2018版高中数学第一章导数及其应用章末复习提升课课件新人教A版选修2_2
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2018版数学人教A版选修2-2课件：第一章 导数及其应用 1-5-1~1-5-2 精品
1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 汽车行驶的路程
学习目标
1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.
2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.，
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
曲边梯形的面积
思考1
如何计算下列两图形的面积？
答案 ①直接利用梯形面积公式求解. ②转化为三角形和梯形求解.
2 2 2
3 3 3 3
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积.
解答
类型二 求变速运动的路程
例2
当汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.
如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为 v(t) ＝t2＋2( 单位：km/h) ，
答案
思考2
如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形
的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
答案
已知图形是由直线 x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可
称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”
的所有边都是直线段.
答案
思考3
能否将求曲边梯形的面积问题转化为求 “直边图形”的面积 问题？(归纳主要步骤)
那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？
解答
引申探究
本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，
比较两次求出的结果是否一样？
解答
反思与感悟
求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用 “以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、 取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.
1.5.2 汽车行驶的路程
学习目标
1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.
2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.，
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
曲边梯形的面积
思考1
如何计算下列两图形的面积？
答案 ①直接利用梯形面积公式求解. ②转化为三角形和梯形求解.
2 2 2
3 3 3 3
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积.
解答
类型二 求变速运动的路程
例2
当汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.
如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为 v(t) ＝t2＋2( 单位：km/h) ，
答案
思考2
如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形
的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
答案
已知图形是由直线 x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可
称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”
的所有边都是直线段.
答案
思考3
能否将求曲边梯形的面积问题转化为求 “直边图形”的面积 问题？(归纳主要步骤)
那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？
解答
引申探究
本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，
比较两次求出的结果是否一样？
解答
反思与感悟
求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用 “以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、 取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.
2018学年高中数学人教A版选修2-2课件 第1章 导数及其应用1.6 精品
定义 ； 4．求定积分的方法主要有：①利用定积分的________
a
微积分基本定理 ②利用定积分的几何意义 ________；③利用___________________ ．
[知识点拨]1.微积分基本定理应用的关注点
(1)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足f ′(x)＝ f(x)的函数F(x)再计算F(b)－F(a)． (2)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函 数，再求定积分．
a
1 (5) x dx＝lnx|b a(b>a>0)．
b a
xb b x (6) e dx＝e |a.
a
x a b b x (7) | a dx＝ a(a>0且a≠1)． ln a a b (8)
a
2 3 xdx＝3x2|b a(b>a>0)．
1 2 2 1．如果 f(x)dx＝1， f(x)dx＝－1，则 f(x)dx＝______.
π
0 － π
cosxdx＝sinx|0 －π＝0.
π
2 2 (5) (sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx) -π -π 2 2
π π π π ＝－cos2＋sin2＋cos－2－sin－2＝0＋1＋0＋1＝2.
1 3 1 2 1 1 (6) (x －x)dx＝(3x －2x )|0＝－6.
2．常见的原函数与被积函数的关系
b b (1) Cdx＝Cx|a(C为常数)．
a b
1 n＋1 b (2) x dx＝ x |a(n≠－1)． n＋1
n a b b (3) sinxdx＝－cosx|a.
a
b b (4) cosxdx＝sinx|a.
a
微积分基本定理 ②利用定积分的几何意义 ________；③利用___________________ ．
[知识点拨]1.微积分基本定理应用的关注点
(1)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足f ′(x)＝ f(x)的函数F(x)再计算F(b)－F(a)． (2)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函 数，再求定积分．
a
1 (5) x dx＝lnx|b a(b>a>0)．
b a
xb b x (6) e dx＝e |a.
a
x a b b x (7) | a dx＝ a(a>0且a≠1)． ln a a b (8)
a
2 3 xdx＝3x2|b a(b>a>0)．
1 2 2 1．如果 f(x)dx＝1， f(x)dx＝－1，则 f(x)dx＝______.
π
0 － π
cosxdx＝sinx|0 －π＝0.
π
2 2 (5) (sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx) -π -π 2 2
π π π π ＝－cos2＋sin2＋cos－2－sin－2＝0＋1＋0＋1＝2.
1 3 1 2 1 1 (6) (x －x)dx＝(3x －2x )|0＝－6.
2．常见的原函数与被积函数的关系
b b (1) Cdx＝Cx|a(C为常数)．
a b
1 n＋1 b (2) x dx＝ x |a(n≠－1)． n＋1
n a b b (3) sinxdx＝－cosx|a.
a
b b (4) cosxdx＝sinx|a.
2018版数学人教A版选修2-2课件：第一章 导数及其应用 1-2-2(三)
例 3 设 f(x)＝ln(x＋1)＋ x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b 为常数)，曲线 3 y＝f(x)与直线 y＝2x 在(0,0)点相切，求 a，b 的值.
解答
反思与感 悟
本类题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点 是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一 定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.
第一章 §1.2 导数的计算
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算
学习目标
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.
2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过 的公式、法则进行一些复合函数的求导 (仅限于形 如f(ax＋b)的导数).
内容索引
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点 复合函数的概念及求导法则
看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即 y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
答案
思考3
试求函数y＝ln(2x＋5)的导数.
