三角形的初步知识
(完整版)初中三角形知识点总结
图形的初步认识：三角形考点一、三角形1、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
2、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角平等边；等边平等角；大角对大边；大边对大角。
4、三角形的面积三角形的面积 = 1×底×高2考点二、全等三角形1、全等三角形的观点能够完整重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、三角形全等的判断三角形全等的判断定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“ SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“ SSS”）。
（4）角角边定理：有两角和一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“ AAS”）。
直角三角形全等的判断：关于特别的直角三角形，判断它们全等时，还有 HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“ HL”）3、全等变换只改变图形的地点，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包含一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行挪动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180°，这类变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转必定的角度到另一个地点，这类变换叫做旋转变换。
考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边平等角）推论 1：等腰三角形顶角均分线均分底边并且垂直于底边。
初中重要知识点总结(个人整理)
一、?三角形的初步知识?知识点总结一、三角形的边、角关系１、三角形的三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边应用：〔1〕判断三条线段a、b、c能否组成三角形;〔2〕确定三角形第三边的取值范围：两边之差< 第三边< 两边之和２、三角形的三个内角之间的关系：三角形的内角和为180°３、三角形的外角之间的关系：1〕、三角形的外角和为360°2〕、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和3〕、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
二、全等三角形1、性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等2、判定：SSS、SAS、ASA、AAS。
方法总结:1、要说明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法2、全等三角形，是说明两条线段或两个角相等的重要方法之一，说明时①要观察待说明的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。
②分析要说明两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。
③有公共边的，公共边一般是对应边，有公共角的，公共角一般是对应角，有对顶角，对顶角一般是对应角。
④大角与大角对应，长边与长边对应。
三、线段中垂线与角平分线的性质1、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
2、角平分线的性质：角平分线上点到角两边距离相等.[线段垂直平分线、角平分线的判定]四、尺规作图1、根本作图主要有4类：〔1〕作一条线段等于线段；〔2〕作一个叫等于角；〔3〕作角的平分线；〔4〕作线段的垂直平分线。
2、尺规作图的步骤：①写出、求作；②分析图形该怎么画；③写出做法，要保存作图痕迹；④写出结果，即哪个为所求。
注意：④容易忽略，此步骤必不可少。
二、?相似三角形?知识点总结一、相似三角形1、概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形，对应边的比叫做相似比。
注意①相似比的顺序性；②记三角形相似时注意对应顶点写在对应位置上；③全等三角形是特殊的相似三角形。
新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题
新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题本文介绍了八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》的知识点及典型例题。
其中，三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边的关系可分为等腰三角形、等边三角形和普通三角形。
文章还介绍了三角形的内角和定理、角平分线、重要线段中线和高线的定义、命题和证明步骤。
此外，文章还讲解了全等三角形、尺规作图、线段垂直平分线和角平分线的性质，以及如何利用这些知识点计算角度和线段长度。
最后，文章列举了八个考点，包括判断三条线段能否组成三角形、求三角形的某一边长或周长的取值范围、证明三角形全等等。
例题部分也包括了两个问题的解答。
1、正确画出AC边上的高的是（C）。
2、工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（B）三角形具有稳定性。
3、不能唯一作出直角三角形的是（C）已知一锐角及其邻边。
4、已知AD、BE、CF是△ABC的三条中线，相交于点O，设△BDO面积为1，则S△ABC=（6）。
5、在图中，由于AB=CD。
AD=BC，所以△ABO≌△CDO，△ABO与△CDO的对应顶点分别为AO和CO，所以全等三角形的对数为1，选项A。
6、根据中线定理可知，DF=EF=BF=AF=1/2AC，所以四边形DCEF是平行四边形，面积为AC的一半，即22.5cm，选项B。
7、根据角平分线定理可知，BP/PC=AB/AC，所以BP/AB=PC/AC，由此可得△BPC与△ABC相似，所以∠BPC=2∠A，选项A。
8、由于BD是BC边上的垂直平分线，所以BD=DC=4，由勾股定理可得AD=3，所以AB=5，所以ΔABD的周长为12，选项D。
9、将三角形按照图中的方式编号，可以发现只有第3块的形状与原来的三角形相同，所以应该带第3块去。
10、以B为顶点的外角为∠ABC=180°-∠A=130°，以C为顶点的外角为∠ACB=180°-∠A=130°，由于外角和等于360°，所以两个外角的平分线的夹角为130°/2=65°，选项A。
(学生版)第6讲 三角形--提高班
第6讲 三角形知识点1三角形初步1.三角形的定义：由3条不在同一直线上的线段，首尾顺次连接组成的封闭图形称为三角形. 如下的图形就是一个三角形.2.三角形的各组成部分：（1）边：组成三角形的三条线段就是三角形的三条边；（2）顶点：三角形任意两边的交点均为三角形的顶点；（3）通常情况下，我们用三角形的三个顶点加以一个“△”来表示一个三角形，在表示三角形时，三个字母之间并无顺序关系.如上图中，此三角形可以表示为，△ABC 或△BAC或△CCBA.（4）内角：三角形两边所夹的角，称为三角形的内角，简称角.例如上图△ABC中，∠A，∠B，∠C都是三角形的内角.3、其他概念与定理三角形内角和定理：三角形的内角之和为180°.三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.三角形中边角关系：大边对大角，等边对等角.高：顶点到对边的距离叫做三角形的一条高.三角形角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.中线：三角形顶点到对边中点的连线叫三角形的中线.中线把原来整个三角形分成两个面积相等的小三角形.4、三角形分类：(1)按角分：三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形⎧⎪⎨⎪⎩（2按边分：三角形普通三角形等腰三角形等边三角形⎧⎪⎨⎪⎩5、三角形的特性：稳定性【典例】例1（2020秋•涪城区校级期末）一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最大值是（）A．16B．17C．18D．19例2（2020秋•齐河县期末）如图，共有个三角形．例3（2020秋•涪城区校级期末）如图，在△ABC中，AM是△ABC的高线，AN是△ABC的角平分线，已知∠B＝50°，∠BAC＝100°，分别求出∠C和∠MAN的度数．【随堂练习】1．（2020秋•濉溪县期中）在△ABC中，AB＝8，BC＝2，并且AC为偶数，求△ABC的周长．2．（2020秋•顺平县期中）如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83°．（1）求∠B的度数；（2）若∠D＝42°，求∠AFE的度数．3．（2020秋•庐阳区校级期中）如图所示，AE为△ABC的角平分线，CD为△ABC的高，若∠B＝30°，∠ACB为70°．（1）求∠CAF的度数；（2）求∠AFC的度数．4．（2020秋•全椒县期中）如图，已知CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA 的延长线于点E．（1）如果∠B＝35°，∠E＝20°，求∠BAC的度数；（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．知识点2等腰三角形等腰三角形的概念与性质1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做三角形的腰，第三边叫做三角形的底.2、等腰三角形的性质①等腰三角形的腰相等②等腰三角形的两个底角相等（简记为”等边对等角“）③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，称为”三线合一“【典例】例1（2020秋•乐亭县期末）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，DE是AB的垂直平分线，线段DE＝1cm，则BC的长度为（）A．8cm B．4cm C．6cm D．10cm例2 （2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，则∠C的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°例3 （2020秋•南关区期末）图①、图②均是三个角分别为20°，40°，120°的三角形．在图①、图②中，过三角形的一个顶点作直线把此三角形分成两个等腰三角形（图①、图②中的分割线不同）．要求画出分割线，并标出等腰三角形底角的度数．【随堂练习】1．（2020秋•长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．AD是BC边上的中线，点E在边AB 上，且BD＝BE．若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为度．2．（2020秋•丛台区期末）如图，在等腰三角形△ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC，BC于点D和点E，若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为（）A．2B．3C．