环的定义及性质
环的定义名词解释是什么
环的定义名词解释是什么环的定义及名词解释是什么引言环是我们周围无处不在的存在，它包围着我们的生活，无论是大自然中的环境，还是人类社会中的社交网络，环都扮演着重要的角色。
本文将解释环的定义，同时探索环在不同领域中的意义和作用。
一、环的定义环，通常指生物学上的自然环境，也可以指社会学中的社交环境，更广义上的环还可以包括物理学中的环境、地理学中的环境等等。
环的定义可以根据不同领域和学科的角度而有所不同，但总体上来说，环是一个包含各种要素的系统。
二、生物学中的环在生物学中，环是指生物体所在的自然环境，包括生物体周围的物理性质、生化性质、气候特征、地理位置等因素。
生物体所处的环境不仅影响着其个体生存和繁衍的能力，也对其行为和进化起到重要的影响。
环境和生物体之间的互动关系被认为是生态系统的基础。
三、社会学中的环在社会学中，环是指个体所处的社交环境，包括个体与其他人之间的关系、社会结构、文化背景等因素。
社交环境在塑造一个人的价值观、习惯和行为方式方面起着关键作用。
社会学家认为，个体无法单独存在，其存在始终受到社交环境的制约与影响。
四、环在物理学中的意义在物理学中，环可以指代一个物体周围的空间或路径，比如原子轨道上的电子的运动路径。
物理学家通过研究环的形态和特性，可以揭示物质世界的规律和性质。
这种环的概念在理论物理学和量子力学等领域中具有重要意义。
五、环在地理学中的意义在地理学中，环指的是地球上的自然和人文要素之间的相互关系和影响。
地球是一个复杂的生态系统，各种要素相互作用，形成地球的不同环境。
研究地球的环境可以帮助我们更好地了解我们所居住的星球，同时也促进了对环境保护和可持续发展的认识。
六、总结环是一个涵盖各种要素的系统，其定义因学科和领域的不同而有所变化。
生物学中的环指的是生物体所处的自然环境，社会学中的环是指个体所处的社交环境，而物理学和地理学中的环则分别指的是物质世界和地球上的各种要素之间的相互关系。
了解和研究环的意义和作用，有助于我们更好地把握周围环境，并为保护和改善环境做出积极贡献。
3.1环的定义和基本性质
Z /(n) {0,1,, n 1}
定义加法和乘法： a b a b, a b ab 则（Zn，+，）是一个环，且为可换环，称为整 数模n的剩余类环。
例6．对Klein四元群K4={e,a,b,c},再定义乘法如下
· e a e e e a e a b e e c e a
后，我们把数集关于数的加法和乘法做成的环，叫
做数环。（Q,+, ）（R,+, ）（C,+, ）
例2．设Z（i）={ a+bi | a,b∈Z, i2=-1 }，则Z（i） 对复数的加法和乘法构成环，称为高斯整数环。 例3．实数域R上的全体n阶方阵的集合
M n ( R) {(aij ) nn aij R}
第三章 环与域论
Chapter 3 Ring Theory and Field Theory
上一章讨论了具有一个二元运算的代数结构— 群，本章讨论具有两个二元运算的代数结构——环 与域。首先介绍环与域的基本概念，然后分别讨论 环与域的性质。它的许多基本概念与理论都是群的 相应内容的推广。同时也有一些特殊的问题，如因 子分解定理等。因此在学习中要随时与群的相应概 念和理论进行比较，既起到复习前面内容的作用， 又对学习新知识有所帮助。
显然，他们都是Z18的子环，所以Z18有6个子环.
b
c
e
e
b
c
e
e
b
c
不难验证 （K4，+， ）是一个环。
3.1.2 环的基本性质(Basic Property of Ring)
由环的定义，不难得到环内的一些特殊元和性质。 设（A,+, ）是一个环，加群（A,+）中的单位元通 常记作0，称为零元；元素a在加群中的逆元记作-a, 称为负元。环A中的单位元指乘法半群（A, ）的单位 元，记作1。环A中的元素a的逆元是指a在乘法半群中 的逆元，记作 a -1 。即： 加群（A,+）：单位元—零元0；a的逆元—负元-a； 环（ A,+,）：单位元---1 ； a的逆元— a -1 。
环的工艺原理及应用
环的工艺原理及应用一、环的定义和分类•环是指一个闭合的曲线形状，由连续的线段组成。
在几何学中，环也叫圆环，通常由内圈和外圈组成。
•环可以分为平面环和立体环。
平面环是指在一个平面内构成的环，如圆环、椭圆环等；立体环是指在三维空间内构成的环，如环形管道等。
二、环的基本原理环的基本原理是由圆的几何性质推导出的。
1. 圆的周长公式：$C = 2\\pi r$，其中C表示圆的周长，$\\pi$表示圆周率，r表示圆的半径。
2. 圆的面积公式：$A= \\pi r^2$，其中A表示圆的面积。
3. 环的周长和面积：环的周长等于内圈的周长加上外圈的周长，环的面积等于外圈的面积减去内圈的面积。
三、环的制造工艺环的制造工艺因材料和应用不同而有所差异，下面介绍常见的环的制造工艺。
1. 金属环的制造工艺•材料选择：金属环常用的材料包括钢、铝、铜等。
选择材料时需要考虑环的应用环境、载荷要求等因素。
