整数环上对合矩阵的相似标准型
矩阵的相似标准形
而
A (1)n A
A 12 n .
从定理可以看出, 若A的特征值有一个为零, 则|A|=0. 反之亦成立.
推论 矩阵A可逆A的特征值全不为零.
定理2.4 若n阶可逆方阵A的特征值为1, 2, …, n，则A1的特征值为
1 1 ,1 2 ,1 n . 证明: 由定理2.3, 1 1 ,1 2 ,1 n 有意义.
1
因此A的属于2= 3=1的全部特征向量是
k(1, 2, 1), (k 0).
例2 求矩阵
1 B 2
2 1
2 2
的特征值和特征向量.
2 2 1
解： 特征方程
1 2 2
E B 2 1 2 ( 1)2( 5) 0
2 2 1
B的特征值为 1= 2= 1, 3=5. 对二重特征值 = 1，解方程组(EB)x=0,
1 0 2
所以A的特征值为 1=2, 2= 3=1.
对1=2, 解齐次方程组 (2EA)x=0,
3 x1 x2 0 即 4x1 x2 0 一般解为
x1 取基础解系
0
x
0 0,
1
x1 0
x2
0
x3 x3
得A的属于λ1=2的全部特征向量为 k(0, 0, 1) (k 0).
注意：0和1不一定同时是幂等矩阵的特征值, 比如E是幂等矩阵, 但其特征值只有1.
2. 有关特征值的几个定理
定理2.1 相似的矩阵具有相同的特征多项式, 也有相同的特征值. 证明: 设A∽B, 则存在可逆矩阵P, 使得
B=P-1AP.
因此 E B P 1(E)P P 1 AP P 1(E A)P E A.
的特征向量.
问题：对任何方阵A, 是否有特征值呢? A有 特征值时，如何求出它的全部特征值和全部 特征向量呢?
矩阵的相似标准形
THANK YOU
感谢聆听
将矩阵A的全部特征向量构成一个矩阵P， 则P^(-1)AP即为所求的相似标准形。
初等变换法
第一步
写出矩阵A的特征多项式f(λ)， 并求出其全部根，即矩阵A的 全部特征值。
第二步
对每一个特征值λi，构造一个 以λi为主对角线元素的对角矩 阵Di，并将矩阵A与Di进行初 等行变换，得到一个与A相似 的矩阵Bi。
第三步
将所有与A相似的矩阵Bi进行 初等列变换，得到一个最简形 式的矩阵C，则C即为所求的相 似标准形。
正交变换法
01
02
03
04
第一步
求出矩阵A的全部特征值和特 征向量。
第二步
将矩阵A的全部特征向量进行 施密特正交化，得到一个正交 矩阵Q。
第三步
对正交矩阵Q进行归一化处理 ，得到一个新的正交矩阵P。
通常，这个矩阵可以通过求解原矩阵的特征向量得到。
02
计算特征值和特征向量
利用数值计算方法，如幂法、反幂法等，求解原矩阵的特征值和特征向
量。
03
构造相似变换矩阵并应用
使用求得的特征向量构造相似变换矩阵，并将其应用于原矩阵，得到相
似标准形。
实例演示：Python实现过程
01 02 03 04 05
导入所需的库 定义原矩阵
矩阵的条件数
条件数用于衡量矩阵求解问题对输入误差的敏感性。条件 数越大，求解过程中数值不稳定性越严重。
迭代算法的收敛性
对于迭代算法，需要关注其收敛速度以及是否收敛于精确 解。不合适的迭代参数或初始值可能导致算法不收敛或收 敛速度极慢。
算法设计思路及步骤
01
选择合适的相似变换矩阵
为了将原矩阵转换为相似标准形，需要构造一个合适的相似变换矩阵。
应用数学基础 第二章-矩阵的相似标准形
记 f(x)= x n+ a1 x n-1 + + an-1 x + an，则 f(A)= A n+ a1 A n-1 + + an-1 A + an E
若 f()为的特征多项式，则 f(A)=0 .
( p60 Th2.11, Hamilton-Cayley定理 )
函数矩阵： 元素是函数的矩阵 多项式矩阵或-矩阵： 元素是的多项式的矩阵 如：方阵的A特征矩阵 E – A Note：多项式矩阵可以写成以矩阵为系数的多项式
Hint: 初等因子为 – 2，( + 1)2
cf. Mathematica示例 cf. Mathematica
例2.9 求矩阵A的Jö rdan标准形，其中
Hint: A1, A2初等因子分别为 i和 – 2，( – 1)2
示 例
19
§2.3 三、有理标准形
对任意的ni 次多项式 ()= 它的相伴矩阵Ci 定义为
特征值： f()= 0的根，即使 E – A为退化矩阵的数 特征向量：( E – A)X = 0的非零解 (为特征值) 谱：全部特征值的集合，记作(A)
有关特征值与特征向量的几个结论
2
§2.1－1
方阵的特征矩阵
矩阵多项式：以方阵 A代入一个多项式 f(x)的值，或者 说是 f(x)在 x = A处的值
15
§2.3 矩阵的相似标准形
一、矩阵相似的充分必要条件 定义2.8 设A, BCnn ，若存在可逆矩阵P Cnn ，使 P -1 A P = B , 则称A与B相似, 记作AB. 称 AB= P -1AP为相似变换， 称P为相似变换矩阵. 定理2.7 A, BCnn, A ~ B E – A E – B. Key
相似矩阵的判定及其应用
相似矩阵的判定及其应用摘要：相似矩阵是高等代数中重要的知识点，在本文中，我们先给出了判定两个矩阵相似的三种方法，然后我们知道矩阵相似于对角矩阵是高等代数中一个重要而基本的问题,我们给出怎样判断矩阵A是否可对角化，然而我们知道一个矩阵未必相似于对角矩阵，但是在复数域上任何一个矩阵都与一个若而当形矩阵相似，因此我们给出了矩阵的相似标准形及其应用；最后，我们给出了矩阵相似在实际生活中（尤其是考研中）的应用.关键字：相似矩阵，对角矩阵，若尔当标准形1.相似矩阵及其判定这一节我们在系统归纳相似矩阵的一些相关概念和性质的基础上，着重介绍相似矩阵的几种判定方法。
并通过一些具体的例子加以说明。
下面我们首先介绍相关的概念和性质。
定义1设A，B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=1X A X，就说A相似于B，记BA~过渡矩阵矩阵等价 特征矩阵 行列式因子 不变因子 初等因子相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有三个性质： ⑴反身性: A A ~⑵对称性：如果B A ~，那么A B ~⑶传递性：如果B A ~，C B ~，那么C A ~在此基础上，定理1.1 线性变换在不同基下所对应的矩阵相似。
我们从下面的例1来看这个定理的应用。
例112312312311112A B A a εεεεεεεεεεεεε⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ΛΛΛΛΛ=++1112133332312122232322213132331312112131a a a a a a 设=a a a ，a a a 是数域P 上的矩阵，证明A ，B 相似.a a a a a a 证明：设数域P 上的三维线性空间V 的一个线性变换在V 中的一组基，，下的矩阵为A ，（，，）=（，，）a a 即：32123312333212321132********,,a B A B a εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ=++⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ⎡⎤⎢⎥=Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦12223213233333231332221231213332312322211312a a a a a a a a a 于是a a a a a 在基，下的矩阵a a a a a a ,为同一线性变换在两组不同的基下的矩阵，a a 由定理1A B 可得：同一线性变换在两组不同的基下的矩阵相似，可得,相似.例2 设3P 的线性变换σ将基1α=（-1，0，-2），2α=（0，1，2）3α=（1，2，5）变成σ（1α）=（2，0，-1），σ（2α）=（0，0，1），σ（3α）=（0，1，2）求σ在基1β，2β，3β下的矩阵，其中1β=（-1，1，0），2β=（1，0，1），3β=（0，1，2）. 解题步骤：（1）先求出σ在基1α，2α，3α下的矩阵A ；（2）求出由基1α，2α，3α到1β，2β，3β的过渡矩阵P ； （3）求出σ在基1β，2β，3β下的矩阵B =1P AP -.解：我们从平常的解题中知道，我们通常取标准基1ε=（1，0，0），2ε=（0，1，0），3ε=（0，0，1）为中介，若令M =200001112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ， N = 101012225-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， T =110101012-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则σ（1α，2α，3α）=（1ε，2ε，3ε）M （1α，2α，3α）=（1α，2α，3α）N （1β，2β，3β）=（1ε，2ε，3ε）T ，故σ在基1α，2α，3α下的矩阵1A N M -=，并且由基1α，2α，3α到基1β，2β，3β的过渡矩阵1P N T -=，从而σ在基1β，2β，3β下的矩阵1111221421211B P AP T NN MN T -----⎡⎤⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦定理1.2 设A ，Ｂ为数域P 上两个n ⨯n 矩阵，它们的特征矩阵E A λ-和E B λ-等价则可得A 与Ｂ相似.想保留证明过程，可以把它作为用定义1来判定矩阵相似的例子。
高等代数-相似标准型
注: 初等 阵是可逆 阵.
的逆
可逆 矩阵_2
命题: 矩阵的逆矩阵若存在 , 必唯一.
▪ 定理: 一个
阶 矩阵为可逆的
矩阵的充分必要条件是其行列式为一非
零常数.
▪ 命题:可逆 矩阵的乘积也是可逆 矩
阵.
▪注
矩阵的相抵关系是等价关系.
矩阵的带余除法_1
引理:设
是两个非零 矩阵 ,
且都不为零. 又设B为n阶数字矩阵, 则必存
( 1)2
1
1
( 1)( 1)
它们相抵吗？
§7.3 目的与要求
➢ 熟练掌握λ- 矩阵的行列式因子和不变因 子的定义
➢ 熟练掌握λ- 矩阵相抵与行列式因子及不 变因子的关系
➢ 熟练掌握矩阵相似与行列式因子及不变 因子的关系
➢ 领会矩阵相似与数域扩大无关
行列式因子_1
定义:设 是n 阶λ-矩阵 , 1≤k ≤ n . 如果 的所有k 阶子式的最大公因式(首项系数 为1)不为0，则称此多项 求证A 的特征多项式与极小多项式相等, 并求 A的有理标准型.
