(完整版)必修五-不等式知识点汇总
(完整版)高中数学知识汇总——不等式
必修 5 第 3 章不等式知识汇总一、常用的不等式的基天性质：（ 1 ）a b b a （反对称性）（ 2 ）a b,b c a c （传达性）（ 3 ）a b a c b c （可加性,也叫移项法例）（ 4 ）a b,c0ac bc （不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变！）a b, c0ac bc （不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变！）a ba cb d （同向不等式相加，不等号方向不变！）（ 5 ）cda b0ac bd0 （正数同向不等式相乘，不等号方向不变！）（ 6 ）cd0（ 7 ）a b0, n N , n1a n b n0 （正数乘方法例）（ 8 ）a b0, n N , n1n a n b0 （正数开方法例）二、一元二次不等式及其解法1 、三个“二次”间的关系（以下a> 0）△= b 2 - 4ac△> 0△=0△< 0二次函数y y yy=ax 2+bx+cx0x的图象x1x20x 一元二次方程有两个不等实根x1， x2有两个相等实根b无实根ax2+bx+c= 0的根x1< x2x1= x 2=2a一元二次不等式b{x|x < x1或x> x2 }R{x|x≠}2aax2+bx+c >0的解集一元二次不等式{x|x1< x < x2 }ΦΦax2+bx+c <0的解集2 、一元二次不等式的一般解法：一看二次项的系数，二算△，三绘图并据图写解集；3、含参数不等式的解法：分类议论；4 、不等式恒建立问题的解决：即不等式解集为R；5 、高次不等式的解法：数轴标根法（也叫穿针引线法）用曲线自右往左、自上往下挨次穿过，遇偶次重根穿而可是，遇奇次重根一次穿过。
三、基本不等式1 、关于随意两个正数a bab 。
a, b ，它们的算术均匀数是，几何均匀数是22 、基本不等式：关于随意 a 0, b 0 ，都有a b2 ab ）此中等号建立的条件是 a b 。
人教版数学高二必修五第三章《不等式》知识总结
一、本章概述不等关系是中学数学中最基本、最广泛、最普遍的关系．不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系、简单不等式、不等式的基本性质，如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、基本不等式等．不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题．解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法．不等式证明则是推理性问题或探索性问题．推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的思路，以数学归纳法完成证明．另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等．不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程．不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，以及三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，这些问题无一不与不等式有着密切的联系．不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题，许多问题最终归结为不等式的求解或证明．解决这类综合问题的一般思维方法是：引参，建立不等关系，解某一主元的不等式(实为分离变元)，适时活用基本不等式．其中建立不等关系的常用途径是：①根据题设条件；②判别式法；③基本不等式法；④依据某些变量(如sin x，cos x)的有界性等．二、主干知识1．不等式与不等关系．不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”．单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础．因为解不等式要求的是同解变形．要正确理解不等式的性质，必须先弄清每一性质的条件和结论、注意条件和结论的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系．双向性主要有：(1)不等式的基本性质：⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，这是比较两个实数的大小的依据；(2)a >b ⇔b <a ；(3)a >b ⇔a ＋c >b ＋c .单向性主要有：(1)a >b ，b >c ⇒a >c ；(2)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(3)a >b ，c >0(c <0)⇒ac >bc (ac <bc )；(4)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)a >b >0，0<c <d ⇒a c ＞b d； (6)a >b >0，m ∈N *⇒a m >b m ；(7)a >b >0，n ∈N *，n >1⇒n a >n b .特别提醒：(1)同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．即：若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ；若a ＞b ，c ＜d ，则a －c ＞b －d .但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(2)左右同正不等式，同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．即：若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ；若a ＞b ＞0，0＜c ＜d ，则a c ＞b d. (3)左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方．即：若a ＞b ＞0，n ∈N *，n >1，则a n ＞b n 或n a ＞n b .(4)若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b ；若ab ＜0，a ＞b ，则1a ＞1b. 如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论．2．一元二次不等式及其解法．解一元二次不等式常用数形结合法，基本步骤如下：①将一元二次不等式化成ax 2＋bx ＋c ＞0的形式；②计算判别式并求出相应的一元二次方程的实数解；③画出相应的二次函数的图象；④根据图象和不等式的方向写出一元二次不等式的解集．设相应二次函数的图象开口向上，并与x 轴相交，则有口诀：大于取两边，小于取中间．解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”．要注意对字母参数的讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论：(1)在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析Δ)，比较两个根的大小，设根为x 1，x 2，要分x 1＞x 2、x 1＝x 2、x 1＜x 2讨论．(2)不等式两端乘或除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正负．(3)求解过程中，需用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论．注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．若按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；若按未知数讨论，最后应求并集．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集：设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解的各种情况如下表所示：特别提醒：(1)解题中要充分利用一元二次不等式的解集是实数集R和空集∅的几何意义，准确把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的内在联系．(2)解不等式的关键在于保证变形转化的等价性．简单分式不等式可化为整式不等式求解：先通过移项、通分等变形手段将原不等式化为右边为0的形式，然后通过符号法则转化为整式不等式求解．