1 2 答案 y′＝ · (2x＋5)′＝ . 2x＋5 2x＋5
答案
梳理
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝
g(x)，如果通过变量 u，y可以表示 x的函数
1 1 解 ∵(ln 3x)′＝3x×(3x)′＝x， ln 3x′ex－ln 3xex′ ∴y′＝ ex2 1 － ln 3 x 1－xln 3x x ＝ ex ＝ xex .
解答
(2)y＝x 1＋x2；
解 y′＝(x 1＋x2)′ ＝x′ 1＋x2＋x( 1＋x2)′
2 x ＝ 1＋x2＋ 1＋x2
复合函数的概念 成 作y＝
，那么称这个函数为函
2018秋新版高中数学人教A版选修2-2课件：第一章导数及其应用 1-2-1-1-2-2
y= ������ (x>0),所以 y'=
1 2 ������
.因为 kAB= ,所以
1 2
1 2 ������
= ,x=1.由 y2=x(y>0),
1 2
得 y=1,所以点 P 的坐标为 (1,1).
典例透析 题型一 题型二 题型三
2 (方法二)设 P ������0 ,������0 ,因为 |AB|为定值 ,所以要使 △PAB 的面积最 大 ,只要使点 P 到直线 AB:x-2y-4=0 的距离最大即可.设点 P 到直线
典例透析 题型一 题型二 题型三
典例透析 题型一 题型二 题型三
【变式训练 1】 求下列函数的导数: (1)y=x-5; (2)y=4x; (3)y= x x x; (4)y=log7x; π (5)y=sin + x . 2 解:(1)y'=-5x-6. (2)y'=4xln 4.
1 1 (3) y= x 2 ·x 4 7 -1 y'= x 8 .
1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
-1-
目标导航
知识梳理
1.几个常用函数的导数
原函数 导函数 f(x)=c(c 为常 f'(x)=0 数) f(x)=x f'(x)=1 f(x)=x2 f'(x)=2x f(x)= f(x)= x
1 x
f'(x)=− f'(x)=
1 xln a 1 x
知识梳理
知识梳理
重难聚焦
1.如何理解常数函数的导数为0的意义? 剖析:设f(x)=c,则f'(x)=0的几何意义为函数f(x)=c的图象上每一点 处的切线的斜率都为0,其物理意义为若f(x)=c表示路程关于时间的 函数,则f'(x)=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于 静止状态.
1 2 ������
.因为 kAB= ,所以
1 2
1 2 ������
= ,x=1.由 y2=x(y>0),
1 2
得 y=1,所以点 P 的坐标为 (1,1).
典例透析 题型一 题型二 题型三
2 (方法二)设 P ������0 ,������0 ,因为 |AB|为定值 ,所以要使 △PAB 的面积最 大 ,只要使点 P 到直线 AB:x-2y-4=0 的距离最大即可.设点 P 到直线
典例透析 题型一 题型二 题型三
典例透析 题型一 题型二 题型三
【变式训练 1】 求下列函数的导数: (1)y=x-5; (2)y=4x; (3)y= x x x; (4)y=log7x; π (5)y=sin + x . 2 解:(1)y'=-5x-6. (2)y'=4xln 4.
1 1 (3) y= x 2 ·x 4 7 -1 y'= x 8 .
1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
-1-
目标导航
知识梳理
1.几个常用函数的导数
原函数 导函数 f(x)=c(c 为常 f'(x)=0 数) f(x)=x f'(x)=1 f(x)=x2 f'(x)=2x f(x)= f(x)= x
1 x
f'(x)=− f'(x)=
1 xln a 1 x
知识梳理
知识梳理
重难聚焦
1.如何理解常数函数的导数为0的意义? 剖析:设f(x)=c,则f'(x)=0的几何意义为函数f(x)=c的图象上每一点 处的切线的斜率都为0,其物理意义为若f(x)=c表示路程关于时间的 函数,则f'(x)=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于 静止状态.
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用
(2)曲线 y＝2－x2 与直线 y＝－2 围成的图形的面积为
2 ∫1 (4 － x )dx.( 0
)
(3)曲线 y＝x3 与直线 y＝2－x，y＝0 围成的图形的面
3 2 ∫ 积为∫1 x d x ＋ 0 1(2－x)dx.(
)
解析：(1)错，作出曲线 y＝ x与直线 y＝x，可知，
2 所求面积为∫1 ( x － x )d x .(2) 对，作出曲线 y ＝ 2 － x 与直 0 2 线 y＝－2，可知，所求面积为∫1 (4 － x )dx.(3)对，作出曲 0 3 线 y＝x3 与直线 y＝2－x， y＝0， 可知， 所求面积为∫1 x 0 dx
类型 1 不分割型平面图形面积的求解(自主研析) [典例 1] 曲线 y＝ex，y＝e－x 及直线 x＝1 所围成的 图形的面积是________．
x y ＝ e ， 解析：如图所示，由 －x y ＝ e
解得交点为(0，1)，
－x －x 1 x x 所以所求面积为 S＝∫1 (e － e )d x ＝ (e ＋ e )|0＝e＋ 0
图①
图②
图③
图①中，f(x)＞0，∫b af(x)dx＞0，因此面积 S＝
b ∫ af(x)dx _____________ ；
b | ∫ 图②中， f(x)＜0，∫b f ( x )d x ＜ 0 ，因此面积 S ＝ a a
b ∫ － af(x)dx ； f(x)dx|＝____________
第一章
导数及其应用
1．7 定积分的简单应用 1．7.1 定积分在几何中的 应用
[学习目标 ] 1.了解定积分的几何意义 (重点)． 2. 会用求定积分的方法求曲边梯形的面积(重点、难点)．
2018学年高中数学人教A版选修2-2课件 第1章 导数及其应用1.2.1 精品
(2)先求导数，①中点 P 在曲线上，可直接利用导数求出斜 率， 写出切线方程； ②中点 Q 不在曲线上， 可先设切点为 M(x0， y0)，利用导数求出斜率，再利用两点式求得斜率，由同一直线 的斜率相等列方程求出 x0，即可得到斜率 k 的值和 M 的坐标．
[ 解析]
(1)∵π 为常数，∴f ′(x)＝0.
