．结论9．求证函数f (x )＝x 6＋x 3＋x 2＋x ＋1的值恒大于零．导学号 96660843 [解析] 当x >0时，x 6，x 3，x 2，x,1都为正数，由于x >0时，f (x )>0恒成立． 当－1≤x ≤0时， f (x )＝x 6＋x 3＋x 2＋x ＋1＝x 6＋x 2(1＋x )＋(1＋x )>0恒成立． 当x <－1时， f (x )＝x 6＋x 3＋x 2＋x ＋1 ＝x 3(x 3＋1)＋x (x ＋1)＋1， ∵x <－1，∴x 3<－1，x ＋1<0，∴x 3＋1<0， ∴x 3(x 3＋1)>0，x (x ＋1)>0，又1>0， ∴x <－1时，f (x )>0恒成立． 综上所述，函数f (x )的值恒大于零．。
2016-2017学年成才之路·人教B版数学·选修1-2练习：基本知能检测3 Word版含解析
第三章基本知能检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·四川文，1)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝导学号 96661066( ) A ．0 B ．2 C ．2i D ．2＋2i[答案] C[解析] (1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ．2．已知复数z ＝1－2i ，那么1z － )A.55＋255i B.55－255i C.15＋25i D.15－25i [答案] D[解析] 考查复数的运算及其共轭复数的概念． 1z －＝11＋2i＝1－2i5，∴选D.3．如果复数2－b i1＋2i 的实部和虚部互为相反数，则b )A. 2B.23 C ．－23D ．2[答案] C[解析] 2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(2－2b )－(4＋b )i 5，由题意得2－2b 5＝4＋b5，∴b ＝－23.4．复数1＋3i3－i 等于导学号 )A ．iB ．－i C.3＋i D.3－i[答案] A[解析] 1＋3i 3－i ＝(1＋3i )(3＋i )(3－i )(3＋i )＝4i4＝i.5．设a 、b 、c 、d ∈R ，若a ＋b ic ＋d i 为实数，则导学号 )A ．bc ＋ad ≠0B ．bc －ad ≠0C ．bc －ad ＝0D ．bc ＋ad ＝0 [答案] C [解析]a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i ，因为a ＋b i c ＋d i 为实数，所以其虚部bc －adc 2＋d2＝0，即bc －ad ＝0，故选C.6．若复数z ＝(a ＋i)2对应的点在虚轴的下半轴上，则实数a ( )A ．0B ．1C ．－1D ．±1[答案] C[解析] ∵z ＝(a ＋i)2＝a 2＋2a i ＋i 2＝(a 2－1)＋2a i由题意知⎩⎨⎧a 2－1＝02a <0，∴a ＝－1.7．设复数z 的共轭复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z ) A ．1＋i B ．1－i C ．2＋2i D ．2－2i[答案] A[解析] ∵(1＋i)z ＝2，∴z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2(1－i )2＝1－i ，∴z ＝1＋i.8．设a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由a ＋bi 为纯虚数，可知a ＝0，b ≠0，因此，a ＝0，b ≠0⇒ab ＝0，而ab ＝0⇒/a＝0，b ≠0，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．9．已知0<a <2，复数z ＝a －i(i 是虚数单位)，则|z | ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3) D ．(1,5)[答案] B[解析] |z |2＝a 2＋1，∵0<a <2,0<a 2<4⇒1<a 2＋1<5，∴1<|z |< 5.故选B. 10．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．1－3i[答案] A[解析] 由定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，∴z i ＋z ＝4＋2i.∴z ＝4＋2i1＋i＝3－i.11．i 是虚数单位，若1＋7i2－i ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则ab )A ．－15B ．－3C ．3D ．15[答案] B[解析] 1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－5＋15i5＝－1＋3i ，∴ab ＝－3.12．设f (z )＝1－z ，z 1＝2＋3i ，z 2＝5－i ，则f (z 1－z 2) ) A ．－4－4iB ．4＋4iC ．4－4iD ．－4＋4i[答案] C[解析] ∵z 1＝2＋3i ，z 2＝5－i ，∴z 1－z 2＝－3＋4i ， ∴f (z 1－z 2)＝1－(－3＋4i)＝4－4i.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．已知集合M ＝{1,2，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m ＋6)i}，m ∈R ，N ＝{－1,3}，满足M ∩N ≠∅，则m ＝[答案] 3[解析] 由M ∩N ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －1＝3m 2－5m ＋6＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝－1m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝3.14．(2015·天津文，9)i 是虚数单位，计算1－2i 2＋i 的结果为________[答案] －i[解析] 1－2i 2＋i ＝－i 2－2i 2＋i ＝－i (i ＋2)2＋i＝－i.15．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝[答案] 6－2i[解析] ∵z ·z ＝|z |2＝5，∴原式＝5＋(1－2i)＝6－2i.16．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为________________[答案] 34[解析] z 1z 2＝(1＋2i)[m ＋(m －1)i]＝(2－m )＋(3m －1)i.依题意，设2－m ＝3m －1，∴m ＝34，适合题意．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)复数z ＝(2＋i)m 2－6m1－i －2(1－i)，求实数m ，使复数z 分别是(1)零；(2)虚数；(3)纯虚数．[解析] z ＝(2＋i)m 2－6m2(1＋i)－2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.(1)若z 为零，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝2.(2)若z 为虚数，则m 2－3m ＋2≠0，∴m ≠1且m ≠2.(3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0，解得m ＝－12.18．(本题满分12分)已知复数z ＝1＋i ，如果z 2＋az ＋bz 2－z －1＝1－i ，求实数a 、b 的值．[解析] z 2＋az ＋b z 2－z －1＝(1＋i )2＋a (1＋i )＋b(1＋i )2－(1＋i )－1 ＝(a ＋b )＋(a ＋2)i －2＋i＝1－i.∴(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝(1－i)(－2＋i)＝－1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－1a ＋2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2. 即实数a 、b 的值分别为a ＝1，b ＝－2.19．(本题满分12分)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i ，求z .[解析] 设z ＝a ＋b i ，∴z ＝a －b i ， ∴z ·z －3i·z ＝(a 2＋b 2＋3b )－3a i ＝101－3i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＋3b ＝1－3a ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－3. ∴z ＝－1或z ＝－1－3i.20．(本题满分12分)复平面内有A 、B 、C 三点，点A 对应的复数是3＋i ，向量AC →对应的复数是－2－4i ，向量BC →对应的复数是－4－i ，求B [解析] 因为向量AC →对应的复数是－2－4i ，向量BC →对应的复数是－4－i ，所以AB →表示的复数是(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i ，故OB →＝OA →＋AB →对应的复数为(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i ，所以B 点对应的复数为5－2i.21．(本题满分12分)若复数z 满足|z ＋1|＝2|z －1|，试判断复数z 在复平面上对应点的轨迹图形，并求使|z |最大时的复数z [解析] 设复数z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则 |x ＋1＋y i|＝2|x －1＋y i|， ∴(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，化简得⎝⎛⎭⎫x －532＋y 2＝169. ∴z 在复平面上对应点的轨迹图形是以⎝⎛⎭⎫53，0为圆心，半径为43的圆，如图．由图形可知当z ＝3时，|z |最大．22．(本题满分14分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是(1)求复数z ；(2)设z 、z 2、z －z 2在复平面内对应点分别为A 、B 、C ，求△ABC 的面积． [解析] (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i.由题意，得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2， 解得a ＝b ＝1，或a ＝b ＝－1， 因此z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ， 所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，则S△ABC＝1.当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)、B(0,2)、C(－1，－3)，则S△ABC＝1.。
2022-2021学年成才之路·人教B版数学·选修1-2练习：第2章 推理与证明 2.2 第2课时
其次章 2.2第2课时一、选择题1．反证法是导学号 96660885 ()A．从结论的反面动身，推出冲突的证法B．对其否命题的证明C．对其逆命题的证明D．分析法的证明方法[答案] A[解析]反证法是先否定结论，在此基础上，运用演绎推理，导出冲突，从而确定结论的真实性．2．(2021～2022学年度河南新野高二阶段测试)用反证法证明“a＋b＋c>3，则a、b、c中至少有一个大于1”时，“假设”应为导学号 96660886 ()A．假设a、b、c中至少有一个小于1B．假设a、b、c中都小于等于1C．假设a、b、c至少有两个大于1D．假设a、b、c都小于1[答案] B[解析]“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故“a、b、c中至少有一个大于1”的反面是“a、b、c中都小于等于1.”3．应用反证法推出冲突的推导过程中要把下列哪些作为条件使用导学号 96660887 ()①结论相反推断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③[答案] C[解析]由反证法的定义可知为①②③.4．“M不是N的子集”的充分必要条件是导学号 96660888 ()A．若x∈M则x∉NB．若x∈N则x∈MC．存在x1∈M⇒x1∈N，又存在x2∈M⇒x2∉ND．存在x0∈M⇒x0∉N[答案] D[解析]按定义，若M是N的子集，则集合M的任一个元素都是集合N的元素．所以，要使M不是N 的子集，只需存在x0∈M但x0∉N.选D.5．用反证法证明命题：“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是导学号 96660889 ()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根[答案] A[解析]“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故选A.6．用反证法证明命题“a、b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个是5的倍数”时，反设正确的是导学号 96660890 ()A．a、b都是5的倍数B．a、b都不是5的倍数C．a不是5的倍数D．a、b中有一个是5的倍数[答案] B[解析]“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“都不是”．二、填空题7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．导学号 96660891[答案]存在一个三角形，其外角最多有一个钝角[解析]“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．设正实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．导学号 96660892[答案]13[解析]假设a、b、c都小于13，则a＋b＋c<1，“假设错误，故a、b、c中至少有一个数不小于13.”三、解答题9．证明：对于直线l：y＝kx＋1.不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax(a为常数)对称．导学号 96660893[解析]假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线l：y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；(2)点A、B在直线l：y＝kx＋1上；(3)直线AB的中点(x1＋x22，y1＋y22)在直线y＝ax上，所以⎩⎨⎧ka ＝－1， ①y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2， ②y 1＋y 22＝a x 1＋x22. ③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝3x 2－1得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0. ④ 由②③得a (x 1＋x 2)＝k (x 1＋x 2)＋2， ⑤ 由④知x 1＋x 2＝2k 3－k 2，代入⑤整理得ak ＝3.