最新常微分
常微分方程与偏微分方程概论
f (x)
其中，a0,…,an均为常数。 先考虑齐次情形
n
am
m0
dmy dx m
0
n
令 y = elx 代入得
aml m 0
m0
解这个方程得
l = l1,…,ln
若 li≠lj , i ≠ j
方程通解为
n
y
cmelm x
m 1
若某个lj是 h 重根，则对应还有如下的h个解
h 1
y el j x
n1
bmm0ຫໍສະໝຸດ d mu dxmelx
f
(x)
G(x)
这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过 有限次降阶、积分，可得非齐次方程的一个 特解
y = y0(x)
则，原方程通解为
n
y y0 (x)
cmelm x
m 1
1.2 偏微分方程的导出与定解
1.2.1 偏微分方程的概念
未知函数含有多个自变量，方程中出现多元函 数对不同自变量的各阶偏导数，这样的微分方 程称为偏微分方程（数学物理方程）。
求解方程，可引入极坐标变换，令
u = 1∕r
则得到下面的二阶常系数线性微分方程：
d 2u
d 2
u
GM
m K
2
1 r
u
u0
cos
0
G
M
m K
u0 , 0是由初始条件确定的2个常数。
1.1.2 一些典型的常微分方程
一、可分离变量的方程 具有如下形式：
dy f ( x) g ( y)可转化为 dx
u(0, x, y, z) u0 (x, y, z)
u t
(0,
x,
y,
高数微分方程公式大全
高数微分方程公式大全微分方程是数学中的重要概念，包含了许多公式和方法。
下面我将从不同角度介绍一些常见的高等数学微分方程公式。
1. 一阶微分方程：可分离变量方程公式，dy/dx = f(x)g(y)，可通过分离变量并积分求解。
齐次方程公式，dy/dx = f(x)/g(y)，可通过变量代换或分离变量求解。
线性方程公式，dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过积分因子法或常数变易法求解。
2. 二阶微分方程：齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，可通过特征方程法求解。
非齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
欧拉方程公式，x²d²y/dx² + pxdy/dx + qy = 0，可通过变量代换或特征方程法求解。
3. 高阶微分方程：常系数线性齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = 0，可通过特征方程法求解。
常系数线性非齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
常系数二阶齐次方程公式，d²y/dx² + py' + qy = 0，可通过特征方程法求解。
4. 常见的变换和公式：指数函数变换，对于形如y = e^(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
对数函数变换，对于形如y = ln(x)的方程，可通过变量代换进行求解。
三角函数变换，对于形如y = sin(kx)或y = cos(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
常用公式，如指数函数的导数公式、对数函数的导数公式、三角函数的导数公式等。
常微分方程常见形式及解法
常微分方程常见形式及解法1. 可分离变量形式：dy/dx=f(x)g(y)，可以通过分离变量的方法将变量分开，然后积分求解。
具体步骤如下：1）将方程改写为g(y)dy=f(x)dx；2）同时对两边积分，即∫g(y)dy=∫f(x)dx；3）求积分，得到方程的通解；4）如果已知初始条件，将初始条件代入通解中，求解常数，得到特解。
2. 齐次方程形式：dy/dx=f(y/x)，可以通过变量代换的方法将方程转化为可分离变量的形式，然后采用可分离变量的方法求解。
具体步骤如下：1）将方程中的变量代换为u=y/x，即令y=ux；2）将方程转化为关于u和x的方程，即dy/dx=u+xdu/dx；3）将转化后的方程改写为u+xdu/dx=f(u)，得到可分离变量的形式；4）采用可分离变量的方法求解，得到方程的通解；5）根据已知初始条件求解常数，得到特解。
3. 线性一阶方程形式：dy/dx+p(x)y=q(x)，可以采用积分因子法求解，具体步骤如下：1）将方程改写为dy/dx+p(x)y=q(x)；2）确定积分因子μ(x)，计算公式为μ(x)=exp(∫p(x)dx)；3）将方程乘以积分因子μ(x)得到μ(x)dy/dx+μ(x)p(x)y=μ(x)q(x)，左边可化为d(μ(x)y)/dx；4）对方程进行积分，得到（μ(x)y=∫μ(x)q(x)dx；5）根据已知初始条件求解常数，得到特解。
1. 齐次线性方程形式：d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=0，可以通过特征方程的解法求解，具体步骤如下：1）将方程改写为特征方程m²+pm+q=0；2）根据特征方程的不同情况（实根、复根、重根），求解特征方程得到特征根；3）根据特征根的不同情况，构造方程的通解。
2. 非齐次线性方程形式：d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=f(x)，可以采用常数变易法求解，具体步骤如下：1）先求齐次线性方程的通解；2）根据题目给出的非齐次项f(x)，选取常数变易法的形式y=c(x)y1(x)，其中y1(x)为齐次方程的一个解；3）将常数变易法的形式代入原方程，消去常数项，得到关于c(x)的方程；4）求解c(x)的方程，得到特解；5）齐次方程的通解加上特解，得到非齐次方程的通解。
最新常微分方程和差分方程
常微分方程和差分方程第十章常微分方程和差分方程在实际问题中，我们研究的对象――变量往往是以函数关系的形式建立了变量间的客观联系，但却很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，反而更容易建立这些变量、它们的导数或微分之间的关系，即得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，我们称此方程为微分方程.通过求解这样的微分方程，我们同样可以建立所研究的变量之间的函数关系，这样的过程称为解微分方程.现实世界中的许许多多问题都可以在一定的条件下抽象为微分方程，例如人口的增长问题、经济的增长问题等等都可归结为微分方程的问题；这时的微分方程习惯上称为所研究问题的数学模型，如人口模型、经济增长模型等.因此微分方程是数学联系实际并应用于实际的重要途径和桥梁，是数学及其他学科进行科学研究的强有力的研究工具. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系.我们在这一章主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的一阶、二阶微分方程的求解方法，线性微分方程的解的理论及求解方法.但是在经济管理和许多的实际问题中已知的数据大多数是按等时间间隔周期统计的，因而相关变量的取值是离散变化的.如何仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢56仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56寻求它们之间的关系及变化规律呢？