4.1 常微分方程模型
常微分方程模型及差分模型
相关Matlab知识
若该命令找不到解析解，则返回一警告信息，同时 返回一空的sym对象. 这时，用户可以用命令 ode23或ode45求解方程组的数值解. • 例1：解常微分方程： • （注：【程序】『输出结果』） • （1）求 y ay b 的通解； • 【>> s=dsolve('Dy=a*y+b')】 • 『s = -b/a+exp(a*t)*C1』
2010-7-25 Anna 90
常用数值解指令
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ode45：四、五阶Runge-kutta法 ode23：二、三阶Runge-kutta法 [t,y]=ode45(odefun,tspan,y0) 例：解微分方程
y y 2t / y, y 0 1, 0 t 4
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对微分方程的研究方法
dx f t, x , f : I D R Rn Rn dt
•ห้องสมุดไป่ตู้解在很广泛的条件下存在，但能用有限解 析式表达者很少. • 另辟它径： • 1、求数值解（近似解）； • 2、定性方法分析.
2010-7-25 Anna 5
1790-1900年 指 数 增 长 模 型 拟 合 图 形
1820
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0 1750
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82000
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常微分方程模型.ppt
历史背景:
为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史
学家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用X射线检验画布上是否曾经
有过别的画。此外，他们分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有 历经岁月的迹象。科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕 迹，还在几幅画中检验出了20世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证 据，范·梅格伦于1947年10月12日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他 在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于1947年12月30日死去。
历史背景:
然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在埃牟斯的门 徒”是范·梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定 为真迹，并以17万美元的高价被伦布兰特学会买下。专家小组对于怀疑者的 回答是：由于范·梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心 绘制“在埃牟斯的门徒”，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后， 他的志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒”多么容易卖掉以 后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了 。这种解释不能使怀疑者感到 满意，他们要求完全科学地、确定地证明“在埃牟斯的门徒”的确是一个伪 造品。这一问题一直拖了20年，直到1967年，才被卡内基·梅伦（CarnegieMellon）大学的科学家们 基本上解决。
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需 的时间是固定的。
令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：
故 T ln 2
2N0 N0erT
r
模型检预验测
假比如较人历口年数的真人能口保统持计每资3料4.，6年可增发加现一人倍口，增那长么的人实口际数情将况
与 以马几尔何萨级斯数模的型方的式预增报长结。果例基如本，相到符251，0年例，如人，口19达61年2×世10界14人个，
常微分方程模型
yx
y
M0 M
o
α0
x
β
θ
dy (tanα0 )x + y = . 因而得到 y x 满足的微分方程 dx x (tanα0 ) y
三、本讲习题
作业 习题1.1, 1, 2.
莱布尼兹 (Leibniz, Gottfried Wilhelm, 1646-1716)
德国数学家、自然科学家、哲学家。1646 年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于 汉诺威。 他的研究涉及逻辑学、数学、力学、地质学、法学、历史、 语言及神学等多种领域，其目的是寻求一种可以获得知识和创造 发明的普遍方法。在数学中以独立创立微积分学而著称，所发表 之论文从几何学的角度论述微分法则，得到微分学的一系列基本 结果，是较早的微积分文献。1686年他又发表第一篇积分学论 文，可以求出原函数。这两篇文献均早于牛顿首次发表的微积分 结果(1687)，但他开始从事研究的时间要晚近10年，因此数学史 上将他二人并列做为微积分的创立者。莱布尼兹于1694年进一 步补充了积分结果。他创设的数学符号非常优良，对微积分的发 展有极大影响，直到现在仍在使用。
y = g.
例 3 弹簧振子:设质量为 m 的弹簧振子作水平自由
例3 振动,见右图.弹簧的弹性系数为 k ,阻力与速度成正
比,阻尼系数为 .
用 x t 表示振子当前所处的位置,并 假设弹簧松弛时振子所处的位置 为x
0 .那么振子在时刻 t 受到的
dx
′) x ( tkx(t 源自 ox (t )解: 设坐标原点为 M 0. 设曲线 的方程为 y
过点 M x, y 的切线与 x 轴的 夹角 满足 tan θ = dy . dx 按照夹角关系,有 α 0 = θ β
常微分方程——精选推荐
《数学模型》课 常微分方程补充 ( 2008 )( 摘自《常微分方程学习辅导与习题解答》朱思铭编 )一. 常微分方程基本概念 ( 摘自 四.§1.2 )二. 常微分方程线性奇点 ( 摘自 四.§6.1.3 )三. 极限环和平面图貌 ( 摘自 四.§6.1.4 )四*. 常微分方程内容提要五*. 常微分方程应用实例索引一. 常 微 分 方 程 基 本 概 念 ( §1.2 )微分方程 联系自变量、未知函数及其导数的关系式.实值微分方程 自变量、未知函数均为实值的微分方程.复值微分方程 未知函数取复值或自变量、未知函数均取复值的微分方程. 常微分方程 只有一个自变量的微分方程.偏微分方程 有两个或两个以上自变量的微分方程.一阶微分方程 微分方程中未知函数的导数最高为一阶.n 阶微分方程 微分方程中未知函数的导数最高为n 阶，一般形式为n n dy d y F x y 0dx dx ,,,, ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭(38)线性微分方程 n 阶微分方程(38)的左端为,,,n n dy d y y dx dx的一次有理整式称为线性微分方程.n 阶线性微分方程的一般形式为()()()()n n 11n 1n n n 1d y d y dy a x a x a x f x dx dx dx---++++= (39) 其中(),,(),()1n a x a x f x 为x 的函数.非线性微分方程 不是线性微分方程的微分方程.(显式)解 使微分方程(38)变为恒等式的函数()y x =ϕ称为方程的解. 隐式解 如微分方程(38)的解()y x =ϕ由关系式(,)x y 0Φ=决定，称(,)x y 0Φ=为微分方程(38)的隐式解.通解 n 阶微分方程(38)的含有n 个独立的任意常数,,,12n c c c 的解(,,,,)12n y x c c c ϕ=隐式通解(通积分) 由含有n 个独立的任意常数,,,12n c c c 的关系式(,,,,,)12n x y c c c 0Φ= 决定的n 阶微分方程(38)的解.定解条件 为确定微分方程的一个特定的解需附加的条件.定解问题 求微分方程满足定解条件的解的问题.初值条件 n 阶微分方程(38)的初值条件为当0x x =时，()(),,,n 11n 1000n 1dy d y y y y y dx dx---=== 或写为()()()()(),,,n 11n 1000000n 1dy x d y x y x y y y dx dx---=== 初值问题 当定解条件为初值条件时的定解问题.特解 满足定解问题的解.积分曲线 一阶微分方程(,)dy f x y dx= (47) 的解()y x ϕ=在Oxy 平面上表示为一条曲线，称为微分方程(47)的积分曲线.曲线上的点的斜率dy dx值为(,)f x y . 向量场 一阶微分方程(47)的右端函数(,)f x y 定义为在Oxy 平面某区域D 上过各点的小线段(线素)的斜率方向，称域D 为方程(47)所定义的向量场(方向场，线素场).通过向量场可以判断微分方程的解的走向.等倾斜线 向量场中方向相同的曲线(,)f x y k =称为等倾斜线或等斜线. 微分方程组 n 阶微分方程()()(,,',,)n n 1z g t z x z -=可通过变换(),',,n 112n y z y z y z -===化为一阶方程组(,,,),,,,i i 1n dy f t y y i 12n dt ==或写成向量形式(,)=dy f t y dt其中n y D R ∈⊂.驻定微分方程组 微分方程组右端不含自变量t 的方程组()dy f y dt= (50) 动力系统 对n 维空间某区域n D R ⊂的D 到D 的含参数t 的同胚映射(变换) ()t y Φ，如满足恒同性()0y y Φ=和可加性()(())121221t t t t t t y y y ΦΦΦΦΦ+==.则称映射()t y Φ为D 上的动力系统.微分方程所定义的动力系统 由驻定微分方程组过n y D R ∈⊂的解(,)t y ϕ可定义动力系统()(,)t y t y ϕΦ=称为微分方程所定义的动力系统.相空间 不含自变量，仅由未知函数组成的空间.轨线 微分方程的解在相空间中的轨迹，即积分曲线在相空间中的投影.驻定微分方程的解在相空间中的轨线互不相交.奇点(平衡解、驻定解） 驻定微分方程组(50)右端函数()f y 的满足()f y 0=的解y y *=称为方程组的平衡解或驻定解，是方程组在相空间中的奇点.垂直、平行等倾斜线 平面一阶驻定微分方程组(,)(,)dx f x y dt dy g x y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 等价于一阶微分方程(,),((,))(,)dy f x y g x y 0dx g x y =≠ 或 (,),((,))(,)dx g x y f x y 0dy f x y =≠ 在相平面Oxy 上的等倾斜线(,)(,)f x y k g x y =中,k 0=即(,)f x y 0=时的曲线为垂直等倾斜线；k =∞即(,)g x y 0=时的曲线为平行等倾斜线.垂直、平行等倾斜线的交点为奇点.