南京工业大学概率统计期末试卷(含答案)

(1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。
四(12 分)、连续型随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
ax 0,
b, 1 其它
x
3
且 P{2 X 3} 2P{1 X 2} 。试求：(1)系数 a ，b ；(2) P{X 1.5}；(3) X 的分布函数 F (x) 。
f (x, y)dy
x 3xdy, 0
0
x
1
0 , 其它.
3x2, 0 x 1 0 , 其它.
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fY ( y)
f
(x,
y)dx
1
3xdx, 0
y
y
1
3 2
(1
y2 ), 0
y
1
。
0 , 其它. 0 , 其它.
因为 f (x, y) f X (x) fY ( y) ，所以 X 和Y 不独立
9z2 / 8,
0 z 1
f Z (z)
f
(x, z
x)dx ，容易得到
fZ
(z)
3(4 z 2)
0，
/ 8,
1 z 2 其它。
5
七(10 分)、解：(1)矩估计
因为 EX 1 2 2 2 (1 ) 3 (1 )2 3 2 ，
令 EX X ，即 3 2 X 。求得 的矩估计量为ˆ 3 X ，又 x 1 (1 2 1) 4 ，代
函数)。
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六(13
分)、设二维随机变量 ( X
,Y )
的联合概率密度函数为
f
(x,
y)
3x，
0，
0 x 1，0 其它.
y
x
（1）试判断 X 与 Y 是否独立，是否相关；(2)求 Z X Y 的密度函数。
七(10 分)、设总体 X 有分布律
X
1
2
3
pi
2 2 (1 ) (1 )2
PX
120
P
X
EX
120
100
1 (2) 1 0.9772 0.0228
DX
99.9
4
（2）保险公司的利润为 Y 160 40 1 X 120 X ，所以平均利润 EY E(120 X ) 120 EX 20(万元)
3
六(13 分)、解：(1) fX (x)
。
1, X 0,
5、设随机变量 X 服从 (1, 2) 上的均匀分布，则随机变量 Y 0, X 0, 的方差 DY
。
1, X 0
n1
6、设 ( X1, X 2, , X n) 为来自正态总体 N( , 2 )的样本，若统计量 c ( X i1 X i )2 为 2 的无 i1
偏估计，则 c
x
1 6
6 i 1
xi
29.5 ，
s
1 6 1
6 i 1
(xi
x )2
1.871
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于是，统计量 T 的观察值 t 为 t x 30 29.5 30 0.6546 s / 6 1.871/ 6
由于 t 0.6546 t0.05(5) 2.015 ，所以，应当接受原假设 H0，即认为所装配的这种发动
三(10 分)、解：设 B={顾客买下该箱电子元件}，事件 Ai 表示该箱有 i 件残次品(i=0，1，2)。
(1) 由 题 设 已 知
P(A0)=0.8 ， P(A1)=0.1 ， P(A2)=0.1 ，
P(B |
A0
)
C
4 20
/
C
4 20
1
，
P(B
|
A1 )
C149
/
C
4 20
4 / 5， P(B |
X
z /2
n
X
z /2
n
2z /2
n
。
于是当1 0.9 时， 2z /2
n
21.65
2 1.65 ；当1 0.95 时， 1.96 。 16
5
(2)欲使 1 ，即 2z /2
n
1 ，也即 n (2 z /2 )2 ，于是当1
0.9 时，
n (2 21.65)2 43.56 ，即样本容量至少为 44。
。
二、选择题(每题 3 分，计 12 分)： 1、设 A 和 B 是任意两个不相容的事件，并且 P( A) 0, P(B) 0 ，则下列结论中肯定正确的是
( )。
(A) A 与 B 不相容 (B) A 与 B 相容 (C) P( AB) P( A)P(B) (D) P( A B) P( A) 2、设随机变量 X 服从正态分布 N( ， 2 )，则随 的增大，概率 P{| X | 3} ( )。
又 EX
xf X (x)dx
