初中三年级一轮复习 圆的概念,有关圆的位置关系,圆的运算
圆的知识点总结初中
圆的知识点总结初中1. 圆的定义和相关概念圆是由一个平面上到一点的距离等于定长的点的全体组成，这个定长叫做圆的半径，点到圆心的距离就是半径。
圆心是圆上所有点到它的距离相等的点，圆周是圆上的所有点组成的闭合曲线。
2. 圆的性质（1）圆的半径相等（2）圆的直径等于两倍的半径（3）圆周上任意两点和圆心构成的三角形，这个三角形的三条边的关系3. 圆的周长和面积圆的周长是指圆周的长度，而圆的面积是指圆所围成的部分的面积。
圆的周长和面积的计算公式为：（1）周长：C=2πr（2）面积：S=πr^24. 圆的相关定理（1）圆的同弧等角定理（2）正接线和半径的垂直定理（3）弦心定理（4）切割线定理（5）半径定理（6）圆的切线定理5. 圆环圆环是指由两个同心圆所围成的部分，它的周长和面积的计算方法与圆的计算方法类似，只不过需要分别计算内圆和外圆的周长和面积，然后进行相减。
6. 圆周角和扇形（1）圆周角的概念和计算方法（2）扇形的概念和计算方法7. 圆柱和圆锥圆柱是以圆为底面的立体图形，而圆锥是以圆为底面的锥体。
它们的体积和表面积的计算方法与圆的周长和面积的计算方法有一定的联系，需要根据不同题目的要求来进行计算。
8. 圆心角和弧度制圆心角是指以圆心为顶点的角，它的度数和弧度之间有一定的转换关系。
这一部分的知识对于高中阶段的数学学习有一定的过渡性作用，需要同学们在初中阶段就建立起一定的概念和基础。
除了上述的几个主要知识点之外，初中阶段的圆的学习还涉及到了相关定理的证明、实际问题的应用、综合题型的练习等等内容。
同学们在学习圆的知识时，需要注重理论和实践的结合，通过课堂学习和课外练习相结合来巩固所学的知识，提高数学的运用能力。
总的来说，圆是初中数学中的一个重要内容，它不仅是数学知识的一部分，也是我们生活中实践能力的一部分。
通过学习圆的知识，同学们可以培养逻辑思维、分析问题的能力，同时还可以在实际生活中运用所学的知识进行问题的解决和计算。
数学初三圆的知识点总结
数学初三圆的知识点总结一、圆的概念1.1 圆的定义圆是平面上所有与一个给定点的距离相等的点的集合。
这个距离称为圆的半径，而给定的那个点叫做圆心。
1.2 相关术语（1）圆心：圆的中心点。
（2）半径：圆心到圆上任一点的距离。
（3）直径：通过圆心并且两端点在圆上的线段叫做圆的直径。
（4）弧长：圆上一部分的长度。
（5）圆周：圆的边界。
（6）扇形：由圆心和圆上两点组成的区域。
（7）弦：圆上连接两点的线段。
（8）切线：与圆相切的直线。
1.3 圆的元素圆的位置和形状是由圆心和半径共同决定的，而圆的面积则是与圆的半径有关。
二、圆的性质2.1 圆周率圆周率是圆的重要常数，通常用π表示。
它的值是一个无理数，约等于3.14159。
圆周率在数学中有广泛的应用，涉及到圆的面积、周长和体积等问题。
2.2 圆的面积和周长（1）圆的周长圆的周长公式为：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π表示圆周率。
（2）圆的面积圆的面积公式为：S = πr²，其中S表示圆的面积，r表示圆的半径，π表示圆周率。
2.3 圆的关系（1）直径与半径的关系圆的直径是圆的半径的两倍，即d = 2r。
（2）弧长与圆周角的关系弧长l与半径r和所对的圆周角θ之间有一个简单的关系：l = rθ。
（3）圆心角与圆周角的关系圆心角和它所对的圆周角是成等比关系的，即θ = 2α。
（4）弦的性质圆上的两条弦若相交，则交点至两条弦的两端的交点距离相等。
2.4 圆与直线的关系（1）切线定理切线定理指的是，若直线与圆相切，则该直线与圆心的连线和切点的连线是垂直的。
（2）弦切定理弦切定理是指，若一个直线既是弦又是切线，则该直线与圆心的连线和切点的连线也是垂直的。
三、圆的相关定理3.1 圆的基本定理（1）切线定理定理表明，切线与半径的夹角是直角，即触点与圆心与切点的连线共线。
（2）弦长定理定理表明，与直径垂直的弦，把弦分成的两段乘积等于圆的半径的平方。
圆的总复习-圆、与圆有关的位置关系复习
点在圆内
如果一个点位于圆的内部， 则该点称为圆内的点。
点在圆外
如果一个点位于圆的外部， 则该点称为圆外的点。
圆与直线的位置关系
相交
如果一条直线与圆有两个不同的 交点，则该直线称为圆的相交线。
相切
如果一条直线与圆只有一个交点， 则该直线称为圆的切线。
平行
如果一条直线与圆没有交点，则该 直线称为圆的平行线。
圆的面积与周长
圆的面积公式
A = πr^2，其中A表示面积，r表示半径。
圆的周长公式
C = 2πr，其中C表示周长，r表示半径。
圆的面积与周长的关系
周长是半径的函数，随着半径的增加而增加；面积是半径的二次函 数，随着半径的增加而快速增加。
02
与圆有关的位置关系
圆与点的位置关系
点在圆上
如果一个点位于圆的边界 上，则该点称为圆上的点。
圆的总复习-圆、与圆有 关的位置关系复习
