《相似三角形》教学课件1
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相似三角形的性质ppt课件
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等，面积比等于相似比的 平方。
判定方法
预备定理
判定定理1
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似。
判定定理2
判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似。
∠C'。
由于内角相等，我们可以通过正 弦定理或余弦定理来证明对应边
之间的比例关系。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应边成比例的性质被广泛应用于解决各种问题，如测量高度、计 算距离等。
例如，如果我们知道一个三角形的一边和它的一个内角，以及另一个三角形的一边和它的一 个内角，我们可以利用相似三角形的性质来找出这两个三角形之间的相似比，从而计算出未 知边的长度。
证明过程
可以通过相似三角形的定义和性质，结合几何图形进行证明 。
具体证明方法包括：利用相似三角形的对应角相等，通过作 高线将三角形分割为若干个小三角形，再利用小三角形的面 积关系推导出原三角形的面积比关系。
应用举例
在几何题目中，可以利用相似三角形的面积比性质求解一 些与面积相关的问题，如求某个图形的面积、判断两个图 形面积的大小关系等。
由于相似三角形的对应边成比 例，我们可以通过三角函数或 者角度的平分线等性质来证明 它们的对应角相等。
具体证明过程可以通过几何画 图或者数学推导来完成，这里 不再赘述。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应角相等的性质被广泛应用于解决各种问题，比如测量 高度、计算角度等。
例如，在测量建筑物高度时，我们可以通过测量建筑物与地面之间的角度和距离， 然后利用相似三角形的性质计算出建筑物的高度。
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等，面积比等于相似比的 平方。
判定方法
预备定理
判定定理1
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似。
判定定理2
判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似。
∠C'。
由于内角相等，我们可以通过正 弦定理或余弦定理来证明对应边
之间的比例关系。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应边成比例的性质被广泛应用于解决各种问题，如测量高度、计 算距离等。
例如，如果我们知道一个三角形的一边和它的一个内角，以及另一个三角形的一边和它的一 个内角，我们可以利用相似三角形的性质来找出这两个三角形之间的相似比，从而计算出未 知边的长度。
证明过程
可以通过相似三角形的定义和性质，结合几何图形进行证明 。
具体证明方法包括：利用相似三角形的对应角相等，通过作 高线将三角形分割为若干个小三角形，再利用小三角形的面 积关系推导出原三角形的面积比关系。
应用举例
在几何题目中，可以利用相似三角形的面积比性质求解一 些与面积相关的问题，如求某个图形的面积、判断两个图 形面积的大小关系等。
由于相似三角形的对应边成比 例，我们可以通过三角函数或 者角度的平分线等性质来证明 它们的对应角相等。
具体证明过程可以通过几何画 图或者数学推导来完成，这里 不再赘述。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应角相等的性质被广泛应用于解决各种问题，比如测量 高度、计算角度等。
例如，在测量建筑物高度时，我们可以通过测量建筑物与地面之间的角度和距离， 然后利用相似三角形的性质计算出建筑物的高度。
《相似三角形》优秀课件1
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二、学习目标
会运用“两组对应边的比相等 且对应的夹角相等”判定两个 三角形相似.
《相似三角形》优秀课件1
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知
三 角
识形
点相
一
似 的
判
定
方
法
2
三、研读课文
认下真面阅练读习课并本体第验知44识至点45探全的页讨等形的的成内S可AS否过容方用程，法类，完似能于成否判通定过三两角个形
____________________________
__ .
《相似三角形》优秀课件1
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五、强化训练
1、在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D. 那么这两个三角形能否相似的结论是_相__似___，理由是 _两__组__对__应__边__的__比__相__等__且_ 相应的夹角相等 ．
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第二十七章 相似 27.2 相似三角形 第五课时 相似三角形的判定（3）
《相似三角形》优秀课件1
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一、新课引入
1、两个三角形全等有哪些判定方法？ SSS、SAS、ASA、AAS、HL
2、我们学习过哪些判定三角形相似的 方法？
1、通过定义（三边对应成比例，三角相等） 2、平行于三角形一边的直线 3、三边对应成比例
9
的长是_____5_______.
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三、研读课文
2、如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.
证明： AD AE, AB AC AD AE
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二、学习目标
会运用“两组对应边的比相等 且对应的夹角相等”判定两个 三角形相似.
