最新高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型-讲义含解答
高中数学必修5第三章《不等式》复习知识点总结与练习
高中数学必修5__第三章《不等式》复习知识点总结与练习（一）第一节不等关系与不等式[知识能否忆起]1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b . 2．不等式的基本性质1.在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c 的符号”等也需要注意．2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用．高频考点1. 比较两个数(式)的大小[例1] 已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5a 5的大小．[自主解答] 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5；当q ＞0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4＜0，所以S 3a 3＜S 5a 5. 综上可知S 3a 3＜S 5a 5.由题悟法比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．[注意] 用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．以题试法1．(2012·吉林联考)已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解析：选A c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0， ∴c ≥b .将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2. ∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，∴1＋a 2>a . ∴b ＝1＋a 2>a .∴c ≥b >a . 2. 不等式的性质(2012·包头模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc＜0；③a－c ＞b －d ；④a ·(d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，故②正确． ∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )， 故④正确，故选C.由题悟法1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．以题试法2．若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2 C ．若a ＜b ＜0，则1a ＜1bD ．若a ＜b ＜0，则b a ＞ab解析：选B A 中，只有a ＞b ＞0，c ＞d ＞0时，才成立；B 中，由a ＜b ＜0，得a 2＞ab ＞b 2成立；C ，D 通过取a ＝－2，b ＝－1验证均不正确． 3. 不等式性质的应用典题导入[例3] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围． [自主解答] f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b . f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10.即f (－2)的取值范围为[5,10]．由题悟法利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．以题试法3．若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7.∴α＋3β的取值范围为[1,7]．第二节一元二次不等式及其解法[知识能否忆起]一元二次不等式的解集二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集的关系，可归纳为：若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．解一元二次不等式应注意的问题：(1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数．(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况．(3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号．(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同高频考点1.一元二次不等式的解法典题导入[例1] 解下列不等式： (1)0＜x 2－x －2≤4； (2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． [自主解答] (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1，或2＜x ≤3. (2)由x 2－4ax －5a 2＞0知(x －5a )(x ＋a )＞0. 由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论． 当a ＜0时，x ＜5a 或x ＞－a ； 当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞5a .综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜5a ，或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞5a ，或x ＜－a .由题悟法1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．以题试法1．解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2 ≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜1. 2．一元二次不等式恒成立问题典题导入[例2] 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．[自主解答] 法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1) 时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3. 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1； ②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1 ≤a ≤1. 