习题课3

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辽宁工业大学高数习题课(3)

1 cos x ~
ln sin x 【例2】计算 lim 2 x ( 2 x )
2
分析当 x 0 分子分母均趋近于0, 为型, 用洛必达法则计算. 解：
ln sin x lim 2 x ( 2 x )
2
0 0
（ 0 型）
0
cos x lim x sin x [ 4( 2 x )]
1
【例4】计算 lim x 2 e x
x 0
2
分析当 x 0 时, 函数式为 0 型,
1
0 将其化为 0
或

型.
解：
lim x 2 e x ( 0 型)
2
x 0
1
ex l im x0 1 x2
1
2
(
型)
e lim
x 0
x2
2 3 1 x x2 lime . 2 x 0 3 x
拉格朗日型余项佩亚诺型余项
Rn ( x) 0[( x x0 )n ]
2．麦克劳林公式
f (0) f ( n ) ( 0) 2 f ( x ) f (0) f (0)( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
所以
f (1) 8, f (1) 5, f ( 1) 0,
f ( 1) 6.
f ( ) ( x 1) 2 一阶泰勒公式为 f ( x ) f ( 1) f ( 1)( x 1) 2!
8 5( x 1) 3( 1)( x 1)
0 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!

高分子习题课(1-3)

f kd＝2.0×10-9
第三章自由基聚合
R p kp( fk d kt
Kp Kt
ν 2(fk kp
d
)
1/2
[I]
1/2
[M]
1 2
0 .0 3 3 5 4 1
[M]
1/2
kt)
[I]
1/2
V=3750
第三章自由基聚合
设苯的浓度为[S]，在1L苯乙烯－苯的理想溶液中，有：V苯＋V苯乙烯＝1000（mL）
第二章缩聚和逐步聚合

反应程度（参与反应的基团数占起始基团数的分数）
P = N 0－ N N0 =1 － N N0
N0 起始二元酸和二元醇的分子总数 N

为时间t 时的体系中的聚酯分子数
聚合度
Xn =
结构单元数目大分子数
＝ Xn = N 1 P －
N0
1
第二章缩聚和逐步聚合

不可逆线形缩聚动力学
M1010＝374 M0＝338/2=169
n
第二章缩聚和逐步聚合
假设对癸二胺的反应程度P＝1，
在1g1010盐中：
胺基摩尔数：游离羧基摩尔数为：羧基摩尔数：
等于KOH的摩尔数
第二章缩聚和逐步聚合
酸值
第三章自由基聚合

引发剂分解动力学
Rd d[I ] dt kd [I ]
例4.尼龙1010是根据1010盐中过量的癸二酸控制分子量的。如果要求合成尼龙1010的分子量为20000，问尼龙1010盐的酸值（以mg KOH/g 1010盐计算）应是多少？
1010盐尼龙1010 NH3+(CH2)10NH3OOC(CH2)8COOC O (C H 2 ) 8 C O N H (C H 2 ) 10 N H

随机过程及应用习题课三

随机过程及应用习题课三11. 设()cos ,X t A B t t =+-∞<<+∞，其中A 和B 为相互独立均服从(0,1)N 的随机变量.（1）证明{(),}X t t -∞<<+∞为正态过程；（2）求其一维、二维概率密度和一维、二维特征函数.2. 设{(),(,)}X t t ∈-∞+∞是均值函数为0，自相关函数()(,)/2X R s t s t s t =+-- 的正态过程，证明1()()Y t X t =，0t >，2()(),0Y t X t t =-≥是相互独立的正态过程。

3. 设0{()}W t +∞是参数为2σ的维纳过程，试证明1()0()0tW t W t tt ?>?'=??=?是参数为2σ的维纳过程。

4. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，证明12()()0t W t c W t c=?≥是参数为2σ的维纳过程。

5. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，证明2()()W t W t =-是参数为2σ的维纳过程。

6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，证明3,0()()()0t W t W t a W a a ≥=+->是参数为2σ的维纳过程7. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，令231()0()00t W t W t tt ?>?'=??=? （1）(){},0W t t '≥是否为正态过程；（2）(){},0W t t '≥是否为维纳过程。