转化为求不等式组的解时，应注意区别“且”、“或”，涉及最后几个不等式的解集是“交”，还是“并”．注意：不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．(3)在解决实际问题时，先要从实际问题中抽象出数学模型，并寻找出该数学模型中已知量与未知量，再建立数学关系式，然后用适当的方法解决问题．(4)解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型，解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类．分类相当于增加了题设条件，便于将问题分而治之．在解题过程中，经常会出现分类难以入手或者分类不完全的现象．强化分类意识，选择恰当的解题切入点，掌握一些基本的分类方法，善于借助直观图形找出分类的界值是解决此类问题的关键．3．二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题．(1)确定二元一次不等式表示的区域的步骤：①在平面直角坐标系中作出直线Ax＋By＋C＝0.②在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，当C≠0时，常把原点作为特殊点．③将P(x0，y0)代入Ax＋By＋C求值，若Ax0＋By0＋C＞0，则包含点P 的半平面为不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C＜0所表示的平面区域．也可把二元一次不等式改写成y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域．(2)线性规划的有关概念：①满足关于x，y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件；②关于变量x，y的解析式叫目标函数，关于变量x，y一次式的目标函数叫线性目标函数；③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；④满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．特别提醒：(1)画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，区域包括边界线，因此，将边界直线画成实线；无等号时区域不包括边界线，用虚线表示不包含直线l.(2)Ax ＋By ＋C ＞0表示在直线Ax ＋By ＋C ＝0(B >0)的上方，Ax ＋By ＋C ＜0表示在直线Ax ＋By ＋C ＝0(B >0)的下方．(3)设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，若Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 同号，则P ，Q 在直线l 的同侧，异号则在直线l 的异侧．(4)在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范．4．基本不等式ab ≤a ＋b 2. (1)基本不等式：设a ，b 是任意两个正数，那么ab ≤a ＋b 2.当且仅当a ＝b 时，等号成立．①基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．②如果把a ＋b 2看做是正数a ，b 的等差中项，ab 看做是正数a ，b 的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． ③基本不等式ab ≤a ＋b 2几何意义是“半径不小于半弦”． (2)对基本不等式的理解：①基本不等式的左式为和结构，右式为积的形式，该不等式表明两正数a ，b 的和与两正数a ，b 的积之间的大小关系，运用该不等式可作和与积之间的不等变换．②“当且仅当a ＝b 时，等号成立”的含义：a．当a＝b时等号成立的含意是：a＝b⇒a＋b2＝ab；b．仅当a＝b时等号成立的含意是：a＋b2＝ab⇒a＝b；综合起来，其含意是：a＋b2＝ab⇔a＝b.(3)设a，b∈R，不等式a2＋b2≥2ab⇔ab≤a2＋b22⇔ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22.(4)基本不等式的几种变式：设a＞0，b＞0，则a＋1a≥2，ba＋ab≥2，a2b≥2a－b.(5)常用的几个不等式：①a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(根据目标不等式左右的运算结构选用)；②设a，b，c∈R，则a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c时，取等号)；③真分数的性质：若a＞b＞0，m＞0，则ba＜b＋ma＋m(糖水的浓度问题)．特别提醒：(1)用基本不等式求函数的最值时，要特别注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针．常用的方法为：拆、凑、平方．(2)用基本不等式证明不等式时，应重视对所证不等式的分析和化归，应观察不等式左右两边的结构，注意识别轮换对称式，此时可先证一部分，其他同理可证，然后再累加或累乘．题型1 恒成立问题(1)若不等式f(x)＞A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)min ＞A ；(2)若不等式f(x)＜B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)max ＜B.例 1 设函数f(x)＝x ，g(x) ＝x ＋a(a>0)，若x ∈[1，4]时不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x ）－ag （x ）f （x ）≤1恒成立，求a 的取值范围． 解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x ）－ag （x ）f （x ）≤1⇔－1≤f （x ）－ag （x ）f （x ）≤1，得0≤ag （x ）f （x ）≤2， 即ax ＋a 2x≤2在x ∈[1，4]上恒成立，也就是ax ＋a 2≤2x 在x ∈[1，4]上恒成立．令t ＝x ，则t ≥0，且x ＝t 2，由此可得 at 2－2t ＋a 2≤0在t ∈[1，2]上恒成立，设g(t) ＝ at 2－2t ＋a 2，则只需⎩⎨⎧g （1）≤0，g （2）≤0⇒⎩⎨⎧a －2＋a 2≤0，4a －4＋a 2≤0，解得 0<a ≤22－2，即满足题意的a 的取值范围是(0，22－2]．题型2 能成立问题(1)若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)＞A 成立，则等价于在区间D 上的f(x)max ＞A ；(2)若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)＜B 成立，则等价于在区间D 上的f(x)min ＜B.例2 若存在x ∈R ，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 成立，求实数a 的取值范围．解析：设f (x )＝|x －4|＋|x －3|，依题意f (x )的最小值小于a .又f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1(等号成立的条件是3≤x ≤4)．故f (x )的最小值为1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．题型3 恰成立问题(1)若不等式f(x)＞A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)＞A 的解集为D ；(2)若不等式f(x)＜B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)＜B 的解集为D.例4 已知函数y ＝2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6的最小值为1，求实数a 的取值集合． 解析：由y ≥1即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6≥1⇒x 2－(a ＋4)x ＋4≥0恒成立，∴Δ＝(a ＋4)2－16≤0，解得－8≤a ≤0(必要条件)．再由y ＝1有解，即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6＝1有解，即x 2－(a ＋4)x ＋4＝0有解，∴Δ＝(a ＋4)2－16≥0，解得a ≤－8或a ≥0.综上即知a ＝－8或a ＝0时，y min ＝1，故所求实数a 的取值集合是{－8，0}．