这与①冲突．所以假设不成立，故不存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称.一、选择题1．设a 、b ∈(0，＋∞)，则a ＋1b ，b ＋1a 导学号 96660894( )A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2[答案] D[解析] 假设a ＋1b <2，b ＋1a <2，则(a ＋1b )＋(b ＋1a )<4①.又a 、b ∈(0，＋∞)，所以a ＋1b ＋b ＋1a ＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )≥2＋2＝4，这与①式相冲突，故假设不成立，即a ＋1b ，b ＋1a至少有一个不小于2.2．已知x >0，y >0，x ＋y ≤4，则有导学号 96660895 ( ) A.1x ＋y ≤14 B.1x ＋1y ≥1 C.xy ≥2 D.1xy≥1 [答案] B[解析] 由x >0，y >0，x ＋y ≤4得1x ＋y ≥14，A 错；x ＋y ≥2xy ，∴xy ≤2，C 错；xy ≤4，∴1xy ≥14，D 错．3．已知数列{a n }、{b n }的通项公式分别为：a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是导学号 96660896 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个[答案] A[解析] 假设存在序号和数值均相等的两项，即存在n ，使得a n ＝b n ，但若a >b ，n ∈N *，恒有a ·n >b ·n ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立．∴不存在n ，使得a n ＝b n .故应选A.4．假如两个数之和为正数，则这两个数导学号 96660897 ( ) A ．一个是正数，一个是负数 B ．两个都是正数 C ．至少有一个是正数 D ．两个都是负数[答案] C[解析] 假设两个都是负数，其和必为负数． 二、填空题5．△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB >∠APC ，求证：∠BAP <∠CAP .用反证法证明时的假设为___________________________．导学号 96660898[答案] ∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP[解析] 反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP <∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP . 6．设a 、b 是两个实数，给出下列条件： 导学号 96660899①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2.其中能推出“a 、b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．[答案] ③[解析] 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①不能推出．若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出． 若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出． 对于③即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1. 反证法：假设a ≤1且b ≤1. 则a ＋b ≤2与a ＋b >2冲突．因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 三、解答题7．已知：非实数a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a ，1b ，1c 不行能成等差数列．导学号 96660900[证明] 假设1a ，1b ，1c 成等差数列．则2b ＝1a ＋1c.∴2ac ＝bc ＋ab ①又a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ② ∴把②代入①得2ac ＝b (a ＋c )＝b ·2b ∴b 2＝ac .③由②平方4b 2＝(a ＋c )2.把③代入4ac ＝(a ＋c )2，∴(a －c )2＝0.∴a ＝c . 代入②得b ＝a ，∴a ＝b ＝c . ∴公差为0，这与已知冲突． ∴1a ，1b ，1c不行能成等差数列． 8．已知a 、b 、c 、d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．[证明] 假设a 、b 、c 、d 都是非负数． ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1，∴(a ＋b )(c ＋d )＝1. 又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc >ac ＋bd . ∴ac ＋bd <1.这与已知ac ＋bd >1冲突， ∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 9．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．[证明] 假设存在x 0<0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0. 则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，这与假设x 0<0相冲突，故方程f (x )＝0没有负数根．。
1-1-2数学必修三成才之路
第一章
算法初步
下列关于程序框图的说法正确的是 ( A．程序框图是描述算法的语言 B．在框图中，一个判断框最多只能有两个退出点 C．程序框图虽可以描述算法，但不如用自然语言描 述算法直观 D．程序框图和流程图不是一个概念 )
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算法初步
[解析]
由于存在着一种多分支判断，所以一个判断
第一章
算法初步
[例5] 图．
画出计算22＋42＋62＋…＋1002的算法的程序框
[误解] 程序框图如图一所示 [辨析] 所画程序框图中有两处错误：一是判断框中 的内容错误，这样会导致少一次运算；二是处理框i＝i＋1 的错误．这样计算下来的是22＋42＋52＋….
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算法初步
[答案] D [解析] 由程序框图定义可知，①②③④都正确．
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算法初步
2．在程序框图中，算法中间要处理数据或计算，可分 别写在不同的 ( A．处理框内 C．输入、输出框内 [答案] A [解析] 内，∴选A. 由处理框的意义可知，对变量进行赋值，执 行计算语句，处理数据，结果的传送等都可以放在处理框 B．判断框内 D．循环框内 )
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算法初步
3．在程序框图中，一个算法步骤到另一个算法步骤的 连接用 A．连结点 C．流程线 [答案] C [解析] 流程线的意义是流程进行的方向，一个算法 步骤到另一个算法步骤表示的是流程进行的方向，故选C. 而连结点是当一个框图需要分开来画时，在断开处画上连 结点．判断框是根据给定条件进行判断，处理框是赋值、 计算、数据处理、结果传送，所以A、B、D都不对． B．判断框 D．处理框
成才之路人教版数学必修一1-1-2
一、选择题1．对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是()A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A[答案] C[解析]“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B 的元素．不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C.2．若集合M＝{x|x＜6}，a＝35，则下列结论正确的是() A．{a} M B．a MC．{a}∈M D．a∉M[答案] A[解析]∵a＝35＜36＝6，即a＜6，∴a∈{x|x＜6}，∴a∈M，∴{a} M.[点拨]描述法表示集合时，大括号内的代表元素和竖线后的制约条件中的代表形式与所运用的符号无关，如集合A＝{x|x＞1}＝B{y|y＞1}，但是集合M＝{x|y＝x2＋1，x∈R}和N＝{y|y＝x2＋1，x ∈R}的意思就不一样了，前者和后者有本质的区别．3．下列四个集合中，是空集的是()A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4}[答案] B[解析] 选项A 、C 、D 都含有元素．而选项B 无元素，故选B.4．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＜0，xy ＞0}，P ＝{(x ，y )|x ＜0，y ＜0}，则( )A ．P MB ．M PC ．M ＝PD ．M P [答案] C[解析] 本题考查两集合之间的关系，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＜0，xy ＞0得x ＜0，y ＜0，这与集合P 中的元素(x ，y )限定的条件相同，故M ＝P .5．设集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，则集合A ，B 间的关系为( )A ．A ＝BB ．A BC ．B AD ．以上都不对[答案] A[解析] A 、B 中的元素显然都是奇数，A 、B 都是有所有等数构成的集合．故A ＝B .选A.[探究] 若在此题的基础上演变为k ∈N .又如何呢？答案选B 你知道吗？6．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合是集合M 的子集的为( )A ．P ＝{－3,0,1}B ．Q ＝{－1,0,1,2}C ．R ＝{y |－π<y <－1，y ∈Z }D ．S ＝{x ||x |≤3，x ∈N }[答案] D[解析]先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M，且S M.故选D.7．已知集合M＝{(x，y)|3x＋4y－12＜0，且x，y∈N*}，则集合M的真子集的个数是()A．4 B．6C．7 D．8[答案] C[解析]因为M＝{(x，y)|3x＋4y－12＜0，且x，y∈N*}＝{(1,2)，(2,1)，(1,1)}，所以M的真子集有23－1＝7(个)．8．(2012－2013瓮安一中高一期末试题)设P，Q是两个非空集合，定义P×Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，若P＝{3,4,5}．Q＝{4,5,6,7}，则P×Q中元素的个数是()A．3 B．4C．7 D．12[答案] D[解析]根据定义，集合P×Q是一个由有序数对(a，b)组成的集合，所以分别为(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(5,7)，共12个．二、填空题9．设A＝{正方形}，B＝{平行四边形}，C＝{四边形}，D＝{矩形}，E＝{多边形}，则A、B、C、D、E之间的关系是________．[答案]A D B C E[解析] 由各种图形的定义可得．10．用适当的符号填空．(∈，∉，⊆，⊇， ， ，＝)a ________{b ，a }；a ________{(a ，b )}；{a ，b ，c }________{a ，b }；{2,4}________{2,3,4}；∅________{a }．[答案] ∈，∉， ， ，11．已知A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，定义集合A 、B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则集合A *B 中最大的元素是________，集合A *B 所有子集的个数是________．[答案] 5,16[解析] 由已知A *B ＝{2,3,4,5}，∴A *B 中最大元素是5.∵A *B 中共有4个元素，∴其子集共有24＝16.12．已知集合A ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则集合A 、B 满足的关系是________(用⊆， ，＝， 连接A 、B 的关系)．[答案] A B[解析] 解法1：用列举法，令k ＝－2，－1,0,1,2…可得A ＝{…－34，－14，14，34，54…}，B ＝{…0，14，12，34，1…}，∴A B .解法2：集合A 的元素为：x ＝k 2＋14＝2k ＋14(k ∈Z )，集合B 的元素为：x ＝k 4＋12＝k ＋24(k ∈Z )，而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴A B .[规律总结]本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k是任意整数，则k＋m(m是一个整数)也是任意整数，而2k＋1,2k－1均为任意奇数，2k为任意偶数．三、解答题13．判断下列表示是否正确：(1)a⊆{a}；(2){a}∈{a，b}；(3)∅ {－1,1}；(4){0,1}＝{(0,1)}；(5){x|x＝3n，n∈Z}＝{x|x＝6n，n∈Z}．[解析](1)错误．a是集合{a}的元素，应表示为a∈{a}．(2)错误．集合{a}与{a，b}之间的关系应用“ (⊆)”表示．(3)正确．空集是任何一个非空集合的真子集．(4)错误．{0,1}是一个数集，含有两个元素0,1，{(0,1)}是一个以有序实数对(0,1)为元素的集合，所以{0,1}≠{(0,1)}．(5)错误．集合{x|x＝3n，n∈Z}中的元素表示所有能被3整除的数，或者说是3的倍数，而{x|x＝6n，n∈Z}中的元素表示所有能被6整除的数，即是6的倍数，因此应有{x|x＝6n，n∈Z} {x|x＝3n，n ∈Z}．14．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B A，求m的值．[解析]∵A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，且B A.∴(1)当B＝∅时，方程mx＋1＝0无解，故m＝0；(2)当B≠∅时，则B＝{－1m}．若－1m ＝－3，则m ＝13；若－1m ＝2，则m ＝－12.综上知，m 的值为0，－12，13.15．已知A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}，当B ⊆A 时，求实数a 的取值范围．[解析] ∵A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}＝{x |x <－a 4}，∵A ⊇B ，∴－a 4≤－1，即a ≥4，所以a 的取值范围是a ≥4.16．设集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；(3)当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A . 当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，即2≤m ≤3. 综上，当B ⊆A 时，m 的取值范围是{m |m ≤3}．(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴集合A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)∵x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，∴当B ＝∅，即m ＋1>2m －1，得m <2时，符合题意； 当B ≠∅，即m ＋1≤2m －1，得m ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ＋1>5，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，2m －1<－2，解得m >4. 综上，所求m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．。
