河南省洛阳市重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学预测试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．不等式x 2+ax+4＞0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣4，4） B ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，+∞）D ．∅2．已知直线l 是平面a 的斜线，则a 内不存在与l （ ） A ．相交的直线 B ．平行的直线 C ．异面的直线D ．垂直的直线3．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为（） A ．22B ．3 C ．32- D ．31-4．茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数，则x ，y 的值分别为A ．4,5B ．5,4C ．4,4D ．5,55．已知直线1: 10l x m y ++=，2:10l x y --=，若12l l ⊥，则m =（ ） A ．2B ．1-C ．±1D ．16．甲箱子里装有3个白球和2个红球，乙箱子里装有2个白球和2个红球．从这两个箱子里分别摸出一个球，设摸出的白球的个数为X ，摸出的红球的个数为Y ，则（ ）A ．()112P X =>，且()()E X E Y < B ．()112P X =>，且()()E X E Y > C ．()112P X ==，且()()E X E Y <D ．()112P X ==，且()()E X E Y >7． 数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)910n⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么在此数列中( ) A ．a 7＝a 8最大 B ．a 8＝a 9最大 C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大8．在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ）A．2B．3C．4D．59．某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（）A．420人B．480人C．840人D．960人10．设等比数列{}n a的公比为q,其前n项的积为n T,并且满足条件：991991001001 11001aa a aa-⋅-<-＞，＞，；给出下列论:①01q＜＜；②9910110a a⋅-＞；③100T值是T中最大值；④使1nT＞成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④11．如图所示，已知正三棱柱111ABC A B C-的所有棱长均为1，则三棱锥11B ABC-的体积为（）A．312B．34C．612D．6412．已知直线()21:3120l x a y+--=，()21:103l x a y a+--=，若12//l l，则a的值为（）A．1a=或2a=B．1a=C．2a=D．2a=-二、填空题：本题共4小题13．不等式26x xx--≤的解集为_______________．14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，连接A1B，D1M，则异面直线A1B和D1M 所成角的余弦值为________________________．15．如图，在边长为a的菱形ABCD中，60BAD∠=，E为BC中点，则AE BD⋅=______.16．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,22ππωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的单调增区间是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知等差数列{}n a 满足22a =，58a =. (1)求{}n a 的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{}n b 中，11b =，234b b a +=，求{}n b 的前n 项和n T .18．已知数列{}n a ，11a =，28a =，且21442()n n n a a a n N *++=--∈.(1)设12n n n b a a +=-，证明数列{}2n b -是等比数列，并求数列{}n a 的通项； (2)若1n n c a =，并且数列{}n c 的前n 项和为n T ，不等式45364n k T ≤对任意正整数n 恒成立，求正整数k 的最小值.(注:当4n ≥时，则122n n -≥)19．（6分）已知数列{}n a 满足：14n n a a n ++=． （1）若{}n a 为等差数列，求{}n a 的通项公式； （2）若{}n a 单调递增，求1a 的取值范围；20．（6分）已知方程23340x x ++=有两个实根12,x x ,记12arctan ,arctan x x αβ==,求αβ+的值. 21．（6分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PCD 为等边三角形，且平面PCD ⊥平面ABCD .H 为PD 的中点，M 为BC 的中点，过点B ，C ，H 的平面交PA 于G .（1）求证：GM 平面PCD ；（2）若43AB BC =时，求二面角P BG H --的余弦值. 22．（8分）不等式2680x x -+<的解集为______.参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解． 【详解】不等式x 2+ax+4＞0对任意实数x 恒成立，则2160a ∆=-<，∴44a -<<． 故选A ． 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，解题时可借助二次函数的图象求解． 2．B 【解析】 【分析】根据平面的斜线的定义，即可作出判定，得到答案． 【详解】由题意，直线l 是平面α的斜线，由斜线的定义可知与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线，所以在平面α内肯定不存在与直线l 平行的直线． 故答案为：B 【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记平面斜线的定义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 3．D 【解析】 【分析】四个交点中的任何一个到焦点的距离和都是2a ，然后分析正六边形中的长度和焦距的关系，从而建立等式求解. 【详解】设椭圆的焦点是12,F F ，圆与椭圆的四个交点是,,,A B C D ,设122F F c =，1AF c =，2AF =，()0c >1222AF AF a c a +=⇒+=，1c e a ===. 故选D. 【点睛】本题考查了椭圆的定义和椭圆的性质，属于基础题型 4．A 【解析】 【分析】根据众数的概念可确定x ；根据平均数的计算方法可构造方程求得y . 【详解】甲组数据众数为124 4x ∴= ∴甲组数据的中位数为124∴乙组数据的平均数为：1161161251201281341246y ++++++=，解得：5y =本题正确选项：A 【点睛】本题考查茎叶图中众数、中位数、平均数的求解，属于基础题. 5．