第二讲阶跃与冲激函数
阶跃函数和冲激函数
控制系统的性能优化
阶跃函数用于测试控制系统的 性能，通过观察系统对阶跃输 入的响应速度和超调量，可以
评估系统的性能。
冲激函数可用于分析系统的 频率响应，了解系统在不同 频率下的性能表现，为系统
性能优化提供依据。
通过调整控制系统的参数，结 合阶跃函数和冲激函数的特性， 可以优化控制系统的性能指标。
控制系统的故障诊断与修复
在图形上，冲激函数看起来像一个非 常窄的矩形脉冲。
应用场景
在信号处理中，冲激函数常被 用作单位冲激信号，用于表示 某一事件的发生或开始。
在物理学中，冲激函数可以用 于描述瞬间作用或力的作用， 例如碰撞或冲击。
在电路分析中，冲激函数可以 用于描述电路中的瞬态响应或 冲激响应。
03
阶跃函数与冲激函数的 比较
05
阶跃函数和冲激函数在 控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
01
阶跃函数用于分析控制系统的稳定性，通过观察系统
对阶跃输入的响应，可以判断系统是否稳定。
02
冲激函数可用于分析系统的零点和极点，进一步确定
系统的稳定性。
03
通过计算系统的传递函数，结合阶跃函数和冲激函数
的性质，可以判断系统在不同频率下的稳定性。
阶跃函数和冲激函数可用于检测控制系统的故障，通过观察系统对输入信号的响应变化，可以判断系 统是否存在故障。
阶跃函数和冲激函数还可以用于定位故障，通过分析系统在不同输入下的响应特性，可以确定故障发生 的位置。
在故障诊断的基础上，可以利用阶跃函数和冲激函数的特性，制定相应的修复措施，恢复控制系统的正 常运行。
04
阶跃函数和冲激函数在 信号处理中的应用
信号的分离与提取
§1.4 阶跃函数和冲激函数
def
含义： ( t ) 函数，在t=0点有一“冲激”， 在t=0点外各处，函数值为零。 注意：如果矩形面积=E， ( t ) 冲激强度为E
▲ 17:21
0
■
τ
第 6页
★面积为1 三个特点： ★宽度为0
无穷 ★ 幅度 0 t0 t0
▲ 17:21
■
第 7页
2. 狄拉克(Dirac)定义
f (t) f(t)ε (t)
1 T
t
f(t)[ε (t-t1)-ε (t-t2)]
o (a)
t
o (b)
t
o
f((t) 1
▲
t1
t2 (c)
t
（3）积分
( ) d t ( t )
t
■
t
第 4页
17:21
二．单位冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，
作用时间极短一种物理量的理想化模型。 矩形脉冲演变为冲激函数； 狄拉克（Dirac)定义定义； 冲激函数与阶跃函数关系； 冲激函数的性质。
(2) 当a = –1时
( n ) ( t ) ( 1)n ( n ) ( t )
δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数
17:21
▲
■
第 18 页
举例
已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t)
f (t)
4 -2 o 2
（4）微积分性质
d (t ) (t ) dt 17:21
( ) d (t )
t
▲
■
第 20 页
四. 序列δ(k)和ε(k)
2-2冲激响应和阶跃响应
6e ) (t ) (t )
3.冲激响应的一般形式： 左边为n阶，右边为m阶的微分方程： 当n >m时： h(t)具有自由响应（齐次解）的形式。
y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) f (t )
h(t ) (e
2t
e ) (t )
3t
当n =m时： h(t)有自然响应的形式并含有冲激 (t)。
f(t)
…… 0
t
……
t
f (0) (t ) f ( ) (t ) f (2 ) (t 2 ) f (k ) (t k )
f (0) (t ) f ( ) (t ) f (2 ) (t 2 ) f (k ) (t k )
b0 (t ) a0
上的特征根λi(i=1，2，…，n)均为单根，则系统的阶跃 响应的一般形式(n≥m)为
g( t ) ( ci e
i 1
n
i t
b0 ) ( t ) a0
信号的时域分解
