§66 环(离散数学)讲解
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离散数学 第4章 代数系统(3)
9
离散数学
定理1.环的基本性质 设 (R,, )是环。则a,b,cR,有 (1)零元： 0a = a0 = 0 (加法幺元是乘法的零元)； (2)正负、负正得负：a(-b) = (-a)b = -(ab)； (3)负负得正：(-a)(-b) = ab； (4)(-1)a = -a (-1是乘法幺元1的负元) ； (5)(-1)(-1)=1 (-1的乘法逆元是其本身，即(-1)-1=-1)； (6)左分配律：a(b-c)=(ab)-(ac) (乘法对减法的) ； 右分配律：(b–c)a=(ba)–(ca) (乘法对减法的) 。
4
离散数学
例3.(Nm,+m,m)是环。我们称此环为整数模环。 这里：Nm={[0]m,[1]m,…,[m-1]m}，+m和 m是Nm上的模 加运算和模乘运算。由前两节知 (1) (Nm,+m)是交换群； (2) (Nm,m)是半群； (3)m对+m满足分配律：由于[i]m,[j]m,[k]mNm ,有 [i]m m([j]m +m[k]m) = [i]m m[(j+k) mod m]m =[(i (j+k)) mod m]m =[((i j)+(i k)) mod m]m =[(i j) mod m]m +m[(i k) mod m] =([i]mm[j]m)+m([i]mm[k]m) 由m的交换律知m对+m满足分配律； 由环的定义知(Nm,+m, m )是环。
注：由定理1(1)的结论知，在环(R,,)中，关于运算的幺元就是 关于运算的零元。由于(R,)是交换群，故关于运算的幺元一定 存在，因此关于运算的零元也一定存在。由于在一个代数系统中， 零元是没有逆元的，因此在环(R,,)中，(R,)不能构成群。
离散数学6课件
注：真子集的符号化：BA (BA)∧(B A)。
§6.1 集合的基本概念
5.空集(Def6.4)：不含任何元素的集合称为空集，记为Ø 注: 1. 空集的符号化：Ø ={x|x x }。 2. Th6.1 空集是一切集合的子集。（证明见教材P85）。 3. Cor 空集是唯一的。（证明见教材P85）。
§6.3 有穷集的计数
集合间的关系与运算的表示：文氏图(Venn Diagrams)
E
B
A
E
AB
E
AB
E
AB
A∩B=
E
AB
A∩B
A∩B=A
E
A
~A
A-B
E
AB
AB
A={a，b，…，z}
Z={0，-1，1，-2，2，…}
D={a，{a}，{a，b}}集合中的元素还可以是集合。
谓词表示法：用谓词来描述集合中元素的性质。
如：B={x | x∈R ∧(x-1=0)} 描述法
={x | F(x)∧G(x)}
谓词描述法
设F(x):x∈R ,G(x):x-1=0 .
集合的性质：
第六章Biblioteka 集合代数6.1 集合的基本概念 6.2 集合的运算 6.3 有穷集合的计数 6.4集合恒等式
§6.1 集合的基本概念
1.集合：将一些事物汇集到一起组成的整体，其中每个事物称为这个集合 的元素。
注：如果x是集合A的元素，则记为xA 。
集合的表示方法：列元素法和谓词表示法
列元素法：列出集合的所有元素或部分元素，可用于有限集和有一定 规律的无限集。如：
6.n元集：含有n个元素的集合。它共有2n个子集合。 例 6.1 设A={1,2,3},求A的所有子集合。 7.集合A的幂集(Def6.5)：由A的所有子集作为元素形成的集合。记为P(A)或2A 。
§6.1 集合的基本概念
5.空集(Def6.4)：不含任何元素的集合称为空集，记为Ø 注: 1. 空集的符号化：Ø ={x|x x }。 2. Th6.1 空集是一切集合的子集。（证明见教材P85）。 3. Cor 空集是唯一的。（证明见教材P85）。
§6.3 有穷集的计数
集合间的关系与运算的表示：文氏图(Venn Diagrams)
E
B
A
E
AB
E
AB
E
AB
A∩B=
E
AB
A∩B
A∩B=A
E
A
~A
A-B
E
AB
AB
A={a，b，…，z}
Z={0，-1，1，-2，2，…}
D={a，{a}，{a，b}}集合中的元素还可以是集合。
谓词表示法：用谓词来描述集合中元素的性质。
如：B={x | x∈R ∧(x-1=0)} 描述法
={x | F(x)∧G(x)}
谓词描述法
设F(x):x∈R ,G(x):x-1=0 .