•切割：使用切割设备，按照设计要求将金属板材切割成合适大小的环形片。
•成型：将切割好的金属环形片进行成型处理，常用的方法包括翻边、冲压等。
•焊接：需要的话，可以通过焊接将金属环的两端连接起来，增强环的结构刚性。
2. 橡胶环的制造工艺•材料选择：橡胶环一般采用橡胶材料，如丁腈橡胶、硅橡胶等。
•混炼：将橡胶原料与添加剂进行混炼，使其达到适合成型的状态。
•成型：将混炼好的橡胶料进行成型，常用的方法包括挤出、压延、注射等。
•硫化：对成型好的橡胶环进行硫化处理，使其具备一定的强度和弹性。
3. 塑料环的制造工艺•材料选择：塑料环常用的材料包括聚乙烯、聚氯乙烯等。
•制模：根据设计要求，制作合适的注塑模具。
•注塑：将塑料料粒加热融化后注入模具中，在高压下使其充满模腔，冷却固化后取出成型。
•后处理：将成型好的塑料环进行修整、清洁等处理，使其达到要求的尺寸和表面质量。
四、环的应用领域环的应用领域广泛，下面列举几个常见的应用领域。
1. 机械行业•轴承密封：将环用于轴承中，可以起到密封和保护轴承的作用。
高等代数环的定义与性质
一、 环的定义与基本性质（一） 环的定义:1、 定义1:交换群称为加群(Aβελ群),其运算叫做加法,记为“+”。
2、 定义2:代数系统),;A (⋅+称为环,若1)(A,+)就是加群;2)代数系统);A (⋅适合结合律;3)乘法);A (⋅对加法+的分配律成立。
3、 例子(1)),;Z (⋅+、),;Q (⋅+、),;R (⋅+、),;C (⋅+都就是环,均称为数环。
(2)Z[ι] ={α+βι | α、β∈Z,ι2=－1 },则),];i [Z (⋅+也就是数环,称之为高斯整环。
(3)设Φ就是任一数环,则Φ[ξ]关于多项式加法与乘法作成一个多项式环。
(4)Z ν={所有模ν剩余类},则),;Z (n ⋅+就是模ν剩余类环,这里[α]＋[β] = [α+β],]b []a [⋅ = [αβ].(5)设(A,＋)就是加群,规定乘法如下:,A b ,a ∈∀αβ=0,则),;A (⋅+作成一个环,称之为零环。
(二)环的基本性质:(1)0x a a x =⇒=+。
(2)a x x a -=⇒=+0。
(3)c b c a b a =⇒+=+。
(4)nb na )b a (n +=+。
(ν为整数)(5)na ma a )n m (+=+。
(μ、ν为整数)(6))na (m a )mn (=。
(μ、ν为整数)(7),A a ∈∀ 000=⋅=⋅a a 。
(8)ab )b (a b )a (-=-=-。
(9)ab )b )(a (=--。
(10)ac bc c )a b (,ac ab )c b (a -=--=-。
(11)j m i n j i n j j m i i b a b a ∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111 。
(12))ab (n )nb (a b )na (==。
(ν为整数)。
(13)若环中元a 、b 满足ba ab =,则()k n k nk k n n b a C b a -=∑=+0 (14)mn n m n m n m a )a (,a a a ==⋅+。
环和交换环
环和交换环全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：环和交换环是代数学中的重要概念，对于代数结构的研究有着重要的意义。
环是一个广泛研究的数学结构，满足一定条件的代数系统通常可以被看作是环的某种特例。
而交换环是一种特殊的环，其乘法运算满足交换律。
在代数学中，环和交换环是重要的基础概念，对于理解代数结构和代数运算起着关键的作用。
首先我们来看一下环的定义。
环是一个集合，其上定义了加法和乘法两种二元运算，并且满足以下条件：对于任意的a、b、c∈R（R为环），满足加法封闭性、加法结合律、加法交换律、存在加法单位元素、存在加法逆元素、乘法封闭性、乘法结合律和分配律等八个性质。
这些性质保证了环是一个良好定义的代数结构，可以进行有意义的代数运算。
而交换环是一个乘法交换的环，即乘法满足交换律。
这使得交换环在一些代数运算中更加简单和方便，也有助于简化一些运算的证明。
许多我们熟悉的代数结构，比如整数环（Z）、有理数环（Q）、实数环（R）和复数环（C）等，都是交换环。
在代数学的研究中，交换环是一个非常重要的研究对象，具有广泛的应用价值。
环的研究不仅仅局限于基本的定义和性质，还扩展到了更为深入和抽象的层面。
比如理想（ideal）是环中一个附加的子集合，满足对环的加法和乘法封闭性，并且满足左右吸收律。
理想是环的一个重要概念，可以帮助我们理解环的结构和性质。
环同态（ring homomorphism）和环同构（ring isomorphism）也是环研究中的重要概念，它们描述了环之间的映射和一一对应关系。
环同态和环同构是研究环之间关系的重要工具，有助于我们理解环的结构和性质。
