南京工业大学 概率统计模拟题
概率统计模拟试题1-4解答
模拟试题（一）参考答案一.单项选择题（每小题2分,共16分）1.设B A ,为两个随机事件,若0)(=AB P ,则下列命题中正确的是（ ） (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立(C) 0)(0)(==B P A P 或(D) AB 未必是不可能事件解 若AB 为零概率事件,其未必为不可能事件.本题应选D.2.设每次试验失败的概率为p ,则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）(A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 213)1(p p C -解 所求事件的对立事件为“3次都不成功”,其概率为3p ,故所求概率为31p -.若直接从正面去求较为麻烦.本题应选C.3.若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度,则下面说法中一定成立的是（ ） (A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续解 由连续型随机变量概率密度的定义可知,)(x f 是定义在),(+∞-∞上的非负函数,且满足⎰∞+∞-=1d )(x x f ,所以A 一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从]21,31[上的均匀分布的随机变量的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,0,2131,6)(x x f在31=x 与21=x 处不连续,且在这两点的函数值大于1.因而本题应选A. 4.若随机变量X 的概率密度为)( 21)(4)3(2+∞<<-∞=+-x ex f x π,则=Y （ ）)1,0(~N(A)23+X (B)23+X (C)23-X (D)23-X 解 X 的数学期望3-=EX ,方差2=DX ,令23+=X Y ,则其服从标准正态分布.故本题应选A.5.若随机变量Y X ,不相关,则下列等式中不成立的是（ ） (A) 0),cov(=Y X (B) DY DX Y X D +=+)((C) DY DX DXY ⋅=(D) EY EX EXY ⋅=解 因为0=ρ,故0),cov(=⋅=DY DX Y X ρ,DY DX Y X DY DX Y X D +=++=+),cov(2)(, 但无论如何,都不成立DY DX DXY ⋅=.故本题应选C.6.设样本n X X X ,,,21⋅⋅⋅取自标准正态分布总体X ,又S X ,分别为样本均值及样本标准差,则（ ） (A) )1,0(~N X (B) )1,0(~N Xn(C))(~212n Xni iχ∑=(D))1(~-n t SX解 )1,0(~nN X ,),0(~n N X n ,)1(~-⋅n t S X n ,只有C 选项成立.本题应选C. 7.样本n X X X ,,,21 )3(≥n 取自总体X ,则下列估计量中,（ ）不是总体期望μ的无偏估计量(A)∑=ni iX1(B) X(C) )46(1.01n X X +(D) 321X X X -+解 由无偏估计量的定义计算可知,∑=ni iX1不是无偏估计量,本题应选A.8.在假设检验中,记0H 为待检假设,则犯第一类错误指的是（ ） (A) 0H 成立,经检验接受0H (B) 0H 成立,经检验拒绝0H (C) 0H 不成立,经检验接受0H (D) 0H 不成立,经检验拒绝0H解 弃真错误为第一类错误,本题应选B.二.填空题（每空2分,共14分）1.同时掷三个均匀的硬币,出现三个正面的概率是________,恰好出现一个正面的概率是________. 解81;83. 2.设随机变量X 服从一区间上的均匀分布,且31,3==DX EX ,则X 的概率密度为________. 解 设],[~b a X ,则,3112)( ,322=-==+=a b DX b a EX 解得2=a , 4=b , 所以X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.0,42,21)(其他x x f3.设随机变量X 服从参数为2的指数分布,Y 服从参数为4的指数分布,则=+)32(2Y X E ________.解 472])([232)32(222=++=+=+EY EX DX EY EX Y X E . 4.设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2,方差分别为1和4,而相关系数为－0.5,则根据切比雪夫不等式,有≤≥+}6|{|Y X P ________.解 根据切比雪夫不等式,12136),(26)(}6|{|2=++=+≤≥+Y X Cov DY DX Y X D Y X P . 5.假设随机变量X 服从分布)(n t ,则21X 服从分布________（并写出其参数）.解 设)(~n t nZY X =,其中)1,0(~N Y ,)(~2n Z χ,且)1(~22χY ,从而)1,(~122n F Y n ZX =. 6.设n X X X ,,,21 )1(>n 为来自总体X 的一个样本,对总体方差DX 进行估计时,常用的无偏估计量是________.解 ∑=--=ni i X X n S 122)(11. 三.(本题６分)设1.0)(=A P ,9.0)|(=A B P ,2.0)|(=A B P ,求)|(B A P . 解 由全概率公式可得27.02.09.09.01.0)|()()|()()(=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P .31)()|()()()()|(===B P A B P A P B P AB P B A P .四.(本题8分)两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:(1) 任取一个零件是合格品的概率,(2) 若任取一个零件是废品,它为第二台车床加工的概率.解 设21,A A 分别表示第一台,第二台车床加工的零件的事件.B 表示产品是合格品的事件. (1) 由全概率公式可得973.098.03197.032)|()()|()()(2211≈⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P . (2) 247.0973.0102.031)()|()()()()|(2222≈-⋅===B P A B P A P B P B A P B A P . 五.(本题14分)袋中有4个球分别标有数字1,2,2,3,从袋中任取一球后,不放回再取一球,分别以Y X ,记第一次,第二次取得球上标有的数字,求:(1) ) ,(Y X 的联合分布； (2) Y X ,的边缘分布； (3) Y X ,是否独立；(4) )(XY E .解 （1） YX 1 2 3 1 061 121 2 61 61 613 121 61（2）41)1(==X P ,21)2(==X P ,41)3(==X P .41)1(==Y P ,21)2(==Y P ,41)3(==Y P .（3）因为)1()1(1610)1,1(===≠===Y P X P Y X P ,故Y X ,不独立. （4）613261226112121316121)(⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=XY E 612312113⋅⋅+⋅⋅+623=.六.(本题12分)设随机变量X 的密度函数为)( e )(||2+∞<<-∞=-x Ax x f x ,试求:(1) A 的值； (2) )21(≤<-X P ； (3) 2X Y =的密度函数. 解 (1) 因⎰∞+∞-x x f d )(⎰∞+-===0214d e 2A x x A x ,从而41=A ; (2) ⎰⎰⎰---+==≤<-20201221d e 41d e 41d )()21(x x x x x x f X P xx 12e 45e 251----=;(3) 当0≤y 时,0)(=y F Y ;当0≤y 时,)()()()(2y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=)()(y F y F X X --=,所以,两边关于y 求导可得,.4121412141)(y yy Y e y ye y y e y yf ---⋅=-⋅⋅-⋅⋅= 故Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>⋅≤=-.0,41,0,0)(y e y y y f yY 七.(本题6分)某商店负责供应某地区1000人商品,某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间,各人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以%7.99的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多买一件）.解 设⎩⎨⎧=人购买该种商品第人不购买该种商品第i i X i ,1,,0(1000,,2,1 =i ),X 表示购买该种商品的人数,则)6.0,1000(~B X .又设商品预备n 件该种商品,依题意,由中心极限定理可得)240600240600()()(-≤-=-≤-=≤n X P DXEX n DX EX X P n X P997.0)240600(=-Φ≈n .查正态分布表得75.2240600=-n ,解得6436.642≈=n 件.八.(本题10分)一个罐内装有黑球和白球,黑球数与白球数之比为R .(1) 从罐内任取一球,取得黑球的个数X 为总体,即⎩⎨⎧=白球，，黑球，，01X 求总体X 的分布；(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为n 的样本n X X X ,,,21 ,其中有m 个白球,求比数R 的最大似然估计值.解（1） X 1 0 PR R +1 R+11即R R R R R x X P xxx+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+==-1111)(1 )1,0(=x ; （2）nx ni i iR R x XP R L i)1()()(1+∑===∏=,两边取对数,)1ln()(ln R n x R R L i +-∑=,两边再关于R 求导,并令其为0,得011=+-∑R nx i , 从而∑∑-=ii x n xR ˆ,又由样本值知,m n x i-=∑,故估计值为1ˆ-=m n R . 九.(本题14分)对两批同类电子元件的电阻进行测试,各抽6件,测得结果如下（单位:Ω）:A 批:0.140,0.138,0.143,0.141,0.144,0.137；B 批:0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.141. 已知元件电阻服从正态分布,设05.0=α,问:(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等? (2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异? （2281.2)10(025.0=t ,15.7)5,5(025.0=F ）解 (1) 2221122210 σσσσ≠=：，：H H .检验统计量为2221S S F =)5 ,5(~F （在0H 成立时）,由05.0=α,查得临界值15.7)5 ,5(025.02/==F F α,15.712/1=-αF . 由样本值算得962.00000078.00000075.0==F ,由于2/2/1ααF F F <<-,故不能拒绝10H ,即认为两批电子元件的电阻的方差相等.(2) 211210 μμμμ==：，：H H . 统计量62221SS YX T +-=)10(~t （在0H 成立时）,查表得临界值228.2)10(025.02/==t t α.再由样本值算得148.160000078.00000075.0139.01405.0=+-=T ,因为2/||αt T <,故接收0H .即认为两批电子元件的平均电阻无显著差异.模拟试题（二）参考答案一.单项选择题（每小题2分,共16分）1.设C , ,B A 表示3个事件,则C B A 表示（ ） (A) C , ,B A 中有一个发生(B) C , ,B A 中不多于一个发生(C) C , ,B A 都不发生 (D) C , ,B A 中恰有两个发生 解 本题应选C. 2.已知)(,61)|(,31)()(B A P B A P B P A P 则====（ ）. (A) 187 (B) 1811 (C) 31 (D) 41解 181)|()()(==A B P A P AB P ,187)()()(1)(1)()(=+--=-==AB P B P A P B A P B A P B A P . 故本题应选A.3.设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ,则（ ）(A) 21}0{=≤+Y X P (B) 21}1{=≤+Y X P (C) 21}0{=≤-Y X P (D) 21}1{=≤-Y X P解 )2,1(~N Y X +,)2,1(~--N Y X ,故本题应选B.4.设X 与Y 为两随机变量,且6.0,1,4===XY DY DX ρ,则=-)23(Y X D （ ） (A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.6解 2.1),cov(=⋅=DY DX Y X XY ρ,6.25),cov(1249)23(=-+=-Y X DY DX Y X D .故本题应选C.5.若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则2X 的数学期望是（ ）(A) λ(B)λ1 (C) 2λ (D) λλ+2 解 222)(λλ+=+=EX DX EX ,本题应选D.6.设n X X X ,,,21 是来自于正态总体),(2σμN 的简单随机样本,X 为样本方差,记∑=--=n i i X X n S 122)(111 ∑=-=n i i X X n S 1222)(1 ∑=--=n i i X n S 1223)(11μ ∑=-=n i i X n S 1224)(1μ 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ ）(A) 1/1--=n S X t μ(B) 1/2--=n S X t μ(C) 1/3--=n S X t μ(D) 1/4--=n S X t μ解 ),(~2nN X σμ,)1(~)(1122--∑=n t X Xni iσ,再由t 分布的定义知,本题应选B.7.设总体X 均值μ与方差2σ都存在,且均为未知参数,而,,,21 X X n X 是该总体的一个样本,X 为样本方差,则总体方差2σ的矩估计量是（ ）(A) X (B) ∑=-n i i X n 12)(1μ(C) ∑=--n i i X X n 12)(11 (D) ∑=-n i i X X n 12)(1 解 本题应选D.8.在假设检验时,若增大样本容量,则犯两类错误的概率（ ） (A) 都增大 (B) 都减小(C) 都不变 (D) 一个增大一个减小 解 本题应选B.二.填空题（每空2分,共14分）1.设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取2件中有1件是不合格品,则另外1件也是不合格品的概率为________.解 设A 表示两件中有一件不合格品,B 表示两件都是不合格品.则所求的极限为51)()()()()|(===A PB P A P AB P A B P2.设随机变量X 服从)8.0 ,1(B 分布,则X 的分布函数为________.解 X 服从0-1分布,其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.11,10,2.0,0,0)(x x x x f3.若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且6.0}40{=<<X P ,则}0{<X P =________.解 2=μ,即其密度函数关于2=x 对称.由对称性知2.026.01}0{=-=<X P . 4.设总体X 服从参数为p 的0－1分布,其中)10(<<p p 未知.现得一样本容量为8的样本值:0,1,0,1,1,0,1,1,则样本均值是________,样本方差是________.解 由定义计算知85=X ;56152=S . 5.设总体X 服从参数为λ的指数分布,现从X 中随机抽取10个样本,根据测得的结果计算知27101=∑=i ix,那么λ的矩估计值为________.解 27101ˆ==Xλ.6.设总体) ,(~2σμN X ,且2σ未知,用样本检验假设00μμ=：H 时,采用的统计量是________. 解 )1(~0--=n t nSX T μ (0H 为真时).三.（本题8分）设有三只外形完全相同的盒子,Ⅰ号盒中装有14个黑球,6个白球；Ⅱ号盒中装有5个黑球,25个白球；Ⅲ号盒中装有8个黑球,42个白球.现在从三个盒子中任取一盒,再从中任取一球,求:（1）取到的球是黑球的概率；（2）若取到的是黑球,它是取自Ⅰ号盒中的概率.解 设321,,A A A 分别表示从第Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ号盒中取球,B 表示取到黑球. (1) 由全概公式可得≈⋅+⋅+⋅==∑=5083130531201431)|()()(31i i i A B P A P B P 0.342; (2) 由贝叶斯公式得≈=)()|()()|(111B P A B P A P B A P 0.682.四.