集合的性质：
第六章Biblioteka 集合代数6.1 集合的基本概念 6.2 集合的运算 6.3 有穷集合的计数 6.4集合恒等式
§6.1 集合的基本概念
1.集合：将一些事物汇集到一起组成的整体，其中每个事物称为这个集合 的元素。
注：如果x是集合A的元素，则记为xA 。
集合的表示方法：列元素法和谓词表示法
列元素法：列出集合的所有元素或部分元素，可用于有限集和有一定 规律的无限集。如：
6.n元集：含有n个元素的集合。它共有2n个子集合。 例 6.1 设A={1,2,3},求A的所有子集合。 7.集合A的幂集(Def6.5)：由A的所有子集作为元素形成的集合。记为P(A)或2A 。
离散数学 集合
18
离散数学
无重复性是集合的四大性质之一。 五.空集（empty,null,void set）：记为 空集是没有成员的集合。即 注.将空集作为集合实 际上是集合运算的封 x(x）（所谓的空集公理）； 闭性所要求的 ! 所以={ }； 空集是集合(作这点规定是运算封闭性的要求)。 空集是唯一的。因为若有两个空集，则它们有完全 相同的元素(都没有任何元素)，所以它们相等，是同 一集合。 六.全集（universe of discourse）：记为X 全集是所要研究的问题所需的全部对象（元素） 所构成的集合。 全集给个体（研究的对象）划定适当的范围。
12
离散数学
两个集合不相等，记为AB ； 根据这个定义，关于集合我们可得下列性质： (1) 无序性：集合中的元素是无序的。例如 {a,b,c}= {b, a, c} = {b , c, a} 因此，为了使用方便，我们可任意书写集合中元 素的顺序。 但一般情况下，通常采用字母序、字典序；有时， 还需要强行命名一种序； 无序性是集合的四大性质之一。 (2)无重复性：集合中元素的重复是无意义的。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c}= {a, b, c} 包（bag）：若允许元素重复称为包。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c} 一般记布尔系统 图论
2
离散数学 Discrete Mathematics
序言：
离散数学是现代数学的一个重要分支，计算机科学 基础理论的核心课程。它充分描述了计算机科学的 离散性特点，是随着计算机科学的发展而逐步建立 起来的新兴的基础性学科。 本课程作为计算机科学的基础性课程，把握离散数 学的关键性问题，介绍五大块内容：集合论、代数 系统、布尔代数、图论、数理逻辑。 这些和计算机科学密切相关的理论的结构按排，既 着重于各部分之间的紧密联系，又深入探讨各部分 内容的概念、例子、理论、算法、以及实际应用。
离散数学
无重复性是集合的四大性质之一。 五.空集（empty,null,void set）：记为 空集是没有成员的集合。即 注.将空集作为集合实 际上是集合运算的封 x(x）（所谓的空集公理）； 闭性所要求的 ! 所以={ }； 空集是集合(作这点规定是运算封闭性的要求)。 空集是唯一的。因为若有两个空集，则它们有完全 相同的元素(都没有任何元素)，所以它们相等，是同 一集合。 六.全集（universe of discourse）：记为X 全集是所要研究的问题所需的全部对象（元素） 所构成的集合。 全集给个体（研究的对象）划定适当的范围。
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离散数学
两个集合不相等，记为AB ； 根据这个定义，关于集合我们可得下列性质： (1) 无序性：集合中的元素是无序的。例如 {a,b,c}= {b, a, c} = {b , c, a} 因此，为了使用方便，我们可任意书写集合中元 素的顺序。 但一般情况下，通常采用字母序、字典序；有时， 还需要强行命名一种序； 无序性是集合的四大性质之一。 (2)无重复性：集合中元素的重复是无意义的。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c}= {a, b, c} 包（bag）：若允许元素重复称为包。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c} 一般记布尔系统 图论
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离散数学 Discrete Mathematics
序言：
离散数学是现代数学的一个重要分支，计算机科学 基础理论的核心课程。它充分描述了计算机科学的 离散性特点，是随着计算机科学的发展而逐步建立 起来的新兴的基础性学科。 本课程作为计算机科学的基础性课程，把握离散数 学的关键性问题，介绍五大块内容：集合论、代数 系统、布尔代数、图论、数理逻辑。 这些和计算机科学密切相关的理论的结构按排，既 着重于各部分之间的紧密联系，又深入探讨各部分 内容的概念、例子、理论、算法、以及实际应用。
《离散数学》偏序关集与格
17
第六章 偏序关集与格
• §6.1 偏序关系和偏序集
– §6.1.1 偏序关系和偏序集的定义与性质 – §6.1.2 积偏序和字典序 – §6.1.3 哈斯图
• §6.2 偏序集中的特殊元素
– §6.2.1 偏序集中的特殊元素 – §6.2.2 拓扑排序 – §6.2.3 有限偏序集的高度与宽度
• §6.3 格与布尔代数
– §6.3.1 格的定义 – §6.3.2 特殊的格 – *§6.3.3 布尔代数
18
积偏序和字典序
• 定理 假设 (A, ≤1) 和 (B, ≤2) 是两个偏序集，
则可以定义在 AB 上的偏序关系 ≤ 为： (a, b) ≤ (a’, b’) 当且仅当 a≤1a’ 且 b≤2b’，
42
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
43
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
44
最大元与最小元
12 8
9
6
4
10
11 3
2
57
1
45
极大元与极小元
{a, b}
{a, b, c}
{b, c} {a, c}
{a}
46
{b} {c}
极大元与极小元
• 有时候，极大元/极小元只有一个； • 有时，极大元/极小元也可能存在多个； • 孤立结点既是极小元，也是极大元； • 有时，极小元和极大元可能不存在，
• 偏序集 (A, R1) 称做偏序集 (A, R) 的对偶。
12
偏序集
• 例如：
– 小于等于关系 和
– 大于等于关系
第六章 偏序关集与格
• §6.1 偏序关系和偏序集
– §6.1.1 偏序关系和偏序集的定义与性质 – §6.1.2 积偏序和字典序 – §6.1.3 哈斯图