差分方程是研究这样的离散型数学问题的有力工具，本章在最后介绍差分方程的一些基本概念及常用的求解方法.§10.1 微分方程的基本概念先看一个例子.例1设有某种新产品要推向市场，t 时刻的销量为)(t x ，由于产品性能良好，每个产品都是一个宣传品，因而t 时刻产品的销售的增长率dtdx 与)(t x 成正比；同时考虑到市场的容量是有限的，假设市场的容量为N ，统计数据表明dt dx 与尚未购买产品的潜在顾客的数量)(t x N -也成正比；则可建立如下的微分方程：)(x N kx dtdx -=， 其中k 为比例系数.可以求出该微分方程的解为kNt CeN t x -+=1)(，其中C 为积分常数.10.1.1 微分方程的概念含有自变量、自变量的未知函数及未知函数的（若干阶）导数或微分的方程称为微分方程.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56如果未知函数是一元的，通常称此方程为常微分方程；如果未知函数是多元的，通常称此方程为偏微分方程.本书中只讨论常微分方程.10.1.2 微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶的阶数称为微分方程的阶.例如：104+='x y ，654-=+x ydx xdy 是一阶的微分方程；6)(55+'+='''y x y 是三阶微分方程.微分方程中未知函数的导数或微分的最高阶数是一阶，称此方程为一阶微分方程，记为0),,(='y y x F 或),(y x f y ='；微分方程中未知函数的导数或微分是二阶及以上，称此方程为高阶微分方程.因此一般的n 阶微分方程可表示为0),,,,()(='n y y y x F 或),,,,()1()(-'=n n y y y x f y .10.1.3 微分方程的解若把函数)(x y ϕ=代入微分方程使微分方程恒成立，则称)(x y ϕ=是该微分方程的一个解.例如：x x y 1022+=，51022++=x x y ，C x x y ++=1022（C 是任意常数）都是微分方程104+='x y 的解.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5610.1.4 微分方程的通解、特解把含有与微分方程的阶数相同个数的独立的任意常数(即：它们不能合并而使得任意常数的个数减少)的解称为该微分方程的通解；不含任意常数的微分方程的解称为该微分方程的特解.例如： C x x y ++=1022（C 是任意常数）是微分方程104+='x y 的通解，x C x C y cos sin 21+=是微分方程0=+''y y 的通解；而x x y 1022+=，51022++=x x y ，是微分方程104+='x y 的特解，x x y cos 5sin 3+=是微分方程0=+''y y 的特解.10.1.5 微分方程的通解与特解的关系微分方程的通解通过一定的条件确定其中的每一个任意常数的数值，这时的微分方程的解即为特解；确定每一个任意常数的值的条件称为微分方程的初始条件；微分方程与初始条件合称微分方程的初始问题.例如x C x C y cos sin 21+=是微分方程0=+''y y 的通解；加上条件10-==x y ，10='=x y 可确定11=C ，12-=C 从而得到x x y cos sin -=是微分方程0=+''y y 的特解；其中条件仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5610-==x y ，10='=x y 是微分方程0=+''y y 的初始条件；把 ⎩⎨⎧='-==+''==1,1000x x y y y y 称为微分方程的初值问题.微分方程的解的图形是一条曲线,称为微分方程的积分曲线.通解的图形是一族积分曲线,特解是这一族积分曲线中的某一条积分曲线.初值问题的几何意义就是求微分方程满足初始条件的拿条积分曲线.例2 验证 x e x c x c y 21cos sin 21++= (1) 是微分方程x e y y =+'' (2)的解.解 因为x e x c x c y 21sin cos 21+-=', x e x c x c y 21sin sin 21+--='', 故而x x x e e x c x c e x c x c y y =++++--=+''21cos sin 21sin sin 2121成立.函数(1)及其导数代入微分方程(2)后成为一个恒等式，因此函数(1)是微分方程(2)解.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56例3 已知函数(1)是微分方程(2)通解，求满足初始条件00==x y ，00='=x y 的特解.解 将00==x y ，00='=x y 代入例1的y y ''',的表达式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+-0210cos 0sin 0210sin 0cos 021021e c c e c c ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+02102121c c ， 解得211-=c ，212=c ；故所求特解为x e x x y 21cos 21sin 21++-=.§10.2 一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为0),,(='y y x F (1)如果从(1)中能解出y '，则一阶微分方程可表示为),(y x f y =' (2)一阶微分方程有时也可以写成如下的形式0),(),(=+dy y x Q dx y x P (3)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56 如果一阶微分方程为)(x f dxdy =或dx x f dy )(=；则只需等式两边积分即得 ⎰+=C dx x f y )( 但并非一阶微分方程都可以如此求解的，比如y x dxdy 3=，就不能像上面所述的求法，原因是方程右端含有未知函数，积分dx y x ⎰3求不出来.为了解决这个困难，在方程的两端同乘以ydx ，使方程变为dx x ydy 3= .这样，变量y 与x 被分离在等式的两端，然后两端积分得C x y C dx x y dy +=⇒+=⎰⎰4341ln 如此得到的函数是原来的微分方程的解吗?(读者自己验证). 本节中将介绍几种特殊类型的一阶微分方程及其解法.一、可变量分离的微分方程与分离变量法形如)()(y g x f dxdy = (4) 的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程.求解方法：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56首先分离变量，即把dx x f ),(与dy y g ),(分别移到方程的两端：dx x f y g dy )()(= 再两端分别求积分即可求得微分方程的通解C dx x f y g dy +=⎰⎰)()(，其中C 是任意常数.注意：(1)在移项时0)(≠y g 才可以；如0)(=y g 则不妨设0y y =是0)(=y g 的零点，即0)(0=y g ，代入原方程可知常数函数0y y =显然是方程(4)的一个特解.