二. 常 微 分 方 程 线 性 奇 点 ( §6.1.3 )平面驻定微分方程组(,)(,)dx X x y dt dy Y x y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (1) 其中,X Y 对,x y 有连续偏导数.方程组(1)的解(),()x x t y y t ==在欧几里得空间Otxy 表示为一曲线，称为积分曲线.,x y 平面Oxy 称为相平面，积分曲线在相平面上的投影称为轨线.满足(,),(,)X x y 0Y x y 0==的常数,x x y y **==为方程组(1)的解，称为驻定解(常数解)，相平面Oxy 上的点(,)x y **称为方程组的奇点.通过线性变换可将方程组(1)的奇点移至Oxy 的原点上，再取其线性项则得方程组(1)的线性近似方程组dx ax by dt dy cx dy dt⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (2) 线性方程组(2)的特征方程为a b 0c d λλ-=- 即,(),2p q 0p a d q ad bc λλ++==-+=- (3)可以通过方程组的系数即特征方程的根表示相平面Oxy 上奇点(原点)附近的轨线图貌，即奇点的类型：(1) q 0≠ (a) q 0< 有两不同符号实根，奇点为鞍点(b1) ,,2q 0p 4q 0p 0>-<> 有两负实根，奇点为稳定结点(b2) ,,2q 0p 4q 0p 0>-<< 有两正实根，奇点为不稳定结点(c1) ,,2q 0p 4q 0p 0>-=> 有一重负实根，奇点为稳定退化或奇结点 (c2) ,,2q 0p 4q 0p 0>-=<有一重正实根，奇点为不稳定退化或奇结点 (d1) ,,2q 0p 4q 0p 0>->>有一对负实部共轭复根，奇点为稳定焦点 (d2) ,,2q 0p 4q 0p 0>-><有一对正实部共轭复根，奇点为不稳定焦点 (e) ,q 0p 0>= 有一对(零实部)共轭虚根，奇点为中心(2) q 0= (a1) p 0> 有单零根和负实根，过奇点有稳定奇线(a2) p 0< 有单零根和正实根，过奇点有不稳定奇线(b) p 0= 有重零根，过奇点有奇线, 奇线上下有不同走向平行轨线(c) a b c d 0==== 奇点充满全平面三. 极 限 环 和 平 面 图 貌 ( §6.1.4 )(1) 极限环 考虑平面驻定微分方程组(,)(,)dx X x y dt dy Y x y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (1) 其中,X Y 在相平面的某区域G 内有一阶连续偏导数.方程组(1)在相平面上孤立的周期解(闭轨线)，且附近的轨线均趋于(离开)该闭轨线时，称此闭轨线为稳定(不稳定)极限环，如附近的轨线一边趋于另一边离开该闭轨线时，则称此闭轨线为半稳定极限环.环域定理 如果G 内存在有界的环形闭域D ，在其内不含方程组(1)的奇点，而(1)的经过D 上的点的解(轨线)(),()x x t y y t ==当0t t ≥(或0t t ≤)时不离开域D .则或者解本身是周期解(闭轨线)，或者解正向(或负向)趋于D 内的某一周期解(闭轨线).如果G内存在单连通区域D*，在其内函数X Yx y∂∂+∂∂不变号且在D*内的任何子域内不恒为零.则方程组(1)在域D*内不存在任何周期解(闭轨线)，更不存在任何极限环.在相平面分析中除奇点和极限环两种特殊轨线外，还有一种从奇点到奇点的轨线，这类轨线称为分界线.如果一条分界线与一个奇点构成一个环，则称为同宿环(轨).如果一条分界线两端是不同奇点，则分界线称为异宿轨.当多条分界线与多个奇点构成一个环时则称此环为异宿环.(2) Lienerd 方程 ()()22d x dx f x g x 0dt dt++= (2) 记()(),()x 0dx F x f x dx y F x dt==+⎰，方程(2)可化为方程组 (),()dx dy y F x g x dt dt=-=- (3) 定理 假设 (a) (),()f x g x 对一切x 连续，()g x 满足局部利普希茨条件； (b) ()f x 为偶函数，(),()f 00g x <为奇函数，当x 0≠时()xg x 0>； (c) 当x →±∞时(),()F x F x →±∞有唯一正零点x a =，且当x a ≥时()F x 单调增加.则方程(2)有唯一周期解，即方程组(3)有一个稳定极限环.(3) 平面图貌 对平面驻定方程组(1)，在相平面上曲线(,),(,)X x y 0Y x y 0==分别表示轨线的垂直等倾斜线和水平等倾斜线.可利用垂直等倾斜线和水平等倾斜线划分出相平面上的不同区域，每一区域内轨线的,x y 方向的右、左及上、下走向是一致的，有(+,+)、(+,-)、(-,+)、(-,-)四种走向，其中括号内第一个+表向上、-表向下,第二个+表向右、-表向左.应用等倾斜线方法可画出方程组(1)的平面轨线图貌.可以用等倾斜线方法分析两种群模型(1)(1)dx rx ax by dt dy sy cx dy dt⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩ (6.53)其中r a 、和s d 、均为正常数. 而00b 、c >>时为竞争系统, 00b ><、c 或00b 、c <>时为被捕食-捕食系统, 00b 、c <<时则为共生系统.(4) 对一般的两种群竞争系统(,)(,)dx M x y x dt dy N x y y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (4) 其中x 与y 的相对增长率M 与N 都是非负变量x y 、的连续函数，有连续一阶偏导数，且一种群增长时另一种群的增长率下降，即00M N y x∂∂<<∂∂、而任一种群过多时两种群都不能增长，故存在常数0K >,当x K ≥或y K ≥时(,)0M x y ≤且(,)0N x y ≤.还设只有一种群时，它将按极限增长，即存在常数00a b ><、使得(,0)0;(,0)0;(0,)0;(0,)0.x a M x x a M x y b N y y b N y <>><<>><当时时当时时在上述条件下，可以通过分析相平面上等倾斜线曲线(,)0M x y =和(,)0N x y =的形状及它们之间的关系. 有定理 两种群竞争一般模型(4)的每一条轨线，当t ∞时都趋于有限个平衡点之一.四. 常 微 分 方 程 内 容 提 要第一章 绪论§1.1.1 常微分方程模型1. RLC 电路 包含电阻R 、电感L 、电容C 及电源的电路称RLC 为电路. 电流I 经过电阻R 、电感L 、电容C 的电压降分别为R I 、dI L dt 和QC， Q 为电量，E 、()e t 为电源电压,dQI dt=.应用基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律(在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零)可列出RLC 为电路的微分方程：dI R E I dt L L+= 221()d I R dI I de t L dt LC L dt dt++= 初始条件为00()I t I =.2. 数学摆 数学摆是系于一根长度为l 的线上而质量为m 的质点M ，在重力的作用下，它在垂直于地面的平面上沿圆周运动. 摆与铅垂线所成的角为ϕ,M 沿圆周的切向速度为v ,d v l dtϕ=.摆的运动方程为22d gsin 0l dtϕϕ+= 微小振动(ϕ较小时，可用ϕ代替sin ϕ)：22d g0l dtϕϕ+= 存在阻力时(阻力系数为μ)：22d d g 0m dt l dtϕμϕϕ++= 有强迫力()F t 时：()22d d g 1F t m dt l ml dtϕμϕϕ++= 摆的初始状态：当0t =时00,d dtϕϕϕω== 0ϕ代表摆的初始位置，0ω代表摆的初始角速度.3. 人口模型 Malthus 模型：基本假设是：在人口自然增长的过程中，净相对增长率(单位时间内人口的净增长数与人口总数()N t 之比)是常数，记此常数为r （生命系数）dNrN dt= Logistic 模型：荷兰生物学家Verhulst 引入常数m N （环境最大容纳量）用来表示自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数，并假设净相对增长率为m N r 1N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即净相对增长率随()N t 的增加而减少，当()m N t N →时，净增长率0→.m dN N r 1N dt N ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 初始条件为0t t =时()0N t N =4. 传染病模型 假设传染病传播其间其地区总人数n 不变.开始时病人数为0x ，在时刻t 的健康人数为()y t , 病人数为()x t ,k 为传染系数. SI 模型：易感染者(Susceptible),已感染者(Infective), 00(),()dxkx n x x x dt =-= SIS 模型：治愈率为μ时,其平均传染期为1μ,接触数为kσμ=,0()()()(),(0)dx t ky t x t x t x x dtμ=-=SIR 模型：病人治愈后不会再被感染，移出者(Removed). 治愈率l ,0000dxkxy lx x x dtdy kxy y y n x dt ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-==-⎪⎩,(),()5. 两生物种群生态模型 甲、乙两种群的数量分别记为,x y . Volterra 模型：分竞争、共生、捕食与被捕食等类型()()dxx a bx cy dtdyy d ex fy dt⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩一般两种群竞争系统：(,)M x y 与(,)N x y 为相对于x 与y 的增长率(,)(,)dxM x y x dtdy N x y y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 6. Lorenz 方程()dxa y x dt dycx y xz dt dzxy bz dt⎧=-⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪=-⎪⎩气象学家Lorenz 由大气对流现象模型简化,10,8/3,28a b c ===为参数. 被称为混沌(chaos)现象第一例.*7. 化学动力学模型 化学反应体系，内部包含三种化学成分,A B 和.,x A B 是反映物，x 为中间产物，,,A B x 分别代表A 类、B 类和x 类的分子数.Schlogt 单分子化学动力学模型：体系的状态仅由单个变量x 来表征323210dxk x k Ax k x k B dt=-+-+ 双分子化学动力学模型：有两个中间变量,1223dxk Ax k xy dtdyk xy k y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩三分子化学动力学模型：开放的体系中进行着一系列化学反应,22(1)dxA B x x y dt dyBx x y dt⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩*8. 