等腰三角形分类讨论综合
等腰三角形中的分类讨论
等腰三角形中的分类讨论一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，也就是说，等腰三角形的两条边边长相等，而另一条边则较短。
等腰三角形可以有不同的形状和性质，下面将对等腰三角形进行分类讨论。
二、等腰三角形的分类1. 等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的一个内角为直角（即90度）。
在等腰直角三角形中，另外两个内角相等，均为45度。
根据勾股定理，等腰直角三角形的斜边与两条直角边之间的关系为：斜边的长度等于直角边长度的平方根乘以2。
2. 等腰锐角三角形等腰锐角三角形是指两个等腰三角形的顶点角小于90度的三角形。
在等腰锐角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则小于90度。
等腰锐角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
3. 等腰钝角三角形等腰钝角三角形是指两个等腰三角形的顶点角大于90度的三角形。
在等腰钝角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则大于90度。
等腰钝角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
4. 等腰等边三角形等腰等边三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的三个边全都相等。
等腰等边三角形的三个内角均为60度。
等腰等边三角形具有许多特殊性质，例如：它的三条高线、中线、角平分线和垂直平分线都重合于同一个点；它的外接圆和内切圆都与三个顶点相切。
三、等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，根据顶点角的大小和不同属性，可以进一步分类为等腰直角三角形、等腰锐角三角形、等腰钝角三角形和等腰等边三角形。
每种分类的等腰三角形都有其特殊的性质和关系，值得我们深入学习和研究。
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分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用探究
分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用探究【摘要】本文探讨了分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用探究。
在我们介绍了研究背景和研究目的。
在我们首先介绍了初中等腰三角形的性质，然后详细探讨了分类讨论思想在这类问题中的作用和具体应用，并通过实际案例加以分析。
我们讨论了分类讨论思想的优势和局限性。
在我们总结了分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用，并提出了未来的研究方向。
通过本文的研究，我们可以更加深入地理解分类讨论思想在解决等腰三角形问题中的重要性，同时也为未来的研究提供了一定的参考方向。
【关键词】初中等腰三角形、分类讨论思想、性质、作用、具体应用、实际案例、优势、局限性、结论、研究方向。
1. 引言1.1 研究背景在初中数学教学中，等腰三角形是一个重要的几何形状，学生在学习过程中常常会遇到与等腰三角形相关的各种问题。
在解决这些问题时，分类讨论思想被广泛运用，并显示出良好的效果。
研究表明，分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用可以有效地帮助学生理清问题的结构，找到解决问题的关键点。
通过将问题进行分类和讨论，学生可以更好地把握问题的本质，准确地找到解决问题的方法。
目前对于分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的具体应用还存在一些不足之处，比如在教学实践中，学生可能会遇到分类不清晰、讨论不透彻的情况。
有必要对分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用进行深入研究，以便更好地指导数学教学实践，并提高学生解决问题的能力。
1.2 研究目的研究目的旨在深入探究分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用，通过对等腰三角形性质的介绍和分类讨论思想的具体应用进行分析，揭示分类讨论思想在解决等腰三角形问题时的优势和局限性。
通过举例分析实际案例，抽丝剥茧地解析分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用方法，准确把握等腰三角形的性质和特点。
就此，本研究旨在为初中生更好地理解和应用分类讨论思想提供指导，同时为教师在教学中有效运用这一思维方法提供参考。
“分类讨论”在等腰三角形中的应用
“分类讨论”在等腰三角形中的应用在最近几年的全国各地中考试卷中，出现了以等腰三角形为背景，考查学生分类讨论能力的试题，为帮助同学们提高对此类问题的解题能力，现列举几例：一、要讨论谁是底边或腰长例1、已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长（）A. 12 B 17 C 19 D 17或19分析：题中并未说明5或7是底边，还是腰，应分情况讨论．解：当等腰三角形的一腰长为5时，此时7为底边，满足任意两边之和大于第三边，所以满足题意的三角形的周长为5+5+7=17；当等腰三角形的一腰长为7时，此时5为底边，也满足任意两边之和大于第三边，故满足题意的三角形的周长为7+7+5=19．综上知选D．例2、有一个等腰三角形，三边分别是3x－2，4x－3，6－2x，求等腰三角形的周长．分析：已知等腰三角形三边长，说明有两边相等，但不知谁是腰，必须分三种情况分析．解：（1）当3x－2＝4x－3时，即x＝1，则三边为1，1，4，由于1＋1＜4，所以不成立；（2）当3x－2＝6－2x时，即85x=，则三边长为141714555、、，由于141417555+>，所以成立；（3）当4x－3＝6－2x时，即x＝1.5，则三边为2.5，3，3，由于2.5＋3＞3，所以成立．由上可知等腰三角形周长为9或8.5.说明：如果等腰三角形的腰长为A，底边长为B，则有222b b aa+<<．二、要讨论腰与底谁较大例3、一等腰三角形的周长为20cm，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求腰长．分析：题目中的条件是一部分比另一部分长2cm，这里可能是腰比底长，也可能是底比腰长，应分两种情况讨论，因为是中线，周长分成的两部分之差就是腰长与底边长之差．解：不妨设腰长为x cm，底边长为y cm ，根据题意有（1）当腰长大于底边时，有2220x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得221633x y==、；（2）当腰长小于底边时，有2220y xx y-=⎧⎨+=⎩，解得68x y==、；因为两种情形都符合三角形的三边关系定理，故腰长为223cm或6cm．说明：分类讨论后，要用三角形三边关系定理来判断所给三边能否构成三角形，从而避免造成错解．三、要讨论谁是底角或顶角例4、（1）等腰三角形的一个角是30°，求底角．（2）等腰三角形的一个角是100°，求底角．分析：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，须分情况讨论，但顶角可以是锐有、直角、钝角，而底角只能是锐角．解：（1）当30°是底角时，底角即为30°；当30°是顶角时，底角为180302︒-︒，即为75°；（2）因100°只能是顶角，所以底角是1801002︒-︒，即为40°．说明：等腰三角形的底角只能为锐角，不能为直角、钝角，但顶角可以为锐角、直角、钝角．四、要讨论高在三角形内部或外部例5、已知等腰三角形ABC中，BC边上的高12AD BC=，求∠BAC的度数．分析：题中未交代哪条边是底边，哪条边是腰，所以必须分三种情况讨论．解：（1）当BC为底边时，则D是BC中点，△ABC为等腰直角三角形∠BAC=90°；（2）当BC为腰，且高AD在△ABC内部时，1122AD BC AB==，∠B=30°，所以∠BAC=75°；（3）当BC为腰，且高AD在△ABC的外部时，1122AD BC AB==，∠DBA=30°；所以∠BAC=15°．综上所述∠BAC的度数可以为15°、75°、90°．说明：由于题目的图形未画出，因此考虑情况时要周全，不要出现漏解．试一试：1、在活动课上，小红已有两根长为4cm、8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是＿＿＿＿＿Cm．2、在平面直角坐标系中，已知点为A（－2,0），B（2,0）画出等腰三角形ABC（画出一个即可），并写出你画出的ABC的顶点C的坐标．3、下面是数学课堂的一个学习片段,，阅读后, 请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°” ，还有一些同学也提出了不同的看法……(1)假如你也在课堂中，你的意见如何? 为什么?(2)通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)“分类讨论”在等腰三角形中的应用当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，我们就要想到“分类讨论”——“分而治之，各个击破”．下面就让“分类讨论”思想在等腰三角形中“大放光彩”吧！例1 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°分析：分两种情况，①当顶角是锐角时，如图1，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠A=60°;②当顶角是钝角时，如图2，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∴∠BAC =120°．所以顶角度数为60°或120°，所以选D ．例2 等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为( ) A 、7 B 、3 C 、5或3 D 、5分析：长为3的边可能是底边，也可能是腰，因此有两种情况，①若长为3的边为底边，则该等腰三角形的底边长为3; ②若长为3的边为腰，则该等腰三角形的底边长为(13-3)÷2=5．故选C ．说明：边长为3的边、可能是底边，不要只认为它是腰．例3 已知点A 和点B ，以点A 和点B 为其中两个点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出( )A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个分析:如图3，以线段AB 为底边可作出两个等腰直角三角形，以AB 为腰可作出4个等腰直角三角形，因此，共可作出6个等腰直角三角形，故选C ． 说明：解题时容易忽视为腰长的情况，因此，分析问题一定要用心，充分考虑各种情形． 例4 如图4，在等边△ABC 所在的平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是的等腰三角形，你能找到几个这样的点?画图描述它们的位置．分析：如图4，△ABC 三条边的垂直平分线的交点1p 满足条件，分别以点A 、点B 为圆心，AB 为半径画圆弧，交AC 的垂直平分线于2p 、3p 两点，则△、、、AC P BC P AB P 222∆∆、、、AC P BC P AB P 333∆∆也是等腰三角形，同样可以在AB 、BC 的垂直平分线上再找到4个点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 是等腰三角形．所以共有7个点．画出的图形如图4．说明：此题乍一看只能确定在△ABC 内一点，关键要注意三个等腰三角形的腰是哪两条边．分类讨论探究题既是中考热点又是考生易错点，克服方法是解题时常提醒自己：“还有其它情况吗？”切记！…图1B 图2 图3B。
等腰三角形的分类讨论
等腰三角形的分类讨论模块一等腰三角形的分类讨论例1（1）等腰三角形的一边长为3，一边长为7，那么它的周长是。
（2）等腰三角形的一边长为4，周长为9，那么它的腰长是。
（3）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为6和12两部分，求此等腰三角形的腰长。
练习（1）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：2，求这个等腰三角形顶角的度数。
（2）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为。
例2（1）若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，求该三角形的底角的度数。
（2）（2016—2017武昌区八上期中第16题）已知△ABC是等腰三角形，由点A作BC边上的高恰好等于BC的一半，则∠BAC的度数为。
练习例3如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=30°.将△ABC 绕B 点逆时针旋转α（0<α≤60°）角度后得到△A ’BC ’，A ’C ’与AC 交于点F ，与AB 交于点E ，连BF 。
当△BEF 为等腰三角时，α= 。
A模块二 两圆一中垂知识导航已知线段AB ，在平面上找一点C ，使△ABC 为等腰三角形。
图1 图2 图3AABB① 如图1，以A 为圆心，AB 为半径作圆，此圆上的所有点C 均满足AC=AB 。
② 如图2，以B 为圆心，BA 为半径作圆，此圆上的所有点C 均满足BC=BA 。
③ 如图3，作AB 的垂直平分线，此垂直平分线上的所有点C 均满足CA=CB 。
“两圆一中垂”上的所有点C 均满足△ABC 为等腰三角形，即满足“等腰”条件的C 点有无数个。
因此，题目会对C 点再加上另外一个限定条件----例如还限定C 点在坐标轴上或格点，这样，C 点的个数就只有几个了。
例4（2014—2016江岸区八上期末）如图：在4×4的网格中存在线段AB ，每格表示一个单位长度，并构建了平面直角坐标系。
在现有的网格中（包括网格的边界）存在一点P,点P 的横纵坐标都为整数，连接PA 、PB 后得到△PAB 为等腰三角形，则满足条件的点P 有 个。
八年级等腰三角形的分类讨论专题
专题一：等腰三角形中的分类讨论（一）角分类：顶角和底角+ 三角形内角和；外角1.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，求顶角的度数。
2.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数。
3.如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是．（二）边分类：底边和腰+ 三角形三边关系4.等腰三角形的两边分别是8,6，这个等腰三角形的周长为5.等腰三角形的两边分别是8,3，这个等腰三角形的周长为6.在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________.（三）中线分类7.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，求腰长和底长。