所以切线方程为 即 x＋9y＋6＝0.
1 1 y－－3＝－9(x＋3)，
导数的应用
如图，设直线 l1 与曲线 y＝ x相切于点 P，直 线 l2 过点 P 且垂直于 l1，若 l2 交 x 轴于点 Q，又作 PK 垂直 x 轴于点 K，求 KQ 的长. 导学号 10510101
[ 思路分析]
1 1 y′＝ x ′＝－x2，所以切线斜率为
1 1 所以切线方程为 y－x ＝－x2(x－x0) 0 0 1 2 即 y＝－x2x＋x . 0 0
又切线方程为 y＝－x＋b， 1 ＝－1 －x2 0 ∴ 2 ＝b x0
x0＝1 ，解得 b＝2 x0＝－1 或 b＝－2
[答案] B
[ 解析]
1 由于 y＝ x，∴y′＝ ，于是 f ′(4)＝1， 2 x
1
1 1 π ∴曲线在点(4，2)处的切线的斜率等于 1，倾斜角为4.
1 4．若直线 y＝－x＋b 为函数 y＝x 的图象的切线，求 b 及 切点坐标. 导学号 10510098
[ 解析] 因为
设切点坐标为(x0，y0)， 1 k＝－x2. 0
(3)二次函数 f(x)＝x2：导数 y′＝2x，几何意义为函数 y＝ x2 的图象上点(x，y)处的切线斜率为 2x，当 y＝x2 表示路程关于 时间的函数时，y′＝2x 表示在时刻 x 的瞬时速度为 2x. 1 1 (4)反比例函数 f(x)＝x ：导数 y′＝－x2，几何意义为函数 y 1 1 ＝x 的图象上点(x，y)处切线的斜率为－x2.
[ 解析]
(1)∵π 为常数，∴f ′(x)＝0.
所以切线方程为 即 x＋9y＋6＝0.
1 1 y－－3＝－9(x＋3)，
导数的应用
如图，设直线 l1 与曲线 y＝ x相切于点 P，直 线 l2 过点 P 且垂直于 l1，若 l2 交 x 轴于点 Q，又作 PK 垂直 x 轴于点 K，求 KQ 的长. 导学号 10510101
[ 思路分析]
1 1 y′＝ x ′＝－x2，所以切线斜率为
1 1 所以切线方程为 y－x ＝－x2(x－x0) 0 0 1 2 即 y＝－x2x＋x . 0 0
又切线方程为 y＝－x＋b， 1 ＝－1 －x2 0 ∴ 2 ＝b x0
x0＝1 ，解得 b＝2 x0＝－1 或 b＝－2
[答案] B
[ 解析]
1 由于 y＝ x，∴y′＝ ，于是 f ′(4)＝1， 2 x
1
1 1 π ∴曲线在点(4，2)处的切线的斜率等于 1，倾斜角为4.
1 4．若直线 y＝－x＋b 为函数 y＝x 的图象的切线，求 b 及 切点坐标. 导学号 10510098
[ 解析] 因为
设切点坐标为(x0，y0)， 1 k＝－x2. 0
(3)二次函数 f(x)＝x2：导数 y′＝2x，几何意义为函数 y＝ x2 的图象上点(x，y)处的切线斜率为 2x，当 y＝x2 表示路程关于 时间的函数时，y′＝2x 表示在时刻 x 的瞬时速度为 2x. 1 1 (4)反比例函数 f(x)＝x ：导数 y′＝－x2，几何意义为函数 y 1 1 ＝x 的图象上点(x，y)处切线的斜率为－x2.
2018版高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修2-2
解析：由导函数图象知函数 f(x)在(－∞，－3)上单调递减， (－3，＋∞)上单调递增，f′(－3)＝0，f′(0)>0，x＝－3 是函数 f(x)的极值点，①④正确．
答案：B
4．函数 y＝(x2－1)3＋1 的极值点是( ) A．极大值点 x＝－1 B．极大值点 x＝0 C．极小值点 x＝0 D．极小值点 x＝1
解析：y′＝6x(x2－1)2＝0 有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3＝ 1，由解 y′>0 得 x>0；由解 y′<0 得 x<0，只有 x＝0 是极小值 点，故选 C.