3.5D．43．（2020秋•朝阳区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若∠A＝30°，求∠BCD的度数．知识点3等边三角形等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形.等边三角形的性质：①三边相等②三个内角相等，都是60°③它是轴对称图形，对称轴分别是三边上的高.【典例】例1（2020秋•覃塘区期中）如图，△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，连接DE，则下列结论错误是（）A．CE=12AB B．BD＝ED C．∠BDE＝∠DCE D．∠ADE＝120°例2（2020秋•沧州期中）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝110°，则∠3的度数为（）A．90°B．70°C．45°D．30°例3（2020春•松江区期末）如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．【随堂练习】1．（2020秋•五常市期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论不正确的是（）A．AD⊥BC B．EF＝FD C．BE＝BD D．AE＝AC2．（2020秋•南关区校级期末）如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q．延长MN至G，取NG＝NQ，若△MNP的周长为12，则△MGQ周长是（）A．8+2√3B．6+4√3C．8+4√3D．6+2√33．（2020秋•福州期中）如图，已知等边△ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝α，∠BDE＝180°﹣2α，则∠DBE的度数是（）A．120°﹣αB．180°﹣2αC．2α﹣90°D．α﹣60°知识点4直角三角形直角三角形定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.1、直角三角形的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.性质2：在直角三角形中，两个锐角互余.性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2.（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.3.勾股定理的逆定理：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．【典例】例1（2020秋•萧山区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例2（2020秋•惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A．16B．25C．144D．169例3（2020秋•新华区校级月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，E为垂足，AC=12AB，图中为60°的角有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【随堂练习】1．（2020秋•松江区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝2√2，AB＝2√7，BC＝10，CD ＝8，∠BAD＝90°，那么四边形ABCD的面积是．2．（2019秋•南岸区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE∥DF．知识点5全等三角形1、全等三角形及相关的概念（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.（2）全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，①对应顶点：重合的顶点；②对应边：重合的边；③对应角：重合的角.（3）全等三角形的表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，如图所示△ABC≌△DEF.符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等.（4）全等三角形的书写：①字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边，对应角，如△CAB≌FDE,则AB与DE、AC与DF、BC与EF是对应边，∠A和∠D、∠B 和∠E、∠C和∠F时对应角；②图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；（5）对应边（角）与对边（角）的区别：对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边，两个角的关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的位置关系.对边是与对角相对的边，对角是与边相对的角.易错提示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意书写.2、全等三角形的性质性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.还具备：全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等，面积也相等.易错提示：周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等.3、一般三角形全等的判定方法①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS）4、直角三角形全等的判定方法①一般三角形全等的判定方法都可应用于判定两个直角三角形全等.②斜边、直角边定理（HL）文字描述：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.【典例】例1 （2020秋•二道区期末）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°．若△ABC≌△ADE，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°例2（2020秋•梁子湖区期中）如图，点E在AB上，AC与DE相交于点F，△ABC≌△DEC，∠B＝65°．（1）求∠DCA的度数；（2）若∠A＝20°，求∠DF A的度数．例3（2020秋•洮北区期末）如图，AB＝CB，BE＝BF，∠1＝∠2，证明：△ABE≌△CBF．例4 （2020秋•铁西区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA＝2√2，点D是射线AB上一点，连接CD，在CD右侧作∠DCE＝90°，且CE＝CD，连接AE，已知AE＝1．（1）如图，当点D在线段AB上时，①求∠CAE的度数；②求CD的长；（2）当点D在线段AB的延长线上时，请直接写出∠CAE的度数和CD的长．【随堂练习】1．（2020秋•乐亭县期末）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．47°B．57°C．60°D．73°2．（2020秋•朔州月考）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在同一条直线上．（1）若BE⊥AD，∠F＝63°，求∠A的大小．（2）若AD＝11cm，BC＝5cm，求AB的长．3．（2020秋•崆峒区期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别是边AC，AB上的点，且AE＝CD，BD交CE于点P．（1）如图①，求证：∠BPC＝120°；（2）点M是边BC的中点，连接P A，PM，如图②，若点A，P，M三点共线，求证：AP＝2PM．知识点6相似三角形1、相似三角形的概念与性质：相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.两个全等的三角形是特殊的相似三角形，它们的相似比为1：1.2、相似三角形的性质：①相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.3、相似三角形的判定①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.③如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.4、黄金分割一般地，点C 把线段AB 分成两条线段 AC 和 BC （如图）， 如果AC BC AB AC=，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割， 点C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.黄金比0.618AC AB =≈.【典例】例1 （2021•长宁区一模）如图，己知在△ABC 中，点D 、点E 是边BC 上的两点，联结AD 、AE ，且AD ＝AE ，如果△ABE ∽△CBA ，那么下列等式错误的是（ ）A ．AB 2＝BE •BCB ．CD •AB ＝AD •AC C ．AE 2＝CD •BED ．AB •AC ＝BE •CD例2 （2020秋•金川区期末）如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，如果△ADE ∽△ABC ，AD ：AB ＝1：4，BC ＝8cm ，那么△ADE 的周长等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．6cmD ．12cm例3（2020秋•蜀山区校级月考）如图，在△ABC ，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，△ADE ∽△ACB ，相似比为AD ：AC ＝2：3，△ABC 的角平分线AF 交DE 于点G ，交BC 于点F ，求AG 与GF 的比．例4（2020秋•双流区校级月考）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm /s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm 每秒的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过几秒，△PBQ 与△ABC 相似？（AB ＝6cm ，BC ＝8cm ）【随堂练习】1．（2020秋•二道区期末）在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm 变成了2cm ，则缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ）A ．13B ．16C ．19D ．1122．（2020秋•市中区期中）已知△ABC 的三边长分别为6，8，10，和△ABC 相似的△A ′B ′C ′的最长边长30，求△A ′B ′C ′的另两条边的长、周长及最大角的大小．3．（2020秋•荥阳市期中）已知Rt△ABC的两直角边AB，AC的长分别为6cm和8cm，动点D从点A开始沿AB边向点B运动，速度为1cm/s；动点E从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s．