直线图形面积计算一：利用倍数关系求解面积六年级[暑假一]
第2讲直线型面积
例题六
6、两根绳，第一根长64米，第二根长52米，剪去同样长后，第一根是第二根 的3倍，问每根绳剪去多少米？
练习1
第一讲
倍数
什么是倍数？
①一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。
如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。
②一个数除以另一数所得的商。如a÷b＝c，就是说a是b的c倍，a 是b的倍数。 一个数能整除它的积，那么，这个数就是因数，它的 积就是倍数。 3 × 5 = 15 因数1 因数2 倍数 例如：A÷B=C，就可以说A是B的C倍。
Hale Waihona Puke 例题4大，小两个桶，原来水一样多，如果从小桶中倒 7 千克到大桶，这时大桶里 的水是小桶里的 3 倍，大 桶里原有多少千克水?
练习题
练习一
1、桶中原有80斤油，后来又加进240斤油，现在桶中油的重量是原来的多少倍？
练习二
2、珠珠、青青和宁宁共有71块糖，宁宁吃掉3块，青青与宁宁的糖数就一样多，珠珠 的糖是青青糖的2倍，那么，宁宁原来有多少块糖？
本节课程 结束
例题三
3、一个人养鸭10只，养鹅20只，养鸡的数量是鸭和鹅总数的3倍，这个人养 鸡、鸭、鹅共多少只？
例题四
4、甲乙两班共有160本书，甲班书是乙班书的3倍，甲、乙各有多少本书？
例题五
5、小明家养了白兔、灰兔和黑兔一共20只，白兔的只数比灰兔只数的7倍多， 8倍少，小明家这三种颜色的小兔各有几只？
③一个数的倍数有无数个,也就是说一个数的倍数的集合为无限集. 注意：不能把一个数单独叫做倍数，只能说谁是谁的倍数。
小学数学几何直线型面积的计算完整版题型训练+详细答案
⼩学数学⼏何直线型⾯积的计算完整版题型训练+详细答案直线形⾯积的计算例题讲解：板块⼀：基础题型：1．如图，四边形ABCD是直⾓梯形，其中AD=12（厘⽶），AB=8（厘⽶），BC= 15（厘⽶），且三⾓形ADE、四边形DEBF、三⾓形CDF的⾯积相等，阴影三⾓形DEF的⾯积是多少平⽅厘⽶？解析：四边形ABCD的⾯积是（12+15）×8÷2=108（平⽅厘⽶），108÷3=36（平⽅厘⽶）。
CF=36×2÷8=9(厘⽶)，FB=15-9=6(厘⽶)，AE=36×2÷12=6（厘⽶），EB=8-6=2（厘⽶）。
阴影三⾓形DEF的⾯积是36-2×6÷2=30（平⽅厘⽶）2．⼀块长⽅形的⼟地被分割成4个⼩长⽅形，其中三块的⾯积如图所⽰（单位：平⽅⽶），剩下⼀块的⾯积应该是多少平⽅⽶？解析：40×15÷30=20（平⽅⽶）3．如图，在三⾓形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍，三⾓形DEC的⾯积是3平⽅厘⽶．请问：三⾓形ABC的⾯积是多少平⽅厘⽶？解析：三⾓形ADC的⾯积是3×3=9（平⽅厘⽶），三⾓形ABC的⾯积是3×9=27（平⽅厘⽶）4．如图，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD的2倍，三⾓形ABC的⾯积为36平⽅厘⽔．三⾓形BDE的⾯积是多少平⽅厘⽶？解析：三⾓形BAE的⾯积是36÷3×2=24（平⽅厘⽶），三⾓形BDE的⾯积24÷3×2=16（平⽅厘⽶）5．如图所⽰，已知三⾓形BEC的⾯积等于20平⽅厘⽶，E是AB边上靠近⽇点的四等分点，三⾓形AED的⾯积是多少平⽅厘⽶？平⾏四边形DECF的⾯积是多少平⽅厘⽶？解析：（1）三⾓形AED的⾯积是20×3=60（平⽅厘⽶）（2）三⾓形DEC的⾯积是20+60=80（平⽅厘⽶），三⾓形DEC的⾯积是平⾏四边形DECF 的⾯积的⼀半，也是平⾏四边形ABCD的⾯积的⼀半，所以平⾏四边形DECF的⾯积是80×2=160（平⽅厘⽶）6．如图，已知平⾏四边形ABCD的⾯积为36，三⾓形AOD的⾯积为8．三⾓形BOC的⾯积为多少？解析：根据⼀半模型可知，三⾓形AOD的⾯积和三⾓形BOC的⾯积是平⾏四边形ABCD 的⾯积的⼀半，所以三⾓形BOC的⾯积是36÷2-8=107．如图，长⽅形ABCD的⾯积是96平⽅厘⽶，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD上靠近C点的四等分点．阴影部分的⾯积是多少平⽅厘⽶？解析：链接BD ，可知三⾓形ABD 的⾯积和三⾓形BDC 都是96÷2=48（平⽅厘⽶），三⾓形ABE 的⾯积是48×32=32（平⽅厘⽶）。
小升初必备！小学数学图形求面积的“7种解题法”！
小升初必备！小学数学图形求面积的“7种解题法”！
我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：
实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。
下面老师举例讲解下
对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决。
小学数学图形求面积的“7种解题法”。
学习，是一个长期的过程，许多人在"学"不进去，学习成绩一落千丈、一筹莫展时，往往责怪自己笨。
其实，只有不学的孩子，没有笨的孩子；只有不会学的孩子，没有学不会的孩子。
对小学生来说，最重要的不是一时的学习成绩，而是能否学会学习，掌握适合自己的有效学习方法。
好成绩不仅需要努力，更需要高效的学习方法！如果您的孩子厌学、死记硬背、成绩不理想。
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第十三讲直线型图形面积的计算
第十三讲 直线型面积的计算不规那么图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规那么图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规那么图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规那么图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理〞〔即：集合A 与集合B 之间有：AB A B A B S S S S =+-〕合并使用才能解决。
〖经典例题〗例1、下列图是边长为4厘米的正方形,AE =5厘米、OB 是多少厘米？ 分析：连接BE ,那么8442121=⨯⨯==∆正方形S S ABE (平方厘米). 从另一角度看,OB S ABE ⨯⨯=∆521,于是8521=⨯⨯OB .所以 825OB =⨯÷=3.2(厘米)。
例2、正方形ABCD 的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG 的长DG 为5厘米，求它的宽DE 等于多少厘米?分析：连结AG ，1122ADG ABCD DEFG S S S ==, 因此ABCD S =4×4=16平方厘米，那么DE=16÷5=3.2cm 。
〖方法总结〗这两个题目主要是对各种根本图形面积公式的灵活应用，同底或同高时我们可以用分配率将两个三角形的面积一起求和或者求其比例关系。
在解题过程中做辅助线是经常用到的方法，对于辅助线的做法，一般都是先观察一下要求的图形所在的图形是不是一个规那么图形，如果不是，我们就要填上辅助线，将其构造成规那么图形。
〖稳固练习〗练习1：如下列图，在正方形ABCD 中，三角形ABE 的面积是8平方厘米，它是三角形DEC 的面积的54。
求正方形的面积。
练习2：平行四边形ABCD 的面积是150，EF ∥AD ，求阴影局部面积。
练习3：如图，在长方形ABCD 中，BC ＝10，ABO S =8，BCO S ＝12，ADO S ＝10，求AB 。
练习4：如图，长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积分别是8、4、6，求阴影局部的面积。
