9.1.2三角形的内角和与外角和(2)
初中数学知识归纳三角形的内角和与外角性质
初中数学知识归纳三角形的内角和与外角性质三角形是初中数学中重要的概念之一，在三角形的学习中，了解三角形的内角和与外角性质十分重要。
本文将对初中数学中与三角形的内角和与外角性质相关的知识进行归纳总结。
一、内角和的性质1. 三角形内角和定理三角形的内角和为180°。
这是三角形的基本性质，对于任意一个三角形而言，它的三个内角之和恒定为180°。
2. 等腰三角形的内角性质等腰三角形的两个底角（底边上的两个角）相等，而顶角等于两个底角之和的一半。
3. 直角三角形的内角性质直角三角形的两个锐角之和为90°。
4. 锐角三角形的内角性质锐角三角形的三个内角都是锐角。
5. 钝角三角形的内角性质钝角三角形的其中一个内角是钝角。
二、外角的性质1. 外角和内角的关系三角形的外角等于其对应的两个内角的和。
即一个三角形的外角与其非相邻的两个内角形成一条直线。
2. 三角形外角和的性质一个三角形的所有外角和等于360°。
三、实例应用1. 设某三角形的一个内角为60°，则其余两个内角的度数分别为多少度？根据三角形的内角和定理，三角形的内角和为180°。
已知一个内角为60°，设其余两个内角分别为x和y，则x + y + 60 = 180，整理得到x + y = 120。
因此，另外两个内角的度数分别为120°。
2. 若三角形的两个内角分别为30°和60°，求第三个内角的度数。
根据三角形的内角和定理，三角形的内角和为180°。
已知两个内角分别为30°和60°，设第三个内角的度数为x，则30 + 60 + x = 180，整理得到x = 90。
因此，第三个内角的度数为90°。
3. 在一个三角形中，一个内角为120°，另外两个内角是什么？根据三角形的内角和定理，三角形的内角和为180°。
9.1.2三角形的内角和与外角和
9.1.2三角形的内角和与外角和
〖学习目标〗
1、探索并证明三角形的内角和定理。
2、掌握三角形内角和定理的推论：直角三角形的两个锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
3、探索三角形的外角和等于360°。
〖感受新知〗
探究一 已知△ABC ,分别用∠A ，∠B ，∠C 表示△ABC 的三个内角.
证明:∠A +∠B +∠C =180°
符号语言：
探究二 若△ABC 是直角三角形，∠C 等于90°，根据三角形的内角和等于180°，∠A 与
A
B
C
∠B有什么数关系？
总结：
符号语言：
探究三将△ABC的一边延长，得到外角∠1，外角与不相邻的内角有什么关系？
总结：
符号语言：A
B C
A
B
C
Γ
探究四如图所示，将△ABC的三边都延长，得到外角∠1，∠2，∠3，请独立完成以下内容。
∠1＋________＝180°，∠2＋________＝180°，∠3＋________＝180°，
三式相加可以得到
∠1＋∠2＋∠3＋________＋________＋________＝________①
而∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝________②
①和②作比较，你能得到什么结论？
总结：
符号语言：
〖课堂小结〗
本堂课你学会了哪些数学知识、数学思想？你还有哪些疑惑？
A
B
C。
三角形的内角和与外角和的关系总结
三角形的内角和与外角和的关系总结三角形是几何学中一个重要的概念，它由三条线段组成，其中每两条线段的交点被称为顶点。
三角形的内角和与外角和是研究三角形性质时经常遇到的问题，本文将对其进行总结和探讨。
1. 三角形的内角和三角形的内角和是指三个内角的度数之和。
对于任意三角形，无论其大小和形状如何，三个内角的度数之和始终为180度。
这一性质被称为"三角形的内角和定理"，是几何学中的基本定理之一。
数学的证明过程较为复杂，这里不做详述，但可以通过实际测量和计算来验证。
2. 三角形的外角和三角形的外角和是指三个外角的度数之和。