综上所述，a 的取值范围为[－3,1]．法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0.解得－3 ≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]．本题中的“x ∈[－1，＋∞)改为“x ∈[－1,1)”，求a 的取值范围．解：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1,1)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0或⎩⎨⎧Δ＞0，a ＞1，g (1)≥0.解得－3≤a ≤1，所求a 的取值范围是[－3,1] .由题悟法1．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．2．一元二次不等式恒成立的条件：(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)(x ∈R ) 恒成立的充要条件是： a ＞0且b 2－4ac ＜0.(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)(x ∈R )恒成立的充要条件是： a ＜0且b 2－4ac ＜0.以题试法2．(2012·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：由Δ1<0，即a 2－4(－a )<0，得－4<a <0； 由Δ2≥0，即a 2－4(3－a )≥0，得a ≤－6或a ≥2. 答案：(－4,0) (－∞，－6]∪[2，＋∞) 2. 一元二次不等式的应用典题导入[例3] 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． [自主解答] (1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价， 所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0,2]． (2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0. 解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.由题悟法解不等式应用题，一般可按如下四步进行：(1)认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题．以题试法3．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP 公司可供选择．公司A 每小时收费1.5元；公司B 在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP 公司较省钱？解：假设一次上网x 小时，则公司A 收取的费用为1.5x 元，公司B 收取的费用为x (35－x )20元．若能够保证选择A 比选择B 费用少，则x (35－x )20＞1.5x (0＜x ＜17)， 整理得x 2－5x ＜0，解得0＜x ＜5，所以当一次上网时间在5小时内时，选择公司A 的费用少；超过5小时，选择公司B 的费用少．练习题[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列命题正确的是( ) A ．若ac ＞bc ⇒a ＞b B ．若a 2＞b 2⇒a ＞b C ．若1a ＞1b ⇒a ＜bD ．若a ＜b ⇒a ＜b答案：D2．若x ＋y >0，a <0，ay >0，则x －y 的值( ) A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0D ．不确定解析：选A 由a <0，ay >0知y <0，又x ＋y >0，所以x >0.故x －y >0. 4.12－1________3＋1(填“>”或“<”)． 解析：12－1＝2＋1＜3＋1. 答案：<5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是____________(请把正确命题的序号都填上)． 解析：①若c ＝0则命题不成立．②正确．③中由2c >0知成立． 答案：②③4．若x ＞y, a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤a y ＞bx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________． 解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此 ①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确． 又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出 ②④成立． 答案：②④[小题能否全取]1．(教材习题改编)不等式x (1－2x )＞0的解集是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞答案：B2．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤13D ．R答案：B3．(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m 2－4＞0，解得m ＜－2或m ＞2.4．(2012·天津高考)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝________.解析：因为|x ＋2|<3，即－5<x <1，所以A ＝(－5,1)，又A ∩B ≠∅，所以m <1，B ＝(m,2)，由A ∩B ＝(－1，n )得m ＝－1，n ＝1.答案：－1 15．不等式1x －1＜1的解集为________．解析：由1x －1＜1得1－1x －1＞0，即x －2x －1＞0，解得x ＜1，或x ＞2.答案：{x |x ＜1，或x ＞2}1．(2012·重庆高考)不等式x －1x ＋2＜0的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选C 原不等式化为(x －1)(x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜1，故原不等式的解集为(－2,1)．2．(2013·湘潭月考)不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：选B ①当x －2＞0即x ＞2时，原不等式等价于(x －2)2≥4，解得x ≥4. ②当x －2＜0即x ＜2时，原不等式等价于(x －2)2≤4， 解得0≤x ＜2.3．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]解析：选D 原不等式可能为(x －1)(x －a )＜0，当a ＞1时得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a ≤5，当a ＜1时得a ＜x ＜1，则－3≤a ＜－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5]4．