若两点同时运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么何时△ADE与△ABC相似？综合运用1．（2020秋•浦北县期中）如图，在等边△ABC中，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，且等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（）A．5B．4C．3D．22．（2020春•荔湾区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上的中点，则CD为（）A．10B．3C．5D．43．（2020秋•兰州期末）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请证明△ABC 为直角三角形，并求出其面积．4．（2020春•宽城区期末）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上（1）若BE⊥AD，∠F＝62°，求∠A的大小；（2）若AD＝9cm，BC＝5cm，求AB的长．5．（2020秋•文山市期末）如图是一块地，已知AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，且CD⊥AD，求这块地的面积．6．（2020秋•陕西期中）已知：如图在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．求证：△BEC∽△BCH．7．（2020秋•利通区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）求∠ADB的度数．8．（2020春•内江期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．9．（2020秋•香坊区期末）已知：等边△ABC，点D为AC上一点，DF⊥BC，垂足为点F，点E为BC延长线上一点，分别连接DB、DE，AD＝CE．（1）如图1，AD≠CD，求证：BF＝EF；（2）如图2，点G为BC中点，连接DG，若AD＝CD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有是△DFG面积二倍的三角形．10．（2020秋•东城区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．（1）求证：△P AF∽△AED；（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出P A的长．。
新浙教版八上第一章三角形的初步知识
第一章 三角形的初步知识复习总目1、掌握三角形的角平分线、中线和高线2、理解三角形的两边之和大于第三边的性质3、三角形全等的判定知识点概要1、 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.2、 三角形的分类：(1)按角分类： (2)按边分类：3、 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线 （2）三角形的角平分线（3）三角形的高 4、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 5、 三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180 ; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 6、三角形的稳定性：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性. 7、全等三角形（1）三角形全等的判定 （SAS ） （ASA ） （AAS ） （SSS ） （HL ）（2）全等变换：只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：（1）平移变换 （2）对称变换（3）旋转变换中考规律盘点及预测三角形的两边之和大于第三边的性质历年来是经常考到的填空题的类型，三角形角度的计算也是考到的填空题的类型，三角形全等的判定是很重要的知识点，在考试中往往会考到。
典例分析三角形直角三象形 斜三角形锐角三角形钝角三角形三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形例1、小华要从长度分别为5cm 、6cm 、11cm 、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成 一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ 6 ．___11___.____16___. 例2 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ， △ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（ ） 例3 如图，在下列条件中，不能证明△ABD ≌△ACD 的是（ ） A.BD=DC ，AB=AC B.∠ADB=∠ADC ，BD=DC C.∠B=∠C ，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C ，BD=DC例4 如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，点A 、D 在直线BE 的 两侧，AB ∥DE ，BF =CE ，请添加一个适当的条件： ， 使得AC =DF .基础练习一、精心选一选(每小题3分，共30分)1、在下列各组图形中，是全等的图形是( )A 、B 、C 、D 、 2、下列各图中，正确画出AC 边上的高的是( )A 、B 、C 、D 、 3、如图1，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD ，使其不变形，这样做的根据是( ) A 、两点之间的线段最短； B 、三角形具有稳定性； C 、长方形是轴对称图形； D 、长方形的四个角都是直角；4、图2中的三角形被木板遮住了一部分，被遮住的两个角不可能是( ) A 、一个锐角，一个钝角； B 、两个锐角；C 、一个锐角，一个直角；D 、一个直角，一个钝角； 5、以下不能构成三角形三边长的数组是( )A 、(1，3，2)B 、(3，4，5)C 、(23，24，25) D 、(3，4，5)6、一个三角形的两个内角分别为55°和65°，这个三角形的外角不可能是( )A A A AB B B BC C C C E E EE BA CD EF 图1图2A 、115°B 、120°C 、125°D 、130°7、小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图3所示的四块(图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带( )去 A 、第1块； B 、第2块； C 、第3块； D 、第4块；8、如图4，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，且CD 、BE 相交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC=( )A 、150°B 、130°C 、120°D 、100°9、用12根火柴棒(等长)拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是( )A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 10、如图5，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 边上的 点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为( ) A 、15° B 、20° C 、25° D 、30° 二、耐心填一填(每小题3分，共30分)11、在△ABC 中，若∠A －∠B=90°，则此三角形是________三角形；若C B A ∠=∠=∠3121，由此三角形是_______三角形；12、如图6，已知AC=BD ，要使△ABC ≌△DCB ， 只需增加的一个条件是________________； 13、设△ABC 的三边为a 、b 、c ，化简______________|b a c ||a c b ||c b a |=--+--+--14、已知三角形的两边长分别是3cm 和7cm ，第三边长是偶数，则这个三角形的周长为___________cm ； 15、如图7，在△ABC 中，已知AD=DE ，AB=BE ，∠A=80°，则∠CED=________16、如图8，把矩形ABCD 沿AM 折叠，使D 点落在N 点处，如果AD=35cm ，DM=5cm ，∠DAM=30°，则AN=_____cm ，NM=______cm ，∠BNA=_________度；17、如图9，△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，BD 、CE 交于点O ，且AD=AE ，连结AO ，则图中共有_________对全等三角形；18、如图10，已知∠B=∠C ，AD=AE ，则AB=AC ，请说明理由(填空) 解：在△ABC 和△ACD 中， ∠B=∠______ (__________) ∠A=∠______ (________________)12 3 4图3ABCED 图5ABCDO图6D AB EC 图7 A B CD N M 图8 A B C DE O图9 ABD图10ABEAE=________ (__________) ∴△ABE ≌△ACD (______________)∴AB=AC (______________________________) 19、如图11所，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________； 20、用一副三角板可以直接得到30°、45°、60°、90°四种角，利用一副三角板可以拼出另外一些特殊角，如75°、120°等，请你拼一拼，用一副三角板还能拼还能拼出哪些小于平角的角？这些角的度数是：____________________； 三、细心做一做(共60分)24、(8分)某产品的商标如图15所示，O 是线段AC 、DB 的交点，且AC=BD ，AB=DC ，小华认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是： ∵AC=DB ，∠AOB=∠DOC ，AB=AC ， ∴△ABO ≌△DCO你认为小华的思考过程对吗？如果正确，指出他用 的是判别三角形全等的哪个条件，如果不正确， 写出你的思考过程。
浙教版八年级上册数学第1、2单元知识点
浙教版八年级上册数学第1、2单元知识点总结
1.三角形的初步知识
1.1.认识三角形
每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理。
如：定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
2.6.直角三角形
直角三角形：有一个角是直角的三角形。
直角三角形的两个三角形互余。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
2.7.探索勾股定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，则a2+ b2=c2
勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