六年级奥数专题第一讲直线型面积知识
知识提要模型一：任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”)①S1：S2=S4：S3或者S1×S3＝S2×S4② A0：OC=(S1+S2)：(S4+S3)蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．构造模型，一方面我们可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，我们也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①Sl：S3=a2：b2②S1：S3：S2：S4=a2：b2：ab：ab；③S的对应份数为(a+b)2．梯形蝴蝶定理，给我们提供了解决梯形面积与上下底之间关系互相转换的渠道，构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．模型三：燕尾定理：S△ABG：S△AGC=S△BGE：S△EGC =BE：ECS△BGA：S△BGC=S△AGF：S△FGC =AF：FCS△AGC：S△BCG=S△ADG：S△DGB =AD：DB燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径．通过一道例题证明一下燕尾定理：模型四：相似三角形性质①ADAB=AEAC=DEBC=AFAG② S△ADE：S△ABC =AF2：AG2所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变他们都相似)，与相似三角形相关，常用的性质及定理如下：(1) 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；(2) 相似三角形面积的比等于它们相似比的平方；(3) 连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半。
这四个模型，再加上我们在秋季学习的三角形面积与底、高成比例的模型共同构成几何的五大模型，这五大模型在以后的学习中会经常用到，希望同学们能认真学习．模型一：“蝴蝶定理”主要抓住两种状态1.任意四边形对角线划分面积的性质：这里最关键的就是“任意”二字，这个定理对四边形的形状没有要求，解决一些所谓“不良四边形”时，如果知道其中三块的面积，就能知道剩下一块，从而能求出整个四边形的面积。
思维数学-基本直线型面积公式
基本直线型面积公式知识精讲在几何中，所谓直线形就是指由线段构成的图形。
在日常生活中，我们最常见的直线形有以下几种：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形.在有关直线形的计算中，计算周长和计算而积是最常见的两类。
我们已经学过了如何计算直线形的周长，接下来我们将学习如何计算直线型的面积。
正方形的面积和长方形的面积公式是我们所熟悉的，如图1 ：试一试正方形的边长是6厘米，面积是平方厘米。
长方形的长是8厘米，宽为4厘米，面积是平方厘米。
正方形面积是121平方厘米。
它的边长是厘米。
长方形的面积是48平方厘米，宽为4厘米，长为厘米。
例题1如图，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜，其中茄子地的面积是16平方米，黄瓜地的面积是28平方米，豆角地的面积是32平方米，莴笋地的面积是72平方米，而且左上角茄子地恰好是一个正方形。
请问：剩下的苦瓜地的面积是多少？「分析」左上角是面积为16的正方形，那么它的边长是多少？你还能求出哪些线段的长度呢？练习1如图，有一块长方形田地被分成了四小块，分别栽种了冬瓜、西瓜、南瓜、黄瓜，其中冬瓜地的面积是24平方米，西瓜地的面积是36平方米，南瓜地的面积是18平方米，而且左下角西瓜地恰好是一个正方形.请问：剩下的黄瓜地的面积是多少？如图，平行四边形的两组对边平行且相等，我们把两组对边用不同颜色标出来为了计算平行四边形的面积，我们可以把平行四边形切成两块，然后拼成一个长方形。
如图这个平行四边形的面积和拼成长方形的面积相同，都等于长方形的长×宽。
长方形的长和宽在平行四边形中都可以找到对应线段，在平行四边形中，这两条线段分别叫做底和高。
于是：平行四边形面积=底×高如图所示，同学们可以画出这条底对应的若干条高，并且这些高是相等的，都等于上下两条平行线间的距离当然我们可以用另一种方式把上面的平行四边形剪拼成一个长方形，如图1所示。
同样得到相对于这条底的若干条高，如图2所示，这些高也是相等的，都等于左右两条平行线间的距离。
直线图形面积计算一：利用倍数关系求解面积六年级[暑假一]
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名师堂学校方法讲义之一年级：六年级日期：7月8日直线图形—利用倍数关系求面积【方法与技能】我们已经学过的直线型图形包括三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.根据图形之间长与宽、底与高的倍数关系求解图形面积是近年来各类竞赛与考试经常出现的考点。
在这类问题中，我们可以采用等分法求解，也可以用倍比法求解。
即根据等底或等高的平行四边形、三角形，它们的高（或底）的倍数关系就是面积的倍数关系，从而顺利求解。
【典型例题】例1：已知三角形ABC的面积为1，BE=2AB，BC=CD，求三角形BDE的面积？（下页图）例2：如右图，A为△CDE的DE边上中点，3BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD及△ACE的面积.例3：如下页右上图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘例4：如右图，已知：S△ABC=1，例5：如下图，在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。
例6：上右图所示三个小平行四边形的面积是12平方厘米、25平方厘米和42平方厘米。
那么大平行四边形的面积是多少平方厘米？例7：如下左图：已知梯形中两个三角形的面积分别是8平方厘米和12平方厘米，梯形的面积是多少平方厘米？名师课堂——关键教方法名师堂市中心校区地址：顺城街体育场路2号商业很行六楼8661966286741998AB CE12 4225812D【应用拓展】1、如下图是由四个小长方形拼接而成的大长方形，其中三个小长方形的面积分别是24平方分米、15平方分米和25平方分米。
那么，图中阴影部分的面积是多少平方分米？2、如下左图，由九个小长方形拼接成大长方形，其中三个小长方形的面积分别时15平方米、30平方米和45平方米。
图中阴影部分的面积是多少平方米？3、如上右图，BD 、DE 、EC 的长分别是2、4、2，F 是线段AE 的中点，△ABC 的高为4，△DEF 的面积是（ ）。
小升初奥数几何问题之巧求直线型面积大全
小升初奥数几何问题之巧求直线型面积大全
一、知识点
我们已经学习过的直线型几何图形有：三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形等基本规则图形的面积计算，图形及计算公式如下：更多详情请点击>>长沙小升初奥数几何问题之巧求直线型面积知识点
二、解题方法
1、代数法
将图形按形状、大小分类，并设合适的未知数，通过建立方程或方程组来解出*影部分面积的方法，或者通过未知数建立等量关系，不一定要求出未知数！
例、一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形。
下面一个长方形是由9个小正方形组成的完美长方形。
图中正方形a和b的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积是多少平方厘米？
