专题7.15：圆锥曲线问题中同解思想问题的研究与拓展
圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线中的探究性(存在性)问题
圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品圆锥曲线中的探究性（存在性）问题（一）存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题， 此类题目的条件和结论不完备， 要求学生结合已有的条件进行观察、分析、 比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学 方法的能力有较高的要求， 特别是在解析几何第二问中经常考到 “是否存在这样的点” 的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。
一、是否存在这样的常数例 1．在平面直角坐标系 xOy 中，经过点 (0， 2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆x2y 21有2两个不同的交点 P 和Q ． （I ）求 k 的取值范围；（ II ）设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数 k ，使得向量 OPOQ与 AB 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线 l 的方程为 y kx 2 ，代入椭圆方程得 x 2( kx2) 21．整理得 1 k 2x 22 2kx 1 0①22直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于8k 2 4 1 k 2 4k 22 0 ， 2 解得 k 2或 k2 ．即 k 的取值范围为 ∞ ， 2 2，∞ ．22 22（Ⅱ）设 P(x 1，y 1 )，Q(x 2，y 2 ) ，则 OP OQ ( x 1x 2，y 1 y 2 ) ，由方程①， x 1 x 2 4 2k ．②1 2k 2又y 1y 2 k ( x 1 x 2 ) 2 2 ．③而 A( 2，0)， B(01，)，AB ( 21)， ．所以 OPOQ 与 AB 共线等价于 x 1 x 22( y 1 y 2 ) ，将②③代入上式，解得k2．2圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品22，故没有符合题意的常数 k ．由（Ⅰ）知 k 或 k2 2练习 1：（ 08 陕西卷 20）．（本小题满分12 分） 已知抛物线 C ： y 2x 2，直线 ykx2交C 于 A ，B 两点， M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数 k 使 NA NB 0，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由．解 法 一 ：（ Ⅰ ） 如 图 ， 设 A( x 1，2x 1 2 ) ， B(x 2，2x 2 2) ， 把y k x 2 代 入 y 2x 2得2x 2kx 2 0 ， 由韦达定理得 x 1 x 2 k ， x x 1 ， 2 1 2 x N x M x 1 x 2 k ， k k 2N 点的坐标为 ， ． yM2B1A2 4 4 8设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 yk 2 m x k， 8 4 将 y 2x 2 代入上式得 2x 2 mx mk k 2 0 ， 4 8 直线 l 与抛物线 C 相切， m 2 8 mk k 2 m 2 2mk k 2 (m k) 20 ， 4 8 即 l ∥ AB ．（Ⅱ）假设存在实数 k ，使 NA NB 0，则 NA NB ，又 |MN | 1|AB|． 2 1 ( y 1 y 2 )1(kx 1 1[ k( x 1 由（Ⅰ）知 y M 2 kx 2 2) 2 2 2N x O 1m k ．M 是 AB 的中点，x 2 ) 4]1 k2 k 2． 2 4 2 2 4MN x 轴， | MN | |y My N | k 2 2 k 2 k 216 ．4 8 81 k2 |x1x2 | 1 k 2( x1x2 )24x1x2又|AB|圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品k 211 k 24(1) k2 1 k 2 16 ．22k216 1k2 1 k 216 ，解得k 2 ．8 4即存在 k 2，使 NA NB 0 ．解法二：（Ⅰ）如图，设A( x1，2x12 )， B( x2，2x22 ) ，把 y kx 2 代入 y 2x2得2x2kx 2 0 ．由韦达定理得x1x2k， x1 x2 1 ．2x N x M x1x2kN 点的坐标为k k 2．y 2x2y4x ，2，4，，4 8kk ，l ∥ AB ．抛物线在点 N 处的切线 l 的斜率为 44 （Ⅱ）假设存在实数k ，使 NA NB 0 ．由（Ⅰ）知NA x1k ，2k2，x2k ， 2 k2，则2x18NB42x284NA NB x1kx2k 2 k2 2 k2 4 42x182x28x1kx2k42 k2 2 k 2 4 4x116x216x1kx2k1 4 x1kx2k 4 4 4 4x x k x x k 2 1 4x x k( x x ) k 2 1 2 4 1 216 1 2 1 2 41 k k k2 1 4 ( 1) k k k24 2 16 2 41 k233k2 16 40，1 k 20 ， 3 3 k2 0 ，解得 k2 ．16 4圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品即存在 k2，使 NANB0 ． 练习 2.直线 ax-y = 1 与曲线 x 2 - 2y 2= 1相交于 P 、 Q 两点。
例说巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题
例说巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题圆锥曲线作为数学中非常重要的一个概念，在实际生活和工程问题中有着广泛的应用。
对于初学者来说，理解和解决圆锥曲线问题可能会比较困难。
本文将通过例题的方式，介绍一些巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题的方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一概念。
我们来看一个关于椭圆的问题。
假设有一条长为10米，宽为8米的椭圆形跑道，现在需要在跑道内部设计一个长方形的草坪，使得长方形的面积最大。
如何设计草坪的尺寸呢？解决这个问题，我们可以利用数学思想中的最值问题来进行分析。
我们可以设长方形的长为x，宽为y，则长方形的面积S为S=x*y。
由于长方形必须位于椭圆内部，因此有不等式约束条件：x^2/25+y^2/16<=1。
现在我们的目标是求出长方形的面积S的最大值。
通过数学计算，我们可以列出函数S=x*y和约束条件x^2/25+y^2/16<=1，然后利用拉格朗日乘数法或者坐标变换等方法进行求解，最终得到长方形的最大面积S=40平方米。
通过这个例子，我们可以看到，利用数学思想和方法，我们可以比较轻松地解决圆锥曲线的应用问题。
类似地，我们可以利用数学思想中的最值问题来进行分析。
假设双曲线的方程为x^2/16-y^2/9=1，我们需要求出在这个双曲线内部的一条最长路径。
为了简化问题，我们可以假设这条路径是从双曲线的一个焦点到另一个焦点，并且经过双曲线的中心点。
这样，我们就可以利用双曲线的性质，求出这条路径的最长长度。
通过数学计算，我们可以得到这条路径的最长长度为10米。
在这个过程中，我们同样是通过数学方法，利用双曲线的性质和方程，来解决实际应用问题。
这表明，数学思想在解决圆锥曲线问题中的重要性和应用性。
圆锥曲线中曲线系思想的研究与拓展-高中数学微课题研究性教程
