您的位置：360文档中心› 2009中考数学几何证明压轴题

2009中考数学几何证明压轴题

合集下载

2009中考数学压轴题精选12题

2009中考数学压轴题精选12题

2009中考数学压轴题精选12题2009年9月11日星期五1、（四川省达州市）如图11，抛物线)1)(3(-+=x x a y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 右侧），过点A 的直线交抛物线于另一点C ，点C 的坐标为（-2，6）.(1)求a 的值及直线AC 的函数关系式；(2)P 是线段AC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M ，交x 轴于点N.①求线段PM 长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M ，使得△CMP 与△APN 相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由.2、（四川省资阳市）如图9，已知抛物线y =12x 2–2x ＋1的顶点为P ，A 为抛物线与y 轴的交点，过A 与y 轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B ，与抛物线对称轴交于点O ′，过点B 和P 的直线l 交y 轴于点C ，连结O ′C ，将△ACO ′沿O ′C 翻折后，点A 落在点D 的位置．(1) (3分) 求直线l 的函数解析式； (2) (3分) 求点D 的坐标；(3) (3分) 抛物线上是否存在点Q ，使得S △DQC = S △DPB ? 若存在，求出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3、（四川省绵阳市）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90︒，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）．（1）若m = n 时，如图，求证：EF = AE ；（2）若m ≠n 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E ，使得EF = AE ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若m = tn （t ＞1）时，试探究点E 在边OB 的何处时，使得EF =（t + 1）AE 成立？并求图9出点E 的坐标．4、（四川省眉山市）已知：直线112y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x轴交于B 、C 两点，且B点坐标为 （1，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△P AE 是直角三角形时，求点P 的坐标．（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标． 5、（四川省成都市）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且COS∠BCO＝10。

2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(五)全国通用

2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(五)全国通用

2009年全国中考数学压轴题精选精析（五）49.（09年某某某某）24．已知：直角梯形OABC 的四个顶点是O (0，0)，A (32，1)， B (s ，t )，C (72，0)，抛物线y =x 2＋mx －m 的顶点P 是直角梯形OABC 内部或边上的一个动点，m 为常数．(1)求s 与t 的值，并在直角坐标系中画出．．直角梯形OABC ； (2)当抛物线y =x 2＋mx －m 与直角梯形OABC 的边AB 相交时，求m 的取值X 围．（09年某某某某24题解析）（1）如图，在坐标系中标出O∵∠AO C≠90°， ∴∠ABC =90°， 故BC ⊥OC ， BC ⊥AB ，∴B （72，1）．（1分，）即s =72，t =1．直角梯形如图所画．（2分）（大致说清理由即可）（2）由题意，y =x 2+mx －m 与 y =1（线段AB ）相交，得，12y =x mx m,y =.+-⎧⎨⎩ （3分）∴1＝x 2+mx －m ，由 (x －1)(x +1+m )=0，得121,1x x m ==--． ∵1x =1<32，不合题意，舍去． （4分）∴抛物线y =x 2+mx -m 与AB 边只能相交于（2x ，1）， ∴32≤－m －1≤72，∴9252m --≤≤ ． ①（5分）又∵顶点P (2424,m m m +--)是直角梯形OABC 的内部和其边上的一个动点，∴7022m ≤-≤，即70m -≤≤ ． ② （6分）∵2224(2)4(1)44211m m m m ++-+-=-=-+≤，（或者抛物线y =x 2+mx －m 顶点的纵坐标最大值是1） ∴点P 一定在线段AB 的下方． （7分） 又∵点P 在x 轴的上方， ∴2440m m +-≥，(4)0,m m +≤∴0,0,4040m m m m ≤≥+≥+≤⎧⎧⎨⎨⎩⎩或者 ． （*8分）4(9)0. m ∴-≤≤分③（9分）又∵点P 在直线y =23x 的下方，∴242()432m m m +-≤⨯-，（10分）即(38)0.m m +≥0,0,380380.m m m m ≤≥+≤+≥⎧⎧⎨⎨⎩⎩或者 （*8分处评分后，此处不重复评分） 80.3m m ∴≤-≥(11分)，或④由①②③④ ，得4-≤83m ≤-．（12分）说明：解答过程，全部不等式漏写等号的扣1分，个别漏写的酌情处理． 50.（09年某某某某）（本题答案暂缺）26．（本题满分10分）如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，、(0C ，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等．（1）某某数a b c ，，的值；（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．51.（09年某某某某）26．如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．（6分）（09年某某某某26题解析）解：（1）CD =BE ．理由如下: 1分 ∵△ABC 和△ADE 为等边三角形∴AB=AC ，AE=AD ，∠BAC=∠EAD =60o ∵∠BAE =∠BAC －∠EAC =60o －∠EAC ，y OxC NBPM A图9 图10 图11∠DAC =∠DAE －∠EAC =60o －∠EAC ， ∴∠BAE=∠DAC ，∴△ABE ≌△ACD 3分∴CD=BE ··································································· 4分 （2）△AMN 是等边三角形．理由如下： ······················ 5分 ∵△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE =∠ACD ． ∵M 、N 分别是BE 、CD 的中点， ∴BM =1122BE CD CN == ∵AB=AC ，∠ABE=∠ACD ， ∴△ABM ≌△A ． ∴AM=AN ，∠MAB=∠NAC ．6分∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC =60o ∴△AMN 是等边三角形．7分 设AD=a ，则AB=2a ． ∵AD=AE=DE ，AB=AC ，∴CE=DE ．∵△ADE 为等边三角形， ∴∠DEC=120 o ，∠ADE=60o ， ∴∠EDC =∠ECD =30o ， ∴∠ADC =90o ．8分 ∴在Rt △ADC 中，AD=a ，∠ACD =30 o ， ∴CD．∵N 为DC 中点，∴DN =，∴AN =．9分 ∵△ADE ，△ABC ，△AMN 为等边三角形，∴S △ADE ∶S △ABC ∶ S △AMN 7:16:447:4:1)27(:)2(:222===a a a 10分解法二：△AMN 是等边三角形．理由如下： ························································· 5分∵△ABE ≌△ACD ，M 、N 分别是BE 、的中点，∴AM=AN ，NC=MB ． ∵AB=AC ，∴△ABM ≌△A ，∴∠MAB=∠NAC ， ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC =60o∴△AMN 是等边三角形 ·············································································· 7分图11CNDABME设AD=a ，则AD =AE =DE = a ，AB =BC =AC =2a 易证BE ⊥AC ，∴BE =a a a AE AB 3)2(2222=-=-，∴EM =∴a a a AE EM AM 27)23(2222=+=+= ∵△ADE ，△ABC ，△AMN 为等边三角形∴S △ADE ∶S △ABC ∶ S △AMN 7:16:447:4:1)27(:)2(:222===a a a 10分52.（09年某某某某）27． 如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，1），且P （1，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，P A 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图12，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．（09年某某某某27题解析）（1）设正比例函数解析式为y kx =，将点M （2-，1-）坐标代入得12k，所以正比例函数解析式为12y x 2分同样可得，反比例函数解析式为2y x3分 （2）当点Q 在直线DO 上运动时， 设点Q 的坐标为1()2Q m m ，， 4分 于是211112224OBQ S OB BQ m m m △， 而1(1)(2)12OAP S △，所以有，2114m ，解得2m =±6分所以点Q 的坐标为1(21)Q ，和2(21)Q ，7分 （3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP ＝CQ ，OQ ＝PC ，而点P （1-，2-）是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值．8分因为点Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标为2()Q n n，， 由勾股定理可得222242()4OQ n nn n，所以当22()0nn即20nn时，2OQ 有最小值4，又因为OQ 为正值，所以OQ 与2OQ 同时取得最小值， 所以OQ 有最小值2．9分由勾股定理得OP OPCQ 周长的最小值是2()2(52)254OP OQ ． ···················································· 10分53.（09年某某某某）26、（本小题满分9分）如图12，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A 、B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A 、B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ．（1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？ （3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为)40<<a a （，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象．（09年某某某某26题解析）（1）设点M 的横坐标为x ，则点M 的纵坐标为－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）；则：MC ＝∣－x+4∣＝－x+4，MD ＝∣x ∣＝x ；∴C 四边形OCMD ＝2（MC+MD ）＝2（－x+4+x ）＝8∴当点M 在AB 上运动时，四边形OCMD 的周长不发生变化，总是等于8； （2）根据题意得：S 四边形OCMD ＝MC ·MD ＝（－x+4）· x ＝－x 2+4x ＝－(x-2)2+4∴四边形OCMD 的面积是关于点M 的横坐标x （0<x<4）的二次函数，并且当x ＝2，即当点M 运动到线段AB 的中点时，四边形OCMD 的面积最大且最大面积为4；（3）如图10（2），当20≤<a 时，42121422+-=-=a a S ； 如图10（3），当42<≤a 时，22)4(21)4(21-=-=a a S ；∴S 与a 的函数的图象如下图所示：54.（09年某某某某）26． （本题满分10分）图12（1）图12（2）图12（3）24))4<≤a如图12，在直角梯形OABC 中， OA ∥CB ，A 、B 两点的坐标分别为A （15，0），B （10，12），动点P 、Q 分别从O 、B 两点出发，点P 以每秒2个单位的速度沿OA 向终点A 运动，点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 向C 运动，当点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OB 、PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交AB 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P 、Q 运动时间为t （单位：秒）．（1）当t 为何值时，四边形P ABQ 是等腰梯形，请写出推理过程； （2）当t =2秒时，求梯形OFBC 的面积；（3）当t 为何值时，△PQF 是等腰三角形？请写出推理过程．（09年某某某某26题解析）解：（1）如图4，过B 作BG OA G ⊥于，则222212151016913AB BG GA =+=+-==（）（1分）过Q 作，于H OA QH ⊥则2222212102)144(103)QP QH PH t t t =+=+--=+-（ （2分）要使四边形P ABQ 是等腰梯形，则AB QP =， 即,13)310(1442=-+tt ∴53=或5t =（此时PABQ 是平行四边形，不合题意，舍去）（3分） （2）当2=t 时，410282OP CQ QB ==-==，，。

2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(二)全国通用

2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(二)全国通用

2009年全国中考数学压轴题精选精析（二）13.（09年某某某某）25．（本题满分10分）已知：如图，直线l ：13y x b =+，经过点104M ⎛⎫⎪⎝⎭，，一组抛物线的顶点112233(1)(2)(3)()n n B y B y B y B n y ，，，，，，，，（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：11223311(0)(0)(0)(0)n n A x A x A x A x ++，，，，，，，，（n 为正整数），设101x d d =<<（）．（1）求b 的值；（2分） （2）求经过点112A B A 、、的抛物线的解析式（用含d 的代数式表示）（4分）（3）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．探究：当01d d <<（）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d 的值．（4分）（09年某某某某25题解析）解：（1）∵104M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在13y x b =+上，∴11043b =⨯+，∴14b =．2分 （2）由（1）得：1134y x =+，∵11(1)B y ，在l 上， （第25题图）∴当1x =时，111713412y =⨯+=，∴17112B ⎛⎫⎪⎝⎭，． ·············································· 3 分 解法一：∴设抛物线表达式为：27(1)(0)12y a x a =-+≠，4分 又∵1x d =， ∴1(0)A d ，，∴270(1)12a d =-+，∴2712(1)a d =--，5 分 ∴经过点112A B A 、、的抛物线的解析式为：2277(1)12(1)12y x d =--+-．6 分解法二：∵1x d =，∴1(0)A d ，，2(20)A d -，， ∴设()(2)(0)y a x d x d a =--+≠，4 分把17112B ⎛⎫⎪⎝⎭，代入：7(1)(12)12a d d =--+，得2712(1)a d =--，5 分 ∴抛物线的解析式为27()(2)12(1)y x d x d d =---+-．6 分（3）存在美丽抛物线．7 分由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，∴此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵01d <<，∴等腰直角三角形斜边的长小于2，∴等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于 1．∵当1x =时，1117113412y =⨯+=<， 当2x =时，21111213412y =⨯+=<，当3x =时，3111311344y =⨯+=>，∴美丽抛物线的顶点只有12B B 、． ···································································· 8分 ①若1B 为顶点，由17112B ⎛⎫⎪⎝⎭，，则7511212d =-=； ·············································· 9分 ②若2B 为顶点，由211212B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则11111211212d ⎡⎤⎛⎫=---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 综上所述，d 的值为512或1112时，存在美丽抛物线． ··········································· 10分 14.（09年某某某某）23．本题满分 11 分．（提示：为了方便答题和评卷，建议在答题卡上画出你认为必须的图形）如图 12，已知直线L 过点(01)A ，和(10)B ，，P 是x 轴正半轴上的动点，OP 的垂直平分线交L 于点Q ，交x 轴于点M ． （1）直接写出直线L 的解析式；（2）设OP t =，OPQ △的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；并求出当02t <<时，S 的最大值；（3）直线1L 过点A 且与x 轴平行，问在1L 上是否存在点C ， 使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．（09年某某某某23题解析）（1）1y x =- ·························································· 2分 （2）∵OP t =，∴Q 点的横坐标为12t ， ①当1012t <<，即02t <<时，112QM t =-， ∴11122OPQ S t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭△． ················································································ 3分L 1图12②当2t ≥时，111122QM t t =-=-， ∴11122OPQ S t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭△． ∴1110222111 2.22t t t S t t t ⎧⎛⎫-<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩，，，≥ ··········································································· 4分当1012t <<，即02t <<时，211111(1)2244S t t t ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，∴当1t =时，S 有最大值14． ·········································································· 6分 （3）由1OA OB ==，所以OAB △是等腰直角三角形，若在1L 上存在点C ，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ QC =，所以OQ QC =，又1L x ∥轴，则C ，O 两点关于直线L 对称，所以1AC OA ==，得(11)C ，． ····································· 7 分 下证90PQC ∠=°．连CB ，则四边形OACB 是正方形． 法一：（i ）当点P 在线段OB 上，Q 在线段AB 上 （Q 与B C 、不重合）时，如图–1．由对称性，得BCQ QOP QPO QOP ∠=∠∠=∠，， ∴180QPB QCB QPB QPO ∠+∠=∠+∠=°，∴360()90PQC QPB QCB PBC ∠=-∠+∠+∠=°°． ········································ 8分 （ii ）当点P 在线段OB 的延长线上，Q 在线段AB 上时，如图–2，如图–3 ∵12QPB QCB ∠=∠∠=∠，， ∴90PQC PBC ∠=∠=°．9分 （iii ）当点Q 与点B 重合时，显然90PQC ∠=°． 综合（i ）（ii ）（iii ），90PQC ∠=°．∴在1L 上存在点(11)C ，，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形． ·········· 11 分 L 123题图-1法二：由1OA OB ==，所以OAB △是等腰直角三角形，若在1L 上存在点C ，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ QC =，所以OQ QC =，又1L x ∥轴， 则C ，O 两点关于直线L 对称，所以1AC OA ==，得(11)C ，．7 分 延长MQ 与1L 交于点N ．（i ）如图–4，当点Q 在线段AB 上（Q 与A B 、不重合）时， ∵四边形OACB 是正方形，∴四边形OMNA 和四边形MNCB 都是矩形，AQN △和QBM △都是等腰直角三角形． ∴90NC MB MQ NQ AN OM QNC QMB ====∠=∠=，，°． 又∵OM MP =，∴MP QN =，∴QNC QMP △≌△， ∴MPQ NQC ∠=∠， 又∵90MQP MPQ ∠+∠=°， ∴90MQP NQC ∠+∠=°．∴90CQP ∠=°． ·························································································· 8分 （ii ）当点Q 与点B 重合时，显然90PQC ∠=°． ················································ 9分 （iii ）Q 在线段AB 的延长线上时，如图–5， ∵BCQ MPQ ∠=∠，∠1=∠2 ∴90CQP CBM ∠=∠=°23题图-2L 123题图-1综合（i ）（ii ）（iii ），90PQC ∠=°．∴在1L 上存在点(11)C ，，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形．11分法三：由1OA OB ==，所以OAB △是等腰直角三角形，若在1L 上存在点C ，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ QC =，所以OQ QC =，又1L x ∥轴， 则C ，O 两点关于直线L 对称，所以1AC OA ==，得(11)C ，．9分连PC ，∵|1|PB t =-，12OM t =，12t MQ =-，∴22222(1)122PC PB BC t t t =+=-+=-+，2222222211222t t t OQ OP CQ OM MQ t ⎛⎫⎛⎫===+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴222PC OP QC =+，∴90CQP ∠=°． ························································ 10分 ∴在1L 上存在点(11)C ，，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形． ·········· 11分 15.（09年某某某某）28．如图9，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？23题图-4L 123题图-5BCN MA图9（09年某某某某28题解析）解：（1）MN BC ∥AMN ABC ∴△∽△ 68h x ∴= 34x h ∴= ······················································ 3分 （2）1AMN A MN △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时，1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ············································ 4分②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ， 则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN ∴∥△∽△11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯=△22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭1△A1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭△△所以 291224(48)8y x x x =-+-<< ···························································· 6分MNCBEFAA 1综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2912248y x x =-+-， 取163x =，8y =最大 86>∴当163x =时，y 最大，8y =最大 ···································································· 8分16.（09年某某某某）24．（本题满分12分）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积； （3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值． （09年某某某某24题解析）解：（1）在正方形ABCD 中，490AB BC CD B C ===∠=∠=，°， AM MN ⊥，90AMN ∴∠=°，90CMN AMB ∴∠+∠=°．在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°，CMN MAB ∴∠=∠，Rt Rt ABM MCN ∴△∽△． ··········································· 3分 （2）Rt Rt ABM MCN △∽△，44AB BM xMC CN x CN∴=∴=-，， 244x x CN -+∴=， ···························································································· 5分N DACBM第24题图NDACBM答案24题图22214114428(2)102422ABCNx x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭梯形， 当2x =时，y 取最大值，最大值为10． ································································· 7分 （3）90B AMN ∠=∠=°，∴要使ABM AMN △∽△，必须有AM ABMN BM=， ··················································· 9分 由（1）知AM ABMN MC=， BM MC ∴=，∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =．····························· 12分（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）17.（09年某某某某）23．（本题10分）已知：Rt △ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA<OB ），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图11）。