力学系统中的常微分方程模型 有完整约束的力学系统，可以通过引进广义坐标12(,,)n ϕϕϕ 解除约束, 用一个拉格朗日函数1(,)i L q q 刻画系统, 归结为拉格朗日方程0i i d L Ldt qq ∂∂-=∂∂ .引进广义速度12(,,)n v v v =ν ,用广义动量Lp q∂=∂ 代表广义速度v ，再通过拉格朗日变换(,)(,)H q p q p L q q =- ,便得到等价于拉格朗日方程的哈密顿正则方程dq H dt pdp H dt q ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=-⎪∂⎩或 dx Hdt y dy H dt x∂⎧=-⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩§1.2 常微分方程基本概念微分方程 联系自变量、未知函数及其导数的关系式. 实值微分方程 自变量、未知函数均为实值的微分方程.复值微分方程 未知函数取复值或自变量、未知函数均取复值的微分方程. 常微分方程 只有一个自变量的微分方程.偏微分方程 有两个或两个以上自变量的微分方程. 一阶微分方程 微分方程中未知函数的导数最高为一阶.n 阶微分方程 微分方程中未知函数的导数最高为n 阶，一般形式为n n dy d y F x y 0dx dx ,,,, ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭(38) 线性微分方程 n 阶微分方程(38)的左端为,,,n n dy d yy dx dx 的一次有理整式称为线性微分方程.n 阶线性微分方程的一般形式为()()()()n n 11n 1n n n 1d y d y dya x a x a x f x dx dx dx---++++= (39)其中(),,(),()1n a x a x f x 为x 的函数.非线性微分方程 不是线性微分方程的微分方程.(显式)解 使微分方程(38)变为恒等式的函数()y x =ϕ称为方程的解. 隐式解 如微分方程(38)的解()y x =ϕ由关系式(,)x y 0Φ=决定，称(,)x y 0Φ=为微分方程(38)的隐式解.通解 n 阶微分方程(38)的含有n 个独立的任意常数,,,12n c c c 的解(,,,,)12n y x c c c ϕ=隐式通解(通积分) 由含有n 个独立的任意常数,,,12n c c c 的关系式(,,,,,)12n x y c c c 0Φ= 决定的n 阶微分方程(38)的解.定解条件 为确定微分方程的一个特定的解需附加的条件. 定解问题 求微分方程满足定解条件的解的问题. 初值条件 n 阶微分方程(38)的初值条件为当0x x =时，()(),,,n 11n 1000n 1dy d y y y y y dx dx---=== 或写为()()()()(),,,n 11n 1000000n 1dy x d y x y x y y y dx dx ---=== 初值问题 当定解条件为初值条件时的定解问题. 特解 满足定解问题的解. 积分曲线 一阶微分方程(,)dyf x y dx= (47) 的解()y x ϕ=在Oxy 平面上表示为一条曲线，称为微分方程(47)的积分曲线.曲线上的点的斜率dydx值为(,)f x y . 向量场 一阶微分方程(47)的右端函数(,)f x y 定义为在Oxy 平面某区域D 上过各点的小线段(线素)的斜率方向，称域D 为方程(47)所定义的向量场(方向场，线素场).通过向量场可以判断微分方程的解的走向.等倾斜线 向量场中方向相同的曲线(,)f x y k =称为等倾斜线或等斜线. 微分方程组 n 阶微分方程()()(,,',,)n n 1z g t z x z -=可通过变换(),',,n 112n y z y z y z -===化为一阶方程组(,,,),,,,ii 1n dy f t y y i 12n dt==或写成向量形式(,)=dyf t y dt其中n y D R ∈⊂.驻定微分方程组 微分方程组右端不含自变量t 的方程组()dyf y dt = (50) 动力系统 对n 维空间某区域n D R ⊂的D 到D 的含参数t 的同胚映射(变换)()t y Φ，如满足恒同性()0y yΦ=和可加性()(())121221t t t t t t y y y ΦΦΦΦΦ+==.则称映射()t y Φ为D 上的动力系统.微分方程所定义的动力系统 由驻定微分方程组过n y D R ∈⊂的解(,)t y ϕ可定义动力系统()(,)t y t y ϕΦ=称为微分方程所定义的动力系统.相空间 不含自变量，仅由未知函数组成的空间.轨线 微分方程的解在相空间中的轨迹，即积分曲线在相空间中的投影.驻定微分方程的解在相空间中的轨线互不相交.奇点(平衡解、驻定解） 驻定微分方程组(50)右端函数()f y 的满足()f y 0=的解y y *=称为方程组的平衡解或驻定解，是方程组在相空间中的奇点.垂直、平行等倾斜线 平面一阶驻定微分方程组(,)(,)dxf x y dtdy g x y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 等价于一阶微分方程(,),((,))(,)dy f x y g x y 0dx g x y =≠ 或 (,),((,))(,)dx g x y f x y 0dy f x y =≠ 在相平面Oxy 上的等倾斜线(,)(,)f x y k g x y =中,k 0=即(,)f x y 0=时的曲线为垂直等倾斜线；k =∞即(,)g x y 0=时的曲线为平行等倾斜线.垂直、平行等倾斜线的交点为奇点.雅可比矩阵 n 个变元,,,12n x x x 的m 个函数(,,,),,,,i i 12n y f x x x i 12m ==的雅可比矩阵定义为(,,,)(,,,)111n 12m 12n m m 1n y y xx D y y y D x x x y y x x ∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥=⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦雅可比行列式 n 个变元的n 个函数的雅可比矩阵对应的行列式. 函数相关、函数无关 设函数(,,,)(,,,)i i 12n y f x x x i 12m == 及其一阶偏导数在某区域n D R ⊂上连续.如果D 内,,,12m f f f 中的一个函数能表成其余函数的函数，则称它们函数相关；如果它们在D 内任何点的邻域均不是函数相关，则称它们函数无关.如果雅可比矩阵在D 内任何点的秩均小于m ，则,,,12m f f f 函数相关；如其秩均等于m ，则,,,12m f f f 函数无关.当n m =时雅可比行列式不等于零为函数无关.第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换 (1) 变量分离方程 ()()dyf xg y dx= 解法：(),()()()dydyf x dx f x dx Cg y g y ==+⎰⎰(2) 齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭解法：变量变换 ,ydy du u x u x dx dx ==+，方程化为变量分离方程()du g u udx x-=(3) 分式线性方程111222a x b y c dy dx a x b y c ++=++ 或 111222a x b y c dy f dx a x b y c ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭解法：(ⅰ) 120c c == 情形： 1122ya b dy y x g y dx x a b x+⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 属齐次方程. (ⅱ)1122a b k a b == 情形：令22u a x b y =+，方程化为221222()()()k a x b y c dy f u dx a x b y c ++==++ 22()dua b f u dx=+ 属变量分离方程. (ⅲ) 一般情形：先解联立代数方程11122200a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩ 得解 x y αβ=⎧⎨=⎩ 再作代换 X x Y y αβ=-⎧⎨=-⎩ ，则将原方程化为齐次方程 dY Y g dX X ⎛⎫= ⎪⎝⎭§2.2 线性方程与常数变易法 (1) 一阶齐线性方程()dyP x y dx= 用变量分离方法得通解 ()P x dx y ce ⎰= (2) 常数变易法 对一阶非齐线性方程 ()()dyP x y Q x dx=+ 假设有形式解()()P x dxy c x e ⎰= 代入方程化简得 ()()()P x dxc x Q x e dx c -⎰=+⎰ 原方程的通解为()()()P x dxP x dx y e Q x e dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ (3) 伯努利方程()()n dyP x y Q x y dx=+ 变量变换 1n z y -= 化为线性方程求解(1)()(1)()dzn P x z n Q x dx=-+-§2.3 恰当方程与积分因子(1) 恰当方程 将一阶微分方程写成对称形式 (,)(,)0M x y dx N x y dy += 如方程右端恰可表为某函数(,)u x y 的全微分：(,)(,)(,)M x y dx N x y dy du x y +≡ 则称方程为恰当方程.恰当方程的通解为 (,)u x y c =.方程为恰当方程的充分必要条件为M Ny x∂∂=∂∂ ，此时有 (,)(,)(,)u M x y dx N x y M x y dx dy y ⎡⎤∂=+-⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰⎰(2) 分项组合全微分方法 将恰当方程的各项分项组合成全微分形式 简单二元函数的全微分： 2(),y d x x d y xy d x x d y d x yd y y ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭2,ln ydx xdyy ydx xdyx d d x xy y x ⎛⎫-+-⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22221,ln2ydx xdy y ydx xdy x yd arctg d x x yx y x y ⎛⎫---⎛⎫== ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭(3) 积分因子 如存在连续可微函数(,)x y μ，使得Mdx Ndy du μμ+=则称(,)x y μ为方程0Mdx Ndy +=的积分因子.同一方程可以有不同的积分因子.μ为积分因子的充分必要条件：()()M N y x μμ∂∂=∂∂即M N N M x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭(4) 单变量积分因子()()x y μμ、 ()x μμ=形式的积分因子的充分必要条件：()M Ny xx Nψ∂∂-∂∂=，此时积分因子为()()x dx x e ψμ⎰=. 同样，()y μμ=形式的积分因子的充分必要条件： ()M Ny xx Mϕ∂∂-∂∂=-，此时积分因子为()()y dyy e ϕμ⎰=.§2.4 一阶隐方程与参数表示一阶隐微分方程形式为 (,,')0F x y y =.