（本题6分）设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他，，，，002cos 21)(πx x x f , 对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π地次数,求2Y 的数学期望. 解 21d 2c o s 21)3(3==>⎰πππx x X P ,)21,4(~B Y ,从而 5)(22=+=EY DY EY .五.（本题12分） 设),(Y X 的联合分布律为YX 0 1 2 1 0.1 0.05 0.35 2 0.3 0.1 0.1 问:(1) Y X ,是否独立；(2) 计算)(Y X P =的值；(3) 在2=Y 的条件下X 的条件分布律. 解 (1) 因为)0()1(4.05.02.01.0)0,1(===⋅=≠===Y P X P Y X P , 所以Y X ，不独立; (2) 15.01.005.0)2,2()1,1()(=+===+====Y X P Y X P Y X P ;(3) 9745.035.0)2()2,1()2|1(========Y P Y X P Y X P ,92971)2|2(=-===Y X P .六.（本题12分）设二维随机变量) ,(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=,,0,10,12),(2其他x y y y x f 求:(1) X 的边缘密度函数)(x f X ；(2) )(XY E ； (3) )1(>+Y X P . 解 (1)⎩⎨⎧≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤==⎰⎰∞+∞-.,0,104,0,10,d 12d ),()(302其他其他x xx y y y y x f x f x X(2) 21d 12d )(0310==⎰⎰y xy x XY E x ;(3) ==>+⎰⎰-y y x Y X P x x d 12d )1(1212187.七.（本题6分）一部件包括10部分,每部分的长度是一个随机变量,它们相互独立,且服从同一均匀分布,其数学期望为2mm,均方差为0.05,规定总长度为)1.020(±mm 时产品合格,试求产品合格的概率.解 设i X 表示第i 部分的长度,10,,2,1 =i ,X 表示部件的长度.由题意知2=i EX ,0025.0=i DX ,且∑==101i i X X ,20=EX ,025.0=DX .由独立同分布的中心极限定理知,产品为合格品的概率为)025.01.0|025.020(|)1.0|20(|≤-=≤-X P X P4714.01)025.01.0(2=-Φ=. 八.（本题7分）设总体X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>-=--,,0,0,e )!1()(1其他x x k x f x k k θθ 其中k 为已知正整数,求θ的极大似然估计.解 设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,当0,,,21>n x x x 时,似然函数∑-===-=-=∑∏ni ix ni k innkni i xk x f L 1e])!1[()()(111θθθ,两边取对数,∑-+--===-∑ni i ni k ix x k n nk L 111ln )!1ln(ln )(ln θθθ,关于θ求导,并令其为0,得0)(ln 1=∑-==ni i x nkL θθ,从而解得θ的极大似然估计为XkX nkni i=∑==1ˆθ. 九.（本题14分）从某锌矿的东、西两支矿脉中,各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试,得样本含锌平均数及样本方差如下:东支:230.01=x ,1337.021=n s , )9(1=n 西支:269.02=x ,1736.022=n s , )8(2=n 若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布,问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样？)05.0(=α53.4)7 ,8( (025.0=F ,90.4)8 ,7(025.0=F ,) 1315.2)15(0025.0=t解 本题是在未知方差,又没有说明方差是否相等的情况下,要求检验两总体均值是否相等的问题,故首先必须检验方差是否相等,在相等的条件下,检验总体均值是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ,统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ,经检验,接受0H :21σ=22σ；第二步假设0H :21μμ=, 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验,接受0H ,即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.（本题5分） 设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0,0,3)(23其它θθx x x f其中θ为未知参数,n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本,证明:X 34是θ的无偏估计量.证明 ⎰∞+∞-===x x xf EX X E X E d )(343434)34(θθθ==⎰033d 334x x ,故X 34是 的无偏估计量.模拟试题（三）参考答案一.填空题（每小题2分,共14分）1.一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8180,则该射手的命中率为 .解 设A 表示一次射击中击中目标,依题意,四次都没击中的概率为81801)(4-=A P ,解得31)(=A P ,从而射手的命中率为32)(=A P . 2.若事件A ,B 独立,且p A P =)(,q B P =)(则=+)(B A P . 解 pq p B P A P B P A P B A P +-=-+=1)()()()()( .3.设离散型随机变量X 服从参数为λ（0>λ）的泊松分布,已知==)1(X P )2(=X P ,则λ= .解 )2(e 2e)1(2=====--X P X P λλλλ,从而解得2=λ.4.设相互独立的两个随机变量X ,Y 具有同一分布律,且X 的分布律为:X 0 1P 21 21则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 . 解 Z 的可能取值为0,1.412121)0()0()0,0()0(=⋅========Y P X P Y X P Z P .43411)1(=-==Z P .5.设随机变量X ,Y 的方差分别为25=DX ,36=DY ,相关系数4.0=XY ρ,则),(Y X Cov = .解 12),cov(=⋅=DY DX Y X XYρ.6.设总体X 的期望值μ和方差2σ都存在,总体方差2σ的无偏估计量是21)(∑=-n i i X X n k ,则=k .解 1-=n n k . 7.设总体),(~2σμN X ,μ未知,检验2020σσ=H ：,应选用的统计量是 .解)1(~)(2212--∑=n X Xni iχσ (0H 为真时)二 .单项选择题（每小题2分,共16分）1.6本中文书和4本外文书任意往书架上摆放,则4本外文书放在一起的概率为（ ） (A)!10!6!4 (B)107 (C)!10!7!4 (D)104 解 本题应选C.2.若事件B A ,相互独立,则下列正确的是（ ） (A) =)|(A B P )|(B A P (B) =)|(A B P )(A P (C) )|(B A P )(B P =(D) =)|(B A P )(1A P -解 由独立性的定义知,==)()|(A P B A P )(1A P -,故本题应选D.3.设随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布,且6.1=EX ,28.1=DX ,则n ,p 的值为（ ） (A) n =8,p =2.0 (B) n =4,p =4.0 (C) n =5,p =32.0(D) n =6,p =3.0解 由6.1=np ,28.1)1(=-p np ,解得n =8,p =2.0,本题应选A.4.设随机变量X 服从正态分布)1,2(N ,其概率密度函数为)(x f ,分布函数为)(x F ,则有（ ） (A) =≥)0(X P =≤)0(X P5.0 (B) =≥)2(X P =≤)2(X P 5.0 (C) )(x f =)(x f -,),(∞+-∞∈x (D) =-)(x F -1)(x F , ),(∞+-∞∈x解 2=EX ,故其密度函数关于2=x 对称,故本题应选B.5.如果随机变量X 与Y 满足:)(Y X D +)(Y X D -=,则下列式子正确的是（ ） (A) X 与Y 相互独立 (B) X 与Y 不相关 (C) 0=DY(D) 0=⋅DY DX解 由)(Y X D +)(Y X D -=,可得0),cov(=Y X ,从而可知X 与Y 不相关,故本题应选B.6.设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本,X 为样本均值,令=Y 212)(σ∑=-ni iX X,则~Y （ ）(A) )1(2-n χ (B) )(2n χ (C) ),(2σμN (D)),(2nN σμ解 本题应选A.7.设n X X X ,,,21 是取自总体),0(2σN 的样本,可以作为2σ的无偏估计量的统计量是（ ）(A) ∑=n i i X n 121 (B) ∑=-n i i X n 1211 (C) ∑=n i i X n 11 (D)∑=-ni i X n 111 解 由无偏估计的定义及期望的性质知,2221212)(1)1(σ==+===∑∑==DX EX DX EX EX n X n E ni i n i i ,故A 选择正确,同理验算其他选项,B,C,D 均不正确.故本题应选A.8.样本n X X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN ,若进行假设检验,当（ ）时,一般采用统计量nS X t /0μ-=(A) μ未知,检验2σ=20σ (B) μ已知,检验2σ=20σ (C) 2σ未知,检验 μ=0μ(D) 2σ已知,检验μ=0μ解 本题应选C. 三.（本题8分）有两台车床生产同一型号螺杆,甲车床的产量是乙车床的5.1倍,甲车床的废品率为%2,乙车床的废品率为%1,现随机抽取一根螺杆检查,发现是废品,问该废品是由甲车床生产的概率是多少？解 设21,A A 分别表示螺杆由甲,乙车床生产的事件.B 表示螺杆是废品的事件.由贝叶斯公式可得)|()()|()()|()()|(2211111A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=75.001.05202.05302.053=⋅+⋅⋅=. 四.（本题8分）假设一部机器在一天内发生故障的概率为2.0,机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里无故障,可获利润10万元,发生一次故障获利润5万元,发生两次故障获利润0万元,发生三次或三次以上故障就要亏损2万元,问一周内期望利润是多少？解 设X 表示一周中所获的利润,其分布律为:X 0 5 10 P 548.08.02.051-⋅⋅- 48.02.05⋅⋅ 58.0从而由期望的定义计算可得216.5=EX .五.（本题12分）1.设随机向量X ,Y 的联合分布为:X Y 1 2 31 0 61 1212 61 61 613 121 61(1) 求X ,Y 的边际分布；(2) 判断X ,Y 是否独立. 解 (1) X 的边际分布为： Y 的边际分布为：X 1 2 3 Y 1 2 3P 41 21 41 P 41 21 41(2) X 与Y 不相互独立.2.设随机变量),(Y X 的联合密度函数为:),(y x f =⎩⎨⎧<<-其他，，，，00e y x y求概率)1(≤+Y X P .解 ==≤+⎰⎰--y x Y X P x xy d e d )1(1210211e2e 1---+.六.（本题8分）设连续型随机变量X 的分布函数为:=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-，，，，000e 22x x B A x 求: (1) 系数A 及B ；(2) 随机变量X 的概率密度； (3) )9ln 4ln (≤≤X P .解 (1) 由分布函数的性质知1)e(lim )(22==+=+∞-+∞→A B A F x x ,)0(0)e(lim )(lim 202F B A B A x F x x x ==+=+=-→→++,从而1-=B ;(2) 分布函数的导数即为其概率密度,即)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤>-000e 22x x x x ，，，(3) 61)4ln ()9ln ()9ln 4ln (=-=≤≤F F X P . 七.（本题8分）设n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本,X 的概率密度为:)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其他，，，，0101x x θθ其中0>θ,求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量.解 令X x x EX =+==⎰1d 10θθθθ,从而解得θ的矩估计量为2)1(XX -=θ. 极大似然估计为:∑∑==+=ni ini iXX n 11ln ln θ.(具体做法类似与模拟试卷二第八题)八.（本题１０分）设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为5.66分,标准差为15分,问在显著水平05.0下,是否可认为全体考生的平均成绩为70分？解 假设0H :70=μ,选取统计量ns X T /μ-=)1(~-n t , (0H 为真时)在05.0=α下,查t 分布的双侧临界值表知0301.2025.0=t . 另一方面,计算统计量的值0301.24.136/15705.66||<=-=T ,从而接受原假设,即可认为全体考生的平均成绩为70分.九.（本题１２分）两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查,测得其平均年存款余额分别为x =2600元和y =2700元,样本标准差相应地为811=S 元和1052=S 元,假设年存款余额服从正态分布,试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异？（10.0=α）解 此题要求检验21μμ=,由于t 检验必须在方差相等的条件下进行,因此必须先检验21σ与22σ是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ,统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ,经检验,接受0H :21σ=22σ；第二步假设0H :21μμ=, 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验,拒绝0H ,即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.（本题４分）设总体X 服从参数为λ的泊松分布,λ为未知参数,⎩⎨⎧-=为偶数，，为奇数，，X X X T 11)(证明:)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.证明 ∑∞===0)()()]([x x X P x T TX T E∑∞=-=0!)(x xex x T λλ=-=∑∞=-0!)1(n nne n λλλ2-e ,所以)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.模拟试题（四）参考答案一.填空题(每小题2分,共20分)1.设)(A P =0.4,)(B P =0.5.若,7.0)(=B A P 则=+)(B A P . 解 55.0)|()()()()(=-+=+B A P B P B P A P B A P2.若随机变量X 服从二项分布,即)1.0,5(~B X ,则=-)21(X D .解 8.19.01.0544)21(=⋅⋅⋅==-DX X D . 3.三次独立重复射击中,若至少有一次击中的概率为6437,则每次击中的概率为 . 解43. 4.设随机变量X 的概率密度是:⎩⎨⎧<<=,,0,10,3)(2其他x x x f 且，784.0)(=≥a X P 则=a .解 由784.0)(=≥a X P 知,10<<α.故，784.01d 3)(132⎰=-==≥ααx x a X P 从而6.0=α. 5.利用正态分布的结论,有:=+-⎰∞+∞---x x x x d e )44(212)2(22π .解 令t x =-2,则原式1)(d e212222=+==⎰∞+∞--EX DX t t t π,这里)1,0(~N X .6.设总体X 的密度函数为:⎩⎨⎧<<=-,,0,10,)(1其他x x x f αα)0(>αα为参数其中,n x x x ,,,21 是来自总体X 的样本观测值,则样本的似然函数=);,,,(21αn x x x L .解 ∏=-ni i nx 11αα.7.设X ,Y 是二维随机向量,DX ,DY 都不为零,若有常数0>a 与b 使1)(=+-=b aX Y P ,这时X 与Y 是 关系.解 完全相关.8.若),(~2σμN X ,n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,2,S X 分别为样本均值和方差,则SnX )(μ-服从 分布.