【成才之路】高中数学人教B版选修课件章末归纳总结_1
(1)求椭圆的离心率；
(2)求直线 AB 的斜率；
(3)设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 F2B 上有一点
H(m，n)(m≠0)在△AF1C 的外接圆上，求mn 的值．
[解析] (1)由 F1A∥F2B 且|F1A|＝2|F2B|， 得||EEFF21||＝||FF21BA||＝12， 从而aacc22－＋cc＝21，
已知椭圆x92＋y52＝1，F1、F2 分别是椭圆的左、右 焦点，点 A(1,1)为椭圆内一点，点 P 为椭圆上一点．求|PA|＋|PF1| 的最大值．
[解题提示] 利用椭圆的定义(|PF1|＋|PF2|＝2a)求解．
[解析] 由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， 所以|PF1|＝6－|PF2|，这样|PA|＋|PF1|＝6＋|PA|－|PF2|， 求|PA|＋|PF1|的最大值问题转化为求 6＋|PA|－|PF2|的最大 值问题，
(4)参数法． 如果动点P(x，y)的坐标x、y之间的关系不易找到，也没有 相关信息可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示， 然后通过计算消去参数得轨迹方程，此法称为参数法．参数法 中常选变角、变斜率等为参数．注意参数的取值范围对方程的 x和y的范围的影响．
如图所示，已知线段 AB＝4，动圆 O′与线段 AB 切于点 C，且|AC|－|BC|＝2 2，过点 A，B 分别作⊙O′的 切线，两切线相交于点 P，且点 P、O′在 AB 同侧，建立适当 的平面直角坐标系，当 O′位置变化时，求动点 P 的轨迹方程．
[解题提示] 由切线长定理可将|AC|－|BC|转化为|PA|－ |PB|，从而满足双曲线的定义．
[解析] 以 AB 的中点 O 为坐标原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系(如题图)，
2022-2021学年成才之路·人教B版数学·选修1-1练习：第1章 常用逻辑用语1.3 第2课时
第一章 1.3第2课时一、选择题1．(2021·山东文，5)设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是导学号96660148 ()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0[答案] D[解析]一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论都加以否定，并且加以互换位置，故选D.2．与命题“能被6整除的整数，肯定能被3整除”等价的命题是导学号 96660149 ()A．能被3整除的整数，肯定能被6整除B．不能被3整除的整数，肯定不能被6整除C．不能被6整除的整数，肯定不能被3整除D．能被6整除的整数，肯定不能被3整除[答案] B[解析]9能被3整除，但不能被6整除，排解A；9不能被6整除，但能被3整除，排解C；12能被6整除，也能被3整除，排解D.或依据一个命题的等价命题是其逆否命题推断．3．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是导学号 96660150 ()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题[答案] D[解析]∵原命题为真，逆命题为假，∴逆否命题为真，否命题为假．4．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的导学号96660151 ()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．无关命题[答案] A[解析]由原命题与逆命题的关系知，选A.5．命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是导学号 96660152 ()A．若α≠π4，则tanα≠1 B．若α＝π4，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠π4D．若tanα≠1，则α＝π4[答案] C[解析]本题主要考查命题的四种形式．由题意知：写逆否命题将原命题的题设结论否定再交换．关键点是原命题与逆否命题关系．6．假如命题“若p，则q”的逆命题是真命题，则下列命题肯定为真命题的是导学号 96660153 ()A．若p，则q B．若¬p，则¬qC．若¬q，则¬p D．以上都不对[答案] B[解析]由于命题，“若q，则p”为真，所以“若¬p，则¬q”为真．二、填空题7．命题“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题是________________．导学号 96660154[答案]若x>－3，则x2＋x－6≤08．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________；逆否命题是____________________．导学号 96660155[答案]逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；否命题：若x≠3，或y≠5，则x＋y≠8；逆否命题：若x＋y≠8，则x≠3，或y≠5.三、解答题9．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并推断它们的真假．导学号 96660156(1)若x2－5x－14＝0，则x＝7或x＝－2；(2)已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.[解析](1)逆命题：若x＝7或x＝－2，则x2－5x－14＝0.真．否命题：若x2－5x－14≠0，则x≠7且x≠－2.真．逆否命题：若x≠7且x≠－2，则x2－5x－14≠0.真．(2)“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件p，“a＋c＝b＋d”是结论q，所以逆命题是“已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d ”，假．否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a ＋c ≠b ＋d ”，假． 逆否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d ，则a ≠b 或c ≠d ”，真.一、选择题1．原命题：若a ＋b ≥2，则a 、b 中至少有一个不小于1，那么原命题与其逆命题的真假状况是导学号 96660157 ( )A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题真，逆命题真D ．原命题假，逆命题假[答案] A[解析] 命题“若a ＋b ≥2，则a 、b 中至少有一个不小于1”是真命题，其逆命题“若a 、b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2”是假命题，故应选A.2．命题“当AB ＝AC 时，△ABC 为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是导学号 96660158 ( )A ．4B ．3C ．2D ．0[答案] C[解析] 当AB ＝AC 时，△ABC 为等腰三角形为真，故逆否命题为真， 逆命题：△ABC 为等腰三角形，则AB ＝AC 为假， 故否命题为假． 3．命题“若x ＝3，则x 2－9x ＋18＝0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为导学号 96660159( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 命题“若x ＝3，则x 2－9x ＋18＝0”为真，故逆否命题为真，逆命题为假，故否命题为假． 4．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的推断依次如下，正确的是导学号 96660160 ( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 [答案] A[解析] a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，∴其否命题和逆否命题都是真命题，故选A.二、填空题5．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．导学号 96660161[答案] 假[解析] 假如：正方形ABCD 的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面． 6．设有两个命题：导学号 96660162 (1)关于x 的不等式mx 2＋1>0的解集是R ； (2)函数f (x )＝log m x 是减函数．假如这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m 的取值范围是________． [答案] m ≥1或m ＝0[解析] 命题p ：关于x 的不等式mx 2＋1>0的解集是R ，m ≥0； 命题q ：函数f (x )＝log m x 是减函数，0<m <1. p 假：m <0；q 假：m ≥1或m ≤0. p 真q 假：m ≥1或m ＝0； p 假q 真：无解．综上所述，m 的取值范围是：m ≥1或m ＝0. 三、解答题7．证明：对任意非正数c ，若有a ≤b ＋c 成立，则a ≤b . 导学号 96660163 [解析] 若a >b ，由c ≤0知b ≥b ＋c ， ∴a >b ＋c .∴原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题， 即对任意c ≤0，若有a ≤b ＋c 成立， 则a ≤b .8．命题“假如m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论． 导学号 96660164[证明] 证法一：是真命题． ∵m >0，∴Δ＝1＋4m >0.∴方程x 2＋x －m ＝0有实根，故原命题“假如m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”是真命题． 又因原命题与它的逆否命题等价．∴命题“假如m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题也是真命题． 证法二：是真命题．原命题“假如m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为“假如x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”． ∵x 2＋x －m ＝0无实根，∴Δ＝1＋4m <0，m <－14≤0，故原命题的逆否命题为真命题．9．已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若¬q 为真，则¬p 必为真，求实数m 的取值范[解析] 由题意可知，¬q ⇒¬p ，等价于p ⇒q . 设A ＝{x ||1－x －13|≤2}，B ＝{x |x 2－2x ＋1－m 2≤0，m >0}． p ⇒q 等价于A ⊆B .又|1－x －13|≤2⇒－2≤x ≤10，x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)⇒(x －1)2≤m 2(m >0)， 1－m ≤x ≤1＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2⇒m ≥9. 故m 的取值范围是[9，＋∞)．。
2022-2021学年成才之路·人教B版数学·选修1-1、1-2 综合能力检测