一、信号分解为冲激信号的叠加： 在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分 解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的 分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问 题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过 程更加清晰。号分解为冲激信号序列就是其中 的一个实例。
y′(t)+3y(t)=2f(t)，t≥0
试求系统的冲激响应h(t)。
解:冲激响应h(t)满足动态方程式
h′(t)+3h(t)=2δ(t)，t≥0
由于动态方程式右边最高次为δ(t)，故方程左 边的最高次h′(t)中必含有δ(t)，故设 ' h ( t ) A ( t ) B ( t ) 因而有 t ) A ( t ) h( 将h′(t)与h(t)分别代入原动态方程有 A ( t ) B ( t ) 3 A ( t ) 2 ( t ) A ( t ) ( B 3 A) ( t ) 2 ( t )
阶跃函数和冲激函数
阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数在分析线性电路过渡过程时，常使用一些奇异函数来描述电路中的激励或响应。
阶跃函数和冲激函数是两个最常用最重要的函数。
一、单位阶跃函数。
单位阶跃函数定义为：（式8-2-1）图8-2-1其波形如图8-2-1所示。
单位阶跃函数在处有跳变，是一个不连续点。
将单位阶跃函数乘以常数，就得到阶跃函数，又称为开关函数。
因为它可以用来描述电路中的开关动作，如图8-2-2所示。
图8-2-2所示电路在时刻开关S从1切换至2，那么一端口网络的入端电压就可用阶跃函数表示为：，如图8-2-2所示。
图8-2-2延时的单位阶跃函数定义为：（式8-2-2）其波形如图8-2-3所示，同样以图8-2-2为例，若时刻将开关S 从1切换至2，那么一端口网络的入端电压就可用延时阶跃函数表示为：。
二、单位冲激函数单位冲激函数定义为：（式8-2-3）其波形如图8-2-5所示。
为了更好地理解单位冲激函数，先来看单位脉冲函数。
单位脉冲函数定义为：（式8-2-4）图8-2-5其波形如图8-2-5所示。
单位脉冲函数的宽度是，高度是，面积为1。
当脉冲宽度减小，其高度将增大，而面积仍保持为1。
当脉冲宽度趋于无限小时，其高度将趋于无限大，但面积仍然为1。
当脉冲宽度趋于零时，这时脉冲函数就成为单位冲激函数。
将单位冲激函数乘以常数K，就得到冲激强度为K的冲激函数，表示为。
延时的单位冲激函数定义为：（式8-2-5）其波形如图8-2-6所示。
图8-2-6冲激函数不是一般函数，属于广义函数，其更严格的定义可参阅有关数学书中的论述。
单位阶跃函数和单位冲激函数
单位阶跃函数和单位冲激函数
分析动态电路中的电参量如电流、电压时，必须将其表示成一个随时间变化的函数。
实际上，在某个时刻，将开关闭合或断开，就可表示成一个函数。
1、Unit-step Function 单位阶跃函数
在t ＝t 0 时刻，将直流电压源U 0 与电路接通，可表示成：
定义一个名为“单位阶跃函数”：
函数在t ＝0 时，发生了跃变。
但为了问题的方便，认定：
ε( t ＝0－) ＝0
ε( t ＝0＋) ＝1
显而易见：
只要令t' ＝t －t0 即可。
上述直流电源的开关例子可表示为：
u( t )＝u0 ε( t －t0 )
一个幅度为I0 的矩形脉冲，可以用单位阶跃函数表示成：
2、Unit-impulse Function 单位冲激函数
单位冲击函数是另一个奇异函数，用δ(t) 表示，其定义为：
由定义可见，δ(t)只存在于t ＝0 时刻，故有：
δ(t)的性质有：
δ(t) 与ε(t) 的关系证明如下：
例如：如果在t ＝0 时刻，将恒压源U0 加到一个事先没有电荷的电容C 上，则有：
得结论：
充电前后，电容电压发生跃变0→U0；
流过电容的电流为冲激电流CU0δ(t)；
电容极板上的电荷量的跃变是有限的，为冲激电流的强度CU0。
又例如，如果在t ＝0 时刻，将恒流源I0 加到一个事先没有电流的电感L 上，则有：
得结论：
给电感接上恒流源前后，迫使电感电流发生跃变0→I0；
电感两端产生的感应电动势为冲激电压LI0δ(t)；
电感中的磁匝链数的跃变是有限的，为冲激电压的强度LI0。