上节回顾_1
行列式因子组： λ-矩阵、数字矩阵、全系不变量
不变因子组： λ-矩阵、数字矩阵、全系不变量
不变因子组与行列式因子组的关系
上节回顾_2
Frobenius块： 形状、行列式因子组、不变因子组
A相似于 0 I A 0I
上节回顾
λ- 矩阵、特征矩阵λI－A、秩
可逆λ- 矩阵 法式、行列式、初等λ-矩阵
λ- 矩阵的相抵 M(λ) A(λ) N(λ) = B(λ)
数字矩阵相似相应特征矩阵相抵 λ- 矩阵的标准型——法式
法式唯一吗？有否其他计算方法？
1
第四章 矩阵的相似标准形
第四章 矩阵的相似标准形复方阵在相似意义下的标准形——Jordan 标准形（B A B AP P ~1⇔=-）。
第一节 特征值 特征向量如果存在任意的一组基n ααα,,,21 ，使=),,,(21n f ααα ),,,(21n ααα ),,,(21n d d d d ，则n i d f i i i ,,2,1,)( ==αα。
定义1.1 设),hom(V V f ∈，V 为数域F 上的线性空间，若存在F ∈λ以及非零向量V ∈ξ，使得 λξξ=)(f则称λ是线性变换f 的特征值，ξ为f 对应于特征值λ的特征向量。
例如：1 是恒等变换I 的特征值；0是零变换O 的特征值，一切非零向量都是他们的特征向量。
设V 为n 维线性空间，n ααα,,,21 为V 的一组基，f 在该组基下的矩阵为A ，ξ的坐标向量为X ，则)(ξf 的坐标向量为AX ，于是存在0≠ξ，使得⇔=λξξ)(f 存在0≠X ，使得⇔=X AX λ存在0≠X ，使得⇔=-0)(X I A λ0=-A I λ。
因此，f 的特征值即是特征方程0=-A I λ在数域F 上的根；特征值λ对应的特征向量ξ的坐标向量X 就是齐次线性方程组0)(=-X A I λ的非零解。
定义1.2 设n n C A ⨯∈，n 次多项式0)(=-=A I C λλ称为矩阵A 的特征多项式；称0)(=-=A I C λλ的根为矩阵A 的特征值，记矩阵A 的特征值集为)(A λ；称满足X AX λ=的非零向量X 为矩阵A 的特征向量（属于特征值λ）。
定理1.1 若B A ~，则A 与B 有相同的特征多项式。
证 由B A ~知，B AP P =-1，于是A I AP P I B I -=-=--λλλ1。
定理1.2 设n n ij a A ⨯=)(，则∑=--+=-nk k n k k nb A I 1)1(λλλ。
其中A b k =的所有k 阶主子式之和，特别)(1A tr b =，A b n =。
相似矩阵及二次型相关概念及定理
相似矩阵及二次型相关概念及定理嘿，伙计们！今天我们来聊聊一个非常有趣的话题：相似矩阵及二次型相关概念及定理。
你们知道吗，这些概念在我们的日常生活中可是无处不在哦！比如说，你有没有想过为什么两个房子的结构看起来差不多，但价格却相差甚远呢？这就是因为它们所使用的材料和施工方式不同，导致了它们的结构相似度不同。
而相似矩阵和二次型就是用来描述这种相似度的工具。
我们来说说相似矩阵。
想象一下，你有两个朋友，他们的性格和兴趣爱好都很相似。
那么，他们的相似度就可以用一个矩阵来表示。
矩阵中的每个元素都是0或1,表示这两个人在这方面是否相似。
如果两个人在某个方面完全相同，那么这个元素就是1;反之，如果两个人在这方面完全不同，那么这个元素就是0。
这样一来，我们就可以通过观察这个矩阵来了解这两个人的相似程度了。
接下来，我们来看看二次型。
二次型是一个数学模型，用来描述一个物体的形状和大小。
想象一下，你正在建造一座房子。
这座房子的外观和内部空间可以分别用两个二次型来描述。
外部二次型描述的是房子的外观，比如说它的高度、宽度和比例等；内部二次型描述的是房子的空间布局，比如说客厅的大小、卧室的数量等。
通过比较这两个二次型，我们就可以知道这座房子的整体形状和大小是否合适了。
那么，相似矩阵和二次型有什么关系呢？其实，它们之间有着密切的联系。
在实际应用中，我们常常需要同时考虑物体的形状和大小。
这时，我们就可以将这两个问题合并成一个二次型问题。
具体来说，我们可以将外部二次型和内部二次型相乘，得到一个新的二次型。
这个新的二次型就包含了物体的形状和大小信息。
然后，我们再通过对这个新的二次型进行特征值分解，就可以得到一个相似矩阵。
这个相似矩阵就反映了物体在形状和大小方面的相似程度。
当然啦，相似矩阵和二次型还有很多其他的应用。
比如说，在机器学习领域中，它们被用来描述数据集之间的相似性；在物理学领域中，它们被用来描述物体的运动轨迹等等。
无论是在学术研究还是日常生活中，相似矩阵和二次型都是非常重要的概念。
矩阵的标准形式
矩阵的标准形式矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
在矩阵的运算中，标准形式是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和处理矩阵的性质和特点。
本文将介绍矩阵的标准形式，包括矩阵的相似对角化和矩阵的特征值分解等内容。
首先，我们来介绍矩阵的相似对角化。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP是一个对角矩阵D，那么我们称矩阵A和D是相似的，而矩阵P就是相似变换矩阵。
这种对角化的形式称为相似对角化，它可以帮助我们简化矩阵的运算和分析，更好地理解矩阵的性质。
其次，我们来介绍矩阵的特征值分解。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP是一个对角矩阵D，那么我们称D的对角元素就是矩阵A的特征值，P的列向量就是矩阵A的特征向量。
特征值分解可以帮助我们将一个复杂的矩阵分解成特征值和特征向量的形式，从而更好地理解矩阵的性质和特点。
在实际应用中，矩阵的标准形式可以帮助我们简化计算，解决实际问题。
比如在物理学中，矩阵的标准形式可以帮助我们求解线性系统的稳定性和动态特性；在工程学中，矩阵的标准形式可以帮助我们分析控制系统的性能和稳定性；在金融学中，矩阵的标准形式可以帮助我们分析投资组合的风险和收益。
可以说，矩阵的标准形式在各个领域都有着重要的应用和意义。
总之，矩阵的标准形式是线性代数中的重要概念，它可以帮助我们更好地理解和处理矩阵的性质和特点。
通过相似对角化和特征值分解，我们可以将一个复杂的矩阵简化成更容易处理和分析的形式，从而更好地解决实际问题。
希望本文的介绍可以帮助读者更好地理解矩阵的标准形式，更好地应用于实际问题中。
整数环上对合矩阵的研究
逆矩阵 Q1 M n 1 Z ，使
则秩 I n 1 B1 r 1 ，由归纳假设，存在 n 1 阶可
- 19 -
第 30 卷第 2 期
I r 1 1 Q1 B1Q1 0
取Q 0
唐山师范学院学报
I r 1 I n 1r 1 0 B0 B0 ， I nr
1
有唯一解 X P 1b 由 P 1 M n Z ，则 X Z n ，设
证明： 由矩阵 P M n Z 可逆， 则线性方程组 PX b
k1 k X 2， k n
2 I B
， 0 I B n 1 1 C
n
1
P2 , , Pn ，其
可逆矩阵。
P M n Z 可逆，则 b Z ，存在
k1 k2 ， X Zn k n
使得 b k1 P1 k 2 P2 k n Pn 。
P2 , , Pn ， 且
则称 A，B 在整数环 Z 上相似。 的行列式 P 1 ， 且 P 1 M n Z 。 若 P，Q 都是 M n Z 中可逆矩阵，则 PQ 也是 M n Z 中可逆矩阵。 为 d ，则存在可逆矩阵 P M n Z ，使得 引理 1 若整数 b1，b2， ，bn （ n 2 ）的最大公约数 显然，若矩阵 P M n Z ，则 P 可逆的充要条件是 P
关键词：对合矩阵；相似标准型；整数环；可逆矩阵 中图分类号： O151.21
Studies of Involutory Matrix on Integral Number Ring
LI Yan, ZHANG Qing
高等代数-相似标准型
多项式矩阵与矩阵多项式_2
矩阵的运算: 相等: 加法: 数乘: 乘法运算: 行列式: 伴随矩阵:
例子
注1:
为s次矩阵多项式, 其行列式也可能为0
或常数.
例3:
注2: 例4:
分别为s, t次矩阵多项式, 但 也可能为0.
矩阵的初等变换与初等矩阵_1
定义: 对 矩阵 行初等变换
(1) 互换变换: 将
矩阵的法式_1
引理设 这里
则 且
注
即 的最大公因式.
矩阵的法式_2
定理设 是m×n 阶 矩阵, 则这里
是
首项系数为1的多项式, 且
矩阵的法式_3
注1 上面矩阵称为
的法式.
注2 r 称为
的秩.
注3
推不出 可逆.
注4
可逆
的法式为I
相抵于I.
矩阵的法式_4
推论1:任一n 阶可逆 矩阵可表为有限个初
问A是几阶矩阵? 求A的不变因子组.
初等因子_4
定理:设A , B∈Kn×n , 则A相似于B 有相同的初等因子组 .
复习
初等因子_5
引理: 若
则
引理: 若
,则
引理:若
,且
则 与 相抵.
初等因子_6
定理:设C上方阵A经过 列对角矩阵
初等变换化为下
其中 是首项系数为1的非零多项式. 将 在C[x]上分解为互不相同的一次因式方幂的 乘积 , 则所有这些一次因式的方幂(相同的按 出现次数计算)就是A的全部初等因子 .
最小多项式mA(λ)=最后一个不变因子
Jordan标准型_1
引理: r 阶矩阵
的初等因子组为(λ- λ0)r .
Jordan标准型_2
高等代数(相似标准形)
2、设
⎛ −1 − 2⎞ ⎟ A=⎜ ⎜3 4⎟ ⎝ ⎠
计算 A 和 A 。
10
n
解：由例 1 知道，对于矩阵 A ，如果 我们取矩阵
−1
⎛1 2⎞ P=⎜ ⎟ ⎜ − 1 − 3⎟ ⎠ ⎝
则有：
⎛1 0⎞ P AP = ⎜ ⎟ ⎜0 2⎟ ⎠ ⎝
因此 计算可知
⎛1 0⎞ ( P AP) = ⎜ ⎜0 2⎟ ⎟ ⎝ ⎠
几何重数是
r 。 取 Vλ 的 一 组 基
0
α1,α2 ,",αr ， 并 扩 充 为 V 的 一 组 基
α1,α2 ,",αn ，则 σ 在基 α1,α2 ,",αn 下的矩
阵的形式是：
⎛ λ0 E ⎜ ⎜ 0 ⎝
r
A1 ⎞ ⎟ ⎟ A2 ⎠
此矩阵的特征多项式是：
f (λ ) = (λ − λ0 ) λE − A2
σ (α1 ) = −α1 + 3α 2 ， σ (α2 ) = −2α1 + 4α2 。
另记向量 β1 = α1 − α2 ， β 2 = 2α1 − 3α 2 。
问： （1）σ 在基 α 1 、α 2 之下的矩阵是什么？ （2） β 1 , β 2 是否可以组成线性空间 V 的 一组基？为什么？ （3） σ 在基 β 1 , β 2 之下的矩阵是什么？ （4）想一想，你现在知道了什么？ （5）请你找到 σ 的不变子空间。 （6）在平面 R 上，考虑上述问题。你 还可以把 α 1 、 α 2 特殊化……
−1 10
10
⎛3 2⎞ P =⎜ ⎟。 ⎝ −1 −1⎠
−1
所以
⎛1 0 ⎞ ⎛1 0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ P A P=⎜ = 10 ⎜0 2 ⎟ ⎜0 2⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
矩阵相似的若干判别法及应用
矩阵相似的若干判别法及应用LT目录摘要 (I)Abstract (II)前言 (3)第一章基本概念 (4)1.1 矩阵 (4)1.1.1 矩阵的概念 (4)1.1.2 矩阵的性质 (4)1.2 矩阵相似 (5)1.2.1矩阵相似的概念 (5)1.2.2 矩阵相似的性质 (6)第二章矩阵相似的判别 (7)2.1 特征值与特征向量法判定 (7)2.1.1 特征值和特征向量的定义及求法..................................... 错误!未定义书签。
2.1.2 特征值和特征向量的基本性质与矩阵相似的判定 (7)2.2用初等变法换判定 (10)2.3 应用分块矩阵相似判定 (12)第三章矩阵相似的应用 (15)3.1 利用相似变换把方阵对角化 (15)3.2 矩阵相似性质的简单应用 (15)3.3 矩阵相似在实际生活中的应用 (16)结论 (18)参考文献 (19)致谢 (21)摘要相似矩阵是高等代数课程范围内,一个很重要的基本问题,并且矩阵相似是矩阵中很重要的一种关系.本文从矩阵的基本理论出发,以定性分析法,以综述的形式总结了几个重要的判定矩阵相似的定理和结论.通过矩阵的特征值与特征向量、矩阵的对角化、可逆矩阵、矩阵的初等变换和分块矩阵对矩阵相似进行判别,并运用例证对每一种判别法加以说明;另外,还对相似矩阵的一些应用进行了介绍,以便对矩阵的相似有更进一步的了解.关键词：特征值;特征向量;相似矩阵;判别;分块矩阵AbstractThe similarity of matrix is one of the most important problem within the area of the advanced algebra. In addition, the similarity of matrix is an elementary relationship between the matrixes.This paper reviews several important criteria which are used to judge the similarity of matrix. These criteria are generally based on the calculation of the Eigen value and Eigen vector, the diagonalization of matrix, the invertible transformation of matrix, the elementary transformation of matrix, and the partition of the matrix. Further, the examples follow and elucidate the counterpart criteria. At the end, the application of the similarity of matrix is given to deepen the understanding.Keywords: Eigen value;Eigen vector;Similarity of matrix;Distinguish;Partitioned matrix前言在数学中,矩阵就是一个平面上的数阵,矩阵理论的起源可追溯到18世纪,在以后的发展中，又相应的产生了许多理论知识,例如初等矩阵,矩阵的秩,矩阵的特征值与特征向量等.其中，矩阵相似理论也是在矩阵的发展之后才进一步发展和应用的起来的.矩阵相似的好处很多,最大的好处是通过相似可以让任何一个矩阵变为若当标准型.相似矩阵间有很多相同的性质,比如秩,矩阵对应的行列式,迹（对角线元素之和）,特征值,特征多项式,初等因子都相同.一个矩阵很重要的一点就是它的特征值,通过相似变换,可以转而研究一个结构简单得多的矩阵的特征值的性质.利用矩阵相似的一些性质，可以让我们在解决一些特殊和复杂的问题时更加的简便,而且矩阵相似在实际生活中同样有着巨大的作用.本文主要介绍了矩阵的各种性质和特点,什么是矩阵相似,以及矩阵相似的判断和矩阵相似的一些应用.在第一章中,我们主要介绍了矩阵以及由它延伸出来的相关理论知识,例如矩阵的相似及它的一些简单的性质;在第二章中,着重介绍和总结了矩阵相似的三种判别方法.借助矩阵的特征值与特征向量将矩阵对角化，进而来对矩阵进行相似的判别，是对相似矩阵性质的综合运用，理论及方法都较为简单便于理解和掌握；初等变换法逻辑性强、理论系统；利用分块矩阵判别矩阵的相似，是对特型矩阵相似的一种判别法，较为简洁，但有局限性.第一章 基本概念1.1 矩阵矩阵是现代数学中极其重要、应用非常广泛的一个重要内容.利用这一数学工具,可以把所研究的多数据、多数量关系的问题化成简明的易于理解和分析的形式.1.1.1 矩阵的概念定义1.1 由t ⨯s 个数),2,1,,,2,1(n j m i a ij ==排成的s 行t 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 我们把它称为s 行t 列矩阵,简t s ⨯阵矩,其中ij a 称为矩阵A 的第i 行第j 列元素;如果矩阵A 的行数和列数相等,则我们也把矩阵A 叫做方阵A .定义 1.2 如果一个矩阵的元素全为零,我们就称之为零矩阵,记为mn O ,我们也可以简单的记为O .定义1.3 如果方阵A 中的元素能够满足条件)(0j i a ij ≠=,则我们就把方阵叫做对角阵.定义 1.4 如果一个n n ⨯矩阵除了主对角线上的元素,别的元素都是0,且主对角线是1的元素⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100010001 我们把它称之为n 级单位矩阵,记作n I ,一般情况下简写为I .1.1.2 矩阵的性质定义1.5 设ms ik a A )(=,sn kj b B )(=,那么矩阵mn ij c C )(=,其中∑==++++=sk kj ik sj is j i j i j i ij b a b a b a b a b a c 1332211 (1-1)我们将其称之为A 与B 的乘积,记为AB C =.注意,在乘法预算中方阵,要求前面方阵的行与后面方阵的列数位相同 定义 1.6 由方阵A 中的元素保持其原来相对的位置不变而构成的行列式称为方阵A 的行列式,记作A 或A det .定义1.7 对于数域P 上的n 阶方阵A ,如果满足0≠A ,则我们称其为非退化的;反之我们称它为退化的.定义1.8 对于n 级方阵A ,如果有一个n 级方阵B ,使得I BA AB == (1-2) 成立,我们就称方阵A 是可逆的,这里的I 是n 级单位矩阵.