解 )1(-n t .9.设),(~211σμN X ,),(~222σμN Y ,X 与Y 相互独立.从X ,Y 中分别抽取容量为21,n n 的样本,样本均值分别为Y X ,,则Y X -服从分布 .解 ),(22212121n n N σσμμ+-.10.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若4.0-=X Z ,则Y 与Z 的相关系数为____________. 解 9.0),cov()4.0,cov(),cov(==-=X Y X Y Z Y . 二.单项选择题(每小题2分,共12分)1. 设随机变量X 的数学期望EX 与2σ=DX 均存在,由切比雪夫不等式估计概率}4{σ<-EX X P 为( )(A) 161≥(B) 161≤(C) 1615≥(D) 1615≤解 本题应选C.2.B A ,为随机随机事件,且A B ⊂,则下列式子正确的是( ). (A) )()(A P B A P =(B) )()()(A P B P A B P -=-(C) )()(A P AB P = (D) )()(B P A B P =解 本题应选A.3. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其他，，，，010)(x B Ax x f 且127=EX ,则( ).(A) 5.0,1-==B A(B) 1,5.0=-=B A(C) 1,5.0==B A (D) 5.0,1==B A 解 令1d )(10=+⎰x B Ax ,127d )(1=+⎰x x B Ax ,解得5.0,1==B A ,故本题应选D. 4.若随机变量X 与Y 不相关,则有( ). (A) )(9)()3(Y D X D Y X D -=- (B) )()()(Y D X D XY D ⨯= (C) 0)]}()][({[=--Y E Y X E X E(D) 1)(=+=b aX Y P 解 本题应选C.5.已知随机变量),(~21n n F F ,且αα=>)},({21n n F F P ,则=-),(211n n F α( ).(A) ),(121n n F α(B)),(1121n n F α-(C)),(112n n F α(D) ),(1211n n F α-解6.将一枚硬币独立地掷两次,记事件:=1A {掷第一次出现正面},=2A {掷第二次出现正面},=3A {正、反面各出现一次},=4A {正面出现两次},则事件( ).(A) 321,,A A A 相互独立 (B) 432,,A A A 相互独立 (C) 321,,A A A 两两独立(D) 432,,A A A 两两独立解 21)(1=A P ,21)(2=A P ,21)(3=A P ,41)(4=A P ,再由事件独立的充分必要条件可知321,,A A A 两两独立,本题应选C.三.计算题(每小题８分,共48分)1.某厂由甲,乙,丙三个车间生产同一种产品,它们的产量之比为3:2:1,各车间产品的不合格率依次为8%,9%,12%.现从该厂产品中任意抽取一件,求:(1) 取到不合格产品的概率；(2) 若取到的是不合格品,求它是由甲厂生产的概率. 解 (1) 运用全概率公式, 0.09;(2) 运用贝叶斯公式, 0.44.(具体做法参见模拟试卷(一)第四题)2.一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件,第i 个零件是不合格品的概率为)3,2,1(11=+=i ip i ,以X 表示三个零件中合格品的个数,求:(1) X 的概率分布； (2) X 的方差DX .解 (1)12234132411241=⋅+⋅+=EX , (2)2741924114412=⋅+⋅+=EX ,故521.0)(22=-=EX EX DX . 3.设总体X ),0(~2σN ,2σ为未知参数,n x x x ,,,21 是来自总体X 的一组样本值,求2σ的最大似然估计.解 似然函数21221222222e )21(e)21()(σσσπσπσ∑=∑===--ni i ni i x n x nL ,两边取对数212222ln 22ln 4)(ln σσπσ∑---==ni ix nn L ,关于2σ求导,并令其为零,得0)(21222122=∑+⋅-=σσni ix n , 从而解得极大似然估计量为∑==n i i x n 1221ˆσ. 4.二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度:⎩⎨⎧>>=+-其它，，，，00,0e 2),()2(y x y x f y x求: (1) X 与Y 之间是否相互独立,判断X 与Y 是否线性相关；(2) )1(≤+X Y P . 解 (1) ⎪⎩⎪⎨⎧≤>==⎰⎰∞++-∞+∞-0,0,0,d e 2d ),()(0)2(x x y y y x f x f y x X341⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e x x x 同理 ⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(2y y y f y Y 从而)()(),(y f x f y x f Y X =, 故X 与Y 相互独立,因而X 与Y 一定不相关.(2) =≤+)1(X Y P =⎰⎰-+-y x x y x d 2e d 10)2(1021)e 1(--.5.某人乘车或步行上班,他等车的时间X (单位:分钟)服从参数为51的指数分布,如果等车时间超过10分钟他就步行上班.若此人一周上班5次,以Y 表示他一周步行上班的次数.求Y 的概率分布；并求他一周内至少有一次步行上班的概率.解 此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为210e d e 51)10(--∞+==>⎰x X P s x. 故)e ,5(~2-B Y . 52)e 1(1)1(---=≥Y P .6.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈⋅=其他，，，，0]8,1[31)(32x x x f )(x F 是X 的分布函数.求随机变量)(X F Y =的概率分布.解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤=.8,1,81,1,1,0)(31x x x x x F(3) 当0<y 时,0)()(=≤=y Y P y F Y ;当10<≤y 时, ))1(()1()()(331+≤=≤-=≤=y X P y X P y Y P y F Yy y F X =+=))1((3;当1≥y 时,1)()(=≤=y Y P y F Y .故对)(y F Y 求导可得Y 的概率密度,⎩⎨⎧<<=其它，，，，0101)(y y f Y 即]10[~，U Y 四.应用题(第1题7分、第2题8分,共15分)1.假设对目标独立地发射400发炮弹,已知每一发炮弹的命中率等于0.2,用中心极限定理计算命中60发到100发之间的概率.解 设⎩⎨⎧=发炮弹命中第发炮弹没有命中第i i X i ,1,,0 (400,,2,1 =i ),则 ∑==4001i i X X )2.0,400(~B表示400发炮弹命中的发数,且80=EX ,64=DX ,故由中心极限定理知,)6420|6480(|)20|80(|)10060(<-=<-=<<X P X P X P9876.01)820(2=-Φ=. 2.某厂生产铜丝,生产一向稳定.现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力,测后经计算:5.160)(,5.28712=-=∑=n i i x x x .假定铜丝折断力服从正态分布,问是否可以相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16?(1.0=α)解 16162120≠=σσ：，：H H .采用统计量 2221S n σχ-=,在0H 成立时,)9(~22χχ.由1.0=α,查得临界值 325.3)9(295.022/1==-χχα, 919.16)9(205.022/==χχα, 由样本值算得03.10165.1602≈=χ,由于22/222/1ααχχχ<<-,所以不拒绝0H ,即该厂生产的铜丝的折断力方差为16. 五.证明题(5分)若随机变量X 的密度函数)(x f ,对任意的R x ∈,满足:)()(x f x f -=,)(x F 是其分布函数.证明:对任意实数a ,有⎰-=-a x x f a F 0d )(21)(. 证明 ⎰⎰⎰-∞--∞-+==-a ax x f x x f x x f a F 00d )(d )(d )()(⎰-+=a x x f 0d )(21 (令x t -=) ⎰⎰⎰-=-=--=a a a x x f t t f t t f 000d )(21d )(21d )(21.。
南理工概率统计模拟试卷
一.(10分)根据以往的临床记录，知道乙肝患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95，非乙肝患者对该试验呈阳性反应的概率为0.01，一个来自普通人群的被试者患有乙肝的概率为0.005，若已知此人试验结果呈阳性，求此人真正患有乙肝的概率。
解：设A={试验反应为阳性}，B={被试者患有乙肝}，则由已知条件可知005.0)(,01.0)|(,95.0)|(===B P B A P B A P 由贝叶斯公式可得()(|)(|)0.323()(|)()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B ⋅==⋅+⋅二.(15分)设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x f 现对X 进行n 次独立重复观测，以Y 表示观测值不大于0.1的次数，试求随机变量Y 的概率分布列并求Y 的数学期望和方差。
解：由题意知，),(~p n B Y ，其中01.02)1.0(1.00==≤=⎰dx x X P p 即n k C k Y P k n k k n ,,1,0,99.001.0)( ===- ()()()0.01;10.0099E Y np n D Y np p n===-=三.（15分）设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他,00,),(y x e y x f y （1）求X 的概率密度);(x f X （2）求Y X Z +=的方差。
解：（1）⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-∞-∞∞-⎰⎰0,00,0,00,),()(x x e x x dy e dy y x f x f x x y X （2）()2,DZ DX DY Cov X Y =++这里，1DX =，002yyEY dy ye dx ∞-==⎰⎰()220062y y E Y dy y edx DY ∞-==∴=⎰⎰ ()003yy E XY dy xye dx ∞-==⎰⎰；()()()(),3121Cov X Y E XY E X E Y =-=-⨯= 12215DZ ∴=++⨯=四.（15分）一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9，设排版与校对是两个独立的工序，求在校对后错误不多于15个的概率。
南京工业大学20162017概率论试卷A
南京工业大学概率论 试题A 卷(闭)2016 - 2017 学年第1学期 使用班级 江浦2015级本科生 所在学院 班级 学号 姓名注意:本试题中可能用到的数据:(1)0.8413,(2.5)0.9938Φ=Φ=、一、填空题(每空2分,共18分,请将正确答案填在题后的括号内)1、 已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则()P AB = 、2、 已知随机变量~(),X E λ,则{P X >= 、3、 已知随机变量~(),X πλ 已知{1}2{2},P X P X === 则λ= ,{3}P X ==4、 若101~111424X -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, 已知2,Y X = 则Y DY = 、5、 从1, 2, 3, …, 10共10个数字中任取3个数, 其中最大数为8的概率为 、6、 22(,)~(,;,;0),X Y N μσμσ 则2()E X Y = 、7、 已知~[0,3],X U ~[0,3],Y U 且,X Y 独立,, 则{max(,)1}P X Y ≤= 、二、选择题(每题3分,共12分,请将正确答案填在题后的括号内)1、 对任意两个事件A 与 B , 下列结论正确的就是 ( )、(A) ()0,P AB = 则;AB =∅ (B) 若()1,;P A B A B ⋃=⋃=Ω则(C) ()()();P AB P A P AB =- (D) ()()().P A B P A P B -=-2、 设2~(,),X N μσ 则随着σ的增大, (||)P X μσ->将 ( )、(A) 单调增加; (B)单调减少; (C) 增减不定; (D) 保持不变、3、 设X , Y 不相关,则下列结论正确的就是 ( )(A) ()D X Y DX DY -=+; (B) ()D X Y DX DY -=-;(C) ()D XY DXDY = (D) X 与Y 相互独立、4、 设,X Y 独立,~(0,1),~(1,1)X N Y N 则 ( )(A) 1{0};2P X Y +≤= (B)1{1};2P X Y +≤= (C) 1{0};2P X Y -≤= (D)1{1};2P X Y -≤= 三、(12分) 对以往数据分析表明:机器调整良好时, 产品的合格率为90%, 而机器发生某一故障时, 其合格率仅为20%, 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为75%, 试求: (1) 某天早上第一件产品为合格品的概率;(2) 已知某天早上第一件产品为合格品时, 机器调整良好的概率、四、(12分)设连续型随机变量为0,1;()arcsin ,11;0,1x F x a b x x x <-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪>⎩求(1) ,a b ; (2) 1{1};2P x -<< (3) X 的密度函数().f x五(12分)已知1234,,,X X X X 独立同分布于()216,4N ,记 1=4X 1234(+++)X X X X , 求:(1) X 的分布;(2) {16};P X >(3) {1418}.P X <≤六、(12分) 设随机变量,X Y 相互独立, 且1~[0,1],~.2X U Y E ⎛⎫ ⎪⎝⎭求: (1) (,)X Y 联合概率密度函数(,)f x y (2) 关于a 的方程220a Xa Y ++=有实根的概率、七、(14分)设(,)X Y 服从区域{(,)|01,1}D x y x x y =<<<<上的均匀分布, 求:(1) X 与Y 边缘密度函数(),()X Y f x f y ; (2) cov (,);X Y (3) ().D X Y +八(8分) 设某小区供电网有10000盏电灯, 夜晚每盏灯开灯的概率为0、8, 假设开关时间彼此独立, 试估计夜晚同时开着的灯的盏数在7900与8100之间的概率、。
南京工业大学概率统计(江浦12~13-2B)t
南京工业大学 概率统计 课程考试试题（B 、闭）2012－2013学年第二学期(公办)所在学院 班 级 学号 姓名一、填空题(每题3分，计18分)1、袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机摸出4球，其中恰有3个白球的概率为 。
2、设A 、B 为随机事件，且11(),(|)43P A P B A ==，1(|)2P A B =，则()P B = 。
3、已知随机变量X ，Y 的方差为DX =49，DY =64，相关系数0.5XY ρ=，则()D X Y -= 。
4、设随机变量X 的概率密度为23, 01,()0, x x f x ⎧<<=⎨⎩其他，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件{0.5}X ≤出现的次数，则P {Y =2}= 。
5、设随机变量X 服从(1,2)-上的均匀分布，则随机变量1, 0,0, 0,1, 0X Y X X >⎧⎪==⎨⎪-<⎩的数学期望EY = 。
6、设(X 1，…，X 5)为来自正态总体N (0,1)的样本，若统计量服从t 分布，则c = 。
二、选择题(每题3分，计12分)1、假设事件A 和B 满足P (B |A )=1，则( )。
(A )A 是必然事件 (B )0)|(=A B P (C )A ⊃B (D )A ⊂B2、设随机变量X 服从参数为n ，p 二项分布，且已知EX =2.4，DX =1.44,则此二项分布中的参数(n ，p )=( )。
(A ) (3，0.8) (B ) (4，0.6) (C ) (6，0.4) (D ) (8，0.3)3、设二维随机变量(X ，Y )的联合概率密度是(),0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，则X 与Y 为( )的随机变量。
(A )独立同分布 (B ) 独立不同分布 (C )不独立同分布 (D ) 不独立也不同分布 4、在假设检验中，H 0为原假设，则称( )为犯第二类错误。
概率论(09~10(2)A江浦)课程考试试题
南京工业大学 概率论 课程考试试题（A 、闭）（2009－2010学年第二学期）所在院(系) 江浦 班 级 学号 姓名一、填空(每空3分，计15分)1、已知P (A )=41，31)|(=A B P ，21)|(=B A P ；则P (B )= ；P )(B A ⋃= 。
2、已知5.0)0(=Φ(其中)(x Φ是标准正态分布函数)，随机变量X ~N (1，4)，且5.0}{=≥a X P ，则a = 。