8.等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长（四）高、垂直平分线分类9.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，求底角的度数10.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________11.（2018·哈尔滨中考）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数12.（2019·白银中考）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值b 称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=13.(2018·绍兴中考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数.（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数.（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题。
等腰三角形的分类讨论
等腰三角形的分类讨论关键信息项1、等腰三角形的定义和性质定义：至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
性质：两腰相等；两底角相等；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
2、等腰三角形的分类依据边的长度：分为等边三角形（三边相等）和一般等腰三角形（只有两边相等）。
角的大小：锐角等腰三角形、直角等腰三角形、钝角等腰三角形。
3、分类讨论的情况已知三角形的两边长度，求第三边长度时，需分情况讨论。
已知三角形的一个角的度数，求其他角的度数时，需分情况讨论。
已知三角形的周长和边的关系，求边长时，需分情况讨论。
11 等腰三角形的定义和性质的详细说明等腰三角形是一种特殊的三角形，其定义为至少有两边相等的三角形。
这一特征使得等腰三角形具有独特的性质。
首先，两腰长度相等，这是等腰三角形的最基本特征。
其次，两底角（即两腰所对的角）相等。
这一性质在解决与角度相关的问题时经常被用到。
再者，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，这条性质被称为“三线合一”，它为证明线段相等、角相等以及解决相关几何问题提供了重要的依据。
111 等腰三角形性质的应用在实际解题中，等腰三角形的性质经常被用于构建等式、求解未知量。
例如，已知一个等腰三角形的顶角为 80 度，由于两底角相等，根据三角形内角和为 180 度，可以计算出底角的度数为（180 80）÷ 2 ＝50 度。
12 等腰三角形的分类依据121 边的长度分类从边的长度来看，等腰三角形可以分为等边三角形和一般等腰三角形。
等边三角形是特殊的等腰三角形，其三条边长度均相等。
一般等腰三角形则只有两条边长度相等。
122 角的大小分类根据角的大小，等腰三角形可分为锐角等腰三角形（三个角均为锐角）、直角等腰三角形（其中一个角为直角）和钝角等腰三角形（其中一个角为钝角）。
13 分类讨论的情况131 已知两边长度求第三边当已知等腰三角形的两边长度时，求第三边的长度需要分情况讨论。
专题08 等腰三角形中的分类讨论模型(解析版)
专题08等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论：【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰ABC △方法：两圆一线具体图解：①当AC AB =时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外）②当BC AB =时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外）③当BC AC =时，作AB 的中垂线，点C 在该中垂线上（D 除外）例1．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）ABC 是等腰三角形，5,7AB AC ==，则ABC 的周长为（）A ．12B ．12或17C ．14或19D ．17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为5与腰为7时，即可得到答案．【详解】解：当ABC 的腰为5时，ABC 的周长55717++=；当ABC 的腰为7时，ABC 的周长57719++=．故选：D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．例2．（2023春·四川巴中·七年级统考期末）等腰三角形的周长为32cm ，一边长为8cm ，则其它两边长是（）∴150∠=︒，即顶角为150︒；故答案为：30︒或150︒．BAC【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．例5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使ABP为等腰三角形，则点P有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【分析】分三种情况讨论：以AB为腰，点A为顶角顶点；以AB为腰，点B为顶角顶点；以AB为底．【详解】解：如图：如图，以AB为腰，点A为顶角顶点的等腰三角形有5个；以AB为腰，点B为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以AB为底的等腰ABP，所以合计8个．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键．例6．（2023·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___．【答案】7.5°或75°或97.5°或120°【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ 为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3，∵∠DE ′F ′=∠CQP +∠QDE ′，∴∠QDE ′=∠DE ′F ′-∠CQP =60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP 为顶角时，∠CPQ =∠PCQ =45°，∴∠CQP =90°，∴∠QDF ′=90°-∠DF ′E ′=60°，∴∠QDE ′=∠E ′DF ′-∠QDF ′=30°，∴α=∠EDE ′=∠EDQ +∠QDE ′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．例7．（2022秋·江苏徐州·八年级校考期中）如图，70AOB ∠=︒，点C 是边OB 上的一个定点，点P 在角的另一边OA 上运动，当COP 是等腰三角形，OCP ∠=°．【答案】40或70或55【分析】分三种情况讨论：①当OC PC =，②当PO PC =，③当OP OC =，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：如图，(1)若点P在BC上，且满足PA PB=，求此时(3)在运动过程中，当t为何值时，ACP△【答案】(1)6516(2)316或52(3)54或32或90ACB∠=︒，5cmAB=在Rt ACP中，由勾股定理得()22234x x∴+-=，解得BP 平分ABC ∠，C ∠在BCP 与BDP △中，∵A B ∠∠=︒+90，90ACP BCP ∠+∠=︒，B BCP ∴∠=∠，CP BP AP ∴==，P ∴是AB 的中点，即15cm 22AP AB ==，524AP t ∴=．②如图，当P 在AB 上且3cm AP CA ==时，∴322AP t ==．③如图，当P 在AB 上且(1)求直线AB 的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段AB 上（不与点A x 轴的平行线交AD 于点E ，设PE 的长为()0y y ≠，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在求出点若不存在，请说明理由．【答案】(1)()450y x D =-+-，，(2)()33242y m m =+-<<，的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．课后专项训练A．120︒B．75︒【答案】C【答案】D【分析】分为AB AC =、BC BA =，CB CA =三种情况画图判断即可．【详解】解：如图所示：当AB AC =时，符合条件的点有2个；当BC BA =时，符合条件的点有1个；当CB CA =，即当点C 在AB 的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．故符合条件的点C 共有4个．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2023·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A 、B 都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，则满足条件的格点C 有()A ．0个B ．2个C ．4个D ．8个【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积解答即可．【详解】解：如图所示：∵△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，∴满足条件的格点C 有4个，故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键A．3【答案】D故选：满足条件的点M 的个数为2．故选A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．7．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，8BC =，6AC =．若点P 为直线BC 上一点，且ABP △为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．8．（2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()1,1，在x 轴上确定点P ，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．【详解】解：如图，22112OA=+=，当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣2，0），P3（2，0），当AP2＝OP2时，P2（1，0），当AO＝AP4时，P4（2，0），故符合条件的点有4个．故选：C．【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．9．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．6个B．7个C．8个D．9个∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵ABD ∠11【分析】根据等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分得到底和要的差是1293-=，再根据周长列式求解即可得到答案；【详解】解：∵等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分，∴腰与底的差为：1293-=，①当底边比腰长时，设腰为x ，则底为3x +，由题意可得，32129x x ++=+，解得：6x =，3639x +=+=，②当腰比底边长时，设腰为x ，则底为3x -，由题意可得，32129x x -+=+，解得：8x =，3835x -=-=，故答案为：6，9或8，5．【点睛】本题主要考查三角形中线有关计算，解题的关键是得到腰长与底边之差再分类讨论．14．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知A （1，2），在y 轴确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有____个．【答案】4．【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA 为底，可能OA 为腰两种情况，依此即可得出答案．【详解】①以A 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于1个点（O 除外）；②以O 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于2个点；③作线段AO 的垂直平分线，此时交y 轴于1个点；共1+2+1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论．15．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm AC =，若点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A C B A ---运动，设运动时间为t 秒()0t >，当点P 在边AB 上，【答案】19或20或21.2【分析】利用等腰三角形的性质，依次画图，分类讨论即可．【详解】∵90ACB ∠=当P 在BA 上时，①②当6cm BC CP ==时，过CD PB ⊥于点D ，如图，∴12BD DP BP ==，∵12ABC S AC BC CD ==V g g ，∴ 4.8AC BC CD AB == ，在Rt CBD △中，由勾股定理得：()2226 4.8 3.6cm BD BC CD =--=，∴)22 3.6cm BP BD ==⨯=，∴(()867.221.2s t =++，【答案】5或8【分析】ABP 是以AB 为腰的等腰三角形时，分两种情况：出BP 的长度，继而可求得t 值．【详解】解：在Rt ABC △中，∠②当AB AP =时，28cm 8BP BC t ===，故答案为：5或8．【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，以及分情况讨论，注意不要漏解．15．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，ABC 中，90C ∠=︒，6BC =，ABC ∠的平分线与线段AC 交于点D ，且有AD BD =，点E 是线段AB 上的动点（与A 、B 不重合），连接DE ，当BDE 是等腰三角形时，则BE 的长为___________．