答案：C
5．函数 f(x)＝x3－3x2＋1 的极小值点为________． 解析：由 f′(x)＝3x2－6x＝0， 解得 x＝0 或 x＝2. 列表如下：
－b－
3ba2－3ac，x2＝－b＋
b2－3ac
3a
.
当 a>0 且 b2－3ac>0 时，f(x)在(－∞，x1)上单调递增；在(x1， x2)上单调递减；在(x2，＋∞)上单调递增．
当 a<0 且 b2－3ac>0 时，f(x)在(－∞，x1)上单调递减；在(x1， x2)上单调递增；在(x2，＋∞)上单调递减．
A．①②
B．②③
C．③④
D．①③
解析：①④为单调函数，不存在极值． 答案：B
3．下图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，给出下列 命题：
①－3 是函数 y＝f(x)的极值点； ②－1 是函数 y＝f(x)的最小值点； ③y＝f(x)在 x＝0 处切线的斜率小于零； ④y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增． 则正确命题的序号是( ) A．①② B．①④ C．②③ D．③④
2018版高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数课件新人教A版选修2_2
2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数 y＝f(x)，在区间(a，b)上 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)
|自我尝试| 1．判断下列命题(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数 y＝f(x)是定义在 R 上的增函数， 则 f′(x)>0.( × ) (2)函数的导数越小， 函数的变化越慢， 函数的图象就越“平 缓”．( × )
2．函数 y＝x3－3x 的单调减区间是( ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－1,1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
解析：y′＝3x2－3， 由 y′＝3x2－3<0 得－1<x<1， ∴函数 y＝x3－3x 的单调减区间是(－1,1)． 答案：C
3．y＝xlnx 在(0,5)上的单调性是( ) A．单调递增 B．单调递减 1 1 C．在0，e 上单调递减，在e ，5上单调递增 1 1 D．在0，e 上单调递增，在e ，5上单调递减
(2)函数f(x)的定义域为R. f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)． 当0<x<2时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间为 (0,2)；当x<0或x>2时，f′(x)<0，所以函数f(x)的单调递减区间 为(－∞，0)和(2，＋∞).
方法归纳 通过图象研究函数单调性的方法： (1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化 的点，分析函数值的变化趋势； (2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分 析导数的正负． 特别提醒：函数的正负与导数的正负没有关系.
跟踪训练 1 设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如 图所示，则导函数y＝f′(x)可能为( )
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1-1-2导数的概念 精品
f（x0－3ΔΔx）x －f（x0）＝1，求 f′(x0)． 易错提示：由于忽略了分子与分母相应的符号的一致 性，解答时容易出现以下错误：
f（x0－3Δx）－f（x0） ＝
Δx
f（x0－3Δx）－f（x0）
[
3Δx
·3]＝3f′(x0)＝1，所以 f ′(x0)
＝13.
防 范 措 施 ： 在 导 数 的 定 义 f ′(x0) ＝ f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）中，Δx 是 f(x0＋Δx)与 f(x0)中的 两个自变量的差，即(x0＋Δx)－x0.在求解此类问题时要 严格按照定义，注意分子与分母相应的符号的一致性．
解析：
2k
＝
－12 f[x0＋（－－k）k]－f（x0）＝－12f′(x0)＝
－12×2＝－1. 答案：A
1．注意区分平均速度与瞬时速度的概念，瞬时速度 是运动物体在 t0 到 t0＋Δt 这一段时间内的平均速度当Δt →0 时的极限，即运动方程 s＝f(t)在 t＝t0 时对时间 t 的导 数．
第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数 1．1.2 导数的概念
[学习目标] 1.了解瞬时变化率、导数概念的实际背 景(重点)． 2.了解导数的概念(难点)． 3.会利用导数的 定义求函数的导数(重点、难点)．
[知识提炼·梳理]
1．瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．若物体运动 的路程与时间的关系式是 s＝f(t)，当Δt 趋近于 0 时，函 数 f(t) 在 t0 到 t0 ＋ Δ t 之 间 的 平 均 变 化 率 f（t0＋ΔΔt）t－f（t0）趋近于常数，
Δx
2x0Δx＋aΔx＋（Δx）2 ＝
Δx
(2x0＋a＋Δx)＝2x0＋a.
归纳升华
f（x0－3Δx）－f（x0） ＝
Δx
f（x0－3Δx）－f（x0）
[
3Δx
·3]＝3f′(x0)＝1，所以 f ′(x0)
＝13.