2.8.直角三角形全等的判定
直角三角形全等的判定定理：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
苏教版八年级上册数学知识点汇总
苏教版八年级上册数学知识点汇总第一章三角形的初步知识•三角形的概念与分类：理解三角形的定义，掌握按边和角对三角形进行分类（如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等）。
•三角形的三边关系：理解并应用三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）进行边长判断。
•三角形的高、中线、角平分线、中位线：了解并掌握这些线段的概念、性质及画法，特别是中位线的性质（平行于第三边且等于第三边的一半）。
•三角形的稳定性：理解三角形在结构中的稳定性作用。
第二章全等三角形•全等三角形的概念与性质：理解全等三角形的定义，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质。
•全等三角形的判定：掌握全等三角形的几种判定方法，包括SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形专用）。
•全等三角形的应用：运用全等三角形的性质解决实际问题，如测量、作图等。
第三章轴对称与中心对称•轴对称图形与轴对称变换：理解轴对称图形的概念，掌握轴对称变换的性质，能识别并作出轴对称图形。
•中心对称图形与中心对称变换：了解中心对称图形的概念，掌握中心对称变换的性质，能识别并作出中心对称图形。
•设计轴对称或中心对称图案：通过实践活动，设计并制作轴对称或中心对称的图案。
第四章勾股定理•勾股定理的内容：理解并掌握勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）及其逆定理。
•勾股定理的证明：了解勾股定理的多种证明方法，如赵爽弦图、欧几里得证明等。
•勾股定理的应用：运用勾股定理解决直角三角形中的边长计算问题，以及涉及勾股定理的实际问题。
第五章数据的收集、整理与描述•数据的收集：了解数据收集的方法（如调查、实验等），掌握数据收集过程中的注意事项。
•数据的整理：学习数据的分类、排序、分组等整理方法，掌握频数分布表、频数分布直方图的绘制方法。
•数据的描述：理解平均数、中位数、众数等统计量的概念、意义及计算方法，能选择合适的统计量描述数据特征。
•数据的波动：了解极差、方差等描述数据波动程度的统计量，掌握其计算方法及意义。
二年级三角形知识点归纳总结
二年级三角形知识点归纳总结三角形是几何学中最基本的图形之一，它在我们日常生活中随处可见。
三角形的形状各异，具有多种性质和分类。
在二年级的学习中，我们已经初步接触了一些关于三角形的知识。
下面是对二年级三角形知识点的归纳总结。
一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，两条线段之和大于第三条线段。
三角形通常用大写字母A、B、C等来表示顶点，用小写字母a、b、c 等来表示对应的边长。
二、三角形的分类1. 按照边长的关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
- 等边三角形的三条边长相等。
- 等腰三角形的两条边长相等。
- 一般三角形的三条边长都不相等。
2. 按照角度的关系，三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。
- 直角三角形的一个角度为90度。
- 锐角三角形的三个角度都小于90度。
- 钝角三角形的一个角度大于90度。
三、三角形的性质1. 角度性质- 三角形的三个内角的和等于180度。
- 直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
2. 边长性质- 任意两条边之和大于第三条边，即a + b > c，b + c > a，a + c > b。
- 等边三角形的三边相等。
- 等腰三角形的两边相等，两底角也相等。
四、应用三角形的知识点广泛应用于建筑、工程、地理等领域。
以下是一些例子：1. 在建筑工程中，我们经常使用等边三角形的原理来调整墙面的角度，以保证水平度和垂直度。
2. 在地理学中，我们通过测量三角形的边长和角度，可以计算地球上两个位置之间的距离和方向。
3. 在航空导航中，三角形的正弦、余弦和正切等函数常常用于计算飞机的飞行轨迹和高度。
通过对二年级三角形知识点的归纳总结，我们可以更加深入地理解三角形的性质和分类，并将其应用于实际问题的解决中。
希望同学们能够通过不断的练习和思考，进一步掌握三角形的相关知识，为今后的学习打下坚实的基础。
三角形的初步知识
三角形的初步知识
三角形
1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。
2.分类
按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形(等边三角形是等腰三角形的特殊情况)；
按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，其中锐角三角形、钝角三角形统称为斜角形。
3．一般三角形的性质
(1)角与角的关系：三个内角的和等于180°；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。
(2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。
(3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。
4. 全等三角形
两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，其他的对应线段也相等。
判定两个三角形全等的公理或定理：
①一般三角形有SAS、ASA、AAS、SSS；
注意:SSA、AAA是错误的。
②直角三角形还有HL
1。
三角形的初步认识知识点总结
三角形的初步认识【概念】不在同一条直线．．．．．．．上的三条线段首尾．．．．．．顺次．．相接．．所组成的图形。
用符号“△”表示。
三边：AB 、AC 、BC 。
有时也用a 、b 、c 表示，顶点A 所对应的边BC 用a 表示，顶点B 所对应的边AC 用b 表示，顶点C 所对应的边AB 用c 表示。
三个内角：∠A 、∠B 、∠C 。
【分类】三角形{三边都不相等等腰三角形{底边和腰不相等等边三角形 三角形{直角三角形斜三角形{锐角三角形钝角三角形【基本性质】1、三角形内角和为180°。
2、三边关系 文字语言数学语言理论依据应用两边之和大于第三边在△ABC 中，a+b>c ；b+c>a ；a+c>b 。
两点之间，线段最短。
1、判断是否能组成三角形。
2、已知两边，求第三边取值范围。
两边之差小于第三边在△ABC 中，|a −b |<c ；|b −c |<a ；|a −c |<b 。
3、三角形的稳定性：当三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定。
4、三角形外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。
三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
【重要的线段】定义角平分线 一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。
中线 连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段。
高线从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段。
ABabcC“三线”交点中垂线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称“中垂线”。
性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
角平分线：性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
【全等三角形】1、定义：能够重合的两个三角形叫做全等三角形。
符号：≌（全等于）2、性质：对应边相等，对应角相等。
3、判定：（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.3证明(2)与三角形外角性质有关的证明
浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.3证明（2）与三角形外角性质有关的证明【知识点-部分】一、三角形的内角和定理及推论：1、三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；推论：由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论；推论可以当做定理使用。
2、三角形内角和定理的推论：推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
二、辅助线：1、当问题的条件不够用、不够集中时，需添加辅助线，构造新图形，形成新关系，找到已知与未知的联系，把问题转化成已经会解的情况，我们把在原图上添加的线叫做辅助线。
注：（1）辅助线通常画为虚线；（2）添加辅助线往往结合学习过的定理或概念。
【典型例题-精选部分】【例1】如图所示，∠A，∠1，∠2的从大到小关系是。
【例2】如图，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，则∠E的度数为。
【例3】如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，且∠BOC＝40°，则∠A的度数为。
【例4】将一把直尺与一块三角尺如图放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为。
【例5】将一副三角尺如图叠放，则图中∠α＝°。
【例6】如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在外的处，折痕为DE。
如果，，，那么下列式子中正确的是（）A、B、C、D、【例7】已知：如图，∠ADE＝∠A＋∠B，求证：DE∥BC。
【例8】如图，已知四边形ABDC，求证：∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C。
【例9】如图,∠B=36∘,∠D=50∘，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，AM交BC于点R，CM交AD于点Q，BC与AD交于点P，求∠M的度数。
【例10】如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC。
（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD=∠ADC；（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立?为什么?【例11】已知：如图一：△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分外角∠ACD。
三角形初步知识复习
5、如图，5条直线相交，得∠1, ∠2, ∠3,∠4, ∠5,∠6, ∠7。已知∠5 = 20º ， 则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 200 度。
2 1
7 3 6
4
5