选修1－1、1－2综合力量检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2022·全国卷Ⅰ文，2)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝导学号 96661198( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3[答案] A[解析] (1＋2i)(a ＋i)＝(a －2)＋(2a ＋1)i ，由已知条件，得a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3．故选A ． 2．命题“存在x ∈Z ，x 2＋2x ＋m ≤0)A ．存在x ∈Z ，x 2＋2x ＋m >0B ．不存在x ∈Z ，x 2＋2x ＋m >0C ．任意x ∈Z ，x 2＋2x ＋m >0D ．任意x ∈Z ，x 2＋2x ＋m ≥0 [答案] C[解析] 将“存在”改为“任意”，将“≤”改为“>”即可，故选C. 3．双曲线x 24－y 25＝1 )A ．y ＝±54xB ．y ＝±52xC ．y ＝±55xD ．y ＝±255x[答案] B[解析] ∵a 2＝4，b 2＝5，∴a ＝2，b ＝5， 故双曲线x 24－y 25＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±52x .4．以双曲线x 23－y 2＝1 )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x [答案] D[解析] ∵双曲线的左焦点为(－2,0)，故抛物线方程为y 2＝－8x .5．已知p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1,2}，由它们构成的新命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“¬p)A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] B[解析] p 是真命题，q 是假命题，∴p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，¬p 是假命题，故选B. 6．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x) ) A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数 B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数 D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数 [答案] B[解析] 命题“若p 则q ”的否命题为“若¬p ，则¬q ”，而“是”的否定是“不是”，故选B. 7．“x <0”是“ln(x ＋1)<0 ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 由ln(x ＋1)<0，得0<x ＋1<1， ∴－1<x <0.故“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的必要不充分条件．8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C)A.x 220－y 25＝1 A.x 25－y 220＝1 A.x 280－y 220＝1 A.x 220－y 280＝1 [答案] A[解析] 依据双曲线标准方程中系数之间的关系求解． ∵x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±ba x ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba＝1，即a ＝2b .② 由①②解得a ＝25，b ＝5，故选A.9．用支付宝在淘宝网购物有以下几步：①买家选好商品，点击购买按钮，并付款到支付宝；②淘宝网站收到买家的收货确认信息，将支付宝里的货款付给卖家；③买家收到货物，检验无问题，在网上确认收货；④买家登录淘宝网选择商品；⑤卖家收到购买信息，通过物流公司发货给买家．它们正确的挨次依次为导学号 966601206 ( )A ．④①⑤③②B ．④①③②⑤C ．④③②①⑤D ．⑤④①③②[答案] A[解析] 依据支付宝在淘宝网购物的具体流程，可得第一步：买家登录淘宝网选择商品；其次步：买家选好商品，点击购买按钮，并付款到支付宝；第三步：卖家收到购买信息，通过物流公司发货给买家；第四步：买家收到货物，检验无问题，在网上确认收货；第五步：淘宝网站收到买家的收货确认信息，将支付宝里的货款付给卖家．10．如图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中肯定不正确的序号是导学号 966601207 ( )A ．③④B ．①②C ．②③D ．②④[答案] A[解析] 当导数大于零时，对应函数图象单调递增；当导数小于零时，对应函数图象单调递减，据此通过图象单调性推断可知③④明显不正确．11．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则导学号 966601208 ( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的微小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的微小值点 [答案] D[解析] ∵f (x )＝2x ＋ln x (x >0)，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x .由f ′(x )＝0解得x ＝2.当x ∈(0,2)时， f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时， f ′(x )>0，f (x )为增函数． ∴x ＝2为f (x )的微小值点． 12．已知圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)的面积为S ＝πr 2，由此推理椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的面积最有可能是导学号 966601209 ( )A ．πa 2B ．πb 2C ．πabD ．π(ab )2[答案] C[解析] r 2类比ab ，应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．若复数z ＝a 2－i1＋2i 对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是________．导学号 966601210 [答案] (－2，2)[解析] z ＝a 2－i 1＋2i ＝(a 2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a 2－2－(2a 2＋1)i 5，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2<0－(2a 2＋1)<0，∴－2<a < 2.14．cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14，cos π7cos 2π7cos 3π7＝18，….依据以上等式，可猜想出的一般结论是________________________________．导学号 966601211[答案] cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *)[解析] 由前三个等式左边角的分母为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边为12n ，可猜想一般结论：cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *) 15．为加强素养训练，使同学各方面全面进展，某学校对同学文化课与体育课的成果进行了调查统计，结果如下：导学号 966601212体育课不及格体育课及格合计 文化课及格 57 221 278 文化课不及格16 43 59 合计73264337．(精确到0.001)[答案] 1.255 [解析]χ2＝337×(57×43－16×221)2278×59×73×264≈1.255.16．(2022·全国卷Ⅲ文，8)执行下面的程序框图，假如输入的a ＝4，b ＝6，那么输出的n ＝________．导学号 96661213[答案] 4[解析] 第一次循环，a ＝2，b ＝4，a ＝6，s ＝6，n ＝1； 其次次循环，a ＝－2，b ＝6，a ＝4，s ＝10，n ＝2； 第三次循环，a ＝2，b ＝4，a ＝6，s ＝16，n ＝3；第四次循环，a ＝－2，b ＝6，a ＝4，s ＝20，n ＝4，此时s ＝20>16，退出循环，输出的n ＝4． 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知复数z 1＝(a 2－a )＋3a i ，导学号 966601214z 2＝－2－a 2i ，问：当a 为何实数时 (1)z ＝z 1－z 2为虚数；(2)z ＝z 1＋z 2在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上； (3)z 1>z 2.[解析] (1)z ＝z 1－z 2＝(a 2－a ＋2)＋(3a ＋a 2)i ， 由于z 为虚数，所以3a ＋a 2≠0， 所以a ≠0且a ≠－3.(2)z ＝z 1＋z 2＝(a 2－a －2)＋(3a －a 2)i ，依题意：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝03a －a 2<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝2a >3或a <0，所以a ＝－1.(3)由于z 1>z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝0－a 2＝0a 2－a >－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0a ∈R，所以a ＝0.18．(本题满分12分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得弦长为15，求抛物线的方程．导学号 966601215[解析] 依题意，设抛物线方程为y 2＝2px ， 将y ＝2x ＋1代入得4x 2－2(p －2)x ＋1＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝p －22x 1·x 2＝14，∴弦长为1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·p 2－4p4＝15. ∴p ＝6或p ＝－2.∴所求的抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0.求实数p 的取值范围．导学号 966601216[解析] 设q ：在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0，则¬p ：在[－1,1]上的全部实数x ，都有f (x )≤0成立．又由二次函数的图象(如图)特征可知：⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0⇒⎩⎨⎧p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3，∴Q ＝{p |≥32或p ≤－3}．∴∁R Q ＝{p |－3<p <32}．故p 的取值范围是－3<p <32.20．(本题满分12分)(2022·四川文，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P (3，12)在椭圆E 上．导学号 96661217(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |．[解析] (Ⅰ)由已知，a ＝2b ．又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (3，12)，故34b 2＋14b 2＝1，解得b 2＝1．所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1．(Ⅱ)设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，①方程①的判别式为Δ＝4(2－m 2)，由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2<m <2． 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，所以M 点的坐标为(－m ，m 2)，直线OM 的方程为y ＝－12x ，由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C (－2，22)，D (2，－22)或C (2，－22)，D (－2，22)． 所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2)． 又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54(2－m 2)，所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |．21．(本题满分12分)十一黄金周，记者通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满足，得到如下的列联表：导学号 966601218单位：名性别与对景区的服务是否满足男 女 合计 满足 50 30 80 不满足 10 20 30 合计6050110(1)从这505的样本，问样本中满足与不满足的女游客各有多少名？(2)从(1)中的5名女游客样本中随机选取两名进行深度访谈，求选到满足与不满足的女游客各1名的概率． (3)依据以上列联表，问有多大把握认为“游客对景区的服务是否满足与性别有关”．[解析] (1)依据分层抽样可得：样本中满足的女游客为550×30＝3(名)，样本中不满足的女游客为550×20＝2(名)．(2)记样本中对景区的服务满足的3名女游客分别为a 1，a 2，a 3，对景区的服务不满足的2名女游客分别为b 1，b 2，从5名女游客中随机选取两名，共有10个基本大事，分别为： (a 1，a 2)、(a 1，a 3)、(a 1，b 1)、(a 1，b 2)、(a 2，a 3)、(a 2，b 1)、(a 2，b 2)、(a 3，b 1)、(a 3，b 2)、(b 1，b 2)，其中大事A ：选到满足与不满足的女游客各一名，包含了6个基本大事，分别为：(a 1，b 1)、(a 1，b 2)、(a 2，b 1)、(a 2，b 2)、(a 3，b 1)、(a 3，b 2)．所以所求概率P (A )＝610＝35.(3)依据题目中列联表得χ2＝110×(50×20－30×10)280×30×60×50≈7.486>6.635，有99%的把握认为，该景区游客对景区的服务是否满足与性别有关． 22．(本题满分14分)已知a 为实数， f (x )＝(x 2－4)(x －a )．(1)求导数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求f (x )在[－2,2]上的最大值和最小值；(3)若f (x )在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a 的取值范围． [解析] (1)由原式得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ， ∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4. (2)由f ′(－1)＝0得a ＝12，此时有f (x )＝(x 2－4)(x －12)，f ′(x )＝3x 2－x －4.由f ′(x )＝0得x ＝43或x ＝－1.又f (43)＝－5027， f (－1)＝92， f (－2)＝0, f (2)＝0，所以f (x )在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.(3)f ′(x )＝3x 2－2ax －4的图象为开口向上且过点(0，－4)的抛物线，由条件得f ′(－2)≥0, f ′(2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋8≥08－4a ≥0，∴－2≤a ≤2. 所以a 的取值范围为[－2,2]．。