(1) (,')y f x y = 令'y p = 对(,')y f x y =取x 微分得f f dp p x p dx∂∂=+∂∂，视为,x p 的一阶微分方程解之，解为(,)p x c ϕ=时原解为(,(,))y f x x c ϕ=；解为(,)x p c ψ=时原解为 (,)((,),)x p c y f p c p ψψ=⎧⎨=⎩. (2) (,')x f y y = 令'y p = 对(,')x f y y =取y 微分得1f f dp p y p dy∂∂=+∂∂，视为,y p 的一阶微分方程解之，解为(,)p y c ϕ=时原解为(,(,))x f y y c ϕ=；解为(,)y p c ψ=时原解为 (,(,))(,)x f y p c y p c ψψ=⎧⎨=⎩. (3) (,')0F x y = 令'y p =，方程化为(,)0F x p =，代表(,)x p 平面上的一条曲线.如有参数解()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，则原方程的通解为 ()()'()x t y t t dt c ϕψϕ=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰. (4) (,')0F y y = 令'y p =，方程化为(,)0F y p =，代表(,)y p 平面上的一条曲线.如有参数解()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，则原方程的通解为 '()()()t x dt c t y t ϕψψ⎧=+⎪⎨⎪=⎩⎰.第三章 一阶微分方程的解的存在定理§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法(1) 微分方程00(,),,dy f x y R x x a y y b dx =-≤-≤： 称(,)f x y 在R 上关于y 满足利普希茨条件，如存在常数0L >满足121222(,)(,),(,)(,)f x y f x y L y y x y x y R -≤-∈、L 称为利普希茨常数.当(,)f x y 在R 上f y∂∂存在且连续，则(,)f x y 在R 上关于y 满足利普希茨条件. 存在唯一性定理1 如(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足利普希茨条件，则方程(,),dy f x y dx=在区间0x x h -≤上存在唯一解00(),()y x x y ϕϕ==，其中 (,)min ,,max (,)x y R b h a M f x y M ∈⎛⎫== ⎪⎝⎭(2) 隐方程 (,,')0F x y y =存在唯一性定理 2 如(,,')F x y y 在'000(,,)x y y 的某邻域中对(,,')x y y 连续且存在连续偏导数，同时''000000(,,)0,(,,)0'F x y y F x y y y ∂=≠∂.则方程(,,')0F x y y =存在唯一解'0000(),(),'()y x x y x y ϕϕϕ===.(3) 逐步迫近法 微分方程(,)dy f x y dx=等价于积分方程00(,)x x y y f x y dx =+⎰ 取00()x y ϕ=，定义001()(,()),1,2,x n n x x y f x x dx n ϕϕ-=+=⎰ 可证明lim ()()n n x x ϕϕ→∞=的()y x ϕ=满足积分方程.通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性.先证积分方程与微分方程等价(命题1)；后用数学归纳法证定义的()n x ϕ存在且连续(命题2)；再证()n x ϕ在区间一致收敛(命题3)；于是()x ϕ是积分方程连续解(命题4)；最后，用反证法证解唯一(命题5).(4) 近似计算 逐步迫近法中第n 次近似解()n x ϕ和真解()x ϕ有误差估计式1()()(1)!n n n ML x x h n ϕϕ+-≤+ 可以通过控制h 和n 使上不等式右端误差值足够小，而得到满足误差估计的近似解()n x ϕ.§3.2 解的延拓(1) 局部利普希茨条件 对域称函数(,)f x y 在某区域G 内每一点有以其为中心的完全被含于G 内的闭矩形R 存在，在R 上(,)f x y 关于y 满足利普希茨条件，则称(,)f x y 在G 内满足局部利普希茨条件.(2) 延拓定理 如(,)f x y 在某有界区域G 内连续且关于y 满足局部利普希茨条件，则方程(,)dy f x y dx=的通过G 内任何一点00(,)x y 的解()y x ϕ=可以延拓，直到点(,())x x ϕ任意接近区域G 的边界.(3) 饱和解 方程(,)dy f x y dx=的解()y x ϕ=的定义区间为x αβ<<，且当0x α→+或0x β→-时(,())x x ϕ趋于G 的边界，则称解()y x ϕ=为饱和解.当G 是无界区域时，方程(,)dy f x y dx=的解可能无界，αβ、亦可以是∞∞-、+. (4) 如(,)f x y 在整个x y 平面上定义、连续和有界，且存在关于y 的连续偏导数，则方程(,)dy f x y dx=的任一解均可延拓到区间x -∞<<+∞.§3.3 解对初值的连续性和可微性定理(1) 解对初值的对称性定理 设方程(,)dy f x y dx =的满足初值条件00()y x y =的解是唯一的，记为00(,,)y x x y ϕ=，则(,)x y 与00(,)x y 对称，即有00(,,)y x x y ϕ=.(2) 解对初值的连续依赖定理 如(,)f x y 在域G 内连续且关于y 满足局部利普希茨条件，0000(,),(,,)x y G y x x y ϕ∈=是方程(,)dy f x y dx=的满足初值条件00()y x y =的解，在区间a x b ≤≤上有定义(0a x b ≤≤)，则对任0ε>，有(,,)a b δδε=，使得当2220000()()x x y y δ-+-≤时方程(,)dy f x y dx=的满足条件00()y x y =的解00(,,)y x x y ϕ=在区间a x b ≤≤上也有定义，且0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ϕϕε-<≤≤解对初值的连续性定理 如(,)f x y 在域G 内连续且关于y 满足局部利普希茨条件，则方程(,)dy f x y dx=的解00(,,)y x x y ϕ=作为00,,x x y 的函数在它的存在范围内是连续的. (3) 解对初值的可微性定理 如(,)f x y 和f y ∂∂在域G 内连续，则方程(,)dy f x y dx =的解00(,,)y x x y ϕ=作为00,,x x y 的函数在它的存在范围内是连续可微的.(4) 含参数微分方程(,,)dy f x y dxλ=，用G λ表示域：(,),G x y G λαλβ∈<<： 如(,,)f x y λ在域G λ内连续且关于y 满足局部利普希茨条件，当其利普希茨常数L 与λ无关时称为G λ内一致地关于y 满足局部利普希茨条件.含参数方程的解对初值和参数的连续依赖定理 如(,,)f x y λ在域G λ内连续且在G λ内一致地关于y 满足局部利普希茨条件，000000(,,),(,,,)x y G y x x y λλϕλ∈=是方程(,,)dy f x y dxλ=的通过点000(,,)x y G λλ∈的解，在区间a x b ≤≤上有定义(0a x b ≤≤)，则对任0ε>，有(,,,,)a b δδεαβ=，使得当2222000000()()()x x y y λλδ-+-+-≤时方程(,,)dy f x y dxλ=的通过点000(,,)x y Gλλ∈的解000(,,,)y x x y ϕλ=，在区间a x b ≤≤上也有定义，且 000000(,,,)(,,,),x x y x x y a x b ϕλϕλε-<≤≤含参数方程的解对初值的连续性定理 如(,,)f x y λ在域G λ内连续且在G λ内一致地关于y 满足局部利普希茨条件，则方程(,,)dy f x y dxλ=的解000(,,,)y x x y ϕλ=作为000,,,x x y λ的函数在它的存在范围内是连续的.§3.4* 奇解(1) 包络 对单参数曲线族(,,)0x y c Φ=其中c 是参数, Φ是x y c 、、的连续可微函数. 曲线族的包络曲线指它本身在曲线族中，但过包络曲线的每一点有曲线族中向一条曲线在该点与其相切.(2）c -判别曲线 曲线族0Φ=的包络存在于下两方程'(,,)0(,,)0c x y c x y c Φ=⎧⎪⎨Φ=⎪⎩ 消去c 而得的曲线中,称为c -判别曲线.c -判别曲线需通过实际检验才能确定是否是曲线族的包络.(2) 奇解 奇解是微分方程的解，但其解曲线上每一点处唯一性不成立. 奇解定理 一阶微分方程的通解的包络如存在，则它是奇解.反之亦然.(3) 隐微分方程,,0dy F x y dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的奇解，被包含在方程组 '(,,)0(,,)0pF x y p F x y p =⎧⎪⎨=⎪⎩ 消去p 而得的曲线 (称为p -判别曲线) 中.需通过实际检验才能确定是否是奇解.(4) 克莱罗方程 (),dy y xp f p p dx=+= (()f p 连续可微) 的通解是一直线族()y cx f c =+.此直线族的包络为方程的奇解.可用c -判别曲线求其包络(奇解).§3.5 数值解(1)求微分方程的初值问题00(,),()dy f x y y x y dx == （3.39）的解y y x =()，从初值条件00y x y ()=出发，按照一定的步长h ，依某种方法逐步计算微分方程解y x ()的值n n y y x ()=，这里0h x x n h =+⋅.这样求出的解称为数值解.用一种方法，其局部截断误差为步长h 的1()p O h +时称此方法有p 阶精度.(2) 欧拉公式(1阶精度)： 10(,),n n n n n y y h f x y x x n h +=+⋅=+⋅ 改进的欧拉方法(2阶精度)： 11112(,),((,)(,))n n n n n n n n n n h y y h f x y y y f x y f x y ++++=+⋅=++ (3) r 段(阶)龙格－库塔方法：11rn n i i i y y h k λ+==+∑112(,),,,j j n j n js s s k f x d h y h k j r β-==++=∑二阶龙格－库塔公式(2阶精度)：2r =, 1221222111,,22d d d λλβ=-== 四阶龙格－库塔公式(4阶精度)：4r =112341213243(22)6(,)(,)22(,)22(,)i i i i i i i i i i h y y k k k k k f x y h h k f x y k h h k f x y k k f x h y hk +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩(4) 相容性：当0h →时平均斜率趋近真正斜率.局部截断误差为p 阶时相容称为p 阶相容.收敛性：当0h →时计算公式收敛于精确解.整体误差()n n n e y x y =-(在整个区间0[,]n x x ).p 阶收敛：如存在正数M ，其整体误差p n e Mh ≤.定理 不计舍入误差时，p 阶相容的方法一定是p 阶收敛的.(5) 刚性问题：微分方程组的初值问题中方程组的解的各分量值存在数量级的差别.微分方程组线性近似部分其特征值实部的绝对值中最大与最小之比称为刚性比.