我们就称方阵A 是可逆的,这里的I 是n 级单位矩阵.定义1.9 如果有n 级方阵B 适合（1-2）,那么我们就把方阵B 叫做方阵A 的逆矩阵,记作1-A .引理1.1 0≠A 是n 阶方阵可逆的充要条件.定义1.10 设ij A 是矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 中元素ij a 的代数余子式,则矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111* 就是矩阵A 的伴随矩阵.定理1.1 如果A 方阵是非退化的,那么它是可逆的;反之方阵A 可逆,则它也一定是非退化的有 *11A dA =- (0≠=A d ). (1-3) 定义1.11 矩阵的行秩是指以矩阵每一行的元素作为行向量而构成的行向量组的秩;矩阵的列秩是指以矩阵每一列的元素作为列向量而构成的列向量组的秩. 定理1.2 矩阵的行秩和列秩相等.因为矩阵的行秩和列秩相等,所以我们将行秩和列秩统称为矩阵的秩,矩阵A 的秩记为)(A R .1.2 矩阵相似相似的矩阵有很多共同的性质,所以只要从与A 相似的矩阵中找到一个特别简单的矩阵,只需通过对这个简单矩阵性质的研究就可以知道A 的性质.1.2.1 矩阵相似的概念定义1.12[1] 有A ,B 方阵在数域F 上,若是F 上有n 阶可逆方阵T 使等式：AT T B 1-=成立,那么就说B 与A 相似,并且写作.~B A定义1.13[1] 设)(λij a )...,2,1,,...,2,1(n j m i ==是数域F 上的多项式,以)(λij a 为元素的n m ⨯矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(...)()(............)(...)()()(...)()()(212222111211λλλλλλλλλλmn m m n n a a a a a a a a a A 称为λ矩阵.记[]()(n m P A ⨯∈λλ[]n m P ⨯λ表示数域∈P 的λ矩阵的全体）.定义1.14 方阵上的相似关系~与数域K 上的n 阶方阵之间的关系是互推的,对任何n n K A ⨯∈,存在集合[]{}B A K B B A n n ~,|~⨯∈=则我们可称矩阵A 形成的相似(~)等价类.1.2.2 矩阵相似的性质性质1.1 反身性：由于AI I A 1-=所以每一个n 级方阵都是和自己相似的.即A A ~.性质1.2 对称性：如果B A ~,那么 A B ~ ;如果B A ~ ,那么 有X ,使TX X B 1-=令1-=X Y就有BY Y XBX A 11--==所以A B ~.性质1.3 传递性：如果B A ~,C B ~,那么C A ~.事实上,由AT T B 1-=和BU U C 1-=得)()(111TU A TU ATU T U C ---== （2-1） 由等式AT T B 1-=可知,对于n 维向量空间上的两个线性变换的基它们相似.矩阵相似还有具有如下一些性质. （1）相似矩阵的行列式相等; （2）相似矩阵有相同的秩;（3）相似矩阵有相同的可逆性,且它们可逆时,它们的逆矩阵也相似; （4）相似矩阵的幂仍相似;（5）相似矩阵有相同的特征值.第二章 矩阵相似的判别研究矩阵相似的好处很多,最大的好处是通过相似变换可以让任何一个矩阵变为若当标准型.若当标准型是尽可能最简单的一种矩阵,这种矩阵在运算上有许多方便之处.另一种好处是矩阵相似有许多相同的属性,这样可以将对形式复杂矩阵的研究转化为对简单形式矩阵的研究.本章给出三种判别矩阵相似的方法.2.1 特征值与特征向量法判定矩阵的特征值与特征向量作为一个极为重要的数学概念,它在数学中有着最为广泛的应用.应用特征值与特征向量将矩阵对角化,进而做矩阵相似的判断,是较为常用的、基本的判别矩阵相似的方法.2.1.1 特征值和特征向量定义及求法矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的两个基本概念,是判定矩阵相似的工具之一.定义2.1[1] 我们假设A 为n 阶方阵,如果有复数λ及n 维非零列向量，x 得x Ax λ= (1-1)或者0)(=-x A E λ(1-2)那么把λ看作是A 的特征向量,而x 则是λ的特征向量. 求n 阶矩阵A 的特征值与特征向量有一般如下步骤： 第一步：我们应先求出矩阵的特征多项式||E A λ-;第二步： 那么接下来我们应需要知道||A E -λ0=的所有根值n λλλ,,,21 并且n λλλ,,,21 便是矩阵的所有特征值;假如i λ是特征方程的单根,则称i λ为A 的单特征值;若是j λ是特征方程的k 重根,那么A 的k 重特征值是j λ,并且j λ的重数是k .第三步：对A 的相异特征值中的每个特征值i λ,再求得齐次线性方程组0)(=-A E i λ (1-3)的一个基础解系j ik i i ξξξ,,,21 ,则有j ik i i ξξξ,,,21 即为对应于特征值i λ的特征空间的一个基,则有A 的属于i λ的全部特征向量为 j j ik k i i c c c x ξξξ+++= 2211 其中j k c c c ,,,21 是不全部为零的任意常数.2.1.2 特征值和特征向量的基本性质与矩阵相似的判定性质2.1 设n n ij a A ⨯=)(的全部特征值为n λλλ,,,21 ,则存在着||,21121A a n ni ii n ==+++∑=λλλλλλ在这里咱们可以利用性质1.3.1去简化特征值的问题的一些相关的运算. 性质 2.2 如果λ是方阵A 的特征值,x 是相应的特征向量矩阵,然后任意正整数k ,有x 是k A 的特征值的特征向量且特征值为k λ.性质2.3 假使λ是可逆矩阵A 的一个特征值,若λλ1,0≠为1-A 的一个特征值,且λ||A 为*A 的一个特征值.性质 2.4 如果有i x ),,2,1(m i =是方阵A 的相互存在差别的特征值m λλλ,,,21 的特征向量,那么存在着线性无关的向量组m x x x ,,,21 .并且,如果i λ的线性无关特征向量为i ik i i x x x ,,,21 ),,2,1(m i =,那么向量组,,,,11211i k x x x m mk m m k x x x x x x ,,,,,,,,21222212为线性无关.性质2.5 假使0λ是方阵A 的k 重特征值,那么0λ有不多过k 的个数的性无关的特征向量.定理 2.1[6]设存在着两个n 阶的方阵A 与B ,它们有n 个互不相同的特征值,并且它们两个的特征值是完全一样的,那么则矩阵A 与矩阵B 相似. 证明 假使n λλλ，，， 21是A 的n 个互不相同的特征值,那么存在着可逆的 方阵1P ,使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=-n AP P λλλ 21111 又因为方阵B 的特征值也是n λλλ，，， 21,那么则会有2P 可逆矩阵,使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=-n BP P λλλ21212 所以212111BP P AP P --=.而()()1211121121112-----=P P A P P P AP P P ,即存在可逆矩阵P P P =-121,使得B AP P =-1,而矩阵A 与矩阵B 相似.定理2.2 存在着n 阶方阵A ,且它的每一个i S 重特征值i λ,能使得秩()i i S n A E -=-λ那么A 相似于对角矩阵,否则不相似.例2.1 证明矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=122212221A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=30241112065B 相似.解 A 的特征多项式为()()()311122212221--+=------=-λλλλλλλA E所以A 的全部特征值为3,1,1321==-=λλλA 的属于特征值3,1,1-的全部特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1112α ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103α.若令(123,,)P ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=300011001,则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3000100011AP P ,而B 的特征值为 ()()()311--==-λλλλB E所以B 的全部特征值为3,1,1321==-=λλλB 的属于特征值3,1,1-的特征向量为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13211β ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1222β ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1433β令⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1114232321Q ,则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3000100011BQ Q .显然 BQ Q AP P 11--=,()()11111-----==QP B QP BQP PQ A记⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-1011111231QP U ,有BU U A 1-=,所以A 与B 相似.例题2.2 证明下方矩阵是否相似于对角矩阵.(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=16-3-05-3-064A (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300130013B解 （1）由于()()()212+-=λλλA f ,所以A 的特征值是11=λ（重数1S 2=),22-=λ(重数12=S ).又由()1231S n A E r -=-==-,()==--22A E r 113S n -=- 可知矩阵A 相似于对角矩阵.（2）因为()()33-=λλB f ,所以B 的特征值是3=λ（重数3=S ）,又由于()03323=-=-≠==-S n r A E r ,故B 不相似于对角阵.2.2 用初等变换法判定引理2.1 如果)(λA 是数域P 上的一个λ方阵,那么有数域P 上的可逆λ方阵)(λV ,使得)(λA )(λV 为上三角方阵.引理 2.2 如果A ,B 是数域上的两个n 级方阵,那么A 与B 相似的充要条件是数域P 上会有两个可逆的λ方阵)(),(λλV U ,能让A E VB E U -=-λλλλ)())(( （1-1） 并且A 与B 相似时有B AT T =-1,使得)(A U T i =是)(λU 在A =λ时的左值.定理 2.3[12] 假使A ,B 是数域上的两个n 级方阵,那么方阵A 与B 相似的充要条件是在数域P 上有可逆的λ矩阵)(),(),(21λλλV V U ,成立12()()()()()U E B V E A V λλλλλ-=- （1-2） 有方阵A 与B 相似时有B AT T =-1,并且)(A U T i =是)(λU 在A =λ时的左值. 证明 充分性：当存在)(),(),(21λλλV V U ,可逆,我们把（1-2）式两端同时都在右边乘上12)(-λV 有,)()())((121A E V V B E U -=--λλλλλ令121)()()(-=λλλV V V ,那么)(λV 可逆,且A E VB E U -=-λλλλ)())((,由引理2.2可知,A 与B 相似. 必要性：可在（1-1）式中让E V V V ==)(),()(21λλλ那么可得（1-2）式.在A 与B 相似时,我们可以通过引理2.2得出B AT T =-1,那么)(A U T i =是)(λU 在A =λ时的左值.定理2.4[6] 如果有两个n 阶矩阵A ,B 存在于数域P 上,则存在可逆的λ方阵)(),(),(),(2121λλλλV V U U 在数域P 上,他们是矩阵A 与B 相似的充分必要条件 可以使得：)())(()())((2211λλλλλλV A E U V B E U -=- （1-3） 当方阵A 与B 相似时会有有B AT T =-1,同时有)(A U T i =是)()()(112λλλU U U -=在A =λ时的左值.证明 充分性：假使)(),(),()(2121λλλλV V U U 可逆,当我们把（1-3）式两端同时左乘上12)(-λU 得到)()()())(()(21112λλλλλλV A E V B E U U -=--令)()()(112λλλU U U -=则)(λU 可逆,并且有)()()())((21λλλλλV A E V B E U -=-由定理2.3得A 与B 相似.必要性: 可以在(1-2)式中让E U U U ==)(),()(21λλλ那么可得(1-3)式.在A 与B 相似时,通过引理 2.2得B AT T =-1,那么)(A U T i =是)()()(112λλλU U U -=在A =λ时的左值.例题 2.3 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011121111,211111110B A .判断A 与B 两个方阵是否相似,并且当相似时求可逆矩阵P ,使得B AP P =-1. 解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=--++-+++10011023133001101231330011123100111121011112121111111223223)](23[2)]1(32[2)](31[)]2(31[)]1(21[λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλA E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----+---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+---−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-+-+-+1000010112212001111000010101110011110011010121001111)|(22)]1(12[2)](31[)]1(21[λλλλλλλλλλλλλλλλλλE B E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+--+--+-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+--+--+-−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+--+--+-−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+--+--+-−−−−→−--++-++-+10010011111012243423133100001111011122434133231000010110111224341332310000101101012243413323222223222232)]1(2[222232)]1(32[222232)]12(31[)]24(21[22λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ所以,A 与B 相似. 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+-=000111122434)(222λλλλλλλU则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100111123000000244000000111)(2λλλU 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==011111101100111123000000244211111110000000111423212322100111123000000244000000111)(2A A A U P l 则⎢⎢⎢⎣⎡-011111101 ⎥⎥⎥⎦⎤100010001⎢⎢⎢⎣⎡-→110210101 ⎥⎥⎥⎦⎤--101011001⎢⎢⎢⎣⎡-→110210101 ⎥⎥⎥⎦⎤--110011001 ⎢⎢⎢⎣⎡→100010001 ⎥⎥⎥⎦⎤----110211111 故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1102111111P 所以B AP P =-12.3 分块矩阵相似判定在上一节我们通过利用矩阵的特征值与特征向量定理研究了矩阵的相似,那么这一小节我们来了解矩阵中的分块矩阵是否相似,现有两个分块矩阵着⎪⎪⎭⎫⎝⎛B C A 0和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00,在著名的Roth （罗斯）定理中表示⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0和⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 00相似的一个充要条件是方阵方程C XB AX =- (1-1) 有解．