2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(九)全国通用

2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(九)全国通用

2009年全国中考数学压轴题精选精析（九）97.（2009年某某乌鲁木齐）23．如图9，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等；（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式； （3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN ∠=°？若存在，请直接写出点P 的坐标．（2009年某某乌鲁木齐23题解析）解：（1）∵点D 是OA 的中点，∴2OD =，∴OD OC =． 又∵OP 是COD ∠的角平分线，∴45POC POD ∠=∠=°，∴POC POD △≌△，∴PC PD =． ······························································ 3分 （2）过点B 作AOC ∠的平分线的垂线，垂足为P ，点P 即为所求． 易知点F 的坐标为（2，2），故2BF =，作PM BF ⊥， ∵PBF △是等腰直角三角形，∴112PM BF ==， ∴点P 的坐标为（3，3）． ∵抛物线经过原点，∴设抛物线的解析式为2y ax bx =+．又∵抛物线经过点(33)P ，和点(20)D ，，C 图9∴有933420a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得12a b =⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为22y x x =-． ···································································· 7分 （3）由等腰直角三角形的对称性知D 点关于AOC ∠的平分线的对称点即为C 点． 连接EC ，它与AOC ∠的平分线的交点即为所求的P 点（因为PE PD EC +=，而两点之间线段最短），此时PED △的周长最小．∵抛物线22y x x =-的顶点E 的坐标(11)-，，C 点的坐标(02)，，设CE 所在直线的解析式为y kx b =+，则有12k b b +=-⎧⎨=⎩，解得32k b =-⎧⎨=⎩．∴CE 所在直线的解析式为32y x =-+．点P 满足32y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点P 的坐标为1122⎛⎫ ⎪⎝⎭，．PED △的周长即是CE DE +=（4）存在点P ，使90CPN ∠=°．其坐标是1122⎛⎫⎪⎝⎭，或(22)，． ···························· 14分 98.（2009年某某）23．（本小题14分）已知在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为()3A 0，、()04C ，，点D 的坐标为()D 5-0，，点P 是直线AC 上的一动点，直线DP 与y 轴交于点M ．问：（1）当点P 运动到何位置时，直线DP 平分矩形OABC 的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP 的函数解析式；（2）当点P 沿直线AC 移动时，是否存在使DOM △与ABC △相似的点M ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P 沿直线AC 移动时，以点P 为圆心、半径长为R （R ＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P ．若设动圆P 的直径长为AC ，过点D 作动圆P 的两条切线，切点分别为点E 、F ．请探求是否存在四边形DEPF 的最小面积S ，若存在，请求出S 的值；若不存在，请说明理由．注：第（3）问请用备用图解答．（2009年某某23题解析）解：（1）连结BO 与AC 交于点H ，则当点P 运动到点H 时，直线DP 平分矩形OABC 的面积．理由如下：∵矩形是中心对称图形，且点H 为矩形的对称中心．又据经过中心对称图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，因为直线DP过矩形OABC 的对称中心点H ，所以直线DP 平分矩形OABC 的面积．…………2分由已知可得此时点P 的坐标为3(2)2P ，．设直线DP 的函数解析式为y kx b =+．则有503 2.2k b k b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得413k =，2013b =．所以，直线DP 的函数解析式为：4201313y x =+． ············································ 5分 （2）存在点M 使得DOM △与ABC △相似．如图，不妨设直线DP 与y 轴的正半轴交于点(0)m M y ，． 因为DOM ABC ∠=∠，若△DOM 与△ABC 相似，则有OM BC OD AB =或OM ABOD BC=． 当OM BC OD AB =时，即354m y =，解得154m y =．所以点115(0)4M ，满足条件． 当OM AB OD BC =时，即453m y =，解得203m y =．所以点220(0)3M ，满足条件． 由对称性知，点315(0)4M -，也满足条件． 综上所述，满足使DOM △与ABC △相似的点M 有3个，分别为115(0)4M ，、220(0)3M ，、备用图315 (0)4M-，．································································································9分（3）如图，过D作DP⊥AC于点P，以P为圆心，半径长为52画圆，过点D分别作P的切线DE、DF，点E、F是切点．除P点外在直线AC上任取一点P1，半径长为5画圆，过点D分别作P的切线DE1、DF1，点E1、F1是切点．在△DEP和△DFP中，∠PED＝∠PFD，PF＝PE，PD＝∴△DPE≌△DPF．∴Ｓ四边形DEPF＝2Ｓ△DPE＝2×1522DE PE DE PE DE⨯⋅=⋅=．∴当DE取最小值时，Ｓ四边形DEPF的值最小．∵222DE DP PE=-，2221111DE DP PE=-，∴222211DE DE DP DP-=-．∵1DP DP>，∴221DE DE->．∴1DE DE>．由1P点的任意性知：DE是D点与切点所连线段长的最小值．……12分在△ADP与△AOC中，∠DP A＝∠AOC，∠DAP＝∠CAO，∴△ADP∽△AOC．∴DP CODA CA=，即485DP=．∴325DP=．∴DE=∴Ｓ四边形ＤＥＰＦ． ·························································· 14分（注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，请参照标准给分．）99（2009年某某某某）24. （本小题满分12分）已知平行于x轴的直线)0(≠=aay与函数xy=和函数xy1=的图象分别交于点A 和点B，又有定点P（2，0）.（1）若0>a，且tan∠POB=91，求线段AB的长；（2）在过A，B两点且顶点在直线xy=上的抛物线中，已知线段AB=38，且在它的对称轴左边时，y 随着x 的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式； （3）已知经过A ，B ，P 三点的抛物线，平移后能得到259x y =的图象，求点P 到直线AB 的距离 .（2009年某某某某24题解析）（1）设第一象限内的点B （m,n ），则tan ∠POB 91==m n ，得m=9n ，又点B 在函数x y 1=的图象上，得m n 1=，所以m =3（－3舍去），点B 为)31,3(，而AB ∥x 轴，所以点A （31，31），所以38313=-=AB ；（2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点A （a , a ），B （a 1，a ），则AB =a1－ a =38, 所以03832=-+a a ，解得313=-=a a 或 .当a = －3时，点A （―3，―3），B （―31，―3），因为顶点在y = x 上，所以顶点为（－35，－35），所以可设二次函数为35)35(2-+=x k y ，点A 代入，解得k= －43,所以所求函数解析式为35)35(432-+-=x y .同理，当a = 31时，所求函数解析式为35)35(432+--=x y ；（3）设A （a , a ），B （a 1，a ），由条件可知抛物线的对称轴为aa x 212+= .设所求二次函数解析式为：)2)1()(2(59++--=aa x x y .点A （a , a ）代入，解得31=a ，1362=a ，所以点P 到直线AB 的距离为3或136100.（2009年某某某某）已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线12y x a =-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N . (1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ， ， ， ； (2)如图，将NAC △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；(3)在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.（2009年某某某某24题解析） （1）()411133M a N a a ⎛⎫--⎪⎝⎭，，，.……………4分（2）由题意得点N 与点N ′关于y 轴对称，N '∴4133a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，将N ′的坐标代入22y x x a =-+得21168393a a a a -=++， 10a ∴=（不合题意，舍去），294a =-.……………2分第（2）题备用图（第24题）334N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，∴点N 到y 轴的距离为3.904A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，N '334⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴直线AN '的解析式为94y x =-，它与x 轴的交点为904D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，，点D 到y 轴的距离为94. 1919918932222416ACN ACD ADCN S S S ∴=+=⨯⨯+⨯⨯=△△四边形.……………2分 （3）当点P 在y 轴的左侧时，若ACPN 是平行四边形，则PN 平行且等于AC ，∴把N 向上平移2a -个单位得到P ，坐标为4733a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，代入抛物线的解析式， 得：27168393a a a a -=-+ 10a ∴=（不舍题意，舍去），238a =-，12P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭7，8.……………2分当点P 在y 轴的右侧时，若APCN 是平行四边形，则AC 与PN 互相平分，OA OC OP ON ∴==，．P ∴与N 关于原点对称，4133P a a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，将P 点坐标代入抛物线解析式得：21168393a a a a =++， 10a ∴=（不合题意，舍去），2158a =-，5528P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，．……………2分 ∴存在这样的点11728P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或25528P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，能使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形．101.（2009年某某某某）24．如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值X 围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？（2009年某某某某24题解析）（1）在△ABC 中，∵1=AC ，x AB =，x BC -=3． ∴⎩⎨⎧>-+->+x x x x 3131，解得21<<x ． 4分（2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，无解． ②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x ，满足21<<x ． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x ，满足21<<x ． ∴35=x 或34=x ． ······················································································· 9分 （3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ， 设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 21=． ①若点D 在线段AB 上， 则x h x h =--+-222)3(1．∴22222112)3(h h x x h x -+--=--，即4312-=-x h x ． ∴16249)1(222+-=-x x h x ，即16248222-+-=x x h x ． ∴462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （423x <≤）． ························· 11分 当23=x 时（满足423x <≤），2S 取最大值21，从而S 取最大值2②若点D 在线段MA 上， 则x h h x =----2221)3(． 同理可得，462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （413x <≤）， AB NM（第24题-1）DB A D MN（第24题-2）易知此时22<S ． 综合①②得，△ABC 的最大面积为22． ·························································· 14分 102.（2009年某某某某）24. 已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图，C ，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P ,Q 分别从A ,C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒. (1)填空：菱形ABCD 的边长是▲、面积是▲、高BE 的长是▲；(2)探究下列问题：①若点P 的速度为每秒1个单位，点QQ 在线段BA 上时，求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式，以及S 的最大值； ②若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度变为每秒k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k 值，使得 △APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t =4秒时的情形，并求出k 的值. （2009年某某某某24题解析）解：（1）5 ,24,524…………………………………3分 （2）①由题意，得AP =t ，AQ =10-2t.…………………………………………1分如图1,过点Q 作QG ⊥AD ，垂足为G ，由QG ∥BE 得 △AQG ∽△ABE ,∴BAQABE QG =, ∴QG =2548548t-,…………………………1分 ∴t t QG AP S 5242524212+-=⋅=(25≤t ≤5). ……1分∵6)25(25242+--=t S (25≤t ≤5). ∴当t =25时，S 最大值为6.…………………1分 OxyABC D E②要使△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ 为等腰三角形即可. 当t =4秒时，∵点P 的速度为每秒1个单位，∴AP =4.………………1分 以下分两种情况讨论:第一种情况：当点Q 在CB 上时,∵PQ ≥BE >P A ，∴只存在点Q 1,使Q 1A =Q 1P .如图2,过点Q 1作Q 1M ⊥AP ，垂足为点M ，Q 1M 交AC 于点 F ,则AM =122AP =.由△AMF ∽△AOD ∽△CQ 1F ,得 4311===AO OD CQ F Q AM FM , ∴23=FM , ∴103311=-=FM MQ F Q . ………………1分 ∴CQ 1=QF 34=225.则11CQ APt k t =⋅⨯,∴11110CQ k AP ==.……………………………1分 第二种情况：当点Q 在BA 上时,存在两点Q 2,Q 3, 分别使A P = AQ 2,P A =PQ 3.①若AP =A Q 2，如图3,CB +BQ 2=10-4=6. 则21BQ CB AP t k t +=⋅⨯,∴232CB BQ k AP +==.……1分②若P A =PQ 3，如图4,过点P 作PN ⊥AB ，垂足为N ，由△ANP ∽△AEB ,得ABAP AE AN =. ∵AE =5722=-BE AB ,∴AN ＝2825.∴AQ 3=2AN=5625,∴BC+BQ 3=10-251942556=则31BQ CB APt k t +=⋅⨯.∴50973=+=AP BQ CB k . ………………………1分综上所述，当t = 4秒，以所得的等腰三角形APQ沿底边翻折，翻折后得到菱形的k 值为1011或23或5097. 103.（2009年某某某某）26．如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（－8，0），直线BC 经过点B （－8，6），将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA ′B ′C ′，此时声母OA ′、直线B ′C ′分别与直线BC 相交于P 、Q ． （1）四边形的形状是，当α=90°时，BPPQ的值是． （2）①如图2,当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在y 轴正半轴上时,求BPPQ的值; ②如图3,当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在直线BC 上时,求ΔOPB ′的面积． （3）在四边形OA B C 旋转过程中,当00180α<≤时，是否存在这样的点P 和点Q ，使BP=12BQ ？若存在，请直接写出点P 的坐标；基不存在，请说明理由．（2009年某某某某26题解析）解：（1）矩形（长方形）； ······································ 1分47BP BQ =． ···································································································· 3分 （2）①POC B OA ''∠=∠，PCO OA B ''∠=∠90=°，COP A OB ''∴△∽△．CP OC A B OA ∴='''，即668CP =， 92CP ∴=，72BP BC CP =-=． ···································································· 4分同理B CQ B C O '''△∽△，CQ B C C Q B C '∴='''，即10668CQ -=， 3CQ ∴=，11BQ BC CQ =+=． ··································································· 5分 722BP BQ ∴=． ······························································································· 6分 ②在OCP △和B A P ''△中，90OPC B PA OCP A OC B A ''∠=∠⎧⎪'∠=∠=⎨⎪''=⎩，°，， (AAS)OCP B A P ''∴△≌△． ·········································································· 7分 OP B P '∴=．设B P x '=，在Rt OCP △中，222(8)6x x -+=，解得254x =． ············································· 8分 125756244OPB S '∴=⨯⨯=△． ··········································································· 9分 （3）存在这样的点P 和点Q ，使12BP BQ =． ················································· 10分点P的坐标是19P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2764P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ················································· 12分 对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求． 过点Q 画QH OA '⊥于H ，连结OQ ，则QH OC OC '==，12POQ S PQ OC =△，12POQ S OP QH =△， PQ OP ∴=．设BP x =，12BP BQ =， 2BQ x ∴=，① 如图1，当点P 在点B 左侧时，3OP PQ BQ BP x ==+=，在Rt PCO △中，222(8)6(3)x x ++=，解得11x =，21x =．9PC BC BP ∴=+=19P ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭．②如图2，当点P 在点B 右侧时，OP PQ BQ BP x ∴==-=，8PC x =-．在Rt PCO △中，222(8)6x x -+=，解得254x =． PC BC BP ∴=-257844=-=， 2764P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，．综上可知，存在点19P ⎛⎫--⎪⎝⎭，2764P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，使12BP BQ =． 104.（2009年某某某某）24. （本题14分）如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；(2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．（2009年某某某某24题解析）解：(1) 将点A (-4，8)的坐标代入2y ax =，解得12a =．……1分将点B (2，n )的坐标代入212y x =，求得点B 的坐标为(2，2)， ……1分则点B 关于x 轴对称点P 的坐标为(2，-2)． ……1分 直线AP 的解析式是5433y x =-+．……1分 令y =0，得45x =．即所求点Q 的坐标是(45，0)．……1分(2)①解法1：CQ =︱-2-45︱=145， ……1分故将抛物线212y x =向左平移145个单位时，A ′C +CB ′最短， ……2分此时抛物线的函数解析式为2114()25y x =+．……1分解法2：设将抛物线212y x =向左平移m 个单位，则平移后A ′，B ′的坐标分别为A ′(-4-m ，8)和B ′(2-m ，2)，点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-m ，-8)．直线A ′′B ′的解析式为554333y x m =+-．……1分要使A ′C +CB ′最短，点C 应在直线A ′′B ′上， ……1分 将点C (-2，0)代入直线A ′′B ′的解析式，解得145m =．……1分故将抛物线212y x =向左平移145个单位时A ′C +CB ′最短，此时抛物线的函数解析式为2114()25y x =+．……1分② 左右平移抛物线212y x =，因为线段A ′B ′和CD 的长是定值，所以要使(第24题(1))(第24题(2)①)四边形A ′B ′CD 的周长最短，只要使A ′D +CB ′最短；……1分第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A ′D +CB ′>AD +CB ，因此不存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短．……1分第二种情况：设抛物线向左平移了b 个单位，则点A ′和点B ′的坐标分别为A ′(-4-b ，8)和B ′(2-b ，2)．因为CD =2，因此将点B ′向左平移2个单位得B ′′(-b ，2)，要使A ′D +CB ′最短，只要使A ′D +DB ′′最短． ……1分 点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-b ，-8)， 直线A ′′B ′′的解析式为55222y x b =++． ……1分要使A ′D +DB ′′最短，点D 应在直线A ′′B ′′上，将点D (-4，0)代入直线A ′′B ′′的解析式，解得165b =． 故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短，此时抛物线的函数解析式为2116()25y x =+． ……1分105.（2009年某某嵊州）14．△ABC 与△C B A '''是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，M 、N 分别是直角边AC 、BC 的中点。