(2)在上述的通解表示式中，⎰)(y g dy 与⎰dx x f )(表示的是一个原函数，而不是不定积分；两个不定积分中出现的任意常数归并在一起记为C.例1 求微分方程)1(322y x dxdy +=的通解. 解 分离变量可得dx x ydy 2231=+ 两端分别求积分得到通解C dx x y dy +=+⎰⎰2231即C x y +=3arctan仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56 其中C 是任意常数.通解也可写为)tan(3C x y +=，其中C 是任意常数.例2 求微分方程dx xy ydy x ydy xdx 22334+=-的通解. 解 合并同类项得dy x y dx y x )1(3)4(22+=-(1)如果042≠-y ，分离变量得dy yy dx x x 22431-=+ 积分得1224ln 23)1ln(21C y x ++-=+ 其中1C 是任意常数.去对数得方程得通解为322)4(1y C x +=+其中C 是一个正的任意常数(12C e C =).例3 设一曲线经过点)3,2(，它在两坐标轴间的任一切线段被切点所平分，求这一曲线的方程.解 设所求的曲线方程为)(x y y =，则曲线上任一点),(y x 处的切线方程为y xX y Y '=--由已知，当0=Y 时，x X 2=，代入上式即得到所求曲线应满足的微分方程及初始条件⎪⎩⎪⎨⎧=-==32x y x y dxdy 此方程为可分离变量的微分方程，易求得通解为C xy =又因32==x y ，则6=C ，故所求的曲线为6=xy .二、齐次方程如果一阶微分方程),(y x f dxdy= 中的函数),(y x f 可以变为xy 的函数，即微分方程为)(x y g dx dy =的形式，习惯上称这样的微分方程为齐次方程.例如方程0)2()(222=---dy xy x dx y xy就是齐次方程，因为我们可以把此方程化为)(21)(2222xy x yxy xy x y xy dx dy --=--=. 要求出齐次方程的通解，我们可以用变量代换的方法. 设齐次方程为)(xyg dx dy = (5) 假设x yu =，则可以把齐次方程(5)化为可分离变量的微分方程.因为x y u =，则ux y =，dxdy x u dx dy +=代入方程(5)可把原方程变为)(u g dx du x u =+即u u g dxdux-=)( 分离变量得xdxu u g du =-)(等式两端积分得C x dxu u g du +=-⎰⎰)(.记)(u G 为u u g -)(1得一个原函数，再把xyu =代入，则可得方程(5)的通解为C x u G +=ln )(，C 为任意常数.例4 解方程dxdyxy dx dy x y =+22. 解 原方程可变为1)(222-=-=xy x yx xy y dx dy显然是齐次方程.故令xyu =，则 ux y =，dxdy x u dx dy += 于是原方程变为12-=+u u dx du x u即1-=u udx du x再分离变量，得xdxdu u =-)11( 两端积分，得x C u u ln ln =+-即C u ux +=ln ，以xy代换上式中的u 便得到原方程的通解为 C xyy +=ln注记:齐次方程的求解实质是通过变量替换，将方程转化为可分离变量的方程.变量替换法在解微分方程中，有着特殊的作用.但困难之处是如何选择适宜的变量替换.一般来说，变量替换的选择并无一定之规，往往要根据所考虑的微分方程的特点而构造.对于初学者，不妨多试一试，尝试几个直接了当的变量替换.例5 求微分方程222y xy x dxdy++=的通解. 解 令y x u +=,则x u y -=，1-=dxdu dx dy 原方程化为21u dxdu=- 即dx u du=+12 两端积分，得c x u +=arctan把u 用y x +换回，得原方程的通解为)tan(c x y x +=+三、一阶线性微分方程方程)()(x Q y x P dxdy=+ (6) 称为一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y 及其导数是一次方程.如果方程(6)中的0)(≡x Q ，则把此时的方程(6)称为齐次的；如果)(x Q 不恒等于零，则把方程(6)称为非齐次的.设方程(6)是非齐次的微分方程，为求出其通解，首先我们讨论(6)式所对应的齐次方程0)(=+y x P dxdy(7) 的通解问题.显然这是一个可分离变量的方程，分离变量得dx x P ydy)(-= 两端积分，得1C )(ln +-=⎰dx x P y或⎰-⋅=dx x P e y )(C ，(其中1C e C ±=)这是方程(6)对应的齐次线性微分方程(7)的通解.现在我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程(6)的通解.此方法是将方程(7)的通解中的常数c 换成x 的未知函数)(x u ，即作变换⎰-⋅=dx x P e u y )( （8）假设(8)式是非齐次线性方程(6)的解.则如果能求得)(x u 是什么问题也就解决了. 为此两边求导得⎰-⎰--'=dx x P dx x P e x uP e u dxdy)()()( (9) 将(8)式和(9)式代入方程(6)，得)()()()()()(x Q ue x P e x uP e u dx x P dx x P dx x P =+-'⎰-⎰-⎰-即)()(x Q e u dx x P ='⎰-⎰='dx x P e x Q u )()(C dx e x Q u dx x P +=⎰⎰)()(将上式代入(8)式得到非齐次线性微分方程(6)的通解为))(()()(C dx e x Q e y dx x P dxx P +⎰=⎰⎰-(10)注意：公式(10)中的不定积分⎰dx x P )(和dx e x Q dx x P ⎰⎰)()(分别理解为一个原函数.将(10)式写成如下两项之和dx e x Q e e c y dxx P dxx P dx x P ⎰⎰--⎰+⎰=)()()()( 不难发现：第一项是对应的齐次线性方程(7)的通解；第二项是对应的非齐次线性方程(6)的一个特解(在(6)的通解(10)中取0C =即得此特解).由此得到一阶线性非齐次微分方程的通解之结构为对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和.例6 求方程23)1(12+=+-x x y dx dy 的通解.解 这是一个非齐次线性微分方程，由公式（10）得))1(()12(23)12(C dx ex ey dxx dx x +⎰+⎰=⎰+-+--))1((22)1(ln 23)1(ln C dx ex ex x +⋅+=+-+⎰))1(()1(212C dx x x +++=⎰-))1(2()1(212C x x +++= 225)1()1(2+++=x C x由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次微分方程，求解它只需套用公式（10）即可，当然也可以用常数变易法进行求解.例7 求微分方程0)(3=-+dy y x ydx的通解（设0>y ）.解 如将上述方程变形为03=--xy y dx dy 则显然不是线性微分方程.