180 度。 6. 计算：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
7、图中三角形的个数是（ D ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 当增加 n 条线的时候，有多少个三角形？
１、如图，BE、CF是△ABC 的角平分线， ∠A = 40°。则∠BOC=（ B ）度
A、70 B、110 C、120 D、140 2、如图,已知△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,AD是 BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠DAE=（ A ） 度。 A A、15 B、30 C、45 D、25
2、三角形的三线
a. 三角形的三条高线(或高线所在的直线)交于一点, 锐角三角形三条高线交于三角形内部一点, 直角三角形三条高线交于直角顶点， 钝角三角形三条高线所在的直线交于三角形外部 A 一点。 A A F D E F D b. 三角形的三条中线交于三角形内部一点。 E B C C
B
B
C D
c. 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点。
变式：在△ABC中，若∠A=∠B+∠C， 则△ABC是（ C ）
A、锐角三角形 C、直角三角形 B、钝角三角形 D、等腰三角形
3、如图,在△ABC中,∠A = 40°, ∠B = 70°, 则∠BCD＝ 110 度．
∠BCD＝ ∠A +∠B
三角形的一个外角等于和它不相邻 的两个内角的和。
4、能把一个三角形分成面积相等的 两部分是三角形的（ A ） A、中线 B、高线 C、角平分线 D、过一边的中点且和这条边垂 直的直线
三角形的初步知识
三角形的初步知识一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形的表示：三角形用符号“ ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ ABC”，读作“三角形ABC”。
3、三角形的三边关系：（1）三角形的两边之和大于第三边。
（2）三角形的两边之差小于第三边。
（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
4、三角形的内角的关系：（1）三角形三个内角和等于180°。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
6、三角形的面积三角形的面积=1/2×底×高二、线段垂直平分线，角的平分线，垂线1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2、角的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
角的平分线有下面的性质定理：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
三、平行线1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
4、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补。
三角形的初步知识
3 三角形的外角
三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角和。 一张小凳子的结构如图所示， ∠1＝∠2，∠3＝100°， 求∠1的度数。 1 2
3
二.三角形中的三线
1 三角形的角平分线
都是线段
如图：AE是ABC 的角平分线。已知
B 40 , C 60，求 AEB的大小
C E A B
如图，点E是平行四边形ABCD的边CD的中点，AD，BE 的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则平行四边形AB CD的周长为（ ）。
A:5
B:7
C:10
D:14
如图，△ABC两条角平分线BD、CE相交于点O， ∠A=60°，求证：CD+BE=BC．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上 的中线，过C作AE• 的垂线CF，垂足为F，过B作BD⊥BC 交CF的延长线于点D． （1）试说明：AE=CD； （2）AC=12cm，求BD的长．
3 三角形的高
三角形有几条高?
用三角尺分别作如下锐角三角形ABC, 直角三角形DEF和钝角三角形PQR的各 边上的高.
A
D C E
F Q
P R
B
观察你所作的图形,比较三个三角形中三 条高的位置,与三角形之间有什么关系?
如图：在 ABC 中， ACB 90，
CD是斜边上的高，CE是 ABC 的角
平分线，已知 CEB 105 求
ECB, ECD 的度数。
C
A
D
E
B
三 两个三角形全等的判定方法
SSS
SAS
ASA
AAS
练习:
1、下列条件，可以判定△ABC与△DEF 全等的是（ D ） A、∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F B、AB=DE， ∠B=∠E， AC=DF C、∠A=∠D， ∠C=∠F ， AB=EF
三角形初步知识点
三角形初步知识点三角形是几何学中一个常见的形状，具有广泛的应用领域。
本文将介绍三角形的基本定义、性质和分类。
一、三角形的定义和基本性质1. 定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中每两条线段之间都连接在一起，形成了三个内角和三个外角。
三角形的三个线段称为边，三个内角称为内角，三个外角则包围整个三角形。
2. 内角和：任意三角形的内角和等于180度。
即∠A + ∠B + ∠C = 180°，其中∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角。
3. 外角和：任意三角形的外角和等于360度。
即∠A' + ∠B' + ∠C'= 360°，其中∠A'、∠B'、∠C'表示三角形每个内角对应的外角。
4. 三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，且任意两边之差小于第三边。
即对于三角形ABC，AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度的大小，可以将三角形分为以下几种常见类型：1. 根据边长分类：a) 等边三角形：三条边长相等的三角形，记作△ABC，其中AB = BC = AC。
b) 等腰三角形：两条边长相等的三角形，记作△ABC，其中AB= AC或BC = AC或AB = BC。
c) 普通三角形：三条边长都不相等的三角形，记作△ABC，其中AB ≠ BC ≠ AC。
2. 根据角度大小分类：a) 直角三角形：其中一个内角为直角（90度），记作△ABC，其中∠C = 90°。
b) 钝角三角形：最大的内角大于90度，记作△ABC，其中∠C > 90°。
c) 锐角三角形：三个内角都小于90度，记作△ABC，其中∠A、∠B、∠C均小于90°。
关于三角形的分类，还有一些特殊的组合，如：等边且等角的三角形是正三角形，有一个角为直角的等腰三角形是等腰直角三角形等。
人教版八年级上册数学各单元知识点归纳总结
人教版八年级上册数学各单元知识点归纳总结
第一章：三角形的初步知识
1. 三角形的基本性质：稳定性、内角和定理（三角形内角和为180度）。
2. 三角形的分类：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。
3. 三角形的边与角的关系：边长与角度的关系，如a:b:c=sinA:sinB:sinC。
第二章：全等三角形
1. 全等三角形的定义及性质。
2. 全等三角形的判定方法：SSS（三边全等）、SAS（两边及夹角全等）、ASA（两角及夹边全等）、AAS（两角及非夹边全等）、HL（直角边斜边公理）。
3. 全等三角形的证明方法。
第三章：轴对称与中心对称
1. 轴对称与中心对称的基本性质。
2. 轴对称与中心对称图形的识别与证明。
3. 图形变换的基本方法。
第四章：四边形
1. 四边形的性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形等的基本性质。
2. 四边形的判定方法。
3. 四边形的面积计算。
第五章：一次函数
1. 函数的基本概念：自变量、因变量、常数。
2. 一次函数的定义及性质。
3. 一次函数的图象表示方法。
4. 一次函数的解析式及求法。
5. 一次函数的应用：求最值、求交点等。
第六章：一元一次不等式
1. 不等式的基本性质。
2. 一元一次不等式的解法：去分母、去括号、移项合并同类项等。
3. 一元一次不等式的应用：比较大小、求解最值等。
三角形的初步知识
第1章 三角形的初步知识1．1 认识三角形①一、参考答案 【学习准备】1．三角形，长方形，圆等． 2．三角形三个内角的和等于180°等． 【课本导学】 『思考一』1.不在同一直线上，首尾顺次．2. AD 是△ABD 、△ADE 、 △ADC 的边 C ∠是△ABC 、△ADC 、△EDC 的角． 『练习』第4页做一做．(1)△ABD ,边：,,AB AD BD ；角：,,A ABD ADB ∠∠∠；△ABC ,边：,,AB AC BC ；角：,,A ABC C ∠∠∠； △DBC ,边：,,DC DB BC ；角：,,CDB DBC C ∠∠∠． (2)∠ABC =80°.第6页作业题1．(1)有5个．分别是△ABC 、△BCD ．△ABD 、△BCE 、△DCE . (2) ∠A =55°.『归纳』通常先固定一个顶点，变换另两个顶点，这样就能做到不重不漏． 『思考二』还可以按边的大小进行分类．『练习』第5页课内练习1 ．锐角三角形：△ADE ；直角三角形：△ACD ；钝角三角形：△ACB ， △CDB ．『归纳』．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形． 『思考三』1．（1）,B C ；（2）,A B ；（3）,A C ．2．因为三条线段的长度都已给出，且a b c <<，则显然,a c b b c a +>+>，故只需验证a b c +>． 3．方案一：（作图法）任画一个三角形，先利用直尺和圆规画出任意两边之差，再把这个差与第三边作比较．方案二：（度量法）任画一个三角形，先用刻度尺度量三边的长度，再计算任意两边之差，并把这个差与第三边作比较．结论：三角形任何两边的差小于第三边． 『练习』第5页课内练习2 ．(1) 最长线段是3.5cm ，而12 3.5+<，∴这三条线段不能组成三角形； (2) 最长线段是9cm ，而459+=，∴这三条线段不能组成三角形； (3)最长线段是13cm ，而6813+>，∴这三条线段能组成三角形． 第6页课内练习3．(1)<（三角形任何两边之和大于第三边）；(2)>（三角形任何两边之和大于第三边）．第6页作业题2． (1)最长线段是20cm ，而15820+>，∴这三条线段能组成三角形；(2) 最长线段是15cm ，而7815+=，∴这三条线段不能组成三角形； (3)最长线段是15cm ，而5815+<，∴这三条线段不能组成三角形．作业题3．能．先利用直尺和圆规画出线段AB =a +c ，比较AB 与b ，可知a c b +>，即a 、b 、c 能组成三角形．（也可用刻度尺度量） 『归纳』．1．大于，小于．2．(1)比较三条线段的长度，确定最长的一条．如果三条线段等长，那么其中任何一条都可以看做最长的一条；(2)把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较，如果大于，则可以组成三角形，否则不能组成． 【学习检测】1．D ． 2．4，6，0． 3．C ．4．5个．1,6,6;2,5,63,4,63,5,54,4,5；；；． 