外角是指一个三角形内部的一条边延伸出去，与另外两条边的非共边构成的角。
对于任意三角形，无论其大小和形状如何，三个外角的度数之和始终为360度。
这一性质也是几何学中的基本定理之一。
3. 内角和与外角和的关系内角和与外角和有着重要的关系。
根据三角形的内角和定理和外角和的定义，可以得出如下结论：内角和 + 外角和 = 180度 + 360度 = 540度这意味着三角形内角和与外角和的和始终为固定值的540度。
这也被称为"三角形内外角和关系定理"。
通过数学的证明，可以得到这个结论。
4. 应用举例通过内角和与外角和的关系，我们可以解决一些与三角形性质相关的问题。
例如，已知一个三角形的一个内角和一个外角，可以通过计算得到其他两个内角的度数，或者已知两个内角，可以通过计算得到第三个内角的度数。
此外，可以利用内角和与外角和的关系来验证三角形的正确性。
如果测得一个三角形的内角和不等于180度或者外角和不等于360度，那么这个图形就不是一个三角形。
总之，三角形的内角和与外角和的关系是几何学中重要的定理之一。
它们揭示了三角形内外角度数之间的联系，对于解决三角形性质相关的问题具有重要作用。
在实际应用中，我们可以根据这些定理进行计算和验证，进一步深入理解和应用三角形的性质。
三角形的内角和外角三角形的内角和外角的性质
三角形的内角和外角三角形的内角和外角的性质三角形的内角和外角是三角形的基本性质之一，它们的和有着固定的关系。
本文将探讨三角形的内角和外角的性质以及相关的数学定理。
一、三角形的内角和外角的定义三角形由三条边和三个角组成。
其中每个角都有对应的内角和外角。
内角是指位于三角形内部的角，即由两条边组成的夹角。
外角是指位于三角形外部的角，即由一条边和与其相邻的内角组成的夹角。
二、三角形的内角和外角的关系1. 内角和定理对于任意三角形，其内角的和等于180度。
即三个内角的度数之和为180度。
若设三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则有∠A + ∠B + ∠C = 180度。
2. 外角和定理对于任意三角形，其外角的和也等于180度。
即三个外角的度数之和为180度。
若设三角形的三个外角分别为∠A'、∠B'、∠C'，则有∠A' +∠B' + ∠C' = 180度。
3. 内角和与外角和的关系对应一个内角和一个外角，它们的度数之和为180度。
即对于三角形的任意一组内角和外角，有∠A + ∠A' = 180度；∠B + ∠B' = 180度；∠C + ∠C' = 180度。
三、三角形的内角和外角的性质1. 三角形的内角性质a. 锐角三角形：三个内角都小于90度。
b. 直角三角形：一个内角为90度。
c. 钝角三角形：一个内角大于90度。
2. 三角形的外角性质a. 锐角三角形：三个外角都大于0度且小于180度。
b. 直角三角形：一个外角为90度。
c. 钝角三角形：两个外角大于90度且小于180度，一个外角为0度。
3. 三角形的内角和外角关系a. 两个内角的和大于第三个内角。
即∠A + ∠B > ∠C，∠A +∠C > ∠B，∠B + ∠C > ∠A。
b. 两个外角的和等于第三个外角。
即∠A' + ∠B' = ∠C'，∠A' +∠C' = ∠B'，∠B' + ∠C' = ∠A'。
三角形的内角和与外角性质
三角形的内角和与外角性质三角形是几何学中最基本的形状之一，它的内角和与外角性质是研究三角形性质的重要内容之一。
本文将详细介绍三角形的内角和与外角性质，以及它们之间的关系。
一、三角形的内角和性质在一个三角形中，三个内角的和始终等于180度。
这一性质称为三角形的内角和性质。
以三角形ABC为例，角A、角B、角C分别表示三角形的三个内角。
则有以下等式成立：角A + 角B + 角C = 180°这一性质可以通过以下推论得到进一步的认识。
1. 正三角形的内角和性质正三角形是指三个内角均相等的三角形。