如果将方程改写为03=--yx y dy dx 即21y x ydy dx =+ 这是一个把x 当因变量而y 当自变量的形如)()(y Q x y P dydx=+ (11) 的一阶线性微分方程；用公式可直接得到通解为))(()()(C dy e y Q e x dy y P dyy P +⎰=⎰⎰-(12)故本问题的通解为)(121C dy ey ex dy ydyy +⎰=⎰⎰-积分得)41(14C y y x +=. 四、伯努利方程形如n y x Q y x P dxdy)()(=+ (13) 的微分方程称为伯努利方程，其中n 为常数，且1,0≠n .伯努利方程是一类非线性微分方程，但通过适当的变换就可以把它转化为线性的微分方程.在(13)式的两端除以n y ，可得)()(1x Q y x P dx dy y n n=+--或)()()(1111x Q y x P y nn n =+'--- 于是令n y z -=1，就得到关于变量z 的一阶线性微分方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-=-+ 利用线性微分方程的求解公式，再把变量z 换回原变量可得伯努利方程（13）的通解为))()1(()()1()()1(1C dx e x Q n e y dx x P n dxx P n n +-⎰=⎰⎰----.例8 求方程2)ln (y x a xydx dy =+的通解 解 方程两端除以2y ，令1-=y z ，则原方程可变为x a xzdx dz ln -=- 再由线性微分方程的求解公式可得))(ln 2(2x aC x z -=再把变量z 换回原变量，可得原方程的通解为1))(ln 2(2=-x aC yx四、一阶微分方程在经济上的应用的实例例9 （新产品推广模型）设某产品的销售量)(t x 是时间t 的可导函数，如果该产品的销售量对时间的增长速率dtdx与销售量)(t x 及销售量接近于饱和水平的程度)(t x N -之积成正比(N 为饱和水平，比例常数为0>k )，且当0=t 时N x 41=.求： (1) 销售量)(t x ，(2) 销售量)(t x 的增长最快的时刻T . 解 1.由题意可建立如下的微分方程：)(x N kx dtdx-=，(0>k ) 此方程为可分离变量的微分方程，分离变量得kdt x N x dx=-)(两端积分，得Nkt Ce xN x=- 从中解出)(t x ，得1)(+=Nkt NktCe NCe t x由N x 41)0(=得31=C ，故可得 Nkte Nt x -+=31)(2.对求一阶、二阶导数得22)31(3Nkt Nkte ke N dt dx --+= 32322)31()31(3Nkt Nkt Nkt e e e k N dt x d ---+--= 令022=dt x d ，得NkT 3ln =. 当T t <时022>dt x d ；当T t >时022<dt x d .故而当NkT 3ln =时)(t x 增长的速度是最快的.注：习惯上把)(x N kx dtdx -=，(0>k ) 称为Logistic 方程，该方程的解曲线Nkte N t x -=B 1)(＋称为Logistic 曲线.在经济学、生物学等中常遇到这样的变化规律.例10 （人才分配模型）每年的大学毕业生（含硕士、博士研究生）中都要有一定比例的人员充实教师队伍，其余的从事科技管理方面的工作.设t 年时教师人数为)(1t x ，科技管理人员人数为)(2t x ，又设一个教师每年平均培养α个毕业生，又每年退休、死亡或调出人员的比例为)10(<<δδ，每年毕业生中从事教师职业的比率为)10(<<ββ，则根据已知可建立如下的微分方程111x x dtdx δαβ-= (14) 212)1(x x dtdx δβα--= (15)方程(14)是可分离变量的微分方程，易解得其通解为t e C x )(11δαβ-=设m x =)0(1，则m C =1；得(13)的特解为t me x )(1δαβ-=将上式代入(15)式得t me x dtdx )(22)1(δαββαδ--=＋ 这是一个一阶线性微分方程，可求得其通解为t t me e C x )(221δαβδββ---+= 设n x =)0(2，则m n C ββ--=12；故得(14)的特解为 t t me e m n x )(21)1(δαβδββββ---+--=.若取1＝β，即毕业生全部充实教师队伍，则当+∞→t 时，+∞→)(1t x 而0)(2→t x ，此时表明教师队伍将迅速增加，但科技管理队伍将不断萎缩，必然会影响经济的发展.若取0→β，即毕业生很少充实教师队伍，则当+∞→t 时，0)(1→t x 且0)(2→t x ，此表明若不保证适当的比例的毕业生充实教师队伍，必将影响人才的培养，最终会导致两支队伍全面的萎缩.因此选择好比例β十分重要.§10.3 可降阶的二阶微分方程对于二阶微分方程),,(y y x f y '=''在某些情况下可通过适当的变量代换，把二阶的微分方程转化为一阶的微分方程，习惯上把具有这样性质的微分方程称为可降阶的微分方程.其相对应的求解方法自然地称为降阶法.下面介绍三种容易用降阶法求解的二阶微分方程.一、)(x f y =''型的微分方程微分方程)(x f y ='' (1)的右端仅含有自变量x ，求解时只需把方程(1)理解为)(x f y =''）（，对此式两端积分，得 1)(C dx x f y +='⎰同理，对上式两端再积分，得21))((C x C dx dx x f y ++=⎰⎰此方法显然可推广到n 阶.例1 求微分方程4sin +=''x x y的通解.解 对给定的方程两端连续积分两次，得14sin cos C x x x x y +++-='2122cos sin )1(C x C x x x x y +++-+-=例2 求微分方程x e y x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解.解 对给定的两端积分两次，得12sin 21C x e y x +-='由初始条件1)0(='y ，得211-=C .2221cos 41C x x e y x +-+=由初始条件0)0(=y ，得452-=C .故原方程满足初始条件的特解为4521cos 412--+=x x e y x二、),(y x f y '=''型的微分方程方程),(y x f y '='' (2)的典型特点是不显含未知函数y ，求解方法：作变量代换)(x P y ='，则)(x p y '=''，原方程可化为以)(x P 为未知函数的一阶微分方程),(p x f p ='设此方程的通解为),()(1C x x p ϕ=，得),(1C x y ϕ='再方程两端积分，得⎰+=21),(C dx C x y ϕ.例3 求微分方程02)1(2='-''+y x y x的通解.解 显然该方程不显含有未知函数y ，故令)(x P y ='，则)(x p y '=''，于是原方程化为02)1(2=-+xp dxdp x 即 212xxdx p dp += 两端积分，得12ln )1ln(ln C x p ++=即)1(21x C p +=或)1(21x C y +='两端积分，得原方程的通解为231)3(C x x C y ++=. 例4 求微分方程x xe y xy +'=''1 满足e y y ='=)1(,2)1(的特解.