刚性比很大的刚性问题其数值方法与常规数值方法有所不同.第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论(1) 基本概念 n 阶非次齐线性微分方程(非齐线性方程)1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt---++++= (1) 当非齐次线性方程(1)中函数()0f t ≡时称为n 阶齐次线性微分方程(齐线性方程)1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt---++++= (2) 伏朗斯基行列式(函数()(1,,)i x t i k = 在区间a t b ≤≤可微1k -次)12'''1212(1)(1)(1)12()()()()()()()[(),(),,()]()()()k k k k k k k x t x t x t x t x t x t W t W x t x t x t x t x t x t ---==线性相关：对定义在区间a t b ≤≤上的函数()(1,,)i x t i k = ,如存在不全为零的常数(1,,)i c i k = ，使得在整个区间a t b ≤≤上恒成立1122()()()0k k c x t c x t c x t +++≡ ,不是线性相关的函数()(1,,)i x t i k = 称为在所给区间上线性无关. 基本解组(基解组) n 阶齐次线性方程(2)的一组n 个线性无关解.(2) 齐次线性方程基本性质：(a) 存在唯一性 设()(1,,)i a t i k = 区间a t b ≤≤上连续，则对任0[,]t a b ∈及任意初值(1)(1)000,,,n x x x - ，方程(1) 存在唯一解()x t ϕ=定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dtϕϕϕ---=== . 注意 00()()k k k k t t d t d t dt dt ϕϕ==. (b) 叠加原理 对方程(2)的k 个解12(),(),,()k x t x t x t 的线性组合1122()()()k k c x t c x t c x t +++也是方程(2)的解.其中12,,,k c c c 为任意常数.(c) 定理 若函数12(),(),,()n x t x t x t 在区间a t b ≤≤上线性相关或无关，则在区间a t b ≤≤上它们的伏朗斯基行列式()0W t ≡或恒不为零.(d) 齐次线性方程(2)的基本解组的伏朗斯基行列式恒不为零.(e) 通解结构 设12(),(),,()n x t x t x t 是齐次线性方程(2)的一个基本解组.则齐次线性方程(2)的通解可表为1122()()()n n x c x t c x t c x t =+++ (3)其中12,,,k c c c 为任意常数.通解包括了齐次线性方程(2)的所有解.(3)非齐次线性方程基本性质：(a) 存在唯一性 设()(1,,)i a t i k = 和()f t 区间a t b ≤≤上连续，则对任0[,]t a b ∈及任意初值(1)(1)000,,,n x x x - ，方程(1) 存在唯一解()x t ϕ=定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dtϕϕϕ---=== . (b) 如(),()x t x t 分别为n 阶线性方程(1),(2)的解，则()()x t x t +也是方程(1)的解.如12(),()x t x t 均为方程(1)的解，则12()()x t x t -是方程(2)的解.(c) 通解结构 设12(),(),,()n x t x t x t 是齐次线性方程(2)的一个基本解组.()x t 是方程(1)的某一解(特解).则非齐次线性方程(1)的通解可表为1122()()()()n n x c x t c x t c x t x t =++++其中12,,,k c c c 为任意常数.反之，对方程(1)的所有解，必存在常数12,,,k c c c ,表为上述形式.(d) 常数变易法 当已知方程(2)的一个基本解组12(),(),,()n x t x t x t 时，可用常数变易法求得方程(1)的解11()()()n ni i i i i i x x t x t t dt γϕ===+∑∑⎰其中()i t ϕ为由n 次微分通解式(3)得到的n 个方程。
常微分方程常见形式及解法
常微分方程常见形式及解法在数学的广袤领域中，常微分方程是一个极其重要的分支，它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。
简单来说，常微分方程就是含有一个自变量和未知函数及其导数的方程。
接下来，让我们一起深入探讨常微分方程的常见形式以及相应的解法。
一、常微分方程的常见形式1、一阶常微分方程可分离变量方程：形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程，通过将变量分离，将其化为$＼frac{dy}｛g(y)｝＝f(x)dx$，然后两边分别积分求解。
齐次方程：形如$dy/dx ＝ F(y/x)＄的方程，通过令$u ＝ y/x$，将其转化为可分离变量的方程进行求解。
一阶线性方程：形如$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程，使用积分因子法求解。
2、二阶常微分方程二阶线性常微分方程：形如$y'＇＋ p(x)y' ＋ q(x)y ＝ f(x)＄的方程。
当$f(x) ＝ 0$时，称为二阶线性齐次方程；当$f(x) ≠ 0$时，称为二阶线性非齐次方程。
常系数线性方程：当$p(x)＄和$q(x)＄都是常数时，即$y'＇＋ py'＋ qy ＝ f(x)＄，这种方程的解法相对较为固定。
二、常微分方程的解法1、变量分离法这是求解一阶常微分方程的一种基本方法。
对于可分离变量的方程，我们将变量分别放在等式的两边，然后对两边进行积分。
例如，对于方程$dy/dx ＝ x/y$，可以变形为$ydy ＝ xdx$，然后积分得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，从而解得$y ＝＼pm ＼sqrt{x^2 ＋2C}＄。
2、齐次方程的解法对于齐次方程$dy/dx ＝ F(y/x)＄，令$u ＝ y/x$，则$y ＝ ux$，＄dy/dx ＝ u ＋ x(du/dx)＄。
原方程可化为$u ＋ x(du/dx) ＝ F(u)＄，这就变成了一个可分离变量的方程，从而可以求解。
常微分第一章
dt L
论
初值条件为 I t0 I0.
§1 常微分方程模型
(2) RLC电路
第
设R、L、C是常数, 电源电压e(t)是时间t的函
一 数. 当开关合上后有关系式
章
e(t) L d I RI Q ,
dt
C
绪 上式两边求导
论
d2 I dt2
R L
dI dt
I LC
d e(t) . dt
一般的两种群竞争系统模型
第 一 章
d x d t
M
(x,
y)x,
d
y
d t
N (x,
y) y,
绪 这里M(x, y), N(x, y)为相对于x与y的增长率.
论
§1 常微分方程模型
例6 Lorenz方程
第 一 章
d x
d
t
a( y
x),
绪
d y
d
t
xz
论
dy x
dx y
y 1 x2 y 1 x2 x2 y2 1
§2 概念及历史
含有n个独立的任意常数c1, c2 , , cn的解
第
y x, c1, c2, , cn
一
章 称为n阶方程(1.38)的通解.
注 解对常数的独立性是指: 及其直到n 1阶
d
y
d t
y(c
dx).
§1 常微分方程模型
竞争模型
第
假设种群甲和乙的数量分别为x, y, 则种群相
一 章
互竞争同一资源时的生长情况的模型为
微分方程与差分方程方法
第四章 微分方程与差分方程方法第一节 微分方程模型我们在数学分析中所研究地函数,是反映客观现实世界运动过程中量与量之间地一种关系,但我们在构造数学模型时,遇到地大量实际问题往往不能直接写出量与量之间地关系,却能比较容易地建立这些变量和它们地导数(或微分>间地关系式,这种联系着自变量、未知函数及其导数(或微分>地关系式称为微分方程.§4.1.1微分方程简介这一节,我们将介绍关于微分方程地一些基本概念. 一、微分方程地阶数首先我们具体地来看一个微分方程地例子.例4-1 物体冷却过程地数学模型将某物体放置于空气中,在时刻0=t ,测量得它地温度为C u 00150=,10分钟后测量得温度为C u 01100=.我们要求决定此物体地温度u 和时间t 地关系,并计算20分钟后物体地温度.这里我们假定空气地温度保持为C u 024=α.解:根据物理学中地牛顿冷却定律可知,热量总是从温度高地物体向温度低地物体传导。
一个物体地温度变化速度与这一物体地温度与其所在介质温度地差值成正比.设物体在时刻t 地温度为)(t u u =,则温度地变化速度可以用dtdu来表示.我们得到描述物体温度变化地微分方程)(αu u k dtdu--=(4.1.1> 其中0>k 是比例常数.方程(4.1.1>中含有未知函数u 及它地一阶导数dtdu,这样地方程,我们称为一阶微分方程.微分方程中出现地未知函数最高阶导数地阶数称为微分方程地阶数.方程)(33t f cy dt dyb dty d =++(4.1.2> 中未知函数最高阶导数地阶数是三阶,则方程(4.1.2>称为三阶微分方程. 二、常微分方程与偏微分方程如果在微分方程中,自变量地个数只有一个,我们称这种微分方程为常微分方程。
自变量地个数为两个或两个以上地微分方程称为偏微分方程.方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂zTy T x T (4.1.3> 就是偏微分方程地例子,其中T 是未知函数,x 、y 、z 都是自变量.而方程(4.1.1>(4.1.2>都是常微分方程地例子.三、线性与非线性微分方程如果n 阶常微分方程0),,,,(=n n dxyd dx dy y x F (4.1.4>地左端为关于未知函数y 及其各阶导数地线性组合,则称该方程为线性微分方程,否则称为非线性方程.一般地n 阶线性微分方程具有形式)()()()(1111x f y x a dx dyx a dx y d x a dx y d n n n n n n =++++--- (4.1.5> 其中)1( )(),(n i x f x a i =是关于x 地已知函数.当()0f x =时,称(4.1.5>为n 阶齐次线性微分方程。
一级动力学反应模型解读
4.1.3
牛顿冷却定律
物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律 来描述：物体温度对时间的变化率与物体温度和它周 围介质温度之差成正比 . 记物体在时刻 t 的温度为 x=x(t)，它周围介质的温度为 A，设 A 保持不变，则 根据牛顿冷却定律建立微分方程模型（k>0） (4.1.6) dx dt k ( x A) (4.1.6)式满足初始条件 x(t0 ) x0 的特解为
第4章
常微分方程模型
4.1节
一级动力学反应模型
4.1.1
一动力学 反应模型及其性质
一级动力学反应是指反应速率与系统中反应物 含量的一次方成正比的反应，其数学模型为微分方程 (4.1.1) dx dt kx 其中 t 为时间，x=x(t)为 t 时刻系统中反应物的含量， 一阶导数 dx dt 是反应速率，比例系数 k 是反应速率 常数，k>0，负号表示反应物的含量在衰减. 一级动力学反应的数学模型 (4.1.1) 式有很多应 用，例如放射性衰变、加热或冷却、人体内药物的吸 收与排除、污染物降解等.