在一个正三角形中，每个内角都是60度，所以三个内角的和为：60° + 60° + 60° = 180°2. 直角三角形的内角和性质直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。
在直角三角形中，另外两个内角的和为：90° + 角B + 角C = 180°∴角B + 角C = 90°3. 钝角三角形的内角和性质钝角三角形是指其中一个内角大于90度的三角形。
在钝角三角形中，另外两个内角的和为：角A + 钝角 + 角C = 180°∴角A + 角C = 钝角二、三角形的外角性质在一个三角形中，每个内角的补角称为该内角的外角。
根据三个内角和性质，可以得知：三角形的外角和等于360度。
以三角形ABC为例，角A、角B、角C的外角分别为角A'、角B'、角C'。
则有以下等式成立：角A + 角A' = 180°角B + 角B' = 180°角C + 角C' = 180°由此可知，角A' + 角B' + 角C' = 360°。
三、内角和与外角性质的关系三角形的三个内角与对应的外角之间存在着一定的关系。
1. 内角和与外角和的关系三角形的三个内角和等于三个外角和。
原七年级数学下册9.1.2三角形的内角和与外角和第2课时三角形的外角和习题课件(新版)华东师大版
第四页，共22页。
4．(2017·资阳模拟(mónǐ))如图，AB∥CD，∠C＝70°，∠F＝30°，则∠A 的度数为( ) C
A．30° B．35° C．40° D．45°
5．(2015·宜宾)如图，AB∥CD，AD与BC交于点E，若∠B＝35°，∠D＝ 45°，则∠AEC＝_______．
80°
第二十二页，共22页。
第五页，共22页。
6．如图，∠B＝65°，∠ACB＝76°，∠AED＝46°，则∠BDF＝ ____8_5_°_____．
知识点❷ 三角形的外角(wài jiǎo)和
7．若一个三角形的三个外角(wài jiǎo)的度数之比为2∶3∶4，则与之
对应的三个内角的度数之比B为(
)
A．4∶3∶2 B．5∶3∶1
解 ： 延 长 CD 交 AB 于 E ， 所 以 ∠ DEB ＝ ∠ A ＋ ∠ C ＝ 122° ， 因 为 ∠ CDB ＝ ∠DEB＋∠B＝143°，而∠CDB＝148°，所以断定这个零件(línɡ jiàn)不合格
第十四页，共22页。
16．(复习(fùxí)14变式)如图，点P是△ABC内的任意一点，试说明∠BPC＞∠A. 解：延长BP交AC于点D.因为∠BPC＞∠PDC.又因为∠PDC＞∠A，所以∠BPC ＞∠A
数是( )
A
A．15° B．25° C．30° D．10°
10．如果(rúguǒ)三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角的和为180°，
那么这个外角的度数为(
)
C A．30° B．60° C．90° D．120°
第九页，共22页。
11．(1)如图①所示，则∠α＝______9_5；°
(2)如图②所示，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数(dù shu)为
三角形的内角和与外角和的计算
三角形的内角和与外角和的计算三角形是几何学中的基本图形，由三条边组成，每个角落对应着一个角。
三角形的内角和与外角和是我们学习三角形性质时常常涉及的重要概念。
本文将详细介绍三角形内角和与外角和的计算方法。
一、三角形的内角和计算方法对于任意一般三角形ABC，我们可以用角度的方式来描述这个三角形。
设三角形的三个内角分别为∠A、∠B和∠C，我们有以下定理：定理1：三角形的内角和等于180°。
也就是说，∠A + ∠B + ∠C = 180°。
这个定理是非常重要的，因为只要知道三个内角中的任意两个角度，就可以通过计算得到第三个角度的值。
例如，如果我们已知∠A = 30°，∠B = 45°，那么根据定理1，我们可以计算出∠C的值：∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 45° = 105°。