• 圆的基本性质 • 与圆有关的位置关系 • 圆的定理与性质 • 圆的综合应用
01
圆的基本性质
圆的定义与基本性质
圆的定义
圆的度量
平面上所有与给定点（圆心）的距离 等于给定长度（半径）的点组成的图 形。
圆的周长和面积都是无限大，但常用 的度量单位是弧度。
圆的基本性质
圆与圆的位置关系
外离
如果两个圆没有交点并 且不相切，则它们是外
离的。
内含
如果一个圆完全位于另 一个圆的内部，则称该
圆为内含的。
相交
如果两个圆有两个公共 的交点，则它们是相交
的。
相切
如果两个圆有一个公共 的交点，则它们是相切
的。
03
圆的定理与性质
圆的知识点总结初三
圆的知识点总结初三圆是几何学中的一种基本形状，它在我们的生活中随处可见。
在初中的几何学中，圆也是一个重要的知识点。
本文将对圆的相关知识进行总结。
1. 圆的定义和性质圆是由一个平面上到一个点的所有点构成的集合。
圆面的中心是到圆上所有点距离相等的点。
圆上的任意两点与圆心的连线称为半径。
圆的直径是通过圆心的一条线段，它的长度等于圆周长的两倍。
圆的周长是圆周上所有点到圆心的距离之和，即2πr（r为圆的半径）。
圆的面积是圆内所有点构成的区域的大小，其公式为πr²。
2. 周长和面积的计算计算圆的周长和面积时，需要明确圆的半径或直径。
如果给定了半径r，可以直接使用2πr计算周长，πr²计算面积。
如果给定了直径d，可以使用πd计算周长，π(d/2)²计算面积。
3. 弧和弦圆上的两点之间的线段称为弦。
如果这个弦的两个端点和圆心连接起来，这个弦将分割出一个圆的弧。
弧上的一点可以通过给定的起始点和终点来确定。
弦的长度表示为线段的长度，弧的长度表示为两个端点之间对应弧度的弧长。
4. 弧度和角度度数是表示角度大小的单位，它将圆周等分为360份。
而弧度则是另一种度量角度大小的单位，它将圆周等分为2π份。
可以通过度数和弧度之间的转换来进行换算。
5. 切线和切圆切线是直接与圆相切的直线。
切线和半径之间的夹角是90度。
如果一条直线与圆的某一点相切，那么它一定是切线。
切圆是在一个圆内部画一个切线，使该切线恰好划分圆上另一个点。
切圆的一种特殊情况是切正方形，这时切线恰好划分正方形的对角线。
6. 弧长和扇形面积弧长是圆周上弧对应的线段长度。
计算弧长时需要知道圆的半径和弧度。
扇形是圆心角所对应的其余圆周的部分，它的面积可以通过弧度和圆的半径计算得出。
7. 圆的应用圆的应用广泛，不仅出现在日常生活中，还在科学和工程领域有着重要的应用。
例如，在建筑设计中，圆形的建筑物如圆顶和圆塔具有优美的外观。
在工程中，圆形的平滑形状能够减轻对结构的压力。
初中数学圆的知识点
初中数学圆的知识点初中数学圆的知识点概述一、圆的基本概念1. 圆的定义：平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆心（O）：圆的中心点，通常用字母O表示。
3. 半径（r）：圆心到圆上任意一点的距离，用r表示。
4. 直径（d）：通过圆心的圆上两点之间的线段，是半径的两倍长，用d表示。
5. 弦（c）：圆上任意两点之间的线段。
6. 弧（a）：圆上两点之间的圆周部分。
7. 优弧：大于半圆的弧。
8. 劣弧：小于半圆的弧。
9. 半圆：圆的一半，由直径所界定。
10. 切线（t）：与圆只有一个交点的直线。
二、圆的基本性质1. 半径性质：圆上任意两点间的所有线段中，直径是最长的。
2. 圆周角定理：圆周上同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
3. 切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
4. 弦切角定理：从圆外一点引两条切线，这两切线与过该点的直径所成的角相等。
5. 圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补。
三、圆的计算公式1. 圆的周长（C）：C = πd = 2πr2. 圆的面积（S）：S = πr²3. 扇形面积：S = (θ/360)πr²，其中θ是扇形的中心角，单位为度。
4. 弓形面积：S = (θ/360)πr² - (θ/360)rθ/2，适用于扇形减去三角形的部分。
5. 圆环面积：S = π(R² - r²)，其中R是大圆的半径，r是小圆的半径。
四、圆的应用问题1. 圆与直线的关系：通过圆心作直线的垂线，可以判断直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）。
2. 圆与圆的位置关系：两圆的圆心距与半径之和、差相比较，判断两圆的位置关系（外离、外切、相交、内含、内切、同心）。
3. 圆的切线问题：求作圆的切线，以及切线与圆的交点问题。
4. 圆的滚动问题：解决圆在直线或曲线上滚动时的周长、直径、面积的变化问题。
五、圆的作图方法1. 用圆规画圆：确定圆心和半径，固定圆规的宽度，绕圆心旋转一周即可画出圆。
初三数学复习圆的认识与证明