2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(八)全国通用

2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(八)全国通用

O11xy2009年全国中考数学压轴题精选精析（八）85.（2009年某某达州）23、（9分）如图11，抛物线)1)(3(-+=x x a y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 右侧），过点A 的直线交抛物线于另一点C ，点C 的坐标为（-2，6）.(1)求a 的值及直线AC 的函数关系式；(2)P 是线段AC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M ，交x 轴于点N.①求线段PM 长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M ，使得△CMP 与△APN 相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由.（2009年某某达州23题解析）解：（1）由题意得 6=a(-2+3)(-2-1)∴a=-21分∴抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x 轴交于B （-3，0）、A （1，0） 设直线AC 为y=kx+b ，则有0=k+b 6=-2k+b 解得 k=-2 b=2∴直线AC 为y=-2x+23分（2）①设P 的横坐标为a(-2≤a ≤1)，则P （a,-2a+2），M （a,-2a2-4a+6）4分 ∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92 =-2a+122+92∴当a=-12时，PM 的最大值为926分②M1（0，6）7分 M2-14，6789分86.（2009年某某某某）28．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且COS∠BCO＝10。

(1)求此抛物线的函数表达式；(2)在此抛物线上是否存在异于点C 的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由；(3)过点A 作x 轴的垂线，交直线MC 于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?（2009年某某某某28题解析）87.（2009年某某凉山州）26．如图，已知抛物线2y x bx c =++经过(10)A ，，(02)B ，两点，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）将OAB △绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为1B ，顶点为1D ，若点N 在平移后的抛物线上，且满足1NBB △的面积是1NDD △面积的2倍，求点N 的坐标．（2009年某某凉山州26题解析）解：（1）已知抛物线2y x bx c =++经过(10)(02)A B ，，，，01200b c c =++⎧∴⎨=++⎩ 解得32b c =-⎧⎨=⎩∴所求抛物线的解析式为232y x x =-+． ························································· 2分（2）(10)A ，，(02)B ，，12OA OB ∴==，可得旋转后C 点的坐标为(31)， ·········································································· 3分 当3x =时，由232y x x =-+得2y =，可知抛物线232y x x =-+过点(32)，∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C ．∴平移后的抛物线解析式为：231y x x =-+． ···················································· 5分（3）点N 在231y x x =-+上，可设N 点坐标为2000(31)x x x -+，（第26题）将231y x x =-+配方得23524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴其对称轴为32x =． ·························· 6分①当0302x <<时，如图①， 112NBB NDD S S =△△00113121222x x ⎛⎫∴⨯⨯=⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭ 01x =此时200311x x -+=-N ∴点的坐标为(11)-，． ················································································ 8分 ②当032x >时，如图② 同理可得0011312222x x ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯- ⎪⎝⎭03x ∴=此时200311x x -+=∴点N 的坐标为(31)，．综上，点N 的坐标为(11)-，或(31)，． ······························································ 10分 88.（2009年某某眉山）24．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

09年数学中考压轴题

09年数学中考压轴题

09年数学中考压轴题1.（09年．嘉兴中考）如图，已知A、B是线段MN上的两点，4MN，1=MB．以>MA，1= A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设xAB=．Array（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面积？（第24题）2.（09年.兰州中考）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．3.（09年.杭州中考）已知平行于x 轴的直线)0(≠=a a y 与函数x y =和函数xy 1=的图象分别交于点A 和点B ，又有定点P （2，0） . （1）若0>a ，且tan ∠POB=91，求线段AB 的长； （2）在过A ，B 两点且顶点在直线x y =上的抛物线中，已知线段AB=38，且在它的对称轴左边时，y 随着x 的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式； （3）已知经过A ，B ，P 三点的抛物线，平移后能得到259x y =的图象，求点P 到直线AB 的距离 .4.（09年.青岛中考）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PE AB ∥？（2）设PEQ △的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使225PEQ BCD S S =△△？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．第24题图5.（09年.台州中考）如图，已知直线 交坐标轴于B A ，两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点C D ，A ，的抛物线与直线另一个交点为E ． （1）请直接写出点D C ,的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D 停止，求抛物线上E C , 两点间的抛物线弧所扫过的面积．（第24题）y x121+-=x y6.（09年.金华中考）如图，在平面直角坐标系中，点A （0，6），点B 是x 轴上的一个动点，连结AB ，取AB 的中点M ，将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90o ，得到线段BC .过点B 作x 轴的垂线交直线AC 于点D .设点B 坐标是（t ，0）. （1）当t =4时，求直线AB 的解析式；（2）当t >0时，用含t 的代数式表示点C 的坐标及△ABC 的面积； （3）是否存在点B ,使△ABD 为等腰三角形?若存在，请求出所有符合条件的点B 的坐标；若不存在，请说明理由.· yO A x 备用图7.（09年义乌.中考）．已知点A 、B 分别是x 轴、y 轴上的动点，点C 、D 是某个函数图像上的点，当四边形ABCD （A 、B 、C 、D 各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。

2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程)(四)

2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程)(四)

2009年中考数学压轴题汇编（含解题过程）（四）(2009某某省某某市)26（本小题满分10分）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。

（1）求证：BE=AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。

26、（本小题满分10分）证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC，∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，∴∠1=∠2…………………………………………………1分∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC∴△BAD≌△CBE…………………………………………2分∴AD=BE……………………………………………………3分（2）∵E是AB中点，∴EB=EA由（1）AD=BE得：AE=AD……………………………5分∵AD∥BC∴∠7=∠ACB=45°∵∠6=45°∴∠6=∠7由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE。

即，AC是线段ED的垂直平分线。

……………………7分（3）△DBC是等腰三角（CD=BD）……………………8分理由如下： 由（2）得：CD=CE 由（1）得：CE=BD ∴CD=BD∴△DBC 是等腰三角形。

……………………………10分（2009年威海市）25．（12分）一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形； ②AN BM =．（2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．25．（本小题满分12分）解：（1）①AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，∴四边形AEOC 为矩形．BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，)（第25题图1）（第25题图2）∴四边形BDOF 为矩形．AC x ⊥轴，BD y ⊥轴，∴四边形AEDK DOCK CFBK ，，均为矩形． ·· 1分1111OC x AC y x y k ===，，， ∴11AEOC S OC AC x y k ===矩形2222OF x FB y x y k ===，，，∴22BDOF S OF FB x y k ===矩形． ∴AEOCBDOF S S =矩形矩形．AEDK AEOC DOCK S S S =-矩形矩形矩形，CFBK BDOF DOCK S S S =-矩形矩形矩形，∴AEDKCFBK S S =矩形矩形． ······················· 2分②由（1）知AEDKCFBK S S =矩形矩形．∴AK DK BK CK =． ∴AK BKCK DK=． ······························ 4分 90AKB CKD ∠=∠=°，∴AKB CKD △∽△．··························· 5分 ∴CDK ABK ∠=∠．∴AB CD ∥． ······························ 6分AC y ∥轴，∴四边形ACDN 是平行四边形．∴AN CD =． ······························ 7分同理BM CD =．AN BM ∴=． ······························ 8分（2）AN 与BM 仍然相等． ························ 9分AEDK AEOC ODKC S S S =+矩形矩形矩形， BKCF BDOF ODKC S S S =+矩形矩形矩形，又AEOC BDOF S S k ==矩形矩形，∴AEDKBKCF S S =矩形矩形． ······ 10分∴AK DK BK CK =． ∴CK DKAK BK=．K K ∠=∠，∴CDK ABK △∽△．∴CDK ABK ∠=∠．∴AB CD ∥． ······························ 11分AC y ∥轴，∴四边形ANDC 是平行四边形．∴AN CD =．同理BM CD =．∴AN BM =． ······························ 12分（2009年某某市）26．(本题满分14分)如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且经过点(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ．（1） 求抛物线对应的函数表达式；（2） 经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P AC N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B D ，重合），经过AB E ，，三点的圆交直线BC 于点F ，试判断AEF △的形状，并（第26题图）图2说明理由；（4） 当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．26．（本题满分14分）解：（1）根据题意，得34231.2a a b b a-=+-⎧⎪⎨-=⎪⎩，2分解得12.a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线对应的函数表达式为223y x x =--． ·· 3分（2）存在．在223y x x =--中，令0x =，得3y =-． 令0y =，得2230x x --=，1213x x ∴=-=，．(10)A ∴-，，(30)B ，，(03)C -，．又2(1)4y x =--，∴顶点(14)M -，． ···················· 5分 容易求得直线CM 的表达式是3y x =--． 在3y x =--中，令0y =，得3x =-．(30)N ∴-，，2AN ∴=． ························· 6分在223y x x =--中，令3y =-，得1202x x ==，．2CP AN CP ∴=∴=，．AN CP ∥，∴四边形ANCP 为平行四边形，此时(23)P -，． ········· 8分 （3）AEF △是等腰直角三角形．理由：在3y x =-+中，令0x =，得3y =，令0y =，得3x =．M（第26题图）∴直线3y x =-+与坐标轴的交点是(03)D ，，(30)B ，．OD OB ∴=，45OBD ∴∠=°． ······················ 9分又点(03)C -，，OB OC ∴=．45OBC ∴∠=°． ··············10分 由图知45AEF ABF ∠=∠=°，45AFE ABE ∠=∠=°． ··········· 11分 90EAF ∴∠=°，且AE AF =．AEF ∴△是等腰直角三角形． ········· 12分 （4）当点E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论成立． ······· 14分（2009年某某省日照）24． (本题满分10分)已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）24．（本题满分10分）解：（1）证明：在Rt △FCD 中， ∵G为DF 的中点，∴ CG= FD ．………………1分 同理，在Rt △DEF中， EG= FD ． ………………2分FBDC第24题图①BDCE第24题图②BC第24题图③∴ CG=EG．…………………3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG．∴ AG=CG．………………………5分在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴ MG=NG在矩形AENM中，AM=EN．……………6分在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM=EN， MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴ AG=EG．∴ EG=CG．……………………………8分证法二：延长CG至M,使MG=CG，连接MF，ME，EC，……………………4分在△DCG 与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG ≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．∴MF∥CD∥AB．………………………5分∴．在Rt△MFE 与Rt△CBE中，∵ MF=CB，EF=BE，∴△MFE ≌△CBE ．∴ ．…………………………………………………6分∴∠MEC ＝∠MEF ＋∠FEC ＝∠CEB ＋∠CEF ＝90°． …………7分 ∴△MEC 为直角三角形． ∵ MG = CG ， ∴ EG= MC ．∴ ．………………………………8分 （3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG ．其他的结论还有:EG ⊥CG ．……10分（2009年潍坊市）24．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长． （3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．24．（本小题满分12分） 解：（1）圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为1，∴点A B C D 、、、的坐标分别为(10)(01)(10)(01)A B C D --，、，、，、，抛物线与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ，∴(11)(11)M N --，、，． ·························· 2分点D M N 、、在抛物线上，将(01)(11)(11)D M N --，、，、，的坐标代入2y ax bx c =++，得：111c a b c a b c =⎧⎪-=-+⎨⎪=++⎩ 解之，得：111a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：21y x x =-++． ··················· 4分（2）2215124y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭∴抛物线的对称轴为12x =，12OE DE ∴===，． ····· 6分连结90BF BFD ∠=，°，BFD EOD ∴△∽△，DE ODDB FD∴=，又12DE OD DB ===，，5FD ∴=，5210EF FD DE ∴=-=-=． ··················· 8分 （3）点P 在抛物线上． ·························· 9分 设过D C 、点的直线为：y kx b =+，将点(10)(01)C D ，、，的坐标代入y kx b =+，得：11k b =-=，，∴直线DC 为：1y x =-+． ························ 10分过点B 作圆O 的切线BP 与x 轴平行，P 点的纵坐标为1y =-， 将1y =-代入1y x =-+，得：2x =．∴P 点的坐标为(21)-，，·························· 11分 当2x =时，2212211y x x =-++=-++=-，所以，P 点在抛物线21y x x =-++上． ··················· 12分说明：解答题各小题中只给出了1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数．。

2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程)(八)

2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程)(八)