• §6.2 偏序集中的特殊元素
– §6.2.1 偏序集中的特殊元素 – §6.2.2 拓扑排序 – §6.2.3 有限偏序集的高度与宽度
• §6.3 格与布尔代数
– §6.3.1 格的定义 – §6.3.2 特殊的格 – *§6.3.3 布尔代数
18
积偏序和字典序
• 定理 假设 (A, ≤1) 和 (B, ≤2) 是两个偏序集，
则可以定义在 AB 上的偏序关系 ≤ 为： (a, b) ≤ (a’, b’) 当且仅当 a≤1a’ 且 b≤2b’，
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极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
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极大元与极小元
h
f
g
d
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最大元与最小元
12 8
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极大元与极小元
{a, b}
{a, b, c}
{b, c} {a, c}
{a}
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{b} {c}
极大元与极小元
• 有时候，极大元/极小元只有一个； • 有时，极大元/极小元也可能存在多个； • 孤立结点既是极小元，也是极大元； • 有时，极小元和极大元可能不存在，
• 偏序集 (A, R1) 称做偏序集 (A, R) 的对偶。
12
偏序集
• 例如：
– 小于等于关系 和
– 大于等于关系
离散数学第七章__环
规定:
n na a a a (n)a (na), 0a 0
则有：
ma na (m n)a m na mn a
0a a 0 0（0为Ｒ中零元）
n(a b) na nb
定义 一个集合（Ｒ，+，。）叫做环，假如
(a)(b) ab
a(b1 b2 bn ) ab1 ab2 abn
a b
ibn amb1 ambn
(na) b a(nb) n(ab)
规定：
n n a aa a
a0 和
ab ac ab ac 0 a(b c) 0
得
b c 0 即 b c 消去律成立。
反之，假设消去律成立，因为
ab 0 ab a 0
所以由消去律知若 a
0则 b0
所以环Ｒ没有零因子。
推论: 一个环若有一个消去律成立，则另一个消去律 也成立。
a0 1
定义（含单位元的环）：（R，。）是单元半 群 常见的环：整数环，有理数环，实数环。 推论：（R，。）不可能构成群。 （因为0元无逆元）
运算规则：
(a b)c ac bc c(a b) ca cb
0a a 0 0 （0为Ｒ中零元）
(a)b a(b) ab
则对任何整数都有
a a a
m n
mn
(a ) a
m n
mn
定义：若在一个环Ｒ里
a 0, b 0 但 ab 0
则称a是环Ｒ的一个左零因子，b是环Ｒ的一个右零因子。
例 Ｒ＝｛所有模n的剩余类｝规定R中的加法和乘法如 下：
[a] [b] [a b] [a][b] [ab]
n na a a a (n)a (na), 0a 0
则有：
ma na (m n)a m na mn a
0a a 0 0（0为Ｒ中零元）
n(a b) na nb
定义 一个集合（Ｒ，+，。）叫做环，假如
(a)(b) ab
a(b1 b2 bn ) ab1 ab2 abn
a b
ibn amb1 ambn
(na) b a(nb) n(ab)
规定：
n n a aa a
a0 和
ab ac ab ac 0 a(b c) 0
得
b c 0 即 b c 消去律成立。
反之，假设消去律成立，因为
ab 0 ab a 0
所以由消去律知若 a
0则 b0
所以环Ｒ没有零因子。
推论: 一个环若有一个消去律成立，则另一个消去律 也成立。
a0 1
定义（含单位元的环）：（R，。）是单元半 群 常见的环：整数环，有理数环，实数环。 推论：（R，。）不可能构成群。 （因为0元无逆元）
运算规则：
(a b)c ac bc c(a b) ca cb
0a a 0 0 （0为Ｒ中零元）
(a)b a(b) ab
则对任何整数都有
a a a
m n
mn
(a ) a
m n
mn
定义：若在一个环Ｒ里
a 0, b 0 但 ab 0
则称a是环Ｒ的一个左零因子，b是环Ｒ的一个右零因子。
例 Ｒ＝｛所有模n的剩余类｝规定R中的加法和乘法如 下：
[a] [b] [a b] [a][b] [ab]
离散数学(同济大学)
读作“p与q”或“p合取q”。
是自然语言中的“并且”、
p
“既又”、“不但
F
而且”、“虽然但是”
F
、“一面一面”等的逻辑抽象。 T
T
q
pq
F
F
T
F
F
F
T
T
p：王化的成绩很好。
q：王化的品德很好。
p∧q： 王化不但成绩好而且品德好。
1.1 命题和命题联结词
3).析取词 命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p或q”。
p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
p q的逻辑关系为p与q互为充要条件
p
q
pq
例：1.3是有理数当且仅当加拿大位于亚洲。
,
p2
,,
p
的命题公式，
n
给p1 , p2 ,, pn一组确定的取值，称为对A的一组赋值或解释。 若指定的一组值使A的真值为1，则称其为A的成真赋值，否则
称为成假赋值。
1.2 命题公式及其赋值
定义4.将公式A在其全部赋值下的真值情况列成表， 称为A的真值表。
真值表的构造步骤： （1）若公式F共有（ n n 1)个变元，则真值表第一行写出
1.2 命题公式及其赋值
例（1）p q q r (2)r q p q p
(3) p q)
(4)r p (5) p r
同时约定：（1）最外层的括号可以省去。 （2）不影响运算次序的括号也可以省去。
1.2 命题公式及其赋值
离散数学-第十章+群与环PPT课件
(a1)m
n0 n0 n0,nm
群中元素可以定义负整数次幂. 在<Z3, >中有
23 = (21)3 = 13 = 111 = 0 在<Z,+>中有
(2)3 = 23 = 2+2+2 = 6
精选
7
元素的阶
定义10.4 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最小正整数 k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元. 若不存在这样的正 整数 k，则称 a 为无限阶元.