题型4 利用基本不等式求最值基本不等式通常用来求最值问题：一般用a ＋b ≥2ab(a ＞0，b ＞0)解“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22求“定和求积，积最大”问题，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”，特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，和对等号能否成立的验证．若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．例5 已知0＜x ＜2，求函数y ＝x(8－3x)的最大值．解析：∵0＜x ＜2，∴0＜3x ＜6，8－3x ＞0，∴y ＝x(8－3x)＝13·3x ·(8－3x) ≤13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号， ∴当x ＝43时，y ＝x(8－3x)有最大值为163. 设函数f(x)＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)． 求函数f(x)的最小值．解析：f(x)＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1， ∵x ∈[0，＋∞)，∴x ＋1＞0，2x ＋1＞0，∴x ＋1＋2x ＋1≥2 2.当且仅当x ＋1＝2x ＋1， 即x ＝2－1时，f(x)取最小值．此时f(x)min ＝22－1.题型5 简单线性规划问题求目标函数在约束条件下的最优解，一般步骤为：一是寻求约束条件和目标函数，二是作出可行域，三是在可行域内求目标函数的最优解，特别注意目标函数z ＝ax ＋by ＋c 在直线ax ＋by ＝0平移过程中变化的规律和图中直线斜率关系．简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛应用也是高考的热点．例6若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A .73B .37C .43D .34解析：不等式组表示的平面区域如图所示：由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，43，因此只有直线过AB 中点时，直线y＝kx ＋43能平分平面区域，因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. 答案：A题型6 三个二次(二次函数、二次不等式、二次方程)问题一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间形成一个关系密切、互为关联、互为利用的知识体系．将二次函数看作主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零(零点)和不为零的两种情况，一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象揭示解(集)的几何特征．例7 当m 为何值时，方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个负根？解析：方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（4m ）2－4×2×（3m －1）≥0，－b a ＝－4m 2＝－2m ＜0，c a ＝3m －12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12或m ≥1，m ＞0，m ＞13. ∴当m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|13＜m ≤12或m ≥1时，原方程有两个负根． 题型7 不等式与函数的综合问题例8 定义在(－1，1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，且f(1－a)＋f(1－a 2)＜0，求实数 a 的取值范围．解析：∵f(x)的定义域为(－1，1)，∴⎩⎨⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1，∴⎩⎨⎧0＜a ＜2，－2＜a ＜2且a ≠0，∴0＜a ＜2，①原不等式变形为f(1－a)＜－f(1－a 2)．由于f(x)为奇函数，有－f(1－a 2)＝f(a 2－1)，∴f(1－a)＜f(a 2－1)．又f(x)在(－1，1)上是减函数，∴1－a ＞a 2－1，解得－2＜a ＜1.②由①②可得0＜a ＜1，∴a 的取值范围是(0，1)．题型8 求分式函数的最值例9 求函数y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1的最小值． 解析：y ＝（x 4＋2x 2＋1）＋（x 2＋1）＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1＋1≥2（x 2＋1）·1x 2＋1＋1＝3，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x 2＋1＝1，即x ＝0时等号成立．题型9 数轴标根法(1)将不等式化为标准形式：一端为0，另一端为一次因式(因式中x 的系数为正)或二次不可约因式的乘积．(2)求出各因式为0的实数根，并在数轴上标出．(3)自最右端上方起，用曲线自右至左，依次由各根穿过数轴，遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)．(4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．例10解不等式(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)≤0.分析：本题考查高次不等式的解法，应用等价转化的方法显得较繁琐，可利用数轴标根法来解．解析：设y＝(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)，则y＝0的根分别是－2，－1，1，2，将其分别标在数轴上，并画出示意图如下：∴不等式的解集是{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}．点评：利用数轴标根法解不等式，需注意：(1)要注意所标出的区间是否是方程根的取值范围，可取特殊值检验，以防不慎造成失误．(2)有些点是否要舍掉，要仔细检验．题型10变换主元法例11设f(x)＝mx2－mx－6＋m.(1)若对于m∈[－2，2]，f(x)＜0恒成立，求实数x的取值范围；(2)若对于x∈[1，3]，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；分析：根据题意，f(x)可看作是m 的一次函数，也可以看作是x 的二次函数来解．解析：(1)依题意，设g(m)＝(x 2－x ＋1)m －6，则g(m)是关于m 的一次函数且一次项系数x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，∴g(m)在[－2，2]上递增． ∴欲使f(x)＜0恒成立．需g(m)max ＝g(2)＝2(x 2－x ＋1)－6＜0，解得－1＜x ＜2.∴实数x 取值范围是(－1，2)．(2)方法一 ∵f(x)＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0， 在x ∈[1，3]上恒成立．∴⎩⎨⎧m ＞0，f （x ）max ＝f （3）＝7m －6＜0或⎩⎨⎧m ＝0，f （x ）＝－6＜0或 ⎩⎨⎧m ＜0，f （x ）max ＝f （1）＝m －6＜0.解得m ＜67. 方法二 要使f(x)＝m(x 2－x ＋1)－6＜0在[1，3]上恒成立，则有m ＜6x 2－x ＋1在x ∈[1，3]上恒成立． 而当x ∈[1，3]时，6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥69－3＋1＝67.∴6x2－x＋1的最小值为67.∴m＜67.点评：若给出m的取值范围，则看作是m的一次函数，若给出x的取值范围，则看作是x的二次函数．。
高一必修五不等式的知识点
高一必修五不等式的知识点不等式是数学中常见的一种数学关系符号，用于表示两个数或两个算式之间的大小关系。
高中数学中，不等式是一个重要的知识点，其中必修五的学习内容涉及到不等式的基本概念、性质、解法等。
下面将介绍高一必修五不等式的主要知识点。
一、不等式的基本概念不等式是用不等号表示两个数或两个算式之间的大小关系。
不等式中的不等号可以是小于号（<）、大于号（>）、小于等于号（≤）或大于等于号（≥）。
二、不等式的性质1. 加法性性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等式的方向不变。