专题7.19：圆锥曲线中曲线系思想的研究与拓展【探究拓展】探究1：平面直角坐标系中，三角形ABC 的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(0,)P p 在线段OA 上（异于端点），设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点E ，F ，一同学已正确算出OE 的方程：11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则直线 OF 的方程为 . 1111()()0x y c bp a-+-= 探究1：在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2+y 2＝r 2和直线l ：x ＝a （其中r 和a 均为常数，且0 < r < a ），M 为l 上一动点，A 1，A 2为圆C 与x 轴的两个交点，直线MA 1，MA 2与圆C 的另一个交点分别为P 、Q ．（1）若r ＝2，M 点的坐标为(4，2)，求直线PQ 方程； （2）求证：直线PQ 过定点，并求定点的坐标．【解】（1）当r ＝2，M (4，2)，则A 1(－2，0)，A 2(2，0).直线MA 1的方程：x －3y +2=0，解224320x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，得()8655P ，．直线MA 2的方程：x －y －2=0，解22420x y x y ⎧+=⎨--=⎩，得()02Q -，．由两点式，得直线PQ 方程为：2x －y －2=0．另解：(1)当r ＝2，M (4，2)，则A 1(－2，0)，A 2(2，0).直线MA 1的方程：x －3y +2=0，直线MA 2的方程：x +y －2=0，所以P 、Q 在曲线(x －3y +2)( x －y －2)+t (x 2+y 2－4)=0上，当t =－1时，2x －2y －2=0为直线PQ 的方程.（2）证法一：由题设得A 1(－r ，0)，A 2(r ，0) .设M (a ，t )，直线MA 1的方程是：y = t a +r (x +r )，直线MA 1的方程是：y = t a －r (x －r ) ．解222()x y r t y x r a r ⎧+=⎪⎨=+⎪+⎩，得()222222()2()()()r a r rt tr a r P a r t a r t +-+++++，．解222()x y r t y x r a r ⎧+=⎪⎨=-⎪-⎩，得()222222()2()()()rt r a r tr a r Q a r t a r t -----+-+，． 于是直线PQ 的斜率k PQ ＝2ata 2－t 2－r 2，直线PQ 的方程为()2222222222()()2()()tr a r r a r rt at y x a r t a t r a r t ++--=-++--++． 上式中令y = 0，得x ＝r 2a ，是一个与t 无关的常数.故直线PQ 过定点()20r a，．证法二：由题设得A 1(－r ，0)，A 2(r ，0) .设M (a ，t )，直线MA 1的方程是：y =ta +r (x +r )，与圆C 的交点P 设为P (x 1，y 1) ．直线MA 2的方程是：y =ta －r (x －r )；与圆C 的交点Q 设为Q (x 2，y 2) ．则点P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)在曲线［(a +r )y －t (x +r )］［(a －r )y －t (x －r )］=0上， 化简得 (a 2－r 2)y 2－2ty (ax －r 2)+t 2(x 2－r 2)＝0． ① 又有P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)在圆C 上，圆C ：x 2+y 2－r 2＝0．②①－t 2×②得 (a 2－r 2)y 2－2ty (ax －r 2)－t 2(x 2－r 2) －t 2( x 2+y 2－r 2)＝0，化简得：(a 2－r 2)y －2t (ax －r 2) －t 2 y ＝0．所以直线PQ 的方程为(a 2－r 2)y －2t (ax －r 2)-t 2y ＝0． ③在③中令y = 0得 x = r 2a，故直线PQ 过定点()20r a，．（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关） 解：（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。
高中数学圆锥曲线解题思考与探究
例题：直线 ｙ＝ｘ一１被抛物线 Ｙ ＝４ｘ截得 的线段中点坐 标是 ：
解析：设直线 ｙ＝ｘ一１与抛物线 Ｙ‘＝４ｘ交于 Ａ（Ｘ ，Ｙ ）。Ｂ
（× ，Ｙ，），其中点 Ｐ（Ｘ 。Ｙ ）。
ｆ ｙ＝ｘ－１
，
，
由题意得｛ｖ ；４×，（ｘ一１）。４ｘ，Ｘ‘一６Ｘ＋Ｉ＝０，所以）（０ ３，
Ｙ ＝２，即 Ｐ（３。２）。 二 、圆锥 曲线和 圆结 合 的问题
［ ０
３
当０≤ａ≤ 时，曲线Ｇ：ｘ －２ａｘ＋ｙ －４ｙ＋ａ‘＋罢｝＝ｏ
与点 Ｄ有公共点。
当 ａ＜０时，要使曲线 Ｇ：Ｘ －２ａｘ＋ｙ －４ｙ＋ａ‘＋罢｝ 一Ｏ与
Ｉ— ｎ ．ｎ Ｉ
点Ｄ有公共点，只需要圆心 Ｅ到直线 Ｌ的距离ｄ＝上 兰Ｉ 』
、／２
≤ 。得一单 ≤ａ＜ｏ，所以ａ的最小值为一下７ｖＴ 。
由２ａ＝２，２ｃ＝＼／丁得：ａ＝ｌ， 单 ，因此ｂ‘＝牟。 斗
，
．．２
．
所以椭圆方程为（ｘ－毕 ）２＋牛 ＝１，即Ｐ点的轨迹方
（
斗
程 。
这 道题 考 察 的是用 定义 法 求 圆 的轨 迹方 程 的方 法 。定 义 法即圆、椭 圆、双 曲线以及抛物线等定义写出动点轨迹方程的
方法。除定义法外，还有直接法、相关点法、待定系数法等多种 方法 求 曲线 的方 程或 动 点的 轨迹 方程
略 。 一 、 圆锥曲线和直线相结合考察 （一）求圆锥 曲线轨迹方程 的考察题型 求圆锥 曲线的轨迹方程步骤可 以简单概括为 ：建设现代
化。即建立坐标系、设 曲线上任意一点即相 关点的坐标、根据 题 目条件列出方程 、化筒方程。
例：设 Ｏ是圆 Ｘ ＋ｙ ；４的动点，另有点 Ａ（、／３ ，０），线段 Ａ０的垂直平分线 ］交半径 Ｏ０于点 Ｐ，当 Ｑ点在 圆周上运动
高考数学高频考点专题复习之圆锥曲线问题中同解思想问题的研究与拓展
圆锥曲线问题中同解思想问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：直线l 1:a 1x +b 1y +1=0和 l 2:a 2x +b 2y +1=0都过点(2，3)，则过点A (a 1,b 1)、B (a 2,b 2)的直线l 的方程为 . 2x +3y +1=0拓展：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>过点(1接四边形ABCD (点A 、B 、C 、D 在椭圆上)的对角线AC ，BD 相交于点1(1 )4P ，，且2A P P C =，2BP PD =． （1）求椭圆的方程； （2）求直线AB 的斜率．（1）解：依题意，22222 1314. c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得224 1. a b ⎧⎪⎨⎪⎩=，=所求椭圆的方程为2214x y +=．（2）解：设()11 A x y ，，则221114x y +=．由2AP PC =，得()1133428x y C --，．代入椭圆方程2214x y +=， 得()()21213342148x y --+=．整理，得221111319()04216x y x y +-+-=，即111x y +=-． ③ 设()22 B x y ，，同理可得2218x y +=-． ④由③④可得直线AB 的方程为x ＋y =18-，所以AB 直线斜率为－1.探究2： 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点M (－2，－1)，离心率为22.