高中数学第三章综合练习 新课标 人教版 必修1(B)
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第三章 第三章 综合训练
−
= ( > , > )的左、右焦点分别为 (−, ), (, ),
可得 = .
如果离心率为 ,可得
=
,则 = ,所以双曲线C的方程为
= + ,
如果双曲线过点(, ),可得ቐ
−
−
−
则 = = ，∴ = ， = ,
∴椭圆的方程为
+
= ( ≥ ).
对于A，椭圆的离心率是 =
=
=
，故A正确；
对于B，设(, )关于直线 = 的对称点为(, )， ≠ ,可得
=
解得
+
×
,
设( , )，∴
+
= ，∴ = − ( < < ),
∴ || = − + − ,
∴ = × ( − + − ) =
=
(
+ ),
+
− × =
+
( − ) ≤
2
− 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为1 (−5,0),2 (5,0),则
2
2
能使双曲线的方程为 − = 1的是() ABC
人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测题(含答案解析)
一、选择题1．若奇函数()f x 在区间[]3,6上是增函数，且在区间[]3,6上的最大值为7，最小值为-1，则()()263f f -+-的值为（ ） A ．5B ．-5C ．13D ．-132．定义在R 偶函数()f x 满足()()22f x f x -=-+，对[]12,0,4x x ∀∈，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则有（ ）A ．()()()192120211978f f f =<B ．()()()192119782021f f f <<C ．()()()192120211978f f f <<D ．()()()202119781921f f f <<3．设函数21,2()7,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（ ） A ．()8,9B ．()65,129C ．()64,128D ．()66,1304．设函数()f x 是定义R 在上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有(1)(1)f x f x +=-，已知当[0,1]x ∈时，1()2x f x -=，若32a f ⎛=⎫⎪⎝⎭，()30.5b f -=，()60.7c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >>D ．c b a >>5．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()3f m n f m f n +=+-，且0x >时，()3f x <，则下列说法不正确的是（ ）A ．()()6f x f x +-=B ．()y f x =在R 上单调递减C ．若()10f =，()()22190f x x f x ++--->的解集()1,0-D ．若()69f =-，则123164f ⎛⎫= ⎪⎝⎭6．对于实数a 和b ，定义运算“*”：,,,.b a b a b a a b ≤⎧*=⎨>⎩设()f x x =，()224g x x x =--+，则()()()M x f x g x =*的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．函数()21x f x x-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数()22368f x x x x =---+-的值域是( )A ．35,5⎡⎤-⎣⎦B ．[]1,5C ．2,35⎡⎤+⎣⎦D ．35,35⎡⎤-+⎣⎦9．函数f (x )＝211x --的值域为( ) A ．[－43,43] B ．[－43,0] C ．[0,1]D ．[0,43] 10．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}{},x x m =即．在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①11()22f -=；②(3.4)0.4f =-；③11()()44f f -<；④()y f x =的定义域是R ，值域是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；则其中真命题的序号是 （ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案11．已知函数()3()log 91xf x x =++，则使得()2311log 10f x x -+-<成立的x 的取值范围是（ ）A．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,1)D ．(,1)-∞12．设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则下列结论正确的是（ ）A ．()D x 的值域为[0,1]B ．()D x 是偶函数C ．()(3.14)D D π>D ．()D x 是单调函数13．函数1()lg f x x=+ ） A ．(0,2] B ．(0,2) C ．(0,1)(1,2]⋃D ．(,2]-∞14．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A．()f x =2()f x =B ．,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与()||g t t =C ．()f x =()g x =．()1f x x 与2()1x g x x=-15．现有下列四个结论中，其中正确结论的个数是（ ）①幂函数()k yx k Q =∈的图象与函数1y x =的图象至少有两个交点；②函数()30xy k k =⋅>（k 为常数）的图象可由函数3xy =的图象经过平移得到；③函数11(0)312xy x x ⎛⎫=+≠⎪-⎝⎭是偶函数； ④函数21lg ||x y x +=无最大值，也无最小值；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题16．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且对于12,[0,)x x ∀∈+∞，都有()()()221112210x f x x f x x x x x ->≠-，且(3)2f =，则不等式6()f x x>的解集为___________.17．已知a R ∈，函数229()f x x a a x =++-在区间[3,1]--上的最大值10，则a 的取值范围是__________．18．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =-.(1)在坐标系中画出函数()f x 在R 上的完整图象； (2)求函数()f x 在R 上的解析式.19．定义在[0,)+∞上的函数()y f x =满足：（1）(2)0f =；（2）当02x <<时，()0f x ≠；（3）任意的,0x y >总有()(())()f x y f x f y f y +=⋅⋅成立．则1(3)2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．20．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________.21．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数[]y x =称为高斯函数，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，当(]1.5,3x ∈-时，函数22x y ⎡-=⎤⎢⎥⎣⎦的值域为________．22．函数()ln f x x x x =+的单调递增区间是_______． 23．已知函数2421()349x x f x +-=-+，则(21)(2)8f x f x -++>的解集为__．24．设函数()f x 在定义域(0，+∞)上是单调函数，()()0,,xx f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦，若不等式()()f x f x ax '+≥对()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是______． 25．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()21f =-，对任意的x ∈R 都有()()2f x f x =--，则()2020f =_________.26．已知f （x ）是R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣5x ，则f （x ﹣1）＞f （x ）的解集为_____．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先利用条件找到()31f =-，(6)7f =，再利用()f x 是奇函数求出(3)f -，(6)f -代入即可． 【详解】由题意()f x 在区间[]3,6上是增函数， 在区间[]3,6上的最大值为7，最小值为1-， 得()31f =-，(6)7f =，()f x 是奇函数，(3)2(6)(3)2(6)12713f f f f ∴-+-=--=-⨯=-．故答案为：13-． 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求最值，关键点是利用函数的奇偶性先求函数值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．B解析：B 【分析】首先判断函数的周期，并利用周期和偶函数的性质化简选项中的函数值，再比较大小. 【详解】()()22f x f x -=-+，()()4f x f x ∴+=-，即()()8f x f x +=，()f x ∴的周期8T =，由条件可知函数在区间[]0,4单调递增，()()()1921240811f f f =⨯+=，()()()()()202125285533f f f f f =⨯+==-=， ()()()1978247822f f f =⨯+=，函数在区间[]0,4单调递增，()()()123f f f ∴<<， 即()()()192119782021f f f <<. 故选：B 【点睛】结论点睛：本题的关键是判断函数是周期函数，一般涉及周期的式子包含()()f x a f x +=，则函数的周期是a ，若函数()()f x a f x +=-，或()()1f x a f x +=，则函数的周期是2a ，或是()()f x a f x b -=+，则函数的周期是b a +. 3．D解析：D 【分析】画出函数()f x 的图象，不妨令a b c <<，则222a b +=．结合图象可得67c <<，从而可得结果． 【详解】画出函数()f x 的图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b +=． 结合图象可得67c <<，故67222c <<． ∴66222130a b c <++<． 故选：D ． 【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有： 确定方程根的个数； 求参数的取值范围； 求不等式的解集； 研究函数性质．4．B解析：B 【分析】由(1)(1)f x f x +=-可得函数的周期为2，再利用周期和偶函数的性质将32a f ⎛=⎫⎪⎝⎭，()30.5b f -=，转化使自变量在区间[0,1]上，然后利用()f x 在[0,1]上单调递增，比较大小 【详解】解：因为(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=， 所以函数()f x 的周期为2，因为函数()f x 是定义R 在上的偶函数， 所以331122222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()30.5(8)(0)b f f f -===，因为62100.70.72<<<，()f x 在[0,1]上单调递增， 所以61(0)(0.7)()2f f f <<， 所以b c a <<， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查函数周期性，单调性和奇偶性的应用，解题的关键是利用函数的周期将自变量转化到区间[0,1]上，然后利用()f x 在[0,1]上单调递增，比较大小，属于中档题5．D解析：D 【分析】构造函数()()3g x f x =-，验证函数()g x 的奇偶性可判断A 选项的正误；判断函数()g x 的单调性可判断B 选项的正误；利用函数()g x 的单调性解不等式()()22190f x x f x ++--->，可判断C 选项的正误；计算出()24g =-，求出116g ⎛⎫⎪⎝⎭的值，可求得116f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，可判断D 选项的正误. 【详解】构造函数()()3g x f x =-，由()()()3f m n f m f n +=+-可得()()()g m n g m g n +=+. 对于A 选项，取0m n ==，可得()()020g g =，()00∴=g ，取n m =-，则()()()00g g m g m =+-=，()()g m g m ∴-=-，则函数()g x 为奇函数，所以，()()()()60g x g x f x f x +-=+--=，可得()()6f x f x +-=，A 选项正确； 对于B 选项，由已知条件可知，当0x >时，()()30g x f x =-<.任取1x 、2x R ∈且12x x >，所以，()()()()()1212120g x x g x g x g x g x -=+-=-<，()()12g x g x ∴<，所以，函数()()3g x f x =-为R 上的减函数，所以，函数()f x 为R 上的减函数，B 选项正确； 对于C 选项，()10f =，可得()()1133g f =-=-，由()()22190f x x f x ++--->，可得()()22130g x x g x ++--->，即()()()21311g xx g g +->=-=-，211x x ∴+-<-，可得20x x +<，解得10x -<<.C 选项正确； 对于D 选项，()()()()()663124232g f g g g =-=-=+=，()24g ∴=-，()()112214324216g g g g ⎛⎫⎛⎫=====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111316168fg ⎛⎫⎛⎫∴-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，123168f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差()()12f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值→作差→变形→定号→下结论.6．B解析：B 【分析】由题意可得()()()()()()()()()g x f x g x M x f x g x f x f x g x ⎧≤⎪=*=⎨>⎪⎩，通过解不等式得出()()212421,x x x M x x x ⎧⎡⎤---+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎪∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎩，作出函数()M x 的图象，根据函数图象可得答案. 【详解】由条件有()()()()()()()()()g x f x g x M x f x g x f x f x g x ⎧≤⎪=*=⎨>⎪⎩当0x ≥时，()224g x x x x =--+≥，得到01x ≤≤， 即01x ≤<时，()()f x g x <，当1x >时，()()f x g x > 当0x <时，()224g x x x x =--+≤-，得117x --≤即当117x --≤时，()()f x g x >，当1170x --<<时，()()f x g x <所以()()211724,1117,1,x x x M x x x ⎧⎡⎤----+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫--⎪∈-∞⋃+∞ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩作出函数()M x 的图象，如图所示，由图可得，当1x =时，()M x 有最小值1 故选：B7．D解析：D 【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，由此可得出合适的选项. 【详解】函数()21x f x x -=的定义域为{}0x x ≠，()()()2211x x f x f x x x----===-，函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、C 选项；当0x >时，()211x f x x x x-==-，因为y x =，1y x =-在区间()0,∞+上都是增函数，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，排除A 选项， 故选：D. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左、右位置；从函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象． 利用上述方法排除、筛选选项．8．A解析：A 【详解】由()()2223682x 31x 3f x x x x =---+-=----，知2680x x -+-≥，解得[]2,4.x ∈令()2t 231x 3x =----，则()21x 323x t --=--.，即为()2y 1x 3=--和y 23x t =--两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示：由图可知，当直线和半圆相切时t 最小，当直线过点A(4,0)时，t 最大. 3t 114-=+，解得35t =±35t =-当直线过点A(4,0)时，2430t ⨯--=，解得t 5=.所以t 35,5⎡⎤∈⎣⎦，即() 35,5f x ⎡⎤∈⎣⎦.故选A.9．C解析：C 【解析】令cos ,[0,π]x θθ=∈，则sin 1()()cos 2f xg θθθ-==-的几何意义是单位圆(在x 轴及其上方)上的动点(cos ,sin )M θθ与点(2,1)A 连线的斜率k ，由图象，得01k ≤≤，即函数()f x 的值域为[0,1]，故选C.点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，21x -sin 1cos 2θθ--的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合. 10．B解析：B【解析】111()(1)222f -=---= ；111()(0)444f -=--=-，111()(0)444f =-=，所以11()()44f f -<； (3.4) 3.430.4f =-=；()y f x = 的定义域是R ，值域是11(,]22- ，所以选B.点睛：解决新定义问题，关键是明确定义含义，正确运用定义进行运算.对于抽象的概念，可先列举一些具体的数值进行理解与归纳.本题易错点在区间端点是否可取上，难点在于整数的确定.11．C解析：C【分析】令21t x x =-+，则3()1log 10f t -<，从而33log (91)1log 10t t ++-<，即可得到133log (91)log (91)1t t ++<++，然后构造函数3()log (91)t g t t =++，利用导数判断其单调性，进而可得23114x x ≤-+<，解不等式可得答案 【详解】令21t x x =-+，则221331()244t x x x =-+=-+≥， 3()1log 10f t -<，所以33log (91)1log 10t t ++-<，所以133log (91)log (91)1t t ++<++，令3()log (91)tg t t =++，则9ln 929'()11(91)ln 391t tt t g t ⨯=+=+++， 所以90t >，所以'()0g t >，所以()g t 在3[,)4+∞单调递增，所以由()(1)g t g <，得314t ≤<， 所以23114x x ≤-+<，解得01x <<， 故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得133log (91)log (91)1t t ++<++，再构造函数3()log (91)t g t t =++，利用函数的单调性解不等式.12．B解析：B【分析】计算函数值域为{}0,1A 错误，根据偶函数定义知B 正确，()0D π=，(3.14)1D =，C 错误，()()011D D ==，故D 错误，得到答案.【详解】根据题意：()D x 的值域为{}0,1，A 错误；当x 为有理数时，x -为有理数，()()D x D x =-，当x 为无理数时，x -为无理数，()()D x D x =-，故函数为偶函数，B 正确；()0D π=，(3.14)1D =，C 错误；()()011D D ==，故D 错误.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数的值域，奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 13．C解析：C【分析】对数的真数大于零，分母不为零，偶次根式要求被开方式大于等于零，依据以上三点，列不等式求解.【详解】欲使函数有意义，则0lg 020x x x >⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩，即012x x x >⎧⎪≠⎨⎪≤⎩解得()(]0,11,2x ∈⋃故选：C .【点睛】方法点睛：该题考查的是有关求函数定义域的问题，在求解的过程中，注意：（1）对数要求真数大于0；（2）分式要求分母不等于0；（3）偶次根式要求被开方式大于等于0.14．B解析：B【分析】根据同一函数的概念及判定方法，分别求得两函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数()f x =R，函数2()f x =的定义域为[0,)+∞，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于B 中，函数,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与,0(),0t t g t t t t ≥⎧==⎨-<⎩定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数；对于C 中，函数()f x =210x -≥，解得1x ≤-或1≥x ，即函数()f x 的定义域为(,1][1,)-∞-+∞，函数()g x =1010x x +≥⎧⎨-≤⎩，解得11x -≤≤，即函数()g x 的定义域为[]1,1-，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于D 中，函数()1f x x 的定义域为R ，函数2()1x g x x=-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，两函数的定义域不同，所以不是同一函数.故选：B.【点睛】本题主要考查了同一函数的概念及判定，其中解答中熟记两个函数是同一函数的判定方法是解答得关键，着重考查推理与判定能力，属于基础题.15．A解析：A【分析】①举反例说明命题为假；②应该是伸缩变换，可以判断出命题为假；③由奇偶函数的定义判断处函数为偶函数，可得命题为真；④将函数变形，由均值不等式的性质可得最小值，可得命题为假．【详解】解：①取幂函数2y x ，显然与1y x =仅有一个交点，所以①不正确； ②函数()30x y k k =⋅>（k 为常数）的图象可由函数3x y =的图象经过伸缩得到，所以②不正确；③设()y f x =，由()()()3111,0312231x x x x f x x x +⎛⎫=+=≠ ⎪--⎝⎭，定义域关于原点对称， 则()()()()()()3131231231x x x x x x f x f x ---++-===--，()f x ∴是偶函数，故③正确；④函数215lg lg ||||||x y x x x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭， 而lg y u =在定义域上单调递增，所以函数21lg ||x y x +=有最小值无最大值，所以④不正确．故选：A ．【点睛】本题考查指对幂函数的性质，属于基础题.二、填空题16．【分析】令可得是上的增函数根据为奇函数可得为偶函数且在上是减函数分类讨论的符号将变形后利用的单调性可解得结果【详解】令则对于都有所以是上的增函数因为函数为定义在R 上的奇函数所以所以所以是定义在R 上的 解析：(3,0)(3,)-⋃+∞【分析】令()()g x xf x =，可得()g x 是[0,)+∞上的增函数，根据()f x 为奇函数可得()g x 为偶函数，且在(,0)-∞上是减函数，分类讨论x 的符号，将6()f x x>变形后，利用()g x 的单调性可解得结果.令()()g x xf x =，则对于12,[0,)x x ∀∈+∞，都有211221()()0()g x g x x x x x ->≠-， 所以()g x 是[0,)+∞上的增函数，因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以()g x 是定义在R 上的偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上是减函数，当0x >时，6()f x x>化为()63(3)xf x f >=，即()(3)g x g >，因为()g x 是[0,)+∞上的增函数，所以3x >， 当0x <时，6()f x x>化为()6xf x <，因为()f x 为奇函数，且(3)2f =，所以(3)(3)2f f -=-=-，所以()6xf x <化为()3(3)(3)g x f g <--=-，因为()g x 在(,0)-∞上是减函数，所以30x -<<， 综上所述：6()f x x>的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞. 故答案为：(3,0)(3,)-⋃+∞ 【点睛】关键点点睛：构造函数()()g x xf x =，利用()g x 的奇偶性和单调性求解是解题关键. 17．【分析】求出的范围后根据绝对值的性质根据最大值得不等关系可得的范围【详解】时当且仅当时等号成立又或时所以而的最大值为10所以的最大值为所以解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查函数的最值掌握绝对 解析：[8,)-+∞【分析】 求出229x x+的范围后根据绝对值的性质根据最大值得不等关系，可得a 的范围． 【详解】 [3,1]x ∈--时，2[1,9]x ∈，2296x x +≥=，当且仅当23x =时等号成立， 又1x =-或3x =-时，22910x x +=，所以229610a x a a x +≤++≤+， 而()f x 的最大值为10，所以229x a x ++的最大值为10a +， 所以100610a a a +≥⎧⎨+≤+⎩，解得8a ≥-． 故答案为：[8,)-+∞．关键点点睛：本题考查函数的最值．掌握绝对值的性质是解题关键．当0a b >≥时，a b >，当0a b 时，a b <，当0a b >>时，0a b +>，则a b >，0a b +<时，a b <．18．（1）图象答案见解析；(2)【分析】(1)利用奇函数图像关于原点对称先作出当时的图像在作出它关于原点的对称图像即可；(2)先用代入法求在的解析式在合并在一起写成分段函数即可【详解】解：(1)图像如图解析：（1）图象答案见解析；(2)(1),0()(1),0x x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. 【分析】(1)利用奇函数图像关于原点对称，先作出当0x ≥时，()()1f x x x =-的图像，在作出它关于原点的对称图像即可；(2)先用代入法求()f x 在0x <的解析式，在合并在一起写成分段函数即可．【详解】解：(1) 图像如图示．(2)设0x <，则0x ->，所以()(1())(1)f x x x x x -=---=-+，又因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-.所以当0x <，()()1f x x x =+，综上()f x 的解析式为：(1),0()(1),0x x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩． 【点睛】函数奇偶性的应用：(1) 利用奇偶性求函数值；(2) 利用奇偶性画图像；(3) 利用奇偶性求函数的解析式．19．【分析】先令求得再令可得结合已知条件可得从而可得答案【详解】解：令则由得因为所以令则因为当时；所以所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数求值问题解题的关键是结合已知条件正确赋值令 解析：43【分析】先令1,2x y ==，求得(3)0f =，再令31,22x y ==，可得311(())()(2)222f f f f ⋅=，结合已知条件可得1()2f ，从而可得答案【详解】解：令1,2x y ==，则由()(())()f x y f x f y f y +=⋅⋅得((2))(2)(12)f f f f ⋅=+， 因为(2)0f =，所以(3)0f =， 令31,22x y ==，则311(())()(2)222f f f f ⋅=， 因为(2)0f =，当02x <<时，()0f x ≠； 所以31(())0(2)22f f f ==， 所以31()222f =，所以14()23f =， 所以14(3)23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 故答案为：43【点睛】 关键点点睛：此题考查抽象函数求值问题，解题的关键是结合已知条件正确赋值，令31,22x y ==，则311(())()(2)222f f f f ⋅=，由(2)0f =，当02x <<时，()0f x ≠，可得31()222f =，从而得14()23f = 20．【解析】由题意得：当时恒成立即；当时恒成立即；当时即综上x 的取值范围是【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么然后代入该段的解析式求值解决此类问题时要注 解析：1(,)4-+∞ 【解析】由题意得： 当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时，12112x x +-+> 恒成立，即102x <≤；当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即014x -<≤.综上，x 的取值范围是1(,)4-+∞. 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.21．【分析】根据高斯函数定义分类讨论求函数值【详解】则当时当时当时∴值域为故答案为：【点睛】本题考查新定义函数解题关键是理解新函数利用新函数定义分类讨论求解解析：{}2,1,0--【分析】根据高斯函数定义分类讨论求函数值．【详解】( 1.5,3]x ∈-，则21.750.52x --<≤， 当21.7512x --<<-时，222x y ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦-=， 当2102x --≤<时，122x y ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦-=， 当200.52x -≤≤时，022x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=， ∴值域为{2,1,0}--．故答案为：{2,1,0}--．【点睛】本题考查新定义函数，解题关键是理解新函数，利用新函数定义分类讨论求解． 22．【分析】求出函数的定义域并求出该函数的导数并在定义域内解不等式可得出函数的单调递增区间【详解】函数的定义域为且令得因此函数的单调递增区间为故答案为【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间在求出导数不解析：()2,e -+∞【分析】求出函数()y f x =的定义域，并求出该函数的导数，并在定义域内解不等式()0f x '>，可得出函数()y f x =的单调递增区间.【详解】函数()ln f x x x x =+的定义域为()0,∞+，且()ln 2f x x '=+，令()0f x '>，得2x e ->.因此，函数()ln f x x x x =+的单调递增区间为()2,e -+∞，故答案为()2,e -+∞. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，在求出导数不等式后，得出的解集应与定义域取交集可得出函数相应的单调区间，考查计算能力，属于中等题.23．