环论（ring theory）作为代数学的一个分支，研究的内容非常广泛，涉及到代数结构、理想、同态、同构、模论等众多重要概念。
环论不仅在抽象代数学中有重要应用，而且在许多其他数学领域，比如几何学、数论、代数拓扑学等都有广泛的应用。
环论的发展不仅推动了代数学的发展，也对整个数学领域起着积极的促进作用。
六年级环形知识点
六年级环形知识点环形是数学中一个重要的几何概念，它在六年级的数学学习中扮演着重要的角色。
本文将围绕六年级环形的基础知识进行探讨和论述。
一、环形的定义环形是由两个同心圆和它们之间的部分组成的图形。
其中，外圆称为大圆，内圆称为小圆。
我们可以通过环形的直径和半径来描述它的大小。
二、环形的性质1. 同心圆性质：环形中两个同心圆的直径和半径相等。
2. 弦性质：环形内任意一条弦都小于环形的直径。
3. 弧性质：环形内任意一条弧都小于环形的周长。
三、环形的计算1. 环形的周长：环形的周长等于大圆周长减去小圆周长。
周长 = （大圆周长 - 小圆周长）2. 环形的面积：环形的面积等于大圆面积减去小圆面积。
面积 = （大圆面积 - 小圆面积）四、环形与扇形在环形中，若将环形的一部分扇形划分出来，我们也可以研究扇形的性质。
1. 扇形的定义：扇形是由一条弧和两条半径组成的图形。
2. 扇形的周长：扇形的周长等于弧长加上两条半径的长度。
周长 = （弧长 + 2 * 半径）3. 扇形的面积：扇形的面积等于弧长所占的环形的比例乘以环形的面积。
面积 = （弧长 / 环形周长） * 环形面积五、解题技巧在解题过程中，我们可以运用一些技巧来帮助我们更好地理解和解决环形相关的问题。
1. 确定已知量：要先清楚已知的环形数据，如直径、半径、周长等。
2. 运用公式：根据题目所给的已知条件，灵活运用环形和扇形的周长和面积公式。
3. 注意单位：在计算环形的周长和面积时，要注意保持一致的单位，如厘米、米等。
六、实例分析为了更好地理解环形的知识点，我们来看一个实例分析。
例题：已知一块铁丝围成的环形的直径为8厘米，小圆的面积为36平方厘米，求这块铁丝围成的环形的面积。
解析：根据已知条件，我们可以计算出小圆的半径为3厘米（小圆半径= √小圆面积÷ π）。
由于直径为8厘米，因此大圆的半径为4厘米（大圆半径 = 直径 ÷ 2）。
然后，根据环形面积的计算公式，我们可以得到环形的面积为（π * 4^2）-（π * 3^2）= 16π - 9π = 7π平方厘米。
环的理想与商环的概念与性质
环的理想与商环的概念与性质环是数学中常见的一个概念，它在代数学和离散数学中有着重要的应用。
与环相关的概念之一是环的理想，另一个概念是商环。
本文将对环的理想与商环的概念与性质进行探讨。
一、环的理想在代数学中，环是一种代数结构，它包含了两个二元运算，加法和乘法，以及满足一定公理的一组元素。
对于一个环R，如果存在一个子集I，满足以下条件：1. I是R的一个子环；2. 对于任意的r∈R，i∈I，ri和ir都属于I；那么我们称I为环R的理想。
简而言之，理想是一个环的子环，并且对于环中的元素和理想中的元素进行乘法运算后的结果仍然属于该理想。
理想的一个重要性质是正规性。
如果一个理想I对于任意的r∈R和i∈I都满足ri和ir属于I，那么称该理想为正规理想。
正规理想常常在商环的概念中起到重要作用。
二、商环的概念商环是在给定一个环R和一个正规理想I的情况下构造出来的一个新环，记作R/I。
商环中的元素是模掉理想I后剩余类的集合。
具体而言，对于环R中的一个元素a，记A={a+i | i∈I}，其中a+i 表示元素a与I中的任意一个元素i的和。
那么A是R的一个等价类，称为元素a在商环R/I中的剩余类。
商环的加法和乘法分别定义为：1. (a+I) + (b+I) = (a+b)+I；2. (a+I) × (b+I) = (ab)+I；商环R/I满足环的公理，并且在加法和乘法的定义下构成一个环。
它的零元素是I，单位元素是1+I。
三、商环的性质1. 商环的结构：如果R是一个环，I是R的一个正规理想，那么商环R/I也是一个环。
事实上，商环R/I满足了环的公理。
2. 商环的同态性：如果f：R→S是一个环同态，且K是R的一个理想，那么f(K)是S的一个理想，并且R/K与f(R)/f(K)同构。
3. 商环的性质：商环R/I有一些特殊的性质。
例如，如果R是一个可除环，那么商环R/I也是可除环。
4. 商环的同构：如果R是一个环，I是R的一个正规理想，那么R/I 与(R/m)的商环同构，其中m是R中包含I的最小的理想。
群、环、域的基本概念与性质
群的同态与同构
群的同态
设$(G,cdot)$和$(H,*)$是两个群，如果存在一个映射$varphi:Gto H$，使得对于任意两 个元素$a,bin G$，都有$varphi(a*b)=varphi(a)cdotvarphi(b)$，则称$varphi$为从 $(G,cdot)$到$(H,*)$的一个同态映射。
群的同构