【答案】4或4【分析】现根据已知条件得出30CBD ABD BAD ∠=∠=∠=︒，再根据BC =6，分别求出AB 、AC 、BD 、AD 、（2）当BE =DE ，如图：∵BE =DE ∠EDB =∠ABD =30°，∴∠AED =∠EDB ∴∠ADE =180°-∠AED -∠A =180°-60°-30°=90°，∴ ADE 为直角三角形，又∵30A ∠=︒且AD =43，∴DE ，∴BE =4；（3）当BD =DE ，时，点E 与A 重合，不符合题意；综上所述，BE 为4或43．故答案为：4或43．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，16．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A ＝30°，点P 和点Q 分别是边AC 和BC 上的两个动点，分别连接BP 和PQ ，把△ABC 分割成三个三角形△ABP ，△BPQ ，△PQC ，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C 有可能的值有________个．【答案】7【分析】①当AB=AP ，BQ=PQ ，CP=CQ 时；②当AB=AP ，BP=BQ ，PQ=QC 时；③当APB ，PB=BQ ，PQ=CQ 时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2022·浙江·八年级专题练习）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．求作：点P，使点P在射线AB上，且ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析．【分析】分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可．【详解】如图所示，点1P、2P、3P即为所求．△是等腰三角形的三种情况，避免漏答案．【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意ACP18．（2022·山东·周村二中八年级期中）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．（1）如图，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数．（3）等边三角形的巧妙点的个数有（）A．2个B．6个C．10个D．12个【答案】（1）见解析；（2）6个；∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°；（3）C．综上所述：∠BPC的度数40°或80°或140°或160°．（3）如图所示，分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点，共有10个，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等．熟练掌握相关性质是解题关键．19．（2022·黑龙江密山·八年级期末）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，()2-+-=．(1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为24OA OB6805，求线段AB的长；(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】(1)A （0，6），B （8，0）；(2)AB =10；(3)存在，（-8，0）、（-2，0）、（18，0）．【分析】（1）由非负数的性质知OA =6，OB =8，据此可得点A 和点B 的坐标；（2）根据1122OAB S AB d OA OB == △求解可得；（3）先设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，，再分PA =AB 和AB =PB 两种情况分别求解可得．(1)()2680OA OB -+-= ∴O −6=0O −8=068OA OB ∴==则A 点的坐标为A （0，6），B 点的坐标为（8，0）(2)1122OAB S AB d OA OB == △，245d =6810245OA OB AB d ⨯∴=== (3)存在点P ，使△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，①若PA =AB ，则22PA AB =，即226100a +=，解得a =8(舍)或a =−8，此时点P (−8，0)；②若AB =PB ，即22AB PB =，即()21008a =-解得a =18或a =−2，此时点P (18，0)或(−2，0)；综上，存在点P ，使△ABP 使以AB 为腰的等腰三角形，其坐标为(−8，0)或(18，0)或(−2，0)．【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形OABC 是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O 与坐标原点重合，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为()3,4，D 的坐标为()2,4，现将纸片沿过D 点的直线折叠，使顶点C 落在线段AB 上的点F 处，折痕与y 轴的交点记为E ．。
动点等腰三角形的分类讨论
动点等腰三角形的分类讨论等腰三角形是指两边长度相等的三角形，动点等腰三角形则是指在等腰三角形中，其中一个顶点在动态变化的情况下，讨论不同情况下的动点等腰三角形的特点和分类。
一、动点在底边上的情况：当动点在底边上时，等腰三角形的另外两个顶点分别位于底边的两侧。
此时，根据动点的位置不同，可以将动点等腰三角形进一步分类。
1. 动点在底边的中点上：当动点在底边的中点上时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧，且与底边的两个顶点的连线相等。
这种情况下，等腰三角形的两个等边边长相等，且底角为直角。
2. 动点在底边的延长线上：当动点在底边的延长线上时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧的延长线上，且与底边的两个顶点的连线相等。
这种情况下，等腰三角形的两个等边边长相等，且顶角为直角。
3. 动点在底边的延长线上但不与底边相交：当动点在底边的延长线上但不与底边相交时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧的延长线上，且与底边的两个顶点的连线相等。
这种情况下，等腰三角形的两个等边边长相等，且顶角为锐角。
二、动点在底边外的情况：当动点在底边外时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。
此时，根据动点的位置不同，可以将动点等腰三角形进一步分类。
1. 动点在底边的延长线上但不与底边相交：当动点在底边的延长线上但不与底边相交时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。
这种情况下，等腰三角形的两个等边边长不相等，且顶角为锐角。
2. 动点在底边的延长线上且与底边相交：当动点在底边的延长线上且与底边相交时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。
这种情况下，等腰三角形的两个等边边长不相等，且顶角为钝角。
动点等腰三角形可以根据动点在底边上或底边外以及动点位置的具体情况进行分类。
不同情况下，等腰三角形的两个等边边长和顶角的大小都会有所不同。
通过对动点等腰三角形的分类讨论，可以更加全面地了解等腰三角形的特点和性质。
等腰三角形中的分类讨论(含答案)
等腰三角形中的分类讨论
类型1对顶角和底角的分类讨论
对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．
1．等腰三角形中有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？
解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；
②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.
故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.
类型2对腰长和底长的分类讨论
在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”、哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论．判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．
2．(1)已知等腰三角形的一边长等于6 cm，一边长等于7 cm，求它的周长；
(2)等腰三角形的一边长等于8 cm，周长等于30 cm，求其他两边的长．
解：(1)周长为19 cm或20 cm.
(2)其他两边的长为8 cm，14 cm或11 cm，11 cm.
1。
期末复习专题等腰三角形中的分类讨论
50°
50°
B
2、以BC为一边
1、以AC为一边
C A
B A
C
A
C
3、以AB为一边
B C
A
C B
CB
A
B
A
B
C
A
B
主要思想：
不重复不遗漏!
1.角的分类:顶角、底角 2 .边的分类：腰、底边
一、遇角需讨论
1.已知等腰三角形的一个内角为80°，, 则 其顶角为__8_0_°_或__2_0_°__
A
且点D在D’的位置，E在E’的为时，
如图，与（1）类似地也可以求得
C
D’ B
∠DCE ＝∠ACB÷2=200。
E’
D
（3）当点D、E在点A的两侧，
A
且E点在E’的位置时，如图，
∵BE’=BC，
C
B
∴∠ BE’C=(180O- ∠CBE) ÷2= ∠CBA ÷2 ，
∵AD=AC，
E’
∴∠ADC=（1800-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，AADD NhomakorabeaB
C
B
C
三、遇中线需讨论
变式：等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线
把其周长分为两部分的差为3cm，则其周长
为 21cm 。
A
A
D
D
B
C
B
C
注意：要运用三角形的三边关系来验证是否能构 成三角形。
四、遇高需讨论
1.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹 角为30°，则这个等腰三角形的顶角度数 是__6_0_°_或__1_2_0_°____
C
C
D
A
E
B
关于等腰三角形的分类讨论
关于等腰三角形的分类讨论一、形边的分类例如，已知等腰三角形的周长为15，其中一个边长为6，那么它的底边长多少？在解答这个问题的时候，题目当中的关键信息是边长为6的边不确定是腰还是底，这时分类讨论的两种情况分别是：第一种情况是设长为6的边为腰，则另两条边为6，3；第二种情况是设长为6的边为底，则另两条边是4.5，4.5.这时，要验证这样两组边长能不能组成一个三角形，也就是满不满足三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
经验证满足三角形的三边关系定理，所以等腰三角形的底边为6或4.5.例如，当已知等腰三角形的两个边的边长：一边长是6，另一边长是17，求这个三角形的周长时。
很多学生会想到应该分类讨论：第一种情况是设腰为6，底为17时，则三角形的三个边分别是6，6，17，这时要根据三角形的性质进行验证，因为6+6小于17，不符合三角形的性质，这样的三个边组不成三角形，所以这种假设是不成立的。
第二种情况是设腰为17，底为6，则三角形的三个边分别是17，17，6，根据三角形的性质进行验证，经验证符合三角形的性质，所以这个三角形是成立的，则其周长为17+17+6=40.二、形角的分类例如，已知等腰三角形的一个角是另一个角的2倍，求这个等腰三角形的三个内角大小时。
设一个角是x，另一个角就是2x，这时就要分情况进行讨论了。
第一种情况是x为顶角，则另两个角都是2x，根据三角之和为180°，得x+2x+2x=180°，解得x=36°，则这个等腰三角形的三个内角分别是36°，72°，72°。
第二种情况是当x为底角时，则另两个角是x，2x，得x+2x+x=180°，解得x=45°，则这个等腰三角形三个内角分别是45°，45°，90°。
所以这个等腰三角形的三个内角大小是36°，72°，72°或90°，45°，45°。
等腰三角形动点问题分类讨论题型
等腰三角形动点问题分类讨论题型
1. 等腰三角形底边动点问题，哎呀，就像一只小老鼠在底边上来回跑。
比如在一个等腰三角形 ABC 中，底边 BC 上有一个动点 P，那这个点 P 移
动时会带来什么变化呢？这可太有趣啦！
2. 等腰三角形腰上的动点，就像是一个顽皮的小精灵在腰上跳来跳去呢。
像在等腰三角形 DEF 中，腰 DE 上有个动点 Q，它的跳动会如何影响三角形
的形状和性质呀？
3. 动点在等腰三角形内部的情况，这岂不是像在一个神秘的城堡里探索。
比如在等腰三角形GHI 内部有个动点R，它的每一步都充满了未知和惊喜呢，不是吗？
4. 等腰三角形外部的动点呢，那是不是像在城堡外面徘徊的勇士。
假设在等腰三角形 JKL 外面有个动点 S，它又会引发什么样的奇妙故事呀？
5. 两个动点同时在等腰三角形上，哇哦，这就像是一场精彩的双人舞。
想象一下在等腰三角形 MNO 上有两个动点 T 和 U，它们的互动可真是太让人
期待啦！
6. 动点影响等腰三角形角度问题，这好比是一个魔法在改变角度呢。
要是在等腰三角形 PQR 中，一个动点改变了某个角的大小，那会带来怎样的连锁
反应呀？
7. 动点与等腰三角形周长的关系，这不就像是在给三角形量体裁衣嘛。
在等腰三角形 STU 中，动点会怎么影响它的周长呢，你不想知道吗？
8. 动点和等腰三角形面积的联系，就如同是在给三角形的领地画地图。
像在等腰三角形 VWX 中，动点对面积有怎样的改变呢，想想都觉得刺激呀！
我觉得研究等腰三角形动点问题分类讨论题型真是充满了挑战和乐趣，能让我们更深入地理解几何的奥秘呢！。
等腰三角形中的分类讨论思想
3．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个 三角形的各个内角的度数．
解：设在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D. (1)若高与底边的夹角为25°，高一定在△ABC的内部，如 图①所示． ∵∠DBC＝25°， ∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°. ∴∠ABC＝∠C＝65°. ∴∠A＝180°－2×65°＝50°. (2)若高与另一腰的夹角为25°，如图②，当高在△ABC的 内部时，
4．△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线与AC所在直线 相交所得的锐角为40°.求∠B的度数．
解：此题分两种情况讨论： (1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D， ∠ADE＝40°，则∠A＝50°. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝(180°－50°)÷2＝65°.