【分析】根据题意设则原不等式变形为分析函数的奇偶性以及单调性可得原不等式等价于解可得的取值范围即可得答案【详解】根据题意函数设则变形可得即；对于其定义域为则有即函数为奇函数；函数在上为增函数在上为减 解析：1(,)3-+∞ 【分析】根据题意，设2442()()433x x g x f x +-=-=-，则原不等式变形为(21)(2)0g x g x -++>，分析函数()g x 的奇偶性以及单调性可得原不等式等价于212x x ->--，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数 24244221()343349x x x x f x ++--=-+=-+，设2442()()433x x g x f x +-=-=-，则(21)(2)8f x f x -++>，变形可得(21)4(2)40f x f x --++->，即(21)(2)0g x g x -++>；对于2442()()433x x g x f x +-=-=-，其定义域为R ， 则有24422442()33(33)()x x x x g x g x -+++--=-=--=-，即函数()g x 为奇函数； 函数243x y +=在R 上为增函数，423x y -=在R 上为减函数， 故函数2442()33x x g x +-=-在R 上为增函数，故(21)(2)0(21)(2)(21)(2)212g x g x g x g x g x g x x x -++>⇒->-+⇒->--⇒->--， 解可得13x >-， 即不等式的解集为1(3-，)+∞. 故答案为：1(3-，)+∞． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题．24．【分析】先利用换元法求出然后再用分离变量法借助函数的单调性解决问题【详解】解：由题意可设则∵∴∴∴∴由得∴对恒成立令则由得∴在上单调递减在单调递增∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的 解析：(],21e -∞-【分析】先利用换元法求出()f x ，然后再用分离变量法，借助函数的单调性解决问题．【详解】解：由题意可设()x f x e x t -+=，则()xf x e x t =-+， ∵()xf f x e x e ⎡⎤-+=⎣⎦， ∴()t tf t e t t e e =-+==， ∴1t =，∴()1xf x e x =-+， ∴()1xf x e '=-， 由()()f x f x ax '+≥得11x x e x e ax -++-≥， ∴21x e a x≤-对()0,x ∈+∞恒成立， 令()21xe g x x =-，()0,x ∈+∞，则()()221'x e x g x x-=， 由()'0g x =得1x =，∴()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，∴()()121g x g e ≥=-，∴21a e ≤-，故答案为：(],21e -∞-．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用函数的单调性解决恒成立问题，属于中档题．25．1【分析】根据题意由函数的奇偶性分析可得进而可得即函数是周期为4的周期函数据此可得（4）（2）即可得答案【详解】根据题意函数是定义在上的偶函数对任意的都有则即函数是周期为4的周期函数故答案为：1【点 解析：1【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得()(2)f x f x =--，进而可得()(2)(4)f x f x f x =--=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得(2020)(44504)f f f =+⨯=（4）f =-（2），即可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()(2)f x f x =--，则()(2)f x f x =--，∴()(2)(4)f x f x f x =--=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，(2020)(44504)(4)(2)1f f f f =+⨯==-=，故答案为：1【点睛】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性、周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期．26．【分析】根据函数f （x ）是R 上的奇函数和已知条件得出函数和的解析式在同一坐标系中做出和的图像求出交点的坐标根据不等式的解集可以理解为将的图象向右平移一个单位长度后所得函数的图象在函数的图象上方部分的 解析：{23}x x -<<【分析】根据函数f （x ）是R 上的奇函数和已知条件得出函数()f x 和()1f x -的解析式，在同一坐标系中做出()f x 和()1f x -的图像，求出交点的坐标，根据不等式(1)()f x f x ->的解集可以理解为将()f x 的图象向右平移一个单位长度后所得函数()1f x -的图象在函数()f x 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，由图示可得出解集.【详解】当0x <时， 0x ->，所以 ()()22()55f x x x x x -=--⨯-=+，又f （x ）是R 上的奇函数，所以 2()()5f x f x x x =--=--，所以225,0()5,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩， 所以()()()()22151,1(1)151,1x x x f x x x x ⎧---≥⎪-=⎨----<⎪⎩，即2276,1(1)34,1x x x f x x x x ⎧-+≥-=⎨--+<⎩， 做出()f x 和()1f x -的图像如下图所示，不等式(1)()f x f x ->的解集可以理解为将()f x 的图象向右平移一个单位长度后所得函数()1f x -的图象在函数()f x 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合， 由22576,x x x x -=-+得3,x =所以()3,6A -， 由22534x x x x --=--+得2x =-，所以()2,6B -，所以不等式(1)()f x f x ->的解集为{23}x x -<<. 故答案为：{23}x x -<<.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求得对称区间上的解析式，图像的平移，以及运用数形结合的思想求解不等式，关键在于综合熟练地运用函数的奇偶性，解析式的求法，图像的平移，以及如何在图像上求出不等式的解集等一些基本能力，属于中档题.。
新教材人教B版高中数学选择性必修第一册各章综合测验及模块测验含答案解析
人教B 选择性必修第一册综合测验第一章 空间向量与立体几何............................................................................................ 1 第二章 平面解析几何 .................................................................................................... 15 模块综合测验 . (28)第一章 空间向量与立体几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是( ) A.有相同起点的向量 B .等长的向量C.共面向量 D .不共面向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 显然不是有相同起点的向量,A 不正确; 由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B 不正确. 又∵AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,C 正确,D 不正确. 2.已知a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),则下列结论正确的是( ) A.a ∥c ,b ∥c B.a ∥b ,a ⊥c C.a ∥c ,a ⊥b D.以上都不对a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),∴a ·b =-4+0+4=0,∴a ⊥b .∵-4-2=-6-3=21,∴a ∥c .3.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .4.如图所示,已知空间四边形ABCD ,连接AC ,BD.M ,G 分别是BC ,CD 的中点,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.GA ⃗⃗⃗⃗⃗C.AG ⃗⃗⃗⃗⃗D.MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗M ,G 分别是BC ,CD 的中点,∴12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AG⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.在四棱锥P-ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2,3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,1,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h 等于 ( )A.1 B .2C.13D .26ABCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{4x -2y +3z =0,-4x +y =0.不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n =(3,12,4), 四棱锥的高h=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=2613=2.6.已知两不重合的平面α与平面ABC ,若平面α的法向量为n 1=(2,-3,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),则( ) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC 相交但不垂直D.以上均有可能,n 1·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,得n 1⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×1+1×1=0,得n 1⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n 1⊥平面ABC ,所以平面α的法向量与平面ABC 的法向量共线,则平面α∥平面ABC.7.直线AB 与直二面角α-l-β的两个面分别交于A ,B 两点,且A ,B 都不在棱l 上,设直线AB 与α,β所成的角分别为θ和φ,则θ+φ的取值范围是( ) A.0°<θ+φ<90° B.0°<θ+φ≤90° C.90°<θ+φ<180° D.θ+φ=90°,分别过点A ,B 向平面β,α作垂线,垂足为A 1,B 1,连接BA 1,AB 1.由已知α⊥β,所以AA 1⊥β,BB 1⊥α,因此∠BAB 1=θ,∠ABA 1=φ.由最小角定理得∠BAA 1≥θ,而∠BAA 1+φ=90°,故θ+φ=θ+90°-∠BAA 1≤90°,当AB ⊥l 时,θ+φ=90°,应选B .8.长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}中元素的个数为( )A.1 B .2 C .3 D .4长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,∴建立如图的空间直角坐标系, 则A 1(1,1,0),A 2(0,1,0),A 3(0,0,0),A 4(1,0,0), B 1(1,1,2),B 2(0,1,2),B 3(0,0,2),B 4(1,0,2), 则A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),与A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)相等的向量为A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 4B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2)相等的向量为A 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)相等的向量为A 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4,与A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)相等的向量为A 3B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,与A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2)相等的向量为A 4B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,体对角线向量为A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2),此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3, A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,综上集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}={3,4,5},集合中元素的个数为3个.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.设向量a ,b ,c 可构成空间一个基底,下列选项中正确的是( ) A.若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥cB.则a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z cD.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底a,b,c是空间一个基底,知:在A中,若a⊥b,b⊥c,则a与c相交或平行,故A错误;在B中,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;在C中,对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z c,故C正确;在D中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底,故D正确.10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是()A.(a·b)c=b·cB.(a+b)·c=a·(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;B.左边=(4,2,2)·(-1,5,-3)=0,右边=(1,2,3)·(2,5,-4)=2+10-12=0,∴左边=右边,因此正确.C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,∴左边=右边,因此正确.D.由C可得左边=√59,∵a-b-c=(-1,-3,7),∴|a-b-c|=√59,∴左边=右边,因此正确.故BCD正确.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AB,CC1,A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是 ()A.A1E⊥AC1B.BF∥平面ADD1A1C.BF⊥DGD.A1E∥CH解析设正方体的棱长为1,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(1,0,1),E (1,12,0),C (0,1,0),F (0,1,12),C 1(0,1,1),H 0,12,1,G (12,0,1),A (1,0,0),B (1,1,0),D (0,0,0),则A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,-1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,12),DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,1),CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-12,1), 所以A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,所以A 1E 与AC 1不垂直,故A 错误; 显然平面ADD 1A 1的一个法向量v =(0,1,0), 有BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·v =0,所以BF ∥平面ADD 1A 1,故B 正确; BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BF ⊥DG ,故C 正确; A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-CH⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以A 1E ∥CH ,故D 正确. 12.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ,有如下四个结论:①AC ⊥BD ;②△ACD 是等边三角形;③AB 与平面BCD 所成的角为60°;④AB 与CD 所成的角为60°.其中正确的结论有( ) A.① B.②C.③D.④,建立空间直角坐标系Oxyz ,设正方形ABCD 的边长为√2,则D (1,0,0),B (-1,0,0),C (0,0,1),A (0,1,0),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AC ⊥BD ,①正确.又|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2, 所以△ACD 为等边三角形,②正确. 对于③,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BCD 的一个法向量, cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√1=√2=-√22.因为直线与平面所成的角∈[0°,90°],所以AB 与平面BCD 所成的角为45°,故③错误.又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√2=-12,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB 与CD 所成的角为60°,故④正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在棱长为a 的正四面体中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . -a 22a 的正四面体中,AB=BC=a ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,AC ⊥BD.∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·a cos120°+0=-a22.14.已知a =(1,2,-y ),b =(x ,1,2),且(a +2b )∥(2a -b ),则xy= .2a +2b =(1+2x ,4,-y+4),2a -b =(2-x ,3,-2y-2),因为(a+2b )∥(2a-b ),所以存在λ∈R 使得1+2x=λ(2-x )且4=3λ且-y+4=λ(-2y-2),所以λ=43,x=12,y=-4,所以xy=-2.15.设PA ⊥Rt △ABC 所在的平面α,∠BAC=90°,PB ,PC 分别与α成45°和30°角,PA=2,则PA 与BC 的距离是 ;点P 到BC 的距离是 . √3 √7AD ⊥BC 于点D ,∵PA ⊥面ABC ,∴PA ⊥AD.∴AD 是PA 与BC 的公垂线.易得AB=2,AC=2√3,BC=4,AD=√3,连接PD ,则PD ⊥BC ,P 到BC 的距离PD=√7. 16.已知向量m =(a ,b ,0),n =(c ,d ,1),其中a 2+b 2=c 2+d 2=1,现有以下命题:①向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值(即与c ,d 无关); ②m ·n 的最大值为√2;③<m ,n >(m ,n 的夹角)的最大值为3π4;④若定义u ×v =|u |·|v |sin <u ,v >,则|m×n |的最大值为√2. 其中正确的命题有 .(写出所有正确命题的序号)取z 轴的正方向单位向量a =(0,0,1),则cos <n ,a >=n ·a|n ||a |=√c 2+d 2+12×1=√2=√22,∴向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值π4,命题正确;②m ·n =ac+bd ≤a 2+c 22+b 2+d 22=a 2+c 2+b 2+d 22=1+12=1,当且仅当a=c ,b=d 时取等号,因此m ·n 的最大值为1,命题错误;③由②可得|m ·n |≤1,∴-1≤m ·n ≤1, ∴cos <m ,n >=m ·n|m ||n | =√a 2+b 2·√c 2+d 2+12≥-1×√2=-√22, ∴<m ,n >的最大值是3π4,命题正确; ④由③可知:-√22≤cos <m ,n >≤√22,∴π4≤<m ,n >≤3π4,√22≤sin <m ,n >≤1,∴m×n =|m|×|n|×sin <m ,n >≤1×√2×1=√2,命题正确.综上可知,正确的命题序号是①③④.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图所示,在四棱锥M-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧棱AM 的长为3,且AM 和AB ,AD 的夹角都是60°,N 是CM 的中点,设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试以a ,b ,c 为基向量表示出向量BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,并求BN 的长.⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12[AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )] =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+12b+12c , |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-12a+12b+12c 2 =14(a 2+b 2+c 2-2a ·b-2a ·c+2b ·c )=174. 所以|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√172,即BN 的长为√172.18.(12分)如图,正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面边长为√2. (1)设侧棱长为1,求证:AB 1⊥BC 1;(2)设AB 1与BC 1所成的角为π3,求侧棱的长.1=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为BB 1⊥平面ABC , 所以BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又△ABC 为正三角形,所以<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-<BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-π3=2π3. 因为AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-1+1=0, 所以AB 1⊥BC 1.(1)知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1.又|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12,所以|BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,即侧棱长为2.19.(12分)已知空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,求向量c ; (2)已知向量k a +b 与b 互相垂直,求k 的值; (3)求△ABC 的面积.∵空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2), ∵|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴c =m BC⃗⃗⃗⃗⃗ =m (2,1,-2)=(2m ,m ,-2m ), ∴|c |=√(2m )2+m 2+(-2m )2=3|m|=3,∴m=±1,∴c =(2,1,-2)或c =(-2,-1,2). (2)由题得a =(-1,-1,0),b =(1,0,-2),∴k a +b =k (-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k ,-k ,-2),∵向量k a +b 与b 互相垂直,∴(k a +b )·b =1-k+4=0,解得k=5.∴k 的值是5. (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,-2), cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√5=-√10,sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=√1-110=√10,∴S △ABC =12×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=12×√2×√5×√10=32.20.(12分)已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点.(1)用向量法证明E ,F ,G ,H 四点共面; (2)用向量法证明:BD ∥平面EFGH ;(3)设M 是EG 和FH 的交点,求证:对空间任一点O ,有OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).如图,连接BG ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 由共面向量定理的推论知E 、F 、G 、H 四点共面.(2)因为EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以EH ∥BD ,又EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH , 所以BD ∥平面EFGH.(3)连接OM ,OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OG , 由(2)知EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 同理FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FG⃗⃗⃗⃗⃗ , EH ∥FG ,EH=FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1212(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).21.(12分)(2021全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面AA 1B 1B 为正方形,AB=BC=2,E ,F 分别为AC 和CC 1的中点,D 为棱A 1B 1上的点,BF ⊥A 1B 1. (1)证明:BF ⊥DE ;(2)当B 1D 为何值时,平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小?如图,连接A 1E ,取BC 中点M ,连接B 1M ,EM.∵E ,M 分别为AC ,BC 中点, ∴EM ∥AB.又AB ∥A 1B 1,∴A 1B 1∥EM ,则点A 1,B 1,M ,E 四点共面,故DE ⊂平面A 1B 1ME.又在侧面BCC 1B 1中,△FCB ≌△MBB 1,∴∠FBM=∠MB 1B. 又∠MB 1B+∠B 1MB=90°,∴∠FBM+∠B 1MB=90°,∴BF ⊥MB 1.又BF ⊥A 1B 1,MB 1∩A 1B 1=B 1,MB 1,A 1B 1⊂平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥DE.(2)∵BF ⊥A 1B 1,∴BF ⊥AB ,∴AF 2=BF 2+AB 2=CF 2+BC 2+AB 2=9. 又AF 2=FC 2+AC 2,∴AC 2=8,则AB ⊥BC.如图,以B 为原点,BC ,BA ,BB 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则B (0,0,0),C (2,0,0),A (0,2,0),E (1,1,0),F (2,0,1).则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t-1,2),设DB 1=t ,则D (0,t ,2),0≤t ≤2.则平面BB 1C 1C 的法向量为m =(0,1,0),设平面DEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),∴{EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x -y +z =0,-x +(t -1)y +2z =0,∴n =(1+t ,3,2-t ). 则cos <m ,n >=√(1+t )+32+(2-t )=√2t 2-2t+14.要求最小正弦值,则求最大余弦值.当t=1时二面角的余弦值最大,2时二面角正弦值最小.则B1D=1222.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平AD=1,CD=√3.面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=12(1)求证:平面PBC⊥平面PQB;(2)当PM的长为何值时,平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°?AD,AD∥BC,Q为AD的中点,BC=12∴BC∥QD,BC=QD,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴BQ∥CD.∵∠ADC=90°,∴BC⊥BQ.∵PA=PD,AQ=QD,∴PQ⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD,∴PQ ⊥BC.又∵PQ∩BQ=Q,∴BC⊥平面PQB.∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PQB.(1)可知PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x轴,y 轴,z轴,建立空间直角坐标系,则Q(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,√3),B(0,√3,0),C(-1,√3,0),∴QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-√3), PC=√(-1)2+(√3)2+(-√3)2=√7.设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,-√3λ),且0≤λ≤1,得M (-λ,√3λ,√3−√3λ),∴QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,√3(1-λ)).设平面MBQ 的法向量为m =(x ,y ,z ),则{QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,QB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{-λx +√3λy +√3(1-λ)z =0,√3y =0.令x=√3,则y=0,z=λ1-λ,∴平面MBQ 的一个法向量为m =√3,0,λ1-λ. 设平面PDC 的法向量为n =(x',y',z'),则{DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{√3y '=0,x '+√3z '=0.