三、经典例题
例1、三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图所示，盒中空白部分的面积已经标出，求图中大长方形的面积。
四、巩固练习
1、边长为4的正方形abcd和边长为6的正方形befg并排放在一起，o1和o2分别是两个正方形的中心(正方形对角线的交点)，则*影部分的面积是多少？。
六年级奥数 几何---第1讲; 直线型面积一; 教师版1
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
的面积是
平方厘米．
B
B
D
D
A
E
F
C
A
E
F
C
【解析】连接 CD ．根据题意可知， ΔDEF 的面积为 ΔDAC 面积的 1 ， ΔDAC 的面积为 ΔABC 面积的 1 ，所
3
2
以 ΔDEF 的面积为 ΔABC 面积的 1 × 1 = 1 ．而 ΔDEF 的面积为 5 平方厘米，所以 ΔABC 的面积为 23 6
SΔPNM
+ SΔPLK
=
1 3
(SΔPDC
+
SΔPAB
)
+
5 12
(SΔPDA
+ SΔPBC ) − (SΔDNM
+ SΔBLK )
即为： 1 × 72 + 5 × 72 −10 × 2 = 24 + 30 − 20 = 34 ．
3
12
【例 5】 (2008 年四中考题)如右图， AD = DB ， AE = EF = FC ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米，ΔABC
所以 S+ ABD
=
1 2
×
S+
ABC
积的
1
，所以阴影部分的面积为
62
×
1 (
小学数学图形求面积十大方法总结(附例题解析)
我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形。
我们的面积及周长都有相应的公式直接计算。
如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算。
一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。
例题分析例1、如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。
一句话：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。
例2、如下图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积。
一句话：因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，都等于正方形ABCD面积的三分之一，也就是12平方厘米。
解：S△ABE=S△ADF=S四边形AECF=12（平方厘米）在△ABE中，因为AB=6厘米，所以BE=4厘米，同理DF=4厘米，因此CE=CF=2厘米，∴△ECF的面积为2×2÷2=2（平方厘米）。
所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。
例3、两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。
如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
一句话：阴影部分面积=S△ABG-S△BEF，S△ABG和S△BEF都是等腰三角形总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决求面积十大方法1.>>>相加法<<<这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如：求下图整个图形的面积一句话：半圆的面积+正方形的面积=总面积2.>>>相减法<<<这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。
奥数几何问题求直线型面积解题方法
奥数几何问题求直线型面积解题方法奥数几何问题求直线型面积解题方法常见解题方法1、代数法将图形按形状、大小分类，并设合适的未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法，或者通过未知数建立等量关系，不一定要求出未知数！例、一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形。
下面一个长方形是由9个小正方形组成的完美长方形。
图中正方形A和B的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积是多少平方厘米？(六年级7月4日天天练)2、和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。
例、小两个正方形组成下图所示的组合图形。
已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。
(7月5日天天练) 例、小两个正方形组成下图所示的组合图形。
已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。
(四年级7月5日天天练)3、转化法此法就是通过等积变换（重点将在几何五大模型中介绍）、平移、旋转、对称等方法将不规则的图形转化成面积相等的`规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。
4、割补拼接法将不规则图形割补拼接成规则图形，利用规则图形的面积公式求出原不规则图形的面积。
5、差不变原理一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。
前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
6、容斥原理就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。
这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。
要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。
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(完整版)人教版小学六年级面积计算方法总结
(完整版)人教版小学六年级面积计算方法
总结
人教版小学六年级面积计算方法总结
1. 什么是面积
面积是平面图形所占的空间大小。
在小学六年级数学中，我们研究了不同图形的面积计算方法。
2. 正方形和长方形的面积计算
正方形的面积计算公式为：边长 * 边长，即$A_{正方形} = a \times a$。
长方形的面积计算公式为：长 * 宽，即$A_{长方形} = l \times w$。
3. 三角形的面积计算
三角形的面积计算公式为：底边长 * 高 * 0.5，即$A_{三角形} = \frac{b \times h}{2}$。
4. 平行四边形和梯形的面积计算
平行四边形的面积计算公式为：底边长 * 高，即$A_{平行四边形} = b \times h$。
梯形的面积计算公式为：上底长加下底长的和乘以高除以2，即$A_{梯形} = \frac{(a + b) \times h}{2}$。
5. 圆的面积计算
圆的面积计算公式为：半径的平方乘以π，即$A_{圆} = r^2 \times \pi$。
6. 例题
例如，有一个长方形，长为10厘米，宽为5厘米，我们可以使用长方形的面积计算公式来计算其面积：$A_{长方形} = 10
\times 5 = 50$ 平方厘米。
7. 总结
面积计算是数学中一个重要的概念，通过掌握各种图形的面积计算方法，我们可以应用到实际生活和其他数学问题中。