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知
三 角
识形
点相
一
似 的
判
定
方
法
2
三、研读课文
认下真面阅练读习课并本体第验知44识至点45探全的页讨等形的的成内S可AS否过容方用程，法类，完似能于成否判通定过三两角个形
____________________________
__ .
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五、强化训练
1、在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D. 那么这两个三角形能否相似的结论是_相__似___，理由是 _两__组__对__应__边__的__比__相__等__且_ 相应的夹角相等 ．
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第二十七章 相似 27.2 相似三角形 第五课时 相似三角形的判定（3）
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一、新课引入
1、两个三角形全等有哪些判定方法？ SSS、SAS、ASA、AAS、HL
2、我们学习过哪些判定三角形相似的 方法？
1、通过定义（三边对应成比例，三角相等） 2、平行于三角形一边的直线 3、三边对应成比例
9
的长是_____5_______.
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三、研读课文
2、如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.
证明： AD AE, AB AC AD AE
《相似三角形》相似图形PPT课件
定义
两个多面体，如果它们的对应角相等，对应边长 成比例，则称这两个多面体相似。
1. 对应角相等
通过测量或计算验证两个多面体的对应角是否相 等。
3
2. 对应边长成比例
通过测量或计算验证两个多面体的对应边长是否 成比例。
性质总结
性质一
相似多面体的对应面面 积之比等于相似比的平
方。
性质二
相似多面体的对应体积 之比等于相似比的立方
案例分析
测量河流宽度
通过构造相似三角形，可以测量 河流的宽度，为水利工程和桥梁
建设提供重要数据支持。
估算森林面积
利用航空照片和相似三角形的原理 ，可以对森林面积进行估算，为林 业资源管理和生态保护提供依据。
分析交通事故原因
在交通事故分析中，相似三角形可 以帮助分析事故原因，确定责任方 ，为交通事故处理提供科学依据。
。
性质三
相似多面体的对应棱的 中线之比等于相似比。
性质四
相似多面体的对应高的 比、对应中线的比和对 应角平分线的比都等于
相似比。
应用前景展望
建筑设计
在建筑设计中，利用相似多面体 的性质可以方便地按比例缩放建 筑模型，以适应不同规模和需求
的设计项目。
艺术创作
在机械、航空等工程领域，相似 多面体的概念可用于按比例放大 或缩小零部件和装置，以简化设
。
相似比与对应角关系
01
02
03
相似比
两个相似三角形的对应边 之间的比值称为相似比。
相等性
相似三角形的对应角相等 。
互补性
如果两个角在一个三角形 中是互补的，那么它们在 另一个相似三角形中也是 互补的。
性质总结
对应边成比例
相似三角形的性质_课件1(1)
A
D
A′ B
D′
B′
C C′
（4）CC'DD' 等于多少？你是怎么做的？
CA C' A'
CD C'D'
3 4
相似三角形对应高的比等于相似比。
A′
D′
B′
AD
B
EC
E′ C′
议一议
已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′相
似比为k。如果CD和C′D′分别是它们的对应角平
分线，那么 CD 等于多少？
CD
A′
D′
B′
A
D
B
C C′
已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′
相似比为k。如果AD和A′D′分别是它们的对应中
线，那么 AD 等于多少？
AD
A′
A
B
D C
B′
D′ C′
相似三角形的性质
定理1：相似三角形对应高的比、对应 中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
练习
3.已知△ABC∽△A’B’C’，S△ABC∶S△A’B’C’=9:25， △ABC的周长是36，则△ABC的周长是 60。
4.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上， DE平行于BC，AD∶DB=3∶2，求四边形DBCE与 △ADE的面积比。
解：∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC S△ADE:S△ABC=(AD:AB)2 ∵AD∶DB=3∶2 ∴AD∶AB=3∶5 ∴S△ADE∶S△ABC=9∶25 ∴S△ADE∶S四边形DBCE=9∶16 所以四边形DBCE与△ADE的面积比为16∶9。
相似三角形完整版PPT课件
通过已知条件推导出新的相似关系，逐步 构建完整的相似三角形体系。
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。
相似三角形ppt课件
注意事项
角边判定定理要求一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边成比例，并且这两个三角形有一 个对应的角相等，如果这些条件不满足，则不能 判定两个三角形相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
解决几何证明问题
相似三角形常被用于证明各种几何关 系和定理，如勾股定理、毕达哥拉斯 定理等。
理解几何图形的性质
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB:DE)^2=(BC:EF)^2=(CA:FD)^2。
相似三角形的分类
根据用途分类
根据相似三角形在几何学中的应 用，可以将相似三角形分为标准 型、等腰型、直角型等类型。
根据形状分类