3、设二维随机向量（X ，Y ）的联合概率密度为,0(,)0,y e x yf x y -⎧<<=⎨⎩其它，则X 的边缘密度=)(x f X ，P { X + Y ≤1} = 。
4、设随机变量的方差()4D X =, 则(23)D X += 。
5、设在 n 次独立试验中事件 A 发生的次数为A n ，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p ，则对于任意给定的正数ε＞0 ，恒有 lim A n n P p n ε→∞⎛⎫-<⎪⎝⎭= 。
二、选择(每题3分，计15分)1、设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）。
(A ) A 与B 不相容 (B ) A 与B 相容 (C ) P (AB )=P (A )P (B ) (D ) P (B A -)=P (A ) 2、设随机变量X 与Y 均服从正态分布：X ~N (μ，9)，Y ~N (μ，16)，而 }3{1-≤=μX P p ，}4{2+≥=μY P p ，则( )。
(A ) 对任何实数μ，都有p 1=p 2 (B ) 对任何实数μ，都有p 1<p 2 (C ) 只对μ的个别值，才有p 1=p 2 (D ) 对任何实数μ，都有p 1>p 2 3、对于任意两个随机变量X 和Y ，若EY EX XY E ⋅=)(，则（ ）。
(A ) DY DX XY D ⋅=)( (B )DY DX Y X D +=+)( (C )X 和Y 独立 (D )以上均不正确 4、设随机变量X 与Y 相互独立，其分布函数分别为)(x F X 、)(y F Y ，则()max ,Z X Y =的分布函数是( )（A ）)()(z F z F X Z = （B ）)()(z F z F Y Z =（C ）()()()Z X Y F z F z F z = （D ）{})(),(m in 1)(z F z F z F Y X Z -=5、设随机变量X 的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=1110003x x xx x F ，则EX =（ ） （A ）⎰+∞4dx x （B ）⎰+∞33dx x （C ）14x dx ⎰ （D ）⎰133dx x三(12分)、甲、乙、丙三组工人加工同样的零件，它们出现废品的概率：甲组是，乙组是，丙组是，它们加工完的零件放在同一个盒子里，其中甲组加工的零件是乙组加工的2倍，丙组加工的是乙组加工的一半。
南京工业大学概率论与数理统计试题及答案
南京工业大学 概率统计 试题（A ）卷（闭）2004 -2005 学年第 二 学期 使用班级 江浦校区03级所在院(系) 班 级 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五六七 八 九 总分 得分一.填空(18分)1.(4分)设P (A )=0.35， P (A ∪B )=0.80，那么(1)若A 与B 互不相容，则P (B )= ；(2)若A 与B 相互独立，则P (B )= 。
2. (3分)已知5.0)0(=Φ(其中)(x Φ是标准正态分布函数)，ξ~N (1，4)，且21}{=≥a P ξ，则a = 。
3．(4分)设随机变量ξ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,040,81)(x x x f对ξ独立观察3次，记事件“ξ≤2”出现的次数为η，则=ηE ，=ηD 。
4.(3分)若随机变量ξ在(0，5)上服从均匀分布，则方程4t 2+4ξt +ξ+2=0有实根的概率是 。
5.(4分) 设总体),(~2σμN X ，X 是样本容量为n 的样本均值，则随机变量∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ni i X X 12σξ服从 分布，=ξD 。
二.选择(每题3分，计9分)1．设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是 （A ）A 与B 不相容 （B ）A 与B 相容 （C ）P (AB )=P (A )P (B ) （D ）P (B A -)=P (A )2．设随机变量ξ与η均服从正态分布ξ~N (μ，42)，η~N (μ，52)，而 }5{},4{21+≥=-≤=μημξP p P p ，则( )。
(A )对任何实数μ，都有p 1=p 2 (B )对任何实数μ，都有p 1<p 2(C )只对μ的个别值，才有p 1=p 2 (D )对任何实数μ，都有p 1>p 2 3．对于任意两个随机变量ξ和η，若ηξξηE E E ⋅=)(，则（ ）。
(A )ηξξηD D D ⋅=)( (B )ηξηξD D D +=+)( (C )ξ和η独立 (D )ξ和η不独立三(12分)、在电源电压不超过200伏，在200～240伏和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2。
概率论与数理统计模拟题
《概率论与数理统计》模拟题一.单选题1.对于事件A,B,下列命题正确的是( D ).A.若A,B 互不相容，则A 与B ̅也互不相容.B.若A,B 相容，那么A 与B̅也相容. C.若A,B 互不相容，且概率都大于零，则A,B 也相互独立. D.若A,B 相互独立，那么A 与B ̅也相互独立.2.在一次假设检验中，下列说法正确的是( A ). A.既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误B.如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误C.增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变D.如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误3.对总体X~N(μ,σ²)的均值和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义是指这个区间( D ).A.平均含总体95%的值B.平均含样本95%的值C.有95%的机会含样本的值D.有95%的机会的机会含μ的值4.在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是( C ). A.在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 B.在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 C.在H 0成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 D.在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率5.在一次假设检验中，下列说法正确的是( C ). A.第一类错误和第二类错误同时都要犯B.如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误C.增大样本容量，则犯两类错误的概率都要变小D.如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误6.设θ 是未知参数θ的一个估计量,若θθ≠ E 则θ是θ的( B ).A.极大似然估计B.矩法估计C.相合估计D.有偏估计7.在对单个正态总体均值的假设检验中,当总体方差已知时,选用( B ).A.t 检验法B.u 检验法C.F 检验法D.σ2检验法8.在一个确定的假设检验中,与判断结果相关的因素有( D ).A.样本值与样本容量B.显著性水平C.检验统计量D.A,B,C 同时成立9.对正态总体的数学期望进行假设检验,如果在显著水平0.05下接受H0:μ=μ0,那么在显著水平0.01下,下列结论中正确的是( A ).A.必须接受H0B.可能接受,也可能拒绝H0C.必拒绝H0D.不接受,也不拒绝H010.设A 和B 为两个任意事件,且A ⊂B ,P(Ｂ)>0,则必有( B ).A.P (A )<P (A |B )B.P (A )≤P (A |B )C.P (A )>(A |B )D.P (A )≥P (A |B )11.已知P(A)=0.4,P(B)=0.6,P(B|A)=0.5,则P(A|B)=( B ).A.1/2B.1/3C.10/3D.1/512.甲.乙两人独立的对同一目标各射击一次,其中命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是乙命中的概率是( C ).A.3/5B.5/11C.5/8 B.6/1113.设A 和B 为两个任意事件,则下列关系成立的是( C ).A.(A ∪B )−B =AB.(A ∪B )−B ⊃AC.(A ∪B )−B ⊂AD.(A −B )∪B =A14.设A 和B 为两个任意事件,且A ⊂B ,则必有( D ).A.P (A )<P(AB)B.P (A )≤P(AB)C.P (A )>P(AB)D.P (A )≥P(AB)15.设每次实验成功的概率为p(0<p<1)则在三次独立重复试验中至少一次成功的概率为( B ).A.p 3B.1-p 3C.(1-p)3D.1-(1-p)316.某人射击时,中靶的概率为2/3,如果射击直到中靶子为止,则射击次数为3的概率( A ). A. 2/27 B.2/9 C.8/27 D.1/2717.设随机事件A 和B 满足P (B |A )=1,则( C ).A.为必然事件B.P (B |A )=0C.B ⊂AD.B ⊃A18.设一随机变量X 的密度函数φ(−x )=φ(x ),F(x)是Ｘ的分布函数,则对任意实数a 有( B ). A.F (−a )=1−∫φ(x )a0dx B.F (−a )=12−∫φ(x )a0dx C.F (−a )=1−F(a) D.F (−a )=2F (a )−119.变量X 的密度函数为f (x )={Cx 30<x <10其它,则常数C=( B ).A.3B.4C.1/4D.1/320.设X和Y相互独立,且分别服从N(0,1)和N(1,1)则( B ).A.P{X+Y≤0}=12B.P{X+Y≤1}=12C.P{X−Y≤0}=12D.P{X−Y≤1}=1221.设Ｘ和Ｙ独立同分布,且P{X=1}=P{Y=1}=12,P{X=−1}=P{Y=−1}=12,则下列各式成立的是( A ).A.P{X=Y}=12B.P{X=Y}=1 C.P{X+Y=0}=14D.P{XY=1}=1422.总体方差D等于( C ).A.1n ∑(X i−X̅)2ni=1B.1n−1∑(X i−X̅)2ni=1C.1n∑X i2−(EX)2ni=1D.1n−1∑(X i−EX)2ni=123.设随机变量X～N(μ,σ²),则随着σ的增大,概率P{|X−μ|<σ}为( C ).A.单调增加B.单调减少C.保持不变D.增减不定24.设随机变量X和Y均服从正态分布X～N(μ,4²),Y～N(μ,5²),记p1=P{X<μ−4},p2= P{Y≥μ+5},则( A ).A.对任何实数μ都有p1=p2B.对任何实数μ都有p1<p2C.仅对个别值有p1=p2D.对任何实数μ都有p1>p225.设X1,X2,…,X n为来自总体的一个样本,X̅为样本均值,EX未知,则总体方差DX的无偏估计量为( B ).A.1n ∑(X i−X̅)2ni=1B.1n−1∑(X i−X̅)2ni=1C.1n ∑(X i−EX)2ni=1D.1n−1∑(X i−EX)2ni=126.设总体X～f(x,θ),θ为未知参数,X1,X2,…,X n为X的一个样本,θ1(X1,X2,…,X n).θ2(X1,X2,…,X n)为两个通缉量(θ1,θ2)为θ的置信度为1-α的置信区间,则应有( C ).A.P{θ1<θ<θ2}=αB.P{θ<θ2}=1-αC.P{θ1<θ<θ2}=1-αD.P{θ<θ1}=α27.在假设建设检验中,记H0为检验假设,则所谓犯第一类错误的是( D ).A.H0为真时,接受H0B.H0不真时,接受H0C.H0不真时,拒绝H0D.H0为真时,拒绝H028.袋中有50个乒乓球,其中20个黄的,30个白的,现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球.则第二人取到黄球的概率是( B ).A.1/5B.2/5C.3/5D.4/529.事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为( D ). A.“甲种产品滞销,乙种产品畅销” B.“甲.乙两种产品均畅销”C.“甲种产品滞销”D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”30.设A,B,C 表示三个随机事件,则A ⋃B ⋃C 表示( A ) A.A,B,C 中至少有一个发生; B.A,B,C 都同时发生; C.A,B,C 中至少有两个发生; D.A,B,C 都不发生.31.已知事件A,B 相互独立,且P(A)=0.5,P(B)=0.8,则P （A ⋃B ）＝( C ) A.0.65 B.1.3 C.0.9 D.0.332.设X ～B （n,p ）,则有( D )A.E （2X －1）＝2np;B.E （2X ＋1）＝4np ＋1;C.D （2X ＋1）＝4np （1－p ）＋1A.;D.D （2X －1）＝4np （1－p ）33.X则a ＝( A )A.1/3B.0C.5/12D.1/434.常见随机变量的分布中,数学期望和方差一定相等的分布是( D ) A.二项分布; B.标准正态分布; C.指数分布; D.泊松分布.35.在n 次独立重复的贝努利试验中,设P （A ）＝p,那么A 事件恰好发生k 次的概率为( B ). A.p k ; B.(nk )p k (1－p)n-k ; C.p n-k (1－p)k ; D.p k (1－p)n-k .36.设X A.1/4,1/16; B.1/2,3/4; C.1/4,11/16; D.1/2,11/16.37.设随机变量X 的密度函数f (x )={2x x ∈[0,A]0 其他，则常数A=( A ).A.1;B.1/2;C.1/2;D.2.38.若T ～t(n),下列等式中错误的是( C ).A.P{T>0}=P{T ≤0};B.P{T ≥1}=P{T>1};C.P{T=0}=0.5;D.P{T>t α}=P{T<－t α}.39.设X ～N(μ1,σ12),它有容量为n 1的样本X i ,i=1,2,…n 1;Y ～N(μ2,σ22),它有容量为n 2的样本Y j ,j=1,2,…n 2.它们均相互独立,X 和Y 分别是它们样本平均值,s 12和s 22分别是它们样本方差,σ12,σ22未知但是相等.则统计量212121221121)2()()(n n n n n n s n s n Y X +-++---μμ应该服从的分布是( C ).A.t(n 1＋n 2);B.t(n 1＋n 2－1);C.t(n 1＋n 2－2);D.F(n 1－1,n 2－1).40.设X ～N(μ1,σ2),它有容量为n 1的样本X i i=1,2,…n 1;Y ～N(μ2,σ2),它有容量为n 2的样本Y j j=1,2,…n 2.均相互独立,s 12和s 22分别是它们样本方差.则统计量1122221211--n s n n s n 应该服从的分布是( D ).A.χ2(n 1＋n 2－2);B.F(n 2－1,n 1－1);C.t(n 1＋n 2－2);D.F(n 1－1,n 2－1).41.若μˆ1和μˆ2同是总体平均数μ的无偏估计,则下面叙述中,不正确的是( B ). A.2μˆ1－μˆ2仍是总体平均数μ的无偏估计; B.21μˆ1－21μˆ2仍是总体平均数μ的无偏估计; C.21μˆ1＋21μˆ2仍是总体平均数μ的无偏估计 D.32μˆ1＋31μˆ2仍是总体平均数μ的无偏估计.42.假设检验时,当样本容量n 固定时,缩小犯第Ⅰ类错误的概率α,则犯第Ⅱ类错误的概率β( B ).A.一般要变小;B.一般要变大;C.可能变大也可能变小;D.肯定不变.43.设X ～N(μ,σ2),μ和σ2均未知,X 是样本平均值,s 2是样本方差,则（X －t 0.051-n s ,X ＋t 0.051-n s ）作为的置信区间时,其置信水平为( C ).A.0．1;B.0.2;C.0.9;D.0.8.44.已知一元线性回归直线方程为yˆ＝a +4x,且x ＝3,y ＝6.则a＝( D ). A.0; B.6; C.2; D.－6.45.设（x 1,y 1）,（x 2,y 2）,...（x n ,y n ）是对总体(X,Y)的n 次观测值,l YY =∑=-ni iy y12)(,l XX =∑=-n i ix x12)(分别是关于Y,关于X 的校正平方和及l XY =∑=--ni i i y y x x 1))((是关于X 和Y的校正交叉乘积和,则它们的一元回归直线的回归系数b＝( A ).A.XX XY l l ;B.XX XY l l ;C.YY XX XY l l l 2; D.YYXX XY l l l .46.设A,B 为两个事件,则AB ＝( D ).A.A B ;B.A B;C.A B ;D.A ∪B .47.若X ～N(0,1),ϕ(x)是它的密度函数,Φ(x)是它的分布函数,则下面叙述中不正确的是( A ). A.Φ(－x)＝－Φ(x); B.ϕ(x)关于纵轴对称; C.Φ(0)＝0.5; D.Φ(－x)＝1－Φ(x).48.对单个总体X ～N(μ,σ2)假设检验,σ2未知,H 0：μ≥μ0.在显著水平α下,应该选（ A ）. A.t 检验; B.F 检验; C.χ2检验; D.u 检验.49.甲乙两人各自同时向敌机射击,已知甲击中敌机的概率为0.8,乙击中敌机的概率为0.5,则恰有一人击中敌机的概率( B ).A.0.8B.0.5C.0.4D.0.650.设X~N(μ,0.3²),容量n=9,均值X 5=,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是( C ).(查表Z 0.025=1.96)A.(4.808,6.96)B.(3.04,5.19)C.(4.808,5.19)D.(3.04,6.96)二.填空题 1.