令x'=3,则y'=0,z'=-√3,∴平面PDC 的一个法向量为n =(3,0,-√3).∴平面QMB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为60°, ∴cos60°=|n ·m ||n ||m |=|3√3-√3·λ1-λ|√12·√3+(λ1-λ) 2=12,∴λ=12.∴PM=12PC=√72.即当PM=√72时,平面QMB 与平面PDC 所成的角大小为60°.第二章 平面解析几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m 变化时,d 的最大值为 ( ) A.1 B.2C.3D.4cos 2θ+sin 2θ=1,∴P 为单位圆上一点,而直线x-my-2=0过点A (2,0),∴d 的最大值为|OA|+1=2+1=3,故选C .2.已知点P (-2,4)在抛物线y 2=2px (p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( ) A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0)P (-2,4)在抛物线y 2=2px 的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).3.已知直线l 1:x cos 2α+√3y+2=0,若l 1⊥l 2,则l 2倾斜角的取值范围是( ) A.[π3,π2) B.[0,π6] C.[π3,π2] D.[π3,5π6]l 1:x cos 2α+√3y+2=0的斜率k 1=-2√3∈[-√33,0],当cos α=0时,即k 1=0时,k 不存在,此时倾斜角为12π,由l 1⊥l 2,k 1≠0时,可知直线l 2的斜率k=-1k 1≥√3,此时倾斜角的取值范围为[π3,π2).综上可得l 2倾斜角的取值范围为[π3,π2].4.(2021全国乙,文11)设B 是椭圆C :x 25+y 2=1的上顶点,点P 在C 上,则|PB|的最大值为( ) A.52 B.√6 C.√5 D.2方法一)由椭圆方程可得a=√5,b=1,故椭圆的上顶点为B (0,1).设P (x ,y ),则有x 25+y 2=1, 故x 2=5(1-y 2),由椭圆的性质可得-1≤y ≤1.则|PB|2=x 2+(y-1)2=5(1-y 2)+(y-1)2=-4y 2-2y+6=-4y 2+y2+6=-4y+142+254.因为-1≤y ≤1,所以当y=-14时,|PB|2取得最大值,且最大值为254,所以|PB|的最大值为52. (方法二)由题意可设P (√5cos θ,sin θ)(θ∈R ),又B (0,1),则|PB|2=5cos 2θ+(sin θ-1)2=5cos 2θ+sin 2θ-2sin θ+1=-4sin 2θ-2sin θ+6,于是当sin θ=-14时,|PB|2最大,此时|PB|2=-4×116-2×(-14)+6=-14+12+6=254,故|PB|的最大值为52.5.在一个平面上,机器人到与点C (3,-3)的距离为8的地方绕C 点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A (-10,0)与B (0,10)的直线的最近距离为( ) A.8√2-8 B.8√2+8C.8√2D.12√2C (3,-3)距离为8的地方绕C 点顺时针而行,在行进过程中保持与点C 的距离不变,∴机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示;∵A (-10,0)与B (0,10),∴直线AB 的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0, 则圆心C 到直线AB 的距离为d=√1+1=8√2>8,∴最近距离为8√2-8.6.设P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上的点,F 1,F 2是焦点,双曲线的离心率是43,且∠F 1PF 2=90°,△F 1PF 2的面积是7,则a+b 等于( ) A.3+√7 B.9+√7C.10D.16,不妨设点P 是右支上的一点,|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则{ 12mn =7,m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2,c a =43,∴a=3,c=4.∴b=√c 2-a 2=√7.∴a+b=3+√7.7.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h ,跨径为a ,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.a 28ℎ B.a 24ℎC.a 22ℎD.a 2ℎ,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,该抛物线方程可写为x 2=-2py (p>0).∵该抛物线经过点(a2,-ℎ),代入抛物线方程可得a 24=2hp ,解得p=a 28ℎ.∴桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=a 28ℎ.8.平面直角坐标系中,设A (-0.98,0.56),B (1.02,2.56),点M 在单位圆上,则使得△MAB 为直角三角形的点M 的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4,如图,若△MAB为直角三角形,分3种情况讨论:①∠MAB=90°,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则k AB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,则k l1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,此时原点O到直线l1的距离d=√2=21√2100<1,直线l1与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M;②∠MBA=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上,设该直线为l2,同理可得,直线l2的方程为y-2.56=-(x-1.02),即x+y-3.58=0,此时原点O到直线l2的距离d=√2=179√2100>1,直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M;③∠AMB=90°,此时点M在以AB为直径的圆上,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),|AB|=√4+4=2√2,则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=√2,此时|OC|=√(0.02)2+(1.56)2=√2.4340,则有√2-1<|OC|<√2+1,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M.综合可得,共有4个符合条件的点M.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2bAB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,故B正确;分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.10.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4B.6C.3√2+1D.8y=kx-1恒过定点A(0,-1)点,当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),所以为√(-3)2+(3+1)2+1=6,当直线与圆有交点时,点P到直线的距离最小为0,所以点P到直线y=kx-1距离的范围为[0,6].11.在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2P(x,y),则k PA+k PB=2,即yx+2+yx-2=2(x≠±2),整理得x2-xy=4(x≠±2),所以曲线C 是中心对称图形,不是轴对称图形,故C 正确,A 错误;由x 2-xy=4>2=x 2+y 2,所以曲线C 上所有的点都在圆x 2+y 2=2外,故B 正确; 由x 2-xy=4可知,x ∈R 且x ≠0,x ≠±2,故D 错误. 12.已知P 是椭圆E :x 28+y 24=1上一点,F 1,F 2为其左右焦点,且△F 1PF 2的面积为3,则下列说法正确的是 ( )A.P 点纵坐标为3B.∠F 1PF 2>π2C.△F 1PF 2的周长为4(√2+1)D.△F 1PF 2的内切圆半径为32(√2-1)P 点坐标为(x ,y ),S=12×2c×|y|=12×4×|y|=3,得y=32或y=-32,故A 错误;椭圆中焦点三角形面积为S=b 2tan θ2(θ为焦点三角形的顶角),S=4tan θ2=3,得tan θ2=34,则θ2<π4,∠F 1PF 2<π2,故B 错误;C △F 1PF 2=2a+2c=4(√2+1),故C 正确;设△F 1PF 2的内切圆半径为R ,12R (4√2+4)=3,得R=32(√2-1),故D 正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.经过点P (1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 .4x 或y=x+3,分2种情况讨论:①直线经过原点,则直线l 的方程为y=4x ;②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a ,把点P (1,4)代入可得1-4=a ,解得a=-3,即直线的方程为y=x+3.综上可得,直线的方程为y=4x 或y=x+3.14.若双曲线x 2m −y 2m -5=1的一个焦点到坐标原点的距离为3,则m 的值为 .或-2c=3,当双曲线的焦点在x 轴上时,m>5,c 2=m+m-5=9,所以m=7;当双曲线的焦点在y 轴上时,m<0,c 2=-m+5-m=9,所以m=-2.综上,m=7或m=-2.15.如图,过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线,与抛物线及其准线分别交于A ,B ,C 三点,若FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线AB 的方程为 ,|AB|= .√3(x-1)163F (1,0),准线方程为x=-1,设C (-1,m ),B (a ,b ),∵FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(-2,m )=3(a-1,b )=(3a-3,3b ),则3a-3=-2,m=3b ,即a=13,此时b 2=4×13,得b=-√43=-2√33,即m=-2√3,则C (-1,-2√3),则AB 的斜率k=2√32=√3,则直线方程为y=√3(x-1),代入y 2=4x ,得3x 2-10x+3=0,得x 1+x 2=103,即|AB|=x 1+x 2+2=103+2=163.16.已知点O (0,0),A (4,0),B (0,4).若从点P (1,0)射出的光线经直线AB 反射后过点Q (-2,0),则反射光线所在直线的方程为 ;若从点M (m ,0),m ∈(0,4)射出的光线经直线AB 反射,再经直线OB 反射后回到点M ,则光线所经过的路程是 (结果用m 表示).2y+2=0 √2m 2+32,设点P 1(a ,b )与点P (1,0)关于直线AB 对称,则P 1在反射光线所在直线上,又由A (4,0),B (0,4),则直线AB 的方程为x+y=4,则有{ba -1=1,a+12+b2=4,解得{a =4,b =3,即P 1(4,3), 反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12, 则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0;设点M 1(a 0,b 0)与点M 关于直线AB 对称,点M 2与M 关于y 轴对称,易得M 2(-m ,0); 线段M 1M 2的长度就是光线所经过的路程,则有{b 0a 0-m=1,m+a2+b 02=4,解得{a 0=4,b 0=4-m ,即M 1(4,4-m ),又由M 2(-m ,0),则|M 1M 2|=√(4+m )2+(4-m )2=√2m 2+32.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2,4),B (0,-5),C (10,0),线段AC 的垂直平分线为l.(1)求直线l 的方程;(2)点P 在直线l 上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P 的坐标.直线AC 的斜率为k AC =4-02-10=-12,所以直线l 的斜率为k 1=2,直线AC 的中点为(6,2),所以直线l 的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得点A 关于直线l 的对称点为点C ,所以直线BC 与直线l 的交点即为|AP|+|BP|最小的点.由B (0,-5),C (10,0)得直线BC 的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,联立方程{x -2y -10=0,2x -y -10=0,解得{x =103,y =-103,所以点P 的坐标为(103,-103). 18.(12分)已知直线l :ax-y-3a+1=0恒过定点P ,过点P 引圆C :(x-1)2+y 2=4的两条切线,设切点分别为A ,B.(1)求直线AB 的一般式方程;(2)求四边形PACB 的外接圆的标准方程.∵直线l :y-1=a (x-3).∴直线l 恒过定点P (3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A (3,0). 由圆的性质可知AB ⊥PC ,∵k PC =1-03-1=12,∴k AB =-2,所以直线AB 的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0. (2)由题意知|PC|=√(3-1)2+(1-0)2=√5.∵PA ⊥AC ,PB ⊥BC ,所以四边形PACB 的外接圆是以PC 为直径的圆,PC 的中点坐标为(2,12),所以四边形PACB 的外接圆为(x-2)2+(y -12)2=54.19.(12分)已知F 1,F 2分别是双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 是双曲线上一点,F 2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍, (1)求双曲线的渐近线方程;(2)当∠F 1PF 2=60°时,△PF 1F 2的面积为48√3,求此双曲线的方程.因为双曲线的渐近线方程为bx ±ay=0,则点F 2到渐近线距离为√b 2+a 2=b (其中c 是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b.又因为a 2+b 2=c 2,解得b=43a ,故所求双曲线的渐近线方程是4x ±3y=0.(2)因为∠F 1PF 2=60°,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos60°=|F 1F 2|2,即|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1|·|PF 2|=4c 2. 又由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||=2a ,平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=4a 2,相减得|PF 1|·|PF 2|=4c 2-4a 2=4b 2.根据三角形的面积公式得S=12|PF 1|·|PF 2|sin60°=√34·4b 2=√3b 2=48√3,得b 2=48. 由(1)得a 2=916b 2=27,故所求双曲线方程是x 227−y 248=1.20.(12分)已知过抛物线x 2=2py (p>0)的焦点,斜率为√24的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值.抛物线x 2=2py 的焦点为(0,p2),所以直线AB 的方程为y=√24x+p 2, 联立{y =√24x +p2,x 2=2py ,消去x ,得4y 2-5py+p 2=0,所以y 1+y 2=5p4,由抛物线定义得|AB|=y 1+y 2+p=9,即5p4+p=9,所以p=4.所以抛物线的方程为x 2=8y. (2)由p=4知,方程4y 2-5py+p 2=0, 可化为y 2-5y+4=0,解得y 1=1,y 2=4,故x 1=-2√2,x 2=4√2. 所以A (-2√2,1),B (4√2,4).则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√2,1)+λ(4√2,4)=(-2√2+4√2λ,1+4λ).因为C 为抛物线上一点,所以(-2√2+4√2λ)2=8(1+4λ),整理得λ2-2λ=0,所以λ=0或λ=2.21.(12分)(2021全国乙,文20)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线OQ 斜率的最大值.在抛物线C 中,焦点F 到准线的距离为p ,故p=2,C 的方程为y 2=4x.(2)设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).又F (1,0),则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1),QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x 2,-y 2). 因为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x 2-x 1=9(1-x 2),y 2-y 1=-9y 2, 得x 1=10x 2-9,y 1=10y 2.又因为点P 在抛物线C 上,所以y 12=4x 1,所以(10y 2)2=4(10x 2-9), 则点Q 的轨迹方程为y 2=25x-925. 易知直线OQ 的斜率存在.设直线OQ 的方程为y=kx ,当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,斜率取得最大值、最小值.由{y =kx ,y 2=25x -925,得k 2x 2=25x-925,即k 2x 2-25x+925=0,(*)当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即(-25)2-4k 2·925=0,解得k=±13,所以直线OQ 斜率的最大值为13. 22.(12分)如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志,为美观考虑,要求图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等.已知椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)面积为S 椭圆=πab(1)求椭圆的离心率的值;(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M 生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M 的轨迹方程.建立如图平面直角坐标系.设外椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),∵内外椭圆有相同的离心率且共轴,可得内椭圆长轴为b ,设内椭圆短轴长为b',焦距长为c',得ca =c 'b ,c'=bca ,b'2=b 2-c'2=b 2-b 2c2a 2=b 2(a 2-c 2)a 2=b 4a 2.∴内椭圆的方程为y 2b 2+x 2b 4a 2=1.图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等,由对称性只需S 外=3S 内,即πab=3πb ·b 2a 得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2),故e=√63.(2)同(1)建立如图平面直角坐标系,由于外椭圆长轴为6,∴a=3,又e=√63,∴c=√6,b 2=3. 则外椭圆方程为x 29+y 23=1.设点M (x 0,y 0),切线方程为y-y 0=k (x-x 0),代入椭圆方程得,(1+3k 2)x 2+6k (y 0-kx 0)x+3(y 0-kx 0)2-9=0.∴Δ=36k 2(y 0-kx 0)2-4(1+3k 2)[3(y 0-kx 0)2-9]=0.化简得(x 0-9)k 2-2x 0y 0k+y 02-3=0.∵两条切线互相垂直,∴k 1k 2=-1,即y 02-3x 02-9=-1,即x 02+y 02=12(x 0≠±3).当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,±√3),(-3,±√3)也满足方程,∴轨迹方程为x 2+y 2=12.模块综合测验一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件两直线平行,∴斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.如图,四面体S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,则SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗B.23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ C.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SC ⃗⃗⃗⃗ D.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,∴SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA⃗⃗⃗⃗⃗ +13×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(SC ⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(SB ⃗⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ .3.圆P :(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q 的标准方程是( ) A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-5)2=1 C.(x-2)2+(y+5)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1P :(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a ,b ),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,所求圆Q 的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6|MF 1|+|MF 2|=2a=6,则√|MF 1|·|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|2=3,则|MF 1|·|MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立. 故|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.故选C .5.坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,若点Q (-1,-1),那么|PQ|的取值范围为( ) A.[√2,3√2] B.[√2,2√2] C.[2√2,3√2] D.[1,3√2]mx+ny-2m-2n=0,可化为m (x-2)+n (y-2)=0,故直线过定点M (2,2),坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,故∠OPM=90°,所以P 在以OM 为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为√2,根据点与圆的关系,|NQ|=√(1+1)2+(1+1)2=2√2, 故√2=2√2−√2≤|PQ|≤√2+2√2=3√2.6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cmxOy,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y2=2px,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p×10,得p=5,=2.5,即焦点坐标为(2.5,0),则p2则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm.7.如图,四棱锥S-ABCD 中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线SA 与直线AD 所成角为α,直线SA 与平面ABCD 所成角为β,二面角S-AB-C 的平面角为γ,则( ) A.α>β>γ B.γ>α>β C.α>γ>β D.γ>β>αAC ,BD ,交于点O ,连接OS ,则OA ,OB ,OS 两两垂直,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S (0,0,√2),A (√2,0,0),D (0,-√2,0),B (0,√2,0),SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,-√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,0),SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),cos α=|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SA⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4×√4=12,平面ABCD 的法向量n =(0,0,1),cos β=|n ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |·|SA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√4=√22,设平面SAB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x -√2z =0,m ·SB⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y -√2z =0,取x=1,得m =(1,1,1),cos γ=|m ·n ||m |·|n |=√3=√33,∵cos α<cos γ<cos β,∴α>γ>β.8.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.2 D.√2|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO|=a.在Rt △POF 2中,cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc ,∵在△PF 1F 2中,cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc ⇒c 2=3a 2,∴e=√3.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.(2021新高考Ⅰ,11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A (4,0),B (0,2),则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时,|PB|=3√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3√2,记圆心为M ,半径为r ,则M (5,5),r=4.由条件得,直线AB 的方程为x4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M 作MN 垂直于直线AB ,垂足为N ,直线MN 与圆M 分别交于点P 1,P 2,圆心M (5,5)到直线AB 的距离|MN|=√12+22=√5,于是点P 到直线AB 的距离最小值为|P 2N|=|MN|-r=√5-4,最大值为|P 1N|=|MN|+r=√5+4.又√5-4<2,√5+4<10,故A 正确,B 错误;过点B 分别作圆的两条切线BP 3,BP 4,切点分别为点P 3,P 4,则当点P 在P 3处时∠PBA 最大,在P 4处时∠PBA 最小.又|BP 3|=|BP 4|=√|BM |2-r 2=√52+(5-2)2-42=3√2,故C,D 正确.故选A,C,D .10.若a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,则λ的值为( ) A.17 B.-17 C.-1 D.1a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,∴cos120°=a ·b|a |·|b |=√5+λ2·√6,解得λ=-1或λ=17.11.已知P是椭圆C:x 26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则()A.C的焦距为√5B.C的离心率为√306C.圆D在C的内部D.|PQ|的最小值为2√55c=√6-1=√5,则C的焦距为2√5,e=√5√6=√306.设P(x,y)(-√6≤x≤√6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x 26=56(x+65)2+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为√45−√15=√55.12.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12) D.(0,-1,1),所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 而PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),选项A,(2,1,1)·(1,-4,2)=0,(0,2,4)·(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)·(14,-1,12)=0,(0,2,4)·(14,-1,12)=0满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)·(-14,1,-12)=0,(0,2,4)·(-14,1,-12)=0满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)·(0,-1,1)=0,但(0,2,4)·(0,-1,1)≠0,故错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,√2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l的斜率k=.。
最新人教版高中数学必修一第三章试卷(含答案)
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第三章函数的概念与性质
一、单选题
1．下列函数是奇函数的是（）
A．B．C．D．
2．幂函数的图象经过点，则的值为（）
A．1B．-1C．0D．2
3．已知函数是定义在R上偶函数，且在内是减函数，若，则满足的实数x的取值范围为（）
A．B．
C．D．
4．设函数的定义域为，有下列三个命题，这些命题中，真命题的个数是（）
①若存在常数，使得任意，有，则是函数的最大值
②若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值
③若的最大值为2，则的最大值也为2
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．函数，，则的值域为（）
A．B．
C．D．
6．已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式
的解集为（）
A．B．C．D．
二、多选题
7．已知函数，下列说法正确的是（）
A．函数的图象的对称中心是（0，1）B．函数在R上是增函数
C．函数是奇函数D．方程的解为
8．已知偶函数满足，在区间上，下列判断正确的是（）
A．B．在上是减函数
C．函数在处取得最大值D．函数没有最小值
三、填空题
9．函数的值域是_________．
10．若函数，则__________.