2022-2021学年成才之路·人教B版数学·选修1-2练习：综合能力检测
选修1－2综合力量检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z＝1＋2i，则z2－2z等于导学号 966601176 ()A．－3B．3C．－3i D．3i[答案] A[解析]∵z＝1＋2i，∴z2＝(1＋2i)2＝1＋22i－2＝－1＋22i.∴z2－2z＝－1＋22i－2－22i＝－3.简解：z2－2z＝z(z－2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－2－1＝－3.2．有这样一段演绎推理“有些有理数是分数，整数又是有理数，则整数是分数”，结论明显是错误的，错误的缘由是导学号 966601177 ()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误[答案] C[解析]整数这个整体属于有理数的范围，但不满足大前提中的结论，由于大前提不是对全部的有理数加以定义的，故推理形式错误．3．对下列三种图形，正确的表述为导学号 966601178 ()A．它们都是流程图B．它们都是结构图C．(1)(2)是流程图，(3)是结构图D．(1)是流程图，(2)(3)是结构图[答案] D[解析]结合流程图和结构图的特征可知D选项正确．4．在如图所示的各图中，两个变量具有相关关系的是导学号 966601179 ()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(2)(4) D．(2)(3)[答案] D[解析](1)为函数关系，(4)关系不明显，(2)(3)具有相关关系．5．下列说法中，正确的是导学号 966601180 ()①回归方程适用于一切样本和总体；②回归方程一般都有时间性；③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．A．①②B．②③C．③④D．①③[答案] B[解析]①回归方程只适用于我们所争辩的样本和总体，故①错误．④回归方程得到的预报值可能是取值的平均值，故④是错误的．6．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是导学号 966601181 ()A．a k＋a k＋1＋…＋a2k B．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2k D．a k－1＋a k＋…＋a2k－2[答案] D[解析]由归纳推理可知D正确．7．给出下面类比推理：①“若2a<2b，则a<b”类比推出“若a2<b2，则a<b”；②“(a＋b)c＝ac＋bc(c≠0)”类比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”；③“a、b∈R，若a－b＝0，则a＝b”类比推出“a、b∈C，若a－b＝0，则a＝b”(C为复数集)；④“a、b∈R，若a－b>0，则a>b”类比推出“a、b∈C，若a－b>0，则a>b(C为复数集)”．其中结论正确的个数为导学号 966601182 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] ①明显错误；∵复数不能比较大小，∴④错误；②③正确．8．观看：6＋15<211， 5.5＋15.5<211，4－2＋17＋2<211，…，对于任意的正实数a 、b ，使a ＋b <211成立的一个条件可以是导学号 966601183 ( )A ．a ＋b ＝20B ．a ＋b ＝21C ．ab ＝20D ．ab ＝21 [答案] B[解析] 由给出的三个不等式观看其特点可得a ＋b ＝21.9．分类变量X 和Y 的列联表为下表，则下列说法正确的是导学号 966601184 ( )y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋dA.ad －bc 越小，说明X 和Y B ．ad －bc 越大，说明X 和Y 关系越强 C ．(ad －bc )2越大，说明X 与Y 关系越强 D ．(ad －bc )2越接近于0，说明X 与Y 关系越强 [答案] C[解析] χ2＝(a ＋b ＋c ＋d )(ad －bc )2(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d )，∴(ad －bc )2越大，说明X 、Y 关系越强．10．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于导学号 966601185 ( ) A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] D[解析] ∵(2－i)2＝4－4i －1＝3－4i ，∴复数(2－i)2对应的点(3，－4)位于复平面内的第四象限．11．假如执行如图所示的框图，输入如下四个复数：①Z ＝12i ；②z ＝－14＋34i ；③z ＝22＋12i ；④z ＝12－32i ，那么输出的复数是导学号 966601186 ( )A ．①B ．②C ．③D ．④[答案] D[解析] |z |＝|12－32i|＝(12)2＋(32)2＝1.故选D. 12．已知a <b ，则在下列的一段推理过程中，错误的推理步骤是导学号 966601187 ( ) ∵a <b ，∴a ＋a <b ＋a ，即2a <b ＋a ，…① ∴2a －2b <b ＋a －2b ，即2(a －b )<a －b ，…② ∴2(a －b )·(a －b )<(a －b )·(a －b )， 即2(a －b )2<(a －b )2.…③∵a <b ，∴(a －b )2>0，∴可证得2<1.…④ A ．① B ．② C ．③ D ．④[答案] C[解析] 步骤③，由于a <b ，所以a －b <0，依据“不等式两边同乘一个负数，不等号方向转变”，步骤③错误．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．观看下列等式： 导学号 9666011881＝1，1－4＝－(1＋2)， 1－4＋9＝1＋2＋3，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)， 1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5， ……猜想第n 个式子为________．[答案] 1－22＋32＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )．14．设z ＝(4－3i )4(3－i )6(1－i )12，则|z |＝__________.导学号 966601189[答案] 625[解析] ∵z ＝(4－3i )4(3－i )6(1－i )12 ∴|z |＝|4－3i|4·|3－i|6|1－i|12＝54·26(2)12＝54＝625. 15．程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是________．导学号 966601190[答案] 127[解析] 本题考查程序框图的基本学问．输入a ＝1，循环一次时，a ＝3，循环二次时，a ＝7，循环三次时，a ＝15，循环四次时，a ＝31，循环五次时，a ＝63，循环六次时，a ＝127，此时循环终止，输出127.16．(2022·四川文，15)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′(yx 2＋y 2，－xx 2＋y 2)；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．现有下列命题：导学号 96661191 ①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”肯定共线． 其中的真命题是________(写出全部真命题的序号)． [答案] ②③[解析] 对于①，设A (0,3)，则A 的“伴随点”为A ′(13，0)，但是A ′(13，0)的“伴随点”为(0，－3)，与A 不同，所以①错误；对于②，设单位圆C ：x 2＋y 2＝1上的点P (x ，y )，点P 的“伴随点”为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝yx 2＋y 2y ′＝－xx 2＋y2，所以x ′2＋y ′2＝y 2(x 2＋y 2)2＋(－x )2(x 2＋y 2)2＝1x 2＋y2＝1，所以②正确；对于③，设P (x ，y )的“伴随点”为P ′(y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2)，P 1(x ，－y )的“伴随点”为P ′1(－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2)，易知P ′(yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2)与P ′1(－yx 2＋y 2，－xx 2＋y 2)关于y 轴对称，所以③正确；对于④，设原直线的解析式为Ax ＋By ＋C ＝0，其中A ，B 不同时为0，且P (x 0，y 0)为该直线上一点，P (x 0，y 0)的“伴随点”为P ′(x ′，y ′)，其中P ，P ′都不是原点，且⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y 0x 2＋y 2y ′＝－x0x 20＋y20，则x 0＝－(x 20＋y 20)y ′，y 0＝(x 20＋y 20)x ′，将P (x 0，y 0)代入原直线方程，得－A (x 20＋y 20)y ′＋B (x 20＋y 20)x ′＋C ＝0，则－Ay ′＋Bx ′＋C x 20＋y 20＝0，由于x 20＋y 20的值不确定，所以“伴随点”不肯定共线，所以④错误．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)调查某桑场采桑员和帮助工关于桑毛虫皮炎发病状况结果如表： 导学号 966601192采桑 不采桑 合计 患者人数 18 12 健康人数 5 78 合计利用2×2概率是多少？[解析] 由于a ＝18，b ＝12，c ＝5，d ＝78，所以a ＋b ＝30，c ＋d ＝83，a ＋c ＝23，b ＋d ＝90，n ＝113. 所以χ2＝n (ad －bc )3(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝113×(18×78－5×12)230×83×23×90≈39.6>6.635.所以有99%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系．认为两者有关系会犯错误的概率是1%. 18．(本题满分12分)求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．导学号 966601193 [证明] ∵a 2＋b 2≥2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ， ∴a 2＋b 2≥22|a ＋b |≥22(a ＋b )， 同理b 2＋c 2≥22(b ＋c )，c 2＋a 2≥22(c ＋a )， ∴a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．19．(本题满分12分)某居民区的物业管理部门每月向居民收取卫生费，计费方法是：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元，请设计一个表示按人数收取卫生费的流程图．导学号 966601194[解析] 流程图如图所示：20．(本题满分12分)已知复数z 满足：|z |＝1＋3i －z ，求(1＋i )2(3＋4i )22z 的值．导学号 966601195[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，而|z |＝1＋3i －z ， 即a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋a －1＝0b －3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝3.∴z ＝－4＋3i ，∴(1＋i )2(3＋4i )22z ＝2i (－7＋24i )2(－4＋3i )＝24＋7i 4－3i＝3＋4i.21．(本题满分12分)实数a 、b 、c 、d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1. 求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数． 导学号 966601196[证明] 假设a 、b 、c 、d 中全都是非负数， 即a 、b 、c 、d ≥0，由a ＋b ＝c ＋d ＝1，得(a ＋b )(c ＋d )＝1，即ac ＋ad ＋bc ＋bd ＝1， ∴ac ＋bd ＝1－ad －bc ≤1. 与条件ac ＋bd >1冲突．故a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．22．(本题满分14分)化学反应中催化剂能加快化学反应，现统计肯定量的高锰酸钾加热后生成的氧气的体积x 与加热时间y 的一组数据，如下表.导学号 966601197 x 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 y /分钟100200210185155135170205235125(1)(2)求回归直线方程．[解析] (1)用x 轴表示生成的氧气体积，y 轴表示加热时间，可作散点图，如图所示．由图可知，各点分布在一条直线四周，它们呈线性相关关系．(2)设所求的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.计算得x ＝159.8，y ＝172，∑i ＝110x i y i ＝287 640，∑i ＝110x 2i ＝265 448，则b ^＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2≈1.267，a ^＝y －b ^x ＝172－1.267×159.8≈－30.47. ∴回归直线方程为y ^＝1.267x －30.47.。
2022-2021学年成才之路·人教B版数学·选修1-1练习：基本知能检测2
