【数学】四川省宜宾市2015届高三第二次诊断测试(文)

2015年四川省宜宾市高考二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，a}，B={﹣1，1}，若A∩B={﹣1}，则A∪B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解析】解：∵A∩B={﹣1}，∴a=﹣1，即A={0，﹣1}，则A∪B={﹣1，0，1}，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）为调查学生身高的情况，随机抽测了高三两个班120名学生的身高（单位：cm），所得数据均在区间[140，190]上，其频率分布直方图如图所示（左下），则在抽测的120名学生中，身高位于区间[160，180）上的人数为（）A．70 B．71 C．72 D．73【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】根据频率分布直方图，利用频率=，求出对应的频数即可．【解析】解：根据频率分布直方图，得；学生的身高位于区间[160，180）上的频率为（0.040+0.020）×10=0.6，∴对应的人数为120×0.6=72．故选：C．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目．3．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣y2=2的渐近线的距离是（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】容易求出抛物线焦点及双曲线的渐近线方程分别为（1，0），y=±x，所以根据点到直线的距离公式即可求得该焦点到渐近线的距离．【解析】解：抛物线的焦点为（1，0），双曲线的渐近线方程为y=±x；∴由点到直线的距离公式得抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为：．故选A．【点评】考查抛物线的焦点概念及求法，双曲线渐近线方程的求法，以及点到直线的距离公式．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．B．32 C．16 D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据三视图画出几何体的直观图，代入数据求解即可．【解析】解：几何体的直观图是：几何体的高为4；底面三角形的高为6．底边长为8．∴V棱锥=××8×6×4=32．故选：B【点评】本题考查由三视图求三棱锥的体积．分析出几何体的形状及底面面积和高是解答的关键．5．（5分）设x∈R，则“x＜1”是“log（2x﹣1）＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解析】解：由log（2x﹣1）＞0得0＜2x﹣1＜1，解得＜x＜1，则“x＜1”是“log（2x﹣1）＞0”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．6．（5分）将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图象对应的解析式为（）A．y=sin（x﹣）B．y=sin（x﹣）C．y=sin4x D．y=sinx【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解析】解：将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得函数y=sin[2（x+）﹣]=sin2x的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图象对应的解析式为y=sinx，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7．（5分）函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．A.答案AB.答案BC.答案CD.答案D【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】当x＜0时，函数f（x）=，由函数的单调性，排除CD；当x＜0时，函数f（x）=，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确，【解析】解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；当x＜0时，函数f（x）=，此时，f（1）==0，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，故选：B．【点评】题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力．8．（5分）如图是用计算机随机模拟的方法估计概率的程序框图，P表示估计结果，则输出P的近似值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由题意以及框图的作用，直接计算出结果．【解析】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计几何概型概率的程序框图，如图，M是点落在六边形OCDEFG内的次数，由当i＞2015时，退出循环，∴六边形OCDEFG内的点的次数为M，总试验次数为2015，所以要求的概率满足=1﹣=1﹣=，故M=，所以空白框内应填入的表达式是P==．故选：C．【点评】本题考查程序框图的作用，考查计算、分析能力，属基础题．9．（5分）直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，1）【考点】椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设F2是椭圆的右焦点．由•=0，可得BF⊥AF，再由O点为AB的中点，OF=OF2．可得四边形AFBF2是矩形．