如果同态映射$varphi:Gto H$既是单射又是满射，则称$varphi$为从$(G,cdot)$到 $(H,*)$的一个同构映射，此时称群$(G,cdot)$和$(H,*)$是同构的。
同态核
设$varphi:Gto H$是一个同态映射，称集合${ain G|varphi(a)=e_H}$为$varphi$的核， 记作$kervarphi$。其中$e_H$是群$(H,*)$的单位元。同态核是群$(G,cdot)$的一个正规 子群。
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域在代数几何中的应用
代数曲线与曲面
域上的多项式环与代数曲线、曲面密切相关， 是代数几何的基本研究对象。
有限域上的代数几何
有限域上的代数几何在密码学、编码理论等领 域有广泛应用。
域扩张与Galois理论
域的扩张与Galois理论是代数几何中的重要工具，可用于研究代数方程的可解 性等问题。
THANKS
子环、理想与商环
子环
设$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子集，若$S$对$+$和$*$也构 成环，则称$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子环。
理想
设$I$是环$R$的子集，若$I$对加法构成阿贝尔群，且对 于任意$rin R$和任意$iin I$，有$r*iin I$和$i*rin I$，则 称$I$是环$R$的理想。
环的基本概念和性质
环的基本概念和性质环是一种非常基础的代数结构，它涉及了许多数学分支中的重要概念和方法。
其中，环的基本概念和性质是最为基础和重要的部分，被广泛应用于许多领域，如数论、几何、代数学等。
本文将从环的定义、基本性质、构造、同态等方面进行阐述，希望能够为读者提供一个全面而清晰的认识。
一、定义环是一个集合R，具有两个二元运算“+”和“×”，满足以下条件：1. R关于“+”构成一个Abel群，其中“+”表示加法运算；2. R关于“×”封闭，即对于任意的a,b∈R，都有a×b∈R；3. “×”满足分配律，即对于任意的a,b,c∈R，都有a×(b+c)=a×b+a×c和(b+c)×a=b×a+c×a。
这就是环的基本定义。
其中第一点说的是集合R按照加法运算构成了一个Abel群，这表明加法是一个满足结合律、交换律、存在零元素和存在逆元素的运算。
第二点说的是集合R按照乘法运算封闭，这是乘法必须满足的条件。
第三点则表明乘法运算在加法运算之间具有分配律。
二、基本性质由于环是集合和运算的关系，因此我们可以从两方面来探讨环的基本性质，即关于集合和运算两个方面。
1. 关于集合方面，有以下性质：（1）环的元素个数可以有限，也可以无限；（2）零元素在环中是唯一的，表示为0；（3）任意一个非零元素都有唯一的逆元素；（4）环可以是交换的或非交换的。
其中，零元素在环中的唯一性保证了加法是有意义的，任意一个非零元素都有逆元素则表明乘法的可逆性。
2. 关于运算方面，有以下性质：（1）加法是满足结合律、交换律、存在零元素和存在逆元素的运算；（2）乘法是满足结合律和分配律的运算；（3）加法和乘法的交换律可以有，也可以没有；（4）对于任意元素a∈R，有a×0=0×a=0。
这些性质是环的基本性质，它们保证了环的存在和基本运算的合理性。
第三章 环与域
注 1) R 中左零因子和右零因子这两个概念是彼 此依赖,彼此依托 —“共存亡”:有左零因子 有右零因子.
由上可知,欲说明 a 0 是左零因子,则只需 证明存在 b 0 使 ab = 0. 欲说明 a 0 不是左 零因子,则只需证明任一个 b 0 都有 ab 0(或 一旦 ab = 0 b = 0).
证毕. 定义3 如果环 R 中有元素 e, 它对R 中每个 元素 a 都有e a = a,则称 e 为环 R 的一个左单位 元;如果环 R 中有元素 e,它对 R 中每个元素 a 都有 ae = a,则称 e 为环 R 的一个右单位元.
6
环 R 中既是左单位元又是右单位元的元素, 叫做 R 的单位元. 实际上,由于环 R 对其乘法显然作成一个半群， 故 R 的左,右单位元或单位元也是该半群的左,右 单位元或单位元. 例3 证明:集合 M 的幂集 P(M) 对运算 A + B = A∪B A ∩ B AB = A ∩ B A, B M 作成一个有单位元的交换环.这个环称为 M 的幂集环. 证明：显然,上述加法是P(M)的代数运算且满足 交换律;又显然空集是 P(M) 的零元，而 A 的负元为 A 自身. 因此,欲证 P(M ) 作成加群只剩下证该代数 运算满足结合律.
17
对没有零因子的环 R 中任意元素 a 0 , b, c 有 ab = ac b = c
ba = ca b = c
,左消去律成立; ,右消去律成立.
推论 当环 R 无左(或右)零因子时,则消去律 成立;反之,若 R 中有一个消去律成立,则 R 中无 左及右零因子,且另一个消去律也成立. 定义2 无零因子、有单位元的交换环称为整环.