例如，若a > b，则 a + c > b + c。
2. 乘法性性质：对于不等式两边同时乘除一个正数，不等式的方向不变；对于不等式两边同时乘除一个负数，不等式的方向改变。
例如，若a > b（a > 0），则 a · c > b · c。
3. 反身性：任何数与自身进行大小比较时都满足等式关系。
例如，a = a。
4. 传递性：若 a > b，b > c，则 a > c。
例如，若a > b，b > c，则 a > c。
5. 两边加或减一个相同的数对不等式关系不会改变。
例如，若a > b，则 a + c > b + c。
三、不等式的解法1. 图解法：通过在数轴上绘制对应数值的数轴图形，来解读不等式的解集。
例如，对于不等式 x > 3，可以在数轴上绘制一个开口向右的箭头，并在箭头右侧标记出无限大的数集。
2. 几何法：利用几何图形，如包含在坐标系上的点、线段、平面等，来求解不等式的解集。
例如，对于不等式 2x + y > 5，可以在坐标系上绘制直线 2x + y = 5，然后根据不等式的要求确定直线上、下两侧的解集。
3. 符号法：通过变量和符号的运算来对不等式进行转化，从而求解不等式的解集。
例如，对于不等式 3x + 2 < 10，可以通过减去2再除以3的方式将不等式转化为 x < 2。
高中数学必修5基本不等式知识点总结
高中数学必修５基本不等式知识点总结一．算术平均数与几何平均数１．算术平均数设a 、b 是两个正数，则2a b +称为正数a 、b 的算术平均数 ２．几何平均数a 、b 的几何平均数二基本不等式１．基本不等式： 若0a >，0b >，则a b +≥，即2a b +≥ ２．基本不等式适用的条件一正：两个数都是正数 二定：若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值三相等：必须有等号成立的条件注：当题目中没有明显的定值时，要会凑定值３．常用的基本不等式（１）()222,a b ab a b R +≥∈ （２）()22,2a b ab a b R +≤∈ （３）()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭（４）()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭． 三．跟踪训练１．下列各函数中，最小值为2的是 ( )A ．1y x x =+B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈C ．2y = D ．1y x =+- ２．当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。
Ａ. １ Ｂ． ２ Ｃ. ４ Ｄ.３．x ＞０，当x 取什么值，x ＋1x的值最小？最小值是多少？４．用２０ｃｍ长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应该怎样折？５．一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长１８ｍ，这个矩形的长，宽各为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？６．设0,0x y >>且21x y +=，求11x y+的最小值是多少？７．设矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ>ＡＤ）的周长是２４，把∆ＡＢＣ沿ＡＣ向∆ＡＤＣ折叠，ＡＢ折过去后交ＣＤ与点Ｐ,设ＡＢ=x ，求∆ＡＤＰ的面积最大值及相应x 的值。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
不等式知识点总结
不等式知识点总结一、不等式的基本概念。
1. 不等式的定义。
- 用不等号（＞、≥、＜、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
例如：3x + 2>5，x - 1≤slant2x等。
2. 不等式的解与解集。
- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如对于不等式x+1 > 0，x = 1是它的一个解，因为1 + 1>0成立。
- 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如不等式x - 2>0的解集是x>2，这表示所有大于2的数都是这个不等式的解。
3. 解不等式。
- 求不等式解集的过程叫做解不等式。
例如解不等式2x+3 < 7，通过移项可得2x<7 - 3，即2x<4，再两边同时除以2得到x < 2，这个过程就是解不等式。
二、不等式的基本性质。
1. 性质1（对称性）- 如果a>b，那么b < a；如果b < a，那么a>b。
例如5>3，那么3 < 5。
2. 性质2（传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。
例如7>5，5>3，那么7>3。
3. 性质3（加法法则）- 如果a>b，那么a + c>b + c。
例如3>1，那么3+2>1 + 2，即5>3。
- 推论：如果a>b，c>d，那么a + c>b + d。
例如4>2，3>1，那么4 + 3>2+1，即7>3。
4. 性质4（乘法法则）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c < 0，那么ac < bc。
例如2>1，当c = 3时，2×3>1×3，即6>3；当c=-1时，2×(-1)<1×(-1)，即-2 < - 1。
高一必修五不等式知识点
高一必修五不等式知识点一、不等式的定义不等式是数学中表示数与数之间大小关系的一种符号体系。
不等式由不等号（<、>、≤ 或≥）构成，表示两个数的大小关系，其中“<”表示小于，“>”表示大于，“≤”表示小于等于，“≥”表示大于等于。
二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解集表示方法对于一元一次不等式ax + b > c（或 < c、≥ c、≤ c），可以通过解一元一次方程ax + b = c（或 = c、≠ c）求得解集。
例如，不等式2x - 5 > 1的解集为{x | x > 3}。
2. 一元一次不等式的性质（1）对于不等式两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变。
（2）对于不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）对于不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向相反。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解集表示方法对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或 < 0、≥ 0、≤ 0），可以通过求解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（或 = 0）的解集，并结合一元二次函数的图像来确定不等式的解集。
例如，不等式x^2 - 4x - 5 > 0的解集为{x | x < -1 或 x > 5}。
2. 一元二次不等式的性质（1）对于不等式两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变。
（2）对于不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）对于不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向相反。
（4）一元二次不等式可化为一元二次方程求解，再通过一元二次函数的图像确定解集。
四、绝对值不等式1. 绝对值不等式的解集表示方法对于绝对值不等式|ax + b| > c（或 < c、≥ c、≤ c），可通过绝对值的定义进行分类讨论求得解集。
必修五--不等式的知识点归纳
知识点一：不等式关系与不等式一、不等式的主要性质：1.对称性：a>bob<a2.传递性：a>b,b>c=>a>c3.加法法则：a>b=>a+c>b+c; a>b,c>d=a+c>b+d4.乘法法则：a>b,c>O=>ac>he；a>h,c<0=>ac<hc；a>b>0,c>d>0=>ac>hd5.倒数法则：a>h,ab>0=>—<—6.乘方法则：a>b>0=>a n>b n（neN*⅛w>1）ab7.开方法则：a>b>bn爪>底（JIEN*且冷>1）二、含有绝对值的不等式1.绝对值的几何意义：IX1是指数轴上点X到原点的距离；|玉-々1是指数轴上不，W两点间的距离2、如果。