由此可见，三角形的内角和是固定的，不受三角形大小和形状的影响。
无论是等边三角形、等腰三角形还是一般三角形，它们的内角和都是180°。
二、三角形外角和计算方法三角形的每个内角都有一个对应的外角，它们之间的关系如下：定理2：三角形的一个内角的对应外角等于其他两个内角的和。
也就是说，对于三角形ABC，∠A的对应外角等于∠B和∠C的和，∠B的对应外角等于∠A和∠C的和，∠C的对应外角等于∠A和∠B的和。
设∠A的对应外角为∠D，∠B的对应外角为∠E，∠C的对应外角为∠F，我们有以下等式：∠D = ∠B + ∠C,∠E = ∠A + ∠C,∠F = ∠A + ∠B.三角形的外角和是指三个外角的和，即∠D + ∠E + ∠F。
根据定理2，我们可以将其表示为：∠D + ∠E + ∠F = (∠B + ∠C) + (∠A + ∠C) + (∠A + ∠B) = 2(∠A + ∠B + ∠C) = 2(180°) = 360°.这意味着，无论是何种三角形，其外角和都等于360°。
三角形的内角和与外角
三角形的内角和与外角三角形是初中数学中一个重要的几何概念，它具有许多特性和性质。
其中，三角形的内角和与外角是一个常见而重要的问题。
在本文中，我将详细介绍三角形的内角和与外角的概念、性质和应用。
一、三角形的内角和三角形的内角和是指三角形内部的三个角的度数之和。
根据数学原理，任意一个多边形的内角和等于180°乘以该多边形的边数减去2。
因此，三角形的内角和等于180°。
我们可以通过一个简单的例子来说明这个性质。
假设我们有一个三角形ABC，其中∠A=60°，∠B=70°，∠C=50°。
我们可以计算出三角形的内角和为180°，即60°+70°+50°=180°。
这个例子证明了三角形的内角和等于180°。
三角形的内角和的性质有许多应用。
例如，我们可以通过已知的内角和来计算未知角的度数。
假设我们知道一个三角形的两个角的度数，我们可以通过计算三角形的内角和减去已知角的度数，来求得未知角的度数。
二、三角形的外角三角形的外角是指三角形内部的一个角与其相邻的两个内角的补角之和。
根据数学原理，三角形的外角等于360°减去三角形的内角和。
因此，三角形的外角和等于360°。
我们可以通过一个例子来说明三角形的外角的概念。
假设我们有一个三角形ABC，其中∠A=60°，∠B=70°，∠C=50°。
我们可以计算出三角形的内角和为180°，然后通过360°减去180°，得到三角形的外角和为180°。
这个例子证明了三角形的外角和等于180°。
三角形的外角的性质也有许多应用。
例如，我们可以通过已知的外角和来计算未知角的度数。
假设我们知道一个三角形的两个内角的度数，我们可以通过计算三角形的外角和减去已知角的度数，来求得未知角的度数。
三角形的内角和与外角和关系
三角形的内角和与外角和关系三角形是几何学中的重要概念，它由三条边和三个内角组成。
研究三角形的性质时，内角和与外角和关系是一个重要的问题。
本文将就三角形的内角和与外角和关系展开论述。
一、三角形内角和的定义与性质在了解三角形内角和与外角和的关系之前，我们首先需要了解三角形内角和的定义与性质。
1. 三角形内角和定义：三角形是由三条边所围成的图形，其中每个角都位于两条边之间。
三角形的内角和定义为三个内角的度数之和，通常表示为180度。
2. 三角形内角和的性质：（1）所有三角形的内角和都等于180度。
（2）对于任意三角形ABC，我们可以用角A、角B和角C来表示他们的内角和关系，即A + B + C = 180度。
二、三角形外角和的定义与性质了解了三角形内角和的定义与性质之后，我们再来了解一下三角形外角和的定义与性质。
1. 三角形外角和定义：三角形的每个内角都对应一个外角，位于与之相邻的两条边的延长线上，而外角和定义为三个外角的度数之和。
2. 三角形外角和的性质：（1）对于任意三角形ABC，它的外角和等于360度。