过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q . (1) 求椭圆C 的方程；(2) 试判断直线PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论． 解： (1) 由题设，得4a 2＋1b 2＝1，①且a 2－b 2a ＝22，②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2) 设直线MP 的斜率为k ，则直线MQ 的斜率为－k ， 假设∠PMQ 为直角，则k ·(－k )＝－1，即k ＝±1. 若k ＝1，则直线MQ 的方程为y ＋1＝－(x ＋2)， 与椭圆C 方程联立，得x 2＋4x ＋4＝0， 该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；同理，若k ＝－1也不合题意．故∠PMQ 不可能为直角．记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得(1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k )x ＋8k 2－8k －4＝0，则－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，即x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2.设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k (x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k 2.因y 1＋1＝k (x 1＋2)，y 2＋1＝－k (x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)x 1－x 2＝k (x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k28k 1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值．拓展1：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意点P (x 0,y 0)作两条倾斜角互补的两条直线交椭圆分别为A 、B 两点.求证：直线AB 的斜率为定值b 2x 0a 2y 0.拓展2：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y =∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为探究3：设平面直角坐标系xOy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .求： （1）求实数b 的取值范围；。
圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线中的探究性问题
圆锥曲线中的探究性（存在性）问题（一）存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求，特别是在解析几何第二问中经常考到“是否存在这样的点”的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。
一、是否存在这样的常数例1．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =+代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为22⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++u u u r u u u r，，由方程①，12212x x k +=-+． ②又1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A B AB =u u u r，，．所以OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得k =．由（Ⅰ）知k <2k >，故没有符合题意的常数k ． 练习1：（08陕西卷20）．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =u u u r u u u rg ，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由． 解法一：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=，由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫⎪⎝⎭，． 设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=， Q 直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =u u u r u u u rg ，则NA NB ⊥，又M Q 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． 由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥Q x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又12||||AB x x =-===．2168k+∴=，解得2k=±．即存在2k=±，使0NA NB=u u u r u u u rg．解法二：（Ⅰ）如图，设221122(2)(2)A x xB x x，，，，把2y kx=+代入22y x=得2220x kx--=．由韦达定理得121212kx x x x+==-，．∴1224N Mx x kx x+===，∴N点的坐标为248k k⎛⎫⎪⎝⎭，．22y x=Q，4y x'∴=，∴抛物线在点N处的切线l的斜率为44kk⨯=，l AB∴∥．（Ⅱ）假设存在实数k，使0NA NB=u u u r u u u rg．由（Ⅰ）知22221122224848k k k kNA x x NB x x⎛⎫⎛⎫=--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r，，，，则22221212224488k k k kNA NB x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u rg222212124441616k k k kx x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212144444k k k kx x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++⎪⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦g()221212121214()4164k k kx x x x x x k x x⎡⎤⎡⎤=-++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦g22114(1)421624k k k k kk⎛⎫⎡⎤=--⨯++⨯-+⨯+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦g22313164kk⎛⎫⎛⎫=---+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，21016k--<Q，23304k∴-+=，解得2k=±．即存在2k =±，使0NA NB =u u u r u u u rg ．练习2.直线1ax y -= 与曲线2221x y -=相交于P 、Q 两点。
例说巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题