(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D， ∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，∴∠BAC＝130°. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝(180°－130°)÷2＝25°. 故∠B的度数为65°或25°.
5．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD 把其周长分为差为3 cm的两部分，求腰长．
解：∵BD为△ABC的AC边上的中线， ∴AD＝CD. (1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，AB－BC＝3 cm. ∵BC＝5 cm， ∴AB＝5＋3＝8(cm)．
(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，BC－AB＝3 cm. ∵BC＝5 cm， ∴AB＝5－3＝2(cm)． 但是当AB＝2 cm时，三边长分别为 2 cm，2 cm，5 cm.而2＋2＜5，不合题意，应舍去． 故腰长为8 cm.
又∵∠OBE＝180°－60°＝120°，∴∠OBE＝∠OMF. ∴△OMF≌△OBE(ASA)． ∴BE＝MF. ∵AF＝1，∴FM＝1. ∴BE＝1. (2)当点F在线段DA的延长线上时，如图②，作OM∥AB交 AD于点M，同(1)可得△OMF≌△OBE，DM＝2，AD＝4， ∴BE＝FM. ∵AF＝1，∴FM＝3.∴BE＝3. 综上所述，BE的长为1或3.
等腰三角形__分类讨论测试3
1、等腰三角形有一个外角是62°，那么它的的顶角的度数为_______
2、等腰三角形有一个外角是115°，那么它的的顶角的度数为_______
3、在等腰三角形中，有一个角为40°，则另外两个角的度数为．
3、等腰三角形的两边的边长分别为18cm和9cm，则第三边的长是_________
4、等腰三角形的两边的边长分别为11cm和7cm，则周长是_________
6、已知等腰三角形两腰上的高（或其延长线）相交所成的锐角是65°，求这个三角形的顶角的度数。
7、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是32°，求这个三角形的顶角的度数。
8、等腰三角形一腰上的中线把周长分为7和11两部分，则该等腰三角形腰长为。
9、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分的差为3cm，此三角形的周长为12cm，则该等腰三角形腰长为
10、已知等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰的夹角为440，则顶角的度数为
11、等腰三角形两边之比为1:3，周长为15cm，则腰长为。
等腰三角形分类讨论专题复习
等腰三角形分类讨论专题复习等腰三角形分类讨论一、等腰三角形的分类等腰三角形可以按照边、角、外角、高、中线等方式进行分类。
具体分类如下：1.边分类：指等腰三角形两边的长度是否相等，分为等腰三角形和非等腰三角形。
2.角分类：指等腰三角形两个底角是否相等，分为等腰三角形和非等腰三角形。
3.外角分类：指等腰三角形外角的大小是否相等，分为等腰三角形和非等腰三角形。
4.高分类：指等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角，分为等腰三角形和非等腰三角形。
5.中线分类：指等腰三角形的一腰上的中线分三角形的周长为两部分，分为等腰三角形和非等腰三角形。
6.中垂线分类：指等腰三角形的一腰上的中垂线与另一腰的夹角，分为等腰三角形和非等腰三角形。
思考题：在ABC三边所在的直线上找一点D，使得ABD 为等腰三角形，画图说明点D所在的位置。
二、练1.若一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是多少？2.已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，那么它的周长等于多少？3.已知等腰三角形的一边等于5，周长为12，则一边等于多少？4.已知△ABC的周长为24，AB＝AC，AD⊥BC于D，若△ABD的周长为20，则AD的长为多少？5.等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长。
6.在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为多少？7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为多少？8.等腰三角形中，两条边的长分别为4和9，则它的周长是多少？9.若一个等腰三角形有一个角为100°，则另两个角为多少？10.一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，求这个等腰三角形的底边长。
11.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的三个内角的度数。
初中数学重难点突破：等腰三角形中的分类讨论问题
等腰三角形中的分类讨论问题典例讲解：分类讨论求角度例1：等腰三角形有一个内角是50°，则其余两个内角的度数为 .解：当50°角是顶角时，则底角为（180°-50°）÷2=65°，则其余两个角的度数为65°，65°；当50°角是底角时，则顶角为180°-50°×2=80°，则其余两个角的度数度数为50°，80°.所以，本题的答案为：65°，65°或50°，80°.总结：（1）在等腰三角形中求内角的度数时，要看已知角是否已经确定是顶角或底角.若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；否则，要分类讨论，分已知角为顶角和已知角为底角两种情况.（2）若等腰三角形中已知的角是直角或钝角，则此角必为顶角，不用再分类讨论.分类讨论求长度解：当3x-1= x+1时，解得x=1，此时三角形的三条边长分别为2，2，5，因为2+2<5，不符合三角形三边关系，所以x=1舍去；当3x-1= 5时，解得x=2，此时三角形的三条边长分别为5，3，5，因为5+3>5，符合三角形三边关系，所以x=2成立；当x+1=5时，解得x=4，此时三角形的三条边长分别为11，5，5，因为5+5<11，不符合三角形三边关系，所以x=4舍去.所以，本题答案为2.总结：利用等腰三角形有两条边长相等的性质求边长或周长时，当不确定哪两条边是腰时，要进行分类讨论，计算出结果后要验证，检验算出的结果是否符号三角形三边关系.提升练习1．已知等腰三角形的两边长a，b满足|a﹣2|+b2﹣10b+25＝0，那么这个等腰三角形的周长为（）A．8B．12C．9或12D．92．如果等腰三角形两边长是6cm和12cm，那么它的周长是（）A．18cm B．24cm C．30cm D．24或30cm3．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．150°C．60°或120°D．60°或150°4．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．50°B．65°C．50°或65°D．50°或80°或65°5．已知等腰三角形的顶角等于50°，则底角的度数为度．6．等腰三角形一个外角是150°，求一腰上的高与另一腰的夹角是．7．在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为．8．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD是直角三角形，则∠DAC的度数是．9．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是．10．等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是．11．已知一个等腰三角形的一边长为2cm，另一边长为5cm，则这个等腰三角形的周长是cm．12．一等腰三角形的底边长为15cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的周长为．13．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的底角为．14．如图，△ABC中∠ABC＝40°，动点D在直线BC上，当△ABD为等腰三角形，∠ADB＝．15．等腰三角形的周长为21cm．（1）若已知腰长是底边长的3倍，求各边长；（2）若已知一边长为6cm，求其他两边长．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成18cm和21cm两部分，求△ABC的三边长．17．已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．（1）求m的取值范围；（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．18．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．（1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．求证：BF＝CF；（2）若点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数．参考答案：1．B ． 2．C ． 3．C ． 4．D ．5． 65 ． 6． 30°或60° ． 7． 45°或72° ． 8． 10°或50° ．9． 22 ． 10． 80°或20° ． 11． 12 ． 12． 55cm 或35cm ．13． 67.5°或22.5° ． 14． 40°或100°或70°或20° ．15．解：（1）如图，设底边BC ＝a cm ，则AC ＝AB ＝3a cm ，∵等腰三角形的周长是21cm ，∴3a +3a +a ＝21，∴a ＝3，∴3a ＝9，∴等腰三角形的三边长是3cm ，9cm ，9cm ；（2）①当等腰三角形的底边长为6cm 时，腰长＝（21﹣6）÷2＝7.5（cm ）；则等腰三角形的三边长为6cm 、7.5cm 、7.5cm ，能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为6cm 时，底边长＝21﹣2×6＝9；则等腰三角形的三边长为6cm ，6cm 、9cm ，能构成三角形．故等腰三角形其他两边的长为7.5cm ，7.5cm 或6cm 、9cm ．16．解：∵BD 是AC 边上的中线，∴AD ＝CD=21AC ， ∵AB ＝AC ，∴AD ＝CD=21AB ， 设AD ＝CD ＝x cm ，BC ＝y cm ，分两种情况：当时，即，解得：， ∴△ABC 的各边长为10cm ，10cm ，7cm ；当时，即，解得：， ∴△ABC 的各边长为14cm ，14cm ，11cm ；综上所述：△ABC 各边的长为10cm ，10cm ，7cm 或14cm ，14cm ，11cm ．17．解：（1）在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．∴20﹣8＜2m﹣2＜20+8，解得：7＜m＜15；∴m的取值范围为：7＜m＜15；（2）∵△ABC是等腰三角形，∴分两种情况：当AB＝AC＝20时，∴△ABC的周长＝20+20+8＝48；当BC＝AC＝8时，∵8+8＝16＜20，∴不能组成三角形；综上所述，△ABC的周长为48．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BCD与△CBE中，∴△BCD≌△CBE（SAS），∴∠FBC＝∠FCB，∴BF＝CF；（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴，由（1）知，∠FBC＝∠FCB，∴∠DBF＝∠ECF，设∠FBD＝∠ECF＝x，则∠FBC＝∠FCB＝（67.5°﹣x），∠BDF＝∠ECF+∠BAC＝x+45°，∠DFB＝2∠FBC＝2（67.5°﹣x）＝135°﹣2x，∵△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论：①．当BD＝BF时，此时∠BDF＝∠DFB，∴x+45°＝135°﹣2x，得x＝30°，即∠FBD＝30°；②当BD＝DF时，此时∠FBD＝∠DFB，∴x＝135°﹣2x，得x＝45°，即∠FBD＝45°；③当BF＝DF时，此时∠FBD＝∠FDB，∴x＝x+45°，不符题意，舍去；综上所述，∠FBD＝30°或45°．。