解 显然该方程为),(y x f y '=''型，故令)(x P y ='，则)(x p y '=''，于是原方程化为x xe p xp =-'1 这是一阶线性微分方程，易解得)(1C e x p x +=或)(1C e x y x +='因e y =')1(，得=1C 0，即x xe y ='两端积分，得2)1(C e x y x +-=又因2)1(=y ，可得原方程满足初始条件的特解为2)1(+-=x e x y三、),(y y f y '=''型的微分方程该方程),(y y f y '='' (3)类型的特点在于不显含自变量x ,求解方法：令p y ='，利用复合函数求导法则把y ''转化为因变量y 的函数，即dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 故方程(3)变为),(p y f dy dp p = 此方程为关于p y ,的一阶微分方程.如能求出它的通解不妨设为),(1C y p ϕ=或),(1C y dxdy ϕ= 此方程是一个可分离变量的微分方程，易得原方程的通解为21),(C x C y dy +=⎰ϕ.例5 求微分方程2)(y y y '=''的通解.解 显然该方程为),(y y f y '=''型，故令)(x P y ='，则dydp p y =''，代入原方程得 2p dydp yp =即0)(=-p dydp y p (1) 如果0≠p 且0≠y ，则方程两端约去p 及同除y ，得ydy p dp = 两端积分，得1ln ln ln C y p +=即y C p 1=或y C y 1='再分离变量并积分，可得原方程的通解为x C e C y 12=.(2) 如果0=p 或0=y ，即C y =(C 为任意实数)是原方程的解(又称平凡解)，其实已包括在(1)的通解中(只需取01=C ).§10.4 二阶线性微分方程解的结构在应用问题中较多遇到的一类高阶微分方程是二阶线性微分方程，它的一般形式为)()()(x f y x Q y x P y =+'+'' (1)其中)(),(),(x f x Q x P 为已知的x 的函数.当方程右端函数0)(=x f 时，方程(1)称为二阶齐次线性微分方程，即0)()(=+'+''y x Q y x P y (2)当方程右端函数0)(≠x f 时，方程(1)称为二阶非齐次线性微分方程.本节中主要讨论二阶线性微分方程解的一些性质，这些性质还可以推广到n 阶线性微分方程)()()()(1)1(1)(x f y x P y x P yx P y n n n n =+'+++-- . 定理1 如果)(),(21x y x y 是方程(2)的两个解，则)()(2211x y C x y C y += (3)也是方程(2)的解，其中21,C C 为任意实数.(读者自证)此性质表明齐次线性微分方程的解满足叠加原理，即两个解按(3)式的形式叠加起来仍然是该方程的解；从定理1的结果看，该解包含了两个任意常数1C 和2C ，但是该解不一定是方程(2)的通解.例如二阶线性微分方程0=+''y y ，不难验证x y x y sin 5,sin 21==都是方程0=+''y y 的解，但其)()(2211x y C x y C y +=形式的解x C C y sin )5(21+=，这显然不是方程0=+''y y 的通解(由通解的定义即可知道). 那么满足何条件下的(3)式形式的解才是方程(2)的通解呢？事实上，x y sin 1=是二阶线性微分方程0=+''y y 的解，可以验证x y cos 2=也是方程0=+''y y 的解，那么两个解的叠加x C x C y cos sin 21+=是方程0=+''y y 的通解. 比较一下，容易发现前一组解的比51sin 5sin 21==x x y y ，是常数，而后一组解的比x xx y y tan cos sin 21==，不是常数. 因而在)(),(21x y x y 是方程(2)的两个非零解的前提下，如果21y y 为常数，则)()(2211x y C x y C y +=不是方程(2)的通解(事实上21,y y 是相关联的)；如果21y y 不为常数，则)()(2211x y C x y C y +=是方程(2)的通解(事实上21,y y 是不相关联的).为了解决这个问题，我们引入一个新的概念，即函数的线性相关与线性无关的概念:设)(),(21x y x y 是定义在区间I 内的两个函数，如果存在两个不全为零的常数21,k k ，使得在区间I 内恒有0)()(2211=+x y k x y k成立，则称此两个函数)(),(21x y x y 在区间I 内线性相关，否则称线性无关.显然如果21y y 是常数，则21,y y 线性相关；21y y 不是常数，则21,y y 线性无关.据此我们有以下齐次线性微分方程的解的结构定理：定理2 如果)(),(21x y x y 是方程(2)的两个线性无关的特解，则)()(2211x y C x y C y +=就是方程(2)的通解，其中21,C C 为任意实数.下面我们来讨论二阶非齐次微分方程的解的结构.在一阶线性微分方程的讨论中，我们已知道一阶线性非齐次微分方程的通解之结构为对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和，那么二阶及以上的线性微分方程是否也有这样解的结构呢？回答是肯定的.定理3 如果)(*x y 是方程(1)的一个特解，且)(x Y 是其相应的齐次方程(2)的通解，则)()(*x Y x y y += （4）是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解.证 将(4)式代入方程(1)的左端，得))(())(()(***Y y x Q Y y x P Y y ++'++''+[][]Y x Q Y x P Y y x Q y x P y )()()())(()(***+'+''++'+''= 因为)(*x y 是方程(1)的解， )(x Y 是方程(2)的解，可知上式中的第一个中括号内的表达式恒为)(x f ，第二个中括号内的表达式恒为零,即方程(1)的左端等于)(x f ，与右端恒相等.故(4)式是方程(1)的解.又因为)(x Y 是其相应的齐次方程(2)的通解，由定理2知其包含两个任意常数，因而)()(*x Y x y y +=也包含两个任意常数，从而得知)()(*x Y x y y +=是方程(1)的通解例如，方程x e y y 2=+''是二阶非齐次线性微分方程，其相应的齐次方程0=+''y y 的通解为x C x C Y cos sin 21+=，又容易验证x e y =*是方程x e y y 2=+''的一个特解，因此x e x C x C y ++=cos sin 21是方程x e y y 2=+''的通解.在求解非齐次线性微分方程时，有时会用到下面两个定理.定理4 如果)(),(*2*1x y x y 分别是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+'')()()(2x f y x Q y x P y =+'+'' 的特解，则)()(*2*1x y x y +是方程)()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+''的特解.这一定理的证明较简单，只需将**+=21y y y 代入方程)()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+'' 便可验证。
经济数学基础微积分课件 常微分方程
例2 验证函数 y e x e x 是不是方程
y 2 y y 0的解.