§1.4 阶跃函数和冲激函数
●阶跃函数●冲激函数是两个典型的奇异函数。
●阶跃序列和单位样值序列§1.4 阶跃函数和冲激函数函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。
§1.4 阶跃函数和冲激函数一、单位阶跃函数二．单位冲激函数三．冲激函数的性质四. 序列δ(k)和ε(k)一、单位阶跃函数ton1-n11γn21⎪⎩⎪⎨⎧>=<==∞→0,10,21,0)(lim )(def t t t t t n n γε下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。
选定一个函数序列γn (t)如图所示。
t)(t εO11. 定义2. 延迟单位阶跃信号t)(0t t +εO10t -t)(0t t -εO10t 0,1)(0000>⎩⎨⎧><=-t t t t t t t ε0, 1 0)(000>⎩⎨⎧->-<=+t t t t t t t εt)(t εO 13. 阶跃函数的性质f (t )o2t12-1（1）可以方便地表示某些信号f (t ) = 2ε(t )-3ε(t -1) +ε(t -2)（2）用阶跃函数表示信号的作用区间(a)(b)f (t )f (t )ε(t )oottot(c)f (t )[ε(t -t 1)-ε(t -t 2)]t 1t 2（3）积分)(d )(t t tεττε=⎰二．单位冲激函数单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。
●狄拉克(Dirac)定义●函数序列定义δ(t)●冲激函数与阶跃函数关系1. 狄拉克(Dirac )定义()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰∞+∞- 1d )(0 0)(t t t t δδ⎰⎰+∞∞-+-=00d )(d )(tt t t δδ➢函数值只在t = 0时不为零；➢积分面积为1；➢t =0 时，，为无界函数。
()∞→t δto(1)δ(t )2.函数序列定义δ(t )t on1-n11γn21top n (t )n1n1-2n )(lim )(deft p t n n ∞→=δ对γn (t )求导得到如图所示的矩形脉冲p n (t ) 。
阶跃函数和冲激函数
f ( t ) ( t t1 ) f (t1 ) (t t1 ) f (t ) (t t1 )dt f (t1 ) (t t1 )dt f (t1 ) ' f (t ) (t t1 )dt f ' (t1 )
0 r (t ) t
t0 t0
εxdx r t tεt
t
三、有延迟的单位冲激和单位阶跃信号 若冲激不是发生在原点,而是在 t t 0 则记为 ( t t 0 )
(t t0 ) 时移的冲激函数
1
0
t0
t
( t t 0 ) 0 , t t 0 t t 0 dt 1
例如：如图所示的函数：
f t
1
可表示为：
1
0
1
2
t
f t t 1 t 1 t t 1 t t 2
例如：如下图所示的函数：
f t
1
1 0 1 2 t
可表示为：
f t t 1 2 t t 2
0 单位冲激函数
sgnt
符号函数：(Signum)—奇异函数例
1 sgn( t ) 1 t 0 t0
1 (t ) [sgn( t ) 1] 2
O
t
sgn( t ) (t ) (t ) 2 (t ) 1
冲激函数的导数
s(t )
1 1
1/n
t
(虚线代表n增大时的 变化趋势)
该脉冲波形下的面积为1， 不妨称其为函数 pn t 的强度
rn(t)
1 1/2
(t)
冲激响应和阶跃响应
利用冲激函数匹配法求h(0+)及其导数h(0+)。由于方程右端自由项(t)的最高阶导数为(t)
方法1：由阶跃响应和冲激响应的关系求解
方法2：直接解方程求解（见教材）
求阶跃响应
02
左端最高阶微分中含有(t)项
(n-1)阶微分中含有u(t)项。
可以由此定初始条件
令方程左端系数为1，右端只有一项(t)时，冲激响应为 此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更有优越性。
2．一阶系统的冲激响应
3．n阶系统的冲激响应
响应及其各阶导数(最高阶为n次)
1).冲激响应的数学模型
对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