定理2.5[10] 如果已知有A ,B 两个矩阵,并且有2A A =与B B =2,那么B AC +C C =则是分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0与⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 00相似的充分必要条件. 证明 必要性 已知分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 00,要是它中的A 和B 两个方阵都幂等的,那么它也必然为幂等的方阵.所以如果⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00相似,那么⎪⎪⎭⎫⎝⎛B C A 0也是幂等方阵的,也就是20⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛B C A 0 把两边矩阵分别展开得到C CB AC =+.充分性 已知A 和B 这两个幂等方阵,因此它们可以分解为11000,000--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q IQ Q B P IP P A (1-2) 把它们代入（1-1）式中,得知PCQ IQ PXQ PXQ IP =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡000000 (1-3)我们让⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321Y Y Y Y PXQ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321F F F F PCQ (1-4)通过（1-4）式可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321323121000000F F F F Y Y Y Y Y Y (1-5)那么01=F 和04=F 是方程有解的充要条件,我们通过（1-2）,（1-4）,则可明确的知道等价于0=ACB 和0)()(=--B I C A I n m所以这两个方程也等价于C CB AC =+.由此可知,在C CB AC =+条件下,方程（1-1）有解,所以两个分块方阵0A C B ⎛⎫ ⎪⎝⎭和⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 00相似,证明完毕. 例题 2.4 设存在两矩阵C 和D ,并且D C ~其中B A ~,求证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B C A 00~00. 证 因为B A ~,且矩阵.~D C 所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--C A Y X Y E E X C O A E X Y E 00000000000001111 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-D B YCY AXX Y X 0000001 又由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----Y E E XY E E X E X Y E 0000000000001111111 故.00~00⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B C A第三章 矩阵相似的应用3.1 利用相似变换把方阵对角化定义3.1 相对应n 阶方阵A ,假使存在可逆矩阵P ,让B AP P =-1变为对角矩阵,那么我们就称矩阵A 可对角化，且可对角化为B .定理3.1 如果n 阶矩阵A 可对角化,那么它对角矩阵相似. ⇔A 中存在着n 个线性无关的特征向量.推论 3.1 如果n 阶矩阵A 存在n 个不同的特征值,那么矩阵A 与对角矩阵相似.例题3.1 利用相似变换将矩阵A 对角化..2-4242-2-22-1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A解λλλλ-------=-242422221E A()()0722=+--=λλ得.7,2321-===λλλ当221==λλ时,齐次线性方程组()20A E X -=的基础解系为121,0P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2201P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭当37λ=-时,齐次线性方程组()70A E X +=的基础解系为3122P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭因为，02-10201122-≠所以321,,P P P 线性无关,即A 有3个线性无关的特征向量,所以,利用线性变换221102012P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,可将矩阵A 对角化为200020007⎛⎫⎪Λ= ⎪⎪-⎝⎭,即矩阵A 与矩阵Λ相似.3.2 矩阵相似性质的简单应用应用矩阵相似的简单性质我们可以在方阵乘法的运算中可以简化运算的过程,大量的节省时间,极大的方便了我们.例3.2 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1-1-2-020021A ,求证100A .解（1）先算出A 方阵特征值与特征向量.由)2)(1)(1(112020021)(-+-=+---=-=λλλλλλλA E A f A所以,A 的3个互异特征值为,2,1,1321==-=λλλ故A 可以对角化,对每个(),3,2,1=i i λ求得分别属于211-321===λλλ，，的特征向量为.35121-01100321⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα，，（2） 令=P 1(α,2α,,3511100210)3⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=α 有.2000100011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-AP P （3） 因为11001100100100()010002P A P P AP --⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭所以100110010011110001210030100010101100025002010113A P P -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 10110113100100100100012111220002120020.501051120(12)033-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.3 矩阵相似在实际生活中的应用矩阵相似有许多相同的属性,如秩矩阵,行列式,微量（对角）,特征值,特征多项式,主要因素是相同的.一个矩阵很重要的一点就是它的特征值.通过相似变换的性质特点,可以使复杂运算变成更加简单的求值计算.例3.3 一实验生产线每年二月为熟练和非熟练工人的数量统计,然后把61熟练工人支持其他生产部门,招募新的非熟练工人完成的空缺.旧的和新的非熟练工人通过培训和时间,年终考核将有52成为熟练的工人.假使过了n 年在二月份的一次统计中熟练工人与非熟练工人在总人数中为百分之n x 与百分之n y ,我们把它写为向量.⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n y x（1）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n y x 和⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n y x 的关系式并写成方阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n y x .⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n n y x A （2）求证A 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11-1421ηη，这两个不相关的特征向量,然后在分别算出他们的特征值;解 （1）根据上述已知有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++n n n n n n n y x y y x x x 615361526511 化简得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=++n n n n n n y x y y x x 531015210911对其用矩阵表示即为,531015210911⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n n n n y x y x 于是 .5310152109⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A （2） 令，），（⎥⎦⎤⎢⎣⎡==111-421ηηP 则由05≠=P 知,21ηη，这两个特征向量线性无关.因.1411ηη=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A 所以这个特征向量1η属于矩阵A .并且相应的11=λ为特征值. 因22212121ηη=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--A 故2η为A 的特征向量,且相应的特征值.212=λ结论本文以矩阵及矩阵的性质和矩阵相似的一些相关的性质为主要理论依据,从矩阵和矩阵相似的相关性质与应用处着手,主要论述了矩阵相似的几个判别方法,并在第三章中将矩阵相似的一些应用展示给了大家,通过将矩阵和矩阵相似的一些相关理论进行整理分析，找出了它们之间的转化关系.同时,在研究过程中,培养了应用数学的意识和能力.运用矩阵相似的性质和判别法,解决了几类较为基本的矩阵相似的应用问题.参考文献[1] 张禾瑞,郝鈵新,张禾瑞郝鈵新编.高等代数[M].北京:高等代数出版社,2007:327-328. [2] 冯天祥,李世宏.矩阵的QR分解[J].西南民族学院学报,20:4(2001),418-421.[3] 雷雪萍.高等代数中一道习题的推广[J].大学数学,2006,22(4):161-163.[4] 屠伯埙,四元数矩阵的UL分解[J].复旦学报（自然科学版）,1988,(2),121-128.[5] 杨奇;孟道骥编.线性代数教程[M].南开大学出版社,216-225.[6] 吴强. 基于矩阵初等变换的矩阵分解法[J].数学理论与应用,20:4(2000), 105-107. [7] 黄宝强主编.线性代数[M].同济大学出版社.223-226.[8] 姚允龙编.数学分析[M].上海：复旦大学出版社，2002：75-89.[9] 贺爱玲,马玉明,刘慧,陈业红．关于矩阵相似的一个注记.山东轻工业学院学报[J].2005,19(3):57-60.[10] 程士珍．两个方块矩阵相似性的研究[J].数学的实践和认识2005,35(3):191-194.[11] 王新民.矩阵环F[A]中元素的可逆性[J].数学的实践与认识,2002,38（23）;223-226.[12] 王新民.袁强.关于矩阵相似的条件及其相似变换矩阵.聊城大学学报[J].2009,22(2):14-16.[13] 张天德,韩振来.数学分析同步辅导[M].天津:天津科学技术出版社,2010:26—29.[14] Liujia.Similarity matrix and itsapplication.China western science andtechnology [J].2010,9(26):46-48.[15] Jefferson. Linear Algebra［J］.USA:Create Space.2008,（124-205）.致谢四年的大学生活即将结束,回头望去,百感交集.四年里,陪伴我的是敬爱的老师、亲爱的同学,所以,我要感谢母校黑河学院,您是养育我的土壤;我要感谢我的老师,是你们让我有了实现自我的能力和勇气;我要感谢我的同学们,是你们给了我家一样的感觉.另外,我要感谢我的指导老师由金玲老师,由于她的悉心指导,使我能够圆满地完成论文的撰写.在这段时间里,我深深的体会到由金玲老师的耐心与细致，以及她严谨的治学态度,这一切都将成为我今后生活、工作的榜样.再次由衷的感谢我的指导老师,您辛苦了！。
判断矩阵的合同与相似
判断矩阵的合同与相似篇一：矩阵的合同与相似及其等价条件矩阵的相似与合同及其等价条件研究（数学与统计学院 09级数学与应用数学一班）指导老师：王晶晶引言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念矩阵等价的定义[1]定义如果矩阵A可以有矩阵B经过有限次初等变换得到，称A与B是等价的.由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：定义如果n阶矩阵A可以由n阶矩阵B进过有限次初等变换得到，则称A与B是等价的.根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述：定义设矩阵A,B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P和Q,使得PAQB,则称矩阵A与B等价，记作A∽B. 矩阵相似的定义[2]定义设矩阵A，B为n阶矩阵，如果存在一个是n阶可逆矩阵P，使得P1APB,则称矩阵A与矩阵B相似，记作A～B.n阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]:性质反身性，即任一n阶矩阵A与自身相似. 性质对称性，即如果A～B，则B～A. 性质传递性，如果A～B，B～C，则A～C.性质 P1(k1A1k2A2)Pk1P1APk2A2P. （k,k是任意常数）12性质 P1(A1A2)P(P1A1P)(P1A2P).性质若矩阵A与矩阵B相似，则Am与Bm相似.（m为正整数）证明存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，那么P1AP 可以得到Am与相Bm相似.性质如果矩阵A、B都是满秩，则A～B，那么B～A. 证明存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，那么P1AP故可以得到B～A.性质如果矩阵A～B，那么AB.证明存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，又因为P1APB，P1P1，故可以得到AB.性质相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似.证明设BP1AP，若矩阵B可逆，B1P1AP也相似.若B不可逆，则P1AP不可逆，即A也不可逆.性质相似矩阵有相同的特征值.证明设BP1AP，EBP1EPP1AP1111mBmP1AmP，故1B1P1A1P。
第2章 矩阵的相似标准形
第2章 矩阵的相似标准形n 阶矩阵A 和B 的关系有： （1） 等价：B ＝PAQ （2） 合同：B ＝P T AP （3） 相似：B ＝P -1AP其中，P 、Q 为可逆矩阵。
人们往往希望找到矩阵P 、Q ，将矩阵A 化简成其相似的标准形矩阵B ，这样可方便计算。
2.1 矩阵的初等变换在矩阵化简及矩阵求逆过程中常用到矩阵的初等变换。
定义：对任意n 阶方阵)(ij a A =，去掉第i 行第j 后剩余的n-1阶方阵的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，而ij j i M +-)1(为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，n 阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n nn n A A A A A AA A A 212221212111称为方阵A 的伴随矩阵，记为*A 。
容易计算，E A A A AA ==**，若0≠A ，则有AA A *1=-当n>3时，用公式AA A *1=-求逆计算量过大，所以需要其它工具，这就是初等变换。
矩阵的初等变换：（1） 交换矩阵两行（列），即对换；（2） 以某非零数乘某行（列），简称倍乘； （3） 将某行（列）乘以某个倍数加到另行（列）。