根据两个相似三角形的形状，可 以将它们分为锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形。
△ABC∽△A'B'C'。
边边判定定理的证明
总结词
通过比较两个三角形的对应边，如果两个三角形有三组对应边成比例，则这两个三角形相 似。
详细描述
在两个三角形ABC和A'B'C'中，如果AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，则根据边边判定定理， △ABC∽△A'B'C'。
证明过程
首先，由于AB/A'B'=AC/A'C'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠BAC=∠B'A'C'。再由 于BC/B'C'=BA/B'A'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠ACB=∠A'C'B'。因此，根据 AA相似判定定理，△ABC∽△A'B'C'。
角边判定定理要求一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边成比例，并且这两个三角形有一 个对应的角相等，如果这些条件不满足，则不能 判定两个三角形相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
解决几何证明问题
相似三角形常被用于证明各种几何关 系和定理，如勾股定理、毕达哥拉斯 定理等。
理解几何图形的性质
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB:DE)^2=(BC:EF)^2=(CA:FD)^2。
相似三角形的分类
根据用途分类
根据相似三角形在几何学中的应 用，可以将相似三角形分为标准 型、等腰型、直角型等类型。
根据形状分类
根据两个相似三角形的形状，可 以将它们分为锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形。
△ABC∽△A'B'C'。
边边判定定理的证明
总结词
通过比较两个三角形的对应边，如果两个三角形有三组对应边成比例，则这两个三角形相 似。
详细描述
在两个三角形ABC和A'B'C'中，如果AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，则根据边边判定定理， △ABC∽△A'B'C'。
证明过程
首先，由于AB/A'B'=AC/A'C'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠BAC=∠B'A'C'。再由 于BC/B'C'=BA/B'A'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠ACB=∠A'C'B'。因此，根据 AA相似判定定理，△ABC∽△A'B'C'。
《相似三角形》PPT课件 (公开课获奖)2022年华师大版 (1)
解：AO＝4 cm
18．(12分)如图 ,梯形ABCD中 ,AB∥CD ,点F在BC上 ,DF与AB的延长线 交于点G.
(1)求证：△CDF∽△BGF； (2)当点F是BC的中点时 ,过F作EF∥CD交AD于点E ,假设AB＝6 cm ,EF＝ 4 cm ,求CD的长．
解：(1)证明：∵梯形ABCD中 ,AB∥CD ,即 CD∥BG ,∴△CDF∽△BGF
△ABC相似的三角形共有(
A．1个
B．2个
)C C．3个
D．4个
14．如图是由边长为1的小正方形组成的网格 ,△ABC与△A1B1C1都是
格点三角形(顶点在网格交点处) ,并且△ABC∽△A1B1C1 ,那么△ABC
与△A1B1C1的相似比是___2∶__1_______.
第13题图
第14题图
15．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD 6
(2)由(1)得△CDF∽△BGF，且F是BC中点，∴DF＝FG，CD＝BG. 又∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥AG.∴△DEF∽△DAG. ∴AEGF ＝DDGF＝12. ∴AG＝8 cm.∴CD＝BG＝AG－AB＝2 cm
如图 ,在△ABC中 ,AB＞AC ,D为AC边上异于A、C 的一点 ,过D点作一直线与AB相交于点E ,使所得 到的新三角形与原△ABC相似.
D．k1·k2＝1
12．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则
下列结论错误的是( C )
A.EEDA ＝DABF C.DBCE＝BBFE
B.DBCE＝EFFB D.BBFE＝BACE
13．如图 ,△ABC中 ,EF∥BC ,DG∥AB ,EF和DG相交于点H ,那么图中与
18．(12分)如图 ,梯形ABCD中 ,AB∥CD ,点F在BC上 ,DF与AB的延长线 交于点G.
(1)求证：△CDF∽△BGF； (2)当点F是BC的中点时 ,过F作EF∥CD交AD于点E ,假设AB＝6 cm ,EF＝ 4 cm ,求CD的长．
解：(1)证明：∵梯形ABCD中 ,AB∥CD ,即 CD∥BG ,∴△CDF∽△BGF
△ABC相似的三角形共有(
A．1个
B．2个
)C C．3个
D．4个
14．如图是由边长为1的小正方形组成的网格 ,△ABC与△A1B1C1都是
格点三角形(顶点在网格交点处) ,并且△ABC∽△A1B1C1 ,那么△ABC
与△A1B1C1的相似比是___2∶__1_______.
第13题图
第14题图
15．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD 6
(2)由(1)得△CDF∽△BGF，且F是BC中点，∴DF＝FG，CD＝BG. 又∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥AG.∴△DEF∽△DAG. ∴AEGF ＝DDGF＝12. ∴AG＝8 cm.∴CD＝BG＝AG－AB＝2 cm
如图 ,在△ABC中 ,AB＞AC ,D为AC边上异于A、C 的一点 ,过D点作一直线与AB相交于点E ,使所得 到的新三角形与原△ABC相似.