在小学六年级中，我们研究了正方形、长方形、三角形、平行四边形、梯形和圆的面积计算方法。
以上就是人教版小学六年级面积计算方法的总结。
(完整word版)六年级奥数-直线形面积的计算
六年级奥数－直线形面积的计算
1．如下左图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有______个．
2．如上右图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有______个．
3．如下左图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有______对．
4.如上图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．
5．图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（
6.如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，
AD=DH．求四边形EFGH的面积．
7．如下左图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，
已知S△ABC=27平方厘米，求S△DEF．
8．如下左图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、
BC的三等分点，且SABCD=54平方厘米，求S△BEF．
六年级奥数－直线形面积的计算解答
1.3个
2.3个
3.3对
4．证明：∵△ABC与△DBC等底等高，
∴S△ABC=S△DBC
又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC
S△DOC=S△DBC—S△BOC
∴S△AOB=S△COD．
5．4×4÷2=8
6. 连结BD，将四边形ABCD分成两个部分．连结FD，可得S△AEH+S△CGF=2×1=2．同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）。
六年级奥数 几何; 第1讲;直线型面积一; 教师版_1
第一讲 直线型面积（一）1. 熟练运用直线型面积的最基本性质——等积变形；2. 熟练掌握直线型面积的两个模型： （1）等积变形 （2）鸟头模型直线型面积求解是在以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础上进行的。
最基本的思想是等积变形。
一、等积变形①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =××△△EDCBAEDCB A板块一、等积变形【例 1】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BAE BA【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =， ∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH ++，∴11562822ABCD S S ==×=阴影长方形(平方厘米)．【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E D GCB654321HBCG DE【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48．【例 2】 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．KO QPH G F EC B AK O QPH GF EC BA【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接FK 、GE 、BD ，则////BD GE FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得DGE BGE S S ΔΔ=，KGE FGE S S ΔΔ=，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB 的面积，即为210100=平方厘米．【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．GABG4AB【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接AD (见右上图)，可以看出，三角形ABD 与三角形ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形AGD 是三角形ABD 与三角形ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG 与三角形GCD 面积仍然相等．根据等量代换，求三角形ABC 的面积等于求三角形BCD 的面积，等于4428×÷=．【巩固】(2008年西城实验考题)如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为 ．C D E FHEFH【解析】如图，连接AF ，比较ABF Δ与ADF Δ，由于AB AD =，FG FE =，即ABF Δ与ADF Δ的底与高分别相等，所以ABF Δ与ADF Δ的面积相等，那么阴影部分面积与ABH Δ的面积相等，为6平方厘米．【巩固】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？D G F HCCH G D【解析】 方法一：三角形BEF 的面积2BE EF =×÷，梯形EFDC 的面积22EF CD CE BE EF =+×÷=×÷=（）三角形BEF 的面积， 而四边形CEFH 是它们的公共部分，所以，三角形DHF 的面积=三角形BCH 的面积， 进而可得，阴影面积=三角形BDF 的面积=三角形BCD 的面积1010250=×÷=(平方厘米)．方法二：连接CF ，那么CF 平行BD ，所以，阴影面积=三角形BDF 的面积=三角形BCD 的面积50=(平方厘米)．【例 3】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HE【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：H ED可得：12EHB AHB S S ΔΔ=、12FHB CHB S S ΔΔ=、12DHG DHC S S ΔΔ=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ΔΔΔ=++= 即11()361822EHBBHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ΔΔΔΔΔΔ++=++=×=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ΔΔΔΔ++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC Δ=××=××××=×=． 所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S Δ=−=−=阴影 解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF Δ的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ΔΔΔ=−−−=−××−×××−××=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．