例：求A 的逆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=533132321A 解：分析 1],[][,,-====A B B I I A B B BI I BA[]B I I A ,13310051413010719180011331005141301010282730113310051413010102827301133100514130100013211331000125100013211031430012510001321100533010132001321],[=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==-13351413719181B A 变换时注意：先将先将对角线下的元素变为0，然后将对角线上的元素变为0⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡C I B A 0220100011000100012.2 特征值和特征向量定义：设)(ij a A =是数域C 上的n 阶矩阵，λ是参数，A 的特征矩阵A I -λ的行列式nn n n na a a a a a a a A I --------=-λλλλ21222111211)det(称为A 的特征多顶式，记为)(λϕ。
第三章矩阵的相似标准形
第三章 矩阵的相似标准形矩阵的相似标准形有着广泛的应用．在线性代数中，已讨论了可对角化方阵的相似标准形——对角形矩阵.但并不是所有方阵都可对角化，本章将从任意方阵的特征矩阵入手，介绍矩阵相似的判别法和两种常用的相似标准形，并进一步讨论方阵可对角化的条件，最后给出一类特殊矩阵的对角化方法.§3.1 λ矩阵及其Smith 标准形一、λ矩阵的基本概念定义 3.1 设()(1,2,,,1,2,,)ij a i m j n λ== 是数域F 上的多项式，以()ij a λ为元素的m n ⨯矩阵111212122212()()()()()()()()()()n n m m mn a a a a a a A a a a λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为多项式矩阵或λ矩阵，多项式()(1,2,,,1,2,,)ij a i m j n λ== 中的最高次数称为()A λ的次数，数域F 上m n ⨯λ矩阵的全体记为[]m n F λ⨯.为了与λ矩阵相区别，我们把以数域F 中的数为元素的矩阵称为数字矩阵．显然，数字矩阵是λ矩阵的特例.数字矩阵A 的特征矩阵E A λ-就是1次λ矩阵.如果m n ⨯的λ矩阵()A λ的次数为k ，则()A λ可表示为1110()k k k k A A A A A λλλλ--=++++ ，其中(0,1,,)i A i k = 是m n ⨯数字矩阵，并且0k A ≠，例如22221()1A λλλλλλλλλλ⎛⎫-+ ⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭2010101100000111000111000100λλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．如果另一个m n ⨯的λ矩阵()B λ可表示为1110()λλλλ--=++++ l l l l B B B B B ，则当且仅当k l =，(0,1,,)j j A B j k == 时()A λ与()B λ相等，记为()()A B λλ=. 由于λ的多项式可作加法、减法、乘法三种运算，并且它们与数的运算有相同的运算规律；而矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法的定义仅用到其元素的加法、减法、乘法.因此，我们可以同样定义λ矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法，并且λ矩阵的这些运算同数字矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法具有相同的运算规律.矩阵行列式的定义也仅用到其元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一个n 阶λ矩阵的行列式，一般说来λ矩阵的行列式是λ的多项式，λ矩阵的行列式与数字矩阵的行列式有相同的性质，例如，对两个n 阶λ矩阵()A λ与()B λ，有()()()()A B A B λλλλ=有了λ矩阵行列式的概念，可以同样定义λ矩阵的子式、代数余子式.定义2 设()[]m n A P λλ⨯∈，如果()A λ中有一个(1min{,})≤≤r r m n 阶子式不为零，而所有1r +阶子式(如果有的话)全为零，则称()A λ的秩为r ，记为(())rank A r λ=.规定零矩阵的秩为0.例1 设A 是n 阶数字矩阵，则λ-E A 是λ的n 次多项式，因此A 的特征矩阵λ-E A 的秩为n ，即λ-E A 总是满秩的.定义3 设()[]λλ⨯∈n n A P ，如果存在一个n 阶λ矩阵()B λ，使得()()()()λλλλ==A B B A E ， (1)则称λ矩阵()A λ是可逆的，并称()B λ为()A λ的逆矩阵，记作1()λ-A ．容易证明：如果n 阶λ矩阵()A λ可逆，则它的逆矩阵是唯一的.定理1 设()[]n n A P λλ⨯∈，则()A λ是可逆的充分必要条件是()A λ是一个非零常数.证 必要性：设()A λ可逆，则存在n 阶λ矩阵()B λ满足(1)，从而()()1A B λλ=． 因为()A λ与()B λ都是λ的多项式，则由上式可知()A λ与()B λ都是零次多项式，故()A λ是非零常数. 充分性：设()A d λ=是非零常数，*()A λ是()A λ的伴随矩阵，则*1()A dλ是一个n 阶λ矩阵，并且**11()()()()λλλλ==A A A A E d d， 因此()A λ可逆，并且1*1()()λλ-=A A d． 二、λ矩阵的初等变换与等价 与数字矩阵类似，对于λ矩阵，也可进行初等变换.定义4 下列三种变换称为λ矩阵的初等变换.(1) 互换λ矩阵的两行(列)；(2) 用非零常数k 乘以λ矩阵的某一行(列)；(3) 将λ矩阵的某一行(列)的()ϕλ倍加到另一行(列)，（其中()ϕλ是λ的多项式）.对单位矩阵施行上述三种初等变换便得相应的三种λ矩阵的初等矩阵(,),(()),(,())P i j P i k P i j ϕ，即11011(,)11011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭iP i j j ，11(())11⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P i k k i ，11()(,())11ϕλϕ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭i P i c j ．与数字矩阵的情形完全一样，对一个m n ⨯λ矩阵()A λ作一次初等行变换相当于在()A λ左边乘上相应的m 阶初等矩阵；对()A λ作一次初等列变换相当于在()A λ的右边乘上相应的n 阶初等矩阵.容易证明：初等矩阵都是可逆的，并且1111(,)(,),(())(()),(,())(,())P i j P i j P i k P i k P i j P i j ϕϕ----===-．为方便起见，我们用下列记号表示初等变换：[,]i j 表示第,i j 行(列)互换位置；[()]i k 表示用非零常数k 乘第i 行(列)；[()]i j ϕ+表示将第j 行(列)的()ϕλ倍加到第i 行(列)．定义5 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈，如果()A λ经过有限次初等变换化为()B λ，则称λ矩阵()A λ与()B λ等价，记为()()A B λλ≅由初等变换的可逆性可知，等价是λ矩阵之间的一种等价关系.利用初等变换与初等矩阵的对应关系可得定理3.2.2 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈，则()A λ与()B λ等价的充分必要条件为存在m 阶初等矩阵1(),,()t P P λλ 与n 阶初等矩阵1(),,()t Q Q λλ 使得111()()()()()()t A P P B Q Q λλλλλλ=与数字矩阵不同，具有相同秩的两个λ矩阵未必等价，例如22(),()02A B λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为2(),()4A B λλλλ==，所以()A λ与()B λ的秩均为2，因为初等变换是可逆的，则由定理 3.2.2知，两个等价的λ方阵的行列式只能相差一个非零常数，故()A λ与()B λ不等价，因此，秩相等不是λ矩阵等价的充分条件.3.2.3 λ矩阵在等价下的标准形现在我们讨论λ矩阵在初等变换下的标准形，为此，先证明一个引理. 引理3.2.1 设λ矩阵()(())ij A a λλ=的左上角元素11()0a λ≠，并且()A λ中至少有一个元素不能被11()a λ整除，则存在一个与()A λ等价的λ矩阵()(())ij B b λλ=使得11()0b λ≠且1111(())(())b a λλ∂<∂.证明：根据()A λ中不能被11()a λ整除的元素所在的位置，分三种情形来讨论.(1)若在()A λ的第一列中有一个元素1()i a λ不能被11()a λ整除，则由定理3.1.1知，存在多项式()q λ和()r λ使得111()()()()i a q a r λλλλ=+其中()0r λ≠且11(())(())r a λλ∂<∂，对()A λ作两次初等行变换，首先将()A λ第1行的()q λ-倍加到第i 行，这时第i 行第1列位置的元素是()r λ；然后将第1行与第i 行互换即得所要求的λ矩阵()B λ.(2)在()A λ的第一行中有一个元素1()i a λ不能被11()a λ整除，这种情形的证明与(1)类似.(3)()A λ的第一行与第一列中的元素都能被11()a λ整除，但()A λ中有一个元素()ij a λ(1,1)i j >>不能被11()a λ整除，因为111()|()j a a λλ，所以存在一个多项式()ϕλ使得111()()()i a a λϕλλ=，对()A λ作两次初等列变换，首先将()A λ第1列的()ϕλ-倍加到第j 列，这时第1行第j 列位置的元素是0，第i 行第j 列位置的元素变为1()()()ij i a a λϕλλ-；然后把j 列的1倍加到第1列，此时第1行第1列位置的元素仍是11()a λ，而第i 行第1列位置的元素变为1()[1()]()ij i a a λϕλλ+-，它不能被11()a λ整除，这就化为已经证明的情形(1).定理 3.2.3 设()(())[]m n ij A a P λλλ⨯=∈，且(())ran A r λ=，则()A λ等价于如下“对角形”矩阵.12()()()00r d d d λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(3.2.3) 其中()(1,,)i d i r λ= 是首项系数为1的多项式，并且1()|()(i i d d i λλ+= 1,,1)r - .证明：若0r =，则()A λ为零矩阵，结论显然成立，现设0r >，且()A λ= (())ij a λ的左上角元素11()0a λ≠，否则可通过行、列交换做到这一点，由引理3.1.1知，()A λ进行一系列初等变换可得一个与()A λ等价的λ矩阵()(())ij B b λλ=，并且11()b λ是首项系数为1的多项式，11()b λ整除()B λ的全部元素，即有11()()(),1,,;1,,ij ij b q b i m j n λλλ===则可对()B λ作一系列初等变换，使得第1行、第1列除对角元11()b λ外全为零，即11()000()()0d B A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中1111()(),()d b A λλλ=是(1)(1)m n -⨯-矩阵，因为1()A λ的元素是()B λ中元素的组合，而11()b λ(即1()d λ)整除()B λ的所有元素，所以1()d λ整除1()A λ的所有元素.如果1()0A λ≠，则对1()A λ重复上述过程，进而把矩阵化成122()000()000()00d d A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中12(),()d d λλ都是首项系数为1的多项式，并且122()|(),()d d d λλλ整除2()A λ的全部元素，继续上述过程，最后把()A λ化成所要求的形式. 定理 3.2.3中的“对角形”矩形(3.2.3)称为λ矩阵()A λ在等价下的标准形Smith 标准形.定义3.2.6 λ矩阵()[]m n A P λλ⨯∈的Smith 标准形“主对角线”上非零元12(),(),,()r d d d λλλ 称为()A λ的不变因子.例3.2.2 用初等变换把λ矩阵22221()1A λλλλλλλλλλ⎛⎫-+ ⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭化为标准形解222[31(1)][13(1)]222[3(1)][32(1)][21()][31()]2211()0011010010000000A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-+-++-+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→-−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭例3.2.3 用初等变换将λ矩阵100010()001000a a A a a λλλλλ--⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪-⎝⎭[43()]33[3,4]41000100001000100001()001()000000()a a a a a λλλλλ+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭3[43(())][3(1)]4111()a a λλ+--⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−−→ ⎪- ⎪-⎝⎭一般地1111()m m na a a a λλλλ⨯--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ §3.3 λ矩阵的行列式因子和初等因子本节讨论λ矩阵Smith 标准形的惟一性，并给出两个λ矩阵等价的条件.因此，需要引进λ矩阵的行列式因子.定义3.3.1 设()[]m n A P λλ⨯∈且(())rank A r λ=，对于正整数(1)k k r ≤≤，()A λ的全部k 阶子式的最大公因式称为()A λ的k 阶行列式因子，记为()k D λ.例3.3.1 求22221()1A λλλλλλλλλλ⎛⎫-+ ⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的各项行列式因子.解：由于(1,)1λλ-=，所以1()1D λ=又化为标准形[1,2]100010()001000a a A a a λλλλλ--⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−→ ⎪-- ⎪-⎝⎭2[21()]1000()10001000a a a a a λλλλλ+---⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−−→ ⎪-- ⎪-⎝⎭ 2[1(1)][21()]10000()10001000a a a a λλλλ-+-+⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−−−→ ⎪-- ⎪-⎝⎭2[2,3]100001()0001000a a a λλλ⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−→ ⎪-- ⎪-⎝⎭2[32()]3100001()000()1000a a a a λλλλ+-⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−−→ ⎪-- ⎪-⎝⎭23[32(()][2(1)]1000010000()1000a a a λλλ+--⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−−→ ⎪-- ⎪-⎝⎭ 2211(1)()λλλλλϕλλλ-+=--+=， 23221(1)()1λλλλϕλλλ-+=--=+故(12((),())ϕλϕλλ=其余的二阶子式(还有7个)都包含因子λ，所以2()D λλ=最后，由于32det(())A λλλ=--，所以323()D λλλ=+行列式因子的重要性在于它在初等变换下是不变的.定理3.3.1 等价的λ矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子. 证明：只要证明λ矩阵经过一次初等变换后，其秩与行列式因子不变. 设λ矩阵()A λ经过一次初等变换后变成()B λ，()f λ和()g λ分别是()A λ和()B λ的k 阶行列式因子，针对3种初等变换来证明()()f g λλ=.(1)交换()A λ的某两行得到()B λ，这时()B λ的每个k 阶子式或者等于()A λ的某个k 阶子式，或者是()A λ的某个k 阶子式的1-倍.因此()f λ是()B λ和k 阶子式的公因子，从而()|()f g λλ.