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－1)C.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311D.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞) 解析：选C ①m ＝－1时，不等式为2x －6<0，即x <3，不合题意．②m ≠－1时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0，解得m <－1311.6．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析：选C ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1， Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点， 又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)＜0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，解得－32＜a ＜－56.又a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )＞1，即－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.7．若不等式k －3x －3＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，则实数k ＝________.解析：k －3x －3＞1，得1－k －3x －3＜0，即x －k x －3＜0，(x －k )(x －3)＜0，由题意得k ＝1.答案：18．不等式x 2－2x ＋3 ≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是________． 解析：原不等式即x 2－2x －a 2＋2a ＋4≤0，在R 上解集为∅， ∴Δ＝4－4(－a 2＋2a ＋4)＜0， 即a 2－2a －3＜0， 解得－1＜a ＜3. 答案：(－1,3)9．(2012·陕西师大附中模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5，x ＜3，2x －m ，x ≥3，且f (f (3))＞6，则m 的取值范围为________．解析：由已知得f (3)＝6－m ，①当m ≤3时，6－m ≥3，则f (f (3))＝2(6－m )－m ＝12－3m ＞6，解得m ＜2；②当m ＞3时，6－m ＜3，则f (f (3))＝6－m ＋5＞6，解得3＜m ＜5.综上知，m ＜2或3＜m ＜5.答案：(－∞，2)∪(3,5) 10．解下列不等式： (1)8x －1≤16x 2；(2)x 2－2ax －3a 2＜0(a ＜0)．解：(1)原不等式转化为16x 2－8x ＋1≥0， 即(4x －1)2 ≥0，则x ∈R ， 故原不等式的解集为R .(2)原不等式转化为(x ＋a )(x －3a )＜0， ∵a ＜0，∴3a ＜－a ，得3a ＜x ＜－a .故原不等式的解集为{x |3a ＜x ＜－a }．11．一个服装厂生产风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x (元)．(1)该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 解：(1)由题意知，月利润y ＝px －R ， 即y ＝(160－2x )x －(500＋30x ) ＝－2x 2＋130x －500.由月利润不少于1 300元，得－2x 2＋130x －500≥1 300. 即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45.故该厂月产量在20～45件时，月利润不少于1 300元． (2)由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500 ＝－2⎝⎛⎭⎫x －6522＋3 2252， 由题意知，x 为正整数．故当x ＝32或33时，y 最大为1 612.所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，比较f (x )与m 的大小．解：由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0， 即a (x ＋1)(x －2)＞0.当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1，或x ＞2}； 当a ＜0时，不等式F (x )＞0 的解集为{x |－1＜x ＜2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0. ∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .。
最新人教版高一数学知识(必修5)专题精讲附解答： 基本不等式
专题基本不等式【知识导图】【目标导航】1.记住基本不等式；2．会用基本不等式证明简单的不等式；3．会用基本不等式求代数式的最值.【重难点精讲】重点一、重要不等式当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．重点二、基本不等式当a>0，b>0时有ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，等号成立．重点三、基本不等式与最值已知x、y都是正数．(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．重点四、基本不等式与最值x ＋y ＝s (定和)⇒xy ≤s 24(当且仅当x ＝y 时取等号) xy ＝p (定积)⇒x ＋y ≥2p (当且仅当x ＝y 时取等号)【典题精练】考点1、利用基本不等式求函数的最值例1．函数1(2)2y x x x =+>-的最小值为__________． 【答案】4【解析】∵2x >，∴20x ->．∴111(2)22(2)24222y x x x x x x =+=-++≥-⨯+=--- ，当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立．∴函数1(2)2y x x x =+>-的最小值为4． 答案：4考点点睛：1.利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式a ＋b 2≥ab 成立的前提条件，a >0，b >0； (2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分或配凑因式． 考点2、变形技巧：“1”的代换例2．【浙江省七彩联盟2018-2019学年第一学期高三11月期中】若正数a ，b 满足121a b +=，则2b a+的最小值为( )A ．