8. 设{(),0}X t t ≥是具有零均值和协方差(,)C s t 的正态过程，则对于任意的非负数,s t 和τ，证明：（1）2[()](,)()E X t C t t D t ==；（2）222[()]2(,)2()D X t C t t D t ==；2（3）222cov((),())2(,)X s X t C s t =；（4）[()()](,)E X t X t C t t ττ+=+；（5）2[()()](,)(,)(,)D X t X t C t t C t t C t t ττττ+=++++；（6）cov[()(),()()](,)(,)(,)(,)X s X s X t X t C s t C s t C s t C s t ττττττ++=+++++ 9. 设{(),0}W t t ≥是参数24σ=的维纳过程，令(3)(1),(4)(2).X W W Y W W =-=-求：()D X Y +和cov(,).X Y10. 设0{()}W t +∞是为参数为2σ的Wiener 过程，求下列过程的均值函数和自相关函数。

第六章习题课线性代数 (3)

性指数, 并且秩相同.应选（B）.
例 8 用正交变换化二次型 f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 3x32 4x1x2 4x2 x3 为标准形, 并求
出该正交变换.
1
解
二次型的对应矩阵为
A

2
2 2
0 2

.则由
A
的特征方程
0 2 3
解得 a 3.于是
5 A 1
1 5
3 3 .
3 3 3
5 1 3 I A 1 5 3 ( 4)( 9) ,
3 3 3
所以 A 的特征值为 1 0, 2 4, 3 9 .
（2）由（1）知存在正交矩阵 P , 使得
注用正交变换 X PY 化二次型为标准形, 这类题若要求写出正交变换 X UY , 计
5
算量大.若只要求知道结果, 即仅需知道标准形, 则计算量不大.在解答中要注意区分和判断.
例 12 已知二次曲面方程 x2 ay2 z2 2bxy 2xz 2yz 4 可以经过正交变换
绕 y 轴旋转而成的空间曲面的性质, 可以得到该曲面可
y2
由

4
z2
1绕 y 轴旋转而成,
也可由
x2

y2 4
1绕 y 轴旋转而成.
x 0
z 0
例6
空间曲线
x2 y2 4
所属曲线类型是
.
z c
解该曲线可由平行与 xoy 平面的一平面 z c 截双曲柱面 x2 y2 4 所得, 为双曲线.
解
二次型
f

高等数学习题课(3)中值定理与导数的应用

高等数学习题课
（3）
中值定理与导数的应用
第二课中值定理与导数应用
I. 目的要求 ⒈ 理解罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西定理；会用中值定理解决诸如方程根的存在性、不等式证明等问题； ⒉ 了解泰勒定理的条件、结论及余项，掌握函数 ex , sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)α的麦克劳林公式； ⒊ 熟练掌握用洛必达法则求不定型极限的方法； ⒋ 熟练掌握求函数单调区间、极值、凹凸区间、拐点的方法，并会用其证明一些相关问题。
证：由条件易知F (x)在 [1,2]上满足罗尔定理条件，则 (1,2)，使 F(1) 0 又 F(x) 2(x 1) f (x) (x 1)2 f (x) 在 [1,1]上连续，在(1,1)内可导，且 F(1) F(1) 0 由罗尔定理， (1, 1) (1, 2) 使 F() 0 #
(a 0)有极值，试证：曲线y f (x) 在点(a, f (a))处的
切线经过坐标原点。证：曲线 y f (x) 在 (a, f (a)) 处的切线方程为
y f (a) f (a)(x a)
即 y f (a)x [ f (a) a f (a)]
由条件 (x) 在 x a 点有极值，且易知(x)在 x a 点可导
x
2
分析：只需证明 sin x x 0 3 cos x
证：令
f
(x)
sin x 3 cos x
x
sin
1
x cos 3
x
x
，显见
f
(0)
0；
f
(x)
cos
2 3
x
1 sin
2
x
4
cos 3
x