【拓展提高】 1．21+3+5+7++21)n n -=（．2．如图1，P 即为所求作的点．理由：如图2，在直线a 上任取一点'P (不与P 点重合)，连结'',P M P N ， 则有：''PM PN MN P M P N -=+＞， 即PM PN -最大．二、《学习导航》使用建议“学习准备”和“思考一”可以安排在课前完成，课堂上针对“学习准备” 和“思考一”自主学习中所形成的共识、产生的困惑和疑问开展交流讨论，“思考二”和“思考三”可先让学生独立思考、再交流讨论，最后由老师引导小结，相应的练习配置及检测部分可视课堂进展灵活处理． 三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）三角形的基本概念．（2）三角形按内角大小的分类．（3）三角形三边的关系． 2．思想方法方面数三角形的个数，将三角形按内角大小进行分类，从多条线段中任选三条拼接三角形，这些活动都体现了数学分类思想方法．3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等． 在进行分类讨论时，要遵循的基本原则：不重不漏．4．需要进一步研究的问题：直角三角形是一种很特殊的三角形，它具有哪些独特的性质？三角形如果按边的大小进行分类，又该如何分类？1．1 认识三角形②一、参考答案【学习准备】1．略． 2．略． 【课本导学】 『思考一』1．三角形的角平分线和角的平分线均将已知角二等分，但三角形的角平分线为线段而角的平分线为射线．2．垂线段，垂线段，距离． 3．(1)EC ，12，12S ，等底同高的三角形面积相等； (2) FC ，12，14S ； (3) 14S ，14S ，14S ．『练习』课本第7页做一做．1．发现三条角平分线相交于三角形内部一点．课本第7页做一做．2．发现三条中线相交于三角形内部一点．课本第7页做一做．3．(1)略；(2)锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形斜边上的高在三角形的内部，某一条直角边上的高即另一条直角边；钝角三角形钝角所对边上的高在三角形的内部，其他两条边上的高都在三角形的外部． 课本第8页课内练习1．(1)略，(2)略．课本第8页课内练习2．(1) 有；(2)相等，因为等底同高的三角形面积相等． 课本第9页作业题1．,DC BC ；,BCE ACB ∠∠．课本第9页作业题3．发现：△ABD 和△ACD 的公共边AD 上的高相等．理由：分别以BD 和DC 为底，易知△ABD 和△ACD 等底同高，所以△ABD 和△ACD 面积相等.以公共边AD 为底，则由面积相等易知公共边AD 上的高相等.『归纳』．1．锐角，直角，钝角． 2．相等．『思考二』1．(1)略， (2) ①01402EAC EAB BAC ∠=∠=∠=，三角形角平分线的性质； ②090ADC ADB ∠=∠=，三角形高的性质；③DAE DAC EAC ∠=∠-∠或DAE BAE BAD ∠=∠-∠． 2．由∠DAE =∠BA E －∠BAD 亦可求解． 『练习』课本第9页作业题2．0045,15． 『归纳』．(1) 角平分线；(2) 直角；(3)内角和为180°；（4）和差．【学习检测】1．025． 2．3． 3．如下左图． 4．如下右图．HEDCBA【拓展提高】1．111111,,81622n n ++⎛⎫=⎪⎭⎝． 2．答案：如右图，连结BD ，,E F 分别为,AD BC 的中点，ABE DBE S S ∆∆∴=，BDF CDF S S ∆∆∴=1122S S ∴==四边形DEBF 四边形ABCD ．二、《学习导航》使用建议“学习准备”和“思考一”的内容可以安排在课前完成，课堂上针对“学习准备” 和“思考一”自主学习中所形成的共识、产生的困惑和疑问开展交流讨论，以及“思考二”的学习和讨论，检测部分可视课堂进展灵活处理．三、课堂小结建议 结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）三角形的角平分线、中线和高的概念．（2）三角形的角平分线、中线和高的性质及其相关计算． 2．思想方法方面将三角形的角平分线与角的平分线，三角形的中线与线段的中垂线，三角形的高和垂线进行类比，这体现了类比的数学思想方法．3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等．经历三角形的角平分线、中线和高等概念的形成过程，积累一定的数学活动经验．困惑：在1.1的第一课时，无论从教学内容，还是从课后的习题配备，编写教材的人似乎都在回避三角形内角和的性质，但在1.1的第二课时的例2和课后的习题中，似乎又默认了三角形内角和的性质，这着实让人有些费解．1．2 定义与命题（一）一、参考答案 【学习准备】1．角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线；三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．相同点：把一个角分成相等的两部分；不同点：角的平分线是一条射线，三角形的角平分线是一条线段． F ABCDE如图，射线AD 是∠BAC 的平分线，线段AD 是△ABC 的一条角平分线． 2.∠B =∠B ′，∠B +∠B′=180º如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 【课本导学】 『思考一』1． 北约、华约、卓越联盟.2．举例：①一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．②角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．③单项式：t 100，p 8.0，mn ，h a 2，n 这些式子都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式． 定义的一般形式为：前半部分为描述部分，能清楚地规定某一名称或术语的意义，后半部分一般为固定模式，定义的形式为：“……的 ……叫做××”． [练习]课本第10页“做一做”（1）无理数：像2这种无限不循环小数叫做无理数；（2）直角三角形：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形；(3)角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线(4)抽样调查：人们在研究某个自然现象或社会现象时，往往会遇到不方便、不可能或不必要对所有的对象作调查的情况，于是从中抽取一部分对象作调查分析，这种调查方法叫做抽样调查． 课本第11页课内练习1：（1）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；（2）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形； （3）梯形：一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形叫做梯形． 课本第12页作业题1：剪切力，张力，压力，地壳应力. 课本第12页作业题2：略.『归纳』要学会找定义中的关键字词，掌握它们的属性以及相互之间的联系，避免出现概念混淆，要学会区分某些相近的概念，如角平分线与三角形的角平分线，三角形的高线与垂线的等概念之间的联系．『思考二』1.命题由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项．一般地，把命题统一改写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开头的部分是条件，“那么”后面的部分是结论．2.讲解定义、命题的含义时，要突出语句的作用．句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断，跟判断的正确与否没有关系． [练习]课本第11-12页课内练习2：（2）（3）是 命题，（1）（4）不是命题； 课本第11-12页课本练习3：（1）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等； （2）如果两个角是直角三角形的两个锐角，那么它们互余． 课本第11-12页课内练习4：略 课本第12页作业题3：（3）、（4）是命题，（1）、（2）不是命题. 课本第12页作业题4：略.『归纳』可以将命题改写成“如果．．．，那么．．．”的形式，并注意命题的语句要符合语言的表达习惯与逻辑． 【学习检测】1.像问题中的逃逸塔、助推器、一二级、整流罩等名词的含义必须有明确的规定，即需要给出定义． 2．（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．3. (1)条件：有两个角是同一个角的余角，结论：这两个角相等 如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等.(2)条件：一个点在线段的垂直平分线上，结论：这个点到线段的两个端点距离相等 如果一个点在线段的垂直平分线上，那么它到线段的两个端点距离相等. 4．特征：这些整数都能被2整除偶数：能被2整除的整数叫做偶数． 【巩固提高】 1．（1）①③是奇异三角形，②不是；（2）设三边为a ，b ，c ，且c b a <<，则满足2222b c a =+即可.2．（1）2012a 的差倒数2013a = 4 ；（2）差倒数数列是一组循环的数，每三个数为一循环，分别是11,,434-. 二、《学习导航》使用建议“学习准备”和“思考一”可以安排在课前完成，课堂上针对“学习准备” 和“思考一”自主学习中所形成的共识、产生的困惑和疑问开展交流讨论，“思考二”可先让学生独立思考、尝试完成后，再由老师引导小结，挖掘拓展.相应的练习和作业题及检测部分可视课堂进展灵活处理．三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）定义和命题的概念和意义． （2）命题的基本构成． 2．思想方法方面学会数学语言的转化思想，引导规范化的几何语言描述，加强文字语言与结合图形的数学语言的互译.3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等．（1）提高分析能力，学会寻找数学名词的定义中的关键字词；（2）困惑：学生对文字语言的理解、表述和句式的变换（简单句变换为复合句）感到困难，应加强训练学生克服文字语言与结合图形的符号语言之间的转化能力.4．需要进一步研究的问题：找出命题的条件和结论是本节课的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去．1．2 定义与命题（二）一、参考答案【学习准备】 1.条件：直线a ,b 被c 所截，∠1=∠2结论：a ∥b 2．（1）不正确，举例说明：33-≠，但33-=（2）不正确．因为线段可以度量，而射线和直线不可度量，所以它们不能比较． （3）正确．如图，a ⊥b ，c ⊥b ，可以说明直线a ∥c ． ac 12a b理由：由已知a ⊥b ，c ⊥b ，根据垂直的意义，得∠1=∠2=90º ∴a ∥c （同位角相等，两直线平行）【课本导学】 『思考一』1.判定一个命题是真命题，常用推理的方式，根据已知事实来判断未知事实；也有一些经过长期实践公认为正确的命题；判断假命题，常用举反例的方法． 2.（1）假命题，反例：若两个角为30 º，45 º，但30 º+45 º<90º （2）钝角的一半是锐角．真命题.理由：设钝角为α，则︒<<︒18090α，则︒<<︒90245α[练习]课本第15页课内练习1：略；课本第15页作业题3：略.『思考二』1. 反例要符合命题的条件，但不满足命题的结论．假命题的反例不一定唯一. 假命题：（1）对于任何实数ｘ，0>x ；（2）a a >2（1）的反例是唯一的，只有0=x ；（2）的反例是：满足0a ≤的所有实数 2.0a ≥ [练习]课本第14页做一做：（1）真.