n m n m
a )( b ) a b
环的同态映射
环的同态映射在代数学中，环是一种重要的代数结构，它由一个非空集合和两个运算（加法和乘法）组成。
同态映射是保持运算结构的映射，它在环论中起着重要的作用。
本文将介绍环的同态映射及其性质，以及同态映射在环论中的应用。
一、环的定义与性质环是一个满足特定条件的代数结构。
一个环由一个非空集合R和两个二元运算“+”和“·”组成，满足以下条件：1. R关于“+”构成一个交换群；2. R关于“·”满足结合律；3. R关于“·”满足分配律。
在环中，加法运算“+”是交换的，且存在一个零元素0，使得对于任意元素a，有a+0=0+a=a。
乘法运算“·”不一定是交换的，但满足结合律。
同时，环中的乘法也满足分配律，即对于任意元素a、b、c，有a·(b+c)=a·b+a·c。
二、同态映射的定义与性质同态映射是保持运算结构的映射，它将一个环映射到另一个环，并保持环的加法和乘法运算。
具体地说，设有两个环R和S，它们的加法运算分别为“+R”和“+S”，乘法运算分别为“·R”和“·S”。
若存在一个映射f：R→S，满足以下条件：1. 对于任意元素a、b∈R，有f(a+b)=f(a)+f(b)；2. 对于任意元素a、b∈R，有f(a·Rb)=f(a)·Sf(b)；则称f为从环R到环S的同态映射。
同态映射保持了环的加法和乘法运算，即通过同态映射，环R中的运算结果在环S中保持不变。
同态映射还具有以下性质：1. 同态映射保持零元素：对于任意元素a∈R，有f(0R)=0S；2. 同态映射保持乘法单位元：对于任意元素a∈R，有f(1R)=1S；3. 同态映射保持逆元素：对于任意元素a∈R，有f(-a)=-f(a)；4. 同态映射保持子环：若R中存在一个子环H，那么S中存在一个子环f(H)。
三、同态映射的应用同态映射在环论中有广泛的应用。
以下是同态映射的几个典型应用：1. 同态核与同态定理：同态核是同态映射的一个重要概念，它是使得同态映射为零的元素的集合。
近世代数课件(全)--3-1-环的定义与性质
,则
n
n
(1) a( ai ) aai
i 1
i 1
n
n
(2) ( ai )a aia
i 1
i 1
n
m
nm
(3) ( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
(4) (ma)(nb) (mn)ab
2020/9/27
三、子环
定义4 若环 R 的非空子集 S 关于环 R 的加法与乘法也做成环，称 S 为 R 的子环
3.除环和域
定义 8 设 R 为有单位元 1R 的环,
a( 0) R ,如果存在 b R ,使得
,则称
a
为
ab ba 1R R 的可逆元,并称
b
为
a
的逆元.
•若a 可逆, 则 a 的逆元唯一, 且 a 的逆元也可逆.可逆元 a 的唯一的
逆元记作 a1 ,且 (a1 )1 a.
2020/9/27
两个消去律成立.即设 a, b, c R, b 0
,如果 ab cb 或 ba bc ,则 a c.
2020/9/27
2.整环 定义 7 一个交换的,有单位元 1R 且
1R 0 的无零因子环 R 称为整环.
例 6 整数环, 高斯整环 都是整环, 而偶数环为 无零因子环.
2020/9/27
2020/9/27
不是左零因子也不是右零因子的元素， 叫做正则元.
2020/9/27
例5
设 M M2(R),
A
1 0
1 0
,
B
1 1
1
1
都是 M 的非零元,而 AB 0 ,所以 A, B
分别为 M 的左右零因子.
环、域及其扩张的定义及应用
环、域及其扩张的定义及应用数学中环和域是两种常见的代数结构，它们在各种领域中有着广泛的应用。
在本文中，我们将对环、域及其扩张的定义及应用进行深入探讨。
一、环的定义环是一个满足以下四条性质的代数结构：1.加法交换律：对于任意的a、b∈R，有a+b=b+a。
2.加法结合律：对于任意的a、b、c∈R，有(a+b)+c=a+(b+c)。
3.零元存在：存在一个元素0∈R，使得对于任意的a∈R，有a+0=0+a=a。
4.加法逆元存在：对于任意的a∈R，存在一个元素-b∈R，使得a+b=b+a=0。
其中，R表示环的集合，+表示环内的加法。
二、域的定义域是一个满足以下四条性质的代数结构：1.加法交换律：对于任意的a、b∈F，有a+b=b+a。
2.加法结合律：对于任意的a、b、c∈F，有(a+b)+c=a+(b+c)。
3.零元存在：存在一个元素0∈F，使得对于任意的a∈F，有a+0=0+a=a。
4.加法逆元存在：对于任意的a∈F，存在一个元素-b∈F，使得a+b=b+a=0。
另外还需要满足以下两个性质：5.乘法交换律：对于任意的a、b∈F，有ab=ba。
6.乘法可逆性：对于任意的a∈F且a≠0，存在一个元素a-1∈F，使得aa-1=a-1a=1。
其中，F表示域的集合，加法和乘法分别用+和*表示。
三、环和域的应用环和域是代数学中最基本的概念之一，它们在生活中和各个学科中都有着广泛的应用。
在计算机科学中，环和域与计算机安全和编码有着密切的联系。
例如，加密算法中的密钥就采用了有限域的概念，而在编码理论中，环和域是研究编码和纠错技术的基础。
在物理学中，环和域的概念也有着广泛的应用。
例如，在量子力学中，对于一个系统的可观测量，其取值范围可以用一个域来描述。
在经济学中，环和域也有着广泛的应用。
例如，在金融领域中，利用有限域可以实现数字签名和身份认证等安全技术。
总之，环和域作为代数学领域的基本概念，在各个学科中都有着广泛的应用。
近世代数课件(全)--3-1-环的定义与性质
,如果 ab cb 或 ba bc ,则 a c.
2024/7/18
2.整环 定义 7 一个交换的,有单位元 1R 且
1R 0 的无零因子环 R 称为整环.
例 6 整数环, 高斯整环 都是整环, 而偶数环为 无零因子环.
2024/7/18
例7
Z 的可逆元仅有1, -1;
2Z 由于没有单位元,所以它没有可逆元.
例 8 A Mn( K ) 可逆当且仅当 | A | 0. 例 9 试求高斯整环 Z[i] 的可逆元. 解 可逆元只有 1, 1, i, i
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定义9
设 R 是有单位元的环,且 1R 0 .如果 R 中每个非零元都可逆,则称 R 为除环.