防 范 措 施 ： 在 导 数 的 定 义 f ′(x0) ＝ f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）中，Δx 是 f(x0＋Δx)与 f(x0)中的 两个自变量的差，即(x0＋Δx)－x0.在求解此类问题时要 严格按照定义，注意分子与分母相应的符号的一致性．
解析：
2k
＝
－12 f[x0＋（－－k）k]－f（x0）＝－12f′(x0)＝
－12×2＝－1. 答案：A
1．注意区分平均速度与瞬时速度的概念，瞬时速度 是运动物体在 t0 到 t0＋Δt 这一段时间内的平均速度当Δt →0 时的极限，即运动方程 s＝f(t)在 t＝t0 时对时间 t 的导 数．
第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数 1．1.2 导数的概念
[学习目标] 1.了解瞬时变化率、导数概念的实际背 景(重点)． 2.了解导数的概念(难点)． 3.会利用导数的 定义求函数的导数(重点、难点)．
[知识提炼·梳理]
1．瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．若物体运动 的路程与时间的关系式是 s＝f(t)，当Δt 趋近于 0 时，函 数 f(t) 在 t0 到 t0 ＋ Δ t 之 间 的 平 均 变 化 率 f（t0＋ΔΔt）t－f（t0）趋近于常数，
Δx
2x0Δx＋aΔx＋（Δx）2 ＝
Δx
(2x0＋a＋Δx)＝2x0＋a.
归纳升华
2018版高中数学第一章导数及其应用章末复习提升课课件新人教A版选修2_2
【解析】 (1)因为 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d， 所以 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 28 4 又 f(x)在 x＝－2 处取得极大值 3 ， 在 x＝2 处取得极小值－3， 所以 x＝－2 和 x＝2 是方程 3ax2＋2bx＋c＝0 的两个根．
2b 所以－3a＝0，①
3
c 3a＝－4.②
(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)， 当 a<0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 此时函数 f(x)没有极值点； 当 a>0 时，由 f′(x)＝0，得 x＝± a. 当 x∈(－∞，－ a)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增； 当 x∈(－ a， a)时，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减； 当 x∈( a，＋∞)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增.
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
28 且 a×(－2) ＋b×(－2) ＋c×(－2)＋d＝ 3 ，③ 4 3 2 a×2 ＋b×2 ＋c×2＋d＝－3，④ 上边四个式子联立解得 1 a＝3，b＝0，c＝－4，d＝4. 1 3 所以 f(x)的解析式为 f(x)＝3x －4x＋4.
1 3 (2)由(1)知 f(x)＝3x －4x＋4 的极小值为 4 f(2)＝－3，且 f(3)＝1. 4 所以要使 f(x)在区间[t,3]上取得最小值－3， t≤2， 4 所以 t≤2，且 f(t)≥－3.即1 3 4 t －4t＋4≥－3. 3
(1)当 a＝1 时，f(x)＝3x－2x2＋lnx，其定义域为 －4x2＋3x＋1 －4x＋1x－1 1 (0， ＋∞)， 则 f′(x)＝x －4x＋3＝ ＝ x x (x>0)， 当 x∈(0,1)时，f′(x)>0， 故函数 f(x)在区间(0,1)上单调递增； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0， 故函数 f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减． 所以 f(x)的单调递增区间为(0,1)， 单调递减区间为(1，＋∞)． 【解析】
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用
A．[0，e2] B．[0，2] C．[1，2] D．[0，1]
x y ＝ e ， x＝0， 解析：解方程组 可得 y＝1， y＝1，
所以积分区间为[0，2]． 答案：B
3．下列值等于 1 的是( A.∫1 0xdx C.∫1 01dx
11 B.∫0 dx
)
2
11 2 D.∫0 x dx
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
2 ∫ (1)∫2 f ( x )d x ＝ 1 1f(t)dt.(
) ) )
(2)∫b af(x)dx 的值一定是一个正数．(
3 b b 3 ∫ ∫ (3)∫b (ln x － x )d x ＝ ln x d x － a a ax dx.(
ξi＝xi＝
[变式训练]
利用定积分定义计算∫2 1(1＋x)dx.
解：(1)分割：因为 f(x)＝1＋x 在区间[1，2]上连续， 1 将区间[1，2]分成 n 等份，则每个区间长度为Δxi＝ . n
i － 1 i (2)近似替代：在[xi－1，xi]＝1＋ ，1＋ 上取 n n
b 之间的各部分面的性质
b b ∫ k af(x)dx (1)∫akf(x)dx＝__________
(k 为常数)；
b b b ∫ ∫ f ( x )d x ± a 1 af2(x)dx ； (2)∫a[f1(x)±f2(x)]dx＝____________________ c b b ∫ ∫ f ( x )d x ＋ ∫ (3) af(x)dx＝_________________ a c f(x)dx ，其中 a＜c＜b.
n ＝ ＝
2 1 ＝n·n＋ 2[0＋1＋2＋…＋(n－1)] n n－1 1 n（n－1） ＝2＋ 2· ＝2＋ ， n 2 2n
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1.6微积分基本定理 精品
(2)∫31(1＋x＋x2)dx＝∫31dx＋∫31xdx＋∫31x2dx ＝x＋12x2＋13x3|31 ＝3＋12×32＋13×33－1＋12×12＋13×13＝434. (3)∫31 x＋ 1x26xdx＝∫31x＋1x＋26xdx ＝∫31(6x2＋6＋12x)dx＝(2x3＋6x＋6x2)|31 ＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112.