可由度量或观察得到.（2）真.是人类经过长期实践后公认为正确的命题.（3）真.根据同位角相等，两直线平行可以判断.（4）假.反例：蝙蝠会飞，但不是鸟类. 课本第15页作业题1：（1）是真命题；（2）（3）（4）是假命题.理由略. 课本第15页作业题2：是假命题，理由：当3=x 时，原方程无意义『归纳』判断一个命题是假命题，通常用举反例的方法，说明一个命题是真命题，需要严密的逻辑推理．『思考三』1.基本事实和定理都是真命题，都可以作为判断其他命题的依据．定理是用推理的 方法判断为正确的命题，基本事实是经过长期实践公认为正确的命题， 已经学过的几个基本事实： （1）两点确定一条直线； （2）两点之间线段最短；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．已经学过的定理：三角形任何两边的和大于第三边.2.课本里只选择部分最基本、最常用的命题作为定理，用它们为依据来推证其他命题.3.区别：性质定理是根据两条直线平行，去证角的相等或互补，判定定理是根据两角相等或互补，去证两条直线平行．联系：它们都是以两条直线被第三条直线所截为前提；它们的条件和结论是互逆的． [练习]课本第15页课内练习2：理由如下：∵∠2+∠3=180º，又∵∠1+∠2=180º∴∠1=∠3 ∴a ∥b 课本第15页作业题4：∵∠1=∠2，∴1l ∥2l∴∠3=∠4『归纳』略.【学习检测】1．C 2．0=x ．3．（1）假命题；反例：如图，点M 在线段AB（2）真命题4．解：DE ∥BC .理由如下：∵BD ⊥AC ，FG ⊥AC ，∴BD ∥FG , ∴∠1＝∠DBC ∵∠1＝∠2∴∠2＝∠DBC ，∴DE ∥BC . 【巩固提高】1. ∠B =∠C . 理由如下：∵AD ∥BC ，∴∠EAD ＝∠B , ∠DAC ＝∠C ∵AD 平分∠EAC , ∴∠EAD ＝∠DAC ∴∠B ＝∠C2．真命题：①②⇒④理由：∵BD 是∠ABC 的平分线；∴∠DBC ＝21∠ABC ∵CE 是∠ACB 的平分线；∴∠EC B ＝21∠ACB∵∠A +∠ABC +∠ACB ＝180º， ∴12(∠A +∠ABC +∠ACB )＝90º，即∠DBC +∠ECB =90º－12∠A 又∵∠BFC +∠DBC +∠ECB ＝180º ∴∠BFC =180º －（90º－12∠A ）=2190+︒∠A∵∠A =α ∴∠BFC =α2190+︒真命题：①③⇒⑤理由：∵BD 、CE 是ΔABC 的两条高 ∴∠ADB =∠BEC =90º ∴∠A +∠ABD =90º，∠EFB +∠ABD =90º ∵∠EFB =∠A =α ∴∠BFC =α-︒180.二、《学习导航》使用建议“学习准备”和“思考一”可以安排在课前完成，课堂上针对“学习准备” 和“思考一”自主学习中所形成的共识、产生的困惑和疑问开展交流讨论，“思考二”可先让学生独立思考、尝试完成后，再由老师引导小结，挖掘拓展，相应的练习配置及检测部分可视课堂进展灵活处理．三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结：A1．知识技能方面（1）理解真命题、假命题和定理的概念；（2）会在简单情况下判断一个命题的真假，会区分基本事实、定理和命题； （3）理解反例的意义和作用，掌握在简单情况下利用反例说明一个命题是错误的 2．思想方法方面通过对真假命题的判断，培养学生科学严谨的学习方法. 3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等．（1）让学生理解真命题常常通过推理的方式即根据已知事实来推断未知事实，也有一些命题是人们经过长期实践后而公认为正确的命题；（2）困惑：反例有助于加深学生对命题的条件和结论之间关系的认识，但是构造反例是困难的. 4．需要进一步研究的问题： 进一步学会用推理的方法来判断真命题的成立.1.3 证明（1） 【学习准备】1. 图1、图2中的直线看上去并不平行，而实际上是互相平行的.2. 视觉上是左边的小圆小于右边的小圆.【课本导学】『思考一』1.可以用推平行线法或利用平行线的判定方法找相等的同位角或内错角、互补的 同旁内角 ．2.如：n =6时，代数式的值是25，不是质数．『练习』第16页“合作学习”：2. “对于自然数n ，代数式237n n -+的值都是质数”是个假命题.如：n =6时，代数式的值是25，不是质数.『归纳』1.说明一个命题是真命题，我们往往需要进行证明．说明一个命题不是真命题，我们只需要举出相应的反例即可.2. 在以往的学习中，我们已经学习过简单的说理过程.比如学习平行线性质运用的时候. 『思考二』1．说明∠1=∠2的过程中∠E 起着桥梁作用.2．要想证明BE 平分∠ABC ，只要证明∠1=∠2.而已知∠1=∠E ，由DE ∥BC 可知 ∠2=∠E ，从而∠1=∠2可证.从而原命题可证. 『练习』课本第17页课内练习1： 证明：∵∠1=∠2 （已知），∴DE ∥BC （内错角相等，两直线平行）， ∴∠ADE =∠B （两直线平行，同位角相等）. 课本第17页课内练习2：证明：∵CE 平分∠ACD （已知），∴∠ACD =2∠ECD （角平分线的意义）. 又∵∠ACD =2∠B （已知）， ∴∠ECD =∠B （等量代换），∴CE ∥AB （同位角相等，两直线平行）. 课本第18页作业题2：∠B+∠C1802A-∠1802A-∠同角（等角）的余角（补角）性质等.『思考三』1．例2的结论还可以有：∠EPF=90°，EP⊥FP.命题：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直.2. 由平行线性质，将同旁内角之间的位置关系转化为“和为180°”这个数量关系；由角平分线转化为两角相等.『练习』第17页作业题1 ：已知，GH，180°，两直线平行同旁内角互补，垂直的意义，垂直的定义．『归纳』1．两直线平行同旁内角互补．2．对顶角相等；若两直线相交成90度角，那么这两条直线互相垂直；若两线垂直，则相交成90度；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；同（等）角的余（补）角相等；角平分线分得的角相等；三角形内角和为180度；等等．【学习检测】1．70°.2．证明：∵a∥b，∠1=50°（已知），∴∠3=50°（两直线平行，内错角相等），∵c∥d（已知），∴∠4=∠3=50°（两直线平行，内错角相等）.∴∠2=180°－∠4=130°.3．证明：∵AB∥DC（已知），∴∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵AD∥BC（已知），∴∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠A=∠C（同角的补角相等）.4．证明：∵AB∥DE（已知），∴∠AGF=∠E（两直线平行，同位角相等），∵BC∥EF（已知），∴∠AGF=∠B（两直线平行，同位角相等）∴∠B=∠E（等量代换）.【巩固提高】1.可得到结论：∠ABC=∠DEF，AB∥ED.ab c21d34第2题A BCE F D GH证明：∵AC ∥FD （已知），∴∠C =∠F （两直线平行，内错角相等），∵∠A =∠D （已知），∠ABC =180°－∠A －∠C ，∠DEF =180°－∠D －∠F (三角形内角和为180°）， ∴∠ABC=∠DEF∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）.2．不是真命题.223n n ++=(2)3n n ++，当n 为正整数时，n 与(2)n +同奇或同偶，(2)n n +的结果可奇可偶，那么加上3，结果也是可奇可偶.当n 为偶数时，223n n ++都是奇数.二、《学习导航》使用建议“学习准备”和“思考1”及练习的学习可以在课前进行，使学生自主回顾已学习的相关知识.课堂上进行“思考2、3”的学习和讨论．各部分相应设置的课本中练习可以酌情选做.本节课的关键在于使学生学会分析证明思路和书写简单的证明过程，在书写过程中强调步步有依据.三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）学会简单的证明过程的书写，掌握书写格式. （2）知道用举反例的方法说明一个命题是假命题． （3）学会简单的分析方法，并能口述分析问题的思路.2．思想方法方面在证明过程中体会数与形的互相转化，渗透转化思想；在分析和书写过程中，加强逻辑性、条理性的训练，提高学生的思维能力；在解题后的反思中，引导学生归纳几何中常见的方法和模型.3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等：经验有：证明角相等的方法归类；数形互相转化的途径等．困惑的地方有：第18页作业题2中必须用到三角形内角和的性质，这里的理由书写是否直接沿用小学的知识就可以了.1.3 证明（2） 【学习准备】如图，将∠A 沿过AB 、AC 中点的直线EF 对折，则点A 恰好落在边BC 的点D 上.根据对折知AE =ED ，AF =FD .从而有BE =ED ，DF =CF ，所以沿EG 、FH 对折，可以得到B 、D 两点重合，C 、D 两点重合.因此，∠BAC +∠B +∠C =∠BDE +∠EDF +∠FDH =180°.【课本导学】『思考一』1．（1）都是将原三角形的三个内角拼成一个平角来验证. （2）有.如图所示：图3ABCED图1ABCE图2DA BFE2.(1)三角形外角的性质，描述的是三个角之间的关系，并且是将一个大角写成了两个较小的角的和.这种形式，是以往的定理中没有出现过的.（2）∠B=55°.『练习』(1) 课本第20页作业题1：已知，高线的意义，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．课本第20页作业题3：解：∵∠3=∠1+∠2=100°，∴∠1=∠2=50°．（2）课本第19页课内练习1：证明：在△ACD中，∠CAD=180°－90°－72°=28°.又∠DAB=∠CDA－∠B=72°－54°=28°.∴∠CAD=∠DAB，即AD平分∠BAC.课本第20页作业题2：证明：∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠BDC=75°，∠A=40°,∴∠ABD=35°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=35°，∠ABC=70°.∴在△BCD中，∠C=180°－35°－75°=70°.『归纳』1.最后一步“∠BOC=∠BEC+∠AC F”的理由是“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”．2. 运用了三角形的内角和定理、三角形外角的性质定理、角平分线的性质与判定.『思考二』1．内错角相等，两直线平行.同位角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.∴∠BOC=∠BOD +∠COD=（∠BAO+∠1）+（∠CAO+∠2）=∠BAC+∠1+∠2.『归纳』1.都构造了三角形的外角．2.三角形外角的性质可以将一个角转化为两个角的和；可以已知两个角，求第三个角．【学习检测】1．31°. 2．55°，80°. 3．C .4．证明：∵∠EAC=∠B+∠C，∠EAC=∠EAD+∠DAC又AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，∴∠EAC =2∠EAD =2∠B，∴∠EAD =∠B，∴AD∥BC.【巩固提高】1．80°.2.（1）∠A +∠ACD +∠D =360°. 证明：连结AD ， ∵A B ∥DE ，∴∠BAD +∠ADE =180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∵∠CAD +∠ACD +∠CDA =180°（三角形的内角和为180°），∴∠BAD +∠ADE +∠CAD +∠ACD +∠CDA =∠BAC +∠ACD +∠CDE =360°. (2) ∠ACD =∠BAC +∠CDE . 