初三数学复习圆的认识与证明①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系.②了解圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征③了解三角形的内心和外心.④了解切线的概念、切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线.⑤会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积【知识精要】一、圆的认识1 •圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
2 •有关概念：弦、直径，弧、等弧、优弧、劣弧、半圆、弦心距、弧、优弧、劣弧。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
等圆、同心圆、同圆或等圆的半径相等。
3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。
4. （补充）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧。
对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其它三个；（1）垂直于弦；（2）过圆心；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。
其中重点注意：（2）（3） = （1）（4）（5），所平分的弦要不是直径。
垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。
5•与圆有关的角：⑴圆心角，圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
⑵圆周角，圆周角定理：一条弧所对的圆周等于它所对的圆心角的一半。
注意：一、由于圆特殊的对称性，造成点与圆心相对位置不同，就有可能产生双解情况。
1、点0 是ABC 的外心，.BOC =80 °，则.A=.解读：应考虑外心O在-ABC的内部和外部两种情况.A=40 °，140°2、点C是直径AB=13的半圆上的一点，CD丄AB于D点，且CD=6则U AD=.解读：点A，D应分在圆心同侧或异侧，AD=4 93、（江西）0 O中，AB是直径，CD是弦，AB _CD，P是圆周上一点，判断.CPD与.COB的数量关系。
初三圆的知识点总结
初三圆的知识点总结圆是初中数学中的重要概念之一，而初三阶段则是圆的学习重点。
在初三阶段，学生需要掌握圆的定义、性质、相关定理和应用。
下面我们来总结一下初三圆的知识点。
一、圆的定义和性质1. 圆的定义圆是由平面上到定点的距离等于定长的所有点构成的集合。
定点叫圆心，定长叫半径。
通常记作圆O，圆心为O，半径为r。
2. 圆的性质（1）圆的直径、半径、弧长和圆心角的关系：一个圆的直径是圆的一条弧上的两个端点，直径等于圆的半径的两倍。
（2）圆的周长公式：圆的周长等于2πr，其中r为圆的半径。
（3）圆的面积公式：圆的面积等于πr²，其中r为圆的半径。
（4）切线定理：在圆上的切线和半径垂直，切点、圆心和切线上的半径构成直角三角形。
二、圆的相关定理1. 圆心角定理定理：在同一个圆或等圆上的圆心角等于其对应弧所对的圆周角的一半。
结论：圆心角相等的弧是等弧。
2. 弧长定理定理：在同一个圆或等圆上，相等圆心角所对的弧相等，反之，相等弧对应的圆心角相等。
3. 弧度和角度定理：弧长与半径之比叫做弧度制下的角度。
1弧度（rad）=57.3°。
结论：弧长l=rθ，其中θ为弧度。
4. 正弦定理和余弦定理正弦定理：在一个三角形ABC中，a/sinA=b/sinB=c/sinC。
余弦定理：在一个三角形ABC中，a²=b²+c²-2bc*cosA。
5. 切线定理定理：在圆上的切线和半径垂直。
6. 切线与弦的关系定理：在圆上，如果一条切线和一条弦相交，那么切线和弦的交点与圆心的连线垂直。
三、圆的相关应用1. 圆的相关应用（1）圆的插值：根据圆的相关性质和定理求出圆的周长、面积及其相关角度。
（2）圆的相关推理：利用圆的性质和相关定理解决与圆相关的问题。
2. 圆的实际应用（1）工程中的车轮和齿轮。
（2）地理中的经纬度。
（3）天文中的星座和行星轨道。
（4）生活中的钟面和圆形的器物。
以上就是初三圆的知识点总结，希望对你的学习有所帮助。
初中圆的知识点归纳总结
初中圆的知识点归纳总结初中圆的知识点归纳总结圆是初中数学中的重要内容之一，它具有很多独特的性质和特点。
在初中学习阶段，学生需要掌握与圆相关的基本定义、性质和定理，以及运用这些知识解决各种与圆相关的问题。
本文将对初中圆的知识点进行归纳总结，旨在帮助学生更好地理解和掌握这一知识。
一、基本概念1. 圆：由平面上所有到一个固定点的距离等于定值的点所组成的图形称为圆。