第一章 导数及其应用
1．6 微积分基本定理
[ 学 习 目 标 ] 1. 了 解 微 积 分 基 本 定 理 的 含 义 ( 难 点)． 2.会求简单函数的定积分(重点、难点)．
[知识提炼·梳理]
1．微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么∫baf(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做 微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便， 我们常把 F(b)－F(a)记为 F(x)|ba，即∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b) －F(a)．
(3)
(cos x－ex)dx＝
sin x0－π－ex0－π＝e1π－1.
cos xdx－
exdx＝
归纳升华 (1)利用微积分基本定理求定积分，关键是求使 F′(x) ＝f(x)的 F(x)，其求法是反方向运用求导公式． (2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式， 再利用定积分的性质化简，最后再用微积分基本定理求定 积分的值．
图①
图②
图③
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在 时，如图③所示，则∫baf(x)dx＝S 上－S 下，若 S 上＝S 下， 则∫baf(x)dx＝0．
温馨提示 在利用定积分的几何意义求定积分时，要 特别注意曲边梯形所在的位置，以此为依据确定积分值的 符号．
(全国通用版)2018_2019版高中数学第一章导数及其应用习题课导数的应用课件新人教A版选修2_2
解析
答案
反思与感悟 范围.
构造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到x的取值
跟踪训练 2
已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)＝1，且对任意的 x∈R
lg x＋2 1 (0,10) 都有 f′(x)<3，则不等式 f(lg x)> 3 的解集为________.
解析
答案
类型二
利用导数研究函数的单调性
题型探究
类型一 命题角度1 比较函数值的大小
例1
π 已知定义在0，2上的函数
构造法的应用
f(x)，f′(x)是它的导函数，且 sin x·
f′(x)>cos x· f(x)恒成立，则
A. 2f
π >f 6
π 4
B. 3f
π >f 6
1 1 1 1 fx － 2 ln ln f′(x)＋ x <0，若 a＝2 f ， b ＝－ 2 f ， c ＝ f ，则 a，b， 2 2 2
c 的大小关系是
A.a<c<b C.a<b<c
e 是自然对数的底数，a∈R. (1)当 a＝1 时，求函数 f(x)的单调区间和极值；
解答
1 (2)求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋ ； 2 1 ln x 1 证明 令 h(x)＝g(x)＋2＝ x ＋2，
1－ln x h′(x)＝ x2 ，x∈(0，e]，
当0<x<e时，h′(x)>0，此时h(x)单调递增，
假设函数f(x)在[1,3]上不存在单调递增区间，
必有g(x)≤0，
2018版数学人教A版选修2-2课件：第一章 导数及其应用 1-3-1
状态有什么区别.
答案
思考2
观察图中函数f(x)，填写下表.
导数 切线的斜 倾斜 曲线的变化 函数的单调 值
>0 率
<0 ___ 锐 角 钝角 上升 趋势 递增 性 递减 ____
>0
<0
下降 _____
___
角
_____
____
梳理
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上，
(1)如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上 单调递增 (2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上 单调递减 . ；
命题角度1 不含参数的函数求单调区间 例3 求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间.
解答ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
反思与感 悟
求函数y＝f(x)的单调区间的步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域. (2)求导数y′＝f′(x). (3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数.
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数.
第一章 §1.3 导数在研究函数中的应 用
1.3.1 函数的单调性与导数
学习目标
1.理解导数与函数的单调性的关系.
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.
内容索引
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点一 函数的单调性与导函数正负的关系
思考1
观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝ － 4.9t2 ＋ 6.5t ＋ 10的图象及 h′(t) ＝－ 9.8t ＋ 6.5 的图象， 思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动
2018学年高中数学人教A版选修2-2课件 第1章 导数及其应用1.4 精品
[答案] C
[解析] 如图，设底面边长为x(x>0)， 3 2 V 4V 则底面积S＝ 4 x ，∴h＝ S ＝ 2. 3x 4V 3 2 4 3V 3 2 S表＝x· 2×3＋ 4 x ×2＝ x ＋ 2 x ， 3x 4 3V 3 S′表＝ 3x－ x2 ，令S′表＝0得x＝ 4V， 因为S表只有一个极值，故x＝ 4V为最小值点． 3
[解析] 设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则 做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x， a V(x)＝(a－2x) x,0<x<2.
2
a 即V(x)＝4x －4ax ＋a x,0<x<2.
3区间0，2上的最大值点．为 a 此，先求V(x)的极值点．在开区间0，2内，
1 点，所以x＝6a是V(x)的最大值点． 1 即当截下的小正方形边长为6a时，容积最大．
[ 规律总结 ]
面积、体积 ( 容积 ) 最大，周长最短，距离最
小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值 的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后 检验．
导学号 10510261 已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆 柱的高h的值为________．
3．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相 同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为 ________cm3. 导学号 10510258
[答案] 144
[解析] 设小正方形边长为x，则盒子的容积为V＝x(10－ 2x)(16－2x)， 即V＝4(x3－13x2＋40x)，(0<x<5)，V′＝4(3x2－26x＋40) ＝4(3x－20)(x－2)， 20 令V′＝4(3x－20)(x－2)＝0得，x＝2，x＝ 3 (不符合题 意，舍去)，x＝2是唯一极值点也就是最值点， 所以，x＝2时，盒子容积的最大值为144cm3.