He={e,a}=H, Ha={a,e}=H, Hb={b,c}, Hc={c,b} 不同的右陪集只有两个，即H和{b,c}.
精选
16
实例
(2) 设A={1,2,3}，f1, f2, …, f6是A上的双射函数. 其中 f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}， f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}， f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>} f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}， f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}
(n)成为欧拉函数，例如 n=12，小于或等于12且与12互素的
正整数有4个： 1, 5, 7, 11，
所以(12)=4.
精选
21
证明
证 (1) 显然<a1>G. ak∈G， ak=(a1)k <a1>，
因此G<a1>，a1是G的生成元. 再证明G只有a和a1这两个生成元. 假设 b 也是G 的生成元， 则 G=<b>. 由a∈G 可知存在整数 t 使得a = bt. 由b∈G = <a> 知存在整数 m 使得 b = am. 从而得到
n0 n0 n0,nm
群中元素可以定义负整数次幂. 在<Z3, >中有
23 = (21)3 = 13 = 111 = 0 在<Z,+>中有
(2)3 = 23 = 2+2+2 = 6
精选
7
元素的阶
定义10.4 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最小正整数 k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元. 若不存在这样的正 整数 k，则称 a 为无限阶元.
He={e,a}=H, Ha={a,e}=H, Hb={b,c}, Hc={c,b} 不同的右陪集只有两个，即H和{b,c}.
精选
16
实例
(2) 设A={1,2,3}，f1, f2, …, f6是A上的双射函数. 其中 f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}， f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}， f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>} f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}， f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}
(n)成为欧拉函数，例如 n=12，小于或等于12且与12互素的
正整数有4个： 1, 5, 7, 11，
所以(12)=4.
精选
21
证明
证 (1) 显然<a1>G. ak∈G， ak=(a1)k <a1>，
因此G<a1>，a1是G的生成元. 再证明G只有a和a1这两个生成元. 假设 b 也是G 的生成元， 则 G=<b>. 由a∈G 可知存在整数 t 使得a = bt. 由b∈G = <a> 知存在整数 m 使得 b = am. 从而得到
离散数学PPT教学环与域
1.质数阶的群没有非平凡子群,(<{e},*>,<G,*>称为<G,*>的 平凡子群)
2.有限群<G,*>中的任何元素a的阶可整除|G|
证:若aG的阶是r,则{e,a a2, a3 , …,ar-1}是G的子群
3.质数阶的群,一定是循环群
证:设<G,*>为质数阶群
aG,ae
由推论2知:
下一页
a的阶数可整除|G|,但是|G|为质数,所以a的阶数等于群的 阶数, {a,a2,,ar}=G
例2.1)<I,+,>是整环
2)<N4,+4,4>不是整环
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域
二.域
1.域的定义
若代数系统<F,+,>具有 1)|F|>1，
2)<F,+>,<F-{0},>均是阿贝尔群，3)乘法对加法可 分配，则称它是域
2.域的举例
1)I为整数集，<I,+,>不是域，
2)<Q,+,>是一个域,其中Q为有理数集合
证:e e a b c
e eabc
e eabc
e eabc
a abce
a aecb
b ceab
b bcea
c ceab
c cbae
生成元为a
下一页
由拉格朗日定理知：a，b，c的阶只能为2
下一页
四.同态与同余关系
同1.同态余关与系 同余关系
定义:<A,>是一个代数系统,R是A上的等价关系,若<a,b>R, <c,d>R<ac , bd>R，称R是A上的同余关系，此同余关系将A 划分的等价类称为同余类
2.有限群<G,*>中的任何元素a的阶可整除|G|
证:若aG的阶是r,则{e,a a2, a3 , …,ar-1}是G的子群
3.质数阶的群,一定是循环群
证:设<G,*>为质数阶群
aG,ae
由推论2知:
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a的阶数可整除|G|,但是|G|为质数,所以a的阶数等于群的 阶数, {a,a2,,ar}=G
例2.1)<I,+,>是整环
2)<N4,+4,4>不是整环
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域
二.域
1.域的定义
若代数系统<F,+,>具有 1)|F|>1，
2)<F,+>,<F-{0},>均是阿贝尔群，3)乘法对加法可 分配，则称它是域
2.域的举例
1)I为整数集，<I,+,>不是域，
2)<Q,+,>是一个域,其中Q为有理数集合
证:e e a b c
e eabc
e eabc
e eabc
a abce
a aecb
b ceab
b bcea
c ceab
c cbae
生成元为a
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由拉格朗日定理知：a，b，c的阶只能为2
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四.同态与同余关系
同1.同态余关与系 同余关系
定义:<A,>是一个代数系统,R是A上的等价关系,若<a,b>R, <c,d>R<ac , bd>R，称R是A上的同余关系，此同余关系将A 划分的等价类称为同余类
离散数学第六章
6.1.6 循环群和置换群
§循环群 在循环群G=<a>中, 生成元a的阶与群G的阶是一样 的. 如果a是有限阶元, |a|＝n, 则称G为n阶循环群. 如 果a是无限阶元, 则称G为无限阶循环群. 例如: <Z,+>是无限阶循环群; <Z6,>是n阶循环群. 注意:(1) 对9 无限阶循环群G=<a>, G的生成元是a和a-1; (2) 对n阶循环群G=<a>=<e,a,…,an-1>,G的生成元是at 当且仅当t与n互素, 如12阶循环群中, 与12互素的数 有1、5、7、11. 那么G的生成元有a1=a、a5、a7、 a11. (3) N阶循环群G=<a>, 对于n的每个正因子d, G恰好有 一个d阶子群H=<an/d>.