(2)用非零数α乘()A λ的某一行得到()B λ，这时()B λ的每个k 阶子式或者等于()A λ的每个k 阶子式，或者等于()A λ的每个k 阶子式的α倍，因此()f λ是()B λ和k 阶子式公因子，从而()|()f g λλ.(3)将()A λ第j 行的()ϕλ倍加到第i 行得到()B λ，这时，()B λ中那些包含第i 行与第j 行的k 阶子式和那些不包含第i 行的k 阶子式等于()A λ中对应的k 阶子式；()B λ中那些包含第i 行但不包含第j 行的k 阶子式等于()A λ中对应的一个k 阶子式与另一个k 阶子式的()ϕλ±倍之和，也就是()A λ的两个k 阶子式组合，因此()f λ是()B λ的k 阶子式的公因式，从而()|()f g λλ. 由初等变换的可逆性，()B λ也可以经过一次初等行变换变成()A λ，由上面的讨论，同样有()|()g f λλ，所以()()f g λλ=.对于初等列变换，可以完全一样地讨论，总之，如果()A λ经过一次初等变换变成()B λ，则()()f g λλ=.当()A λ的全部k 阶子式为零时，()0f λ=，则()0g λ=，()B λ的全部k 阶子式也为零；反之亦然，因此()A λ与()B λ既有相同的行列式因子，又有相同的秩.由定理3.3.1知，任意λ矩阵的秩和行列式因子与其Smith 标准形的秩和行列式因子是相同的.设λ矩阵()A λ的Smith 标准形为12()()()00r d d d λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(3.3.1) 其中()(1,i d i r λ= 是首项系数为1的多项式，并且1()|()(1,,1)i i d d i r λλ+=- . 容易求得()A λ的各阶行列式因子如下：11212212()()()()()()()()()r D d D d d D d d d λλλλλλλλλ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ (3.3.2) 于是有12231112211(1)()|(),()|(),,()|()(2)()(),()()/(),,()()/()r r r r r D D D D D D d D d D D d D D λλλλλλλλλλλλλλ--⎧⎨===⎩ (3.3.3) 从而得如下结论：定理3.3.2 λ矩阵()A λ的Smith 标准形是惟一的.证明：因为()A λ的各阶行列式因子是惟一的，则由(3.3.3)知()A λ的不变因子也是惟一的，因此()A λ的Smith 标准形是惟一的.应用λ矩阵的Smith 标准形，可以证明如下定理.定理3.3.3 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈，则()A λ与()B λ和同一Smith 标准形等价，因此()A λ与()B λ等价.一般说来，应用行列式因子求不变因子比较复杂，但对一些特殊的λ矩阵，先求行列式因子再求不变因子反而简单.例3.3.2 求100()100m ma a A a λλλλ⨯--⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 的行列式因子和不变因子.解： 由于()A λ的一个1m -阶子式111(1)1m a a λλ----=---故1()1m D λ-=，由(3.3.3)的第一式，即行列式因子的“依次”整除性，有122()()()1m D D D λλλ-====而()()m m D a λλ=-，因此()A λ的不变因子为121()()()1,()()m m m d d d d a λλλλλ-=====-由此可知()A λ的标准形为1()1()m m mA a λλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪-⎝⎭ 定理3.3.4 设()[]n n A P λλ⨯∈，则()A λ可逆的充分必要条件是()A λ可表示为一系列初等矩阵的乘积.证明：必要性：设()A λ为一n 阶可逆矩阵，则由定理3.2.1知()0A d λ=≠，从而()A λ的行列式因子为12()()()1n D D D λλλ====于是()A λ的不变因子为12()()()1n d d d λλλ====因此()A λ与单位矩阵等价，即存在一系列初等矩阵1(),,(),t P P λλ 1(),,()t Q Q λλ 使得1111()()()()()()()()()l t l t A P P IQ Q P P Q Q λλλλλλλλλ==充分性.设()A λ可表示为一系列初等矩阵的乘积，即存在一系列初等矩阵1(),,(),t P P λλ 1(),,()t Q Q λλ 使得11()()()()()l t A P P Q Q λλλλλ=则()A λ的行列式是一个非零常数，因此由定理3.2.1知()A λ可逆. 利用定理3.2.2和定理3.3.4容易证明下面定理.定理3.3.5 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈，则()A λ与()B λ等价的充分必要条件是存在两个可逆λ矩阵()[]m n P P λλ⨯∈与()[]n n Q P λλ⨯∈使得()()()()B P A Q λλλλ=.下面再引进λ矩阵的初等因子，设λ矩阵()A λ的不变因子为1(),d λ 2(),,()r d d λλ ，在复数域内将它们分解成一次因式的幂的乘积：111122212212112212212()()()()()()()()()()()()ssrs r r e e e s e e e s e e e s d d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎧=---⎪=---⎪⎨⎪⎪=---⎩ (3.3.4) 其中1,,s λλ 是互异的复数，ij e 是非负整数，因为1()|()(1,,1)i i d d i r λλ+=- ，所以ij e 满足如下关系112111222212000r r s s rse e e e e e e e e ≤≤≤≤⎧⎪≤≤≤≤⎪⎨⎪⎪≤≤≤≤⎩ 定义3.3.2 在(3.3.4)式中，所有指数大于零的因子(),0,1,,,1,,)ij eij e i r j s λλ->==称为λ矩阵()A λ的初等因子.例如，若λ矩阵()A λ的不变因子为 122232334()1()(1)()(1)(1)()(1)(1)(2)d d d d λλλλλλλλλλλλλ=⎧⎪=-⎪⎨=-+⎪⎪=-+-⎩ 则()A λ的初等因子为22323,,,1,(1),(1),(1),(1),2λλλλλλλλλ---++-. 由定义3.3.2知，若给定λ矩阵()A λ的不变因子，则可惟一确定其初等因子；反过来，如果知道一个λ矩阵的秩和初等因子，则也可惟一确定它的不变因子，事实上λ矩阵()A λ的秩r 确定了不变因子的个数，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必在()r d λ的分解中，方次次高的必在1()r d λ-的分解中，如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是惟一确定的.例如，若已知56⨯λ矩阵()A λ的秩为4，其初等因子为22333,,,1,(1),(1),(1),()i λλλλλλλλ---+-则可求得()A λ的不变因子23334()(1)()()d i i λλλλλ=-+-23()(1)d λλλ=-2()(1)d λλλ=-1()1d λ=从而()A λ的Smith 标准形为223231000000(1)000000(1)00000(1)(1)0000000λλλλλλλ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭由定期3.3.3以及不变因子与初等因子之间的关系容易导出如下定理. 定理 3.3.6 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈.则()A λ与()B λ等价的充分必要条件是它们有相同的秩和相同的初等因子.对块对角矩阵()0()0()B A C λλλ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 不能从()B λ与()C λ的不变因子求得()A λ的不变因子，但是能从()B λ与()C λ的初等因子求得()A λ的初等因子.()0()0()B A C λλλ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3.3.5) 为块对角矩阵,则()B λ与()C λ的初等因子的全体是()A λ的全部初等因子. 证明:将()B λ与()C λ分别化为Smith 标准形1()()()00B r b b B λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1()()()00C r c c C λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中1(()),(()),(),,()B B C r r r a n k B r r a n k C b b λλλλ== 与1(),,()C r c c λλ 分别为()B λ与()C λ的不变因子,则(())B C rank A r r r λ==+把()i b λ和()i c λ分解为不同的一次因式的方幂的乘积1212()()()(),1,,i i is b b b i s B b i r λλλλλλλ=---=1212()()()(),1,,j j js c c ci s C c i r λλλλλλλ=---=则()B λ与()C λ的初等因子分别为 1212()()(),1,,i i is b b b s B i r λλλλλλ---=1212()()(),1,,j j js c c cs C i r λλλλλλ---=中非常数的多项式我们先证明()B λ与()C λ的初等因子是()A λ的全部初等因子,不失一般性,仅考虑()B λ与()C λ中只含1λλ-的方幂的那些初等因子,将1λλ-的指数.1111211121,,,,,,,B C r r b b b c c c按由小到大的顺序排列，记为120r j j j ≤≤≤≤ ，由(3.3.5)可知，对()B λ与()C λ进行初等变换实际上是对()A λ进行初等变换，于是11()()()()()00B C r r b b c A c λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12111212()()()()()()00r j j j λλϕλλλϕλλλϕλ⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪≅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中多项式1(),,()r ϕλϕλ 都不含因式1λλ-.设()A λ的行列式因子和不变因子分别为12(),(),,()r D D D λλλ 和12(),(),,()r d d d λλλ ，则在这些行列式因子中因子1λλ-的幂指数分别为111211,,,,r ri i i i j j j j j -==+∑∑ ，而由行列式因子与不变因子的关系(3.3.3)知，12(),(),,()r d d d λλλ 中因子1λλ-的幂指数分别为121,,,,r r j j j j - 因此()A λ中与1λλ-相应的初等因子是1(),0,1,,i j j i r λλ->=也就是()B λ、()C λ中与1λλ-相应的全部初等因子.对23,,,r λλλλλλ--- 进行类似的讨论，可得相同结论，于是()B λ、()C λ的全部初等因子都是()A λ的初等因子.下面证明，除()B λ、()C λ的初等因子外，()A λ再没有其他的初等因子. 因为()r D λ为()A λ的所有初等因子的乘积，而11()()()()()B C r r r D b b c c λλλλλ=如果()k a λ-是()A λ的初等因子，则它必包含在某个()(1,,)i B b i r λ= 或()j c λ(1,,C j r = )中，即()A λ的初等因子包含在()B λ与()C λ的初等因子中，因此，除()B λ、()C λ的全部初等因子外，()A λ再没有别的初等因子.定理3.3.7可推广为定理3.3.8 若λ矩阵()A λ等价于块对角阵12()()()()t A A A A λλλλ⎛⎫⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪⎝⎭则122(),(),,()t A A A λλλ 各个初等因子的全体就是()A λ的全部初等因子. 对t 应用数学归纳法，请读者自行证明.例3.3.3 求λ矩阵22000000()00(1)10022A λλλλλλλ⎛⎫+ ⎪⎪= ⎪++ ⎪ ⎪--⎝⎭的初因子，不变因子和标准形解：记22123(1)1(),(),()22A A A λλλλλλλλλ⎛⎫++=+== ⎪--⎝⎭，则 123()00()0()000()A A A A λλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对于3()A λ，其初等因子为,1,1λλλ-+，利用定理3.3.8，可得()A λ的初等因子,,,1,1,1λλλλλλ-++因为()A λ的秩为4，故()A λ的不变因子为4321()(1)(1),()(1),,()1d d d d λλλλλλλλλ=-+=+==因此()A λ的Smith 标准形为1000000()00(1)0000(1)(1)A λλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪≅ ⎪+ ⎪+-⎝⎭ §3.4 矩阵相似的条件设A 是n 阶数字矩阵，其特征矩阵I A λ-是λ矩阵，它是研究数字矩阵的重要工具，应用特征矩阵可以给出两个n 阶数字矩阵A 与B 之间相似性的判断准则，为此，我们先证明两个引理.引理3.4.1 设,A B 是两个n 阶数字矩阵，如果存在n 阶数字矩阵,P Q 使得()I A P I B Q λλ-=- (3.4.1)A 与B 相似证明 比较(3.4.1)两边λ的同次幂的系数矩阵，得,PQ I A PBQ ==由此11,Q P A PBP --==，故A 与B 相似.引理3.4.2 设A 是n 阶非零数字矩阵，()U λ与()V λ是n 阶λ矩阵，则存在n 阶λ矩阵()Q λ与()R λ以及n 阶数字矩阵0U 及0V ，使得0()()()U I A Q U λλλ=-+ (3.4.2)0()()()V R I A V λλλ=-+ (3.4.3)证明(3.4.2)与(3.4.3)的证明类似，这里仅证(3.4.2)式，把()U λ改写成1011()m m m m U D D D D λλλλ--=++++其中01,,,m D D D 都是n 阶数字矩阵，并且00D ≠(1)若0m =，则取()0Q λ=及00U D =，它们满足要求，并且(3.4.2)成立.(2)若0m >，令120121()m m m m Q Q Q Q Q λλλλ----=++++其中011,,,m Q Q Q - 是待定的n 阶数字矩阵，由1010()()()m m I A Q Q Q AQ λλλλ--=+-+1121()()m k k k m m m Q AQ Q AQ AQ λλ-----+-++--取0011022111201,,,,m m m m m Q D Q D AQ Q D AQ Q D AQ U D AQ ----==+=+=+=+ 则(3.4.2)成立.定理 3.4.1 n 阶矩阵A 和B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵I A λ-和I B λ-.充分性 设I A λ-和I B λ-等价，由定理 3.3.5知存在可逆的λ矩阵(),()U V λλ使()()()I A U I B V λλλλ-=-由引理3.4.2，存在λ矩阵()Q λ与()R λ以及数字矩阵0U 与0V 使得0()()()U I A Q U λλλ=-+0()()()V R I A V λλλ=-+则(3.4.4)式改写为1()()()()U I A I B V λλλλ--=-1()()()()I A V U I B λλλλ--=-将()V λ的表达式(3.4.6)代入(3.4.7)，得10[()()()]()()U I B R I A I B V λλλλλ----=-因为上式右边的λ的次数1≤，所以1()()()U I B R λλλ---是数字矩阵，记为T ，即1()()()T U I B R λλλ-=-- (3.4.9)0()()T I A I B V λλ-=-T (3.4.10)由(3.4.9)，并利用(3.4.5)和(3.4.8)，得()()()()I U T U I B R λλλλ=+-1()()()()U T I A V R λλλλ-=+-10[()()]()()()I A Q U T I A V R λλλλλ-=-++-10()[()()()]U T I A Q T V R λλλλ-=+-+上式右边第二项必为零；否则右边λ的次数至少是1，等式不可能成立，因此0I U T =，从而0,U T 可逆，并且10T U -=，由(3.4.10)得00()I A U I B V λλ-=-由引理3.4.1知A 和B 相似定义3.4.1 设A 是n 阶数字矩阵，其特征矩阵I A λ-的行列式因子，不变因子和初等因子分别称为矩阵A 的行列式因子，不变因子和初等因子. 