>0,则不等式：∖x∖>a<=>X> <-a ∖x∖<a<=>-a<x<aIx∣≥α<=>x≥a^x≤-a∣x∣≤«<=>-a≤x<a3.当c>0时，I依+〃|>co双+/?>c或Or+bv-c,∖ax+b∖<c<^>-c<ax+b<c;当CVO时，ItU:+b∣>cox∈R,∖ax+h∖<cx≡φ.4、解含有绝对值不等式的主要方法：①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解;②去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：∣x∣<4（α>0）o-α<x<4,|/|>4（々>0）0]>。
或不<一。
.（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方.三、其他常见不等式形式总结：①分式不等式的解法：先移项通分标准化，贝IJ/(x)>o°"χm>o∙/(χ)≥OOP(X)g(χR0②指数不等式：转化为代数不等式"'3>d3(α>∣)of(x)>g(x);〃⑶>αS3(0<"<1)=f(x)<g(x)/⑺>b(α>O力>0)=/(x)∙1g0>1g∕>③对数不等式：转化为代数不等式］og,j(χ)>iog,g(χ)(α>i)o.g(χ)>O;IOgaf(X)>1og“g(χ)(O<α<1)=,g(x)>O/(x)>g(x) /(x)<g(x)四、三角不等式: ∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣五、不等式证明的几种常用方法比较法(做差法、做商法)、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。
必修五基本不等式讲义
3.4 基本不等式ab ba ≥+2一、基本不等式：2ba ab +≤1、重要不等式：a 2＋b 2≥2ab(a 、b ∈R) 当且仅当“a ＝b ”时“＝”成立。
注意：（1）不等式成立的条件是“a ＝b ”，如果a 、b 不相等，则“＝”不成立；（2）不等式的变形 ：①a b ≤222b a + ②a b ≤2)2(b a + ③222b a + ≥2)2(b a +≥ab ④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)22、基本不等式：2b a +≥ab (a 、b ∈R ＋) 当且仅当“a ＝b ”时“＝”成立。
注意：（1）内容：a ＞0， b ＞0，当且仅当“a ＝b ”时“＝”成立；（2）其中2ba +叫做正数a 、b 的算术平均数，ab 叫做正数a 、b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
例1：求证对于任意实数a ，b ，c ，有a 2＋b 2＋c 2≥a b ＋bc ＋c a ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立。
【证明】：∵ a 2＋b 2≥2ab c 2＋b 2≥2bc a 2＋c 2≥2ac∴ 2(a 2＋b 2＋c 2) ≥2ab ＋2bc ＋2ac ，∴ a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立。
变式练习1：若0＜a ＜1，0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2a b ，a 2＋b 2中最大的一个是（ ） A ：a 2＋b2B ：2abC ：2a bD ：a ＋b变式练习2：下列不等式：（1）x ＋x 1≥2；（2）｜x ＋x1｜≥2；（3）若0＜a ＜1＜b ，则log a b ＋log b a ≤－2；（4）若0＜a ＜1＜b ，log a b ＋log b a ≥2。
其中正确的是_______________。
均值不等式推广：ba 112+ ≤ab ≤ 2ba + ≤ 222b a + 调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数 当仅且当“a ＝b ”时“＝”成立。
必修五数学基本不等式知识点总结
必修五数学基本不等式知识点总结必修五数学基本不等式知识点总结如下：1. 一次性解决n个一元一次方程组将所有的方程相加得到等式，将所有的不等式相加得到不等式。
2. 均值不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，则有：（1）算术平均值和几何平均值：(a1+a2+…+an)/n >= (a1×a2×…×an)^(1/n)（2）加权平均值和几何平均值：(a1*w1+a2*w2+…+an*wn)/(w1+w2+…+wn) >= (a1^w1×a2^w2×…×an^wn)^(1/(w1+w2+…+wn))其中，w1、w2、…、wn是正实数，满足w1+w2+…+wn=1。
3. 广义均值不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，m和p同为实数且m < p，则有：(a1^m+a2^m+…+an^m)/n >= (a1^p+a2^p+…+an^p)/n当且仅当a1=a2=…=an时等号成立。
4. 柯西不等式设有n个实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，则有：(a1*b1+a2*b2+…+an*bn)^2 <= (a1^2+a2^2+…+an^2)*(b1^2+b2^2+…+bn^2)当且仅当ai/k1=bi/k2时，等号成立。
其中，k1和k2是实数。
5. 阿贝尔不等式设有n个实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，满足a1 >= a2 >= … >= an和b1 <= b2 <= … <= bn，则有：a1*b1+a2*b2+…+an*bn >= a1*bk1+a2*bk2+…+an*bkn，其中，k1、k2、…、kn是排列1、2、…、n的一个排序方式。
6. 连续不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，如果a1 <= a2 <= … <= an，则有：（1）(a1+a2+…+an)^2 <= n*(a1^2+a2^2+…+an^2)（2）(a1+a2+…+an)^2 >= n*a1*a2*…*an其中，等号成立当且仅当a1=a2=…=an。
必修五不等式知识点
必修五不等式知识点引言不等式是数学中一个非常重要的概念，它描述了数值之间的关系。
在高中数学中，必修五的学习内容中涉及了不等式的基本知识点。
本文将介绍必修五不等式的几个重要知识点，帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
一、不等式的基本概念不等式是指两个或多个数之间的大小关系。
在数学中，我们用不等号（>、<、≥、≤）来表示不等式。
其中，大于号（>）表示“大于”，小于号（<）表示“小于”，大于等于号（≥）表示“大于等于”，小于等于号（≤）表示“小于等于”。
例如，对于两个实数a和b，我们可以写出如下的不等式：a >b (a大于b)a <b (a小于b)a ≥b (a大于等于b)a ≤b (a小于等于b)二、不等式的性质1.传递性如果a > b，b > c，那么可以得出a > c的结论。
如果a < b，b< c，那么可以得出a < c的结论。
这就是不等式的传递性。
例如，如果4 > 2，2 > 0，那么可以得出4 > 0的结论。
2.加法性如果a > b，那么a + c > b + c。
如果a < b，那么a + c < b + c。
这就是不等式的加法性。
例如，如果3 > 1，那么3 + 2 > 1 + 2。
3.乘法性如果a > b，且c > 0，那么ac > bc。
如果a > b，且c < 0，那么ac < bc。
这就是不等式的乘法性。
例如，如果2 > 1，且3 > 0，那么2 × 3 > 1 × 3。
三、一元二次不等式。
必修五不等式知识汇总5篇