42B ．82C ．8D ．9 【答案】D【解析】0a Q >，0b >，且121a b +=， 则2212252549b b a ab a a b ab ⎛⎫⎛⎫+=++=++=≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22ab ab =即13a =，3b =时取等号． 故选D ．考点点睛：1.应用基本不等式求最值时，经常要对所给式子进行变形，配凑，变形的目标是能配凑出“和”或“积”为定值的条件．2．若条件式是ax ＋by ＝c (a ，b ，c 都是正常数)，常常进行常数代换(或乘除常数)．如x ＋y ＝1(x >0，y >0)求1x＋2y 的最值时，可以将1＝x ＋y,2＝2(x ＋y )代入，也可以变形1x ＋2y ＝(1x ＋2y )·1＝(1x ＋2y)·(xy )．两种方法本质相同，若已知条件为2x ＋y ＝3(x >0，y >0)，求3x ＋2y 的最值时，可利用3x ＋2y ＝13(3x ＋2y)(2x ＋y )变形． 3．求二元函数最值时，可以用代入消元法转化，但要注意根据被代换的变量的范围，对保留下的变量的范围加以限制．考点3、忽视等号成立的条件而致误例3．已知正数x 、y 满足x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．【答案】3＋2 2【解析】[错解]由1＝x ＋2y ≥22xy ，得1xy ≥22， ∴1x ＋1y ≥21xy ＝2xy ≥42，即1x ＋1y 的最小值为42． [辨析]两个等号不能同时取到，前一个不等式等号成立的条件是x ＝2y ＝12，后一个不等式等号则是当x ＝y 时成立．[正解]∵x 、y 为正数，且x ＋2y ＝1．∴1x ＋1y ＝(x ＋2y )(1x ＋1y )＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即当x ＝2－1，y ＝1－22时等号成立． ∴1x ＋1y 的最小值为3＋22．考点4、利用基本不等式比较数的大小例4．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m 、n 之间的大小关系是 ． 【答案】m >n 【解析】 ∵a >2，∴a －2>0.又∵m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2， ∴m ≥2a －2×1a －2＋2＝4，即m ∈[4，＋∞)． 由b ≠0，得b 2≠0，∴2－b 2<2，∴22－b 2<4，即n <4，∴n ∈(0,4)．综上易得m >n ．考点5、不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法例5．已知,,a b c 是全不相等的正实数，证明：3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>. 【答案】详见解析【解析】（方法一） ∵a,b,c 全不相等，∴,,b a c a c b a b a c b c 与与与全不相等 ∴b a a b +＞2，c a a c +＞2，c b b c+＞2 三式相加得，b c c a a b a a b b c c+++++＞6 ∴(1)(1)(1)b c c a a b a a b b c c+-++-++-＞3 即b c a a c b a b c a b c+-+-+-++＞3 （方法二）要证b c a a c b a b c a b c+-+-+-++＞3 只需证明111b c c a a b a a b b c c+-++-++-＞3 即证b c c a a b a a b b c c+++++＞6 而事实上，由a,b,c 是全不相等的正实数，∴b a a b +＞2，c a a c +＞2，c b b c+＞2 ∴b c c a a b a a b b c c+++++＞6 ∴b c a a c b a b c a b c+-+-+-++＞3得证考点点睛：证明不等式时，要注意观察分析其结构特征选取相应的证明方法．若不等式中字母具有轮换对称关系，则常常连用几个形式相同字母不同的不等式迭加获证．考点6、求参数的取值范围问题例6．【河南省开封市五县联考2019-2020学年高二上学期期末】已知0m >，0n >，141m n+=，若不等式22m n x x a +≥-++对已知的m ，n 及任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)8,+∞B ．[)3,+∞C ．(],3-∞D ．(],8-∞ 【答案】D【解析】∵()1445n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭4529n m m n ≥+⨯=， 当且仅当4n m m n=时等号成立， ∴229x x a -++≤，即()222918a x x x ≤-+=-+，∴8a ≤.故选：D考点点睛：1.恒成立问题求参数的取值范围，常用“分离参数”转化为函数最值问题求解；2.解题思路来源于细致的观察，丰富的联想和充分的知识、技能的储备，要注意总结记忆．考点7、均值不等式在实际问题中的应用例7．如图，金砂公园有一块边长为2的等边ABC V 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上.（Ⅰ）设AD x =，DE y =，求y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ）如果DE 是灌溉水管，我们希望它最短，则DE 的位置应在哪里？请予以证明.【答案】（Ⅰ）2242(12)y x x x=+-≤≤；（Ⅱ）//DE BC ，且2DE =. 【解析】 （Ⅰ）在ADE V 中，222222cos60y x AE x AE x AE x AE =+-⋅⋅=+-⋅o ①， 又12ADE ABC S S =V V ，即11sin 6022sin 6024x AE ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅o o ，即2AE x=②， 将②代入①，得222222422y x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 又2x ≤，若1x <，则22AE x=>不符合题意，所以1x ≥， 因此2242(12)y x x x =+-≤≤； （Ⅱ）如果DE 是水管， 因为2242422y x x =+-≥-=， 当且仅当224x x=，即2x =时“＝”成立， 故//DE BC ，且2DE =.。
高一必修5不等式知识点
高一必修5不等式知识点不等式是数学中的重要概念之一，它描述了数之间大小关系的不同情况。
在高中数学课程中，不等式的学习是必不可少的，而高一必修5则是学生们初次接触并系统学习不等式的阶段。
本文将为大家介绍高一必修5中的不等式知识点，包括基本概念、性质和解不等式的方法。
一、基本概念在学习不等式之前，我们先来了解一下一些基本概念。
首先是不等号的含义，大于号">"表示大于关系，小于号"<"表示小于关系，而大于等于号"≥"表示大于或等于关系，小于等于号"≤"表示小于或等于关系。