4.1.1
一级动力学 反应模型及其性质
在初始时刻 t 0 ， 设反应物的含量为 x0 . (4.1.1)式满 足初始条件 x(t0 ) x0 的特解为 (4.1.2) x(t ) x0e 0 (4.1.2)式表明：系统中反应物的含量按指数规律随时 间衰减.
k t t
4.1.1
4.1.2
碳-14测年法
同位素是具有相同原子序数的同一化学元素的 两种或多种原子之一，其原子具有相同数目的电子和 质子，但却有不同数目的中子. 放射性是指元素从不稳定的原子核自发的放出 射线而衰变形成稳定的元素. 有放射性的同位素被称 为放射性同位素. 放射性同位素的衰变属于一级动力学反应，即衰 变速率与放射性同位素的含量成正比. 所以放射性同 位素都具有非常稳定的半衰期.
一级动力学反应模型
4.1.3 牛顿冷却定律
物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律 来描述：物体温度对时间的变化率与物体温度和它周 围介质温度之差成正比 . 记物体在时刻 t 的温度为 x=x(t)，它周围介质的温度为 A，设 A 保持不变，则 根据牛顿冷却定律建立微分方程模型（k>0） (4.1.6) dx dt k ( x A) (4.1.6)式满足初始条件 x(t0 ) x0 的特解为
p p0e
Mg y RT1
(4.1.12)
4.1.4 海拔与大气压
1. 模型一
根据模型一的假设和 (4.1.12)式，如果 p0 =1，可 以计算得，在珠穆朗玛峰顶海拔 8844 米，大气压只 有 0.333 标准大气压，空气非常稀薄，于是解释了登 山运动员需要携带氧气瓶的原因. 但是模型一假设大气温度不随海拔升高而变化 明显不符合实际，可能会导致计算有一定偏差.
4.1.2 碳-14测年法
例 4.1.1 辽东半岛的古莲籽 解答 记发掘出古莲籽的时间为 t 年，古莲籽生 活的年代为 t 0 年，则根据测量结果，有 (4.1.5) x(t ) 0.879x(t0 ) 由(4.1.4)式和(4.1.5)式，有 e0.000121(t t0 ) 0.879 所以 t t0 1065.9 ，即古莲籽生活的年代大约在发掘 时间之前 1066 年.
4.1.1 一级动力学 反应模型及其性质
在初始时刻 t 0 ， 设反应物的含量为 x0 . (4.1.1)式满 足初始条件 x(t0 ) x0 的特解为 (4.1.2) x(t ) x0e 0 (4.1.2)式表明：系统中反应物的含量按指数规律随时 间衰减.
k t t
4.1.1 一级动力学 反应模型及其性质
第一讲常微分方程
否则是不稳定的。
判断方法：
1.求解原方程用定义判断 2.当原方程不易求解时将f(x)在x0作Taylor展开， 只取一次项，即方程（1）近似为
x(t ) f ( x0 )( xБайду номын сангаас x0 )
'
(2)
若f ( x0 ) 0, 则x0是渐近稳定的. 若f ( x0 ) 0, 则x0是不稳定的.
ut t
当 0时， he lim
ut t
即振幅随着时间的增大而增大。
eg. Y (t ) 5.073Ge
0.05t
sin(0.705t 0.908) 4G
分析： 由图可知，Y(t)在直线Y=4G上下振荡，并 且在t取某些值时，Y(t)取负值，这表明生产水平 为负。此时，政府部门可通过采用一些措施来提 高G的值，促进生产发展。
b 2 4ac 0, b 4ac 0,
2
x c1e r1t c2e r2t b x c1e c2te , r1 r2 2a t x e (c1 cos t c2 sin t )
r1t r1t
b 4ac 0,
2
b , 2a
G 若 0, 则 lim Y (t ) t S 3.当 2 4 时，（5）的通解为 G ut Y (t ) he sin(vt w) S
其中h,w为常量
由Y(t)的图形可知，此时的生产水平将随着 时间的增长而出现振荡
当 0时， he 0 即振幅不断下降。 lim
LDH T v0
模型二：国民经济的增长
问题的提出：
消费资金
国民收入主要用于 投入再生产的积累资金 共设施开支
微分方程模型以及算法
微分方程模型以及算法郑小洋数学与统计学院1.微分方程发展历史；2.微分方程模型的应用领域；3.建立微分模型的常见方法；4.常微分方程模型：算法；MATLAB程序；实例。
5.偏微分方程模型：算法；MATLAB程序；实例。
参考文献及资料[1]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，高等教育出版社，2003.[2]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社，1993.[3]常微分方程的解法[4]偏微分方程的数值解[5]2007年全国大学生数学建模竞赛题1.微分方程发展历史十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程，解决几何与力学中的新问题。
结果是在天体力学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，而且得到了新的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的）。
偏微分方程的研究要比常为分方程晚得多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支------数学物理方程的建立。
J.达朗贝尔（D’Alembert）（1717-1783）、L.欧拉（Euler）（1707-1783）、D.伯努利(Bernoulli)（1700-1782）、J.拉格朗日(Lagrange)（1736-1813）、P.拉普拉斯(Laplace)（1749-1827）、S.泊松(Poisson)（1781-1840）、J.傅里叶(Fourier)（1768-1830）等人的工作为这一学科分支奠定了基础。
它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。
十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他在1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。
傅里叶研究的主要是吸热或放热物体内部任何点处的温度随空间和时间的变化规律。
在对物体的物理性状作出一定的限制（如均匀、各向同性）后，他根据物理原理推导出了三维空间的热传导方程t T k z T y T x T ∂∂=∂∂+∂∂+∂∂2222222，其中k 是一个参数，其值依赖物体的质料。
一级动力学反应模型
4.1.2 碳-14测年法
碳-14 与氧结合成二氧化碳，散布在大气之中， 生物体经由呼吸或光合作用，随时补充衰变掉的碳 -14，且与大气中的碳-14 维持恒定. 但是一旦生物体 死亡，体内的碳-14 无法补充，每隔 5730 年就会减少 一半，所以只要能测出死亡的生物体内（例如骨头、 木炭、贝壳、谷物）残存的碳-14 浓度，就可以推算 出生物体于何时停止补充碳-14，也就是生物体已死亡 多久的时间. 碳-14 定年法只适用于测定距今 70000 年内的古物所属的年代.
在诸多考证年代的的方法之中，以“碳-14 定年 法”最为普遍. 它的原理是根据生物体死亡之后，体 内碳-14 衰减的速率来估计年代.
美国化学家威拉得·法兰克·利比（Willard Frank Libby）因在 20 世纪 40 年代发明碳-14 定年法而于 1960 年获得诺贝尔化学奖.
4.1.2 碳-14测年法
活的年代为 t0 年，则根据测量结果，有
x(t) 0.879x(t0 )
(4.1.5)
由(4.1.4)式和(4.1.5)式，有
e0.000121(tt0 ) 0.879
所以 t t0 1065.9 ，即古莲籽生活的年代大约在发掘
时间之前 1066 年.
4.1.2 碳-14测年法
4.1.2 碳-14测年法
碳是一种很常见的非金属元素，以多种形式广泛 存在于大气和地壳之中，常见的碳单质有石墨和金刚 石，碳的一系列化合物——有机物是生命的根本.
自然界中存在三种碳的同位素：碳-12（98.9%）、 碳-13 及碳-14（极少）. 碳-12 和碳-13 属稳定型，碳 -14 具有放射性. 碳-14 是由宇宙射线撞击空气中的氮 原子而产生，衰变方式为 β 衰变，碳-14 原子转变为 氮原子. 碳-14 的半衰期长达 5730 年，考古学家就是 根据碳-14学反应模 型
4.1 一级动力学反应模型
4.1.2 碳-14测年法
例 4.1.2 巴比伦的木炭 解答（续） 而根据测量结果，有 dx dt t 1950 4.09 dx dt t t 6.68
0
所以 x(1950) x(t0 ) 4.09 6.68 ，再根据(4.1.4)式，有
e0.000121(1950t0 ) 4.09 6.68 解得 t0 2104.3 (年)，即汉穆拉比王朝大约在公元前 21 世纪.
4.1.2 碳-14测年法
同位素是具有相同原子序数的同一化学元素的 两种或多种原子之一，其原子具有相同数目的电子和 质子，但却有不同数目的中子. 放射性是指元素从不稳定的原子核自发的放出 射线而衰变形成稳定的元素. 有放射性的同位素被称 为放射性同位素. 放射性同位素的衰变属于一级动力学反应，即衰 变速率与放射性同位素的含量成正比. 所以放射性同 位素都具有非常稳定的半衰期.
4.1.4 海拔与大气压
为什么攀登珠穆朗玛峰的登山运动员需要携带 氧气瓶呢？ 人体从大气吸入氧气的能力主要依赖于大气压. 当大气压低于 0.65 105 Pa ， 人体吸入的氧气就会显著 下降. 地球海拔 6000 米以上的地区没有永久性居民， 人类在海拔更高的地方仅能短暂生存，这都是因为大 气压随着海拔增高而下降.