P AA PA【解析】（法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546×+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD Δ与PBC Δ的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116(1546×+=平方厘米．【例 4】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是 ．PP【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是内部任意一点，不妨设P 点与A 点重合(如上中图)，那么阴影部分就是AMN Δ和ALK Δ．而AMN Δ的面积为(125)4214−×÷=，ALK Δ的面积为(124)5220−×÷=，所以阴影部分的面积为142034+=．（法2）寻找可以利用的条件，连接AP 、BP 、CP 、DP 可得右上图所示：则有:211127222PDC PAB ABCD S S S ΔΔ+==×= 同理可得：72PAD PBC S S ΔΔ+=;而::4:121:3PDM PDC S S DM DC ΔΔ===,即13PDM PDC S S ΔΔ=；同理：13PBL PAB S S ΔΔ=,512PND PDA S S ΔΔ=,512PBK PBC S S ΔΔ=;所以：15()()()()312PDM PBL PND PBK PDC PAB PDA PBC S S S S S S S S ΔΔΔΔΔΔΔΔ+++=+++而()()()()PDM PBL PND PBK PNM PLK DNM BLK S S S S S S S S ΔΔΔΔΔΔΔΔ+++=+++阴影面积； 145102DNM BLK S S ΔΔ==××=； 所以阴影部分的面积是：15()()()312PNM PLK PDC PAB PDA PBC DNM BLK S S S S S S S S ΔΔΔΔΔΔΔΔ+=+++−+即为：15727210224302034312×+×−×=+−=．【例 5】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABCΔ的面积是 平方厘米．DBADA【解析】连接CD ．根据题意可知，DEF Δ的面积为DAC Δ面积的13，DAC Δ的面积为ABC Δ面积的12，所以DEF Δ的面积为ABC Δ面积的111236×=．而DEF Δ的面积为5平方厘米，所以ABC Δ的面积为15306÷=(平方厘米)．【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？F ECBA【解析】 ABD +，ABC +等高，所以面积的比为底的比，有12ABD ABC S BD S BC ==++, 所以ABD S +=111809022ABC S ×=×=+(平方厘米)．同理有190303ABE ABD AE S S AD =×=×=++(平方厘米)，34AFE ABE FE S S BE=×=++3022.5×= (平方厘米)．即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米．【例 6】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．48cm 224cm 236cm 212cm 2MN B A12cm236cm 224cm 248cm 2【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则12112364AB ==+，24124483CD ==+，所以1113412MN =−=，阴影部分面积为211(12243648)5(cm )212+++××=．【例 7】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．DB【解析】 根据题意可知，8928117ADCADE DCE S S S ΔΔΔ=+=+=，所以::26:1172:9BDC ADC BD AD S S ΔΔ===， 那么::2:9DBE ADE S S BD AD ΔΔ==，故222789(901)20199999DBE S Δ=×=−×=−=．【例 8】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC Δ的面积是25cm ，OAB Δ的面积是22cm ，求OBD Δ的面积是多少？POC【解析】 由于ABCD 是长方形，所以12AOD BOC ABCD S S S ΔΔ+=，而12ABD ABCD S S Δ=，所以AOD BOC ABD S S S ΔΔΔ+=，则BOC OAB OBD S S S ΔΔΔ=+，所以2523cm OBD BOC OAB S S S ΔΔΔ=−=−=．【例 9】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD Δ的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？CEFGH PCEFH P【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差．如右上图，连接CP 、AP ．由于12BCP ADP ABP BDP ADP ABCD S S S S S S ΔΔΔΔΔ+=++=，所以BCP ABP BDP S S S ΔΔΔ−=． 而12BCP BCFE S S Δ=，12ABP ABHG S S Δ=，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S ΔΔΔ−=−==(平方分米)．【例 10】 如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC Δ的面积是15，求阴影BPD Δ的面积．PDBOAB DP【解析】连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如下图所示， 可得//PO DC ，所以DPO Δ与CPO Δ面积相等(同底等高)，所以有：BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ΔΔΔΔΔ+=+=，因为1120544BOC ABCD S S Δ==×=，所以15510BPD S Δ=−=．【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BPC Δ的面积是5，求阴影BPD Δ的面积．PBOAB DP【解析】 连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如右上图所示，可得//PO DC ，所以DPO Δ与CPO Δ面积相等(同底等高)，所以有:BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ΔΔΔΔΔ+=+=，因为134BOC ABCD S S Δ==，所以532BPD S Δ=−=．【例 11】(2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH 等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．HG F E D C B AHGF ED CB A【解析】 连接AC 、GF ，由于AC 与GF 平行，可知四边形ACGF 构成一个梯形．由于HCG Δ面积为6平方厘米，且CH 等于CF 的三分之一，所以CH 等于FH 的12，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知FHG Δ的面积为12平方厘米，AHF Δ的面积为6平方厘米，AHC Δ的面积为3平方厘米．