其次章基本知能检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列曲线中离心率为62的是导学号 ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 [答案] B[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的离心率e ＝4＋22＝62. 2．平面上有两个定点A 、B 及动点P ，命题甲：“|P A |－|PB |是定值”，命题乙“点P 的轨迹是以A 、B)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 当|P A |－|PB |＝|AB |时，点P 的轨迹是一条射线，故甲⇒/乙，而乙⇒甲，故选B.3．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为)A.x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 [答案] B[解析] ∵抛物线焦点为(2,0)，∴m 2－n 2＝2，又m 2－n 2m ＝12，∴m ＝4，n ＝12. 4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 [答案] A[解析] 依据双曲线标准方程中系数之间的关系求解． ∵x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2. ①又双曲线渐近线方程为y ＝±ba x ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba＝1，即a ＝2b . ② 由①②解得a ＝25，b ＝5，故选A.5．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4 ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆[答案] C[解析] sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．6．(2021·湖北文，9)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m ＞0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C2 )A ．对任意的a 、b ，e 1＜e 2B ．当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2C ．对任意的a 、b ，e 1＞e 2D ．当a ＞b 时，e 1＞e 2；当a ＜b 时，e 1＜e 2 [答案] B[解析] 不妨设双曲线C 1的焦点在x 轴上，即其方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1，则双曲线C 2的方程为：x 2(a ＋m )2－y 2(b ＋m )2＝1，所以e 1＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2，e 2＝(a ＋m )2＋(b ＋m )2a ＋m＝1＋(b ＋m )2(a ＋m )2，当a >b 时，b ＋m a ＋m －b a＝(b ＋m )a －b (a ＋m )(a ＋m )a ＝(a －b )m (a ＋m )a >0，所以b ＋m a ＋m >b a ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>⎝⎛⎭⎫b a 2，所以e 2>e 1；当a <b 时，b ＋m a ＋m －ba ＝(b ＋m )a －b (a ＋m )(a ＋m )a ＝(a －b )m (a ＋m )a <0，所以b ＋m a ＋m <ba ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2<⎝⎛⎭⎫b a 2，所以e 2<e 1；故应选B. 7．已知抛物线x 2＝4y 的焦点F 和点A (－1,8)，点P 为抛物线上一点，则|P A|＋|PF |)A ．16B ．6C ．12D ．9[答案] D [解析] 如图，过点A 作准线的垂线，B 为垂足，与抛物线交于一点P ，则点P 为所求的点，|P A |＋|PF |的最小值为|AB |的长度．8．(2021·重庆文，9)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1、A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B 、C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为导学号 96660414 ( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．±2[答案] C[解析] 由已知得右焦点F (c,0)(其中c 2＝a 2＋b 2，c >0)，A1(－a,0)，A 2(a,0)；B (c ，－b 2a )，C (c ，b 2a)；从而A 1B ―→＝(c ＋a ，－b 2a )，A 2C →＝(c －a ，b 2a )，又由于A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B ―→·A 2C ―→＝0，即(c －a )·(c ＋a )＋(－b 2a )·(b 2a )＝0；化简得到b 2a 2＝1⇒ba＝±1，即双曲线的渐进线的斜率为±1；故选C. 9．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为导学号96660415 ( )A.54 B ．5 C.52D. 5[答案] D[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝b ax ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax y ＝x 2＋1消去y ，得x 2－bax ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝⎛⎭⎫b a 2－4＝0，所以b a ＝2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝5，故选D.10．在抛物线y 2＝8x 中，以(1，－1)为中点的弦的方程是导学号 96660416 ( ) A ．x －4y －3＝0 B ．x ＋4y ＋3＝0 C ．4x ＋y －3＝0 D ．4x ＋y ＋3＝0[答案] C[解析] 设弦的两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 1≠x 2)，则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2)， 又y 1＋y 2＝－2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－4，∴弦所在直线的斜率为－4，又过点(1，－1)，∴所求直线方程为4x ＋y －3＝0.11．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点导学号 96660417 ( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)[答案] B[解析] ∵直线x ＋2＝0恰好为抛物线y 2＝8x 的准线，由抛物线定义知，动圆必过抛物线焦点(2,0)． 12．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是导学号 96660418 ( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1][答案] B[解析] 利用直线P A 2斜率的取值范围确定点P 变化范围的边界点，再利用斜率公式计算直线P A 1斜率的边界值．由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P 在椭圆上得点P (2619，2419)，此时直线P A 1的斜率k＝38.同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P (27，127)，此时直线P A 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线P A 1斜率的取值范围是[38，34]．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________．导学号 96660419[答案] 12[解析] ∵AB ＝2c ＝4，∴c ＝2. 又AC ＋CB ＝5＋3＝8＝2a ，∴a ＝4. 即椭圆的离心率为c a ＝12.14．(2022·山东文，14)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．导学号 96660420[答案] 2[解析] 如图，不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，则AB 的中点为F 1，故|DF 1|＝52，|DF 2|＝32，依据双曲线的定义知2a ＝1，又2c ＝2，所以该双曲线的离心率为2c2a＝2．15．抛物线形拱桥的跨度是20m ，拱高是4m ，每隔4m 用一支柱支撑，其中最长支柱的长是________．导学号 96660421[答案] 3.84 m[解析] 如图，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线方程为：x 2＝－2py (p >0) 点A (10，－4)在抛物线上， ∴100＝8p ，p ＝252，∴x 2＝－25y ，其中最长一根长柱与抛物线的交点为B (x 0，y 0)， 由题意知x 0＝2，∴y 0＝－425，∴最长的支柱长为4－425＝9625＝3.84(m)．16．以下四个关于圆锥曲线的命题：导学号 96660422①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，|P A →|－|PB →|＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上肯定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若OP →＝12(OA →＋OB →)，则动点P 的轨迹为椭圆；③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点．其中正确命题的序号是________． [答案] ③④[解析] 双曲线的定义是：平面上与两个定点A ，B 的距离的差的确定值为常数2a ，且0<2a <|AB |，那么点P 的轨迹为双曲线，故①错；由OP →＝12(OA →＋OB →)得点P 为弦AB 的中点，其轨迹为圆，故②错；设2x 2－5x ＋2＝0的两根为x 1，x 2，则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝52，x 1x 2＝1，由此可知两根互为倒数，且均为正，故③正确；x 225－y 29＝1的焦点坐标为(±34，0)，x 235＋y 2＝1的焦点坐标为(±34，0)，故④正确． 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB所在的直线方程．导学号 96660423[解析] 如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，设A 、B 到准线的距离分别为d A 、d B ，由抛物线的定义知， |AF |＝d A ＝x 1＋p2，|BF |＝d B ＝x 2＋p2，于是|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2时，|AB |＝2p <52p ，不合题意，故直线AB 与Ox 不垂直． 设直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)y 2＝2px ， 得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0， x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2，即p (k 2＋2)k 2＝32p ， 解得k ＝±2，∴直线AB 的方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p 2)．18．(本题满分12分)若已知椭圆x 210＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2b ＝1有相同的焦点，又椭圆与双曲线交于点P ⎝⎛⎭⎫103，y ，求椭圆及双曲线的方程．导学号 96660424[解析] 由椭圆与双曲线有相同的焦点得 10－m ＝1＋b ，即m ＝9－b ， ①由点P ⎝⎛⎭⎫103，y 在椭圆、双曲线上，得y 2＝89m ，② y 2＝b 9，③ 解由①、②、③组成的方程组得m ＝1，b ＝8， ∴椭圆方程为x 210＋y 2＝1，双曲线方程为x 2－y 28＝1. 19．(本题满分12分)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m . 导学号 96660425 (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围． (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[解析] (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.由于直线与椭圆有公共点． 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 由韦达定理，得x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)． 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2[4m 225－45(m 2－1)] ＝2510－8m 2，所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x .20．(本题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点；又抛物线与双曲线的一个交点为M ⎝⎛⎭⎫32，－6，求抛物线和双曲线的方程．导学号 96660426 [解析] ∵抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个交点为M ⎝⎛⎭⎫32，－6，∴设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，将点M 坐标代入得p ＝2， ∴y 2＝4x ，其准线为x ＝－1，∵抛物线的准线过双曲线的一个焦点，∴双曲线的焦点为(±1,0)且点M ⎝⎛⎭⎫32，－6在双曲线上，∴a 2＝14，b 2＝34， 则双曲线的方程为4x 2－4y 23＝1． 21．(本题满分12分)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．导学号 96660427(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程． [解析] (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4. 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)解法一：设A ，B 两点的坐标分别为(x A ，x B )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O 、A 、B 三点共线且点A 、B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx . 将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2λ＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k2. 又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .22．(本题满分14分)(2021·陕西文，20)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.导学号 96660428(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P 、Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.[解析] (1)由题意知c a ＝22，b ＝1由a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，得椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，化简得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2，由已知Δ＞0, 从而直线AP与AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2.化简得，k AP ＋k AQ ＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2.。