,则
n
n
(1) a( ai ) aai
i 1
i 1
n
n
(2) ( ai )a aia
i 1
i 1
n
m
nm
(3) ( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
(4) (ma)(nb) (mn)ab
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三、子环
定义4 若环 R 的非空子集 S 关于环 R 的加法与乘法也做成环，称 S 为 R 的子环
同样,有理数集,实数集,复数集关 于数的加法与乘法构成有单位元 的交换环
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定理1
设 R 是一个环,如果 R 有单位元,则
单位元是唯一的.
R 的单位元常记作 1R .
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二、环的性质 性质1. 规定减法:
a b a (b),a, b R
，则有移项法则:
几何形状认识圆环
几何形状认识圆环圆环是一种几何形状，它由两个同心的圆形构成，内圆的半径小于外圆的半径。
圆环在日常生活中十分常见，被广泛应用于各个领域。
本文将介绍圆环的定义、性质以及应用。
一、定义圆环可以用以下方式来定义：它是由两个同心圆围成的平面图形。
其中，内圆称为内环，外圆称为外环。
内环和外环之间的距离称为环宽。
二、性质1. 圆环的面积计算圆环的面积可以通过内圆和外圆的半径来计算。
设内圆的半径为r1，外圆的半径为r2，那么圆环的面积A的计算公式为：A = π(r2^2 - r1^2)，其中π取近似值3.14。
通过这个公式，我们可以方便地计算圆环的面积。
2. 圆环形状的特点由于圆环有两个同心圆构成，所以它具有以下特点：- 圆环的中心点与内外圆的中心点重合，所以同心圆的中心点也是圆环的中心点。
- 圆环的内外圆的半径不相等，即内圆的半径小于外圆的半径。
- 圆环的环宽是内圆和外圆之间的距离，可以通过计算两个圆的半径差得到。
- 圆环的内外圆的周长都是由圆周公式计算得出：C = 2πr，其中C 表示周长，π取近似值3.14，r表示圆的半径。
三、应用1、珠宝设计圆环作为一种经典的形状，在珠宝设计中广泛使用。
戒指、手链和项链等珠宝制品常常采用圆环的设计，给人一种优雅而精致的感觉。
2、工程建筑圆环的结构在工程建筑中也得到广泛应用。
例如，桥梁的主要支撑结构往往采用圆环形式，这样可以提供更好的承重能力和稳定性。
3、机械制造圆环也是机械制造中常见的零部件之一。
例如，汽车的刹车片就是圆环形状的，圆环内外的摩擦可以起到制动的作用。
此外，各类轴承和密封件也常采用圆环形状。
4、数学研究圆环作为一种几何形状，也在数学研究中扮演重要角色。
数学家们通过分析圆环的性质，推导出许多重要的数学定理，为科学研究和技术应用提供了理论支持。
综上所述，圆环是由两个同心圆构成的几何形状，具有一系列的特点和性质。
它广泛应用于珠宝设计、工程建筑、机械制造等领域，并在数学研究中发挥着重要作用。
环论与环的性质与运算法则
环论与环的性质与运算法则环论是数学中一门重要的研究领域，它研究的是环以及环的性质与运算法则。
环的概念最早由德国数学家戴德金（Heinrich Weber）于1882年引入，并在逐渐发展壮大。
环论不仅在数学理论研究中具有重要地位，而且在实际应用中也有广泛的应用。
本文将详细介绍环的定义、性质以及常见的运算法则。
一、环的定义环是一个满足特定的代数结构的数学对象。
具体来说，一个环是一个非空集合R，配以两个二元运算：加法(+)和乘法(·)，并满足以下四个性质：1. 加法封闭性：对于任意的a, b ∈ R，a + b ∈ R。
2. 加法结合律：对于任意的a, b, c ∈ R，(a + b) + c = a + (b + c)。
3. 加法交换律：对于任意的a, b ∈ R，a + b = b + a。
4. 存在加法单位元：存在一个元素0 ∈ R，使得对于任意的a ∈ R，a + 0 = a。
此外，如果一个环满足以下附加性质，即乘法封闭性、乘法结合律和乘法分配律，那么这个环被称为一个交换环。
二、环的性质1. 零乘性质：在一个环中，如果存在a, b ∈ R，且a ≠ 0, b ≠ 0，但ab = 0，则称a和b为零因子。
2. 单位元唯一性：一个环中只能存在一个加法单位元0，一个乘法单位元1。
3. 加法逆元存在性：对于环R中的任意元素a，存在一个元素-b ∈R，使得a + (-b) = 0。
4. 分配律成立：对于环R中的任意元素a, b, c，有a · (b + c) = (a · b) + (a · c)和(b + c) · a = (b · a) + (c · a)。
三、环的运算法则1. 环的乘法运算不一定满足交换律，即a · b ≠ b · a，但如果一个环满足a · b = b · a，那么这个环被称为一个交换环。
高等代数环的定义与性质
一、 环的定义与基本性质（一） 环的定义：1、 定义1：交换群称为加群（Aβελ群），其运算叫做加法，记为“+”。
2、 定义2：代数系统),;A (⋅+称为环，若1）（A ，+）是加群；2）代数系统);A (⋅适合结合律；3）乘法);A (⋅对加法+的分配律成立。
3、 例子（1）),;Z (⋅+、),;Q (⋅+、),;R (⋅+、),;C (⋅+都是环，均称为数环。
（2）Z[ι] ={α+βι | α、β∈Z ，ι2=－1 }，则),];i [Z (⋅+也是数环，称之为高斯整环。
（3）设Φ是任一数环，则Φ[ξ]关于多项式加法与乘法作成一个多项式环。
（4）Z ν={所有模ν剩余类}，则),;Z (n ⋅+是模ν剩余类环，这里[α]＋[β] = [α+β]，]b []a [⋅ = [αβ].（5）设（A ，＋）是加群，规定乘法如下：,A b ,a ∈∀αβ=0，则),;A (⋅+作成一个环，称之为零环。
（二）环的基本性质：（1）0x a a x =⇒=+。
（2）a x x a -=⇒=+0。
（3）c b c a b a =⇒+=+。
（4）nb na )b a (n +=+。
（ν为整数）（5）na ma a )n m (+=+。