固定点称为圆心，距离称为半径。
2. 弧：在圆上取两个点A和B，在圆上从点A到点B所经过的部分称为弧。
弧上的任意一点都与圆心有相等的距离。
3. 弦：在圆上取两个点A和B，在圆上连接点A和点B的线段称为弦。
4. 垂径：从圆心引垂直于弦的线段称为垂径。
5. 切线：与圆只有一个交点的直线称为切线，切线与半径垂直。
二、性质和定理1. 圆的性质：（1）圆上的任意弧都小于圆的周长，并且圆上的任意弧所对应的圆心角是不变的。
（2）圆的直径是圆上的最长弦，并且等于2倍的半径。
（3）圆的半径相等。
（4）在同一个圆中，圆心角相等的弧也是相等的。
2. 圆的定理：（1）圆的内角和定理：在圆上的任意三角形中，三个内角的和等于180°。
（2）圆的切线定理：如果直线在圆上切割出的弦垂直于该直线，那么直线就是圆的切线。
（3）切线定理：如果直线与圆相交，且过交点引圆心连线，则圆心连线垂直于直线。
（4）弧、弦和角的关系：在圆上，相等的弧所对应的圆心角和弦所对应的外角相等。
三、圆的相关计算1. 周长：圆的周长等于2πr，其中r表示半径。
2. 面积：圆的面积等于πr²，其中r表示半径。
3. 弧长和扇形面积：弧长等于弧所对应的圆心角除以360°再乘以圆的周长；扇形面积等于扇形所对应的圆心角除以360°再乘以圆的面积。
四、几何证明1. 同弧所对的圆心角相等证明：假设在圆上有两条弦AB和CD，且弦AB和CD所对应的圆心角相等，证明AD与BC平行。
2. 弦割定理证明：假设在圆上有两条弦AB和CD，且弦AB和CD相交于点E，证明AE×EB=CE×ED。
初三圆的知识点归纳总结
初三圆的知识点归纳总结圆是初中数学中一个重要的几何概念，它涉及到的知识点较多。
下面将对初三圆的知识点进行归纳总结，以便于读者更好地理解和掌握。
1. 圆的定义与性质圆是平面上的一条曲线，其上的任意两点到圆心的距离相等。
圆由无数点组成，其中最重要的是圆心和半径。
- 圆心：圆上所有点到圆心的距离相等，通常用字母O表示。
- 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，通常用字母r表示。
2. 相关公式与计算圆的周长和面积是初三学习中需要重点掌握的计算公式。
- 圆的周长公式：C = 2πr，其中π取近似值3.14，r为半径。
- 圆的面积公式：S = πr²，其中π取近似值3.14，r为半径。
3. 弧与弦圆上的弧是圆上两点之间的曲线段，弧由圆心角所确定。
圆上任意两点之间的线段称为弦。
- 弧长：弧长可以通过圆心角与圆的周长的比例来计算，通常用字母l表示。
l = (θ/360) × 2πr，其中θ为圆心角的度数。
- 弦长：弦长可以通过半径和圆心角来计算，通常用字母s表示。
s = 2r × sin(θ/2)，其中θ为圆心角的度数。
4. 切线与切点在圆上，过圆上一点的直线称为切线，该点称为切点。
圆的切线与半径的关系如下：- 切线与半径的垂直关系：切线与通过切点的半径垂直相交。
- 切线的长度：切线的长度可以通过直角三角形的定理计算。
假设切点坐标为(x₀, y₀)，半径为r，则切线长为L = √(x₀² +y₀²)。
5. 弧度制与角度制圆的度量可以用角度制和弧度制来表示。
- 角度制：一个圆的360°被等分为若干个小部分，每个小部分被称为1度（1°）。
- 弧度制：一个圆的一周对应的弧长为2π，定义为2π弧度（2π rad），因此1弧度约等于57.3°。
6. 圆的其他性质- 在同一个圆上，相等弧所对圆心角相等，圆心角相等则所对弧相等。
- 在同一个圆上，位于圆上的两条弦相等，则其所对的圆心角相等。
初三圆的知识点总结
初三圆的知识点总结圆是初中数学中的重要内容，在中考中也占据着重要的地位。
以下是对初三圆的知识点的详细总结。
一、圆的基本概念1、圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
2、圆的表示以点 O 为圆心，r 为半径的圆记作“⊙O，r”。
3、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。
4、弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
5、半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
6、等圆能够重合的两个圆叫做等圆。
7、等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
二、圆的性质1、圆的对称性（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3、圆心角、弧、弦的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