6.1.3 子群
例如, 群<Z6,>中由2生成的子群包含2的各次 幂, 20=e=0, 21=2, 22=22=4, 23=222=0, 所 以由2生成的子群：<2>={0,2,4}.
对于Klein四元群G={e,a,b,c}来说, 由它的每个 元素生成的子群是 <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}
6.1.6 循环群和置换群
§循环群
定义6.7 在群G中, 如果存在aG使得 G={ak|kZ} 则称G为循环群, 记作G=<a>,称a为G的生成元. ☆ 循环群必定是阿贝尔群, 但阿贝尔群不一定 是循环群. 证明: 设<G,*>是一个循环群, 它的生成元是a, 那么,对于任意x,yG, 必有r,sZ, 使得 x=as,y=at, 而且x*y=as*at=as+t=at*as=y*x 由此可见<G,*>是一个阿贝尔群. 例如,<Z,+>是一个循环群, 其生成元是1或-1.
离散数学6.6域的特征
（）若p|n，则nN， 所以， (n)= ne=0 这表明此时e在加群的周期是P。 对于域F而言，P是唯一确定的，只与域F有关，称为域的 特征
6.6.1 域的特征
6、域F中任意非零元在加群中周期也是P
例：剩余环{ 0,1,2,3,4 }之特征为5 。
因为 111110
2 2 2 2 2 4 4 2 3 2 0 3 3 3 3 3 1 1 3 0
4 4 4 4 4 3 3 4 1 4 0
6.6.1 域的特征
7、(定理6.6.1) 任意域F的特征P是零或一质数。 证：若P0， 往证P是质数。 若不然P=hk， 1<h<p ，1<k<p 则 (he)(ke)=(hk)e=pe=0 因域中无零因子，则(he)、(ke) 必有一为零，但P为周期，而k<p，h<p，矛盾
§6.6 域的特征 素域
6.6.1 域的特征
2、设有整数环I，任意域F，则(n)=ne，是I到F内映射 ，其中e是F中乘法单位元，因为 (m+n)=(m+n)e=me+ne=(m)+(n) (mn)=mne=(me)(ne)=(m)·(n)
所以是同态映射。
6.6.1 域的特征
3、 考查映射I→F内，有核N是I的一个理想，又已知整数 环I是主理想环，所以核N是主理想，设这理想由整数 P生成，于是N=(P)=PI。
6.6.1 域的特征
8、上述结果对无零因子环即成立
6.6.1 域的特征
子域：域F的子集按F加、乘运算也构成域，称F的子域
最小子域：设I是F的子域，对于F中任意子域F，IF ，则I叫做F的最小子域。
6.6.1 域的特征
9、当域F特征为质数P时，域F中含最小子域同构于I/PI 证明： 为I→F内的同态映射，核为PI，记同态象为I’
6.6.1 域的特征
6、域F中任意非零元在加群中周期也是P
例：剩余环{ 0,1,2,3,4 }之特征为5 。
因为 111110
2 2 2 2 2 4 4 2 3 2 0 3 3 3 3 3 1 1 3 0
4 4 4 4 4 3 3 4 1 4 0
6.6.1 域的特征
7、(定理6.6.1) 任意域F的特征P是零或一质数。 证：若P0， 往证P是质数。 若不然P=hk， 1<h<p ，1<k<p 则 (he)(ke)=(hk)e=pe=0 因域中无零因子，则(he)、(ke) 必有一为零，但P为周期，而k<p，h<p，矛盾
§6.6 域的特征 素域
6.6.1 域的特征
2、设有整数环I，任意域F，则(n)=ne，是I到F内映射 ，其中e是F中乘法单位元，因为 (m+n)=(m+n)e=me+ne=(m)+(n) (mn)=mne=(me)(ne)=(m)·(n)
所以是同态映射。
6.6.1 域的特征
3、 考查映射I→F内，有核N是I的一个理想，又已知整数 环I是主理想环，所以核N是主理想，设这理想由整数 P生成，于是N=(P)=PI。
6.6.1 域的特征
8、上述结果对无零因子环即成立
6.6.1 域的特征
子域：域F的子集按F加、乘运算也构成域，称F的子域
最小子域：设I是F的子域，对于F中任意子域F，IF ，则I叫做F的最小子域。
6.6.1 域的特征
9、当域F特征为质数P时，域F中含最小子域同构于I/PI 证明： 为I→F内的同态映射，核为PI，记同态象为I’
《离散数学》函数
A
B
C
y=f(x)
z =g( y ) =( g◦f )( x )
x
29
函数的复合
例
– f ： → ，f (x) = x+1， – g ： → ，g(x) = 2x+1, – h ： → ，h(x) = x2+1, g ◦ f (x)=g(f(x)) =2f(x)+1 =2(x+1)+1=2x+3 f ◦ g(x)=f(g(x)) =g(x)+1 =2x+1+1=2x+2 h ◦ g ◦ f (x)=h(g(f(x))) = (2x+3)2+1
20
函数的性质
练习 – f： + → + ， – f(1) = 1，f(n) = n–1 (n>1)
– 单射? – 满射? – 双射?