那么正方形CGEF 的面积为()612236+×=平方厘米，所以其边长为6厘米．又AFC Δ的面积为639+=平方厘米，所以9263AD =×÷=(厘米)，即正方形ABCD 的边长为3厘米．那么，五边形ABGEF 的面积为：21369349.52++×=(平方厘米)．【例 12】如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F CAF CAF ED CBA【解析】方法一：连接对角线AE ． ∵ADEF 是长方形∴12ADE AEF ADEF S S S ΔΔ==-∴38ADB ADE S DB DE S ΔΔ==， 12ACF AEF S FC EF S ΔΔ== ∴58BE DE DB DE DE −==，12CE FE CF EF EF −== ∴1515162822BEC S Δ=×××=∴132ABC ADEF ADB ACF CBE S S S S S ΔΔΔΔ=−−−=-．方法二：连接BF ，由图知1628ABF S =÷=△，所以16835BEF S =−−=△，又由4ACF S =△，恰好是AEF △面积的一半，所以C 是EF 的中点，因此52 2.5BCE BCF S S ==÷=△△，所以1634 2.5 6.5ABC S =−−−=△【例 13】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E 是AC边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO Δ的面积为a 平方厘米，BDO Δ的面积为b 平方厘米．且b a −是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．E baOD CBA【解析】 12ABC BCD BCO S S b S ΔΔΔ==+，14ABC BCE BCO S S a S ΔΔΔ==+，所以112.524ABC ABC S S b a ΔΔ−=−=(平方厘米)．所以 2.5410ABC S Δ=×=(平方厘米)．【例 14】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？GFE D C【解析】 如下图，连接FC ，DBF +、BFG +的面积相等，设为x 平方厘米;FGC +、DFC +的面积相等，设为y 平方厘米，那么DEF +的面积为13y 平方厘米．xyy x GFE D CBA221BCD S x y =+=+，BDE 111S =x+y=l 333×=+．所以有0.531x y x y +=⎧⎨+=⎩①②．比较②、①式，②式左边比①式左边多2x ，②式右边比①式右边大0.5，有20.5x =，即0.25x =,0.25y =．而阴影部分面积为2550.253312y y +=×=平方厘米．【例 15】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC Δ被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．KJIH GFE DC B A【解析】由题意可知，::2:9BAD ABC BD BC S S ΔΔ==，所以2109BD BC ==，35CD BC BD =−=；又::2:5DIF DFC DI DC S S ΔΔ==，所以2145DI DC ==，同样分析可得10FK =，所以141024DI FK +=+=．【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角MON 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、F 六个点，并且OAB Δ、ABC Δ、BCD Δ、CDE Δ、DEF Δ的面积都等于1，则DCF Δ的面积等于 ．OBD FN【解析】根据题意可知，::4:1OED DEF OD DF S S ΔΔ==，所以14DF OD =，1133444DCF OCD S S ΔΔ==×=．【例 16】(2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】连接AF ，BD ． 根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ΔΔ=，1227BE CBF C S S ΔΔ=，2128AEG ADG S S ΔΔ=，728AED ADG S S ΔΔ=， 于是：2115652827ADG CBF S S ΔΔ+=；712382827ADG CBF S S ΔΔ+=；可得40ADG S Δ=．故三角形ADG 的面积是40．【例 17】(2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．O GECBA【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120×=，所以三角形BOC 的面积为1120304×=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204×−=； 又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎞×−=⎜⎟⎝⎠，所以四边形EFGO 的面积为302010−=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积−白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050−=，所以四边形的面积为605010−=．【巩固】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形ABCD 的面积为24平方厘米．三角形ADM 与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．NOMPDCBA【解析】 因为三角形ADO 与三角形BCO 的面积之和是矩形ABCD 的面积的一半，即12平方厘米，又三角形ADM 与三角形BCN 的面积之和为7.8平方厘米，则三角形AMO 与三角形BNO 的面积之和是4.2平方厘米，则四边形PMON 的面积=三角形ABP 面积−三角形AMO 与三角形BNO 的面积之和−三角形ABO 面积12 4.26 1.8=−−=(平方厘米)．【例 18】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？23D 3353D【解析】 如图，过M 、N 、P 、Q 分别作长方形ABCD 的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为3厘米，面积等于9平方厘米．设MQD Δ、NAM Δ、PBN Δ、QCP Δ的面积之和为S ，四边形MNPQ的面积等于x ，则569x S x S +=⎧⎨−=⎩，解得32.5x =(平方厘米)．板块二 鸟头模型【例 19】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADEABE S S AD AB ===××△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===××△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =××△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E CBAA BCE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =++ 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =++，∴6ABC BDE S S =++，5S S =乙甲．