激励及其各阶导数(最高阶为m次)
令 e(t)=(t) 则 r(t)=h(t)
一．冲激响应
设特征根为简单根（无重根的单根）
由于δ(t) 及其导数在 t>0+ 时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。
03
用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。
04
总结
01
三．齐次解法求冲激响应（补充）
方法1：冲激函数匹配法求出 跃变值，定系数A。
方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。
方法3: 齐次解法求冲激响应。
求冲激响应的几种方法
冲激响应的求解至关重要。
01
冲激响应的定义 零状态； 单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。
02
冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 ，看响应 ， 不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。
§1.4 阶跃函数和冲激函数
∫
+∞
−∞
f (t )δ (t )dt = f (0)
∫
∞
−∞
f (t )δ ′(t )dt = − f ′(0)
（2）奇偶性 δ (−t ) = δ (t ) （3）尺度变换 1 δ (at ) = δ (t ) a （4）微积分性质
dε (t) δ (t) = dt
δ ′(−t ) = −δ ′(t )
§1.4 阶跃函数和冲激函数
阶跃函数 冲激函数 是两个典型的奇异函数。
一、单位阶跃函数
1. 定义 选函数族γn(t):
−
1 2
Γ n (t)
1 o
1 n
1 n
t
0, t < 0 def 1 ε (t) = lim γ n (t) = , t = 0 n→∞ 2 1, t > 0
ε (t )
δ(t)
(1) o t
∫
函数值只在t 时不为零； 函数值只在 = 0时不为零； 时不为零 积分面积为1 积分面积为1；
δ t =0 时， (t ) →∞，为无界函数。 为无界函数。
2.函数族定义δ(t)
Γn(t)
1 2
1
求导
n 2
pn (t)
−
1 n
o
1 n
t
def
1 − n
o
1 n
t
δ (t) = lim pn (t)
证明
推广：
∫
∞
−∞
δ ′(t − t0 ) f (t )dt = − f ′ (t0 )
与δ (t) 的关系
∫
例
∞ 2
t
−∞
δ ′ (τ ) dτ = δ (t )
阶跃函数和冲激函数
信号与线性系统
• 间断点的导数也存在。
f(t) = 2ε(t +1)2ε(t -1)
f′(t) = 2δ(t +1)2δ(t -1)
信号与线性系统
冲激函数的导数δ’(t)
• δ’(t) 也称冲激偶
三角 脉冲 s(t)
信号与线性系统
(t)dt ?? 1
冲激函数的性质（3）
奇偶性
n为偶数 n为奇数
信号与线性系统
冲激函数的性质（4）
复合函数形式的冲激函数
• 实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中 f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的
实根ti ( i=1，2，…，n)；
•f(t)可以展开成泰勒级数
f
(t)
f
(ti )
g
(t
)
(t
2
)
(t
2
)
信号与线性系统
二、冲激函数的广义函数定义
• 广义函数 • 选择一类性能良好的函数(t)(检验函数)，一个广义函数g(t)作用在(t)，得
到一个数值N[g(t), (t)]。 • 广义函数g(t)可以写成
g(t)(t)dt N[g(t),(t)]
信号与线性系统
(n) (t) 的定义：
* 某些物理量在空间或时间坐标上集中与一点的物理现象，奇异函数就是描述这类
现象的 数学模型。
信号与线性系统
• 一、阶跃函数和冲激函数 • 下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。并用求导和求极限的方法定
义冲激函数。 • 选定一个函数序列γn(t)如图所示。
信号与线性系统