2022-2021学年成才之路·人教B版数学·选修1-1练习：第1章 常用逻辑用语1.2 第2课时
第一章 1.2第2课时一、选择题1．设命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则¬p 为导学号 96660091 ()A．∃x0∈R，x20＋1>0 B．∃x0∈R，x20＋1≤0C．∃x0∈R，x20＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤0[答案] B[解析]全称命题的否定是存在性命题，故选B.2．由下列各组命题构成的复合命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“¬p”为真的一组为导学号96660092 ()A．p:2∈Q，q:∅AB．p:π<3，q:5>3C．p:a∈{a，b}，q:{a}{a，b}D．p:Q R，q:N＝Z[答案] B[解析]若¬p为真，则p为假，又p∨q为真，p∧q为假，所以q真．故选B.3．已知全集S＝R，A⊆S，B⊆S，若命题p:2∈(A∪B)，则命题“¬p”是导学号 96660093 ()A.2∉AB.2∈∁S BC.2∉(A∪B)D.2∈(∁S A)∩(∁S B)[答案] D[解析]由于p:2∈(A∪B)，所以¬p:2∉(A∪B)，即2∈∁S(A∪B)，所以2∈(∁S A)∩(∁S B)．故选D.4．若命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题，则下列各结论中，正确的是导学号 96660094 ()①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题．A．①③B．②④C．②③D．①④[答案] A[解析](¬p)∨(¬q)为假，故(¬p)与(¬q)均为假，所以p、q均为真，所以①③正确．5．(2021·湖北文，3)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是导学号 96660095 ()A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1[答案] A[解析]由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1，故应选A.6．已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是导学号 96660096 ()A．p∧q B．(¬p)∧qC．p∧(¬q) D．(¬p)∧(¬q)[答案] B[解析]当x＝0时，有2x＝3x，故命题p是假命题；∴¬p为真命题．如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，∴命题q是真命题，故选B.二、填空题7．“三个数a、b、c不全为0”的否定是________．导学号 96660097[答案]三个数a、b、c全都为0[解析]“不全为”的否定是“全都为”．8．已知p(x):x2＋2x－m>0，假如p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．导学号 96660098[答案][3,8)[解析]∵p(1)是假命题，p(2)是真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－m≤08－m>0，解得3≤m<8.三、解答题9．已知命题p：方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数；q：方程2x2－26x＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题，并指出其真假．导学号 96660099 [解析]“p或q”的形式：方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数或不相等．“p且q”的形式：方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数且不相等．“非p ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0无实根． ∵Δ＝24－24＝0，∴方程有相等的实根，故p 真，q 假． ∴“p 或q ”真，“p 且q ”假，“非p ”假.一、选择题1．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列推断正确的是导学号 966600100 ( )A ．p 为真B ．¬q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真[答案] C[解析] 本题考查命题真假的推断．p 为假命题，q 为假命题．所以p ∧q 为假命题． 对“p ∧q ”真假判定：全真为真，一假则假． 2．(2022·重庆文)已知命题 p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0； q ：x ＝1是方程 x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是导学号 966600101( ) A ．p ∧(¬q ) B ．(¬p )∧q C ．(¬p )∧(¬q ) D ．p ∧q [答案] A[解析] 由题意知，命题p 是真命题，命题q 是假命题，故¬p 是假命题，¬q 是真命题，故p ∧(¬q )是真命题，故选A.3．设a 、b 、c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是导学号 966600102 ( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．p ∨(¬q ) [答案] A[解析] 取a ＝c ＝(1,0)，b ＝(0,1)， ∴a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ＝1≠0，∴p 是假命题． ∵a ，b ，c 是非零向量，a ∥b 知，a ＝x b ，由b ∥c 知b ＝y c ， ∴a ＝xy c ，∴a ∥c ，∴q 是真命题． ∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题， (¬p )∧(¬q )，p ∨(¬q )都是假命题．4．(2022·浙江理)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *使得n ≥x 2”的否定形式是导学号 96660103( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *使得n <x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *使得n <x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *使得n <x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *使得n <x 2 [答案] D[解析] 依据含有量词的命题的否定的概念可知，选D ． 二、填空题5．命题“奇数的平方不是偶数”是________形式．导学号 966600104 [答案] “¬p ”6．已知命题p ：不等式x 2＋x ＋1≤0的解集为R ，命题q ：不等式x －2x －1≤0的解集为{x |1<x ≤2}，则命题“p ∨q ”、“p ∧q ”、“¬p ”、“¬q ”中正确的命题是________．导学号 966600105 [答案] p ∨q ，¬p[解析] ∵∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0， ∴命题p 为假，¬p 为真．∵x －2x －1≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －1)≤0x －1≠0，解得1<x ≤2. ∴命题q 为真，p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬q 为假． 三、解答题7．分别指出由下列各组命题构成的新命题“p ∨q ”、“p ∧q ”、“¬p ”的真假 导学号 966600106(1)p ：梯形有一组对边平行，q ：梯形有一组对边相等；(2)p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R ， q ：不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.[解析] (1)p 真、q 假，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“¬p ”为假． (2)不等式x 2－2x ＋1>0的解集为{x |x ≠1}，∴p 假；不等式x 2－2x ＋2≤1，即x 2－2x ＋1≤0的解集为{x |x ＝1}，∴q 假． 故“p ∨q ”为假，“p ∧q ”为假，“¬p ”为真．8．对于下述命题p ，写出“¬p ”形式的命题，并推断“p ”与“¬p ”的真假：(1)p :91∈(A ∩B )(其中A ＝{x |x 是质数}，B ＝{x |x 是正奇数})； (2)p :有一个素数是偶数； (3)p :任意正整数都是质数或合数； (4)p :三角形有且仅有一个外接圆． [解析] (1)¬p :91∉A 或91∉B ； p 真，¬p 假．(2)¬p :每一个素数都不是偶数； p 真，¬p 假．(3)¬p :存在一个正整数不是质数也不是合数； p 假，¬p 真．(4)¬p :存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆； p 真，¬p 假．9．若“∃x ∈[0，π2]，sin x ＋3cos x <m ”为假命题，求实数m 的取值范围．[解析] 令f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)，x ∈[0，π2]，可知f (x )在[0，π6]上为增函数，在(π6，π2]上为减函数．∵f (0)＝3，f (π6)＝2，f (π2)＝1，∴1≤f (x )≤2.∵“∃x ∈[0，π2]，sin x ＋3cos x <m ”为假命题，则其否定“∀x ∈[0，π2]，sin x ＋3cos x ≥m ”为真命题，∴m ≤f (x )min ＝1.故实数m 的取值范围是(－∞，1]．。
【成才之路】高中数学 1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算名师课件 新人教B版必修4
①163π； ②－315°. (2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的正半轴，终 边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．
[解析] (1)①163π＝4π＋43π. ∵0≤43π<2π，∴163π＝4π＋43π. ②－315°＝－315×1π80＝－74π＝－2π＋π4， ∵0≤π4<2π，∴－315°＝－2π＋π4. (2)135°＝135×1π80＝34π，225°可以看成是与－135°终边相 同的角，而－135°＝－34π， ∴阴影部分角的集合为{θ|－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z}．
(2)396π＝6π＋36π＝6π＋π2，∴396π与π2的终边相同． 又∵π2是象限界角，∴396π也是象限界角，它不属于任何象 限．
[点评] 用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式为： β ＝ 2kπ ＋ α(k∈Z) ． 这 些 角 所 组 成 的 集 合 为 {β|β ＝ 2kπ ＋ α ， k∈Z}．
π 1°＝__1_8_0____rad≈0.01745rad， 1rad＝__1_π8_0__°__≈57.3°＝57°18′.
3．在弧度制下，弧长公式为 l＝θr，扇形面积公式为 S＝ __12_l_r ____.
1．下列转化结果错误的是( ) A．67°30′化成弧度是38π rad B．123π化成度是 600° C．150°化成弧度是56π rad D．1π2化成度是 15°
将－1 485°表示成α＋2kπ，k∈Z的形式，且0≤α<2π.
[解析] ∵－1 485°＝－5×360°＋315°， ∴315°＝315×1π80＝74π， ∴－1 485°＝74π－10π.
易错疑难辨析
已知集合
M ＝ xx＝k2π＋π4，k∈Z
【成才之路】高中数学 4.1 流程图课件 新人教B版选修1-2
[解析] 流程图如图
1.表示旅客搭乘火车的正确流程是(
)
A．买票→候车→上车→检票
B．候车→买票→上车→检票 C．买票→候车→检票→上车 D．候车→买票→检票→上车 [答案] C
[解析] 根据生活经验判断．
2．下列关于逻辑结构与流程图的说法正确的是(
A．一个流程图一定会有顺序结构 B．一个流程图一定含有条件结构 C．一个流程图一定含有循环结构 D．以上说法都不对
合格品进入精加工，不合格品进入返修加工；返修加工的合
格品进入精加工，不合格品作为废品处理；精加工的合格品 为成品，不合格品为废品． 用流程图表示这个零件的加工过程．
[解析]
按照工序要求，可以画出下面的工序流程图：
程序流程图
下面流程图表示什么算法？
[解析] 是求1＋21＋22＋…＋264值的算法． [ 点评 ] 这道题的难点是从循环条件判断 i 等于多少时退 出，所以在最后一次循环需要仔细验证．
[误解]
[辨析]
第一处错误是条件分支处，逻辑上为满足题意时
输出，否则应继续循环；第二处是循环体不对，不只对i＝i＋ 1，还应包含S＝S＋i.