槡［（ｘ１ ＋ｘ２）２ －４ｘ１ｘ２］，化 简 方 程 可 得 槡ａ＋ｂ －ａｂ／（ａ ＋ｂ）＝１，由于题目 明 确 表 示 ＯＣ 的 斜 率 为槡２／２，及 ａ／ｂ ＝
槡２／２，将该等式关系代入 槡ａ＋ｂ －ａｂ／（ａ ＋ｂ）＝ １ 中 可 得
点 分别为Ａ 点和Ｂ 点，且ＡＢ 的中点为Ｃ，若｜ＡＢ｜＝２ 槡２，且
ＯＣ 的斜率为槡２／２，求该椭圆的方程”这一 数 学 题 目 时，便 可
以引导学生合理地应用方程思想来解决，先 从 该 数 学 题 目 中 找 出不同变量之间的等式关系，将ａｘ２＋ｂｙ２ ＝１与ｘ＋ｙ－１ ＝ ０联立可得出方程式（ａ＋ｂ）ｘ２ －２ｂｘ＋ｂ－１＝０，由于题
关 键 词 ：数 学 思 想 ；圆 锥 曲 线 问 题 ；应 用 策 略
对于高中阶段的学生而言，数学思想 的 培 养 是 该 阶 段 数 学教师的重要教学任务，如何帮助学生熟 练 地 掌 握 不 同 的 数 学思想来解决相应的数学问题是数学教师在课堂教学活动 中的主要教学目标，接下来笔者以圆锥曲 线 这 一 课 程 内 容 为 主体，对一些常见数 学 思 想 的 应 用 展 开 详 细 的 论 述，希 望 这 些意见和 建 议 可 以 对 相 关 教 师 提 供 一 些 新 的 教 学 思 路 和 方向。 一 、方 程 思 想
周刊
例说巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题
丁立新
摘 要：圆锥曲线是高中数学课程内容中的重点，同时也是难点，学生在解决圆锥 曲 线 相 关 的 数 学 问 题 时，常 常 会 找 不 到 突 破点而难以在较短的时间内解出正确的答案 。针对这种情况，教师可以培养学生对于 数 学 思 想 的 认 知 和 应 用，在 遇 到 难 度 较 高 的圆锥曲线问题时 ，巧妙地运用数 学 思 想 对 其 进 行 快 速 地 解 决，提 高 解 题 效 率，这 也 是 笔 者 将 要 与 大 家 进 行 重 点 探 究 的 核 心 内容。
2023年全国甲卷数学文圆锥曲线一体多解
2023年全国甲卷数学文圆锥曲线一体多解一、引言近年来，随着教育改革的不断深入和考试制度的不断优化，数学文化已成为教学和备考的热门话题之一。
其中，2023年全国甲卷数学文圆锥曲线一体多解成为备受关注的焦点。
在这篇文章中，我们将深入探讨这一主题，并就其深度和广度进行全面评估，以期为读者带来有价值的启发和帮助。
二、圆锥曲线概述圆锥曲线是平面上由一个点P到一条直线L的距离与一个定点F到点P的距离的比值为常数e（离心率）所确定的点集。
根据e的不同取值，圆锥曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三种。
三、2023年全国甲卷数学文2023年全国甲卷数学文出现了圆锥曲线一体多解的考题，引起了广泛讨论和热烈关注。
这一题目不仅考察了学生对圆锥曲线性质的掌握，还考验了他们分析问题、解决问题的能力。
对于考生来说，正确理解和掌握圆锥曲线一体多解的原理和方法将是备考的关键所在。
四、深度解析在解题时，需要首先理解圆锥曲线的基本性质和方程，然后利用数学方法分析圆锥曲线的特征，探究其解的情况和条件。
在这一过程中，需要考生灵活运用数学知识，善于归纳和总结不同类型题目的解题思路和方法。
还需要培养对数学问题的逻辑思维和专业知识的综合运用能力。
五、广度拓展除了解圆锥曲线一体多解的方法和技巧外，还应在解题过程中体会数学的魅力和美妙。
数学不仅是一门学科，更是一种思维方式和解决问题的工具。
通过数学学习和训练，学生能够培养创造力、逻辑思维和分析问题的能力，为今后的学习和工作打下坚实的基础。
六、总结回顾2023年全国甲卷数学文圆锥曲线一体多解的出现，为我们提供了一个深入学习和思考数学的机会。
在备考过程中，我们不仅要注重掌握解题的方法和技巧，更要理解数学的本质和意义，培养对数学的兴趣和质疑精神。
通过理论学习和实际应用的结合，我们能更全面、深刻和灵活地理解数学知识，提高解题能力和创新意识。
七、个人观点作为一名数学学习者，我认为2023年全国甲卷数学文圆锥曲线一体多解的出现有利于激发学生学习数学的热情和动力，促进数学教学的改革和创新。
例说巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题
例说巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题圆锥曲线是一类重要的几何图形，它在数学与物理学等领域中都有着广泛的应用。
在实际问题中，常常需要进行圆锥曲线综合问题的求解，这时候便需要巧妙地运用数学思想来解决问题。
一、如何求解圆锥曲线的椭圆形状对于一个圆锥曲线，其椭圆形状可以通过椭圆长轴和短轴来描述。
我们可以通过将圆锥曲线投影到一个平面上，然后利用比例关系来求解长轴和短轴。
具体地，我们可以将圆锥曲线投影到它的母线上，这样投影出来的结果就是一条直线。
然后我们再将这条直线与圆锥曲线的顶点连线作为直径画一个圆，这个圆就是圆锥曲线的外接圆。
接下来我们就可以利用外接圆的性质来求解圆锥曲线的椭圆形状了。
我们可以将外接圆的直径作为椭圆的长轴，在外接圆上选择任意一点作为椭圆的中心点，然后测量圆心到外接圆任意一点的距离，这个距离就是椭圆短轴的一半。
圆锥曲线的拱形高度是指圆锥曲线沿过顶直线方向的高度，它在许多实际问题中都有着重要的应用。
我们可以利用圆锥曲线的几何性质来求解拱形高度。
对于圆锥曲线，其侧棱与过顶直线的夹角是一定的。
我们可以利用这个性质来求解拱形高度。
具体来说，我们可以在圆锥曲线的底面上，沿着过顶直线方向选择一个点，然后将这个点向上连接圆锥曲线的顶点，这样画出来的就是一个圆锥。
然后我们可以利用圆锥的相似性质来求解拱形高度。
具体来说，我们可以求出圆锥的高，然后利用圆锥的相似三角形来求解圆锥曲线的拱形高度。
这个方法虽然需要较为繁琐的计算，但是它可以较为准确地求解圆锥曲线的拱形高度。
对于一个圆锥曲线，我们可以将它分成很多小的曲面，然后对每个小的曲面进行面积计算，最后将所有小的曲面的面积相加即可得到圆锥曲线的表面积。
繁琐的计算虽然需要一定程度的耐心，但是有时候也能解决一些复杂的实际问题，计算结束后我们可以得到圆锥曲线的表面积，这对于许多实际问题的求解都有着很大的帮助。
综上所述，巧用数学思想可以帮助我们有效地解决圆锥曲线综合问题。
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法【摘要】圆锥曲线问题是数学中重要的课题之一，本文将深入探讨解决这一问题的几种方法。
首先介绍了圆锥曲线的概念和问题的重要性。
接着分别从几何法、代数法、参数法、向量法和微积分法五个方面展开讨论各种解决问题的方法。
在对各种方法进行了综合比较，并指出它们在不同场景下的适用性。
最后展望未来，提出了关于圆锥曲线问题研究的一些新的思路和方向。
通过本文的阐述，读者将对解决圆锥曲线问题有更深入的认识，同时也对未来的研究方向有了一定的启发。
【关键词】圆锥曲线, 解决问题, 方法, 几何法, 代数法, 参数法, 向量法, 微积分法, 综合比较, 适用场景, 未来展望, 引言, 正文, 结论.1. 引言1.1 圆锥曲线概述圆锥曲线是平面上具有特定几何性质的曲线。
根据圆锥曲线的定义，可以将它们分为椭圆、双曲线、抛物线和圆。
它们在几何学和代数学中具有广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学中都有着重要的作用。
椭圆是一个闭合的曲线，其定义是所有到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
双曲线是一个开放的曲线，其定义是到两个固定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
抛物线是一个开放的曲线，其定义是到一个固定点的距离等于到一个固定直线的距离的点的集合。
圆是一个闭合的曲线，其定义是到一个固定点的距离等于常数的点的集合。
圆锥曲线的研究对于理解几何及代数概念具有重要意义。
掌握不同方法解决圆锥曲线问题将有助于我们更深入地理解这些曲线的性质和特点，从而在实际问题中应用这些知识。