设∠ABF=θ，可得BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，利用椭圆的定义可得BF+BF2=2a，可得e=，即可得出．【解析】解：设F2是椭圆的右焦点．∵•=0，∴BF⊥AF，∵O点为AB的中点，OF=OF2．∴四边形AFBF2是平行四边形，∴四边形AFBF2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，sinθ+cosθ=，∵θ∈（0，]，∴∈，∴∈．∴∈，∴e∈．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程性质、矩形的定义、三角函数的单调性、两角和差的正弦，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）已知集合A={x∈R|x4+mx﹣2=0}，满足a∈A的所有点M（a，）均在直线y=x 的同侧，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣，﹣1）∪（1，）C．（﹣5，﹣）∪（，6）D．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜率．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】原方程等价于x3+m=，原方程的实根是曲线y=x3+m与曲线y=的交点的横坐标，分别作出左右两边函数的图象：分m＞0与m＜0讨论，可得答案【解析】解：∵集合A={x∈R|x4+mx﹣2=0}，∴方程的根显然x≠0，原方程等价于x3+m=，原方程的实根是曲线y=x3+m与曲线y=的交点的横坐标，而曲线y=x3+m是由曲线y=x3向上或向下平移|m|个单位而得到的，若交点（x1，）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x与y=交点为：（﹣，﹣），（，）；所以结合图象可得或，解得m＞或m＜﹣．答案为：m＞或m＜﹣．故选：A．【点评】本题综合考查了反比例函数，反比例函数与一次函数图象的交点问题，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡对应的题中横线上.11．（5分）已知i为虚数单位，则复数z=的实部为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．【解析】解：复数z===的实部为．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题．12．（5分）在正项等比数列{a n}中，若a1•a9=4，则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=9．【考点】等比数列的性质；对数的运算性质；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】直接利用等比数列的性质以及对数的运算法则化简所求表达式，求解即可．【解析】解：∵a1•a9=4，∴a1•a9=a2•a8=a3•a7=a4•a6=4∴log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=log2（a1•a2•a3…a9）=log2（a1•=log229=9故答案为：9．【点评】本题考查数列求和对数的运算法则等比数列的性质，考查计算能力．13．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若bsinA=3csinB，a=3，，则b的值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理化简已知等式，根据b不为0得到a=3c，把a的值代入求出c的值，利用余弦定理表示出cosB，将各自的值代入即可求出b的值．【解析】解：利用正弦定理化简bsinA=3csinB，得：ab=3bc，∵b≠0，∴a=3c，把a=3代入得：c=1，由余弦定理得：cosB===，解得：b=．故答案为：【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．14．（5分）已知M（0，﹣1），N（0，1），点P满足•=3，则|+|=4．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】空间向量及应用．【分析】设P（x，y），则由•=3得x2+y2=4，所以|+|==4．【解析】解：设P（x，y），根据题意有，，∴=（﹣2x，﹣2y），∵•=3，∴•=x2+y2﹣1=3，∴x2+y2=4，故|+|====4，故答案为：4．【点评】本题考查向量数量积的计算，设出点P的坐标建立起•=3与|+|间的联系是解决本题的关键，属中档题．15．（5分）如果y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．给出下列命题：①函数y=sinx具有“P（a）性质”；②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f（2015）=1；③若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，则y=f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；④若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，且函数y=g（x）对∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|成立，则函数y=g（x）是周期函数．其中正确的是①③④（写出所有正确命题的编号）．