数理统计课后答案-第三章

d ln L = dθ
n θ
+
n
ln xi
i =1
=0
，得到极大似然估计
θˆ = − n = −1 = −1 。
n
∑ ln X i
i =1
∑ 1 n
n i=1 ln X i
ln X
1
3.3 设总体 ξ 服从 Poisson 分布，概率分布为
P{ξ = k} = λk e−λ , k = 0, 1, 2,L ， k!
Xi =
X
。
3.7 已知总体 ξ 服从 Maxwell 分布，概率密度为
⎧
ϕ
(
x)
=
⎪ ⎨
4x2 a3 π
− x2
e a2
⎪⎩
0
x>0 x≤0
其中， a > 0 是未知参数， ( X1, X 2 ,L, X n ) 是 ξ 的样本，求 a 的极大似然估计。
解 似然函数
∏ ∏ L =
n
ϕ(xi )
i =1
∏ ∏ ∏ L =
n
ϕ(xi )
=
⎪⎧ ⎨
n i =1
θ
xiθ −1 = θ n
n i =1
xiθ −1
i =1
⎪⎩
0
0 < xi < 1 ( i = 1,2,L, n) 其他
n
∑ 当 L ≠ 0 时，对 L 取对数，得到 ln L = n lnθ + (θ −1) ln xi 。 i =1
∑ 解方程
⎧aˆ = X − ⎩⎨bˆ = X +
3S 3S
。
(2) 似然函数
3
∏ ∏ L =
n
ϕ(xi )
=
⎪⎧ ⎨
n i =1
b
1 −
a
i =1
⎪⎩ 0
a ≤ xi ≤ b ，i = 1,2,L, n 其他
=
⎪⎧ ⎨
(b
1 − a)n
⎪⎩ 0
a
≤
min i
xi
≤
max i
xi
≤
b
。
其他
L
=
1 (b − a)n
Xi
−1, min i
Xi
+ 1]
。
3.10 设总体 ξ 的概率分布为
ξ
0
1
2
P{ξ = k}
1 − 3θ
θ
2θ
其中，θ （ 0 < θ < 1 ） 是未知参数，利用总体 ξ 的如下样本观测值 3
1，0，1，2，1，
求θ 的矩法估计值和极大似然估计值。
2
解 （1） Eξ = ∑ kP{ξ = k} = 0 × (1 − 3θ ) + 1×θ + 2 × 2θ = 5θ ， k =0
参数， ( X1, X 2 ,L, X n ) 是 ξ 的样本。（1）求 θ 的矩法估计 θˆ 。问：这个矩法估计
θˆ 是不是 θ 的无偏估计？（2）求 θ 的极大似然估计 θˆL 。
解 （1）
∫ ∫ Eξ = +∞ xϕ(x)dx = θ 4x4 dx = 4x5 θ = 4θ 。
-∞
0 θ4
5θ 4
要达到最大，
a
要尽可能大，但它不能大于
min i
xi
，
b
要尽可能小，但它不
能小于
max i
xi
，所以极大似然估计为
⎪⎧aˆ ⎪⎩⎨bˆ
= =
min i
max i
X X
i i
。
3.6
已知总体 ξ
服从 Laplace 分布，概率密度为 ϕ(x) =
1
x −
eσ
,其中，σ > 0 是未
2σ
知参数， ( X1, X 2 ,L, X n ) 是 ξ 的样本，求 σ 的极大似然估计。
3
X 2)
=
X
2
(1) (2)
,
(2) − (1)2 ：
∑ (aˆ − bˆ)2 12
= aˆ 2 + aˆbˆ + bˆ2 3
− ( aˆ
+ bˆ )2 2
=
X
2
−
X
2
=
1 n
n i =1
X
2 i
−
X
2
=
S2
，
两边开方：
aˆ − bˆ = ± S 2 = ±S ，即 aˆ − bˆ = ± 3 S (3) ，
xi
+1
。
其他
可以看出，当且仅当
μ
∈ [max i
xi
−1, min i