不等式由两个数之间的关系和一个不等号构成，如a>b、c≥d等。
我们可以将不等式理解为一个数轴上的区域，满足不等式的数所构成的集合。
二、性质不等式具有一些重要性质，对于学习和解决不等式问题非常有帮助。
1. 传递性：如果a>b，b>c，那么a>c。
这是因为不等式的比较关系具有传递性，如果一个数大于另一个数，而后者又大于另一个数，那么前者一定大于后者。
2. 加法性：如果a>b，那么a+c>b+c。
这是因为两边同时加上同一个数，不等式的关系仍然成立。
3. 减法性：如果a>b，那么a-c>b-c。
和加法性类似，两边同时减去同一个数，不等式的大小关系不变。
4. 乘法性：如果a>b，且c>0，那么ac>bc。
这是因为两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；而如果c<0，则不等号的方向会改变。
5. 除法性：如果a>b，且c>0，那么a/c>b/c。
和乘法性类似，两边同除以一个正数时，不等号的方向仍然不变；当c<0时，不等号的方向会改变。
三、解不等式的方法解不等式是数学中常见的问题，我们有一些常用的方法来求解不等式。
1. 图像法：将不等式对应的数轴画出来，并标出关键点，然后根据不等号的类型进行填色，最后得到不等式的解集。
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高一数学必修5不等式知识点总结精品文档高一数学必修5不等式知识点总结不等式是高一数学必修5非常重要的概念，有哪些知识点需要了解?下面学习啦小编给大家带来高一数学必修5不等式知识点，希望对你有帮助。
高一数学必修5不等式知识点不等式(inequality)用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。
例如2x+2y?2xy，sinx?1，ex>0 ，2xx是超越不等式。
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)?G(x，y，……，z )(其中不等号也可以为中某一个)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
不等式的最基本性质有:?如果x>y，那么yy;?如果x>y，y>z;那么x>z;?如果x>y，而z为任意实数，那么x+z>y+z;? 如果x>y，z>0，那么xz>yz;?如果x>y，z 由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，其中比较有名的有:柯西不等式:对于2n个任意实数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，恒有(x1y1+x2y2+…+xnyn)2?(x12+x22+…+xn2)(y12+y22+…+yn2)。
排序不等式:对于两组有序的实数x1?x2?…?xn，y1?y2?…?yn，设yi1，yi2，…，yin是后一组的任意一个1 / 7精品文档排列，记S=x1yn+x2yn-1+…+xny1，M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin，L=x1y1+x2y2+…+xnyn，那么恒有S?M?L。
根据不等式的基本性质，也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理。
主要的有:?不等式F(x)F(x)同解。
?如果不等式F(x) 0与不等式同解;不等式F(x)G(x) 不等式分为严格不等式与非严格不等式。
一般地，用纯粹的大于号、小于号―>‖― ―?‖―?‖连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
高中数学必修五不等式知识点+练习题含答案解析(非常详细 )
第一部分必修五不等式知识点整理第三章 不等式1.不等式的性质:① c a c b b a >⇒>>,② ,,c b c a R c b a +>+⇒∈>推论:d b c a d c b a +>+⇒⎭⎬⎫>>③ 000;0;0>>⇒⎭⎬⎫>>>><⇒⎭⎬⎫<>>⇒⎭⎬⎫>>bd ac d c b a bc ac c b a bc ac c b a④ 00;00>>⇒>>>>⇒>>n n n n b a b a b a b a2.一元二次不等式及其解法:①.()c bx ax x f c bx ax c bx ax ++==++>++222,0,0注重三者之间的密切联系。
如：2ax bx c ++＞0的解为：α＜x ＜β, 则2ax bx c ++＝0的解为12,x x αβ==； 函数()2f x ax bx c =++的图像开口向下，且与x 轴交于点(),0α，(),0β。
对于函数()c bx ax x f ++=2，一看开口方向,二看对称轴，从而确定其单调区间等。
②.注意二次函数根的分布及其应用.如：若方程2280x ax -+=的一个根在（0，1）上，另一个根在（4,5）上，则有(0)f ＞0且(1)f ＜0且(4)f ＜0且(5)f ＞03.不等式的应用： ①基本不等式：当a ＞0,b ＞0且ab 是定值时，a+b 有最小值； 当a ＞0,b ＞0且a+b 为定值时，ab 有最大值。
②简单的线性规划:()00>>++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的右方区域.()00><++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的左方区域①.找出所有的线性约束条件。
②.确立目标函数。
高中数学必修五不等式知识点
高中数学必修五不等式知识点-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2 必修五不等式1、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．2、不等式的性质： ①a b b a >⇔<； ②,a b b c a c >>⇒>； ③a b a c b c >⇒+>+； ④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+；⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>； ⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >；⑧)0,1a b n n >>⇒>∈N >．小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论。
在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。
3、一元二次不等式解法：（1）化成标准式：20,(0)axbx c a ++>>；（2）求出对应的一元二次方程的根； （3）画出对应的二次函数的图象； （4）根据不等号方向取出相应的解集。
线性规划问题：1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．3．解线性规划实际问题的步骤：（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值； （4）验证。