t<-1/n γn(t)=0 -1/n < t < 1/n γn(t)=1/2+nt/2
§1[1].4_阶跃和冲激
![§1[1].4_阶跃和冲激](https://img.taocdn.com/s3/m/5aa73e210722192e4536f6b2.png)
t0 1 t0 f (t)δ (at − t0 ) = f ( )δ (t − ) a a a
教案6页例3 (1)
X
第
5.与阶跃信号的关系
14 页
dε (t ) = δ (t ) dt
∫
t
−∞
δ (t)dt = ε (t) t ≠ 0，t = 0时没有意义
2 页
X
第
一．单位阶跃信号
1. 定义
0 1 ε (t ) = 2 1 t <0 t =0 t >0
1 O t
3 页
ε (t )
ε (t − t0 )
1 O 1 − t0 O t0 t
2. 有延迟的单位阶跃信号 t < t0 0 , t0 > 0 ε (t − t0 ) = t > t0 1
o
t
教案6页例3Sa函数
X
第
2. 积分运算
10 页
∫
δ (t ) f (t )d t = f (0) −∞
−∞
∞
对于移位情况： 对于移位情况：
∫
∞
−∞
δ (t − t0 ) f (t )d t = f (t0 )
f(t)在t=0或t=t0处连续 在 或
教案6页背面练习
X
第 11 页
注意
在积分时要看积分区间是否将 冲激包含在内。 冲激包含在内。
τ
τ →0
−
τ
2
O
τ
2
t
面积1； 脉宽↓； 脉冲高度↑； 面积1 脉宽↓ 脉冲高度↑ 则窄脉冲集中于 t=0 处。
与阶跃信号的关系
阶跃信号和冲激信号
(1 )
o
t
o
t0
t
若面积为k，则强度为k。
三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数
取0极限，都可以认为是冲激函数。
X
12
冲激函数的性质
第
页
为 了 信 号 分 析 的 需 要 ， 人 们 构 造 了 t 函 数 ， 它 属 于 广 义 函 数 。 就 时 间 t 而 言 ， t 可 以 当 作 时 域 连 续 信 号 处
f (t)
(t)f(t)dtf(0)
f (0)
o
对于移位情况：
(t)f(t t0 )f(t0)(t) (tt0)f(t)dtf(t0)
第 页
t
X
13
14
2. 奇偶性
第
页
(t)(t)
X
15
第
3.冲激偶 页
s(t )
(t)
1
1
(1)
o t
s(t )
0
O
t
(t)
1
2 1
2
O
t
1 2
1
2
t
O
X
16
第
冲激偶的性质 页
① (t)f(t)dtf(0) 对t的k阶导数： (k)tftdt1kf(k)0
时移，则：
(tt0)f(t)dtf(t0)
② (t)dt0, t (t)dtt
③ (t)(t), (t0t) (tt0)
所 以(t)是 奇 函 数
④ f t ( t ) f 0 ( t ) f ( 0 ) t ，
（ 与 f ( t ) ( t ) f 0 t 不 同 ） X
17
第
4. 对(t)的标度变换 页 at 1 t a
阶跃函数与冲激函数的关系
阶跃函数与冲激函数的关系
阶跃函数和冲激函数是信号与系统中常见的两种函数形式。
阶跃函数表示在某一时刻突然变化的信号，它在变化前是一个常数，变化后为另一个常数。
冲激函数表示在某一时刻瞬间出现的信号，它在该时刻的值为无穷大，其他时刻的值为零。
这两种函数之间存在着密切的关系。
事实上，冲激函数可以看作是阶跃函数的导数。
具体来说，假设阶跃函数为u(t)，则它的导数
可以表示为：
δ(t) = d[u(t)]/dt
其中δ(t)表示冲激函数。
这个式子的意义是，当阶跃函数u(t)在某一时刻发生突变时，它的导数就会在该时刻出现一个冲激信号。
因此，冲激函数可以用来描述一些重要的信号特性，比如系统的冲击响应、频域特性等等。
在信号与系统理论中，阶跃函数和冲激函数是非常基础的概念，对于理解和应用信号与系统的知识都非常重要。
- 1 -。
第二章(2)冲激响应和阶跃响应
f (k )
f t
f t
f k
f (t )
- 0 2
k
t
k
f (k ) p (t k )
n
pn (t )作用于系统的零状态响 hn (t ) 应为
y f (t )
k
f (k )h (t k )
y f ( t ) lim f ( k )hn ( t k )
f ht d
这是求解零状态响 应的另一种方法.