设X 1,X 2,…,X 16是来自总体X~(4,σ2)的简单随机样本,2σ已知,令1611X 16ii X==∑则统计量4X-16σ服从分布 Ｎ(0,1) (必须写出分布的参数).2.设2X~μσ（，）,而1.70,1.75,1.70,1.65,1.75是从总体X 中抽取的样本,则μ的矩估计值为71.111=∑=ni i X n3. 设X~U[a,1],X 1,…,X n 是从总体X 中抽取的样本,求a 的矩估计为 121-∑=ni i X n4.已知F 0.1(8,20)=2,则F 0.9(20,8)= 0.55、设某个假设检验问题的拒绝域为W,且当原假设H 0成立时,样本值(x 1,x 2,…,x n )落入W 的概率为0.15,则犯第一类错误的概率为 0.156.设样本的频数分布为X 0 1 2 3 4 频数 13212则样本方差s 2= 27.设X1,X2,,Xn 为来自正态总体N(μ,σ²)的一个简单随机样本,其中参数μ和σ²均未知,记,221Q )ni i X X ==-∑（,则假设H 0:μ＝0的t 检验使用的统计量是X t (1)n n Q=- (用X 和Q表示)8. 设总体X~N(μ,σ²),X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本,则样本均值X ＝ n 2σ9. 设总体X ～b,(np),0<p<1,X 1,X 2,…,X n 为其样本,则n 的矩估计是 X n p =10.设总体X ～[U,θ],(X 1,X 2,…,X n )是来自X 的样本,则θ的最大似然估计量是{}12max X X X n θ=，，11.测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差(微米)如下:+2,+1,-2,+3,+2,+4,-2,+5,+3,+4.则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量 212.设X 1,X 2,X 3,X 4是来自正态总体N(0,2)2的样本,令Y=(X 1+X 2)2+(X 3-X 4)2,则当C= 1/8 时CY ～x 2(2).13.设容量n=10的样本的观察值为(8,7,6,9,8,7,5,9,6),则样本均值样本方差 s 2=214.设A.B 为随机事件,P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8则P(B|A)＝ 0.715. 若事件A 和事件B 相互独立,P(A)=α,P(B)=0.3,P (A⋃B )=0.7,则α= 3/716.设X ～N(2,σ²),且P{2<x<4}=0.3,则P{x<0}= 217.一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为80/81,则该射手的命中率为 2/318. 三个人独立地解答一道难题,他们能单独正确解答的概率分别为1/5.1/3.1/4,则此难题被正确解答的概率为 3/519.设有一箱产品由三家工厂生产的其中1/2是第一加工厂生产的,其余两家工厂各生产1/4,又知第一.第二工厂生产的产品有2%的次品,第三工厂生产的产品有4%的次品,现从箱中任取一只,则取到的次品的概率为 2.5%20.一个盒子中有10个球,其中有3个红球,2个黑球,5个白球,从中取球两次,每次取一个(有放回)则:第二次取到黑球的概率为 0.221. 由长期统计资料得知,某一地区在4月下雨(记事件A)的概率为4/15,刮风(记作事件B)概率为7/15,刮风又下雨(记作事件C)概率为1/10则:p(B|A)= 3/822.一盒子中黑球.红球.白球各占50%,30%,20%,从中任取一球,结果不是红球,则取到的是白球的概率为 2/723.某公共汽车站甲.乙丙动人分别独立地等1.2.3路汽车,设每个人等车时间(单位分钟)均服从[0,5]上的均匀分布,则三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率为 0.35224. 若随机变量X ～(2,σ²)且p{2<X<4}=0.3,则p{X<2}= 0.525. 若随机变量X ～N(-1,1),Y ～N(3,1)且X 和Y 相互独立,设随机变量Z=X-2Y+7,则Z ～ N(0,5)26.设随机变量X ～N(1,22),则EX 2= 5三.计算题1.已知100个产品中有5个次品,现从中有放回地取3次,每次任取1个,求在所取的3个中恰有2个次品的概率.[答案]:.007125.0)95.0()05.0(}2{223===C X P2.某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率. [答案]:).02.0,400(~b XX 的分布律为,)98.0()02.0(400}{400kk k k XP -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0,1,,400.k = 于是所求概率为 }1{}0{1}2{=-=-=≥X P X P X P 399400)98.0)(02.0(400)98.0(1--=.9972.0=3.已知100个产品中有5个次品,现从中无放回地取3次,每次任取1个,求在所取的3个中恰有2个次品的概率. [答案]:.00618.0}2{310025195≈==C C C X P4.某一城市每天发生火灾的次数X 服从参数8.0=λ的泊松分布,求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率. [答案]:由概率的性质,得}3{1}3{<-=≥X P X P }2{}1{}0{1=-=-=-=X P X P X P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-!28.0!18.0!08.012108.0e.0474.0≈5.某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班车,即7:00,7:15,7:30,7:45等时刻有汽车到达此站,如果乘客到达此站时间X 是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.[答案]:以7:00为起点0,以分为单位,依题意 ~X ),30,0(U ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,0300,301)(x x f为使候车时间X 少于5分钟,乘客必须在7:10到7:15之间,或在7:25到7:30之间到达车站,故所求概率为}3025{}1510{<<+<<X P X P 3130130130251510=+=⎰⎰dx dx6.某元件的寿命X 服从指数分布,已知其平均寿命为1000小时,求3个这样的元件使用1000小时,至少已有一个损坏的概率.[答案]:由题设知,X 的分布函数为.0,00,1)(1000⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-x x e x F x 由此得到}1000{1}1000{≤-=>X P X P .)1000(11-=-=e F各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用Y 表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数,则).1,3(~1--e b Y所求概率为}0{1}1{=-=≥Y P Y P .1)()1(13310103----=--=e e e C7.设某项竞赛成绩N X~(65,100),若按参赛人数的10%发奖,问获奖分数线应定为多少?[答案]:设获奖分数线为,0x 则求使1.0}{0=≥x X P 成立的.0x )(1}{1}{000x F x X P x X P -=<-=≥,1.0106510=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=x即,9.010650=⎪⎭⎫⎝⎛-Φx 查表得,29.110650=-x 解得,9.770=x 故分数线可定为78.8.设随机变量X 具有以下的分布律,试求2)1(-=X Y 的分布律.4.01.03.02.02101i p X -[答案]:Y 所有可能的取值0,1,4,由,2.0}1{}4{,7.0}2{}0{}1{,1.0}1{}0)1{(}0{2=-=====+=======-==X P Y P X P X P Y P X P X P Y P9.已知随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=4,140,4/0,0)(x x x x x F ,求).(X E[答案]:随机变量X 的分布密度为,,040,4/1)()(⎩⎨⎧≤<='=其它x x F x f故.2841)()(424==⋅==⎰⎰∞+∞-x dx x dx x xf X E10.设05.0=α,求标准正态分布的水平0.05的上侧分位数和双侧分位数. [答案]:由于,95.005.01)(05.0=-=Φu 查标准正态分布函数值表可得,645.105.0=u 而水平0.05的双侧分位数为,025.0u 它满足:,975.0025.01)(025.0=-=Φu 查标准正态分布函数值表可得.96.1025.0=u 2χ分布.11.设),2,21(~2N X 2521,,,X X X 为X 的一个样本,求:(1)样本均值X 的数学期望与方差;(2)}.24.0|21{|≤-X P[答案]:)1(由于),2,21(~2N X 样本容量,25=n所以,252,21~2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛N X 于是,21)(=X E .4.0252)(22==X D)2(由),4.0,21(~2N X 得),1,0(~4.021N X - 故⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≤-6.04.021}24.0|21{|X P X P .4514.01)6.0(2=-Φ=12.⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤--+=其它100101)(x x xA x x f ,则求常数A.期望EX 及方差DX. [答案]:011(1)x dx -=++⎰10()A x dx -⎰,得A=1 ()EX xf x dx +∞-∞==⎰01(1)x x dx -++⎰10(1)0x x dx -=⎰22()EX x f x dx +∞-∞==⎰021(1)x x dx -++⎰120(1)1/6x x dx -=⎰ 61)D(x)22=-=EX EX （。
概率统计模仿试题1-4解答
模拟试题（一）参考答案一.单项选择题（每小题2分,共16分）1.设B A ,为两个随机事件,若0)(=AB P ,则下列命题中正确的是（ ） (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立(C) 0)(0)(==B P A P 或(D) AB 未必是不可能事件解 若AB 为零概率事件,其未必为不可能事件.本题应选D.2.设每次试验失败的概率为p ,则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）(A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 213)1(p p C -解 所求事件的对立事件为“3次都不成功”,其概率为3p ,故所求概率为31p -.若直接从正面去求较为麻烦.本题应选C.3.若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度,则下面说法中一定成立的是（ ） (A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续解 由连续型随机变量概率密度的定义可知,)(x f 是定义在),(+∞-∞上的非负函数,且满足⎰∞+∞-=1d )(x x f ,所以A 一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从]21,31[上的均匀分布的随机变量的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,0,2131,6)(x x f在31=x 与21=x 处不连续,且在这两点的函数值大于1.因而本题应选A. 4.若随机变量X 的概率密度为)( 21)(4)3(2+∞<<-∞=+-x ex f x π,则=Y （ ）)1,0(~N(A)23+X (B)23+X (C)23-X (D)23-X 解 X 的数学期望3-=EX ,方差2=DX ,令23+=X Y ,则其服从标准正态分布.故本题应选A.5.若随机变量Y X ,不相关,则下列等式中不成立的是（ ） (A) 0),cov(=Y X (B) DY DX Y X D +=+)((C) DY DX DXY ⋅=(D) EY EX EXY ⋅=解 因为0=ρ,故0),cov(=⋅=DY DX Y X ρ,DY DX Y X DY DX Y X D +=++=+),cov(2)(, 但无论如何,都不成立DY DX DXY ⋅=.故本题应选C.6.设样本n X X X ,,,21⋅⋅⋅取自标准正态分布总体X ,又S X ,分别为样本均值及样本标准差,则（ ） (A) )1,0(~N X(B) )1,0(~N Xn(C))(~212n X ni i χ∑=(D))1(~-n t SX解 )1,0(~nN X ,),0(~n N X n ,)1(~-⋅n t S X n ,只有C 选项成立.本题应选C. 7.样本n X X X ,,,21 )3(≥n 取自总体X ,则下列估计量中,（ ）不是总体期望μ的无偏估计量(A)∑=ni iX1(B) X(C) )46(1.01n X X +(D) 321X X X -+解 由无偏估计量的定义计算可知,∑=ni iX1不是无偏估计量,本题应选A.8.在假设检验中,记0H 为待检假设,则犯第一类错误指的是（ ） (A) 0H 成立,经检验接受0H (B) 0H 成立,经检验拒绝0H (C) 0H 不成立,经检验接受0H (D) 0H 不成立,经检验拒绝0H解 弃真错误为第一类错误,本题应选B.二.填空题（每空2分,共14分）1.同时掷三个均匀的硬币,出现三个正面的概率是________,恰好出现一个正面的概率是________. 解81;83. 2.设随机变量X 服从一区间上的均匀分布,且31,3==DX EX ,则X 的概率密度为________. 解 设],[~b a X ,则,3112)( ,322=-==+=a b DX b a EX 解得2=a , 4=b , 所以X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.0,42,21)(其他x x f3.设随机变量X 服从参数为2的指数分布,Y 服从参数为4的指数分布,则=+)32(2Y X E ________.解 472])([232)32(222=++=+=+EY EX DX EY EX Y X E . 4.设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2,方差分别为1和4,而相关系数为－0.5,则根据切比雪夫不等式,有≤≥+}6|{|Y X P ________.解 根据切比雪夫不等式,12136),(26)(}6|{|2=++=+≤≥+Y X Cov DY DX Y X D Y X P .5.假设随机变量X 服从分布)(n t ,则21X服从分布________（并写出其参数）. 解 设)(~n t nZY X =,其中)1,0(~N Y ,)(~2n Z χ,且)1(~22χY ,从而)1,(~122n F Y n ZX =. 6.设n X X X ,,,21 )1(>n 为来自总体X 的一个样本,对总体方差DX 进行估计时,常用的无偏估计量是________.解 ∑=--=ni i X X n S 122)(11. 三.(本题６分)设1.0)(=A P ,9.0)|(=A B P ,2.0)|(=A B P ,求)|(B A P . 解 由全概率公式可得27.02.09.09.01.0)|()()|()()(=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P .31)()|()()()()|(===B P A B P A P B P AB P B A P .四.(本题8分)两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:(1) 任取一个零件是合格品的概率,(2) 若任取一个零件是废品,它为第二台车床加工的概率.解 设21,A A 分别表示第一台,第二台车床加工的零件的事件.B 表示产品是合格品的事件. (1) 由全概率公式可得973.098.03197.032)|()()|()()(2211≈⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P . (2) 247.0973.0102.031)()|()()()()|(2222≈-⋅===B P A B P A P B P B A P B A P . 五.(本题14分)袋中有4个球分别标有数字1,2,2,3,从袋中任取一球后,不放回再取一球,分别以Y X ,记第一次,第二次取得球上标有的数字,求:(1) ) ,(Y X 的联合分布； (2) Y X ,的边缘分布； (3) Y X ,是否独立；(4) )(XY E .解 （1） YX 1 2 3 1 061 121 2 61 61 613121 610 （2）41)1(==X P ,21)2(==X P ,41)3(==X P .41)1(==Y P ,21)2(==Y P ,41)3(==Y P .（3）因为)1()1(1610)1,1(===≠===Y P X P Y X P ,故Y X ,不独立.