2009年中考数学压轴题汇编（含解题过程）（八）(2009年某某省某某市)20.阅读材料：如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.20．解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y ··············· 1分 把A （3,0）代入解析式求得1-=a所以324)1(221++-=+--=x x x y ·············· 3分设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( ··········· 4分 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中图12-2xC Oy ABD 1 1铅垂高水平宽 ha 图12-1解得：3,1=-=b k所以32+-=x y ······················· 6分 (2)因为C 点坐标为(１,4) 所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝2 ························ 8分32321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) ················10分 (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-= ······· 12分 由S △PAB =89S △CAB 得：389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中， 解得P 点坐标为)415,23( ···················· 14分（2009年某某省）25．（本题满分12分） 问题探究（1）请在图①的正方形ABCD 内，画出使90APB ∠=°的一个．．点P ，并说明理由． （2）请在图②的正方形ABCD 内（含边），画出使60APB ∠=°的所有．．的点P ，并说明理由． 问题解决（3）如图③，现在一块矩形钢板43ABCD AB BC ==，，．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的APB △和CP D '△钢板，且60APB CP D '∠=∠=°．请你在图③中画出符合要求的点P 和P '，并求出APB △的面积（结果保留根号）．DCDCDC25．（本题满分12分） 解：（1）如图①，连接AC BD 、交于点P ，则90APB ∠=°．∴点P 为所求． ·············· （3分）（2）如图②，画法如下：1）以AB 为边在正方形内作等边ABP △；2）作ABP △的外接圆O ⊙，分别与AD BC 、交于点E F 、． 在O ⊙中，弦AB 所对的APB 上的圆周角均为60°，EF ∴上的所有点均为所求的点P ． ···· （7分）（3）如图③，画法如下： 1）连接AC ；2）以AB 为边作等边ABE △；3）作等边ABE △的外接圆O ⊙，交AC 于点P ； 4）在AC 上截取AP CP '=．则点P P '、为所求． ··········· （9分） （评卷时，作图准确，无画法的不扣分） 过点B 作BG AC ⊥，交AC 于点G ． 在Rt ABC △中，43AB BC ==，．5AC ∴==．125AB BC BG AC ∴==． ························ （10分） 在Rt ABG△中，4AB =，165AG ∴==． DCB AP②③（第25题答案图）在Rt BPG △中，60BPA ∠=°，12tan 60535BG PG ∴==⨯=°．∴1655AP AG PG =+=+．1116122255APB S AP BG ⎛∴==⨯+⨯= ⎝⎭△． ········ （12分）（某某2009年某某市）26．（本题满分13分）如图，已知抛物线C 1：()522-+=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．（1）求P 点坐标及a 的值；（4分）（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3的解析式；（4分）（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．（5分）26．（本题满分13分）解：（1）由抛物线C 1：()522-+=x a y 得顶点P 的为（-2，-5） ………2分∵点B （1，0）在抛物线C 1上 ∴()52102-+=a解得，a ＝59………4分（2）连接PM ，作PH ⊥x 轴于H ，作MG ⊥x 轴于G∵点P 、M 关于点B 成中心对称 ∴PM 过点B ，且PB ＝MB ∴△PBH ≌△MBG ∴MG ＝PH ＝5，BG ＝BH ＝3∴顶点M 的坐标为（4，5） ………6分抛物线C 2由C 1关于x 轴对称得到，抛物线C 3由C 2平移得到∴抛物线C 3的表达式为()54952+--=x y ………8分 （3）∵抛物线C 4由C 1绕点x 轴上的点Q 旋转180°得到∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称 由（2）得点N 的纵坐标为5设点N 坐标为（m ，5）作PH ⊥x 轴于H ，作NG ⊥x 轴于G 作PK ⊥NG 于K ∵旋转中心Q 在x 轴上∴EF ＝AB ＝2BH ＝6 ∴FG ＝3，点F 坐标为（m +3，0）H 坐标为（2，0），K 坐标为（m ，-5），根据勾股定理得PN 2＝NK 2+PK 2＝m 2+4m +104 PF 2＝PH 2+HF 2＝m 2+10m +50NF 2＝52+32＝34 ………10分①当∠PNF ＝90º时，PN 2+NF 2＝PF 2，解得m ＝443，∴Q 点坐标为（193，0）②当∠PFN ＝90º时，PF 2+NF 2＝PN 2，解得m ＝103，∴Q 点坐标为（23，0）③∵PN ＞NK ＝10＞NF ，∴∠NPF ≠90º图(2)综上所得，当Q 点坐标为（193，0）或（23，0）时，以点P 、N 、F 为顶点 的三角形是直角三角形． ………13分（2009年某某某某市）27、（本题满分12分）如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。

2009年部分省市中考压轴题精选(含详细解答过程)

2009年部分省市中考压轴题精选(含详细解答过程)

全国各省市中考专题压轴题及分析1．（2009江苏盐城）如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． 解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC = 90º，① 当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ．② 当点D 在线段BC 的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90º，点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若AC =24，BC = 3，在（2）的条件下，设正方形ADEF 的边DE 与线段CF 相交于点P ，求线段CP 长的最大值．解：（1）① CF 与BD 位置关系是 垂 直 、数量关系是 相 等 ； ② 当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF 得AD=AF ，∠DAF=90º． ∵ ∠BAC=90º， ∴ ∠DAF=∠BAC ， ∴ ∠DAB=∠FAC ， 又AB=AC ，∴ △DAB ≌△FAC ， ∴ CF=BD ∠ACF=∠ABD ． ∵ ∠BAC=90º， AB=AC ， ∴ ∠ABC=45º，图甲图乙 C 第1题图 图丙D E∴ ∠ACF=45º，∴ ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即 CF ⊥BD ．（2）画图正确当∠BCA = 45º时，CF ⊥BD （如图丁）． 理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ， ∴ AC=AG可证：△GAD ≌△CAF ∴ ∠ACF=∠AGD=45º ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即 CF ⊥BD ．（3）当具备∠BCA = 45º时，过点A 作AQ ⊥BC 交BC 的延长线于点Q ，（如图戊） ∵ DE 与CF 交于点P 时， ∴ 此时点D 位于线段CQ 上， ∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4． 设CD = x ，∴ DQ = 4-x ，容易说明△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ = ， ∴44CP x x =-，221(2)144x CP x x ∴=-+=--+．∵0＜x ≤3 ∴当x =2时，CP 有最大值1．GABCDE FPQ AB CD EF2．（2009浙江湖州） 已知：在矩形AOBC 中，OB ＝4，OA ＝3，分别以OB 、OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F 是边BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数xky =（k ＞0）的图象与AC 边交于点E 。

解析2009上海市中考数学压轴题几何背景探寻和思考

解析2009上海市中考数学压轴题几何背景探寻和思考

2009上海市中考数学压轴题几何背景探寻和思考上海市光明初级中学 刘颖颋 近几年来，全国各省市的数学中考压轴题大部分都有一个很明确的几何背景，今年的上海市中考数学压轴题也是如此。

背景1：如图点P 是正方形ABCD 对角线上任意一点。

求证：PA ＝PC 证明：∵四边形ABCD 是正方形∴AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ＝45 又∵BP ＝BP⇒△ABP ≌△CBP ⇒ PA ＝PC背景2：接上题，以P 为圆心，以PA 为半径画弧交AB （或AB 的延长 线）于点Q 。

求证：PQ ⊥PC 证明：∵PA ＝PQ ⇒∠1＝∠3又∵△ABP ≌△CBP ⇒ ∠1＝∠2⇒∠1＝∠2＝∠3而：∠3＋∠4＝180⇒∠2＋∠4＝180 又∵∠QBC ＝90∴∠QPC ＝90⇒ PQ ⊥PC 当点Q 在AB 的延长线上时，∵∠2＝∠3；∠4＝∠5⇒△BQH ∽△CPH ∴∠QPC ＝ 90⇒ PQ ⊥PC背景3：反过来，若将一个直角顶点放在正方形的对角线上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与正方形的边（或边的延长线）AB 交于点Q 。

求证：PQ ＝PC证明：过P 作MN 平行于BC 交AB 、CD 于M 、N ∵∠1＋∠QPC ＝∠2＋∠PNC ⇒∠1＝∠2 又∵∠MBP ＝45⇒MP ＝MB ＝NCBDACP∠4∠3∠2∠1Q BD ACP∠5∠4∠3∠2∠1HQBDACP∠2∠1N M QBD A C P∠2∠1N MQB DA CP而∠QMP ＝∠PNC ＝90⇒△QMP ≌△PNC ⇒ PQ ＝PC 从上述的几个背景看出，当∠QPC ＝90时，一定有PQ ＝PC ，即ABADPC PQ =；但反过来当ABAD PC PQ =，即PQ ＝PC 时，因为有PA ＝PC 时∠APC ＝90不一定成立，所以∠QPC ＝90不一定能够成立。

下面我们将背景弱化：背景4：若将一个直角顶点放在长方形的对角线上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与长方形的边（或边的延长线）AB 交于点Q 。

2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(六)全国通用

2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(六)全国通用

2009年全国中考数学压轴题精选精析（六）61.（09年某某）28．如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题： （1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是秒；（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是秒； （3）求y 与x 之间的函数关系式．（09年某某28题解析）解：（1）6．···························································· （1分） （2）8． ································································································· （3分） （3）①当03x <≤时，2111sin 6022222APQ y S AP AQ x x x ==︒==13△1·····． ······························ （5分） ②当3x <≤6时，（第28题）Q 1ABCDQ 2P 3 Q 3 E P 2 P 1 O1222222121sin 6021(12-2)22APQ y S AP P Q AP CQ x x ==︒=△=?····=2.x + ···················································································· （7分） ③当69x ≤≤时，设33P Q 与AC 交于点O ． (解法一)过3Q 作3,Q E CB ∥则3CQ E △为等边三角形．33333212..Q E CE CQ x Q E CB COP EOQ ∴===-∴∥△∽△3361,212211(212),33CP OC x OE EQ x OC CE x -∴===-∴==-3333311sin 60sin 6022AQP ACP COP y S S CP AC OC CP ===-△△△-S ··°··°111(6)(212)(6)22232x x x =-⨯-⨯--⨯·6．262x x =-+-． ··································································· （10分） （解法二）如右图，过点O 作3OF CP ⊥于点F ，3OG CQ ⊥，于点,G 过点3P 作3P H DC ⊥交DC 延长线于点H ．,.ACB ACD OF OG ∠=∠∴=P 3OC DQ 3G H F又33,6,2122(6),CP x CQ x x =-=-=-3312CQP COQ S S ∴=△△3333321,3113211(212)(6)32(6).6COP CP Q S S CQ P H x x x ∴==⨯=⨯--=-△△··又331sin 602ACP S CP AC =△··°1(6)626).x x =-⨯=- 3AOP y S ∴=△3326)6)ACP OCP S S x x =-=--△△262x x =-+- ······································································ （10分） 62.（2009年某某）28．（本题满分12分）如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点(30)D ，和点(04)E ，．动点C 从点(50)M ，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标； （2）以点C 为圆心、12t 个单位长度为半径的C ⊙与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接P A 、PB ．①当C ⊙与射线DE 有公共点时，求t 的取值X 围； ②当PAB △为等腰三角形时，求t 的值．（2009年某某28题解析）解：（1）(50)C t -，，34355P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ····················· （2分） （2）①当C ⊙的圆心C 由点()50M ，向左运动，使点A 到点D 并随C ⊙继续向左运动时， 有3532t -≤，即43t ≥． 当点C 在点D 左侧时，过点C 作CF ⊥射线DE ，垂足为F ，则由CDF EDO ∠=∠，得CDF EDO △∽△，则3(5)45CF t --=．解得485t CF -=． 由12CF ≤t ，即48152t t -≤，解得163t ≤．∴当C ⊙与射线DE 有公共点时，t 的取值X 围为41633t ≤≤． ······················ （5分）②当PA AB =时，过P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，有222PA PQ AQ =+221633532525t t t ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭． 2229184205t t t ∴-+=，即2972800t t -+=． 解得1242033t t ==，． ······························· （7分）当PA PB =时，有PC AB ⊥，3535t t ∴-=-．解得35t =． ····················· （9分） 当PB AB =时，有222221613532525PB PQ BQ t t t ⎛⎫=+=+--+ ⎪⎝⎭．221324205t t t ∴++=，即278800t t --=． 解得452047t t ==-，（不合题意，舍去）． ················································ （11分）∴当PAB △是等腰三角形时，43t =，或4t =，或5t =，或203t =． ············· （12分）63.（2009年某某某某）23． (本题满分10分)已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）（2009年某某某某23题解析）解：（1）证明：在Rt △FCD 中， ∵G 为DF 的中点，∴CG =12FD ．………… 1分 同理，在Rt △DEF 中， EG =12FD ． ………………2分 ∴CG =EG ．…………………3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG =CG ．…………………………4分 证法一：连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点． 在△DAG 与△DCG 中，∵AD =CD ，∠ADG =∠CDG ，DG =DG ， ∴△DAG ≌△DCG ．∴AG =CG ．………………………5分在△DMG 与△FNG 中，∵∠DGM =∠FGN ，FG =DG ，∠MDG =∠NFG ， ∴△DMG ≌△FNG ．FBDC第23题图①BDC第23题图②BC第23题图③BDCN图 ②（一）∴MG =NG在矩形AENM 中，AM =EN ． ……………6分 在Rt △AMG 与Rt △ENG 中， ∵AM =EN ， MG =NG ， ∴△AMG ≌△ENG ． ∴AG =EG ．∴EG =CG ． ……………………………8分 证法二：延长CG 至M ,使MG =CG ，连接MF ，ME ，EC ， ……………………4分在△DCG 与△FMG 中，∵FG =DG ，∠MGF =∠CGD ，MG =CG ， ∴△DCG ≌△FMG ．∴MF =CD ，∠FMG ＝∠DCG ． ∴MF ∥CD ∥AB ．………………………5分 ∴EF MF ⊥．在Rt △MFE 与Rt △CBE 中， ∵MF =CB ，EF =BE ， ∴△MFE ≌△CBE ．∴MEF CEB ∠=∠．…………………………………………………6分 ∴∠MEC ＝∠MEF ＋∠FEC ＝∠CEB ＋∠CEF ＝90°． …………7分 ∴△MEC 为直角三角形． ∵MG = CG ， ∴EG =21MC ． ∴EG CG =．………………………………8分 （3）（1）中的结论仍然成立，即EG =CG ．其他的结论还有:EG ⊥CG ．……10分B D C图③BD C图 ②（二）64.（2009年某某）25．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.（2009年某某25题解析）（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． 1分∵E 为AB 的中点， ∴122BE AB ==． 在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ············ 2分∴112BG BE EG ====， 即点E 到BC····································· 3分 （2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．A D E BF C图4（备用）AD EBF C图5（备用）A D EB F C图1 图2A D EBF C PNM图3A D EBFCPNM （第25题） 图1A D E BF CG∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． ·················································································· 4分 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴12PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=． 则35422NH MN MH =-=-=． 在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ······································· 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =． 类似①，32MR =． ∴23MN MR ==． ··················································································· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··································· 8分 当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=-图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG图2A D EBF CPNMG H当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=． 此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5时，PMN △为等腰三角形． ···················· 10分 65.（2009年某某某某）26．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过(10)A -，，(30)B ，，(03)C ，三点，其顶点为D ，连接BD ，点P 是线段BD 上一个动点（不与B D 、重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为E ，连接BE ． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）如果P 点的坐标为()x y ，，PBE △的面积为s ，求s 与x 的函数关系式，写出自变量x 的取值X 围，并求出s 的最大值；（3）在（2）的条件下，当s 取得最大值时，过点P 作x 的垂线，垂足为F ，连接EF ，把PEF △沿直线EF 折叠，点P 的对应点为P '是否在该抛物线上．（2009年某某某某26题解析）26．解：（1）设(1)(3)y a x x =+-， ························ 1分把(03)C ，代入，得1a =-， ············································································· 2分∴抛物线的解析式为：223y x x =-++． ·························································· 4分顶点D 的坐标为(14)，． ··················································································· 5分（2）设直线BD 解析式为：y kx b =+（0k ≠），把B D 、两点坐标代入，得304.k b k b +=⎧⎨+=⎩，······························································································· 6分解得26k b =-=，．∴直线AD 解析式为26y x =-+． ···································································· 7分2111(26)3222s PE OE xy x x x x ===-+=-+，················································ 8分 ∴23(13)s x x x =-+<< ················································································ 9分22993934424s x x x ⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ······················································ 10分 ∴当32x =时，s 取得最大值，最大值为94． ····················································· 11分 （3）当s 取得最大值，32x =，3y =，∴332P ⎛⎫⎪⎝⎭，． ··········································· 5分 ∴四边形PEOF 是矩形．作点P 关于直线EF 的对称点P '，连接P E P F ''、． 法一：过P '作P H y '⊥轴于H ，P F '交y 轴于点M ． 设MC m =，则332MF m P M m P E ''==-=，，在Rt P MC '△中，由勾股定理，2223(3)2m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 解得158m =． ∵CM P H P M P E '''=， ∴910P H '=． 由EHP EP M ''△∽△，可得EH EP EP EM '='，65EH =． ∴69355OH =-=．∴P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，．··················································································· 13分 法二：连接PP '，交CF 于点H ，分别过点H P '、作PC 的垂线，垂足为M N 、． 易证CMH HMP △∽△． ∴12CM MH MH PM ==． 设CM k =，则24MH k PM k ==，． ∴352PC k ==，310k =． 由三角形中位线定理，1268455PN k P N k '====，． ∴12395210CN PN PC =-=-=，即910x =-．69355y PF P N '=-=-=∴P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，．··················································································· 13分 把P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线解析式，不成立，所以P '不在抛物线上． ································································································66.（2009年某某某某）26．如图①，点A '，B '的坐标分别为（2，0）和（0，4-），将A B O ''△绕点O 按逆时针方向旋转90°后得ABO △，点A '的对应点是点A ，点B '的对应点是点B ．（1）写出A ，B 两点的坐标，并求出直线AB 的解析式；（2）将ABO △沿着垂直于x 轴的线段CD 折叠，（点C 在x 轴上，点D在AB 上，点D 不与A ，B 重合）如图②，使点B 落在x 轴上，点B 的对应点为点E ．设点C 的坐标为（0x ，），CDE △与ABO △重叠部分的面积为S ．i ）试求出S 与x 之间的函数关系式（包括自变量x 的取值X 围）；ii ）当x 为何值时，S 的面积最大？最大值是多少？（第26题图）iii ）是否存在这样的点C ，使得ADE △为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（2009年某某某某26题解析）解：（1）(02)(40)A B ，，， ································· （2分） 设直线AB 的解析式y kx b =+，则有240b k b =⎧⎨+=⎩ 解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为122y x =-+ ···························································· （3分）（2）i ）①点E 在原点和x 轴正半轴上时，重叠部分是CDE △． 则1111(4)22222CDE S CE CD BC CD x x ⎛⎫===--+ ⎪⎝⎭△·· 21244x x =-+ 当E 与O 重合时，12242CE BO x ==∴<≤ ··········································· （4分） ②当E 在x 轴的负半轴上时，设DE 与y 轴交于点F ，则重叠部分为梯形CDFO .OFE OAB △∽△ 1122OF OA OF OE OE OB ∴==∴=， 又42OE x =-1(42)22OF x x ∴=-=-213222224CDFO x S x x x x ⎡⎤⎛⎫∴=-+-+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦四边形· ······································ （5分） 当点C 与点O 重合时，点C 的坐标为(0,0)02x ∴<< ····························································································· （6分）综合①②得22124(24)432(02)4x x x S x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤ ··············································· （7分）ii ）①当24x <≤时，221124(2)44S x x x =-+=-∴对称轴是4x = 抛物线开口向上，∴在24x <≤中，S 随x 的增大而减小∴当2x =时，S 的最大值＝21(24)14⨯-= ················································· （8分）②当02x <<时，22334424433S x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭∴对称轴是43x =抛物线开口向下∴当43x =时，S 有最大值为43·································································· （9分） 综合①②当43x =时，S 有最大值为43 ····················································· （10分）iii ）存在，点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，和502⎛⎫ ⎪⎝⎭， ···················································· （14分）附：详解：①当ADE △以点A 为直角顶点时，作AE AB ⊥交x 轴负半轴于点E ，AOE BOA △∽△ 12EO AO AO BO ∴== 21AO EO =∴= ∴点E 坐标为（1-，0）∴点C 的坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭， ②当ADE △以点E 为直角顶点时同样有AOE BOA △∽△12OE OA AO BO == 1(10)EO E ∴=∴，∴点C 的坐标502⎛⎫⎪⎝⎭， 综合①②知满足条件的坐标有302⎛⎫ ⎪⎝⎭，和502⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 以上仅提供本试题的一种解法或解题思路，若有不同解法请参照评分标准予以评分． 67.（2009年某某某某）26．已知：如图所示，关于x 的抛物线2(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点(20)A -，、点(60)B ，，与y 轴交于点C ． （1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是否存在以A M P Q 、、、为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．（2009年某某某某26题解析）26．解：（1）根据题意，得4203660a c a c -+=⎧⎨++=⎩ ···································· 1分 解得143a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ········································ 3分 ∴抛物线的解析式为2134y x x =-++ ······· 4分顶点坐标是（2，4） ······················································································· 5分（2）(43)D ， ································································································· 6分设直线AD 的解析式为(0)y kx b k =+≠（第26题图）第26题图3直线经过点(20)A -，、点(43)D ，2043k b k b -+=⎧∴⎨+=⎩ ······························································································ 7分 121k b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ ····································································································· 8分 112y x ∴=+ ································································································· 9分 （3）存在． ································································································ 10分 1(2220)Q -， ····························································································· 11分 2(222)Q --，0 ························································································ 12分 3(6260)Q -， ····························································································· 13分 4(6260)Q +，····························································································· 14分 68.（2009年某某某某）26.如图14，抛物线与x 轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1＞x2，与y 轴交于点C(0,4)，其中x1,x2是方程x2-2x-8=0的两个根.(1)求这条抛物线的解析式；(2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE∥AC，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.69.（2009年某某某某）26．如图所示，已知在直角梯形OABC 中，AB OC BC x ∥，⊥轴于点(11)(31)C A B ，，、，．动点P 从O 点出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P 点作PQ 垂直于直线．．OA ，垂足为Q ．设P 点移动的时间为t 秒（04t <<），OPQ △与直角梯形OABC 重叠部分的面积为S ．。