【例 20】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADEABE S S AD AB ===××△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=×+×△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =××+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 21】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？CEB A【解析】由于180ABC DBE °∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份， 325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =××=××=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5×=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 22】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =××=××=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =××=××=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =××=××=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =−−−=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 23】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】(法1)本题是性质的反复使用． 连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =++，1ABC S =+， ∴S 1DBC =+．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC +和CFE +中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅×===⋅×++． 又1ABC S =+，所以8FCE S =+． 同理可得6ADF S =+，3BDE S =+．所以186318DEF ABC FCE ADF BDE S S S S S =+++=+++=+++++．【例 24】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】连接AC 、BD ．根据共角定理 ∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补， ∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅×===⋅×△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 25】如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD EF GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ΔΔ=，同理4HDG ADC S S ΔΔ=． 于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ΔΔΔΔ+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ΔΔ=，同理9CFG CBD S S ΔΔ=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ΔΔΔΔ+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ΔΔΔΔ=+++−=+−==．【例 26】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S +．SGF E DCBA【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =××××=△．练习1. (第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红【解析】 黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的50%15%35%−=．已知黄色三角形面积是221cm ，所以长方形面积等于2135%60÷=（2cm ）．练习2. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与+BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA【解析】 +AEC 、+AFC 、+ABF ．练习3. (97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN BN =.那么，阴影部分的面积是多少？【解析】 连接BM ，因为M 是中点所以ABM △的面积为14又因为2AN BN =，所以BDC △的面积为1114312×=，又因为BDC △面积为12，所以阴影部分的面积为：115112212−−=.练习4. 如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DC BA【解析】 三角形ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半24212÷=，三角形ADE 又是三角形ADC 面积的一半1226÷=．三角形FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积623=÷=．练习5. 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA ABCDE【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =++ 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷+++，∴1515ABC ADE S S ==++．练习6. 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅×===⋅×△△． 又2ABC S =+，所以0.5FCE S =+． 同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++−=++−=△△△△△。
思维数学-直线型计算中的倍数关系
直线型计算中的倍数关系知识精讲迄今为止，同学们已经学会了很多计算图形面积的方法.在计算这些面积的时候，只要知道相应线段的长度，然后利用公式即可以计算.例如计算长方形的面积，只需知道长方形的长和宽，即可利用“长方形的面积=长×宽”进行计算。
但很多时候，题目中并不给出长和宽，那怎么来求面积呢？我们来着下面这个例题。
例题1如图，有9个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为4、8、12、16、20平方米。