（4）613261226112121316121)(⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=XY E 612312113⋅⋅+⋅⋅+623=. 六.(本题12分)设随机变量X 的密度函数为)( e )(||2+∞<<-∞=-x Ax x f x ,试求:(1) A 的值； (2) )21(≤<-X P ； (3) 2X Y =的密度函数. 解 (1) 因⎰∞+∞-x x f d )(⎰∞+-===0214d e 2A x x A x ,从而41=A ; (2) ⎰⎰⎰---+==≤<-20201221d e 41d e 41d )()21(x x x x x x f X P xx 12e 45e 251----=;(3) 当0≤y 时,0)(=y F Y ;当0≤y 时,)()()()(2y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=)()(y F y F X X --=,所以,两边关于y 求导可得,.4121412141)(y yy Y e y ye y y e y yf ---⋅=-⋅⋅-⋅⋅= 故Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>⋅≤=-.0,41,0,0)(y e y y y f yY 七.(本题6分)某商店负责供应某地区1000人商品,某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间,各人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以%7.99的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多买一件）.解 设⎩⎨⎧=人购买该种商品第人不购买该种商品第i i X i ,1,,0(1000,,2,1 =i ),X 表示购买该种商品的人数,则)6.0,1000(~B X .又设商品预备n 件该种商品,依题意,由中心极限定理可得)240600240600()()(-≤-=-≤-=≤n X P DXEX n DX EX X P n X P997.0)240600(=-Φ≈n .查正态分布表得75.2240600=-n ,解得6436.642≈=n 件.八.(本题10分)一个罐内装有黑球和白球,黑球数与白球数之比为R . (1) 从罐内任取一球,取得黑球的个数X 为总体,即⎩⎨⎧=白球，，黑球，，01X 求总体X 的分布；(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为n 的样本n X X X ,,,21 ,其中有m 个白球,求比数R 的最大似然估计值.解（1） X 1 0 PR R +1 R+11即R R R R R x X P xxx+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+==-1111)(1 )1,0(=x ; （2）nx ni i iR R x XP R L i)1()()(1+∑===∏=,两边取对数,)1ln()(ln R n x R R L i +-∑=,两边再关于R 求导,并令其为0,得011=+-∑R nx i , 从而∑∑-=ii x n xR ˆ,又由样本值知,m n x i-=∑,故估计值为1ˆ-=m n R . 九.(本题14分)对两批同类电子元件的电阻进行测试,各抽6件,测得结果如下（单位:Ω）:批:0.140,0.138,0.143,0.141,0.144,0.137；B 批:0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.141.已知元件电阻服从正态分布,设05.0=α,问:(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等? (2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异? （2281.2)10(025.0=t ,15.7)5,5(025.0=F ）解 (1) 2221122210 σσσσ≠=：，：H H .检验统计量为2221S S F =)5 ,5(~F （在0H 成立时）,由05.0=α,查得临界值15.7)5 ,5(025.02/==F F α,15.712/1=-αF . 由样本值算得962.00000078.00000075.0==F ,由于2/2/1ααF F F <<-,故不能拒绝10H ,即认为两批电子元件的电阻的方差相等.(2) 211210 μμμμ==：，：H H . 统计量62221SS YX T +-=)10(~t （在0H 成立时）,查表得临界值228.2)10(025.02/==t t α.再由样本值算得148.160000078.00000075.0139.01405.0=+-=T ,因为2/||αt T <,故接收0H .即认为两批电子元件的平均电阻无显著差异.模拟试题（二）参考答案一.单项选择题（每小题2分,共16分）1.设C , ,B A 表示3个事件,则C B A 表示（ ） (A) C , ,B A 中有一个发生(B) C , ,B A 中不多于一个发生(C) C , ,B A 都不发生 (D) C , ,B A 中恰有两个发生 解 本题应选C. 2.已知)(,61)|(,31)()(B A P B A P B P A P 则====（ ）. (A) 187 (B) 1811 (C) 31 (D) 41解 181)|()()(==A B P A P AB P ,187)()()(1)(1)()(=+--=-==AB P B P A P B A P B A P B A P . 故本题应选A.3.设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ,则（ ）(A) 21}0{=≤+Y X P (B) 21}1{=≤+Y X P (C) 21}0{=≤-Y X P (D) 21}1{=≤-Y X P解 )2,1(~N Y X +,)2,1(~--N Y X ,故本题应选B.4.设X 与Y 为两随机变量,且6.0,1,4===XY DY DX ρ,则=-)23(Y X D （ ） (A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.6解 2.1),cov(=⋅=DY DX Y X XY ρ,6.25),cov(1249)23(=-+=-Y X DY DX Y X D .故本题应选C.5.若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则2X 的数学期望是（ ）(A) λ(B)λ1 (C) 2λ (D) λλ+2 解 222)(λλ+=+=EX DX EX ,本题应选D.6.设n X X X ,,,21 是来自于正态总体),(2σμN 的简单随机样本,X 为样本方差,记∑=--=n i i X X n S 122)(111 ∑=-=n i i X X n S 1222)(1 ∑=--=n i i X n S 1223)(11μ ∑=-=n i i X n S 1224)(1μ 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ ）(A) 1/1--=n S X t μ(B) 1/2--=n S X t μ(C) 1/3--=n S X t μ(D) 1/4--=n S X t μ解 ),(~2nN X σμ,)1(~)(1122--∑=n t X Xni iσ,再由t 分布的定义知,本题应选B.7.设总体X 均值μ与方差2σ都存在,且均为未知参数,而,,,21 X X n X 是该总体的一个样本,X 为样本方差,则总体方差2σ的矩估计量是（ ）(A) X (B) ∑=-n i i X n 12)(1μ(C) ∑=--n i i X X n 12)(11 (D) ∑=-n i i X X n 12)(1 解 本题应选D.8.在假设检验时,若增大样本容量,则犯两类错误的概率（ ） (A) 都增大 (B) 都减小(C) 都不变 (D) 一个增大一个减小 解 本题应选B.二.填空题（每空2分,共14分）1.设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取2件中有1件是不合格品,则另外1件也是不合格品的概率为________.解 设A 表示两件中有一件不合格品,B 表示两件都是不合格品.则所求的极限为51)()()()()|(===A PB P A P AB P A B P2.设随机变量X 服从)8.0 ,1(B 分布,则X 的分布函数为________.解 X 服从0-1分布,其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.11,10,2.0,0,0)(x x x x f3.若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且6.0}40{=<<X P ,则}0{<X P =________.解 2=μ,即其密度函数关于2=x 对称.由对称性知2.026.01}0{=-=<X P . 4.设总体X 服从参数为p 的0－1分布,其中)10(<<p p 未知.现得一样本容量为8的样本值:0,1,0,1,1,0,1,1,则样本均值是________,样本方差是________.解 由定义计算知85=X ;56152=S . 5.设总体X 服从参数为λ的指数分布,现从X 中随机抽取10个样本,根据测得的结果计算知27101=∑=i ix,那么λ的矩估计值为________.解 27101ˆ==Xλ.6.设总体) ,(~2σμN X ,且2σ未知,用样本检验假设00μμ=：H 时,采用的统计量是________. 解 )1(~0--=n t nSX T μ (0H 为真时).三.（本题8分）设有三只外形完全相同的盒子,Ⅰ号盒中装有14个黑球,6个白球；Ⅱ号盒中装有5个黑球,25个白球；Ⅲ号盒中装有8个黑球,42个白球.现在从三个盒子中任取一盒,再从中任取一球,求:（1）取到的球是黑球的概率；（2）若取到的是黑球,它是取自Ⅰ号盒中的概率.解 设321,,A A A 分别表示从第Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ号盒中取球,B 表示取到黑球. (1) 由全概公式可得≈⋅+⋅+⋅==∑=5083130531201431)|()()(31i i i A B P A P B P 0.342; (2) 由贝叶斯公式得≈=)()|()()|(111B P A B P A P B A P 0.682.四.（本题6分）设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他，，，，002cos 21)(πx x x f , 对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π地次数,求2Y 的数学期望. 解 21d 2c o s 21)3(3==>⎰πππx x X P ,)21,4(~B Y ,从而 5)(22=+=EY DY EY .五.（本题12分） 设),(Y X 的联合分布律为YX 0 1 2 1 0.1 0.05 0.35 2 0.3 0.1 0.1 问:(1) Y X ,是否独立；(2) 计算)(Y X P =的值；(3) 在2=Y 的条件下X 的条件分布律. 解 (1) 因为)0()1(4.05.02.01.0)0,1(===⋅=≠===Y P X P Y X P , 所以Y X ，不独立; (2) 15.01.005.0)2,2()1,1()(=+===+====Y X P Y X P Y X P ;(3) 9745.035.0)2()2,1()2|1(========Y P Y X P Y X P ,92971)2|2(=-===Y X P .六.（本题12分）设二维随机变量) ,(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=,,0,10,12),(2其他x y y y x f 求:(1) X 的边缘密度函数)(x f X ；(2) )(XY E ； (3) )1(>+Y X P . 解 (1)⎩⎨⎧≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤==⎰⎰∞+∞-.,0,104,0,10,d 12d ),()(302其他其他x xx y y y y x f x f x X(2) 21d 12d )(0310==⎰⎰y xy x XY E x ;(3) ==>+⎰⎰-y y x Y X P x x d 12d )1(1212187.七.（本题6分）一部件包括10部分,每部分的长度是一个随机变量,它们相互独立,且服从同一均匀分布,其数学期望为2mm,均方差为0.05,规定总长度为)1.020(±mm 时产品合格,试求产品合格的概率.解 设i X 表示第i 部分的长度,10,,2,1 =i ,X 表示部件的长度.由题意知2=i EX ,0025.0=i DX ,且∑==101i i X X ,20=EX ,025.0=DX .由独立同分布的中心极限定理知,产品为合格品的概率为)025.01.0|025.020(|)1.0|20(|≤-=≤-X P X P4714.01)025.01.0(2=-Φ=. 八.（本题7分）设总体X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>-=--,,0,0,e )!1()(1其他x x k x f x k k θθ 其中k 为已知正整数,求θ的极大似然估计.解 设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,当0,,,21>n x x x 时,似然函数∑-===-=-=∑∏ni ix ni k innkni i xk x f L 1e])!1[()()(111θθθ,两边取对数,∑-+--===-∑ni i ni k ix x k n nk L 111ln )!1ln(ln )(ln θθθ,关于θ求导,并令其为0,得0)(ln 1=∑-==ni i x nkL θθ,从而解得θ的极大似然估计为XkX nkni i=∑==1ˆθ. 九.（本题14分）从某锌矿的东、西两支矿脉中,各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试,得样本含锌平均数及样本方差如下:东支:230.01=x ,1337.021=n s , )9(1=n 西支:269.02=x ,1736.022=n s , )8(2=n 若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布,问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样？)05.0(=α53.4)7 ,8( (025.0=F ,90.4)8 ,7(025.0=F ,) 1315.2)15(0025.0=t解 本题是在未知方差,又没有说明方差是否相等的情况下,要求检验两总体均值是否相等的问题,故首先必须检验方差是否相等,在相等的条件下,检验总体均值是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ,统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ,经检验,接受0H :21σ=22σ；第二步假设0H :21μμ=, 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验,接受0H ,即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.（本题5分） 设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0,0,3)(23其它θθx x x f其中θ为未知参数,n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本,证明:X 34是θ的无偏估计量.证明 ⎰∞+∞-===x x xf EX X E X E d )(343434)34(θθθ==⎰033d 334x x ,故X 34是 的无偏估计量.模拟试题（三）参考答案一.填空题（每小题2分,共14分）1.一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8180,则该射手的命中率为 .解 设A 表示一次射击中击中目标,依题意,四次都没击中的概率为81801)(4-=A P ,解得31)(=A P ,从而射手的命中率为32)(=A P . 2.若事件A ,B 独立,且p A P =)(,q B P =)(则=+)(B A P . 解 pq p B P A P B P A P B A P +-=-+=1)()()()()( .3.设离散型随机变量X 服从参数为λ（0>λ）的泊松分布,已知==)1(X P )2(=X P ,则λ= .解 )2(e 2e)1(2=====--X P X P λλλλ,从而解得2=λ.4.设相互独立的两个随机变量X ,Y 具有同一分布律,且X 的分布律为:X 0 1P 21 21则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 . 解 Z 的可能取值为0,1.412121)0()0()0,0()0(=⋅========Y P X P Y X P Z P .43411)1(=-==Z P .5.设随机变量X ,Y 的方差分别为25=DX ,36=DY ,相关系数4.0=XY ρ,则),(Y X Cov = .解 12),cov(=⋅=DY DX Y X XYρ.6.设总体X 的期望值μ和方差2σ都存在,总体方差2σ的无偏估计量是21)(∑=-n i i X X n k ,则=k .解 1-=n n k . 7.设总体),(~2σμN X ,μ未知,检验2020σσ=H ：,应选用的统计量是 .解)1(~)(2212--∑=n X Xni iχσ (0H 为真时)二 .