11．已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
12．已知函数，，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是______.
四、解答题
13．已知实数是常数，函数.求函数的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由.。
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2对数与对数函数(1)第一课时同步练习新人教B版必修1
3．2.1 对数及其运算第1课时1．若a 2＝N(a>0且a≠1)，则有( )A ．log 2N ＝aB ．log 2a ＝NC ．log N a ＝2D ．log a N ＝22．若log x 7y ＝z ，则( )A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x3．21＋log 272的值等于( )A ．272B ．7 C.47D ．144．若log 16x ＝－14，则x ＝________；若(2)x＝12，则x ＝________.5．若log 2(x 2－4x ＋6)＝1，则x ＝________.1．有下列说法：①零和负数无对数；②3log 3(－5)＝－5成立；③任何一个指数式都可以化为对数式；④以10为底的对数叫做常用对数．其中正确命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是( )A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 39＝2与912＝3D ．log 55＝1与51＝53．在b ＝log (a －2)(5－a)中，实数a 的取值范围为…( ) A ．a>5或a<2 B ．2<a<5 C ．2<a<3或3<a<5 D ．3<a<44．计算3log 35＋3log315＝________.5．已知log 7[log 3(log 2x)]＝0，那么x －12＝________.6．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n的值．7．求alog a b·log b c·log c N 的值．1．给出下列式子：①5log 512＝12；②πlogπ3－1＝13；③4log 4(－3)＝－3；④xlog x 6＝6.其中不正确的是( )A ．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 2．下列命题正确的是( )①对数式log a N ＝b(a>0，且a≠1)和指数式a b＝N(a>0，且a≠1)是同一关系式的两种不同表达形式；②在同底条件下，对数式log a N ＝b 与指数式a b＝N 可以互相转化；③若a b＝N(a>0，且a≠1)，则alog a N ＝N 一定成立； ④对数的底数是任意正实数． A ．①② B．①②③④ C ．①②③ D．④3．以6为底，216336的对数等于( )A.73B.113C.92D ．2 4.设5lgx＝25，则x 的值等于( ) A ．10 B ．±10 C．100 D ．±100 5．log 6(log 4(log 381))＝________.6．log 3(1－2x9)＝1，则x ＝________.7．(1)求对数值：log 4381＝________；log 354625＝________.(2)求真数：log 3x ＝－34，则x ＝________；log 2x ＝78，则x ＝________.(3)求底数：log x 3＝－35，则x ＝________；log x 2＝78，则x ＝________.8．已知二次函数f(x)＝(lga)x 2＋2x ＋4lga 的最大值是3，求a 的值．9．已知log a b ＝log b a(a>0，a≠1；b>0，且b≠1)，求证：a ＝b 或a ＝1b.10．已知lga 和lgb 是关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0的两个根，而关于x 的方程x 2－(lga)x －(1＋lga)＝0有两个相等的实数根，求实数a ，b 和m 的值．答案与解析课前预习1．D 由对数式与指数式的互化易得．2．B log x 7y ＝z ⇔x z ＝7y ，∴x 7z＝y.3．B 21＋log 272＝2·2log 272＝2·72＝7.4.12 －2 log 16x ＝－14⇔x ＝16－14＝12，(2)x ＝12⇔x ＝log 212＝log 2(2)－2＝－2. 5．2 由log 2(x 2－4x ＋6)＝1得x 2－4x ＋6＝2，即x 2－4x ＋4＝0，即(x －2)2＝0，∴x ＝2. 课堂巩固1．B ③错误，如(－1)2＝1就不能写成对数式．②错误，log 3(－5)无意义．2．C log 39＝2的指数式应为32＝9. 3．C 由对数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧5－a>0，a －2>0，a －2≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a<5，a>2，a≠3，∴2<a<3或3<a<5.4.655 ∵3log 35＝5，3log 315＝(3log 315)12＝(15)12＝55. ∴原式＝5＋55＝655. 5.24由已知得log 3(log 2x)＝1， ∴log 2x ＝3，则x ＝23.∴x－12＝2－32＝122＝24.6．解：∵log a 2＝m ，∴a m＝2.又log a 3＝n ，∴a n＝3. ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22·3＝12.7．解：原式＝(alog a b)log b c·log c N ＝blog b c·log c N ＝(blog b c)log c N ＝clog c N ＝N. 点评：重复使用对数恒等式即可得解；对数恒等式alog a N ＝N 中要注意书写格式． 课后检测1．C ③不正确，log 4(－3)无意义，∵负数和零无对数；④不正确，应在条件“x>0，且x≠1”的前提下计算．2．C ④中的底数应满足“大于0且不等于1”．3．A ∵216336＝63623＝63－23＝673，∴log 6216336＝log 6673＝73.4．C 5lgx ＝25，∴lgx＝2，即102＝x. ∴x＝100.5．0 原式＝log 6[log 4(log 334)] ＝log 6(log 44) ＝log 61＝0.6．－13 由已知得1－2x9＝3，∴x＝－13.7．(1)16 3 (2)1427278 (3)3－53 287(1)(43)16＝34＝81，∴log 4381＝16；∵(354)3＝625，∴log 354625＝3.(2)由题意可得x ＝3－34＝1427；由已知得x ＝278.(3)由已知得x －35＝3，∴x＝3－53；x 78＝2，∴x＝287.点评：对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可求另外一个，关键是指数式与对数式的互化．8．解：∵f(x)的最大值为3，∴⎩⎪⎨⎪⎧lga<0，16lg 2a －44lga＝3⇒(4lga ＋1)(lga －1)＝0.∴lga＝1(舍去)或lga ＝－14.∴a＝10－14.9．证明：设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k，从而有b ＝(b k )k ＝bk 2.∵b>0，b≠1，∴k 2＝1，即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1b；当k ＝1时，a ＝b.∴a＝b 或a ＝1b ，命题得证．10．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ lga ＋lgb ＝1，lga·lgb＝m ，(lga)2＋4(1＋lga)＝0，①②③由③得(lga ＋2)2＝0，∴lga＝－2.∴a ＝1100.代入①得lgb ＝1－lga ＝3，∴b＝103＝1 000. 代入②得m ＝lga·lgb＝(－2)×3＝－6.∴a＝1100，b ＝1 000，m ＝－6.。
高中数学第三章不等式3二元一次不等式组与简单的线性规划问题第1课时练习含解析人教版必修
第1课时一、选择题1．不在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0)[答案] D[解析] 将点的坐标代入不等式中检验可知，只有(2,0)点不满足3x ＋2y ＜6.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＜x x ＋y ≤1y ≥3，表示的区域为D ，点P 1(0，－2)，点P 2(0,0)，则( )A ．P 1∉D ，P 2∉DB ．P 1∉D ，P 2∈DC ．P 1∈D ，P 2∉D D ．P 1∈D ，P 2∈D[答案] A[解析] P 1点不满足y ≥3.P 2点不满足y ＜x .和y ≥3 ∴选A ．3．已知点P (x 0，y 0)和点A (1,2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的异侧，则( ) A ．3x 0＋2y 0>0 B ．3x 0＋2y 0<0 C ．3x 0＋2y 0<8 D ．3x 0＋2y 0>8[答案] D[解析] ∵3×1＋2×1－8＝－3<0，P 与A 在直线l 异侧，∴3x 0＋2y 0－8>0. 4．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥0[答案] A[解析] 取原点O (0,0)检验满足x ＋y －1≤0，故异侧点应为x ＋y －1≥0，排除B 、D ．O 点满足x －2y ＋2≥0，排除C ．∴选A ．5．不等式x 2－y 2≥0表示的平面区域是( )[答案] B[解析] 将(±1,0)代入均满足知选B ．6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5x ＋y ≥00≤x ≤3表示的平面区域是一个( ) A ．三角形 B ．直角梯形 C ．梯形 D ．矩形[答案] C[解析] 画出直线x －y ＋5＝0及x ＋y ＝0，取点(0,1)代入(x －y ＋5)(x ＋y )＝4>0，知点(0,1)在不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0表示的对顶角形区域内，再画出直线x ＝0和x ＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形．二、填空题7．已知x ，y 为非负整数，则满足x ＋y ≤2的点(x ，y )共有________个． [答案] 6[解析] 符合条件的点有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)共6个． 8．用三条直线x ＋2y ＝2,2x ＋y ＝2，x －y ＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式表示为________．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＜22x ＋y ＞2x －y ＜3三、解答题9．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y ≥0y ≤3x ＜5表示的平面区域．[解析] 不等式x ＋y －6≥0表示在直线x ＋y －6＝0上及右上方的点的集合，x －y ≥0表示在直线x －y ＝0上及右下方的点的集合，y ≤3表示在直线y ＝3上及其下方的点的集合，x＜5表示直线x ＝5左方的点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y ≥0y ≤3x ＜5表示的平面区域为如图阴影部分．10．经过点P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连结A (1，－2)、B (2,1)的线段总有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解析]由题意知直线l 斜率存在，设为k . 则可设直线l 的方程为kx －y －1＝0，由题知：A 、B 两点在直线l 上或在直线l 的两侧，所以有： (k ＋1)(2k －2)≤0 ∴－1≤k ≤1.一、选择题1．在平面直角坐标系中，若点A (－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(0,1)[答案] B[解析] 在直线方程x －2y ＋4＝0中，令x ＝－2，则y ＝1，则点P (－2,1)在直线x －2y ＋4＝0上，又点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，如图知，t 的取值范围是t >1，故选B ．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1x ＋y ＋1≥0－1≤x ≤4表示的平面区域是( )A ．两个三角形B ．一个三角形C ．梯形D ．等腰梯形[答案] B [解析] 如图∵(x －y ＋1)(x ＋y ＋1)≥0表示如图(1)所示的对顶角形区域．且两直线交于点A (－1,0)．故添加条件－1≤x ≤4后表示的区域如图(2)．3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤3表示的平面区域的面积是( )A ．18B ．36C ．72D ．144[解析] 作出平面区域如图．交点A (－3,3)、B (3、9)、C (3，－3)， ∴S △ABC ＝12[9－(－3)]×[3－(－3)]＝36.4．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 画出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0表示的平面区域如图，直线l ：y ＝ax ＋1过定点(0,1)，由于ax －y ＋1≥0与⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0围成平面区域的面积为2，∴a >0，令x ＝1得y ＝a ＋1，∴12×(a ＋1)×1＝2，∴a ＝3.5．点P (1，a )到直线x －2y ＋2＝0的距离为355，且P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，则a ＝________.[答案] 3[解析] 由条件知，|1－2a ＋2|5＝355，∴a ＝0或3，又点P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，∴3＋a －3＞0，∴a ＞0，∴a ＝3.6．不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x －y ＋1≥02x ＋y ＋2≥0表示的平面区域的面积是________．[答案] 6[解析] 作出平面区域如图△ABC ，A (－1,0)、B (1,2)、C (1，－4)，S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×6×2＝6. (d 表示A 到直线BC 的距离．)三、解答题7．求由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤52x ＋y ≤6x ≥0y ≥0确定的平面区域的面积S 和周长C ．[解析] 可行域如图所示，其四个顶点为O (0,0)，B (3,0)，A (0,5)，P (1,4)．过点P 作y 轴的垂线，垂足为C ，则AC ＝1，PC ＝1，OC ＝4，OB ＝3，AP ＝2，PB ＝4－02＋1－32＝25，得周长C ＝AO ＋BO ＋AP ＋PB ＝8＋2＋2 5.∵S △ACP ＝12AC ·PC ＝12，S 梯形COBP ＝12(CP ＋OB )·OC ＝8，∴面积S ＝S △ACP ＋S 梯形COBP ＝172.8．画出不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示的平面区域．[解析] (x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示x ＋2y ＋1与x －y ＋4的符号相反，因此原不等式等价于两个不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＞0，x －y ＋4＜0，与⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＜0，x －y ＋4＞0，在同一直角坐标内作出两个不等式组表示的平面区域，就是原不等式表示的平面区域．在直角坐标系中画出直线x ＋2y ＋1＝0与x －y ＋4＝0，(画成虚线)取原点(0,0)可以判断． 不等式x ＋2y ＋1＞0表示直线x ＋2y ＋1＝0的右上方区域，x ＋2y ＋1＜0表示直线x ＋2y ＋1＝0的左下方区域；x －y ＋4＜0表示直线x －y ＋4＝0的左上方区域，x －y ＋4＞0表示直线x －y ＋4＝0的右下方区域．所以不等式组表示的平面区域，即原不等式表示的平面区域如图所示．。
高中数学 本册综合测试题(B)新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学试题
本册综合测试题(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014～2015学年度某某德阳五中高一上学期月考)若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >a }，满足A ⊆B ，则实数a 的取值X 围是( )A ．a ≤1B ．a <1C ．a ≥1D ．a ≤2[答案] A[解析] 将集合A 、B 分别表示在数轴上，如图所示．∵A ⊆B ，∴a ≤1.2．(2014～2015学年度某某市第一中学高一上学期期中测试)函数g (x )＝2x＋5x 的零点所在的一个区间是( )A ．(0,1)B ．(－1,0)C ．(1,2)D ．(－2，－1)[答案] B[解析] g (－1)＝12－5<0，g (0)＝20＝1>0，故选B ．3．已知f (x 2)＝ln x ，则f (3)的值是( ) A ．ln3 B ．ln8 C ．12ln3 D ．－3ln2[答案] C[解析] 设x 2＝t ，∵x >0，x ＝t ， ∴f (t )＝ln t ＝12ln t ，∴f (x )＝12ln x ，∴f (3)＝12ln3.4．(2014～2015学年度某某某某中学高一上学期月考)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (－2)＝( )A ．－5B ．5C ．3D ．－3[答案] B[解析] ∵x >0时，f (x )＝x 2＋1，∴f (2)＝5. 又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)＝5.5．若m ＝(2＋3)－1，n ＝(2－3)－1，则(m ＋1)－2＋(n ＋1)－2的值是( ) A ．1 B ．14 C ．22D ．23[答案] D[解析] ∵m ＝(2＋3)－1＝2－3，n ＝(2－3)－1＝2＋ 3.∴(m ＋1)－2＋(n ＋1)－2＝(3－3)－2＋(3＋3)－2＝3＋32＋3－323－323＋32＝2436＝23. 6．函数f (x )＝x 2－5x ＋6x －2的定义域是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x <2或x >3}C ．{x |x ≤2或x ≥3}D ．{x |x <2或x ≥3}[答案] D[解析] 解法一：验证排除法：x ＝3时，函数f (x )有意义，排除A 、B ；x ＝2时，函数f (x )无意义，排除C ，故选D ．解法二：要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6≥0x －2≠0，解得x <2或x ≥3，故选D ．7．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)，…，求证这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称．根据已知信息，题中二次函数图象不具有的性质是( ) A ．过点(3,0) B ．顶点(2，－2) C ．在x 轴上截线段长是2 D ．与y 轴交点是(0,3) [答案] B[解析] ∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(1,0)， ∴1＋b ＋c ＝0，又二次函数的图象关于直线x ＝2对称，∴b ＝－4，∴c ＝3.∴y ＝x 2－4x ＋3，其顶点坐标为(2，－1)，故选B ．8．(2015·某某文，3)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．b <c <a[答案] C[解析] ∵c ＝1.50.6＞1,0＜b ＝0.61.5＜0.60.6＝a ＜1，∴b ＜a ＜c .9．(2014～2015学年度某某某某市金台区高一上学期期中测试)若lg a ＋lg b ＝0(a ≠1，b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝b x 的图象( )A ．关于直线y ＝x 对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于原点对称[答案] C[解析] ∵lg a ＋lg b ＝0，∴lg ab ＝0，∴ab ＝1，∴b ＝1a.∴f (x )＝a x 与g (x )＝b x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 的图象关于y 轴对称．10．函数f (x )＝log 2(－x 2＋1)的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0]D ．[0,1)[答案] C[解析] 由－x 2＋1>0，得－1<x <1.令u ＝－x 2＋1(－1<x <1)的单调递增区间为(－1,0]， 又y ＝log2u 为增函数，∴函数f (x )的单调递增区间为(－1,0]．11．(2015·某某理，10)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1x ＜12xx ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值X 围是( )A ．[23，1]B ．[0,1]C ．[23，＋∞)D ．[1，＋∞)[答案] C[解析] 由f (f (a ))＝2f (a )可得f (a )≥1，故有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12a≥1，二者取并集即得a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞，故选C ． 12．已知某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝0.1x 2－11x ＋3 000，每台产品的售价为25万元，则生产者为获得最大利润，产量x 应定为( )A ．55台B ．120台C ．150台D ．180台[答案] D[解析] 设利润为S ，由题意得，S ＝25x －y ＝25x －0.1x 2＋11x －3 000＝－0.1x 2＋36x －3 000＝－0.1 (x －180)2＋240， ∴当产量x ＝180台时，生产者获得最大利润，故选D ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)已知f (x )＝x 22－x＋(3x ＋1)0，则函数f (x )的定义域为________________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2 [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2－x >03x ＋1≠0，∴x <2，且x ≠－13，故函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2.14．(2014～2015学年度某某南开中学高一上学期期中测试)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1x <1－2x ＋3x ≥1，则f [f (2)]＝____.[答案] 2[解析] f (2)＝－4＋3＝1，f (－1)＝(－1)2＋1＝2， ∴f [f (2)]＝f (－1)＝2.15．(2014～2015学年度某某一中高一上学期期中测试)函数y ＝x 2＋1，x ∈[－1,2]的值域为__________．[答案] [1,5][解析] ∵x ∈[－1,2]，∴当x ＝0时，y min ＝1，当x ＝2时，y max ＝5. ∴函数y ＝x 2＋1，x ∈[－1,2]的值域为[1,5]．16．设M 、N 是非空集合，定义M ⊙N ＝{x |x ∈M ∪N 且x ∉M ∩N }．已知M ＝{x |y ＝2x －x 2}，N ＝{y |y ＝2x ，x >0}，则M ⊙N 等于________．