解 求 y e x e x 的导数，得 y e x e x , y e x e x
将y、y及y 代入原方程的左边，有
e x e x 2e x 2e x e x e x 0 即函数 y e x e x 不满足原方程，
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M1(x) N1(x)
d
x
N2(y) M 2( y)
d
y
0
将（9.2.3）式两边积分后，
（9.2.3）
M1(x) N1(x)
d
x
N2(y) M 2( y)
d
y
C
（C为任意常数）
可验证，此结果即用隐式给出的方程（9.2.3）的通解．
约定:
在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一
y e p(x)d x q(x)e p(x)d x d x C
即为所求（9.3.1）的通解．
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例1 求微分方程 dy 2xy 2xe x2 的通解． dx
解 p(x) 2x, q(x) 2xex2
代入公式
y e2xd x 2xex2 e2xd x d x C
常微分方程
9.1 常微分方程的基本概念 9.2 可分离变量的微分方程 9.3 一阶微分方程与可降阶
的高阶微分方程 9.4 二阶常系数微分方程 9.5 常微分方程的应用举例
结束
9.1 常微分方程的基本概念
定义一 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。
常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程 定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶
最新常微分方程第三版1.1
R(0) R0
这里 k0,是由R于 (t)随时间的增加.而减 解之得:
例2 RLC电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源 e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当 开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
电路的基尔霍夫（Kirchhoff）第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零. 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电 流 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 L dI,RI, Q,
二、微分方程的研究内容
1、利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通 解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等积分求通解
的是非常少的，因此，人们转而研究特解的存在性问题。
2、利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在
性、延展性、解对初值的连续性和可微性问题。
3、微分方程解析理论 由于绝大多数微分方程不能通过求积分得到，而理论上又证
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那 一 把 蒲 扇 。蒲扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡 ， 每 逢 进 入夏天 ，集市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一 把 ， 忽 闪 忽闪个 不停， 嘴里叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下 ， 或 站 着 ，或随 即坐在 石头上 ，手持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围 跑 跑 跳 跳 ，热得 满头大 汗，不 时听到 “强子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子 们 才 不 听 这一套 ，跑个 没完， 直到累 气喘吁 吁，这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母 亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇， 是 那 么 凉 快 ，那么 的温馨 幸福， 有母亲 的味道 ！ 蒲 扇 是 中 国传 统工艺 品，在 我 国 已 有 三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树， 制作简 单，方 便携带 ，且蒲 扇的表 面 光 滑 ， 因 而，古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇诸名 ，实即 今 日 的 蒲 扇 ，江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ，人们 最常用 的就是 这种， 似圆非 圆 ， 轻 巧 又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今， 我的记 忆中， 它跨越 了半个 世纪， 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ，携带 着特有 的念想 ，一年 年，一 天天， 流向长
微积分中的微分方程和常微分方程
微积分中的微分方程和常微分方程微积分是数学的一个分支，是数学中最基础的一门课程。
它的主要内容是微积分，微积分中有很多重要的概念和方法，其中最重要的概念之一就是微分方程和常微分方程。
一、微分方程微分方程是微积分中重要的概念之一，它是描述自然现象中变化的规律的数学语言。
它包括基本形式和常见的特殊形式，如：$$\frac{dy}{dx}=f(x)$$其中 $y$ 为一个函数，$f(x)$ 为一些已知函数。
这个方程的意义是求出函数 $y$，使得 $y$ 对 $x$ 取导数后等于 $f(x)$。
还有另外一种形式的微分方程，称为二阶线性微分方程：$$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$$其中 $p(x),q(x),r(x)$ 为已知函数，$y$ 为未知函数。
这个方程的意义是求解函数 $y$，使得这个函数对 $x$ 取二阶导数后加上一些已知的函数（称为非齐次项）等于另一个已知的函数（称为齐次项）。
二、常微分方程常微分方程又称为ODE（Ordinary Differential Equation），是微积分的一个分支，其主要研究关于未知函数 $y$ 的微分方程。
常微分方程通常分为两大类：一类是一阶线性常微分方程，如：$$y'+p(x)y=q(x)$$其中 $p(x),q(x)$ 为已知函数，$y$ 是未知函数。
这个方程的意义是求解函数 $y$，使得这个函数对 $x$ 取导数后加上一些已知的函数等于另一个已知的函数。
还有另外一类常微分方程，称为二阶线性常微分方程，如：$$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$$其中 $p(x),q(x),r(x)$ 为已知函数，$y$ 为未知函数。
这个方程的意义是求解函数 $y$，使得这个函数对 $x$ 取二阶导数后加上一些已知的函数等于另一个已知的函数。
三、微分方程在实际问题中的应用微分方程在实际问题中的应用非常广泛，大部分自然科学的问题都可以归结为微分方程。
常系数线性常微分方程
03 线性微分方程组的解法
矩阵表示法
矩阵表示法是一种将线性微分方程组 转换为矩阵形式的方法，通过矩阵运 算来求解微分方程组。
矩阵表示法可以简化计算过程，提高 求解效率，尤其适用于高阶线性微分 方程组。
特征值和特征向量
特征值和特征向量是线性微分方程组解的重要性质，它们描述了微分方程 组的解的特性。