13x 3dx 3 ，类似地， EY 3 。
0
4
8
E(XY )
xyf ( y)dxdy
1
dx
x
xy3xdy
3
0
0
10
cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY 3 3 3 0 ，所以， X 和Y 相关。
8
10 4 8
(3)利用卷积公式
其中 (0, 1) 为待估参数。假设已取得了样本值 x1 1, x2 2, x3 1 。试求 的矩估计值和极大
似然估计值。
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八(10 分)、设总体 X ~ N (, 2) ，其中 2 4 ， 未知。 X1, , X n 为其样本。 (1)当 n 16 时，试求置信度分别为 0.9 及 0.95 的 的置信区间的长度。 (2) n 多大方能使 的 0.90 的置信区间长度不超过 1？ (3) n 多大方能使 的 0.95 的置信区间长度不超过 1？(已知 ( 1.65) 0.95 ， ( 1.96) 0.975 )
2
3
3
入即得参数 的矩估计值：ˆ 3 x 5 。 26
5
(2)极大似然估计
似 然 函 数 L( ) 2 2 (1 ) 2 2 5(1 ) ， 于 是 ， ln L( ) ln 2 5ln ln(1 ) ， 令
d ln L( ) d
5
1 1
0 ˆ
5 6
。
10
八(10 分)、解：(1)记 的置信区间为△，则
。
3、已知随机变量 X，Y 的方差为 DX=49，DY=64，相关系数 XY 0.5 ，则 D( X Y ) =
。
4 、 已 知 (0) 0.5 ( 其 中 (x) 是 标 准 正 态 分 布 函 数 ) ， 若 随 机 变 量 X ~ N (2, 2) ， 且
P{2 X 4} 0.3 ，则 P{X 0}
3
(3) 当1 0.95 时，类似可得 n 62 。
2
九(8 分)、解：设 X 表示使用一升柴油的发动机运转时间，则 X ~ N (, 2 ) ，待检假设为
H0
:
30 ，H1
:
30 。检验统计量为 T
X S
0 /n
~
t(n 1)
2
因为 0.05 下，所以 t0.05(5)=2.015。根据样本观测值算得
f (x)dx
3
(ax
b)dx
4a
2b
及
1
P{2 X 3}
3
(ax
b)dx
2.5a
b
2
，解得 a 1 ,b 1 。
4
2P{1 X 2} 2 2(ax b)dx 3a 2b 1
3
6
（2） P{X 1.5} 3 ( 1 x 1)dx 7
1.5 3 6
8
4
0,
x 1,
九(8 分)、某种柴油发动机，使用每升柴油的运转时间服从正态分布 N (, 2 ) ， 和 2 未知，现
测试装配好的 6 台发动机的运转时间(单位：分钟)分别为：28，30，31，29，32，27。按设计要求，
平均每升柴油运转时间应不低于 30 分钟。试根据测试结果，在显著性水平 =0.05 之下，说明该种 发动机是否符合设计要求( t0.05 (5) 2.015 ， t0.025 (5) 2.5706 )？
(A)
(B)无论怎样改变样本容量， 小，则 一定大
(C)
(D)样本容量一定时， 越小，则 就越大
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三(10 分)、某种电子元件按箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为 0.8， 0.1 和 0.1。一顾客欲购一箱电子元件，在购买时，售货员随意取一箱，顾客开箱随机地察看四只， 若无残次品，则买下该箱电子元件，否则退回。试求：
(A)单调增大
(B)单调减小
(C)保持不变
3、设随机变量 X 与 Y 相互独立，其联合分布律如下，则有( )。
(D)增减不定
X
1
2
3
Y
1
0.18
0.30
0.12
2
0.08
(A)=0.10，=0.22 (B)=0.22，=0.10 (C)=0.12，=0.20 (D)=0.20，=0.12
4、对于假设检验中所犯的第一类错误的概率 与第二类错误的概率 之间关系为( )。
A2 )
C148
/
C
4 20
12 /19
P(B) P( A0)P(B | A0) P( A1)P(B | A1) P( A2)P(B | A2) 0.94
6
(2) P( A0 | B) P( A0) P(B | A0) / P(B) 0.8 / 0.94 0.85