[答案] {x |0≤x ≤1或x >2}[解析] ∵M ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |y >1}，∴M ∩N ＝{x |1<y ≤2}，M ∪N ＝{x |x ≥0}， ∴M ⊙N ＝{x |0≤x ≤1或x >2}．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2014～2015学年度某某某某市十三校高一上学期期中测试)已知非空集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |x ≤1或x ≥2}，且A ∩B ＝A ，某某数a 的取值X 围．[解析] ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ． ∴当A ＝∅时，2a －2≥a ，∴a ≥2.当A ≠∅时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a2a －2≥2，解得a ≤1.综上可知，实数a 的取值X 围是a ≤1或a ≥2.18．(本小题满分12分)(2014～2015学年度某某某某中学高一上学期期中测试)计算下列各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412 －(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫33823 ＋(1.5)2＋(2×43)4； (2)lg 25＋lg2×lg500－12lg 125－log 29×log 32.[解析] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412 －(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫33823 ＋(1.5)2＋(2×43)4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412 －(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫27823 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫212×3144＝32－1－94＋94＋12＝252. (2)lg 25＋lg2×lg500－12lg 125－log 29×l og 32＝lg 25＋lg2(2＋lg5)－lg 15－lg9lg2×lg2lg3＝lg5(lg2＋lg5)＋lg4＋lg5－2 ＝lg100－2＝2－2＝0.19．(本小题满分12分)(2014～2015学年度某某省实验中学高一月考)已知二次函数f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，x ∈[－5,5]．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)某某数k 的取值X 围，使函数y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． [解析] (1)当k ＝1时，f (x )＝2x 2－2x －5＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －122－112，∵x ∈[－5,5]，∴当x ＝12时，f (x )min ＝－112，当x ＝－5时，f (x )max ＝55.(2)当k ＝0时，f (x )＝－2x －2在区间[－5,5]上是减函数，当k ≠0时，由题意得12k ≥5或12k≤－5， ∴0<k ≤110或－110≤k <0.综上可知，实数k 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－110，110.20．(本小题满分12分)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收入最大？最大月收入是多少元？ [解析] (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为3 600－3 00050＝12，所以能租出100－12＝88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x (x 为50的整数倍)元时，租赁公司的月收入为y 元，则y ＝⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050·(x －150)－x －3 00050×50＝－150x 2＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.所以当x ＝4 050时，y max ＝307 050.故当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收入最大，最大月收入为307 050元．21．(本小题满分12分)(2014～2015学年度某某省实验中学高一月考)已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )．(1)求f (1)的值；(2)已知f (3)＝1，且f (a )>f (a －1)＋2，求a 的取值X 围； (3)证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )．[解析] (1)令x ＝y ＝1， 则f (1)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0.(2)∵f (xy )＝f (x )＋f (y ), f (3)＝1， ∴f (9)＝f (3)＋f (3)＝2.∴f (a )>f (a －1)＋2化为f (a )>f (a －1)＋f (9)＝f (9a －9)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0a －1>0a >9a －9， 解得1<a <98.(3)∵f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y·y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋f (y )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y＝f (x )－f (y )．22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝lg(m x－2x)(0<m <1)． (1)当m ＝12时，求f (x )的定义域；(2)试判断函数f (x )在区间(－∞，0)上的单调性并给出证明； (3)若f (x )在(－∞，－1]上恒取正值，求m 的取值X 围．[解析] (1)当m ＝12时，要使f (x )有意义，须(12)x －2x >0，即2－x >2x，可得：－x >x ，∴x <0∴函数f (x )的定义域为{x |x <0}．(2)设x 2<0，x 1<0，且x 2>x 1，则Δ＝x 2－x 1>0 令g (x )＝m x－2x，则g (x 2)－g (x 1)＝m x2－2 x2－m x1＋2 x1 ＝m x2－m x1＋2 x1－2 x 2 ∵0<m <1，x 1<x 2<0， ∴m x2－m x1<0,2 x1－2 x2<0g (x 2)－g (x 1)<0，∴g (x 2)<g (x 1)∴lg[g (x 2)]<lg[g (x 1)]， ∴Δy ＝lg(g (x 2))－lg(g (x 1))<0， ∴f (x )在(－∞，0)上是减函数．(3)由(2)知：f (x )在(－∞，0)上是减函数， ∴f (x )在(－∞，－1]上也为减函数，∴f (x )在(－∞，－1]上的最小值为f (－1)＝lg(m －1－2－1) 所以要使f (x )在(－∞，－1]上恒取正值， 只需f (－1)＝lg(m －1－2－1)>0，即m －1－2－1>1，∴1m >1＋12＝32，∵0<m <1，∴0<m <23.。
新课标人教版数学B教案·必修(1)第三章基本初等函数(Ⅰ)
新课标人教版数学B ·必修（1）第三章基本初等函数(Ⅰ) 3．1指数与指数函数 3．1．1有理指数幂及其运算教学目标：根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算． 教学重点：分数指数幂的概念和分数指数的运算性质．本小节的难点是根式的概念和分数指数幂的概念．关键是理解分数指数幂和根式的意义． 教学过程：（1）指数概念的扩充：指数的概念是由乘方概念推广而来的。
相同因数相乘个n a aaa ⋅⋅⋅=n a 导出乘方，这里的n 为正整数。
从复习初中内容开始，首先将n 推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念.（2）分数指数幂是根式的另一种表示，根式的运算可利用分数指数幂与根式之间的关系转化为分数指数幂的运算．对于问题计算化简的结果，不强求统一用何种形式来表示．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．（3）随着指数范围的扩充，幂的运算性质逐步合并且简化．正整数指数幂的运算性质如下： ①； ②；③；④；⑤．当指数的范围扩大到整数集之后，幂的运算性质可由5条合并为3条，即：①； ②； ③．这3条性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定． 当指数的范围扩充到有理数集以至实数集后，幂的运算性质仍然是上述3条，但要遵守负实数指数幂的底数不能等于0的规定．（4）例1:先化简再用计算机求值（1）4.1213.2)549(+- （2）11(22--+-+m m m m （其中3.8=m ）例2：已知：22121=+-aa 求下列各式的值（1）22-+a a ；（2）33-+a a ；（3）44-+a a .例3：化简：332ba ab b a 课堂练习：第97页练习A,练习B小结：本节学习了根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算．课后作业：第100页习题3-1A 第1题3．1．2指数函数（1）教学目标：1.使学生掌握指数函数的概念,图象和性质.(1)能根据定义判断形如什么样的函数是指数函数,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域.(2)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性质.2. 通过对指数函数的概念图象性质的学习,培养学生观察,分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.教学重点：指数函数的图象、性质。
2021-2022学年新教材高中数学 模块综合训练课后练习(含解析)新人教B版选择性必修第一册
模块综合训练一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件两直线平行,∴斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.如图,四面体S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,则SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13SA⃗⃗⃗⃗⃗ +12SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗ B.23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ C.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SC ⃗⃗⃗⃗ D.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,∴SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA⃗⃗⃗⃗⃗ +13×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(SC ⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(SB ⃗⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ .3.圆P :(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q 的标准方程是( ) A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-5)2=1 C.(x-2)2+(y+5)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1P :(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a ,b ),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,所求圆Q 的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A.13B.12C.9D.6|MF 1|+|MF 2|=2a=6,则√|MF 1|·|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|2=3, 则|MF 1|·|MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立. 故|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.故选C .5.坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,若点Q(-1,-1),那么|PQ|的取值范围为()A.[√2,3√2]B.[√2,2√2]C.[2√2,3√2]D.[1,3√2]mx+ny-2m-2n=0,可化为m(x-2)+n(y-2)=0,故直线过定点M(2,2),坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,故∠OPM=90°,所以P 在以OM为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为√2,根据点与圆的关系,|NQ|=√(1+1)2+(1+1)2=2√2,故√2=2√2−√2≤|PQ|≤√2+2√2=3√2.6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cmxOy ,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y 2=2px ,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p×10,得p=5,则p 2=2.5,即焦点坐标为(2.5,0), 则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm .7.如图,四棱锥S-ABCD 中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线SA 与直线AD 所成角为α,直线SA 与平面ABCD 所成角为β,二面角S-AB-C 的平面角为γ,则( ) A.α>β>γ B.γ>α>β C.α>γ>β D.γ>β>αAC ,BD ,交于点O ,连接OS ,则OA ,OB ,OS 两两垂直,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S (0,0,√2),A (√2,0,0),D (0,-√2,0),B (0,√2,0),SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,-√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,0),SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),cos α=|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4×√4=12,平面ABCD 的法向量n =(0,0,1),cos β=|n ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗||n |·|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√4=√22,设平面SAB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗=√2x -√2z =0,m ·SB ⃗⃗⃗⃗⃗=√2y -√2z =0,取x=1,得m =(1,1,1),cos γ=|m ·n ||m |·|n |=√3=√33, ∵cos α<cos γ<cos β,∴α>γ>β.8.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.2 D.√2|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO|=a.在Rt △POF 2中,cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc ,∵在△PF 1F 2中,cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc ⇒c2=3a 2,∴e=√3.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.(2021新高考Ⅰ,11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A (4,0),B (0,2),则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时,|PB|=3√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3√2,记圆心为M ,半径为r ,则M (5,5),r=4.由条件得,直线AB 的方程为x 4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M 作MN 垂直于直线AB ,垂足为N ,直线MN 与圆M 分别交于点P 1,P 2,圆心M (5,5)到直线AB 的距离|MN|=√12+22=√5,于是点P 到直线AB 的距离最小值为|P 2N|=|MN|-r=√5-4,最大值为|P 1N|=|MN|+r=√5+4. 又√5-4<2,√5+4<10,故A 正确,B 错误; 过点B 分别作圆的两条切线BP 3,BP 4,切点分别为点P 3,P 4,则当点P 在P 3处时∠PBA 最大,在P 4处时∠PBA 最小.又|BP 3|=|BP 4|=√|BM |2-r 2=√52+(5-2)2-42=3√2,故C,D 正确.故选A,C,D .10.若a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,则λ的值为( ) A.17 B.-17 C.-1 D.1a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,∴cos120°=a ·b |a |·|b |=√5+λ2·√6,解得λ=-1或λ=17.11.已知P 是椭圆C :x 26+y 2=1上的动点,Q 是圆D :(x+1)2+y 2=15上的动点,则( ) A.C 的焦距为√5B.C 的离心率为√306C.圆D 在C 的内部D.|PQ|的最小值为2√55c=√6-1=√5,则C的焦距为2√5,e=√5√6=√306.设P(x,y)(-√6≤x≤√6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x26=56(x+65)2+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为√45−√15=√55.12.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12) D.(0,-1,1),所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,而PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),选项A,(2,1,1)·(1,-4,2)=0,(0,2,4)·(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)·(14,-1,12)=0,(0,2,4)·(14,-1,12)=0满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)·(-14,1,-12)=0,(0,2,4)·(-14,1,-12)=0满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)·(0,-1,1)=0,但(0,2,4)·(0,-1,1)≠0,故错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,√2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l 的斜率k= .(1,√2)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,就是弦长最小,就是与圆心(2,0)和点(1,√2)的连线垂直的直线,连线的斜率是√2-01-2=-√2,直线l的斜率k=√22.14.(2021新高考Ⅰ,14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.x=-32PF⊥x轴,∴x P=x F=p2,将x P=p2代入y2=2px,得y=±p.不妨设点P在x轴的上方,则P(p2,p),即|PF|=p.如图,由条件得,△PFO∽△QFP,∴|OF||PF|=|PF||QF|,即p2p=p6,解得p=3.故C的准线方程为x=-32.15.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=AC=BC=1,则异面直线BC1与A1B1所成角为;二面角A-BC1-C的余弦值是.√33C 为原点建立如图空间直角坐标系,则A (0,1,0),B (1,0,0),C 1(0,0,1),A 1(0,1,1),B 1(1,0,1),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0).由cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=|√2×√2|=12,故异面直线BC 1与A 1B 1所成角为π3, 设平面ABC 1的一个法向量为m =(a ,b ,c ),由{m ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +c =0,m ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a -b =0,设a=1,得m =(1,1,1),平面BC 1C 的一个法向量n =(0,1,0),cos <m ,n >=√3=√33.16.已知抛物线的方程为x 2=2py (p>0),过抛物线的焦点,且斜率为1的直线与抛物线交于A ,B 两点,|AB|=8,则p= ,M 为抛物线弧AOB⏜上的动点,△AMB 面积的最大值是 .4√2抛物线的方程为x 2=2py (p>0),过抛物线的焦点F ,且斜率为1的直线与抛物线交于A ,B 两点,故直线AB 的方程为y-p 2=x-0,即y=x+p2,且直线AB 的倾斜角为45°. 代入抛物线的方程x 2=2py ,可得x 2-2px-p 2=0.设A ,B 两点的横坐标分别为m ,n ,m<n ,由根与系数的关系可得m+n=2p ,mn=-p 2.∵|AB|=|AF|+|BF|=(yA +p2)+y B+p2=(m+p2)+p2+(n+p2)+p2=8=m+n+2p=4p=8,∴p=2,故抛物线的方程为x2=4y,直线AB为y=x+1.设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+m,代入抛物线方程,得x2-4x-4m=0.由Δ=42+16m=0,得m=-1.与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x-1,两直线间的距离为d=√2=√2,∴△AMB面积的最大值为12·|AB|·d=12×8×√2=4√2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)求分别满足下列条件的直线l的方程.(1)已知点P(2,1),l过点A(1,3),P到l距离为1;(2)l过点P(2,1)且在x轴,y轴上截距的绝对值相等.当l斜率不存在时,l的方程为x=1,满足条件.当l斜率存在时,设l:y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,由d=√k2+1=1,得k=-34,即l:3x+4y-15=0.故直线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.(2)当直线过原点时,直线的斜率为1-02-0=12,直线l的方程为x-2y=0.