在接下来的内容中，我们将介绍几种不同的方法来解决圆锥曲线问题，希望读者能从中受益。
1.2 问题的重要性圆锥曲线在几何学和数学中具有重要的地位，它们是平面上特殊的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
解决圆锥曲线问题的方法不仅仅是为了解题，更重要的是培养数学思维和逻辑推理能力。
圆锥曲线在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，掌握解决圆锥曲线问题的方法可以帮助我们更好地理解这些领域的知识和解决实际问题。
数学思想在解答圆锥曲线问题中的应用
备考指南圆锥曲线问题具有较强的综合性，通常会综合考查圆锥曲线的定义、性质，平面几何图形的性质、定理，向量的坐标运算法则，方程的判别式、韦达定理，函数的图象、性质.在解答圆锥曲线问题时，可灵活运用一些数学思想，如数形结合思想、函数思想、转化思想、方程思想等来辅助解题，这样有利于提升解题的效率.一、数形结合思想数形结合思想是指根据数与形之间的等价关系来进行互化，从而使问题获解.数形结合思想是解答圆锥曲线问题的重要思想.我们知道，每一种圆锥曲线都有与其对应的方程和图形，因此在解答圆锥曲线问题时，可以根据解题需求，由圆锥曲线的方程画出图形，化数为形；由圆锥曲线列出方程，以形助数，将问题转化为方程问题或者图形的位置关系、性质问题来求解.例1.如图1，已知圆O ：x 2+y 2=1与坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，D ，设点P 到A ，B ，C ，D 四点的距离分别为d 1，d 2，d 3，d 4，若d 21=d 22+d 23，则d 4的取值范围为____.解：由题意知A ()1,0，B ()0,1,C ()-1,0,D ()0,-1，设P ()x ,y ，因为d 21=d 22+d 23，所以()x -12+y 2=x 2+()y -12+()x +12+y 2，整理得()x +22+()y -12=4，在平面直角坐标系中作圆()x +22+()y -12=4，如图1所示.设圆心为E 、半径为r ,连接ED ，则E()-2,1，图1由图1可知P 点到D 点的最大距离，即为d 4的最大值||ED +r =()-2-02+()1+12+2=22+2，点P 到点D 的最小距离，即为d 4的最小值||ED -r =22-2，故d 4∈[]22-2,22+2.设出P 点的坐标后，便可根据已知条件快速求得关于P 的坐标的方程，可将该方程视为圆心为E ()-2,1、半径为2的圆.P 点是圆E 上的动点，而E 、D 的距离是固定的，通过研究图形可知，d 4的最大值为||ED +r ，d 4的最小值为||ED -r .这样，通过方程与对应曲线之间的互化，把数形结合起来，即可将问题转化为圆外一点到圆上一点的最大（小）距离问题，利用圆的几何性质以及定义就能快速求得问题的答案.例2.如图2，已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1()a ＞0,b ＞0的左、右焦点为F 1、F 2，左、右顶点为A 1、A 2，点M 、N 在y 轴上. OM +2ON =0(O 为坐标原点)，直线MA 1、MA 2与C 的左、右支分别交于另外两点P 、Q .若四边形PQF 2F 1为矩形，且P 、N 、A 2三点共线，则C 的离心率为______.图2解：由 OM +2 ON =0,得 OM =-2 ON ，设N ()0,n ，∴M ()0,-2n ，由ìíîïïx =c ，x 2a 2-y 2b2=1，可得ìíîïïx =c ，y =±b 2a ，取Q æèçöø÷c ,-b 2a ，P æèçöø÷-c ,-b 2a ，又A 1()-a ,0，A 2()a ,0，P 、N 、A 2三点共线，∴kPA 2=b 2a a +c，k NA 2=n -a =-n a ，52备考指南∴-n a =b 2a a +c，n =-b 2a +c，∵P 、M 、A 1三点共线，∴k PA 1=b 2a a -c，k NA 1=-2n a ，∴-2n a =b 2a a -c ，2n =b 2a -c ，∵-2b 2a +c =b 2a -c ，∴-2a +c =1a -c ，∴c =3a ，∴e =ca=3.解答本题，需运用数形结合思想，结合图形中点、曲线、矩形的位置关系，根据向量的坐标运算法则、直线的斜率公式，建立关于a 、b 、c 的方程，即可通过解方程组，求得双曲线的离心率.二、函数思想函数思想主要用于求圆锥曲线的最值、参数的取值范围.在运用函数思想解题时，往往要先利用圆锥曲线的性质、定义、方程，求得目标式；然后选取合适的变量，将目标式视为关于该变量的函数式，利用函数的图象、性质来求得问题的答案.例3.已知P ()a ,b 是直线x +y =2k 和圆x 2+y 2=k 2-4k +5的公共点，则ab 的最大值为____.解：由{x +y =2k ，x 2+y 2=k 2-4k +5，消去y 可得2x 2-4kx +3k 2-4k +5=0，∵直线x +y =2k 与圆x 2+y 2=k 2-4k +5有公共点，∴Δ=k 2+4k -5≤0，解得-5≤k ≤1，由{a +b =2k ，a 2+b 2=k 2-4k +5，得()a +b 2-2ab =4k 2-2ab =k 2-4k +5，即ab =32k 2+2k -52=32æèöøk +232-169，则当k =-5时，ab 取最大值32×1699-196=25.由于P 点是直线与圆的公共点，所以P 点的坐标同时满足直线与圆的方程，于是将其分别代入直线与圆的方程中，建立关于a 、b 、k 的关系式，并通过恒等变换，用k 表示出ab ，再将其看作关于k 的一元二次函数式，利用一元二次函数的性质求得ab 的最大值.在运用函数思想解题时，要注意选取合适的对象作为变量，并求出变量的取值范围.在本题中，我们将直线的方程与圆的方程联立，通过消元y 得到一元二次方程，从而求得变量k 的取值范围.三、转化思想转化思想是指采用一些手段，如换元、引入待定系数、构造数学模型等，通过变换，使问题得以转化.运用转化思想解答圆锥曲线问题，需将已知条件和所求目标关联起来，通过添加辅助线，构造圆、双曲线、抛物线、椭圆，将复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题，以根据圆锥曲线的性质、定义、方程解题.例4.如图3，已知抛物线C ：y 2=8x 的准线为l ，圆E ：()x +12+()y -42=1，点P 、Q 分别是抛物线C 和圆E 上的动点，点P 到准线l 的距离为d ，则||PQ +d的最小值为____.图3解：由题意可知抛物线C ：y 2=8x 的准线为x =-2，焦点F ()2，0，圆E ：()x +12+()y -42=1的圆心为()-1,4，半径为r =1，由抛物线的定义可知||PF =d ，则||PQ +d =||PQ +||PF ,由圆的性质可知||PE -r ≤||PQ ≤||PE +r ，即||PE -1≤||PQ ≤||PE +1，所以||PQ +||PF ≥||PF +||PE -1≥||EF -1,当且仅当E ，P ，F 三点共线时等号成立，又||EF =()2+12+42=5，因此||PQ +d ≥5-1=4.我们先根据抛物线的定义、圆的性质，将||PQ +d 的最小值问题转化为两点E 、F 之间的最小距离问题；然后结合图形确定两点距离最小时的情形：E 、P 、F 三点共线，据此建立关系式，求得问题的答案.可见，运用数学思想，能高效解答圆锥曲线问题.在解题时，同学们需根据解题需求，将问题与所学的函数、方程、平面图形等知识关联起来，灵活运用数形结合思想、函数思想、转化思想来辅助分析、解答问题，以提升解题的效率.（作者单位：江苏省启东市汇龙中学）53。
“问题——探究”式教学模式在高中数学概念教学中的运用——以“圆锥曲线的统一定义”为例
探索篇•课题荟萃“问题一探克”式教学模式在高中数学概念教学中的运用——以“圆锥曲线的统一定义”为例周兴存(甘肃省嘉峪关市酒钢三中，甘肃嘉峪关)摘要:现代心理学家研究认为“疑问是思维的导火索”。
问题式教学模式是依据教学内容和要求，创设问题情境,通过问题的研 究及解决激发学生的求知欲和创造欲，培养学生创新能力的一种教学模式。