单项选择题（每小题2分,共16分）1.6本中文书和4本外文书任意往书架上摆放,则4本外文书放在一起的概率为（ ） (A)!10!6!4 (B)107 (C)!10!7!4 (D)104 解 本题应选C.2.若事件B A ,相互独立,则下列正确的是（ ） (A) =)|(A B P )|(B A P (B) =)|(A B P )(A P (C) )|(B A P )(B P =(D) =)|(B A P )(1A P -解 由独立性的定义知,==)()|(A P B A P )(1A P -,故本题应选D.3.设随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布,且6.1=EX ,28.1=DX ,则n ,p 的值为（ ） (A) n =8,p =2.0 (B) n =4,p =4.0 (C) n =5,p =32.0(D) n =6,p =3.0解 由6.1=np ,28.1)1(=-p np ,解得n =8,p =2.0,本题应选A.4.设随机变量X 服从正态分布)1,2(N ,其概率密度函数为)(x f ,分布函数为)(x F ,则有（ ） (A) =≥)0(X P =≤)0(X P5.0 (B) =≥)2(X P =≤)2(X P 5.0 (C) )(x f =)(x f -,),(∞+-∞∈x (D) =-)(x F -1)(x F , ),(∞+-∞∈x解 2=EX ,故其密度函数关于2=x 对称,故本题应选B.5.如果随机变量X 与Y 满足:)(Y X D +)(Y X D -=,则下列式子正确的是（ ） (A) X 与Y 相互独立 (B) X 与Y 不相关 (C) 0=DY(D) 0=⋅DY DX解 由)(Y X D +)(Y X D -=,可得0),cov(=Y X ,从而可知X 与Y 不相关,故本题应选B.6.设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本,X 为样本均值,令=Y 212)(σ∑=-ni iX X,则~Y （ ）(A) )1(2-n χ (B) )(2n χ (C) ),(2σμN (D)),(2nN σμ解 本题应选A.7.设n X X X ,,,21 是取自总体),0(2σN 的样本,可以作为2σ的无偏估计量的统计量是（ ）(A) ∑=n i i X n 121 (B) ∑=-n i i X n 1211 (C) ∑=n i i X n 11 (D)∑=-ni i X n 111 解 由无偏估计的定义及期望的性质知,2221212)(1)1(σ==+===∑∑==DX EX DX EX EX n X n E ni i n i i ,故A 选择正确,同理验算其他选项,B,C,D 均不正确.故本题应选A.8.样本n X X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN ,若进行假设检验,当（ ）时,一般采用统计量nS X t /0μ-=(A) μ未知,检验2σ=20σ (B) μ已知,检验2σ=20σ (C) 2σ未知,检验 μ=0μ(D) 2σ已知,检验μ=0μ解 本题应选C. 三.（本题8分）有两台车床生产同一型号螺杆,甲车床的产量是乙车床的5.1倍,甲车床的废品率为%2,乙车床的废品率为%1,现随机抽取一根螺杆检查,发现是废品,问该废品是由甲车床生产的概率是多少？解 设21,A A 分别表示螺杆由甲,乙车床生产的事件.B 表示螺杆是废品的事件.由贝叶斯公式可得)|()()|()()|()()|(2211111A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=75.001.05202.05302.053=⋅+⋅⋅=. 四.（本题8分）假设一部机器在一天内发生故障的概率为2.0,机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里无故障,可获利润10万元,发生一次故障获利润5万元,发生两次故障获利润0万元,发生三次或三次以上故障就要亏损2万元,问一周内期望利润是多少？解 设X 表示一周中所获的利润,其分布律为:X 0 5 10 P 548.08.02.051-⋅⋅- 48.02.05⋅⋅ 58.0从而由期望的定义计算可得216.5=EX .五.（本题12分）1.设随机向量X ,Y 的联合分布为:X Y 1 2 31 0 61 1212 61 61 613 121 61(1) 求X ,Y 的边际分布；(2) 判断X ,Y 是否独立. 解 (1) X 的边际分布为： Y 的边际分布为：X 1 2 3 Y 1 2 3P 41 21 41 P 41 21 41(2) X 与Y 不相互独立.2.设随机变量),(Y X 的联合密度函数为:),(y x f =⎩⎨⎧<<-其他，，，，00e y x y求概率)1(≤+Y X P .解 ==≤+⎰⎰--y x Y X P x xy d e d )1(1210211e2e 1---+.六.（本题8分）设连续型随机变量X 的分布函数为:=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-，，，，000e 22x x B A x 求: (1) 系数A 及B ；(2) 随机变量X 的概率密度； (3) )9ln 4ln (≤≤X P .解 (1) 由分布函数的性质知1)e(lim )(22==+=+∞-+∞→A B A F x x ,)0(0)e(lim )(lim 202F B A B A x F x x x ==+=+=-→→++,从而1-=B ;(2) 分布函数的导数即为其概率密度,即)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤>-000e 22x x x x ，，，(3) 61)4ln ()9ln ()9ln 4ln (=-=≤≤F F X P . 七.（本题8分）设n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本,X 的概率密度为:)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其他，，，，0101x x θθ其中0>θ,求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量.解 令X x x EX =+==⎰1d 10θθθθ,从而解得θ的矩估计量为2)1(XX -=θ. 极大似然估计为:∑∑==+=ni ini iXX n 11ln ln θ.(具体做法类似与模拟试卷二第八题)八.（本题１０分）设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为5.66分,标准差为15分,问在显著水平05.0下,是否可认为全体考生的平均成绩为70分？解 假设0H :70=μ,选取统计量ns X T /μ-=)1(~-n t , (0H 为真时)在05.0=α下,查t 分布的双侧临界值表知0301.2025.0=t . 另一方面,计算统计量的值0301.24.136/15705.66||<=-=T ,从而接受原假设,即可认为全体考生的平均成绩为70分.九.（本题１２分）两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查,测得其平均年存款余额分别为x =2600元和y =2700元,样本标准差相应地为811=S 元和1052=S 元,假设年存款余额服从正态分布,试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异？（10.0=α）解 此题要求检验21μμ=,由于t 检验必须在方差相等的条件下进行,因此必须先检验21σ与22σ是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ,统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ,经检验,接受0H :21σ=22σ；第二步假设0H :21μμ=, 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验,拒绝0H ,即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.（本题４分）设总体X 服从参数为λ的泊松分布,λ为未知参数,⎩⎨⎧-=为偶数，，为奇数，，X X X T 11)(证明:)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.证明 ∑∞===0)()()]([x x X P x T TX T E∑∞=-=0!)(x xex x T λλ=-=∑∞=-0!)1(n nne n λλλ2-e ,所以)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.模拟试题（四）参考答案一.填空题(每小题2分,共20分)1.设)(A P =0.4,)(B P =0.5.若,7.0)(=B A P 则=+)(B A P . 解 55.0)|()()()()(=-+=+B A P B P B P A P B A P2.若随机变量X 服从二项分布,即)1.0,5(~B X ,则=-)21(X D .解 8.19.01.0544)21(=⋅⋅⋅==-DX X D . 3.三次独立重复射击中,若至少有一次击中的概率为6437,则每次击中的概率为 . 解43. 4.设随机变量X 的概率密度是:⎩⎨⎧<<=,,0,10,3)(2其他x x x f 且，784.0)(=≥a X P 则=a .解 由784.0)(=≥a X P 知,10<<α.故，784.01d 3)(132⎰=-==≥ααx x a X P 从而6.0=α. 5.利用正态分布的结论,有:=+-⎰∞+∞---x x x x d e )44(212)2(22π .解 令t x =-2,则原式1)(d e212222=+==⎰∞+∞--EX DX t t t π,这里)1,0(~N X .6.设总体X 的密度函数为:⎩⎨⎧<<=-,,0,10,)(1其他x x x f αα)0(>αα为参数其中,n x x x ,,,21 是来自总体X 的样本观测值,则样本的似然函数=);,,,(21αn x x x L .解 ∏=-ni i nx 11αα.7.设X ,Y 是二维随机向量,DX ,DY 都不为零,若有常数0>a 与b 使1)(=+-=b aX Y P ,这时X 与Y 是 关系.解 完全相关.8.若),(~2σμN X ,n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,2,S X 分别为样本均值和方差,则SnX )(μ-服从 分布.解 )1(-n t .9.设),(~211σμN X ,),(~222σμN Y ,X 与Y 相互独立.从X ,Y 中分别抽取容量为21,n n 的样本,样本均值分别为Y X ,,则Y X -服从分布 .解 ),(22212121n n N σσμμ+-.10.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若4.0-=X Z ,则Y 与Z 的相关系数为____________. 解 9.0),cov()4.0,cov(),cov(==-=X Y X Y Z Y . 二.单项选择题(每小题2分,共12分)1. 设随机变量X 的数学期望EX 与2σ=DX 均存在,由切比雪夫不等式估计概率}4{σ<-EX X P 为( )(A) 161≥(B) 161≤(C) 1615≥(D) 1615≤解 本题应选C.2.B A ,为随机随机事件,且A B ⊂,则下列式子正确的是( ). (A) )()(A P B A P =(B) )()()(A P B P A B P -=-(C) )()(A P AB P = (D) )()(B P A B P =解 本题应选A.3. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其他，，，，010)(x B Ax x f 且127=EX ,则( ).(A) 5.0,1-==B A(B) 1,5.0=-=B A(C) 1,5.0==B A (D) 5.0,1==B A 解 令1d )(10=+⎰x B Ax ,127d )(1=+⎰x x B Ax ,解得5.0,1==B A ,故本题应选D. 4.若随机变量X 与Y 不相关,则有( ). (A) )(9)()3(Y D X D Y X D -=- (B) )()()(Y D X D XY D ⨯= (C) 0)]}()][({[=--Y E Y X E X E(D) 1)(=+=b aX Y P 解 本题应选C.5.已知随机变量),(~21n n F F ,且αα=>)},({21n n F F P ,则=-),(211n n F α( ).(A) ),(121n n F α(B)),(1121n n F α-(C)),(112n n F α(D) ),(1211n n F α-解6.将一枚硬币独立地掷两次,记事件:=1A {掷第一次出现正面},=2A {掷第二次出现正面},=3A {正、反面各出现一次},=4A {正面出现两次},则事件( ).(A) 321,,A A A 相互独立 (B) 432,,A A A 相互独立 (C) 321,,A A A 两两独立(D) 432,,A A A 两两独立解 21)(1=A P ,21)(2=A P ,21)(3=A P ,41)(4=A P ,再由事件独立的充分必要条件可知321,,A A A 两两独立,本题应选C.三.计算题(每小题８分,共48分)1.某厂由甲,乙,丙三个车间生产同一种产品,它们的产量之比为3:2:1,各车间产品的不合格率依次为8%,9%,12%.现从该厂产品中任意抽取一件,求:(1) 取到不合格产品的概率；(2) 若取到的是不合格品,求它是由甲厂生产的概率. 解 (1) 运用全概率公式, 0.09;(2) 运用贝叶斯公式, 0.44.(具体做法参见模拟试卷(一)第四题)2.一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件,第i 个零件是不合格品的概率为)3,2,1(11=+=i ip i ,以X 表示三个零件中合格品的个数,求:(1) X 的概率分布； (2) X 的方差DX .解 (1)12234132411241=⋅+⋅+=EX , (2)2741924114412=⋅+⋅+=EX ,故521.0)(22=-=EX EX DX . 3.设总体X ),0(~2σN ,2σ为未知参数,n x x x ,,,21 是来自总体X 的一组样本值,求2σ的最大似然估计.解 似然函数21221222222e )21(e)21()(σσσπσπσ∑=∑===--ni i ni i x n x nL ,两边取对数212222ln 22ln 4)(ln σσπσ∑---==ni ix nn L ,关于2σ求导,并令其为零,得0)(21222122=∑+⋅-=σσni ix n , 从而解得极大似然估计量为∑==n i i x n 1221ˆσ. 4.二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度:⎩⎨⎧>>=+-其它，，，，00,0e 2),()2(y x y x f y x求: (1) X 与Y 之间是否相互独立,判断X 与Y 是否线性相关；(2) )1(≤+X Y P . 解 (1) ⎪⎩⎪⎨⎧≤>==⎰⎰∞++-∞+∞-0,0,0,d e 2d ),()(0)2(x x y y y x f x f y x X341⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e x x x 同理 ⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(2y y y f y Y 从而)()(),(y f x f y x f Y X =, 故X 与Y 相互独立,因而X 与Y 一定不相关.(2) =≤+)1(X Y P =⎰⎰-+-y x x y x d 2e d 10)2(1021)e 1(--.5.某人乘车或步行上班,他等车的时间X (单位:分钟)服从参数为51的指数分布,如果等车时间超过10分钟他就步行上班.若此人一周上班5次,以Y 表示他一周步行上班的次数.求Y 的概率分布；并求他一周内至少有一次步行上班的概率.解 此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为210e d e 51)10(--∞+==>⎰x X P s x. 故)e ,5(~2-B Y . 52)e 1(1)1(---=≥Y P .6.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈⋅=其他，，，，0]8,1[31)(32x x x f )(x F 是X 的分布函数.求随机变量)(X F Y =的概率分布.解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤=.8,1,81,1,1,0)(31x x x x x F(3) 当0<y 时,0)()(=≤=y Y P y F Y ;当10<≤y 时, ))1(()1()()(331+≤=≤-=≤=y X P y X P y Y P y F Yy y F X =+=))1((3;当1≥y 时,1)()(=≤=y Y P y F Y .故对)(y F Y 求导可得Y 的概率密度,⎩⎨⎧<<=其它，，，，0101)(y y f Y 即]10[~，U Y 四.应用题(第1题7分、第2题8分,共15分)1.假设对目标独立地发射400发炮弹,已知每一发炮弹的命中率等于0.2,用中心极限定理计算命中60发到100发之间的概率.解 设⎩⎨⎧=发炮弹命中第发炮弹没有命中第i i X i ,1,,0 (400,,2,1 =i ),则 ∑==4001i i X X )2.0,400(~B表示400发炮弹命中的发数,且80=EX ,64=DX ,故由中心极限定理知,)6420|6480(|)20|80(|)10060(<-=<-=<<X P X P X P9876.01)820(2=-Φ=. 2.某厂生产铜丝,生产一向稳定.现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力,测后经计算:5.160)(,5.28712=-=∑=n i i x x x .假定铜丝折断力服从正态分布,问是否可以相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16?(1.0=α)解 16162120≠=σσ：，：H H .采用统计量 2221S n σχ-=,在0H 成立时,)9(~22χχ.由1.0=α,查得临界值 325.3)9(295.022/1==-χχα, 919.16)9(205.022/==χχα, 由样本值算得03.10165.1602≈=χ,由于22/222/1ααχχχ<<-,所以不拒绝0H ,即该厂生产的铜丝的折断力方差为16. 五.证明题(5分)若随机变量X 的密度函数)(x f ,对任意的R x ∈,满足:)()(x f x f -=,)(x F 是其分布函数.证明:对任意实数a ,有⎰-=-a x x f a F 0d )(21)(. 证明 ⎰⎰⎰-∞--∞-+==-a ax x f x x f x x f a F 00d )(d )(d )()(⎰-+=a x x f 0d )(21 (令x t -=) ⎰⎰⎰-=-=--=a a a x x f t t f t t f 000d )(21d )(21d )(21.。
