7c阶跃函数和冲激函数

−
t
2
3
t /s
uc(t ) = 10 s (t ) − 30 s (t − 2) + 20 s (t − 3) = {10(1 − e −100t )ε (t ) − 30[1 − e −100 (t − 2 ) ]ε (t − 2) + 20[1 − e −100 (t −3) ]ε (t − 3)}V
0+
0+ di L ∫0− Ri Ldt + ∫0− L dt dt = ∫0− δ (t )dt
∫
0+
0−
Ldi L = 1
1 i L (0 ) = L
+
(2). t > 0+ RL放电 放电
L τ= R
R + uL iL
1 iL ( 0 ) = L
+
1 iL = e L
−
t
τ
t ≥ 0+
1 L
3s≤t＜∞区间，RC电路为零输入响应 ＜ 区间 区间， 电路为零输入响应 uc(3+)=uc(3-)=-20 uc(∞)=0V τ=RC=0.01s
uc (t ) = −20e
−100(t −3)
V
R
②同一个表达式写uc(t) 同一个表达式写
输入电压u用阶跃函数表示 输入电压 用阶跃函数表示
+ u －
10k + us 10k ic 100µF µ
10ε ( t )
10k + 10k ic 100µF µ
uC(0-)=0 us(V) 10 0 0.5 t(s)
uC(0-)=0 10k
− 10ε ( t − 0.5)
+ 10k
ic 100µF µ
uC(0-)=0
u S = 10ε ( t ) − 10ε ( t − 0.5)
10k
10ε ( t − 0.5)
+ 10k
ic 100µF µ
iC (t ) = e
uC(0-)=0
−2 ( t − 0.5 )
ε (t − 0.5) mA
∴iC (t ) = [e−2tε (t ) − e−2(t −0.5)ε (t − 0.5)]mA
iC (t ) = [e ε (t ) − e
− t −2
τ=RC=0.01s
uc (t ) = uc (∞) + [uc (2 + ) − uc (∞)]e
τ
= [−20 + 30(1 − e −100( t − 2 ) )]V
t=3s时， uc(3-)≈-20V 时
u /V 10 0 -20 2 3 t /s － + u
R + uc －பைடு நூலகம்C
is=δ(t) uC(0-)=0
duc 0 + uc 0+ dt + ∫0− dt = ∫0− δ ( t )dt ∫ C dt R
0+ 0−
=0
=1
C[ uc ( 0 ) − uc ( 0 )] = 1
+
−
1 uc (0 ) = C
+
uC (0 − )
电容中的冲激电流使电容电压发生跳变 电容中的冲激电流使电容电压发生跳变
RC
t 1 − RC uc = e ε(t)
用一个统一 的表达式表示
C
1 ic = − e RC
−
t 1 − RC ε(t) RC
例2
R + uL iL L
(1) t 在 0-
0 +间
δ (t ) -
+
di L Ri L + L = δ (t ) dt
iL不可能是冲激函数
0+
iL ( 0 − ) = 0
+ uc －
C
u (t ) = 10ε (t ) − 30ε (t − 2) + 20ε (t − 3)
RC电路的单位阶跃响应为： 电路的单位阶跃响应为： 电路的单位阶跃响应为 u /V 10 0 -20
s (t ) = (1 − e τ )ε (t )
根据叠加原理及齐性原理： 根据叠加原理及齐性原理：
0
δ (t-t0)
（1） ） t0 t
2. 单位冲击函数（δ 函数）的筛分性 单位冲击函数（ 函数） 由于t≠0时 由于 时δ(t)=0，所以对任意在 t=0 处连续的 ， 函数f(t)， 函数 ，将有 f(t)δ(t)=f(0) δ(t)
∫
∞
−∞
f ( t )δ ( t )dt = f (0)∫− ∞ δ ( t )dt = f (0)
1 . 分二个时间段来考虑冲激响应 例1. is R iC C + uC 00+ 0+ ∞
t
零状态响应 电容充电 零输入响应 电容放电
is=δ(t) uC(0-)=0
(1). t 在 0is R iC C