三、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP ＝ d，则有：（1）点 P 在圆外⇔ d ＞ r ；（2）点 P 在圆上⇔ d ＝ r ；（3）点 P 在圆内⇔ d ＜ r 。
2、直线与圆的位置关系设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，则有：（1）直线 l 和⊙O 相离⇔ d ＞ r ；（2）直线 l 和⊙O 相切⇔ d ＝ r ；（3）直线 l 和⊙O 相交⇔ d ＜ r 。
初中圆知识点总结
初中圆知识点总结圆是初中数学中的一个重要知识点，涉及到圆的定义、性质、公式等内容。
下面是对初中圆知识点的总结：（一）圆的定义和基本概念1. 圆是平面上离一个确定点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆心：圆上任意一点与圆心的连线叫做半径，圆心是圆的中心点。
3. 直径：穿过圆心的两个点，并且在圆上的线段，叫做直径。
4. 弧：圆上的两个点之间的连线段，叫做弧。
如果弧的长度等于半径，则称之为弧长。
（二）圆的性质1. 半径相等：圆上任意两条半径的长度相等。
2. 直径是半径的两倍：直径等于两倍的半径长度。
3. 弧划分的圆心角相等：圆心角是以圆心为顶点、两条弧上任意两点为端点的角，相应的弧长相等则圆心角相等。
4. 弧与弦的关系：圆上的弧所对应的圆心角等于其所对应的弦所对应的圆心角的一半。
5. 弦上弧划分的弧长相等：相等弦上划分的弧长也是相等的。
6. 弦的垂直性：通过圆心的直径与任意一条弦垂直。
7. 弦的性质：圆上一条弦所对应的两个弧与两个弧所对应的弦互为补角。
（三）圆的计算公式1. 圆的周长：C=2πr，其中r为半径。
2. 圆的面积：S=πr²，其中r为半径。
（四）圆的相关定理1. 切线定理：如果一条直线与圆相切，那么它与半径所组成的直角三角形的斜边就是这条切线。
2. 切线与半径的关系：如果一个半径垂直于一条切线，那么这根半径就平分了切线所对应的弧。
3. 相交切线定理：如果两条切线相交于圆的外部一点，那么两条切线所夹的弧所对应的圆心角相等。
4. 弦切角定理：两条相交的弦所夹的角等于弦上切线所对应的圆心角的一半。
5. 弧切角定理：用弦上的一条切线所对应的圆心角等于被这条切线所分的弧的两个对应的弧所对应的圆心角的和。
以上是对初中圆知识点的总结，希望对你有所帮助。
如果需要更多详细的解释，可以参考相关教材或向老师请教。
中考复习第一轮课件31圆的有关概念
圆内接四边形性质定理： 圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对 角互补， 角互补，并且任何一个外角都等于它的内对 角.
【重点讲解 重点讲解】 重点讲解
例1.(2007上海)小明不慎把家里的圆形玻璃 打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到 与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店 去的一块玻璃碎片应该是（ B ） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
(3)圆心角、弧、弦、弦心距. 圆心角、 弦心距. 定理：在同圆或等圆中， 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 圆周角定理： (4)圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对的 圆心角的一半. 圆心角的一半. 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等 圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. 圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90° 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径. 的圆周角所对的弦是直径. 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形. 那么这个三角形是直角三角形. (5)
3.与圆有关的概念
(1)弦：连结圆上任意两点的线段. (2)直径：经过圆心的弦. (3)弧：圆上任意两点间的部分. (4)优弧：劣弧、半圆. (5)等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的孤. (6)圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交. (7)圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交. (8)三角形外心及性质.