xi
+ 1]
时，似然函数 L 取到最大值 1 ， 2n
其他情况下 L = 0 。所以，根据极大似然估计的定义，区间
[max i
Xi
−1, min i
Xi
+ 1]
中
的任何一个值都是 μ 的极大似然估计，也就是有
μˆ
∈ [max i
θ 4n
⎪⎩
0
0
≤
min i
xi
≤
max i
xi
≤θ
，
其他
n
∑ 当 L ≠ 0 时，对 L 取对数，得到 ln L = n ln 4 + 3 ln xi − 4n lnθ 。 i =1
X
。
3.4 设总体 ξ 服从几何分布，概率分布为
P{ξ = k} = (1 − p)k−1 p ， k = 1, 2,L ，
其中，0 < p < 1 是未知参数， ( X1, X 2 ,L, X n ) 是 ξ 的样本，求 p 的极大似然估计。
解 似然函数
n
∏ ∏ L =
n
P{ξ = xi } =
n
μˆ = ln X
和
∧
σ2
=1 n
n
(ln X i
i =1
− ln X )2
。
3.9 设总体 ξ 服从 [μ − 1, μ + 1] 上的均匀分布，概率密度为
ϕ
(
x)
=
⎧1 2
⎨ ⎩
0
μ −1≤ x ≤ μ +1 其他
其中， μ 是未知参数， ( X1, X 2 ,L, X n ) 是 ξ 的样本，求 μ 的极大似然估计。
解方程 d ln L = − 3 + 4 = − 3θ + 4 −12θ = 4 −15θ = 0 得到 θ 的极大似然估
dθ
1 − 3θ θ
(1 − 3θ )θ
(1 − 3θ )θ
计值 θˆ = 4 。 15
3.11
已知总体 ξ 的概率密度为
ϕ(x)
=
⎪⎧ ⎨
4x3 θ4
⎪⎩ 0
0 ≤ x ≤ θ ，其中，θ > 0 是未知 其他
∑n Xi
X
。
i =1
2
3.5 设总体 ξ 服从 [a, b] 上的均匀分布，概率密度为
ϕ
(x)
=
⎧1 ⎨ ⎩
(b − 0
a)
a≤ x≤b 其他
其中， a < b 是未知参数， ( X1, X 2 ,L, X n ) 是 ξ 的样本，求：
（1） a, b 的矩法估计； （2） a, b 的极大似然估计。
−∞
0
0
= θ (θ
+
1)⎜⎜⎝⎛
xθ +1 θ +1
−
xθ + θ+
2
2
⎟⎟⎠⎞
1 0
= θ (θ
+ 1)
(θ
1 + 1)(θ
+
2)
=
θ
θ +
2
。
解方程
θˆ θˆ +
2
=
Λ
Eξ
=
X
, 得到矩法估计
θˆ = 2X 1− X
。
3.2
设ξ
的概率密度为
ϕ (x)
=
⎧θ ⎨
xθ −1
⎩0
0 < x < 1 ，其中，θ > 0 是未知参数， 其他
其中， λ > 0 是未知参数， ( X1, X 2 ,L, X n ) 是 ξ 的样本，求：
（1） λ 的矩法估计； （2） λ 的极大似然估计。
解
(1)
因为
ξ ～ P(λ) （Poisson 分布）， Eξ = λ ,
所以矩法估计为
λˆ
=
∧
Eξ
=X
。
（2）似然函数
n
Hale Waihona Puke ∏ ∏ ∏ L =n
P{ξ = xi } =
解 （1）
∫ ∫ Eξ =
+∞
xϕ ( x)dx
=
b
x
1
dx = a + b ，
−∞
a b−a
2
∫ ∫ E(ξ 2 ) = +∞x2ϕ(x)dx = b x 2 1 dx = a 2 + ab + b2 。
−∞
a b−a
3
解方程
⎧
⎪⎪
⎨ ⎪
aˆ
2
⎪⎩
+
aˆ
+
bˆ
=
∧
Eξ
=
2
aˆbˆ + bˆ2
=
∧
E(ξ
n
L = n ln 4 + 2 ln xi