21
函数的性质
对于有限集合上的函数，有如 下主要结果：
定理 假设 A 和 B 是两个有限集合
且满足 |A| = |B|，则函数 f : AB 是单射当且仅当 f 是满射。
第五章 函数
《离散数学及应用》
第五章 函数
§5.1 函数的定义 §5.2 函数的性质 §5.3 函数的复合 §5.4 逆函数 §5.5 计算机科学中的常用函数 *§5.6 双射函数及集合的势
2
函数
A 和 B 为非空集合 设 f 为 A 到 B 的二元关系, 若对于任意 xDom( f ) 都存在唯一的 yRan( f ) 使得 (x, y)f 成立，则称 f 为函数 (function)。 函 数 也 称 作 映 射 （ mapping ） 或 变 换 （transformation）
教学课件：《离散数学导论(第5版)》徐洁磐
•
从图中可以看出，函数g使得
不但X中的每一个元素xi唯一对应一 个Y中的一个元素yj，而且也只有一 个xi对应yj，也就是说一个像只有
28
§3.2 复合函数、反函数、多
元• 函数
•
（3）两种运算：
•
• 复合运算（复合函数）设函
数f：XY，g：YZ则复合函数h＝gf：
XZ 是一个新的函数。
•
定 义 ： 设 函 数 f ： XY ， g ：
• • 自反闭包 r (R)
• • 对称闭包 s (R）
•
•
传递闭包
t
(R）
• （2）闭i=1 包的公式：
19
§2.6 次序关系
• （7）次序关系
• • 四个定义：
•
偏序关系：X上自反、反对称与
传递的关系称偏序关系
• 并用‘≤ ’表示。
• 拟序关系：反自反、传递的关系 称拟序关系并用‘< ’表示。
• 2）交换律：a ＋ b＝b ＋ a
• 3）分配律：a ＋ （b×c）＝（a ＋ b） ×（a＋ c）
• 4）单位元：a ＋ e＝a
• 5）逆元：a ＋ a－1＝ e
• 6）零元：a ＋ Θ＝Θ
39
§5.3 同构与同态
• （4）同构：（X， ）与（Y，）
存在一一对应函数g : XY使 得如
x1 , x2X，则有 ：g（x1 x2）＝g （x1）g（x2）此时则 称（X, ）与
• • 关系的自反性 • • 关系的反自反性 • • 关系的对称性 • • 关系的反对称性 • • 关系的传递性
17
• （6）六种常用关系
• • 次序关系之一：偏 序关系
• • 次序关系之二：拟 序关系
离散数学环与域详解
设A为有１的环，a∈A，如果a在〈A，·〉中有逆 元，则称a为A中的可逆元．并把a在半群〈A，·〉 中的逆元，称为a在环A中的逆元，用a -1表示． 有１的环A中所有可逆元在乘法运算下构成一个群 （？），该群记为A*，并称为环A的乘法群.