当直线截距相等时,设为xa +ya=1,代入(2,1),则a=3,即x+y-3=0.当直线截距互为相反数时,设为xa +y-a=1代入(2,1),则a=1,即x-y-1=0.综上,要求的直线l 的方程为x-2y=0或x+y-3=0或x-y-1=0. 18.(12分)(2021新高考Ⅰ,21)在平面直角坐标系xOy 中,已知点F 1(-√17,0),F 2(√17,0),点M 满足|MF 1|-|MF 2|=2.记M 的轨迹为C.(1)求C 的方程;(2)设点T 在直线x=12上,过T 的两条直线分别交C 于A ,B 两点和P ,Q 两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.∵|MF 1|-|MF 2|=2,且F 1(-√17,0),F 2(√17,0),∴点M的轨迹为双曲线的右支,且满足{2a =2,c =√17,c 2=a 2+b 2,∴{a 2=1,b 2=16,c 2=17.∴C 的方程为x 2-y 216=1(x ≥1).(2)设T (12,m),显然直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率都存在.设直线AB 的方程为y=k 1(x -12)+m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{y =k 1(x -12)+m ,16x 2-y 2=16,得16x 2-k 12(x 2-x +14)+2k 1m (x -12)+m2=16,即(16-k 12)x 2+(k 12-2k 1m )x-14k 12+k 1m-m 2-16=0. ∴|TA|·|TB|=(1+k 12)x 1-12x 2-12=(1+k 12)x 1x 2-12(x 1+x 2)+14=(1+k 12)k 1m -14k 12-m 2-1616-k 12−12·2k 1m -k 1216-k 12+14=(1+k 12)-m 2-1216-k 12=(1+k 12)·m 2+12k 12-16.设k PQ =k 2,同理可得|TP|·|TQ|=(1+k 22)·m 2+12k 22-16. ∵|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,∴(1+k 12)·m 2+12k 12-16=(1+k 22)·m 2+12k 22-16. ∴k 22-16k 12=k 12-16k 22.∴k 12=k 22.∵k 1≠k 2,∴k 1=-k 2. ∴k 1+k 2=0.19.(12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点A (-2,0),点B 为其上顶点,且直线AB 的斜率为√32.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 为第四象限内一点且在椭圆C 上,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证:四边形ABNM 的面积是定值.,设直线AB :y-0=√32(x+2),令x=0,则y=√3,于是B (0,√3), 所以a=2,b=√3, 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)设P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0<0),且3x 02+4y 02=12,又A (-2,0),B (0,√3),所以直线AP :y -0y 0-0=x+2x 0+2,令x=0,y M =2y 0x 0+2,则|BM|=√3-y M =√3−2y 0x 0+2=√3x 0+2√3-2y 0x 0+2. 直线BP :√3y -√3=x -0x 0-0,令y=0,x N =√3x 0y -√3,则|AN|=2+x N=2+√3x0y-√3=0√3-√3x0y-√3.所以四边形ABNM的面积为S=12|BM|·|AN|=1 2×√3x0+2√3-2y0x0+2×0√3-√3x0y-√3=0202√3x000√3y02(x y-√3x+2y-2√3)=√3(00√3x00√3)2(λy-√3x+2y-2√3)=2√3,所以四边形ABNM的面积为定值2√3.20.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=120°,PA=PC,PB=PD,AC∩BD=O.(1)证明:PO⊥平面ABCD;(2)若PA与平面ABCD所成的角为30°,求二面角B-PC-D的余弦值.四边形ABCD是菱形,∴O为AC,BD的中点.又PA=PC,PB=PD,∴PO⊥AC,PO⊥BD.∵AC∩BD=O,且AC,BD⊂平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD.ABCD的边长为2t(t>0).∵∠ABC=120°,∴∠BAD=60°,∴OA=√3t.由(1)知PO ⊥平面ABCD ,∴PA 与平面ABCD 所成的角为∠PAO=30°,得到PO=t ,建立如图所示的空间直角坐标系,则B (0,t ,0),C (-√3t ,0,0),P (0,0,t ),D (0,-t ,0),得到BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-t ,t ),CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3t ,0,t ). 设平面PBC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面PCD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2).则{n 1·BP ⃗⃗⃗⃗⃗=0,n 1·CP ⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{-ty 1+tz 1=0,√3tx 1+tz 1=0.令x=1,则y=z=-√3,得到n 1=(1,-√3,-√3). 同理可得n 2=(1,√3,-√3),所以|cos <n 1,n 2>|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=17.因为二面角B-PC-D 为钝二面角,则余弦值为-17.21.(12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线Γ:y=x 2-mx+2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ,B ,曲线Γ与y 轴交于点C.(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由. (2)求证:过A ,B ,C 三点的圆过定点,并求出该定点的坐标.由曲线Γ:y=x 2-mx+2m (m ∈R ),令y=0,得x 2-mx+2m=0. 设A (x 1,0),B (x 2,0),则可得Δ=m 2-8m>0,x 1+x 2=m ,x 1x 2=2m. 令x=0,得y=2m ,即C (0,2m ).若存在以AB 为直径的圆过点C ,则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得x 1x 2+4m 2=0,即2m+4m 2=0, 所以m=0或m=-12.由Δ>0,得m<0或m>8,所以m=-12,此时C (0,-1),AB 的中点M (-14,0)即圆心,半径r=|CM|=√174.故所求圆的方程为(x +14)2+y 2=1716. (2)设过A ,B ,C 的圆P 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2满足{(x 1-a )2+b 2=r 2,(x 2-a )2+b 2=r 2,a 2+(2m -b )2=r 2,x 1x 2=2m ,x 1+x 2=m⇒{ a =m2,r 2=5m 24-m +14,b =m +12,代入P 得(x -m 2)2+y-m-122=5m 24-m+14,展开得(-x-2y+2)m+x 2+y 2-y=0, 当{-x -2y +2=0,x 2+y 2-y =0,即{x =0,y =1或{x =25,y =45时方程恒成立, ∴圆P 方程恒过定点(0,1)或(25,45).22.(12分)某高速公路隧道设计为单向三车道,每条车道宽4米,要求通行车辆限高5米,隧道全长1.5千米,隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状(如图所示).(1)若最大拱高h 为6米,则隧道设计的拱宽l 至少是多少米?(结果取整数)(2)如何设计拱高h 和拱宽l ,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?(结果取整数) 参考数据:√11≈3.3,椭圆的面积公式为S=πab ,其中a ,b 分别为椭圆的长半轴和短半轴长.建立直角坐标系xOy如图所示,则点P(6,5)在椭圆x2a2+y2b2=1上,将b=h=6与点P(6,5)代入椭圆方程,得a=√11,此时l=2a=√11≈21.8,因此隧道设计的拱宽l至少是22米.(2)由椭圆方程x2a2+y2b2=1,得36a2+25b2≤1,因为1≥36a2+25b2≥2×6×5ab,即ab≥60,S=πab2≥30π,当且仅当6a=5b时,等号成立.由于隧道长度为1.5千米,故隧道的土方工程量V=1.5S≥45π,当V取得最小值时,有6a =5b,且ab=60,得a=6√2,b=5√2,此时l=2a=12√2≈16.97,h=b≈7.07.①若h=b=8,此时l=2a=17,此时V1=3πab4=3×17×8π8=51π,②若h=b=7,此时l=2a=18,此时V2=3πab4=3×9×7π4=47.25π,因为V1>V2,故当拱高为7米、拱宽为18米时,土方工程量最小.。
(人教版B版)高中数学必修第一册 第三章综合测试试卷01及答案
第三章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知2()1f x x =+，则[(1)]f f -的值等于（ ）A .2B .3C .4D .52.已知函数()1f x x =+，其定义域为{1,0,1,2}-，则函数的值域为（ ）A .[0,3]B .{0,3}C .{0,1,2,3}D .{|0}y y …3.函数y = ）A .{|01}x x ……B .{| 1 1}x x x --＜或＞C .{|01}x x x ¹-＜且D .{}|1 0x x x ¹-¹且4.已知二次函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且函数图像截x 轴所得的线段长为8，则函数()y f x =的零点为（ ）A .2，6B .2，6-C .2-，6D .2-，6-5.若函数()y f x =的定义域是{|01}x x ≤≤，则函数()()(2)(01)F x f x a f x a a =+++＜＜的定义域是（）A .1|22a a x x -ìü-íýîþ≤B .|12a x x a ìü--íýîþ≤C .{|1}x a x a --≤≤D .1|2a x a x -ìü-íýîþ≤≤6.如图所示，可表示函数()y f x =的图像的只可能是（）A B C D7.已知函数2()1f x ax bx =++为定义在[2,1]a a -上的偶函数，则a b +的值是（ ）A .1B .1-C .1或1-D .0或18.若()f x 满足()()f x f x -=-，且在(,0)-¥上是增函数，(2)0f -=，则()0xf x ＜的解集是（ ）A .(2,0)(0,2)-UB .(,2)(0,2)-¥-UC .(,2)(2,)-¥-+¥U D .(2,0)(2,)-+¥U 9.设函数()f x 与()g x 的定义域是{|1}x x ι±R ，函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1f xg x x -=-，则()f x 等于（ ）A .2221x x -B .211x -C .221x -D .221x x -10.已知2()21(0)f x ax ax a =++＞，若()0f m ＜，则(2)f m +与1的大小关系式为（ ）A .(2)1f m +＜B .(2)1f m +=C .(2)1f m +＞D .(2)1f m +…11.函数()f x =（ ）A .是奇函数但不是偶函数B .是偶函数但不是奇函数C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数又不是偶函数12.已知2()2f x x x =+，若存在实数t ，使()3f x t x +…对[1,]x m Î恒成立，则实数m 的最大值是（ ）A .6B .7C .8D .9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.已知1,[0,1],()2,[0,1],x f x x x Îì=í-Ïî，当[()]1f f x =时，x Î__________.14.关于x 的方程240x x a --=有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为__________.15.已知函数719()1x f x x +=+，则()f x 的图像的对称中心是__________，集合{}*|()x f x Î=N __________.16.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则52f f æöæöç÷ç÷èøèø的值是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知函数2()2||1f x x x =--.（1）利用绝对值及分段函数知识，将函数()f x 的解析式写成分段函数；（2）在坐标系中画出()f x 的图像，并根据图像写出函数()f x 的单调区间和值域.18.（本小题满分12分）已知函数()f x 对任意实数x 均有()2(1)f x f x =-+，且()f x 在区间[0]1，上有解析式2()f x x =.（1）求(1)f -和(1.5)f 的值；（2）写出()f x 在区间[2,2]-上的解析式.19.（本小题满分12分）函数2()1ax bf x x +=+是定义在(,)-¥+¥上的奇函数，且1225f æö=ç÷èø.（1）求实数a ，b 的值.（2）用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数；（3）写出()f x 的单调减区间，并判断()f x 有无最大值或最小值.如有，写出最大值或最小值（无需说明理由）.20.（本小题满分12分）已知定义域为R 的单调函数()f x ，且(1)f x -的图像关于点(1,0)对称，当0x ＞时，1()3x f x x=-.（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t ÎR ，不等式()()22220f t t f t k -+-＜恒成立，求实数k 的取值范围.21.（本小题满分12分）对于定义域为D 的函数()y f x =，若同时满足下列条件：①()f x 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[,]a b D Í，使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么称()()x D y f x =Î为闭函数.（1）求闭函数3y x =-符合条件②的区间[,]a b .（2）判断函数31()(0)4f x x x x=+＞是否为闭函数？并说明理由；（3）判断函数y k =+是否为闭函数？若是闭函数，求实数k 的取值范围.22.（本小题满分12分）设函数()f x 的定义域为R ，当0x ＞时，()1f x ＞，对任意,x y ÎR ，都有()()()f x y f x f y +=g ，且(2)4f =.（1）求(0)f ，(1)f 的值.（2）证明：()f x 在R 上为单调递增函数.（3）若有不等式1()2f x f x x æö+ç÷èøg ＜成立，求x 的取值范围.第三章测试答案解析一、1.【答案】D【解析】由条件知(-1)2f =，(2)5f =，故选D .2.【答案】C【解析】将x 的值依次代入函数表达式可得0，1，2，3，所以函数的值域为{0,1,2,3}，故选C .3.【答案】C【解析】由条件知10x +¹且0x x -＞，解得0x ＜且1x ¹-.故选C 4.【答案】C【解析】由于函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，所以直线2x =为二次函数()y f x =图像的对称轴，根据二次函数图像的性质，图像与x 轴的交点必关于直线2x =对称.又两交点间的距高为8，则必有两交点的横坐标分别为1246x =+=，2242x =-=-.故函数的零点为2-，6.故选C .5.【答案】A【解析】由条件知01,021,x a x a +ìí+î…………，又01a ＜＜则122a ax --≤≤，故选A .6.【答案】D【解析】由函数定义可得，任意一个x 有唯一的y 与之对应，故选D .7.【答案】B【解析】因为函数2()1f x ax bx =++为定义在[2,1]a a -上的偶函数，所以21a a =-，1a =-，0b =，因此1a b +=-，故选B.8.【答案】A【解析】根据题意可知函数是奇函数，且在(,0)-¥，(0,)+¥上是增函数，对()0xf x ＜，分0x ＞，0x ＜进行讨论，可知解集为(2,0)(0,2)-U ，故选A.9.【答案】B【解析】1()()1f x g x x -=-∵，1()()1f x g x x ---=--∴，1()()1f xg x x +=--∴，21122()111f x x x x =-=-+-∴，21()1f x x =-，故选B .10.【答案】C【解析】因为2()21(0)f x ax ax a =++＞，所以其图像的对称轴为直线1x =-，所以()(2)0f m f m =--＜，又(0)1f =，所以(2)1f m +＞，故选C .11.【答案】A【解析】由定义城可知x ，因此原式化简为()f x =，那么根据函数的奇偶性的定义，可知该函数是奇函数不是偶函数，故选A .12.【答案】C【解析】由题意知，对任意[1,]x m Î，2()2()3x t x t x +++…恒成立，这个不等式可以理解为()f x t +的图像在直线3y x =的图像的下面时x 的取值范围.要使m 最大，需使两图像交点的横坐标分别为1和m .当1x =时，3y =，代入可求得4t =-（0t =舍去）.进而求得另一个交点为(8,24)，故8m =.故选C.二、13.【答案】[0,1][2,3]{5}U U 【解析】因为1,[0,1],()2,[0,1],x f x x x Îì=í-Ïî所以要满足元[()]1f f x =，需()[0,1]f x Î，[0,1]x Î或2[0,1]x -Î或5x =，这样解得x 的取值范围是[0,1][2,3]{5}U U .14.【答案】(0,4)【解析】原方程等价于24x x a -=，在同一坐标系内作出函数24y x x =-与函数y a =的图像，如图所示：平移直线y a =，可得当04a ＜＜时，两图像有4个不同的公共点，相应地方程240x x a --=有4个不相等的实数根，综上所述，可得实数a 的范围为04a ＜＜.15.(1,7)-{13,7,5,4,3,0,1,2,3,5,11}-----【解析】因为函数71912()711x f x x x +==+++，则()f x 的图像的对称中心为(1,7)-，集合{|()}{13,7,5,4,3,0,1,2,3,5,11}x f x *Î=-----N 16.【答案】0【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，因此令12x =-，可知11112222f f æöæö-=-ç÷ç÷èøèø，所以102f æö=ç÷èø，分别令32x =-，52x =-，可得302f æö=ç÷èø，502f æö=ç÷èø，令1x =-.得(0)0f =，因此可知502f f æöæö=ç÷ç÷èøèø.三、17.【答案】（1）22321,0()2||121,0x x x f x x x x x x ì--=--=í+-î＜….（2）图像如图所示.单调增区间为(1,0)-，(1,)+¥，单调减区间为(,1)-¥-，(0,1).值域为[2,)-+¥.18.【答案】（1）由题意知(1)2(11)2(0)0f f f -=--+=-=，1111(1,5)(10.5)(0.5)2248f f f =+=-=-´=-.（2）当[0,1]x Î时，2()f x x =；当(1,2]x Î时，1(0,1]x -Î，211()(1)(1)22f x f x x =--=--；当[1,0)x Î-时，1[0,1)x +Î，2()2(1)2(1)f x f x x =-+=-+；当[2,1)x Î--时，1[1,0)x +Î-，22()2(1)22(11)4(2)f x f x x x éù=-+=-´-++=+ëû.所以22224(2),[2,1),2(1),[1,0),(),[0,1],1(1),(1,2].2x x x x f x x x x x ì+Î--ï-+Î-ïï=íÎïï--Îïî19.【答案】（1）2()1ax bf x x +=+∵是奇函数()()f x f x -=-∴，2211ax b ax bx x -++=-++∴，0b =∴.故2()1axf x x =+，又1225f æö=ç÷èø∵，1a =∴（2）证明：由（1）知2()1xf x x =+，任取1211x x -＜＜＜，()()()()()()1212121222121211111x x x x x xf x f x x x x x ---=-=++++1211x x -∵＜＜＜，1211x x -∴＜＜，120x x -＜，1210x x -＞，2110x +＞，2210x +＞，()()120f x f x -∴＜，即()()12f x f x ＜，()f x ∴在(1,1)-上是增函数.（3）单调减区间为(,1),(1,)-¥-+¥.当1x =-时，min 1()2f x =-；当1x =时，max 1()2f x =.20.【答案】（1）由题意知()f x 的图像关于点(0,0)对称，是奇函数，∴(0)0f =当0x ＜时，0x -＞，1()3x f x x--=--∴，又∵函数()f x 是奇函数.∴()()f x f x -=-，1()3x f x x=-∴.综上所述，1(0),()30(0).x x f x xx ì-¹ï=íï=î（2）2(1)(0)03f f =-=∵＜，且()f x 在R 上单调.∴()f x 在R 上单调递减.由()()22220f t t f t k -+-＜，得()()2222f t t f t k ---＜.∵()f x 是奇函数，∴()()2222f t t f k t --＜，又∵()f x 是减函数，∴2222t t k t --＞即2320t t k --＞对任意t ÎR 恒成立，∴4120k D =+＜，得13k -＜.21.【答案】（1）由题意，3y x =-，在[,]a b 上单调递减，则33,,,b a a b b a ì=-ï=-íï>î解得1,1,a b =-ìí=î所以，所求区间为[1,1]-.（2）取11x =，210x =，则()()1273845f x f x ==，即()f x 不是(0,)+¥上的减函数.取，1110x -=，21100x =，()()12331010040400f x f x =++=＜，即()f x 不是(0,)+¥上的增函数.所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数.（3）若y k =是闭函数，则存在区间[,]a b ，在区间[,]a b 上，函数()f x 的值域为[,]a b，即a kb k ì=ïí=+ïî∴a ，b为方程x k =+的两个实根，即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=-……有两个不等的实根，故两根均大于等于2-，且对称轴在直线2x =-的右边.当2k -…时，有220,(2)2(21)20,212,2k k k ìïD ï-+++-íï+ï-î＞…解得924k --….当2k -＞时，有220,(21)20,21,2k k k k k k ìïD ï-++-íï+ïî＞＞…无解.综上所述，9,24k æùÎ--çúèû.22.【答案】（1）因为(20)(2)(0)f f f +=g ，所以44(0)f =×，所以(0)1f =，又因为24(2)(11)(1)f f f ==+=，且当0x ＞时，()1f x ＞，所以(1)2f =.（2）证明：当0x ＜时，0x -＞，所以()1f x -＞，而(0)[()]()()f f x x f x f x =+-=-g ，所以1()()f x f x =-，所以0()1f x ＜＜，对任意的12,x x ÎR ，当12x x ＜时，有()()()]()()()1212222121f x f x f x x x f x f x f x x -=é-+-=--ë，因为120x x ＜＜，所以120x x -＜，所以()1201f x x -＜＜，即()1210f x x --＜，所以()()120f x f x -＜，即()()12f x f x ＜，所以()f x 在R 上是单调递增函数.（3）因为1()12f x f x æö+ç÷èøg ＜，所以11(1)f x f x æö++ç÷èø＜，而()f x 在R 上是单调递增函数，所以111x x ++，即10x x+＜，所以210x x +＜，所以0x ＜，所以x 的取值范围是(,0)-¥.。
数学必修一第三章试卷(含答案).