【考点】函数的周期性；抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】①运用诱导公式证明sin（x+π）=﹣sin（x）=sin（﹣x）；②根据奇函数，周期性定义得出f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），f（x+4）=f（x）；③根据解析式得出f（x+4）=f（﹣x），f（x）关于x=2对称，即f（2﹣x）=f（2+x），f（x）为偶函数，根题意得出图象也关于点（﹣1，0）成中心对称，且在（﹣2，﹣1）上单调递减，利用偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增；④利用定义式对称f（x）=f（﹣x），f（x+3）=f（﹣x）=f（x），推论得出f（x）为偶函数，且周期为3；【解析】解：①∵sin（x+π）=﹣sin（x）=sin（﹣x），∴函数y=sinx具有“P（a）性质”；∴①正确②∵若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，∴f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x），周期为4，∵f（1）=1，f（2015）=f（3）=﹣f（1）=﹣1，∴②不正确，③∵若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，∴f（x+4）=f（﹣x），∴f（x）关于x=2对称，即f（2﹣x）=f（2+x），∵图象关于点（1，0）成中心对称，∴f（2﹣x）=﹣f（x），即f（2+x）=﹣f（﹣x），∴得出：f（x）=f（﹣x），f（x）为偶函数，∵图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，∴图象也关于点（﹣1，0）成中心对称，且在（﹣2，﹣1）上单调递减，根据偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增；故③正确．④∵“P（0）性质”和“P（3）性质”，∴f（x）=f（﹣x），f（x+3）=f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数，且周期为3，故④正确．故答案为：①③④．【点评】本题考查了新概念的题目，函数的对称周期性，主要运用抽象函数性质判断，难度较大，特别是第3个选项，仔细推证．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内.16．（12分）2015年央视3.15晚会中关注了4S店的小型汽车维修保养，公共wifi的安全性，网络购物等问题，某网站对上述三个问题进行了满意度的问卷调查，结果如下：（Ⅰ）在所有参与该问卷调查的人员中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有8人不满意4S店的小型汽车维修保养，求n的值；（Ⅱ）在对参与网络购物满意度调查的人员中，用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中任意选取2人，求恰有1人对网络购物满意的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）先求出调查总人数，再根据分层抽样方法原理求出n的值；（Ⅱ）先求出用分层抽样方法抽取的6人中，满意的有4人，不满意的有2人，编号，用列举法求出基本事件数，再计算对应的概率P=．【解析】解：（Ⅰ）由题意知，调查总人数为：200+400+400+100+800+400=2300，用分层抽样的方法抽取n人时，从“不满意4S店的小型汽车维修保养”的人中抽取了8人，∴=，解得n=46；（Ⅱ）从“网络购物”的人中，用分层抽样的方法抽取6人中，其中满意的有4人，分别记为1、2、3、4，不满意的有2人，记为a、b；再从这6人中任意选取2人，有（1、2），（1、3），（1、4），（1、a），（1、b），（2、3），（2、4），（2、a），（2、b），（3、4），（3、a），（3、b），（4、a），（4、b），（a、b）共15种不同的情况；其中恰有1人不满意的有（1、a），（1、b），（2、a），（2、b），（3、a），（3、b），（4、a），（4、b）共8种不同的情况；∴恰有1人对网络购物满意的概率P=．【点评】不同考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的基本事件与概率问题，是基础题目．17．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α以x轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线与射线y=x（x≥0）交于点Q，其中α∈（﹣，）．（Ⅰ）若sinα=，求cos∠POQ；（Ⅱ）求•的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．【专题】平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）易得，由三角函数的和差公式即可计算；（Ⅱ）用坐标表示出点P、Q，利用辅助角公式将式子进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求出数量积的最大值．【解析】解：（Ⅰ）∵sinα=，，∴，．∵∠MOQ=，且，∴，∴cos∠POQ===；（Ⅱ）∵P（cosα，sinα），∴Q（cosα，）∴•===，∵，∴，所以，当，即时，取最大值．【点评】本题主要考查三角函数的定义以及两角和差公式的应用，以及向量数量积的计算，根据三角函数的定义求出点P、Q的坐标是解决本题的关键．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，△ABD是边长为3的正三角形，BC=CD=，PD=4．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）在线段PA上是否存在点M，使得DM∥平面PBC．若存在，求三棱锥P﹣BDM的体积；若不存在，请说明理由．（锥体体积公式：V=Sh，其中S为底面面积，h为高）【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）欲证明平面PAD⊥平面PCD，只需推知CD⊥平面PAD即可；（Ⅱ）存在AP的中点M，使得DM∥平面PBC．