（2）对于任意三角形ABC，三个内角与其相应的外角满足以下关系：角A + 外角A = 180度；角B + 外角B = 180度；角C + 外角C = 180度。
三、三角形内角和与外角和的关系在前面的阐述中，我们已经分别了解了三角形内角和和外角和的定义与性质，那么他们之间究竟是否存在一定的关系呢？通过观察三角形内角和与外角和的定义，我们可以得出以下结论：（1）三角形的内角和与外角和的关系：内角和与外角和的和为360度。
（2）三角形的内角和与外角和的关系式：角A + 角B + 角C + 外角A + 外角B + 外角C = 360度。
通过以上结论，可以发现三角形的内角和与外角和之间存在一定的数学关系。
内角和与外角和的和总是等于360度，这是由三角形内角和和外角和的定义所决定的。
结论：三角形的内角和与外角和的关系是内角和与外角和的和为360度。
三角形内角和与外角性质知识点
三角形内角和与外角性质知识点三角形是几何学中一个基本的概念，研究三角形的性质对于几何学的学习至关重要。
本文将介绍三角形内角和与外角的性质知识点，帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、三角形内角和与外角的定义1. 三角形内角和：三角形的内角和是指三角形内部各角度之和。
对于任意三角形ABC，其内角和记作∠A+∠B+∠C=180°。
2. 三角形外角：三角形的外角是指与三角形内角相对应的角，位于三角形外部。
对于任意三角形ABC，∠D、∠E、∠F分别为内角∠A、∠B、∠C的对应外角。
二、三角形内角和与外角的性质1. 内角和与三角形类型的关系：(1) 锐角三角形：锐角三角形的内角和小于180°。
例如，对于锐角三角形ABC，有∠A+∠B+∠C=180°，且∠A<90°，∠B<90°，∠C<90°。
(2) 直角三角形：直角三角形的内角和等于180°。
例如，对于直角三角形ABC，有∠A+∠B+∠C=180°，且其中之一角等于90°。
(3) 钝角三角形：钝角三角形的内角和大于180°。
例如，对于钝角三角形ABC，有∠A+∠B+∠C=180°，且其中之一角大于90°。
2. 内角和的计算：内角和可以通过已知的角度进行计算。
例如，已知∠A=30°，∠B=50°，则∠C=180°-∠A-∠B=100°。
3. 外角与其对应内角的关系：(1) 外角与内角的和为180°：对于任意三角形ABC，三个外角∠D、∠E、∠F 与对应的内角∠A、∠B、∠C的和分别满足∠A+∠D=180°，∠B+∠E=180°，∠C+∠F=180°。
(2) 外角与对应内角的关系：对于任意三角形ABC，有∠D=180°-∠A，∠E=180°-∠B，∠F=180°-∠C。
9.1.2三角形的内角和与外角和(2)
解：
BP平分ABC， 1 1＝ ABC 2
PC平分ACD， 1 2＝ ACD 2 2是 BPC外角
2＝1 BPC
1
2
ACD是 ABC外角
ACD A ABC
BPC＝2 1 1 ACD ABC 2
1 BPC A ABC ABC 2 1 A 2
∴ ∠AGF＝ ∠C+∠E 又∵∠AGF+ ∠AFG+ ∠A＝ 180 ˚ ，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ＝ 180 ˚
小结：怎样计算类似图形的角度的和？
利用三角形的内角和与外角的知识，将其中 几个角转化为某个三角形（图形）内部，再 利用内角和知识来解答。
变式
如下几个图形是五角星和它的变形． （2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即 ∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化 说明你的结论的正确性． （3）把图（2）中的点C向上移到BD上时（1）如图（3）所示，五 个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化说明你的 结论的正确性．
解：
BP平分ABC， 1 1＝ ABC 2