必修一第三章姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数()22x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,2 2．函数()32x f x =-的零点为( )A ．3log 2B ．123 C ．132 D ．2log 33．函数f(x)=log 3x −3+x 的零点所在区间是（ ）A ．(0,2)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(3,4)4．函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4 5．函数3()2x f x e x =--(e=2.71828…是自然对数的底数)一定存在零点的区间是（ ） A ．(-1，0) B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，e) 6．若函数()3()1x f x x a =--在（﹣∞，0）上有零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣2，﹣1）D ．R 7．函数11y x =+的零点是( ) A ．(1,0)- B ．-1 C ．1 D ．08．用二分法求函数32()22f x x x x =+--的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f （1）＝–2，f （1.5）＝0.625，f （1.25）≈–0.984，f （1.375）≈–0.260，关于下一步的说法正确的是（ ）A ．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值B ．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值C ．没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1.4375）D ．没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1.3125）9．某同学用二分法求方程3380x x +-=在x ∈（1，2）内近似解的过程中，设()338x f x x =+-，且计算f （1）<0，f （2）>0，f （1.5）>0，则该同学在第二次应计算的函数值为（ ）A ．f （0.5）B ．f （1.125）C ．f （1.25）D ．f （1.75）10．用二分法研究函数()321f x x x =--的零点时，若零点所在的初始区间为()12，，则下一个有解区间为（ ）A ．()12，B ．()1.752，C ．()1.52，D ．()1 1.5，11．下列函数中能用二分法求零点的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数()()()2log 0{30x x x f x x >=≤，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的范围是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()1,2D ．()1,+∞二、填空题13．函数()234f x x x =+-的零点是____________. 14．若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________. 15．若函数()y f x =的图像是连续不断的，有如下的对应值表：则函数()y f x =在[]1,6x ∈上的零点至少有______个.16．若集合{}2|20A x x x =+-=，{}|1B x =<，则A B =U ______.三、解答题17．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()22f x x x =-. （1）求出函数()f x 在R 上的解析式；（2）画出函数()f x 的图像，并写出单调区间；（3）若()y f x =与y m =有3个交点，求实数m 的取值范围.18．已知函数f （x ）=–3x 2+2x –m +1．（1）若x =0为函数的一个零点，求m 的值；（2）当m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点．19．已知定义在R 上的奇函数()f x ,当0x <时，2(1)2f x x x =++.（1）求函数()f x 的表达式；（2）请画出函数()f x 的图象；（3）写出函数()f x 的单调区间.20．设全集为R ，集合{|36}A x x =≤<，{|29}B x x =<<.（1）分别求A B ⋂，()R C B A ⋃；（2）已知{|1}C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围构成的集合.21．若函数()f x 是定义在[-1，1]上的减函数，且(1)(21)0f a f a ---<,求实数a 的取值范围.22．若二次函数满足(1)()2f x f x x +-=.且(0)1f =(1)求()f x 的解析式；(2)若在区间[-1,1]上不等式()2x m f x >+恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】由题意得()()f 1f 20<，解不等式可得实数a 的取值范围．【详解】由条件可知()()()()f 1f 2?22a 41a 0=<－－－－，即a(a －3)<0， 解得0<a<3.故选C ．【点睛】本题考查利函数零点存在性定理的应用，解题的关键是根据函数在给定的区间两端点处的函数值异号得到不等式，考查应用能力和计算能力，属于容易题．2．A【解析】【分析】令()0f x =，将指数式化为对数值，求得x 的值，也即()f x 的零点.【详解】由()320xf x =-=，得32x =，即3log 2x = 故选A.【点睛】本小题主要考查零点的求法，属于基础题.3．B【解析】【分析】通过计算f (a )⋅f (b )<0，判断出零点所在的区间.【详解】由于f (2)=log 32−3+2=log 32−1<0，f (3)=log 33−3+3=1>0，f (2)⋅f (3)<0，故零点在区间(2,3)，故选B.【点睛】本小题主要考查零点的存在性定理的应用，考查函数的零点问题，属于基础题.4．C【解析】【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f （x ）=ln x +x -3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f （1）、f （2）、f （3）的值，发现f （2）•f （3）＜0，即可得到零点所在区间．【详解】解：∵f （x ）=ln x +x -3在（0，+∞）上是增函数f （1）=-2＜0，f （2）=ln2-1＜0，f （3）=ln3＞0∴f （2）•f （3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f （x ）=ln x +x -3的零点所在区间为（2，3）故选：C ．【点睛】本题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间，着重考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于基础题．5．B【解析】【分析】根据零点存在性定理，即可判断出结果.【详解】 因为3()2x f x e x =--，所以1311(1)1022--=+-=-<f e e ，031(0)0022=--=-<f e ，135(1)1022=--=->f e e ， 所以(0)(1)0f f <，由零点存在定理可得：区间(0,1)内必有零点.故选B【点睛】本题主要考查判断零点所在的区间，熟记零点的存在定理即可，属于基础题型.6．B【解析】【分析】 由题意可知13x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在（−∞，0）上有零点，结合函数13xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在（−∞，0）上单调性可求.【详解】解：∵()3()1x f x x a =--在（−∞，0）上有零点， ∴13xa x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在（−∞，0）上有零点， 由于函数13x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在（−∞，0）上单调递增，113x y x ⎛⎫∴=-<- ⎪⎝⎭，1a ∴<-故选：B .【点睛】本题主要考查了函数零点存在条件的应用，体现了转化思想的应用，属于基础试题. 7．B【解析】令y ＝1＋1x = 10x x+=,解得x=-1,即函数零点为-1,故选B. 点睛:本题考查函数的零点问题.对于函数()y f x =,我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.即函数的零点就是指使函数值为零的自变量的值.需要注意的是,(1)函数的零点是实数,而不是点;(2)并不是所有的函数都有零点;(3)若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内.8．C【解析】【分析】根据已知能的特殊函数值，可以确定方程32220x x x +--=的根分布区间，然后根据精确要求选出正确答案.【详解】由由二分法知，方程32220x x x +--=的根在区间区间（1.375，1.5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1.4375）．故选C ．【点睛】本题考查了二分法的应用，掌握二分法的步骤是解题的关键.9．C【解析】【分析】先根据题目已知中的函数值，确定根的分布区间，再结合二分法的原理，可以求出 该同学在第二次应计算的函数值.【详解】∵f （1）<0，f （2）>0，f （1.5）>0，∴在区间（1，1.5）内函数f （x ）＝3x +3x –8存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值1 1.52+=1.25，故选C ． 【点睛】本题考查了二分法的步骤，零点存在定理，考查了数学运算能力.10．C【解析】函数()321f x x x =--，满足()()112120,284130f f =--=-=--= 取中点32，有：3275310288f ⎛⎫=--=-< ⎪⎝⎭， ()3 202f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭.所以零点在区间()1.52，故选C.点睛：二分法是一种求方程近似解的常用方法。
2022年高中数学第三章不等式1不等关系与不等式第1课时练习含解析人教版必修
第1课时一、选择题1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )A．M>N B．M＝NC．M<N D．与x有关[答案] A[解析] M－N＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，∴M>N.2．(2013·辽宁鞍山市第一中学高二期中测试)若a<b<0，则下列不等式不能成立的是( )A．> B．2a>2bC．|a|>|b| D．()a>()b[答案] B[解析] ∵a<b，y＝2x单调递增，∴2a<2b，故选B．3．已知a<0，－1<b<0，则下列各式正确的是( )A．a>ab>ab2 B．ab>a>ab2C．ab2>ab>a D．ab>ab2>a[答案] D[解析] ∵－1<b<0，∴1>b2>0>b>－1，即b<b2<1，两边同乘以a得，∴ab>ab2>a.故选D．4．如果a、b、c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( )A．ab>ac B．bc>acC．cb2<ab2 D．ac(a－c)<0[答案] C[解析] ∵c<b<a，且ac<0，∴a>0，c<0.∴ab－ac＝a(b－c)>0，bc－ac＝(b－a)c>0，ac(a－c)<0，∴A、B、D均正确．∵b可能等于0，也可能不等于0.∴cb2<ab2不一定成立．5．设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg，则( )A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a[答案] B[解析] ∵0<lge<1，∴b＝(lg e)2＝a2<a，c＝lg＝lge＝a<a.又∵b＝(lge)2<lg·lge＝lge＝c，∴b<c<a.6．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是( )A．lg(x2＋1)≥lg2x B．x2＋1>2xC．≤1 D．x＋≥2[答案] C[解析] A中x>0；B中x＝1时，x2＋1＝2x；C中任意x，x2＋1≥1，故≤1；D中当x<0时，x＋≤0.二、填空题7．若a＞b，则a3与b3的大小关系是________．[答案] a3＞b38．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．[答案] x＜y[解析] x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，∴x＜y.三、解答题9．有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表： 方式轮船运输量(t)飞机运输量(t)效果种类 粮食300150石油250100现在要在一天内运输2 000 t粮食和1 500 t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．[解析] 设需安排x艘轮船和y架飞机，则，∴.10．设a>0，b>0且a≠b，试比较a a b b与a b b a的大小．[解析] 根据同底数幂的运算法则．＝a a－b·b b－a＝()a－b，当a>b>0时，>1，a－b>0，则()a－b>1，于是a a b b>a b b a.当b>a>0时，0<<1，a－b<0，则()a－b>1，于是a a b b>a b b a.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有a a b b>a b b a.一、选择题1．下列命题正确的是( )A．若ac>bc，则a>b B．若a2>b2，则a>bC．若>，则a<b D．若<，则a<b[答案] D[解析] 对于A，若c<0，其不成立；对于B，若a、b均小于0或a<0，其不成立；对于C，若a>0，b<0，其不成立；对于D，其中a≥0，b>0，平方后显然有a<b.2．(2014·四川理，4)若a>b>0，c<d<0，则一定有( )A．> B．<C．> D．<[答案] D[解析] 本题考查不等式的性质，－＝，cd>0，而ad－bc的符号不能确定，所以选项A、B不一定成立.－＝，dc>0，由不等式的性质可知ac<bd，所以选项D成立．本题也可以对实数a、b、c、d进行适当的赋值逐一排查．3．设a＝sin15°＋cos15°，b＝sin16°＋cos16°，则下列各式正确的是( )A．a<<b B．a<b<C．b<a< D．b<<a[答案] B[解析] a＝sin15°＋cos15°＝sin60°，b＝sin16°＋cos16°＝sin61°，∴a<b，排除C、D两项．又∵a≠b，∴>ab＝sin60°×sin61°＝sin61°>sin61°＝b，故a<b<成立．4．已知－1<a<0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝，比较A、B、C的大小结果为( ) A．A<B<C B．B<A<CC．A<C<B D．B<C<A[答案] B[解析] 不妨设a＝－，则A＝，B＝，C＝2，由此得B<A<C，排除A、C、D，选B．具体比较过程如下：由－1<a<0得1＋a>0，A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0得A>B，C－A＝－(1＋a2)＝－＝－>0，得C>A，∴B<A<C．二、填空题5．给出四个条件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推得＜成立的是________．[答案] ①、②、④[解析] ＜⇔＜0，∴①、②、④能使它成立．6．a≠2、b≠－1、M＝a2＋b2、N＝4a－2b－5，比较M与N大小的结果为________．[答案] M＞N[解析] ∵a≠2，b≠－1，∴M－N＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2＞0，∴M>N.三、解答题7．某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[解析] 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数．(2)车队每天至少要运360 t矿石．(3)甲型车不能超过4辆，乙型车不能超过7辆．要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：，即.8．已知a、b均为正实数，且2a＋8b－ab＝0，求a＋b的最小值．[解析] ∵2a＋8b－ab＝0，∴＋＝1，又a>0，b>0，∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即a＝2b时，等号成立．由，得.∴当a＝12，b＝6时，a＋b取最小值18.。
2020学年新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系练习(含解析)新人教B版必修第一册
3.2 函数与方程、不等式之间的关系最新课程标准：运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法.知识点一函数的零点1．零点的定义一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y ＝f(x)的零点．2．方程的根与函数零点的关系状元随笔函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．知识点二二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系函数零点存在定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的，并且f (a )f (b )<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )中至少有一个零点，即∃x 0∈[a ，b ]，f (x 0)＝0.状元随笔 定理要求具备两条：①函数在区间[a ，b]上的图像是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.[基础自测]1．函数y ＝3x －2的图像与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A.23；23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0；23 C ．－23；－23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0；－23 解析：令3x －2＝0，则x ＝23，∴函数y ＝3x －2的图像与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，函数零点为23.答案：B2．函数f (x )＝3x －x 2的定义域为( ) A ．[0,3] B ．(0,3)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：要使函数f (x )＝3x －x 2有意义，则3x －x 2≥0，即x 2－3x ≤0，解得0≤x ≤3. 答案：A3．函数f (x )＝x 3－x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：f (x )＝x (x －1)(x ＋1)，令x (x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝0，x ＝1，x ＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．答案：D4．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13.答案：－12，－13题型一 函数零点的概念及求法例1 (1)下列图像表示的函数中没有零点的是( )(2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．【解析】 (1)由图观察，A 中图像与x 轴没有交点，所以A 中函数没有零点． (2)由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得：－4<x <1， 所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)． 【答案】 (1)A (2)(－4,1)状元随笔 1.由函数图像判断函数是否有零点是看函数的图像与x 轴是否有交点． 2．求函数对应方程的根即为函数的零点． 方法归纳函数零点的求法求函数y ＝f (x )的零点通常有两种方法：其一是令f (x )＝0，根据解方程f (x )＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y ＝f (x )的图像，图像与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1 若函数f (x )＝x 2＋x －a 的一个零点是－3，求实数a 的值，并求函数f (x )其余的零点．解析：由题意知f (－3)＝0，即(－3)2－3－a ＝0，a ＝6.所以f (x )＝x 2＋x －6. 解方程x 2＋x －6＝0，得x ＝－3或2. 所以函数f (x )其余的零点是2.由函数f(x)的零点是－3，得f(－3)＝0，求a. 题型二 确定函数零点的个数[教材P 111例6]例2 求证：函数f(x)＝x3－2x＋2至少有一个零点．【证明】因为f(0)＝2>0，f(－2)＝－8＋4＋2＝－2<0，所以f(－2)f(0)<0，因此∃x0∈[－2,0]，f(x0)＝0，即结论成立.教材反思判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图像法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像．根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．跟踪训练2 (1)函数f(x)＝x－x－2的零点个数为( )A．0 B．1C．2 D．3(2)判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数．解析：(1)令f(x)＝0得x－x－2＝0，设t＝x(t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．故x＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．(2)令f(x)＝x－3＋ln x＝0，则ln x＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图像，如图所示：由图可知函数y＝ln x，y＝－x＋3的图像只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．答案：(1)B (2)一个状元随笔思路一：解方程求零点，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；思路二：画出函数图像，依据图像与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．题型三 判断函数的零点所在的大致区间例3 设x 0是函数f (x )＝ln x ＋x －4的零点，则x 0所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【解析】 因为f (2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3－1＞ln e －1＝0，f (2)·f (3)＜0.由零点存在性定理，得x 0所在的区间为(2,3)．【答案】 C状元随笔 根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图像分析．方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练3 函数f (x )＝2x －1＋x －5的零点所在的区间为( )A.(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析：f (2)＝22－1＋2－5＜0，f (3)＝23－1＋3－5＞0，故f (2)·f (3)＜0，又f (x )在定义域内是增函数，则函数f (x )＝2x －1＋x －5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．答案：C利用f(a)·f(b)＜0求零点区间． 题型四 函数零点的应用[经典例题]例4 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． 【解析】 作出f (x )的图像如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2， ∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.【答案】(3，＋∞)方法归纳已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．(2)方法：常利用数形结合法．跟踪训练4 已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________．解析：如图，由图像知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图像有三个交点，则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.答案：1状元随笔求解这类问题可先将原式变形为f(x)＝g(x)，则方程f(x)＝g(x)的不同解的个数等于函数f(x)与g(x)图像交点的个数，分别画出两个函数的图像，利用数形结合的思想使问题得解．课时作业 19一、选择题1．下列函数不存在零点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≤0)，x －1 (x ＞0) D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≥0)，x －1 (x ＜0)解析：令y ＝0，得A 中函数的零点为1，－1；B 中函数的零点为－12，1；C 中函数的零点为1，－1；只有D 中函数无零点．答案：D2．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． ∴零点为0和－12.答案：C3．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.125)B ．(0.5,1)，f (0.875)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.25) 解析：∵f (x )＝x 5＋8x 3－1，f (0)<0，f (0.5)>0， ∴f (0)·f (0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)， 第二次应计算的函数值应为f (0.25)，故选D. 答案：D4．已知函数f (x )＝|x |＋1，g (x )＝k (x ＋2)．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)解析：作出f (x )，g (x )图像，如图．因为A (0,1)，B (－2,0)，k AB ＝1－00－(－2)＝12，要使方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数f (x )与g (x )的图像有两个不同的交点，由图可知，12＜k ＜1.答案：B 二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点． 解析：方法一 ∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f (8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f (1)·f (8)＜0，又 f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上的图像是连续的， 故f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点． 方法二 令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点． 答案：存在6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 x >0x 2－x －2 x ≤0的零点为________．解析：f (x )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0x －1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2－x －2＝0，∴x ＝1，x ＝－1，x ＝2(舍) 答案：1，－17．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＜0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________． 解析：由题意函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上单调递增，函数f (x )在(0,1)上有零点，可得：f (1)·f (0)＜0.∴a (2＋a )＜0.∴－2＜a ＜0. 答案：(－2,0) 三、解答题8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x ＋3x； (2)f (x )＝x 2＋2x ＋4. 解析：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3， 所以函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3. (2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x 2＋2x ＋4＝0无解，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点.9．已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝nx 2＋mx ＋3的零点个数． 解析：由题可知，f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的两个零点为1和2. 则1和2是方程x 2＋3(m ＋1)x ＋n ＝0的两根．可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－3(m ＋1)，1×2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝2.∴y ＝2x 2－2x ＋3∵Δ＝4－4×2×3＝－20<0 ∴无零点．[尖子生题库]10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围．(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解析：(1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1，解得2≤a ＜52.即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52. (2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f (1)＝5－2a ＜0，解得a ＞52.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. (3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝4＞0，f (1)＝5－2a ＜0，f (6)＝40－12a ＜0，f (8)＝68－16a ＞0，解得 103＜a ＜174.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，174.。
人教B版高中数学必修1同步章节训练题及答案全册汇编
人B版高中数学必修1同步习题目录1.1 集合与集合的表示方法1.2-集合与集合的运算第1章《集合》测试2.1.1《函数》测试题(1)(新人教B必修1)2.1.2《函数表示法》测试题(2)(新人教B必修1)2.1.3《函数的单调性》测试题(新人教B必修1)2.1.4《函数的奇偶性》测试题(新人教B必修1)2.2.1《一次函数的性质与图象》测试题2.2.2《二次函数综合题》测试2.2.3《待定系数法》同步测试2.3《函数的应用(Ⅰ)》同步测试2.4.1《函数的零点》同步测试2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法?二分法》同步测试第2章《函数》测试3.1.1《实数指数幂及其运算》同步测试3.1.2《指数函数》同步测试3.2.1《对数及其运算》同步测试3.2.2《对数函数》同步测试3.3《幂函数》同步测试3.4《函数的应用》测试第3章《基本初等函数1》测试1.1 集合与集合的表示方法1.下面四个命题正确的是 ( )A.10以内的质数集合是0,3,5,7B.“个子较高的人”不能构成集合C.方程的解集是1,1D.1是集合N中最小的数2.下面的结论正确的是 ( )A.若,则B.若,则自然数C.的解集是-1,1D.所有的正偶数组成的集合是有限集3.已知集合S中的三个元素可构成ABC的三条边长,那么ABC一定不是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形4.下面四个关系式中,正确的是A.∈0B.aaC.a∈a,bD.a∈a,b5.下列语句:(1)0与0表示同一个集合;(2)由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1;(3)方程(x-1)2x-220的所有解的集合可表示为1,1,2;(4)不等式的解集是有限集,正确的是 ()A.只有(1)和(4)B.只有(2)和(3)C.只有(2)D.以上语句都不对6.下列六个关系式①0 ②0 ③④ 0 ⑤0 ⑥其中正确的个数( )A.3B.4C.5D.67.若方程的解集中有且只有一个元素,则的取值集合是( )A.{1}B.{-1}C.{0,1}D.{-1,0,1}8.A面积为1的矩形,B{面积为1的正三角形},则( )A. A,B都是有限集B. A,B都是无限集C. A是有限集,B是无限集D. A是无限集,B是有限集9.若,则实数的值为( )A.-1B.0C.-1或0D.-1或0或-210.若方程和的解为元素的集合是M,则M中元素的个数( )A.1B.2C.3D.411.如果方程的解集是M, 方程的解集是N, 3∈M且3∈N,那么等于14B. 2 C. 11D. 712.方程组解集为 ( )A.0B.1C.1,0 D.(0,1)13.用数对的集合表示方程的一切正整数解为 .14.实数集中的元素应该满足的条件是 .15.已知数集 Aa+2,a+12,a2+3a+3, 且 1∈A, 求实数 a 的值1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C D D C B D D C C A D13. ;1415.解: 若a+daq 解之得q1 a+2daq2当q1时,有aaqaq2与元素的互异性矛盾。
高一数学新教材人教版必修一第三章函数的概念与性质测试卷含答案
（Ⅲ）若 f (x) 在区间[2, ) 上单调递增,求实数 a 的取值范围.
19.（本小题满分 12 分）
已知函数
f
(x)
ax x2
b 1
是定义在
(1,1)
上奇函数,
且 f (1) 3 .
3 10
（Ⅰ）判断函数 f (x) 在 (1,1) 上的单调性，并用
定义证明；
（Ⅱ）若实数 t 满足 f (2t 1) f (t 1) 0 ，求实
4
5.令 t 1 x 0, 则 y 2 2t2 t 2(t 1)2 17 17
4 88
6.
y
x(x 2),(x x(x 2),(
2) x 2)
，作出图象即可.