高中数学教学，尤其是概念教学过程中，教师应该积极运 用问题探究式教学模式展开教学，促使学生深入辨析所学概念。
以“圆锥曲线的统一定义”为例，在剖析概念的内涵和外延的基础上， 根据具体学情设置相关问题，引导学生理解“圆锥曲线的统一定义”。
关键词：问题探究式教学模式；高中数学；概念教学与直接给予学生某一数学概念的传统教学相比，问题探究式’J 2_12卜式可仃为总+亡-](“>/)>())妆早椭 教学模式往往更关注教学情境的构建，强调利用教学情境让学生:y ( ),v & ，上式r 化为庐+护-13>0)，这是椭 自觉参与到学习活动中。
在教学过程中，创设问题情境是问题式'圆的标准方程。
教学模式的中心环节，设置简洁而恰当的问题引导学生积极思： 设计意图：通过设置有效的问题引导学生深入探究,调动学考、合作交流，教师在讨论及验证过程中使问题层层推进,逐步深：生解决问题的积极性。
入,在潜移默化中使教学过程成为学生主动探索知识，提高学生： 四、反思总结，形成知识分析问题、解决问题的能力的过程。
： 教师引导学生在思索、质疑的基础上对问题进行讨论、反思，下面,笔者以"圆锥曲线统一定义”概念教学中运用“问题一1去伪存真,适时利用学生的观点反驳他们的错误认识，使他们对 探究"式教学模式为例，彰显这一教学模式的优势。
：知识的理解更透彻深入,娄师引导学生及时启、结，形成以下结论。
一、 创设问题情境,激发求知欲望 ................师:我们知道，平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线/ :迟的距离的比是常数丄(如>0)时，点P 的轨迹是以(r,0),(c,0)(F 不在/上)的距离的比等于常数1的动点P 的轨迹是抛物线。
论圆锥曲线的解题思路与技巧
论圆锥曲线的解题思路与技巧作者：陈天宇来源：《新教育时代·学生版》2018年第34期摘要：在高中数学学习过程中，圆锥曲线方面的内容十分重要，是基础知识，也是高考必考内容之一。
我们需要对其进行熟练掌握，深刻理解。
圆锥曲线将代数与几何进行完美融合，既有数的计算，又有形的美感，充分体现数形结合的思想，能很好地培养我们的数学思维能力和计算能力。
在解决方案上也十分丰富，各种解题思路在解决问题的过程中能够不断予以扩充。
对于圆锥曲线与平面向量、不等式、导数等知识相互融合的问题，往往题目灵活多变，这能够进一步考查同学们的解题思维，体现同学们在数学学习过程中对于数学的综合应用能力。
关键词：圆锥曲线解题思路技巧一、圆锥曲线的的重要价值圆锥曲线是高中平面解析几何的核心内容。
圆锥曲线的知识内容多，题目计算量大，对于同学们的解题能力的要求也非常高。
在高考中关于圆锥曲线方面的考点需要同学们在解题技能、知识及思维方面进行灵活运用。
其实，只要我们找出其中的内在规律，就会觉得圆锥曲线方面的题并不是十分的困难，这需要我们将数形结合的理念进行灵活运用，充分的运用方程的思想通过点差法、待定系数法等一系列方法进行方程式的求解，最终达到解决问题的目的。
圆锥曲线和直线相结合的问题是解析几何中常考的经典问题，也是近些年来高考的一个热点，在涉及这类问题时，需要结合直线与圆锥曲线的相关基本知识进行综合分析，并运用方程的思想、韦达定理等知识进行解答。
通过这些内容的考查，能够进一步提高同学们的数学解题能力。
二、圆锥曲线的常见题型及解题思路与技巧1.常见题型求圆锥曲线的方程、离心率、参数的范围、定点定值问题、面积与最值、中点弦问题、切线问题、轨迹方程、存在性问题、对称问题等等。
2.解题思路解决圆锥曲线的方程问题，可紧扣圆锥曲线的定义结合待定系数法去求；求离心率、参数的范围可利用方程的思想结合圆锥曲线的几何性质找出a，b，c的关系可得；直线过定点的问题，可采用赋值法、点斜式、解方程组法求解；面积与最值问题，常用到点到直线的距离公式、直线上两点间距离公式、韦达定理及重要不等式；中点弦问题，常用到点差法；切线问题，可适当设定直线方程形式（注意斜率不存在的情况）用待定系数法求解或利用导数去求解；轨迹方程的求解有直接法、定义法、几何法、相关点法、交轨法、参数法等等；存在性问题，可先特殊再一般；对称问题常用到点差法、△法、中点坐标公式、斜率之间的关系等。
圆锥曲线同构齐次化
圆锥曲线同构齐次化全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆锥曲线在数学中是一类非常经典的曲线，包括圆、椭圆、抛物线和双曲线等。
圆锥曲线同构齐次化是在研究圆锥曲线的过程中常用的一种方法，它可以简化问题的处理，并帮助我们更好地理解曲线的性质。
本文将介绍圆锥曲线同构齐次化的基本概念和应用，希望能帮助读者更好地理解这一重要的数学工具。
一、圆锥曲线的定义和分类在介绍圆锥曲线同构齐次化之前，我们先来简单了解一下圆锥曲线的定义和分类。
圆锥曲线是平面上的一类曲线，它们可以用数学方程表示。
在笛卡尔坐标系中，圆锥曲线的一般方程可以写成：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E、F为常数，且至少有一个系数不为零。
通过选择不同的系数，我们可以得到不同类型的圆锥曲线。
根据方程中系数的不同取值，圆锥曲线可以分为四类：圆、椭圆、抛物线和双曲线。
它们的特点如下：- 圆：A = C，B = 0，A、B、C均为正数或均为负数。
- 椭圆：A > 0，B^2 - 4AC < 0。
- 抛物线：B^2 - 4AC = 0。
- 双曲线：B^2 - 4AC > 0。
圆锥曲线同构齐次化是一种数学方法，通过将圆锥曲线的方程进行特定的变换，使得曲线的表达更加简洁、清晰，方便研究和分析。
具体来说，圆锥曲线同构齐次化的定义如下：设u = ax + by，v = cx + dy其中a、b、c、d为待定系数，使得曲线的方程变为：三、圆锥曲线同构齐次化的应用圆锥曲线同构齐次化在数学研究中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 研究圆锥曲线的性质通过同构齐次化，我们可以将圆锥曲线的方程化简为一个更加简单的形式，从而更容易研究其性质。
可以求得曲线的焦点、方程的焦点、方程的直线等信息。
2. 解决圆锥曲线相关问题在数学问题中，有时需要对圆锥曲线进行分析和求解。
通过同构齐次化，可以简化问题的处理，让求解过程更加直观、便捷。
怎样解答圆锥曲线问题
怎样解答圆锥曲线问题圆锥曲线问题一样显现在高考试卷的后两个题目中，第一问一样是求曲线方程式。
这一问，依照椭圆与曲线的差不多性质就能够求出来，比较简单。
圆锥曲线问题1.椭圆与直线关系问题如何解在求椭圆与直线关系问题时，要学会联立判别式，判定直线与圆锥曲线的位置关系。
联立问题运算比较苦恼，多运算几遍，第一问滴定要拿下！2.圆锥曲线第二问的解题思路专门多同学说，圆锥曲线第二问，看到就一脸懵逼。
全然搞不清晰如何做。
圆锥曲线问题的特点确实是运算复杂，真正思想几乎差不多上方程的思想，转化的思想，数形结合等等，实际上并不复杂，多练习运算，真正用的时候敢算，就能够了。
注意一些运算技巧，比如提取公因式，换元，联立后的四次项关系等等，还有确实是要多算，不要看看会了就不罢了，真正考的确实是运算能力。
不要再用自己思维不行的话把这道题堵死，平常在多练习的时候，大伙儿就要注意，遇到的题要运算清晰，明白得透彻。
3.每次遇到圆锥曲线差不多上明白大致但可不能用有同学说，遇到圆锥曲线问题时，大致会有个思路，然而具体到某一个题上，就可不能做了。
小编想和你说，如此的话确信是基础知识把握不牢固呀，圆锥曲线的解题思路依旧没有把握，建议大伙儿平常多翻一下关于圆锥曲线的题，然后多加练习，一定能拿下的。
今天先讲一下解题步骤吧：①一样需要利用定义或标准方程去解题②在不明白如何做时，就套定义。
要做到熟悉各种圆锥曲线的定义，再结合一下差不多的几何模型，比如垂直平分线等。
③圆锥曲线问题运算比较复杂，大伙儿在运算问题时一定要认真一些。
平常就要多注意练习运算速度以及准确率。
4.要紧公式有哪些解析几何常用的公式，两点间距离公式，斜率公式，中点公式，点到直线距离公式，弦长公式以及涉及到平面向量的公式等。
5.其他注意事项曲线问题涉及的未知量比较多，要注意未知量的个数，还要注意方程的个数，看看字母的个数和方程个数的关系，然后消元。