0 +间
+ uC -
duc uc C + = δ (t ) dt R
若uc 是冲激函数 ,则 冲激函数的一阶导数+ 冲激函数的一阶导数+冲激函数 不符合KCL =冲激函数 不符合
) ε (t )
1 R
i t
ε (t )
0
+
R
iC
C
-
ε (t -t0)
uC
–
+
时加入， 激励在 t = t0 时加入， 则响应从t=t 开始。 则响应从 0开始。
t 1 − RC ic = e
R
ε (t )
1 iC = e R
−
t- t0
RC
ε( t - t0 )
例1. 求图示电路中电流 iC(t)
iL
R − τt uL = − i L R = − e L
t
t ≥ 0+
用一个统一 的表达式表示
1 −τ iL = e ε ( t ) L
L
0 uL
t
δ (t )
t
R − L
t R −τ u L = − e ε(t)
2. 由单位阶跃响应求单位冲激响应
e(t )
零状态
R(t)
单位阶跃激励 ε (t) 单位冲激激励 δ (t)
§7-3 一阶电路的零输入响应
一、 RC电路的零输入响应 电路的零输入响应
K(t=0) + –
i
+ R
C
uC
uR
–
uC = U0e
−
t RC
t ≥0
uC (0-)=U0
二. RL电路的零输入响应 电路的零输入响应
−
τ=RC=0.01s
t
uc (t ) = uc (∞) + [uc (0 + ) − uc (∞)]e τ = 10(1 − e −100t )
t=2s时， uc(2-)=10(1-e-200) ≈10 时
u /V 10 0 -20 2 3 t /s － + u
R + uc － C
2s≤t≤3s区间，RC电路为全响应 区间， 电路为全响应 区间 uc(2+)=uc(2-)=10 uc(∞)=-20V
§7-7 阶跃函数和冲激函数 一 单位阶跃函数 1. 定义
0 (t ≤ 0- ) ε (t) = 1 (t ≥ 0+ )
ε (t)
1 0 t
用 ε (t ) 来描述开关的动作 t = 0合闸 u(t) = E ε (t ) 合闸
K
E
u(t)
Eε(t ) ε
u(t)
2. 单位阶跃函数的延迟
ε (t-t0)
t 0 0 uC iC (1) t 0 t t
−
t RC
−
t RC
t
阶跃响应
1 C
冲激响应
1 − RC
7-29 7-30 7-34 7-35
7-29 RC电路中电容 原来未充电，所加 电路中电容C原来未充电 电路中电容 原来未充电，所加u(t)的波形 的波形 如图， 如图，R=1000Ω C=10µF。 。 求电容电压uc，并把 ： ，并把uc： （1）用分段形式写出； ） （2）用一个表达式写出。 ）用一个表达式写出。
t − RC
)ε ( t ) = R(1 − e
0
t − RC
t 1 − RC )δ ( t )+ C e ε ( t )
1 = e C
−
t RC
ε (t )
f ( t )δ ( t ) = f (0)δ ( t )
d i c = [e dt
1 − RC ε ( t )] = e δ ( t ) − e ε (t ) RC t t − − 1 0 RC ε (t ) = δ (t ) − 1 e RC ε (t ) = e • δ (t ) − e RC RC iC uC 1 R
π
)dt
§7-8 一阶电路的阶跃响应和冲激响应
一、阶跃响应：单位阶跃函数激励下电路中产生的零状态响应 阶跃响应：单位阶跃函数激励下电路中产生的零状态响应 零状态 R
i
+ C
ε (t )
uC
– 1
uc t
uC (0-)=0
uC ( t ) = (1 − e
1 i (t ) = e R
− t RC
−
t RC
−∞
∫
∞
δ ( t )dt = 1
p(t)
1/ ∆
1 ∆ ∆ p( t ) = [ε ( t + ) − ε ( t − )] 2 2 ∆
1 ∆→0 →∞ ∆ lim p( t ) = δ ( t )
∆ →0
-∆ / 2 ∆
∆/2
t
1. 单位冲激函数的延迟 δ (t-t0)
δ ( t − t 0 ) = 0 ( t ≠ t 0 ) ∞ ∫− ∞ δ ( t − t 0 )dt = 1