7.函数 f (x) ax 2a 1,(a 0) 在 (0, ) 上单 x
调递增,又 m2 1 0,m2 m 3 0
x3 数,则实数 a 的取值范围是
15.已知函数 f (x) x5 3x3 5x 3 ,若 f (a) f (a 2) 6 ，则实数 a 的取值范围是
16.已知 m R ,函数 f (x) x 3 m m 在[2, x 1
5] 上的最大值是 5 ,则 m 的取值范围是
三、解答题：（写出必要的文字说明，推理过程或 演算步骤） 17.（本小题满分 10 分） 设函数 f (x) ax2 (b 2)x 3 . （Ⅰ）若 f (1) 3 ，且 a 0,b 0 ,求 b 1 的最
9.已知奇函数 y f (x) 的图象关于直线 x 2 对称,
且 f (m) 3,且 f (m 4) 的值为（ ）
A. 3
B. 0
C. 3
D. 1
3
10.已知函数 f (x 1) 是偶函数,且 x 1 时, f (x) 单调递减,设 a f ( 1),b f (3),c f (0) ，则 a,
高中数学 第三章 不等式 3.3 一元二次不等式及其解法练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高
3.3 一元二次不等式及其解法课时过关·能力提升1下列不等式中,解集是R的是()A.x2+2x+1>0B.√x2>0C.(13)x+1>0D.1x -2<1xx2+2x+1=(x+1)2≥0,所以选项A不正确;因为√x2=|x|≥0,所以选项B不正确;选项D中x≠0;因为(13)x>0,所以(13)x+1>1>0,x∈R,故选C.2已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是()A.{x|x>5a或x<-a}B.{x|x<5a或x>-a}C.{x|-a<x<5a}D.{x|5a<x<-a}2-4ax-5a2>0⇒(x-5a)(x+a)>0.∵a<-12,∴5a<-a.∴x>-a或x<5a.故选B.3已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2},则不等式cx2+bx+a<0的解集为()A.{x|-3<x<12} B.{x|x<-3或x>12}C.{x|-2<x<13} D.{x|x<-2或x>13}:ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2}⇔3x2-5x-2<0⇔-3x2+5x+2>0.设a=-3k,b=5k,c=2k(k>0),则cx2+bx+a<0⇔2kx2+5kx-3k<0⇔2x2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A.方法二:由题意知a<0,且-x x =(-13)+2,x x =(-13)×2,即x x =-53,x x =-23,而cx 2+bx+a<0⇔x x x 2+x x x+1>0⇔-23x 2-53x+1>0⇔2x 2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A .4设f (x )={2e x -1,x <2,log 3(x 2-1),x ≥2,则不等式f (x )>2的解集为()A.(1,2)∪(3,+∞)B.(√10,+∞)C.(1,2)∪(√10,+∞)D.(1,2)x<2时,令2e x-1>2,解得1<x<2.当x ≥2时,令log 3(x 2-1)>2,解得x ∈(√10,+∞).故x ∈(1,2)∪(√10,+∞).★5关于x 的方程x 2+(a 2-1)x+a-2=0的一根比1小,且另一根比1大的充要条件是()A.-1<a<1 B .a<-1或a>1 C.-2<a<1D.a<-2或a>1f (x )=x 2+(a 2-1)x+a-2,则它是开口向上的二次函数,方程的根即是函数与x 轴的交点的横坐标,因此只需f (1)<0,即1+a 2-1+a-2<0,故-2<a<1.6已知函数f (x )=√xx 2-6xx +(x +8)的定义域为R ,则实数k 的取值X 围为.2-6kx+(k+8)≥0恒成立,当k=0时,满足. 当k ≠0时,{x >0,x =(-6x )2-4x (x +8)≤0⇒0<k ≤1. ∴0≤k ≤1.7已知三个不等式①x 2-4x+3<0,②x 2-6x+8<0,③2x 2-9x+m<0,要使同时满足①和②的所有x 都满足③,则实数m 的取值X 围是.:由{x 2-4x +3<0,x 2-6x +8<0,解得2<x<3.③对于2<x<3恒成立,即m<-2x 2+9x 对x ∈(2,3)恒成立,所以m 只需满足小于函数-2x 2+9x 在区间(2,3)上的最小值,即当x=3时,最小值为9,但取不到最小值.所以m ≤9.方法二:{x 2-4x +3<0x 2-6x +8<0⇒{1<x <32<x <4⇒2<x<3.设f (x )=2x 2-9x+m.当x ∈(2,3)时,f (x )<0恒成立. 由二次函数的图象与性质,得{x (2)≤0,x (3)≤0,即{8-18+x ≤0,18-27+x ≤0,解得m ≤9.-∞,9]8已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为.f (x )为奇函数,且当x>0时,f (x )=x 2-4x ,所以f (x )={x 2-4x ,x >0,0,x =0,-x 2-4x ,x <0,所以原不等式等价于{x >0,x 2-4x >x 或{x <0,-x 2-4x >x .由此可解得x>5或-5<x<0. 用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞).-5,0)∪(5,+∞) ★9定义在(-3,3)内的奇函数f (x ),已知f (x )在其定义域内单调递减,且f (2-a )+f (1-a-a 2)>0,则实数a 的取值X 围是.f (x )为奇函数,∴f (2-a )>-f (1-a-a 2)=f (a 2+a-1). 又f (x )在(-3,3)上单调递减,∴{-3<2-x <3,-3<1-x -x 2<3,2-x <x 2+x -1,即{-1<x <5,-1-√172<x <-1+√172,x >1或x <-3.解得1<a<√17-12, 故实数a 的取值X 围为1<a<√17-12.1,√17-12) 10解关于x 的不等式ax 2-(a+1)x+1<0.当a=0时,原不等式化为-x+1<0,所以不等式的解集是{x|x>1}.(2)当a ≠0时,原不等式可化为a (x-1)(x -1x )<0. 若a<0,则(x-1)(x -1x )>0. 因为1x <1,所以原不等式的解集为{x |x <1x 或x >1};若a>0,原不等式化为(x-1)(x -1x )<0.①当1x <1,即a>1时,不等式的解集为{x |1x<x <1}.②当1x =1,即a=1时,不等式即为(x-1)2<0,显然不等式的解集为⌀. ③当1x>1,即0<a<1时,不等式的解集为{x |1<x <1x}.综上,原不等式的解集如下:当a<0时,解集为{x |x <1x 或x >1}; 当a=0时,解集为{x|x>1};当0<a<1时,解集为{x|1<x<1x};当a=1时,解集为⌀;当a>1时,解集为{x|1x<x<1}.11设0<α<β,已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),求不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集.,得a<0,α+β=-xx >0,αβ=xx>0.∴a<0,c<0,b>0,从而a+c-b<0.设(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为α',β',则有α'+β'=2x-xx+x-x =2x+x(x+x)x+xxx+x(x+x)=(x+1)+(x+1) (x+1)(x+1)=1x+1+1x+1,α'β'=xx+x-x =xx+xxx+x(x+x)=1x+1·1x+1.∴(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为1x+1,1 x+1.∵0<α<β,∴1x+1>1x+1>0.∴不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集为(1x+1,1x+1).★12若关于x的不等式4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,某某数m的取值X围.:因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以不等式4x+xx2-2x+3<2同解于4x+m<2x2-4x+6,即2x2-8x+6-m>0.要使原不等式对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0对任意实数x恒成立.所以需要Δ<0,即64-8(6-m)<0.整理并解得m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).方法二:由方法一,知要使4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0恒成立即可.变形为m<2x2-8x+6.设h(x)=2x2-8x+6,要使m<2x2-8x+6恒成立,只要m<h(x)min.而h(x)=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2, 所以h(x)min=-2.所以m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).。
人教高中数学必修1第三章练习题及答案
为估计以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函 数或 （为常数，且）来模拟这种电脑元件的月产量千件与月份的关系.请 问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由.
一 选择题
参考答案
BBBD BBDD
二 填空题
9. 1和2
10.
11.
12. 60500
13.
14.
1
.
11.某债券市场发行三种债券：种面值为100元，一年到期本息和为103
元；种面值为50元，一年到期51.4元；种面值20元，一年到期20.5元。
作为购买者，要选择受益最大的一种，分析三种债券的收益，应选择
种债券. 12.制造印花机的成本元与印花机的生产能力米/分钟之间有函数关系.已
知印花机的生产能力达到每分钟花布1000米时，需投入成本50000元， 问要使生产能力达到每分钟印花布1331米时，需投入成本是 元. 三 解答题 （本大题共4小题，共52分） 13已知函数的零点是1和2，求函数的零点.
第三章练习
一 、选择题
1.函数的图像在内是连续的曲线，若，则函数在区间内
A 只有一个零点 B 至少有一个零点 C 无零点 D 无法确定
2.函数的零点一定位于下列哪个区间
A BC D
3.在上存在，使 ，则的取值范围是
A BC D
4.某商品降价10％，欲恢复原价，则应提价
A 10％ B 20％ C 11％ D ％
5.方程有解，则在下列哪个区间
A BC D
6.若函数没有零点，则实数的取值范围是
AB C
D
7.将进价为60元/个的商品按90元/个售出，能卖400个。已知该商品每个
涨价1元，销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为
人教B版高中数学目录(必修+选修)
人教B版高中数学目录(必修+选修)高中数学〔B版〕必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算整合提升第二章函数2.1 函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.2二次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用〔I〕2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法整合提升第三章基本初等函数〔I〕3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数-3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用〔Ⅱ〕整合提升高中数学〔B版〕必修二第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的外表积1.1.7柱、锥、台和球的体积1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系(第1课时)空间中的平行关系(第2课时)1.2.3空间中的垂直关系(第1课时)空间中的垂直关系(第2课时)综合测试阶段性综合评估检测(一)第2章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系综合测试高中数学〔B版〕必修三一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例单元回眸第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样显示全部信息第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例单元回眸第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关单元回眸第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本领件空间3.1.3 频率与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用单元回眸高中数学〔B版〕必修四第一章基本初等函数(2)1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图象与性质1.3.1 正弦函数的图象与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3 已知三角函数值求角单元回眸第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用单元回眸第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积单元回眸高中数学〔B版〕必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例复习与小结第一章综合测试第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式〔选学〕2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n项和复习与小结第二章综合测试第三章不等式. 3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系3.1.2 不等式的性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式〔组〕与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式〔组〕与简单的线性规划问题3.5.2 简单的线性规划复习与小结第三章综合测试高中数学〔B版〕选修1－1第1章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.2 基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式第1章综合测试题第2章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性2.2 椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第2章综合测试题阶段性综合评估检测〔一〕第3章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离高中数学〔B版〕选修1－2目录：第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析单元回眸第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明单元回眸第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.2复数的运算单元回眸第四章框图4.1流程图4.2结构图单元回眸高中数学〔人教B〕选修2-1第1章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.2 基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式第1章综合测试题第2章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性2.2 椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质.2.5直线与圆锥曲线第2章综合测试题阶段性综合评估检测〔一〕第3章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离第3章综合测试题阶段性综合评估检测〔二〕高中数学人教B选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理本章整合提升第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法本章整合提升第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法本章整合提升高中数学人教B选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角单元回眸第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布单元回眸第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析单元回眸高中数学〔B版〕选修4－1第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1相似三角形1.1.1相似三角形判定定理1.1.2相似三角形的性质1.1.3平行截割定理1.1.4锐角三角函数与射影定理1.2圆周角与弦切角1.2.1圆的切线1.2.2圆周角定理1.2.3弦切角定理1.3圆幂定理与圆内接四边形1.3.1圆幂定理1.3.2圆内接四边形的性质与判定本章小结阅读与欣赏欧几里得附录不可公度线段的发现与逼近法第二章圆柱、圆锥与圆锥曲线2.1平行投影与圆柱面的平面截线2.1.1平行投影的性质2.1.2圆柱面的平面截线2.2用内切球探索圆锥曲线的性质2.2.1球的切线与切平面2.2.2圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线2.2.3圆锥面及其内切球2.2.4圆锥曲线的统一定义本章小结阅读与欣赏吉米拉•丹迪林附录部分中英文词汇对照表后记高中数学〔B版〕选修4－4第一章坐标系1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换1.2极坐标系本章小结第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.2直线和圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程本章小结附录部分中英文词汇对照表后记高中数学〔B版〕选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2基本不等式1.3绝对值不等式的解法1.4绝对值的三角不等式1.5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1柯西不等式2.2排序不等式2.3平均值不等式〔选学〕2.4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏著名数学家柯西第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式、贝努利不等式本章小结阅读与欣赏完全归纳法和不完全归纳法数学归纳法数学归纳法简史附录部分中英文词汇对照表。
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必修1第三章 综合练习一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 函数1log (54)x x y +=-的定义域是（ ）。
A. (1,0)- B. 4(0,log 5) C. 4(1,log 5)- D. 4(1,0)(0,log 5)-2. 函数log (2)1a y x =++的图象过定点（ ）。
A.（1，2）B.（2，1）C.（-2，1）D.（-1，1）3. 设2(log )2(0)x f x x =>，则(3)f 的值为（ ）。
A. 128B. 256C. 512D. 825()a -化简的结果是（ ）。
A. –aB. 2aC. |a |D. a5. 函数0.21x y -=+的反函数是（ ）。
A. 5log 1y x =+B. 5log (1)y x =-C. log 51x y =+D. 5log 1y x =-6. 若231log a y x -=在（0，+∞）内为减函数，且x y a -=为增函数，则a 的取值范围是（ ）。
A. 1)3B. 1(0,)3C. (0,3D. 337. 设0,1,,0x x x a b a b ><<>且，则a 、b 的大小关系是（ ）。
A.b ＜a ＜1 B. a ＜b ＜1 C. 1＜b ＜a D. 1＜a ＜b8. 下列函数中，值域为（0，+∞）的函数是（ ）。
A. 12x y =B. 112xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭C. 1y =-D. y =9. 设偶函数()f x 在[0，π]上递减，下列三个数a =12(lg ),(),()10023f b f c f ππ==-的关系为（ )。
A. a ＞b ＞cB. b ＞a ＞cC. b ＞c ＞aD. c ＞a ＞b10. 已知0＜a ＜1，b ＞1，且ab ＞1，则下列不等式中成立的是（ ）。
A. 11log log log a ba b b b << B. 11log log log b a a b b b<<C. 11log log log a abb bb<<D. 11log log log baa b bb<<11. 定义运算a b *为：,(),(),a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩ 如121*=，则函数()f x 22x x-=*的值域为（ ）。
A. RB. （0，+∞）C. （0，1]D. [1，+∞）12. 设a 、b 、c 都是正数，且346a b c ==，则以下正确的是（ ）。
A.111cab=+B.221cab=+C.122cab=+D.212cab=+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13. 85-⎝⎭化成分数指数幂为 。
14. 若不等式log (3)log (2)a a x x +<-成立，则x 的取值范围是 ，a 的取值范围是 。
15. 已知4log (92)0m m ->，则m 的取值范围是 。
16. 给出下列四种说法：⑴ 函数(0,1)x y a a a =>≠与函数log (0,1)x a y a a a =>≠的定义域相同； ⑵ 函数33x y x y ==与的值域相同； ⑶ 函数2(12)112212x xxy y x +=+=-⋅与均是奇函数；⑷ 函数2(1)21(0,)y x y x =-=-+∞与在上都是增函数。
其中正确说法的序号是 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知35()x f x a -=，且(lg )100f a =，求a 的值。
18. 已知函数()log (1)(0,1)a f x x a a =+>≠在区间[1，7]上的最大值比最小值大12，求a 的值。
19. 已知指数函数1()x y a=，当(0,)x ∈+∞时，有1y >，解关于x 的不等式2log (1)log (6)a a x x x -≤+-。
20. 已知函数()log (1)(0,1)x a f x a a a =->≠。
⑴ 求()f x 的定义域；⑵ 当a ＞1时，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论。
21. 设()f x 124lg()3xxaa R ++=∈，若当(,1]x ∈-∞时，()f x 有意义，求a 的取值范围。
22. 某商品在最近100天内的价格()f t 与时间t 的函数关系是：122(040,)4()152(40100,),2t t t N f t t t t N ⎧+≤<∈⎪⎪=⎨⎪-+≤≤∈⎪⎩销售量()g t 与时间t 的函数关系是： g (t ) = －31t +3109 (0≤t ≤100 , t ∈N ), 求这种商品的日销售额S (t )的最大值。
参考答案一、DDBCB DBBBA CB提示：1. 4log 554010111,0x x x x x x ⎧<->⎧⎪⎪+>⇒>-⎨⎨⎪⎪+≠≠⎩⎩故选D 。
2. 代入验证。
3. 设2log 3x =，则328x ==，代入已知等式，得8(3)2256f ==。
4. 25()|||a a -===5. 由0.21xy -=+，得115xy -⎛⎫=- ⎪⎝⎭即51xy =-，两边取对数，得5log (1)x y =-，即5log (1)y x =-。
6. 解不等式组2031111,a a⎧<-<⎪⎨>⎪⎩ 即可。
7. 由指数函数的性质，得0＜a ＜1，0＜b ＜1，又由幂函数n y x =的性质知，当n ＞0时，它在第一象限内递增，故a ＜b ＜1。
8. 在12x y =中0x ≠，∴10,1y x≠≠；在1y =-中，值域为（-1，+∞）；而y =的值域为[0，1）。
9. 由题意知，2(2)(2),(),()23a f fb fc f ππ=-===，因为()f x 在[0，π]上递减，且20223πππ<<<<， ∴ 2()(2)()23f f f ππ>>， 即b＞a ＞c 。
10. 取1,42a b ==。
11. 由题意知，a b *的结果为a 、b 中较小者，于是()f x 22xx-=* 的图象就是22x xy y -==与的图象的较小的部分（如图），故值域为（0，1]。
12. 设346a b c k ===，则k ＞0且k ≠1，取对数得346log ,log ,log a k b k c k ===， ∴ 111log 3,log 42log 2,log 6log 2log 3k k k k k k a bc=====+，∴221ca b=+。
二、13. 415x 。
提示：原式=812144153335152()()x x xx ----⎡⎤⋅==⎢⎥⎣⎦。
14. 2,01x a ><<。
提示：∵ 32,x x +>-且log (3)log (2)a a x x +<-，∴ 0＜a ＜1。
由3020x x +>⎧⎨->⎩，得2x >。
15. 211(,)(,)943+∞ 。
提示：解不等式组041410921921m m m m <<>⎧⎧⎨⎨<-<->⎩⎩或。
16. ⑴⑶。
提示：⑴中两个函数的定义域都是R ；⑵中两个函数的值域分别是R 与（0，+∞）；⑶中两个函数均满足()()f x f x -=-，是奇函数；⑷中函数2(1)y x =-在(0,)+∞不是增函数。
三、17. 解：因为3lg 5(lg )100a f a a -==，两边取对数，得lg (3lg 5)2a a -=，所以23(lg )5lg 20a a --=，解得1lg lg 23a a =-=或，即1310100a a -==或。
18. 解：若a ＞1，则()log (1)(0,1)a f x x a a =+>≠在区间[1，7]上的最大值为log 8a ，最小值为log 2a ，依题意，有1log 8log 22a a -=，解得a = 16；若0＜a ＜1，则()l o g (1)(0,1)af x x a a =+>≠在区间[1，7]上的最小值为log 8a ，最大值为log 2a ，依题意，有1log 2log 82a a -=，解得a =116。
综上，得a = 16或a =116。
19. 解：∵ 1()x y a=在(0,)x ∈+∞时，有1y >， ∴11,01a a><<即。
于是由2log (1)log (6)a a x x x -≤+-，得221660x x x x x ⎧-≥+-⎪⎨+->⎪⎩，解得2x <≤， ∴ 不等式的解集为{|2x x <≤。
20. 解：⑴ 由10x a ->，得1x a <。
当a ＞1时，解不等式1x a <，得0x <；当0＜a ＜1时，解不等式1x a <，得0x >。
∴ 当a ＞1时，()f x 的定义域为{|0}x x <；当0＜a ＜1时，()f x 的定义域为{|0}x x >。
⑵ 当a ＞1时，()f x 在（-∞，0）上是减函数，证明如下： 设12,x x 是（-∞，0）内的任意两个数，且12x x <，则 1()f x -2()f x =11221log (1)log (1)log 1x x x a a ax a a a a----=-，∵ a ＞1，120x x <<， ∴ 1201x x a a <<<， ∴ 12110x x a a ->->。
从而1122111,log 011x x ax x a a aa-->>--，即1()f x ＞2()f x .∴当a ＞1时，()f x 在（-∞，0）上递减。
21. 解：根据题意，有12403x xa++>，(,1]x ∈-∞，即11()()42x x a ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦，(,1]x ∈-∞，∵ 11()()42x x --与在(,1]-∞上都是增函数，∴ 11[()()]42x x -+在(,1]-∞上也是增函数，∴ 它在1x =时取最大值为113()424-+=-，即113()()424x x ⎡⎤-+≤-⎢⎥⎣⎦， ∴ 34a ≥-。
22. 解：因为()()()S t f t g t =⋅，所以 ⑴ 当111091040,()(22)()()(88)(109)43312t S t t t S t t t ≤<=+-+=-+-时，即，从而可知当max 1011808.5t S ==或时,；⑵ 11109140100,()(52)()(104)(109)2336t S t t t t t ≤≤=-+-+=--当时，当t = 40时，max 736808.5S =<。