[正解]
思想方法技巧
程序化思想 一些问题的解决常常需要设计出一系列可操作的步骤，只 要按顺序执行这些步骤， 就能完成任务， 这种解决问题的思想， 称为程序化思想． 过马路的流程如下：向左看，再向右看，如果 没有来往车辆，过马路；如果有来往车辆，等待一段时间，从 头起再来一遍．试用流程图表示这一过程．(要求：流程图必须 包含一个判断框以及一个循环)
易错疑难辨析
课后强化作业
课前自主预习
我们经常到图书馆去借阅书籍，你知道到图书馆借书的 流程吗？
统筹图 ．常见的画法是：将一个工 1.工序流程图又称__________
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一、选择题1．将10.6 g Na 2CO 3溶于水配制成1 000 mL 溶液，从中取出20 mL ，该溶液中Na ＋的物质的量浓度为( )A ．0.1 mol/LB ．0.2 mol/LC ．0.05 mol/LD ．0.025 mol/L解析：Na 2CO 3的物质的量为0.1 mol ，其浓度为0.1 mol/L ，c (Na ＋)＝0.2 mol/L 。
答案：B2．(2010·海南高考)把V L 含有MgSO 4和K 2SO 4的混合溶液分成两等份，一份加入含a mol NaOH 的溶液，恰好使镁离子完全沉淀为氢氧化镁；另一份加入含b mol BaCl 2的溶液，恰好使硫酸根离子完全沉淀为硫酸钡。
则原混合溶液中钾离子的浓度为( )A.b －a V mol·L －1B.2b －a V mol·L －1C.2(b －a )V mol·L －1D.2(2b －a )V mol·L －1解析：由NaOH 可计算一份中含有a 2mol Mg 2＋，由BaCl 2可计算出一份中含有b mol SO 2－4，则根据电荷守恒计算出一份含有K ＋：(2b －a ) mol ，则原溶液中c (K ＋)＝2×(2b －a )V mol/L 。
答案：D3．(2011·南京三模)下表为4种常见溶液中溶质的质量分数和物质的量浓度，这4种溶液中密度最小的是( )解析：由公式c＝1 000ρwM可推导出ρ＝cM1 000w，由于溶质的质量分数与其相对分子质量均相等，故物质的量浓度大的密度就大。
答案：C4．(2009·海南高考)在5 mL 0.05 mol·L－1的某金属氯化物溶液中，滴加0.1 mol·L－1AgNO3溶液，生成沉淀质量与加入AgNO3溶液体积关系如图所示，则该氯化物中金属元素的化合价为()A．＋1 B．＋2C．＋3 D．＋4解析：由图可知沉淀达到最大时AgNO3溶液体积在7～8 mL之间，根据Ag＋＋Cl－＝AgCl↓的关系可知：5 mL×0.05 mol/L×n＝0.1 mol/L×8 mL×1解得n＝3.2。
所以n取值为3。
答案：C5．将质量分数为a%的NaOH溶液蒸发掉m g水后，变成V mL 2a%的NaOH 不饱和溶液，则蒸发后的溶液的物质的量浓度是( )A.ma V mol/LB.50ma V mol/LC.ma 2V mol/LD.ma 2 000Vmol/L 解析：由于溶质的质量没发生变化而质量分数增加了一倍，可推出后来溶液的质量为m g 。
则溶质的物质的量n (NaOH)＝m g ×2a %40 g/mol所以c (NaOH)＝n (NaOH )V [NaOH (aq )]＝m g ×2a %40 g/mol V mL ×10－3 L/mL＝ma 2V mol/L 。
答案：C6．(2010·佛山模拟)配制100 mL 0.1 mol·L －1Na 2CO 3溶液，下列操作正确的是( )A ．称取1. 06 g 无水碳酸钠，加入100 mL 容量瓶中，加水溶解、定容B ．称取1.06 g 无水碳酸钠，加入100 mL 蒸馏水，搅拌、溶解C ．转移Na 2CO 3溶液时，未用玻璃棒引流，直接倒入容量瓶中D ．定容后，塞好瓶塞，反复倒转，摇匀解析：A 项在容量瓶中溶解不正确；B 项溶液体积不是100 mL ；C 项应用玻璃棒引流。
答案：D7．某溶液中大量存在以下五种离子：NO －3、SO 2－4，Fe 3＋、H ＋、M ，其物质的量之比为n ( NO －3):n (SO 2－4):n (Fe 3＋):n (H ＋):n (M)＝2:3:1:3:1，则M 可能为( )A ．Fe 2＋B ．Mg 2＋C ．CO 2－3D ．Ba 2＋解析：根据电荷守恒可知M为＋2价的阳离子，由于原溶液中存在SO2－4，根据离子共存知，其中不可能含有Ba2＋，又因原溶液中含有NO－3和H＋，使溶液具有强氧化性，所以原溶液中不可能存在Fe2＋。
答案：B8．常温下，向0.25 mol·L－1的硫酸溶液中逐滴加入物质的量浓度相同的氢氧化钡溶液，生成沉淀的量与加入氢氧化钡溶液的体积关系如图所示，a、b、c、d分别表示实验不同时刻的溶液，下列有关说法中不正确的是()A．硫酸溶液的体积为20 mLB．b时刻溶液中SO2－4的浓度约为0.125 mol·L－1C．d时刻溶液的pH为13D．溶液的导电能力：c<d<b<a解析：由Ba(OH)2＋H2SO4===BaSO4↓＋2H2O可知，c点完全反应则H2SO4的体积为20 mL，则b时刻时c(SO2－4)＝0.25×12×2020＋10＝0.083 mol/L；d时刻c(OH－)＝0.25×2×1020＋30＝0.1 mol/L，则pH＝13；溶液的导电能力取决于溶液中带电离子的浓度。
答案：B9．在100 mL HNO3和H2SO4的混合溶液中，加入100 mL 0.2 mol/L Ba(OH)2溶液后，pH变为7，同时生成2.33 g白色沉淀，则原混合溶液中HNO3的物质的量浓度为()A．0.1 mol/L B．0.2 mol/LC．0.3 mol/L D．0.4 mol/L解析：n(BaSO4)＝n(H2SO4)＝0.01 mol，n(OH－)＝2n[Ba(OH)2]＝0.04 mol ，反应中共消耗H＋0.04 mol。
硫酸提供的H＋为0.02 mol，则硝酸提供的H＋为0.02 mol，即n(HNO3)＝0.02 mol，所以c(HNO3)＝0.2 mol/L。
答案：B10．(2010·新课标全国卷)把500 mL含有BaCl2和KCl的混合溶液分成5等份，取一份加入含a mol硫酸钠的溶液，恰好使钡离子完全沉淀：另取一份加入含b mol硝酸银的溶液，恰好使氯离子完全沉淀。
则该混合溶液中钾离子浓度为()A．0.1(b－2a) mol·L－1B．10(2a－b) mol·L－1C．10(b－a) mol·L－1D．10(b－2a) mol·L－1解析：由反应：Ba2＋＋SO2－4===BaSO4↓知每份溶液中的Ba2＋的物质的量为a mol，同理Cl－的物质的量为b mol。
由电荷守恒：n(K＋)＝n(Cl－)－2n(Ba2＋)＝(b－2a) mol，故c(K＋)＝(b－2a) mol÷0.1 L＝10(b－2a) mol/L。
答案：D11．将质量分数为a%、物质的量浓度为c1 mol·L－1的稀H2SO4蒸发掉一定量的水，使其质量分数为2a%。
此时溶液的物质的量浓度为c2 mol·L－1。
则c1和c2的关系是()A．c1＝2c2B．c2<2c1C．c2>2c1D．c2＝2c1解析：由c＝1 000ρwM可知，c1c2＝ρ1·a%ρ2·2a%＝12ρ1ρ2，由于ρ1<ρ2，所以c2>2c1。
答案：C12．同体积、同物质的量浓度的BaCl 2溶液可分别使同体积的Fe 2(SO 4)3、ZnSO 4、K 2SO 4三种溶液中的SO 2－4完全沉淀，则三种硫酸盐中金属离子物质的量浓度之比为( )A ．1:2:3B ．1:3:6C ．2:3:6D ．6:2:1解析：同体积同物质的量浓度的BaCl 2溶液可使同体积的Fe 2(SO 4)3、ZnSO 4、K 2SO 4三种溶液中SO 2－4完全沉淀，说明这三种溶液中SO 2－4的物质的量相等。
假设有1 mol BaCl 2，则有2/3 mol Fe 3＋、1 mol Zn 2＋、2 mol K ＋，故三种硫酸盐中金属离子物质的量浓度之比为2:3:6。
答案：C13．(2009·全国卷Ⅰ)将15 mL 2mol/L Na 2CO 3溶液逐滴加入到40 mL 0.5 mol/LMCl n 盐溶液中，恰好将溶液中的M n ＋离子完全沉淀为碳酸盐，则MCl n 中的n 值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：Na 2CO 3溶液与MCl n 溶液混合后，M n ＋恰好完全沉淀为碳酸盐，碳酸盐呈电中性，则CO 2－3和M n ＋所带的电荷数相等，有15×10－3×2mol/L ×2＝40×10－3 L ×0.5 mol/L ×n ，解得n ＝3。
答案：B14．V L Fe 2(SO 4)3溶液中含有a g SO 2－4，取此溶液0.5V L ，用水稀释至2V L ，则稀释后溶液中Fe 3＋的物质的量的浓度为( )A.a 576Vmol·L －1 B.125a 36V mol·L －1 C.250a 36V mol·L －1 D.125a 48Vmol·L －1解析：依题意知，c(SO2－4)＝a96V mol·L－1，c(Fe3＋)＝a96V×2÷3＝a144Vmol·L－1，故有a144V×0.5V＝2V×c B，c B＝a576V mol·L－1。
答案：A15．如图是某学校实验室从化学试剂商店买回的硫酸试剂标签上的部分内容。
据此下列说法正确的是()硫酸化学纯(CP)(500 mL)品名：硫酸化学式：H2SO4相对分子质量：98密度：1.84 g/cm3质数分数：98%A．该硫酸的物质的量浓度为9.2 mol/LB．1 mol Zn与足量的该硫酸反应产生2g氢气C．配制200 mL 4.6 mol/L的稀硫酸需取该硫酸50 mLD．等质量的水与该硫酸混合所得溶液的物质的量浓度大于9.2 mol/L解析：由c＝1 000ρwM可计算出该硫酸的物质的量浓度为18.4 mol/L；该硫酸是浓硫酸，和Zn反应不生成H2；由稀释定律，可得出所用硫酸体积为50 mL；等质量的硫酸和水，硫酸的密度大，硫酸的体积远小于水，两者等质量混合，硫酸的浓度小于9.2 mol/L，D不正确。
答案：C二、非选择题16．根据下列各题所给出的数据，可分别求出其“溶质的质量分数”或“溶质的物质的量浓度”，试判断并求解。
(1)设N A表示阿伏加德罗常数的数值，若某氢氧化钠溶液V L中含有n 个OH－，则可求出此溶液中________为________。