4.1.2 碳-14测年法
因为碳-14 的半衰期为 τ=5730 年， 所以根据(4.1.3) 式可计算得到 k=0.000121，由此可知碳-14 的衰变服 0.000121t t0 从公式 (4.1.4) x(t ) x0e x=x(t)是古物中的碳-14 在时刻 t 的剩余量，x0 x(t0 ) . 例 4.1.1 辽东半岛的古莲籽 在我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中发掘出 的古莲籽，至今大部分还能发芽开花. 现测得出土的 古莲籽中碳-14 的剩留量占原始量的 87.9%，试推算 古莲籽生活的年代.
高等数学d教材答案
高等数学d教材答案第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 有界数列的性质与极限1.1.2 单调有界数列的性质与极限1.1.3 数列极限的唯一性和保号性1.2 数列极限的计算方法1.2.1 夹逼定理与夹逼准则1.2.2 无穷小量的性质与极限计算1.2.3 无穷大量的性质与极限计算1.3 函数极限的概念与性质1.3.1 函数极限的定义1.3.2 函数极限的性质1.3.3 函数极限的运算法则1.4 极限存在准则1.4.1 单调有界函数的极限存在准则1.4.2 保号函数的极限存在准则1.4.3 复合函数的极限存在准则第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义与几何意义2.1.2 导数的性质与运算法则2.1.3 反函数与导数的关系2.2 可导与连续的关系2.2.1 可导函数与连续函数的关系2.2.2 连续函数的导数性质2.3 微分的概念与性质2.3.1 微分的定义与性质2.3.2 微分中值定理与应用2.4 高阶导数与高阶微分2.4.1 高阶导数的定义与性质2.4.2 高阶微分的定义与性质第三章：一元函数的微分学3.1 高阶导数的计算3.1.1 多项式函数的高阶导数3.1.2 三角函数的高阶导数3.1.3 指数函数与对数函数的高阶导数3.2 函数的Taylor展开与应用3.2.1 函数的Taylor展开式3.2.2 Taylor展开在近似计算中的应用3.3 函数的单调性与凹凸性3.3.1 函数的单调性判定3.3.2 函数的凹凸性判定3.3.3 函数的拐点与极值点3.4 函数的最值与最值问题3.4.1 函数的最值存在性3.4.2 有限闭区间上函数最值的判定第四章：定积分4.1 定积分的概念与性质4.1.1 定积分的定义与性质4.1.2 定积分的几何意义与物理应用4.2 定积分的计算方法4.2.1 定积分的基本性质与性质4.2.2 定积分的换元法与分部积分法4.2.3 定积分的中值定理与均值定理4.3 反常积分的概念与性质4.3.1 反常积分的定义与性质4.3.2 反常积分的收敛性判别4.4 定积分在几何学和物理学中的应用4.4.1 平面曲线的长度与曲率4.4.2 平面图形的面积与旋转体的体积第五章：定积分的应用5.1 定积分计算在几何学中的应用5.1.1 平面曲线的面积5.1.2 曲线长度和曲率5.1.3 平面图形的质量与质心5.2 定积分计算在物理学中的应用5.2.1 动力学问题中的定积分计算5.2.2 静力学问题中的定积分计算5.2.3 热力学问题中的定积分计算5.3 定积分计算在经济学中的应用5.3.1 常见经济问题的定积分计算5.3.2 经济增长与收益的定积分计算第六章：多元函数的微分学6.1 偏导数的概念与性质6.1.1 偏导数的定义与性质6.1.2 隐函数与偏导数的关系6.2 多元函数的全微分与全导数6.2.1 多元函数的全微分6.2.2 多元函数的全导数6.3 多元函数的高阶偏导数6.3.1 多元函数的高阶偏导数的定义6.3.2 高阶偏导数的对称性与混合偏导数的次序6.4 多元复合函数的求导法则6.4.1 复合函数求导的链式法则6.4.2 隐函数求导的隐函数定理第七章：多元函数的积分学7.1 二重积分的概念与性质7.1.1 二重积分的定义与性质7.1.2 二重积分的计算方法与性质7.2 二重积分的应用7.2.1 平面图形的面积计算7.2.2 二重积分在物理学中的应用7.3 三重积分的概念与性质7.3.1 三重积分的定义与性质7.3.2 三重积分的计算方法与性质7.4 三重积分的应用7.4.1 空间图形的体积计算7.4.2 三重积分在物理学中的应用第八章：常微分方程8.1 常微分方程的基本概念8.1.1 常微分方程的定义与解的概念8.1.2 初值问题与解的存在唯一性8.1.3 隐式解与隐式解的导数8.2 一阶常微分方程8.2.1 一阶线性常微分方程8.2.2 可分离变量的一阶微分方程8.2.3 齐次方程的一阶微分方程8.2.4 Bernoulli方程与Riccati方程8.3 高阶常微分方程8.3.1 高阶线性常微分方程的基本理论8.3.2 齐次方程的解的性质与求法8.3.3 常系数线性常微分方程的解的性质与求法8.4 常微分方程的应用8.4.1 生物学问题中的常微分方程模型8.4.2 物理学问题中的常微分方程模型8.4.3 工程学问题中的常微分方程模型以上是《高等数学D教材》的答案内容总览，希望能对你学习高等数学D教材有所帮助。
常微分方程建模方法
常微分方程建模方法常微分方程建模方法可以分为定性分析和定量分析两个阶段。
定性分析是通过分析问题的物理背景和现象特征，确定微分方程的类型和形式。
而定量分析则是通过对微分方程进行求解，得到具体的解析解或数值解，来揭示问题的本质。
1.理解问题背景：了解问题的物理背景、现象特征、变量之间的关系等，分析问题的要素和限制条件。
2.建立数学模型：根据问题的特征和变量关系，建立微分方程模型。
通常可以利用物理定律、守恒定律、动力学方程等来描述问题的变化规律。
3.确定初始条件和边界条件：对于初值问题，需要确定初始条件；对于边值问题，需要确定边界条件。
这些条件是求解微分方程的前提。
4.分析微分方程：对建立的微分方程进行分析，研究方程的特性和性质。
可以利用变量分离、线性化、换元等方法来化简和求解方程。
5.求解微分方程：根据微分方程的类型和性质，选择合适的求解方法。
可以将高阶微分方程化简为一阶微分方程，然后利用解析解或数值解的方法求解。
6.模型验证和优化：对求解得到的解析解或数值解进行验证，检验模型的合理性和准确性。
如果模型不准确，需要进行调整和优化。
7.结果解释和应用：根据求解得到的结果，解释模型的含义和意义，并将模型应用到实际问题中，得出结论和预测。
常微分方程建模方法可以应用于各个领域，如物理学、生物学、工程学、经济学等。
例如，通过建立流体力学方程，可以研究流体的流动和扩散过程；通过建立生态学方程，可以研究生物种群的数量和分布变化；通过建立经济学方程，可以研究经济增长和波动。
总之，常微分方程建模方法是将实际问题抽象成数学模型的过程，通过求解微分方程来揭示问题的本质和规律。
建模过程需要充分理解问题的背景和特征，合理选择合适的数学工具和求解方法，最终得到有实际应用价值的结论和预测。
常微分方程建模方法概要
第二章 微分方程方法在应用数学方法解决实际问题的过程中，很多时候，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，在这种情况下，就需要我们建立微分方程模型来研究。
事实上，微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题.利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：一类问题要求把未知变量直接表示为已知量的函数，这时，有些问题可以求出未知函数的解析表达式，在很多情况下只能利用数值解法；另一类问题只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势，这时可以直接根据微分方程定性理论来研究.2.1 微分方程的一般理论2.1.1微分方程简介所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程.若未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.而未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程. 例如()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+- （2.1.1） 2''12'50x y xy y -+=（2.1.2） 2(')0y xy +=（2.1.3） 2'''0y y xy +=（2.1.4） 01)(=+n y（2.1.5） 2t xx u a u =（2.1.6） 其中，方程（2.1.6）是偏微分方程，其他都是常微分方程.微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶.例如，方程（2.1.1）是四阶微分方程，（2.1.3）是一阶微分方程.一般n 阶微分方程具有形式F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0或y(n)=f(x,y,y',⋅⋅⋅,y(n-1) ) .必须指出，)(n y是必须出现的，而)1(,yxΛ等变量则可以不出现，yy,',,-n如方程（2.1.5）.若F(x,y,y',⋅⋅⋅,y(n) )是关于y及其各阶导数的线性函数，则称此方程是线性的，否则，称为非线性的.例如，方程（2.1.1）、（2.1.2）是线性微分方程，方程（2.1.3）是非线性微分方程.线性微分方程可以分为常系数和变系数两大类，常系数线性微分方程中未知函数及其导数的系数均为常数，而变系数线性微分方程中未知函数及其导数的系数不完全是常数.例如，方程（2.1.1）、（2.1.5）是常系数线性微分方程，而方程（2.1.2）是变系数线性微分方程.满足微分方程的函数(也就是，把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解.确切地说,设函数y=ϕ(x)在区间I 上有n阶连续导数,如果在区间I上,F[x,ϕ(x),ϕ'(x),⋅⋅⋅,ϕ(n) (x)]=0,那么函数y=ϕ(x)就叫做微分方程F(x,y,y',⋅⋅⋅,y(n) )=0在区间I上的解.如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解.若以显函数形式给出的解，称为显式解，以隐函数形式给出的解，就称为隐式解.为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解所必须满足的条件，这就是所谓的定解条件。
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运行结果为 a(1)=60.0484, a(3)= 1.8537
a(2)= 0.1950 ,
故该饮酒人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量为
x (t ) 60.0484(e 0.1950t e 1.8537t )
（4.1.9）
此时
k1 0.1950 ， k2 1.8537 ， c 510.7809 .