y f (t ) f t * ht
f t * ht
二、卷积的图示
第一步，画出 f1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 波形，将波形图中的t轴 改换成τ轴，分别得到 f1 () f 2 () 和 的波形。
h(t ) b h (t ) b h
( m) m 1
( m1) m1 1
(t ) b0h1 (t )
例2.2-2：描述系统的微分方程为：
y'' ( t ) y' ( t ) y( t ) f '' ( t ) f ' ( t ) f ( t )
单位阶跃响应时，系统的零状态响应。
1.若n阶微分方程等号右端只含激励f(t),当
f (t ) (t )时，系统的零状态响应g(t)满足方程：
g ( n ) ( t ) a n 1 g ( n 1 ) ( t ) a0 g ( t ) ( t ) ( j) g (0 ) 0 j 0,1,2, , n 1
g1 t C1e C 2 e
t
05冲激的性质及与阶跃的关系
冲激的性质及与阶跃的关系主要内容冲激函数的取样性12冲激函数与阶跃函数的关系若f (t ) 是在t =0、t=t 0、t=t 0−t 1处连续的有界函数，则=f (0)=f (t 0)1、冲激函数的取样性f (t )δ(t )d t ⎰∞−∞f (0)δ(t )d t =⎰∞−∞f (t 0) δ(t −t 0)d t =⎰∞−∞f (t ) δ(t −t 0)d t ⎰∞−∞f (t −t 1)δ(t −t 0)d t ⎰∞−∞= f (t 0−t 1)f (t 0−t 1)δ(t −t 0)d t ⎰∞−∞=δ(t )d t =f (0)⎰∞−∞冲激函数取样性涉及的两个运算：f (t )δ(t )=f (0)δ(t ) f (t )δ(t −t 0)=f (t 0)δ(t −t 0)f (t −t 1)δ(t −t 0)=f (t 0−t 1)δ(t −t 0)连续函数与冲激相乘，等于强度为相乘处函数值的冲激。
连续函数与冲激相乘后，在无限区间积分等于常数，即等于该冲激的强度。
=f (t 0)f (t ) δ(t −t 0)d t ⎰∞−∞例计算(b) (t −1)δ(t )；(a) co st δ(t );f (0) =co s t ∣t =0=1co st δ(t )=δ(t )f (0)=(t −1)∣t =0= −1(t −1)δ(t ) = −δ(t )解5⎰−5(t 2+2t +1) δ(t −1) d t(c)5−5⎰(t 2+2t +1) δ(t −6) d t(d)5⎰−5(t 2+2t +1) δ(t −1) d t(c)5−5⎰(t 2+2t +1) δ(t −6) d t(d)f (t 0)= f (1)5⎰−5(t 2+2t +1) δ(t −1) d t =4，δ(t −6)不在积分区间内5⎰−5(t 2+2t +1) δ(t −6) d t =0=(t 2+2t +1)∣t =1=42、冲激函数与阶跃函数关系⎰t−∞δ(τ)d τ=u (t )1t >00t <0=0δ(τ)τ(1)10u (t )tt(1)对冲激函数作变上限积分可得到阶跃函数。
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f ( t )[ ( t t1 ) ( t t 2 )]
o (a)
t
t
o (b)
t
o
t1
t2 (c)
t
（3）积分
第1-5页
( ) d t (t )
■
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信号与系统 电子教案 2、单位冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大， 作用时间极短一种物理量的理想化模型。
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■
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信号与系统 电子教案 冲激函数的性质总结 （1）取样性
f ( t ) ( t ) f (0) ( t )
（5）冲激偶
f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t )
f ( t ) ( t ) d t f (0)
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信号与系统 电子教案
(t )
延迟单位阶跃信号
1
O
t
(t t 0 )
0 (t t 0 ) 1
t t0 t t0
,
t0 0
1
O
t0
t
(t t 0 )
0 (t t 0 ) 1
t t 0 t t 0
函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1；
t =0 时， t ，为无界函数。
o
δ (t) (1)
t
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■
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信号与系统 电子教案 δ(t)与ε(t)的关系
γ
1 2
n
1
求导
o
1 n
n 2
pn (t)
1 n
t pn (t )
d n (t ) dt
3 t 1 1 t
(t )
3 2
( t 2 t 2 t 1) ( t 1) d t
函数序列定义δ(t) 狄拉克(Dirac)定义 广义函数理论定义(**) 冲激函数与阶跃函数关系 冲激函数的性质
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信号与系统 电子教案 1) 函数序列定义δ(t)
γ
1 2
n
n 2
pn (t)
1
1 n
o
1 n
t
求导
1 n
o
1 n
t 1 / n
(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
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■
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信号与系统 电子教案 2. ( t )的导数(冲激偶)
s(t )
1
(t )
(1)
o
s(t )
t
O
t
τ↓
0
(t )
1
2
O 1
t
O
t
2
■
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■
0
τ/2
τ
t
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信号与系统 电子教案
f1(t) 3 2 1
(1)
f1(t )
2 1
τ/2 τ
-τ/2
0
τ/2
τ
t
-τ/2