投资回报
在金融领域，常系数线性常微分方程可以用来描述投资回报率随时 间的变化，为投资者提供决策依据。
经济增长模型
通过建立常系数线性常微分方程，可以分析一个国家或地区的经济 增长趋势，预测未来的经济状况。
在生物中的应用
1 2 3
生态模型
常系数线性常微分方程在生态学中广泛应用于描 述种群数量的变化规律，如种群增长、竞争等。
积分因子法
总结词
通过寻找一个积分因子，将微分方程转化为 积分方程，从而求解。
详细描述
积分因子法是一种求解常系数线性常微分方 程的方法。通过寻找一个积分因子，可以将 微分方程转化为积分方程，然后通过求解积 分方程得到原微分方程的解。这种方法在求 解某些特定类型的微分方程时非常有效，例 如通过寻找适当的积分因子可以将一阶线性
热传导问题
在热传导过程中，常系数线性常 微分方程可以用来描述温度随时 间的变化，从而分析热量传递的 规律。
波动方程
在声学和电磁学中，常系数线性 常微分方程可以用来描述波动现 象，如声波和电磁波的传播。
在经济中的应用
供需模型
常系数线性常微分方程可以用来描述市场的供需关系，分析价格 随时间的变化，预测市场趋势。
02
线性微分方程组的解还具有唯 一性和存在性，即对于给定的 初始条件和边界条件，存在唯 一的解。
一阶常微分方程
一阶常微分方程微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
其中，一阶常微分方程是最简单的微分方程形式之一。
本文将介绍一阶常微分方程的定义、解法和应用。
一、定义一阶常微分方程是指未知函数的导数与自变量的函数关系式，通常表示为dy/dx=f(x)，其中dy/dx表示函数y关于自变量x的导数，f(x)表示已知的函数。
二、解法解一阶常微分方程的方法有多种，常用的包括分离变量法、齐次法和一阶线性微分方程解法等。
1. 分离变量法分离变量法是解一阶常微分方程的基本方法之一。
首先将方程分离成形如dy/g(y)=dx/f(x)的形式，然后进行变量分离和积分，得到y的解析解。
2. 齐次法齐次法适用于形如dy/dx=f(y/x)的齐次方程。
通过引入新变量u=y/x，将一阶常微分方程化为一阶可分离变量方程，然后再进行变量分离和积分。
3. 一阶线性微分方程解法一阶线性微分方程是指形如dy/dx+a(x)y=b(x)的方程。
通过利用一阶线性微分方程的特点，可以使用积分因子或者直接应用公式求解。
三、应用一阶常微分方程在自然科学和工程技术领域中有着广泛的应用。
1. 物理学中的应用一阶常微分方程在描述物理过程中的变化规律上起到了重要的作用。
例如，在力学中，牛顿第二定律可以通过一阶常微分方程进行描述；在电路中，RC电路的电压衰减也可以用一阶常微分方程来模拟。
2. 生态学中的应用生态系统中的各种现象和变化过程也可以通过一阶常微分方程进行描述和预测。
例如，物种的数量随时间的变化、种群的增长与环境的关系等，都可以通过一阶常微分方程来建模和分析。
3. 经济学中的应用经济学中的市场供需关系、物价变化等经济现象都可以通过一阶常微分方程进行建模。
通过对这些微分方程的求解，可以预测经济的发展趋势和进行经济政策的研究与决策。
总结一阶常微分方程作为微分方程中的基础概念，具有重要的理论和实际应用价值。
通过对一阶常微分方程的定义、解法和应用进行学习和掌握，可以更好地理解和应用微分方程，进一步推动科学技术的发展和应用。
常微分方程特征值问题的求解器解法-最新年文档
常微分方程特征值问题的求解器解法-最新年文档常微分方程特征值问题的求解器解法历史上,Keller曾提出将特征值问题转化为标准的非线性ODE问题,然后由求解器求解这一等价的非线性间题。
Edwards利用该法作了实际计算,用求解器成功地求解了一个单独ODE的首阶特征值。
这些尝试虽然成功,但一些重要问题仍有待解决,如怎样为等价的非线性问题提供初始解,如何求解各高阶特征对等。
本文提出一套较为成熟的算法,提供了一个以标准的ODE求解器为支撑软件的ODE特征值问题的求解器,使得大批的ODE特征值问题得以方便有效、精确可靠地求解。
在研制过程中,我们力求使所提供的ODE特征值求解器达到如下几项效能标准:(一)精度:算法应保留原ODE求解器对解答的精度控制,使得特征值及特征函数的解答都能达到原求解器所能取得的最佳精度。
(二)可靠:算法应能够一个不丢地求解相当阶数的特征对。
(三)通用:算法应具有通用的形式而不依赖于某一个特定的ODE求解器及其特殊功能。
(四)效率:算法应保持原ODE求解器的计算效率,使得原求解器效率在未来发展中的任何提高都能反过来使算法的效率得到相应的增强。
总之,所提供的ODE特征值求解器应与原ODE求解器有机地结合为一体,保持一致的效能。
因此,我们在算法中引进了一系列有效的计算求解技术。
以下将首先分别叙述各项算法技术,然后总结为一套有效的算法,最后以实际数值算例具体展示该算法的效能。
一、常微分方程特征值的求解器算法在工程分析中,许多特征值问题均可表示为如下的ODE形式:并满足边界条件:;这里为特征值, 为相应的n维特征函数向量,〔L〕、〔M〕、〔Ba〕和〔Bb〕均为线性微分算子矩阵,其中〔L〕具有通常均能满足的自伴正定等性质,因此我们假定式(l)的所有特征值均为实数。
本文(l)形式有:为了利用现有的ODE求解器,我们根据文〔4,5〕.特别是文〔2〕介绍的方法将上述ODE特征值问题转换为标准的非线性ODE问题。
常微分拉普拉斯变换
常微分拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将连续时间信号转换为离散时间信号。
它可以用于分析常微分方程的解决方案，并且在信号处理、控制理论、电子学和其他领域都有广泛的应用。
拉普拉斯变换的基本思想是通过把常微分方程的解转换为一组指数函数的和，来简化对解的计算。
它可以通过对常微分方程进行拉普拉斯变换来将其转化为一个更简单的形式，从而使得求解问题变得更加容易。
例如，考虑下面的常微分方程：
y'' + 4y' + 3y = 0
经过拉普拉斯变换后，该方程可以转化为：
s^2Y(s) + 4sY(s) + 3Y(s) = 0
其中，Y(s) 是拉普拉斯变换后的函数，s 是复数变量。
由于拉普拉斯变换将常微分方程转化为一个线性方程，因此可以使用常见的线性代数方法来求解。
常微分拉普拉斯变换有许多有趣的性质，例如，它可以将常微分方程的解转换为指数函数的和，并且可以使用反拉普拉斯变换将拉普拉斯变换后的函数转换回连续时间信号的解。
在求解常微分方程时，拉普拉斯变换可以与其他数学工具配合使用，例如 Laplace 反演、单位冲激响应和线性系统的传递函数。
这些工具可以帮助我们更好地理解和分析信号的时间和频率特性，并且在工程应用中非常有用。
常微分拉普拉斯变换的应用非常广泛，例如，在信号处理中可以用于分析和设计滤波器，在控制理论中可以用于分析系统的稳定性和动态响应，在电子学中可以用于分析电路的频
率响应。
总之，常微分拉普拉斯变换是一种非常有用的数学工具，可以帮助我们更好地分析和理解连续时间信号的特性，并在许多领域中得到广泛的应用。
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2012常微分2012常微分单选题、填空题和计算题三种类型题目的基本要求：单选题:以本课程的基本概念和定义为主线，结合部分主要内容和重要公式，考察同学们对常微分方程中主要概念和内容的掌握程度。
题目本身难度不高，每个小题有四个备选项，利用逻辑判断或结合简单的运算选择出一个正确的答案。
填空题:通过对某些类型的常微分方程进行某些较为简单的运算或直接构造和给出变量变换，根据题目的要求给出方程的解或解方程的过程中的某些步骤、或化简后的形式、或判断方程的初值问题解的存在唯一性或不唯一性等等。
计算题:给出若干常见的典型的一阶、二阶或三阶常微分方程，或给出二个未知函数的常微分方程方程组，要求利用所学过求解方程（组）的方法，完整地求解方程，或给出方程的通解或方程组的基解矩阵。