2009年中考数学专题复习——压轴题

2009年中考数学专题复习——压轴题

2009年中考数学专题复习一一压轴题1. （2008年四川省宜宾市）已知：如图抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点 A （-1, 0）、B （0, 3）两点，其 顶点为D.（1） 求该抛物线的解析式；（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为 E.求四边形ABDE 的面积；（3） △ AOB 与厶BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.2. （08浙江衢州）已知直角梯形纸片 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为 O （0, 0）, A （10 , 0）, B （8, 2 3）, C （0, 2 3）,点T在线段OA 上（不与线段端点重合）,将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上（记为点 A '）,折痕经过点T ,折痕TP 与射线AB 交于点P ,设点T 的横坐标为t ，折叠 后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S ;（1） 求/OAB 的度数，并求当点A '在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式； （2） 当纸片重叠部分的图形是四边形时，求 t 的取值范围；⑶S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时 t 的值；若不存在，请 说明理由.3. （08 浙江温州）如图，在 Rt △ ABC 中，• A =90", AB =6, AC =8 , D , E 分别是b2a4ac- b24a 2（注：抛物线 y=ax +bx+c （a 工0）的顶点坐边AB, AC 的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ _ BC 于Q ,过点Q 作QR // BA 交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动•设BQ =x , QR = y .(1) 求点D 到BC 的距离DH 的长；(2) 求y 关于x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； (3)是否存在点 P ，使△ PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由.4. ( 08山东省日照市)在 △ ABC 中，/ A = 90 ° AB = 4, AC = 3, M 是AB 上的动点(不与 A , B 重合)，过 M 点作MN // BC 交AC 于点N .以MN 为直径作O 0,并在O O 内作内接 矩形 AMPN .令 AM = x .(1) 用含x 的代数式表示 A M NP 的面积S ; (2 )当x 为何值时，O 0与直线BC 相切？(3)在动点M 的运动过程中，记 A M NP 与梯形BCNM 重合的面积为y ,试求y 关于x 的函数表达式，并求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？k5、( 2007浙江金华)如图1，已知双曲线 y= (k>0)与直线y=k ' x 交于A , B 两点，点 A 在x第一象限•试解答下列问题：(1)若点A 的坐标为(4 , 2).则点B 的坐标为 ____________ ;若点A 的横坐标为 m,则点B 的坐标可表示为 ___________ ;k(2)如图2，过原点O 作另一条直线 I ，交双曲线 y= (k>0)于P , C 两点，点P 在第一Cx象限•①说明四边形APBC一定是平行四边形；②设点 A.P的横坐标分别为m, n ,四边形APBQ 可能是矩形吗 ？可能是正方形吗 ？若可能，直接写出mn 应满足的条件;6.（ 2008浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，己知△ AOB 是等边三角形，点A 的坐标是（0 , 4），点B 在第一象限，点 P 是 x 轴上的一个动点，连结AP ,并把△ AOP绕着点A 按逆时针方向旋转 .使边AO 与 AB 重合.得到△ ABD. （ 1）求直线 AB 的解析式；7. （2008浙江义乌）如图1,四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG ，连结BG , DE .我们探究下列 图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度:-, 得到如图2、如图3情形•请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否 仍然成立，并选取图2证明你的判断.（2）当点P 运动到点（.3 , 0 ）时，求此时 DP 的长及点D 的坐标;3）是否存在点卩，使△ OPD 勺面积等于 —，若存在, 4请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在,若不可能，请说明理由E（23題團3 ）D(2)将原题中正方形改为矩形 (如图4— 6)，且AB=a , BC=b ,CE=ka , CG=kb (a= b ,8. (2008浙江义乌)如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半 轴上.过点B 、C 作直线I .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D,与y 轴交于点E .(1) 将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t (t_0)，直角梯形OABC 被直线I 扫过的面积(图中阴影部份)为 s , S 关于t 的函数图象如图2所示，OM 为线段，MN 为抛物 线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4.① 求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积； ② 当2 ：：：t ： 4时，求S 关于t 的函数解析式；(2) 在第(1)题的条件下，当直线l 向左或向右平移时(包括 I 与直线BC 重合)，在 直线AB 上是否存在点P ,使APDE 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满 足条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由.9. (2008山东烟台)如图，菱形 ABCD 的边长为2, BD=2 , E 、F 分别是边AD , CD 上的两个 动点，且满足AE+CF=2.(1) 求证：△ BDE ◎△ BCF ; (2) 判断△ BEF 的形状，并说明理由； (3) 设厶BEF 的面积为S ,求S 的取值范围.以图5为例简要说(3)在第⑵题图5中，连结DG 、1 N280 2 4tk ■ 0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立,明理由.求BE 2 DG 2的值.(23题图G210.（2008山东烟台）如图，抛物线L i : y - -x -2x 3交x轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2, L2交x轴于C、D两点.（1 ）求抛物线L2对应的函数表达式；（2）抛物线L i或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形•若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线L i上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由•11.2008淅江宁波）2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥一一杭州湾跨海大桥通车了•通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米•已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时.（1 ）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程.D（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时 28元，那么该车货物从 A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港 的运输费用是多少元？ (3) A 地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B 地.若有一批货物(不超过10车)从A 地按外运路线运到 B 地的运费需8320 元，其中从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与( 2)中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过 10车的货物计费方式是：一车 800元，当货物每增加1车时， 每车的海上运费就减少 20元，问这批货物有几车？12. (2008淅江宁波)如图1,把一张标准纸一次又一次对开，得到“ 2 开”纸、“ 4开”纸、“ 8开”纸、“16开”纸….已知标准纸.的 短边长为a .(1) 如图2,把这张标准纸对开得到的“ 16开”张纸按如下步骤折 叠： 第一步 将矩形的短边 AB 与长边AD 对齐折叠，点 B 落在AD 上 的点B •处，铺平后得折痕 AE ；第二步 将长边AD 与折痕AE 对齐折叠，点 D 正好与点E 重合，铺平后得折痕 AF . 则AD: AB 的值是 ____________________ , AD , AB 的长分别是 ________ , ________ .(2) “ 2开”纸、“ 4开”纸、“ 8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这 个比值；若不相等，请分别计算它们的比值.(3) 如图3,由8个大小相等的小正方形构成 “ L ”型图案，它的四个顶点E , F , G , H 分别在“16开”纸的边 AB, BC , CD , DA 上，求DG 的长.(4) 已知梯形 MNPQ 中，MN // PQ , Z M =90： , MN =MQ =2PQ ，且四个顶点M , N , P, Q 都在“ 4开”纸的边上，请直接写出面积.13. (2008 山东威海)如图，在梯形 ABCD 中，AB // CD , AB = 7, CD = 1, AD = BC = 5.点 M , N 分另【J 在边 AD , BC 上运动，并保持 MN // AB , ME 丄AB , NF 丄AB ,垂足分另U 为 E , F .(1) 求梯形ABCD 的面积； (2) 求四边形MEFN 面积的最大值.(3) 试判断四边形 MEFN 能否为正方形，若能， 求出正方形 MEFN 的面积；若不能，请说明理由.2个符合条件且大小不同的直角梯形的BAEHFD G图3k14. (2008山东威海)如图，点A ( m, m+ 1), B ( m+ 3, m—1)都在反比例函数y = —x的图象上.(1)求m, k的值；(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A,B, M , N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式.. _________ ____________ Q友情提示：本大题第(1)小题4分，第(2)小题7分.对完成第(2)小题有困难的同学可以做下面的(3)(3)选做题：在平面直角坐标系中，点P的坐标为(5, 0),点Q的坐标为(0, 3)，把线段PQ向右平移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P1Q1, 则点P1的坐标为____________________，点Q1的坐标为________ .15. ( 2008湖南益阳)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线如图12,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0 , -3), AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2) 你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3) 开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式•O M—x16.(2008年浙江省绍兴市)将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，0(0,0) , A(6,0),2C(0,3) •动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动一秒时，3动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动.当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点P的运动时间为t (秒).(1)用含t的代数式表示OP, OQ ；(2)当t =1时，如图1,将厶OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D 的坐标；(4) 连结AC，将△ OPQ沿PQ翻折，得到△ EPQ，如图2.问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由.16.(2008年浙江省绍兴市)将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，0(0,0) , A(6,0),17.(2008年辽宁省十二市)如图16,在平面直角坐标系中，直线y = i、3x-；3与X轴交于点A，与y轴交于点C ,抛物线y = ax2-2 3 x c( 0)经过A, B, C三点.3(1)求过A B, C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；(2)在抛物线上是否存在点P，使△ ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)试探究在直线AC上是否存在一点M ,使得△ MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.18.(2008年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中, 上，边OC在y轴的正半轴上，且AB =1, OB 矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴=3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向x17.(2008年辽宁省十二市)如图16,在平面直角坐标系中，直线y = i、3x-；3与X轴交于旋转60后得到矩形EFOD •点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点20.(2008年成都市)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ OAB 的顶点A 的坐标为(10, 0), 为点D ，抛物线y =ax 2 • bx c 过点A, E , D . (1) 判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； (2) 求抛物线的函数表达式；(3) 在x 轴的上方是否存在点 P ，点Q ，使以点O, B, P ，Q 为顶点的平行四边形的面 积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点 P ，点Q 的坐标；若3 2 _19.(2008年四川省巴中市)已知：如图14,抛物线y x 3与x 轴交于点A ，点B ，433与直线y x b 相交于点B ，点C ,直线y x b 与y 轴交于点E .4 4(1 )写出直线BC 的解析式. )求△ ABC 的面积.(3) 若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从 A 向B 运动(不与 A B 重合)， 同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从 B 向C 运动.设运动时间为t 秒， 请写出△MNB 的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时， △MNB 的面积S14x(1) 若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过 O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式；(2) 在(1)中，抛物线上是否存在一点 P ,使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存 在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 若将点O 、点A 分别变换为点 Q ( -2k ,0)、点R (5k , 0) ( k>1的常数)，设过 Q 、 R 两点，且以 QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与 y 轴的交点为N ，其顶点为 M ，记△ QNM 的面积为S QMN ， △ QNR 的面积S QNR ，求S QMN：S QNR 的值.21. (2008年乐山市)在平面直角坐标系中△ ABC 的边AB 在x 轴上，且 OA>OB,以AB 为直 径的圆过点 C 若C 的坐标为(0,2),AB=5, A,B 两点的横坐标 X A ,X B 是关于 X 的方程2x -(m 2)x n-1=0 的两根：(1) 求m , n 的值(2) 若Z ACB 的平分线所在的直线 I 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数的解析式- 1丄1 ⑶ 过点D 任作一直线I 分别交射线CA , CB (点C 除外)于点M , N ，则+— 的值CM CN是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由顶点B 在第一象限内，且AB =3 ^5, sin ZOAB=20.(2008年成都市)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ OAB 的顶点A 的坐标为(10, 0),22. （2008年四川省宜宾市）已知:如图抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点 A （-1 , 0）、B （ 0，3）两点，其顶点为 D. （1）求该抛物线的解析式；⑵若该抛物线与x 轴的另一个交点为 E.求四边形ABDE 的面积；⑶△ AOB 与厶BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由‘‘ b 4ac —b 2 "（注：抛物线 y=ax 2+bx+c （a 丰0）的顶点坐标为 -------------- -——, ）I 2a 4a 丿23. （天津市2008年）已知抛物线y =3ax 2 2bx c ,（I ）若a=b=1 , c = -1,求该抛物线与x 轴公共点的坐标;L'备用图(n)若a =b =1，且当x ,1时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点， 求c 的取值范围;(川)若a b c =0，且x i =0时，对应的y i . 0 ； X 2 =1时，对应的 y 0，试判断当0 ：：： x ::: 1 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由.24. (2008年大庆市)如图①，四边形 AEFG 和ABCD 都是正方形，它们的边长分别为 a , b ( b > 2a ),且点 F 在AD 上(以下问题的结果均可用 a , b 的代数式表示).(1) 求 S A DBF ； (2) 把正方形 AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转 45°得图②，求图②中的 S A DBF ；(3)把正方形 AEFG 绕点A 旋转一周，在旋转的过程中，S A DBF 是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由.25. (2008 年上海市)已知 AB =2, AD =4 , DAB =90 , AD // BC (如图 13). E 是射线BC 上的动点(点E 与点B 不重合)，M 是线段DE 的中点.(1 )设BE 二x , △ ABM 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； (2) 如果以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切，求线段 BE 的长；(3) 联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A, N , D 为顶点的三角形与 △ BME 相似, 求线段BE 的长.CBCB26. (2008年陕西省)某县社会主义新农村建设办公室， 为了解决该县甲、 乙两村和一所中 学长期存在的饮水困难问题， 想在这三个地方的其中一处建一所供水站. 由供水站直接铺设 管道到另外两处.如图，甲，乙两村坐落在夹角为 30的两条公路的 AB 段和CD 段(村子和公路的宽均不计)， 点M 表示这所中学.点B 在点M 的北偏西30的3km 处，点A 在点M 的正西方向，点D 在点M 的南偏西60的2、、3 km 处.为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点 M 处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小 值； 方案二：供水站建在乙村(线段 CD 某处)，甲村要求管道建设到 A 处，请你在图①中，画 出铺设到点 A 和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村(线段AB 某处)，请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点 M 处 的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值.综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？图① 图②27. (2008年山东省青岛市) 已知：如图①，在 Rt △ ACB 中，/ C = 90°, AC = 4cm BC = 3cm,点P 由B 出发沿BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s ;点Q 由A 出发沿AC 方向向 点C 匀速运动，速度为 2cm/s ;连接PQ 若设运动的时间为t (s ) ( 0v t v 2)，解答下列 问题： (1 )当t 为何值时，PQ// BC ?2(2) 设厶AQP 的面积为y ( cm ),求y 与t 之间的函数关系式；(3) 是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求 出此时t 的值；若不存在，说明理由；(4) 如图②，连接 PC,并把△ PQC 沿QC 翻折，得到四边形 PQP C,那么是否存在某一时 刻t ，使四边形PQP C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.北k 上的点M( m n )(在A 点左侧)是双曲线 y 上的动点.过点B 作BD// y 轴于点D.过Nxk (0, - n )作NC// x 轴交双曲线y 于点E ,交BD 于点C. x(1) 若点D 坐标是(—8, 0),求A 、B 两点坐标及k 的值.(2) 若B 是CD 的中点，四边形 OBCE 勺面积为4,求直线CM 的解析式.(3) 设直线 AM BM 分别与y 轴相交于 P 、Q 两点，且 MA= pMR MB= qMQ 求p — q 的值.29. (2008年江苏省无锡市) 一种电讯信号转发装置的发射直径为 31km .现要求：在一边长为30km 的正方形城区选择若干个安装点， 每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问：(1 )能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？(2)至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？ 答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图， 并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由•(下面给出了几个边长为30km 的正方形城区示意图，供解题时选用)图1 图2 图3 图 428. (2008年江苏省南通市)已知双曲线 y 二一与直线y x 相交于Ax4B 两点•第一象限图①BC压轴题答案「c = 31. 解：(1)由已知得：解得…1 - b ■ c = 0c=3,b=2•••抛物线的线的解析式为y = -x2• 2x • 3(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1 , 4)所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)设对称轴与x轴的交点为F所以四边形ABDE的面积=S ABO ' S梯形BOFD ' S.QFE1 1 1=—AO BO —(BO DF) OF —EF DF2 221 1 1=—1 3 — (3 4) 1 2 42 22=9(3)相似如图，BD= BG2DG^ 1212 = 2BE= ,BO2OE2二3232DE= DF2EF2二2242=2,5BD2BE2=DE2,所以BDE是直角三角形所以BD2 BE2=20 , DE2=20 即:所以.AOB =. DBE =90 ,且 二 2,BD BE 2所以：AOBL DBE •2. (1) T A , B 两点的坐标分别是 A(10 , 0)和B(8 , 2.3),tan ZOAB ---------- 3 ,10—8■OAB =60当点A '在线段AB 上时，••• • OAB =60 , TA=TA ■ △ A 'TA 是等边三角形，且 TP _ TA :33(10 — t) , AP2当t=2时，S 的值最大是 4.3 ;^-A P TP 3(10 —t)2,2 82^3当A '与B 重合时，AT=AB=4 ,si n60°所以此时6 mt :: 10.x⑵当点A '在线段AB 的延长线，且点 P 在线段AB （不与B 重合）上时， 纸片重叠部分的图形是四边形 （如图（1），其中E 是TA '与CB 的交点）, 当点P 与B 重合时，AT=2AB=8，点T 的坐标是（2, 又由⑴中求得当A '与B 重合时，T 的坐标是（6, 0） 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时， 2 t <6.（3）S 存在最大值32①当 6 汨 <10时，S （10 — t ）,8x在对称轴t=10的左边，S 的值随着t 的增大而减小,•••当t=6时，S 的值最大是 2 3.㈢当2 < t :: 6时，由图。