X (t ) 78.6854e0.1950t 60.0494e1.8537t
（4.1.16）
式（4.1.16）为喝过第二瓶啤酒后血液中的酒精含量 方程。方程（4.1.16）的轨迹如图4.1.4所示。
图4.1.4
X(t)拟合曲线
由图4.1.4可以看出，X (6) 20 ，因此驾驶人若中午12 点喝一瓶啤酒，下午6点又喝一瓶啤酒，则凌晨零点 驾车时血液内酒精含量超过20mg/100ml，此时若驾 车则可定为饮酒驾车。
即血液中的酒精含量方程为
x ( t ) ck1
k 2 k1 e k t e k t
1 2
（4.1.7）
若不考虑脂肪等因素对血液中酒精含量的影响，对饮 酒人喝一瓶啤酒后采取血液抽样，得到表4.1.1。
表4.1.1 血液中酒精含量（单位：mg/100ml）
为了拟合曲线 x ( t ) ，将式（4.1.7）改写成
然后在命令窗口运行： x=[0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16]; y=[15 34 36.5 41 41 38.5 34 34 29 25.5 25.5 20.5 19 17.5 14 12.5 9 7.5 6 5 3.5 3.5 2]; a=lsqcurvefit('fun1',[100;0.1;2],x,y) %Matlab中调用lsqcurvefit实现普通最小二乘估计
则由牛顿第二定律，刹车过程应该满足如下微分方程 ：
md 2 x dt 2 fmg; dx dt t 0 v0; x(0) 0 （4.1.17）
对式（4.1.17）中的第一个方程积分，并将初始条件 代入，得到
dx dt fgt v0
图4.1.3为 x (t ) 的拟合曲线（红线）与原始观测值（蓝 色o）图，其程序如下： a=[60.0480,0.1950,1.8537]; 利用普通最小二乘法得到的参数估计量 z=a(1)*(exp(-a(2)*x)-exp(-a(3)*x)) %建立未知函数的表达式 plot(x,z,'r',x,y,&#初始时刻
0 t 0 时，认为血液中无酒精，即 x(0) 。
式（4.1.6）为一阶线性非齐次微分方程，可通过常 数变易法求解，其Matlab程序为： dsolve('Dx-k1*c*exp(k1*t)+k2*x=0','x(0)=0','t') 运行结果为：ans = (c*k1/(-k1+k2)*exp(-t*(k1k2))-c*k1/(-k1+k2))*exp(-k2*t)
m(6) ce6k1 158.5295
（4.1.10）
血液中的酒精含量为
x(6) ck1 k2 k1 e6k1 e6k2 18.6360 （4.1.11）
此时再喝一瓶啤酒，设胃肠道中和血液中的酒精含量 分别为 方程为
dM dt 0.1950M(t); M(0) m(6) c 669.3104 （4.1.12）
数学模型
安徽大学数学科学学院
第4章 微分与差分方程模型
4.1 常微分方程模型 4.2 常微分方程组模型 4.3 偏微分方程模型 4.4 差分方程模型
第4章 常微分方程模型
在经济、社会、军事、工程和自然界等领域中，有很 多问题都可以看做是实际对象的某些特性随着时间或空间 的变化而演变的过程，这一过程可借助微分方程来描述。 微分方程模型是通过机理分析，利用微元法找出现象的内 在规律并建立瞬时变化率表达式，再根据所给的特定条 件，求解微分方程，并预测现象的未来性态，控制其发展 趋势。含有未知函数的导数（或偏导数）的方程称为微分 方程。若未知函数为一元函数，则称相应的微分方程为常 微分方程，若未知函数为多元函数，则称相应的微分方程 为偏微分方程。微分方程的离散化形式即为差分方程。本 章主要介绍微分方程和差分方程建模的基本方法、建模过 程以及如何通过微分方程和差分方程去解释实际问题。
%绘制函数曲线并设定线形 xlabel('t');ylabel('x'); 根据式（4.1.9），当 时 t
6， x(6) 18.6360
（
mg/100ml），因此，该驾驶人中午12点喝一瓶啤酒 ，下午6点检查时符合驾车标准。
图4.1.3 x(t)拟合曲线
若中午第一次喝一瓶啤酒后6个小时，到晚上再喝时， 胃肠道中剩余酒精量为
他懊恼又让他困惑，为什么喝同样多的酒且时间间隔 差不多，检测结果会不一样呢？首先作机理分析。 酒精由胃肠道吸收，再传输到血液，部分分解（向 外传输到非血液部分），这里只考虑血液部分的酒 精浓度问题，非血液部分不在讨论范围之内。酒精 的传输过程如图所示.
图4.1.1 酒精的传输过程
假设：（1）血液中酒精分布是均匀的； （2）酒精在 胃肠道中的吸收是一级动力学过程，即胃肠道中酒 精吸收率正比于肠胃道中酒精含量，比例系数为 k 1 ;（3）血液中的酒精转移率正比于血液中的酒精含 量，比例系数为 k 2；（4）忽略从饮酒到酒精开始吸 收的时间延迟；（5）由于呼吸和排尿对体液中的酒 精含量影响很小，因此不考虑呼吸、尿液对酒精总 量的影响。
液部分的酒精含量，即
x(t t ) x(t ) k1m(t )t k2 x(t ) t
（4.1.4）
等式两边同除以 t，并令 t 0，则有
dx dt k1m(t ) k2 x (t )
（4.1.5）
将式（4.1.3）代入（4.1.5）得到
dx dt k1ce k1t k 2 x (t )
（4.1.13）同
理， t 时刻血液中的酒精含量方程为
dX dt k1M(t) k2 X (t); X (0) x(6) （4.1.14）
将式（4.1.13）及相应的参数代入（4.1.14），得到
dX dt 130.5155e0.1950t 1.8537X(t); X(0) x(6) 18.6360（4.1.15）
设 t 时刻胃肠道中的酒精含量为 m (t ) ，血液中的酒精 含量为 x ( t ) ，考虑用微元法来分析胃肠道和血液中 酒精含量的变化。 在时间段 [ t , t t ] 内胃肠道中的酒精含量的改变量 等于被血液吸收的酒精含量，即有
m (t t ) m (t ) k1m (t ) t （4.1.1）
4.1 常微分方程模型
4.1.1 饮酒驾车模型 当驾驶人血液中酒精含量达到80mg/100ml时，发生交 通事故的几率是血液中不含酒精时的2.5倍，当酒精 含量达到100mg/100ml时，发生交通事故的几率是 血液中不含酒精时的4.7倍，即使在少量饮酒的状态 下，发生交通事故的危险程度也可达到未饮酒状
其Matlab程序为： dsolve('Dx-130.5155*exp(0.1950*t)+1.8537*x=0','x(0)=18.6360','t') 运行结果为ans = 1305155/16587*exp(-39/200*t)249009917/4146750*exp(-18537/10000*t)，即有
过渡信号时间统一设置为4s，这样方便了机动 车驾驶员对信号灯放行次序的辨识，使得驾 驶员在到达路口前可以预判情况、控制车速 ，提高了路口通行的安全性，且调整后的信 号灯灯序与国际惯例保持一致。实际上，不 同的国家关于路口黄灯时间的设定是不同的 。美国联邦公路局在2003年版的《交通控
制设施手册》规定：“黄灯持续时间应该在近似3—6s 的范围内，路口限速值越高，对应黄灯的持续时间 就越长”。德国现行的交通控制行业行为规范《交 通信号控制指南》中关于黄灯时间的规定依十字路 口进口道处不同限速而有所不同，黄灯时间3、4、 5s对应的限速分别为50、60、70km/h。 下面将建立有效黄灯时间的数学模型，并分析车辆的 安全停车距离。
dsolve('Dm+k1*m=0','m(0)=c','t') dsolve求解待求微分方程 运行结果为：ans = c*exp(-k1*t) 即胃肠道中酒精含量方程为
%利用
m ( t ) c e k1t
（4.1.3）
同理，在时间段 [ t , t t ]内血液中酒精含量的改变量 应当等于胃肠道中酒精的转化量减去转移为非血 .
先亮黄灯，以便让正驶向路口的近处司机有所准备， 而且，如果绿灯时正行驶在路口或离路口太近的汽 车司机，也可以利用黄灯期间驶离路口。但是，黄 灯究竟应该亮多长时间，才能使离路口较远的汽车 在红灯亮前安全刹车停在路口前，且使正在路口的 汽车有时间在红灯亮前通过路口呢？以北京市为例 ，2007年7月3日，北京市交通管理局将交通信号灯 的灯序全部统一为“绿—黄—红—绿”，将黄灯
图4.1.2酒精的传输过程模型表达
等式两边同除以 t ，并令 t 0 ，则有
d m d t k1m (t )
（4.1.2）
初始时刻 t
0 ，饮酒者喝完一瓶酒，酒精迅速进入
肠胃道，故可令 m ( 0 ) c ， c为一瓶啤酒的酒精含 量。方程（4.1.2）为可分离变量的微分方程，可用 分离变量法直接求解，也可以Matlab求解，程序如 下：
态下的两倍左右。根据最新的《车辆驾驶人员血液、 呼吸酒精含量阀值与检验》，驾驶人血液中酒精含 量大于等于20mg/100ml为饮酒驾车，血液中酒精含 量大于等于80mg/100ml为醉酒驾车。某人在中午12 点时喝了一瓶啤酒，下午6点遇到交通查酒驾，检测 结果符合驾车标准。紧接着他在晚饭时又喝了一瓶 啤酒，为了保险起见，他呆到凌晨零点才驾车回家 ，又一次遭遇检查，确被定为饮酒驾车，这既让