电路分析第3、4章习题课

图5
6. 图6 所示线性网络N只含电阻，若IS1=8A， IS2=12A，Ux为80V，若IS1=8A，IS2=4A，Ux为0.求： IS1=IS2=10A时，Ux是多少？
图6
7. 用戴维南定理求图7 电路中流过 20 kΩ电阻的电流及 a 点电压 Ua.
图7
8. 图8（a）所示电路，输入电压为20V，U2=12.5V，若将网络N短路，如图(b)所示，短路电流I为10mA，试求网络N在AB端的戴维南等效电路
+
2U1
- 2V
(a)
-
(b )
图11
12. 如图12所示，RL为何值时能获得最大功率，并求最大功率。 10 + a ＋ Uoc
2A
UR 20
UR 20 – + － 20V – b
图12
练习
1. 列出图1-1所示电路的网孔方程、节点方程。
+ uS 6 -
R6 2
uS2 +
1 R1
uS1 +
电路分析习题课（3—4章）
1. 电路如图1 所示用网孔分析法求 I A 并求受控源提供的功率 PK .
图1
2. 电路如图所示，用网孔分析法求4Ω电阻的功率。
图2
3. 试用结点分析法求解图3中的 U1及受控源的功率。
图3
4. 试列出为求解图4 所示电路中 Uo所需的结点方程。
图4
5. 电路如图5 所示，用叠加定理求Ix
图8
9. 求图9 所示电路的戴维南等效电路。
图9
10. 用戴维南定理求图10所示电路中2A电流源上的电压U 。
15Ω 5Ω I
15Ω
5I
+

3章习题课

p − p0 u 2 − u 0 ∂u ∫s0 ∂t ds + g ( z − z 0 ) + ρ + 2 = 0
s1 2
z − z 0 = 2 x, p = p 0 , u = u 0
设杯中速度为V，管中速度为u,
V d ⇒ V = u ( )2 , 4 4 D ∂V ∂u (h − x + h + x) + l + 2 gx = 0 ∂t ∂t =u
p + ρ ′g ∆h = p0 + ρ g ∆h, 则 p0 − p = ( ρ ′ − ρ）g ∆h, 2 ( ρ ′ − ρ ) g ∆h = (
∴u =
ρ
ρ′ − 1)2 g ∆h ρ
ρ ′ / ρ = 13600 / 800, ∆h = 60mm = 0.06m,
∴ u = 4.3391m / s
2 p1 + ρ (v1
2 − v2 ) / 2
= 17.6×103 +1000 (1.422 − 3.182 ) / 2 ×
= 17.2 ×10 3
(Pa)
3.所取控制体受力分析进、出口控制面上得总压力：
P2 = p 2 A2 = 17.2 × 10 3 ×
P = p1 A1 = 17.6×10 × ×0.32 = 12.43 1 4 π
2 根据射出水流轨迹： x = Vt 1 x 1 2 ⇒ h − y = g h − y = gt 2 V 2
整理得：解得：
4 y (h − y ) = x 2 ,即 y (4 − y ) = 1
y = 2± 3
3-18解：
u = u m (1 −
r 1 r n r ) ⇒ Q = ∫ u 2πrdr = um 2πR 2 ∫ (1 − η ) nηdη （令：η = ） 0 0 R R