解题过程中一定会遇到化简这一步，然而化简时，运算过程能够省略，然而涉及到一些思想，比如换元等不能省略。
例谈圆锥曲线中的一题多解
例谈圆锥曲线中的一题多解
圆锥曲线是解析几何中重要的概念，包括椭圆、双曲线和抛物线等曲线都属于圆锥曲线的范畴。
在数学中，我们经常会遇到一题多解的情况，即通过不同的方法或途径可以得到同一问题的多个答案。
本文将以圆锥曲线中的一题多解为例展开讨论。
让我们以椭圆为例来说明一题多解的情况。
椭圆是平面上一组点的集合，其到两个给定点的距离之和恒为常数。
在解析几何中，通常会遇到求椭圆的离心率的问题。
椭圆的离心率可以通过多种方法来计算，比如通过椭圆的焦点和长轴、短轴的长度来确定，也可以通过椭圆的方程来求解。
我们可以通过椭圆的几何性质或者其方程两种不同的途径来得到椭圆的离心率，这就是椭圆中的一题多解的情况。
圆锥曲线中一题多解教案资料
圆锥曲线中一题多解一道高三总复习练习题的一题多解学生在高三复习的过程中，总能碰到一道题有好几种解法的问题，可学生只能做出一种方法，并且做出来后也不再去思考有没有其他的解法，导致学生在知识点上，解题方法中白白浪费了一次训练机会，现在我就以高三复习中的一道圆锥曲线问题为列来说明：题目：如图，已知抛物线x y 42=，直线l:与抛物线交于A,B 两点，求线段AB 的长.这是一道圆锥曲线中直线与圆锥曲线相交后的求弦长问题，而此问题是比较基础的问题，在此问题的基础上进行变式后得到一些其他的问题。
而学生在解决此问题时还是仅仅限于解出来但不再去思考方法的优劣。
解法一解：设A （，），B （）由消y 得解得=，由此可得A （，），B （） 再根据两点间的距离公式得=4这种解法就是圆锥曲线中的一些通法，思维简单但是运算量比较大。
法二解：设A （，），B （）由1-=x y 1x 1y 22,y x {142-==x y x y 0162=+-x x 1x 223+2232-=x 223+222+22-222-3，AB 1x 1y 22,y x {142-==x y x y消y 得所以由弦长公式得=4这种方法想到直线和圆锥曲线相交后弦长公式相比较法一就省去了解方程的运算，减少了出错的可能性。
这种方法在圆锥曲线中比较常用。
法三解：由直线方程中可得直线过点（1,0）而抛物线的焦点也为（1,0）设A （，），B （）由消y 得所以由抛物线定义得=+2=8此方法观察到了直线过了抛物线的焦点，从而联想到抛物线的定义。
由抛物线定义=+p 这就需要学生对抛物线的定义熟悉并且要有敏锐的观察力。
法四解：由直线方程y=x-1可得直线斜率为1倾斜角为再由直线与抛物线相交后弦长，（ɑ为AB 所在直线的倾斜角）的公式可得=8这种方法只要记得直线过抛物线焦点相交后弦长公式，这需要学生要更高的思维训练。
法五解：由直线方程y=x-1可得直线过了（1,0）点和倾斜角为，0162=+-x x 621=+x x 121=x x AB ]4))[(1(212212x x x x k AB -++=1x 1y 22,y x {142-==x y x y 0162=+-x x 621=+x x AB 21x x +AB 21x x +4πα2sin 2AB p =4sin 4AB 2π=4π所以直线方程的参数方程为，（t 为参数）把它带入抛物线方程，得解得由参数的几何意义得=此种方法是由直线的参数方程的几何意义可得。
圆锥曲线方程的解题分析和拓展思考
圆锥曲线方程的解题分析和拓展思考作者：***来源：《新课程》2021年第36期摘要：高中數学不仅要求学生具备基础的知识，对学生的思维也有一定的要求，故学生在学习解题的过程中，还需要开拓思维，学会利用数学知识解决问题，能够自我创新，找到适合自己的解题思路，提高问题解决的效率。
关键词：高中数学;圆锥曲线方程;例题解答;思路分析一、前言最近几年，在数学高考中，圆锥曲线方程考点出现概率较高，在解题的过程中，要根据圆锥曲线方程的题型进行具体分析，针对圆锥曲线题型的不同情况进行针对性分析和判断，找到最方便快捷的解题方式，这样才能在遇到问题时快速、准确地解答，提高解题效率。
二、解题策略及思路分析1.利用圆锥曲线解决最值问题在提高解题效率时，通常会选择大量做题，提高学习效率，但是大量做题会消耗我们很多时间，而对提高成绩却没有显著的效果。
对高中生来说，提高做题效率和准确率是非常重要的，因此需要根据自己的特点和学习能力进行改变，对问题进行深入分析，形成开放式思维，在做完一道题后，需要对问题再次分析，寻找是否有便捷方式，这样就可以从各个角度分析问题，实现一题多用。
2.利用圆锥曲线解决参数方程在学习用圆锥方程解决问题时，要积极主动探究知识的本质和内涵，与同学互相协作，研究有效的解决问题方式，并认识到自己的不足，能够在学习中改正自己，提高数学学习效率。
在解决问题的过程中需要结合学习的知识，深入分析题目的内涵，找到快速解决问题的方法。
在这道题中，要通过自己思维模式进行问题分析，尽量不要参考其他资料，根据自己所学习的知识去解决问题。
这样的学习过程就是自主思考问题的过程，能够提升学习能力。
此外，如果经过多重尝试之后，依旧没有分析出解决问题的过程，那这个时候可以去求助其他同学或者老师，与他们交流，总结自己是哪个环节出现问题，并在后续的思考学习中避免出现这样的错误。
3.深入分析数学教材，灵活运用圆锥曲线的性质和公式圆锥曲线本质就是定义的体现，定义在一方面也能表示圆锥曲线的性质。
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专题7.15：圆锥曲线问题中同解思想问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：直线l 1:a 1x +b 1y +1=0和 l 2:a 2x +b 2y +1=0都过点(2，3)，则过点A (a 1,b 1)、B (a 2,b 2)的直线l 的方程为 . 2x +3y +1=0拓展：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>过点(1接四边形ABCD (点A 、B 、C 、D 在椭圆上)的对角线AC ，BD 相交于点1(1 )4P ，，且2A P P C =，2BP PD = ． （1）求椭圆的方程； （2）求直线AB 的斜率．（1）解：依题意，22222 1314. c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得224 1. a b ⎧⎪⎨⎪⎩=，=所求椭圆的方程为2214x y +=．（2）解：设()11 A x y ，，则221114x y +=．由2AP PC = ，得()1133428x y C --，．代入椭圆方程2214x y +=， 得()()21213342148x y --+=．整理，得221111319()04216x y x y +-+-=，即111x y +=-． ③ 设()22 B x y ，，同理可得2218x y +=-． ④ 由③④可得直线AB 的方程为x ＋y =18-，所以AB 直线斜率为－1.探究2： 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点M (－2，－1)，离心率为22.过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q . (1) 求椭圆C 的方程；(2) 试判断直线PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论． 解： (1) 由题设，得4a 2＋1b 2＝1，①且a 2－b 2a ＝22，②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2) 设直线MP 的斜率为k ，则直线MQ 的斜率为－k ， 假设∠PMQ 为直角，则k ·(－k )＝－1，即k ＝±1. 若k ＝1，则直线MQ 的方程为y ＋1＝－(x ＋2)， 与椭圆C 方程联立，得x 2＋4x ＋4＝0， 该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；同理，若k ＝－1也不合题意．故∠PMQ 不可能为直角．