两类主要的目标函数的几何意义:①z ax by =+-----直线的截距；②22()()z x a y b =-+------两点的距离或圆的半径；4、均值定理： 若0a>，0b >，则a b +≥，即2a b +≥ ()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭； 2a b +称为正数a 、b称为正数a 、b 的几何平均数． 5、均值定理的应用：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ． ⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值．注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。
高中数学必修五不等式知识点
必修五不等式1、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．2、不等式的性质： ①a b b a >⇔<； ②,a b b c a c >>⇒>； ③a b a c b c >⇒+>+； ④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+；⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>； ⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >；⑧)0,1a b n n >>>∈N >．小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论。
在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。
3、一元二次不等式解法：（1）化成标准式：20,(0)axbx c a ++>>；（2）求出对应的一元二次方程的根； （3）画出对应的二次函数的图象； （4）根据不等号方向取出相应的解集。
线性规划问题：1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．3．解线性规划实际问题的步骤：（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值； （4）验证。
两类主要的目标函数的几何意义:①z ax by =+-----直线的截距；②22()()z x a y b =-+------两点的距离或圆的半径；4、均值定理： 若0a >，0b >，则a b +≥，即2a b +≥ ()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；2a b +称为正数a 、b 称为正数a 、b 的几何平均数． 5、均值定理的应用：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值． 注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。
高一数学不等式知识点总结及例题
高一数学不等式知识点总结及例题一、不等式知识点总结。
（一）不等式的基本性质。
1. 对称性：如果a > b，那么b < a；如果b < a，那么a > b。
2. 传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。
3. 加法单调性：如果a > b，那么a + c>b + c。
- 推论1：移项法则，如果a + b>c，那么a>c - b。
- 推论2：同向不等式可加性，如果a > b，c > d，那么a + c>b + d。
4. 乘法单调性：如果a > b，c>0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。
- 推论1：同向正数不等式可乘性，如果a > b>0，c > d>0，那么ac > bd。
- 推论2：乘方法则，如果a > b>0，那么a^n>b^n(n∈ N,n≥slant1)。
- 推论3：开方法则，如果a > b>0，那么sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈N,n≥slant2)。
（二）一元二次不等式及其解法。
1. 一元二次不等式的一般形式。
- ax^2+bx + c>0(a≠0)或ax^2+bx + c < 0(a≠0)。
2. 一元二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象与一元二次不等式的解集关系。
- 当a>0时，Δ=b^2-4ac：- 若Δ>0，方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx < x_1或x>x_2}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为{xx_1。
- 若Δ = 0，方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0=-(b)/(2a)，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx≠-(b)/(2a)}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为varnothing。
必修五数学基本不等式知识点总结
必修五数学基本不等式知识点总结
必修五数学基本不等式的知识点总结如下：
1. 基本不等式的定义：对于任意的实数a和b，有a≤b，即两个数的大小关系。
2. 数轴上的不等式：通过将不等式转化为数轴上的线段表示，可以直观地表示出不等式的解集。
3. 加法性质：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b，则a+c≤b+c。
4. 减法性质：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b，则a-c≤b-c。
5. 乘法性质：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b且c≥0，则ac≤bc。
如果a≤b且c ≤0，则ac≥bc。
6. 除法性质：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b且c>0，则a/c≤b/c。
如果a≤b且c<0，则a/c≥b/c。
7. 对称性：对于任意的实数a和b，如果a≤b，则b≥a，反之亦然。
8. 传递性：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b且b≤c，则a≤c。
9. 绝对值不等式：对于任意的实数a，有|a|≥a或|a|≥-a。
10. 三角形不等式：对于任意的三角形的边a、b和c，有a+b>c、a+c>b和b+c>a。
以上就是必修五数学基本不等式的知识点总结。
新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)范文