【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练(人教版) 等腰三角形中的分类讨论(解析版)
等腰三角形中的分类讨论1．已知等腰三角形的两边长分别为a b且a b b﹣4|＝0 则此等腰三角形的周长为（）A．7B．10C．11D．10或11【答案】D【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【详解】解：根据题意得a-3=0 b-4=0解得a=3 b=4①4是腰长时三角形的三边分别为4、4、3∵4+4＞3∴能组成三角形4+4+3=11②4是底边时三角形的三边分别为3、3、4能组成三角形周长=3+3+4=10所以三角形的周长为11或10．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质绝对值非负数偶次方非负数的性质根据几个非负数的和等于0 则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．2．已知a b是等腰三角形的两边长且a b()2+-=则此等腰三角23130a b形的周长为（）．A．8B．6或8C．7D．7或8【答案】D【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．()223130a b+-=∴23+5023130a ba b-⎧⎨+-⎩＝＝解得23ab⎧⎨⎩＝＝①2是腰长时三角形的三边分别为2、2、3 能组成三角形周长=2+2+3=7；②2是底边时三角形的三边分别为2、3、3 能组成三角形周长=2+3+3=8所以该等腰三角形的周长为7或8．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质绝对值与算术平方根的非负性根据几个非负数的和等于0 则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．3．等腰三角形的一个角是70︒则它顶角的度数是（）A．70︒B．70︒或40︒C．70︒或55︒D．40︒【答案】B【解析】【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角所以要分两种情况进行分析．【详解】解：①若70°是底角则顶角为：180°-70°×2=40°；②若70°为顶角则顶角的度数是70°；综上所述顶角的度数为40°或70°．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数做题时要注意分情况进行讨论这是十分重要的也是解答问题的关键．4．等腰三角形的一个内角是70°,则它顶角的度数是()A．70︒B．70︒或40︒C．70︒或50︒D．40︒【答案】B【分析】首先要进行分析题意“等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角所以要分两种情况进行讨论．【详解】解：本题可分两种情况：︒-⨯︒=︒；①当70︒角为底角时顶角为18027040②70︒角为等腰三角形的顶角；因此这个等腰三角形的顶角为40︒或70︒．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数做题时要注意分情况进行讨论这是十分重要的也是解答问题的关键．5．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度则等腰三角形顶角的度数是（）A．140B．20或80C．44或80D．140或44或80【答案】D【解析】【分析】设另一个角是x 表示出一个角是2x-20° 然后分①x是顶角2x-20°是底角②x是底角2x-20°是顶角③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【详解】设另一个角是x 表示出一个角是2x-20°①x是顶角2x-20°是底角时x+2（2x-20°）=180°解得x=44°∴顶角是44°；②x是底角2x-20°是顶角时2x+（2x-20°）=180°解得x=50°∴顶角是2×50°-20°=80°；③x与2x-20°都是底角时x=2x-20°解得x=20°∴顶角是180°-20°×2=140°；综上所述这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故答案为：D．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质三角形的内角和定理难点在于分情况讨论特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．6．若等腰三角形的一个角是80° 则它的底角是（）A．50°B．80°C．40°或80°D．50°或80°【答案】D【解析】【分析】分情况讨论：当这个角为底角或顶角两种情况讨论求解即可；【详解】当80°为底角时则底角为80°当80°为顶角时则底角为：18080=502︒-︒︒故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质本题有两种情况注意不要漏掉；7．若等腰三角形的一个角是80° 则此等腰三角形的顶角为（）A．80°B．20°C．80°或20°D．40°【答案】C【解析】【分析】可分两种情况：当80︒角为顶角时；当80︒角为底角时结合等腰三角形的性质利用三角形的内角和定理分别求解即可．【详解】解：当80︒角为顶角时则等腰三角形的顶角为80︒；当80︒角为底角时等腰三角形的顶角为180808020︒-︒-︒=︒即此等腰三角形的顶角为80︒或20︒．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键．8．在ABC中AB AC=AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50︒则B的度数为（）A．20︒B．70︒C．70︒或20︒D．无法确定【答案】C【解析】【分析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况画出相应图形求出∠BAC的度数进而根据三角形内角和定理求出即可．【详解】解：如图1 当∠A为锐角时∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°∴∠A＝40°又∵AB AC=∴∠B＝1802A︒-∠＝180402︒-︒＝70°；如图2 当∠A为钝角时∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50° ∴∠NAB＝40°∴∠BAC＝140°又∵AB AC =∴∠B ＝∠C ＝1801402︒-︒＝20°． 故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形性质 三角形内角和定理 线段垂直平分线的应用 关键是运用分类讨论思想画出图形 求出∠BAC 的度数．9．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为50° 则该三角形底角的度数为（ ） A ．20°B ．20°或70°C ．70°D ．无法确定 【答案】B【解析】【分析】分两种情况讨论：①若90A ∠<︒；②若90A ∠>︒；先求出顶角BAC ∠ 即可求出底角的度数．【详解】解：分两种情况讨论：①若90A ∠<︒ 如图1所示：BD AC ⊥90A ABD ∴∠+∠=︒50ABD ∠=︒905040A ∴∠=︒-︒=︒AB AC =1(18040)702ABC C ∴∠=∠=︒-︒=︒； ②若90A ∠>︒ 如图2所示：同①可得：905040DAB ∠=︒-︒=︒18040140BAC ∴∠=︒-︒=︒AB AC =1(180140)202ABC C ∴∠=∠=︒-︒=︒； 综上所述：等腰三角形底角的度数为70︒或20︒故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义 解题的关键是注意分类讨论方法的运用 避免漏解．10．等腰三角形的一个内角是50度 它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）度A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40【答案】C【解析】【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时 底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时 此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质 等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想． 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60° 则其顶角度数为（ ）．A ．60°或120°B ．30°或150°C ．30°D ．60° 【答案】B【解析】根据等腰三角形、直角三角形两锐角互余的性质分析 即可得到答案．【详解】分两种情况讨论；如下图 过点B 作BD AC ⊥交AC 于点D∴90ADB ∠=︒根据题意得：60ABD ∠=︒∴9030A ABD ∠=︒-∠=︒如下图 过点B 作BD AC ⊥交CA 延长线于点D∴90ADB ∠=︒根据题意得：60ABD ∠=︒∴9030DAB ABD ∠=︒-∠=︒∴180150BAC DAB ∠=︒-∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、直角三角形两锐角互余的性质 从而完成求解．12．在△ABC 中 AB AC 的垂直平分线相交于点O 如果∠BOC=100° 则∠A 等于（ ） A ．50°或120°B ．60°或130°C ．60°或120°D ．50°或130°【答案】D【分析】画出符合条件的两种情况根据线段垂直平分线性质得出AO＝BO、AO＝OC推出∠BAO＝∠ABO∠CAO＝∠ACO根据三角形内角和定理和四边形内角和定理求出即可．【详解】解：分为两种情况：如图1 当∠BAC为锐角时连接AO∵在ABC中AB AC的垂直平分线相交于点O∴AO＝BO CO＝AO∴∠BAO＝∠ABO∠CAO＝∠ACO∵∠BOC＝100°∴∠OBC＋∠OCB＝180°－100°＝80°∵∠BOC＝100° ∠BAC＝∠BAO＋∠CAO∠BAO＋∠CAO＋∠ACO＋∠OCB＋∠OBC＋∠ABO ＝180°∴2∠BAC＝180°－80°＝100°∴∠BAC＝50°；如图2 当∠BAC为钝角时同理2∠BAC＝360°－∠BOC＝360°－100°＝260°∴∠BAC＝130°；即∠BAC＝50°或130°故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质等腰三角形性质多边形的内角和定理的应用注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．13．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角45° 那么这个等腰三角形的底角为（）A．67°50′B．22°C．67.5°D．22.5°或67.5°【解析】【分析】先知三角形有两种情况（1）（2）求出每种情况的顶角的度数再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理即可求出底角的度数．【详解】有两种情况；（1）如图当△ABC是锐角三角形时BD⊥AC于D则∠ADB=90°已知∠ABD=45°∴∠A=90°-45°=45°∵AB=AC×（180°-45°）=67.5°；∴∠ABC=∠C=12（2）如图当△EFG是钝角三角形时FH⊥EG于H则∠FHE=90°已知∠HFE=45°∴∠HEF=90°-45°=45°∴∠FEG=180°-45°=135°∵EF=EG×（180°-135°）=22.5°∴∠EFG=∠G=12综合（1）（2）得：等腰三角形的底角是67.5°或22.5°故选D．