2009年中考数学压轴题汇编(七)

2009年中考数学压轴题汇编(七)

2009年中考数学压轴题汇编（七）（2009年湖北省孝感市）25．（本题满分12分） 如图，点P 是双曲线11(00)k y k x x=<<，上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线y =xk 2（0＜k 2＜|k 1|）于E 、F 两点． （1）图1中，四边形PEOF 的面积S 1= (用含k 1、k 2的式子表示)；（3分） （2）图2中，设P 点坐标为（－4，3）．①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；（4分）②记2PEF OEF S S S ∆∆=-，S 2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5分）25．解：（1）21k k -； … ………………………………3分（2）①EF ∥AB ． ……………………………………4分 证明：如图，由题意可得A （–4，0），B （0，3），2(4,)4k E --，2(,3)3k F ．∴PA =3，PE =234k +，PB =4，PF =243k +．∴223121234PA k PEk ==++，224121243PB k PFk ==++∴PA PBPE PF=． ………………………… 6分 又∵∠APB =∠EPF ．∴△APB ∽△EPF ，∴∠PAB =∠PEF ．∴EF ∥AB ． …………………………… 7分 ②S 2没有最小值，理由如下：过E 作EM ⊥y 轴于点M ，过F 作FN ⊥x 轴于点N ，两线交于点Q ． 由上知M （0，24k -），N （23k ，0），Q （23k ，24k -）． ……………… 8分而S △EFQ = S △PEF ，∴S 2＝S △PEF －S △OEF ＝S △EFQ －S △OEF ＝S △EOM ＋S △FON ＋S 矩形OMQN＝4321212222k k k k ⋅++ ＝222112k k + =221(6)312k +-． ………………………… 10分当26k >-时，S 2的值随k 2的增大而增大，而0＜k 2＜12． …………… 11分 ∴0＜S 2＜24，s 2没有最小值． …………………………… 12分 说明：1．证明AB ∥EF 时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过A 、B 两点和经过E 、F 两点的直线解析式，利用这两个解析式中x 的系数相等来证明AB ∥EF ；方法二：利用tan PAB ∠＝tan PEF ∠来证明AB ∥EF ；方法三：连接AF 、BE ，利用S △AEF ＝S △BFE 得到点A 、点B 到直线EF 的距离相等，再由A 、B 两点在直线EF 同侧可得到AB ∥EF ．2．求S 2的值时，还可进行如下变形：S 2＝ S △PEF －S △OEF ＝S △PEF －（S 四边形PEOF －S △PEF ）＝2 S △PEF －S 四边形PEOF ，再利用第（1）题中的结论．（2009年湖北省荆门市）25．(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x 轴交于A (m －2，0)，B (m ＋2，0)两点，记抛物线顶点为C ，且AC ⊥BC ．(1)若m 为常数，求抛物线的解析式；(2)若m 为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ (3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．25．解：(1)设抛物线的解析式为：y ＝a (x －m ＋2)(x －m －2)＝a (x －m )2－4a ．………2分 ∵AC ⊥BC ，由抛物线的对称性可知：△ACB 是等腰直角三角形，又AB ＝4， ∴C (m ，－2)代入得a ＝12．∴解析式为：y ＝12(x －m )2－2．…………………………5分 (亦可求C 点，设顶点式)(2)∵m 为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m 个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y ＝12(x －m )2－2顶点在坐标原点．………………………………………7分(3)由(1)得D (0，12m 2－2)，设存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形． ∵△BOD 为直角三角形，∴只能OD ＝OB ．……………………………………………9分 ∴12m 2－2＝|m ＋2|，当m ＋2＞0时，解得m ＝4或m ＝－2(舍)． 当m ＋2＜0时，解得m ＝0(舍)或m ＝－2(舍)；当m ＋2＝0时，即m ＝－2时，B 、O 、D 三点重合(不合题意，舍)综上所述：存在实数m ＝4，使得△BOD 为等腰三角形．……………………………12分 （2009年襄樊市）26．（本小题满分13分）如图13，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中：①当动点P 、Q 运动到何处时，以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数； ②当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．第25题图BDACO xy26．（1）证明：∵MBC △是等边三角形∴60MB MC MBC MCB ===︒，∠∠ ·· 1分 ∵M 是AD 中点 ∴AM MD = ∵AD BC ∥∴60AMB MBC ==︒∠∠，60DMC MCB ==︒∠∠∴AMB DMC △≌△ ······ 2分 ∴AB DC =∴梯形ABCD 是等腰梯形． ·················· 3分（2）解：在等边MBC △中，4MB MC BC ===，60MBC MCB ==︒∠∠，60MPQ =︒∠∴120BMP BPM BPM QPC +=+=︒∠∠∠∠∴BMP QPC =∠∠ ························ 4分 ∴BMP CQP △∽△ ∴PC CQBM BP= ················· 5分 ∵PC x MQ y ==， ∴44BP x QC y =-=-， ··········· 6分 ∴444x y x -=- ∴2144y x x =-+ ·················· 7分 （3）解：①当1BP =时，则有BP AM BP MD∥∥， 则四边形ABPM 和四边形MBPD 均为平行四边形 ∴211333444MQ y ==⨯-+= ················ 8分 ADCBP MQ60°图13ADCBPMQ60°当3BP =时，则有PC AM PC MD∥∥， 则四边形MPCD 和四边形APCM 均为平行四边形∴11311444MQ y ==⨯-+= ················· 9分 ∴当1314BP MQ ==，或1334BP MQ ==，时，以P 、M 和A 、B 、C 、 D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形．此时平行四边形有4个． ··················· 10分 ②PQC △为直角三角形 ··················· 11分 ∵()21234y x =-+ ∴当y 取最小值时，2x PC == ··············· 12分 ∴P 是BC 的中点，MP BC ⊥，而60MPQ =︒∠，∴30CPQ =︒∠，∴90PQC =︒∠ ·············· 13分（2009年湖南省株洲市）23．（本题满分12分）如图，已知ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结 BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：()FC AC EC +为定值．23．（1）由(3,)B m 可知3OC =，BC m =，又△ABC 为等腰直角三角形，∴AC BC m ==，3OA m =-，所以点A 的坐标是（3,0m -）. ………………… 3分（2）∵45ODA OAD ∠=∠=︒ ∴3OD OA m ==-，则点D 的坐标是（0,3m -）. 又抛物线顶点为(1,0)P ，且过点B 、D ，所以可设抛物线的解析式为：2(1)y a x =-，得：yxQPFED CBAO22(31)(01)3a m a m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩ 解得14a m =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为221y x x =-+ ………7分 （3）过点Q 作QM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN BC ⊥于点N ，设点Q 的坐标是2(,21)x x x -+，则2(1)QM CN x ==-，3MC QN x ==-.∵//QM CE ∴PQM ∆∽PEC ∆ ∴QM PM EC PC = 即2(1)12x x EC --=，得2(1)E C x =- ∵//QN FC ∴BQN ∆∽BFC ∆ ∴QN BN FC BC = 即234(1)4x x FC ---=，得41FC x =+ 又∵4AC = ∴444()[42(1)](22)2(1)8111FC AC EC x x x x x x +=+-=+=⋅+=+++ 即()FC AC EC +为定值8. ……………………12分本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分.（2009年衡阳市）26、（本小题满分9分）如图12，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A 、B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A 、B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ． （1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？ （3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为)40<<a a （，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象．解：（1）设点M 的横坐标为x ，则点M 的纵坐标为－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）；B x y MC DO A 图12（1）B x yO A图12（2）B x yO A图12（3）则：MC ＝∣－x+4∣＝－x+4，MD ＝∣x ∣＝x ；∴C 四边形OCMD ＝2（MC+MD ）＝2（－x+4+x ）＝8∴当点M 在AB 上运动时，四边形OCMD 的周长不发生变化，总是等于8； （2）根据题意得：S 四边形OCMD ＝MC ·MD ＝（－x+4）· x ＝－x 2+4x ＝－(x-2)2+4∴四边形OCMD 的面积是关于点M 的横坐标x （0<x<4）的二次函数，并且当x ＝2，即当点M 运动到线段AB 的中点时，四边形OCMD 的面积最大且最大面积为4； （3）如图10（2），当20≤<a 时，42121422+-=-=a a S ； 如图10（3），当42<≤a 时，22)4(21)4(21-=-=a a S ；∴S 与a 的函数的图象如下图所示：25．（本小题12分）如图11，在△ABC 中，∠C =90°，BC =8，AC =6，另有一直角梯形DEFH （HF ∥DE ，∠HDE =90°）的底边DE 落在CB 上，腰DH 落在CA 上，且DE =4，∠DEF =∠CBA ，AH ∶AC =2∶3（1）延长HF 交AB 于G ，求△AHG 的面积. （2）操作：固定△ABC ，将直角梯形DEFH 以每秒1个单位的速度沿CB 方向向右移动，直到点D 与点B 重合时停止，设运动的时间为t 秒，运动后的直角梯 形为DEFH ′（如图12）.探究1：在运动中，四边形CDH ′H 能否为正方形？若能，请求出此时t 的值；若不能，请说明理由.探究2：在运动过程中，△ABC 与直角梯形DEFH ′重叠部分的面积为y ，求y 与t 的函数关系.2·4· ·2·4Sa )204212≤<+-=a a S （)42)4(212<≤-=a a S （（湖南2009年娄底市）25．（12分） 解：（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6∴AH=23AC=23×6=4又∵HF∥DE，∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB…………………………1分∴AHAC =HGBC，即46=8HG，∴HG=163…………………………………2分∴S△AHG=12AH·HG=12×4×163=323……………………………………3分（2）①能为正方形…………………………………………………………………4分∵HH′∥CD，HC∥H′D，∴四边形CDH′H为平行四边形又∠C=90°，∴四边形CDH′H为矩形…………………………………5分又CH=AC-AH=6-4=2∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H为正方形此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形…………………………6分②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，∴EF∥AB∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合.当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积.…………7分过F作FM⊥DE于M，FMME =tan∠DEF=tan∠ABC=ACBC=68=34∴ME=43FM=43×2=83，HF=DM=DE-ME=4-83=43∴直角梯形DEFH′的面积为12（4+43）×2=163∴y=163………………………………………………………………8分（Ⅱ）∵当4＜t≤513时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积-矩形CDH′H的面积.…………………………………………………………9分而S边形CBGH=S△ABC-S△AHG=12×8×6-323=403S矩形CDH′H =2t∴y=403-2t……………………………………………………………………10分（Ⅲ）当513＜t≤8时，如图，设H′D交AB于P.BD=8-t又PDDB =tan∠ABC=34∴PD=34DB=34（8-t）………………11分 ∴重叠部分的面积y=S△PDB=12PD·DB=12·34（8-t）（8-t）=38（8-t）2=38t2-6t+24∴重叠部分面积y与t的函数关系式：y=316（0≤t≤4）403-2t（4＜t≤513）38t2-6t+24（513＜t≤8）（注：评分时，考生未作结论不扣分）……………………………………12分。