其余4个长方形的面积分别是多少平方米？「分析」如果两个长方形的—条边相等，我们可以比较它们的另一条边来求它们的面积关系.看看右图，能利用左上角的三块图形的面积求出①的面积吗？练习1如图，有7个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为20、4、6、8、10平方厘米。
求阴影长方形的面积是多少平方厘米？对于长方形，我们总结出：如果两个长方形的长（宽）相等，那么它们的面积的比等于它们宽（长）之比。
例如：如图所示的长方形ABCD与长方形BEFC的宽BC相同，那么.长方形ABCD的面积:长方形BEFC的面积=AB:BE。
从上面的例题可以看出，求一个图形的面积不一定要通过公式，有些时候我们也可以利用图形各部分之间的面积关系进行计算。
实际问题中，图形的形状各异。
我们很难直接看出面积间的关系，但有时更容易发现长度之间的倍数关系。
本讲重点就是长度的倍数关系与面积倍数关系的转化。
如图，过三角形一个顶点的直线将三角形分为两个小三角形，则这两个小三角形面积之比等于该直线分对边所得的两条线段长度之比。
这是由两个小三角形有共同的高决定的。
三角形ABD的面积:三角形ADC的面积=BD :DC例题2下图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍.那么三角形赢的面积是多少平方厘米？「分析」你能从图丸发现前面讲过的基本图形吗？如何利用其中的比例关系解题呢？练习2如图，三角形ABC中，D为AB的中点，E为BC的中点，F为BE的中点，如果三角形ABC的面积是120平方厘米，那么三角形DEF的面积是多少？在实际问题中，给出的图形结构往往只能满足上述形式的一部分。
直线形计算中的倍数关系
第二讲直线形计算中的倍数关系班级：姓名：7-1、长方形中的简单倍数关系：1.如图，两个长方形甲和乙，BF是AB 的2倍.若甲的面积是30平方米，则乙的面积是多少平方米？DCE2.一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图所示（单位：平方米），剩下一块的面积应该是多少平方米？3.如图，有8个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为8, 10, 12, 16, 60平方米.那么整个大长方形的面积是多少平方米？4.如图，有8个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为4, 8, 12, 16, 20平方米.那么整个大长方形的面积是多少平方米？5.一块长方形土地长15米，宽5米.如图，它被分割成4个小长方形（单位：平方米）.土地B的周长是多少米？7-2、三角形中的简单倍数关系：1.如图，△ABC被分成两个三角形，AD是DC的3倍.若△BDC的面积是10平方厘米, 那么△ABD的面积是多少平方厘米？2..如图，△ABC被分成两个三角形，其中△BAD的面积是△BCD的3倍.若AC长为100 厘米，那么DC是多少厘米？3.如图，四边形面积为60平方厘米，被分成四个小三角形，面积分别标在图中，那么问号所在小三角形面积是多少平方厘米？4.如图，四边形面积为120平方厘米，被分成四个小三角形，面积分别标在图中.那么问号所在小三角形面积是多少平方厘米？A B15307-3、三角形中的风车模型：1.如图，把三角形DEF的各边向外延长1倍后得到三角形ABC.若三角形DEF的面积为2 平方米.则三角形ABD的面积是多少平方米？2.如图，把三角形DEF的各边向外延长1倍后得到三角形ABC.若三角形DEF的面积为3 平方米.则三角形BCE的面积是多少平方米？3.如图，把三角形DEF的各边向外延长2倍后得到三角形ABC.若三角形DEF的面积为2 平方米.则三角形ABC的面积是多少平方米？4.如图，把三角形DEF的FD、EF、DE依次向外延长1、2、3倍后得到三角形ABC.若三角形DEF的面积为4平方米.则三角形ABC的面积是多少平方米？4.如图，把四边形BADC的各边向外延长1倍后得到四边形FEHG,四边形BADC的面积为1平方米.那么阴影部分的面积是多少？5.如图，把四边形ABCD的各边向外延长1倍后得到四边形FGHE,四边形ABCD的面积为1平方米.那么阴影部分的面积是多少？6.如图，把四边形ABCD的各边向外延长2倍后得到四边形FGHE,四边形ABCD的面积为2平方米.那么四边形FGHE的面积是多少？7.如图，把四边形BADC的各边向外延长后得到四边形FEGH,若AB=BF, AE=2DA, CD=DH,CG=2BC,且四边形ABCD的面积为2平方米.那么四边形FGHE的面积是多少？。
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名师堂学校方法讲义之一年级：六年级日期：7月8日
直线图形—利用倍数关系求面积【方法与技能】我们已经学过的直线型图形包括三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.
根据图形之间长与宽、底与高的倍数关系求解图形面积是近年来各类竞赛与考试经常出现的考点。
在这类问题中，我们可以采用等分法求解，也可以用倍比法求解。
即根据等底或等高的平行四边形、三角形，它们的高（或底）的倍数关系就是面积的倍数关系，从而顺利求解。
【典型例题】
例1：已知三角形ABC的面积为1，BE=2AB，BC=CD，求三角形BDE
的面积？（下页图）
例2：如右图，A为△CDE的DE边上中点，3BC=CD，若△ABC（阴
影部分）面积为5平方厘米.求△ABD及△ACE的面积.
例3：如下页右上图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘例4：如右图，已知：S△ABC=1，
例5：如下图，在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。
例6：上右图所示三个小平行四边形的面积是12平方厘米、25平方厘米和42平方厘米。
那么大平行四边形的面积是多少平方厘米？
例7：如下左图：已知梯形中两个三角形的面积分别是8平方厘米和12平方厘米，梯形的面积是多少平方厘米？
名师课堂——关键教方法名师堂市中心校区地址：顺城街体育场路2号商业很行六楼8661966286741998
A
B D C
E
12 42
25
8
12
D
【应用拓展】
1、如下图是由四个小长方形拼接而成的大长方形，其中三个
小长方形的面积分别是24平方分米、15平方分米和25平方
分米。
那么，图中阴影部分的面积是多少平方分米？
2、如下左图，由九个小长方形拼接成大长方形，其中三
个小长方形的面积分别时15平方米、30平方米和45平
方米。
图中阴影部分的面积是多少平方米？
3、如上右图，BD 、DE 、EC 的长分别是2、
4、2，F 是线段AE 的中点，△ABC 的高为4，△DEF 的面积是（ ）。
4、写出下面图形的面积和周长公式。
5、如下图，长方形的面积是48平方厘米，P 、Q 是相邻两边的中点，求△BPQ 的面积。
6、简便运算：
26
15
×
27 6157×71 10×81+5×85+5×81 39141÷131123
7、解方程：
43
5
χχ-
=
455
χχ
+=
【奥赛加分】
1、(陕西省竞赛题，1998)下图，BD 、CF 将长方形ABCD 分成四块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米。
绿色四边形的面积是多少？
2、如下图：将△ABC 的AB 延长一倍到D ，BC 延长3倍到E ，AC 延长2倍到F ，如果△ABC 的面积是4平方厘米，求△DEF 的面积。
24 15 25
15 30 45
A
B
C
D E
红色 黄色 绿色
A B C
D E
F A B
C
D E
A
B C
D P。