本题考查了等腰三角形的性质 三角形的高 三角形内角和定理等 解题的关键是能否利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质 知三角形的一个角能否求其它两角．14．在等腰△ABC 中 AB ＝AC 一腰上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分 则这个等腰三角形的底边长为（ ）A ．7B ．7或11C ．11D ．7或10【答案】B【解析】【分析】题中给出了周长关系 要求底边长 首先应先想到等腰三角形的两腰相等 寻找问题中的等量关系 列方程求解 然后结合三角形三边关系验证答案．【详解】解：设这个等腰三角形的腰长为a 底边长为b ．∵D 为AC 的中点∴AD ＝DC ＝12AC ＝12a ． 根据题意得31521122a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或31221152a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得107a b =⎧⎨=⎩或811a b =⎧⎨=⎩ 又∵三边长为10 10 7和8 8 11均可以构成三角形．∴这个等腰三角形的底边长为7或11．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时 有的同学会审题错误 以为15 12中包含着中线BD 的长 从而无法解决问题 有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况．注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．15．等腰三角形ABC 中 ,AB AC AB =边上的垂直平分线与AC 边所在的直线相交所得的锐角为40︒ 则A ∠的度数为（ ）A ．140B ．50C ．40或150 D ．50或130【答案】D【解析】当△ABC为锐角三角形时在Rt△ADE中可求得∠A,再由三角形内角和定理可求得∠A;当△ABC为钝角三角形时求得△BAC的外角利用外角的性质求得∠A.【详解】解:当△ABC为锐角三角形时如图,设AB的垂直平分线交线段AC于点D,交AB于点E,∵∠ADE=40°, DE⊥AB,∴∠A=90°-40°=50°当△ABC为钝角三角形时如图设AB的垂直平分线交AB于点E,交AC于点D,∵∠ADE=40° DE⊥AB,∴∠DAB=50°,∴∠BAC=180°-∠DAB=130°故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键.16．在平面直角坐标系中A（2 3）O为原点若点B为坐标轴上一点且△AOB为等腰三角形则这样的B点有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【解析】【分析】分别以O、A为圆心以OA长为半径作圆与坐标轴交点即为所求点B再作线段OA的垂直平分线与坐标轴的交点也是所求的点B作出图形利用数形结合求解即可．【详解】解：如图满足条件的点B有8个故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定对于底和腰不等的等腰三角形若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．17．已知等腰ABC中AD BC⊥于点D且12AD BC=则ABC底角的度数为（）A．30°或45°B．30°或45°或75°C．15°或45°或75°D．45°或75°【答案】C【解析】【分析】分三种情况讨论①当AB=AC时根据已知条件得出AD=BD=CD从而得出△ABC底角的度数；②当AB=BC∠B为锐角时先求出∠ABD的度数再根据AB=BC求出底角的度数；③当AB=BC∠CBA为钝角时根据AD12=BC AB=BC得出∠DBA=30° 从而得出底角的度数．【详解】①如图1 当AB=AC时．∵AD⊥BC∴BD=CD．∵AD12=BC∴AD=BD=CD ∴底角为45°；②如图2 当AB=BC∠B为锐角时．∵AD12=BC∴AD12=AB∴∠ABD=30°∴∠BAC=∠BCA=75°∴底角为75°．③如图3 当AB=BC∠CBA为钝角时．∵AD12=BC AB=BC∴AD12=AB∴∠DBA=30°∴∠BAC=∠BCA=15°∴△ABC底角的度数为45°或75°或15°．故选：C．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质关键是根据题意画出图形注意不要漏解．18．在△ABC中AB=AC若过△ABC的一个顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形则∠BAC的度数为（）A．90°或108°或36°或1807︒B．90°或108°或36°C．90°或54°或36°或5407︒D．90°或54°或36°【答案】A【解析】【分析】分别以点A、点B、点C为顶点做直线将△ABC分成两个等腰三角形由于AB=AC故以点B和以点C 为顶点作的等腰三角形结果是一样的 所以讨论点A 、点B 为顶点的情况 根据等腰三角形的性质找出角的关系 由三角形外角以及三角形内角和定理即可求解．【详解】如图1 当过点A 的直线交BC 于点D 将△ABC 分成两个等腰三角形使AD BD CD == 设B x ∠=AB AC =C B x ∴∠=∠=AD BD CD ==BAD B x ∴∠=∠= CAD C x ∠=∠=2BAC x ∴∠=在ABC 中 180B BAC C ∠+∠+∠=︒2180x x x ∴++=︒解得：45x =︒90BAC ∴∠=︒；如图2 当过点A 的直线交BC 于点D 将△ABC 分成两个等腰三角形使AD BD = AC CD = 设B x ∠=AB AC =C B x ∴∠=∠=AD BD =BAD B x ∴∠=∠=2ADB B BAD x ∴∠=∠+∠=AC CD =2DAC ADB x ∴∠=∠=23BAC x x x ∴∠=+=在ABC 中 180B BAC C ∠+∠+∠=︒3180x x x ∴++=︒解得：36x =︒108BAC ∴∠=︒；如图3 当过点B 的直线交AC 于点D 将△ABC 分成两个等腰三角形使AD BD BC ==设BAC x ∠=AD BD =ABD BAC x ∴∠=∠=2BDC ABD BAD x ∴∠=∠+∠=BD BC =2C BDC x ∴∠=∠=AB AC =2ABC C x ∴∠=∠=在ABC 中 180ABC BAC C ∠+∠+∠=︒22180x x x ∴++=︒解得：36x =︒36BAC ∴∠=︒；如图4 当过点B 的直线交AC 于点D 将△ABC 分成两个等腰三角形 使AD BD = BC CD = 设BAC x ∠=AD BD =ABD BAC x ∴∠=∠=2BDC ABD BAD x ∴∠=∠+∠=BC CD =2CBD BDC x ∴∠=∠=23ABC x x x ∴∠=+=AB AC =3C ABC x ∴∠=∠=在ABC 中 180ABC BAC C ∠+∠+∠=︒33180x x x ∴++=︒ 解得：180()7x =︒ 180()7BAC ∴∠=︒ 综上 BAC ∠可为90°或108°或36°或1807︒． 故选：A ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定、三角形内角和定理 画出符合条件的图形 根据等腰三角形的判定以及三角形内角和定理找出角的关系是解题的关键．。
2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版)-等腰三角形分类讨论问题综合应用(解析版)
等腰三角形分类讨论问题综合应用类型一：腰和底不明时需讨论类型二：顶角和底角不明时需讨论类型三：涉及中线高位置的讨论类型四：等腰三角形个数的讨论类型五：动点引起的分类讨论【考点1 腰和底不明时需分类】【典例1】等腰三角形的两边长分别为4和8 则这个等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对【答案】B【解答】解：①若4是腰则另一腰也是4 底是8 但是4+4＝8 故不构成三角形舍去．②若4是底则腰是8 8．4+8＞8 符合条件．成立．故周长为：4+8+8＝20．故选：B【变式1-1】等腰三角形的一条边长为4cm另一条边长为6cm则它的周长是．【答案】14cm或16cm【解答】解：当4cm为腰时三边为4cm4cm6cm可以构成三角形∴周长为：4+4+6＝14（cm）；当6cm为腰时三边为为6cm6cm4cm可以构成三角形∴周长为：6+6+4＝16（cm）；综上周长为14cm或16cm．故答案为：14cm或16cm．【考点2 顶角和底角不明时需讨论】【典例2】等腰三角形的一个角是50°则它的底角是（）A．50°B．50°或65°C．80°D．65°【答案】B【解答】解：当底角为50°时则底角为50°当顶角为50°时由三角形内角和定理可求得底角为：65°所以底角为50°或65°故选：B．【变式2-1】等腰三角形的一个角是100°则其底角是（）A．40°B．100°C．80°D．100°或40°【答案】A【解答】解：当100°为顶角时其他两角都为40°40°当100°为底角时等腰三角形的两底角相等由三角形的内角和定理可知底角应小于90°故底角不能为100°所以等腰三角形的底角为40°40°．故选A（2020秋•慈溪市期中）已知在等腰△ABC中一个外角的度数为100°则【变式2-2】∠A的度数不能取的是（）A．20°B．50°C．60°D．80°【答案】C【解答】解：当100°的角是顶角的外角时顶角的度数为180°﹣100°＝80°另外两个角的度数都为50°；当100°的角是底角的外角时两个底角的度数都为180°﹣100°＝80°顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；故∠A的度数不能取的是60°．故选：C．【考点3 涉及中线高位置的讨论】【典例3】（2020秋•鄞州区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°则顶角的度数为（）A．65°B．105°C．55°或105°D．65°或115°【答案】D【解答】解：①如图1 当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求得顶角是90°+25°＝115°；②如图2 当等腰三角形的顶角是锐角时腰上的高在其内部故顶角是90°﹣25°＝65°．故选：D．【变式3-1】（2021春•南海区校级月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°则这个等腰三角形的顶角等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【答案】D【解答】解：当高在三角形内部时如图1∵∠ABD＝30°BD⊥AC∴∠A＝60°；∴顶角是60°；当高在三角形外部时如图2∵∠ABD＝30°BD⊥AC于D∴∠BAD＝60°∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°∴顶角是120°．故选：D．【变式3-2】（2021春•浦东新区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°那么这个等腰三角形的底角为．【答案】75°或15°【解答】解：根据题意得：AB＝AC BD⊥AC如图（1）∠ABD＝60°则∠A＝30°∴∠ABC＝∠C＝75°；如图（2）∠ABD＝60°∴∠BAD＝30°∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝15°．故这个等腰三角形的底角是：75°或15°．故答案为：75°或15°．【典例4】如图在△ABC中AB＝AC AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm两部分求△ABC各边的长．【解答】解：∵BD是AC边上的中线∴AD＝CD＝AC∵AB＝AC∴AD＝CD＝AB设AD＝CD＝xcm BC＝ycm分两种情况：当时即解得：∴△ABC的各边长为8cm8cm11cm；当时即解得：∴△ABC的各边长为10cm10cm7cm；综上所述：△ABC各边的长为8cm8cm11cm或10cm10cm7cm．