由定理3.3.3和定理3.4.1立即得定理3.4.2 n 阶矩阵A 和B 相似的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者它们有相同的不变因子.由例3.2.1，定理3.3.6和定理3.4.1得定理3.4.3 n 阶矩阵A 和B 相似的充分必要条件是它们有相同的等初因子. §3.5 矩阵的Jordan 标准形定义3.5.1 形状为1010i ii i i n n J λλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (3.5.1) 的矩阵称为Jordan 块,其中i λ为复数，由若干个Jordan 块为对角块组成的块对角矩阵称为Jordan 形矩阵例如，矩阵110000010000004000000100000100000i i i ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ 是一个Jordan 形矩阵.容易验证，i n 阶Jordan 块i J 具有如下性质：(1)i J 具有一个i n 重特征值i λ，对应于特征值i λ仅有一个线性无关的特征向量.(2)i J 的乘幂有明显的表示式(1)11()()()2!(1)!()(),1,2,1()2!()()i n p i p i p i p i p i p i p i p i p i p i f f f f n f f J p f f f λλλλλλλλ-⎛⎫''' ⎪- ⎪ ⎪ ⎪' ⎪ ⎪=='' ⎪ ⎪ ⎪ ⎪' ⎪ ⎪⎝⎭其中()p p f λλ=(3)i J 的不变因子为11()()1,()()i i i n n n i d d d λλλλλ-====-从而i J 的初等因子为()i n i λλ-设12(,,,)s J diag J J J =是Jordan 形矩阵，其中i J 为形如(3.5.1)的Jordan 块，J 的特征矩阵为11(,,)sn n s I J diag I J I J λλλ-=-- 由定理3.3.8知Jordan 形矩阵J 的初等因子为1212(),(),,()s n n n s λλλλλλ---可见，Jordan 形矩阵的全部初等因子由它的全部Jordan 块的初等因子组成，而Jordan 块被它的初等因子惟一决定，因此，Jordan 形矩阵除去其中Jordan 块排列的次序外被它的初等因子惟一决定.定理3.5.1 设n n A C ⨯∈，则A 与一个Jordan 形矩阵相似，并且Jordan 形矩阵除去其中Jordan 块的排列次序是被矩阵A 惟一决定的.12(),(),,()s n s λλλλλλ--- (3.5.2)其中1,,s λλ 可能有相同的，1,,s n n 也可能有相同的，每个初等因子()i n i λλ-对应于一个Jordan 块101,1,,1i ii i i i n n J i s λλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 这些Jordan 块构成一个Jordan 形矩阵12(,,,)s J diag J J J = (3.5.3) 其初等因子也是(3.5.2)，因为J 与A 有相同的初等因子，由定理3.4.3知J 与A 相似，Jordan 形矩阵(3.5.3)称为矩阵A 的Jordan 标准形. 若有另一个Jordan 形矩阵J 与A 相似，则J 与A 有相同的初等因子，因此，J '与J 除去其中Jordan 块排列的次序外是相同的，这就证明了惟一性. 利用矩阵在相似变换下的Jordan 标准形，可得线性变换的结构. 定理 3.5.2 设A 是复数域上n 维线性空间V 的线性变换，则在V 中存在一组基使得A 在这组基下的矩阵是Jordan 形矩阵.证明 在V 中任取一组基12,,,n εεε ，设线性变换A 在这组基下的矩阵是A ，由定理3.5.1知，存在可逆矩阵P 使得1P AP J -=为Jordan 形矩阵，令1212(,,,)(,,,)n n P εεεεεε=则线性变换，A 在基12,,,n εεε 下的矩阵是1P AP J -=为Jordan 形矩阵 如果1i n =，则i i J λ=是一阶Jordan 块，当矩阵A 的Jordan 标准形中的Jordan 块都是一阶块时，A 的Jordan 标准形就是对角矩阵，因为一阶Jordan 块的初等因子是一次的，所以对角矩阵的初等因子都是一次的，由此得 定理3.5.3 设n n A C ⨯∈，则A 与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A 的初等因子都是一次的.例3.5.1 求矩阵126103114A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的Jordan 标准形解 因为21261001301011400(1)I A λλλλλλ+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-≅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭则A 的初等于因子为1λ-，2(1)λ-，故A 的Jordan 标准形为100011001J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由定理3.5.1知，对任意的n 阶矩阵A ，存在n 阶可逆矩阵P 使得1P AP J -=为Jordan 标准形，下面介绍求变换矩阵P 的方法，先看一下例子. 例3.5.2 求化矩阵126103114A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭为Jordan 标准形的变换矩阵.解 由例3.5.1知，存在3阶可逆矩阵P 使得1100011001P AP J -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭记123(,,)P p p p =，则得123123100(,,)(,,)011001Ap Ap Ap p p p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭比较上式两边得1122323Ap p Ap p Ap p p =⎧⎪=⎨⎪=+⎩ 由此可见，12,p p 是A 的对应于特征值1的两个线性无关的特征向量. 从方程组()0I A x -=可求得两个线性无关的特征向量131,001ξη-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可取1p ξ=，但不能简单地取2p η=，因此2p 的选取应保证非齐次线性方程组32()I A p p -=-有解，由于,ξη的线性组合仍是()0I A x -=的解，因此我们选取212p k k ξη=+，其中待定常数12,k k 只要保证1p 和2p 线性无关，且使得32()I A p p -=-有解，因为2121212(3,,)T p k k k k k k ξξ=+=-+，所以选取12,k k 使得方程组11221322263113113x k k x k x k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭有解，容易看出，当12k k =时方程组有解，且其解为12313x x x k =-+-其中1k 是任意非零常数，取11k =，可得23221,011p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是122110011P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭使得1100011001P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭一般地，设n n A C ⨯∈，则存在n 阶可逆矩阵P 使得112s J P AP J J J -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ (3.5.4)其中i J 为形如(3.5.1)的Jordan 块，记12(,,,)s P P P P = (3.5.5) 其中i n n iP C ⨯∈，由(3.5.4)和(3.5.5)得 121122(,,,)(,,,)s s s AP AP AP PJ P J P J =比较上式两边得,1,,i i i AP PJ i s == (3.5.6) 记()()()12(,,,)i i i i i n P p p p = ，由(3.5.6)可得()()11()()()221()()()1,,j ii i i i i i i i i n i i i n i n n Ap p Ap p p Ap p p λλλ--⎧=⎪=+⎪⎨⎪⎪=+⎩ 由上式可见，()1i p 是矩阵A 对应于特征值i λ的特征向量，且由()1i p 可依次求得()()2,,ji i n p p ，由例3.5.2可知，特征向量()1i p 的选取应保证()2i p 可以求出，类似地()2i p 的选取(因为()2i p 的选取一般不惟一，只要适当选取一个即可)也应保证()3i p 可以求出，依次类推，并且使()()()12,,ii i i n p p p 线性无关. §3.6 Cayley-Hamilton 定理与最小多项式 设A 为任意n 阶矩阵，其特征多项式为12121()det()n n n n n f I A a a a a λλλλλλ---=-=+++++ 矩阵A 与其特征多项式之间有如下重要关系.定理3.6.1(Cayley-Hamilton 定理)设A 是n 阶矩阵，()f λ是A 的特征多项式，则()0f A =证明 考虑特征矩阵I A λ-的伴随矩阵*()I A λ-，其元素至多是λ的1n -次多项式，则*()I A λ-可表示为*12121()n n n n I A C C C C λλλλ----=++++其中12,,,n C C C 都是n 阶数字矩阵因为*()()()I A I A f I λλλ--=，即12121()()n n n n I A C C C C λλλλ----++++111n n n n I a I a I a I λλλ--=++++比较两边λ的同次幂的系列矩阵，得1C I =211C AC a I -=322C AC a I -=…11n n n C AC a I ---=n n AC a I -=用1,,,,n n A A A I - 分别左乘上面各式，再两边相加，得 12121321()()()n n n n n n A C A C AC A C AC A C AC AC ---+-+-++-- 111()n n n n A a A a A a I f A --=++++=因为上式左边为零矩阵，所以()0f A =定义3.6.1 设A 为n 阶矩阵，如果存在多项式()ϕλ使得()0A ϕ=，则()ϕλ为A 的化零多项式.对任意n 阶矩阵A ，()f λ是A 的特征多项式，由定理3.6.1知()f λ为A 的化零多项式，如果()g λ是任意多项式，则()()g f λλ也是A 的化零多项式.因此，任意n 阶矩阵A 的化零多项式总存在，并且A 的化零多项式有无穷多个.定义 3.6.2 n 阶矩阵A 的所有化零多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A 的最小多项式.由定理3.6.1知，任意n 阶矩阵A 的最小多项式存在且次数不会超过n . 定理3.6.2 设A 是n 阶矩阵，则(1)A 的最小多项式()m λ能整除A 的任一化零多项式()ϕλ，特别地，()m λ能整除A 的特征多项式()f λ；(2)A 的最小多项式()m λ的零点是A 的特征值；反之，A 的特征值是()m λ的零点；(3)A 的最小多项式是惟一的.证明(1)设()m λ是A 的最小多项式，()ϕλ是A 的任一化零多项式，由定理3.1.1有()()()()q m r ϕλλλλ=+其中(),()q r λλ是多项式，并且()0r λ=或者()0r λ≠但(())(())r m λλ∂<∂，因此()0r λ=；否则与()m λ是A 的最小多项式矛盾，于是()|()m λϕλ.(2)设()f λ是A 的特征多项式，由(1)知()()()f q m λλλ=，其中()q λ是一个多项式，因此()0m λ=的根必为()0f λ=的根，即A 的特征值.反过来，设0λ是A 的任一特征值，相应的特征向量为0ξ≠，即0A ξλξ=则0()()m A m ξλξ=因为()0,0m λξ=≠，所以0()0m λ=，即0λ是0()0m λ=的根.(3)设A 有两个最小多项式12(),()m m λλ，则它们的次数相同，如果12()()m m λλ≠，则12()()()0m m m λλλ=-≠且1(())(())m m λλ∂<∂.设()m λ的着项系数为a ，则3()()m m aλλ=是首项系数1的多项式且31(())(())m m λλ∂<∂由于31211()()(()())0m A m A m A m A a a==-= 于是，3()m λ是A 的化零多项式，这与12(),()m m λλ是A 的最小多项式的假设矛盾，因此A 的最小多项式是惟一的.定理3.6.3 相似的矩阵具有相同的最小多项式.证明 设n 阶矩阵A 与B 相似，则存在非奇异矩阵P 使得1B P AP -=对任意多项式()g λ恒有1()()g B P g A P -=可见，A 与B 有相同的化零多项式，从而它们具有相同的最小多项式. 例3.6.1 求Jordan 块1010i ii i i i n n J λλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 的最小多项式 解：因为i J 的特征多项式()()i n i f λλλ=-，则由定理3.6.2知i J 的最小多项式()m λ具有如下形式()()k i m λλλ=-其中正整数i k n ≤，但当i k n <时0100()()0100k i i i m J J I λ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此()()i n i m λλλ=-定理3.6.4 块对角矩阵1(,,)s A diag A A = 的最小多项式等于其诸对角块的最小多项式的最小公倍式.证明 设i A 的最小多项式为()(1,,)i m i s λ= ，由于对任意多项式()ϕλ1()((),,())s A dia A A ϕϕϕ=如果()ϕλ为A 的化零多项式.则()ϕλ必为(1,,)i A i s = 的化零多项式，从而()|()(1,,)i m i s λϕλ= ，因此()ϕλ为1(),,()s m m λλ 的公倍式.反过来，如果()ϕλ为1(),,()s m m λλ 的任一公倍式，则()0(1,,)i A i s ϕ== ， 从而()0A ϕ=，因此，A 的最小多项式为1(),,()s m m λλ 的公倍式中次数最低者，即它们的最小公倍式.定理3.6.5 n n A C ⨯∈，则A 的最小多项式为A 的第n 个不变因子()n d λ. 证明 由定理3.5.1知A 相似于Jordan 标准形1(,,)s J diag J J = ，其中i J 为形如(3.5.1)的Jordan 块，由定理3.4.2和定理3.6.3知A 与J 有相同的不变因子和最小多项式，而由定理3.6.4知J 的最小多项式为1,,s J J 的最小多项式式的最小公倍式，因此i J 的最小多项式为()(1,,)i n i i s λλ-= 而1212(),(),,()s n n n s λλλλλλ--- 的最小公倍式是J 的第n 个不变因子()n d λ，因此A 的最小多项式就是A 的第n 个不变因子()n d λ.由定理3.5.3和定理3.6.5可得如下定理.定理 3.6.6 n 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 的最小多项式()m λ没有重零点.例 3.6.2如果n 阶矩阵A 满足2A A =,则称A 为幂等矩阵.证明幂等矩阵A 一定相似于对角矩阵.证明2()ϕλλλ=-,则()ϕλ是A 的化零多项式，由定理3.6.2知A 的最小多项式()m λ整除()ϕλ，因为()0ϕλ=没有重根，所以()0m λ=也没有重根，据定理3.6.6知A 相似于对角矩阵.。
矩阵的相似与相合
2
a 2 0
2 0.
3 1 b 0 0 c
a b 1, 2(ab 2) 4.
解得
a 0, b 1.
或
a 1, b 0.
25
二、方阵可对角化的条件
定理2 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似(即 A 能对角 化)的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征 向量. 证: 必要性。
假设存在可逆阵 P, 使 P1AP 为对角阵, 把 P 用其列向量表示为 P ( p1, p2, , pn )， 则由P可逆知 r(P)=n, 因此P 的各列线性无关。
当 2 3 1 时, 解方程 (I A)x 0. 由
~ 2 1 0
I
A
4
2
0
1 0 1
0
1
2
,
1 0 1 0 0 0
8
1
得基础解系
p2
2 1
,
所以 kp2(k 0) 是对应于 2 3 1 的
全部特征向量.
9
2 1 1
例2.
A
0 4
2 1
0 3
,
求 A 的特征值与所有的特征向量.
4 6
0
I A 3 5 0 ( 1)2( 2)
3
6 1
所以 A 的全部特征值为 1 2 1, 3 2.
30
将 1 2 1 代入 ( I A)x 0 得方程组
3 x1 6 x2 0,
3 x1 6 x2 0,
3 x1 6 x2 0.