D．k1·k2＝1
12．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则
下列结论错误的是( C )
A.EEDA ＝DABF C.DBCE＝BBFE
B.DBCE＝EFFB D.BBFE＝BACE
13．如图 ,△ABC中 ,EF∥BC ,DG∥AB ,EF和DG相交于点H ,那么图中与
《相似——相似三角形》数学教学PPT课件(3篇)
3.比例线段的性质
性质：（1）基本性质：如果a∶b=c∶d或ab=cd，那么ad=bc；特 别地，如果a∶b=b∶c或ab=bc，那么b2=ac.
（2）合比性质：如果ab=cd，那么a±bb=c±dd.
4.相似多边形
定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
注意：仅对应边成比例的两个多边形不一定相似，如菱形；仅对应角 相等的两个多边形也不一定相似，如矩形.
注意：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形彼 此相似.
性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都 等于相似比；
（3）相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.
注意：利用相似三角形的性质得到对应角相等或对应线段成比例时， 要注意对应关系。
若⊿ABC的周长为4,则⊿BDH的周长为_6____.
若⊿ABC的面积为4,则⊿BDH的面积为__9___.
相似三角形
E
E
F
M
F N
G
G
若G为BC中点,EG交AB于点F, 且EF:FG=2:3,
试求AF:FB的值.
添平行线构造相似三角形的基本图形。
基本图形2
“A”字型 当∠ADE＝ ∠C 时， ⊿ADE∽ ⊿ACB.
【解析】设第n个矩形是正方形， 则n个矩形的高为3n， ∴22.5-3n22.5=315,解得n=6,选C.
［预测变形３］电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD， AB∥CD，AB=2 m，CD=5 m，点P到CD的距离是3 m，则P到AB 的距离是（C）
A.56 m B.67 m C.65 m D.103 m 【解析】设P列AB的距离为x，则有x3=25 ,∴x=65,选C.
《相似三角形》PPT课件
B
直角三角形
∽
∠CED
∠CDE
∽
【易错盘点】【例】下面能够相似的一组三角形为( )A．两个等腰三角形B．两个直角三角形C．两个等边三角形D．以上都不对【错解】B【错因分析】根据相似三角形定义来判定两个三角形是否相似．而B中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知 ，故不相似，而C中的等边三角形中，三角都等于60°，三边也对应成比例，故相似．
相似三角形
相似比
1
相似
1．(4分)若△AED∽△ABC，AD＝6 cm，AC＝12 cm，则△AED与△ABC的相似比为________．2．(4分)△ABC与△A′B′C′的相似比AB∶A′B′＝1，则△ABC与△A′B′C′的关系是________；若△ABC与△A′B′C′的相似比是2∶5，则△A′B′C′与△ABC的相似比为________．
- .
25.3 相似三角形
1．对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做_________．相似三角形对应边的比叫做________，全等三角形是相似比为________的相似三角形．2．平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形________．
A பைடு நூலகம்
6．(4分)在△ABC中，BC＝54，CA＝45，AB＝63，另一个和它相似的三角形的最短边为15，则最长边一定是( )A．18 B．21C．24 D．19.57．(4分)已知△ABC的三条边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的形状是________．
全等
5∶2
3．(4分)下列各组图形有可能不相似的是( )A．各有一个角是50°的两个等腰三角形B．各有一个角是100°的两个等腰三角形C．各有一个角是50°的两个直角三角形D．两个等腰直角三角形
直角三角形
∽
∠CED
∠CDE
∽
【易错盘点】【例】下面能够相似的一组三角形为( )A．两个等腰三角形B．两个直角三角形C．两个等边三角形D．以上都不对【错解】B【错因分析】根据相似三角形定义来判定两个三角形是否相似．而B中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知 ，故不相似，而C中的等边三角形中，三角都等于60°，三边也对应成比例，故相似．
相似三角形
相似比
1
相似
1．(4分)若△AED∽△ABC，AD＝6 cm，AC＝12 cm，则△AED与△ABC的相似比为________．2．(4分)△ABC与△A′B′C′的相似比AB∶A′B′＝1，则△ABC与△A′B′C′的关系是________；若△ABC与△A′B′C′的相似比是2∶5，则△A′B′C′与△ABC的相似比为________．
- .