证明：连结AD ， ∵A B ∥DE ，∴∠BAD +∠ADE =180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∵∠CAD +∠ACD +∠CDA =180°（三角形的内角和为180°）， ∴∠BAD +∠ADE =∠CAD +∠ACD +∠CDA ，即（∠BAC +∠CAD ）+（∠CDA +∠CDE ）=∠CAD +∠ACD +∠CDA ， ∴∠ACD =∠BAC +∠CDE .或延长AC 交DE 于点F ，应用三角形外角性质也可推得结论.二、《学习导航》使用建议“学习准备”的自主学习可以在课前进行，作为对小学知识的回顾.课堂上对“思考1”进行分段自主学习，先讨论三角形内角和定理的证明思路和方法，然后学习三角形外角性质.“思考2”的学习和讨论，侧重于对辅助线添法的交流探讨.三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）掌握三角形内角和定理和三角形外角性质的证明方法. （2）进一步规范证明的表述格式. （3）初步体会辅助线的添加思路. 2．思想方法方面通过例3、例4中辅助线的添加方法探讨，体会数学中的构造思想和转化思想；通过辅助线的多样添加方法，体会数学解决问题策略的多样化.3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等：辅助线的添加思路是要将条件密集，构造出需要的图形，便于转化未知为已知.1.4 全等三角形 【学习准备】 图案标记略.【课本导学】 『思考一』1．从形状和大小两个方面进行考虑.C A2. 生活中常见的全等图形有：国旗上的小五角星；相同的邮票、照片等等.3. 半径相等的圆，等等.图形略.[练习]课本第22页做一做．1.（1）是全等图形.大小形状都一样.（2）不是.形状相同，大小不等. 课本第22页２．是全等图形.可以叠合图形，看是否重合.课本第24页作业题2.（1）（2）正确.因为图形的形状大小相同.（4）正确.因为全等三角形大小相等，所以面积相等.（3）不正确.因为面积相等的三角形形状不一定相同.『归纳』1.叠合时可以将三角形的三个顶点逐一叠合；或将对应的角或边叠合.2.需要两个条件：形状相同，大小相等.『思考二』填空：完全重合；≌.1. 用符号“≌”表示两个三角形全等，书写时要注意对应顶点的字母写在对应的位置上.2. 若已知两个全等三角形的对应顶点，以对应顶点为顶点的三角形内角即所找的对应角，对应点连结的线段即对应边；知道对应角，则对应角的顶点即对应顶点，对应角所对的边即对应边，或对应顶点连结而成的线段即对应边；知道对应边，则对应边所对的角即对应角，对应角的顶点即对应顶点.[练习]课本第24页课内练习1 ：是全等图形；因为这样的两个圆大小相等，能够互相重合.课本第24页课内练习2：对应边：AO和DO，OC和OB，AC和DB；对应角：∠A和∠D，∠C和∠B，∠AOC和∠BOD.课本第24页作业题1：对应角：∠D和∠C，∠AOD和∠BOC；对应边：AO和BO，OD和OC，AD和BC；△OAD≌△OBC.『归纳』1. 全等三角形的对应顶点、对应角、对应边之间的联系：对应角的顶点是对应顶点；对应角所对的边是对应边；两组对应边所夹的角是对应角，两组对应角所夹的边是对应边.2. 用符号“≌”连接的一对全等三角形，在找对应顶点、对应边、对应角的过程中，对应位置上的两个字母表示的是对应顶点，字母对应两两组合成的字母对表示对应的边，字母三三组合成的字母组合表示对应的角.『思考三』1. 例2 中判断两个三角形全等的依据是图形全等的定义.2. 关键是判断点B和点C是否重合.分两个步骤进行：先判断两点所在的射线AB、AC对折后能重合，然后判断由线段相等判断射线上的点B和点C能重合.3. BD=CD，∠B=∠C，也可以直接应用“全等图形”的定义进行判断.题中已经说明了将图形沿AD对折后，点B、点C可以互相重合，因此线段DB、DC可以互相重合，所以BD=CD.而∠B与∠C的顶点及其两边分别可以重合，所以∠B=∠C.[练习]课本第24页作业题3：∠ADC，重合，C，重合，≌，全等三角形的对应角相等.『归纳』1. 本节课学习的全等图形的判定依据是全等图形的定义：能够互相重合的图形叫全等图形.。
浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》-分节知识点
这样的推理过程叫做证明。
-3-
2、证明表述格式 1、证明几何命题时，表述格式一般如下： （1）按题意画出图形； （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； （3）在“证明”中写出推理过程。 要点诠释： 1、在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线。
△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC≌△DEF，其中点 A 和点 D，点 B 和点 E，点 C 和点 F 是对应顶点；AB 和 DE， BC 和 EF，AC 和 DF 是对应边；∠A 和∠D，∠B 和∠E，∠C 和∠F 是对应角。
1、按角分类：
要点诠释： ① 锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ② 钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形。 要点四、三角形的三边关系 1、定理：三角形任意两边之和大于第三边. 要点诠释： （1）理论依据：两点之间线段最短；
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（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，
浙教版 8 年级上册数学第 1 章《三角形的初步知识》-分节知识点
一、认识三角形
要点一、三角形的定义 1、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ① 三角形的边：即组成三角形的线段； ② 三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③ 三角形的顶点：即相邻两边的公共端点。 （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”； （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作“△ABC”，读作“三角形 ABC”，
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知识回顾三角形的全等 图形的全等
B
A
C
概念及表示 性质：边、角 概念、表示及性质 条件（判定）：SSS SAS ASA AAS 应用 尺规作图 解决问题
线段的垂直平分线的性质 角平分线的性质
课前热身
1．三角形的内角和定理及推论 C [例1] （2004厦门）已知：如图,D是BC上一点, D ∠C＝62°,∠CAD＝32°,则 ∠ADB＝ 94 度. A B 2．三角形三边关系 [例2] （昆明市）以下列各组线段长为边，能构成三角形的 是（ A ） A、4cm、5cm、6cm B、2cm、3cm、5cm C、4cm、4cm、9cm D、12cm、5cm、6cm 3．全等三角形 [例3] （2004深圳）如图，若△ABC≌△DEF， B D 则∠E等于（ D ） A．30° B． 50° C．60° D．100° 50 30
6 ．如图，已知△ ABC中，∠ B=45°，∠C=75°， AD 是 BC 边 上 的 高 ， AE 是 ∠ BAC 的 平 分 线 ， ∠DAE=（ A ）度。 45° B A、15 B、30 C、45 D、25 7 ．（ 2005 大连）如图， AB＝CD. 点 B、E、F、 D在一条直线上，A＝C ，B＝D ，请说明 A AE＝CF的理由 。 说明：证明过程中要写出每步的证明依据。
° °
A
C
E
F
课前热身
4．角平分线性质 [ 例 4]7 、（ 2005 无锡） 如图， P是∠AOB 的平分线上的一 点，PC⊥AO于 C，PD⊥OB于 D，写出图中一组相等的线段 （只需写出一组即可）. PC=PD D B
(答案不唯一)
O P C A
5. 线段垂直平分线的性质 [例4] 如图，△ABC中,DE垂直平分AC，AB=3cm, BC=８cm, 则△ABＤ的周长是_______. 11cm
N B M
A
∴
△AMB ≌ △ANB
（ SSS ）
A 1 E
2、如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2， 说明BC=DE的理由.
2
C
B
D
课时训练
3、如图,已知OB=OD，那么还需补充一个条 件 OA=OC 或∠B=∠D 或∠A=∠C ,(写出一个即可） 才能使△ABO≌△CDO. A B
O D C
4、如图，AD是△ABC的高，且AD平分∠BAC，则∠B与∠C 相等吗？请说明理由。
课时训练
1．（长沙市）在△ABC中，若A＝80º ，B＝60º ，则C＝ ＿＿＿＿＿。 40° 2 ．（ 2004重庆）两根 5cm 、 8cm 的木棒，请取一根木 棒，与原来的两根摆成三角形？第三根木棒的取值范围 是多少？ 大于3cm，小于13cm. 3．（2004芜湖）如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎 成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃 . 那么最省事的办法是带________去配. ( C ). ③ A.① B.② C.③ D.①和②
B
E C A
E D C
75°
F
D
1、证明两个三角形全等，要结合题目的条件和 结论，选择恰当的判定方法. 2、全等三角形，是证明两条线段或两个角相等 的重要方法之一.
应注意的问题: 1.在应用三角形三边关系时，考虑不全，应注意 定理中的任意性. 2.三角形的分类不清. 3.证三角形全等时，容易把对应边、角找得不对应，看 到边或角相等就误认为是对应边、对应角.
A E
B
D
C
典型例题解析
1. 如图，AM=AN， BM=BN ， 说明△AMB≌△ANB的理由. 解:在△AMB和△ANB中
已知 AN ____) AM _______(__ BM BN (已知) _______ _______ AB _________( AB 公共边)
① ②
4 ． （ 2 0 0 5 深 圳 ） 如 图 ， 已 知 ， 在 △ ABC 和 △DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线， 要 使 △ ABC≌△DCB， 则 还 需 增 加 一 个 条 件 B 或 ACB=DBC 是 AB=DC 。
A
D
C
课时训练
5．（2005浙江）如果直角三角形两条直角边的长分别是 12cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 30 cm2．
1。证明两个三角形全等，要结合题目的条件和 结论，选择恰当的判定方法 2。全等三角形，是证明两条线段或两个角相等 的重要方法之一，证明时 ①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全 等的三角形中。 ②分析要证两个三角形全等，已有什么条件， 还缺什么条件。 ③有公共边的，公共边一定是对应边， 有公 共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对 顶角也是对应角 总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。