（μ、ν为整数）（6）)na (m a )mn (=。
（μ、ν为整数）（7）,A a ∈∀ 000=⋅=⋅a a 。
（8）ab )b (a b )a (-=-=-。
（9）ab )b )(a (=--。
（10）ac bc c )a b (,ac ab )c b (a -=--=-。
（11）j m i n j i n j j m i i b a b a ∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111 。
（12）)ab (n )nb (a b )na (==。
(ν为整数)。
（13）若环中元a 、b 满足ba ab =，则()k n k n k k n n b a C b a -=∑=+0（14）mn n m n m n m a )a (,a a a ==⋅+。
环(数学术语)
环(数学术语)环是数学中一个重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。
环是一种代数结构，具有加法和乘法运算，并满足一定的公理。
下面将从不同的角度介绍环及其相关概念和性质。
一、环的定义与基本性质环是一个集合，其中定义了两个二元运算：加法和乘法。
设R是一个非空集合，加法运算“+”和乘法运算“·”满足以下条件：1. R关于加法构成一个阿贝尔群，即加法满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性；2. 乘法满足封闭性和结合律；3. 分配律成立，即对于任意的a、b、c∈R，有a·(b+c)=a·b+a·c和(b+c)·a=b·a+c·a。
基于上述定义和性质，我们可以推导出环的一些重要性质：1. 加法单位元唯一，记为0；2. 加法逆元唯一，对于任意的a∈R，存在唯一的元素-b∈R，使得a+(-b)=0；3. 乘法单位元唯一，记为1；4. 加法和乘法的交换律成立，即对于任意的a、b∈R，有a+b=b+a 和a·b=b·a；5. 乘法分配律成立，即对于任意的a、b、c∈R，有a·(b+c)=a·b+a·c和(b+c)·a=b·a+c·a。
二、子环与理想在环的基础上，我们可以定义子环和理想。
子环是原环的一个非空子集，并且对于加法和乘法运算仍然构成一个环。
具体而言，若S 是环R的子集，且满足以下条件：1. S对于加法构成一个子群；2. S对于乘法封闭；3. 对于任意的a、b∈S，有a-b∈S。
则称S为环R的一个子环。
子环是环的重要概念，它可以帮助我们研究环的结构和性质。
理想是环的另一个重要概念，它是子环的进一步推广。
设R是一个环，若集合I是R的一个子集，并且满足以下条件：1. I对于加法构成一个子群；2. 对于任意的r∈R和a∈I，有ra和ar都属于I。
则称I为环R的一个理想。
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注意：若 p不为素数，则Zp肯定不是域.
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域中除法及其性质
在域F中可以引入除法，如果a,b ∈F， a ≠ 0
，
则b有被以a除下记性为质b：/a，且b/a=a-1b.
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练习1
1. 在整数环中定义∗和◇两个运算, a,b∈Z 有 a∗b = a+b1, a◇b = a+bab.
以外都是域.
(2) 令2Z={2z | z∈Z}，则(2Z,+,·)构成交换环和无 零
因子环. 但不是含幺环和整环.
(3) 设nZ, n2, 则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩 阵
加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环
和
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无零因子环
定理1 环R是无零因子环当且仅当在R中乘法满足
= (a2+ba+ab+b2)(a+b) = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (ab)2 = (ab)(ab) = a2baab+b2
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问题
初等代数中： ab=0 a=0或b=0 n≠0，na=0 a=0
环中： ab=0 a=0或b=0 ? n≠0，na=0 a=0 ?
或可换环.
(2) 若环中乘法 ·存在单位元，则称R是含幺环.
4/20
例1
环的实例
(1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通 的
加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环
Q，实数环R和复数环C.
(2) n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和 乘法构成环，称为 n 阶实矩阵环.
证明(Z, ∗,◇)构成环.
证 a,b∈Z有a∗b, a◇b∈Z, 两个运算封闭. 任取a,b,c∈Z (a∗b)∗c = (a+b1)∗c = (a+b1)+c1 = a+b+c2 a∗(b∗c) = a∗(b+c1) = a+(b+c1)1 = a+b+c2 (a◇b)◇c = (a+bab)◇c = a+b+c (ab+ac+bc)+abc a◇(b◇c) = a◇(b+cbc) = a+b+c (ab+ac+bc)+abc
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Байду номын сангаас
零因子
定义4 设(R,+,·)是环，a∈R， a≠0 。如果存在一 个
元b∈R，b≠0，使得 ab=0 ，则称a是R的一个左零 因子.
如果存在一个元c∈R，c≠0，使得 ca=0 ，则称 a是R的一个右零因子.
如果a既是R的左零因子，又是R的右零因子， 则称a是R的零因子.