D 【解析】 【分析】当1l 为110A x B y C ++=,2l 为220A x B y D ++=,若12l l ⊥,则12120A A B B +=,由此求解即可 【详解】由题,因为12l l ⊥,所以10m -=,即1m =, 故选:D本题考查已知直线垂直求参数问题,属于基础题 6．D 【解析】X 可取0,1,2，()()221311210;154552252P X P X ==⨯===⨯+⨯=；()31325210P X ==⨯=，()11311012521010E X =⨯+⨯+⨯=，()()()313313112110;1;2521052522525P Y P Y P Y ==⨯===⨯+⨯===⨯=，()3119012102510E Y =⨯+⨯+⨯=，()()()11,2P X E X E Y ∴==>，故选D.7．A 【解析】n a =(n+2)⎛⎫ ⎪⎝⎭n 910，()119310n n a n ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 所以131029n n a n a n ++=⨯+， 令11n na a +≥，解得n≤7， 即n≤7时递增，n ＞7递减，所以a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 7＝a 8＞a 9＞…. 所以a 7＝a 8最大． 本题选择A 选项. 8．D 【解析】因为四边形CD AB 是平行四边形，所以()()()C D 1,22,13,1A =AB+A =-+=-，所以()D C 23115A ⋅A =⨯+⨯-=，故选D ．考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算． 9．C 【解析】 【分析】先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果. 【详解】由题意需要从1800人中抽取90人，所以抽样比为901180020=， 又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有4220840⨯=人.故选C本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型. 10．B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断①正确；利用等比数列的性质及不等式的性质判断②错误；利用等比数列的性质判断③错误；利用等比数列的性质判断④正确，，从而得出结论. 【详解】解：由9910010,a a -⋅＞可得9910010,a a ⋅>＞又110a >＞，即n a ＞0，由99100101a a -<-，即99100(1)(1)0a a --<,结合11a ＞，所以9910a ->，10010a -<，即991a >，10001a <<，即1009901a q a <=<，即①正确； 又991012100a a a ⋅=，所以9910110a a ⋅<<，即9910110a a ⋅-<，即②错误；因为1299100...1...0n a a a a a >>>>>>>>，即99T 值是T 中最大值，即③错误；由991001a a ⋅>，即219819899100()1a T a =⋅>，即1981T >，又219919910010a T =<<，即19901T <<，即④正确，综上可得正确的结论是①④， 故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列的性质及不等式的性质，重点考查了运算能力，属中档题. 11．A 【解析】 【分析】利用等体法1111B ABC C AB B V V --=即可求解. 【详解】三棱锥11B ABC -的体积等于三棱锥11C AB B -的体积， 因此，三棱锥1B ABC -的体积为111132212⨯⨯⨯=， 故选：A. 【点睛】本题考查了等体法求三棱锥的体积、三棱锥的体积公式，考查了转化与化归思想的应用，属于基础题. 12．B 【解析】 【分析】由两直线平行的等价条件列等式求出实数a 的值. 【详解】12//l l ，则()23111323a a a ⎧-=-⎪⎨⎛⎫⨯-≠- ⎪⎪⎝⎭⎩，整理得23202a a a ⎧-+=⎨≠⎩，解得1a =，故选：B.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数的值，解题时要利用直线平行的等价条件列等式求解，一般是转化为斜率相等来求解，考查运算求解能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题 13．(](],20,3-∞-⋃ 【解析】()(](]226060,20,30x x x x x x x x ⎧--≤--⎪≤⇒⇒∈-∞-⋃⎨≠⎪⎩ . 14．105. 【解析】 【分析】连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，可知11//A B CD ，且1CD M ∆是以1CD 为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出1cos CD M ∠的值作为所求的答案． 【详解】 如下图所示：连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC ，则四边形11A BCD 为平行四边形， 所以11//A B C D ，则异面直线1A B 和1D M 所成的角为1CD M ∠或其补角， 易知1111190B C D BC C CDD ∠=∠=∠=，由勾股定理可得1CM D M ==1CD = N 为1CD 的中点，则1MN CD ⊥，在1Rt D MN ∆中，111cos 5D N CD M D M ∠==， 因此，异面直线1A B 和1D M所成角的余弦值为5，故答案为5． 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．15．24a -【解析】 【分析】选取,AB AD 为基底，根据向量的加法减法运算，利用数量积公式计算即可. 【详解】 因为111()()222AE AC AB AB AD AB AB AD =+=++=+, BD AD AB =-,∴AE BD ⋅=22111()()222AB AD AD AB AD AB AD AB +⋅-=-+⋅，又||||AD AB a ==，1cos ,cos 32AD AB π<>==∴ 22211112224AE BD a a a ⋅=-+⨯=-.【点睛】本题主要考查了向量的加法减法运算，向量的数量积，属于中档题. 16．()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（区间端点开闭均可）【解析】 【分析】由已知函数图象求得T ，进一步得到ω，再由五点作图的第二点求得ϕ，则得到函数的解析式，然后利用复合函数的单调性求出()f x 的单调增区间． 【详解】由图可知，115212122T πππ=-=，则T π=，2ω∴=． 又52122ππϕ⨯+=，3ϕπ∴=-．则()sin()f x x π=-223． 由222232k x k πππππ-+-+，k Z ∈，解得51212k xk ππππ-++，k Z ∈． ()f x ∴的单调增区间是5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈． 【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求函数解析式以及复合函数单调区间的求法． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。