§6.2
整环、除环和域
(1)
6.2.1 零因子 设 <A,,*> 是环，如果存在 a,bA，
am+n = am+an = (m+n)a;
amn = (am)n = n(ma)。
2019/1/15
§6.1
定义及基本性质
(4)
6.1.2 环的性质
（2）假设 e 是<A,+>的单位元，对a,b,cA有：
①a*e=e*a=e
(0*a=a*0=0)
<Z,+, > , +单位元0，是 的零元
2019/1/15
§6.1
定义及基本性质
(4)
6.1.2 环的性质
（2）假设 e 是<A,+>的单位元，对a,b,cA有：
③ a-1 * b-1 = a * b
例<Z,+, > , +单位元0，是的零元
2-1 3-1 = 2 3 =6
2019/1/15
§6.1
定义及基本性质
(4)
<e,e>记为e, <e,a>记为a, <a,e>记为b, <a,a>记为c,
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<K,*>是Klein四元群。K={e,a,b,c};
“.”运算定义如下，则<K,*，.>是环。
离散数学中路径与圈知识点详解
离散数学中路径与圈知识点详解离散数学是计算机科学中的重要基础学科之一，路径与圈是其中的核心概念之一。
在这篇文章中，我们将详细解释路径与圈的概念和相关知识点，以帮助读者更好地理解和应用离散数学中的路径与圈。
一、路径的定义与性质在图论中，路径是指由图中的顶点和边所构成的序列。
形式化地说，路径可以定义为一个顶点的非空序列，其中顶点之间通过边相连。
路径的长度等于路径中边的数量。
路径具有以下性质：1. 路径可以是有向的或无向的，具体取决于图的类型。
2. 在有向图中，路径可以是有向边的序列，顶点之间按照边的方向顺序相连。
3. 在无向图中，路径可以是顶点的序列，顶点之间通过边相连，但没有方向之分。
4. 路径的长度可以通过统计路径中的边数来计算。
二、圈的定义与性质在图论中，圈是指起点和终点相同的路径。
圈也被称为环或回路。
形式化地说，圈可以定义为一个顶点的非空序列，其中起点和终点相同，而且路径中除起点和终点之外的顶点是互不相同的。
圈具有以下性质：1. 圈可以是有向的或无向的，具体取决于图的类型。
2. 在有向图中，圈是有向边的序列，起点和终点相同。
3. 在无向图中，圈是顶点的序列，起点和终点相同，且路径中除起点和终点之外的顶点不重复。
4. 圈的长度等于圈中边的数量。
三、路径与圈在离散数学中的应用路径与圈在离散数学中有广泛的应用，特别是在图论、网络分析和算法设计中。
以下是路径与圈常见的应用场景：1. 最短路径问题：在给定图中寻找两个顶点之间的最短路径。
最短路径算法，如迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法，就是基于路径的概念来设计的。
2. 图的连通性：路径与圈可以帮助我们判断一个图是否连通，即是否存在路径或圈连接图中的所有顶点。
3. 图的环路检测：通过检测图中是否存在圈，可以判断图是否有环。
在拓扑排序和关键路径分析中，环路检测是一个重要的步骤。
4. 调度问题：路径与圈可以用来解决任务调度问题，如在工厂中优化生产流程，或在计算机网络中优化数据传输路径等。
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即使子环有壹，其壹未必与大环的壹 一致.
见教材224页矩阵环的例子。
消去环
定义. 若R是环，a，b ∈ R，如果a≠0，
b≠0，但ab=0，则称a，b为零因子。如 果R没有这样的元素，则说R无零因子。 无零因子的环称为消去环。
例. 整数环是消去环，矩阵环不是消去环，
0 1 1 0 0 0 有零因子。比如， 0 0 0 0 0 0
1适合对任意a R，
1a = a1 = a
则称R为含壹环。
例. 整数环为含壹环，所有偶数在数 的加法和乘法下作成的环不是含壹环。
含壹环性质
性质9 含壹环R的壹是唯一确定的。 性质10 设环R有1，则1≠0。 性质11 任意环R均可扩充成一个含壹环R+。
证明：若1、1′为R的两个壹，则1′=11′=1。
四元数体--是体但不是域的例
四元数
取三个符号i，j，k，以实数a，b，c，
d为系数而作形式的线性组合 a + bi + cj + dk。
四元数间运算的规定：
（1）加法运算 (a1 + b1i + c1j + d1k)+(a2 + b2i + c2j + d2k) =(a1 + a2)+(b1 + b2)i+(c1 + c2)j+(d1+d2)k。
因此，m=n。
由b的任意性知，在消去环R中，不为0的元素
在加法下的周期都与a的周期相同。
消去环的性质
性质14
在消去环R中，不为0的元素在加法下的
周期或为0或为质数。 证明：设a∈R，a≠0，且a的周期为n，故 na = 0。 (1) 若n=0，则得证。 (2) 否则，只需证n是质数。
消去环的性质
n2≠1。故1<n1 <n，1<n2<n。 显然， n1a， n2a ∈ R，由a的周期为n知，
用反证法。设n不是质数，则n = n1n2， 且n1≠1，
n1 a≠0，n2a≠0。而
（n1 a）（n2a） = （n1 n2）（a a）
= （na）a = 0 a = 0，
故n1 a，n2a为零因子，与R无零因子矛盾。
由R中不只有一个元素，知R*非空。
任取 a,b∈R* ，即 a≠0 ， b≠0 ，由 R 无零因子，知 ab≠0 ， 即ab∈R*。
由环 R 对乘法适合结合律知 ,R* 对乘法亦适合结合律。
由R无零因子知，R*中消去律成立。
由R有限，知R*有限。
所以环R中所有非零元做成乘法群，因而是体。
（2）乘法运算：
先规定i，j，k之间的乘法： i2 = j2 = k2 = -1,ij = k,jk = i,ki = j；ji = -k,ik = -j,kj = -i。 四元数相乘--按组合律展开再化去i，j，k的乘积而且并项 （a1+b1i+c1j+d1k）（a2+b2i+c2j+d2k） = a1a2 + a1b2i + a1c2j + a1d2k+ b1a2i - b1b2 + b1c2k - b1d2j + c1a2j - c1b2k - c1c2 + c1d2i+ d1a2k + d1b2j - d1c2i - d1d2 = a1a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2 +（a1b2 + b1a2 + c1d2 - d1c2）i +（a1c2 + c1a2 + d1b2 - b1d2）j+（a1d2 + d1a2 + b1c2 - c1b2）k
环的性质
性质6
am+n=aman，（am）n=amn。
性质7 在交换环中，有第三指数律： （ab）n=anbn。
性质8 在交换环中二项式定理成立：
2
(a+b)n = an + nan-1b + n(n 1) an-2b2 + … + bn。 用数学归纳法证明.