显然，若R有左零因子，则R必有右零因子.
i 1
m
m
同理可证, b1, b2, ..., bm有 ai ( bj ) aibj
j1
j1
n
m
n
m
nm
于是 ( ai )( bj ) ai ( bj ) aibj
i 1
j 1
i 1
j 1
i1 j1
8/20
实例
例2 在环中计算(a+b)3, (ab)2 . 解: (a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b)
第三章 环与域
主要内容: 环的定义与性质 无零因子环的特征数 子环、理想子环与商环 环的同态基本定理 极大理想
1/20
第11节 环的定义及性质
主要内容: 环的定义与性质 零因子 特殊的环(整环/除环/域)
2/20
环的定义
定义1 设(R,+,·)是代数系统，+和·是二元运算. 如果 满足以下条件: (1) (R,+)构成交换群; (2) (R,·)构成半群; (3) ·运算关于+运算满足左、右分配律; 则称(R,+,·)是一个环.
∗与◇可结合，1为∗的单位元. 2a为a关于∗的逆元. Z关于∗构成交换群, 关于◇ 构成半群. ◇关于∗ 满足分配律.
a◇(b∗c) = a◇(b+c1) = 2a+b+cabac1 a◇b)∗(a◇c) = 2a+b+cabac1 (Z, ∗,◇)构成环
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练习2
2. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域, 如果不构成, 说明理由. (1) A = { a+bi | a,b∈Q }, 其中i2= 1, 运算为复数加 法和乘法. (2) A={ 2z+1 | z∈Z}, 运算为实数加法和乘法 (3) A={ 2z | z∈Z}, 运算为实数加法和乘法 (4) A={ x | x≥0∧x∈Z}, 运算为实数加法和乘法. (5) A {a b4 5 | a, b Q}, 运算为实数加法和乘法
证 (1) a∈R有 a0 = a(0+0) = a0+a0 由环中加法的消去律得a0=0. 同理可证0a=0. (2) a,b∈R，有
(a)b+ab =(a+a)b = 0b = 0 ab+(a)b =(a+(a))b = 0b = 0 (a)b是ab的负元. 由负元惟一性(a)b= ab. 同理a(b)= ab.
(2) 如果R满足以下两个条件：
1)R中至少含有两个元素(或R中至少含有一个 非
零元素)；
2)非零元素的全体对乘法构成一个群.
则称R是除环或体.
(3) 可换体称为域. 显然，除环和域是无零因子环.
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例3 (1) 整数环Z、有实理例数环Q、实数环R、复数环
C
都是交换环,含幺环,无零因子环和整环. 除了整数 环
(3) 集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运 算
构成环.
(4) 设Zn＝{[0],[1], ... , [n－1]}，和分别表示模n
的加法和乘法，则(Zn,,)构成环，称为模 n同余5/20 类
环的运算性质
性质1 设(R,+,·)是环，则
(1) a∈R，a0 = 0a = 0；
(2) a,b∈R，(a)b = a(b) = ab；
11/20
定义5 设(R,+,·)特是环殊，的环
若a,b∈R，ab=0 a=0或b=0，则称R是无零 因子环.
或 若a,b∈R， a≠0，b≠0 ab≠0 ，则称R是无
零因子环.
或 没有左零因子，也没有右零因子的环称为无 零因子环.
12/20
定义6 设(R,+,·)特是环殊，的环
(1) 若R是交换环、含幺环、无零因子环，则称R 是整环.
消去律，即
如果a≠0，ab=ac，则b=c；
如果a≠0，ba=ca，则b=c.
例4 至少有一个非零元的无零因子有限环是体. 提示：注意“有限 ” 两个字.
15/20
实例
例5 设 p为素数，证明Zp是(有限)域. 证 p为素数，所以 |Zp|≥2. 易见Zp可交换，单位元 是[1].
对于任意的 [i], [j]∈Zp, [i] ≠ [0]有 [i] [j] = [0] p 整除 ij p| j [j] =[0]
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练习2
解: (1) 是环, 是整环, 也是域. (2) 不是环, 因为关于加法不封闭. (3) 是环, 不是整环和域, 因为乘法没有么元. (4) 不是环, 因为正整数关于加法的负元不存在. (5) 不是环, 因为关于乘法不封闭.
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通常称+运算为环中的加法，·运算为环中的乘法. 环中加法单位元记作 0，乘法单位元(如果存在)记作
1. 对任何元素 x，称 x 的加法逆元为负元，记作x. 若 x 存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x1.
3/20
环的定义
定义2 称环(R,+,·)是有限环，如果R是有限非空集 合.
定义3 设(R,+,·)是环， (1) 若环中乘法 ·适合交换律，则称R是交换环
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证明(4)
性质1 设(R,+,·)是环，则
(4) a1,a2,...,an，b1,b2,...,bm∈R (n,m≥2).
n
m
nm
(ai) (bj) aibj
i 1
j1
i1 j1
(4) 证明思路：用归纳法证明 a1, a2, ... , an 有
n
n
( ai )bj aibj
i 1
(3) a,b,c∈R，a(bc) = abac， (bc)a = baca；
(4) a1,a2,...,an，b1,b2,...,bm∈R (n,m≥2).
n
m
nm
(ai) (bj) ai bj
i 1
j1
i1 j1
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环的运算性质
性质1 设(R,+,·)是环，则 (1) a∈R，a0 = 0a = 0； (2) a,b∈R，(a)b = a(b) = (ab)= ab；