必修五不等式知识汇总5篇第一篇：必修五不等式知识汇总必修五不等式知识汇总1．实数的三歧性：任意两个实数a、b，a>b，a＝b，a0⇔a>b⎧⎪⎨a－b＝0⇔a＝b⎪⎩a－b<0⇔a.2．不等式的性质：性质1(对称性)a>b⇔bb，b>c⇒a>c；性质3(可加性)a>b⇒a＋c>b＋c.移项法则：不等式中的任意一项都可以变成它的相反数后从一边移到另一边．a>b⎫a>b⎫⎬⎬⇒acbc；c>0⎭c<0⎭性质5(同向可加性)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；性质6(同向可乘性)a>b>0⎫⎬⇒ac>bd； c>d>0⎭性质7(不等式的乘方法则)a>b>0⇒an>bn(n∈N＋且n>1)；性质8(不等式的开方法则)a>b>0⇒a>b(n∈N＋且n>1)．3．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系：4.常见不等式的解法：(1)分式不等式的解法f(x)A先通分化为一边为一边为0的形式，再等价转化为整式不等式．⇔A·B>0；Bg(x)⎧⎧B≥0B≤0⎪A·⎪A·AAA⎨⎨⇔A·B<0；≥0⇔；≤0⇔.BBB⎪B≠0⎪B≠0⎩⎩如果用去分母的方法，一定要考虑分母的符号．(2)高次不等式的解法只要求会解可化为一边为0，另一边可分解为一次或二次的积式的，解法用穿根法，要注意穿根时“奇过偶不过”．如(x－1)(x＋1)2(x＋2)3>0穿根时，－2点穿过，－1点返回，故解为x<－2或x>1.(3)含绝对值不等式的解法：一是令每个绝对值式为0，找出其零点作为分界点，分段讨论，二是平方法．(4)含根号的不等式解法，一是换元法，二是平方法．(5)解含参数的不等式时，要对参数分类讨论(常见的有一次项系数含字母、二次项系数含字母、二次不等式的判别式Δ、指对不等式中的底数含参数等)．(6)超越不等式问题可用图象法．5．二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)表示的平面区域．(1)在平面直角坐标系中作出直线Ax＋By＋C＝0；(2)在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，特别地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．(3)若Ax0＋By0＋C>0，则包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C<0所表示的平面区域．(4)主要看不等号与B的符号是否同向，若同向则在直线上方，若异向则在直线下方，简记为“同上异下”，这叫B值判断法．一般地说，直线不过原点时用原点判断法或B值判断法，直线过原点时用B值判断法或用(1,0)点判断．注意：画不等式Ax＋By＋C≥0(或Ax＋By＋C≤0)所表示的平面区域时，区域包括边界直线Ax＋By＋C＝0上的点，因此应将其画为实线．把等号去掉，则直线为虚线．6．线性规划的有关概念(1)约束条件——目标函数中的变量所要满足的不等式组．(2)线性目标函数——目标函数关于变量是一次函数．(3)线性约束条件——约束条件是关于变量的一次不等式组．(4)可行解——满足线性约束条件的解．(5)可行域——由所有可行解组成的集合．(6)最优解——在可行域中使目标函数取得最值的解．(7)线性规划问题——求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．7．利用图解法解决线性规划问题的一般步骤(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式所表示的平面区域作出，找出其公共部分．(2)作出目标函数的等值线．(3)确定最优解．①在可行域内平行移动目标函数等值线，最先通过或最后通过的顶点便是最优解对应的点，从而确定最优解．②利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线l1、l2、…、ln的斜率分别为k18．(1)重要不等式a2＋b2≥2a·b(a、b∈R)；a＋b＋(2)基本不等式ab(a、b∈R)； 2(3)均值定理．①x、y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最小值P.S2②x、y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy 有最大值.4(4)证明不等式常用方法有：综合法、比较法、分析法、反证法及利用函数单调性等．误区警示：1．两个同向不等式的两边不能分别相减，也不能分别相除，在需要求差或商时，可利用不等式的性质转化为同向不等式相加或相乘．2．a≥b的含义是“a>b”或“a＝b”，只要其中一个成立，则a≥b就成立．3．特别注意不等式性质成立的条件．对每一条性质，要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽后，条件和结论之间关系发生的变化；避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误，特别注意关于符号的限制条件．a>b>0⎫a>b⎫如：a>b⎫⎪1111⎬⇒⎬⎬但a>b⇒是错误的，⇒ac>bd是成立的，但ababc>d>0c>d⎭⎭⎪ab>0⎭⇒ac>bd是错误的．a>b>0⇒an>bn(n∈N*)是正确的，但a>b⇒an>bn是错误的，若规定n为正奇数时，a>b⇒an>bn是正确的．4．解决含有绝对值不等式问题的基本思想是设法去掉绝对值符号，化归为不含绝对值符号的不等式去解．脱去绝对值符号的方法主要有：(1)定义法：|x|≤a(a>0)⇔－a≤x≤a，|x|≥a(a>0)⇔x≥a或x≤－a 分段讨论，含多个绝对值符号(高考限于2个)的情形，可令每一个为0，找出分界点再分段，特别注意a>0的条件．(2)平方法：只有在不等式两端同号的情况下才适用．(3)客观题还常结合几何意义求解．5．在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各个项中字母取某个值时，能够使得各项的值相等．其中，通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键．多次使用均值不等式时，要保持每次等号成立条件的一致性．6．①写一元二次不等式的解集时，一定要将图象的开口方向与判别式结合起来．②当二次项系数含有参数时，不能忽略二次项系数为零的情形．如ax2－ax－1<0的解－b＋集为R，求实数a的范围．解答时应对a＝0，a≠0进行分类讨论．还应注意a<02a－b－Δ<2a③解对数不等式时，莫忘定义域的限制．④换元法解不等式时，要注意把求得的新元的范围等价转化为原来未知数的取值范围．⑤解不等式的每一步变形要保持等价．7．解线性规划问题时：①在求解应用问题时要特别注意题目中变量的取值范围，防止将范围扩大．②对线性目标函数z＝Ax＋By中的B的符号一定要注意．当B>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y 轴上截距最小时，z值最小；当B<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．③解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．求最优解时，若没有特殊要求，一般为边界交点．若实际问题要求的最优解是整数解．而我们利用图解法得到的解为非整数解，应作适当调整．其方法应以与线性目标函数直线的距离为依据，在直线附近寻求与直线距离最近的整点，但必须是在可行域内寻找.但考虑到作图毕竟还是会有误差，假若图上的最优点并不明显易辨时，应将最优解附近的整点都找出来，然后逐一检查，以“验明正身”．第二篇：必修五基本不等式知识点第三章:不等式、不等式解法、线性规划1.不等式的基本概念不等（等）号的定义：a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.2.不等式的基本性质（1）a>b⇔b<a（对称性）（2）a>b,b>c⇒a>c（传递性）（3）a>b⇒a+c>b+c（加法单调性）（4）a>b,c>d⇒a+c>b+d（同向不等式相加）（5）a>b,c<d⇒a-c>b-d（异向不等式相减）（6）a.>b,c>0⇒ac>bc（7）a>b,c<0⇒ac<bc（乘法单调性）（8）a>b>0,c>d>0⇒ac>bd（同向不等式相乘）(9)a>b>0,0<c<d⇒11ab（异向不等式相除）(10)a>b,ab>0⇒<（倒数关系）>abcd（11）a>b>0⇒an>bn(n∈Z,且n>1)（平方法则）（12）a>b>0⇒a>b(n∈Z,且n>1)（开方法则）练习：（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：①若a>b,则ac>bc；②若ac>bc,则a>b；③若a<b<0,则a>ab>b；④若a<b<0,则⑤若a<b<0,则22222211<； abba>；⑥若a<b<0,则a>b； abab11⑦若c>a>b>0,则；⑧若a>b,>，则a>0,b<0。
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△>0
Байду номын сангаас
ax
b(a
x 0)
x
b
a b
(a (a
0) 0)
a
△=0
△<0
y=ax2+bx+c
y
的图象
(a>0)
x1 O
x2x
y
O x1
x
y x
O
ax2+bx+c=0 有两相异实根 (a>0)的根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=
b 2a
ax2+bx+c>0 {x|x<x1,或 x>x2} {x|x≠ b }
一.不等式知识要点
1.两实数大小的比较
a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0
2.不等式的性质：8条性质.