O A B
OC = OA2 − AC 2 = 32 − 22 = 5
初中圆的知识点总结
初中圆的知识点总结在初中数学中，圆是一个非常重要的几何图形。
我们学习圆的性质和计算方法，能够帮助我们更好地理解几何学的基本概念和问题。
下面将对初中圆的一些重要知识点进行总结。
一、圆的定义和基本性质1. 圆的定义：圆是平面上所有到圆心的距离都相等的点的集合。
2. 圆的要素：圆心、半径、直径。
3. 圆的基本性质：圆的任意两点与圆心的距离相等；圆的半径相等；圆的半径是直径的一半。
二、圆的计算1. 圆的周长计算：圆的周长（C）等于圆的直径（D）乘以π（约等于3.14），即C = D × π。
2. 圆的面积计算：圆的面积（A）等于圆的半径（r）平方乘以π，即A = r² × π。
三、弧长和扇形1. 弧长的计算：弧长等于圆的半径乘以所对的圆心角的弧度。
2. 扇形的面积计算：扇形的面积等于圆心角所对的弧长除以圆周长再乘以圆的面积。
四、切线和切点1. 切线的定义：切线是与圆交于一点，且与圆的半径垂直的直线。
2. 切点的性质：切点与圆心之间的连线是切线的垂线。
五、相交弦和交叉切线1. 相交弦的性质：两条相交的弦所对的弧等于这两条弦所对的弧之和。
2. 交叉切线的性质：两条交叉的切线所夹的角等于这两条切线所对的弧之差的一半。
六、圆的位置关系1. 同心圆：具有相同圆心但半径不同的圆。
2. 内切和外切：如果一个圆正好与另一个圆相切，那么这两个圆是内切圆和外切圆。
3. 相似圆：如果两个圆的半径成比例，那么这两个圆是相似圆。
七、圆的应用1. 圆和菱形的关系：圆内接四边形是菱形。
2. 圆和角的关系：圆上的两条弦所对的弧所对的角相等。
3. 圆和三角形的关系：如果一个三角形的边是圆的直径，那么这个三角形是直角三角形。
总结起来，初中圆的知识点包括圆的定义和基本性质、圆的计算、弧长和扇形、切线和切点、相交弦和交叉切线、圆的位置关系以及圆的应用等内容。
通过深入学习和理解这些知识点，我们能够更好地应用数学知识解决问题，同时也能够为高中数学的学习打下坚实的基础。
初中圆知识点总结复习
初中圆知识点总结复习圆是初中数学中很重要的一个知识点，也是初中数学的基础内容之一。
圆的相关知识点主要涉及到圆的基本概念、圆的性质、圆的相关定理和应用等方面。
下面我将对圆的知识点进行总结复习，以便同学们更好地掌握和理解这一重要的数学知识。
一、圆的基本概念1. 圆的定义圆是平面上到一个确定点的距离恒定的所有点的集合。
这个确定点叫做圆心，恒定的距离叫做半径。
2. 圆的元素圆由圆心和半径组成，圆心用符号O表示，半径用符号r表示。
3. 圆周圆的周长叫做圆周，用符号C表示。
4. 圆面积圆的面积叫做圆面积，用符号S表示。
5. 圆的直径以圆心为端点的两条相交的直径互相垂直，且一定相等。
6. 圆的弦在圆内连接圆上的两点的线段叫做弦。
7. 圆的弧圆的部分叫做圆弧。
圆弧的长用符号l表示。
8. 圆心角以圆心为顶点的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于它所对的圆周弧所对应的圆心角的长度。
二、圆的性质1. 圆的性质（1）任意一条弦都在一个圆内。
（2）圆周定理：圆周内的任意点到圆心的距离都相等。
（3）圆内外点定理：圆外一点到圆的两个切点的距离相等。
（4）同样长度的圆周弧所对的圆心角的大小是相等的。
2. 圆的三要素圆的三要素包括圆心、半径和圆周。
3. 圆的相交（1）相交圆：包括相交内切圆、相交外切圆、相交且不相切的圆。
（2）不相交圆：包括包含关系、内含关系和相离关系。
4. 圆的切线（1）切线的性质：切线与半径垂直，切线与切点的切线相等。
（2）切线定理：圆外一点的切线与圆心的连线垂直。
5. 圆的相似对于两个圆，如果它们的半径之比相等，那么这两个圆是相似的。
三、圆的相关定理1. 圆上的弦定理圆上的弦所夹的圆心角等于它所对的圆周角。
2. 正多边形内接圆和外接圆正多边形内接圆的半径和外接圆的半径之比为$\sqrt{2+\sqrt{2}}$。
3. 等角的圆周弧对于等角的圆周弧，它所对应的圆心角的大小是相等的。
4. 弦切角定理相同弦切圆的两个等角，它对应的弦相等。
初三圆的知识点总结
初三圆的知识点总结初三是一个重要的学习阶段，学生们在这个阶段需要对各个科目进行全面的学习。