BPC 1800
1
2
PC平分ACB， 1 2＝ ACB 2 BPC中, 1 2 BPC 1800
BPC 1800 1 2 1 1 0 180 ABC ACB 2 2
1 ABC ACB 2 1 1800 A 2
F
O
B
C
如图， ∠A＝ 51 ，∠B＝ 20 ，∠C＝ 30 ， A 计算∠BOC
三角形的内角和与外角和
三角形的内角和与外角和在几何学中，三角形是研究的基本形状之一。
一个三角形由三条边和三个内角组成。
本文将介绍三角形的内角和与外角和的性质及相关定理。
一、三角形的内角和一个三角形的内角和是指三个内角的总和。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，它们的度数分别为α、β、γ，则有以下定理：定理1：一个三角形的内角和等于180度。
证明：假设三角形的三个内角分别为A、B、C，它们的度数分别为α、β、γ。
根据角度的定义可知，α+β+γ=180度。
定理2：等边三角形的三个内角都是60度。
证明：设等边三角形的三个内角的度数分别为α、β、γ。
由于三角形的三边相等，根据三角形内角和的定理可得：α+α+α=180度，解方程得α=60度。
同理可得β=60度，γ=60度。
定理3：直角三角形的两个锐角之和等于90度。
证明：设直角三角形的一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数为β。
根据三角形的内角和的定理可得：α+β+90度=180度，化简得α+β=90度。
二、三角形的外角和一个三角形的外角是指三个内角的补角。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，它们的补角分别为α、β、γ，则有以下定理：定理4：一个三角形的外角和等于360度。
证明：设三角形的三个内角分别为A、B、C，它们的补角分别为α、β、γ。
根据角度的定义可知，α+β+γ=360度。
定理5：三角形的一个内角等于其与相对外角的补角。
证明：设三角形的一个内角的度数为α，其相对外角的度数为β。
根据角度的定义可知，α+β=180度。
综上所述，三角形的内角和等于180度，外角和等于360度。
三角形是几何学中非常重要的概念，它具有丰富的性质和定理，对于解题和理解空间关系具有重要作用。
通过研究三角形的内角和与外角和，我们可以深入理解三角形的性质及其应用。
9.1.2三角形的内角和与外角和
C
E
①∠CBD=∠C+∠A
② ∠CBD﹥∠C；
D
A
B
∠CBD﹥ ∠A
证明（二）： 三角形的一个外角等于与它不相邻 过B点作 BE∥AC ∵ ∠ABC + ∠CBD= 180 ° 的两个内角的和 ∴ ∠EBD = ∠A ( ? ) 又∵ ∠ABC+ ∠C+ ∠A= 180 ° ∠CBE = ∠C ( ? ) 三角形的一个外角大于任何一个与 ∴ ∠CBD = ∠CBE+ ∠EBD ∴ ∠CBD= ∠C+ ∠A 它不相邻的内角 = ∠C+ ∠A
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 A' 2
D
A
E
1 三角形的外角性质：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
2 三角形的内角和等于180˚ 三角形的外角和等于360 ˚ 3 在求角的度数时，常可利用三角形的内角和及外角 的性质来找数量关系；涉及图形时，可先把已知条件 尽可能的在图中标出来，有助于直观分析题意。
复习
1、什么是三角形的内角？其和等于多少？ 2、什么是三角形的外角？ 3、三角形外角与内角的关系 （1）位置关系 （2）数量关系
相邻的内角 外角
不相邻的内角
外角+相邻的内角=180 ˚（互补）
取一张三角形纸片，把它的三个角剪 开，拼在一起，你有什么发现？
A
B
C 图1
问题：将三角形的内角剪下，试着拼拼看。 三角形的内角和是否为180度？
证明（一）
小试身手
1、求下列各图中∠1的度数.