25.3 相似三角形
1．对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做_________．相似三角形对应边的比叫做________，全等三角形是相似比为________的相似三角形．2．平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形________．
A பைடு நூலகம்
6．(4分)在△ABC中，BC＝54，CA＝45，AB＝63，另一个和它相似的三角形的最短边为15，则最长边一定是( )A．18 B．21C．24 D．19.57．(4分)已知△ABC的三条边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的形状是________．
全等
5∶2
3．(4分)下列各组图形有可能不相似的是( )A．各有一个角是50°的两个等腰三角形B．各有一个角是100°的两个等腰三角形C．各有一个角是50°的两个直角三角形D．两个等腰直角三角形
相似三角形PPT课件
THANKS
感谢观看
利用相似三角形的性质，通过已知三 角形的面积和相似比求解未知三角形 的面积。
通过构造相似三角形，使得已知三角 形和未知三角形分别对应相似三角形 的对应边和对应高，从而求解未知三 角形的面积。
对于三维几何体，可以利用相似三角 形的性质求解其体积。例如，对于两 个相似的棱锥，其体积之比等于其对 应边长之比的立方。
1 2
练习1
已知△ABC和△A'B'C'中，AB=6cm，BC=8cm， AC=10cm，A'B'=12cm，B'C'=16cm， A'C'=20cm。求证：△ABC∽△A'B'C'。
练习2
已知△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D， AC=6cm，BC=8cm，求CD的长。
3
练习3
已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，AB=AC， DE=4cm，DF=6cm。求证：△ABC∽△DEF并求 出它们的相似比。
05
拓展：全等三角形与相似 三角形关系
全等三角形定义及性质回顾
01
全等三角形的定义：两个三角形如果三边及三角分别对应相 等，则称这两个三角形为全等三角形。
02
全等三角形的性质
03
对应边相等；
04
对应角相等；
05
面积相等；
06
周长相等。
全等三角形与相似三角形联系和区别
联系
全等三角形是相似三角形的特例，即 相似比为1:1的情况；
项。
定理证明
通过构造相似三角形，利用相似 三角形的性质证明。
应用举例
求解直角三角形中的边长、角度 等问题。
《相似三角形》完整版教学课件
易错点及注意事项
易错点
在判定两个三角形是否相似时，容易 忽略对应角和对应边的关系，导致判 断错误。
注意事项
在解答相似三角形问题时，要注意单 位统一和比例关系的正确应用，避免 计算错误。
拓展知识点介绍
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射 影和斜边的比例中项。
、建筑物等的高度。
又如，利用相似三角形的性质， 可以测量河流的宽度或海峡的宽
度等。
求解比例尺问题
比例尺是一种表示实际距离与地图上 距离之间比例关系的工具。
例如，已知比例尺和地图上的距离， 可以计算出实际的距离；反之，已知 实际距离和比例尺，也可以计算出地 图上的距离。
利用相似三角形的性质，可以通过比 例尺求解实际距离或地图上距离。
相似比概念
相似比
相似三角形对应边的比值叫做相似比 。
性质
相似三角形的周长之比等于相似比， 面积之比等于相似比的平方。
应用举例
利用相似三角形测量高度
01
通过构造相似三角形，可以测量出建筑物、山峰等高大物体的
高度。
利用相似三角形证明几何题
02
在几何证明题中，经常需要利用相似三角形的性质来证明线段
或角的相等或比例关系。
对应边与相似比关系
在相似三角形中，对应边的长度之比等于相似比。通过已知 的两边长度，可以计算出相似比，进而求出第三边的长度。
面积比与相似比关系
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方。这是因为在相似三角形中，面积与对应边长度的平方成正 比。
利用面积过开方运算求出它们的相似比。
性质应用举例
相似三角形的性质公开课ppt课件
01
相似三角形的定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则这两个三角形相似。
02
相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比例， 对应角相等，面积比等于相似
比的平方。
03
相似三角形的判定
通过比较两个三角形的对应角 或对应边来判断它们是否相似
。
解题技巧归纳
寻找相似三角形
在复杂的图形中，通过观察和分析，找出可能相似的三角形。
与全等三角形关系
全等三角形是特殊的相似三角形 ，当相似比为1时，两个三角形
全等。
全等三角形的性质在相似三角形 中同样适用，如对应边、对应角 相等，周长、面积等性质也可以
类比到相似三角形中。
在研究相似三角形时，可以利用 全等三角形的性质进行推导和证
明。
02
相似三角形性质探究
对应角相等
相似三角形的对应角相等，即如果两个三角形相似，那 么它们的对应角必定相等。
，能够独立思考并解决问题。
学习态度与习惯
在学习过程中，我始终保持积极 的学习态度和良好的学习习惯， 认真听讲、积极思考、及时复习
。
THANKS
个三角形相似。
相似三角形的对应角相等，对应 边成比例，面积比等于相似比的
平方。
02
性质
判定方法
预备定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所 在的直线，截得的三角形与原三角形相 似。
SSS相似
三边对应成比例，则两个三角形相似。
SAS相似
两边对应成比例且夹角相等，则两个三 角形相似。
AA相似
两角对应相等，则两个三角形相似。
在证明过程中，需要注意证明两个三 角形相似的条件以及对应角的确定。
通过构造相似三角形，可以找到与已 知角相等的另外一个角，从而证明角 度相等关系。
《相似三角形的判定》相似PPT教学课件(第1课时)
AE AC
DE
BC.