通过证明“MN∩DN=N，MN∥平面PBC，ND∥平面PBC”推知DM∥平面PBC．然后将三棱锥P﹣BDM的体积转化为求三棱锥B﹣DMP的体积来计算．【解析】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC．∵△ABD是边长为3的正三角形，BC=CD=，∴在△BCD中，由余弦定理得到：cos∠BDC==，∴∠BDC=30°，∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+30°=90°，∴DC⊥AD，又∵AD∩PD=D，∴CD⊥平面PAD．又∵CD⊂平面CDP，∴平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）存在AP的中点M，使得DM∥平面PBC．理由如下：取AB的中点N，连接MN，DN．∵M是AP的中点，∴MN∥PB．∵△ABC是等边三角形，∴DN⊥AB，由（1）知，∠CBD=∠BDC=30°，∴∠ABC=60°+30°=90°，即BC⊥AB．∴ND∥BC．又MN∩DN=N，∴平面MND∥平面PBC．∴DM∥平面PBC．过点B作BQ⊥AD于Q，∵由已知知，PD⊥BQ，∴BQ⊥平面PAD，∴BQ是三棱锥B﹣DMP的高，∵BQ=，S△DMP=AD•PD=3，∴V P﹣BDM=V B﹣DMP=BQ•S△DMP=．【点评】本题考查了直线与平面垂直、平行的判，．解答（Ⅱ）中三棱锥P﹣BDM的体积时，也可以这样【解析】：V P﹣BDM=V P﹣ABD=PD•S△ABD=．19．（12分）已知公差为d的等差数列{a n}满足：a n+a n+1=2n，n∈N*．（Ⅰ）求首项a1和公差d，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）公差为d的等差数列{a n}满足：a n+a n+1=2n，n∈N*．令n=1，2，可得a1+a2=2，a2+a3=4，解得d，即可得出a1，利用通项公式即可得出．．（II）由a n+a n+1=2n，n∈N*．变形==，利用“裂项求和”即可得出．【解析】解：（I）∵公差为d的等差数列{a n}满足：a n+a n+1=2n，n∈N*．令n=1，2，可得a1+a2=2，a2+a3=4，∴2d=2，解得d=1，∴2a1+d=2，解得a1=，∴=n﹣．（II）∵a n+a n+1=2n，n∈N*．∴==，∴数列{b n}的前n项和S n=b1+b2+…+b n==1=．【点评】本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过A（﹣1，）、B（0，）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于另一点M，交x轴于点P，点M关于x 轴的对称点为N，直线BN交x轴于点Q．求|OP|+|OQ|的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）将A、B两点代入椭圆方程，求出a、b，从而可得椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（k≠0），M（x0，y0），N（x0，﹣y0），联立直线l与椭圆方程，由韦达定理可得，从而M（，），N（，﹣），从而直线BN的方程为：，则Q（，0），又因为P （，0），结合不等式可得|OP|+|OQ|=+≥4．【解析】解：（Ⅰ）将A（﹣1，）、B（0，）两点代入椭圆方程，得，解得，所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）由于直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为（k≠0），M（x0，y0），N （x0，﹣y0），解方程组，化简得，所以，=，从而M（，），N（，﹣），所以k BN==，从而直线BN的方程为：，则Q（，0），又因为P（，0），所以|OP|+|OQ|=+≥4，当且仅当=，即|k|=时取等号，所以|OP|+|OQ|的最小值为4．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方法，联立方程组后利用韦达定理是解题的关键．21．（14分）已知函数f（x）=（a、b∈R，a、b为常数），且y=f（x）在x=1处切线方程为y=x﹣1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设函数g（x）=f（e x），（i）求g（x）的单调区间；（ii）设h（x）=，k（x）=2h′（x）x2，求证：当x＞0时，k（x）＜+．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；证明题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求导f′（x）=；从而由f（1）=ln（1+a）+b=0，f′（1）=﹣[ln（1+a）+b]=1组成方程组求解即可；（Ⅱ）（i）化简g（x）=f（e x）=，再求导g′（x）=，从而由导数确定函数的单调区间；（ii）化简h（x）==，求导h′（x）=，从而化简k（x）=2h′（x）x2=；分别判断与1﹣2xlnx﹣2x的最大值即可证明．【解析】解：（Ⅰ）由题意知，f′（x）=；故f（1）=ln（1+a）+b=0，f′（1）=﹣[ln（1+a）+b]=1，解得，a=b=0．（Ⅱ）（i）g（x）=f（e x）=，g′（x）=，则当x＞1时，g′（x）＜0，当x＜1时，g′（x）＞0；故g（x）的单调增区间是（﹣∞，1]，单调减区间是（1，+∞）．（ii）证明：h（x）==，h′（x）=，k（x）=2h′（x）x2=；由（i）知，当x＞0时，∈（0，]，设m（x）=1﹣2xlnx﹣2x，m′（x）=﹣2lnx﹣4=﹣2（lnx+2），故m（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，故m max（x）=m（）=1+且g（x）与m（x）不于同一点取等号，故k（x）＜（1+）=+．【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的最大值的求法，属于中档题．。