3.基 本不 等式 定理
且且且且 且且且且 且且且且 且且且且
a 2 b 2 2ab
a2
b2
1 (a b)2 2
值。
z ax by z x2 y2
z y x
6
练习：1.求满足 | x | + | y | ≤4 的整点（横、纵坐标为整数）的
个数。
2.且且且且且且且f
(x)
2
log2
x
1 log2
x
(0
x
1)
34.f(x)=x+ 1 且x4且且且且且 x1
4.求函数 f ( x) ( x 1)2 4 ( x 1) 的最小值.
(5)一元二次方程根的分布问题： 方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称 轴、
必修五数学基本不等式知识点总结
必修五数学基本不等式知识点总结必修五数学基本不等式知识点总结1棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥。
棱锥的性质：(1)侧棱交于一点。
侧面都是三角形(2)平行于底面的截面与底面是相似的多边形。
且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质：(1)各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。
(3)多个特殊的直角三角形a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。
b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。
且顶点在底面的.射影为底面三角形的垂心。
必修五数学基本不等式知识点总结21.用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
2.性质：①如果x>y，那么yy;(对称性)②如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z;(加法原则，或叫同向不等式可加性)④如果x>y，z>0，那么xz>yz;如果x>y，zy，m>n，那么x+m>y+n;(充分不必要条件)⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;⑦如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)，x的n 次幂。
或者说，不等式的基本性质有：①对称性;②传递性;③加法单调性，即同向不等式可加性;④乘法单调性;⑤同向正值不等式可乘性;⑥正值不等式可乘方;⑦正值不等式可开方;⑧倒数法则。
3.分类：①一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
②一元一次不等式组：a.关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
必修五不等式知识点
必修五不等式知识点在高中数学中，不等式是一个重要的数学概念，尤其是在必修五的数学课程中更是如此。
不等式是用来比较两个数的关系的数学表达式。
在必修五中，我们将学习不等式的基本概念和性质，以及如何解决一元一次不等式和一元二次不等式等问题。
一、不等式的基本概念不等式是数学中用于表示两个数之间的大小关系的数学符号。
常见的不等式符号包括小于（<）、大于（>）、小于等于（≤）和大于等于（≥）等。
例如，对于任意的实数a和b，我们可以表示如下的不等式：① a < b: 表示a小于b，即a比b更小。
② a > b: 表示a大于b，即a比b更大。
③ a ≤ b: 表示a小于等于b，即a不大于b。
④ a ≥ b: 表示a大于等于b，即a不小于b。
我们可以用不等式来描述很多实际问题，如数轴上的有理数大小关系、函数图像的区间等等。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一次的不等式。
例如，下面是一些一元一次不等式的例子：① 2x - 3 < 7: 这个不等式表示2x减去3小于7。
② 3x + 5 > -2: 这个不等式表示3x加5大于-2。
③ 4x ≤ 6: 这个不等式表示4x小于等于6。
要解决一元一次不等式，我们可以使用类似方程的方法，通过变量的加减乘除等运算来求解未知数的范围。
对于一元一次不等式，解决方法如下：步骤一：将不等式转化为等价的不等式，即保持不等式的不等性质不变，同时对两边进行加减乘除等运算。
步骤二：对于含有未知数的项，将它们移到一个侧边，将常数项移到另一个侧边。
步骤三：确定未知数的范围，即使得不等式成立的所有解。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的不等式。
例如，下面是一些一元二次不等式的例子：① x^2 - 4x + 3 < 0: 这个不等式表示二次函数y = x^2 - 4x + 3的函数值小于0。
必修五不等式知识点总结
必修五不等式知识点总结不等式是数学中重要的概念之一，主要用来描述数之间的大小关系。
在必修五的数学学习中，我们学习了不少与不等式相关的知识点。
下面就我所掌握的知识，对必修五不等式的相关内容进行总结。
1.数轴与不等式：在学习不等式之前，我们首先要了解数轴的概念。
数轴是一条直线，用来表示实数的位置。
有了数轴，我们可以很直观地表示不等关系。
对于不等式x<a，我们可以把数轴上小于a的所有数标出来。
2.不等式的基本性质：不等式具有一些基本的性质，可以通过这些性质来进行不等式的推导和运算。
这些性质包括：-两边相等的不等式，若左边大于右边，则右边小于左边。
-不等式两边同时加上（或减去）相同的数，不等号方向不变。
-不等式两边同时乘（或除以）相同的正数，不等号方向不变。
-不等式两边同时乘（或除以）相同的负数，不等号方向改变。
3.一元二次不等式：一元二次不等式是指形如 ax^2 + bx + c > 0（或 < 0）的不等式。
其中 a、b、c 是给定的实数，a ≠ 0。
解一元二次不等式的关键是找到不等式左边的二次函数的图像和零点，并结合一次项 b 的正负情况来确定不等式的解集。
4.绝对值不等式：绝对值不等式是指形如x-a，>b（或<b）的不等式。
解绝对值不等式的关键是根据绝对值的定义，对不等式进行拆分，从而得到不等式的解集。
5.一次不等式与二次不等式的综合：在实际问题中，经常会同时用到一次不等式和二次不等式。
这时，我们需要综合运用前面所学的不等式知识，用代数方法来解决问题。
6.不等式的应用：不等式在数学以及实际生活中有着广泛的应用。
在数学中，不等式常用于解析几何、实数范围的确定等方面；在实际生活中，不等式用于描述其中一种数量的上限和下限，如商品折扣、房租优惠等。
7.不等式证明：不等式证明是数学证明的重要内容之一、通过运用不等式的定义和性质，我们可以对不等式进行严谨的证明，从而得到数学上的结论。
数学必修五不等式总结
数学必修五不等式总结在数学学科中，不等式是一个十分重要的概念。
它是用来描述数值关系的一种数学符号组合。
在必修五这门课程中，学生将深入学习不等式的性质和应用。
本文将对数学必修五中的不等式进行总结和探讨。
一、基本概念不等式是数学中用来描述大小关系的一种方式。