2012年下半年常微分方程模拟试题解答（仅供参考）一、单项选择题(每小题2分, 共16分)1. 下列四个微分方程中, 为四阶线性微分方程的有( Ｂ )个.(1) «Skip Record If...»(2) «Skip Record If...»(3) «Skip Record If...»(4) «Skip Record If...»A. 1B. 2C. 3D. 4解答：B. 此题中虽然每个方程都是四阶的微分方程，但是是线性方程的微分方程只有（1）和（4）两项2. 微分方程«Skip Record If...»是( C ).A. n阶常系数非线性常微分方程; C. n阶变系数非齐线性常微分方程;B. n阶变系数非线性常微分方程; D. n阶常系数非齐线性常微分方程.3. 微分方程«Skip Record If...»的一个解是( Ｂ ).A. «Skip Record If...»B. «Skip Record If...»C. «Skip Record If...»D. «Skip Record If...»4. «Skip Record If...»是满足方程«Skip Record If...»和初始条件( )的唯一解.A. «Skip Record If...»B. «Skip Record If...»C. «Skip Record If...»D. «Skip Record If...»解答：B。
根据线性方程解的存在唯一性定理（书上103页定理1），只有B能保证解的存在唯一性。
备选项A和C不能保证解的唯一性，而D的形式与定理的条件所要求的不符合。
5. 方程组«Skip Record If...»满足初始条件«Skip Record If...»的解为( C ).A. «Skip Record If...»B. «Skip Record If...»C. «Skip Record If...»D. «Skip Record If...»6. 已知«Skip Record If...»是某一三阶齐线性方程的解, 则«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的伏朗斯基行列式«Skip Record If...»( ).A. «Skip Record If...»B. 0C. 4D. «Skip Record If...»解答：A。
根据伏朗斯基行列式的定义，直接可以计算如下：«Skip Record If...»«Skip Record If...»，因此A是正确的。
7．用变换A, B, C和D中的哪一个可将5阶方程«Skip Record If...»化为1阶方程？A. «Skip Record If...»B. «Skip Record If...»C. «Skip Record If...»D. «Skip Record If...»解答：A.用代换«Skip Record If...»可将方程化为«Skip Record If...», 这是一个一阶方程. 用备选项D也能将方程降阶，但只能降低一阶，得到一个五阶方程。
8. 设«Skip Record If...»是n阶齐线性方程«Skip Record If...»的解, 其中在某区间中«Skip Record If...»是连续函数. 则( ).A. «Skip Record If...»一定线性相关B. «Skip Record If...»的伏朗斯基行列式可有零点,但不恒为零C. «Skip Record If...»一定线性无关D. «Skip Record If...»的伏朗斯基行列式或恒为零, 或恒不为零.解答：D。
根据n阶齐线性方程的n个解的伏朗斯基行列式的性质，我们知道该行列式或恒为零, 或恒不为零。
因此只有D是正确的。
B与D相矛盾，因此是错误的。
A和C分别对应伏朗斯基行列式恒为零和恒不为零的情形，而题目中并未确切给出，故不能视为正确的答案。
二、填空题(每小题5分, 共20分)9. 欧拉方程«Skip Record If...»的一个基本解组为(«Skip Record If...»).解答：一般的欧拉方程有解形如«Skip Record If...»，设解为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是待定的常数。
则«Skip Record If...»代入方程中，可得«Skip Record If...»应满足的代数方程为«Skip Record If...»，解之可以得到«Skip Record If...»，因此该欧拉方程有两个解分别为«Skip Record If...»。
显然这两个解是线性无关的因为«Skip Record If...»是不相同的实数：«Skip Record If...»因此他们构成该欧拉方程的基本解组。
例如当方程为：«Skip Record If...»，则可以求出«Skip Record If...»因此基本解组为«Skip Record If...».10. 当用比较系数法求方程«Skip Record If...»的一个特解时, 可将这个待定系数的特解设为( «Skip Record If...»).解答：对应齐方程的特征方程为«Skip Record If...»，三个特征根分别为«Skip Record If...».注意到«Skip Record If...»对应着«Skip Record If...», 而«Skip Record If...»又是对应齐方程的一个一重特征根, 因此我们可以设上述非齐方程的特解有形如: «Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是8个待定常数。
11. 对于初值问题«Skip Record If...», 可判定其解在«Skip Record If...»的某邻域内存在且唯一, 理由是( «Skip Record If...»在整个平面上连续并且关于y满足(局部)里普希茨条件).解答：«Skip Record If...»在整个平面上连续并且关于y满足局部里普希茨条件，因为«Skip Record If...»，而«Skip Record If...»在整个二维平面连续．例如«Skip Record If...»；«Skip Record If...»，结果与上述情形是类似的。
12. 利用变换 ( «Skip Record If...») 可将伯努利方程 «Skip Record If...»化为线性方程( «Skip Record If...» ).解答：将方程变形为«Skip Record If...», 即«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，则方程化为«Skip Record If...».三、计算题 (共64分)13. (12分) 求解一阶线性微分方程：«Skip Record If...».解答：先求解对应齐方程：«Skip Record If...»，分离变量可得：«Skip Record If...»，两边积分： «Skip Record If...»，求出积分可以得到（«Skip Record If...»）«Skip Record If...»，整理后得到（C是任意常数）：«Skip Record If...».再用常数变易法来求解原非齐方程的通解：将常数C变易为函数：«Skip Record If...»，求导：«Skip Record If...»．代入到原方程中可以得到：«Skip Record If...»．整理后得到«Skip Record If...»．由此通过积分«Skip Record If...».代入到y的表达式中即得原方程的通解（«Skip Record If...»是任意常数）«Skip Record If...».14. (12分) 求解一阶微分方程: «Skip Record If...».解答：记«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．注意到«Skip Record If...»，因此方程有积分因子«Skip Record If...»，将其乘在原方程两端，将方程分项组合为«Skip Record If...»．或可整理为«Skip Record If...»．即«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»，最后我们就得到原方程的通解（C 是任意常数）«Skip Record If...»．15. (12分) 利用降阶法, 求解二阶方程: «Skip Record If...».解答：这是不显含自变量x 的二阶方程, 因此可以采取教科书上降阶法的第二种方法。