∠1=90°
∠1=85°
∠1=95°
三角形的内角和与外角
三角形的内角和与外角三角形是几何学中基础的图形，它有许多有趣的性质和特点。
其中之一就是三角形的内角和与外角之间的关系。
本文将探讨三角形的内角和与外角的性质和计算方法。
一、三角形的内角和在任意三角形ABC中，内角和的总和等于180度。
这个结论可以通过以下证明得到：假设在三角形ABC中，内角A的度数为a，内角B的度数为b，内角C的度数为c。
根据几何学的基本原理，我们知道直线上的内角之和为180度。
在三角形ABC中，我们可以假设AB为直线，那么内角A和内角B可以看作是在直线上的两个内角。
所以，内角A和内角B的和等于180度。
同理，我们可以得出内角A和内角C的和、以及内角B和内角C的和都等于180度。
因此，三角形ABC的内角和等于180度，即a + b + c = 180。
二、三角形的外角所谓三角形的外角，指的是三角形的一个内角的补角。
也就是说，外角等于与之相对的内角的补角。
在三角形ABC中，对应于内角A的外角记为α，对应于内角B的外角记为β，对应于内角C的外角记为γ。
根据外角和内角的性质，我们可以得出以下结论：1. 任意三角形的外角之和等于360度。
也就是说，α + β + γ = 360。
这是因为三角形的三个外角，可以构成完整的一圈，即360度。
2. 三角形的外角和内角之间存在关系：内角等于外角的补角。
例如，在三角形ABC中，对应于内角A的外角α，α = 180 - a。
同理，对应于内角B的外角β，β = 180 - b；对应于内角C的外角γ，γ = 180 - c。
三、三角形内角和与外角之间的关系接下来，我们将探讨三角形的内角和与外角之间的关系。
以三角形ABC为例。
根据定义，内角和的总和等于180度，即a + b + c = 180。
而三角形的外角和等于360度，即α + β + γ = 360。
根据三角形的外角与内角的关系，我们可以得到以下结论：1. 内角和与外角和之间存在补角关系。
即内角和加上外角和等于180度，即(a + b + c) + (α + β + γ) = 180。
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三角形的外角和（2）
【目标要求】
1、复习巩固三角形的外角的性质、三角形的外角和定理；
2、能熟练地运用三角形外角的性质、三角形的外角和进行计算和说理. 【重点】：三角形外角的性质、三角形外角和定理的应用；
【难点】：灵活运用三角形的外角性质和外角和定理.
【自主探究】
自学教材第78页
知识点一：三角形的外角和的推导
1．如图示填空：
（1）B
∠____
∠
A
+
ACD∠
（2）A
∠_______
ACD∠
ACD∠
∠______，B
(3) =
A
∠B
ACB
+
+
∠
∠
2、想一想, △ＡＢＣ的外角共有几个呢?
二、探究合作、展示
1、如图示：思考∠1＋∠2＋∠3＝ ?
∵∠1＋______________=180°,
∠2+_______________=180°,
∠3+_______________=180°.
三式相加可以得到
∴∠1＋∠2＋∠3＋______+______+______=_______,（1 ）
又∵∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°，（2）
∴∠1＋∠2＋∠3＝°
结论：三角形的外角和是
知识点二：三角形的外角和的应用
例1、如图9.1.11，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，
∠ADC＝80°，∠BAC=70°.求：
（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
图9.1.11 解（1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知），
∴∠ADC ＝∠B ＋∠ ＝80°
又 ∠B ＝∠BAD （已知），
∴ ∠ ＝80°×2
1＝40°（等量代换）. （2）在△ABC 中，∵∠B ＋∠ ＋∠C ＝180°（三角形的内角和等于180°），
∴ ∠C ＝180°－∠ －∠ （等式的性质）＝180°－40°－70°＝70°
例2、如图所示,在△ABC 中,∠A=70°,BO,CO 分别平分∠ABC 和∠
ACB,求∠BOC 的度数.
【小试牛刀】
1.三角形的三个外角中,最多有_______个锐角.
2.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____.
3.如图1所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.
图1
【专题提升】
如右图，AC ∥DE,BD 平分∠ABC 交AC 于F ，∠ABC=70°,∠E=50°,求∠D ，∠A 的度数
【整理评价与反思】
1 整理今天所学内容，展示 次，质疑 次，参与 次。
2 反思我这节课的表现，学习状态（ ）
A 很认真，值得表扬
B 还可以，继续努力
C 还得加油
【课后作业】教科书第82页 习题9.1 第4题 D C B A O B
A。