∴△ADE∽△ABC .
探究新知
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成 的三角形与原三角形相似.
符号语言： ∵ DE//BC,
“A”型
A
∴△ADE∽△ABC．D
E
“X”型
D
E
O
B （图1） C B
（图2） C
探究新知
【讨论】过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证 明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出现一边的平行 线，那么你应该联想到什么？
BC 3
EF
3
想
若
AB 3 BC 4
，
那么
DE ? EF
3 4
l1
A
B
l2
D
l3
E l4
即 AB DE
BC EF
除此之外，
还有其他对应线
C
段成比例吗？
F l5
探究新知
事实上，当l3
//l4
//
l5时，都可以得到
AB BC
DE EF
，
BC
还可以得到AB
EF DE
AB
，AC
DE DF
BC
，AC
EF DF
人教版 数学 九年级 下册
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定 第1课时
导入新知
1.相似多边形的特征是什么？
A
A1
2.怎样判定两个多边形相似？
3.什么叫相似比？
B
C B1
C1
4.相似多边形中，最简单的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A1，
∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，
AB A1B1
相似三角形ppt教学课件完整版
在摄影测量学中，通过拍摄地面的照片，并利用射影几何的原理进行解析，可以精确地测量 出地面点的三维坐标，为地图制作和地形分析提供重要数据。
计算机视觉中的应用
在计算机视觉领域，射影几何被广泛应用于图像匹配、三维重建、摄像机标定等方面。通过 对图像进行射影变换和处理，可以实现图像的自动识别和场景的三维重建。
典型例题解析
解析
根据全等三角形的定义，两个三 角形如果三边分别相等，则这两 个三角形全等。因此，可以直接
得出△ABC≌△DEF。
2. 例2
已知两个相似三角形ABC和DEF， 其中
AB/DE=BC/EF=CA/FD=2/3， 求∠A和∠D的度数关系。
解析
根据相似三角形的性质，对应角 相等。因此，∠A=∠D。同时， 由于对应边成比例，可以得出两 个三角形的形状相同但大小不同。
对应角相等 面积相等
周长相等
相似与全等关系辨析
相似之处
都有对应边的关系
相似与全等关系辨析
不同之处
全等三角形可以完全重合，而相似三角形 不一定能完全重合
全等要求三边三角完全相等，相似只要求 对应边成比例、对应角相等
相似三角形可以有不同的形状和大小，只 要满足相似条件即可
水利工程中的水流分析
利用相似三角形的原理，可以模拟和分析水流在不同条件下的流速、 流量和水压等参数，为水利工程的设计和施工提供重要依据。
相似三角形与全等三角形关
04
系探讨
全等三角形定义及性质回顾
全等三角形的定义：两个三角形如果 三边及三角分别相等，则称这两个三
角形全等。
全等三角形的性质
对应边相等
相似三角形ppt教学 课件完整版
目录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何证明中的应用 • 相似三角形在解决实际问题中的应
计算机视觉中的应用
在计算机视觉领域，射影几何被广泛应用于图像匹配、三维重建、摄像机标定等方面。通过 对图像进行射影变换和处理，可以实现图像的自动识别和场景的三维重建。
典型例题解析
解析
根据全等三角形的定义，两个三 角形如果三边分别相等，则这两 个三角形全等。因此，可以直接
得出△ABC≌△DEF。
2. 例2
已知两个相似三角形ABC和DEF， 其中
AB/DE=BC/EF=CA/FD=2/3， 求∠A和∠D的度数关系。
解析
根据相似三角形的性质，对应角 相等。因此，∠A=∠D。同时， 由于对应边成比例，可以得出两 个三角形的形状相同但大小不同。
对应角相等 面积相等
周长相等
相似与全等关系辨析
相似之处
都有对应边的关系
相似与全等关系辨析
不同之处
全等三角形可以完全重合，而相似三角形 不一定能完全重合
全等要求三边三角完全相等，相似只要求 对应边成比例、对应角相等
相似三角形可以有不同的形状和大小，只 要满足相似条件即可
水利工程中的水流分析
利用相似三角形的原理，可以模拟和分析水流在不同条件下的流速、 流量和水压等参数，为水利工程的设计和施工提供重要依据。
相似三角形与全等三角形关
04
系探讨
全等三角形定义及性质回顾
全等三角形的定义：两个三角形如果 三边及三角分别相等，则称这两个三
角形全等。
全等三角形的性质
对应边相等
相似三角形ppt教学 课件完整版
目录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何证明中的应用 • 相似三角形在解决实际问题中的应
相似三角形的性质一课件
角边相似
如果一个三角形的两个角与另一个三 角形的一对对应角相等，并且这两个 角的夹边成比例，则这两个三角形相 似。
如果两个三角形的三组对应边成比例 ，则这两个三角形相似。
性质与定理
对应角相等
相似三角形对应角相等，即 $angle A_1 = angle A_2, angle B_1 = angle B_2, angle C_1 = angle C_2$。
对应边成比例
如果两个三角形相似，则它们的对应边长之间存在一定的比例关系。
这个比例称为相似比，是判定两个三角形是否相似的重要依据。
对应边之间的比例关系可以用数学公式表示，即 a/b = c/d = ... = k，其中 a, b, c, d, ... 是对应边的长度，k 是相似比。
面积比等于相似比的平方
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