含壹环
如果环R不只有一个元素而且有一个元素
6.6.2 环 的 性 质
性质1 用数学归纳法，分配律可 以推广如下： a（b1+…+bn）=(ab1) +…+(abn) ，
m n
（a1+…+am）b= (a1b)+…+(amb)，
a b a b
i 1 i j 1 j i i, j j
环的性质
性质2
a（c-b）=(ac)-(ab)，
整区。
例. 实数域上的所有n阶矩阵在矩阵的加法与乘
法下作成的n阶矩阵环不是整区：不是交换环，不
是消去环。
例. 整数模4的所有剩余类集合Z4在剩余类加法
与乘法下作成一个有壹的交换环，但不是整区：
不是消去环。
体
体 设R为环，如果去掉0，R的其余元素作成一个乘法
群，则称环R为体。
理解体的定义：
是含壹环（至少两个元素） 、消去环，任意非零元素
结论： R 本身以及 {0} 是 R 的两个平凡子环。
定理6.6.1 只要，
环R的子集S作成子环必要而且
（1） S非空；
（2） 若a∈S，b∈S，则a-b∈S;
（3） 若a∈S，b∈S，则ab∈S。
子环与大环的关系
对于环来说，若大环有壹，子环未必 有壹.
如，整数环含1，但其子环偶数环不含1。
由R是整区，知R*非空：1∈R* 。 任取a,b∈R*，即a≠0，b≠0，由R无零因子，知ab≠0， 即ab∈R*。
由环R对乘法适合结合律知 ,R*对乘法亦适合结
合律。
R*有乘法单位元1。
任取 a∈R* ，由 R 无零因子知， R* 中消去律成
立，再由 R* 有限，知 aR*=R* 。由 1∈R* ，知 1∈aR*，即有ak ∈R*，使得aak=1，即每个非 零元在乘法下有逆。 所以有限整区中非零元做成乘法群，因而是体，
域
交换体
域
理解域的定义：
是含壹环（至少两个元素）、消去环、交换环
想证明(R,+,•）是域，需要证明：
（R,）是Abel群；（R*,•）是Abel群；
•对+有分配律。
在域中每一个非零元素都具有两个与之相联
系的周期，一个是在加法群中的加法周期，一 个是在乘法群中的乘法周期。
例.
有理数域、实数域、复数域都是域。
消去环的性质
性质12 环R是消去环 iff R中消去律成立。
证明：必要性。如果a≠0,且ab = ac,那么 ab-ac = 0,即 a（b-c）= 0。因环R中无零因子, 而a≠0,故必有 b-c= 0，即b = c，因此，左消去 律成立，同理可证右消去律也成立。
充分性。设消去律成立，即由a≠0,ab = ac可
环的性质
性质4
a（-b）= -（ab），
（-a）b = -（ab），（-a）（-b）=ab。 证明：由性质2，令c=0，即得
a（-b）= -（ab），（-a）b = -（ab）。
因此，
（-a）（-b） =-((-a)b)= -（-（ab））=ab。
性质5
对任意整数m，都有
a（mb） = （ma）b = m（ab）。
在上面加法和乘法之下，所有四元数作成一个环：
加法Abel群，乘法半群，乘对加有分配律。
有壹： 1+0i+0j+0k
任意非0四元数有逆。 û= a – bi – cj - dk
设四元数u = a +bi + cj + dk，定义其共轭四元数为
（c-b）a=(ca)-(ba)。
证明：由a（c-b）+(ab)=a（c-b+b）=ac，
得a(c-b)=(ac)-(ab)。同理，(c-b)a=(ca)-(ba)。
性质3
a0=0，0a=0。
证明：由性质2，令b=c=0，得
a（0-0）=(a0)-(a0)=0，（0-0）a=(0a)-(0a)=0， 即,a0=0，0a=0。
§6.6 环
6.6.1 环 的 定 义 6.6.2 环 的 性 质
6.6.1 环 的 定 义
设R是一个非空集合, 其中有加“+”、乘“• ”两 种 二元代数运算，称（R,+,• ）为一个环，如果 1) a+b=b+a， 2) a+（b+c）=（a+b）+c， 3) R中有一个元素0，适合a+0=a， 4) 对于R中任意a,有-a, 适合a+（-a）=0， 5) a • （b • c）=（a • b） • c， 6) a • （b+c）=(a • b)+(a • c)， （a+b） • c=(a • c)+(b • c)。
在乘法下有逆，未必是交换环，因此未必是整区。
想证明(R,+,•）是体，需要证明：
（R,+）是Abel群;（R*,•）是群; •对+有左右分配律。
例. 整数环不是体。有理数环、实数环、复数环都是体。
可见，整区未必是体。
结论：假定R是无零因子的有限环，且不只有一个元素， 则R必是一个体。 证明：只需证明环R中所有非零元做成乘法群。
因此，原假设不对，n是质数。