【变式4】（2021春•浦东新区期中）已知等腰三角形的底边长为6 一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分其中一部分比另外一部分长2 则三角形的腰长是．【答案】8或4【解答】解：等腰三角形一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分这两部分的差即是腰与底的差的绝对值∵其中一部分比另外一部分长2∴腰比底大2或底比腰大2∴腰为8或4．故答案为：8或4．【考点4 等腰三角形个数的讨论】【典例5】如图网格中的每个小正方形的顶点称作格点图中A B在格点上则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【解答】解：如图所示：分三种情况：①以A为圆心AB长为半径画弧则圆弧经过的格点C1C2C3即为点C的位置；②以B为圆心AB长为半径画弧则圆弧经过的格点C3C4C5C6C7C8即为点C的位置；③作AB的垂直平分线垂直平分线没有经过格点；∴△ABC为等腰三角形的格点C的个数为：8故选：B．【变式5-1】如图△ABC中直线l是边AB的垂直平分线若直线l上存在点P使得△P AC△P AB均为等腰三角形则满足条件的点P的个数共有（）A．1B．3C．5D．7【答案】C【解答】解：分三种情况：如图：当AP＝AC时以A为圆心AC长为半径画圆交直线l于点P1P2当CA＝CP时以C为圆心CA长为半径画圆交直线l于点P3P4当P A＝PC时作AC的垂直平分线交直线l于点P5∵直线l是边AB的垂直平分线∴直线l上任意一点（与AB的交点除外）与AB构成的三角形均为等腰三角形∴满足条件的点P的个数共有5个故选：C．【变式5-2】如图已知Rt△ABC中∠C＝90°∠A＝30°在直线BC上取一点P使得△P AB是等腰三角形则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：分三种情况如图：∵∠ACB＝90°∠BAC＝30°∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°当BA＝BP时以B为圆形BA长为半径画圆交直线BC于P1P2两个点∵BA＝BP2∠ABC＝60°∴△ABP2是等边三角形∴AB＝BP2＝AP2当AB＝AP时以A为圆形AB长为半径画圆交直线BC于P2当P A＝PB时作AB的垂直平分线交直线BC于P2综上所述在直线BC上取一点P使得△P AB是等腰三角形则符合条件的点P有2个故选：B．【考点5 动点引起的分类】【典例6】如图所示在△ABC中AB＝AC＝2 ∠B＝40°点D在线段BC上运动（D 不与B C重合）连结AD作∠ADE＝40°DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝115°时∠BAD＝；点D从B向C运动时∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）．（2）当DC的长为多少时△ABD与△DCE全等？请说明理由．（3）在点D的运动过程中△ADE的形状也在改变请判断当∠BDA等于多少度时△ADE是等腰三角形．（直接写出结论不说明理由．）【解答】解：（1）∵∠B＝40°∠BDA＝115°∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣115°﹣40°＝25°由图形可知∠BDA逐渐变小故答案为：25°；小；（2）当DC＝2时△ABD≌△DCE理由如下：∵AB＝2∴AB＝DC∵AB＝AC∴∠C＝∠B＝40°∴∠DEC+∠EDC＝140°∵∠ADE＝40°∴∠ADB+∠EDC＝140°∴∠ADB＝∠DEC在△ABD和△DCE中∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）当∠BDA的度数为110°或80°时△ADE是等腰三角形当DA＝DE时∠DAE＝∠DEA＝70°∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；当AD＝AE时∠AED＝∠ADE＝40°∴∠DAE＝100°此时点D与点B重合不合题意；当EA＝ED时∠EAD＝∠ADE＝40°∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝40°+40°＝80°综上所述当∠BDA的度数为110°或80°时△ADE是等腰三角形．【变式6】如图在△ABC中AB＝AC＝2 ∠B＝∠C＝40°点D在线段BC上运动（点D不与点B C重合）连接AD作∠ADE＝40°DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时∠EDC＝°∠DEC＝°；点D从B向C的运动过程中∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时△ABD≌△DCE请说明理由；（3）在点D的运动过程中求∠BDA的度数为多少时△ADE是等腰三角形．【解答】解：（1）当∠BDA＝110°时∠EDC＝180°﹣110°﹣40°＝30°∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣C＝180°﹣30°﹣40°＝110°∵点D从B向C的运动过程中∠BAD逐渐变大∴∠BDA逐渐变小故答案为：30 110 小；（2）当DC＝2时△ABD≌△DCE理由如下∵∠ADC＝∠B+∠BAD∠ADC＝∠ADE+∠CDE∠B＝∠ADE＝40°∴∠BAD＝∠CDE∵AB＝CD＝2 ∠B＝∠C＝40°∴△ABD≌△DCE（ASA）；（3）若AD＝DE时∵AD＝DE∠ADE＝40°∴∠DEA＝∠DAE＝70°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝30°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°若AE＝DE时∵AE＝DE∠ADE＝40°∴∠ADE＝∠DAE＝40°∴∠AED＝100°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝60°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°由题意知AD＝AE不可能综上所述：当∠BDA＝80°或110°时△ADE的形状可以是等腰三角形．1．（2019秋•海安市期中）用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形若其中有一边的长为5cm则该等腰三角形的腰长为（）cm．A．5B．6.5C．5或6.5D．6.5或8【答案】C【解答】解：5cm是腰长时底边为18﹣5×2＝8∵5+5＞8∴5cm5cm8cm能组成三角形；5cm是底边时腰长为（18﹣5）＝6.5cm5cm 6.5cm 6.5cm能够组成三角形；综上所述它的腰长为6.5或5cm．故选：C．2．（2021•碑林区校级开学）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°则这个等腰三角形的底角度数是（）A．50°B．80°C．50°或70°D．80°或40°【答案】C【解答】解：在△ABC中设∠A＝x∠B＝x+30°分情况讨论：当∠A＝∠C为底角时2x+（x+30°）＝180°解得x＝50°底角∠A＝50°；当∠B＝∠C为底角时2（x+30°）+x＝180°解得x＝40°底角∠B＝70°．故这个等腰三角形的底角的度数为50°或70°．故选：C．3．（2020秋•渝北区校级月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°则其底角为（）A．65°B．32.5°C．32.5°或57.5°D．32.5°或65°【答案】C【解答】解：①如图1 当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得顶角是90°+25°＝115°则其底角为（180°﹣115°）÷2＝32.5°；②如图2 当等腰三角形的顶角是锐角时腰上的高在其内部故顶角是90°﹣25°＝65°则其底角为（180°﹣65°）÷2＝57.5°．故选：C．4.（2021春•淮阳区校级期末）某等腰三角形的周长是21cm一条腰上的中线把其周长分成两部分的差为3cm该三角形的腰长是cm．【答案】8或6【解答】解：设等腰三角形的腰长是xcm底边长是ycm根据题意得或解得或∵8 8 5与6 6 9都能组成三角形∴该三角形的腰长为8cm或6cm．故答案是8或6．5．若△ABC中刚好有∠B＝2∠C则称此三角形为“可爱三角形”并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（）A．45°或36°B．72°或36°C．45°或72°D．45°或36°或72°【答案】C【解答】解：①设三角形底角为α顶角为2α则α+α+2α＝180°解得：α＝45°②设三角形的底角为2α顶角为α则2α+2α+α＝180°解得：α＝36°∴2α＝72°∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°故选：C．6．如图所示的正方形网格中网格的交点称为格点已知A B是两格点如果C也是图中的格点且使得△ABC为等腰三角形则符合条件的点C的个数是（）A．9B．8C．7D．6【答案】B【解答】解：如图：分三种情况：当AB＝AC时以点A为圆心以AB长为半径作圆则点C1C2C3即为所求；当BA＝BC时以点B为圆心以BA长为半径作圆则点C4C5C6即为所求；当CA＝CB时作AB的垂直平分线则点C7C8即为所求；综上所述：符合条件的点C的个数是8故选：B．7．如图在△ABC中AB＝AC＝2 ∠B＝∠C＝40°点D在线段BC上运动（点D 不与点B C重合）连接AD作∠ADE＝40°DE交线段AC于点E．（1）点D从B向C的运动过程中∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）在点D的运动过程中当∠BDA的度数是时△ADE是等腰三角形．【解答】解：（1）点D从B向C的运动过程中∠BDA逐渐变小故答案为：小；（2）分三种情况：当AD＝AE时∴∠ADE＝∠AED＝40°∵∠AED是△DEC的外角∴∠AED＞∠C此种情况不存在当DA＝DE时∵∠ADE＝40°∴∠DAE＝∠DEA＝70°∵∠C＝40°∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝110°当EA＝ED时∴∠EAD＝∠ADE＝40°∵∠C＝40°∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝80°综上所述：∠BDA的度数是110°或80°故答案为：110°或80°．8.（秋•宝应县期末）如图△ABC中AB＝AC＝2 ∠B＝∠C＝40°．点D在线段BC上运动（点D不与B C重合）连接AD作∠ADE＝40°DE交线段AC于E．（1）当∠BAD＝20°时∠EDC＝°；（2）当DC等于多少时△ABD≌△DCE？试说明理由；（3）△ADE能成为等腰三角形吗？若能请直接写出此时∠BAD的度数；若不能请说明理由．【答案】（1）20 （2）当DC＝2时△ABD≌△DCE（3）当∠BAD＝30°或60°时△ADE能成为等腰三角形【解答】解：（1）∵∠BAD＝20°∠B＝40°∴∠ADC＝60°∵∠ADE＝40°∴∠EDC＝60°﹣40°＝20°故答案为：20；（2）当DC＝2时△ABD≌△DCE；理由：∵∠ADE＝40°∠B＝40°又∵∠ADC＝∠B+∠BAD∠ADC＝∠ADE+∠EDC．∴∠BAD＝∠EDC．在△ABD和△DCE中．∴△ABD≌△DCE（ASA）；（3）能当∠BAD＝30°或60°时△ADE能成为等腰三角形．理由：①当∠BAD＝30°时∵∠B＝∠C＝40°∴∠BAC＝100°∵∠ADE＝40°∠BAD＝30°∴∠DAE＝70°∴∠AED＝180°﹣40°﹣70°＝70°∴DA＝DE∴△ADE为等腰三角形；②当∠BAD＝60°时∵∠B＝∠C＝40°∴∠BAC＝100°∵∠ADE＝40°∠BAD＝60°∠DAE＝40°∴EA＝ED∴△ADE为等腰三角形．综上所述当∠BAD＝30°或60°时△ADE能成为等腰三角形。
等腰三角形中的分类讨论问题归类
等腰三角形中的分类讨论问题归类等腰三角形是高中几何学中的重要概念之一，它具有一些特殊的性质和分类方法。
本文将对等腰三角形进行分类讨论，并归类相关问题。
通过对等腰三角形的深入了解，我们能够更全面地掌握它的性质和应用。
