阶跃函数和冲激函数简介及简单应用

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3. 对(t)的尺度变换
1 at t a
1 1 at t a a
证明

(n)
举例
1 1 (n) (at ) n (t ) |a| a
推论: 1 (1) (at ) (t )
|a|
t0 1 (at t 00.5 ) δ (t) (t ) δ(2 t)= |a| a
δ (t )
求导
o t
t
(1) o
▲ ■
(t ) ( ) d

d (t ) (t ) dt
t
第 8页
引入冲激函数之后，间断点的导数也存在
f (t ) 2
f '(t)
求导
o 1 t
(2) -1 o
1
t (- 2)
-1
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)
求导，得g(t)
t
(4) -2
g(t) = f '(t)
2
o -1
t
压缩，得g(2t)
(2) -1 o -1
g(2t)
1
t
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4. 复合函数形式的冲激函数
实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其 中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的 实根 ti ( i=1，2，…，n) f (t)
0
0
函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1；
δ (t ) (1) o t
t ，为无界函数。 t =0 时，
▲
■
第 6页
2.函数序列定义δ(t)
对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。
γ
1 2
n
1 o
1 n
n 2
pn (t )

1 n
t
def
求导
1 n

2. 单位阶跃序列ε(k) 定义
•定义
1, k 0 (k ) 0, k 0
def
ε (k)
1 -1 o1 2 3 … k
•ε(k)与δ(k)的关系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1) 或
(k )
i

(i)
ε(k) = δ(k)+ δ(k –1)+…
f ( 0 ) ( t )



(t ) f (t ) d t f (0)
o
证明 对于平移情况：
t
f (t ) (t t 0 ) f (t0 ) (t t 0 )
举例



(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
▲
■
第 11 页
2.冲激偶
s( t )
o 1 2 t f (t) 2
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
f (t) f(t)ε (t)
-1
f(t)[ε (t-t1)-ε (t-t2)]
o (a)
t
t
o (b)
t
o
t1
t2 (c)
t
（3）积分
( ) d t (t )
▲
■
第 4页
二．单位冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大， 作用时间极短一种物理量的理想化模型。
o 2 t
■ 第 16 页
ε( t 2 – 4) =1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
1 d 1 2 [t 4] [ (t 4)] [ (t 2) (t 2)] 2t d t 2t 1 1 1 1 (t 2) (t 2) (t 2) (t 2) 2 2 2 2 4 4
o
1 n
t
(t ) lim p n (t )
n
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。
▲ ■ 第 7页
3. δ(t)与ε(t)的关系
γ
1 2
n
1 o
1 n
求导
n 2
pn (t )
1 n
d n (t ) p n (t ) dt
t
n→∞

1 n
o
1 n
t
ε (t ) 1
f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
▲
■
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三． 冲激函数的性质
取样性 冲激偶 尺度变换 复合函数形式的冲激函数
▲
■
第 10 页
1. 取样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
f (t )



f (t ) (t ) d t f (0)
t
（2）奇偶性 ( t ) (t ) （3）比例性 1 (at ) t a （4）微积分性质
d (t ) (t ) dt


( t ) d t (t )
( t ) ( t )
1
0


9
1
2 sin( t ) (t ) d t ? 2 4
t


2t , 1 t 1 2 ( t ) d ? 0, 其它 1

1
( 1) 2 ( ) d ? ε(t)
d 2t e (t ) e 2t (t ) 2 e 2t (t ) (t ) 2 e 2t (t ) dt
1
(t )

(1)


o
s( t )

1
t
O
t
τ↓
Hale Waihona Puke Baidu0
( t )
2


O 1 2
t
O
t
▲
■
第 12 页
冲激偶的性质
① f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t) ② 证明



' (t ) f (t ) d t f ' (0)
d d f (t ) { [ f (t )]} [ f (t )] dt dt
-2 o -4 2
1 d [ f (t )] { [ f (t )]} f ' (t ) d t
t
ε[f(t)]图示说明： 例f(t)= t2 – 4
ε [f (t) ]
1 -2
▲
ε(t2 – 4)=1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
■


第 21 页
§1.4 阶跃函数和冲激函数
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 函数。 阶跃函数 冲激函数
是两个典型的奇异函数。
阶跃序列和单位样值序列
■
第 1页
一、单位阶跃函数
1. 定义 下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。
γ
n
选定一个函数序列γn(t)如图所示。
δ (k )
1 -1 o 1 k
f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0)
k
f (k ) (k ) f (0)
k

•例
k
(k ) ?

(k 5) (k ) ?

i
▲
(k i ) ?
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▲ ■ 第 20 页
k
(k ) (k j )
j 0
取样性质举例
2 sin( t ) (t ) sin( ) (t ) (t ) 4 4 2


2 sin( t 4 ) (t ) d t 2



sin( t ) (t 1) d t ? 0 3 4
(2) 当a = –1时 ( n ) (t ) (1) n ( n ) (t ) 所以， δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数
▲ ■ 第 14 页
举例
已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t)
f (t)
4 -2 o 2
▲
1 的n个冲激 f ' (t i )
■
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冲激函数的性质总结
（1）取样性
f ( t ) ( t ) f (0) ( t )
（5）冲激偶 f (t ) (t ) f (0) (t ) f (0) (t )



f (t ) (t ) d t f (0)
证明
(t ) f (t ) d t (1) f
n (n)
δ(n)(t)的定义： δ’(t)的平移： ③







(n)
(0)
(t t 0 ) f (t ) d t f (t 0 )

t

(t ) d t t
2
d 例 (t 2) ' (t ) d t [(t 2) 2 ] t 0 2(t 2) t 0 4 dt

狄拉克(Dirac)定义 函数序列定义δ(t) 冲激函数与阶跃函数关系 冲激函数的性质
▲
■
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1. 狄拉克(Dirac)定义
(t ) 0 t 0 (t ) d t 1



(t ) d t (t ) d t
1 2
1 o
(t )
1 n
0, t 0 def 1 (t ) lim n (t ) , t 0 n 2 1, t 0
1 n
t
1
O
▲ ■
t
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2. 延迟单位阶跃信号
1
(t )
O
t
(t t 0 )
0 (t t 0 ) 1
0 (t t0 ) 1
t t0 , t0 0 t t0
t t 0 , t0 0 t t 0
1
O
t0
(t t 0 )
t
1
t0 O
▲ ■
t
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3. 阶跃函数的性质
（1）可以方便地表示某些信号 f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)



( t ) d t 0
( ) d (t )
t
▲
■
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四. 序列δ(k)和ε(k)
这两个序列是普通序列。
1. 单位(样值)序列δ(k)
def 1, k 0 •定 (k ) 义 0, k 0 •取样性质：f(k)δ(k) = f(0)δ(k)
2
一般地， [ f (t )]
i 1
n
1 (t t i ) f ' (t i )
这表明，δ[f(t)]是位于各ti处，强度为 函数构成的冲激函数序列。 1 1 1 1 2 (4t 1) (t ) (t ) 4 2 4 2 注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。 #