相似三角形的性质一ppt课
件
• 相似三角形的定义 • 相似三角形的性质 • 相似三角形的应用 • 相似三角形的判定定理 • 相似三角形的性质定理 • 相似三角形的综合应用
目录
CONTENTS
01
相似三角形的定义
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
应用。
在数学竞赛中的应用
相似三角形是数学竞赛中常见的知识点之一，对于提高学生的数学竞赛 成绩有着重要的作用。
在数学竞赛中，相似三角形常常与其它知识点结合，形成综合性题目， 考察学生的数学综合素质。
掌握相似三角形的性质和判定方法，对于解决数学竞赛中的难题和压轴 题至关重要。
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04
相似三角形的判定定理
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
人教版《相似三角形的性质》PPT优秀教学课件1
导引：两个相似三角形的最短边就是一组对应边， 由此可确定相似比，进而根据已知条件，解 以一个三角形周长为未知数的方程即可．
解：设△ABC∽△A1B1C1，且△ABC中的最短边
AC＝9 cm，△A1B1C1中的最短边A1C1＝6 cm.
则 AC 9 3 ,
A1C 1 6 2
∴△ABC和△A1B1C1的相似比为
2 易错小结
如图，在△ABC中，DE与BC平行，S△ADE∶S梯形BCED＝ 1∶4，求AD∶DB.
解：因为S△ADE∶S梯形BCED＝1∶4，所以S△ADE∶S△ABC＝1∶5.
因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.
所以 A D 1 . AB 5
所以 AD＝
1
＝
51 .
DB 51 4
易错点：忽略相似三角形性质的适用条件. 跳出误区：此题易错计算为AD∶DB＝1∶2，要求 AD∶DB，关键是求S△ADE∶S△ABC，根据三角形的面 积比得出线段的比，从而得出AD与DB的比．
4 【中考·绥化】如图，在▱ABCD中，AC，BD相交
于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于
点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①
AF 1; FD 2
②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD.
其中一定正确的是( D )
A．①②③④
B．①④ C．②③④
Hale Waihona Puke D．①②③5 【中考·菏泽】如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三 角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝ A′C′＝3，若∠B＋ ∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为( A ) A．25：9 B．5：3 C. 5 ： 3 D．5 5 ：3 3
解：设△ABC∽△A1B1C1，且△ABC中的最短边
AC＝9 cm，△A1B1C1中的最短边A1C1＝6 cm.
则 AC 9 3 ,
A1C 1 6 2
∴△ABC和△A1B1C1的相似比为
2 易错小结
如图，在△ABC中，DE与BC平行，S△ADE∶S梯形BCED＝ 1∶4，求AD∶DB.
解：因为S△ADE∶S梯形BCED＝1∶4，所以S△ADE∶S△ABC＝1∶5.
因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.
所以 A D 1 . AB 5
所以 AD＝
1
＝
51 .
DB 51 4
易错点：忽略相似三角形性质的适用条件. 跳出误区：此题易错计算为AD∶DB＝1∶2，要求 AD∶DB，关键是求S△ADE∶S△ABC，根据三角形的面 积比得出线段的比，从而得出AD与DB的比．
4 【中考·绥化】如图，在▱ABCD中，AC，BD相交
于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于
点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①
AF 1; FD 2
②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD.
其中一定正确的是( D )
A．①②③④
B．①④ C．②③④
Hale Waihona Puke D．①②③5 【中考·菏泽】如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三 角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝ A′C′＝3，若∠B＋ ∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为( A ) A．25：9 B．5：3 C. 5 ： 3 D．5 5 ：3 3
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三、研读课文
1、如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1. 则AD的长为 ( D ) （A） （ B）2 9 （C）3 （D）
4
9 4
练 一 练
2、如图,△ABC中,DE∥BC， 若 AD 1 ,DE=2,则BC= 6 .
AB 3
四、归纳小结
△ABC∽△A′B′C′ ， 1、△ABC与△A′B′C′相似，记作_______________ △ABC与△A′B′C′相似比是k，△A′B′C′与△ABC的相 1 似比是_____. k 2、三条平行线 ______截两条直线，所得的对应 ____线段的比相等 ____.