2018学年高中数学人教A版选修2-2课件 第1章 导数及其应用1.7 精品
1 4．(2016· 黄冈质量检测)设f(x)是一次函数，且 f(x)dx＝
0
17 5， xf(x)dx＝ 6 ，则f(x)的解析式为________.
1 0
导学号 10510382
[ 答案] 4x＋3
[ 解析]
1 0 1 0
∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则
解得a＝4，b＝3，故f(x)＝4x＋3.
课堂典例讲练
不分割型平面图形面积的求解
(2015· 天津理，11)曲线y＝x2与直线y＝x所围成 的封闭图形的面积为________. 导学号 10510383
[思路分析]
从图形上可以看出，所求图形的面积可以转
化为一个三角形与一个曲边三角形面积的差，进而可以用定积
a
(2)求由两条曲线f(x)和g(x)，直线x＝a、x＝b(a<b)所围成平
面图形的面积S.
[ f (x)－g(x)] dx a 图④中，f(x)>g(x)>0，面积S＝_________________ ； [ f (x)－g(x)] dx a 图⑤中，f(x)>0，g(x)<0，面积S＝_________________.
[ 答案] A
)
3 B．2 1 D．2
[ 解析]
3 3 所求面积S＝ 2sinxdx＝－2cosx 0 0
2π
2π
1 ＝－2(－2－1)＝3.
2．已知自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所走 的路程为 导学号 10510380 ( 1 2 A.3gt0 1 2 C.2gt0
结构是一样的，那么如何用积分的方法求曲边梯形的面积、变
速直线运动的路程等实际问题呢？
2018学年高中数学人教A版选修2-2课件 第1章 导数及其应用1.3.3 精品
1 3 2．若1、3为函数f(x)＝3x ＋bx2＋cx(b、c∈R)的两个极值 点，则曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为 导学号 10510225 ( A．8 C．4
[答案] A [解析] f ′(x)＝x2＋2bx＋c，由条件知，1、3是方程f ′(x)＝ 0的两个实根，∴b＝－2，c＝3，∴f ′(－1)＝8，故选A.
) B．6 D．0
3．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与 最小值分别为M，m，则M－m＝________. 导学号 10510226
[答案] 32
[解析] 令f ′(x)＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2， 列表得： x －3 (－3，－2) f ′(x) ＋ 2 －2 (－2,2) 0 0 － 极大 极小 f ( x) 17 值24 值－8 可知M＝24，m＝－8，∴M－m＝32. 故答案为32. (2,3) ＋ 3 －1
极值可以有多个，但最值只能有一个．
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．
1.若函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，则f(x) 导学号 10510224 ( ) A．最大值为4，最小值为－4 B．最大值为4，无最小值 C．最小值为－4，无最大值 D．既无最大值，也无最小值
[答案] B
[解析] f ′(x)＝－4x3＋4x， 由f ′(x)＝0得x＝±1或x＝0. 易知f(－1)＝f(1)＝4为极大值也是最大值，故应选B.
课堂典例讲练
利用导数求函数的最大值与最小值
求函数f(x)＝x4－2x2＋5在区间[－2,2]上的最 大值与最小值. 导学号 10510228
[思路分析]
先求[－2,2]上的极值，再求出f(－2)，f(2)与
2018学年高中数学选修2-2配套课件：第一章 导数及其应用章末复习提升一 精品
fx＋Δx－fx Δx
.
(2)导数的几何意义：曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率等于 f(x0) ， 其切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0) .
(3)函数的求导公式：(C)′＝ 0 ，(xn)′＝ nxn－1 ，
(sin x)′＝ cos x，(cos x)′＝ －sin x ，(ax)′＝ ax·ln a ，
解析答案
(2)若函数g(x)＝xf(x)有唯一零点，试求实数a的取值范围.
解析答案
题型三 利用导数求函数的极值、最值问题 例3 已知函数 f(x)＝12x2－aln x(a∈R), (1)若 f(x)在x＝2时取得极值，求a的值； 解 f′(x)＝x－ax，因为 x＝2 是一个极值点， 所以 2－a2＝0，则 a＝4. 此时 f′(x)＝x－4x＝x＋2xx－2， 因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；
1
1
(ex)′＝ ex，(logax)′＝ xln a ，(ln x)′＝ x .
答案
(4)导数的四则运算法则：[ f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)， [ f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，
gfxx′＝
f′xgx－fxg′x
[gx]2
(g(x)≠0).
2.导数的应用 (1)函数的单调性：在区间(a，b)内，f′(x)＞0， 则 f(x)递增；f′(x)＜0，则 f(x) 递减 . (2)函数的极值：f′(x0)＝0，在x0附近，从左到右，f′(x)的符号由正到 负，f(x0)为 极大值 ；由负到正，f(x0)为 极小值 .
解析答案
(3)求证：当 x＞1 时，12x2＋ln x＜23x3.
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(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)， 当 a<0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 此时函数 f(x)没有极值点； 当 a>0 时，由 f′(x)＝0，得 x＝± a. 当 x∈(－∞，－ a)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增； 当 x∈(－ a， a)时，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减； 当 x∈( a，＋∞)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增.