10ε ( t )
+
10k 10k ic 100µF µ
3
5k + 等效
5ε ( t )
ic uC(0-)=0
-
uC(0-)=0
−6
-
100µF µ
τ = RC = 5 × 10 × 100 × 10 = 0.5s
u c (t ) = [5(1 − e
−2 t
)ε (t )]V
duc d −4 iC (t ) = C ⋅ = 10 × 5 [(1 − e − 2t )ε (t )] dt dt = 10 − 4 × 5[2e − 2t ε (t ) + (1 − e − 2t )δ (t )] = 10 − 4 × 5[2e − 2t ε (t )] = e − 2t ε (t ) mA
1 0 t0 t
0 (t ≤ t0- ) ε (t − t0 ) = 1 (t ≥ t0+ )
3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号 例1. 脉冲函数
f(t) 1 0 t0 t 1 0 t0 f(t)
ε(t)
t -ε (t-t0)
f ( t ) = ε ( t ) − ε ( t − t0 )
−2t
−2( t −0.5)
ε (t − 0.5)]mA
e−2t mA (0 < t < 0.5 s) 分段表示为 ic (t ) = - 0.632e-2(t -0.5) mA (t > 0.5 s)
波形 1 0.368 0 -0.632 0.5 t(s) ic(mA)
二、冲激响应： 冲激响应： 单位冲激函数激励下电路中产生的零状态响应 单位冲激函数激励下电路中产生的零状态响应 零状态
(1) 0
∞
δ(t)
f(0)
同理，对于任意一个在t=t 同理，对于任意一个在t=t0时连 续的函数f(t)有： 续的函数 有
f(t) t
∫
例
∞
−∞
f ( t )δ ( t − t 0 )dt = f ( t 0 )
6 π π 1 π = sin + = + = 1.02 6 6 2 6
∫
∞
−∞
(sin t + t )δ ( t −
单位阶跃响应 s(t)
dε ( t ) δ (t ) = t) dt d h( t ) = s( t ) dt
单位冲激响应 h(t)
例 is R
iC C
+ uC -
uc ( 0 − ) = 0 已知： 已知：
为单位冲激函数 求： is (t)为单位冲激函数时，电路 为单位冲激函数时 响应u 和 的响应 C(t)和 iC (t) 令 is (t)=
(2). t > 0+ 零输入响应 （RC放电） 放电） 放电
is R is=δ(t)=0 uC(0-)=0
t uc 1 ic = − =− e RC −
iC C
+ uC R
ic C
uc ( 0 + ) = 1 C
+ uc
-
1 uc = e C
R
t − RC
t ≥ 0+
t ≥ 0+
1 C
0
uC
t iC (1) t
例2. 单位脉冲函数 p(t)
p(t) 1/ ∆ 0 ∆ t
1 p( t ) = [ε ( t ) − ε ( t − ∆ )] ∆
∫
∞ −∞
p( t )dt = 1
二 单位冲激函数 δ (t)
定义
0 (t ≤ 0- ) δ(t) = 0 (t ≥ 0+)
δ(t) 1 0 t
“1”表示冲激函数的强 表示冲激函数的强 度 单位冲激函数可以看做单位脉冲函数的一种极限形式
①先求单位阶跃响应 先求单位阶跃响应 uC(0+)=0 uC(∞)=R ∞
− t RC
ε (t)
ic = e
− t RC
τ = RC
uC ( t ) = R(1 − e
d uC = R(1 − e dt
)ε ( t )
ε (t )
②再求单位冲激响应 令 i s (t)= δ ( t ) 再求单位冲激响应
u /V 10 0 -20 2 3 t /s + u － R + uc － C
u /V 10 0 -20 2 3 t /s － + u
R + uc － C
解：①用分段形式写uc(t) 用分段形式写
0≤t≤2s区间，RC电路为零状态响应 区间， 电路为零状态响应 区间 uc(0+)=uc(0-)=0 uc(∞)=10V