数学作为一门重要的学科之一，其中涉及到很多重要的知识点。
本文将对初三数学中与圆相关的知识点进行总结和深入探讨。
1. 圆的定义和性质圆是平面上一点到另一点距离都相等的轨迹。
它是由一个定点和到这个定点距离相等的所有点组成。
圆的直径是通过圆心并且两端点在圆上的一段线段，圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离。
圆上的点到圆心的距离都相等，这个距离就是圆的半径。
2. 圆的周长和面积圆的周长是圆上一周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C 代表周长，r代表半径，π是一个近似于3.14的常数。
圆的面积是圆内部的所有点所围成的区域的大小，可以通过公式A=πr²计算，其中A代表面积。
3. 弧长和扇形面积弧是圆上两个点之间的一段弯曲线，它对应的圆心角称为弧度。
弧长可以通过公式L=2πrα/360°计算，其中L代表弧长，r代表圆的半径，α代表对应的圆心角。
扇形是圆上和弧相对应的一个扇形区域，扇形的面积可以通过公式S=πr²α/360°计算。
4. 圆的正接线和切线圆的正接线是过圆外一点且与圆相切的直线，它与半径的夹角等于90°。
而圆的切线是过圆上一点且与圆只有一个公共点的直线，它与半径的夹角也等于90°。
切线和半径的夹角称为切线的斜率，切线的斜率等于0时为水平方向切线，斜率不存在时为垂直方向切线。
5. 切线与圆的性质(1) 在同一个圆上，两条切线的交点与圆的圆心共线。
(2) 直径是圆上任意切线的垂直平分线。
(3) 切线与直径的乘积等于两条切线中线段的平方。
6. 弦与圆的性质弦是圆上任意两点之间的线段。
圆的直径是最长的弦，而最短的弦则是平行于切线的弦。
在同一个圆上，相等弦所对应的圆心角相等，而相等的圆心角所对应的弦相等。
7. 弧与圆的性质(1) 在同一个圆上，相等的弧所对应的圆心角相等。
数学初中三年级上册第五章圆的认识与运算
数学初中三年级上册第五章圆的认识与运算数学初中三年级上册第五章圆的认识与运算圆是初中数学中重要的几何概念之一，它不仅在我们的日常生活中随处可见，而且在数学中有着广泛的应用。
在本章中，我们将深入探讨圆的基本概念，学习如何进行圆的运算。
一、圆的基本概念圆是由一个平面上所有与一个确定点距离相等的点组成的图形。
在圆中，距离等于半径的线段称为半径，半径的两个端点称为圆心。
直径是圆上任意两点之间的最长线段，直径的长度是半径的两倍。
圆的周长是圆上一周的长度，可以通过公式C=2πr来计算，其中C表示圆的周长，r表示半径。
圆的面积是圆内部的区域，可以通过公式A=πr²来计算，其中A表示圆的面积，r表示半径。
二、圆的运算1. 圆的周长运算对于已知圆的半径r，可以通过公式C=2πr来计算圆的周长。
例如，如果一个圆的半径为5cm，那么它的周长C就是2π×5≈31.4cm。
2. 圆的面积运算对于已知圆的半径r，可以通过公式A=πr²来计算圆的面积。
例如，如果一个圆的半径为5cm，那么它的面积A就是π×5²≈78.5cm²。
3. 圆的相交问题当两个圆相交时，它们的相交部分形成的图形称为圆的相交部分。
相交部分的面积可以用减法求解。
例如，如果有两个圆，它们的半径分别为r₁和r₂，并且两个圆的圆心之间的距离d小于r₁+r₂，那么它们的相交面积可以通过计算两个圆的面积之和减去一个三角形的面积来求得。
4. 圆的切线问题当一条直线与圆相切时，它与圆的切点构成的线段称为切线。
切线垂直于半径，并且切点在半径的延长线上。
切线与半径之间的夹角等于直径与半径之间的夹角的一半。
三、例题解析1. 已知一个圆的直径为6cm，求其周长和面积。
解：该圆的半径为3cm，根据公式C=2πr可以计算周长C=2×3.14×3≈18.84cm；根据公式A=πr²可以计算面积A=3.14×3²≈28.26cm²。
初中圆的知识点总结
初中圆的知识点总结在初中数学中，圆是一个重要的几何概念，涉及到许多与其相关的知识点。
本文将总结一些初中阶段关于圆的重要知识点，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、圆的定义与性质圆是平面上一组到定点的距离都相等的点的集合。
圆由圆心和半径确定。
圆心是距离所有点最近的点，半径是圆心到圆上任一点的距离。