应用一：求最值 例：求下列函数的值域•••值域为(—a, — 2] U [2 , + a)解题技巧技巧一：凑项例 已知x，求函数y =4x-2的最大值。
4 4x —5解：因4x -5 ：：： 0 ,所以首先要“调整”符号，又 (4x -2) 要进行拆、凑项,*51r 1 ) /x5-4x 0, y=4x-2- 5-4x -44x —5I5—4x 丿当且仅当5-4x -，即X =1时，上式等号成立，故当X =1时，y max=1。
5-4x技巧二：凑系数例：当 -■' - 1时，求y =x(8 -2x)的最大值。
解析：由 匚二U 》知，。
‘一工、-,利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值， 此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x • (8 - 2x)二8为定值，故只需将 y=x(8-2x)凑上一个系数即可。
y == l[2x * (8 — 2打]—店卩=8当，即x = 2时取等号 当x = 2时，y = x(8-2x)的最大值为8。
解: (1)y = 3x 2 值域为[6 , + a)⑵当x > 0时, 当x V 0时, 1y = x +_ =x3—23 = 11+2x1°)戸3x 2 +示1 x • =2 ;1y = x + _ >2x 1x • = — 21(—x — _ ) < — 2x不是常数，所以对4X-23变式：设0 ：：： x ，求函数y =4x(3 -2x)的最大值。
2解:c 3 _ _ -•/ 0 ::: X .飞-2X 0 ••• y2 y= 4x(3-2x) =2 2x(3-2x)<22x 3「2x当且仅当2x=3—2x,即x=3^f0,- i时等号成立。
4 < 2丿技巧三：分离技巧四：换元2，「亠x+7x十10 “心亠例：求y (x • -1)的值域。
x +1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(X + 1 )的项，再将其分离。
高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型-讲义含解答
不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔>(2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加)(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
必修五不等式知识点总结
必修五不等式知识点总结不等式是数学中重要的概念之一，主要用来描述数之间的大小关系。
在必修五的数学学习中，我们学习了不少与不等式相关的知识点。
下面就我所掌握的知识，对必修五不等式的相关内容进行总结。
1.数轴与不等式：在学习不等式之前，我们首先要了解数轴的概念。
数轴是一条直线，用来表示实数的位置。
有了数轴，我们可以很直观地表示不等关系。
对于不等式x<a，我们可以把数轴上小于a的所有数标出来。
2.不等式的基本性质：不等式具有一些基本的性质，可以通过这些性质来进行不等式的推导和运算。
这些性质包括：-两边相等的不等式，若左边大于右边，则右边小于左边。
-不等式两边同时加上（或减去）相同的数，不等号方向不变。
-不等式两边同时乘（或除以）相同的正数，不等号方向不变。
-不等式两边同时乘（或除以）相同的负数，不等号方向改变。
3.一元二次不等式：一元二次不等式是指形如 ax^2 + bx + c > 0（或 < 0）的不等式。
其中 a、b、c 是给定的实数，a ≠ 0。
解一元二次不等式的关键是找到不等式左边的二次函数的图像和零点，并结合一次项 b 的正负情况来确定不等式的解集。
4.绝对值不等式：绝对值不等式是指形如x-a，>b（或<b）的不等式。
解绝对值不等式的关键是根据绝对值的定义，对不等式进行拆分，从而得到不等式的解集。
5.一次不等式与二次不等式的综合：在实际问题中，经常会同时用到一次不等式和二次不等式。
这时，我们需要综合运用前面所学的不等式知识，用代数方法来解决问题。
6.不等式的应用：不等式在数学以及实际生活中有着广泛的应用。
在数学中，不等式常用于解析几何、实数范围的确定等方面；在实际生活中，不等式用于描述其中一种数量的上限和下限，如商品折扣、房租优惠等。
7.不等式证明：不等式证明是数学证明的重要内容之一、通过运用不等式的定义和性质，我们可以对不等式进行严谨的证明，从而得到数学上的结论。
高一 必修五 数学 不 等 式
高一不等式——知识清单：1．如果a ,b ∈{x |x 是正实数}，那么2b a +≥ab （当且仅当a =b 时取“=”号）. 注：该不等式可推出:当a 、b 为正数时,2112a b a b++≥≥（当且仅当a = b 时取“=”号） 即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数2.绝对值不等式：(0)a b a b a b ab --+⑴≤≤≥时,取等号注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大),特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.3．不等式同解变形（1）同解不等式（(1)f xg x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解； （2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解，m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解；（3）f x g x ()()>0与f x g x g x ()()(()⋅>≠00同解）； 4．一元一次不等式ax b a a a >⇒>=<⎧⎨⎪⎩⎪分()()()102030情况分别解之。
5．一元二次不等式ax bx c a 200++>≠()或ax bx c a 200++<≠⇒()分a >0及a <0情况分别解之，还要注意∆=-b ac 24的三种情况，即∆>0或∆=0或∆<0，最好联系二次函数的图象。
6．分式不等式分式不等式的等价变形：)()(x g x f >0⇔f(x)·g(x)>0，)()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(xg x g x f 。
证明不等式常用方法：（1）比较法：作差比较：B A B A ≤⇔≤-0（2）综合法：由因导果。
（3）分析法：执果索因。
基本步骤：要证……只需证……，只需证……（4）反证法：正难则反。
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不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加)(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆， 0>∆ 0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根2>=++acbxax有两相异实根)(,2121xxxx<有两相等实根abxx221-==无实根的解集)0(2>>++acbxax{}21xxxxx><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠abxx2R的解集)0(2><++acbxax{}21xxxx<<∅∅2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x的符号变化规律，写出不等式的解集。
()()()如：x x x+--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
()()0()()0()()0;0()0()()f xg xf x f xf xg xg xg x g x≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式()Axf>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上()minf x A>若不等式()Bxf<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上()maxf x B<（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(yx,)，把它的坐标（yx,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解（四）基本不等式2a bab +≤1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2．如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3．如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（12211a ba b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、c∈R，222a b c ab bc ca++≥++（当且仅当a b c==时，取等号）；（3）若0,0a b m>>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
不等式主要题型讲解（一） 不等式与不等关系 题型一：不等式的性质1. 对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若； ⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦bc b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2. 设2a >，12p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小3. 比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小4. 若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .（二） 解不等式 题型三：解不等式 5. 解不等式6. 解不等式7. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥。
8. 解不等式25123xx x -<---9. 不等式2120ax bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =_____, b=_______10. 关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集为11. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<题型四：恒成立问题12. 关于x 的不等式a x 2+ a x +1＞0 恒成立，则a 的取值范围是_____________13. 若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.14. 已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
（三）基本不等式2a bab +≤题型五：求最值15. （直接用）求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x16. （配凑项与系数）（1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
（2）当时，求(82)y x x =-的最大值。
17. （耐克函数型）求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x=+的单调性。
18. （用耐克函数单调性）求函数2y =的值域。
19. （条件不等式）（1） 若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .（2） 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
（3） 已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.（4） 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.题型六：利用基本不等式证明不等式20. 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++22221. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc22. 已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。
求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭题型七：均值定理实际应用问题：23. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。
（四）线性规划题型八：目标函数求最值24. 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+≤-+0,087032y x y x y x ，求目标函数y x k +=3的最大值25.已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ,并且102x <<,22x >．则1ba -的取值范围是26. 已知,x y 满足约束条件：03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩ ,则222x y x ++的最小值是27. 已知变量230,330.10x y x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩满足约束条件若目标函数z ax y =+（其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a 的取值范围为 。