(1)当 a＝1 时，f(x)＝3x－2x2＋lnx，其定义域为 －4x2＋3x＋1 －4x＋1x－1 1 (0， ＋∞)， 则 f′(x)＝x －4x＋3＝ ＝ x x (x>0)， 当 x∈(0,1)时，f′(x)>0， 故函数 f(x)在区间(0,1)上单调递增； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0， 故函数 f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减． 所以 f(x)的单调递增区间为(0,1)， 单调递减区间为(1，＋∞)． 【解析】
3 1 (2)由题意得 f′(x)＝a－4x＋ x(x>0)， 因为函数 f(x)在区间[1,2]上为单调函数， 所以在区间[1,2]上，f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立， 3 1 3 1 即a－4x＋x ≥0 或a－4x＋ x≤0 在 x∈[1,2]时恒成立， 1 3 1 3 1 3 3 即 a ≥4x － x 或 a ≤4x － x (1≤x≤2) ， 即 a ≥ 4x－x max 或 a 1 ≤4x－x min，其中 1≤x≤2.
2
28 且 a×(－2) ＋b×(－2) ＋c×(－2)＋d＝ 3 ，③ 4 3 2 a×2 ＋b×2 ＋c×2＋d＝－3，④ 上边四个式子联立解得 1 a＝3，b＝0，c＝－4，d＝4. 1 3 所以 f(x)的解析式为 f(x)＝3x －4x＋4.
1 3 (2)由(1)知 f(x)＝3x －4x＋4 的极小值为 4 f(2)＝－3，且 f(3)＝1. 4 所以要使 f(x)在区间[t,3]上取得最小值－3， t≤2， 4 所以 t≤2，且 f(t)≥－3.即1 3 4 t －4t＋4≥－3. 3
能力挑战 1
π 1 求过曲线 y＝cosx 上点 P3，2且与曲线在这点
处的切线垂直的直线方程．
解析：∵y＝cosx， ∴y′＝(cosx)′＝－sinx， π 1 ∴曲线在点 P3，2处的切线的斜率为 π π 3 k＝y′|x＝3＝－sin3＝－ 2 ， 2 3 ∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 3 ， 1 2 3 π ∴满足题意的直线方程为 y－2＝ 3 x－3， 2 3 1 2 3 即 3 x－y＋2－ 9 π＝0.
f′(x)＝x2＋1， 4 所以在点1，3处切线的斜率 k＝f′(1)＝2， 所以切线的方程为 4 2 y－3＝2(x－1)，即 y＝2x－3. 【解析】 切线与 x 轴和 y
1 2 轴的交点分别为3，0、0，－3.
从而切线与坐标轴围成的三角形的面积 1 1 2 1 S＝2×3×3＝9.
能力挑战 2 设函数 f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)． (1)若曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线 y＝8 相切，求 a，b 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间．
解析：(1)f′(x)＝3x2－3a(a≠0)， 因为曲线 y ＝ f(x) 在点 (2 ， f(2)) 处与直线 y ＝ 8 相切，所以 f′2＝0， 34－a＝0， 即 解得 a＝4，b＝24. f2＝8， 8－6a＋b＝8，
专题二 应用导数求函数的单调区间 在区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在区间 (a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果 f′(x)<0，那么函数 y ＝f(x)在区间(a，b)内单调递减．
3x [例 2] 已知函数 f(x)＝ a －2x2＋lnx， 其中 a 为常数且 a≠0. (1)若 a＝1，求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求 a 的取值范围．
专题三 导数的综合应用 导数的应用 导数是研究函数非常有用的工具，可以和许多考点相联系： (1)求函数的最大值(2)解决恒成立问题． (3) 数形结合，研究函数的图象交点情况 ( 方程根的个数问 题)．
[例 3] 已知函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 在 x＝－2 处取得极 28 4 大值 3 ，在 x＝2 处取得极小值－3. (1)求 f(x)的解析式； 4 (2)若 f(x)在区间[t,3]上有最小值－3，求实数 t 的范围．
专题一 导数的几何意义 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线 y＝f(x)在点 P(x0， f(x0)) 处的切线的斜率为 f′(x0) ，相应的切线方程为 y － y0 ＝ f′(x0)(x－x0)．
4 1 3 [例 1] 求曲线 f(x)＝3x ＋x 在点1，3处的切线与坐标轴围 成的三角形面积．
1 令 h(x)＝4x－x (1≤x≤2)，易知函数 h(x)在[1,2]上单调递增， 故 h(1)≤h(x)≤h(2)． 3 3 3 1 15 所以a≥h(2)或a≤h(1)，即a≥4×2－2＝ 2 ， 3 1 a≤4×1－1＝3， 2 解得 a<0 或 0<a≤5或 a≥1. 2 故 a 的取值范围为(－∞，0)∪0，5∪[1，＋∞)．
【解析】 (1)因为 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d， 所以 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 28 4 又 f(x)在 x＝－2 处取得极大值 3 ， 在 x＝2 处取得极小值－3， 所以 x＝－2 和 x＝2 是方程 3ax2＋2bx＋c＝0 的两个根．
2b 所以－3a＝0，①
3
c 3a＝－4.②