2
0
解之得基础解系
App
则Aii(i 1, 2, , p)所有特征值恰为A的全部特征值.
定理1 p1, p2 ,
1, 2 ,
矩阵等价相似合同
矩阵等价相似合同矩阵等价相似合同是线性代数中的一个重要定理，它描述了在一定条件下，两个矩阵可以通过相似变换互相转换而保持其性质不变。
本文将对矩阵等价相似合同进行详细的介绍。
矩阵等价相似合同是线性代数中的一个基本定理，它在矩阵论和相关领域中有着广泛的应用和重要性。
矩阵的等价相似合同主要包括两部分内容：等价变换和相似变换。
等价变换是指通过一系列基本行列变换，将一个矩阵转换为标准形矩阵的过程。
这些基本行列变换包括互换两行（列）、某一行（列）乘以一个非零常数、某一行（列）加上（减去）另一行（列）的若干倍。
经过等价变换后的标准形矩阵具有某些特定的性质，如行阶梯形矩阵和行最简形矩阵等。
相似变换是指通过一个可逆矩阵P，将一个矩阵A转换为PAP^(-1)的过程。
这个过程将A通过线性变换P变换为另外一个矩阵，而且P具有可逆性。
相似变换后的矩阵PAP^(-1)与原矩阵A具有相同的特征值和特征向量，从而保持了矩阵的重要性质。
根据矩阵等价相似合同定理，如果两个矩阵A和B可以通过相似变换P，即PAP^(-1)=B，那么它们必然具有相同的特征值。
这意味着它们在某种程度上可以看作是“相等”的，因为特征值是矩阵的一个重要属性。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P使得PAP^(-1)是一个对角矩阵D，那么A与D是相似的。
这个对角矩阵D的主对角线上的元素就是A的特征值。
这个过程称为矩阵的特征值分解（eigenvalue decomposition）。
矩阵等价相似合同定理的应用非常广泛。
在物理学中，矩阵等价相似合同定理可以用于描述量子力学中的态矢量和算符矩阵之间的关系。
在电路理论和控制工程中，矩阵等价相似合同定理可以用于系统的稳定性分析和控制设计。
在图像处理和模式识别中，矩阵等价相似合同定理可以用于特征提取和聚类分析。
总之，矩阵等价相似合同定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了在一定条件下，两个矩阵可以通过相似变换互相转换而保持其特征值和特征向量不变。
矩阵的等价关系与分类
一
也就是说， 任意一 个秩为 ｒ 的ｍ ｘ ｎ 矩阵Ａ 都相抵与 形如
＼ ０ ０ ／
Ｉ 一
结论 ｌ ： ｍＸ ｎ矩 阵在 相 抵 关 系下 可 分 为 ｋ ＋ １类 （ 其中 ｋ ： ｍｉ ｎ
｛ ｍ． ｎ｝ ）
的矩 阵． 这种 结构简单的矩阵称为 的相抵标 准型 ． 秩ｒ 为相抵关系 下 的全系不变量 即两个 同型矩阵相抵 的本质 是具有相 同的秩 ２ ＿ ２ 矩 阵的相似关系 定义 ２ ． ２ ： 对于 ｎ阶方阵 Ａ、 ． 若存 在一个 可逆 阵 使 得 Ｐ － ￣ ＡＰ ＝ Ｂ． 则称 』 ４与 Ｂ相似 由定 义可得 』 ４通过相似变换变为 日需要很强 的约束条件 ：两边 乘 的矩阵要互逆 ． 所 以要通过引入 Ａ 一 矩阵除去其约束 条件 ． 将 Ａ与 Ｂ 的相似转换 为 Ａ ， 一 Ａ与 Ａ ， 胡 的相 抵 来 研 究 ．即通 过 相抵 标 准 型 来 研 究数字矩阵 Ａ与 的相似 定理 ２ ． ２ ｆ １ ） Ａ与 曰相似 矩阵 能够经过相似变换变成矩 阵 铮 ４与 口是同阶方阵且它们有相同的不变因子组 即矩阵相似关系下的全系不变量 是不变 因子组 也就是说秩相等是矩阵相似的必要 条件 ． 两个 同阶方 阵相似 的本 质是它们有相同的不变因子组 相似矩阵的性质 ： 矩 阵相似 ． 则 它们的秩相等 ． 迹相等 ． 行列式相 等， 特征值相 等 ， 特征多项式也相等 ； 它们 还有相 同的可 逆性 ， 且可逆 时它们的逆矩阵也相似 注意 ， 两个 同阶方 阵如果它们可 以对 角化 （ 例如实对 称矩阵 ） ． 则
由定 理 ２ ． ３和 结 论 ｌ 的 证 明 可 得
结论 ４ ： 在实数域上 ， ｎ 阶对称阵在合同关系下可分 为 １（ 肘１ ） （ 肿２ ）
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收 稿 日期 ：０ ７ ８ ７ ２ ０ —０ —２ 第一作者 ： 李 艳 （９ ８ ， ， 北 丰 南 人 ， 山 师 范 学 院 副 教 授 ， １６ 一） 女 河 唐 主要 从 事基 础 数 学 方 面 的 研 究
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈｅ ｓｍｉａ ａ ｏ ｉａ ｏ ｍ ｆｉ ｖ ｌ ｏ ｙ ｍａ ｒｘ ｎ ｉ ｔ ｇ ａ ｍｂ ｒ ｒｎｇ ｉ ｉ ｅ ｓｒ ｃ ： ｉ ｌｒ ｃ ｎ ｎ ｃ ｌｆ ｒ ｏ ｎ ｏｕｔ ｒ ｔ ｉ ｏ ｎ ｅ ｒ ｎｕ ｅ ｉ ｓ ｇ ｖ ｎ，ａ ｄ ｔ ｎ ｇ ｌ ｎ ｈｅ ｕ ｉ ｕｅ
ｂ１ ６ ２
Ｐ
●
：
ｂ
证 明 对 ｎ用数 学归 纳法 证 明即可 ． 引理 ２ 设整 数 ｂ ， ２ … ， ｎ≥ ２ ｌｂ ， ｂ （ ）的最 大公 约数 为 １ 令 Ｊ （ ｌｂ ， ， 则存 在 ｎ×（ ， ９＝ ｂ ， ２ … ｂ ） ， ｎ一１ ）
整数 矩 阵 Ｂ。使得 分块 矩 阵 Ｂ ＝ （ ， ） 整数 环上得 可 逆矩 阵 ． ， Ｊ Ｂ１ 是 ９
ｏ ｉ ｌｒ ｃ ｎ ｎ ｃ ｏ ｍ ｆｉ ｖ ｌ ｔ ｒ ｔ ｉ ｒ ｖ ｄ ｉ ｈ ｓｐ ｐ ｒ ｆｓ ｍｉ ａ ｏ ｉａ ｆ ｒ ｏ ｎ ｏ ｕ ｏ ｙ ｍａ ｒ ｉ ｐ ｏ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ． ａ ｌ ｘ ｓ
Ｋｅ ｒ ｓ：ｎ ｏｕｔ ｒ ｍａ ｒｘ；ｓｍｉ ｒｃ ｎ ｎｉａ ｏ ｍ ；ｉ ｅ ｒ ｍｂ ｒｒｎ ｙ ｗｏ ｄ ｉ ｖ ｌ ｏ ｙ ｔ ｉ ｉ ｌ ａ ｏ ｃ ｌｆ ｒ ａ ｎｔ ｇ ａ ｎｕ ｅ ｉ ｇ；ｉ ｖｅ ｔｂ ｅ ｍａ ｒｘ ｌ ｎ ｒｉ ｌ ｔ ｉ
Ｌ ａ ，ＺＨ Ｇ ｎ Ｉ ｎ Ｙ ＡＮ Ｑｉｇ
（ ｅａｔ ｎ ｆ ｔｅ ｔｓ ｎ ｆｒ ｄ ｎＳ ｅｅ， ａ ｓａ ｅｃｅ ｏ ｅｅ Ｔ ｎｓａ ６ ０ ０ Ｃ ｉ ） Ｄ ｐｒ ｍｅｔ ｈｍａｃ ｄＩ ｏｒ ｏ ｄ ｎｅ Ｔ ｒ ｈｎ Ｔａｈｒ Ｃ ｌｇ ， ａ ｇｈｎ ０ ３ ０ ， ｈ ａ ｏ Ｍａ ｉ ａ ｎ ｎ ａ ￣ ｓ ｌ ｎ
用
矩阵．
（ 表示 整数 环 Ｚ上所 有 ｎ阶方 阵的集 合 ． ， Ｚ） Ｚｌ 表示 整数 环 Ｚ上 ｎ维 向量 的集合 ， Ｉ 表示 单位 Ｉ或
（ ， Ｚ） 并且 Ａ ＝ Ｉ 则 称 Ａ 为整数 环 Ｚ上对 合矩 阵 ． ，
定义 １ 若 Ａ ∈
定义 ２ 若 Ａ， ∈ Ｂ
忌１ 忌 ２
Ｘ ∈Ｚ ， Ｘ ： 设
－
，
Ｐ ＝ （ ， ， ， ， Ｐ ＝ ｂ， Ｕ ： ｋ Ｐ１ 忌 Ｐ２ … ＋ 忌Ｐ ． Ｐ１Ｐ２ … Ｐ ） 由 Ｘ 贝 ｂ
忌
Ｚ
１ ｎ
引 ４若 ∈ ） 为合 阵 存可矩 Ｐ Ｍｚ使 ＰＡ： ］ 理 Ａ ＭｚＡ 对矩 ， 在 逆阵 ∈ ）得－Ｐ ［ ：， （， 则 （， １ 一
忌１ 忌 ２
引 理 ３ 设矩 阵 Ｐ ∈ Ｍ Ｚ）可逆 ， Ｐ ： （ ， ， ， ， Ｖｂ∈ Ｚ ， 在 Ｘ ＝ （ 且 Ｐ１Ｐ２ … Ｐ ） 则 存
●
∈ ， 得 使
：
忌 ｂ ： 忌１ Ｐ１ ＋ ｋ ２Ｐ２ ＋ … ＋ 忌 Ｐ ．
证 明
由矩 阵 Ｐ ∈ Ｍ ｚ） 逆 ， 线 性 方 程组 Ｐ ： ｂ有 唯一 解 Ｘ ： Ｐ＿ｂ， ＰＩ （ 可 则 Ｘ 。 由 １∈ Ｍ ｚ） 则 （ ，
（ ， Ｚ） 如果 存在 可逆矩 阵 Ｐ ∈ Ｍ Ｚ） 使得 ＰＩＡ ＝ Ｂ， 称 Ａ， 在整 数环 Ｚ （ ， １Ｐ 则 Ｂ （ ， 得 Ｚ） 使
上相 似 ． 引理 １ 若整 数 ｂ ， ２ … ， ｎ≥ ２ 的最 大公 约数 为 ‘ 。ｂ ， ｂ （ ） ， 则存 在 可逆矩 阵 Ｐ ∈
Ｖ０１２ ． ８ Ｎｏ． ４
Ｊ１ ０ ８ ｕ ．２ ０
整 数 环 上 对合 矩 阵 的相 似标 准 型
李 艳 ， 张 庆
（ 山师范学院 数学与信息科学系 ， 北 唐山 唐 河 ０ ３０ ） ６ ０ ０
摘
要 ： 出了整数环 Ｚ上对 合矩 阵的相 似标 准 型 ， 给 并证 明 了其 唯 一性 ．
维普资讯
第 ４期
李
艳等 ： 整数 环 上 对 合 矩 阵 的相 似 标 准 型
ｂ１ ６２ Ｐ
－
・３３ ・ ５
：
ｂ
由 Ｐ一 ∈ Ｍ ｚ） 设 Ｐ一 （ ， ＝ （ ， ２ … ， ， 中 Ｐ１Ｐ２ … ， 是 ＰＩ Ｐ１ Ｐ ， Ｐ ） 其 ， ， Ｐ １的列 向量 ， Ｂ１＝ （ ， ， ， 取 Ｐ２ … Ｐ ） Ｂ ＝（ ， ） 则 Ｂ 是 整数环 上 的可 逆矩 阵 ． ｌ ｆ Ｂ１ ，
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第２ ８卷 第 ４期 ２０ ０ ８年 ７月
河北 大 学 学 报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｂｉ ｉｅｓ ｙ Ｎａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ ｏ ｅ Ｕｎｖｒｉ （ ｔｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） Ｈｅ ｔ ｅ ｉ
关 键词 ： 对合 矩 阵 ； 相似 标 准型 ； 整数环 ； 逆矩 阵 可 中图分 类号 ： １ １ ２ Ｏ ５ ．１ 文献 标识码 ： Ａ 文章 编 号 ：０ ０ ５ ５ ２ ０ ）４ ３ ２—０ １ ０ —１ ６ （ ０ ８ ０ —０ ５ ５
Ｓ ｍ ｉａ ｎ ｎｉ ａ ｒ ｆＩ ｏ ｕ ｏ ｙ Ｍ ａ ｒ ｘ ｏ ｎｔ ｇ ａ ｍ ｂ ｒ Ｒ ｉ ｇ ｉ ｌ ｒ Ｃａ ｏ ｃ ｌＦｏ ｍ ｏ ｎｖ ｌ ｔ ｒ ｔ ｉ ｎ Ｉ ｅ ｒ ｌＮｕ ｅ ｎ