与等式不同的是，不等式中的符号可以是大于号（>），小于号（<），大于等于号（≥），小于等于号（≤）等。
例如：2 + 3 > 4，表示“2 + 3的和大于4”。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个变量的一次项的不等式。
在必修五中，学生将学习如何解一元一次不等式，并掌握图像法解不等式的方法。
例如：解不等式2x - 3 > 5，先将不等式转化为等式2x - 3 = 5，然后求出这个等式的解集{x|x > 4}，最后画出这个不等式的解集对应的数轴图，可得解集{x|x > 4}。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个变量的二次项的不等式。
解一元二次不等式的方法比较复杂，需要通过一些数学技巧和定理来进行求解。
例如：解不等式x² - 3x + 2 ≥ 0，可以先通过求根公式求得方程x² - 3x + 2 = 0的解集{x|1 ≤ x ≤ 2}，然后根据二次函数的凹凸性可以得出方程的解集{x|x ≥ 2} ∪ {x|1 ≤ x ≤ 2}。
四、绝对值不等式绝对值不等式是指绝对值中含有不等号的不等式。
这种不等式的解法有很多种，可以根据具体情况选择最简单的解法。
例如：解不等式|2x - 1| > 3，可以将其拆分为两个不等式2x - 1 > 3和2x - 1 < -3，然后分别求解这两个不等式得到解集{x|x > 2} ∪ {x|x < -1}。
五、分式不等式分式不等式是指分式中含有不等号的不等式。
解分式不等式可以通过一些常用的方法，如分式大小关系等等。
例如：解不等式(3x + 1)/(x - 2) ≤ 2，可以通过分式大小关系将不等式转化为等式(3x + 1)/(x - 2) = 2，然后解方程得到一个解集{x|x ≤ 2} ∪ {x|x > 3}，最后根据不等式的性质得到解集{x|x ≤ 2}。
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不等式总结
一、不等式的主要性质：
⑴对称性：abba (2) 传递性：a b,b c a c
(3)加法法则： a b a c b c ； a b, c d a c b
(4)乘法法则： a b, c 0 ac bc ； a b, c 0 ac bc
a b 0,c d 0 ac bd
(5)倒数法则： a b, ab 0 -
1 a b
(6)乘方法则： a b 0 a n b n(n N *且n 1)
(7)开方法则： a b 0 n a n b(n N *且n 1)
二、一元二次不等式ax2bx c 0和ax2bx c 0(a 0)及其解法
注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式
顺口在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间三、均值不等式
一 f (x)
f(x) f (x) g(x) g(x) 0 或 g (
x )
2
g(x)
f(x)
f(x) g(x )
f(x) g(x ) f(x) 0 0 [g(x)]2
1. 均值不等式：如果a,b 是正数，那么 •丄.ab(当且仅当a b 时取""号).
2
2、 使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等
3、平均不等式：平方平均》算术平均》几何平均》调和平均( a 、b 为正数)，即
a b ab 丄(当a = b 时取等)
2 1 1
a b
距离
4、解含有绝对值不等式的主要方法:
①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为 不等式(组)进行求解;
②去掉绝对值的主要方法有:
a x a ， | x | a (a 0) x a 或 x a .
② 无理不等式：转化为有理不等式求解
f(x) 0
定义域 g(x) 0 f(x) g(x)
③指数不等式：转化为代数不等式
a f(x) a g(x)(a 1)
f(x) g(x); J （x ）亠
a
a g(x)
(0 a 1)
f(x)
g(x)
a f(x)
b(a 0,b
0)
f (x) I
g a
lg b
I x| a
x a 或x
a
I x| a
x a 或 x
a
I x| a
a x a
|x| a
a x a
c 0时， | ax b| c ax
b c 或 ax b c ，
| ax b| c
c ax b
c
；
c 0时， | ax b| c x R ， | ax b| c x
.
2、如果a 0,则不等式:
3•当 当 1.绝对值的几何意义：|x|是指数轴上点 x 到原点的距离;
X 2 |是指数轴上捲,X 2两点间的
儿一次(二次)
(1)公式法：|x| a (a 0)
(2)定义法：零点分段法; (3)平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平
方.
五、其他常见不等式形式总结：
①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
f(x) g(x)
0 f(x)g(x) 0;
f(x) g(x)
f(x)g(x) 0 g(x)
f (x)
.g(x )
④对数不等式：转化为代数不等式
f (x) 0 f(x) 0
lOg a f(x) lOg a g(x)(a 1) g(x) 0 ; lOg a f (x) lOg a g(x)(0 a 1) g(x) 0
f (x) g(x) f(x) g(x)
六、三角不等式：|a卜|b| |a b | |a| | b |
七、不等式证明的几种常用方法
比较法（做差法、做商法）、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法
八、数轴穿跟法：奇穿，偶不穿
2 2
例题：不等式（X 3x 2）（x 4）0的解为（）
x 3
A 1<x< 1 或x>2 B. xv —3 或1<x< 2
C. x=4 或—3<x< 1 或x>2
D. x=4 或x< —3 或1 <x<2
九、零点分段法例题：求解不等式：|2x 1| |x 2| 4 .
十、练习试题 1 .下列各式中，最小值等于 x 2
5
x 2
4
A. I
B . y x 2.若x, y R 且满足x 3y A . 33 9 B . 1 2 2 2的是（
2，则 3x tan
1 ——D . 2x
2 x
27y 1的最小值是
（
3 .设 x 0, y 0, A x y
1 x y
则A, B 的大小关系是（
函数y 6的最小值为（ .2 B . .2 C . 4 D . 6
不等式3
5 2x
9的解集为（ 2,1)U[4,7)
B . ( 2,1]U(4,7]
2, 1]U[4,7) D . ( 2,1]U[4,7)
1 b(a
b ）的最小值是
0,m 0, n 0,
」，山按由小到大的顺序排列为 a m b n
已知 x, y
且 x 2 y 2 1，则x y 的最大值等于
1
2®
10 .函数 f(x) 3x 1 210 1
x |(x
x
21
1
1
1，则A 与1的大小关系是
0）的最小值为
11 .求证：a 2 b 2 ab a。