2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(三)全国通用

2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(三)全国通用

2009年全国中考数学压轴题精选精析（三）25.（09年某某贺州）28．(本题满分10分)如图，抛物线2124y x x =--+的顶点为A ，与y 轴交于点B ．（1）求点A 、点B 的坐标．（2）若点P 是x 轴上任意一点，求证：PA PB-≤（3）当PB PA -最大时，求点P 的坐标．（09年某某贺州28题解析）解：（1）抛物线214y x =--令x=0得y=2． ∴B （0，2） 1分∵22112(2)344y x x x =--+=-++ ∴A （—2，3）3分（2）当点P 是 AB 的延长线与x 轴交点时，AB PB PA =-．5分当点P 在x 轴上又异于AB 的延长线与x 轴的交点时， 在点P 、A 、B 构成的三角形中，AB PB PA <-． 综合上述：PA PB AB -≤7分（3）作直线AB 交x 轴于点P ，由（2）可知：当P A —PB 最大时，点P 是所求的点 8分作AH ⊥OP 于H ． ∵BO ⊥OP ， ∴△BOP ∽△AHP ∴AH HPBO OP=9分 由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2， ∴OP=4，故P （4，0） 10分注：求出AB 所在直线解析式后再求其与x 轴交点P （4，0）等各种方法只要正确也相应给分．26.（09年某某某某）26．（本题满分10分）第28题图第28题图如图11，已知抛物线b ax ax y --=22（0>a ）与x 轴的一个交点为(10)B -，，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标； （2）以AD 为直径的圆经过点C ． ①求抛物线的解析式；②点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以E F A B ，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标．（09年某某某某26题解析）解：（1）对称轴是直线：1=x ， 点A 的坐标是（3，0）．2分（说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分） （2）如图11，连接AC 、AD ，过D 作轴 y DM ⊥于点M ， 解法一：利用AOC CMD △∽△∵点A 、D 、C 的坐标分别是A （3，0），D （1，b a --）、 C （0，b -），∴AO ＝3，MD =1． 由MD OC CM AO =得13ba = ∴03=-ab 3分又∵b a a --⋅--⋅=)1(2)1(024分∴由⎩⎨⎧=-=-0303b a ab 得⎩⎨⎧==31b a 5分图11∴函数解析式为：322--=x x y 6分 解法二：利用以AD 为直径的圆经过点C∵点A 、D 的坐标分别是A （3，0） 、D （1，b a --）、C （0，b -）， ∴29b AC +=，21a CD +=，2)(4b a AD --+=∵222AD CD AC =+ ∴03=-ab (3)又∵b a a --⋅--⋅=)1(2)1(02…②4分 由①、②得13a b ==，5分 ∴函数解析式为：322--=x x y 6分（3）如图所示，当BAFE 为平行四边形时 则BA ∥EF ，并且BA ＝EF ． ∵BA =4，∴EF =4由于对称为1=x ， ∴点F 的横坐标为5．7分将5=x 代入322--=x x y 得12=y ， ∴F （5，12）． 8分根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点F ，使得四边形BAEF 是平行四边形，此时点F 坐标为（3-，12）． 9分当四边形BEAF 是平行四边形时，点F 即为点D ， 此时点F 的坐标为（1，4-）． 10分综上所述，点F 的坐标为（5，12）， （3-，12）或（1，4-）． （其它解法参照给分）27.（09年某某某某）26．如图14，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有图11两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米． （1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？（09年某某某某26题解析）解：（1）横向甬道的面积为：()2120180150m 2x x += ··· 2分 （2）依题意：2112018028015028082x x x +⨯+-=⨯⨯ ······································· 4分 整理得：21557500x x -+=125150x x ==，（不符合题意，舍去） ····························································· 6分 ∴甬道的宽为5米．（3）设建设花坛的总费用为y 万元．()21201800.028******** 5.72y x x x x +⎡⎤=⨯⨯-+-+⎢⎥⎣⎦······································ 7分20.040.5240x x =-+当0.56.25220.04b x a =-==⨯时，y 的值最小． ··················································· 8分 因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，6x ∴=当米时，总费用最少． ·········································································· 9分最少费用为：20.0460.56240238.44⨯-⨯+=万元 ··········································· 10分 28.（09年某某某某）26．（本题满分10分）图14如图，已知抛物线y ＝34x 2＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且0＜t ＜1．（1）填空：点C 的坐标是_▲_，b ＝_▲_，c ＝_▲_； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．（09年某某某某26题解析）解：（1）（0，－3），b ＝－94，c ＝－3． ······················· 3分 （2）由（1），得y ＝34x 2－94x －3，它与x 轴交于A ，B 两点，得B （4，0）．∴OB ＝4，又∵OC ＝3，∴BC ＝5． 由题意，得△BHP ∽△BOC ，∵OC ∶OB ∶BC ＝3∶4∶5， ∴HP ∶HB ∶BP ＝3∶4∶5， ∵PB ＝5t ，∴HB ＝4t ，HP ＝3t ． ∴OH ＝OB －HB ＝4－4t ． 由y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，得Q （4t ，0）． ∴OQ ＝4t ． ·············································································· 4分 ①当H 在Q 、B 之间时， QH ＝OH －OQ＝（4－4t ）－4t ＝4－8t ． ······················································· 5分②当H 在O 、Q 之间时， QH ＝OQ －OH＝4t －（4－4t ）＝8t －4． ······················································· 6分 综合①，②得QH ＝｜4－8t ｜； ······················································ 6分 （3）存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似． ················ 7分①当H 在Q 、B 之间时，QH ＝4－8t ，若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得483t -＝34tt， ∴t ＝732． ··············································································· 7分 若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得33t ＝484t t -，即t 2＋2t －1＝0．∴t 11，t 2－1（舍去）． ·········································· 8分 ②当H 在O 、Q 之间时，QH ＝8t －4．若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得843t -＝34t t， ∴t ＝2532． ··············································································· 9分 若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得33t ＝844t t -，即t 2－2t ＋1＝0．∴t 1＝t 2＝1（舍去）．································································ 10分综上所述，存在t 的值，t 1－1，t 2＝732，t 3＝2532． ···················· 10分 29.（09年某某某某）26．（本题满分12分）如图（9）-1，抛物线23y ax ax b =-+经过A （1-，0），C （3，2-）两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B ． （1）求此抛物线的解析式；（2）若直线)0(1≠+=k kx y 将四边形ABCD 面积二等分，求k 的值；（3）如图（9）-2，过点E （1，1）作EF ⊥x 轴于点F ，将△AEF 绕平面内某点旋转180°得△MNQ （点M 、N 、Q 分别与点A 、E 、F 对应），使点M 、N 在抛物线上，作MG ⊥x 轴于点G ，若线段MG ︰AG ＝1︰2，求点M ，N 的坐标．（09年某某某某26题解析）（1）解：把A （1-，0），C （3，2-）代入抛物线 23y ax ax b =-+ 得⎩⎨⎧-=+-=+-⨯--2990)1(3)1(2b a a b a a 1分 整理得⎩⎨⎧-==+204b b a ………………2分 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==221b a ………………3分 ∴抛物线的解析式为 223212--=x x y 4分 （2）令0223212=--x x 解得 1214x x =-=， ∴B 点坐标为（4，0）又∵D 点坐标为（0，2-）∴AB ∥CD ∴四边形ABCD 是梯形． ∴S 梯形ABCD ＝82)35(21=⨯+5分 设直线)0(1≠+=k kx y 与x 轴的交点为H ， 与CD 的交点为T ， 则H （k 1-，0），T （k3-，2-）6分 ∵直线)0(1≠+=k kx y 将四边形ABCD 面积二等分 ∴S 梯形AHTD ＝21S 梯形ABCD ＝４y=kx +1图（9）-1N图（9）-2y=kx +1图(9) -1∴42)311(21=⨯-+-kk 7分 ∴34-=k 8分 （3）∵MG ⊥x 轴于点G ，线段MG ︰AG ＝1︰2 ∴设M （m ，21+-m ），9分 ∵点M 在抛物线上 ∴22321212--=+-m m m 解得1231m m ==-，（舍去）10分 ∴M 点坐标为（3，2-）11分根据中心对称图形性质知，MQ ∥AF ，MQ ＝AF ，NQ ＝EF ， ∴N 点坐标为（1，3-）12分30.（09年某某黔东南州）26、（12分）已知二次函数22-++=a ax x y 。

2009年中考压轴题

2009年中考压轴题

2009中考压轴题精选（二）1. （重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2, OC=3 .过原点O作/ AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE丄DC,交OA于点E .（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将/ EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G .如果DF与（1 ）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为-，那么5EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△ PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)由已知，得C(3,0) , D(2,2),: ADE =90°- CDB "BCD ,1 AE =AD L tan ADE =2 tan BCD =2 1.2E(0,1).设过点E、D、C的抛物线的解析式为y = ax2 bx c(a = 0).将点E的坐标代入，得c =1 .将c =1和点D、C的坐标分别代入，得4a 2b 1 二2,9a 3b 1 = 0.5…6 b』解这个方程组，得6GP 与该抛物线在第一象限内的交点 Q 的横坐标为1,5 13 故抛物线的解析式为 y x 2 x 1 .6 6(2) EF =2G0成立.:点M 在该抛物线上，且它的横坐标为 -, 5将点D 、M 的坐标分别代入，得2k 巾=2, ,1 k =6 u 12 解得 2k b| . 5 50=3. 1DM 的解析式为y x 3.2-F(0,3) , EF =2 .过点D 作DK 丄OC 于点K , 则 DA 二 DK . :ADK "FDG =90° FDA =/GDK . 又「FAD GKD =90° △ DAF DKG . KG 二 AF = 1 . .GO =1. EF =2GO .(3);点 P 在 AB 上, G(1,0) , C(3,0)，则设 P(1,2). PG 2=(t -1)2 22, PC 2=(3-t)2 22, GC =2 .①若 PG = PC ，则(t -1)2 22 二(3 —t)2 22, 解得t=2 . ■ P(2,2)，此时点Q 与点P 重合.Q(2,2).②若 PG 二 GC ，则(t -1)22 = 22 ,解得t =1 , ■ P(1,2)，此时GP 丄x 轴..点M 的纵坐标为12~5设DM 的解析式为y = kx b|(^"0)， x.点Q的纵坐标为--3.Q 1,7•I 3丿③若PC 二GC，则(3 -t)2 2^22,解得t=3, P(3,2)，此时PC二GC=2 , △ PCG是等腰直角三角形.过点Q作QH丄x轴于点H ,则QH =GH，设QH 二h ,.Q(h 1, h).5 2 13(h 1)2(h 1) 1 二h .6 6x 解得h , h2_ -2 (舍去).5Q12.综上所述，存在三个满足条件的点Q ,即Q(2,2)或Q1,3 或Q 12,5 .2. (长沙市)2如图，二次函数y二ax bx c ( a = 0 )的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C •连结AC、BC , A C两点的坐标分别为A(-3,0)、C(0八3),且当x = —4和x=2时二次函数的函数值y相等.(1) 求实数a, b , c的值；(2) 若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动.当运动时间为t秒时，连结MN,将厶BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；(3) 在(2)的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q,使得以B, N , Q为项点的三角形与△ ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.3.（北京市）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，L ABC 三个机战的坐标分别为 A ：；：-6,0 ,— 1B 6,0，C 0,4.3，延长 AC 到点 D,使 CD=-线于点E.（1） 求D 点的坐标；（2） 作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ,若过B 点的直线y =kx ・b 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四 边形，确定此直线的解析式； （3） 设G 为y 轴上一点，点P 从直线 kx b 与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴 上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短。