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习题课（三）
一、选择题
1．O 是△ABC 内一点，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →
|，则O 是△ABC 的( ) A ．重心 B ．内心 C ．外心
D ．垂心
解析：由于|OA →|＝|OB →|＝|OC →
|，即OA ＝OB ＝OC ，所以O 点到△ABC 各顶点距离相等，所以O 点是△ABC 的外心．
答案：C
2．设e 1，e 2是不共线的两个向量，下列四组向量： ①a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ②a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2； ③a ＝2e 1－13e 2，b ＝e 1－1
6e 2；
④a ＝2e 1，b ＝－3e 1.
其中a 与b 共线的组数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析： ①中b ＝－2a ；③中a ＝2b ；④中b ＝－3
2a ；②中a 与b 不存在实数λ，使a ＝λb ，
a 与
b 不共线．
答案：C
3．已知点C 在线段AB 上，且AC →＝35AB →，则AC →
等于( )
A.23
BC → B.32BC → C ．－23
BC →
D ．－32
BC →
解析：AC →＝35AB →⇒AB →＝53AC →
.
∴AB →＝53AC →＝AC →－BC →
，
∴AC →
＝－32BC →.
答案：D
4．平面上有三点A 、B 、C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →
，若m 、n 的长度恰好相等，
则有( )
A ．A 、
B 、
C 三点必在同一直线上 B ．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠B ＝90°
D ．△ABC 必为等腰直角三角形
解析：∵|m |＝|n |，AB →＋BC →＝AB →－CB →，AB →－BC →＝AB →＋CB →，
∴|AB →－CB →|＝|AB →＋CB →
|，如图所示．即▱ABCD 中，对角线相等，
∴▱ABCD 是矩形，且∠B ＝90°，选C. 答案：C 二、填空题
5．已知|AB →|＝6，|CD →|＝9，则|AB →－CD →
|的取值范围是______．解析：∵||AB →|－|CD →||≤|AB →－CD →|≤|AB →
|
＋|CD →|，且|CD →|＝9，|AB →|＝6，∴3≤|AB →－CD →
|≤15. 当CD →与AB →同向时，|AB →－CD →
|＝3；当CD →与AB →反向时，|AB →－CD →
|＝15. ∴|AB →－CD →
|的取值范围为[3,15]．答案：[3,15]
6．已知e 1，e 2不共线，而a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5
2k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个共线向量，则实数k ＝______.
解析：由于a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k 2e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个共线向量，所以k
2
2＝1－5
2k 3
，所以3k 2＋5k －2＝0.解得k ＝－2或1
3
.
答案：－2或1
3
7．设点O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－3 OB →
，则△AOB 与△AOC 的面积之比为______．
解析：如图所示，以OA →，OC →
为邻边作平行四边形OAEC ，则OE 与AC 交于AC 的中点D ，
OA →＋OC →＝OE →＝2 OD →，
∴2 OD →＝－3 OB →
，∴|OB →
||OD →|＝23，显然S △AOB S △AOD ＝23，易知S △AOD ＝12S △AOC ，∴S △AOB S △AOC ＝13
.
答案：1∶3 三、解答题
8．设平面内有四边形ABCD 和O ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →
＝d ，若a ＋c ＝b ＋d ，试判断四边形ABCD 的形状．
解：∵a ＋c ＝b ＋d ，即OA →＋OC →＝OB →＋OD →. ∴OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →. ∴BA 綊CD .
故四边形ABCD 是平行四边形．
9．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →
，其中λ，μ∈R ，求λ＋μ的值．
解：设AB →＝a ，BC →＝b ，则AF →＝a ＋12b ，AE →＝b ＋12a ，AC →＝a ＋b ，所以AC →＝λAE →＋μAF →
＝
λ⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＋μ⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝⎝⎛⎭⎫λ＋12μb ＋⎝⎛⎭⎫1
2λ＋μa ＝a ＋b .又a ，b 不共线，所以⎩⎨⎧
λ＋1
2
μ＝1，12λ＋μ＝1，
解
得λ＝μ＝23，所以λ＋μ＝43
.
10．如图所示，在▱OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E ，用向量方法证明BE ＝
14BA .
证明：设OA →＝a ，OB →＝b ，则BD →＝13a ，OD →＝b ＋13a ，BA →
＝a －b .
在△BOE 中，根据向量加法的三角形法则，有OE →＝OB →＋BE →
.
∵BE →，BA →为共线向量，OE →，OD →为共线向量，设BE →＝λBA →，OE →＝kOD →， ∴OE →＝OB →＋λBA →
＝b ＋λ(a －b ) ＝λa ＋(1－λ)b ， OE →＝kOD →
＝k ⎝⎛⎭⎫b ＋13a ， ∴λa ＋(1－λ)b ＝k b ＋k
3a ，
∴⎝⎛⎭
⎫λ－k
3a ＝(k －1＋λ)b . ∵a 与b 为不共线的非零向量， ∴λ－k
3＝0，且k －1＋λ＝0.
解得λ＝1
4.
∴BE →＝14BA →，
∴BE ＝1
4
BA .。