一、定义与性质等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
根据这个定义，我们可以推导出等腰三角形的一些性质。
首先，等腰三角形的底角（底边所对的角）是两条边所对应的顶角的一半。
其次，等腰三角形的高线（从顶点到底边之间的线段）也是它的中线和中线所在的高线相等。
此外，等腰三角形的角平分线也是高线和中线。
这些性质在解决等腰三角形相关问题时非常有用。
二、基于边长的分类根据等腰三角形底边和两边的长度关系，我们可以将等腰三角形分为以下几种情况。
1. 等腰锐角三角形：当两边的长度小于底边时，所形成的等腰三角形是一个锐角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个锐角。
2. 等腰直角三角形：当两边的长度等于底边时，所形成的等腰三角形是一个直角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个直角。
3. 等腰钝角三角形：当两边的长度大于底边时，所形成的等腰三角形是一个钝角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个钝角。
三、基于角度的分类根据等腰三角形底边所对应的顶角的大小，我们可以将等腰三角形分为以下几种情况。
1. 等腰锐角三角形：当底角小于90度时，所形成的等腰三角形是一个锐角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个锐角。
2. 等腰直角三角形：当底角等于90度时，所形成的等腰三角形是一个直角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个直角。
3. 等腰钝角三角形：当底角大于90度时，所形成的等腰三角形是一个钝角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个钝角。
四、应用与推广了解等腰三角形的分类讨论有助于我们在解决相关几何问题时快速准确地判断和运用。
例如，当我们需要证明一个三角形是等腰三角形时，可以根据其边长关系或角度关系进行分类讨论。
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等腰三角形分类讨论综合1.理解等腰三角形的性质和判定定理；2.能用等腰三角形的判定定理进行相关计算和证明；3.初步体会等腰三角形中的分类讨论思想；4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形；5.培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。
知识结构【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学生回顾学过的等腰三角形的性质，可以在黑板上举例让学生画图；2再根据第2个图引导学生总结出题目中经常出现的一些等腰三角形的题型；3.和学生一起分析二次函数背景下等腰三角形的基本考点，为后面的例题讲解做好铺垫。
建议时间5分钟左右。
一．等腰三角形的性质：二．等腰三角形常见题型分类：三．函数背景下的等腰三角形的考点分析：1.求解相应函数的解析式；2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标；3.根据点的位置进行等腰三角形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两大类；4.根据点的位置和形成的等腰三角形立等式求解。
【备注】：1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；Array 3.可以根据各题的“参考教法”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“教法指导”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。
例1.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB =3，AC =4，AD 是BC 边上的高，点E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点，且∠EDF = 90°．（1）求DE ︰DF 的值；（2）设直线DF 与直线AB 相交于点G ，△EFG 能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE 的长；若不能，请说明理由。
（★★★★★）【参考教法】：一．你来找一下题目中由哪些不变的量或者是比较特殊的条件，试试看： 1.ABC ∆中B C ∠∠、的三角比是否能求解？你求求看。
提示：43cos cos 55B C ==，； 2.题目中有很多垂直，会得到很多角度角相等的，你找找。
提示：B DAC ∠=∠、BAD C ∠=∠、ADE FDC ∠=∠、BDE ADF ∠=∠。
3.题目中是否有相似三角形？找找看。
提示：AED DFC ∆∆∽、BDE ADF ∆∆∽等。
二．求:DE DF ，选择那些条件可以求解？你求一下吧！ 提示：用AED DFC ∆∆∽，在结合C ∠的三角比可求得。
三．当△EFG 为等腰三角形时：1.会得出什么特殊条件不？ 提示：两边相等，或者是两角相等；2.需不需要分类讨论？ 提示：题目中没有指定腰，应该需要；3.如需要分哪几种？提示：根据点G 的不同位置分两大类讨论： ①当点G 在射线AB 上时，如图1。
因为90FEG CAB AFE ∠=∠+∠o＞ 所以FEG ∠为钝角，则△EFG 为等腰三角形时，EG EF =；②当点G 在射线BA 上时，如图2。
因为90FEG CAB AEF ∠=∠+∠o ＞ 所以EFG ∠为钝角，则△EFG 为等腰三角形时，FG EF =； 3.怎么计算，你能自己先求解一下看看吗？4.通过本题的分析求解过程，你对等腰三角形讨论题型有点思路了没？ 【满分解答】：（1）∵∠BAC = 90° ∴∠B +∠C ＝90°，∵AD 是BC 边上的高 ∴∠DAC +∠C =90° ∴∠B =∠DAC 又∵∠EDF = 90°∴∠BDE +∠EDA =∠ADF +∠EDA = 90° ∴∠BDE =∠ADF例1题图 BC D E FA备用图1 B C D 备用图2 B C D A A∴△BED ∽△AFD ∴DE BDDF AD=∵3cot 4BD AB B AD AC === ∴DE ︰DF =34（2）若△EFG 为等腰三角形，根据点G 的不同位置分两大类讨论：CBC（图1） （图2）①当点G 在射线AB 上时，如图1。
因为90FEG CAB AFE ∠=∠+∠o＞ 所以FEG ∠为钝角，则△EFG 为等腰三角形时，EG EF = ∵EG EF =，ED DF ⊥ ∴D 为GF 中点则，在直角AGF ∆中，2425GF AD ==， 又∵=G EFG C ∠∠=∠∴cos =cos G C ∠∠，则45DG AG AC EG GF BC === 可求得96,325AG EG == 。
所以：5425BE =另解：由△EFG 为等腰三角形可得AED GBD ∆∆≌，所以BD DE =，再过点D 作BE 垂线，利用三角比可求得5425BE =。
②当点G 在射线BA 上时，如图2。
因为90FEG CAB AEF ∠=∠+∠o＞ 所以EFG ∠为钝角，则△EFG 为等腰三角形时，FG EF = ∵FG EF =，AF AE ⊥ ∴A 为EG 中点 ∴=AEG G ∠∠ 又∵=B FED ∠∠∴=BDE AEF ADF ∠∠=∠ ∴ADF G ∠=∠ ∴125AE AG AD === 所以：35BE =。
综上可得，当△EFG 为等腰三角形时，5425BE =或35BE =。
我来试一试！练习 1.如图1，在△ABC 中，ACB ∠=︒90，2AC BC ==，M 是边AC 的中点，CH BM ⊥于H 。
（★★★★★） （1）试求sin MCH ∠的值； （2）求证：ABM CAH ∠=∠；（3）若D 是边AB 上的点，且使△AHD 为等腰三角形，请求AD 的长。
【解法点拨】：1.寻找题目中的特殊条件和不变的量： ①M 是边AC 的中点； ②CH BM ⊥；③题目中的线段AB BM CH MH AH 、、、、都可求解（让学生自己计算）；⑤④⑥ 2.证明角度相等，回顾证明角度相等的方法后，知本题利用相似角简单，但题目中很多线段的长度都求解，因此利用两边成比例证明△AMH ∽△BMA 即可得ABM CAH ∠=∠； 3.当△AHD 为等腰三角形时，分三个情况讨论：①当AD DH =时：因为边长不能直接求出，则利用三角比求解，过点D 作DE AH ⊥，因为MAH ABM ∠=∠，则DAE CBM MCH ∠=∠=∠，所以cos cos DAE MCH ∠=∠； ②当AD AM =时：可直接得AD 的长；③当AM DM =时：因为边长不能直接求出，则利用三角比求解，过点H 作HQ AD ⊥，因为MAH ABM ∠=∠，则DAE CBM MCH ∠=∠=∠，所以cos cos DAE MCH ∠=∠。
4.注意利用好等腰三角形的性质：底边上三线合一；通常情况下用“画底边上的高+三角比求解”；5.注意便讲解边让学生计算求解，加强师生之间的互动性。
【满分解答】：（1）在△MBC 中，∠MCB =︒90，BC =2，又∵M 是边AC 的中点，∴AM =MC =21BC =1， ∴MB =52122=+，又CH ⊥BM 于H ，则∠MHC =︒90， ∴∠MCH =∠MBC ，∴sin ∠MCH =5CM BM =.（2）在△MHC 中，sin 5MH CM MCH =⋅∠=. ∴AM 2=MC 2=MB MH ⋅，即MAMBMH MA =， 又∵∠AMH =∠BMA ， ∴△AMH ∽△BMA ， ∴∠ABM =∠CAH .（3）由前两问可得：5AH =,cos 5MCH ∠=。
当△AHD 为等腰三角形时，分以下三个情况讨论：①当AD DH =时：如图1，过点D 作DE AH ⊥，因为MAH ABM ∠=∠，则DAE CBM MCH ∠=∠=∠，所以cos cos DAE MCH ∠=∠；所以：AE CHAD CM=::1AD =，所以2AD =；②当AD AM =时：如图2，可直接得AD =； ③当AM DM =时：如图3，过点H 作HQ AD ⊥，因为MAH ABM ∠=∠，则DAE CBM MCH ∠=∠=∠，所以cos cos DAE MCH ∠=∠所以：AQ CHAH CM=，即::155AQ =，所以25AD AQ ==； 综上可得，当△AHD 为等腰三角形时，AD 的长为5102、528、22。
CB选讲选练题例2.如图，在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG ， 当BDG ∆是等腰三角形时，请直接写出AD 的长。
（★★★★★）【参考教法】：一．以提问式，和学生一起分析题目，先寻找题目中的已知条件或特殊条件： 1.题目中有哪些已知量？ 提示：从边、角归类寻找。
①边：6,5===BC AC AB ，BC DE ∥；②角:B C ∠=∠；2.题中有什么特殊的图形没？提示：ABC ∆等腰、正方形DEFG 。
3.你能求解一下题目中的其它线段吗？提示：设AD x =，让学生求解ABC ∆底边上的高，并用含x 的代数式表示DE 的长。
二．当BDG ∆是等腰三角形时：1.需要讨论吗？提示：需要，分两大情况讨论；2.怎么讨论？提示：当BDG ∆是等腰三角形时，根据点G 的位置分：点G 在ABC ∆内部和图1图2图3外面两大类讨论：（1）当点G 在ABC ∆内部时：因为90DGB ∠o＞，所以该情况下只可能DG BG =。
但该情况下不能直接求解出，则画底边上的高（点G 作GH AB ⊥）。
（如图1） 则：HDG QAB ∠=∠，所以cos cos HDG QAB ∠=∠； （2）当点G 在ABC ∆外面时：分以下情况讨论①当DB DG =时：直接利用相等计算，即655xx =-； ②当DB DG =时：（如图2）设BC 与DG 交点为M ，则可得：BM DG ⊥且点M 为DG中点；所以：cos cos HDG QAB ∠=∠； ③当DG BG =，不成立。
3.怎么计算？你会求解吗？提示：见上面求解，可让学生自己计算。
4.通过本题的分析求解后，你觉得等腰三角形的分类讨论题目还难吗？ 6.提示学生利用好三角比。
【满分解答】：过点A 作AQ BC ⊥，垂足为点Q 。
∵6,5===BC AC AB ，则34BQ AQ ==、，4cos 5QAB ∠=； 设AD x =，则5BD x =-，65DE DG x ==。