2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(七)全国通用

2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(七)全国通用

2009年全国中考数学压轴题精选精析（七）73.（2009年某某）26．（本题14分）如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值X 围．（2009年某某26题解析）（1）解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，．由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=．········································································ （2分）由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C 点的坐标为()56，． ······························· （3分） ∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·．·················································· （4分） （2）解：∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=，．∴D 点坐标为()88，． ···························································································· （5分） 又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，． ·········································································· （6分）（第26题）∴8448OE EF =-==，． ································································ （7分）（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则Rt Rt RGB CMB △∽△．∴BG RG BM CM =，即36t RG=，∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC △∽△，∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．即241644333S t t =-++．·························································· （10分）74.（2009年某某某某）23． (本题满分10分)已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）（图3）（图1）（图2）FB DC 第23题图①D（2009年某某某某23题解析）解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=12FD．………… 1分同理，在Rt△DEF中，EG=12FD．………………2分∴CG=EG．…………………3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG．∴AG=CG．………………………5分在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴MG=NG在矩形AENM中，AM=EN．……………6分在Rt△AMG与Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，DB C第23题图③BDCN图②（一）∴△AMG ≌△ENG ． ∴AG =EG ．∴EG =CG ． ……………………………8分 证法二：延长CG 至M ,使MG =CG ，连接MF ，ME ，EC ， ……………………4分 在△DCG 与△FMG 中，∵FG =DG ，∠MGF =∠CGD ，MG =CG ， ∴△DCG ≌△FMG ．∴MF =CD ，∠FMG ＝∠DCG ． ∴MF ∥CD ∥AB ．………………………5分 ∴EF MF ⊥．在Rt △MFE 与Rt △CBE 中， ∵MF =CB ，EF =BE ， ∴△MFE ≌△CBE ．∴MEF CEB ∠=∠．…………………………………………………6分 ∴∠MEC ＝∠MEF ＋∠FEC ＝∠CEB ＋∠CEF ＝90°． …………7分 ∴△MEC 为直角三角形． ∵MG = CG ， ∴EG =21MC ． ∴EG CG =．………………………………8分 （3）（1）中的结论仍然成立，即EG =CG ．其他的结论还有:EG ⊥CG ．……10分 75.（2009年某某某某）29．（本小题满分12分） 问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，BDC图③BDC图 ②（二）A BDEFM求AMBN的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于；若14CE CD =，则AM BN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值等于．（用含n 的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN的值等于．（用含m n ，的式子表示）（2009年某某某某29题解析）解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． ··············································· 1分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,． ∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．方法指导： 为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2图（2）NABCD EFMN图（1-1）A BC EFM在Rt CNE △中，222NE CN CE =+． ∴()22221x x =-+．解得54x =，即54BN =． ···················································· 3分在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，∴2222AM AB DM DE +=+． ····························································· 5分设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．解得14y =，即14AM =． ····································································· 6分∴15AM BN =．································································································ 7分 方法二：同方法一，54BN =． ········································································· 3分如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==．同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==． ∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，． 在BCE △与NGM △中90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ·································· ５分 ∵114AM AG MG AM =--=5，=．4 ····················································· 6分 N图（1-2）A BC DEFMG∴15AM BN =．··················································································· 7分 类比归纳25（或410）；917；()2211n n -+ ·································································· 10分 联系拓广2222211n m n n m -++ ······················································································ 12分 评分说明：1．如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时，可参照评分说明进行估分． 2．如解答题由多个问题组成，前一问题解答有误或未答，对后面问题的解答没有影响，可依据参考答案及评分说明进行估分．76.（2009年某某某某）24．（本小题满分9分）已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，． （1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标． （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．（第24题图）（2009年某某某某24题解析）解：（1）由题意得129302b a a bc c ⎧=⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪=-⎪⎩ ···················· 2分解得23432a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩∴此抛物线的解析式为224233y x x =+- ················································· 3分 （2）连结AC 、BC .因为BC 的长度一定，所以PBC △周长最小，就是使PC PB +最小.B 点关于对称轴的对称点是A 点，AC 与对称轴1x =-的交点即为所求的点P .设直线AC 的表达式为y kx b =+则302k b b -+=⎧⎨=-⎩，················································ 4分解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴此直线的表达式为223y x =--． ························································· 5分 把1x =-代入得43y =-∴P 点的坐标为413⎛⎫-- ⎪⎝⎭，··································································· 6分 （3）S 存在最大值 ············································································· 7分 理由：∵DE PC ∥，即DE AC ∥． ∴OED OAC △∽△．（第24题图）∴OD OE OC OA =，即223m OE-=．∴333322OE m AE OE m =-==，，方法一： 连结OPOED POE POD OED PDOE S S S S S S =-=+-△△△△四边形=()()13411332132223222m m m m ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=23342m m -+ ··············································································· 8分 ∵304-<∴当1m =时，333424S =-+=最大 ····················································· 9分方法二：OAC OED AEP PCD S S S S S =---△△△△=()1131341323212222232m m m m ⎛⎫⨯⨯-⨯-⨯--⨯⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ =()22333314244m m m -+=--+ ······················································· 8分 ∵304-<∴当1m =时，34S =最大··································································· 9分77.（2009年某某某某）26．（本小题满分13分） 如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．（2009年某某某某26题解析）解：（1）该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-． 将(40)A ，，(10)B ，代入，得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-． ················································ （3分）（2）存在． ···························································································· （4分） 如图，设P 点的横坐标为m ， 则P 点的纵坐标为215222m m -+-，当14m <<时，4AM m =-，215222PM m m =-+-．又90COA PMA ∠=∠=°，∴①当21AM AO PM OC ==时， APM ACO △∽△，即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，． ···················································· （6分）②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m m m -=-+-． 解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）（第26题图）∴当14m <<时，(21)P ，． ······································································ （7分） 类似地可求出当4m >时，(52)P -，． ························································ （8分） 当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，． ························· （9分） （3）如图，设D 点的横坐标为(04)t t <<，则D 点的纵坐标为215222t t -+-． 过D 作y 轴的平行线交AC 于E ． 由题意可求得直线AC 的解析式为122y x =-．··········································· （10分） E ∴点的坐标为122t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．2215112222222DE t t t t t ⎛⎫∴=-+---=-+ ⎪⎝⎭． ········································ （11分）22211244(2)422DAC S t t t t t ⎛⎫∴=⨯-+⨯=-+=--+ ⎪⎝⎭△．∴当2t =时，DAC △面积最大．(21)D ∴，． ·························································································· （13分） 78.（2009年某某某某）24．（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PE AB ∥？（2）设PEQ △的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使225PEQ BCD S S =△△？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．（2009年某某某某24题解析）解：（1）∵PE AB ∥∴DE DP DA DB=． 而10DE t DP t ==-，，∴10610t t-=， ∴154t =．∴当15(s)4t PE AB =，∥． ···················· 2分 （2）∵EF 平行且等于CD ， ∴四边形CDEF 是平行四边形． ∴DEQ C DQE BDC ∠=∠∠=∠，． ∵10BC BD ==，∴DEQ C DQE BDC ∠=∠=∠=∠． ∴DEQ BCD △∽△．∴DE EQBC CD =． 104t EQ=． ∴25EQ t =．过B 作BM CD ⊥，交CD 于M ，过P 作PN EF ⊥，交EF 于N ．BM ====．∵ED DQ BP t ===， ∴102PQ t =-． 又PNQ BMD △∽△，PQ PNBD BM=，F第24题图F10210t -=，15t PN ⎫=-⎪⎭211212255255PEQ t S EQ PN t ⎫==⨯⨯-=-+⎪⎭△． ···························· 6分 （3）11422BCDS CD BM ==⨯⨯=△ 若225PEQ BCD S S =△△， 则有2225525-+=⨯， 解得1214t t ==，． ······················································································· 9分（4）在PDE △和FBP △中，10DE BP t PD BF t PDE FBP PDE FBP ==⎫⎪==-⇒⎬⎪∠=∠⎭，，△≌△， ∴PDE PFCDE PFCD S S S =+△五边形四边形FBP PFCD S S =+△四边形BCD S ==△∴在运动过程中，五边形PFCDE 的面积不变． ················································· 12分 79.（2009年某某）25．（本题满分12分） 问题探究（1）请在图①的正方形ABCD 内，画出使90APB ∠=°的一个．．点P ，并说明理由． （2）请在图②的正方形ABCD 内（含边），画出使60APB ∠=°的所有．．的点P ，并说明理由． 问题解决（3）如图③，现在一块矩形钢板43ABCD AB BC ==，，．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的APB △和CP D '△钢板，且60APB CP D '∠=∠=°．请你在图③中画出符合要求的点P 和P '，并求出APB △的面积（结果保留根号）．（2009年某某25题解析）解：（1）如图①， 连接AC BD 、交于点P ，则90APB ∠=°．∴点P 为所求． ··········································· （3分）（2）如图②，画法如下：1）以AB 为边在正方形内作等边ABP △；2）作ABP △的外接圆O ⊙，分别与AD BC 、交于点E F 、． 在O ⊙中，弦AB 所对的APB 上的圆周角均为60°，EF ∴上的所有点均为所求的点P ． ·············· （7分）（3）如图③，画法如下： 1）连接AC ；2）以AB 为边作等边ABE △；3）作等边ABE △的外接圆O ⊙，交AC 于点P ； 4）在AC 上截取AP CP '=．则点P P '、为所求． ··································· （9分） （评卷时，作图准确，无画法的不扣分） 过点B 作BG AC ⊥，交AC 于点G ． 在Rt ABC △中，43AB BC ==，．5AC ∴==．125AB BC BG AC ∴==． ········································································· （10分） 在Rt ABG △中，4AB =，DCBA①DCBA③DCBA②（第25题图）DCB AP②③（第25题答案图）22165AG AB BG ∴=-=． 在Rt BPG △中，60BPA ∠=°，12343tan 60535BG PG ∴==⨯=°．∴164355AP AG PG =+=+． 11164312962432255525APB S AP BG ⎛⎫+∴==⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△． ·························· （12分） 80.（2009年某某某某）（本小题满分10分）如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ABC=90°，AD ∥BC ，AB=BC ，E 是AB 的中点，CE ⊥BD 。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2.(1) 求证：DC=BC;(2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠E DC=∠F BC ，DE=BF ，试判断△E CF 的形状，并证明你的结论；(3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值.2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．4、如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。

EBFCDA 图13－2图13－3 图13－1 A ( B ( E )（1）若sin ∠BAD =35，求CD 的长； （2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留π）。

5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G .（1）求证：点F 是BD 中点； （2）求证：CG 是⊙O 的切线； （3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径．6、如图，已知O 为原点，点A 的坐标为（4，3），⊙A 的半径为2．过A 作直线l 平行于x 轴，点P 在直线l 上运动． （１）当点P 在⊙O 上时，请你直接写出它的坐标；（２）设点P 的横坐标为12，试判断直线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由.7、如图，延长⊙O 的半径OA 到B ，使OA=AB ，DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点B 作DE 的垂线， 垂足为点C .求证：∠ACB=31∠OAC .8、如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60．CABDOE⑴求AO 与BO 的长；⑵若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行.①如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；②如图３，当A 点下滑到A ’点，B 点向右滑行到B ’点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到P ’点．若∠POP ’＝15，试求AA ’的长．[解析]⑴AOB Rt 中,∠O =90,∠α=60∴,∠OAB=30，又ＡＢ＝4米，1.[解析] （1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M,则AM=BC=2.又tan ∠ADC=2,所以212DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形.证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以，△DEC ≌△BFC所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠.所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ 即△ECF 是等腰直角三角形.（3）设BE k =,则2CE CF k ==，所以EF =. 因为135BEC ∠=︒，又45CEF ∠=︒，所以90BEF ∠=︒.所以3BF k ==所以1sin 33k BFE k ∠==. 2.[解析] （1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝21AB ，CF ＝21CD ． ∴AE ＝CF∴△ADE ≌△CBF ．（2）当四边形BEDF 是菱形时， 四边形 AGBD 是矩形．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ． ∵AG ∥BD ，∴四边形 AGBD 是平行四边形．∵四边形 BEDF 是菱形， ∴DE ＝BE ． ∵AE ＝BE ，∴AE ＝BE ＝DE ．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB ＝90°． ∴四边形AGBD 是矩形3[解析]（1）BM =FN ．证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF ． 又∵∠BOM =∠FON ， ∴ △OBM ≌△OFN ． ∴ BM =FN ．（2） BM =FN 仍然成立．（3） 证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，∴∠DBA =∠GFE =45°，OB =OF ． ∴∠MBO =∠NFO =135°．又∵∠MOB =∠NOF ， ∴ △OBM ≌△OFN ． ∴ BM =FN ．[解析] （1）因为AB 是⊙O 的直径，OD ＝5所以∠ADB ＝90°，AB ＝10在Rt △ABD 中，sin ∠BAD BDAB=又sin ∠BAD =35，所以BD 1035=，所以BD =6 AD AB BD =-=-=22221068因为∠ADB ＝90°，AB ⊥CD所以DE AB AD BD CE DE ··，== 所以DE ⨯=⨯1086 所以DE =245所以CD DE ==2485（2）因为AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD所以CB BD AC AD ⌒⌒⌒⌒，==所以∠BAD ＝∠CDB ，∠AOC ＝∠AOD 因为AO ＝DO ，所以∠BAD ＝∠ADO 所以∠CDB ＝∠ADO设∠ADO ＝4x ，则∠CDB ＝4x由∠ADO ：∠EDO ＝4：1，则∠EDO ＝x 因为∠ADO ＋∠EDO ＋∠EDB ＝90° 所以4490x x x ++=︒ 所以x ＝10°所以∠AOD ＝180°－（∠OAD ＋∠ADO ）＝100° 所以∠AOC ＝∠AOD ＝100°S OAC 扇形=⨯⨯=1003605125182ππ [解析] (1)证明：∵CH ⊥AB ，DB ⊥AB ，∴△AEH ∽AFB ，△ACE ∽△ADF∴FDCEAF AE BF EH ==，∵HE ＝EC ，∴BF ＝FD (2)方法一：连接CB 、OC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°∵F 是BD 中点， ∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°,∴CG 是⊙O 的切线---------6′方法二：可证明△OCF ≌△OBF(参照方法一标准得分) (3)解：由FC=FB=FE 得：∠FCE=∠FEC 可证得：FA ＝FG ，且AB ＝BG由切割线定理得：（2＋FG ）2＝BG ×AG=2BG 2 ○1 在Rt △BGF 中，由勾股定理得：BG 2＝FG 2－BF 2 ○2 由○1、○2得：FG 2-4FG-12=0 解之得：FG 1＝6，FG 2＝－2（舍去） ∴AB ＝BG ＝24 ∴⊙O 半径为22[解析]解: ⑴点P 的坐标是（2,3）或（6,3）⑵作AC ⊥OP ,C 为垂足.∵∠ACP=∠OBP=90,∠1=∠1∴△AC P ∽△OBP∴AC APOB OP=在OBP Rt ∆中,OP =又AP=12-4=8, ∴3AC =∴AC=24 1.94∵1.94<2∴OP 与⊙A 相交.[解析]证明：连结OE 、AE ，并过点A 作AF ⊥DE 于点F ， （3分）∵DE 是圆的一条切线，E 是切点， ∴OE ⊥DC ， 又∵BC ⊥DE ,∴OE ∥AF ∥BC .∴∠1=∠ACB ，∠2=∠3.∵OA=OE ， ∴∠4=∠3. ∴∠4=∠2.又∵点A 是OB 的中点， ∴点F 是EC 的中点. ∴AE=AC .∴∠1=∠2. ∴∠4=∠2=∠1.即∠ACB =31∠OAC . ∴122OB AB ==米.sin 604OA AB =⋅== . -------------- (3分)⑵设2,3,AC x BD x ==在COD Rt ∆中,2,23,4OC x OD x CD ==+=根据勾股定理:222OC OD CD +=∴()()2222234xx ++= ------------- (5分)∴(213120x x +-=∵0x ≠ ∴0381213=-+x∴x =------------- (7分)即梯子顶端A 沿NO 下滑了2413米. ---- (8分)⑶∵点P 和点P '分别是AOB Rt ∆的斜边AB 与''OB A Rt ∆的斜边''B A 的中点∴PO PA =，O P A P '''= ------------- (9分) ∴,PAO AOP P A O A OP ''''∠=∠∠=∠------- (10分)∴P A O PAO A OP AOP ''''∠-∠=∠-∠∴15P A O PAO POP '''∠-∠=∠=∵30PAO ∠=∴45P A O ''∠=----------------------- (11分)∴cos 4542A O AB '''=⨯=⨯=分)∴AA OA A O ''=-=米. -------- (13分)。

相关文档
最新文档