记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得(1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k )x ＋8k 2－8k －4＝0，则－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，即x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2.设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k (x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k 2.因y 1＋1＝k (x 1＋2)，y 2＋1＝－k (x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)x 1－x 2＝k (x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k28k 1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值．拓展1：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意点P (x 0,y 0)作两条倾斜角互补的两条直线交椭圆分别为A 、B 两点.求证：直线AB 的斜率为定值b 2x 0a 2y 0.拓展2：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y =∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±± 依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为探究3：设平面直角坐标系xOy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .求： （1）求实数b 的取值范围；（2）求圆C 的方程；（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）?请证明你的结论. 解：（1）由0(0)0f ∆>⎧⎨≠⎩解得1b <且0b ≠；（2）设二次函数与x 轴的两个交点分别为1(,0)x 和2(,0)x ，则1x 和2x 是关于x 的方程220x x b ++=的两个不同解，设圆C 方程为220x y Dx Ey F ++++=，将点1(,0)x ，2(,0)x ，(0,b )分别代入圆方程有21122220,0,0,x Dx F x Dx F b Eb F ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩ 由前两个方程可知1x 和2x 是关于x 的方程20x Dx F ++=的两个不同解，所以2,D F b ==,代入第三个方程解得1E b =--，所以圆C 方程为222(1)0x y x b y b ++-++=；（3）由(2)圆C 方程整理为222(1)0x y x y b y ++-+-=，令222010x y x y y ⎧++-=⎪⎨-=⎪⎩解得21x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩，可知圆C 经过两个定点(－2,1)和(0,1).拓展：已知椭圆O 的中心在原点，长轴在x 轴上，右顶点(2,0)A 到右焦点的距离与它到右准线的距离之比不过A 点的动直线12y x m =+交椭圆O 于,P Q 两点． （1）求椭圆的标准方程；（2）证明,P Q 两点的横坐标的平方和为定值；（3）过点,,A P Q 的动圆记为圆C ,，已知动圆C 过定点A 和B (异于点A )，请求出定点B 的坐标. 解：（1）设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0).1b =, ∴椭圆的标准（2）证明：设点),(),,(2211y x Q y x P 将 化简得：0)1(2222=-++m mx x ①∴212122,2(1)x x m x x m +=-=-, ∴222121212()24x x x x x x +=+-=,∴P ,Q 两点的横坐标的平方和为定值4.（3）法1：设圆的一般方程为:220x y Dx Ey F ++++=,,PQPQ圆过定点(2,0)，所以420D F ++=③圆过1122(,),(,)P x y Q x y , 则2211112222220,0,x y Dx Ey F x y Dx Ey F ++++=++++=⎧⎨⎩ 两式相加得： 22221212121220,x x y y Dx Dx Ey Ey F ++++++++=12y y m += , 5220mD mE F -++=∴④点重合）所以1-≠m ，所以圆过定点(0,1).法2：设圆的一般方程为:220x y Dx Ey F ++++=,联立22012x y Dx Ey F y x m ⎧++++=⎪⎨=+⎪⎩消去y 得到：2244()()0525E x m D x m EmF ++++++=⑤，由题可知方程①和⑤同解所以2242()5242(1)()5E m m D m m Em F ⎧=++⎪⎪⎨⎪-=++⎪⎩整理得23223522E D m Em F m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，又有圆过点A ，可得420D F ++=且1m ≠-，由上述三个方程联立可得.拓展：试证明如下定理：定理 设斜率为k 的直线与椭圆()22221,0x y a b a b +=>>相交于,P Q 两个不同点（也不同于椭圆的右顶点A ），则过,,P Q A 的圆恒过一个异于点A 的顶点B 2222222222,++a k b abk a b a k ba kb ⎛⎫-⋅⋅ ⎪⎝⎭证明：设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，直线PQ 的方程为：y kx m =+。
将直线方程代入圆的方程得：()()222120k x km D kE x m mE F +++++++= （1）联立直线与椭圆方程得：()22222222220a k b x a kmx a m a b +++-= （2）方程（1）与方程（2）为同解方程，所以2222222222122k km D kE m mE Fa kb a km a m a b+++++==+- 又圆过点A (),0a ，则2=0a aD F ++从而我们可得到关于,,D E F 的三元一次方程组222222222222222=2aD F a kmc D kE a k b c m a b a b k mE F a k b ⎧⎪+-⎪⎪+=⎨+⎪⎪--+=⎪+⎩解得上述方程组的解为：22222222222222222222=+kmc ac k D a k b mc ac k E a k b a b a b k akmc F a k b ⎧-⎪+⎪+⎪=⎨+⎪⎪+=-⎪+⎩代入圆的方程为：2222222222222222222222+0kmc ac k mc ac k a b a b k akmc x y x y a k b a k b a k b -+++++-=+++整理得：()()()()222222222222222220a k b x a k b y ac k x ac ky a b k a b c kx y ak m ⎡⎤+++-+-+++-=⎣⎦所以222222222222222222200ac k ac k a b k a b x y x y a k b a k b a k b kx y ak ⎧++-+-⎪=+++⎨⎪+-=⎩解得：2222222222a k b x a a k b abk y b a k b ⎧-=⋅⎪⎪+⎨⎪=⋅⎪+⎩或0x a y =⎧⎨=⎩（舍） 故得证注：最后解得一元二次方程： ()()222232222220a k b x a k x a k b a +-+-=【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。