圆的性质包括：1. 圆上任意两点之间的距离等于圆的半径；2. 圆上任意一点到圆心的距离等于半径；3. 圆的直径是穿过圆心且两端点在圆上的一条线段，直径等于半径的两倍；4. 圆的周长是圆上任意一点完整绕圆一周所经过的路径长度，公式为周长=2πr，其中r为半径；5. 圆的面积是圆内所有点到圆心的距离之和，公式为面积=πr²。
二、弧与弦1. 弧是圆上的一段弯曲的线段，其两端点在圆上；2. 弦是圆上任意两点之间的线段，弦的长度可以小于或等于圆的直径；3. 弧所对的弦是指与弧的两端点相连的弦。
三、圆的位置关系1. 内切：两个圆的圆心之间的距离等于两个半径的差，且一个圆的圆心在另一个圆的内部；2. 外切：两个圆的圆心之间的距离等于两个半径的和，且一个圆的圆心在另一个圆的外部；3. 相离：两个圆的圆心之间的距离大于两个半径之和，且两个圆的内部不相交。
四、圆上的角1. 弧度制与角度制：数学中，常用的角度制和弧度制。
角度制以°为单位，弧度制以弧长与半径的比值作为单位；2. 弧度：一个半径为r的圆弧所对的圆心角为1弧度，当圆心角的大小为θ时，对应的弧长为rθ；3. 圆周角：圆周角是指一个圆心角恰好等于360°或2π弧度；4. 正弦、余弦、正切：这些三角函数可以应用于圆上的角。
例如，对于一个角为θ的圆心角，正弦值等于对边与斜边之比，余弦值等于邻边与斜边之比，正切值等于对边与邻边之比。
五、圆的切线和切点1. 切线是与圆只有一个公共点的一条直线，该点称为切点；2. 切线与半径垂直，直径则是切线的特殊情况；3. 切线的斜率等于切点处切线与圆心连线的斜率的相反数。
圆的总复习-圆、与圆有关的位置关系复习
┓
O
D
E
F
┗
●
A
B
C
●
O
●
┗
┓
O
D
E
F
┗
切线长定理及其推论:
直角三角形的内切圆半径与三边关系.
三角形的内切圆半径与圆面积.
∵PA,PB切⊙O于A,B ∴PA=PB ∠1=∠2
如图，⊙I是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF＝50°，求∠A的度数．
O
A
B
F
D
C
E
G
1.圆的周长和面积公式
2.弧长的计算公式
3.扇形的面积公式
S
=
360
nπr2
L
=
180
nπr
=
1
2
lr
S
或
八.圆中的有关计算:
周长C=2πr
面积s=πr2
．
O
r
4.圆柱的展开图:
D
添加标题
1
B
添加标题
2
C
添加标题
3
A
添加标题
4
r
添加标题
5
h
添加标题
6
5.圆锥的展开图:
⑤AD=BD.
1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
②CD⊥AB,
由 ① CD是直径
③ AM=BM
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒⌒⑤AD=BFra bibliotek.●O
C
D
● M
A
B
┗
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
关于圆的知识点初三
关于圆的知识点初三
1. 圆的定义：平面上离定点（圆心）距离相等的点的集合即为圆。
2. 圆的基本元素：圆心、半径。
3. 圆的性质：
（1）圆上任意两点的距离相等；
（2）圆的直径等于其半径的两倍；
（3）通过圆心可以作弦，弦长相等的弦在圆上的两个端点与
圆心三点共线。
4. 圆的相关概念：
（1）圆的周长：圆周的长度，等于直径长（或半径长）的π倍，表示为2πR（或πD）。
（2）圆的面积：圆内的面积，等于半径平方×π，表示为πR²。
（3）圆心角：以圆心为顶点，两边分别为圆弧的角度。
（4）弧长：圆上一段弧对应的圆周长度。
（5）扇形面积：圆心角包围的弧与圆心对应的部分面积。
（6）切线：过圆上一点的直线，与半径形成的角为直角。
（7）切点：切线和圆的交点。
（8）相交弧：两圆相交部分对应的弧。
（9）相切：两个圆只有一个交点。
（10）不相交：两个圆没有交点。
5. 圆的相关定理：
（1）内接圆定理：一个三角形的内切圆，与三角形的三边相切。
（2）外接圆定理：一个三角形的外接圆，通过三角形的三个顶点。
（3）切线定理：从一点到圆的切点的切线与此点到圆心的直线垂直。
（4）圆的每条直径将圆分成两个全等的半圆。
（5）弧与正多边形内角和的关系：正n边形内角和等于圆心角的n倍。