AB DE BC EF
知 识 点 二
三、研读课文
知 识 点 一
平行线分线段 成比例定理
(2) l3∥l 4 ∥l5 ，AB︰AC=DE︰（ AF ）， BC︰AC=（ EF ）︰DF．
(3)平行线分线段成比例定理：三条平行线 ______
对应 线段的比_____. 相等 截两条直线，所得的_____
在相似多边形中，最简单的就是 相似三角形．
．
知 识 点 一
在△ABC与△A′B′C′中，如果 ∠A=∠A′, ∠B=∠B′,∠C=∠C′,
AB BC AC 且 / / / / / / K AB BC AC
三、研读课文
相似三角形的定义
知 相似 ， 识 我们就说△ABC与△A′B′C′______ ____________ 点 记作△ ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′ 一 相似比是k，△A′B′C′与△ABC的相似比
AB BC CA ; 解：(1) DC CA AD (2)∠BAC=∠CDA,∠B=∠DCA,∠ACB=∠DAC;
AB BC AC (3)∵ DC CA DA ,又AB=10,BC=12,CA=6
BC CA 12 6 ,即 , AD 3; CA AD 6 AD
AB BC 10 12 ,即 ，DC 5. DC CA DC 6
对应 3、平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边 相等 的直线截其他两边（或两边延长线） ,所得的_______线 段的比______.
4、学习反思：________________________________ _____________________________________.
五、强化训练
第二十七章
27.2
相似
相似三角形
相似三角形的判定（2）
一、新课引入
1、两个三角形全等有哪些判定方法？
2、我们学过哪些判定三角形相似的方 法？（1）定义；（2）对应角相等，对应边的
比相等
SSS、SAS、ASA、AAS
3、全等三角形与相似三角形有怎样的关 系？全等三角形一定是相似三角形，相似三角
形不一定是全等三角形。
第二十七章
相似
27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定
一、新课引入
相似多边形的主要特征是什么？ 解：相似多边形的对应角相等， 对应边相等.
二、学习目标
了解相似比的定义，理解掌握平行线分线段
成比例定理.
三、研读课文
认真阅读课本第40至41页的内容， 完成练习并体验知识点的形成过程.
三、研读课文
五、强化训练
3、已知：梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，AE=FC， 3 1 EB 6 ， DF 5 ，求：AE的长. 4 3 解：∵AD∥BC，EF∥BC
AE DF∥EF∥BC
AE DF EB AE 3 1 2 AE EB DF 6 5 36 4 3 ∴AE=6.
1、如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线 上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三 角形（ C ） A、1对 C、3对 B、2对 D、4对
五、强化训练
2、如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA． （1）写出对应边的比例式； （2）写出所有相等的角； （3）若AB=10,BC=12,CA=6． 求AD、DC的长．
1 k 是____.
三、研读课文
反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有 ∠B′ ∠C=____, ∠C′ ∠A′ ∠A=_____, ∠B=_____,
AB BC AC 且 / / / / / / K . AB BC AC
知 识 点 一
问题 如果k=1，这两个三角形有怎 全等 样的关系？_______.
三、研读课文
（1）如果把图27.2-1中 l1 ,l 2两条直线相交， 交点A刚落到 l 3 上，如图27.2-2（1），所得的 对应线段的比会相等吗？依据是什么？
答：所得的对应线段的比会相等.
依据是：平行线分线段成比例定理.
练 一 练
三、研读课文
（2）如果把图27.2-1中l1,l 2 两条直线相 交，交点A刚落到 l 4 上，如图27.2-2（2），
二、学习目标
会运用“三组对应边的比相等的两 个三角形相似”判定两个三角形相 似.
练 一 练
所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
答：所得的对应线段的比会相等.
依据是：平行线分线段成比例定理.
三、研读课文
平行线分线段成比例定理推论
知 识 点 二
（3）平行于三角形一边的直线截 其他两边（或两边延长线），所得 对应 线段的比______. 相等 的_______ 注：用这个结论可以证明三角形中 相等 的对应线段的比______
三、研读课文
如图，△ABC∽△AED，其中 ∠ADE=∠B，找出对应角并写出 对应边的比例式．
解：对应角为： ∠AED=∠C,∠A=∠A; 对应边的比例式为： AD AE DE AB AC BC
D
练 一 练
A
E
B
C
三、研读课文
探 究
如图27· 2-1， （1）任意画两条直线 l1 , l 2 ,再画三条与 l1 , l 2 相交的平 行线l3 , l 4 , l5 .分别量度 l3 , l 4 , l5 .在 l1上截得的两条线段 AB, BC和在 l 2 上截得的两条线段DE, EF的长度, AB ︰BC 与DE︰EF相等吗?任意平移 l 5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗?