必修五-不等式知识点总结[1]
不等式知识点总结(人教B版必修五第三章)
不等式知识点小结1.不等式的定义我们用数学符号“”“>”“<”“”“”连接两个数或代数式, 以表示它们之间的不等关系, 含有这些不等号的式子, 叫做。
2.两个实数的比较如果是正数, 那么, 如果等于零, 那么, 如果是负数, 那么。
反之亦对, 也可以表示为,, 。
3.不等式的基本性质性质1: 称为不等式的对称性。
性质2: 称为不等式的传递性。
性质3: 。
推论1: 称为不等式的移项法则。
推论2: （同向不等式可以相加）。
性质4: （不等式两边同乘非0数值）。
推论1: 。
推论2: 。
推论3: 。
4.均值不等式（1）对任意两个实数, 数叫做的。
数叫做的。
（2）如果, 那么, 当且仅当时, 式中等号成立。
均值定理用文字语言可表述为。
（3）在使用均值不等式时注意满足三个条件：一、二、三, 三个条件缺一不可。
5.重要不等式对于任意实数, 有, 则当且仅当时, 式中等号成立。
6.直线的相关知识（1）直线方程:点斜式: 已知直线过点, 斜率为, 则直线方程为；斜截式：已知直线的斜率为, 在轴上的截距为, 则直线方程为；两点式: 已知直线过点 （ ）则直线方程为 ；截距式：已知直线在 轴的截距为 , 在 轴的截距为 （ ）则直线方程为（2）已知直线的倾斜角为 , 则斜率 ； 已知直线过点 , 则斜率 。
（3）已知直线 , , 若 ∥ 则 ； 若 , 则 。
已知直线 , , 若 ∥ 则 ； 若 , 则 。
7、二次函数的相关知识已知二次函数2()f x ax bx c =++（0a ≠）（1）顶点坐标为 ；对称轴方程为 ；（2）函数 与 轴交点个数的判断方法: 当 时, 与 轴有两个交点；当时, 与 轴有一个交点；当 时, 与 轴没有交点。
（3）二次函数的单调性:当 时, 在 上为增函数；在 上为减函数。
当 时, 在 上为增函数；在 上为减函数。
（4）二次函数的奇偶性：当 时, 为偶函数；否则 为非奇非偶函数。
高中数学必修五-不等关系与不等式
不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<a<b D．c<b<a当堂练习单选题练习1.已知t=a+4b，s=a+b2+4，则t和s的大小关系是（）A．t>s B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<c<b D．c<a<b练习5.若a=（），b=（），e=log，则下列大小关系正确的是（）A．c<a<b B．c<b<aC．a<b<c D．a<c<b填空题练习1._____．不等式≤3的解集是__________练习2.于实数a、b、c，有下列命题①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。
高一必修5不等式知识点
高一必修5不等式知识点不等式是数学中的重要概念之一，它描述了数之间大小关系的不同情况。
在高中数学课程中，不等式的学习是必不可少的，而高一必修5则是学生们初次接触并系统学习不等式的阶段。
本文将为大家介绍高一必修5中的不等式知识点，包括基本概念、性质和解不等式的方法。
一、基本概念在学习不等式之前，我们先来了解一下一些基本概念。
首先是不等号的含义，大于号">"表示大于关系，小于号"<"表示小于关系，而大于等于号"≥"表示大于或等于关系，小于等于号"≤"表示小于或等于关系。
不等式由两个数之间的关系和一个不等号构成，如a>b、c≥d等。
我们可以将不等式理解为一个数轴上的区域，满足不等式的数所构成的集合。
二、性质不等式具有一些重要性质，对于学习和解决不等式问题非常有帮助。
1. 传递性：如果a>b，b>c，那么a>c。
这是因为不等式的比较关系具有传递性，如果一个数大于另一个数，而后者又大于另一个数，那么前者一定大于后者。
2. 加法性：如果a>b，那么a+c>b+c。
这是因为两边同时加上同一个数，不等式的关系仍然成立。
3. 减法性：如果a>b，那么a-c>b-c。
和加法性类似，两边同时减去同一个数，不等式的大小关系不变。
4. 乘法性：如果a>b，且c>0，那么ac>bc。
这是因为两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；而如果c<0，则不等号的方向会改变。
5. 除法性：如果a>b，且c>0，那么a/c>b/c。
和乘法性类似，两边同除以一个正数时，不等号的方向仍然不变；当c<0时，不等号的方向会改变。
三、解不等式的方法解不等式是数学中常见的问题，我们有一些常用的方法来求解不等式。
1. 图像法：将不等式对应的数轴画出来，并标出关键点，然后根据不等号的类型进行填色，最后得到不等式的解集。
高二数学必修5第三章不等式知识点总结
高二数学必修5第三章不等式知识点总结高中数学不等式知识点不仅是考查重点也是考查难点，很多考生都被高中数学不等式知识点困惑，下面是店铺给大家带来的高二数学必修5第三章第三章不等式知识点总结，希望对你有帮助。
高二数学不等式的定义：① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
高二数学不等式的性质：① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：”即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。
(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。
(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
高二数学不等式易错易混知识点：1、利用均值不等式求最值时，你是否注意到："一正;二定;三等"。
2、绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?3、解分式不等式应注意什么问题?用"根轴法"解整式(分式)不等式的注意事项是什么?4、解含参数不等式的通法是"定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键"，注意解完之后要写上："综上，原不等式的解集是……"。
5、在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示。
6、两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能相乘，即同向同正可乘;同时要注意"同号可倒"即a》b》0，a。
数学必修五第三章不等式知识点总结计划
数学必修五 第三章 不等式一、知识点总结：1、 比较实数大小的依照：①作差：a b 0 a b ； a b 0 a b ； a b 0 a b ；变形的方向是化成几个完整平方的形式或一些简单判断符号的因式积的形式，变形经常用因式分解、配方、通分、分子（或 分母）有理化等方法，注意完整平方、平方差、立方差、立方和公式的应用。
②作商：a 0,b 0时 ,a1a b ,a1a b , a1a b ； bbba a 1a b ,a1a ba 0,b 0时，1 a b ,bbb2、 不等式的性质性质详细名称 性质内容 注意1对称性a bb aab,bcac2传达性等号传可是来a b,b ca c 3 可加性 a ba cb c4可乘性a b, c 0 ac bc c 的符号ab, c0 acbc5 同向可加性 a b, cda cb d6 同向同正可乘性a b 0, c d 0acbd7 可乘方性 a ba nb n ( n N *)同正 8 可开方性 a b0 nanb( n N *, n2)同正 9倒数性质ab, ab 01 1 ab 0ab3、一元二次不等式的解法步骤：①将不等式变形，使一端为 0 且二次项的系数大于 0；②计算相应的鉴别式；③当0 时，求出相应的一元二次方程的根；④依据对应二次函数的图象，写出不等式的解集。
（大于 0 取两边，小于 0 取中间） .含参数的不等式如 ax 2 bx c0( a 0) 解题时需依据参数的取值范围挨次进行分类议论：①二次项系数的正负；②方程 ax 2 bx c 0( a0) 中与0的关系；③方程 ax 2bx c 0( a0) 两根的大小。
4、一元二次方程根的散布：一般借助二次函数的图象加以剖析，正确找到限制根的散布的等价条 件，经常用以下几个重点点去限制：（1）鉴别式；（ 2）对称轴；（ 3）根所在区间端点函数值的符号。
设 x 1 , x 2 是实系数一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 的两个实根，则 x 1 , x 2 的散布状况列表以下： （画出函数图象并在理解的基础上记忆）根的散布二次函数的图象 等价条件x 1 k x 2f ( k) 0x 1 x 2 k（ x 1, x 2 均小于 k 时 0 ）k x 1 x 2（ x 1, x 2 均大于 k 时 0 ）k 1 x 1 x 2 k 2（ x 1, x 2 (k 1, k 2 )时0 ）k 1 x 1 k 2 x 2 k 3f (k)b k2af (k)b k2af ( k 1 ) 0f ( k 2 ) 0bk 1k 22a 0f (k 1 ) 0f (k 2 ) 0 f (k 3 ) 0f (k 1) f (k 2 ) 0或x 1, x 2 (x 1 x 2 ) 中有且仅有f ( k 1 ) 0, k 1b k 1k2或一个在 (k 1, k 2 ) 内2a 2f (k 2 ) 0,k 1k 2 b k 222a5、一元高次不等式 f ( x) 0 常用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤以下：①将 f ( x) 最高次项的系数化为正数；②将 f (x) 分解为若干一次因式或二次不行分解因式的积；③将每一个根标在数轴上，从右上方向下挨次经过每一点画曲线（注意重根状况，偶重根穿而可是，奇重根既穿又过）；④依据曲线展现出的符号变化规律，写出不等式的解集。
高一必修五不等式的知识点
高一必修五不等式的知识点不等式是数学中常见的一种数学关系符号，用于表示两个数或两个算式之间的大小关系。
高中数学中，不等式是一个重要的知识点，其中必修五的学习内容涉及到不等式的基本概念、性质、解法等。
下面将介绍高一必修五不等式的主要知识点。
一、不等式的基本概念不等式是用不等号表示两个数或两个算式之间的大小关系。
不等式中的不等号可以是小于号（<）、大于号（>）、小于等于号（≤）或大于等于号（≥）。
二、不等式的性质1. 加法性性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等式的方向不变。
例如，若a > b，则 a + c > b + c。
2. 乘法性性质：对于不等式两边同时乘除一个正数，不等式的方向不变；对于不等式两边同时乘除一个负数，不等式的方向改变。
例如，若a > b（a > 0），则 a · c > b · c。
3. 反身性：任何数与自身进行大小比较时都满足等式关系。
例如，a = a。
4. 传递性：若 a > b，b > c，则 a > c。
例如，若a > b，b > c，则 a > c。
5. 两边加或减一个相同的数对不等式关系不会改变。
例如，若a > b，则 a + c > b + c。
三、不等式的解法1. 图解法：通过在数轴上绘制对应数值的数轴图形，来解读不等式的解集。
例如，对于不等式 x > 3，可以在数轴上绘制一个开口向右的箭头，并在箭头右侧标记出无限大的数集。
2. 几何法：利用几何图形，如包含在坐标系上的点、线段、平面等，来求解不等式的解集。
例如，对于不等式 2x + y > 5，可以在坐标系上绘制直线 2x + y = 5，然后根据不等式的要求确定直线上、下两侧的解集。
3. 符号法：通过变量和符号的运算来对不等式进行转化，从而求解不等式的解集。
例如，对于不等式 3x + 2 < 10，可以通过减去2再除以3的方式将不等式转化为 x < 2。
必修五--不等式的知识点归纳
知识点一：不等式关系与不等式一、不等式的主要性质：1.对称性：a>bob<a2.传递性：a>b,b>c=>a>c3.加法法则：a>b=>a+c>b+c; a>b,c>d=a+c>b+d4.乘法法则：a>b,c>O=>ac>he；a>h,c<0=>ac<hc；a>b>0,c>d>0=>ac>hd5.倒数法则：a>h,ab>0=>—<—6.乘方法则：a>b>0=>a n>b n（neN*⅛w>1）ab7.开方法则：a>b>bn爪>底（JIEN*且冷>1）二、含有绝对值的不等式1.绝对值的几何意义：IX1是指数轴上点X到原点的距离；|玉-々1是指数轴上不，W两点间的距离2、如果。
>0,则不等式：∖x∖>a<=>X> <-a ∖x∖<a<=>-a<x<aIx∣≥α<=>x≥a^x≤-a∣x∣≤«<=>-a≤x<a3.当c>0时，I依+〃|>co双+/?>c或Or+bv-c,∖ax+b∖<c<^>-c<ax+b<c;当CVO时，ItU:+b∣>cox∈R,∖ax+h∖<cx≡φ.4、解含有绝对值不等式的主要方法：①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解;②去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：∣x∣<4（α>0）o-α<x<4,|/|>4（々>0）0]>。
或不<一。
.（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方.三、其他常见不等式形式总结：①分式不等式的解法：先移项通分标准化，贝IJ/(x)>o°"χm>o∙/(χ)≥OOP(X)g(χR0②指数不等式：转化为代数不等式"'3>d3(α>∣)of(x)>g(x);〃⑶>αS3(0<"<1)=f(x)<g(x)/⑺>b(α>O力>0)=/(x)∙1g0>1g∕>③对数不等式：转化为代数不等式］og,j(χ)>iog,g(χ)(α>i)o.g(χ)>O;IOgaf(X)>1og“g(χ)(O<α<1)=,g(x)>O/(x)>g(x) /(x)<g(x)四、三角不等式: ∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣五、不等式证明的几种常用方法比较法(做差法、做商法)、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。
人教版高三数学必修5知识点：《不等式》知识点总结
人教版高三数学必修5知识点：《不等式》知识点总结
数学在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛，小编准备了人教版高三数学必修5知识点，具体请看以下内容。
(1)不等关系
感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景。
(2)一元二次不等式
①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。
②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。
(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题
①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。
②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组(参见例2)。
③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决(参见例
3)。
(4)基本不等式：。
①探索并了解基本不等式的证明过程。
②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(参见例4)。
高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好把握高中，小编为大家整理的人教版高三数学必修5知识点，希望大家喜欢。
202X年高中数学人教版必修五不等式知识点最完全精炼总结
千里之行，始于足下。
202X年高中数学人教版必修五不等式学问点最完全精炼总结高中数学人教版必修五中的不等式部分是数学中格外重要的一个章节，把握好不等式的学问对于解决很多其他数学问题都是至关重要的。
下面是对202X年高中数学人教版必修五不等式学问点的最完全精炼总结，总计。
一、基本概念与性质1. 不等式的基本性质：加减等于一个不等式，两边乘（除）同一个正（负）数不等号方向不变，两边乘（除）同一个非负数不等号方向可能转变。
2. 确定值不等式的性质：|a| < b 等价于 -b < a < b；|a| > b 等价于a < -b 或 a > b。
3. 等式的确定值不等式：若 |a| = b，则 a = b 或 a = -b。
二、一次不等式1. 一次不等式的解集表示法：解集用数学符号表示为 { x | x ∈ R, x >a } 或 (a, +∞)。
2. 一次不等式的求解方法：移项、换边、乘除法求解。
3. 不等式的区间解法：将解集表示为一个或多个区间的并集。
4. 求不等式的整数解：通过查找使不等式成立的整数解来确定整数解集。
第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
5. 不等关系的性质：不等式两边同时加上（减去）一个相同的数不等号方向不变，两边同时乘（除）一个正数不等号方向不变，两边同时乘（除）一个负数不等号方向转变。
三、二次不等式1. 二次不等式的解集表示法：解集用数学符号表示为 { x | x ∈ R, x > a, x < b } 或 (a, b)。
2. 二次函数与二次不等式的关系：二次函数的图像与二次不等式的解集有亲密关系。
3. 二次不等式的判别法：依据二次不等式的判别式Δ = b^2 - 4ac 的正负确定二次不等式的解集。
4. 二次不等式的求解方法：配方法、因式分解法、二次函数法等。
5. 不等式组的解集：将多个不等式组合在一起，求解出满足全部不等式的解。
必修五数学基本不等式知识点总结
必修五数学基本不等式知识点总结必修五数学基本不等式知识点总结如下：1. 一次性解决n个一元一次方程组将所有的方程相加得到等式，将所有的不等式相加得到不等式。
2. 均值不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，则有：（1）算术平均值和几何平均值：(a1+a2+…+an)/n >= (a1×a2×…×an)^(1/n)（2）加权平均值和几何平均值：(a1*w1+a2*w2+…+an*wn)/(w1+w2+…+wn) >= (a1^w1×a2^w2×…×an^wn)^(1/(w1+w2+…+wn))其中，w1、w2、…、wn是正实数，满足w1+w2+…+wn=1。
3. 广义均值不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，m和p同为实数且m < p，则有：(a1^m+a2^m+…+an^m)/n >= (a1^p+a2^p+…+an^p)/n当且仅当a1=a2=…=an时等号成立。
4. 柯西不等式设有n个实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，则有：(a1*b1+a2*b2+…+an*bn)^2 <= (a1^2+a2^2+…+an^2)*(b1^2+b2^2+…+bn^2)当且仅当ai/k1=bi/k2时，等号成立。
其中，k1和k2是实数。
5. 阿贝尔不等式设有n个实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，满足a1 >= a2 >= … >= an和b1 <= b2 <= … <= bn，则有：a1*b1+a2*b2+…+an*bn >= a1*bk1+a2*bk2+…+an*bkn，其中，k1、k2、…、kn是排列1、2、…、n的一个排序方式。
6. 连续不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，如果a1 <= a2 <= … <= an，则有：（1）(a1+a2+…+an)^2 <= n*(a1^2+a2^2+…+an^2)（2）(a1+a2+…+an)^2 >= n*a1*a2*…*an其中，等号成立当且仅当a1=a2=…=an。
必修五不等式知识点
必修五不等式知识点引言不等式是数学中一个非常重要的概念，它描述了数值之间的关系。
在高中数学中，必修五的学习内容中涉及了不等式的基本知识点。
本文将介绍必修五不等式的几个重要知识点，帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
一、不等式的基本概念不等式是指两个或多个数之间的大小关系。
在数学中，我们用不等号（>、<、≥、≤）来表示不等式。
其中，大于号（>）表示“大于”，小于号（<）表示“小于”，大于等于号（≥）表示“大于等于”，小于等于号（≤）表示“小于等于”。
例如，对于两个实数a和b，我们可以写出如下的不等式：a >b (a大于b)a <b (a小于b)a ≥b (a大于等于b)a ≤b (a小于等于b)二、不等式的性质1.传递性如果a > b，b > c，那么可以得出a > c的结论。
如果a < b，b< c，那么可以得出a < c的结论。
这就是不等式的传递性。
例如，如果4 > 2，2 > 0，那么可以得出4 > 0的结论。
2.加法性如果a > b，那么a + c > b + c。
如果a < b，那么a + c < b + c。
这就是不等式的加法性。
例如，如果3 > 1，那么3 + 2 > 1 + 2。
3.乘法性如果a > b，且c > 0，那么ac > bc。
如果a > b，且c < 0，那么ac < bc。
这就是不等式的乘法性。
例如，如果2 > 1，且3 > 0，那么2 × 3 > 1 × 3。
三、一元二次不等式。
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△>0
Байду номын сангаас
ax
b(a
x 0)
x
b
a b
(a (a
0) 0)
a
△=0
△<0
y=ax2+bx+c
y
的图象
(a>0)
x1 O
x2x
y
O x1
x
y x
O
ax2+bx+c=0 有两相异实根 (a>0)的根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=
b 2a
ax2+bx+c>0 {x|x<x1,或 x>x2} {x|x≠ b }
一.不等式知识要点
1.两实数大小的比较
a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0
2.不等式的性质：8条性质.
3.基 本不 等式 定理
且且且且 且且且且 且且且且 且且且且
a 2 b 2 2ab
a2
b2
1 (a b)2 2
值。
z ax by z x2 y2
z y x
6
练习：1.求满足 | x | + | y | ≤4 的整点（横、纵坐标为整数）的
个数。
2.且且且且且且且f
(x)
2
log2
x
1 log2
x
(0
x
1)
34.f(x)=x+ 1 且x4且且且且且 x1
4.求函数 f ( x) ( x 1)2 4 ( x 1) 的最小值.
(5)一元二次方程根的分布问题： 方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称 轴、
数学必修五不等式总结
数学必修五不等式总结在数学学科中，不等式是一个十分重要的概念。
它是用来描述数值关系的一种数学符号组合。
在必修五这门课程中，学生将深入学习不等式的性质和应用。
本文将对数学必修五中的不等式进行总结和探讨。
一、基本概念不等式是数学中用来描述大小关系的一种方式。
与等式不同的是，不等式中的符号可以是大于号（>），小于号（<），大于等于号（≥），小于等于号（≤）等。
例如：2 + 3 > 4，表示“2 + 3的和大于4”。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个变量的一次项的不等式。
在必修五中，学生将学习如何解一元一次不等式，并掌握图像法解不等式的方法。
例如：解不等式2x - 3 > 5，先将不等式转化为等式2x - 3 = 5，然后求出这个等式的解集{x|x > 4}，最后画出这个不等式的解集对应的数轴图，可得解集{x|x > 4}。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个变量的二次项的不等式。
解一元二次不等式的方法比较复杂，需要通过一些数学技巧和定理来进行求解。
例如：解不等式x² - 3x + 2 ≥ 0，可以先通过求根公式求得方程x² - 3x + 2 = 0的解集{x|1 ≤ x ≤ 2}，然后根据二次函数的凹凸性可以得出方程的解集{x|x ≥ 2} ∪ {x|1 ≤ x ≤ 2}。
四、绝对值不等式绝对值不等式是指绝对值中含有不等号的不等式。
这种不等式的解法有很多种，可以根据具体情况选择最简单的解法。
例如：解不等式|2x - 1| > 3，可以将其拆分为两个不等式2x - 1 > 3和2x - 1 < -3，然后分别求解这两个不等式得到解集{x|x > 2} ∪ {x|x < -1}。
五、分式不等式分式不等式是指分式中含有不等号的不等式。
解分式不等式可以通过一些常用的方法，如分式大小关系等等。
例如：解不等式(3x + 1)/(x - 2) ≤ 2，可以通过分式大小关系将不等式转化为等式(3x + 1)/(x - 2) = 2，然后解方程得到一个解集{x|x ≤ 2} ∪ {x|x > 3}，最后根据不等式的性质得到解集{x|x ≤ 2}。
必修五数学基本不等式知识点总结
必修五数学基本不等式知识点总结必修五数学基本不等式知识点总结1棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥。
棱锥的性质：(1)侧棱交于一点。
侧面都是三角形(2)平行于底面的截面与底面是相似的多边形。
且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质：(1)各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。
(3)多个特殊的直角三角形a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。
b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。
且顶点在底面的.射影为底面三角形的垂心。
必修五数学基本不等式知识点总结21.用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
2.性质：①如果x>y，那么yy;(对称性)②如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z;(加法原则，或叫同向不等式可加性)④如果x>y，z>0，那么xz>yz;如果x>y，zy，m>n，那么x+m>y+n;(充分不必要条件)⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;⑦如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)，x的n 次幂。
或者说，不等式的基本性质有：①对称性;②传递性;③加法单调性，即同向不等式可加性;④乘法单调性;⑤同向正值不等式可乘性;⑥正值不等式可乘方;⑦正值不等式可开方;⑧倒数法则。
3.分类：①一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
②一元一次不等式组：a.关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
必修五不等式知识点
必修五不等式知识点在高中数学中，不等式是一个重要的数学概念，尤其是在必修五的数学课程中更是如此。
不等式是用来比较两个数的关系的数学表达式。
在必修五中，我们将学习不等式的基本概念和性质，以及如何解决一元一次不等式和一元二次不等式等问题。
一、不等式的基本概念不等式是数学中用于表示两个数之间的大小关系的数学符号。
常见的不等式符号包括小于（<）、大于（>）、小于等于（≤）和大于等于（≥）等。
例如，对于任意的实数a和b，我们可以表示如下的不等式：① a < b: 表示a小于b，即a比b更小。
② a > b: 表示a大于b，即a比b更大。
③ a ≤ b: 表示a小于等于b，即a不大于b。
④ a ≥ b: 表示a大于等于b，即a不小于b。
我们可以用不等式来描述很多实际问题，如数轴上的有理数大小关系、函数图像的区间等等。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一次的不等式。
例如，下面是一些一元一次不等式的例子：① 2x - 3 < 7: 这个不等式表示2x减去3小于7。
② 3x + 5 > -2: 这个不等式表示3x加5大于-2。
③ 4x ≤ 6: 这个不等式表示4x小于等于6。
要解决一元一次不等式，我们可以使用类似方程的方法，通过变量的加减乘除等运算来求解未知数的范围。
对于一元一次不等式，解决方法如下：步骤一：将不等式转化为等价的不等式，即保持不等式的不等性质不变，同时对两边进行加减乘除等运算。
步骤二：对于含有未知数的项，将它们移到一个侧边，将常数项移到另一个侧边。
步骤三：确定未知数的范围，即使得不等式成立的所有解。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的不等式。
例如，下面是一些一元二次不等式的例子：① x^2 - 4x + 3 < 0: 这个不等式表示二次函数y = x^2 - 4x + 3的函数值小于0。
必修五不等式知识点总结
必修五不等式知识点总结不等式是数学中重要的概念之一，主要用来描述数之间的大小关系。
在必修五的数学学习中，我们学习了不少与不等式相关的知识点。
下面就我所掌握的知识，对必修五不等式的相关内容进行总结。
1.数轴与不等式：在学习不等式之前，我们首先要了解数轴的概念。
数轴是一条直线，用来表示实数的位置。
有了数轴，我们可以很直观地表示不等关系。
对于不等式x<a，我们可以把数轴上小于a的所有数标出来。
2.不等式的基本性质：不等式具有一些基本的性质，可以通过这些性质来进行不等式的推导和运算。
这些性质包括：-两边相等的不等式，若左边大于右边，则右边小于左边。
-不等式两边同时加上（或减去）相同的数，不等号方向不变。
-不等式两边同时乘（或除以）相同的正数，不等号方向不变。
-不等式两边同时乘（或除以）相同的负数，不等号方向改变。
3.一元二次不等式：一元二次不等式是指形如 ax^2 + bx + c > 0（或 < 0）的不等式。
其中 a、b、c 是给定的实数，a ≠ 0。
解一元二次不等式的关键是找到不等式左边的二次函数的图像和零点，并结合一次项 b 的正负情况来确定不等式的解集。
4.绝对值不等式：绝对值不等式是指形如x-a，>b（或<b）的不等式。
解绝对值不等式的关键是根据绝对值的定义，对不等式进行拆分，从而得到不等式的解集。
5.一次不等式与二次不等式的综合：在实际问题中，经常会同时用到一次不等式和二次不等式。
这时，我们需要综合运用前面所学的不等式知识，用代数方法来解决问题。
6.不等式的应用：不等式在数学以及实际生活中有着广泛的应用。
在数学中，不等式常用于解析几何、实数范围的确定等方面；在实际生活中，不等式用于描述其中一种数量的上限和下限，如商品折扣、房租优惠等。
7.不等式证明：不等式证明是数学证明的重要内容之一、通过运用不等式的定义和性质，我们可以对不等式进行严谨的证明，从而得到数学上的结论。
必修五不等式知识点
不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1) 对称性： a b b a(2) 传达性： a b, b c a c(3) 加法法例： a ba cb c ； ab,c da cb d ( 同向可加 ) (4) 乘法法例： ab, c 0acbc ； ab, cacbca b0, c d 0 ac bd ( 同向同正可乘 )(5) 倒数法例：(6) 乘方法例：1 1 ab, ab 0aba b0 a n b n (n N * 且 n 1)(7) 开方法例： abnanb (n N * 且 n 1)2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式 ax 2 bx c 0或 ax 2 bx c 0 a 0 的解集：设相应的一元二次方程ax 2 bx c 0 a0 的两根为 x 1、 x 2 且 x 1x 2 ，b 2 4ac ，则不等式的解的各样状况以下表：0 0二次函数y ax 2y ax 2bx cy ax 2bx cy ax 2bx cbx c（ a 0 ）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax 2 bx c 0 x 2 )x 1 x 2b a 0 的根x 1 , x 2 ( x 1无实根2aax 2bx c 0x xb(a 0)的解集 x x x 1或x x 2R2aax 2bx c 0x 2(a 0)的解集 x x 1 x2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（ 1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（ 2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方挨次经过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）依据曲线展现的符号变化规律，写出不等式的解集。
23如： x 1 x 1 x 203、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右侧为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
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不等式总结
一、不等式的主要性质：
(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>； d b c a d c b a +>+⇒>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,
bd ac d c b a >⇒>>>>0,0
(5)倒数法则：b
a a
b b a 110,<⇒
>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且
二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法
有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间
三、均值不等式
1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么
).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b
a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等
3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即
2112a b a b
+≥+（当
a =
b 时取等）
四、含有绝对值的不等式
1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离
2、则不等式：如果,0>a a x a x a
x -<><=>>或|| a x a x a
x -≤≥<=>≥或||
a x a a
x <<-<=><||
a x a a
x ≤≤-<=>≤||
3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，
||ax b c c ax b c +<⇔-<+<；
当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈． 4、解含有绝对值不等式的主要方法：
①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；
②去掉绝对值的主要方法有：
（1）公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-． （2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．
五、其他常见不等式形式总结：
①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
()()0()
()
0()()0;0()0()
()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩
②无理不等式：转化为有理不等式求解
()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫
⇒⎪⎬>⇔≥⎨⎭⎪>⎩
定义域
⎩⎨⎧<≥⎪⎩
⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或
⎪⎩⎪
⎨⎧<≥≥⇔<2
)]
([)(0)(0
)()()(x g x f x g x f x g x f
③指数不等式：转化为代数不等式
()()()()()
(1)()();(01)()()
(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a
b a b f x a b
>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>
④对数不等式：转化为代数不等式
()0
()0log ()log ()(1)()0;
log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪
⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩
⎩
六、三角不等式： |b ||a ||b a ||b |-|a |+≤+≤
七、不等式证明的几种常用方法
比较法（做差法、做商法）、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。
八、数轴穿跟法: 奇穿，偶不穿
例题：不等式03
)4)(23(2
2≤+-+-x x x x 的解为（ ）
A ．－1<x ≤1或x ≥2
B ．x <－3或1≤x ≤2
C ．x =4或－3<x ≤1或x ≥2
D ．x =4或x <－3或1≤x ≤2
九、零点分段法
例题：求解不等式：|21||2|4x x ++->．
十、练习试题
1．下列各式中，最小值等于2的是（ ）
A ．x y y x +
B ．4
5
22++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+
2．若,x y R ∈且满足32x y +=，则3271x y ++的最小值是（ ）
A ．．1+．6 D ．7 3．设0,0,1x y x y A x y +>>=
++, 11x y
B x y
=+
++，则,A B 的大小关系是（ ） A ．A B = B ．A B < C ．A B ≤ D ．A B >
4．函数46y x x =-+-的最小值为（ ） A ．2 B ．4 D ．6 5．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）
A ．[2,1)[4,7)-
B ．(2,1](4,7]-
C ．(2,1][4,7)--
D ．(2,1][4,7)- 8．已知,0x y >，且221x y +=，则x y +的最大值等于_____________。
9．设10101011
111
1
22122
21
A =
++++
++-，则A 与1的大小关系是_____________。
10．（12年浙江省文数第九题）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是
A.
24
5
B ．
285
C ．5
D ．6。