0 -1 -2
t (-1) (-2)
f1 ( t ) ( t f 1( t ) ( t
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2
) 2 (t ) (t ) 2 ( t ) ( t
( t )d t 0
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信号与系统 电子教案 冲激偶的性质 ① f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t) ②
' (t ) f (t ) d t f ' (0)
推广到δ(n)(t)
：
J i f (ti ) f (ti )
则f(t)在间断点ti的导数为：
J i ( t t i )
其余非间断点函数的导数按常规方法求取。
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■
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信号与系统 电子教案
f (t) 2
f '(t)
求导
o 1 t
(2) -1 o
1
t (-2)
-1
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)
信号与系统 电子教案
§1-2
阶跃函数和冲激函数
一、阶跃函数和冲激函数 二、冲激函数的广义函数定义(*)
三、冲激函数的性质
要求：深刻理解阶跃函数和冲激函数的概念 熟练掌握冲激函数与阶跃函数的性质
重点： 冲激函数与阶跃函数的关系，
冲激函数的取样性质
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■
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信号与系统 电子教案
一、阶跃函数和冲激函数
阶跃函数和冲激函数是两个典型的奇异函数。
奇异函数：不满足普通函数或导数的定义的一 类函数。 研究奇异函数要用到广义函数理论。
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信号与系统 电子教案 1.单位阶跃函数 ( t ) 定义 下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。
γ
n
性质)。 只要满足取样性质的广义函数就称为冲激函 数.(冲激函数作用于检验函数的效果是给它赋值 ( 0 )
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■
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信号与系统 电子教案
广义函数 ) d t
n
lim p n ( t ) ( t ) d t n 2
（4）微积分性质
( t ) d t 0
t
( ) d (t )
■
(6) 移
位
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信号与系统 电子教案 [例1-4]求下列函数值
(1) (2) (3) (4) f (t ) e f (t ) f (t ) f (t )
,
t0 0
1
t0 O
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■
t
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信号与系统 电子教案 阶跃函数的性质 （1）可以方便地表示某些信号
2 f (t)
f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
o 1 2 t
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
f (t)
-1
f ( t ) ( t )
at
1 a
t
1 1 at t a a
(n)
(at )
1
1
|a| a
( at t 0 )
n
(n)
(t )
推论: (1) (at )
1 |a|
(t )
1 |a|
(t
t0 a
)
(2) 当a = –1时 ( n ) (t ) (1) n ( n ) (t ) 所以， δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数
(n)
(t ) f (t ) d t (1) f
n
(n)
(0)
δ’(t)的平移： ③
(t t0 ) f (t ) d t f (t 0 )
t
(t ) d t t
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■
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信号与系统 电子教案 3. 对(t)的尺度变换
导数，且 ( t )及其各阶导数在无限远处急速下
降的普通函数。
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■
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信号与系统 电子教案 函数 类型 普通 函数 广义 函数 自变 量 t
定义式
y=f(t)
g ( t ) ( t ) dt
N [ g ( t )， ( t )]
定义域
(t1, t2) { ( t )}
1
lim
n
(0 ) n1 d t
n
(0 )
( t ) lim p n ( t )
n
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■
d ef
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信号与系统 电子教案
三、 冲激函数的性质
取样性 冲激偶 尺度变换
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■
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第1-13页
■
©海军工程大学电气与信息工程学院
信号与系统 电子教案 [例1-3] ：已知 f ( t ) g ( t ) ，波形如图， 作出的图形 f 1 ( t ) g ( t ) 2 g ( t
2 )
，
以及
df 1 ( t ) dt
的图形。
f (t) 3 2 1
-τ/2
t0 t0
■
( )d 1
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信号与系统 电子教案
2) 单位冲激函数的狄拉克定义
(t ) 0 t 0 (t ) d t 1
(t ) d t