南京工业大学概率论与数理统计试卷(全-吐血整理-必做) (1)
南京工业大学 概率统计 课程考试试卷（A闭）(2011/2012学年第1学期-2012年1月)所在系(院) 班 级 学号 姓名一、填空题（每空3分，共18分）1．假设()14P A =，()13P B A =，()12P A B =，则=)(B P ，()P A B = .1/6, 1/32. 设连续随机变量的密度函数为)(x f ，则随机变量X e Y 3=的概率密度函数为=)(y f Y.⎩⎨⎧≤>=000)])3/[ln()(1y y y f y f yY 3. 随机变量);4,0;1,0(~),(ρN Y X =221122(,;,;)N μσμσρ，已知(2)1D X Y -=，则ρ=答： 7 / 8 (或0.875) ；4. 在0H 为原假设，1H 为备择假设的假设检验中，若显著性水平为α，则表示概率：P （ ）=α10(|);P H H α=接受成立5. 设某种清漆干燥时间),(~2σμN X （单位：小时），取9=n 的样本，得样本均值和方差分别为33.0,62==S X ，则μ的置信度为95%的单侧置信区间上限为 答：上限为 6.356 .二、 选择题（每题3分，共12分）1. 掷一颗骰子600次，则“1”点出现次数的均值为 . (A) 50; (B) 100; (C) 120; (D)150.2. 随机变量,X Y 相互独立且服从同一分布，3/)1()()(+====k k Y P k X P ，1,0=k ，则()P X Y ==.（A ）1/9； （B ）4/9；（C ）5/9； （D ）1.3. 离散型随机变量X 的概率分布为k A k X P λ==)(( ,2,1=k )的充要条件是 . （A ）1)1(-+=A λ且0>A ； （B ）λ-=1A 且10<<λ； （C ）11-=-λA 且1<λ； （D ）0>A 且10<<λ.4. 设10个电子管的寿命i X (10~1=i )独立同分布，且A X D i =)((10~1=i )，则10个电子管的平均寿命Y 的方差=)(Y D .（A ）A ； （B ）A 1.0； （C ）A 2.0； （D ）A 10.答：（C ）（B ）（A ）（B ）三.（8分） 某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率. 解： A —任取2箱都是民用口罩，k B —丢失的一箱为k , 3,2,1=k 分别表示民用口罩，医用口罩，消毒棉花. 2分3685110321)()()(29252925292431=⋅+⋅+⋅==∑=C C C C C C B A P B P A P k k k3分 .83368363)(/21)(/)()()(2924111=÷=⋅==A P C C A P B A P B P A B P3分四.（8分）设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=--1,110,0,)()1(x Ae x B x Ae x F x x 求：（1）A ，B 的值；（2）X 的概率密度函数()f x ；（3）{}1/3P X >。
概率论和数理统计练习和测试-第五章-南工大应用数学系-编---苏大版-----大数定律和中心极限定理
概率论与数理统计练习与测试第五章（南工大应用数学系 编）(苏大版）大数定律与中心极限定理1. 设随机变量ξ的方差为2。
5。
利用契贝雪夫不等式估计：{}5.7||≥-ξξE P 的值。
解：由契贝雪夫不等式：2}|{|εξεξξD E P ≤≥-,又已知5.7,5.2==εξD ,故 044.05.75.2}5.7|{|2=≤≥-ξξE P 。
2. 已知某随机变量ξ的方差D ξ=1,但数学期望E ξ=m 未知，为估计m ，对ξ进行n 次独立观测，得样本观察值ξ1，ξ2，…，ξn 。
现用 {}∑=≥<-=n i i p m P m n n 15.0||1ξξξ多大时才可能使问当估计， 。
解：因∑===n i i m E n E 1,1ξξ又ξ1，ξ2，…，ξn 相互独立，故∑∑=====n i n i i i n D n n D D 1121)(1)1(ξξξ，根据契贝雪夫不等式,有 25.01}5.0|{|ξξξD E P -≤<-，即n m P 41}5.0|{|-≤<-ξ，再由p n p n -≥≥-14,41得。
3. 设在由n 个任意开关组成的电路的实验中，每次试验时一个开关开或关的概率各为12。
设m 表示在这n 次试验中遇到的开电次数,欲使开电频率mn 与开电概率p =0.5的绝对误差小于ε=0。
01，并且要有99%以上的可靠性来保证它实现。
试用德莫佛—拉普拉斯定理来估计，试验的次数n 应该是多少? 解：欲使99.0}01.0|{|≥<-p n m P ，即99.0}//01.0//|{|≥<-n pq n pq p n m P ，亦即,则t ～N （0，1)且有 ,99.001.0≥⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<pq n t P 由58.201.0995.0)58.2(≥⇒=Φpq n,以p =q =1/2代入可得 n =16641。
P43T3 4。
用某种步枪进行射击飞机的试验，每次射击的命中率为0。
南京工业大学概率统计(09~10(2)A江浦)课程考试试题
南京工业大学 概率统计 课程考试试题（A 、闭）（2009－2010学年第二学期）所在院(系) 江浦 班 级 学号 姓名一、填空(每空2分，计20分)1、已知P (A )=41，31)|(=A B P ，21)|(=B A P ；则P (B )= ；P )(B A ⋃= 。
2、已知5.0)0(=Φ(其中)(x Φ是标准正态分布函数)，随机变量X ~N (1，4)，且5.0}{=≥a X P ，则a = 。
3、设二维随机向量（X ，Y ）的联合概率密度为⎩⎨⎧<<-其它,00,),(yx e y x f y ，则X 的边缘密度=)(x f X ，P { X + Y ≤1} = 。
4、已知随机变量X ，Y 的方差分别为DX =25，DY =36，相关系数,4.0=ρ 则)(Y X D += ，)(Y X D -= 。
5、若随机变量X 在(0，5)上服从均匀分布，则方程02442=+++X t X t 有实根的概率是 。
6、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布)3,0(2N ，而921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 是分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量292221921YY Y X X X U ++++++= 服从 分布，参数(自由度)为 。
二、选择(每题3分，计12分)1、设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）。
(A )A 与B 不相容 (B ) A 与B 相容 (C ) P (AB )=P (A )P (B ) (D ) P (B A -)=P (A ) 2、设随机变量X 与Y 均服从正态分布：X ~N (μ，9)，Y ~N (μ，16)，而 }3{1-≤=μX P p ，}4{2+≥=μY P p ，则( )。
(A )对任何实数μ，都有p 1=p 2 (B )对任何实数μ，都有p 1<p 2 (C )只对μ的个别值，才有p 1=p 2 (D )对任何实数μ，都有p 1>p 2 3、对于任意两个随机变量X 和Y ，若EY EX XY E ⋅=)(，则（ ）。
资料：概率统计模拟试卷1
南京工业大学概率统计课程考试题库（A ）所在院（系） 班 级 学号 姓名 题 分 一二三四 五六 七 八九总 分一、填空题（每空2分，计14分）：1. 设P (A )=41，P (B )=31，P (A ⎪B )=21，则P (AB )= ；P （A ∪B ）= 。
2. 设随机变量ξ的概率密度为⎩⎨⎧<<=.,0,10,2)(其它x x x f ， 以η表示对ξ的三次独立重复观察中事件{ξ≤21}出现的次数，则P {η=2}= 。
3．若随机变量ξ在(0，5)上服从均匀分布，则方程4x 2+4ξx +ξ+2=0有实根的概率是 。
4.设总体X ~),(2σμN ，其中μ未知，2σ已知，(X 1，X 2，X 3)是样本。
作样本函数如下：①321313234X X X +-；②∑=-ni i X n 12)(1μ；③321323231X X X -+； ④321313232X X X -+。
这些函数中是统计量的有 ；是μ的无偏估计量的有 ；最有效的是 。
二、选择题（每题3分，计9分）：1.设随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则随σ的增大，概率}|{|σμξ<-P 。
(A )单调增大 (B )单调减小 (C )保持不变 (D )增减不定2．如果随机变量ξ与η满足)()(ηξηξ-=+D D ，则下列式子肯定正确的是 。
（A ）ξ与η相互独立 （B ）ξ与η不相关 （C ）0=ηD （D ）0=⋅ηξD D 3. 在假设检验中，H 0为原假设，备择假设H 1，则称( )为犯第一类错误。
(A ) H 0为真，接受H 0 (B ) H 0为假，拒绝H 0 (C ) H 0为真，拒绝H 0 (D ) H 0为假，接受H 0三.（10分）一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，每个车间的产量分别占产量的25%、35%、40%，如果每个车间成品中的次品率分别占产量的5%、4%、2%。
南京工业大学07~08概率统计A卷
概率统计（A 、闭）1.假设P (A )=0.4， P (A ∪B )=0.7，那么(1)若A 与B 互不相容，则P (B )= ______ ；(2)若A 与B 相互独立，则P (B )= ____ 。
2.将英文字母C,C,E,E,I,N,S 随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为____________。
3.设随机变量ξ的概率密度为4421)(-+-=x x e x f π，则=2ξE 。
4.设随机变量ξ与η相互独立，且均服从参数为0.6的0-1分布，则{}ηξ=p ＝______。
5.某人有外观几乎相同的n 把钥匙，只有一把能打开门，随机地取出一把开门，记ξ为直到把门打开时的开门次数，则平均开门次数为__________。
6.设随机变量ξ服从)21,8(B （二项分布）, η服从参数为3的泊松分布，且ξ与η相互独立，则)32(--ηξE ＝__________；)32(--ηξD =__________。
7.设总体X ~),(2σμN ， (X 1，X 2，…X n )是来自总体X 的样本，已知2111)(∑-=+-⋅n i i i X X c 是2σ的无偏估计量，则=c 。
二、选择题（每题3分，计9分）1.当事件A 和B 同时发生时，必然导致事件C 发生，则下列结论正确的是( )。
（A ）P (C )≥ P (A )+ P (B )1－ （B ）P (C )≤P (A )+ P (B )1－（C ）P (C )=P (A ⋃B ) （D ）P (C )= P (AB )2.设ξ是一随机变量，C 为任意实数，E ξ是ξ的数学期望，则( )。
(A )E (ξ－C )2=E (ξ－E ξ)2 (B ) E (ξ－C )2≥E (ξ－E ξ)2(C ) E (ξ－C )2 <E (ξ－E ξ)2 (D ) E (ξ－C ) 2 = 03.设总体X ~),(2σμN ， (X 1，X 2, X 3)是来自总体X 的样本,则下列估计总体X 的均值μ的估计量中最好的是( )。
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南京工业大学概率统计模拟题
一、填空题
1．设()0.4P A =，()0.7P A B = ，那么
（1）若A 与B 互不相容，则P(B)= ；
（2）=)(B P B A 相互独立，则与若 .
2．已知(0)0.5(()x Φ=Φ其中是标准正态分布的分布函数(1,4),N ξ，～且2
1=
≥}(a P ξ
，=a 则 。
3．设随机变量的概率密度为ξ
的三次对立重复
表示对，以其它
ξη⎩⎨⎧<<=,01
0,2)(x x x f
观察中事件＝
出现的次数，则
}{}{22
1=≤
ηξ
P ，
=ηE , =ηD 。
4．若随机变量，求方程
)5,0(~U ξ02442
=+++ξξx x
有实根的概率为。
5．设总体X 服从)
,,((3212
2
X X X N 已知，未知，），其中，σμσ
μ是样本。
作样本函数如下：①；32
13
13
234
X X
X +
-
②；∑
=-n
i i X X n 1
2
)(1
③
；32
13
23
23
1X X
X -
+
④.31
32
32
321X X X -+这些函数中是统计量的有 ；是μ的无偏估计量的有
；最有效的是 。
二、选择题：
1．设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）
不相容
与B A A )( 相容与B A A )(
)()()()(B P A P AB P C = )()()(A P B A P D =- 2．袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机摸出4球，其中恰有3个白球得概率为（ ）。
83
)
(A )()()(8
1
83
5
B )()()(81
83
3
C
3．对任意两个随机变量，则，若和ηξξηηξE E E ⋅=)(（ ）。
η
ξξηD D D A ⋅=)()(
η
ξηξD D D B +=+)()(
独立和ηξ)(C 不独立和ηξ)(D
三、在电源电压不超过200伏，在200～240伏和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2。
假设电源电压)25,220(2
N 服从正态分布ξ,
试求（已知)(788.0)8.0(x Φ=Φ，其中是标准正态分布函
数）：
（1）该电子元件损坏的概率；
（2）该电子元件损坏时，电源电压在200～240伏的概率。
四、设连续随机变量的分布函数为：ξ
⎪⎩
⎪⎨⎧≥<≤<=1
,110,
0,0)(2
x x Ax x x F ，
试求：1）系数A ； 2)的概率密度；随机变量ξ 3）}..{7030≤≤ξP
五、设有100个电子器件，它们的使用寿命
λξξξ均服从参数为，，，100
21 ）＝（050.λ的指数分布，其使用情况为：第一个损坏第二个立即使用，第二个损坏第三个立即使用等等。
令个电子器件使用表示这100ξ的总
时间，ξ试求超过1800h 的概率。
).)((841301=Φ已知
六．设总体X 的概率密度为
1,
01()0,x x f x θ
θ⎧<<=⎨
⎩
（＋）其他
其中n X X X ,121 ，，是未知参数，
->θ
是来自总体
X 的一
个容量为n 的简单随机样本。
试分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量。
七、已知总体），2
(~σμN X
，试分别在下列条件下求指
定参数的置信区间：
（1）的置信区间；。
求＝，＝，未知，μασ05.052.13,212
2
S x n == （2）的置信区间。
求＝，＝未知，2
202.0356.1,12σαμS n =
（已知，，，725.24)11(0796.2)21(0860.2)20(2
01.0025.0025.0===
χt t
，053.3)11(2
99.0=χ)571.3)12(217.26)12(2
99
.0201.0==χχ，
八、设某厂生产的灯泡寿命（单位：h ）X 服从正态分布
的
为＝，，μμσμ1000)(02
N 标准值，2
σ为未知参数，随机
抽取其中
16
只，测得样本均值
2
2
120
946==s
x ，样本方差。
试在显著性水平下，考察下列问题：
05.0=α
(1) 这批灯泡的寿命与1000是否有显著差异（即检验
)1000100010≠μμ：，＝：H H ；
(2) 这批灯泡是否合格（即检验
)1000100010
<'≥'μμ：，：H H . （已知，，，1315.2)15(7459.1)16(7531.1)15(025.005.005.0===t t t
1199
.2)16(025.0=t ）
九、设随机变量）的联合概率密度
，ηξ(
⎩⎨
⎧<<=-其它
,
00,),(y x xe y x f y
（1）求的与的边际概率密度并考察，ηξηξ独立性；
（2）求的概率密度函数；＋＝ηξζ
ρ。
（3）求ξη。